考点6 基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数、二次函数)-2019届高考文科数学必备考点

考点6 基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、二次函数）【考点剖析】1.命题方向预测：1.指数函数的概念、图象与性质是近几年高考的热点．2.通过具体问题考查指数函数的图象与性质，或利用指数函数的图象与性质解决一些实际问题是重点，也是难点，同时考查分类讨论思想和数形结合思想．3.高考考查的热点是对数式的运算和对数函数的图象、性质的综合应用，同时考查分类讨论、数形结合、函数与方程思想．4.关于幂函数常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图象与性质，多以小题形式出现，属容易题．5.二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点．6.题型以选择题和填空题为主，以分段函数形式，考查多个函数的性质，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现. 2.课本结论总结： 指数与指数函数 1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n=a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是am n-=(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理指数幂的运算性质：a r a s＝a r ＋s，(a r )s ＝a rs ，(ab )r ＝a r b r，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .2．指数函数的图象与性质对数与对数函数 1．对数的概念如果a x＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n＝n mlog a M .(2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝a a log Nlog b(a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1b log a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与性质二次函数与幂函数1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质2.幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质比较3.名师二级结论：（1）根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．（2）指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按：0＜a ＜1和a ＞1进行分类讨论．（3）换元时注意换元后“新元”的范围．（4）对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明．（5）解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围． （6）对数值的大小比较方法化同底后利用函数的单调性、作差或作商法、利用中间量(0或1)、化同真数后利用图象比较． （7）函数y ＝f (x )对称轴的判断方法1、对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 22对称．2、对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)． 4.考点交汇展示：例1.【2017山东，理1】设函数A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B ,则A B ⋂= （A ）（1,2） （B ）⎤⎦(1,2 （C ）（-2,1） （D ）[-2,1) 【答案】D【解析】由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故A B={|22}{|1}{|21}x x x x x x -≤≤⋂<=-≤<，选D.例1.【2017天津，文8】已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ） （A ）47[,2]16-（B ）4739[,]1616-（C）[- （D ）39[]16-【答案】A222x x +≥=（当2x =时取等号），所以2a -≤≤， 综上47216a -≤≤．故选A ． 例2.【2018年浙江卷】已知λ∈R ，函数f (x )=，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【答案】 (1,4)当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.【考点分类】考向一 指数函数、对数函数1.【2018年天津卷文】已知，则的大小关系为A. B.C.D.【答案】D【解析】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a ,b ,c 的大小关系.详解：由题意可知：，即，，即，，即，综上可得：.本题选择D 选项.2.【2017北京，理5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A3.【2018年新课标I 卷文】已知函数，若，则________．【答案】-7 【解析】 根据题意有，可得，所以，故答案是.【方法规律】1.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．2.对数式的化简与求值的常用思路(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3．比较对数值大小时若底数相同，构造相应的对数函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找中间量，也可以用换底公式化成同底的对数再比较．4．利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．【解题技巧】1.图像题要注意根据图像的单调性和特殊点判断2.指数形式的几个数字比大小要注意构造相应的指数函数和幂函数3．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．4．指数函数y＝a x (a>0，a≠1)的性质和a的取值有关，一定要分清a>1与0<a<1.5．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．【易错点睛】1.求解复合函数的单调性要注意“同增异减”的应用2.涉及到对数函数的运算是要首先考虑其定义域3.恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来．4.复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．5.对可化为a2x＋b·a x＋c＝0或a2x＋b·a x＋c≥0 (≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.6.在运算性质log a Mα＝αlog a M中，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为log a Mα＝αlog a|M|(α∈N＋，且α为偶数)．7.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值例1设a＞0且a≠1，函数f(x)＝a lg(x2－2x＋3)有最大值，则不等式log a(x2－5x＋7)>0的解集为________．【答案】{x|2＜x＜3}【解析】∵函数y＝lg(x2－2x＋3)有最小值，f(x)＝a lg(x2－2x＋3)有最大值，∴0＜a＜1.∴由log a(x2－5x＋7)>0，得0＜x2－5x＋7＜1，解得2＜x＜3.∴不等式log a(x2－5x＋7)>0的解集为{x|2＜x＜3}．【易错点】指数函数和对数函数中注意讨论底数a的大小，复合函数的单调性往往也和a的取值有关考向二幂函数、二次函数1.【2018届广东省茂名市高三五大联盟学校9月联考】已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是( )A. B. 0 C. D.【答案】B【解析】由题设，故在上单调递增，则当时取最小值，应选答案B.2.【2018年天津卷文】已知a∈R，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．【答案】［，2］【解析】3.【2018届浙江省杭州市第二中学6月热身】已知函数，若存在实数，使得且同时成立，则实数的取值范围是__________．【答案】.【解析】分析：从函数形式上看，中的符号容易判断，当时，，当，，因此当，在有解；当时，在有解，故可求出的取值范围．【方法规律】1.二次函数在闭区间上的最值与抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间三个要素有关；2.常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值.二次函数、二次方程、二次不等式之间可以相互转化．一般规律(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解．3.幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查(1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．4．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解．5．幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．【解题技巧】1.做二次函数类型题是注意数形结合的应用，画出函数的草图能帮助我们理清思路2.二次函数中如果含有参数，往往要进行分类讨论3.对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．4.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.【易错点睛】1.注意幂函数与指数函数的联系与区别2.幂函数的增减与α的关系3.对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．【热点预测】1.【福建省闽侯第二中学、连江华侨中学等五校教学联合体】设集合，则等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】2.【2018届江西省新余市第四中学适应性考】设,则的大小顺序是( )A． B． C． D．【答案】D 【解析】，因为，所以.故答案为：D3.下列函数中，在(0)+∞,内单调递减，并且是偶函数的是（ ） A ．2y x = B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =【答案】C4．【2019届河南省信阳高级中学第一次大考】若x ∈（，1），a ＝lnx ，b ＝，c ＝，则A ． b ＞c ＞aB ． c ＞b ＞aC ． b ＞a ＞cD ． a ＞b ＞c 【答案】A 【解析】 由题意得，∵，∴，∴．∴． 故选A ．5．【2018届北京市通州区高三上期中】函数()34,0{ ,0x x f x x x --<=≥的图象与函数()()ln 2g x x =+的图象的交点个数是（ ）．A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 【答案】B【解析】作出函数()f x 与()g x 的图象，如图所示，由图象可知， ()f x 与()g x 图象有2个交点．故选B ．6.【2018届安徽省淮南市二模】已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A7.【2018届广西钦州市第三次检测】定义运算：，则的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D 【解析】令，由于，所以，所以，所以其最大值为，故选D ．8.【2018届湖北省华中师范大学第一附属中学5月押题】定义在上的函数为偶函数，记，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】9.【2017山东，理10】已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 （A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞（C ）()23,⎡+∞⎣（D ）([)3,+∞【答案】B【解析】试题分析：当01m <≤时，11m≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y m =单调递增，且[,1]y m m m =∈+ ，此时有且仅有一个交点；当1m >时，101m<< ，2(1)y mx =-在1[,1]m上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥ 选B.10.【2018届广东省汕头市金山中学高三上期中】已知当0x <≤12时，不等式log 2a x <-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.)2 B. (1,C. 12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D. 0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】B11.【2018年高考第二次适应与模拟】设函数，若，，则对任意的实数， 的最小值为_________________．【答案】10 【解析】 作出的图象，如图，由且得，即，其中， 如图圆，易知点在劣弧上，记，则表示点到射线上点的距离的平方，从图中可知最小值为点到原点的距离的平方，即．12.【2018届重庆市合川区5月模拟】已知函数，若f(m)>1，则m的取值范围是________．【答案】(－∞，0)(2，＋∞)【解析】若则或，即或，解得，或．故答案为：．13.【2018届宁夏银川市唐徕回民中学四模】已知函数，若方程有两个解，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】14.函数（1）求方程的解；（2）若函数的最小值为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）要使函数有意义，则有，解得：函数可化为由，得即，的解为.。