【创新设计】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习第五章平面向量第2讲平面向量基本定理及坐标表示习题

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《创新设计》2017届高考数学(文)二轮复习(江苏专用)教师word文档专题七

第1讲函数与方程思想、数形结合思想高考定位函数与方程的思想一般通过函数与导数、三角函数、数列、解析几何等知识进行考查；数形结合思想一般在填空题中考查.1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.2.函数与方程的思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要.(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.3.数形结合是一种数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：①借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；②借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.4.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合.热点一函数与方程思想的应用[微题型1] 不等式问题中的函数(方程)法【例1－1】 (1)f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1，1]，总有f (x )≥0成立，则a ＝________.(2)设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )＜0的解集是________.解析 (1)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x ＞0即x ∈(0，1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3（1－2x ）x 4，所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4. 当x ＜0即x ∈[－1，0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，设g (x )＝3x 2－1x 3，且g (x )在区间[－1，0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4.(2)设F (x )＝f (x )g (x )，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，得F (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )，即F (x )在R 上为奇函数.又当x ＜0时，F ′(x )＝f ′(x )·g (x )＋f (x )g ′(x )＞0，所以x ＜0时，F (x )为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x ＞0时，F (x )也是增函数. 因为F (－3)＝f (－3)g (－3)＝0＝－F (3).所以，由图可知F (x )＜0的解集是(－∞，－3)∪(0，3).答案 (1)4 (2)(－∞，－3)∪(0，3)探究提高 (1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数f (x )＞0或f (x )＜0恒成立，一般可转化为f (x )min ＞0或f (x )max ＜0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解.[微题型2] 数列问题的函数(方程)法【例1－2】已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋p ·3n (n ∈N *，p 为常数)，a 1，a 2＋6，a 3成等差数列.(1)求p 的值及数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝n 2a n，证明：b n ≤49. (1)解由a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋p ·3n ，得a 2＝3＋3p ，a 3＝a 2＋9p ＝3＋12p .因为a 1，a 2＋6，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2(a 2＋6)，即3＋3＋12p ＝2(3＋3p ＋6)，得p ＝2，依题意知，a n ＋1＝a n ＋2×3n .当n ≥2时，a 2－a 1＝2×31，a 3－a 2＝2×32，…，a n －a n －1＝2×3n －1.将以上式子相加得a n －a 1＝2(31＋32＋…＋3n －1)，所以a n －a 1＝2×3×（1－3n －1）1－3＝3n －3，所以a n ＝3n (n ≥2).又a 1＝3符合上式，故a n ＝3n .(2)证明因为a n ＝3n，所以b n ＝n 23n . 所以b n ＋1－b n ＝（n ＋1）23n ＋1－n 23n ＝－2n 2＋2n ＋13n ＋1(n ∈N *)，若－2n 2＋2n ＋1＜0，则n ＞1＋32，即当n ≥2时，有b n ＋1＜b n ，又因为b 1＝13，b 2＝49，故b n ≤49.探究提高数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型：(1)数列中的恒成立问题，转化为最值问题，利用函数的单调性或不等式求解.(2)数列中的最大项与最小项问题，利用函数的有关性质或不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1求解. (3)数列中前n 项和的最值：转化为二次函数，借助二次函数的单调性或求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 值即可求解.[微题型3] 解析几何问题的方程(函数)法【例1－3】设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点.(1)若ED→＝6DF →，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值.解 (1)依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0).如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2.① 由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2；由D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2，得x 0＝21＋2k.所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.(2)根据点到直线的距离公式和①式知，点E ，F 到AB 的距离分别为h 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2（1＋2k ＋1＋4k 2）5（1＋4k 2）， h 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2（1＋2k －1＋4k 2）5（1＋4k 2）. 又AB ＝22＋12＝5，所以四边形AEBF 的面积为S ＝12·AB ·(h 1＋h 2) ＝12·5·4（1＋2k ）5（1＋4k 2）＝2（1＋2k ）1＋4k2 ＝21＋4k 2＋4k 1＋4k 2≤22，当4k 2＝1(k ＞0)，即当k ＝12时，上式取等号.所以S 的最大值为2 2.即四边形AEBF 面积的最大值为2 2.探究提高解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.热点二数形结合思想的应用[微题型1] 利用数形结合思想讨论方程的根或函数零点【例2－1】 (1)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________.(2)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点个数为________.解析 (1)由f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，可得|2x －2|＝b 有两个不等的实根，从而可得函数y ＝|2x －2|的图象与函数y ＝b 的图象有两个交点，如图所示.结合函数的图象，可得0＜b ＜2，故填(0，2).(2)根据题意，函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数且0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x 3，且g (x )＝|x cos(πx )|，所以当x ＝0时，f (x )＝g (x ).当x ≠0时，若0<x ≤12，则x 3＝x cos(πx )，即x 2＝cos πx .再根据函数性质画出⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的图象，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根.所以总共有6个.答案 (1)(0，2) (2)6探究提高用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数.[微题型2] 利用数形结合思想解不等式或求参数范围【例2－2】 (1)若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________.(2)若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.解析 (1)如图，分别作出直线y ＝k (x ＋2)－2与半圆y ＝9－x 2.由题意，知直线在半圆的上方，由b －a ＝2，可知b＝3，a ＝1，所以直线y ＝k (x ＋2)－2过点(1，22)，则k ＝ 2.(2)作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12. 答案 (1)2 (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 探究提高求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答.[微题型3] 利用数形结合思想求最值【例2－3】 (1)已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，则四边形P ACB 面积的最小值为________.(2)(2015·全国Ⅰ卷)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0，66)，当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________.解析 (1)从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形P AC 的面积S Rt △P AC ＝12P A ·AC ＝12P A 越来越大，从而S 四边形P ACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形P ACB 变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直直线l 时，S 四边形P ACB 应有唯一的最小值，此时PC ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而P A ＝PC 2－AC 2＝2 2.所以(S 四边形P ACB )min ＝2×12×P A ×AC ＝2 2.(2)设双曲线的左焦点为F 1，连接PF 1，根据双曲线的定义可知PF ＝2＋PF 1，则△APF 的周长为P A ＋PF ＋AF ＝P A ＋2＋PF 1＋AF ＝P A ＋PF 1＋AF ＋2，由于AF ＋2是定值，要使△APF 的周长最小，则P A ＋PF 1最小，即P ，A ，F 1三点共线，如图所示.由于A (0，66)，F 1(－3，0)，直线AF 1的方程为：x －3＋y 66＝1，即x ＝y 26－3，代入双曲线方程整理可得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以点P 的纵坐标为2 6.所以S △APF ＝S △AFF 1－S △PFF 1＝12×6×66－12×6×26＝12 6.答案 (1)22 (2)12 6探究提高破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数形结合的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息加以分析与研究.直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论.1.当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想.2.借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解.3.许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量.4.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的.5.有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的.6.利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象.一、填空题1.直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m＝________.解析圆的方程(x－1)2＋y2＝3，圆心(1，0)到直线的距离等于半径⇒|3＋m|3＋1＝3⇒|3＋m|＝23⇒m＝3或m＝－3 3.答案－33或 32.已知函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lg x解的个数是________.解析由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数.又f(x)＝lg x，则x∈(0，10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数.由图象可知共9个交点.答案93.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为________.解析f′(x)＞2转化为f′(x)－2＞0，构造函数F(x)＝f(x)－2x，得F(x)在R上是增函数.又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)＝4，f(x)＞2x＋4，即F(x)＞4＝F(－1)，所以x＞－1.答案(－1，＋∞)4.已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是________.解析如图，设OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则CA →＝a －c ，CB →＝b －c .由题意知CA→⊥CB →， ∴O ，A ，C ，B 四点共圆.∴当OC 为圆的直径时，|c |最大，此时，|OC→|＝ 2. 答案 25.已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1，2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________.解析函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a ，画出草图如图所示.由图象可知函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f (x )在区间[1，2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞).答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)6.(2015·全国Ⅱ卷改编)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为________.解析如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则AB ＝2a ，由双曲线的对称性，可设点M (x 1，y 1)在第一象限内，过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1，0)，∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°，∴BM ＝AB ＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝MN ＝BM sin ∠MBN ＝2a sin 60°＝3a ，x 1＝OB ＋BN ＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (2a ，3a )的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝ 2.答案 2 7.已知e 1，e 2是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量b 满足|b |＝2，b ·e 1＝1，b ·e 2＝1，则对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|的最小值为________.解析 |b －(x e 1＋y e 2)|2＝b 2＋x 2e 21＋y 2e 22－2x b ·e 1－2y b ·e 2＋2xy e 1·e 2＝4＋x 2＋y 2－2x－2y＝(x－1)2＋(y－1)2＋2≥2，当且仅当x＝1，y＝1时，|b－(x e1＋y e2)|2取得最小值2，此时|b－(x e1＋y e2)|取得最小值 2.答案 28.设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是________.解析设直线l的方程为x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线l的方程代入抛物线方程y2＝4x并整理得y2－4ty－4m＝0，则Δ＝16t2＋16m＞0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m，那么x1＋x2＝(ty1＋m)＋(ty2＋m)＝4t2＋2m，则线段AB的中点M(2t2＋m，2t).由题意可得直线AB与直线MC垂直，且C(5，0).当t≠0时，有k MC·k AB＝－1，即2t－02t2＋m－5·1t＝－1，整理得m＝3－2t2，把m＝3－2t2代入Δ＝16t2＋16m＞0，可得3－t2＞0，即0＜t2＜3.由于圆心C到直线AB的距离等于半径，即d＝|5－m|1＋t2＝2＋2t21＋t2＝21＋t2＝r，所以2＜r＜4，此时满足题意且不垂直于x轴的直线有两条.当t＝0时，这样的直线l恰有2条，即x＝5±r，所以0＜r＜5.综上，可得若这样的直线恰有4条，则2＜r＜4.答案(2，4)二、解答题9.已知数列{a n}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.(1)求{a n}的通项a n；(2)求{a n}前n项和S n的最大值.解(1)设{a n}的公差为d，由已知条件，⎩⎨⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解得a 1＝3，d ＝－2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5.(2)S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－n 2＋4n ＝4－(n －2)2.所以n ＝2时，S n 取到最大值4.10.椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝3PB →.(1)求椭圆C 的方程； (2)求m 的取值范围.解 (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，设c ＞0，c 2＝a 2－b 2，由题意，知2b ＝2，c a ＝22，所以a ＝1，b ＝c ＝22.故椭圆C 的方程为y 2＋x 212＝1.即y 2＋2x 2＝1.(2)当直线l 的斜率不存在时，由题意求得m ＝±12；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，l 与椭圆C 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，2x 2＋y 2＝1，得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0， Δ＝(2km )2－4(k 2＋2)(m 2－1) ＝4(k 2－2m 2＋2)＞0，(*)解上述方程后易得：x 1＋x 2＝－2km k 2＋2，x 1x 2＝m 2－1k 2＋2.因为AP →＝3 PB →，所以－x 1＝3x 2.所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－2x 2，x 1x 2＝－3x 22.所以3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝0. 所以3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km k 2＋22＋4·m 2－1k 2＋2＝0.整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0，即k 2(4m 2－1)＋(2m 2－2)＝0.当m 2＝14时，上式不成立；当m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1，由(*)式，得k 2＞2m 2－2，又k ≠0，所以k 2＝2－2m 24m 2－1＞0.解得－1＜m ＜－12或12＜m ＜1.综上，所求m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.11.设函数f (x )＝ax 3－3ax ，g (x )＝bx 2－ln x (a ，b ∈R )，已知它们在x ＝1处的切线互相平行. (1)求b 的值；(2)若函数F (x )＝⎩⎨⎧f （x ），x ≤0，g （x ），x ＞0，且方程F (x )＝a 2有且仅有四个解，求实数a 的取值范围.解函数g (x )＝bx 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)， (1)f ′(x )＝3ax 2－3a ⇒f ′(1)＝0， g ′(x )＝2bx －1x ⇒g ′(1)＝2b －1，依题意得2b －1＝0，所以b ＝12. (2)x ∈(0，1)时，g ′(x )＝x －1x ＜0，即g (x )在(0，1)上单调递减，x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝x －1x ＞0，即g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，g (x )取得极小值g (1)＝12；当a ＝0时，方程F (x )＝a 2不可能有四个解；当a ＜0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＜0，即f (x )在(－∞，－1)上单调递减，x ∈ (－1，0)时，f ′(x )＞0，即f (x )在(－1，0)上单调递增，所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值f (－1)＝2a ，又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图(1)所示，从图象可以看出F (x )＝a 2不可能有四个解. 当a ＞0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＞0，即f (x )在(－∞，－1)上单调递增， x ∈(－1，0)时，f ′(x )＜0，即f (x )在(－1，0)上单调递减，所以当x ＝－1时，f (x )取得极大值f (－1)＝2a . 又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图(2)所求，从图(2)看出，若方程F (x )＝a 2有四个解，则12＜a 2＜2a ，得22＜a ＜2，所以，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，2.第2讲分类讨论思想、转化与化归思想高考定位分类讨论思想，转化与化归思想近几年高考每年必考，一般体现在解析几何、函数与导数及数列解答题中，难度较大.1.中学数学中可能引起分类讨论的因素(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等.(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n }的前n 项和公式等.(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等.(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等.(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.2.常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.常见的转化方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径.(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的.(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题.(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题.(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径.(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定.(9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决.(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集∁U A获得原问题的解决，体现了正难则反的原则.热点一分类讨论思想的应用[微题型1]由性质、定理、公式的限制引起的分类【例1－1】(1)设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n＝3n＋3，求数列{a n}的通项a n ＝________.(2)(2016·苏北四市调研)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________. 解析 (1)由2S n ＝3n ＋3得：当n ＝1时，2S 1＝31＋3＝2a 1，解得a 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12[(3n ＋3)－(3n －1＋3)]＝3n －1，由于n ＝1时，a 1＝3不适合上式.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧3，n ＝1，3n －1，n ≥2.(2)当a >0时，1－a <1，1＋a >1，这时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ， f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32，不合题意，舍去；当a <0时，1－a >1，1＋a <1，这时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ， f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－34.综上可知，a 的值为－34. 答案 (1)⎩⎨⎧3，n ＝1，3n －1，n ≥2(2)－34探究提高由性质、定理、公式的限制引起的分类整合法往往是因为有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致的情况下使用，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等. [微题型2] 由数学运算要求引起的分类【例1－2】 (1)(2016·苏、锡、常、镇调研改编)不等式|x |＋|2x ＋3|≥2的解集是________.(2)已知m ∈R ，求函数f (x )＝(4－3m )x 2－2x ＋m 在区间[0，1]上的最大值为________.解析 (1)原不等式可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－32，－x －（2x ＋3）≥2，或⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x ≤0，－x ＋（2x ＋3）≥2或⎩⎨⎧x ＞0，x ＋（2x ＋3）≥2. 解得x ≤－53或－1≤x ≤0或x ＞0，故原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－53∪[－1，＋∞). (2)①当4－3m ＝0，即m ＝43时，函数y ＝－2x ＋43，它在[0，1]上是减函数，所以y max ＝f (0)＝43. ②当4－3m ≠0, 即m ≠43时，y 是二次函数.当4－3m ＞0，即m ＜43时，二次函数y 的图象开口向上，对称轴方程x ＝14－3m＞0，它在[0，1]上的最大值只能在区间端点取得(由于此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系). f (0)＝m ，f (1)＝2－2m ，当m ≥2－2m ，又m ＜43，即23≤m ＜43时，y max ＝m . 当m ＜2－2m ，又m ＜43，即m ＜23时，y max ＝2(1－m ).当4－3m ＜0，即m ＞43时，二次函数y 的图象开口向下，又它的对称轴方程x ＝14－3m＜0，所以函数y 在[0，1]上是减函数，于是y max ＝f (0)＝m . 由①、②可知，这个函数的最大值为y max ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2m ，m ＜23，m ，m ≥23.答案 (1)⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－53∪[－1，＋∞)(2)y max ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2m ，m ＜23，m ，m ≥23探究提高由数学运算要求引起的分类整合法，常见的类型有除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数问题，含有绝对值的不等式求解，三角函数的定义域等，根据相应问题中的条件对相应的参数、关系式等加以分类分析，进而分类求解与综合.[微题型3] 由参数变化引起的分类【例1－3】 (2015·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a . 若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若a ＞0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a 上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a 上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a－1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；当a＞1时，g(a)＞0.因此，a的取值范围是(0，1).探究提高由参数的变化引起的分类整合法经常用于某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.热点二转化与化归思想[微题型1]换元法【例2－1】已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________.解析令b＝x，c＝y，则x＋y＝－a，x2＋y2＝1－a2.此时直线x＋y＝－a与圆x2＋y2＝1－a2有交点，则圆心到直线的距离d＝|a|2≤1－a2，解得a2≤23，所以a的最大值为6 3.答案6 3探究提高换元法是一种变量代换，也是一种特殊的转化与化归方法，是用一种变数形式去取代另一种变数形式，是将生疏(或复杂)的式子(或数)，用熟悉(或简单)的式子(或字母)进行替换；化生疏为熟悉、复杂为简单、抽象为具体，使运算或推理可以顺利进行.[微题型2]特殊与一般的转化【例2－2】已知f(x)＝33x＋3，则f(－2 015)＋f(－2 014)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 016)＝________.解析f(x)＋f(1－x)＝33x＋3＋331－x＋3＝33x＋3＋3x3＋3x＝3x＋33x＋3＝1，∴f(0)＋f(1)＝1，f(－2 015)＋f(2 016)＝1，∴f (－2 015)＋f (－2 014)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 016)＝2 016. 答案 2 016探究提高一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果. [微题型3] 常量与变量的转化【例2－3】对任意的|m |≤2，函数f (x )＝mx 2－2x ＋1－m 恒为负，则x 的取值范围为________.解析对任意的|m |≤2，有mx 2－2x ＋1－m ＜0恒成立，即|m |≤2时，(x 2－1)m －2x ＋1＜0恒成立.设g (m )＝(x 2－1)m －2x ＋1，则原问题转化为g (m )＜0恒成立(m ∈[－2，2]).所以⎩⎨⎧g （－2）＜0，g （2）＜0，即⎩⎨⎧2x 2＋2x －3＞0，2x 2－2x －1＜0.解得7－12＜x ＜3＋12，即实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12探究提高在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的. [微题型4] 正与反的相互转化【例2－4】若对于任意t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________.解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t ，3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立.由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t ，3)上恒成立，∴m ＋4≥2t －3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x 在x ∈(t ，3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.∴函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373＜m ＜－5.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5 探究提高否定性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可，一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中.1.分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”.用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集).做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论. 常见的分类讨论问题有：(1)集合：注意集合中空集∅讨论.(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a ，一般应分a ＞1和0＜a ＜1的讨论；函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有时候分a ＝0和a ≠0的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论.(3)数列：由S n 求a n 分n ＝1和n ＞1的讨论；等比数列中分公比q ＝1和q ≠1的讨论.(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论.(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论；(7)平面解析几何：直线点斜式中k 分存在和不存在，直线截距式中分b ＝0和b ≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论.(8)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.2.转化与化归思想遵循的原则：(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决.一、填空题1.等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是________. 解析当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝3a 1＝21，符合要求.当q ≠1时，a 1q 2＝7，a 1（1－q 3）1－q ＝21，解之得，q ＝－12或q ＝1(舍去).综上可知，q ＝1或－12.答案 1或－122.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R ，Q 两点，则PR→·PQ →的值为________. 解析当直线PQ 与x 轴重合时，|PR→|＝|PQ →|＝a . 答案 a 23.方程sin 2x ＋cos x ＋k ＝0有解，则k 的取值范围是________.解析求k ＝－sin 2x －cos x 的值域.k ＝cos 2x －cos x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－54. 当cos x ＝12时，k min ＝－54，当cos x ＝－1时，k max ＝1，∴－54≤k ≤1.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，14.若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －1，则它的通项公式a n ＝________.解析当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －1－(3n －1－1)＝2×3n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，也满足式子a n ＝2×3n －1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －1.答案 2×3n －15.已知a 为正常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 22a 对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为________.解析原不等式即x 22a ≥1＋x 2－1＋x (x ≥0)，(*) 令1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2－1，所以(*)式可化为（t 2－1）22a ≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝（t －1）22对t ≥1恒成立，所以（t ＋1）2a≥1对t ≥1恒成立，又a 为正常数，所以a ≤[(t ＋1)2]min ＝4，故a 的最大值是4.答案 46.已知△ABC 和点M 满足MA→＋MB →＋MC →＝0.若存在实数k 使得CA →＋CB →＝kCM →成立，则k 等于________.解析 ∵MA→＋MB →＋MC →＝0， ∴M 为已知△ABC 的重心，取AB 的中点D ，∴CA →＋CB →＝2CD →＝2×32CM →＝3CM →， ∵CA→＋CB →＝kCM →，∴k ＝3. 答案 37.设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且PF 1＞PF 2，则PF 1PF 2的值为________. 解析若∠PF 2F 1＝90°，则PF 21＝PF 22＋F 1F 22，∵PF 1＋PF 2＝6，F 1F 2＝25，解得PF 1＝143，PF 2＝43，∴PF 1PF 2＝72. 若∠F 2PF 1＝90°，则F 1F 22＝PF 21＋PF 22＝PF 21＋(6－PF 1)2，解得PF 1＝4，PF 2＝2，∴PF 1PF 2＝2. 综上所述，PF 1PF 2＝2或72. 答案 2或728.已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，若对任意的x 1∈(0，2)，任意的x 2∈[1，2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数b 的取值范围是________. 解析依题意，问题等价于f (x 1)min ≥g (x 2)max ，f (x )＝ln x －14x ＋34x －1(x ＞0)，所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝4x －x 2－34x 2.由f ′(x )＞0，解得1＜x ＜3，故函数f (x )单调递增区间是(1，3)，同理得f (x )的单调递减区间是(0，1)和(3，＋∞)，故在区间(0，2)上，x ＝1是函数f (x )的极小值点，这个极小值点是唯一的，所以f (x 1)min ＝f (1)＝－12.函数g (x 2)＝－x 22＋2bx 2－4，x 2∈[1，2].当b ＜1时，g (x 2)max ＝g (1)＝2b －5；当1≤b ≤2时，g (x 2)max ＝g (b )＝b 2－4；当b ＞2时，g (x 2)max ＝g (2)＝4b －8.故问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧b ＜1，－12≥2b －5或⎩⎪⎨⎪⎧1≤b ≤2，－12≥b 2－4或⎩⎪⎨⎪⎧b ＞2，－12≥4b －8. 解第一个不等式组得b ＜1，。

《创新设计》2017届高考数学(理)二轮复习(江苏专用)教师word文档专题二

第1讲三角函数的图象与性质高考定位高考对本内容的考查主要有：三角函数的有关知识大部分是B 级要求，只有函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质是A 级要求；试题类型可能是填空题，同时在解答题中也有考查，经常与向量综合考查，构成低档题.真题感悟1.(2013·江苏卷)函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________.解析利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期公式求解.函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为T ＝2π2＝π. 答案 π2.(2011·江苏卷)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)＝________. 解析因为由图象可知振幅A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以周期T ＝π＝2πω，解得ω＝2，将⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)，解得一个符合的φ＝π3，从而y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f (0)＝62.答案 623.(2014·江苏卷)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________.解析根据题意，将x ＝π3代入可得cos π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝12，∴2π3＋φ＝2k π＋π6或23π＋φ＝2k π＋56π(k ∈Z ). 又∵φ∈[0，π)，∴φ＝π6. 答案 π64.(2015·浙江卷)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________. 解析 f (x )＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，∴T ＝2π2＝π，由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得：3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z ， ∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k ∈Z . 答案 π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π＋k π，78π＋k π(k ∈Z ) 考点整合1.常用三种函数的易误性质2.三角函数的常用结论(1)y＝A sin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求得.(2)y＝A cos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得.(3)y＝A tan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数.3.三角函数的两种常见变换热点一三角函数的图象【例1】 (1)(2016·无锡高三期末)将函数f (x )＝2sin 2x 的图象上每一点向右平移π6个单位，得函数y ＝g (x )的图象，则g (x )＝________.(2)(2016·南京调研)如图，它是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π))图象的一部分，则f (0)的值为________.解析 (1)将f (x )＝2sin 2x 的图象向右平移π6个单位得到g (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象.(2)由函数图象得A ＝3，2πω＝2[3－(－1)]＝8，解得ω＝π4，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ，又因为(3，0)为函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ的一个下降零点，所以π4×3＋φ＝(2k ＋1)π(k ∈Z )，解得φ＝π4＋2k π(k ∈Z )，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝π4，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4，则f (0)＝3sin π4＝322.答案 (1)2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 (2)322探究提高 (1)对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x ，如果x 的系数不是1，则需把x 的系数提取后再确定平移的单位和方向.(2)已知图象求函数y ＝A sin ()ωx ＋φ(A ＞0，ω＞0)的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.【训练1】 (1)(2015·苏北四市模拟)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2，x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为________.(2)(2015·苏、锡、常、镇调研)函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为________.解析 (1)由图象知T2＝6－(－2)＝8，∴T ＝16，A ＝4. ∴ω＝2πT ＝2π16＝π8. ∴y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ，把点(6，0)代入得： π8×6＋φ＝0，得φ＝－3π4.∴y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －3π4，又∵|φ|＜π2. ∴y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4.(2)根据图象可知，A ＝2，3T 4＝11π12－π6，所以周期T ＝π，由ω＝2πT ＝2. 又函数过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2，所以有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，而0＜φ＜π，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝1. 答案 (1)y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4 (2)1热点二三角函数的性质[微题型1] 三角函数的性质及其应用【例2－1】 (1)(2015·湖南卷)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.(2)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0).若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________.(3)(2016·苏北四市调研)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象上所有点向右平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则φ等于________. 解析 (1)由⎩⎨⎧y ＝2sin ωx ，y ＝2cos ωx 得sin ωx ＝cos ωx ，∴tan ωx ＝1，ωx ＝k π＋π4 (k ∈Z ). ∵ω>0，∴x ＝k πω＋π4ω(k ∈Z ). 设距离最短的两个交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，不妨取x 1＝π4ω，x 2＝5π4ω，则|x 2－x 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5π4ω－π4ω＝πω. 又结合图形知|y 2－y 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－2×22＝22，且(x 1，y 1)与(x 2，y 2)间的距离为23， ∴(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(23)2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2＋(22)2＝12，∴ω＝π2.(2)由f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，得T 2≥π2－π6，即T ≥2π3；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，所以f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12；又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，所以f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.所以14T ＝7π12－π3＝π4，即T ＝π.(3)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向右平移π6后得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ的图象，因为该函数是奇函数，且0＜φ＜π，所以φ＝π3.答案 (1)π2 (2)π (3)π3探究提高此类题属于三角函数性质的逆用，解题的关键是借助于三角函数的图象与性质列出含参数的不等式，再根据参数范围求解.或者，也可以取选项中的特殊值验证.[微题型2] 三角函数图象与性质的综合应用【例2－2】 (2016·苏、锡、常、镇调研)设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域.解 (1)因为f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ，由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωπ－π6＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z ).又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴53x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3，∴函数f (x )的值域为[－1－2，2－2].探究提高求三角函数最值的两条思路：(1)将问题化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，结合三角函数的性质或图象求解；(2)将问题化为关于sin x 或cos x 的二次函数的形式，借助二次函数的性质或图象求解.【训练2】已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋sin 2x －cos 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期及其图象的对称轴方程； (2)设函数g (x )＝[f (x )]2＋f (x )，求g (x )的值域. 解 (1)f (x )＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.则f (x )的最小正周期为π，由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )，所以函数图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π3(k ∈Z ).(2)g (x )＝[f (x )]2＋f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋122－14.当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12时，g (x )取得最小值－14，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1时，g (x )取得最大值2，所以g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.1.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的图象求解析式 (1)A ＝y max －y min 2，B ＝y max ＋y min 2. (2)由函数的周期T 求ω，ω＝2πT . (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ. 2.运用整体换元法求解单调区间与对称性类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入求解.(1)令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，可求得对称轴方程； (2)令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，可求得对称中心的横坐标；(3)将ωx ＋φ看作整体，可求得y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，注意ω的符号. 3.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (一角一函数)的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.一、填空题1.(2016·山东卷改编)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是________.解析 ∵f (x )＝2sin x cos x ＋3(cos 2x －sin 2x )＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝π. 答案 π2.(2016·南通月考)已知函数f (x )＝2sin (2x ＋φ)(|φ|＜π)的部分图象如图所示，则f (0)＝________.解析由图可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝1，而|φ|＜π，所以φ＝－π6. 故f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－1.答案－13.(2016·北京卷改编)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则t ＝________，s 的最小值为________.解析点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上，则t ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.又由题意得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋s ）－π3＝sin 2x ，故s ＝π6＋k π，k ∈Z ，所以s 的最小值为π6. 答案 12 π64.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到的图象的解析式为_______.解析由图象知A ＝1，34T ＝11π12－π6＝3π4，T ＝π， ∴ω＝2，由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，|φ|＜π2得π3＋φ＝π2⇒φ＝π6⇒f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则图象向右平移π6个单位后得到的图象的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.答案 y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π65.(2015·苏北四市调研)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π4(ω＞0)的最大值与最小正周期相同，则函数f (x )在[－1，1]上的单调递增区间为________.解析因为函数f (x )的最大值为2，所以最小正周期T ＝2＝2π2ω，解得ω＝π2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π4，当2k π－π2≤πx －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即2k －14≤x ≤2k ＋34，k ∈Z 时，函数f (x )单调递增，所以函数f (x )在x ∈[－1，1]上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，346.(2016·南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝0，则ω取最小值时，φ的值为________.解析由7π12－π3＝π4≥14×2πω，解得ω≥2，故ω的最小值为2. 此时sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，又0＜φ＜π，所以φ＝5π6. 答案5π67.已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________.解析由2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋32π，k ∈Z 且ω＞0，得1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4≤x ≤1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋54π，k ∈Z . 取k ＝0，得π4ω≤x ≤5π4ω，又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，∴π4ω≤π2，且π≤5π4ω，解之得12≤ω≤54. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，548.(2016·泰州模拟)若将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________. 解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4――→右平移φg (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －φ）＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2φ，关于y 轴对称，即函数g (x )为偶函数，则π4－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝－k2π－π8(k ∈Z )，显然，k ＝－1时，φ有最小正值π2－π8＝3π8. 答案 3π8 二、解答题9.已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)求函数y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间； (2)若f ⎝⎛⎭⎪⎫x 0－π8＝－65，求f (x 0)的值.解 (1)T ＝2π2＝π，由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－38π＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )，所以单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38π＋k π，18π＋k π，k ∈Z . (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－π8＝－65，即sin 2x 0＝－35，∴cos 2x 0＝±45，∴f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π4＝2(sin 2x 0＋cos 2x 0)＝25或－725.10.(2016·苏州调研)已知函数f (x )＝4sin 3x cos x －2sin x cos x －12cos 4x . (1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值.解 f (x )＝2sin x cos x ()2sin 2x －1－12cos 4x ＝－sin 2x cos 2x －12cos 4x ＝－12sin 4x －12cos 4x ＝－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4.(1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π4＝π2. 令2k π＋π2≤4x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π2＋π16≤x ≤k π2＋5π16，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2＋π16，k π2＋5π16，k ∈Z .(2)因为0≤x ≤π4，所以π4≤4x ＋π4≤5π4. 此时－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1，所以－22≤－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤12，即－22≤f (x )≤12.所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值分别为12，－22.11.设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋33sin 2x －33cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期及其图象的对称轴方程；(2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，求g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的值域.解 (1)f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x －33cos 2x ＝12sin 2x ＋36cos 2x ＝33sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 令2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )， (2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )＝33sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝－33cos 2x 的图象，即g (x )＝－33cos 2x .当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，可得cos 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以－33cos 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，36，即函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，36.第2讲三角恒等变换与解三角形高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切是C 级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B 级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用.试题类型可能是填空题，同时在解答题中也是必考题，经常与向量综合考查，构成中档题；(2)正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是B 级要求，主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的范围问题.由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.真题感悟(2016·江苏卷)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4. (1)求AB 的长； (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6的值.解 (1)由cos B ＝45，得sin B ＝1－cos 2B ＝35. 又∵C ＝π4，AC ＝6，由正弦定理，得AC sin B ＝AB sin π4，即635＝AB22⇒AB ＝5 2.(2)由(1)得：sin B ＝35，cos B ＝45，sin C ＝cos C ＝22，则sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝7210， cos A ＝－cos(B ＋C )＝－(cos B cos C －sin B sin C )＝－210，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝72－620.考点整合1.三角函数公式(1)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.(2)诱导公式：对于“k π2±α，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限. (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.(4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.2.正、余弦定理、三角形面积公式(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径).变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ；推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . (3)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A.热点一三角恒等变换及应用【例1】 (1)(2015·重庆卷改编)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝________.(2)已知α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6＝________.(3)(2016·苏北四市模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.则sin2α＝________.解析 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin α·cos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3.(2)∵α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35＞0，∴α＋π6为锐角，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2×45×35＝2425，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝2425.(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32，∴sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12.答案 (1)3 (2)2425 (3)12探究提高 1.解决三角函数的化简求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示(1)当已知角有两个时，“所求角”一般表示为“两个已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解.【训练1】 (1)已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.(2)(2016·南京、盐城模拟)sin(π－α)＝－53且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝________.(3)(2015·江苏卷)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________. 解析 (1)法一 cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝12(1－sin 2α)＝16.法二 cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22cos α－22sin α.所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12(cos α－sin α)2＝12(1－2sin αcos α)＝12(1－sin 2α)＝16.(2)sin(π－α)＝sin α＝－53，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－532＝－23. 由cos α＝2cos 2α2－1，α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，得cos α2＝－cos α＋12＝－66.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝cos α2＝－66.(3)∵tan α＝－2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋tan β1＋2tan β＝17，解得tan β＝3.答案 (1)16 (2)－66 (3)3 热点二正、余弦定理的应用[微题型1] 三角形基本量的求解【例2－1】 (1)(2016·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.(2)(2016·四川卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos Bb ＝sin Cc .①证明：sin A sin B ＝sin C ； ②若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .(1)解析在△ABC 中由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113. 答案 2113(2)①证明根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C .代入cos A a ＋cos B b ＝sin Cc 中，有 cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin Ck sin C ，变形可得sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B ).在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C .所以sin A sin B ＝sin C .②解由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35. 所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B . 故tan B ＝sin Bcos B＝4.探究提高 1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”. [微题型2] 求解三角形中的最值问题【例2－2】 (2016·苏、锡、常、镇调研)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 易知sin C ≠0，所以3sin A －cos A ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)法一由(1)得B ＋C ＝2π3⇒C ＝2π3－B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜B ＜2π3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B＝c sin C ＝2sin π3＝43，所以b ＝43sin B ，c ＝43sin C . 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×43sin B ×43sin C ·sin π3＝433sin B ·sin C ＝433·sin B ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝433⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin B cos B ＋12sin 2B ＝sin 2B －33cos 2B ＋33＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋33. 易知－π6＜2B －π6＜7π6，故当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，S △ABC 取得最大值，最大值为233＋33＝ 3. 法二由(1)知A ＝π3，又a ＝2，由余弦定理得22＝b 2＋c 2－2bc cos π3，即b 2＋c 2－bc ＝4⇒bc ＋4＝b 2＋c 2≥2bc ⇒bc ≤4，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立. 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×32bc ≤34×4＝3，即当b ＝c ＝2时，S △ABC 取得最大值，最大值为 3.探究提高求解三角形中的最值问题常用如下方法：(1)将要求的量转化为某一角的三角函数，借助于三角函数的值域求最值.(2)将要求的量转化为边的形式，借助于基本不等式求最值. [微题型3] 求解三角形中的实际问题【例2－3】 (2016·无锡高三期末)在一个直角边长为10 m 的等腰直角三角形ABC 的草地上，铺设一个也是等腰直角三角形PQR 的花地，要求P ，Q ，R 三点分别在△ABC 的三条边上，且要使△PQR 的面积最小，现有两种设计方案：方案一：直角顶点Q 在斜边AB 上，R ，P 分别在直角边AC ，BC 上；方案二：直角顶点Q 在直角边BC 上，R ，P 分别在直角边AC ，斜边AB 上.请问应选用哪一种方案？并说明理由.方案一方案二解应选方案二，理由如下：方案一：过点Q 作QM ⊥AC 于点M ，作QN ⊥BC 于点N ，因为△PQR 为等腰直角三角形，且QP ＝QR ， ∠MQR ＝∠NQP ，∠RMQ ＝∠PNQ ＝90°，所以△RMQ ≌△PNQ ，所以QM ＝QN ，所以Q 为AB 的中点，M ，N 分别为AC ，BC 的中点，则QM ＝QN ＝5 m ，设∠RQM ＝α，则RQ ＝5cos α，α∈[0°，45°]，所以S △PQR ＝12×RQ 2＝252cos 2α.所以当cos 2α＝1，即α＝0°时，S △PQR 取得最小值252 m 2.方案二：设CQ ＝x ，∠RQC ＝β，β∈[0°，90°)，在△RCQ 中，RQ ＝xcos β，在△BPQ 中，∠PQB ＝90°－β，所以QP sin B ＝BQ sin ∠BPQ ，即x 22cos β＝10－xsin （45°＋β）.化简得xcos β＝10－x sin β＋cos β，解得x ＝10cos βsin β＋2cos β，所以S △PQR ＝12×RQ 2＝50（sin β＋2cos β）2，因为(sin β＋2cos β)2≤5，所以S △PQR 的最小值为10 m 2.综上，应选用方案二.探究提高应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案.【训练2】 (2016·浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小.(1)证明由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B ).又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . (2)解由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，因sin B ≠0，得sin C ＝cos B .又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4. 综上，A ＝π2或A ＝π4.1.对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式；(2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法.2.三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.3.解答与三角形面积有关的问题时，如已知某一内角的大小或三角函数值，就选择S＝12ab sin C来求面积，再利用正弦定理或余弦定理求出所需的边或角.一、填空题1.已知α∈R，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝________.解析∵sin α＋2cos α＝10 2，∴sin2α＋4sin α·cos α＋4cos2α＝52.用降幂公式化简得4sin 2α＝－3cos 2α，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.答案－3 42.(2016·泰州调研)已知锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，23cos2A ＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝________.解析化简23cos2A＋cos 2A＝0，得23cos2A＋2cos2A－1＝0，又角A为锐角，解得cos A ＝15，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b ＝5. 答案 53.(2016·全国Ⅲ卷改编)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝________.解析设BC 边上的高AD 交BC 于点D ，由题意B ＝π4，BD ＝13BC ，DC ＝23BC ，tan ∠BAD ＝1，tan ∠CAD ＝2，tan A ＝1＋21－1×2＝－3，所以cos A ＝－1010.答案－10104.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________.解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6①. ∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ②，由①和②得 ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332. 答案3325.(2012·江苏卷)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________.解析 ∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250. 答案172506.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________. 解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154， S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315，∴bc ＝24，又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得， a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，∴a ＝8.答案 87.(2010·江苏卷)在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，b a ＋ab ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B ＝________.解析 b a ＋a b ＝6cos C ⇒6ab cos C ＝a 2＋b 2，6ab ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2，a 2＋b 2＝3c 22.tan C tan A ＋tan C tan B ＝sin C cos C ·cos B sin A ＋sin B cos A sin A sin B＝sin C cos C ·sin （A ＋B ）sin A sin B ＝1cos C ·sin 2Csin A sin B ，由正弦定理得：上式＝1cos C ·c 2ab ＝4.答案 48.(2014·江苏卷)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________.解析 ∵sin A ＋2sin B ＝2sin C .由正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，即c ＝a ＋2b2， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab ≥26ab －22ab 8ab ＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2即a b ＝23时等号成立.∴cos C 的最小值为6－24. 答案6－24二、解答题9.(2016·北京卷)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求角B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值.解 (1)由a 2＋c 2＝b 2＋2ac 得a 2＋c 2－b 2＝2ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22. 又0＜B ＜π，所以B ＝π4.(2)A ＋C ＝π－B ＝π－π4＝3π4，所以 C ＝3π4－A ，0＜A ＜3π4.所以2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A＝2cos A ＋cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22sin A ＋22cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4，∵0＜A＜3π4，∴π4＜A＋π4＜π，故当A＋π4＝π2，即A＝π4时，2cos A＋cos C取得最大值为1.10.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝53，b＝5，求sin B sin C的值.解(1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，解得cos A＝12或cos A＝－2(舍去)，因为0＜A＜π，所以A＝π3.(2)由S＝12bc sin A＝12bc·32＝34bc＝53，得bc＝20，又b＝5，知c＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝25＋16－20＝21，故a＝21.又由正弦定理得sin B sin C＝ba sin A·ca sin A＝bca2sin 2A＝2021×34＝57.11.(2013·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B 处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝1213，cos C＝35.(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解(1)在△ABC中，因为cos A＝1213，cos C＝35，所以sin A＝513，sin C＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝ACsin B ，得 AB ＝AC sin B ·sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m).所以索道AB 的长为1 040 m.(2)设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213 ＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短. (3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B ，得BC ＝AC sin B ·sin A ＝1 2606365×513＝500(m). 乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内. 第3讲平面向量高考定位平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B 级，只有平面向量的应用为A 级要求，平面向量的数量积为C 级要求.主要考查：(1)平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，填空题难度中档； (2)平面向量的数量积，以填空题为主，难度低；(3)向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.真题感悟1.(2015·江苏卷)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________.解析 ∵a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，∴m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即⎩⎨⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3.答案－32.(2011·江苏卷)已知e 1，e 2是夹角为23π的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a·b ＝0，则k 的值为________.解析因为e 1，e 2是夹角为23π的两个单位向量，所以e 1·e 2＝||e 1||e 2cos 〈e 1，e 2〉＝cos 2π3＝－12，又a·b ＝0，所以(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0，即k －12－2＋(－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，解得k ＝54. 答案 543.(2013·江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.解析如图，DE→＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，则λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝12. 答案 124.(2016·江苏卷)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA→·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________.解析设AB →＝a ，AC →＝b ，则BA →·CA →＝(－a )·(－b )＝a ·b ＝4. 又∵D 为BC 中点，E ，F 为AD 的两个三等分点，则AD→＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ， AF→＝23AD →＝13a ＋13b .AE→＝13AD →＝16a ＋16b ， BF→＝BA →＋AF →＝－a ＋13a ＋13b ＝－23a ＋13b ， CF→＝CA →＋AF →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b ，则BF→·CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －23b ＝－29a 2－29b 2＋59a ·b ＝－29(a 2＋b 2)＋59×4＝－1. 可得a 2＋b 2＝292.又BE→＝BA →＋AE →＝－a ＋16a ＋16b ＝－56a ＋16b . CE→＝CA →＋AE →＝－b ＋16a ＋16b ＝16a －56b ，则BE →·CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－56a ＋16b ⎝ ⎛⎭⎪⎫16a －56b ＝－536(a 2＋b 2)＋2636a ·b ＝－536×292＋2636×4＝78.答案 78考点整合1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底.2.平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则(1)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3.平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2. (3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.4.平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP →＝λ1OA →＋λ2OB →(其中λ1＋λ2＝1). (2)三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP →与向量OA →，OB →的关系是OP→＝12(OA →＋OB →). (3)三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔GA →＋GB →＋GC →＝0⇔G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3.热点一平面向量的有关运算 [微题型1] 平面向量的线性运算【例1－1】 (1)(2016·南通调研)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是________.(2)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE→·AF →＝1，则λ的值为________.解析 (1) 依题意，设BO→＝λBC →，其中1＜λ＜43，则有AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋λBC →＝AB→＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →.又AO →＝xAB →＋(1＋x )AC →，且AB →、AC →不共线，于是有x ＝1－λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0.(2)法一如图，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →，AF→＝AD →＋DF →＝AD →＋1λDC →＝BC →＋1λAB →，所以AE→·AF → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋1λAB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13λAB →·BC →＋1λAB →2＋13BC →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13λ×2×2×cos120°＋4λ＋43＝1，解得λ＝2.法二建立如图所示平面直角坐标系.由题意知： A (0，1)，C (0，－1)，B (－3，0)， D (3，0).由BC ＝3BE ，DC ＝λDF ，可求点E ，F 的坐标分别为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－13， F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝⎛⎭⎪⎫1－1λ，－1λ， ∴AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－43·⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1λ，－1λ－1 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1λ＋43⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1λ＝1，解得λ＝2.答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 (2)2探究提高用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过对比已知等式求解.[微题型2] 平面向量的坐标运算【例1－2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷改编)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝________.(2)(2016·全国Ⅲ卷改编)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝________.解析 (1)由题知a ＋b ＝(4，m －2)，因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即4×3＋(－2)×(m －2)＝0，解之得m ＝8. (2)|BA →|＝1，|BC →|＝1，cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32，则∠ABC ＝30°. 答案 (1)8 (2)30°探究提高若向量以坐标形式呈现时，则用向量的坐标形式运算；若向量不是以坐标形式呈现，则可建系将之转化为坐标形式，再用向量的坐标运算求解更简捷. [微题型3] 平面向量数量积的运算【例1－3】 (1)(2016·连云港调研)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为________.(2)(2016·佛山二模)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF→的最小值为________.解析 (1)设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝(x ，y )，则x 2＋y 2＝1，a －c ＝(1－x ，－y )，b －c ＝(－x ，1－y )，则(a －c )·(b －c )＝(1－x )(－x )＋(－y )(1－y )＝x 2＋y 2－x －y ＝1－x －y ≤0，即x ＋y ≥1.又a ＋b －c ＝(1－x ，1－y )，∴|a ＋b －c |＝（1－x ）2＋（1－y ）2＝（x －1）2＋（y －1）2.①法一如图.c ＝(x ，y )对应点在AB ︵上，而①式的几何意义为P 点到AB ︵上点的距离，其最大值为1. 法二 |a ＋b －c |＝（x －1）2＋（y －1）2 ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋2＝3＋2（－x －y ）＝3－2（x ＋y ），∵x ＋y ≥1，∴|a ＋b －c |≤3－2＝1，最大值为1.(2)法一在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB→＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →， ∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD→＋λBC →·19λDC→＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×cos 60°＋λ·19λ×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918. 法二以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.又BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ，32λ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32，λ＞0，所以AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ≥1718＋229λ·12λ＝2918，λ＞0，当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时取等号，故AE→·AF →的最小值为2918. 答案 (1)1 (2)2918探究提高 (1)①数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义，特别要注意向量坐标法的运用；②可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算；③在用|a |＝a 2求向量的。

【创新设计】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习第五章平面向量第1讲平面向量的概念及线性运算课件理

【训练1】下列命题中，正确的是________(填序号).
①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； → → ③向量AB与向量CD共线，则 A，B，C，D 四点共线； ④两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.
解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确
(2)如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的 → 中点，点 F 是 BC 的一个三等分点，那么EF → → 等于________(用AD，AB表示).
解析 (1)∵a· b＝0，∴∠ACB＝90°，∴AB＝ 5，CD＝
2 5 5 4 5 5 ，∴BD＝ 5 ，AD＝ 5 ， 4 4 → 4→ 4 → → ∴AD∶BD＝4∶1.∴AD＝5AB＝5(CB－CA)＝5a－5b.
1 答案 (1)b＋2a (2)0
考点三共线向量定理的应用
【例 3】设两个非零向量 a 与 b 不共线.
→ → → (1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b).求证：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线.
→ ＝a＋b，BC → ＝2a＋8b，CD → ＝3(a－b). (1)证明 ∵AB → ＝BC → ＋CD → ＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝ ∴BD → .∴AB → ，BD → 共线，又它们有公共点 B， 5(a＋b)＝5AB ∴A，B，D 三点共线.
规律方法
(1) 解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向
量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化 .(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位

高考数学一轮复习第五章平面向量第2讲平面向量的基本定理及向量坐标运算理-人教版高三全册数学

第2讲平面向量的基本定理及向量坐标运算一、选择题1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )．A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析由题意得a ＋b ＝(x －x,1＋x 2)＝(0,1＋x 2)，易知a ＋b 平行于y 轴．答案 C2．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( )．A ．(－2，－4)B ．(－3，－6)C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)解析由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)⇒m ＝－4，从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．答案 C3．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为( )．A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)解析设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．故选D.答案 D4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )．A.14B.12C ．1D ．2 解析依题意得a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c ，得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝12. 答案 B5. 若向量AB =（1,2），BC =（3,4），则AC =( )A （4,6）B (-4，-6)C (-2，-2)D (2,2)解析因为AC =AB +BC =(4,6),所以选A.答案 A6．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )．A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)解析 ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)，即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2.∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．答案 D二、填空题7．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________．解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12. 答案 128．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．解析设a ＝λb (λ＜0)，则|a |＝|λ||b |，∴|λ|＝|a ||b |，又|b |＝5，|a |＝2 5.∴|λ|＝2，∴λ＝－2.∴a ＝λb ＝－2(2,1)＝(－4，－2)．答案 (－4，－2)9．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C三点共线，则1a ＋2b的最小值为________．解析 AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →.∴2(a －1)－(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1.∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b ) ＝4＋b a ＋4a b ≥4＋2 b a ·4a b＝8. 当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝14，b ＝12时取等号． ∴1a ＋2b的最小值是8. 答案 810．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为________．解析由条件中的四边形ABCD 的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD 是平行四边形．设D (x ，y )，则有AB →＝DC →，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x ，y )，解得(x ，y )＝(0，－2)．答案 (0，－2)三、解答题11．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 的坐标和CD →的坐标．解析设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)．因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2，和⎩⎪⎨⎪⎧ －1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，和⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－2，y 2＝0. 所以点C ，D 的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而CD →＝(－2，－4)．12．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ使k a ＋b ＝λ(a －3b )，由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)得，⎩⎪⎨⎪⎧ k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得k ＝λ＝－13，∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )．∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向．法二由法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行∴(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13，此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )．∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2,1)，A (1,0)，B (cosθ，t )， (1)若a ∥AB →，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →的坐标；(2)若a ∥AB →，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值．解 (1)∵AB →＝(cos θ－1，t )，又a ∥AB →，∴2t －cos θ＋1＝0.∴cos θ－1＝2t .①又∵|AB →|＝5|OA →|，∴(cos θ－1)2＋t 2＝5.②由①②得，5t 2＝5，∴t 2＝1.∴t ＝±1.当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)，当t ＝－1时，cos θ＝－1，∴B (－1，－1)，∴OB →＝(－1，－1)．(2)由(1)可知t ＝cos θ－12，∴y ＝cos 2θ－cos θ＋cos θ－124＝54cos 2θ－32cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ－65cos θ＋14＝54⎝⎛⎭⎪⎫cos θ－352－15， ∴当cos θ＝35时，y min ＝－15. 14．已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，求(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．解 (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23；若P 在y 轴上，只需1＋3t ＝0，∴t ＝－13；若P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3t ＜0，2＋3t ＞0.∴－23＜t ＜－13. (2)因为OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )．若OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →，∵⎩⎪⎨⎪⎧ 3－3t ＝1，3－3t ＝2无解．所以四边形OABP 不能成为平行四边形．。

《创新设计》2017届高考理科数学(江苏专用)二轮教师文档讲义：专题2.3平面向量

第3讲平面向量高考定位平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B 级，只有平面向量的应用为A 级要求，平面向量的数量积为C 级要求.主要考查：(1)平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，填空题难度中档； (2)平面向量的数量积，以填空题为主，难度低；(3)向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.真题感悟1.(2015·江苏卷)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________.解析 ∵a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，∴m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即⎩⎨⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3.答案－32.(2011·江苏卷)已知e 1，e 2是夹角为23π的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a·b ＝0，则k 的值为________.解析因为e 1，e 2是夹角为23π的两个单位向量，所以e 1·e 2＝||e 1||e 2cos 〈e 1，e 2〉＝cos 2π3＝－12，又a·b ＝0，所以(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0，即k －12－2＋(－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，解得k ＝54. 答案 543.(2013·江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.解析如图，DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，则λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝12. 答案 124.(2016·江苏卷)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________.解析设AB →＝a ，AC →＝b ，则BA →·CA →＝(－a )·(－b )＝a ·b ＝4. 又∵D 为BC 中点，E ，F 为AD 的两个三等分点，则AD→＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ， AF→＝23AD →＝13a ＋13b .AE→＝13AD →＝16a ＋16b ， BF→＝BA →＋AF →＝－a ＋13a ＋13b ＝－23a ＋13b ， CF→＝CA →＋AF →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b ，则BF→·CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －23b ＝－29a 2－29b 2＋59a ·b ＝－29(a 2＋b 2)＋59×4＝－1. 可得a 2＋b 2＝292.又BE→＝BA →＋AE →＝－a ＋16a ＋16b ＝－56a ＋16b . CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋16a ＋16b ＝16a －56b ，则BE →·CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－56a ＋16b ⎝ ⎛⎭⎪⎫16a －56b ＝－536(a 2＋b 2)＋2636a ·b ＝－536×292＋2636×4＝78.答案 78考点整合1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底.2.平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3.平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2. (3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.4.平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP →＝λ1OA →＋λ2OB →(其中λ1＋λ2＝1). (2)三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP →与向量OA →，OB→的关系是OP →＝12(OA →＋OB →). (3)三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔GA →＋GB →＋GC →＝0⇔G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3.热点一平面向量的有关运算[微题型1] 平面向量的线性运算【例1－1】 (1)(2016·南通调研)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD→，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是________.(2)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE→·AF →＝1，则λ的值为________.解析 (1) 依题意，设BO→＝λBC →，其中1＜λ＜43，则有AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋λBC →＝AB→＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →. 又AO→＝xAB →＋(1＋x )AC →，且AB →、AC →不共线，于是有x ＝1－λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0.(2)法一如图，AE→＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1λDC →＝BC →＋1λAB →，所以AE→·AF → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋1λAB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13λAB →·BC →＋1λAB →2＋13BC →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13λ×2×2×cos120°＋4λ＋43＝1，解得λ＝2.法二建立如图所示平面直角坐标系.由题意知： A (0，1)，C (0，－1)，B (－3，0)， D (3，0).由BC ＝3BE ，DC ＝λDF ，可求点E ，F 的坐标分别为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－13， F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝⎛⎭⎪⎫1－1λ，－1λ， ∴AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－43·⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1λ，－1λ－1 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1λ＋43⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1λ＝1，解得λ＝2.答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 (2)2探究提高用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过对比已知等式求解.[微题型2] 平面向量的坐标运算【例1－2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷改编)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝________.(2)(2016·全国Ⅲ卷改编)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝________.解析 (1)由题知a ＋b ＝(4，m －2)，因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即4×3＋(－2)×(m －2)＝0，解之得m ＝8. (2)|BA →|＝1，|BC →|＝1，cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32，则∠ABC ＝30°. 答案 (1)8 (2)30°探究提高若向量以坐标形式呈现时，则用向量的坐标形式运算；若向量不是以坐标形式呈现，则可建系将之转化为坐标形式，再用向量的坐标运算求解更简捷. [微题型3] 平面向量数量积的运算【例1－3】 (1)(2016·连云港调研)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为________.(2)(2016·佛山二模)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF→的最小值为________.解析 (1)设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝(x ，y )，则x 2＋y 2＝1，a －c ＝(1－x ，－y )，b －c ＝(－x ，1－y )，则(a －c )·(b －c )＝(1－x )(－x )＋(－y )(1－y )＝x 2＋y 2－x －y ＝1－x －y ≤0，即x ＋y ≥1.又a ＋b －c ＝(1－x ，1－y )，∴|a ＋b －c |＝（1－x ）2＋（1－y ）2＝（x －1）2＋（y －1）2.①法一如图.c ＝(x ，y )对应点在AB ︵上，而①式的几何意义为P 点到AB ︵上点的距离，其最大值为1. 法二 |a ＋b －c |＝（x －1）2＋（y －1）2 ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋2＝3＋2（－x －y ）＝3－2（x ＋y ），∵x ＋y ≥1，∴|a ＋b －c |≤3－2＝1，最大值为1.(2)法一在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB→＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →， ∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD→＋19λDC →)＝AB →·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×cos 60°＋λ·19λ×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918.法二以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.又BE→＝λBC →，DF →＝19λDC →，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ，32λ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32，λ＞0，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫2－12λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ≥1718＋229λ·12λ＝2918，λ＞0，当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时取等号，故AE→·AF →的最小值为2918. 答案 (1)1 (2)2918探究提高 (1)①数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义，特别要注意向量坐标法的运用；②可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算；③在用|a |＝a 2求向量的模时，一定要把求出的a 2进行开方.(2)求解几何图形中的数量积问题，通过对向量的分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐标系，把数量积的计算转化成坐标运算也是一种较为简捷的方法.【训练1】 (1)(2015·福建卷改编)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB→·PC →的最大值等于________.(2)(2016·苏、锡、常、镇模拟)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB→·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________.解析 (1)建立如图所示坐标系，则 B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC →＝(0，t )，AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1，4)，∴P (1，4)，PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋4t ≤17－21t ·4t ＝13，当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时(负值舍去)取得最大值13.(2)法一以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系(以射线AB 、AD 的方向分别为x 轴、y 轴的正方向)，则B (2，0)，E (2，1).设F (x ，2)，则AF →＝(x ，2)，又AB →＝(2，0)，∴AB →·AF →＝2x ＝2，∴x ＝1，∴F (1，2)，∴AE→·BF →＝ 2.法二 ∵AB→·AF →＝|AB →||AF →|cos ∠BAF ＝2，|AB →|＝2，∴|AF →|cos ∠BAF ＝1，即|DF→|＝1，∴|CF →|＝2－1， ∴AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(BC →＋CF →)＝AB →·BC →＋AB →·CF →＋BE →·BC →＋BE →·CF →＝AB →·CF →＋BE→·BC →＝2×(2－1)×(－1)＋1×2×1＝ 2. 答案 (1)13 (2) 2热点二平面向量与三角的交汇【例2】 (2016·宿迁月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ＝(sin C ，b 2－a 2－c 2) ，n ＝(2sin A －sin C ，c 2－a 2－b 2)，且m ∥n . (1)求角B 的大小；(2)设T ＝sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ，求T 的取值范围.解 (1)sin C 2sin A －sin C ＝b 2－a 2－c 2c 2－a 2－b 2＝－2ac cos B －2ab cos C ＝c cos B b cos C ＝sin C cos B sin B cos C ，因为sin C ≠0，所以sin B cos C ＝2sin A cos B －sin C cos B ，所以2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ，因为sin A ≠0，所以cos B ＝12，因为0＜B ＜π，所以B ＝π3. (2)T ＝sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C＝12(1－cos 2A )＋34＋12(1－cos 2C ) ＝74－12(cos 2A ＋cos 2C ) ＝74－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－2A＝74－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2A －32sin 2A＝74－12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3.因为0＜A ＜2π3，所以0＜2A ＜4π3，故π3＜2A ＋π3＜5π3，因此－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＜12，所以32＜T ≤94.探究提高三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解. 【训练2】 (2016·北京海淀区模拟)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量p ＝(cos B ＋sin B ，2sin B －2)，q ＝(sin B －cos B ，1＋sin B )，且p ⊥q . (1)求B 的大小；(2)若b ＝2，△ABC 的面积为3，求a ，c . 解 (1)因为p ⊥q ，所以p ·q ＝(cos B ＋sin B )(sin B －cos B )＋(2sin B －2)·(1＋sin B )＝0，即sin 2B －cos 2B ＋2sin 2B －2＝0，即sin 2B ＝34，又角B 是锐角三角形ABC 的内角，所以sin B ＝32，所以B ＝60°.(2)由(1)得B ＝60°，又△ABC 的面积为3，所以S △ABC ＝12ac sin B ，即ac ＝4.①由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，又b ＝2，所以a 2＋c 2＝8，② 联立①②，解得a ＝c ＝2.1.平面向量的数量积的运算有两种形式：(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化.2.根据平行四边形法则，对于非零向量a ，b ，当|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a ＋b |＝|a －b |等价于向量a ，b 互相垂直.3.两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.一、填空题1.设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝________. 解析由|a ＋b |＝10得|a ＋b |2＝10，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝10，①又|a －b |＝6，所以a 2－2a ·b ＋b 2＝6，② 由①－②得4a ·b ＝4，则a ·b ＝1. 答案 12.(2015·北京卷)在△ABC 中，点M ，N 满足AM→＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝__________；y ＝__________.解析 MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16.答案 12 －163.已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________. 解析由AO →＝12(AB →＋AC →)，可得O 为BC 的中点，故BC 为圆O 的直径，所以AB →与AC→的夹角为90°. 答案 90°4.已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP→＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________(填重心、垂心、内心或外心).解析由已知，得OP→－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，设△ABC 中BC 边的中点为D ，知AB →＋AC →＝2AD →，所以点P 的轨迹必过△ABC的重心.故填重心.答案重心5.已知a ，b 均为单位向量，(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，则向量a ，b 的夹角为________.解析因为a ，b 均为单位向量，所以(2a ＋b )·(a －2b )＝2－2－3a ·b ＝－332，解得a ·b ＝32，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝32，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝π6.答案 π66.(2014·江苏卷)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP→＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________. 解析由题图可得，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →， BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →. ∴AP →·BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB → ＝AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2，故有2＝25－12AD →·AB →－316×64，解得AD→·AB →＝22. 答案 227.△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB→＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC→；⑤(4a ＋b )⊥BC →. 解析 ∵AB→2＝4|a |2＝4，∴|a |＝1，故①正确； ∵BC→＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b ，又△ABC 为等边三角形，∴|BC →|＝|b |＝2，故②错误；∵b ＝AC →－AB →，∴a·b ＝12AB →·(AC →－AB →)＝12×2×2×cos 60°－12×2×2＝－1≠0，故③错误；∵BC→＝b ，故④正确； ∵(AB →＋AC →)·(AC→－AB →)＝AC →2－AB →2＝4－4＝0， ∴(4a ＋b )⊥BC→，故⑤正确. 答案 ①④⑤8.(2016·淮安月考)如图，在△ABC 中，C ＝90°，且AC ＝BC ＝3，点M 满足BM→＝2MA →，则CM →·CB →＝________. 解析法一如图，建立平面直角坐标系.由题意知：A (3，0)，B (0，3)，设M (x ，y )，由BM→＝2MA →，得⎩⎨⎧x ＝2（3－x ），y －3＝－2y ，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1，即M 点坐标为(2，1)，所以CM →·CB →＝(2，1)·(0，3)＝3.法二 CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝CB →2＋CB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23BA →＝CB →2＋23CB →·(CA →－CB →)＝13CB →2＝3.答案 3二、解答题9.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |的最小值是－32，求λ的值.解 (1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝cos 2x ， |a ＋b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2－sin x 22 ＝2＋2cos 2x ＝2cos 2x ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ≥0，所以|a ＋b |＝2cos x .(2)由(1)，可得f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |＝cos 2x －4λcos x ，即f (x )＝2(cos x －λ)2－1－2λ2.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以0≤cos x ≤1. ①当λ＜0时，当且仅当cos x ＝0时，f (x )取得最小值－1，这与已知矛盾；②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x ＝λ时，f (x )取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－32，解得λ＝12； ③当λ＞1时，当且仅当cos x ＝1时，f (x )取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ＞1相矛盾.综上所述λ＝12.10.设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值.解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为32.11.(2016·南师附中调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行.(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积.解 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)法一由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，因为c ＞0，所以c ＝3，故△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝332.法二由正弦定理，得7sin π3＝2sin B ，从而sin B ＝217，又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝277，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3 ＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝332.。

【创新设计】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习第五章平面向量第3讲平面向量的数量积及其应用课件理

→ 在CB → 方向上的投影法三由图知，无论 E 点在哪个位置，DE → → → 都是 CB＝1，∴DE·CB＝|CB|·1＝1. → 在DC → 方向上的投影最大即为 DC＝1，当 E 运动到 B 点时，DE → → → ∴(DE·DC)max＝|DC|·1＝1.
答案
29 (1) 18
(2)1
5.(2015· 安徽卷)△ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a， → ＝ 2a ， AC → ＝ 2a ＋ b ，则下列结论中正确的是 b 满足 AB ________(写出所有正确结论的编号).
→； ①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a⊥b；④b∥BC → ⑤(4a＋b)⊥BC.
2 → 7 → → → → → ∴AE·AF＝3BC－BA·－12BA＋BC
7 25 → → 2 → 2 → 2 －＝12 BA 18BA·BC＋3|BC| 7 25 1 2 29 ＝12×4－18×2×1×2＋3＝18.
法二 CO⊥AB 于 O ，建立如图所示的平面直角坐标系，则 3 1 3 3 A－2，0，B2，0，C0，，D－1，， 2 2 1 5 3 3 所以 E ，，F－，， 3 2 6 6 5 3 2 3 10 1 29 → → 所以AE·AF＝， · ，＝ 9 ＋2＝18. 3 3 2 3
∵|a＋b|2＝|a|2＋2a· b＋|b|2 2π ＝4＋2|a||b|cos ＋1＝5－2＝3， 3 解析 ∴|a＋b|＝ 3.
答案
3
4.已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________.
解析由数量积的定义知，b在a方向上的投影为

【创新设计】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习专题探究课二课件理新人教A版

x
＝－
对任意 t>1 成立. 1 t－1＋＋1 t －1 1 1 因为 t－1＋＋1≥2 （t－1）· ＋1＝3， t －1 t－1 1 1 所以－ ≥－，当且仅当 t＝2， 1 3 t－1＋＋1 t－1 即 x＝ln 2 时等号成立.因此实数 m
1 的取值范围是－∞，－3.
成立.试比较ea－1与ae－1的大小，并证明你的结论.
(1)证明因为对任意 x∈R，都有 f(－x)＝e－x＋e－(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，所以 f(x)是 R 上的偶函数. (2)解由条件知 m(ex＋e－x－1)≤e－x－1 在(0，＋∞)上恒成立. t －1 令 t＝e (x>0)，则 t>1，所以 m≤－ 2 t －t＋1
探究提高
(1)证明f(x)＞g(x)可转化为证明F(x)＝f(x)－g(x)的最
小值大于0，再利用导数求F(x)的最小值. (2)对于F(x)＝f(x)－g(x)的最小值，不易求出的情况，也可以通过f(x)，g(x)的最值情况进行证明.
aln x b 【训练 2－1】已知函数 f(x)＝＋x ，曲线 y＝f(x)在点(1， f(1)) x＋1 处的切线方程为 x＋2y－3＝0.
∵f(x)min＝f(ln a)＝2a－aln a，∴b≤2a－aln a， ∴ab≤2a2－a2ln a，设g(a)＝2a2－a2ln a(a>0)， ∴g′(a)＝4a－(2aln a＋a)＝3a－2aln a， 3 3 由于 a>0，令 g′(a)＝0，得 ln a＝，a＝e2， 2
当 a∈(0，e2)时，g′(a)>0，g(a)单调递增；当 a∈(e2，＋∞)时，g′(a)<0，g(a)单调递减. e3 e3 ∴g(a)max＝ 2 ，即 ab 的最大值为 2 ， 3 1 3 此时 a＝e2，b＝ e2. 2

【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习第五章平面向量 5.3 平面向量的数量积课件文

解析答案
→· → ＝________. 2 (2)已知正方形 ABCD 的边长为 2， E 为 CD 的中点，则AE BD
解析 →· → ＝(AD → ＋DE → )· → －AB →) 由题意知：AE BD (AD
1→ → → → ＝(AD＋2AB)· (AD－AB)
1 → → 1→2 2 → ＝AD －2AD· AB－2AB ＝4－0－2＝2.
3.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角.则
(1)e· a＝a· e＝|a|cos θ.
b＝0 . (2)a⊥b⇔ a·
(3)当a与b同向时，a· b＝|a||b|；
当a与b反向时，a· b＝－|a||b|.
特别地，a· a＝|a|2 或|a|＝
a· a
跟踪训练1
→· → ＝________. 22 则AB AD 1 → 1→ → → → 解析由CP＝3PD，得DP＝ DC＝ AB， 4 4 1→ → → → → 1→ → → 3→ → → → → AP＝AD＋DP＝AD＋ AB，BP＝AP－AB＝AD＋ AB－AB＝AD－ AB. 4 4 4 1→ → 3→ → → → 因为AP· BP＝2，所以(AD＋4AB)· (AD－4AB)＝2， 1 → → 3 →2 2 → 即AD －2AD· AB－16AB ＝2. 2 2 → → →· → ＝22. 又因为AD ＝25，AB ＝64，所以AB AD
→ | ＝ 6. ∴|BC min
解析答案
题型三
平面向量与三角函数
m＝
例 4 (2015· 广东)在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量＝(sin x，cos
π 0 ， x)，x∈ 2.

【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习第五章平面向量 5.2 平面向量基本定理及坐标表示课件理

＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4).
所以
13 4 c＝－ 3 ，－3.
解析答案
→ 同方向的单位向量为 (2)已知点 A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB
3 4 ，－ 5 5 __________.
解析
→ ＝OB → －OA → ＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， AB
1 2 3Байду номын сангаас4 5
答案
→ ＝2DB → ，CD → ＝rAB → ＋sAC → ，则 r＋s 2.在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，且CD
0 ＝________.
解析 → ＝2DB →，因为CD
2→ 2 → → 2→ 2 → → 所以CD＝3CB＝3(AB－AC)＝3AB－3AC，
2 2 则 r＋s＝3＋－3＝0.
得1×m＝2×(－2)，即m＝－4. 从而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8).
解析答案
(2) 已知梯形 ABCD ，其中 AB∥CD ，且 DC ＝ 2AB ，三个顶点 A(1,2) ， (2,4) B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________. 解析 ∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，
第五章平面向量
§5.2 平面向量基本定理及坐标表示
内容索引
基础知识自主学习
题型分类深度剖析思想与方法系列
思想方法感悟提高练出高分
基础知识自主学习
1
知识梳理
1.平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有 2.平面向量的坐标运算一对实数λ1、λ2，使a＝ λ1e1＋λ2e2 . 其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 .

【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习第五章平面向量 5.1 平面向量的概念及线性运算课件文

2 1 → → 1→ 1→ → → ＝－CA＋3×2(CA＋CB)＝－CA＋3CA＋3CB
2→ 1→ 2 1 ＝－3CA＋3CB＝－3a＋3b.
解析答案
1
2
3
4
5
6
7
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→ 3.如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝3DC，E 为 BC 的中点，则AE 2→ 1 → → ，AD → 表示). AB＋ AD ＝________________( 用 AB 3 2
解析答案
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5
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→ ＝a，CB → ＝b，M 是 CB 的中点，N 是 AB 的中点，且 2.在△ABC 中，CA 2 1 －3a＋3b → CN、AM 交于点 P，则AP可用 a、b 表示为______________.
解析
2→ → → → → 如图所示，AP＝AC＋CP＝－CA＋3CN
解析
→ ＝AB → ＝OB → －OA → ＝b－a，如图，DC
→ ＝OC → －OB → ＝－OA → －OB → ＝－a－b. BC
1 2 3 4 5
解析答案
5.已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线， 1 －3 则λ＝________. 解析由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，
→ 、BD → 共线，又∵它们有公共点 B， ∴AB
∴A、B、D三点共线.
解析答案
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 解 ∵ka＋b和a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a、b是两个不共线的非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.

高优指导2017版高考数学一轮复习第五章平面向量 5.2

-8-
.
关闭
由已知得��=(2,4),��=(1,λ-3),若 A,B,C 三点共线,则 2(λ-3)-1×4=0, 即 2λ=10,得 λ=5.
关闭
5
解析答案
-9-
12345
5.(2015江苏,6)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-
-4-
3.平面向量线性运算的坐标表示 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2); (2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1-x2,y1-y2); (3)若a=(x,y),λ∈R,则λa=(λx,λy). 4.向量平行的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.
-19-
考点1
考点2
考点3 知识方法易错易混
对点训练2 (1)在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若
��=(2,4),��=(1,3),则�� =( )
A.(-2,-4) B.(-3,-5) C.(3,5) D.(2,4)
由题意得�� = �� − �� = �� − ��=(�� − ��)-�� = �� -2�� =(1,3)-2(2,4)=(-3,-5).
��1 ��2
=
��12,因

江苏高考数学文科一轮创新设计总复习课件专题五平面向量

解析由 a3＋a4＋a5＝84，可得 3a4＝84，即 a4＝28，而 a9＝73，则 5d＝a9－a4＝45，即 d＝9. 所以 an＝1＋(n－1)× 9＝9n－8，又 a1＝a4－3d＝28－27＝1，即 an＝9n－8(n∈N*)．
倒计时
３、教你审题
如何确定数列中的项
典例３ (2012· 山东卷)在等差数列{an}中, a3＋a4＋a5＝84 ,a9＝73. (1)求数列{an}的通项公式； (2)对任意 m∈N*，将数列{an}中落入区间9m，92m内的项的个数记为 bm ，求数列{bm}的前 m 项和 Sm. 审题一审条件 1：根据性质转化为先求 a4，再结合 a9 求 a1 和 d., 转化为求{bm}的通项公式，尽而再求 Sm., 二审条件 2：三审结构：由 9m＜an＜92m 得 9m－1＋1≤n≤92m－1
1、(1)设 an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项 16 13 的值是( )．A. B. C．4 D．0 3 3 (2)已知{an}是递增数列，且对于任意的 n∈N*，an＝n2＋λn 恒成立，则实数 λ 的取值范围是________．
5 2 3 解（1） ∵a ＝－3 n－＋，倒计时 n 2 4 得当 n＝2 或 3 时，an 最大，最大为 0. 由二次函数性质， λ （2）设 f(n)＝an＝n2＋λn，其图象的对称轴为直线 n＝－， 2 要使数列{an}为递增数列，只需使定义在正整数上的函数 f(n)为增函数，同典例图 a 3 故只需满足－＜，即 λ＞－3. 2 2 答案 (1)D (2)(－3，＋∞)
解析设{an}的公差为 d，则由 Sn＝m，Sm＝n，
S ＝na ＋nn－1d＝m， 1 ① 2 n ②－①得得 mm－1 ② S ＝ma1＋ d＝n. 2 m m－nm＋n－1 (m－n)a1＋ · d＝n－m， ∵m≠n， 2 m＋n－1 m＋nm＋n－1 ∴a1＋ d＝－1. ∴Sm＋n＝(m＋n)a1＋ d 2 2 m＋n－1 ＝(m＋n)a1＋ d＝－(m＋n)．答案－(m＋n) 2

江苏专版高考数学大一轮复习第五章平面向量专题探究课二学案理

江苏专版高考数学大一轮复习第五章平面向量专题探究课二学案理第五章平面向量专题探究课二高考导航从近几年的高考试题看，试卷交替考查三角函数、解三角形、向量与三角综合以及三角应用题.该部分解答题是高考得分的基本组成部分，不能掉以轻心.该部分的解答题考查的热点题型有：一考查三角函数的恒等变形以及单调性、最值等；二考查解三角形问题；三是考查三角函数、解三角形与平面向量的交汇性问题；四是考查三角应用题.在解题过程中抓住平面向量作为解决问题的工具，要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化.热点一三角函数的恒等变形和性质注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数恒等变形转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解.【1】 (2018·苏、锡、常、镇、宿迁五市调研)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，试求函数f (x )的最值，并写出取得最值时自变量x 的值.解 (1)由题意知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.当－π2＋2k π≤2x ＋2π3≤π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )单调递增，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π(k ∈Z ).(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，所以π3≤2x ＋2π3≤4π3，当2x ＋2π3＝π2，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值2；当2x ＋2π3＝4π3，即x ＝π3时，f (x )取得最小值－ 3.探究提高此类题目的答题模板为：第一步：三角函数式的恒等变形，一般化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋h 的形式；第二步：由T ＝2π|ω|求最小正周期；第三步：确定f (x )的单调性；第四步：确定各单调区间端点处的函数值；第五步：明确规范地表达结论.【训练1】 (2018·江苏大联考)已知函数f (x )＝3sin 2x －2cos 2x .(1)β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，求f (β)的取值范围；(2)若tan α＝23，求f (α)的值.解 (1)f (x )＝3sin 2x －2cos 2x ＝3sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，所以f (β)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2β－π6－1.因为β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故f (β)的取值范围是[－2，1].(2)由题可得f (α)＝3sin 2α－2cos 2α ＝23sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝23tan α－2tan 2α＋1，因为tan α＝23，所以f (α)＝23×23－24×3＋1＝1013.热点二解三角形与三角函数结合高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理在知识的交汇处命题.【例2】 (2018·苏州测试)已知函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx (ω>0)的周期为π.(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域；(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3，且a ＝4，b ＋c ＝5，求△ABC 的面积. 解 (1)f (x )＝32(1＋cos 2ωx )＋12sin 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋32. 因为f (x )的周期为π，且ω>0，所以2π2ω＝π，解得ω＝1.所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32.又0≤x ≤π2，得π3≤2x ＋π3≤43π，－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32≤32＋1，即函数y ＝f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32＋1.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝32.由A ∈(0，π)，知π3<A ＋π3<43π，解得A ＋π3＝23π，所以A ＝π3.由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即16＝b 2＋c 2－bc . 所以16＝(b ＋c )2－3bc ，因为b ＋c ＝5，所以bc ＝3. 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝334.探究提高三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和(差)角公式的灵活运用是解决此类问题的关键. 【训练2】 (2018·苏北四市期中)在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan B ＝2，tan C ＝3. (1)求角A 的大小； (2)若c ＝3，求b 的长.解 (1)因为tan B ＝2，tan C ＝3，A ＋B ＋C ＝π，所以tan A ＝tan[π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C ) ＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－2＋31－2×3＝1，又A ∈(0，π)，所以A ＝π4.(2)因为tan B ＝sin B cos B ＝2，且sin 2B ＋cos 2B ＝1，又B ∈(0，π)，所以sin B ＝255，结合(1)可得sin C ＝31010.由正弦定理得b ＝c sin Bsin C ＝3×25531010＝2 2.热点三三角函数与平面向量结合三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题.【例3】 (满分14分)(2017·江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π].(1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值. 满分解答与评分标准本题第(1)问满分为6分，具体评分标准如下：法一因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x ，………………………………………………2分于是tan x ＝－33.…………………………………………………………………2分又x ∈[0，π]，所以x ＝56π. ……………………………………………………2分法二因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x ， ①……………………………………………………2分则23⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝0，即23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝0. …………………………2分所以x ＋π6＝π，即x ＝56π. ………………………………………………2分法三因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x ，因为sin 2x ＋cos 2x ＝1，所以sin 2x ＝14，即sin x ＝±12，所以x ＝π6或56π→会而不对，缺乏取舍意识本题第(2)问满分为8分，具体评分标准如下：法一 f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ……………………2分＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.…………………………………………………………………2分因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，则－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32. ………………2分……………2分法二 (本题第二问有考生采用了导数的方法求最值)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ，……………………2分则f ′(x )＝－3sin x －3cos x ，则f ′(x )＝0，tan x ＝－33. 因为x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.…………………………………………2分又f (0)＝3，f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝－23，f (π)＝－3.……………………………2分……………………………2分探究提高解决数学问题的第一步应该是审题，审题“审什么？”首先应该是题目的条件是什么？结论是什么？有没有隐含条件？由条件可以得出什么结论？要得出结论需要什么条件？本题的第二问：求函数的最大值和最小值以及对应的x 的值.不少考生就在这里出现了审题不清的问题：只顾求出了函数的最大值和最小值，没有求出对应的x 的值.根据评分标准：最大值及其对应的x 值都写对得2分，最小值及其对应的x 值都写对再得2分.这块原有4分的分值，若只求对了最大值和最小值，没有求出对应的x 的值，这4分将全部扣掉.【训练3】 (2018·苏北四市调研)已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的范围.解 (1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n ， ∴(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，∴cos B (2sin A ＋sin C )＋sin B cos C ＝0， ∴2cos B sin A ＋cos B sin C ＋sin B cos C ＝0. 即2cos B sin A ＝－sin(B ＋C )＝－sin A .∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴cos B ＝－12.∵0＜B ＜π，∴B ＝2π3.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2，当且仅当a ＝c 时取等号.∴(a ＋c )2≤4，故a ＋c ≤2.又a ＋c >b ＝3，∴a ＋c ∈(3，2].即a ＋c 的取值范围是(3，2]. 热点四三角函数应用题三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题.【例4】如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m ，且60 s 转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面间的距离为h .(1)求h 与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA 开始转动，经过t s 后到达OB ，求h 与t 之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？解 (1)以圆心O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.则以Ox 为始边，OB 为终边的角θ－π2，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4.8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2，4.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2，∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2(θ∈[0，＋∞)). (2)点A 在圆上转动的角速度是π30 rad/s ，故t s 转过的弧度数为π30t ，∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞).到达最高点时，h ＝10.4 m. 由sin ⎝⎛⎭⎪⎫π30t －π2＝1，得π30t －π2＝π2，∴t ＝30 s ，答：缆车到达最高点时，用的最少时间为30 s.探究提高三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决.步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题.这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式.【训练4】一半径为4 m 的水轮(如图)，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计时.(1)将点P 距离水面的高度h (m)表示为时间t (s)的函数； (2)在水轮转动的一圈内，有多长时间点P 距水面的高度超过4 m. 解 (1)建立如图所示的平面直角坐标系.依题意，如图|φ|＝π6，易知OP 在t s 内所转过的角为4×2π60 t ＝2π15t ，故角2π15t －π6是以Ox 为始边，OP 与终边的角，故P 点的纵坐标为4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π15t －π6，故所求函数关系式为h ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π15t －π6＋2(t ≥0)；(2)令4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π15t －π6＋2>4，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π15t －π6>12， ∴π6＋2k π<2π15t －π6<5π6＋2k π，k ∈Z . ∴2.5＋15k <t <7.5＋15k ，k ∈Z ， ∴时间为(7.5＋15k )－(2.5＋15k )＝5.答：在水轮转动的一圈内，有5 s 的时间点P 距水面的高度超过4 m.一、必做题1.(2018·苏北四市模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则 |2a －b |的最大值与最小值的和为________.解析由题意可得a ·b ＝3cos θ－sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，则|2a －b |＝（2a －b ）2＝4|a |2＋|b |2－4a ·b ＝8－8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈[0，4]，所以|2a －b |的最大值与最小值的和为4. 答案 42.(2018·苏州调研)已知m ＝(cos α，sin α)，n ＝(2，1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，若m ·n ＝1，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋3π2＝________. 解析因为m ·n ＝2cos α＋sin α＝1，所以sin α＝1－2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1中，整理得5cos 2α－4cos α＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，解得cos α＝45或cos α＝0(舍去)，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋3π2＝－cos 2α＝1－2cos 2α＝－725.答案－7253.(2018·南京、盐城模拟)设a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)⎝⎛⎭⎪⎫0<α<β<π2是平面上两个向量，若a·b ＝45，且tan β＝43，则tan α＝________.解析由a·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝45，且0<α<β<π2，即α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， ∴sin(α－β)＝－35，tan(α－β)＝sin （α－β）cos （α－β）＝－34＝tan α－tan β1＋tan α·tan β，代入tan β＝43，得tan α＝724.答案7244.(2018·南京、盐城模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＋2c ＝2b ，sin B ＝2sin C ，则cos A ＝________.解析由sin B ＝2sin C 结合正弦定理可得b ＝2c ，又a ＋2c ＝2b ，则a ＝2c ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 2＋c 2－2c 222c2＝24. 答案245.(2018·南京调研)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np ，下面说法正确的有________(填序号). ①若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0； ②a ⊙b ＝b ⊙a ；③对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )； ④(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝a 2b 2.解析 ②中，a ⊙b ＝mq －np ＝－(np －mq )＝－b ⊙a ，故②不正确；①③④逐个代入验证，皆成立，故填①③④. 答案 ①③④6.(2018·海门中学月考)如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与B 的距离为________ km.解析由题图可知，∠ACB ＝120°，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠ACB ＝a 2＋a 2－2·a ·a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，解得AB ＝3a (km). 答案 3a7.(2018·盐城诊断)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为________.解析因为cos 2B 2＝a ＋c 2c，所以2cos 2B 2－1＝a ＋c c －1，所以cos B ＝a c，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝a c，所以c 2＝a 2＋b 2. 所以△ABC 为直角三角形.答案直角三角形8.(2018·如东中学月考)若函数f (x )＝sin(ωπx －π4)(ω>0)在区间(－1，0)上有且仅有一条平行于y 轴的对称轴，则ω的最大值是________.解析令ωπx －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，则得x ＝4k ＋34ω(k ∈Z )， ∴当k ＝－1时，得y 轴左侧第1条对称轴为－14ω；当k ＝－2时，得y 轴左侧第2条对称轴为－54ω，因此－1<－14ω<0且－1≥－54ω，解得14<ω≤54，故ωmax ＝54. 答案 549.(2018·泰州中学月考)已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x .(1)求f (x )的值域和最小正周期；(2)若f (x )＝－1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2x 的值. 解 (1)因为f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2＝32sin 2x －cos 2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12，所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12，最小正周期有为T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )＝－1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝－1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12. 10.(2018·泰州模拟)在△ABC 中，角A ，B 的对边分别为a ，b ，向量m ＝(cos A ， sin B )，n ＝(cos B ，sin A ).(1)若a cos A ＝b cos B ，求证：m ∥n ；(2)若m ⊥n ，a >b ，求tan A －B2的值.(1)证明因为a cos A ＝b cos B ，所以sin A cos A ＝sin B cos B ，所以m ∥n .(2)解因为m ⊥n ，所以cos A cos B ＋sin A sin B ＝0，即cos(A －B )＝0，因为a >b ，所以A >B ，又A ，B ∈(0，π)，所以A －B ∈(0，π)，则A －B ＝π2，所以tan A －B 2＝tan π4＝1. 二、选做题11.(2015·江苏卷)设向量a k ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos k π6，sin k π6＋cos k π6(k ＝0，1，2，…，12)，则∑11k ＝0 (a k ·a k ＋1)的值为________.解析 a k ·a k ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos k π6，sin k π6＋cos k π6· ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos （k ＋1）π6，sin （k ＋1）π6π＋cos （k ＋1）π6 ＝cos k π6cos （k ＋1）π6＋⎝⎛⎭⎪⎫sin k π6＋cos k π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin （k ＋1）π6＋cos （k ＋1）π6 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos k π6cos （k ＋1）π6＋sin k π6sin （k ＋1）π6＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫sink π6cos （k ＋1）π6＋cos k π6sin （k ＋1）π6＋ cos k π6cos （k ＋1）π6＝cos π6＋sin 2k π＋π6＋cos k π6cos （k ＋1）π6＝32＋sin 2k π＋π6＋32cos 2 k π6－12cos k π6sin k π6＝32＋sin 2k π＋π6＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos k π3－14sin k π3＝334＋sin 2k π＋π6＋12cos （2k ＋1）π6. 因为sin 2k π＋π6，12cos （2k ＋1）π6的周期皆为6，一个周期的和皆为零，因此∑11k ＝0 (a k ·a k ＋1)＝334×12＝9 3. 答案 9 312.如图，某大风车的半径为2 m ，每12 s 旋转一周，它的最低点O 离地面0.5 m.风车圆周上一点A 从最低点O 开始，运动t (s)后与地面的距离为h (m).(1)求函数h ＝f (t )的关系式；(2)画出函数h ＝f (t )(0≤t ≤12)的大致图象.解 (1)如图，以O 为原点，过点O 的圆的切线为x 轴，建立直角坐标系.设点A 的坐标为(x ，y )，则h ＝y ＋0.5. 设∠OO 1A ＝θ，则cos θ＝2－y 2，y ＝－2cos θ＋2.又θ＝2π12×t ，即θ＝π6t ，所以y ＝－2cos π6t ＋2，h ＝f (t )＝－2cos π6t ＋2.5(t ≥0).(2)函数h ＝－2cos π6t ＋2.5(0≤t ≤12)的大致图象如下.。

创新设计2017版高考数学(江苏专用文科)一轮复习专题探究课五含答案

1。

(2016·南京盐城模拟)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E,F分别是AP,AD的中点。

求证:(1)直线EF∥平面PCD；(2）平面BEF⊥平面PAD。

证明（1）在△PAD中,因为E，F分别是AP，AD的中点,所以EF∥PD.因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(2）如图所示，连接BD，因为AB＝AD,∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形。

因为F是AD的中点,所以BF⊥AD。

因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD＝AD，BF⊂平面ABCD，所以BF⊥平面PAD.又BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD。

2.（2016·沈阳监测）如图，设四棱锥E－ABCD的底面为菱形,且∠ABC＝60°，AB＝EC＝2，AE＝BE＝错误!。

(1）证明：平面EAB⊥平面ABCD；(2)求四棱锥E－ABCD的体积。

（1)证明取AB的中点O，连接EO,CO，AC。

由AE＝BE＝错误!,AB＝2，知△AEB为等腰直角三角形.故EO⊥AB,EO＝1,又AB＝BC，∠ABC＝60°，则△ABC是等边三角形，从而CO＝错误!。

∵EC＝2,∴EC2＝EO2＋CO2，∴EO⊥CO。

又EO⊥AB,CO∩AB＝O，因此EO⊥平面ABCD。

又EO⊂平面EAB,故平面EAB⊥平面ABCD.（2）解V E－ABCD＝错误!S▱ABCD·EO＝错误!×2×2×sin 60°×1＝错误!。

3。

(2015·唐山模拟)如图,四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形,PA⊥底面ABCD，∠PCD＝90°，PA＝AB＝AC＝2。

（1）求证：AC⊥CD；(2）点E是棱PC的中点，求点B到平面EAD的距离。

创新设计2017版高考数学(江苏专用文科)一轮复习专题探究课二含答案

1。

已知函数f (x ）＝ln x ＋x 2＋ax (a ∈R )。

若函数f （x ）在其定义域上为增函数,求a 的取值范围. 解法一函数f (x ）的定义域为（0，＋∞)，∵f (x ）＝ln x ＋x 2＋ax ，∴f ′(x )＝错误!＋2x ＋a 。

∵函数f （x ）在（0，＋∞）上单调递增,∴f ′（x )≥0，即1x＋2x ＋a ≥0对x ∈（0，＋∞）都成立. ∴－a ≤错误!＋2x 对x ∈（0，＋∞)都成立。

∵当x ＞0时，错误!＋2x ≥2错误!＝2错误!,当且仅当错误!＝2x ，即x ＝错误!时取等号。

∴－a ≤2错误!,即a ≥－2错误!。

∴a 的取值范围为[－2错误!，＋∞）。

法二函数f （x ）的定义域为(0,＋∞），∴f （x ）＝ln x ＋x 2＋ax ,∴f ′（x ）＝1x＋2x ＋a ＝错误!。

方程2x 2＋ax ＋1＝0的判别式Δ＝a 2－8。

①当Δ≤0，即－2错误!≤a ≤2错误!时,2x 2＋ax ＋1≥0，此时,f ′（x )≥0对x ∈（0，＋∞)都成立，故函数f （x ）在定义域(0,＋∞）上是增函数。

②当Δ＞0，即a ＜－2错误!或a ＞2错误!时，要使函数f （x ）在定义域(0，＋∞)上为增函数，只需2x 2＋ax ＋1≥0对x ∈(0，＋∞）都成立。

设h (x )＝2x 2＋ax ＋1，则错误!解得a ＞0。

故a ＞2错误!.综合①②得a 的取值范围为[－2错误!，＋∞）。

2。

(2016·苏北四市调研）设f （x )＝ax 3＋bx ＋c (a ≠0)为奇函数，其图象在点（1，f (1））处的切线与直线x －6y －7＝0垂直,导函数f ′（x ）的最小值为－12。

（1）求函数f(x)的解析式；(2）求函数f(x)的单调增区间，并求函数f（x）在［－1，3］上的最大值和最小值.解（1)因为f(x）为奇函数，所以f（－x）＝－f(x）即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c所以c＝0，又f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，所以b＝－12.由题设知f′(1）＝3a＋b＝－6。

创新设计2017版高考数学(江苏专用文科)一轮复习考点强化课二含答案

一、填空题1。

（2015·泰州一检）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且（b－c）（sin B＋sin C)＝（a－错误!c)sin A，则角B的大小为________。

解析由正弦定理可知(b－c)(b＋c)＝（a－错误!c)a,∴b2－c2＝a2－3ac,即a2＋c2－b2＝错误!ac。

∵cos B＝错误!＝错误!＝错误!，∴B＝30°。

答案30°2。

（2015·南通调研)在△ABC中，cos A＝错误!，cos B＝错误!,BC＝4，则AB＝________。

解析∵cos A＝错误!，cos B＝错误!，∴sin A＝错误!，sin B＝错误!，∴cos(A＋B）＝cos A cos B－sin A sin B＝0,∴A＋B＝C＝错误!,∴AB＝错误!＝5.答案53。

(2016·苏北四市模拟）在△ABC中，AC·cos A＝3BC·cos B,且cos C＝错误!，则A＝________。

解析由题意及正弦定理，得sin B cos A＝3sin A cos B,∴tan B＝3tan A，∴0°＜A，B＜90°,又cos C＝错误!，故sin C＝错误!，∴tan C＝2,而A＋B＋C＝180°,∴tan（A＋B）＝－tan C＝－2，即错误!＝－2，将tan B＝3tan A代入，得错误!＝－2,∴tan A＝1或tan A＝－错误!,而0°＜A＜90°,则A＝45°。

答案45°4.(2016·苏、锡、常、镇模拟）已知a,b，c分别是△ABC的三个内角A,B，C所对的边长，若a＝1,b＝错误!，A＋C＝2B，则sin C＝________。

解析由A＋C＝2B,且A＋B＋C＝π，得到B＝错误!，∴cos B＝错误!，又a＝1，b＝错误!，根据余弦定理得:b2＝a2＋c2－2ac·cos B，即c2－c－2＝0，解得c＝2,c＝－1（舍去)，又sin B＝错误!，b＝错误!,根据正弦定理错误!＝错误!得sin C＝c sin Bb＝错误!＝1.答案15.（2016·石家庄模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a,b，c，且满足c sin A＝错误!a cos C，则sin A＋sin B的最大值是________。

2017届高三数学一轮总复习(江苏专用)课件：第五章第一节平面向量的概念及其线性运算

第二十一页，编辑于星期六：一点十一分。
3．(2014·福建高考)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O 为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则 OC ＋ OB ＋ OC ＋OD 等于________．解析：依题意知，点 M 是线段 AC 的中点，也是线段 BD 的中点，所以OA＋OC ＝2OM ，OB＋OD＝2OM ，所以 OC ＋OC ＋OB＋OD＝4OM . 答案：4OM
即ka＋b＝λa＋λkb. ∴ BD ＝ BC ＋CD ＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝
∴(k－λ)a＝(λk－1)b. 5(a＋∵b)＝a，5bA是B不. 共线的两个非零向量， ∴ ABλk，k－－BλD＝ 1＝共0， 0线，，又 ∴∵ A，它解B们得，有Dλk＝公＝三1共1点，点共B或线，．λk＝＝－－11，，
第十二页，编辑于星期六：一点十一分。
3．若菱形ABCD的边长为2，则| AB－CB＋CD|＝________. 解析：| AB－CB＋CD|＝| AB＋BC ＋CD |＝| AD|＝2. 答案：2
第十三页，编辑于星期六：一点十一分。
第十四页，编辑于星期六：一点十一分。
解析：①平行向量的方向也可能相反，所以①错误；②只有零向量与任意向量都平行，所以②正确；③显然正确； ④共线向量只要方向相同或相反即可，不一定在同一条直线上，所以④错误．答案：②③
相反向量长度相等且方向相反的向量 0 的相反向量为 0
第三页，编辑于星期六：一点十一分。
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
_三__角__形__法则
(1)交换律： a＋b＝_b_＋__a_； (2)结合律： (a＋b)＋c＝

创新设计2017版高考数学(江苏专用文科)一轮复习专题探究课一含答案

一、填空题1.函数f(x)＝错误!＋错误!的定义域为________.解析由题意知错误!又x＞0，解得0＜x≤2且x≠1.答案（0，1）∪（1,2］2.函数f(x)＝错误!错误!的值域为________.解析指数函数y＝错误!错误!在定义域内单调递减,而2x－x2＝－（x －1）2＋1≤1，所以f(x)＝错误!错误!≥错误!错误!＝错误!。

所以函数f（x)＝错误!错误!的值域为错误!。

答案错误!3。

设函数f（x）＝x2＋（a－2）x－1在区间（－∞，2］上是减函数，则实数a的最大值为________。

解析函数f（x）图象的对称轴x＝－错误!，则函数f（x)在错误!上单调递减,在区间错误!上单调递增，所以2≤－错误!，解得a≤－2.答案－24.设函数f（x)＝错误!若f（a）＋f(－1)＝3，则a＝________.解析因为f(－1）＝错误!错误!＝2，所以f（a）＝3－2＝1.当a＞0时，｜ln a|＝1，解得a＝e或错误!；当a＜0时，错误!错误!＝1,无解。

答案e或错误!5。

已知函数f（x）＝错误!若方程f(x）－a＝0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是________。

解析画出函数f（x）的图象如图所示，观察图象可知,若方程f(x）－a＝0有三个不同的实数根，则函数y ＝f(x）的图象与直线y＝a有3个不同的交点，此时需满足0〈a<1.答案(0，1）6.(2015·南京、盐城模拟)若函数f(x）是定义在R上的偶函数,且在区间［0，＋∞)上是单调增函数.如果实数t满足f(ln t）＋f 错误!≤2f（1）,那么t的取值范围是________.解析依题意，不等式f(ln t）＋f 错误!＝f（ln t)＋f(－ln t）＝2f(｜ln t｜)≤2f（1),即f(|ln t｜）≤f（1），又|ln t|≥0,函数f(x）在［0,＋∞)上是增函数，因此有｜ln t｜≤1，－1≤ln t≤1，错误!≤t≤e,即实数t的取值范围是错误!.答案错误!7。

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【创新设计】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第五章平面向量第2讲平面向量基本定理及坐标表示习题理新人教A 版
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、填空题
1.已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与向量AB →
同方向的单位向量为________. 解析 ∵AB →＝OB →－OA →
＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)， ∴与AB →
同方向的单位向量为AB →
|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35
，－45.
答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3
5
，－45
2.在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4，3)，PQ →
＝(1，5)，则BC →
等于________.
解析 AQ →＝PQ →－PA →
＝(－3，2)，∵Q 是AC 的中点， ∴AC →＝2AQ →＝(－6，4)，PC →＝PA →＋AC →
＝(－2，7)， ∵BP →＝2PC →，∴BC →＝3PC →
＝(－6，21). 答案 (－6，21)
3.已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________. 解析因为a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，所以u ＝(1，2)＋2(x ，1)＝(2x ＋1，4)，v ＝2(1，2)－(x ，1)＝(2－x ，3).又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，即10x ＝5，解得x ＝12.
答案 12
4.(2016·青岛质量检测)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”).
解析由题意得a ＋b ＝(2，2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件.
答案充要
5.(2016·南京、盐城调研)已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →
，则向量EM →＝________(用AB →，AC →
表示).
解析如图，∵EC →＝2AE →
， ∴EM →＝EC →＋CM →＝23
AC →＋
12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →. 答案 12AB →＋16
AC →
6.若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1
b
的值为________.
解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →
＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝1
2.
答案 12
7.已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )∥c ，则实数k ＝________. 解析因为2a －3b ＝(2k －3，－6)，(2a －3b )∥c ，所以⇒2×(－6)－1×(2k －3)＝0，即2k ＝－9，∴k ＝－9
2.
答案－9
2
8.设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →
(λ1，
λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.
解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →
)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23，
即λ1＋λ2＝1
2.
答案 12
二、解答题
9.已知O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)及OP →＝OA →＋tAB →
，试问： (1)t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？在第三象限？
(2)四边形OABP 能否成为平行四边形，若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由.
解 (1)∵OA →＝(1，2)，AB →
＝(3，3)， ∴OP →＝OA →＋tAB →
＝(1＋3t ，2＋3t ).
若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，解得t ＝－2
3；
若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，解得t ＝－1
3
；
若点P 在第三象限，则⎩
⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t <0.解得t <－2
3.
(2)若四边形OABP 为平行四边形，则OP →＝AB →
，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧1＋3t ＝3，2＋3t ＝3.∵该方程组无解，∴四边形OABP 不能成为平行四边形.
10.如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →. 解法一设AB →＝a ，AD →
＝b ，则a ＝AN →＋NB →＝d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ，①
b ＝AM →＋MD →＝
c ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1
2a .②
将②代入①，得a ＝d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ， ∴a ＝43d －23c ＝2
3
(2d －c )，③
将③代入②，得b ＝c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×2
3(2d －c )＝23(2c －d ).∴AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d ).
法二设AB →＝a ，AD →
＝b .因M ，N 分别为CD ，BC 的中点，所以BN →＝12b ，DM →＝12
a ，
因而⎩⎪⎨⎪⎧c ＝b ＋1
2
a ，
d ＝a ＋1
2
b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2
3
（2d －c ），
b ＝23（2
c －
d ），
即AB →＝23(2d －c )，AD →＝2
3
(2c －d ).
能力提升题组 (建议用时：20分钟)
11.(2016·南通调研)如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →
＋
yOB →，且BP →＝2 PA →
，则x ＝________，y ＝________.
解析由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2PA →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，
所以x ＝23，y ＝1
3.
答案 23 1
3
12.在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，B (0，1)，C 为坐标平面内第一象限内一点，且∠AOC ＝π4，且|OC |＝2，若OC →＝λ OA →＋μ OB →
，则λ＋μ＝________.
解析因为|OC |＝2，∠AOC ＝π
4
，所以C (2，2)，
又OC →＝λ OA →＋μ OB →
，所以(2，2)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2. 答案 2 2
13.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λ
μ＝
________.
解析以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1)， ∴a ＝AO →＝(－1，1)，b ＝OB →＝(6，2)，c ＝BC →
＝(－1，－3). ∵c ＝λa ＋μb ，
∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－1
2
，
∴λ
μ＝4. 答案 4
14. 如图，已知点A (1，0)，B (0，2)，C (－1，－2)，求以A ，B ，C 为顶点
的平行四边形的第四个顶点D 的坐标.
解如图所示，以A ，B ，C 为顶点的平行四边形可以有三种情况： ① ▱ABCD ；②▱ADBC ；③▱ABDC .设D 的坐标为(x ，y )，
①若是▱ABCD ，则由AB →＝DC →
，得(0，2)－(1，0)＝(－1，－2)－(x ，y )，即(－1，2)＝(－1－x ，－2－y )，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧－1－x ＝－1，－2－y ＝2， ∴x ＝0，y ＝－4.
∴D 点的坐标为(0，－4)(如图中所示的D 1). ②若是▱ADBC ，由CB →＝AD →
，得
(0，2)－(－1，－2)＝(x ，y )－(1，0)，即(1，4)＝(x －1，y )，解得x ＝2，y ＝4.
∴D 点的坐标为(2，4)(如图中所示的D 2). ③若是▱ABDC ，则由AB →＝CD →
，得
(0，2)－(1，0)＝(x ，y )－(－1，－2)，即(－1，2)＝(x ＋1，y ＋2). 解得x ＝－2，y ＝0.
∴D 点的坐标为(－2，0)(如图中所示的D 3)，
∴以A ，B ，C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标为(0，－4)或(2，4)或(－2，0).。

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