2015年全国各地高考三模数学试题汇编专题2 第4讲 导数与定积分(理卷A)
新疆乌鲁木齐市2015年高考数学三诊试卷(理科)
2015年新疆乌鲁木齐市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合M=|x|x2﹣2x＜0|，N=|x|x＞1|，则M∩∁R N=（）A． [1，2） B．（1，2） C． [0，1） D．（0，1]2．已知a∈R，复数z=是纯虚数（i是虚数单位），则a=（）A．﹣ B．﹣1 C． 1 D．3．“a=1”是“直线x﹣ay﹣2=0与直线2ax﹣（a﹣3）y+1=0垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不不必要条件4．执行如图所示的程序框图，若输入x=8，则输出y的值为（）A．﹣ B． C． D． 35．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． 1 B． C． D．6．等比数列{a n}满足a2+8a5=0，设S n是数列{}的前n项和，则=（）A．﹣11 B．﹣8 C． 5 D． 117．已知向量，，且，则||的最小值为（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 38．若θ∈[，]，tan2θ=﹣3，则sinθ=（）A． B． C． D．9．过点M（2，1）且斜率为1的直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且M为AB 的中点，则p的值为（）A． B． 1 C． D． 210．奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=3x+，则f（log354）=（）A．﹣2 B．﹣ C． D． 211．在棱长均相等的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为BB1的中点，F在AC1上，且DF⊥AC1，则下述结论：①AC1⊥BC；②AF=FC1；③平面DAC1⊥平面ACC1A1，其中正确的个数为（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 312．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若A=，则a（cosC+sinC）=（）A． a+b B． b+c C． a+c D． a+b+c二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值．14．甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为．15．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于A，B两点，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰三角形，e为双曲线的离心率，则e2= ．16．已知数列{a n}满足a1=1，a n+a n+1=2n+1，n∈N*，S n是数列{}的前n项和，则下列结论：①S2n﹣1=（2n﹣1）•；②S2n=S n；③S2n≥﹣+S n；④S2n≥S n+，其中正确的是（填写所有正确结论的序号）．三、解答题（共5小题，满分60分）17．若函数f（x）=sin2ax﹣sinax•cosax﹣（a＞0）的图象与直线y=b相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若x0∈[0，]，且x0是y=f（x）的零点，试写出函数y=f（x）在[x0，x0+]上的单调增区间．18．如图，正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，E，F分别是AD，BC1的中点．（1）求证：EF∥平面C1CDD1；（2）在线段A1B上是否存在点G，使得EG⊥平面A1BC1？若存在，求二面角A1﹣C1G﹣C的平面角的余弦值；若不存在，请说明理由．19．某保险公司推出了一种保期为一年的险种：若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔偿20万元，若投保人因大病住院治疗（医疗费超过10万元者），则公司赔付10万元，否则公司无需赔付任何费用，通过大数据显示投保人在一年意外死亡的概率为0.0001，大病住院治疗的概率为0.002．（Ⅰ）某个家庭的夫妻两人都买了此险种，求他们在投保期末获得赔付金额的分布列和期望；（Ⅱ）若有一万个客户投保，每份保单的投保费用是300元/年，问保险公司在此险种中一年的盈利是多少．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，且|AB|=．（Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）斜率为的直线l与椭圆交于P、Q两点，点P在第一象限，求证A、P、B、Q四点共圆．21．已知函数f（x）=（e x﹣1）ln（x+a）（a＞0）在x=0处取得极值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）当x≥0时，求证f（x）≥x2．选做题：选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22．如图，已知PA与半圆O切于点A，PO交半圆O于点B、C，AD⊥PO于点D．（Ⅰ）求证AB平分∠PAD；（Ⅱ）求证．选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分）23．在平面直角坐标系xOy中，曲线（a＞b＞0，φ为参数，0≤φ＜2π）上的两点A、B对应的参数分别为α，α+．（1）求AB中点M的轨迹的普通方程；（2）求点O到直线AB的距离的最大值和最小值．选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）24．已知实数a，b，c满足a2+b2+c2=3．（Ⅰ）求证a+b+c≤3；（Ⅱ）求证．2015年新疆乌鲁木齐市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合M=|x|x2﹣2x＜0|，N=|x|x＞1|，则M∩∁R N=（）A． [1，2） B．（1，2） C． [0，1） D．（0，1]考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出集合M，利用集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵M={x|0＜x＜2}，∁R N={x|x≤1}，∴M∩∁R N={x|0＜x≤1}=（0，1]．故选D．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．已知a∈R，复数z=是纯虚数（i是虚数单位），则a=（）A．﹣ B．﹣1 C． 1 D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：化简复数z，并且按照纯虚数的定义列出方程组，求出a的值．解答：解：∵，由题意，得且，∴a=﹣1．故选：B．点评：本题考查了复数的代数运算与纯虚数的概念，是基础题目．3．“a=1”是“直线x﹣ay﹣2=0与直线2ax﹣（a﹣3）y+1=0垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据直线平行的条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：∵“直线x﹣ay﹣2=0与直线2ax﹣（a﹣3）y+1=0垂直”的充要条件是“2a+a （a﹣3）=0也就是a=0或a=1”，所以“a=1”是“直线x﹣ay﹣2=0与直线2ax﹣（a﹣3）y+1=0垂直”的充分不必要条件．故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用直线平行的条件是解决本题的关键．4．执行如图所示的程序框图，若输入x=8，则输出y的值为（）A．﹣ B． C． D． 3考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算y值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．解答：解：第一次执行循环体后，y=3，此时|y﹣x|=5，不满足退出循环的条件，则x=3 第二次执行循环体后，y=，此时|y﹣x|=，满足退出循环的条件，故输出的y值为故选：B点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． 1 B． C． D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角梯形的直四棱锥，结合图中数据求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为直角梯形的直四棱锥，如图所示；所以，该四棱锥的底面积为S底=×（+1）×1=，它的体积为V四棱锥P﹣ABCD=××1=．故选：D．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．6．等比数列{a n}满足a2+8a5=0，设S n是数列{}的前n项和，则=（）A．﹣11 B．﹣8 C． 5 D． 11考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设等比数列{a n}的公比为q，由a2+8a5=0，解得q=﹣，可得数列{}是等比数列，首项为，公比为﹣2．利用等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：由a2+8a5=0，得，解得，易知是等比数列，公比为﹣2，首项为，∴，，∴．故选：A．点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．已知向量，，且，则||的最小值为（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用．分析： 首先求出xy ，然后利用x ，y 表示||，利用基本不等式求最小值． 解答： 解：由题意，因为向量，，且， 所以xy=2，所以||2=（x+y ）2+1=x 2+y 2+2xy+1≥4xy+1=9，所以||≥3；故选D ．点评： 本题考查了向量的坐标运算以及利用基本不等式求最值． 8．若θ∈[，]，tan2θ=﹣3，则sin θ=（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 二倍角的正切；同角三角函数基本关系的运用． 专题： 三角函数的求值．分析： 由同角三角函数基本关系结合范围可求cos2θ，由二倍角公式即可求值． 解答： 解：∵，∴，∴cos2θ＜0，由，得，而，∴．故选C ．点评： 本题主要考查了同角三角函数基本关系，二倍角公式的应用，解题时要注意分析角的范围，属于基础题．9．过点M （2，1）且斜率为1的直线与抛物线y 2=2px （p ＞0）交于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，则p 的值为（ ）A ．B ． 1C ．D ． 2考点： 抛物线的简单性质．专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： 利用点差法，结合直线的斜率，即可求出p 的值． 解答： 解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，，两式相减，得（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），依题意x1≠x2，∴，于是y1+y2=2p=2，因此p=1．故选B．点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．10．奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=3x+，则f（log354）=（）A．﹣2 B．﹣ C． D． 2考点：函数的周期性；对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x+2）=﹣f（x）得f（x+4）=f（x），可得到函数f（x）的周期是4，利用对数的运算性质、函数的周期性和奇偶性，将f（log354）转化为﹣，代入函数解析式求出的值，即可得到f（log354）的值．解答：解：∵f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是以4为周期的奇函数，又∵，∵，∴，∴f（log354）=﹣2，故选：A．点评：本题考查函数的周期性和奇偶性的综合应用，以及对数的运算性质，考查转化思想，属于中档题．11．在棱长均相等的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为BB1的中点，F在AC1上，且DF⊥AC1，则下述结论：①AC1⊥BC；②AF=FC1；③平面DAC1⊥平面ACC1A1，其中正确的个数为（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 3考点：空间中直线与直线之间的位置关系；命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断F 是AC1的中点推出②正误；利用直线与平面垂直推出排名与平面垂直推出③正误；解答：解：不妨设棱长为：2，对于①连结AB1，则AB1=AC1=2，∴∠AC1B1=90°即AC1与B1C1不垂直，又BC∥B1C1，∴①不正确；对于②，连结AD，DC1，在△ADC1中，AD=DC1=，而DF⊥AC1，∴F是AC1的中点，AF=FC1；∴②正确；对于③由②可知，在△ADC1中，DF=，连结CF，易知CF=，而在Rt△CBD中，CD=，∴DF2+CF2=CD2，即DF⊥CF，又DF⊥AC1，∴DF⊥面ACC1A1，∴平面DAC1⊥平面ACC1A1，∴③正确；故选：C．点评：本题考查命题的真假的判断，棱锥的结构特征，直线与平面垂直，直线与直线的位置关系的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．12．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若A=，则a（cosC+sinC）=（）A． a+b B． b+c C． a+c D． a+b+c考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由正弦定理可得：a=2RsinA代入已知式子，由三角函数恒等变换的应用化简即可得解．解答：解：∵由正弦定理可得：a=2RsinA∴=2RsinAcosC=2RsinAcosC+3RsinC==2R（sinAcosC+cosAsinC+sinC）=2R[sin（A+C）+sinC]=2R（sinB+sinC）=b+c．故选：B．点评：本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理的应用，属于基本知识的考查．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值﹣8 ．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：作出变量x，y满足约束条件所对应的平面区域，采用直线平移的方法，将直线l：平移使它经过区域上顶点A（﹣2，2）时，目标函数达到最小值﹣8解答：解：变量x，y满足约束条件所对应的平面区域为△ABC如图，化目标函数z=x﹣3y 为将直线l：平移，因为直线l在y轴上的截距为﹣，所以直线l越向上移，直线l在y轴上的截距越大，目标函数z的值就越小，故当直线经过区域上顶点A时，将x=﹣2代入，直线x+2y=2，得y=2，得A（﹣2，2）将A（﹣2，2）代入目标函数，得达到最小值z min=﹣2﹣3×2=﹣8故答案为：﹣8点评：本题考查了用直线平移法解决简单的线性规划问题，看准直线在y轴上的截距的与目标函数z符号的异同是解决问题的关键．14．甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析： 4人排成一排，其中甲、乙相邻的情况有12种，其中甲丙相邻的只有4种，由此能求出甲乙相邻，则甲丙相邻的概率．解答：解：甲、乙相邻的方法有=12种情况，如果满足甲、丙相邻，则有=4种情况，所以所求的概率为P==．故答案为：．点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．15．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于A，B两点，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰三角形，e为双曲线的离心率，则e2= 5﹣2．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：可设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，再由双曲线的定义，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，运用离心率公式计算即可得到．解答：解：设|AF2|=m，由|AF1|﹣|AF2|=2a，∴|AF1|=2a+|AF2|=2a+m，又|AF1|=|AB|=|AF2|+|BF2|=m+|BF2|，∴|BF2|=2a，又|BF1|﹣|BF2|=2a，∴|BF1|=4a，依题意，即，，在Rt△F1AF2中，即，即，∴e2=．故答案为：5﹣2．点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用双曲线的定义是解题的关键．16．已知数列{a n}满足a1=1，a n+a n+1=2n+1，n∈N*，S n是数列{}的前n项和，则下列结论：①S2n﹣1=（2n﹣1）•；②S2n=S n；③S2n≥﹣+S n；④S2n≥S n+，其中正确的是③④（填写所有正确结论的序号）．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：易知，a2=2，由a n+a n+1=2n+1，a n+1+a n+2=2n+3，两式相减，得a n+2﹣a n=2，即此数列每隔一项成等差数列，可得a n=n．①令n=2，即可判断出正误；②令n=1，即可判断出正误；③作差，利用，即可判断出正误；④作差：，设，判断出其单调性，即可判断出正误．解答：解：易知，a2=2，由a n+a n+1=2n+1，a n+1+a n+2=2n+3，两式相减，得a n+2﹣a n=2，即此数列每隔一项成等差数列，由a1=1，可得数列1的奇数项为1，3，5，…，由a2=2，可得其偶数项为2，4，6，…，故a n=n．①令n=2，，，，①错；②令n=1，，，，②错；③∵，又2n＞2n﹣1，∴，∴，故③正确；④∵，设，∵，∴f（n+1）＞f（n），∴f（n）单增，∴，∴，∴（n∈N*），故④正确．综上可得：只有③④正确．故答案为：③④．点评：本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了“作差法”、推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．若函数f（x）=sin2ax﹣sinax•cosax﹣（a＞0）的图象与直线y=b相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若x0∈[0，]，且x0是y=f（x）的零点，试写出函数y=f（x）在[x0，x0+]上的单调增区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；等差数列的通项公式；正弦函数的图象．专题：等差数列与等比数列；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f（x）=，根据题意b为f（x）的最大值或最小值，可求b，由已知求周期后，根据周期公式即可求得a．（Ⅱ）由题意知，则可求，由得k的值，从而可分类讨论得解．解答：（本题满分为12分）解：（Ⅰ）=∵y=f（x）的图象与直线y=b相切，∴b为f（x）的最大值或最小值，即b=﹣1或b=1，∵切点横坐标依次成公差为的等差数列，∴f（x）的最小正周期为，即，a＞0，∴a=2，即；…（6分）（Ⅱ）由题意知，则，∴，由得k=1或k=2，因此或．当时，y=f（x）的单调增区间为和，当时，y=f（x）的单调增区间为．…（12分）点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，等差数列的通项公式，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．18．如图，正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，E，F分别是AD，BC1的中点．（1）求证：EF∥平面C1CDD1；（2）在线段A1B上是否存在点G，使得EG⊥平面A1BC1？若存在，求二面角A1﹣C1G﹣C的平面角的余弦值；若不存在，请说明理由．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）过E作EH∥CD，连接FH，只要证明平面EFH∥平面C1CDD1即可；（2）假设在线段A1B上存在点G，使得EG⊥平面A1BC1；设正方体的棱长为2，以A原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，分别求出平面A1BC1？的法向量以及的坐标，利用向量的数量积解答．解答：证明：（1）过E作EH∥CD，连接FH，则FH∥CC1，所以平面EFH∥平面C1CDD1；所以EF∥平面C1CDD1；（2）假设在线段A1B上存在点G，使得EG⊥平面A1BC1；设正方体的棱长为2，以A原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，如图：则=（2，0，﹣2），=（2，2，2），设平面A1BC1的法向量为=（x，y，z），则，令x=1，则=（1，﹣2，1），G（a，0，c），则=（a，﹣1，c），要使EG⊥平面A1BC1，只要，所以，所以a=c=，所以在线段A1B上存在点G，使得EG⊥平面A1BC1；由以上可知是平面A1GC1的一个法向量；设平面CGC1的法向量为=（x'，y'，z'），则且，所以，令y'=1，则=（﹣2，1，0）为平面CGC1的一个法向量，所以二面角A1﹣C1G﹣C的平面角的余弦值为=．点评：本题考查证明线面平行的方法，关键是将问题转为线线平行解决，体现了转化的思想．19．某保险公司推出了一种保期为一年的险种：若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔偿20万元，若投保人因大病住院治疗（医疗费超过10万元者），则公司赔付10万元，否则公司无需赔付任何费用，通过大数据显示投保人在一年意外死亡的概率为0.0001，大病住院治疗的概率为0.002．（Ⅰ）某个家庭的夫妻两人都买了此险种，求他们在投保期末获得赔付金额的分布列和期望；（Ⅱ）若有一万个客户投保，每份保单的投保费用是300元/年，问保险公司在此险种中一年的盈利是多少．考点：离散型随机变量的期望与方差；函数模型的选择与应用．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）求出随机变量的概率，即可求出对应的分布列和期望；（Ⅱ）根据分布列进行求解即可．解答：解：（Ⅰ）设夫妻两人在投保期末获得赔付的金额为ξ，ξ可取40，30，20，10，0（单位：万元），，，，，则对应的分布列为：ξ 0 10 20 30 40P（万元），（Ⅱ）10000人向保险公司缴纳的保险费为10000×300（元）=300（万元），保险公司为10000人赔付的费用为（万元），所以保险公司一年的盈利为300﹣220=80（万元）．…（12分）点评：本题主要考查与概率有关的应用问题，求出对应的概率是解决本题的关键．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，且|AB|=．（Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）斜率为的直线l与椭圆交于P、Q两点，点P在第一象限，求证A、P、B、Q四点共圆．考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）运用离心率公式和两点的距离公式，结合椭圆的a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线PQ的方程为，联立椭圆方程，运用韦达定理，设过点三点圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，证明Q也在此圆上．解答：解：（Ⅰ）依题意知，，，即a2+b2=7，又a2﹣b2=c2，解得a=2，，∴椭圆的方程为；（Ⅱ）设直线PQ的方程为，P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆上，将直线l的方程代入椭圆方程+=1，整理得，则△=12m2﹣12（2m2﹣6）＞0，…①，又，，∴…②，设过点三点圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，于是2D+F+4=0，，，∴，…③令，∵x12+y12+Dx1+Ey1+F1=0，∴=，将①②③式代入此式，并化简，得…④，又=（x2+x1）（x2﹣x1）+（y2+y1）（y2﹣y1）+D（x2﹣x1）+E（y2﹣y1），将①②③式，及代入此式，并化简，得…⑤，依题意，x1≠x2，由④⑤得，，∴t=0，或x2﹣x1=﹣2；若x2﹣x1=﹣2，则，得m2=3，∴或，此时直线l经过点或，这与直线l过椭圆在第一象限上的一点P矛盾，所以t=0，故，即点Q在过点A，P，B三点的圆上，所以A，P，B，Q四点共圆．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查四点共圆的证法，属于中档题．21．已知函数f（x）=（e x﹣1）ln（x+a）（a＞0）在x=0处取得极值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）当x≥0时，求证f（x）≥x2．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，由f′（0）=0，从而求出a的值；（Ⅱ）先求出f（x）的表达式，令g（x）=f（x）﹣x2，通过讨论x的范围，结合导数的应用，求出函数g（x）的单调性，从而证出结论．解答：解：（Ⅰ）∵，函数f（x）在x=0处取得极值，∴f′（0）=0，得lna=0，即a=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=（e x﹣1）ln（x+1），令g（x）=（e x﹣1）ln（x+1）﹣x2（x≥0），则，令h（x）=（x+1）g′（x）=e x（x+1）ln（x+1）+e x﹣1﹣2x（x+1），∴h′（x）=e x（x+1）ln（x+1）+e x[ln（x+1）+1]+e x﹣（4x+2）令φ（x）=e x﹣x﹣1，则φ′（x）=e x﹣1，（ⅰ）当x≤0时，e x﹣1≤0（ⅱ）当x≥0时，e x﹣1≥0，∴函数φ（x）在区间（﹣∞，0]为减函数，在区间[0，+∞）为增函数．∴φ（x）min=φ（0）=0，∴对x∈R，φ（x）≥0，即e x≥x+1…①，由①知e t﹣1≥t…②，当t＞0时，由②得lnt≤t﹣1…③，当x≥0时，以代换③式中t，得…④，当x≥0时，e x≥1由①，④得e x（x+1）ln（x+1）≥x，e x ln（x+1）≥x，∴h′（x）≥x+x+2（x+1）﹣（4x+2）=0，∴函数y=h（x）（x≥0）为增函数，∴当x≥0，h（x）≥h（0）=0，即当x≥0时，（x+1）g′（x）≥0，且x+1≥1＞0，∴g′（x）≥0，∴函数y=g（x）（x≥0）为增函数，∴当x≥0时，g（x）≥g（0）=0∴当x≥0时，g（x）≥0，∴当x≥0时，f（x）≥x2．点评：本题考查了函数的单调性，导数的应用，考查不等式的证明问题，是一道中档题．选做题：选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22．如图，已知PA与半圆O切于点A，PO交半圆O于点B、C，AD⊥PO于点D．（Ⅰ）求证AB平分∠PAD；（Ⅱ）求证．考点：与圆有关的比例线段；弦切角．专题：选作题．分析：（Ⅰ）利用BC为半圆O的直径，AD⊥BC，PA与半圆O切于点A，证明∠PAB=∠BAD，即可证明AB平分∠PAD；（Ⅱ）证明△PAB∽△PCA，=，即可证明．解答：证明：（Ⅰ）由题意，BC为半圆O的直径，A为半圆O上一点，∴∠BAC=90°，∵AD⊥BC，∴∠BAD=∠ACD，∵PA与半圆O切于点A，∴∠PAB=∠ACD，∴∠PAB=∠BAD，∴AB平分∠PAD；（Ⅱ）连接AC，∵∠PAB=∠PCA，∠P=∠P，∴△PAB∽△PCA，∴．在Rt△BAC中，AD⊥CD，∴，∴，=，∴，=，∴=，∴．点评：本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分）23．在平面直角坐标系xOy中，曲线（a＞b＞0，φ为参数，0≤φ＜2π）上的两点A、B对应的参数分别为α，α+．（1）求AB中点M的轨迹的普通方程；（2）求点O到直线AB的距离的最大值和最小值．考点：轨迹方程；点到直线的距离公式．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用中点坐标公式，即可求AB中点M的轨迹的普通方程；（2）利用点到直线的距离公式求解和化简即可．解答：解：（1）设AB中点M（x，y），则，所以；（2）以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，所以有，所以ρ2=，设A（ρ1，α），B（ρ2，），则|AB|=，∴点O到AB直线的距离为==，∴点O到AB直线的距离为定值．点评：本题重点考查了参数方程、距离公式，考查极坐标系等知识，属于中档题．选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）24．已知实数a，b，c满足a2+b2+c2=3．（Ⅰ）求证a+b+c≤3；（Ⅱ）求证．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（I）由于（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，利用基本不等式的性质即可证明；（II）由于（a2+b2+c2）=3+++++，利用基本不等式的性质即可证明．解答：证明：（I）∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤a2+b2+c2+（a2+b2）+（b2+c2）+（a2+c2）=3（a2+b2+c2）=9．∴a+b+c≤3；（II）∵（a2+b2+c2）=3+++++=3+++≥+2+2=9．当且仅当a2=b2=c2=1时取等号．∴≥3点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．。
2015年高考模拟试题三模试题_北京市东城区2015年高考第三次模拟考试数学理科试题
4 3
B． 2
C．
8 3
D．
16 2 3
A.
2 3 3
B. 3 1
C.
5 2
D. 5
12.对于函数 f x ，若对于任意的 x1 , x2 , x3 R
， f x1 , f x2 , f x3 为某一三角形的三边长，
则称 f x 为“可构成三角形的函数”。已知函数 f x 取值范围是（ A． , 2 2 ）
x2 y 2 1 ( a ﹥ 0 , b ﹥ 0 ) 的 离 心 率 为 a 2 b2
。
3 ，则其渐近线方程
。
14.已知数列 an 是等差数列, a1 1, S n 为其前 n 项和,若 a1 , a2 , a5 成等比数列，则 S8
·2·
15. 已 知 函 数 f x log a
2
）
C． 0, 2
D． 2, 4
9.已知直线 l 过抛物线 C ： x 4 y 的焦点，且与 y 轴垂直，则直线 l 与抛物线 C 所围成的图形的面 积为（ ） A．
3 ） , 2 ，满足 tan 2 tan 0 ，则 tan 的最小值是（ 2 2 2 3 2 3 2 A． B． C． D． 4 4 4 4 2 2 x y 11.设 F1 , F2 分别是双曲线 2 2 1 ( a ﹥ 0 , b ﹥ 0 )的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点 P ， a b 使得 OP OF 2 F2 P 0 ，其中 O 为坐标原点，且 PF1 2 PF2 ，则该双曲线的离心率为( )
A． 3 4.已知 a1 1 ， an 1 B． 5 C． 2 2
2015年全国各地高考模拟数学试题汇编【三轮】三角变换与解三角形(理卷B)
第 2 讲 三角变换与解三角形(B 卷)
一、选择题（每题 5 分，共 45 分） 1．(2015·黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第三次模拟考试数学（理）试题·12)在
ABC 中，内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ， a c 且满足
32
A.
8
2
B.
2
6．（2015·肇庆市高中毕业班第三次统一检测题·3）在ABC 中，AB=5，AC=3，BC=7，则
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，通力根1保过据护管生高线产中敷工资设艺料技高试术中卷0资不配料仅置试可技卷以术要解是求决指，吊机对顶组电层在气配进设置行备不继进规电行范保空高护载中高与资中带料资负试料荷卷试下问卷高题总中2体2资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况1卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可1都关能可于地以管缩正路小常高故工中障作资高；料中对试资于卷料继连试电接卷保管破护口坏进处范行理围整高，核中或对资者定料对值试某，卷些审弯异核扁常与度高校固中对定资图盒料纸位试，置卷编.工保写况护复进层杂行防设自腐备动跨与处接装理地置，线高尤弯中其曲资要半料避径试免标卷错高调误等试高，方中要案资求，料技编试术写5、卷交重电保底要气护。设设装管备备置线4高、调动敷中电试作设资气高，技料课中并3术试、件资且中卷管中料拒包试路调试绝含验敷试卷动线方设技作槽案技术，、以术来管及避架系免等统不多启必项动要方高式案中，；资为对料解整试决套卷高启突中动然语过停文程机电中。气高因课中此件资，中料电管试力壁卷高薄电中、气资接设料口备试不进卷严行保等调护问试装题工置，作调合并试理且技利进术用行，管过要线关求敷运电设行力技高保术中护。资装线料置缆试做敷卷到设技准原术确则指灵：导活在。。分对对线于于盒调差处试动，过保当程护不中装同高置电中高压资中回料资路试料交卷试叉技卷时术调，问试应题技采，术用作是金为指属调发隔试电板人机进员一行，变隔需压开要器处在组理事在；前发同掌生一握内线图部槽 纸故内资障，料时强、，电设需回备要路制进须造行同厂外时家部切出电断具源习高高题中中电资资源料料，试试线卷卷缆试切敷验除设报从完告而毕与采，相用要关高进技中行术资检资料查料试和，卷检并主测且要处了保理解护。现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。C．3
山东省实验中学2015届高考数学三模试卷(理科)
山东省实验中学2015届高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）已知M={x||x﹣3|＜4}，N={x|＜0，x∈Z}，则M∩N=（）A．ϕB．{0} C．{2} D．{x|2≤x≤7}2．（5分）幂函数f（x）=k•xα的图象过点，则k+α=（）A．B．1C．D．23．（5分）已知向量，若垂直，则m的值为（）A．1B．﹣1 C．﹣D．4．（5分）圆（x﹣1）2+y2=1被直线x﹣y=0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：55．（5分）等比数列{a n}中，a3=6，前三项和S3=4xdx，则公比q的值为（）A．1B．﹣C．1或﹣D．﹣1或﹣6．（5分）复数z=（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（5分）直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）8．（5分）若函数f（x）=（k﹣1）a x﹣a﹣x（a＞0，a≠1）在R上既是奇函数，又是减函数，则g（x）=log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．9．（5分）设偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=1，则f（）的值为（）A．﹣B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n项的和S n，则S10=（）A．45 B．55 C．90 D．110二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡指定横线上.）11．（5分）由y=，x=1，x=2，y=1所围成的封闭图形的面积为．12．（5分）已知不等式组表示的平面区域的面积为9，点P（x，y）在所给平面区域内，则z=3x+y的最大值为．13．（5分）已知离心率为的双曲线C：﹣=1（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4mx 的焦点重合，则实数m=．14．（5分）公差为d，各项均为正整数的等差数列中，若a1=1，a n=25，则n+d的最小值等于．15．（5分）定义函数d（x）=，f（x）=1gx，那么下列命题中正确的序号是．（把所有可能的图的序号都填上）．①函数d（x）为偶函数；②函数d（x）为周期函数，且任何非零实数均为其周期；③方程d（x）=f（x）有两个不同的根．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．（12分）已知向量=（sin，cos），=（cos，cos），函数f（x）=•，（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）如果△ABC的三边a、b、c，满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域．17．（12分）如图所示，四边形OABP是平行四边形，过点P的直线与射线OA、OB分别相交于点M、N，若=x，=y（1）利用∥，把y用x表示出来（即求y=f（x）的解析式）；（2）设数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足：S n=f（S n﹣1）（n≥2），求数列{a n}通项公式．18．（12分）已知直线l：y=x+m，m∈R．（1）若以点M（2，﹣1）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在x轴上，求该圆的方程；（2）若直线l关于x轴对称的直线l′与抛物线相切，求直线l的方程和抛物线C 的方程．19．（12分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，求证：≤T n＜．20．（13分）已知函数f（x）=．（I）求函数f（x）的单调区间；（II）若函数f（x）在区间（t，t+）（t＞0）上不是单调函数，求实数t的取值范围；（III）如果当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立，求实数a的取值范围．21．（14分）定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆C1：的长轴长是4，椭圆C2：短轴长是1，点F1，F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点，（Ⅰ）求椭圆C1，C2的方程；（Ⅱ）过F1的直线交椭圆C2于点M，N，求△F2MN面积的最大值．山东省实验中学2015届高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）已知M={x||x﹣3|＜4}，N={x|＜0，x∈Z}，则M∩N=（）A．ϕB．{0} C．{2} D．{x|2≤x≤7}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：利用绝对值不等式及分式不等式的解法，我们易求出集合M，N，再根据集合交集运算法则，即可求出答案．解答：解：∵M={x||x﹣3|＜4}=（﹣1，7），N={x|＜0，x∈Z}={x|﹣2＜x＜1，x∈Z}={﹣1，0}，∴M∩N={0}故选B点评：本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据绝对值不等式及分式不等式的解法，求出集合M，N，是解答本题的关键．2．（5分）幂函数f（x）=k•xα的图象过点，则k+α=（）A．B．1C．D．2考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：由函数f（x）=k•xα是幂函数，根据幂函数的定义可知，其系数k=1，再将点的坐标代入可得α值，从而得到幂函数的解析式．解答：解：∵函数f（x）=k•xα是幂函数，∴k=1，∵幂函数f（x）=xα的图象过点，∴（）α=，得α=，则k+α=1+=．故选C．点评：本题考查幂函数的性质及其应用，解题时要认真审题，注意熟练掌握基本概念．3．（5分）已知向量，若垂直，则m的值为（）A．1B．﹣1 C．﹣D．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：根据向量坐标运算的公式，求出向量的坐标．再利用向量与互相垂直，得到它们的数量积等于0，利用两个向量数量积的坐标表达式列方程，可求解m的值．解答：解∵∴向量=（1﹣4，3+2m）=（﹣3，3+2m）又∵向量与互相垂直，∴•（）=1×（﹣3）+3（3+2m）=0∴﹣3+9+6m=0⇒m=﹣1故选B．点评：本题根据两个向量垂直，求参数m的值，考查了向量坐标的线性运算、向量数量积的坐标公式和两个向量垂直的充要条件等知识点，属于基础题．4．（5分）圆（x﹣1）2+y2=1被直线x﹣y=0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题．分析：根据圆的方程求得圆心坐标和半径，进而根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离，利用勾股定理求得直线被圆截的弦长，进而可利用勾股定理推断出弦所对的角为直角，进而分别求得较短的弧长和较长的弧长，答案可得．解答：解：圆的圆心为（1，0）到直线x﹣y=0的距离为=∴弦长为2×=根据勾股定理可知弦与两半径构成的三角形为直角三角形，较短弧长为×2π×1=，较长的弧长为2π﹣=∴较短弧长与较长弧长之比为1：3故选B点评：本题主要考查了直线与圆相交的性质．一般采用数形结合的方法，在弦与半径构成的三角形中，通过解三角形求得问题的答案．5．（5分）等比数列{a n}中，a3=6，前三项和S3=4xdx，则公比q的值为（）A．1B．﹣C．1或﹣D．﹣1或﹣考点：定积分；等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：根据题意，直接找出被积函数4x的原函数，直接计算在区间上的定积分即可得S3，再结合等比数列的性质求得公比q的值即可．解答：解：∵S3=∫034xdx=18，∴⇒2q2﹣q﹣1=0⇒q=1或，故选C．点评：本题考查等比数列的前n项和、定积分的基本运算，求定积分关键是找出被积函数的原函数，本题属于基础题．6．（5分）复数z=（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z；令复数的实部、虚部大于0，得到不等式无解，即对应的点不在第一象限．解答：解：由已知z==在复平面对应点如果在第一象限，则而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．故选A点评：本题考查复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数；考查复数的几何意义：复数与复平面内的以实部为横坐标，虚部为纵坐标的点一一对应．7．（5分）直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，可得1＞b＞0或b＞1．利用e==即可得出．解答：解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，∴1＞b＞0或b＞1．∴e==＞1且e≠．故选：D．点评：本题考查了双曲线与直线相交问题、离心率计算公式，考查了数形结合的思想方法，属于基础题．8．（5分）若函数f（x）=（k﹣1）a x﹣a﹣x（a＞0，a≠1）在R上既是奇函数，又是减函数，则g（x）=log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．考点：奇偶性与单调性的综合；对数函数的图像与性质．专题：数形结合．分析：根据函数是一个奇函数，函数在原点出有定义，得到函数的图象一定过原点，求出k的值，根据函数是一个减函数，看出底数的范围，得到结果．解答：解：∵函数f（x）=（k﹣1）a x﹣a﹣x（a＞0，a≠1）在R上是奇函数，∴f（0）=0∴k=2，又∵f（x）=a x﹣a﹣x为减函数，所以1＞a＞0，所以g（x）=log a（x+2）定义域为x＞﹣2，且递减，故选：A点评：本题考查函数奇偶性和单调性，即对数函数的性质，本题解题的关键是看出题目中所出现的两个函数性质的应用．9．（5分）设偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=1，则f（）的值为（）A．﹣B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：通过函数的图象，利用KL以及∠KML=90°求出求出A，然后函数的周期，确定ω，利用函数是偶函数求出φ，即可求解．解答：解：因为f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，所以A=，T=2，因为T=，所以ω=π，函数是偶函数，0＜φ＜π，所以φ=，∴函数的解析式为：f（x）=sin（πx+），所以．故选：C．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n项的和S n，则S10=（）A．45 B．55 C．90 D．110考点：数列的求和；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：由分段函数解析式得到函数f（x）在x＞0时的分段解析式，首先求得函数g（x）=f（x）﹣x在（﹣2，0]上的零点，然后根据函数的图象平移得到函数g（x）=f（x）﹣x在（0，2]，（2，4]，（4，6]，…，（2n，2n+2]上的零点，得到偶数零点按从小到大的顺序排列的数列，利用等差数列的前n项和得答案．解答：解：当0＜x≤2时，有﹣2＜x﹣2≤0，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣2，当2＜x≤4时，有0＜x﹣2≤2，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣4+1，当4＜x≤6时，有2＜x﹣2≤4，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣6+2，当6＜x≤8时，有4＜x﹣1≤6，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣8+3，以此类推，当2n＜x≤2n+2（其中n∈N）时，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣2n﹣2+n，∴函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（﹣1，），由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x﹣1和y=x的图象，取x≤0的部分，可见它们有两个交点（0，0），（﹣1，）．即当x≤0时，方程f（x）﹣x=0有两个根x=﹣1，x=0；当0＜x≤2时，由函数图象平移可得g（x）=f（x）﹣x的零点为1，2；以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，4]，（4，6]，…，（2n，2n+2]上的零点分别为：3，4；5，6；…；2n+1，2n+2；综上所述函数g（x）=f（x）﹣x的偶数零点按从小到大的顺序排列所得数列为：0，2，4，…，其通项公式为：a n=2（n﹣1），前10项的和为S10=．故选：C．点评：本题考查了分段函数的应用，考查了函数零点的判断方法，考查了等差数列的和的求法，是中档题．二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡指定横线上.）11．（5分）由y=，x=1，x=2，y=1所围成的封闭图形的面积为1﹣ln2．考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的概念及应用．分析：根据定积分与图形的关系可分割求出面积．解答：解：因为函数在上的积分为，所以围成的封闭图形的面积等于四边形的面积减去曲线与x轴围成的面积1﹣ln2．故答案为：1﹣ln2点评：本题主要考查定积分的应用，在利用定积分求面积时必须要求被积函数f（x）≥0，要求熟练掌握常见函数的积分公式．12．（5分）已知不等式组表示的平面区域的面积为9，点P（x，y）在所给平面区域内，则z=3x+y的最大值为12．考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，先求出a，再将z=3x+y化为y=﹣3x+z，z相当于直线y=﹣3x+z的纵截距，由几何意义可得．解答：解：由题意作出其平面区域，故由题意知，×a×2a=9；故a=3；则z=3x+y化为y=﹣3x+z，z相当于直线y=﹣3x+z的纵截距，由图可得，当过点（3，3）时有最大值，即z=3×3+3=12．故答案为：12．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．13．（5分）已知离心率为的双曲线C：﹣=1（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4mx 的焦点重合，则实数m=3．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先由双曲线的离心率求出a2的值，由此得到双曲线的右焦点，再求出抛物线y2=4mx 的焦点坐标，从而求出实数m．解答：解：∵双曲线C：﹣=1的离心率为∵，e=，b2=4∴a2=5，∴=3，∴双曲线C：﹣=1（a＞0）的右焦点（3，0），∵抛物线y2=4mx的焦点（m，0），又双曲线C：﹣=1（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4mx的焦点重合，∴m=3故答案为：3点评：本题考查抛物线的简单性质、双曲线的性质和应用，考查了学生对基础知识的综合把握能力，属于基础题．14．（5分）公差为d，各项均为正整数的等差数列中，若a1=1，a n=25，则n+d的最小值等于11．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差数列的首项和公差d，写出等差数列的通项公式，得到n与d的关系式，解出d，根据等差数列的各项均为正整数，得到d也为正整数，即为24的约数，进而得到相应的n的值，得到n与d的六对值，即可得到n+d的最小值．解答：解：由a1=1，得到a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）d=25，即（n﹣1）d=24，解得：d=，因为等差数列的各项均为正整数，所以公差d也为正整数，因此d只能是1，2，3，4，6，8，12，24，此时n相应取25，13，9，7，5，4，3，2则n+d的最小值等于11．故答案为11点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题．本题的突破点是得到公差d只能取24的约数．15．（5分）定义函数d（x）=，f（x）=1gx，那么下列命题中正确的序号是①．（把所有可能的图的序号都填上）．①函数d（x）为偶函数；②函数d（x）为周期函数，且任何非零实数均为其周期；③方程d（x）=f（x）有两个不同的根．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中函数d（x）=，f（x）=1gx，分析d（x）的奇偶性与周期性，可判断①②；分析方程d（x）=f（x）根的个数，可判断③．解答：解：∵函数d（x）=，f（x）=1gx，对于①，当x∈Q时，d（﹣x）=d（x）=1，当x∉Q时，d（﹣x）=d（x）=0，即d（﹣x）=d（x）恒成立，函数d（x）为偶函数，故正确；对于②，函数d（x）为周期函数，且任何非零有理数均为其周期，故错误；对于③，当且仅当x=10时，d（x）=f（x），故方程d（x）=f（x）仅有一个根，故错误．故答案为：①点评：本题以命题的真假判断为载体考查了函数的奇偶性，周期性，函数零点与方程根的关系，难度不大，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．（12分）已知向量=（sin，cos），=（cos，cos），函数f（x）=•，（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）如果△ABC的三边a、b、c，满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域．考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性．专题：综合题．分析：（1）利用向量的数量积公式及辅助角公式，化简函数，即可求得函数f（x）的单调递增区间；（2）通过b2=ac，利用余弦定理求出cosx的范围，然后求出x的范围，进而可求三角函数的值域．解答：解：（1）∵向量=（sin，cos）=（cos，cos），∴函数f（x）=•=sin（）+，令2kπ﹣≤≤2kπ+，解得．故函数f（x）的单调递增区间为．（2）由已知b2=ac，cosx==≥=，∴≤cosx＜1，∴0＜x≤∴∴＜sin（）≤1，∴＜sin（）+≤1+∴f（x）的值域为（，1+]点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，余弦定理的应用，正弦函数的值域的求法，考查计算能力．17．（12分）如图所示，四边形OABP是平行四边形，过点P的直线与射线OA、OB分别相交于点M、N，若=x，=y（1）利用∥，把y用x表示出来（即求y=f（x）的解析式）；（2）设数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足：S n=f（S n﹣1）（n≥2），求数列{a n}通项公式．考点：数列递推式；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：综合题．分析：（1）用分别表示，，再利用向量共线的条件，即可得到结论；（2）当n≥2时，由S n=f（S n﹣1）=，则，可得数列{}是首项和公差都为1的等差数列，由此即可求得数列的通项．解答：解：（1）∵，∴∵，∥，∴x﹣y（1+x）=0，∴即函数的解析式为：f（x）=（0＜x＜1）；（2）当n≥2时，由S n=f（S n﹣1）=，则又S1=a1=1，那么数列{}是首项和公差都为1的等差数列，则，即S n=n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=；n=1时，a1=1故a n=．点评：本题考查向量知识的运用，考查向量共线的条件，考查等差数列的证明，考查求数列的通项，属于中档题．18．（12分）已知直线l：y=x+m，m∈R．（1）若以点M（2，﹣1）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在x轴上，求该圆的方程；（2）若直线l关于x轴对称的直线l′与抛物线相切，求直线l的方程和抛物线C 的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆的位置关系．专题：综合题．分析：（1）解法1：确定点P的坐标，进而可求圆的半径，从而可求圆的方程；解法2：利用待定系数法求本题中圆的方程是解决本题的关键，利用直线与圆相切的数学关系列出关于圆的半径的方程，通过求解方程确定出所求圆的半径，进而写出所求圆的方程；（2）解法1：设出直线为l'的方程利用直线与抛物线的位置关系解决该题，将几何问题转化为代数方程组问题，注意体现方程有几个解的思想；解法2：利用导数求切线，从而可直线l的方程和抛物线C的方程．解答：解：（1）解法1：依题意得点P的坐标为（﹣m，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵以点M（2，﹣1）为圆心的圆与直线l相切与点P，∴MP⊥l．，解得m=﹣1．﹣﹣﹣﹣（3分）∴点P的坐标为（1，0）．设所求圆的半径r，则r2=|PM|2=1+1=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴所求圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）解法2：设所求圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=r2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）依题意知点P的坐标为（﹣m，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵以点M（2，﹣1）为圆心的圆与直线l相切于点P（﹣m，0），∴解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴所求的圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）】（2）解法1：将直线方程y=x+m中的y换成﹣y，可得直线l'的方程为y=﹣x﹣m．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）由得mx2+x+m=0，（m≠0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）△=1﹣4m2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∵直线l'与抛物线相切∴△=0，解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）当时，直线l的方程为，抛物线C的方程为x2=2y，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）当时，直线l的方程为，抛物线C的方程为x2=﹣2y．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）解法2：将直线方程y=x+m中的y换成﹣y，可得直线l'的方程为y=﹣x﹣m．﹣﹣﹣﹣﹣（7分）设直线l'与抛物线相切的切点为（x0，y0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）由y=mx2得y'=2mx，则2mx0=﹣1﹣﹣﹣①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）y0=﹣x0﹣m﹣﹣﹣﹣﹣﹣②．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③①②③联立得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）当时，直线l的方程为，抛物线C的方程为x2=2y，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）当时，直线l的方程为，抛物线C的方程为x2=﹣2y．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）】点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系，考查学生对直线与圆相切，直线与抛物线相切的问题的转化方法，考查学生的方程思想和运算化简能力，属于中档题．19．（12分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，求证：≤T n＜．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意得，由此能求出a n=4n+2．（2）由a1=6，d=4，得S n=2n2+4n，==，从而T n==﹣＜，由此能证明≤T n＜．解答：解：（1）由题意得，解得a1=6，d=4，∴a n=6+（n﹣1）×4=4n+2．（2）∵a1=6，d=4，∴S n=6n+=2n2+4n，==，∴T n===﹣＜，（T n）min=T1=﹣=．故≤T n＜．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．20．（13分）已知函数f（x）=．（I）求函数f（x）的单调区间；（II）若函数f（x）在区间（t，t+）（t＞0）上不是单调函数，求实数t的取值范围；（III）如果当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（I）求导f′（x）=﹣，从而由导数的正负确定函数的单调区间；（II）由f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）得t＜1＜t+，从而解得；（III）不等式f（x）≥可化为a≤，令g（x）=，从而化恒成立为a≤g min（x），（x≥1）；从而转化为函数的最值问题．解答：解：（I）∵f（x）=，x＞0，故f′（x）=﹣，则当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0；故f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；（II）∵f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；∴t＜1＜t+，故＜t＜1；故实数t的取值范围为（，1）；（III）不等式f（x）≥可化为a≤，令g（x）=，则当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立可化为a≤g min（x），（x≥1）；而g′（x）=；令h（x）=x﹣lnx；则h′（x）=1﹣≥0；故h（x）在．点评：本题了函数的综合应用及导数的综合应用，同时考查了恒成立问题，属于中档题．21．（14分）定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆C1：的长轴长是4，椭圆C2：短轴长是1，点F1，F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点，（Ⅰ）求椭圆C1，C2的方程；（Ⅱ）过F1的直线交椭圆C2于点M，N，求△F2MN面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c'，易知a=2，b=m，n=，根据椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，可得关于a，b，m，n的方程，解出即可；（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：．与椭圆C2的方程联立消掉x得y的二次方程，则△＞0，由弦长公式可表示出|MN|，由点到直线的距离公式可表示出△F2MN的高h，则△F2MN的面积S=，变形后运用基本不等式即可求得S的最大值；解答：解：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c'．由已知a=2，b=m，．∵椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，即，∴，即∴，即bm=b2=an=1，∴b=m=1，∴椭圆C1的方程是，椭圆C2的方程是；（Ⅱ）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为：．联立：，得，即，∴△=192m2﹣44（1+4m2）=16m2﹣44＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴，△F2MN的高即为点F2到直线的距离．∴△F2MN的面积，∵，等号成立当且仅当，即时，∴，即△F2MN 的面积的最大值为．点评：本题考查椭圆方程及其性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式求函数的最值，考查学生的运算能力、分析解决问题的能力．。
2015年全国各地高考三模数学试题汇编专题2 第2讲 函数及其图象与性质(理卷A)
专题2 不等式、函数与导数 第2讲 函数及其图象与性质（A 卷）一、选择题（每题5分，共65分）1. （2015·山东省实验中学第二次考试·4）已知函数()f x 的定义域为()()32,11a a f x -++，且为偶函数，则实数a 的值可以是（）A.23B.2C.4D.62．（2015·武清区高三年级第三次模拟高考·2）函数)2(log )(22+=x x f ，[]6,2-∈x 的值域为（ ）（A ）[]3,2 （B ）[]3,1 （C ）[]8,4 （D ）[]8,23．(2015.菏泽市高三第二次模拟考试数学（理）试题·7)已知函数133, (1),()log ,(1),x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则(2)y f x =-的大致图象是 （ ）4．(绵阳市高中2015届第三次诊断性考试·5)若则下列不等式成立的是（ ）5．(2015·聊城市高考模拟试题·3)下列函数中，满足()()()f xy f x f y =的单调递增函数是（ ）A ．()3f x x =B ．()1f x x -=-C ． ()2log f x x =D ．()2x f x =6. ( 2015`临沂市高三第二次模拟考试数学（理）试题·4)已知()()F x f x x =-是偶函数，且()()212f f =-=，则（ ）A.4B.2C. 3-D. 4-7．（2015·山东省淄博市高三阶段性诊断考试试题·6）设函数()()()01x x f x a ka a a -=->≠-∞+∞且在，上既是奇函数又是减函数，则()()log a g x x k =+的图象是（ ）8.（2015·山西省太原市高三模拟试题二·9）9．（2015·陕西省安康市高三教学质量调研考试·9）下列三个数，大小顺序正确的是（ ）10．(2015·德州市高三二模（4月）数学（理）试题·8)指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭与二次函数()22,y ax bx a R b R =+∈∈在同一坐标系中的图象可能的是（ ）11. （2015·山东省实验中学第二次考试·8）定义在R 上的偶函数满足()()3311,0222f x f x f f ⎛⎫⎛⎫+=--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且，则()()()()1232014f f f f +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A.2B.1C.0D.2-12. （2015·山东省实验中学第二次考试·10）函数()221610f x x x x =++-+的性质：①()f x 的图象是中心对称图形： ②()f x 的图象是轴对称图形； ③函数()f x 的值域为)13,⎡+∞⎣； ④方程()()110ff x =+有两个解.上述关于函数()f x 的描述正确的是（ ）A.①③B.③④C.②③D.②④13. (2015·山东省潍坊市第一中学高三过程性检测·10)如果函数()y f x =在区间I 上是增函数，而函数()f x y x=在区间I 上是减函数，那么称函数()y f x =是区间I 上“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”.若函数()21322f x x x =-+是区间I 上“缓增函数”，则“缓增区间”I 为（ ）A. [)1,+∞B. 0,3⎡⎤⎣⎦C. []0,1D. 1,3⎡⎤⎣⎦二、非选择题（共35分） 14.(2015·成都三诊·11)15. (2015· 徐州、连云港、宿迁三市高三第三次模拟·7)设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,4,0,log )(2x x x x f x ，则))1((-f f 的值为 .16．(2015·启东中学高三第二学期期初调研测试·1)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊂B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝ ▲ ．17.（2015·山东省枣庄市高三下学期模拟考试·12）18．（2015·南京市届高三年级第三次模拟考试·14）已知a ，t 为正实数，函数f (x )＝x 2－2x ＋a ，且对任意的x ∈[0，t ]，都有f (x )∈[－a ，a ]．若对每一个正实数a ，记t 的最大值为g (a )，则函数g (a )的值域为 ．19．（2015·苏锡常镇四市高三数学调研（二模）·8）已知常数0a >，函数()(1)1af x x x x =+>-的最小值为3，则a 的值为 20. （2015·山东省实验中学第二次考试·15）设函数()ln f x x =，有以下4个命题： ①对任意的()()()1212120,22f x f x x x x x f ++⎛⎫∈+∞≤⎪⎝⎭、，有； ②对任意的()()()121221211,x x x x f x f x x x ∈+∞<-<-、，且，有； ③对任意的()()()12121221,x x e x x x f x x f x ∈+∞<<、，且，有； ④对任意的120x x <<，总有()012,x x x ∈，使得()()()12012f x f x f x x x -≤-.其中正确的是______________________（填写序号）.第2讲 函数及其图象与性质（A 卷）参考答案与详解1.【答案】B【命题立意】本题旨在考查函数的奇偶性【解析】因为函数f （x+1）为偶函数，则其图象关于y 轴对称，而函数f （x ）的图象是把函数f （x+1）的图象向右平移1个单位得到的，所以函数f （x ）的图象关于直线x=1对称．又函数f （x ）的定义域为（3-2a ，a+1），所以（3-2a ）+（a+1）=2，解得：a=2．【易错警示】注意函数f （x+1）为偶函数，说明其定义域关于“0”对称，函数f （x ）的图象是把函数f （x+1）的图象向右平移1个单位得到的，说明f （x ）的定义域（3-2a ，a+1）关于“1”对称，由中点坐标公式列式可求a 的值． 2.【答案】B【命题立意】本题主要考查函数的值域计算.【解析】因为[]6,2-∈x ，所以2(2)[2,8]x +∈，故22()log (2)[1,3]f x x =+∈. 3.【答案】A【命题立意】本题旨在考查分段函数及其图象，函数的解析式．【解析】由题可得y=f （2－x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-1),2(log 1,3312x x x x ，故函数y=f （2－x ）仍是分段函数，且以x=1为界分段，只有选项A 符合条件． 4.【答案】D【命题立意】构造合适的函数，利用单调性比较函数值大小．【解析】对于（A ）考查幂函数(0)y x αα=>在(0,)+∞是增函数，故x x a b >，A 错；对于（B ）考查指数函数(01)x y a a =<<在(0,)+∞是减函数，故a b x x < ，B 错；对于（C ）考查对数函数log (01)a y x a =<<在(0,)+∞是减函数，故2log log log x x x a b b <=，C 错，选D ．【易错警示】函数概念不清，将指数函数与幂函数搞混，导致出错． 5.【答案】A【命题立意】本题主要考查函数的基本运算及单调性的应用。
2015年全国各地高考三模数学试题汇编专题2 第4讲 导数与定积分(理卷A)
专题2 不等式、函数与导数第4讲 导数与定积分（A 卷）一、选择题（每题5分，共50分）1、（2015·海南省高考模拟测试题·3）若函数)0,0(1)(>>-=b a e bx f ax 的图象在x=0处的切线与圆x 2+y 2=1相切,则a+b 的最大值是（ ）A. 4B. 22C. 2D. 22.（2015·河北省唐山市高三第三次模拟考试·12）3．(2015·哈尔滨市第六中学高三第三次模拟考试·12)定义在()0+∞，上的单调函数()[]2(),0,,()log 3f x x f f x x ∀∈+∞-=，则方程2)()(='-x f x f 的解所在区间是（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 B.⎪⎭⎫⎝⎛1,21 C.()2,1 D.()3,24．(2015济宁市曲阜市第一中学高三校模拟考试·10)若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线x =2对称，则()f x 的最大值是（ ）A ．9B ．14C ．15D ．165．（2015·开封市高三数学（理）冲刺模拟考试·10）已知函数f （x ）=e x ﹣mx+1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y=ex 垂直的切线，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ． （，+∞） C ． 1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ． (),e +∞6．（2015·佛山市普通高中高三教学质量检测（二）·4）不可能为直线b x y +=23作为切线的曲线是（ ）A ．x y 1-=B ．x y sin =C ． x y ln =D ．x e y =7. (2015·海淀区高三年级第二学期期末练习·7)已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，31()(1)e x f x x +=+.那么函数()f x 的极值点的个数是（ ）（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）28．(2015·丰台区学期统一练习二·3）直线4y x =+与曲线21y x x =-+所围成的封闭图形的面积为（ ） (A) 223 (B) 283 (C) 323 (D) 3439．（2015·合肥市高三第三次教学质量检测·10）定义在R 上的函数()f x 满足:()1f x >且()'()1,(0)5f x f x f +>=,其中'()f x 是()f x 的导函数,则不等式ln[()1]ln 4f x x +>-的解集为（ ）A ．(0,)+∞B ．(,0)(3,)-∞+∞C ．(,0)(0,)-∞+∞D ．(,0)-∞ 10. (2015.怀化市高三第二次模考·9) 定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)6f =，()f x '是()f x 的导函数，则不等式()5x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞UC ．()(),01,-∞+∞UD ．()3,+∞ 二、非选择题（50分）11. (2015·济南市高三教学质量调研考试·14)已知正方形ABCD,M 是DC 的中点，由AM mAB nAC =+uuu r uu u r uu u r 确定,m n 的值，计算定积分sin n m xdx ππ=⎰__________.12. （2015·青岛市高三自主诊断试题·14）若函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=->>的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为 ； 13．函数x e x x f 2)(=在区间)1,(+a a 上存在极值点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．14．（2015·苏锡常镇四市高三数学调研（二模）·14）已知a ，b ∈R ，a ≠0，曲线y=xa 2+，y=ax+2b+1，若两条曲线在区间[3，4]上至少有一个公共点，则a 2+b 2的最小值为15.（2015.山师附中第七次模拟·11）由1,1,2,1y x x y x ====所围成的封闭图形的面积为______________.16. （2015·山东省实验中学高三第三次诊断考试20.）（本题满分12分）已知函数()1ln x f x x+=. （I ）求函数()f x 的单调区间；（II ）若函数()f x 在区间()1,02t t t ⎛⎫+> ⎪⎝⎭上不是单调函数，求实数t 的取值范围； （III ）如果当1x ≥时，不等式()1a f x x ≥+恒成立，求实数a 的取值范围.17. （2015·扬州中学第二学期开学检测·20）（本小题满分13分）已知函数2()f x x ax b =++，()ln g x x =．（1）记()()()F x f x g x =-,求()F x 在[1,2]的最大值； （2）记()()()f x G xg x =，令4a m =-，24()b m m R =∈，当210<<m 时，若函数()G x 的3个极值点为123123,,()x x x x x x <<，（ⅰ）求证：321120x x x <<<<；（ⅱ）讨论函数()G x 的单调区间（用123,,x x x 表示单调区间）．专题2 不等式、函数与导数第4讲 导数与定积分（A 卷）答案与解析1.【答案】D【命题立意】本题旨在考查导数的几何意义，直线与圆的位置关系，基本不等式．【解析】由于f ′（x ）=－b a e ax ，故k=f ′（0）=－b a ，又f （0）=－b1，则对应的切线方程为y+b 1=－b a x ，即ax+by+1=0，而切线与圆x 2+y 2=1相切，则有d=221ba +=r=1，即a 2+b 2=1，故有a+b ≤)(222b a +=2，当且仅当a=b=22时等号成立． 2.【答案】C【命题立意】本题重点考查图象的对称性，利用导数研究函数的单调性，难度较大. 【解析】由题意知32231x y +=，将(,),(,),(,),(,),(,),x y y x y x x y x y ------代入其方程，其表达式不变，所以曲线关于原点和直线,y x y x ==-以及,x y 轴对称，所以①正确，②错误，根据对称性，因为曲线与两坐标轴交点处的四条线段长为42，而曲线是两坐标轴交点处弧长，所以42l >，故③正确，曲线到原点的距离的平方为222d x y =+，由32231x y +=，得3223(1)y x =-，所以32222223(1)d x y y x x =+==+-， 设32,u x =则23x u =，233(1)d u u =+-，222()33(1)63d u u u '=--=-，当102u <<时，2()0d '<，当12u >时，2()0d '>，所以当12u =时，2min 111()884d =+=，得12d ≥. 3.【答案】C 【命题立意】本题旨在考查导数，函数零点存在性定理。
上海市普陀区2015届高三第三次模拟调研考试数学(理)试题 含解析
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中。
每个空格填对得4分,填错或不填在正确的位置一律得零分。
1。
设复数(1)z i i =+，i 为虚数单位，则z 的共轭复数z =_________。
【答案】i --1考点：复数的运算及共轭复数的概念. 2。
已知幂函数)(x f y =图像过点2,2（）,则该幂函数的值域是_____________。
【答案】[0,)+∞ 【解析】试题分析:设幂函数的解析式为αx y =因为幂函数)(x f y =图像过点2,2（），所以21,22=∴=αα，所以该幂函数的解析式为0≥=x y . 考点:幂函数的定义及值域.3。
设向量(1,2)a =-，(3,4)b =，则向量a 在向量b 上的投影为 。
【答案】—1考点：向量的投影。
4。
已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤->-=)0(1)0(log )(22x x x x x f ，则不等式0)(>x f 的解集为_________.【答案】(1,1)- 【解析】试题分析:当0>x 时,1log 0log 22=>-x ，解得;10<<x 当0≤x 时,210x -＞，解得01≤<-x ,所以不等式0)(>x f 的解集为(1,1)-.考点:解不等式。
5.若二元一次线性方程组346x ay ax y +=⎧⎨+=⎩无解,则实数a 的值是__________. 【答案】—2考点:二元一次方程组。
6。
若02x π≤≤,则函数cos()sin()26y x x ππ=-+的最大值是___________。
【答案】23+【解析】试题分析：由题意cos()sin()26y x x ππ=-+xx x x x x cos sin 21sin 23)6sin cos 6cos (sin sin 2+=+=ππ311313cos 2)sin 2(sin 2cos cos 2sin )sin(2)423323x x x x x πππ=-+=-+=- 因为02x π≤≤，所以,1,23)32sin(,32,332⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-ππππx x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈+-432,043)62sin(21πx ,所以函数cos()sin()26y x x ππ=-+的最大值是234+。
【2015年全国各地高考三模数学试题汇编】专题2 不等式、函数与导数第3讲 函数与方程及函数的应用(理卷A)
专题2 不等式、函数与导数第3讲 函数与方程及函数的应用（A 卷）一、选择题（每题5分，共50分）1. （2015·山东省实验中学第二次考试·6）若方程24x x m +=有实数根，则所有实数根的和可能是（ ）A.246---、、B. 456---、、C. 345---、、D. 468---、、 2．(2015·德州市高三二模（4月）数学（理）试题·10)已知函数()()()sin 1,02=01log ,0ax x f x a a x x π⎧⎛⎫->⎪ ⎪>≠⎝⎭⎨⎪-<⎩，且的图象上关于y 轴对称的点至少有5对，则实数a 的取值范围是（ ）A．0,5⎛ ⎝⎭B．5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C．7⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D．0,7⎛⎝⎭3.（2015·山东省枣庄市高三下学期模拟考试·10）4.（2015·山东省潍坊市高三第二次模拟考试·9）5．(绵阳市高中2015届第三次诊断性考试·8)已知函数给出如下四个命题： ① f （x ）在上是减函数；②在R 恒成么③函数y ＝f （x ）图象与直线有两个交点．其中真命题的个数为（ ） （A ）3个（B ）2个（C ）1个 （D ）0个6.（2015.成都三诊·9）7．(2015·陕西省西工大附中高三下学期模拟考试·12)已知函数f （x ）=ax 3－3x 2+1，若f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是（ ）A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）8.（2015·山东省潍坊市高三第二次模拟考试·15）9．(2015·日照市高三校际联合5月检测·10)在()1,+∞上的函数()f x 满足：①()()2f x cf x =（c 为正常数）；②当24x ≤≤时，()()()213.f x x f x =--若图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上．则c=（ ）A ．1或12B ．122或 C ．1或3D ．1或210. (2015·山东省实验中学高三第三次诊断考试·10)已知函数()()()()21,021,0xx f x f x x⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，把函数()()12g x f x x =-的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n 项的和10=n S S ，则 A.45 B.55 C.90D.110二、非选择题（50分）11．(2015·聊城市高考模拟试题·15)已知函数()()3234f x x ax f x =-+，若存在唯一的零点0x ，则实数a 的取值范围是___________．12．(2015.南通市高三第三次调研测试·12)已知函数322301()5 1x x m x f x mx x ⎧++=⎨+⎩≤≤，，，＞.若函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为 ．13．(2015·山东省滕州市第五中学高三模拟考试·12)已知函数221(0)()2(0)x x f x x x x ⎧->⎪=⎨--≤⎪⎩若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是 。
2015届新课标全国高考理科数学模拟试卷(三)word版含答案
2015届新课标高考模拟试卷（三）（理科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． 1.已知集合A={ x ｜lgx ≤0｝，B= {x ｜｜x+1｜>1｝，则A ∩B = A.（-2，1） B.（一co ，一2〕U ［1，＋co ） C. (0，1］ D.（一co ，-2) U (0，1] 2．复数iiz 2134++=的虚部为 A ．2- B ．2 C ．1- D ．13. 已知实数x ，y 满足约束条件，若y ≥kx ﹣3恒成立，则实数k 的数值范围是（ ）A ． [﹣，0]B ．[0，]C ．（﹣∞，0]∪[，+∞）D ．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）4．已知α是第三象限的角，且tan α=2，则sin （α+4π）= A ．31010-B ．31010C ．1010-D ．10105．在二项式8(2x)-的展开式中不含．．4x 的所有项的系数和为A ．1-B ．0C ．1D ．26. 下列所给的四个图象为某同学离开家的距离y 与所用时间t 的函数关系给出下列三个事件：(1)该同学离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业再去上学； (2)该同学骑着车一路以匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；(3)该同学出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速． 其中事件（1）(2)(3)与所给图象分别吻合最好的是A.④①②B.③①②C.②①④D.③②①7．执行如图所示的算法，若输出的结果y≥2，则输入的x 满足 A ．x≤一l 或x≥4 B ．x≤-l C ．-1≤x≤4 D ．x≥4 8．函数()sin()f x x ωϕ=+（0,||2πωϕ><）的最小正周期是π，若其图像向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图像A ．关于点(,0)12π对称 B ．关于点5(,0)12π对称C ．关于直线512x π=对称 D ．关于直线12x π=对称 9.一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的体积是（单位：m 3).A. 4＋26B. 4＋6 C 、23 D 、4310．直线l 与双曲线C ：22221(0,)x y a b a b-=>>交于A 、B 两点，M 是线段AB 的中 点，若l 与OM （O 是原点）的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为 A ．2B ．3C ．2D ． 311．设抛物线2y x =的焦点为F ，点M 在抛物线上，线段MF 的延长线与直线14x =-交于点N ，则1||||MF NF 1+的值为 A ．14B ．12C ．2D ．412.定义域为R 的函数f (x)满足f(1)＝l, 且 f (x)的导函数'()f x >12，则满足2f(x) <x ＋1的x 的集合为 A 、{x ｜－1<x<1} B. {x ｜x<1} C. {x ｜x<－1或x ＞1} D. {x ｜x ＞1} 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．函数y=1102x-的定义域为 。
[VIP专享]2015年全国各地高考模拟数学试题汇编【三轮】三角变换与解三角形(理卷B)
![[VIP专享]2015年全国各地高考模拟数学试题汇编【三轮】三角变换与解三角形(理卷B)](https://img.taocdn.com/s3/m/7908be4655270722192ef75a.png)
8．（2015·合肥市高三第三次教学质量检测·9）在 ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是
1) B2Ak+22+1=2+15+c51mc+=m5=21c11+m++12+2+1++=212=2+1+2+1+2+2+22+32k+1+2
D. 2 5 5
C. 5 5
B. 5 5
A. 2 5 5
88.8918÷.12990.÷1=4214÷3922=.0034=1÷15251371=8.535.78208÷.0232173c0*0÷1=m920.30392.2c=1÷203m=2÷1202.52=3535=42314)c*5232m40341*.31252=3.*1.153.5*03134.2*920522..104455=+21*3*50202.2.0285.4850.13*50+5c8*125*12m0.2+050.+0*014.852*0051000+0+/038.T+0÷+=55*+1011+010+91÷0145405*00010200+5+0+080+40*04+***115.103910*-%*C%6(+÷*M==5M÷5)0*3*0(31÷3110**5*+*÷414.m2371e=%7)8n08%.=s8.5=77.93cc60.mc*m4*m13,101w9.9o.k24mc-.cem5nm2csp2665m*9..03-4.50c60*5.pc3m85,9cm0.5g.i50mr0l-.p.s85p/6c50bc.0om7m.yp.cs6pc5m+;c0m..m7.ckm; 1+1k+12+1+k2234=1c+m1++4+4+2
江苏省大联考2015届高考数学三模试卷(理科)(解析版)
2015年江苏省大联考高考数学三模试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在答题卷中的横线上.1．设集合M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=．2．已知数列{a n}为等差数列，其前9项和为S9=54，则a5=．3．用12米的绳子围成一个矩形，则这个矩形的面积最大值为．4．在等比数列{a n}中，a1=2，若a1，2a2，a3+6成等差数列，则a n=．5．若tanθ=1，则cos2θ=．6．已知在等比数列{a n}中，a3+a6=4，a6+a9=，则a10+a13=．7．若a＞0，b＞0，ab=4，当a+4b取得最小值时，=．8．已知平面向量、，||=3，||=2且﹣与垂直，则与的夹角为．9．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值与最大值的和为．10．若对于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为．11．已知在各项为正的等比数列{a n}中，a2与a8的等比中项为8，则4a3+a7取最小值时首项a1=．12．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第16个图形中小正方形的个数是．13．在数列{a n}中，若存在一个确定的正整数T，对任意n∈N*满足a n+T=a n，则称{a n}是周期数列，T叫做它的周期．已知数列{x n}满足x1=1，x2=a（a≤1），x n+2=|x n+1﹣x n|，若数列{x n}的周期为3，则{x n}的前100项的和为．14．当x，y满足条件|x﹣1|+|y+1|＜1时，变量u=的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数f（x）=x2+ax+6．（1）当a=5时，解不等式f（x）＜0；（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围．16．已知等差数列{a n}满足a2=3，a4+a5=16．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．17．已知向量=（2cosx，sin2x），=（cosx，1），函数f（x）=•．①求f（x）的解析式和函数图象的对称轴方程；②在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，满足a+c≥2b，求f（B）的范围．18．某公司新研发了甲、乙两种型号的机器，已知生产一台甲种型号的机器需资金30万元，劳动力5人，可获利润6万元，生产一台乙种型号的机器需资金20万元，劳动力10人，可获利润8万元．若该公司每周有300万元的资金和110个劳动力可供生产这两种机器，那么每周这两种机器各生产多少台，才能使周利润达到最大，最大利润是多少？19．已知函数f（x）=（ax2﹣1）•e x，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1时取得极值，求a的值；（Ⅱ）当a≤0时，求函数f（x）的单调区间．20．已知等差数列{a n}、等比数列{b n}满足a1+a2=a3，b1b2=b3，且a3，a2+b1，a1+b2成等差数列，a1，a2，b2成等比数列．（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（2）按如下方法从数列{a n}和数列{b n}中取项：第1次从数列{a n}中取a1，第2次从数列{b n}中取b1，b2，第3次从数列{a n}中取a2，a3，a4，第4次从数列{b n}中取b3，b4，b5，b6，…第2n﹣1次从数列{a n}中继续依次取2n﹣1个项，第2n次从数列{b n}中继续依次取2n个项，…由此构造数列{c n}：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，…，记数列{c n}的前n项和为S n，求满足S n＜22014的最大正整数n．2015年江苏省大联考高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在答题卷中的横线上.1．设集合M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=[1，2）．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】求出集合M中不等式的解集，确定出集合M，找出M与N解集的公共部分，即可求出两集合的交集．【解答】解：由集合M中不等式x2+x﹣6＜0，分解因式得：（x﹣2）（x+3）＜0，解得：﹣3＜x＜2，∴M=（﹣3，2），又N={x|1≤x≤3}=[1，3]，则M∩N=[1，2）．故答案为：[1，2）【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知数列{a n}为等差数列，其前9项和为S9=54，则a5=6．【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的求和公式以及等差数列的性质可得S9=9a5=54，解方程可得．【解答】解：由题意和等差数列的求和公式以及等差数列的性质可得前9项和S9===9a5=54，∴a5=6．故答案为：6．【点评】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，属基础题．3．用12米的绳子围成一个矩形，则这个矩形的面积最大值为9．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】设矩形的一边长为x，则临边长为6﹣x，其中0＜x＜6，矩形面积S=x（6﹣x），由基本不等式求最值可得．【解答】解：设矩形的一边长为x，则临边长为6﹣x，其中0＜x＜6，则矩形面积S=x（6﹣x）≤=9，当且仅当x=6﹣x即x=3时取等号．故答案为：9【点评】本题考查基本不等式简单实际应用，属基础题．4．在等比数列{a n}中，a1=2，若a1，2a2，a3+6成等差数列，则a n=2n．【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a1，2a2，a3+6成等差数列，可得4a2=a1+a3+6，运用等比数列的通项公式，计算即可得到．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1，2a2，a3+6成等差数列，可得4a2=a1+a3+6，即有8q﹣8﹣2q2=0，解得q=2，则a n=2×2n﹣1=2n．故答案为：2n．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题．5．若tanθ=1，则cos2θ=0．【考点】二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】cos2θ==，代入计算可得结论．【解答】解：∵tanθ=1，∴cos2θ===0．故答案为：0【点评】本题考查二倍角的余弦公式，考查同角三角函数关系的运用，比较基础．6．已知在等比数列{a n}中，a3+a6=4，a6+a9=，则a10+a13=．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知条件利用等比数列的通项公式求解．【解答】解：∵在等比数列{a n}中，a3+a6=4，a6+a9=，∴==q3=，解得q=，∴a10+a13=（a6+a9）q4==．故答案为：．【点评】本题考查等比数列中的两项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的通项公式的合理运用．7．若a＞0，b＞0，ab=4，当a+4b取得最小值时，=4．【考点】基本不等式．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】由于a＞0，b＞0，ab=4，则a=，a+4b=+4b，运用基本不等式，即可得到最小值，求出等号成立的条件，即可得到．【解答】解：由于a＞0，b＞0，ab=4，则a=，a+4b=+4b ≥2=8，当且仅当b=1，a=4，即=4时，取得最小值8．故答案为：4．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．8．已知平面向量、，||=3，||=2且﹣与垂直，则与的夹角为 ． 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用． 【分析】首先利用向量垂直得到两个向量的关系，然后利用平面向量的数量积的个公式求向量的夹角．【解答】解：因为平面向量、，||=3，||=2且﹣与垂直，所以（）•=0，所以，所以cos ＜＞====，所以＜＞=．故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量垂直的性质运用以及平面向量数量积的应用求向量的夹角．9．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=2x+3y 的最小值与最大值的和为 30 ．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出可行域，如图所示：由z=2x+3y ，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过x+y=3与2x﹣y=3的交点（2，1）时，有最小值2×2+3=7，经过x﹣y+1=0与2x﹣y=3的交点（4，5）时，有最大值2×4+3×5=23，则最小值与最大值的和为7+23=30．故答案为：30．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．10．若对于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为[，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由x＞0，=，运用基本不等式可得最大值，由恒成立思想可得a的范围．【解答】解：由x＞0，=≤=，当且仅当x=2时，取得最大值．所以要使不等式≤a恒成立，则a≥，即实数a的取值范围为[，+∞）．故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查函数的恒成立问题的解法，注意运用基本不等式求得最值，考查运算能力，属于中档题．11．已知在各项为正的等比数列{a n}中，a2与a8的等比中项为8，则4a3+a7取最小值时首项a1=2．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a5=8，可得4a3+a7=+8q2，由基本不等式和等比数列的通项公式可得．【解答】解：由题意知a2a8=82=，∴a5=8，设公比为q（q＞0），则4a3+a7=+a5q2=+8q2≥2=32，当且仅当=8q2，即q2=2时取等号，此时a1==2．故答案为：2．【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及基本不等式求最值，属基础题．12．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第16个图形中小正方形的个数是136．【考点】归纳推理．【专题】计算题；推理和证明．=n，以上式子累加，结合等差数列的求【分析】由a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，a4﹣a3=4，可推测a n﹣a n﹣1和公式可得答案．=n，等【解答】解：a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，所以a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，a4﹣a3=4，…，a n﹣a n﹣1式两边同时累加得a n﹣a1=2+3+…+n，即a n=1+2+…+n=，所以第16个图形中小正方形的个数是136．故答案为：136．=n是解决问题的关键，属基础题．【点评】本题考查归纳推理，由数列的前几项得出a n﹣a n﹣113．在数列{a n}中，若存在一个确定的正整数T，对任意n∈N*满足a n+T=a n，则称{a n}是周期数列，T叫做它的周期．已知数列{x n}满足x1=1，x2=a（a≤1），x n+2=|x n+1﹣x n|，若数列{x n}的周期为3，则{x n}的前100项的和为67．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知条件推导出x3=1﹣a，x4=|1﹣2a|，且x4=x1，从而得a=0或a=1．由此能求出{x n}的前100项的和．【解答】解：由x n+2=|x n+1﹣x n|，得x3=|x2﹣x1|=|a﹣1|=1﹣a，x4=|x3﹣x2|=|1﹣2a|，∵数列{x n}的周期为3，∴x4=x1，即|1﹣2a|=1，解得a=0或a=1．当a=0时，数列为1，0，1，1，0，1，…，∴S100=2×33+1=67．当a=1时，数列为1，1，0，1，1，0，…，∴S100=2×33+1=67．综上：{x n}的前100项的和为67．故答案为：67．【点评】本题考查数列的前100项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的周期性和分类讨论思想的合理运用．14．当x，y满足条件|x﹣1|+|y+1|＜1时，变量u=的取值范围是（﹣，）．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】根据分式的性质，利用直线斜率的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式|x﹣1|+|y+1|＜1对应的区域如图：u==，则u的几何意义表示点M（1，2）与点P（x，y）两点连线的斜率的倒数．画出可行域如图，当点P为区域内的点（0，﹣1）时，u max=，当点P为区域内的点（2，﹣1）时，u min=，故u的取值范围是（﹣，），故答案为：（﹣，）．【点评】本题主要考查线性规划好斜率的几何意义的应用，作出不等式组对应的平面区域是解决本题的关键．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数f（x）=x2+ax+6．（1）当a=5时，解不等式f（x）＜0；（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法；二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】（1）首先把一元二次不等式变为x2+5x+6＜0，然后运用因式分解即可解得不等式的解集；（2）要使一元二次不等式x2+ax+6＞0的解集为R，只需△＜0，求出实数a的取值范围即可．【解答】解：（1）∵当a=5时，不等式f（x）＜0即x2+5x+6＜0，∴（x+2）（x+3）＜0，∴﹣3＜x＜﹣2．∴不等式f（x）＜0的解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}（2）不等式f（x）＞0的解集为R，∴x的一元二次不等式x2+ax+6＞0的解集为R，∴△=a2﹣4×6＜0⇒﹣2＜a＜2∴实数a的取值范围是（﹣2，2）【点评】本题主要考查一元二次不等式，以及恒成立问题，同时考查了转化的思想，属于基础题．16．已知等差数列{a n}满足a2=3，a4+a5=16．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知条件利用等差数列的通项公式列出方程组，求出等差数列的首项和公差，由此能求出{a n}的通项公式．（2）由已知条件推导出数列{b n}是以1为首项，4为公比的等比数列，由此能求出数列{b n}的前n 项和．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，∵等差数列{a n}满足a2=3，a4+a5=16．∴由题意得，解得a1=1，d=2，∴a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1，即{a n}的通项公式为a n=2n﹣1．（2）由（1）知b n=22n﹣2，b1=1，∴=4，∴数列{b n}是以1为首项，4为公比的等比数列，∴数列{b n}的前n项和T n==．【点评】本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．17．已知向量=（2cosx，sin2x），=（cosx，1），函数f（x）=•．①求f（x）的解析式和函数图象的对称轴方程；②在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，满足a+c≥2b，求f（B）的范围．【考点】平面向量数量积的运算；余弦定理．【专题】三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】①利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式可得：函数f（x）=•=，由，即可解得函数图象的对称轴方程．②由余弦定理可得：，再利用基本不等式可得，可得，∈.．即可得出函数f（B）的值域．【解答】解：①函数f（x）=•===，由，解得，即（k∈Z）．∴函数图象的对称轴方程为（k∈Z）．②由余弦定理可得：=，当且仅当a=c时取等号．∴．∴∈．∴．∴f（B）=+1∈[2，3]．【点评】本题考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的图象与性质、基本不等式的性质、余弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于难题．18．某公司新研发了甲、乙两种型号的机器，已知生产一台甲种型号的机器需资金30万元，劳动力5人，可获利润6万元，生产一台乙种型号的机器需资金20万元，劳动力10人，可获利润8万元．若该公司每周有300万元的资金和110个劳动力可供生产这两种机器，那么每周这两种机器各生产多少台，才能使周利润达到最大，最大利润是多少？【考点】简单线性规划的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】首先由题意设每周生产甲种机器x台，乙种机器y台，周利润z万元，列出可行域以及目标函数，求目标函数的最值．【解答】解：设每周生产甲种机器x台，乙种机器y台，周利润z万元，则目标函数为z=6x+8y．作出不等式组表示的平面区域，且作直线l：6x+8y=0，即3x+4y=0，如图：把直线l：3x+4y=0向右上方平移至l3的位置时，直线l3过可行域上的点M时直线的截距最大，即z取最大值，解方程组（x≥0，y≥0，x，y∈Z）得，所以点M坐标为（4，9），将x=4，y=9代入目标函数z=6x+8y得最大值z=6×4+8×9=96（万元）．所以每周应生产甲种机器4台、乙种机器9台时，公司可获得最大利润为96万元．【点评】本题考查了线性规划问题的应用；关键是由题意抽象数学模型，正确建立约束条件和目标函数，画出可行域，求最优解．19．已知函数f（x）=（ax2﹣1）•e x，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1时取得极值，求a的值；（Ⅱ）当a≤0时，求函数f（x）的单调区间．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题．【分析】（I）对函数f（x）进行求导，令导函数在x=1处的值为0，列出方程，求出a，（II）求出导函数，设g（x）=ax2+2ax﹣1，对a的值进行分类讨论结合二次函数的性质研究f′（x）；最后令f′（x）＞0求出递增区间，令f′（x）＜0求出递减区间．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=（ax2+2ax﹣1）•e x．x∈R…依题意得f'（1）=（3a﹣1）•e=0，解得．经检验符合题意．…（Ⅱ）f'（x）=（ax2+2ax﹣1）•e x，设g（x）=ax2+2ax﹣1，（1）当a=0时，f（x）=﹣e x，f（x）在（﹣∞，+∞）上为单调减函数．…（2）当a＜0时，方程g（x）=ax2+2ax﹣1=0的判别式为△=4a2+4a，令△=0，解得a=0（舍去）或a=﹣1．1°当a=﹣1时，g（x）=﹣x2﹣2x﹣1=﹣（x+1）2≤0，即f'（x）=（ax2+2ax﹣1）•e x≤0，且f'（x）在x=﹣1两侧同号，仅在x=﹣1时等于0，则f（x）在（﹣∞，+∞）上为单调减函数．…2°当﹣1＜a＜0时，△＜0，则g（x）=ax2+2ax﹣1＜0恒成立，即f'（x）＜0恒成立，则f（x）在（﹣∞，+∞）上为单调减函数．…3°a＜﹣1时，△=4a2+4a＞0，令g（x）=0，方程ax2+2ax﹣1=0有两个不相等的实数根，，作差可知，则当时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）在上为单调减函数；当时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）在上为单调增函数；当时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）在上为单调减函数．…综上所述，当﹣1≤a≤0时，函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，+∞）；当a＜﹣1时，函数f（x）的单调减区间为，，函数f（x）的单调增区间为．…【点评】本题考查利用导函数的符号判断函数的单调性、考查函数在某点取得极值的条件、考查等价转化的数学思想方法．20．已知等差数列{a n}、等比数列{b n}满足a1+a2=a3，b1b2=b3，且a3，a2+b1，a1+b2成等差数列，a1，a2，b2成等比数列．（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（2）按如下方法从数列{a n}和数列{b n}中取项：第1次从数列{a n}中取a1，第2次从数列{b n}中取b1，b2，第3次从数列{a n}中取a2，a3，a4，第4次从数列{b n}中取b3，b4，b5，b6，…第2n﹣1次从数列{a n}中继续依次取2n﹣1个项，第2n次从数列{b n}中继续依次取2n个项，…由此构造数列{c n}：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，…，记数列{c n}的前n项和为S n，求满足S n＜22014的最大正整数n．【考点】数列的应用；等比数列的性质．【专题】综合题；等差数列与等比数列；不等式．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，根据题意，求出a1与d以及b1与q的值，即可得出{a n}与{b n}的通项公式；（2）分析数列{c n}项的特征：第n组中，有2n﹣1项选取于数列{a n}，有2n项选取于数列{b n}，前n组共有n2项选取于数列{a n}，有n2+n项选取于数列{b n}，它们的总和P n=+﹣2；求出符合不等式S n＜22014的最大n值即可．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，依题意，得；解得a1=d=1，b1=q=2；故a n=n，b n=2n；（2）将a1，b1，b2记为第1组，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6记为第2组，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12记为第3组，…；以此类推，则第n组中，有2n﹣1项选取于数列{a n}，有2n项选取于数列{b n}，前n组共有n2项选取于数列{a n}，有n2+n项选取于数列{b n}，记它们的总和为P n，并且有P n=+﹣2；则P45﹣22014=+22071﹣22014﹣2＞0，P44﹣22014=﹣21981（233﹣1）﹣2＜0；当S n=+（2+22+…+22012）时，S n﹣22014=﹣22013﹣2+＜0；当S n=+（2+22+…+22013）时，S n﹣22014=﹣2+＞0；可得到符合S n＜22014的最大的n=452+2012=4037．【点评】本题考查了等差与等比数列的综合应用问题，也考查了不等式的性质与应用问题，考查了阅读理解与分析、综合能力的应用问题，是较难的题目．。
2015届高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}06|2<-+∈=x x R x M ，{}2|1||≤-∈=x R x N . 则N M = A ．(-3，-2] B ． B ． C ． D ． 7．执行如图所示的程序框图,则输出的结果为A ．2B ．1C ．21D ．1- 8．变量X 与Y 相对应的一组数据为（10，1）， （11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5） 变量U 与V 相对应的一组数据为（10，5）， （11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，2r表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则 A ．210r r << B ． 210r r <<C ． 210r r <<D ．21r r =9．在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别是c b a ，，.若223sin 2sin ,2B C a b bc =-=,则角A 等于 A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 10. 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的表面积为（单位：m 2）A.π）（2411+ B. π）（2412+ C.π）（2413+ D. π）（2414+ 11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F ，设A ，B 为双曲线上关于原点对称的两点，AF 的中点为M ，BF 的中点为N ，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上，直线AB的斜率为7，则双曲线的离心率为A. 4B. 2C.D.12．已知函数,cos sin 3sin )(2R x x x x f ∈⋅+=αωωω，又 ,21)(-=αf 21)(=βf .若βα-的最小值为43π，则正数ω的值为 A.21 B. 31 C. 41D. 51二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量=（1），=（0，-1），=（k.若2-与共线，则k=______________. 14．若曲线）（R 1∈+=ααx y 在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________. 15．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数．当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为________________.16．如图，在三棱锥P —ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA ＝3，PB ＝2，PC ＝1.设M 是底面ABC 内的一点，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m 、n 、 p 分别是三棱锥M —PAB 、三棱锥M —PBC 、三棱锥M —PCA 的 体积．若),,21()(y x M f =，且81≥+yax 恒成立，则正实数a 的最小值为________．三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的首项13,0a d =≠公差,其前n 项和为n S ,且1413,,a a a 分别是等比数列{}n b 的第2项,第3项,第4项.(I)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; (II)证明1211113.34n S S S ≤++⋅⋅⋅+< 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为32的菱形， 且∠BAD ＝120°，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝2 6，M ，N 分 别为PB ，PD 的中点．(1)证明：MN ∥平面ABCD ；(2) 过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值．19．（本小题满分12分）甲、乙、丙三位同学一起参加某高校组织的自主招生考试,考试分笔试和面试两部分,笔试和面试均合格者将成为该校的预录取生(可在高考中加分录取),两次考试过程相互独立.根据甲、乙、丙三位同学的平时成绩分析,甲、乙、丙三位同学能通过笔试的概率分别是0.6,0.5,0.4,能通过面试的概率分别是0.5,0.6,0.75.(1)求甲、乙、丙三位同学中至少有两位同学通过笔试的概率;(2)设经过两次考试后,能被该高校预录取的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望)(X E .20．（本小题满分12分）已知椭圆）（012222>>=+b a by a x 的一个焦点与抛物线x y 342=的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与点F 构成正三角形．(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1,0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (m,0)，使PE →·QE →恒为定值？若存在，求出E 的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数2ln )(x x a x f += (a 为实常数) .(1)当4-=a 时,求函数)(x f 在[]1,e 上的最大值及相应的x 值; (2)当[]e x ,1∈时,讨论方程()0=x f 根的个数.(3)若0>a ,且对任意的[]12,1,x x e ∈,都有()()212111x x x f x f -≤-,求实数a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CE CB =（1）证明：E D ∠=∠;（2）设AD 不是圆O 的直径，AD 的中点为M ， 且MC MB =，证明：△ADE 为等边三角形.23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴。
(完整word版)2015年全国各地高考模拟数学试题汇编导数与定积分(理卷B),推荐文档
专题2 不等式、函数与导数 第4讲 导数与定积分（B 卷）一、选择题（每题5分，共30分）1、(2015·山东省滕州市第五中学高三模拟考试·4)1()x x e dx --⎰=（ ）A ．11e--B ．1-C ．312e-+D ．32-2．(2015·德州市高三二模（4月）数学（理）试题·9)622a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项是15，右图阴影部分是由曲线2y x =和圆22x y a x +=及轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）A ．146π- B ．146π+C ．4πD ．163. (江西省新八校2014-2015学年度第二次联考·12)已知定义域为R 的奇函数)(x f 的导函数)(x f '，当0≠x 时，0)()(>+'xx f x f ，若)1(sin 1sin f a ⋅=，)3(3--=f b ，)3(ln 3ln f c =，则下列关于c b a ,,的大小关系正确的是（ ）A.a c b >>B.b c a >>>C.a b c >>D. c a b >>4.（2015·赣州市高三适用性考试·4）5.（2015·赣州市高三适用性考试·12）若函数2|ln |+2,(0)()=3,(0)x x f x x x >⎧⎨-≤⎩,方程[()]=f f x a 只有五个不同的实根，则实数a 的取值范围是（ ）A.(2ln 2,]e +B.(,2ln 3]e +C.(2ln 2,3]+.D. (3,2ln 2]+6．(2015.江西省上饶市高三第三次模拟考试·12)定义:如果函数()f x 在[a,b]上存在1212,()x x a x x b <<<满足1()()'()fb f a f x b a -=-,2()()'()f b f a f x b a-=-,则称函数()f x 是[a,b]上的“双中值函数”．已知函数32()f x x x a =-+是[0,a]上的“双中值函数”,则实数a 的取值范围是（ ）A ．11(,)32B ．(3,32) C ．(12,1) D ．(13,1) 7.（2015·山西省太原市高三模拟试题二·12）8. (2015·山东省潍坊市第一中学高三过程性检测·9)已知()()()sin cos 02015x f x e x x x π=-≤≤，则函数()f x 的各极大值之和为（ ）A.()2014211x e e eππ--B. 21008πC.()22014211x e e eππ--D. 1008π二、非选择题(60分)9. (江西省新八校2014-2015学年度第二次联考·16)函数x x x x f sin )(3+--=，当)2,0(πθ∈时，恒有0)22()sin 2(cos 2>--++m f m f θθ成立，则实数m 的取值范围是 .10、(2015·山东省滕州市第五中学高三模拟考试·15)若函数()ln f x x ax =+存在与直线20x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围是 __.11．(2015.江西省上饶市高三第三次模拟考试·15)设定义域为),0(+∞的单调函数)(x f ，对任意),0(+∞∈x ，都有6]log )([2=-x x f f ，若0x 是方程4)()(='-x f x f 的一个解，且))(1,(*0N a a a x ∈+∈，则实数a = ▲ ．12. （2015·山东省实验中学第二次考试·11）定积分()12xx e dx +⎰= 。
高考数学三模试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
某某省某某实验中学2015届高考数学三模试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数（i为虚数单位）的共轭复数为（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜03．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．24．（5分）设等比数列{a n}中，前n项之和为S n，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=（）A．B．C．D．5．（5分）已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（）A．1 B．2 C．D．36．（5分）如图，设区域D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，向区域D内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落入到阴影区域M={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤x3}的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α8．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10，则抛物线方程是（）A．y2=4x B．y2=2x C．y2=8x D．y2=6x9．（5分）已知两个实数a，b（a≠b），满足ae a=be b．命题p：lna+a=lnb+b；命题q：（a+1）（b+1）＞0，则下列命题正确的是（）A．p真q假B．p假q真C．p真q真D．p假q假10．（5分）已知E，F分别是矩形ABCD的边BC与AD的中点，且BC=2AB=2，现沿EF将平面ABEF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC，则三棱锥A﹣FEC外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．2π11．（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值X围是（）A．（2，4）B．（﹣∞，2] C．（﹣∞，4] D．（Ⅰ）6人站成一排，甲站在乙的前面（甲、乙可以不相邻）的不同站法种数；（Ⅱ）6人站成一排，甲、乙相邻，且丙与乙不相邻的不同站法种数；（Ⅲ）把这6名学生全部分到4个不同的班级，每个班级至少1人的不同分配方法种数；（Ⅳ）6人站成一排，求在甲、乙相邻条件下，丙、丁不相邻的概率．20．（12分）抛物线C1：x2=4y在点A，B处的切线垂直相交于点P，直线AB与椭圆C2：+=1相交于C，D两点．（1）求抛物线C1的焦点F与椭圆C2的左焦点F1的距离；（2）设点P到直线AB的距离为d，试问：是否存在直线AB，使得|AB|，d，|CD|成等比数列？若存在，求直线AB的方程；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x．（Ⅰ）求f（x）的最大值；（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣ax2（a≥0），l是曲线y=g（x）的一条切线，证明：曲线y=g（x）上的任意一点都不可能在直线l的上方；（Ⅲ）求证：（1+）（1+）（1+）…＜e（其中e为自然对数的底数，n∈N*）．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）选修4﹣1几何证明选讲已知△ABC中AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧，上的点（不与点A、C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F．（I）求证．∠CDF=∠EDF（II）求证：AB•AC•DF=AD•FC•FB．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ．（1）求直线l与曲线C的平面直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于不同的两点A、B，若|AB|=8，求α的值．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值X围．某某省某某实验中学2015届高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数（i为虚数单位）的共轭复数为（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：复数分母实数化，然后求出复数的共轭复数即可．解答：解：==1+i．∴所求复数的共轭复数为：1﹣i．故选：B．点评：本题考查复数的基本运算，复数的基本概念，考查计算能力．2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜0考点：命题的否定；全称命题．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．故选D．点评：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．3．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．解答：解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故选A．点评：本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题．4．（5分）设等比数列{a n}中，前n项之和为S n，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=（）A．B．C．D．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：由S6减S3得到a4+a5+a6的值，然后利用等差比数列的性质找出a4+a5+a6的和与a1+a2+a3的和即与S3的关系，由S3的值即可求出公比q的值，然后再利用等比数列的性质求出a7+a8+a9的值．解答：解：a4+a5+a6=S6﹣S3=7﹣8=﹣1，a4+a5+a6=a1q3+a2q3+a3q3=（a1+a2+a3）q3，所以q3=，则a7+a8+a9=a4q3+a5q3+a6q3=．故选B．点评：此题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道中档题5．（5分）已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（）A．1 B．2 C．D．3考点：三角函数的恒等变换及化简求值；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：由题意可得=0，即解得tanθ=2，再由sin2θ+cos2θ==，运算求得结果．解答：解：由题意可得=sinθ﹣2cosθ=0，即tanθ=2．∴sin2θ+cos2θ===1，故选A．点评：本题主要考查两个向量数量积公式的应用，两个向量垂直的性质；同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．6．（5分）如图，设区域D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，向区域D内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落入到阴影区域M={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤x3}的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据积分的几何意义求出区域M的面积，然后根据几何概型的概率公式即可得到结论．解答：解：根据积分的几何意义可知区域M的面积为=|=，区域D的面积为1×1=1，则由几何概型的概率公式可得点（x，y）恰好落在区域M内的概率等于，故选：A点评：本题主要考查几何概型的概率的计算，利用积分的几何意义求出区域M的面积是解决本题的关键．7．（5分）设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α考点：直线与平面垂直的判定．专题：证明题；转化思想．分析：根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确，根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项D正确．解答：解：α⊥β，α∩β=l，m⊥l，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；n⊥α，n⊥β，⇒α∥β，而m⊥α，则m⊥β，故正确故选D点评：本小题主要考查空间线面关系、面面关系以及充分条件的判定等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，属于基础题．8．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10，则抛物线方程是（）A．y2=4x B．y2=2x C．y2=8x D．y2=6x考点：抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的定义可得，|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2 +，把线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10代入可得P值，然后求解抛物线方程．解答：解：设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，由抛物线的定义可知，|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2 +=（x1+x2）+p，线段PQ中点的横坐标为3，又|PQ|=10，∴10=6+p，可得p=4∴抛物线方程为y2=8x．故选：C．点评：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用抛物线的定义是解题的关键．9．（5分）已知两个实数a，b（a≠b），满足ae a=be b．命题p：lna+a=lnb+b；命题q：（a+1）（b+1）＞0，则下列命题正确的是（）A．p真q假B．p假q真C．p真q真D．p假q假考点：复合命题的真假．专题：导数的综合应用；简易逻辑．分析：考察函数f（x）=xe x，在x∈R上的单调性即可判断出p，q的真假．解答：解：考察函数f（x）=xe x，x∈R，f′（x）=（x+1）e x，令f′（x）＞0，解得x＞﹣1，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得x＜﹣1，此时函数f（x）单调递减．∴当x=﹣1时，函数f（x）取得极小值即最小值，∴f（x）≥f（﹣1）=﹣．对于命题p：由于a＜0，b＜0，lna+a=lnb+b不可能成立，因此是假命题；对于命题q：a＜﹣1，0＞b＞﹣1，则（a+1）（b+1）＜0，因此q也是假命题．综上可得：p，q都是假命题．故选：D．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于难题．10．（5分）已知E，F分别是矩形ABCD的边BC与AD的中点，且BC=2AB=2，现沿EF将平面ABEF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC，则三棱锥A﹣FEC外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．2π考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意，三棱锥A﹣FEC外接球是正方体AC的外接球，由此三棱锥A﹣FEC外接球的半径是，由求的体积公式可得．解答：解：由题意，三棱锥A﹣FEC外接球是正方体AC的外接球，由此三棱锥A﹣FEC外接球的半径是，所以三棱锥A﹣FEC外接球的体积为；故选B．点评：本题考查了三棱锥外接球的体积求法；关键是明确外接球的半径，再由球的体积公式解答．11．（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值X围是（）A．（2，4）B．（﹣∞，2] C．（﹣∞，4] D．令t=sinx，则原函数化为y=﹣2t2+at+1．∵x∈（，）时f（x）为减函数，则y=﹣2t2+at+1在t∈（，1）上为减函数，∵y=﹣2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=．∴≤，解得：a≤2．∴a的取值X围是（﹣∞，2]．故选：B．点评：本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题．12．（5分）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，与双曲线的其中一个交点为P，设O为坐标原点，若（m，n∈R），且mn=，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质；平面向量的基本定理及其意义．专题：计算题．分析：求出A、C坐标，然后求出P的坐标，代入双曲线方程，利用，即可求出双曲线的离心率．解答：解：由题意可知，代入=，得，代入双曲线方程，得，所以4e2mn=1，因为，即可得；故选C．点评：本题考查双曲线的基本性质，考查双曲线离心率的求法，考查计算能力．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：利用组合知识求出从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数，再求出从5个奇数中任意取出2个奇数的取法种数，求出取出的两个球的编号之积为奇数的概率，利用对立事件的概率求出取出两个球的编号之积为偶数的概率．解答：解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数为种．取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为种．则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为．所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是．故答案为点评：本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了简单的排列组合知识，考查了对立事件的概率，解答的关键是明确取到的两数均为奇数时其乘积为奇数，是基础题．14．（5分）在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是15．（用数字作答）考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2，即可求解含x3的项的系数解答：解：（1+）6展开式的通项为T r+1=C6r（）r=C6r，令r=4得含x2的项的系数是C64=15，∴在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是：15．故答案为：15点评：本题考查二项展开式上通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．15．（5分）已知函数f （x）=|x﹣3|+1，g （x）=ax．若方程f （x）=g （x）有两个不相等的实根，则实数a的取值X围是（，1）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：将函数表示成分段函数为f（x）=，作出函数的图象，看图说话就可以了．解答：解：函数f （x）=|x﹣3|+1=，函数的图象如图：，当k=时，有一个交点；＜k＜1时，有两个交点．故答案为（，1）点评：本题考察了分段函数及其应用，以及函数交点问题，属于基础题．16．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S17＞0，S18＜0，则，，…，（n∈N*，n≤18））中最大的项是．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意可得a9＞0，a10＜0，由此可知＞0，＞0，…，＜0，＜0，…，＜0，由此可得答案．解答：解：∵等差数列{a n}中，S17＞0，且S18＜0即S17=17a9＞0，S18=9（a10+a9）＜0∴a10+a9＜0，a9＞0，∴a10＜0，∴等差数列{a n}为递减数列，故可知a1，a2，…，a9为正，a10，a11…为负；∴S1，S2，…，S17为正，S18，S19，…为负，∴知＞0，＞0，＞0…，＜0，＜0，…，＜0，又∵S1＜S2＜…＜S9，a1＞a2＞…＞a9，∴，，…，（n∈N*，n≤18）中最大的项为故答案为：．点评：本题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，掌握等差数列的性质，属中档题．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知f（x）=•，其中=（2cosx，﹣sin2x），=（cosx，1），x∈R．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=﹣1，a=，且向量=（3，sinB）与=（2，sinC）共线，求边长b和c的值．考点：平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理．专题：平面向量及应用．分析：（1）利用向量的数量积公式得到f（x）的解析式，然后化简求单调区间；（2）利用向量共线，得到b，c的方程解之．解答：解：（1）由题意知．3分∵y=cosx在a2上单调递减，∴令，得∴f（x）的单调递减区间，6分（2）∵，∴，又，∴，即，8分∵，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=7.10分因为向量与共线，所以2sinB=3sinC，由正弦定理得2b=3c．∴b=3，c=2.12 分．点评：本题考查了向量的数量积公式的运用以及三角函数的化简与性质的运用．18．（12分）如图：四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）证明：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；（2）当BE等于何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的性质．专题：计算题；空间角．分析：（1）建立如图所示空间坐标系，得出P、B、F、D的坐标．设BE=x得E（x，1，0），算出的坐标，得出，由此可得无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；（2）利用垂直向量数量积为零的方法，算出是平面PDE的一个法向量，结合=（0，0，1）与题中PA与平面PDE所成角，利用空间向量夹角公式建立关于x的方程，解出x的值即可得到PA与平面PDE所成角的大小为45°时，BE的长．解答：解：（1）分别以AD、AB、AP所在直线为x、y、z轴，建立如图所示空间坐标系则可得P（0，0，1），B（0，1，0），F（0，，），D（，0，0）设BE=x，则E（x，1，0）∴=（x，1，﹣1）得=x•0+1×+（﹣1）×=0可得，即AF⊥PE成立；（2）求出=（，0，﹣1），设平面PDE的一个法向量为则，得∵PA与平面PDE所成角的大小为45°，=（0，0，1）∴sin45°==，得=解之得x=或x=∵BE=x，∴BE=，即当BE等于时，PA与平面PDE所成角的大小为45°．点评：本题利用空间坐标系研究了线线垂直和直线与平面所成角大小．着重考查了空间垂直位置关系的判定与证明、直线与平面所成角和向量的夹角公式等知识，属于中档题．19．（12分）现有6名学生，按下列要求回答问题（列出算式，并计算出结果）：（Ⅰ）6人站成一排，甲站在乙的前面（甲、乙可以不相邻）的不同站法种数；（Ⅱ）6人站成一排，甲、乙相邻，且丙与乙不相邻的不同站法种数；（Ⅲ）把这6名学生全部分到4个不同的班级，每个班级至少1人的不同分配方法种数；（Ⅳ）6人站成一排，求在甲、乙相邻条件下，丙、丁不相邻的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；计数原理的应用．专题：概率与统计．分析：利用排列、组合知识和等可能事件的概率计算公式求解．解答：解：（Ⅰ）6人站成一排，甲站在乙的前面（甲、乙可以不相邻）的不同站法种数为：=360．（Ⅱ）6人站成一排，甲、乙相邻，且丙与乙不相邻的不同站法种数为：=192．（Ⅲ）把这6名学生全部分到4个不同的班级，每个班级至少1人的不同分配方法种数为：+=1560．（Ⅳ）6人站成一排，求在甲、乙相邻条件下，丙、丁不相邻的概率为：P==．点评：本题考查计数原理的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要注意排列、组合知识和等可能事件的概率计算公式的合理运用．20．（12分）抛物线C1：x2=4y在点A，B处的切线垂直相交于点P，直线AB与椭圆C2：+=1相交于C，D两点．（1）求抛物线C1的焦点F与椭圆C2的左焦点F1的距离；（2）设点P到直线AB的距离为d，试问：是否存在直线AB，使得|AB|，d，|CD|成等比数列？若存在，求直线AB的方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）确定求抛物线C1的焦点F、椭圆C2的左焦点F1的坐标，即可求抛物线C1的焦点F与椭圆C2的左焦点F1的距离；（Ⅱ）设直线AB：y=kx+m，与抛物线方程联立，说明直线AB过抛物线C1的焦点F，再求出P的坐标，可得点P（2k，﹣1）到直线AB：kx﹣y+1=0的距离，从而求出|CD|，再求出|AB|，利用|AB|，d，|CD|成等比数列，即可得出结论．解答：解：（I）抛物线C1的焦点F（0，1），…（1分）椭圆C2的左焦点，…（2分）则．…（3分）（II）设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），由，得x2﹣4kx﹣4m=0，…（4分）故x1+x2=4k，x1x2=﹣4m．由x2=4y，得，故切线PA，PB的斜率分别为，，再由PA⊥PB，得k PA k PB=﹣1，即，故m=1，这说明直线AB过抛物线C1的焦点F．…（7分）由，得，，即P（2k，﹣1）．…（8分）于是点P（2k，﹣1）到直线AB：kx﹣y+1=0的距离．…（9分）由，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，…（10分）从而，…（11分）同理，|AB|=4（1+k2）．…（12分）若|AB|，d，|CD|成等比数列，则d2=|A B|•|CD|，…（13分）即，化简整理，得28k4+36k2+7=0，此方程无实根，所以不存在直线AB，使得|AB|，d，|CD|成等比数列．…（15分）点评：本题考查椭圆、抛物线的性质，考查直线与椭圆、抛物线的位置关系，考查等比数列的性质，考查韦达定理的运用，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x．（Ⅰ）求f（x）的最大值；（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣ax2（a≥0），l是曲线y=g（x）的一条切线，证明：曲线y=g（x）上的任意一点都不可能在直线l的上方；（Ⅲ）求证：（1+）（1+）（1+）…＜e（其中e为自然对数的底数，n∈N*）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）确定函数的定义域，求出函数的单调性，即可求f（x）的最大值；（Ⅱ）设M（x0，y0）是曲线y=g（x）上的任意一点，则函数在M处的切线方程为y﹣g（x0）=g′（x0）（x﹣x0），构造h（x）=g（x）﹣，求出h（x）在x=x0处取得最大值h（x0），即h （x）≤0恒成立，从而得出结论；（Ⅲ）先证明当x＞﹣1且x≠0时，有ln（x+1）＜x，取对数，利用=2（﹣），结合裂项求和，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣1，+∞），∵f（x）=ln（x+1）﹣x，∴f′（x）=﹣，∴﹣1＜x＜0，f′（x）＞0，函数单调递增，x＞0，f′（x）＜0，函数单调递减，∴x=0时，f（x）取得最大值f（0）=0；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ），g（x）=ln（x+1）﹣ax2﹣x，设M（x0，y0）是曲线y=g（x）上的任意一点，则函数在M处的切线方程为y﹣g（x0）=g′（x0）（x﹣x0），即y=（﹣2ax0﹣1）（x﹣x0）+g（x0）令h（x）=g（x）﹣，则h′（x）=﹣2ax﹣1﹣（﹣2ax0﹣1），∵h′（x0）=0，∴h′（x）在（﹣1，+∞）上是减函数，∴h（x）在（﹣1，x0）上是增函数，在（x0，+∞）上是减函数，∴h（x）在x=x0处取得最大值h（x0），即h（x）≤0恒成立，∴曲线y=g（x）上的任意一点都不可能在直线l的上方；（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知ln（x+1）≤x在（﹣1，+∞）是恒成立，当且仅当x=0时，等号成立，故当x＞﹣1且x≠0时，有ln（x+1）＜x，∵=2（﹣），∴ln{（1+）（1+）（1+）…}=ln（1+）+ln（1+）+ln（1+）+…+ln＜++…+=2=2（﹣）=1﹣＜1，∴（1+）（1+）（1+）…＜e．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的最值，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，难度大．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）选修4﹣1几何证明选讲已知△ABC中AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧，上的点（不与点A、C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F．（I）求证．∠CDF=∠EDF（II）求证：AB•AC•DF=AD•FC•FB．考点：与圆有关的比例线段；圆周角定理．专题：综合题．分析：（I）根据A，B，C，D 四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．（II）证明△BAD∽△FAB，可得AB2=AD•AF，因为AB=AC，所以AB•AC=AD•A F，再根据割线定理即可得到结论．解答：证明：（I）∵A，B，C，D 四点共圆，∴∠ABC=∠CDF又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，7分对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF；（II）由（I）得∠ADB=∠ABF∵∠BAD=∠FAB∴△BAD∽△FAB∴∴AB2=AD•AF∵AB=AC∴AB•AC=AD•AF∴AB•AC•DF=AD•AF•DF根据割线定理DF•AF=FC•FB∴AB•AC•DF=AD•FC•FB点评：本题以圆为载体，考查圆的内接四边形的性质，考查等腰三角形的性质，考查三角形的相似，属于基础题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ．（1）求直线l与曲线C的平面直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于不同的两点A、B，若|AB|=8，求α的值．考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆．分析：（1）先利用消去参数t得到曲线C的直角坐标方程．再将原极坐标方程ρcos2θ=4sinθ两边同时乘以ρ，利用极坐标与直角坐标之间的关系即可得出其直角坐标方程；（2）将代入曲线C的标准方程：x2=4y得：t2cos2α﹣4tsinα﹣4=0，利用直线的参数方程中t的几何意义结合根与系数的关系建立关于α的方程即可求出求出α的值．解答：解：（1）消去参数t，得直线l的直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+cosα=0．曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ，即ρ2cos2θ=4ρsinθ，曲线C的标准方程：x2=4y．（2）将代入曲线C的标准方程：x2=4y得：t2cos2α﹣4tsinα﹣4=0，∴|AB|=|t1﹣t2|==8，∴cosα=．∴或．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值X围．考点：带绝对值的函数；绝对值不等式．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）不等式即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，或，或，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，由题意可得|a﹣1|≥4，与偶此解得 a的值．解答：解：（Ⅰ）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，，或，或．解得：x≤0或x≥5．故不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤0，或x≥5 }．…（5分）（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|．（当x=1时等号成立）所以：f（x）min=|a﹣1|．…（8分）由题意得：|a﹣1|≥4，解得a≤﹣3，或a≥5．…（10分）点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．。
2015年全国各地高考三模数学试题汇编专题1第2讲复数与算法(理卷b)
专题1集合与常用逻辑用语、复数与算法第2讲复数与算法（B ）卷、选择题（每题 5分，共50 分）1 .（江西省九江市2015届高三第三次模拟考试・1）已知复数 单位），则z 在复平面内所对应的点位于（A •第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. （2015 •海南省高考模拟测试题• 1 ）若i 为虚数单位，图A . - 3i5的结果是（ t=Jt+l ~~T1,复平面内点Z 表示复数z ，则复数汽的共轭复数是（ D.333 4. 示的程 求砒除以口的余数r 序框图，若输入n 的值为 否/输出m/ 站束 是 A. 4 第®题图市第三中学高三第三次 阅读如图所示的程序框 （2015 •海南省高考模拟测试m=2146, n=1813,则输出 )，若输B. 37C. 148（2015 •哈尔滨市第六中学高三第三次模拟考试• 7）执行如图所 8,则输出S 的值为（ ） B. 8 i^=2, jt=l T s=l 否D. 12 5. （2015 •黑龙江省哈尔滨 模拟考试数学（理）试题• 6） 图，运行相应的程序，输出z 满足（1 i ）^2i （ i 为虚数中网格纸的小正方形的边长是B. -ii-i+2A. 2B. 46.（2015 •山东省潍坊市高三第二次模拟考试・是纯虚数，则a的值为（）A.— 3B.—1C. 8D. 162）设i是虚数单位，若复数10a (a R)3-iC. 1D. 37. （2015 •青岛市高三自主诊断试题• 5 ）已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD （n,m），其结果为n除以m的余数，例如MOD （8,3） = 2 .右面是一个算法的程序框图，当输入的值为25时，则输出的结果为（）D.&( 9. )（2015 •山东省济宁市兖州第一中学高三数学考试・3）执行如图所示的程序框图，若输A.(2015A.出值x? （16,25），则输入x值可以是=（知）结束C. 63-4i i12. （2015 •北京市西城区高三二模试卷・9）复数竺= __________3 + 110. （2015 •黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第三次模拟考试数学（理）试题•二、非选择题（50分）11. （2015济宁市曲阜市第一中学高三校模拟考试• 11）如图所示，程序框图（算法流程图） 的输出结果是__—.A . 0B . 2 C. 4 D . 63）已知复数5 3iz = 1 -iF 列说法正确的是（A . z 的虚部为4i B. z 的共轭复数为1 -4iC . | z|= 5D. z 在复平面内对应的点位于第二象限13. （江西省九江市2015届高三第三次模拟考试・14）图1是某工厂2014年9月份10个车间产量的条形图，条形图从左到右表示各车间的产量依次记为A, A, A3,|川1|, A n，（如A表示3号车间的产量为950件），图2是统计图1中产量在一定范围内车间个数的一个算法流15. （2015 •海淀区高三年级第二学首项为-41,公差为2的等差数列图•①处可填写_____ :②处可填16. （2015 •丰台区学期统一练期期末练习•11）右图表示的是求{a n}前n项和的最小值的程序框写_____ .二• 12）执行如图所示的程序框14. （2015 •山东省潍坊市高三第二次模拟考试・12）当输入的实数X，［2,30］时，执行如图所示的程序框图，则输出的X不小于103的概率是____________程图，那么运行该算法流程图输出的结果是17. （2015 •山东省济宁市兖州第一中学高三数学考试・13）按如图所示的程序框图运算, 若输出k=2，则输入x的取值范围是__________ ________ .出k/18. （2015 •厦门市高三适应性考试•11）阅读如图所示的程序，该程序输出的结甲.日是________ .19. （2015 •汕头市普通高考第二次模拟考试试题•13）a=0S=1WHILE a<3S=S*3a=a+1WENDPRINT SEND13.执荷如佑所小的秤字班阁*如果输入的"卜20. （2015 •南京市届高三年级第三次模拟考试・4）右图是一个算法流程图，则输出k的值是 ______ .k—1输出k.：'结束•（第4题图）专题1集合与常用逻辑用语、复数与算法第2讲复数与算法(B)卷答案与解析1. 【答案】A【命题立意】本题旨在考查复数的四则运算、复数的几何意义等知识2i(1一" - m =i. i，故该复数在复平面【解析】根据复数的四则运算，得z=21 +i (1+i)(1—i) 2内对应的点为(1,1)，为第一象限内的点，故选 A.2. 【答案】B【命题立意】本题旨在考查复数的几何意义、复数运算与相关概念.z 2 +i (2 +i)(1 + 2i) 5i【解析】由图可得z=2+i,则^^=兰■1=’2i)=2i =j，故其共轭复数是—i.1 -2i 1-2i (1-2i)(1+2i) 53. 【答案】B【命题立意】本题旨在考查算法的程序框图及其应用.【解析】开始时输入m=2146 , n=1813，可得m除以n的余数r=333，接下来有m=1813 , n=333，此时不满足条件r=0;接下来可得m除以n的余数r=148,则有m=333, n=148,此时不满足条件r=0;接下来可得m除以n的余数r=37，则有m=148, n=37,此时不满足条件r=0;接下来可得m除以n的余数r=0,则有m=37, n=0,此时满足条件r=0,结束循环，输出m=37.4. 【答案】B【命题立意】本题旨在考查程序框图.【解析】i=2,k=1,S=2;i=4,k=2,S=4;i=6,k=3,S=8;i+2=8, 输出S=8.5. 【答案】C【命题立意】考查程序框图，考查识图能力，容易题.1【解析】S = 2 , n = 1，执行S 1 , n =12=2 ；1-21 1S - T , n = 2，执行S , n =22=4 ；1+12121 一 1 S , n = 4，执行S2, n = 42=8，终止循环，输出n = 8. 21」26.【答案】D【命题立意】本题考查复数的概念和运算10由复数a (a •- R)是纯虚数，得出a = 3.3-i7.【答案】B【命题立意】本题考查了程序框图的循环结构，就程序的运行结果【解析】第一次循环： i=3;第一次循环：i=4；第一次循环：i=5;此时MOD (25,5) =0 , 循环结束输出i=5. 8. 【答案】A【命题立意】本题重点考查复数的除法运算，难度较小3 —4i【解析】由题意知 3 = -4 -3i .i9. 【答案】B【命题立意】本题重点考查程序框图中的循环结构，难度中等【解析】第一次循环 x =2x • 1,n =2，第二次循环 x =2(2x • 1) - 1,n =3,第三次循环9 18x =2(4x 3) 1, n =43，输出 8x 7，因为 16 ：： 8x 7 ： 25，所以 x ，输入8 8x 值可以是2.10. 【答案】B【命题立意】考查复数的概念，运算，考查运用概念解决问题的能力，容易题.5 +3i (5 +3i)(1 +i)【解析】因为 z1 4i ，所以复数 z 的虚部为4，共轭复数为【解析】a 』=a 」°3i "3-i 3-i 3 i10 3 ia_ 3 i ihi a _3;_i1 T (1 _1 )(1 +i )1 -4i , |z|f；i1 (-4)^ . 17，在复平面内对应的点为(1,4)在第一象限.1111. 【答案】—12【命题立意】本题考查循环结构，考查数列的求和，考查学生的计算能力，属于基础题.【解析】根据程序框图，程序的功能是求和 12.【答案】1 3i【命题立意】本题旨在考查复数的运算13.【答案】4【命题立意】本题旨在考查条形图、循环结构的流程图、条形图及其运用等知识 •【解析】结合给定的条形图，并结合程序框图，得初始值：n =0,i =1 ；第一次循环:A =1000>950,n = 0 +1 =1,i =1 +1 =2 ；第二次循环： A 2 =900 ■ 950不成立，i =2 1=3 ; 第三次循环： A 3 =950 950不成立，i =3 1 =4 ； 第四次循环：A 4 =850 ■ 950不成立，i =4 1 =5 ；14.【答案】 825【命题立意】本题旨在考查程序框图的循环结构和概率的几何概型【解析】设实数[2,30],经过两次循环后输出结果为 2 2x 1 ^4x 3,若使30 - 258 4x 3 -103,解得x_25;由几何概型知，输出的 x 不小于103的概率是 一30 — 22515.【答案】a 0, a = a 2【命题立意】本题考查了程序框图的循环结构、等差数列前n 项和的最值【解析】根据题目要求，应该是所有负数的和最小，所以退出条件是a 0，根据已知｛耳｝是公差为2的等差数列，所以a = a • 2来求数列｛a n ｝的项.1 11+ = 6 12【解析】10i 3 i10i(3 -i) (3 i)(3-i)=1 3i2116.【答案】22【命题立意】考查程序框图，考查转化能力，识图能力，容易题.【解析】由框图知，输出11 1111 11 1 21 S二…--- •.…•.-1 -1 2 2 321 22 1 2 2 21 22 22 2217. 【答案】[19,200)【命题立意】本题重点考查程序框图中的循环结构，难度中等【解析】第一次循环x=10x • 10 ：：：2010,k = 1 ，第二次循环x =10(10x 10) 10 _ 2010, k = 2,所以19 ^x ：：200.18. 【答案】27【命题立意】本题旨在考查循环结构的输出结果【解析】第1次循环：S = 3,a =1 ；第2次循环：S = 9,a = 2 ；第3次循环：S=27,a=3 •此时不满足判断条件，循环结束，输出27.故答案为：27说A i 950的共有4个车间，故答案为419. 【答案】[-3,6]【命题立意】本题旨在考查程序框图和及分段函数的值域.【解析】若0W t W2则不满足条件输出S=t-3€ [-3 , -1],若-2WM 0，则满足条件，此时t=2t2+1€( 1 , 9],此时不满足条件，输出S=t-3€( -2, 6], 综上：S=t-3€ [-3 , 6],故答案为[-3,6].20. 【答案】6【命题立意】本题旨在考查算法流程图.【解析】开始时k=1, S=40,此时不满足条件S< 0 ;接下来有S=40- 21=38, k=1+仁2,此时12不满足条件S W 0;接下来有S=38- 22=34, k=2+仁3，此时不满足条件S< 0;接下来有S=343 4—2 =26, k=3+仁4,此时不满足条件S W0;接下来有S=26— 2 =10, k=4+仁5,此时不满足条件S< 0;接下来有S=10- 25= —22, k=5+仁6,此时满足条件S< 0，结束循环，输出k=6.。
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专题2 不等式、函数与导数 第4讲 导数与定积分（A 卷）一、选择题（每题5分，共50分）1、（2015·海南省高考模拟测试题·3）若函数)0,0(1)(>>-=b a e bx f ax 的图象在x=0处的切线与圆x 2+y 2=1相切,则a+b 的最大值是（ ） A. 4B. 22C. 2D.22.（2015·河北省唐山市高三第三次模拟考试·12）3．(2015·哈尔滨市第六中学高三第三次模拟考试·12)定义在()0+∞，上的单调函数()[]2(),0,,()log 3f x x f f x x ∀∈+∞-=，则方程2)()(='-x f x f 的解所在区间是（ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0B.⎪⎭⎫⎝⎛1,21 C.()2,1 D.()3,24．(2015济宁市曲阜市第一中学高三校模拟考试·10)若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线x =2对称，则()f x 的最大值是（ ） A ．9B ．14C ．15D ．165．（2015·开封市高三数学（理）冲刺模拟考试·10）已知函数f （x ）=e x﹣mx+1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y=ex 垂直的切线，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ． （，+∞）C ． 1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ． (),e +∞6．（2015·佛山市普通高中高三教学质量检测（二）·4）不可能为直线b x y +=23作为切线的曲线是（ ） A ．xy 1-= B ．x y sin = C ． x y ln = D ．xe y =7. (2015·海淀区高三年级第二学期期末练习·7)已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，31()(1)e x f x x +=+.那么函数()f x 的极值点的个数是（ ）（A ）5（B ）4（C ）3（D ）28．(2015·丰台区学期统一练习二·3）直线4y x =+与曲线21y x x =-+所围成的封闭图形的面积为（ ）(A) 223 (B) 283 (C) 323 (D) 3439．（2015·合肥市高三第三次教学质量检测·10）定义在R 上的函数()f x 满足:()1f x >且()'()1,(0)5f x f x f +>=,其中'()f x 是()f x 的导函数,则不等式ln[()1]ln 4f x x +>-的解集为（ ）A ．(0,)+∞B ．(,0)(3,)-∞+∞C ．(,0)(0,)-∞+∞D ．(,0)-∞10. (2015.怀化市高三第二次模考·9) 定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)6f =，()f x '是()f x 的导函数，则不等式()5xxe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞UC ．()(),01,-∞+∞UD ．()3,+∞ 二、非选择题（50分）11. (2015·济南市高三教学质量调研考试·14)已知正方形ABCD,M 是DC 的中点，由AM mAB nAC =+uuu r uu u r uuu r确定,m n的值，计算定积分sin n m xdx ππ=⎰__________.12. （2015·青岛市高三自主诊断试题·14）若函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=->>的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为 ； 13．函数xe x xf 2)(=在区间)1,(+a a 上存在极值点，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 14．（2015·苏锡常镇四市高三数学调研（二模）·14）已知a ，b ∈R ，a ≠0，曲线y=xa 2+，y=ax+2b+1，若两条曲线在区间[3，4]上至少有一个公共点，则a 2+b 2的最小值为15.（2015.山师附中第七次模拟·11）由1,1,2,1y x x y x====所围成的封闭图形的面积为______________.16. （2015·山东省实验中学高三第三次诊断考试20.）（本题满分12分）已知函数()1ln x f x x +=. （I ）求函数()f x 的单调区间；（II ）若函数()f x 在区间()1,02t t t ⎛⎫+> ⎪⎝⎭上不是单调函数，求实数t 的取值范围；（III ）如果当1x ≥时，不等式()1a f x x ≥+恒成立，求实数a的取值范围.17. （2015·扬州中学第二学期开学检测·20）（本小题满分13分）已知函数2()f x x ax b =++，()ln g x x =．（1）记()()()F x f x g x =-,求()F x 在[1,2]的最大值；（2）记()()()f x G x g x =，令4a m =-，24()b m m R =∈，当210<<m 时，若函数()G x 的3个极值点为123123,,()x x x x x x <<，（ⅰ）求证：321120x x x <<<<；（ⅱ）讨论函数()G x 的单调区间（用123,,x x x 表示单调区间）．专题2 不等式、函数与导数第4讲 导数与定积分（A 卷）答案与解析1.【答案】D【命题立意】本题旨在考查导数的几何意义，直线与圆的位置关系，基本不等式．【解析】由于f ′（x ）=－bae ax，故k=f ′（0）=－b a，又f （0）=－b 1，则对应的切线方程为y+b 1=－b ax ，即ax+by+1=0，而切线与圆x 2+y 2=1相切，则有d=221ba +=r=1，即a 2+b 2=1，故有a+b ≤)(222b a +=2，当且仅当a=b=22时等号成立．2.【答案】C【命题立意】本题重点考查图象的对称性，利用导数研究函数的单调性，难度较大.【解析】由题意知32231x y +=，将(,),(,),(,),(,),(,),x y y x y x x y x y ------代入其方程，其表达式不变，所以曲线关于原点和直线,y x y x ==-以及,x y 轴对称，所以①正确，②错误，根据对称性，因为曲线与两坐标轴交点处的四条线段长为42，而曲线是两坐标轴交点处弧长，所以42l >，故③正确，曲线到原点的距离的平方为222d x y =+，由32231x y +=，得3223(1)y x =-，所以32222223(1)d x y y x x =+==+-，设32,u x =则23xu =，233(1)du u =+-，222()33(1)63d uu u '=--=-，当102u <<时，2()0d '<，当12u >时，2()0d '>，所以当12u =时，2min111()884d =+=，得12d ≥.3.【答案】C【命题立意】本题旨在考查导数，函数零点存在性定理。
【解析】根据题意，对任意的(0,)x ∈+∞ ，都有[]2()log 3f f x x -= ，又由f （x ）是定义在(0,)+∞上的单调函数，则2()log f x x -为定值，设2()log t f x x =- ，则2()log f x x t =+ ，又由f （t ）=3，即log 2 t+t=3，解可得，t=2；则2()log 2f x x =+ ，1()ln 2f x x '=。
因为()()2f x f x '-= ，所以21log 22ln 2x x +-=即21log 0ln 2x x -= ，令21()log ln 2h x x x =- ，因为211(1)log 10ln 2ln 2h =-=-< ，211(2)log 2102ln 2ln 4h =-=-> ，所以21()l o g l n 2h x x x =- 的零点在区间(1,2) ，即方程()()2f x f x '-= 的解所在的区间是(1,2) 。
4.【答案】D【命题立意】本题主要考查函数最值的区间，根据对称性求出a ，b 的值，利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，综合性较强，难度较大.【解析】∵f （x ）=（1-x 2）（x 2+ax+b ）的图象关于直线x=2对称，∴f （1）=f （3），f （-1）=f （5），即9302550a b a b ++=⎧⎨++=⎩， ，解得a=-8，b=15，即f （x ）=（1-x 2）（x 2-8x+15）=-x 4+8x 3-14x 2-8x+15，则f ′（x ）=-4x 3+24x 2-28x-8=-4（x-2）（x 2-4x-1）， 由f ′（x ）=0，解得x=2或x=2+5或x=2-5，由f ′（x ）＞0，解得2＜x ＜2+5或x ＜2-5，此时函数单调递增，由f ′（x ）＜0，解得2-5＜x ＜2或x ＞2+5，此时函数单调递减，作出对应的函数图象如图：则当x=2+5或2+5 时，函数f （x ）取得极大值同时也是最大值，f （2+5）=16.5.【答案】B【命题立意】本题旨在考查导数的几何意义，导数及其应用．【解析】由题可得f ′（x ）=e x－m ，由于曲线C 存在与直线y=ex 垂直的切线，则e x－m=－e 1有解，即m=e x+e 1，而e x>0，故m>e1． 6.【答案】B【命题立意】本题旨在考查导数的几何意义以及导数的计算． 【解析】对于B 选项：'()cos f x x =的最大值为1，所以sin y x =不存在斜率为32的切线．故选:B 7.【答案】C【命题立意】本题考查了函数的奇偶性及利用导数判断函数的单调性.【解析】当0x ≤时，'213121()3(1)e (1)e (1)e (4)x x x f x x x x x +++=+++=++，解'()0f x =，得41x x =-=-或.因为(,4)x ∈-∞-时，'()0f x <；(4,1)x ∈--时，'()0f x >；(1,0)x ∈-时，'()0f x >.则()f x 在区间(,4)x ∈-∞-上单调递减，在区间(4,0)x ∈-上单调递增.又因为()f x 是定义域为R 的偶函数，由其对称性可得，()f x 在区间(0,4)x ∈上单调递减，在区间(4,)x ∈+∞上单调递增.所以函数()f x 在40x x =±=或出取得极值.8.【答案】C【命题立意】考查用定积分求面积，考查转化能力，容易题．【解析】因为142+-=+x x x 的解为1-=x 或3=x ，所以封闭图形的面积为．9.【答案】A【命题立意】本题重点考查对数的运算法则以及利用导数研究函数的单调性，难度较大．【解析】因为ln[()1]ln 4f x x ->-，所以ln[()1]ln 4xf x e -->，即4()1xf x e ->，()4x x f x e e ->，设()()4xx F x f x ee =--，则()()()(()()1)xxxxF x f x e f x e e f x f x e '''=+-=+-，因为()()10f x f x '+->，所以()0F x '>，()F x 在R 上为单调递增函数，又因为(0)(0)1F f =-40-=，所以()0()(0)0F x F x F x >⇔>⇔>． 10.【答案】A【命题立意】本题旨在考查函数与导数的关系，不等式的解法．【解析】设g （x ）=e x f （x ）-e x，（x∈R），则g′（x ）=e x f （x ）+e x f′（x ）-e x =e x[f （x ）+f′（x ）-1]，∵f'（x ）＞1-f （x ），∴f（x ）+f′（x ）-1＞0，∴g′（x ）＞0，∴y=g （x ）在定义域上单调递增，∵e x f （x ）＞e x+5，∴g（x ）＞5，又∵g（0）=e 0f （0）-e 0=6-1=5，∴g（x ）＞g （0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）,故选：A ． 11.【答案】1【命题立意】本题旨在考查平面向量的基本运算，定积分的运算． 【解析】如图，AM mAB nAC=+uuu r uu u r uuu r =12AB AC +uuu r uuu r ,2sin cos 12xdx x ππππ=-=⎰．12.【答案】312-【命题立意】本题考查了正弦型函数的图象、定积分的几何意义及曲边梯形的面积.【解析】由图象可知21,(),1233T A πππω==--=∴=，()sin()6f x x π=-，图中其与x 轴的交点横坐标为6π，所以图中的阴影部分的面积为66003[sin()]cos()|1662x dx x ππππ--=-=-⎰.【易错警示】用定积分计算平面区域的面积，确定被积函数是解决问题的关键.通常，先画出它的草图，再借助图形直观地确定出被积函数以及积分的上、下限.被积函数一般转化为上方函数与下方函数的差.13.【答案】)0,1()2,3(-⋃--；【命题立意】本题考查函数的极值，方法是借助函数的导数求出函数的极值点判断出函数的单调区间.【解析】函数xe x xf 2)(=的导数为)2(22+=+='x xe e x xe y xxx，令0='y ，则0=x 或2-=x ，当)0,2(-∈x 时)(x f 单调递减，当)2,(--∞∈x 和),0(+∞∈x 时)(x f 单调递增0∴和2是函数的极值点，因为函数xe x xf 2)(=在区间)1,(+a a 上存在极值点，所以12+<-<a a 或2310-<<-⇒+<<a a a 或01<<-a .14.【答案】1001【命题立意】本题旨在考查点到直线的距离公式、基本不等式、函数的单调性．【解析】由xa 2+=ax+2b+1，整理可得ax 2+（2b+1）x －a －2=0，那么两条曲线在区间[3，4]上至少有一个公共点可转化为方程ax 2+（2b+1）x －a －2=0在区间[3，4]上至少有一个实根，进而把等式看成关于a 、b 的直线方程：（x 2－1）a+2xb+x －2=0，而直线上一点（a ，b ）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，即22b a +≥222)2()1(|2|x x x +--=1|2|2+-x x ，那么只要求f （x ）=1|2|2+-x x ，x ∈[3，4]时的最小值即可，令u=x －2，则u ∈[1，2]，那么f （u ）=1)2(2++u u=542++u uu=451++uu ，又g （u ）=u+u 5[1，2]上为增函数，则u=1时，即x=3时，f （x ）取得最小值101，此时a 2+b 2的最小值为1001．15.【答案】12ln -【命题立意】本题考查了定积分的计算和定积分的几何意义.【解析】由函数图象知，由1,1,2,1y x x y x====所围成的封闭图形的面积为22111(1)(ln )|dx x x x-=-⎰=12ln -. 16..【答案】(I)()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减（II ）112t <<（III ）2a ≤ 【命题立意】本题考查了利用导数判断函数的单调性、最值，函数恒成立问题.【解析】（1）'2ln ()(0)xf x x x =->， 解'()0f x >，得10<<x ；解'()0f x <，得1x >； 所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减．（2）因为函数()f x 在区间()1,02t t t ⎛⎫+> ⎪⎝⎭上不是单调函数，所以1112t t <⎧⎪⎨+>⎪⎩，解得112t <<．（3）不等式()1a f x x ≥+恒成立，即(1)(1ln )x x a x++≥恒成立， 令(1)(1ln )()x x g x x++=，则''22[(1)(1ln )](1)(1ln )ln ()x x x x x x x g x x x ++-++-== 令()ln h x x x =-，则'1()1h x x=-，'1,()0x h x ≥∴≥，()h x ∴在[1,)+∞上单调递增，min ()(1)10h x h ∴==>,从而'()0g x >，所以()g x ()h x ∴在[1,)+∞上单调递增,且min ()(1)2g x g ==，所以2a ≤. 17.【答案】(1) 当32ln -≤a 时， ()()11max ++==b a F x F当32ln ->a 时，()()2ln 422max-++==b a F x F ；（2）略；函数()x G 的单调递增区间是()21,x x ()+∞,3x ，单调递减区间是()1,0x ()1,2x ()3,1x . 【命题立意】本题考查的是利用导数求函数的最值，证明不等式以及求函数的单调区间.【解析】（1）x b ax x X F ln )(2-++=（0>x ）x ax x x a x X F 1212)('2-+=-+= ………2分令0)('=x F ，得04821<+--=a a x ，04822>++-=a a x ()()xx x x x X F 212)('--=………3分列表如下：－ 0 ＋递减极小值递增易知()()(){}2,1max max F F x F =而()()()()32ln 2ln 42121-+-=-++-++=-a b a b a F F 所以当32ln -≤a 时， ()()11max ++==b a F x F当32ln ->a 时，()()2ln 422max -++==b a F x F ………5分（2）（ⅰ）()xm mx x x G ln 4422+-=，()()xxm x m x x G 2ln 12ln 22'⎪⎭⎫⎝⎛-+-=令()12ln 2-+=x m x x h ，()222'x mx x h -=又()x h 在()m ,0上单调减，在()+∞,m 上单调增，所以()()1ln 2min +==m m h x h 因为函数()x G 有3个极值点，所以01ln 2<+m 所以em 10<< ………7分所以当210<<m 时，()04ln 121ln 211ln 2<-=+<+=m m h ，()0121<-=m h 从而函数()x G 的3个极值点中，有一个为m 2，有一个小于m ，有一个大于1………9分 又321x x x <<，所以m x <<10，m x 22=，13>x 即2021x x <<，3212x m x <<=，故321120x x x <<<< ………11分 （ⅱ）当()1,0x x ∈时，()012ln 2>-+=x mx x h ，02<-m x ，则()0'<x G ，故函数()x G 单调减； 当()21,x x x ∈时，()012ln 2<-+=x mx x h ，02<-m x ，则()0'>x G ，故函数()x G 单调增；当()1,2x x ∈时，()012ln 2<-+=x mx x h ，02>-m x ，则()0'<x G ，故函数()x G 单调减；当()3,1x x ∈时，()012ln 2<-+=x mx x h ，02>-m x ，则()0'<x G ，故函数()x G 单调减；当()+∞∈,3x x 时，()012ln 2>-+=xmx x h ，02>-m x ，则()0'>x G ，故函数()x G 单调增；综上，函数()x G 的单调递增区间是()21,x x ()+∞,3x ，单调递减区间是()1,0x ()1,2x ()3,1x .………16分（列表说明也可）。