上海各区县2013高三一模数学(文科)分类汇编5：解析几何

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上海市17区县2013届高三数学一模分类汇编-专题三-空间几何-文

专题三空间几何（普陀区2013届高三一模文科）4. 【文科】正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线C B 1与D C 1所成的角的大小为 .4.【文科】60（嘉定区2013届高三一模文科）8．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为R 的半圆，则这个圆锥的底面积是________． 8．42R π（浦东新区2013届高三一模文科）12．如图所示，已知一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为2π .杨浦区2013届高三一模文科）5．若直线l :012=--x y ，则该直线l 的倾斜角是 . 5．2arctan ；（（青浦区2013届高三一模）5．已知：正三棱柱的底面正三角形边长为2，侧棱长为3，则它的体积=V 33 ．（虹口区2013届高三一模）10、在A B C ∆中，32=AB ，2=AC 且︒=∠30B ，则AB C ∆的面积等于． 10、32或3；（普陀区2013届高三一模文科）13. 三棱锥S ABC -中，E 、F 、G 、H 分别为SA 、AC 、BC 、SB 的中点，则截面EFGH将三棱锥S ABC -分成两部分的体积之比为 . 13.1:1俯视图左视图主视图A BCD1A 1B 1C 1D （第4题图）（第13题图）SACEHGF（文）已知长方体的三条棱长分别为1，1，2，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为____________．11、（理）R S V '=31，（文）π6（崇明县2013届高三一模）8、若圆锥的侧面展开图是半径为1cm 、圆心角为180︒的半圆，则这个圆锥的轴截面面积等于 . 8、4（青浦区2013届高三一模）19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图已知四棱锥ABCD P -中的底面是边长为6的正方形，侧棱PA 的长为8，且垂直于底面，点N M 、分别是AB DC 、的中点．求（1）异面直线PM 与CN 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）四棱锥ABCD P -的表面积.（1）解法一：连结AM ，可证CN ∥AM ，直线PM 与AM 所成角等于直线PM 与CN 所成角． …………………………2分因为PA 垂直于底面,所以AM PA ⊥,点M 分别是DC 的中点, 6=DC 53=∴AM 在PAM Rt ∆中,8=PA ,53=AM ,1558538tan ==∠PMA ,1558arctan=∠∴PMA …………………………4分即异面直线PM 与CN 所成角的大小为1558arctan ．…………………………6分（崇明县2013届高三一模）20、（本题14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分）（文科）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，AO ⊥平面BCD ，2CA CB CD BD ====．（1）求三棱锥A BCD -的体积；（2）求异面直线AE 与CD 所成角的大小．ABEODCP（理科）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中, 11AA AD ==, E 为CD 中点．（1）求证：11B E AD ⊥；（2）若2AB =，求二面角11A B E A --的大小．20、（理科）（1）方法一、以A 为坐标原点，以AB 、AD 、AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系,设AB a =，则1,1,12a B E ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1(0,1,1)AD =. 所以 , 11110,B E AD B E AD ⋅=⊥。

上海市普陀区2013届高三上学期一模考试数学文试题--含答案

2012学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷考生注意： 2013.11.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 不等式1|2|≤-x 的解为 .2. 函数x x y 2cos 2sin +=的最小正周期=T .3. 若集合}156|{>+=x x A ，集合1{-=B ,0,1,2,}3，则A B = . 4. 【文科】正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线C B 1与D C 1所成的角的大小为 .5. 【文科】若函数x x f 3log 1)(-=，则=--)8(1f.6. 若等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，1442=+a a ，770S =，则数列}{n a 的通项公式为 .7. 在一个袋内装有同样大小、质地的五个球，编号分别为1、2、3、4、5，若从袋中任意取两个，则编号的和是奇数的概率为（结果用最简分数表示）8. 在210(2x 的二项展开式中，常数项等于 . 9. 若函数)2sin()(ϕ+=x A x f （0>A ,22πϕπ<<-图，则=)0(f .10. 在ABC △中，若2AB AC ⋅=,7-=⋅= .11. 【文科】若函数()f x 满足)9(2)10(+=+x f x f ，且1)0(=f ，则=)10(f _.A BCD 1A 1B 1C 1D （第4题图）12.【文科】若1F 、2F 是椭圆2214x y +=的左、右两个焦点，M 是椭圆上的动点，则2111MF MF +的最小值为 .13. 三棱锥S ABC -中，E 、F 、G 、H 分别为SA 、AC 、BC 、SB 的中点，则截面EFGH将三棱锥S ABC -分成两部分的体积之比为 .14. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤+=1,21210,1)(x x x x f x ，设0a b >≥，若)()(b f a f =，则)(a f b ⋅的取值范围是 .二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. 已知函数=y )(x f (R x ∈)，则“)2()1(f f <”是“函数=y )(x f 在R 上是增函数”的…………………………………………………………………………………………（）（A ）充分非必要条件. （B ）必要非充分条件. （C ）充要条件. （D ）非充分非必要条件.16. 【文科】双曲线17922=-+-λλy x （97<<λ）的焦点坐标为…………………………（）（A ）)0,4(±. （B ）)0,2(±. （C ）)4,0(±. （D ）)2,0(±.17. 已知0>a ,0>b ,若11lim 5n n n nn a b a b ++→∞-=-，则b a +的值不可能．．．是…………………（）（A ）7. （B ）8. （C ）9. （D ）10.18. 如图,四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得CD DE =.若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP AB AE λμ=+，下列判断正确．．的是…………………………………………………………………………………（） P（第13题图）SBACEHGF（A ）满足λμ+2=的点P 必为BC 的中点. （B ）满足1λμ+=的点P 有且只有一个. （C ）λμ+的最大值为3. （D ）λμ+的最小值不存在.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成. 已知球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm .（1）这种“浮球”的体积是多少3cm （结果精确到0.1）？（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知动点),(y x A 到点)0,2(F 和直线2-=x 的距离相等. 52、求动点A 的轨迹方程；53、记点)0,2(-K ，若AF AK 2=，求△AFK 的面积.21.（本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.（第20题图）（第19题图）6cm已知a 、b 、c 是ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边,34=a ,6=b ，31cos -=A ．（1）求c ；（2）求)42cos(π-B 的值．22. （本题满分16分）本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分.【文科】)(x f 和)(x g 都是定义在集合M 上的函数,对于任意的x M ∈，都有))(())((x f g x g f =成立，称函数)(x f 与)(x g 在M 上互为“H 函数”.（1）若函数b ax x f +=)(，n mx x g +=)(，)(x f 与)(x g 互为“H 函数”,证明：)()(b g n f =.（2）若集合]2,2[-=M ，函数2)(x x f =，x x g cos )(=，判断函数)(x f 与)(x g 在M 上是否互为“H 函数”，并说明理由.（3）函数xa x f =)((0a a >≠且1)，1)(+=x x g 在集合M 上互为“H 函数”,求a 的取值范围及集合M .23.（本题满分18分）本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.【文科】在平面直角坐标系xOy 中，点n A 满足)1,0(1=OA ，且)1,1(1=+n n A A ；点n B 满足)0,3(1=OB ，且)0,)32(3(1n n n B B ⋅=+，其中*n N ∈．（1）求2OA 的坐标，并证明．．点n A 在直线1y x =+上；（2）记四边形11n n n n A B B A ++的面积为n a ，求n a 的表达式；（3）对于（2）中的n a ，是否存在最小的正整数P ，使得对任意*n N ∈都有P a n <成立？若存在，求P 的值；若不存在，请说明理由．2012学年第一学期普陀区高三理科数学质量调研评分标准一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.[1,3]2.π3.}0,1{-4.【文科】 605.93 6.32n a n =-（*N n ∈）7.538.180 9.1- 10.3 11【文科】102 12.1 13.1:1 14.)2,43[二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. 16. 17. 18. BBDC三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.【解】（1）cm d 6=，cm R 3=，πππ362734343=⋅==R V 球3cm …………2分 2=h ，πππ18292=⨯⨯=⋅=h R V 圆柱3cm …………2分=V 圆柱球V V +6.169541836≈=+=πππ3cm …………2分（2）πππ369442=⨯⨯==R S 球表2cm …………2分πππ122322=⨯⨯⨯==Rh S 圆柱侧2cm …………2分1个“浮球”的表面积πππ4411048101236=+=S 2m 2500个“浮球”的表面积的和ππ121048250042500=⨯=S 2m所用胶的质量为ππ120012100=⨯（克）…………2分答：这种浮球的体积约为6.1693cm ；供需胶π1200克.20.【解】（1）由题意可知，动点A 的轨迹为抛物线，其焦点为)0,2(F ，准线为2-=x设方程为px y 22=，其中22=p，即4=p ……2分所以动点A 的轨迹方程为x y 82=……2分（2）过A 作l AB ⊥，垂足为B ,根据抛物线定义，可得||||AF AB =……2分AF AK 2=，所以AFK ∆是等腰直角三角形………2分 4||=KF …………2分所以84421=⨯⨯=∆AFK S …………2分21.【解】（1）在ABC △中，由余弦定理得，A bc c b a cos 2222-+=…………2分 )31(6236482-⨯⨯⨯-+=c c …………2分即01242=-+c c ，0)2)(6(=-+c c ，解得2=c …………2分（2）由031cos <-=A 得A 为钝角，所以322sin =A …………2分在ABC △中，由正弦定理，得sin sin a bA B = 则36343226sin sin =⨯=⋅=a Ab B …………2分由于B 为锐角，则33cos =B ……2分 313221sin 212cos 2-=⋅-=-=B B32233362cos sin 22sin =⋅⋅=⋅=B B B所以)42cos(π-B 624)32231(22)2sin 2(cos 22-=+-=+=B B ………2分【文科】22. 【解】（1）证明：函数)(x f 与)(x g 互为“H 函数“,则对于R x ∈∀,))(())((x f g x g f = 恒成立.即n b ax m b n mx a ++=++)()(在R 上恒成立………………2分化简得)()(n bm amx b an amx ++=++………………2分所以当n bm b an +=+时，))(())((x f g x g f =，即)()(b g n f =…1分（2）假设函数)(x f 与)(x g 互为“H 函数”，则对于任意的M x ∈))(())((x f g x g f = 恒成立.即x x 22cos cos =，对于任意]2,2[-∈x 恒成立…2分.当0=x 时，10cos 0cos ==.不妨取1=x ，则1cos 1cos 2=，所以1cos 1cos 2≠………………2分所以假设不成立，在集合M 上，函数)(x f 与)(x g 不是互为“H 函数”………1分.（3）由题意得，11+=+x x a a（0>a 且1≠a ）………2分变形得，1)1(=-a a x，由于0>a 且1≠a 11-=a a x，因为0>xa ，所以011>-a ，即1>a ………2分此时)1(log --=a x a ，集合}1),1(log |{>--==a a x x M a ………2分23.【解】（1）由))(()((x f g x g f =得x x 2sin sin 2=化简得，0)cos 1(sin 2=-x x ，0sin =x 或1cos =x ………2分解得πk x =或πk x 2=，Z k ∈，即集合}|{πk x x M ==Z k ∈………2分 (若学生写出的答案是集合},|{Z k k x x M ∈==π的非空子集，扣1分，以示区别。

上海市各区县2013届高三数学一模解析几何综合题汇总

宝山区22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点． (1)若2p =，求线段AF 中点M 的轨迹方程； (2) 若直线AB 的方向向量为(1,2)n =，当焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭时，求OAB ∆的面积； (3) 若M 是抛物线C 准线上的点，求证：直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列．崇明县23、（本题18分，第(1)小题6分；第(2)小题12分）如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>> 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，2ABF ∆的周长为8，且12AF F ∆面积最大时，12AF F ∆为正三角形．（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ．试探究：① 以PQ 为直径的圆与x 轴的位置关系？② 在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出M 的坐标；若不存在，说明理由．徐汇区22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(1,0)F，点(1,-在椭圆C 上，点T满足2OT OF =（其中O 为坐标原点）, 过点F 作一斜率为(0)k k >的直线交椭圆于P 、Q 两点(其中P 点在x 轴上方，Q 点在x 轴下方) .(1)求椭圆C 的方程；(2)若1k =，求PQT ∆的面积；(3)设点P '为点P 关于x 轴的对称点，判断P Q '与QT 的位置关系，并说明理由.松江区22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分对于双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b -=>>，定义1:C 22221x y a b+=为其伴随曲线，记双曲线C 的左、右顶点为A 、B .（1）当a b >时，记双曲线C 的半焦距为c ，其伴随椭圆1C 的半焦距为1c ，若12c c =，求双曲线C 的渐近线方程；（2）若双曲线C 的方程为221x y -=，过点(M 且与C 的伴随曲线相切的直线l 交曲线C 于1N 、2N 两点，求12ON N ∆的面积（O 为坐标原点）（3）若双曲线C 的方程为22142x y -=，弦PQ ⊥x 轴，记直线PA 与直线QB 的交点为M ，求动点M 的轨迹方程.金山区22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，线段OF 1、OF 2的中点分别为B 1、B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．过Ｂ1作直线l 交椭圆于P 、Q 两点．(1) 求该椭圆的标准方程；(2) 若22QB PB ，求直线l 的方程；(3) 设直线l 与圆O ：x 2+y 2=8相交于M 、N 两点，令|MN |的长度为t ，若t ∈，求△B 2PQ 的面积S 的取值范围．青浦区22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分,第3小题满分2分.设直线0,11≠+=p p x k y L ：交椭圆)0(12222>>=+Γb a by a x ：于D C 、两点，交直线x k y L 22=：于点E ．（1）若E 为CD 的中点，求证:2221ab k k -=⋅；（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真；（3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明）．静安区22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．已知椭圆12222=+by a x 的两个焦点为)0,(1c F -、)0,(2c F ，2c 是2a 与2b 的等差中项，其中a 、b 、c 都是正数，过点),0(b A -和)0,(a B 的直线与原点的距离为23．（1）求椭圆的方程；（2）过点A 作直线交椭圆于另一点M ，求AM 长度的最大值；（3）已知定点)0,1(-E ，直线t kx y +=与椭圆交于C 、D 相异两点．证明：对任意的0>t ，都存在实数k ，使得以线段CD 为直径的圆过E 点．黄浦区22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O 的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C 的一个焦点为F ，其短轴的一个端点到点F （1）求椭圆C 和其“准圆”的方程；（2）过椭圆C 的“准圆”与y 轴正半轴的交点P 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个交点，求12,l l 的方程；（3）若点A 是椭圆C 的“准圆”与x 轴正半轴的交点，,B D 是椭圆C 上的两相异点，且BD x ⊥轴，求AB AD ⋅的取值范围．。

2013届上海市高考一模汇编解析几何

2013届高中数学·一模汇编（专题：解析几何）2013届高中数学·一模汇编解析几何一、填空题1.（2013年上海宝山区理科一模5）不等式37922x -≤的解集是 _____________ 2. （2013年上海宝山区理科一模13）我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系，如3|12表示3整除12．试类比课本中不等关系的基本性质，写出整除关系的两个性质． ①_____________________；②_______________________．3. （2013年上海崇明区一模3）过点(1,1)P -，且与直线:10l x y -+=垂直的直线方程是4. （2013年上海崇明区一模17）等轴双曲线C ：222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于,A B 两点，43AB =，则双曲线C 的实轴长等于5. （2013年上海奉贤区一模4）设直线1l ：02=+y ax 的方向向量是1d ，直线l 2 ：()041=+++y a x 的法向量是2n ，若1d 与2n 平行，则=a _________6. （2013年上海奉贤区一模13）【理】在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点111()P x y ，与222()P x y ，的“非常距离”给出如下定义：若1212||||x x y y --≥，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||x x -，若1212||||x x y y -<-，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||y y -．已知C 是直线334y x =+上的一个动点，点D 的坐标是（0，1），则点C 与点D 的“非常距离”的最小值是_________7. （2013年上海奉贤区一模14）【文】椭圆()01342222>=+a ay a x 的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是_________．8. （2013年上海虹口区一模4）双曲线1322=-y x 的两条渐近线的夹角大小等于 9. （2013年上海虹口区一模14）设点P 在曲线22+=x y 上，点Q 在曲线2-=x y 上，则PQ 的最小值等于．10. （2013年上海闸北区一模4）设双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ．过点F 且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B ，则AFB ∆的面积为11. （2013年上海闸北区一模7）已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为．12. （2013年上海杨浦区一模3）抛物线x y 42=的焦点到准线的距离为13. （2013年上海杨浦区一模5）若直线l :012=--x y ，则该直线l 的倾斜角是．14. （2013年上海杨浦区一模7）若圆锥的母线10l cm =,母线与旋转轴的夹角30α=，则该圆椎的侧面积为2cm15. （2013年上海杨浦区一模9）（文）若直线l 过点()1,1-，且与圆221x y +=相切，则直线l 的方程为． 16. （2013年上海杨浦区一模11）若函数()(32)1x a f x log =-+ (1,0≠>a a )的图像过定点P ，点Q 在曲线022=--y x 上运动,则线段PQ 中点M 轨迹方程是17. （2013年上海杨浦区一模14）（理）在平面直角坐标系xOy 中，直线m x y 23+=与圆222n y x =+相切，其中m 、n N ∈*，10≤-<n m ．若函数()n m x f x -=+1的零点()1,0+∈k k x ，Z k ∈,则=k18. （2013年上海徐汇区一模4）若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线221610x y -=的右焦点重合，则实数p 的值是__________19. （2013年上海徐汇区一模6）【理】若(1,2)n =-是直线l 的一个法向量，则直线l 的倾斜角的大小为_________20. （2013年上海松江区一模7）抛物线的焦点为椭圆14522=+y x 的右焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 21. （2013年上海松江区一模14）理：定义变换T 将平面内的点(,)(0,0)P x y x y ≥≥变换到平面内的点(,)Q x y ．若曲线0:1(0,0)42x yC x y +=≥≥经变换T 后得到曲线1C ，曲线1C 经变换T 后得到曲线2C ，依次类推，曲线1n C -经变换T 后得到曲线n C ，当*n N ∈时，记曲线n C 与x 、y 轴正半轴的交点为(,0)n n A a 和(0,)n n B b ．某同学研究后认为曲线n C 具有如下性质：①对任意的*n N ∈，曲线n C 都关于原点对称； ②对任意的*n N ∈，曲线n C 恒过点(0,2)；③对任意的*n N ∈，曲线n C 均在矩形n n n OA D B （含边界）的内部，其中n D 的坐标为(,)n n n D a b ； ④记矩形n n n OA D B 的面积为n S ，则lim 1n n S →∞=其中所有正确结论的序号是22. （2013年上海青浦区一模3）抛物线22x y =的焦点坐标是___________23. （2013年上海青浦区一模11）已知01cos sin 2=-+θθa a 与01cos sin 2=-+θθb b (b a ≠)．直线MN 过点),(2a a M 与点),(2b b N ，则坐标原点到直线MN 的距离是___________24. （2013年上海普陀区一模12）【理科】若)0,3(-C 、)0,3(D ，M 是椭圆2214x y +=上的动点，则11MC MD+的最小值为 .25. （2013年上海闵行区一模4）已知抛物线24y x =的焦点与圆2240x y mx ++-=的圆心重合，则m 的值是 .26. （2013年上海静安区一模3）【理】两条直线0943:1=+-y x l 和03125:2=-+y x l 的夹角大小为．27（2013年上海静安区一模5）【理】设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是28. （2013年上海静安区一模8）【理】已知曲线C 的极坐标方程为θρsin 4=．若以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+⋅=⋅=23,2t y t x （t 为参数），则此直线l 被曲线C 截得的线段长度为29. （2013年上海静安区一模11）【理】机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”．如图所示，“海宝”从圆心O 出发，先沿北偏西1312arcsin方向行走13米至点A 处，再沿正南方向行走14米至点B 处，最后沿正东方向行走至点C 处，点B 、C 都在圆O 上．则在以圆心O 为坐标原点，正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向的直角坐标系中圆O 的方程为30.（2013年上海静安区一模12）【理】过定点)0,4(F 作直线l 交y 轴于Q 点，过Q 点作QT FQ ⊥交x 轴于T 点，延长TQ 至P 点，使QP TQ =，则P 点的轨迹方程是31. （2013年上海静安区一模13）【理】已知直线0)1(4)1()1(=+-++-a y a x a （其中a 为实数）过定点P ，点Q 在函数xx y 1+=的图像上，则PQ 连线的斜率的取值范围是 32（2013年上海金山区一模9）若直线:=l y kx 经过点22(,)33P sin cos ππ，则直线l 的倾斜角为α= 33. （2013年上海金山区一模11）双曲线222:=C x y a -的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线2=16y x 的准线交于A 、B 两点，34||=AB ，则双曲线C 的方程为34. （2013年上海金山区一模14）若实数a 、b 、c 成等差数列，点()1,0P -在动直线:++=0l ax by c 上的射影为M ，点()0,3N ，则线段MN 长度的最小值是35. （2013年上海嘉定区一模9）动点P ),(y x 到点)1,0(F 的距离与它到直线01=+y 的距离相等，则动点P 的轨迹方程为___________OBC北南ANS理第11题（理）点M 是曲线1212+=x y 上的一个动点，且点M 为线段OP 的中点，则动点P 的轨迹方程为__________ 36. （2013年上海黄埔区一模5）若双曲线2221(0)4x y b b-=>的一条渐近线过点P (1, 2)，则b 的值为37. （2013年上海黄埔区一模文7理4）已知直线1l ：20x ay ++=和2l ：(2)360a x y a -++=，则1l ∥2l 的充要条件是a =38. （2013年上海黄埔区一模13）已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)M m (m >0)到其焦点F 的距离为5，该抛物线的顶点在直线MF 上的射影为点P ，则点P 的坐标为39. （2013年上海黄埔区一模11）理．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)M m 到其焦点F 的距离为5，该抛物线的顶点到直线MF 的距离为d ，则d 的值为40. （2013年上海黄埔区一模13）（理）已知F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 是双曲线C 的中心，直线y =mx 是双曲线C 的一条渐近线．以线段OF 为边作正三角形MOF ，若点M 在双曲线C 上，则m 的值为二、选择题1．（2013年上海闸北区一模11）【理】曲线)0(0622>=-+y x y x 与直线)2(+=x k y 有公共点的充要条件是（） A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈0,43k ； B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∈34,0k ； C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∈43,0k ； D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈43,43k ．2. （2013年上海杨浦区一模17）若1F 、2F 为双曲线C : 1422=-y x 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠21PF F =︒60，则P 到x 轴的距离为（）A ．55； B ．155； C ．2155； D ．1520． 3. （2013年上海徐汇区一模18）【理】对于直角坐标平面xOy 内的点(,)A x y (不是原点),A 的“对偶点”B 是指：满足1OA OB =且在射线OA 上的那个点. 若,,,P Q R S 是在同一直线上的四个不同的点(都不是原点),则它们的“对偶点”'''',,,P Q R S （）A ．一定共线；B ．一定共圆；C ．要么共线，要么共圆；D ．既不共线，也不共圆．4. （2013年上海松江区一模15）过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线方程是（）A ．210x y +-=；B ．210x y -+=；C ．220x y +-=；D ．210x y --=．4. （2013年上海青浦区一模15）设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（）A . x y 2±=；B ．x y 2±=；C . x y 21±=； D . x y 22±=. 6. （2013年上海普陀区一模16）【理科】双曲线22221x y a b λλ+=--（22b a >>λ）的焦点坐标为（） A ．)0,(22b a +±； B ．)0,(22b a -±；C ．)0,2(22λ-+±b a ；D ．),0(22b a +±.7. （2013年上海嘉定区一模16）以下说法错误的是（）A ．直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是),0[πB ．直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0πC ．平面内两个非零向量的夹角的取值范围是),0[πD ．空间两条直线所成角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π8. （2013年上海嘉定区一模17）（理）在平面直角坐标系内，设),(11y x M 、),(22y x N 为不同的两点，直线l 的方程为0=++c by ax ，cby ax cby ax ++++=2211δ．有四个命题：①存在实数δ，使点N 在直线l 上；②若1=δ，则过M 、N 两点的直线与直线l 平行；③若1-=δ，则直线l 经过线段MN 的中点；④若1>δ，则点M 、N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段MN 的延长线相交．上述命题中，全部真命题的序号是（）A ．① ② ③；B ．② ③ ④；C ．① ③ ④；D ．① ② ③ ④．三、解答题1. （2013年上海宝山区理科一模22）设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点． (1)若2p =，求线段AF 中点M 的轨迹方程； (2) 若直线AB 的方向向量为(1,2)n =，当焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭时，求OAB ∆的面积； (3) 若M 是抛物线C 准线上的点，求证：直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列．2. （2013年上海宝山区理科一模23）（本题18分，第(1)小题6分；第(2)小题12分）如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>> 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，△2ABF 的周长为8，且12AF F ∆面积最大时，12AF F ∆为正三角形．（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ．试探究： ① 以PQ 为直径的圆与x 轴的位置关系？② 在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出M 的坐标；若不存在，说明理由．yxABOF 1F 2PMOyx3. （2013年上海奉贤区理科一模21）某海域有A 、B 两个岛屿，B 岛在A 岛正东4海里处。

2013年上海部分重点中学高考模拟考试数学(文)试卷(含答案)

2013年上海部分重点中学高考模拟考试数学(文)试卷考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、准考证号填写清楚. 2．本试卷共有23道试题，满分150分. 考试时间120分钟.一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 一. 填空题（本大题满分56分）1. 函数21x y =+的反函数为 .2. 平面上的点(3,4)A 绕原点顺时针旋转π2后, 所得点B 的坐标为 . 3. 设m 是实数. 若复数1iim +-的实部为0(i 表示虚数单位), 则m = . 4. 若复数z 是方程2240x x -+=的一个根, 则||z = .5. 在右边所示流程图中, 若输入的x 值是3, 则最后输出的n 的值为 .6. 设m 是正实数. 若椭圆2221691x y m ++=的焦距为8, 则 m = .7. 设k 是实数. 若方程22144x y k k -=-+表示的曲线是双曲线, 则k 的取值范围为 .8. 已知命题“a A ∈”是命题“132110111aa=”的充分非必要条件, 请写出一个满足条件的非空集合A , 你写的非空集合A 是 .9. 设全集U R =. 若集合11A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭, 则U A =ð .10. 设A 是三角形的内角. 若1sin cos 5A A -=, 则sin A = . 11. 设a 是实数. 若函数()|||1|f x x a x =+--是定义在R 上的奇函数, 但不是偶函数, 则a = .12. 在数列{}n a 中, 11a =, 当*n N ∈时, 111n n a a n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 数列{}n a 的前n 项和为n S , 则2limnn nS S →∞= .13. 设平面向量(1,2)a =. 当b 变化时, 22m a a b b =+⋅+ 的取值范围为 .14. 设1,,,,a b S a b c d b c c d R ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈=⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭, 2,,,,0a b S a b c d a d b c c d R ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈==+=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭. 已知矩阵2468A B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 其中1A S ∈, 2B S ∈. 那么B = .二．选择题（本大题满分20分）15. 根据以下各组条件解三角形, 解不唯一．．．的是[答] ( )(A) 60A ︒=, 75B ︒=, 1c =. (B) 5a =, 10b =, 15A ︒=. (C) 5a =, 10b =, 30A ︒=.(D) 15a =, 10b =, 30A ︒=.16. 对于数列{}n a , 如果存在正实数M , 使得数列中每一项的绝对值均不大于M , 那么称该数列为有界的, 否则称它为无界的. 在以下各数列中, 无界的数列为 [答] ( )(A) 12a =, 123n n a a +=-+. (B) 12a =, 12nn a a +=. (C) 12a =, 1arctan 1n n a a +=+.(D) 12a =, 1n n a a +=-.17. 设,,a b k 是实数, 二次函数2()f x x ax b =++满足: (1)f k -与()f k 异号, (1)f k +与()f k 异号. 在以下关于()f x 的零点的命题中, 真命题是[答] ( )(A) 该二次函数的零点都小于k . (B) 该二次函数的零点都大于k . (C) 该二次函数的两个零点之差一定大于2. (D) 该二次函数的零点均在区间(1,1)k k -+内.18. 将图中的正方体其余6个顶点标上字母, 使其成为正方体1111ABCD A BC D -, 不同的标字母方式共有[答] ( )(A) 1种. (B) 2种.(C) 4种.(D) 12种.三．解答题（本大题满分74分） 19. (本题满分12分)已知a 是实数, 直线250x y -+=与直线40x y a -++=的交点不在椭圆22211x y +=上, 求a 的取值范围. 20. (本题满分12分)某学生解下面的题目时, 出现了错误. 指出该学生从哪一个步骤开始犯了第一个错误, 并从该步骤开始改正他的解答.【题目】有一块铁皮零件, 它的形状是由边长为40cm 的正方形CDEF 截去一个三角形ABF 所得的五边形ABCDE , 其中AF 长等于12cm, BF 长等于10cm, 如图所示. 现在需要截取矩形铁皮, 使得矩形相邻两边在,CD DE 上. 请问如何截取, 可以使得到的矩形面积最大? (图中单位: cm)【错解】在AB 上取一点P , 过P 作,CD DE 的平行线, 得矩形PNDM . 延长,NP MP , 分别与,EF CF 交于点,Q S .设PQ x =cm(010x ≤≤), 则40PN x =-. 由APQ ∽ABF , 得 1.2AQ x =,28 1.2PM EQ EA AQ x ==+=+.……………步骤①如果矩形PNDM 的面积用y cm 2表示, 那么(40)(28 1.2)y PN PM x x =⋅=-+,其中010x ≤≤.因为PN , PM 均大于零, 所以由基本不等式, 得222PN PM PN PM +⋅≤,因此y PN PM =⋅的最大值为222PN PM +.……………步骤②y 取到最大值, 即等号成立当且仅当PN PM =, 即4028 1.2x x -=+, 解得6011x =. ……………步骤③当60[0,10]11x =∈时, 144400(40)(28 1.2)121y x x =-+=, 所以当6011x =cm 时, 面积的最大值为144400121cm 2. ……………步骤④21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数1π()sin cos sin 2222x x f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1) 写出()f x 的最小正周期以及单调区间;(2) 若函数5π()cos 4h x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 求函数2log ()())(y f x h x =⋅的最大值, 以及使其取得最大值的x 的集合.22. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数()2f x x x m =-, 常数m R ∈. (1) 设0m =. 求证: 函数()f x 递增;(2) 设1m =-. 求关于x 的方程(())0f f x =的解的个数;(3) 设0m >. 若函数()f x 在区间[0,1]上的最大值为2m , 求正实数m 的取值范围. 23. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.可以证明, 对任意的*n N ∈, 有2333(12)12n n +++=+++ 成立. 下面尝试推广该命题:(1) 设由三项组成的数列123,,a a a 每项均非零, 且对任意的{1,2,3n ∈有23331212()n na a a a a a +++=+++ 成立, 求所有满足条件的数列; (2) 设数列{}n a 每项均非零, 且对任意的*n N ∈有23331212()n n a a a a a a +++=+++ 成立, 数列{}n a 的前n 项和为n S . 求证: 2112n n n a a S ++-=, *n N ∈;(3) 是否存在满足(2)中条件的无穷数列{}n a , 使得20112009a =? 若存在, 写出一个这样的无穷数列(不需要证明它满足条件); 若不存在, 说明理由.一．（第1至14题）每一题正确的给4分，否则一律得零分。

【解析】上海市徐汇区2013年高考一模数学试题(文)

2012学年第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷（文）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．方程组2132x y x y -=⎧⎨+=-⎩的增广矩阵是__________________.2. 已知幂函数()f x 的图像过点18,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则此幂函数的解析式是()f x =_____________. 3．若4cos 5θ=，则=θ2cos ___________. 4．若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线221610x y -=的右焦点重合，则实数p 的值是 .5．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图像如右图所示，则()f x = _________.6．若(1,2)n =是直线l 的一个方向向量，则直线l 的倾斜角的大小为_________________.(结果用反三角函数值表示) 7．不等式210x x+≥ 1 2 2的解为 .8．高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是 .(结果用最简分数表示) 9．如图所示的程序框图，输出b 的结果是_________.10．数列{}n a 的通项公式*1 , 1()1 , 2(1)n n a n N n n n =⎧⎪=∈⎨≥⎪+⎩，前n 项和为n S ，则l i m n n S →∞=_____________.11.边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，E 在线段AB 上运动，则EC EM ⋅的取值范围是____________.12．函数{}()min ,2f x x =-，其中{},min ,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，则实数m 的取值范围是______________.13．若平面向量i a 满足 1(1,2,3,4)i a i == 且10(1,2,3)i i a a i +⋅==,则1234a a a a +++ 的最大值为 .14．已知线段010A A 的长度为10，点129,,,A A A 依次将线段010A A 十等分.在0A 处标0，往右数1点标1，再往右数2点标2，再往右数3点标3……(如图)，遇到最右端或最左端返回，按照0A →10A →0A →10A → 的方向顺序，不断标下去，（文）那么标到10这个数时，所在点上的最小数为_____________.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．下列排列数中，等于*(5)(6)(12)(13,)n n n n n N ---≥∈ 的是（）(A)712n P - (B) 75n P - (C) 85n P - (D) 812n P -16．在ABC ∆中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“090C ∠=”的（）(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件17．若函数21()ax f x x-=在()0,+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是（）(A)0a ≥(B)0a >(C)0a ≤(D) 0a <18．（文）对于直角坐标平面xOy 内的点(,)A x y （不是原点），A 的“对偶点”B 是指：满足1OA OB =且在射线OA 上的那个点. 则圆心在原点的圆的对偶图形（）(A) 一定为圆 (B) 一定为椭圆 (C) 可能为圆，也可能为椭圆 (D) 既不是圆，也不是椭圆三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分)已知集合3{|0}4x A x x -=<-，实数a 使得集合{}|()(5)0B x x a x =-->满足A B ⊆，求a 的取值范围.20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数)(x f =21log 1x x +-. (1)判断函数)(x f 的奇偶性，并证明；(2)求)(x f 的反函数)(1x f -，并求使得函数12()()log g x f x k -=-有零点的实数k 的取值范围.21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某种型号汽车的四个轮胎半径相同，均为40R cm =，该车的底盘与轮胎中心在同一水平面上. 该车的涉水安全要求．．．．．．是：水面不能超过它的底盘高度. 如图所示：某处有一“坑形”地面，其中坑ABC 形成顶角为0120的等腰三角形，且60AB BC cm ==，如果地面上有()h cm (40h <)高的积水(此时坑内全是水，其它因素忽略不计). (1) 当轮胎与AB 、BC 同时接触时，求证：此轮胎露在水面外的高度(从轮胎最上部到水面的距离)为103d h =+-； (2) 假定该汽车能顺利通过这个坑(指汽车在过此坑时，符合涉水安全要求．．．．．．)，求h 的最大值.(精确到1cm).题满分6分.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(1,0)F，点(-在椭圆C 上，点T满足2OT OF =（其中O 为坐标原点）, 过点F 作一斜率为(0)k k >的直线交椭圆于P 、Q 两点(其中P 点在x 轴上方，Q 点在x 轴下方) .(1)求椭圆C 的方程；(2)若1k =，求PQT ∆的面积；(3)设点P '为点P 关于x 轴的对称点，判断P Q ' 与QT的位置关系，并说明理由.题满分8分.对于数列{}n x ，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为1a ,公差为d 的无穷等差数列{}n a 的子数列问题，为此，他取了其中第一项1a ，第三项3a 和第五项5a .(1) 若135,,a a a 成等比数列,求d 的值；(2) 在11a =, 3d =的无穷等差数列{}n a 中，是否存在无穷子数列{}n b ，使得数列{}n b 为等比数列？若存在，请给出数列{}n b 的通项公式并证明；若不存在，说明理由；(3) 他在研究过程中猜想了一个命题：“对于首项为正整数a ，公比为正整数q (1q >)的无穷等比数列{}n c ,总可以找到一个子数列{}n d ,使得{}n d 构成等差数列”. 于是，他在数列{}n c 中任取三项,,()k m n c c c k m n <<，由k n c c +与2m c 的大小关系去判断该命题是否正确. 他将得到什么结论？试题解析答案1．答案：211132-⎛⎫⎪-⎝⎭ 根据增广矩阵的定义可知方程组的增广矩阵为211132-⎛⎫⎪-⎝⎭。

上海市17区县高三数学一模分类汇编专题五解析几何文

专题五解析几何汇编2013年3月)(A． )(B)(C ． )(D 17．)(B ；（普陀区2013届高三一模文科）16. 【文科】双曲线17922=-+-λλy x （97<<λ）的焦点坐标为…………………………（）（A ）)0,4(±. （B ）)0,2(±. （C ）)4,0(±. （D ）)2,0(±.（黄浦区2013届高三一模文科）5．若双曲线2221(0)4x y b b-=>的一条渐近线过点P (1, 2)，则b 的值为_________． 5．4（静安区2013届高三一模文科）7．（文）设圆过双曲线116922=-y x 右支的顶点和焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 . 7．（文）316（青浦区2013届高三一模）15．设双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为………………………………………………（ D ）．A . x y 2±= .B x y 2±=C . x y 21±=D . x y 22±=（黄浦区2013届高三一模文科）13．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)M m (m >0)到其焦点F 的距离为5，该抛物线的顶点在直线MF 上的射影为点P ，则点P 的坐标为．13．6448(,)2525；（闵行区2013届高三一模文科）4．已知抛物线24y x =的焦点与圆2240x y mx ++-=的圆心重合，则m 的值是 . 4．2-；（静安区2013届高三一模文科）4．（文）设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 . 4．（文）3（闸北区2013届高三一模文科）7．已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为．7．114⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（崇明县2013届高三一模）17、等轴双曲线C ：222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于,A B 两点，43AB =，则双曲线C 的实轴长等于……………………………………………………………………（）A ．2B ．22C ．4D ．817、C（虹口区2013届高三一模）14、设点P 在曲线22+=x y 上，点Q 在曲线2-=x y 上，则PQ 的最小值等于． 14、427；（松江区2013届高三一模文科）7．抛物线的焦点为椭圆14522=+y x 的右焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 ▲ ．7． 24y x =（奉贤区2013届高三一模）13、（文）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =C 的实轴长为____________．文4（闸北区2013届高三一模文科）4．设双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ．过点F 且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B ，则AFB ∆的面积为．4．310；（青浦区2013届高三一模）3．抛物线22x y =的焦点坐标是____)81,0( ．（奉贤区2013届高三一模）14、（文）椭圆()01342222>=+a a y a x 的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________．文23a（普陀区2013届高三一模文科）12.【文科】若1F 、2F 是椭圆2214x y +=的左、右两个焦点，M 是椭圆上的动点，则2111MF MF +的最小值为 . 12.1 （金山区2013届高三一模）11．双曲线C ：x 2– y 2= a 2的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A 、B 两点，34||=AB ，则双曲线C 的方程为__________．11．14422=-y x （杨浦区2013届高三一模文科）3．抛物线x y 42=的焦点到准线的距离为 . 3．2；（虹口区2013届高三一模）4、双曲线1322=-y x 的两条渐近线的夹角大小等于． 4、3π；（虹口区2013届高三一模）21、（本题满分14分）已知圆:O 422=+y x ．PMOyx（1）直线1l ：0323=-+y x 与圆O 相交于A 、B 两点，求AB ；（2）如图，设),(11y x M 、),(22y x P 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线1PM 、2PM 与y 轴分别交于),0(m 和),0(n ，问n m ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．21、（14分）解：（1）圆心)0,0(O 到直线0323=-+y x 的距离3=d ．圆的半径2=r ，∴2222=-=d r AB ．………………4分（2）),(11y x M ，),(22y x P ，则),(111y x M --，),(112y x M -，42121=+y x ，42222=+y x ．………………8分1PM ：))(())((212212y y x x x x y y -+=-+，得121221x x y x y x m +-=．2PM ：))(())((212212y y x x x x y y --=-+，得121221x x y x y x n ---=．…………12分∴4)4()4(212222212122212222212122=----=--=⋅x x x x x x x x y x y x n m ………………14分（金山区2013届高三一模）22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，线段OF 1、OF 2的中点分别为B 1、B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．过Ｂ1作直线l 交椭圆于P 、Q 两点． (1) 求该椭圆的标准方程；(2) 若22QB PB ⊥，求直线l 的方程；(3) 设直线l 与圆O ：x 2+y 2=8相交于M 、N 两点，令|MN |的长度为t ，若t ∈[4,27]，求△B 2PQ 的面积S 的取值范围．22．解：（1）设所求椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ,右焦点为)0,(2c F .因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|=|AB 2|，故∠B 1AB 2=90º，得c =2b …………1分在Rt △AB 1B 2中，1224AB B S b ∆==，从而20222=+=c b a .………………3分因此所求椭圆的标准方程为：221204x y += …………………………………………4分 (2)由(1)知1(2,0),(2,0)B B -,由题意知直线l 的倾斜角不为0,故可设直线l 的方程为：2x my =-,代入椭圆方程得()2254160m y my +--=,…………………………6分设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则y 1、y 2是上面方程的两根，因此12245my y m +=+， 516221+-=⋅m y y ，又()()2112222,,2,B P x y B Q x y =-=-u u u u r u u u u r ，所以 212122)2)(2(y y x x Q B P B +--=⋅2216645m m -=-+………………………………8分由21PB QB ⊥，得22B P B Q ⋅u u u u r u u u u r =0，即216640m -=，解得2m =±；所以满足条件的直线有两条,其方程分别为：x +2y +2=0和x –2y +2=0……………………10分 (3) 当斜率不存在时，直线:l 2-=x ，此时4||=MN ，5516=S ………………11分当斜率存在时，设直线:l )2(+=x k y ，则圆心O 到直线的距离1|2|2+=k k d ，因此t=721482||22≤+-=k k MN ，得312≥k ………………………………………13分联立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1420),2(22y x x k y 得0164)51(222=--+k ky y k ，由韦达定理知， 22212215116,514k k y y k k y y +-=+=+，所以222421)51(454||k k k y y ++=-，因此1214||2S y y =⋅⋅-=设28153u k u =+≥，，所以S =，所以)5516,35[∈S …15分综上所述：△B 2PQ 的面积]5516,35[∈S ……………………………………………16分（宝山区2013届期末）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点． (1)若2p =，求线段AF 中点M 的轨迹方程；(2) 若直线AB 的方向向量为(1,2)n =r ，当焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭时，求OAB ∆的面积；(3) 若M 是抛物线C 准线上的点，求证：直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列．解：(1) 设00(,)A x y ，(,)M x y ，焦点(1,0)F ，则由题意00122x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即00212x x y y =-⎧⎨=⎩……………………………………2分所求的轨迹方程为244(21)y x =-，即221y x =-…………………………4分 (2) 22y x =，12(,0)F ，直线12()212y x x =-=-，……………………5分由2221y x y x ⎧=⎨=-⎩得，210y y --=， 2511212=-+=y y kAB ……………………………………………7分d =……………………………………………8分4521==∆AB d S OAB ……………………………………………9分 (3)显然直线MA 、MB 、MF 的斜率都存在，分别设为123k 、k 、k ．点A 、B 、M 的坐标为11222pA(x ,y )、B(x ,y )、M(-,m)．设直线AB ：2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，代入抛物线得2220p y y p k--=，……………………11分所以212y y p =-，……………………………………………12分又2112y px =，2222y px =，因而()22211112222y p p x y p p p +=+=+，()24222212211222222y p p p p p x y p p py y +=+=+=+ 因而()()()22121112122222111222222p y m p y m y y m y m m k k p p p p y p p y p x x ⎛⎫-- ⎪---⎝⎭+=+=+=-++++……………14分而30222m mk p p p -==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故1232k k k +=．……………………………………………16分（崇明县2013届高三一模）23、（本题18分，第(1)小题6分；第(2)小题12分）如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>> 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，2ABF ∆的周长为8，且12AF F ∆面积最大时，12AF F ∆为正三角形．（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ．试探究：① 以PQ 为直径的圆与x 轴的位置关系？② 在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出M 的坐标；若不存在，说明理由．23、解：（1）当三角形面积最大时，为正三角形，所以,,=,=A （0b ）a 2c 4a 8 yxABOF 1 F 222=4,=3b ∴a ，椭圆E 的方程为22+=143x y（2）①由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得方程222(43)84120k x kmx m +++-=由直线与椭圆相切得220,0,430.m k m ≠∆=⇒-+=求得43(,)k P m m -，(4,4)Q k m +，PQ 中点到x 轴距离 223(2)22m d k m=++ 2222212()(1)0(4302)2kPQ d k m m k m-=->-+=⇒≠。

2013年上海市普陀区高考数学一模试卷(文科)含详解

2013年上海市普陀区高考数学一模试卷（文科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．（4分）不等式|2x﹣1|≤1的解集为．2．（4分）函数y=sin2x﹣cos2x的最小正周期是．3．（4分）若集合，集合B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=．4．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为．5．（4分）若函数f（x）=1﹣log3x，则f﹣1（﹣8）=．6．（4分）若等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a4=14，S7=70，则数列{a n}的通项公式为．7．（4分）在一个袋内装有同样大小、质地的五个球，编号分别为1、2、3、4、5，若从袋中任意取两个，则编号的和是奇数的概率为（结果用最简分数表示）．8．（4分）在的二项展开式中，常数项等于．9．（4分）若函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（0）=．10．（4分）在△ABC中，若，，则=．11．（4分）若函数f（x）满足f（x+10）=2f（x+9），且f（0）=1，则f（10）= _．12．（4分）若F1、F2是椭圆的左、右两个焦点，M是椭圆上的动点，则的最小值为．13．（4分）三棱锥S﹣ABC中，E、F、G、H分别为SA、AC、BC、SB的中点，则截面EFGH将三棱锥S﹣ABC分成两部分的体积之比为．14．（4分）已知函数，设a＞b≥0，若f（a）=f（b），则b•f（a）的取值范围是．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），则“f（1）＜f（2）”是“函数y=f（x）在R上是增函数”的（）A．充分非必要条件．B．必要非充分条件．C．充要条件．D．非充分非必要条件．16．（5分）双曲线（7＜λ＜9）的焦点坐标为（）A．（±4，0）．B．．C．（0，±4）．D．．17．（5分）已知a＞0，b＞0，若，则a+b的值不可能是（）A．7B．8C．9D．1018．（5分）如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是（）A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个C．λ+μ的最大值为3D．λ+μ的最小值不存在三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm．（1）这种“浮球”的体积是多少cm3（结果精确到0.1）？（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？20．（14分）已知动点A（x，y）到点F（2，0）和直线x=﹣2的距离相等．（1）求动点A的轨迹方程；（2）记点K（﹣2，0），若，求△AFK的面积．21．（14分）已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，，b=6，．（1）求c；（2）求的值．22．（16分）f（x）和g（x）都是定义在集合M上的函数，对于任意的x∈M，都有f（g（x））=g（f（x））成立，称函数f（x）与g（x）在M上互为“H 函数”．（1）若函数f（x）=ax+b，g（x）=mx+n，f（x）与g（x）互为“H函数”，证明：f（n）=g（b）（2）若集合M=[﹣2，2]，函数f（x）=x2，g（x）=cosx，判断函数f（x）与g （x）在M上是否互为“H函数”，并说明理由．（3）函数f（x）=a x（a＞0且a≠1），g（x）=x+1在集合M上互为“H函数”，求a的取值范围及集合M．23．（18分）在平面直角坐标系xOy中，点A n满足，且；点B n满足，且，其中n∈N*．（1）求的坐标，并证明点A n在直线y=x+1上；（2）记四边形A n B n B n+1A n+1的面积为a n，求a n的表达式；（3）对于（2）中的a n，是否存在最小的正整数P，使得对任意n∈N*都有a n＜P成立？若存在，求P的值；若不存在，请说明理由．2013年上海市普陀区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．（4分）不等式|2x﹣1|≤1的解集为[0，1]．【考点】R2：绝对值不等式．【专题】11：计算题．【分析】首先对不等式去绝对值可得到﹣1≤2x﹣1≤1，然后求解x的取值范围即得到答案．【解答】解：由不等式|2x﹣1|≤1，首先去绝对值可得到﹣1≤2x﹣1≤1；移项得：0≤x≤1故答案为：[0，1]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式来解．计算量小较容易．2．（4分）函数y=sin2x﹣cos2x的最小正周期是π．【考点】H1：三角函数的周期性．【专题】11：计算题．【分析】先根据两角和与差的正弦公式将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，再由T=得到答案．【解答】解：y=sin2x﹣cos2x=（）=sin（2x﹣）∴T==π故答案为：π【点评】本题主要考查三角函数最小正周期的求法，一般先将函数化简为y=Asin （wx+ρ）的形式，再由T=可解题．3．（4分）若集合，集合B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B={﹣1，0}．【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】首先求解分式不等式化简集合A，然后直接取交集运算．【解答】解：由，得：，，即，解得：﹣5＜x＜1．所以集合={x|﹣5＜x＜1}．又B={﹣1，0，1，2，3}，所以A∩B={x|﹣5＜x＜1}∩{﹣1，0，1，2，3}={﹣1，0}．故答案为{﹣1，0}．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了分式不等式的解法，求解分式不等式时，移向后使得不等式一边为0，一边不为0，然后转化为不等式组求解，此题是基础题．4．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为60°．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题．【分析】连接A1D，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD后，解三角形BA1D即可得到异面直线A1B与B1C所成的角．【解答】解：连接A1D，由正方体的几何特征可得：A1D∥B1C，则∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD，易得：BD=A1D=A1B故∠BA1D=60°故答案为：60°【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义判断出∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，是解答本题的关键．5．（4分）若函数f（x）=1﹣log3x，则f﹣1（﹣8）=39．【考点】3T：函数的值；4R：反函数．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】由已知函数先求出函数的反函数，然后把x=﹣8代入即可求解【解答】解：∵f（x）=1﹣log3x∴f﹣1（x）=31﹣x∴f﹣1（﹣8）=39故答案为：39【点评】本题主要考查了函数的反函数的求解及互为反函数之间的关系的简单应用，属于基础试题6．（4分）若等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a4=14，S7=70，则数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2（n∈N*）．【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质和求和公式可得a3，a4，可得公差，进而可得其通项公式．【解答】解：由等差数列的性质可得2a3=a2+a4=14，解得a3=7，由求和公式可得S7===70，解得a4=10，故等差数列的公差d=a4﹣a3=3，故数列{a n}的通项公式为a n=a3+（n﹣3）d=3n﹣2故答案为：a n=3n﹣2（n∈N*）【点评】本题考查等差数列的通项公式的求解，涉及等差数列的求和公式，属基础题．7．（4分）在一个袋内装有同样大小、质地的五个球，编号分别为1、2、3、4、5，若从袋中任意取两个，则编号的和是奇数的概率为（结果用最简分数表示）．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】由题意可得，所有的取法共有=10种，而满足条件的取法有•=6种，由此求得编号的和是奇数的概率．【解答】解：由题意可得，所有的取法共有=10种，编号的和是奇数，说明取出的2个数一个为偶数，另一个为奇数，故满足条件的取法有•=6种，故编号的和是奇数的概率为=，故答案为．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．8．（4分）在的二项展开式中，常数项等于180．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式T r+1=•（2x2）10﹣r•，令x的幂指数为0即可求得常数项．【解答】解：设在的二项展开式中的通项公式为：T r+1，则：T r+1=•（2x2）10﹣r•=210﹣r••，令20﹣r=0，得r=8．∴常数项T9=4×=180．故答案为：180．【点评】本题考查用二项展开式的通项公式，考查方程思想与运算能力，属于中档题．9．（4分）若函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（0）=﹣1．【考点】3T：函数的值；HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】11：计算题；57：三角函数的图像与性质．【分析】，由图可求得A=2，再由2×+∅=2kπ+可求得∅，从而可求得f（0）．【解答】解：∵f（x）=Asin（2x+∅）（A＞0），∴由图知，A=2；又f（）=2，∴2×+∅=2kπ+，k∈Z，∴∅=2kπ﹣，k∈Z．又﹣＜∅＜，∴∅=﹣．∴f（x）=2sin（2x﹣），∴f（0）=2sin（﹣）=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求∅是难点，属于中档题．10．（4分）在△ABC中，若，，则=3．【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】两式相减，由向量的运算可得==9，解之即可．【解答】解：∵，，∴，∴====9，∴=3故答案为：3【点评】本题考查向量的模长的运算，涉及向量的数量积的运算，两式相减是解决问题的关键，属中档题．11．（4分）若函数f（x）满足f（x+10）=2f（x+9），且f（0）=1，则f（10）= 210_．【考点】3T：函数的值．【专题】11：计算题．【分析】根据f（x+10）=2f（x+9），且f（0）=1，x=n，n∈N*，构造一个等比数列{f（n）}，其首项是1，公比是2，求f（10）的值就是求该数列的第10项，根据等比数列的通项公式的求法即可求得结果．【解答】解：令x=n，n∈N*，∵f（x+10）=2f（x+9），且f（0）=1，∴f（n+1）=2f（n），f（0）=1，∴{f（n）}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴f（10）=1•210=210，故答案为：210．【点评】此题是个基础题．考查函数值，这里借助于构造等比数列来解决，增加了题目的难度，同时题目命题形式新颖，拓展了学生的思维空间，是个好题．12．（4分）若F1、F2是椭圆的左、右两个焦点，M是椭圆上的动点，则的最小值为1．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】由F1、F2是椭圆的左、右两个焦点，M是椭圆上的动点，知==，由|MF1|•|MF2|的最大值为a2=4，能求出的最小值．【解答】解：∵F1、F2是椭圆的左、右两个焦点，M是椭圆上的动点，∴==，∵|MF1|•|MF2|的最大值为a2=4，∴的最小值==1．故答案为：1．【点评】本题考查椭圆中的最小值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．13．（4分）三棱锥S﹣ABC中，E、F、G、H分别为SA、AC、BC、SB的中点，则截面EFGH将三棱锥S﹣ABC分成两部分的体积之比为1：1．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；35：转化思想．【分析】如图，直接利用棱锥的体积相等关系，推出截面EFGH将三棱锥S﹣ABC分成两部分的体积之比，即可．【解答】解：如图连接HC，HF，HA，AG，因为三棱锥S﹣ABC中，E、F、G、H分别为SA、AC、BC、SB的中点，由同底面积等高体积相等，∴V H=V H﹣GFC，V G﹣ABH=V C﹣SHE，V C﹣HEF=V A﹣HEF，﹣AGFV H﹣AGF+V G﹣ABH+V A﹣HEF=V H﹣GFC+V C﹣SHE+V C﹣HEF，截面EFGH将三棱锥S﹣ABC分成两部分的体积之比为1：1，故答案为：1：1．【点评】本题考查几何体的条件的求法，考查空间想象能力与计算能力以及转化思想的应用．14．（4分）已知函数，设a＞b≥0，若f（a）=f（b），则b•f（a）的取值范围是．【考点】34：函数的值域；51：函数的零点．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】首先作出分段函数的图象，因为给出的分段函数在每一个区间段内都是单调的，那么在a＞b≥0时，要使f（a）=f（b），必然有b∈[0，1），a∈[1，+∞），然后通过图象看出使f（a）=f（b）的b与f（a）的范围，则b•f（a）的取值范围可求．【解答】解：由函数，作出其图象如图，因为函数f（x）在[0，1）和[1，+∞）上都是单调函数，所以，若满足a＞b≥0，时f（a）=f（b），必有b∈[0，1），a∈[1，+∞），由图可知，使f（a）=f（b）的b∈[，1），f（a）∈[，2）．由不等式的可乘积性得：b•f（a）∈[，2）．故答案为[，2）．【点评】本题考查函数的零点，考查了函数的值域，运用了数形结合的数学思想方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，此题是中档题．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），则“f（1）＜f（2）”是“函数y=f（x）在R上是增函数”的（）A．充分非必要条件．B．必要非充分条件．C．充要条件．D．非充分非必要条件．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由“f（1）＜f（2）”成立，不能推出“函数y=f（x）在R上是增函数”成立，但由“函数y=f（x）在R上是增函数”，能推出“f（1）＜f（2）”成立，从而得出结论．【解答】解：由“f（1）＜f（2）”成立，不能推出对任意的x1＜x2，f（x1）＜f （x2），故不能推出“函数y=f（x）在R上是增函数”，故充分性不成立．由“函数y=f（x）在R上是增函数”可得“f（1）＜f（2）”成立，故必要性成立．综上，“f（1）＜f（2）”是“函数y=f（x）在R上是增函数”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，属于基础题．16．（5分）双曲线（7＜λ＜9）的焦点坐标为（）A．（±4，0）．B．．C．（0，±4）．D．．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据7＜λ＜9，将双曲线方程化为，可得a2=9﹣λ且b2=λ﹣7，再用双曲线基本量的平方关系，即可算出该双曲线的焦点坐标．【解答】解：∵双曲线（7＜λ＜9）∴9﹣λ＞0且7﹣λ＜0，方程化为由此可得：双曲线焦点在x轴，且c===∴双曲线的焦点坐标为故选：B．【点评】本题给出双曲线方程，求它的焦点坐标，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．17．（5分）已知a＞0，b＞0，若，则a+b的值不可能是（）A．7B．8C．9D．10【考点】8J：数列的极限．【专题】11：计算题；32：分类讨论．【分析】通过a＞b与a＜b，利用极限分别求出a与b的关系，然后求解a+b的值即可判断选项．【解答】解：当a＞b时，，可得=a，所以a+b＜2a=10．当a＜b时，，可得=b，所以a+b＜2b=10，综上，a+b的值不可能是10．故选：D．【点评】本题主要考查了数列极限的求解，解题的关键是判断a，b之间的大小关系，以及不等式的应用．18．（5分）如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是（）A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个C．λ+μ的最大值为3D．λ+μ的最小值不存在【考点】98：向量的加法．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】建立坐标系可得=（λ﹣μ，μ），A，B选项可举反例说明，通过P的位置的讨论，结合不等式的性质可得0≤λ+μ≤3，进而可判C，D的正误，进而可得答案．【解答】解：由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，则B（1，0），E（﹣1，1），故=（1，0），=（﹣1，1），所以=（λ﹣μ，μ），当λ=μ=1时，=（0，1），此时点P与D重合，满足λ+μ=2，但P不是BC 的中点，故A错误；当λ=1，μ=0时，=（1，0），此时点P与B重合，满足λ+μ=1，当λ=，μ=时，=（0，），此时点P为AD的中点，满足λ+μ=1，故满足λ+μ=1的点不唯一，故B错误；当P∈AB时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ+μ≤1，当P∈BC时，有λ﹣μ=1，0≤μ≤1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ+μ≤3，当P∈CD时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ+μ≤3，当P∈AD时，有λ﹣μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2，综上可得0≤λ+μ≤3，故C正确，D错误．故选：C．【点评】本题考查向量加减的几何意义，涉及分类讨论以及反例的方法，属中档题．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm．（1）这种“浮球”的体积是多少cm3（结果精确到0.1）？（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）根据圆柱筒的直径，可得半球的半径R=3cm，从而得到上下两个半球的体积之和，再由柱体体积公式算出圆柱筒的体积，相加即得该“浮球”的体积大小；（2）由球的表面积公式和圆柱侧面积公式，算出一个“浮球”的表面积S，进而得到2500个“浮球”的表面积，再根据每平方米需要涂胶100克，即可算出总共需要胶的质量．【解答】解：（1）∵该“浮球”的圆柱筒直径d=6cm，∴半球的直径也是6cm，可得半径R=3cm，∴两个半球的体积之和为cm3…（2分）而cm3…（2分）∴该“浮球”的体积是：V=V球+V圆柱=36π+18π=54π≈169.6cm3…（4分）（2）根据题意，上下两个半球的表面积是cm2…（6分）而“浮球”的圆柱筒侧面积为：S圆柱侧=2πRh=2×π×3×2=12πcm2…（8分）∴1个“浮球”的表面积为m2因此，2500个“浮球”的表面积的和为m2…（10分）∵每平方米需要涂胶100克，∴总共需要胶的质量为：100×12π=1200π（克）…（12分）答：这种浮球的体积约为169.6cm3；供需胶1200π克．…（13分）【点评】本题给出由两个半球和一个圆柱筒接成的“浮球”，计算了它的表面积和体积，着重考查了球、圆柱的表面积公式和体积公式等知识，属于基础题．20．（14分）已知动点A（x，y）到点F（2，0）和直线x=﹣2的距离相等．（1）求动点A的轨迹方程；（2）记点K（﹣2，0），若，求△AFK的面积．【考点】%H：三角形的面积公式；J3：轨迹方程．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由动点A（x，y）到点F（2，0）和直线x=﹣2的距离相等，知动点A的轨迹为抛物线，由此能求出动点A的轨迹方程．（2）过A作AB⊥l，垂足为B，根据抛物线定义，得|AB|=|AF|，由，知△AFK是等腰直角三角形，由此能求出△AFK的面积．【解答】解：（1）∵动点A（x，y）到点F（2，0）和直线x=﹣2的距离相等，∴动点A的轨迹为抛物线，其焦点为F（2，0），准线为x=﹣2设方程为y2=2px，其中，即p=4…（2分）所以动点A的轨迹方程为y2=8x．…（2分）（2）过A作AB⊥l，垂足为B，根据抛物线定义，得|AB|=|AF|…（2分）由于，所以△AFK是等腰直角三角形．…（2分）其中|KF|=4．…（2分）所以．…（2分）【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查三角形的面积的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．21．（14分）已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，，b=6，．（1）求c；（2）求的值．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数；HP：正弦定理．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】（1）由a，b及cosA的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值；（2）由cosA的值小于0，得到A为钝角，即sinA大于0，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，再由sinA，a及b的值，利用正弦定理求出sinB 的值，由B为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2B与cos2B的值，所求式子利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）在△ABC中，由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA，即48=36+c2﹣2×c×6×（﹣），整理得：c2+4c﹣12=0，即（c+6）（c﹣2）=0，解得：c=2或c=﹣6（舍去），则c=2；（2）由cosA=﹣＜0，得A为钝角，∴sinA==，在△ABC中，由正弦定理，得=，则sinB===，∵B为锐角，∴cosB==，∴cos2B=1﹣2sin2B=﹣，sin2B=2sinBcosB=，则cos（2B﹣）=（cos2B+sin2B）=×（﹣+）=．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．22．（16分）f（x）和g（x）都是定义在集合M上的函数，对于任意的x∈M，都有f（g（x））=g（f（x））成立，称函数f（x）与g（x）在M上互为“H 函数”．（1）若函数f（x）=ax+b，g（x）=mx+n，f（x）与g（x）互为“H函数”，证明：f（n）=g（b）（2）若集合M=[﹣2，2]，函数f（x）=x2，g（x）=cosx，判断函数f（x）与g （x）在M上是否互为“H函数”，并说明理由．（3）函数f（x）=a x（a＞0且a≠1），g（x）=x+1在集合M上互为“H函数”，求a的取值范围及集合M．【考点】57：函数与方程的综合运用．【专题】23：新定义；51：函数的性质及应用．【分析】（1）由f（x）=ax+b，g（x）=mx+n，f（x）与g（x）互为“H函数”，知f（g（x））=g（f（x））成立．即ag（x）+b=mf（x）+n恒成立，由此能够证明f（n）=g（b）．（2）假设函数f（x）与g（x）互为“H函数”，则对于任意的x∈M，f（g（x））=g（f（x））恒成立．即cosx2=cos2x，对于任意x∈[﹣2，2]恒成立，由此能推导出在集合M上，函数f（x）与g（x）不是互为“H函数”．（3）由题意得，a x+1=a x+1（a＞0且a≠1），变形得a x（a﹣1）=1，由于a＞0且a≠1，由此能求出a的取值范围及集合M．【解答】（1）证明：∵f（x）=ax+b，g（x）=mx+n，f（x）与g（x）互为“H函数”，∴对于∀x∈R，f（g（x））=g（f（x））成立．即ag（x）+b=mf（x）+n恒成立…（2分）∴max+an+b=amx+mb+n，…（2分）∴an+b=mb+n，∴f（n）=g（b）．…（1分）（2）解：假设函数f（x）与g（x）互为“H函数”，则对于任意的x∈Mf（g（x））=g（f（x））恒成立．即cosx2=cos2x，对于任意x∈[﹣2，2]恒成立…（2分）．当x=0时，cos0=cos0=1．不妨取x=1，则cos12=cos1，所以cos1≠cos21…（2分）所以假设不成立，在集合M上，函数f（x）与g（x）不是互为“H函数”…（1分）．（3）解：由题意得，a x+1=a x+1（a＞0且a≠1）…（2分）变形得，a x（a﹣1）=1，由于a＞0且a≠1，因为a x＞0，所以，即a＞1…（2分）此时x=﹣log a（a﹣1），集合M={x|x=﹣log a（a﹣1），a＞1}…（2分）【点评】本题考查函数值相等的证明，考查两个函数是否互为“H函数”的判断，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．23．（18分）在平面直角坐标系xOy中，点A n满足，且；点B n满足，且，其中n∈N*．（1）求的坐标，并证明点A n在直线y=x+1上；（2）记四边形A n B n B n+1A n+1的面积为a n，求a n的表达式；（3）对于（2）中的a n，是否存在最小的正整数P，使得对任意n∈N*都有a n＜P成立？若存在，求P的值；若不存在，请说明理由．【考点】3R：函数恒成立问题；8E：数列的求和；9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】54：等差数列与等比数列；5A：平面向量及应用．【分析】（1）利用向量的运算法则、等差数列的定义及通项公式即可证明；（2）利用向量的运算法则和逐差累和即可求得点B n的坐标，及﹣即可求出．（3）利用（2）的结论及作差法，求出a n+1﹣a n，进而即可判断出答案．【解答】解：（1）由已知条件得，，=，∴，∵，∴设，则x n+1﹣x n=1，y n+1﹣y n=1∴x n=0+（n﹣1）•1=n﹣1；y n=1+（n﹣1）•1=n．即A n=（n﹣1，n）满足方程y=x+1，∴点A n在直线y=x+1上．（2）由（1）得A n（n﹣1，n），，设B n（u n，v n），则u1=3，v1=0，v n+1﹣v n=0，∴v n=0，，逐差累和得，，∴．设直线y=x+1与x轴的交点P（﹣1，0），则a n=，n∈N*．（3）由（2）a n=，n∈N*，于是，a1＜a2＜a3＜a4=a5，a5＞a6＞a7＞…数列{a n}中项的最大值为，则，即最小的正整数p的值为6，所以，存在最小的自然数p=6，对一切n∈N*都有a n＜p成立．【点评】熟练掌握向量的运算法则、等差数列的定义及通项公式、逐差累和、及利用﹣求面积和作差法比较数的大小是解题的关键．。

2013年上海市宝山区高考数学一模试卷(文科)含详解

2013年上海市宝山区高考数学一模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）在复数范围内，方程x2+x+1=0的根是．2．（4分）已知，则二阶矩阵X=．3．（4分）设A（2，3），B（﹣1，5），且，则点D的坐标是．4．（4分）已知复数（x﹣2）+yi（x，y∈R）的模为，则的最大值是．5．（4分）不等式的解集是．6．（4分）执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=．7．（4分）将函数的图象向左平移a（a＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则a的最小值为．8．（4分）设函数f（x）是定义在R上周期为3的奇函数，且f（﹣1）=2，则f （2011）+f（2012）=．9．（4分）展开式中的常数项是．10．（4分）在△ABC中，若B=60°，AB=2，AC=2，则△ABC的面积是．11．（4分）若数列{a n}的通项公式是，则=．12．（4分）已知半径为R的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于，且经过这三个点的小圆周长为4π，则R=．13．（4分）我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系，如3|12表示3整除12．试类比课本中不等关系的基本性质，写出整除关系的两个性质．①；②．14．（4分）设A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐标系上的两点，定义点A 到点B的曼哈顿距离L（A，B）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若点A（﹣1，1），B在y2=x上，则L（A，B）的最小值为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为（）A．B．C．D．16．（5分）在△ABC中，有命题①；②；③若，则△ABC为等腰三角形；④若，则△ABC为锐角三角形．上述命题正确的是（）A．①②B．①④C．②③D．②③④17．（5分）函数f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函数的充要条件是（）A．a2+b2=0B．a+b=0C．a=b D．ab=018．（5分）已知f（x）=，则下列四图中所作函数的图象错误的是（）A．f（x﹣1）的图象B．f（﹣x）的图象C．f（|x|）的图象D．|f（x）|的图象三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要步骤．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为8，且AB=AC=2，∠BAC=90°，E是AA1的中点，O是C1B1的中点．求异面直线C1E与BO所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）20．（14分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，﹣2）．（1）求f（x）的解析式及x0的值；（2）若锐角θ满足，求f（4θ）的值．21．（14分）已知函数，g（x）=x．（1）当b=﹣5时，求f（x）的定义域；（2）若f（x）＞g（x）恒成立，求b的取值范围．22．（16分）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A、B两点．（1）若p=2，求线段AF中点M的轨迹方程；（2）若直线AB的方向向量为，当焦点为时，求△OAB的面积；（3）若M是抛物线C准线上的点，求证：直线MA、MF、MB的斜率成等差数列．23．（18分）已知定义域为R的二次函数f（x）的最小值为0且有f（1+x）=f （1﹣x），直线g（x）=4（x﹣1）被f（x）的图象截得的弦长为，数列{a n}满足，（a n+1﹣a n）g（a n）+f（a n）=0（n∈N*）．（1）函数f（x）；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n=3f（a n）﹣g（a n+1），求数列{b n}的最值及相应的n．2013年上海市宝山区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）在复数范围内，方程x2+x+1=0的根是．【考点】51：函数的零点．【专题】11：计算题．【分析】结合一元二次方程的求根公式，结合i2=﹣1即可求解【解答】解：∵x2+x+1=0∴=故答案为：【点评】本题主要考查了一元二次实系数方程的根的求解，解题的关键是i2=﹣1的应用2．（4分）已知，则二阶矩阵X=．【考点】O1：二阶矩阵．【专题】11：计算题．【分析】由，知X=，由此能求出二阶矩阵X．【解答】解：∵，∴X===．故答案为：．【点评】本题考查二阶矩阵的求法，解题时要认真审题，注意逆矩阵的合理运用．3．（4分）设A（2，3），B（﹣1，5），且，则点D的坐标是（﹣7，9）．【考点】96：平行向量（共线）；9J：平面向量的坐标运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用向量的运算法则即可得出．【解答】解：∵，∴=（2，3）+3[（﹣1，5）﹣（2，3）]=（﹣7，9）．故答案为（﹣7，9）．【点评】熟练掌握向量的运算法则是解题的关键．4．（4分）已知复数（x﹣2）+yi（x，y∈R）的模为，则的最大值是．【考点】A8：复数的模．【专题】31：数形结合．【分析】由复数（x﹣2）+yi（x，y∈R）的模为，得到关于x、y的关系式（x ﹣2）2+y2=3，然后运用数形结合求该圆的切线的斜率，则的最大值可求．【解答】解：由复数（x﹣2）+yi（x，y∈R）的模为，得：，即（x﹣2）2+y2=3，求的最大值，就是求圆（x﹣2）2+y2=3上的点与原点连线的斜率的最大值，设过原点的直线的斜率为k，直线方程为y=kx，即kx﹣y=0，由，得：4k2=3k2+3，所以，则的最大值是．故答案为．【点评】本题考查了复数的模，考查了数形结合的解题思想和数学转化思想，解答此题的关键是把要求的值转化为直线的斜率问题，此题为中档题．5．（4分）不等式的解集是{x|﹣1≤x≤2}．．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；59：不等式的解法及应用．【分析】利用绝对值的几何意义，≤⇔﹣≤x3﹣≤，解之即可．【解答】解：∵≤⇔﹣≤x3﹣≤，∴﹣1≤x3≤8，∵y=x3为R上的增函数，∴﹣1≤x≤2．∴不等式≤的解集是{x|﹣1≤x≤2}．故答案为：{x|﹣1≤x≤2}．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．6．（4分）执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=4．【考点】EF：程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．【解答】解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．当n=2时，当n=3时，，此时n+1=4．故答案为：4【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．7．（4分）将函数的图象向左平移a（a＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则a的最小值为．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题．【分析】先根据已知条件求出函数解析式，并整理后向左平移a（a＞0）个单位，得到新解析式，再结合其为偶函数即可求出a的最小值．【解答】解：由题得：f（x）=cosx﹣sinx=2cos（x+）．∵函数的图象向左平移a（a＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数∴f（x+a）=2cos（x+a+）为偶函数∴a+=kπ，即a=kπ﹣，又a＞0∴a=，，…所以a的最小值为：．故答案为．【点评】本题主要考查二阶矩阵与函数的综合问题．解决问题的关键在于知道f （x+a）=2cos（x+a+）为偶函数的对应结论为：a+=kπ．8．（4分）设函数f（x）是定义在R上周期为3的奇函数，且f（﹣1）=2，则f （2011）+f（2012）=0．【考点】3P：抽象函数及其应用；3T：函数的值．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】先利用已知周期把所求的f（2011）与f（2012）转化到已知区间上，结合奇函数的性质即可求解【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上周期为3的奇函数，∴f（x+3）=f（x）且f（﹣x）=﹣f（x）∵f（﹣1）=2，∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣2则f（2011）+f（2012）=f（1）+f（﹣1）=0故答案为：0【点评】本题主要考查了抽象函数的函数值的求解，解题的关键是熟练掌握函数的相关性质9．（4分）展开式中的常数项是210．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】写出通项公式，令x的系数为0，求出k的值，即可写出常数项．【解答】解：令，得k=6，所以展开式中的常数项是T7=C106（﹣1）6=210故答案为：210【点评】本题考查二项式定理的通项的应用，属基本题型、基本方法的考查．10．（4分）在△ABC中，若B=60°，AB=2，AC=2，则△ABC的面积是2．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题．【分析】由B的度数求出sinB和cosB的值，再由AB，AC及cosB的值，利用余弦定理求出BC的值，最后由AB，BC及sinB的值，利用三角形的面积公式求出三角形ABC的面积即可．【解答】解：∵B=60°，AB=2，AC=2，∴根据余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB，即12=4+BC2﹣2BC，解得BC=4，则△ABC的面积S=AB•BC•sinB=2．故答案为：2【点评】此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理及面积公式是解本题的关键．11．（4分）若数列{a n}的通项公式是，则=．【考点】8E：数列的求和；8J：数列的极限．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】先利用分组求和法求出a1+a2+…+a n，然后求极限即可．【解答】解：a1+a2+…+a n=（3﹣1+1）+[3﹣2+（﹣2）﹣1]+[3﹣3+（﹣2）﹣2]+…+[3﹣n+（﹣2）﹣n+1=（3﹣1+3﹣2+…+3﹣n）+…+[1+（﹣2）﹣1+（﹣2）﹣2+…+（﹣2）﹣n+1]=+=+，所以==．故答案为：．【点评】本题考查数列的极限奇数列的求和，熟练掌握数列求和的常用方法及有关结论是解决该类问题的基础．12．（4分）已知半径为R的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于，且经过这三个点的小圆周长为4π，则R=2．【考点】LH：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】根据球面上三个点，其中任意两点间的球面距离都等于，得出AB=BC=CA=R，利用其周长得到正三角形ABC的外接圆半径r=2，故可以得到高，设D是BC的中点，在△OBC中，又可以得到角以及边与R的关系，在Rt△ABD中，再利用直角三角形的勾股定理，即可解出R．【解答】解：∵球面上三个点，其中任意两点间的球面距离都等于，∴∠ABC=∠BCA=∠CAB=，∴AB=BC=CA=R，设球心为O，因为正三角形ABC的外径r=2，故高AD=r=3，D是BC的中点．在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=，所以BC=BO=R，BD=BC=R．在Rt△ABD中，AB=BC=R，所以由AB2=BD2+AD2，得R2=R2+9，所以R=2．故答案为：2．【点评】本题考查对球的性质认识及利用，以及学生的空间想象能力，是中档题．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．13．（4分）我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系，如3|12表示3整除12．试类比课本中不等关系的基本性质，写出整除关系的两个性质．①若a|b，b|c，则a|c；②若a|b，c|d，则ac|bd．【考点】S1：整除的概念和性质．【专题】29：规律型．【分析】根据记号“|”表示两个正整数间的整除关系，类比课本中不等关系的基本性质：①传递性a＜b，b＜c，则a＜c；②0＜a＜b，0＜c＜d，则ac＜bd．据此即可写出整除关系的两个性质．【解答】解：类比课本中不等关系的基本性质，①传递性a＜b，b＜c，则a＜c；②0＜a＜b，0＜c＜d，则ac＜bd．写出整除关系的两个性质：①若a|b，b|c，则a|c；②若a|b，c|d，则ac|bd；故答案为：①若a|b，b|c，则a|c；②若a|b，c|d，则ac|bd．【点评】本题主要考查了数的整除性和类比推量，类比课本中不等关系的基本性质，是解题的关键．14．（4分）设A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐标系上的两点，定义点A 到点B的曼哈顿距离L（A，B）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若点A（﹣1，1），B在y2=x上，则L（A，B）的最小值为．【考点】IR：两点间的距离公式．【专题】23：新定义．【分析】分析可知，使L（A，B）取最小值的点应在原点或第一象限，设出抛物线上点的坐标，然后写出L（A，B）=||+|y0﹣1|．分类讨论点B的纵坐标后可求得L（A，B）的最小值．【解答】解：如图，因为A在第二象限，根据抛物线的对称性，要使抛物线上的点B与A点的曼哈顿距离最小，则B在第一象限（或原点）．设B（），则L（A，B）=||+|y0﹣1|当0≤y0≤1时，L（A，B）===，所以，当时，L（A，B）有最小值．当y0＞1时，L（A，B）===．综上，L（A，B）的最小值为．故答案为．【点评】本题考查了新定义下的两点间的距离公式，考查了数形结合的解题思想和分类讨论思想，解答的关键是设出B点的坐标，此题是中档题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为（）A．B．C．D．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题．【分析】因为要求不相邻，采用插空法来解，先排列另外五人，有A55种结果，再在排列好的五人的6个空里，排列甲、乙、丙，有A63种结果，根据分步计数原理相乘得到结果．【解答】解：∵8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻排成一排，∴采用插空法来解，另外五人，有A55种结果，再在排列好的五人的6个空里，排列甲、乙、丙，有A63种结果，根据分步计数原理知共有A63•A55，故选：C．【点评】本题考查排列组合及简单计数问题，在题目中要求元素不相邻，这种问题一般采用插空法，先排一种元素，再在前面元素形成的空间，排列不相邻的元素．16．（5分）在△ABC中，有命题①；②；③若，则△ABC为等腰三角形；④若，则△ABC为锐角三角形．上述命题正确的是（）A．①②B．①④C．②③D．②③④【考点】91：向量的概念与向量的模；9B：向量加减混合运算；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】16：压轴题．【分析】利用向量的运算法则；锐角三角形需要三个角全为锐角．【解答】解：由向量的运算法则知；故①错②对又∵∴即AB=AC∴△ABC为等腰三角形故③对∵∴∠A为锐角但三角形不是锐角三角形故选：C．【点评】考查向量的运算法则．17．（5分）函数f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函数的充要条件是（）A．a2+b2=0B．a+b=0C．a=b D．ab=0【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；HV：反三角函数．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】由给出的函数f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函数，且0在其定义域中，由f（0）=0求出b的值，再取特殊值f（﹣1）=﹣f（1）求出a的值，然后证明当a=b=0时函数f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函数，从而可得结论．【解答】解：因为函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，且函数f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx 是奇函数，则，f（0）=0，即barccos0=0，所以，b=0．再由f（﹣1）=﹣f（1），得：﹣|arcsin（﹣1）+a|+barccos（﹣1）=﹣|arcsin1+a|+barccos1，即﹣|+a|+πb=﹣|+a|，||=||，所以，a=0所以，函数f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函数的必要条件是a=0，b=0．下面证明充分性若a=0，b=0．则f（x）=x|arcsinx|，f（﹣x）=﹣x|srxsin（﹣x）|=﹣x|﹣arcsinx|=﹣x|arcsinx|=﹣f（x）．所以f（x）是奇函数．综上，f（x）是奇函数的充要条件是a=0且b=0，即a2+b2=0．故选：A．【点评】本题考查了充分条件、必要条件及充要条件的判断．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．此题是中档题．18．（5分）已知f（x）=，则下列四图中所作函数的图象错误的是（）A．f（x﹣1）的图象B．f（﹣x）的图象C．f（|x|）的图象D．|f（x）|的图象【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】13：作图题．【分析】由题意作出函数f（x）的图形，由图象的变换原则分别验证各个选项即可得答案．【解答】解：函数f（x）=的图形如图所示，而函数f（x﹣1）的图象是把函数f（x）的图象向右平移1个单位，故选项A正确；f（﹣x）的图象是把函数f（x）的图象做关于y轴的对称得到，故选项B正确；f（|x|）的图象是把函数f（x）的图象保留y轴右边的，左边的去掉，再把右边的做关于y轴的对称，故选项C正确；|f（x）|的图象是把函数f（x）的图象x轴下方的做关于x轴的对称，对本题来说，就是自身，故选项D错误．故选：D．【点评】本题考查函数图象的作法，和图象的变换，属基础题．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要步骤．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为8，且AB=AC=2，∠BAC=90°，E是AA1的中点，O是C1B1的中点．求异面直线C1E与BO所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；5G：空间角．【分析】由V=S•AA1=8得AA1=4，取BC的中点F，连接AF，EF，则C1F∥BO，所以∠EC1F即是异面直线C1E与BO所成的角，由此能求出异面直线C1E与BO所成角的大小．【解答】解：由V=S•AA1=8得AA1=4，…3分取BC的中点F，连接AF，EF，则C1F∥BO，所以∠EC1F即是异面直线C1E与BO所成的角，记为θ．…5分∵，，EF2=6，…8分∴，…11分因而…12分【点评】本题考查异面直线所成的角的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．20．（14分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，﹣2）．（1）求f（x）的解析式及x0的值；（2）若锐角θ满足，求f（4θ）的值．【考点】GS：二倍角的三角函数；HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】11：计算题．【分析】（1）根据图象求出A，T，求出ω，图象经过（0，1），求出φ，然后求f（x）的解析式，根据（x0，2）求x0的值；（2）锐角θ满足，求出sinθ，sin2θ，cos2θ，化简f（4θ），然后求f（4θ）的值．【解答】解：（1）由题意可得：，即∴，，f（0）=2sinφ=1，由，∴．（3分），所以，，又∵x0是最小的正数，∴；（7分）（2），∵，∴，∴，∴．（12分）【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，二倍角的余弦，考查计算能力，视图能力，是基础题．21．（14分）已知函数，g（x）=x．（1）当b=﹣5时，求f（x）的定义域；（2）若f（x）＞g（x）恒成立，求b的取值范围．【考点】33：函数的定义域及其求法；3R：函数恒成立问题．【专题】15：综合题；51：函数的性质及应用．【分析】（1）由函数，b=﹣5，知4x﹣5•2x+4＞0，由此能求出f（x）的定义域．（2），g（x）=x，由f（x）＞g（x），得4x+b•2x+4＞2x，由此能求出结果．【解答】解：（1）∵函数，b=﹣5，∴4x﹣5•2x+4＞0，…3分解得x＜0，或x＞2．∴f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．…6分（2）∵，g（x）=x，∴由f（x）＞g（x），得4x+b•2x+4＞2x，即…9分令，则h（x）≤﹣3，…12分∴当b＞﹣3时，f（x）＞g（x）恒成立．故b的取值范围是（﹣3，+∞）．…14分．【点评】本题考查函数的定义域的求法，解题时要认真审题，注意对数函数的性质和等价转化思想的合理运用．22．（16分）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A、B两点．（1）若p=2，求线段AF中点M的轨迹方程；（2）若直线AB的方向向量为，当焦点为时，求△OAB的面积；（3）若M是抛物线C准线上的点，求证：直线MA、MF、MB的斜率成等差数列．【考点】83：等差数列的性质；I3：直线的斜率；J3：轨迹方程．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）先由抛物线的方程得到其焦点坐标，设A（x0，y0），M（x，y），利用中点坐标公式得，最后根据抛物线方程消去参数x0，y0，即得线段AF中点M的轨迹方程．（2）先利用直线AB的方向向量，求出直线的斜率，得出直线方程；再与抛物线方程联立，求出A、B两点之间的线段长以及点O到AB的距离，代入△ABO面积的表达式，求出△ABO面积即可．（3）显然直线MA、MB、MF的斜率都存在，分别设为k1、k2、k3．直线AB 的方程与抛物线方程联立，结合根与系数的关系，证出k1+k2=2k3即可证得k MA、k MF、k MB成等差数列．【解答】解：（1）设A（x0，y0），M（x，y），焦点F（1，0），则由题意，即…2分所求的轨迹方程为4y2=4（2x﹣1），即y2=2x﹣1…4分（2）y2=2x，，直线，…5分由得，y2﹣y﹣1=0，…7分，…8分…9分（3）显然直线MA、MB、MF的斜率都存在，分别设为k1、k2、k3．点A、B、M的坐标为．设直线AB：，代入抛物线得，…11分所以，…12分又，，因而，因而…14分而2，故k1+k2=2k3．…16分．【点评】本小题主要考查轨迹方程、圆锥曲线的轨迹问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、方程思想．属于中档题．23．（18分）已知定义域为R的二次函数f（x）的最小值为0且有f（1+x）=f （1﹣x），直线g（x）=4（x﹣1）被f（x）的图象截得的弦长为，数列{a n}满足，（a n+1﹣a n）g（a n）+f（a n）=0（n∈N*）．（1）函数f（x）；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n=3f（a n）﹣g（a n+1），求数列{b n}的最值及相应的n．【考点】8I：数列与函数的综合．【专题】15：综合题．【分析】（I）设f（x）=a（x﹣1）2（a＞0），则直线g（x）=4（x﹣1）与y=f（x）图象的两个交点为（1，0），，由，由此得到f（x）．（II）由（a n+1﹣a n）•4（a n﹣1）+（a n﹣1）2=0，知（a n﹣1）（4a n+1﹣3a n﹣1）=0∵a1=2，所以a n≠1，4a n+1﹣3a n﹣1=0，由此能求出数列{a n}的通项公式．（III）b n=3（a n﹣1）2﹣4（a n+1﹣1）=．令则．数列{b n}的最值及相应的n．【解答】解：（I）设f（x）=a（x﹣1）2（a＞0），则直线g（x）=4（x﹣1）与y=f（x）图象的两个交点为（1，0），∵∴a=1，f（x）=（x﹣1）2…（3分）（II）∵（a n+1﹣a n）•4（a n﹣1）+（a n﹣1）2=0∴（a n﹣1）（4a n+1﹣3a n﹣1）=0∵a1=2，∴a n≠1，4a n+1﹣3a n﹣1=0∴数列{a n﹣1}是首项为1，公比为的等比数列∴…（9分）（III）b n=3（a n﹣1）2﹣4（a n+1﹣1）=令则∵n∈N*，∴u的值分别为…，经比较距最近，∴当n=3时，b n有最小值是，当n=1时，b n有最大值是0．…（14分）【点评】本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．。

2013年上海市奉贤区高考数学一模试卷(文科)含详解

2013年上海市奉贤区高考数学一模试卷（文科）一、填空题（56分）1．（4分）关于x的方程x2+mx+n=0（m，n∈R）的一个根是﹣3+2i，则m=．2．（4分）函数y=sin2x﹣sin2x的最小正周期为．3．（4分）集合M={x|lgx＞0}，N={x|x2≤4}，则M∩N=．4．（4分）设直线l1：ax+2y=0的方向向量是，直线l2：x+（a+1）y+4=0的法向量是，若与平行，则a=．5．（4分）已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m 的取值范围是．6．（4分）设无穷等比数列{a n}的前n项和为S n，首项是a1，若S n=，，则公比q的取值范围是．7．（4分）设函数f（x）=为奇函数，则a=．8．（4分）关于x、y的二元线性方程组的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为，则二阶行列式=．9．（4分）已知函数f（x）=若f（a）=，则a=．10．（4分）已知向量，则的最大值为．11．（4分）若函数f（x）=log在区间内有零点，则实数a的取值范围是．12．（4分）已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的偶函数，g（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，g（x）=f（x﹣1），g（3）=2013，则f（2014）的值为．13．（4分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，；则C的实轴长为．14．（4分）椭圆的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是．二、选择题（20分）15．（5分）设x∈R，则“|x﹣1|＞1”是“x＞3”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）已知函数y=sinax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数y=log a（x+b）的图象可能是（）A．B．C．D．17．（5分）已知S n是等差数列{a n}（n∈N*）的前n项和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．S6和S7均为S n的最大值．B．a7=0C．公差d＜0D．S9＞S518．（5分）若对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ﹣伴随函数”．有下列关于“λ﹣伴随函数”的结论：①f（x）=0是常数函数中唯一一个“λ﹣伴随函数”；②f（x）=x不是“λ﹣伴随函数”；③f（x）=x2是“λ﹣伴随函数”；④“﹣伴随函数”至少有一个零点．其中正确结论的个数是（）个．A．1B．2C．3D．4三、解答题（共5小题，满分74分）19．（12分）已知集合A={x|z=（x+2）+4i，x∈R，i是虚数单位，|z|≤5}，集合，a∉A∩B，求实数a的取值范围．20．（14分）设函数，其中0＜ω＜2；（Ⅰ）若f（x）的最小正周期为π，求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象的一条对称轴为，求ω的值．21．（14分）某海域有A、B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处．经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群．以A、B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线C的标准方程；（2）某日，研究人员在A、B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），A、B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5：3，问你能否确定P处的位置（即点P的坐标）？22．（16分）等比数列{c n}满足c n+1+c n=10•4n﹣1，n∈N*，数列{a n}满足c n=（1）求{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b n=，T n为数列{b n}的前n项和．求T n；（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．23．（18分）已知函数f（x）=x+的定义域为（0，+∞），且f（2）=2+．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．（1）求a的值．（2）问：|PM|•|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．2013年上海市奉贤区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（56分）1．（4分）关于x的方程x2+mx+n=0（m，n∈R）的一个根是﹣3+2i，则m=6．【考点】51：函数的零点．【专题】11：计算题．【分析】根据实系数一元二次方程的虚根成对原理即可求出．【解答】解：根据实系数一元二次方程的虚根成对原理可得﹣3﹣2i也是此方程的一个根，∴m=﹣（﹣3+2i﹣3﹣2i）=6．故答案为6．【点评】熟练掌握实系数一元二次方程的虚根成对原理是解题的关键．2．（4分）函数y=sin2x﹣sin2x的最小正周期为π．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H1：三角函数的周期性．【专题】11：计算题；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数降次公式结合辅助角公式，将函数化简为y=﹣sin （2x+φ），再用三角函数周期公式可得函数的最小正周期．【解答】解：∵sin2x=（1﹣cos2x），∴函数y=sin2x﹣sin2x=（1﹣cos2x）﹣sin2x=﹣sin（2x+φ），其中φ是满足sinφ=，cosφ=的锐角∴函数的周期为T==π故答案为：π【点评】本题将一个三角函数式化简，并求函数的周期．着重考查了三角降次公式、辅助角公式和三角函数的周期等知识，属于基础题．3．（4分）集合M={x|lgx＞0}，N={x|x2≤4}，则M∩N=（1，2]．【考点】1E：交集及其运算．【专题】21：阅读型．【分析】根据对数函数的单调性求出集合M，解不等式x2≤4求出集合N，再进行交集运算．【解答】解：∵lgx＞0⇒x＞1，x2≤4⇒﹣2≤x≤2，∴M∩N=（1，2]．故答案是（1，2]【点评】本题考查集合的交集运算．4．（4分）设直线l1：ax+2y=0的方向向量是，直线l2：x+（a+1）y+4=0的法向量是，若与平行，则a=．【考点】96：平行向量（共线）；9J：平面向量的坐标运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】先求出直线的法向量，再利用向量共线的充要条件即可得出a的值．【解答】解：由直线l1：ax+2y=0可得方向向量=（﹣2，a）；由直线l2：x+（a+1）y+4=0可得方向向量为（a+1，﹣1），其法向量=（1，a+1）；∵与平行，∴﹣2（a+1）﹣a=0，解得a=．故答案为．【点评】正确理解直线的法向量和向量的共线是解题的关键．5．（4分）已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m 的取值范围是﹣4＜m＜2．【考点】3R：函数恒成立问题．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先把x+2y转化为（x+2y）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x+2y＞m2+2m求得m2+2m＜8，进而求得m的范围．【解答】解：∵，∴x+2y=（x+2y）=4++≥4+2=8∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2故答案为：﹣4＜m＜2．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．6．（4分）设无穷等比数列{a n}的前n项和为S n，首项是a1，若S n=，，则公比q的取值范围是．【考点】6F：极限及其运算；88：等比数列的通项公式；89：等比数列的前n 项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由于S n的极限存在，即可得到公比q满足的条件，进而解出即可．【解答】解：∵，0＜|q|＜1，∴==，∴，∵，∴．因此公比q的取值范围是．故答案为．【点评】熟练掌握等比数列的前n项和的极限存在时公比q满足的条件是解题的关键．7．（4分）设函数f（x）=为奇函数，则a=．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】特值法：由奇函数性质得f（﹣2）=﹣f（2），解出即可求得a值．【解答】解：因为f（x）为奇函数，所以有f（﹣2）=﹣f（2），即=﹣，化简可得sina=1，解得a=2kπ+，k∈Z，故答案为：2kπ+，k∈Z．【点评】本题考查函数奇偶性的性质，属基础题，本题采取特值法解决，即利用函数为奇函数的必要条件列方程，显得较为简练，也可利用奇函数定义解决．8．（4分）关于x、y的二元线性方程组的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为，则二阶行列式=﹣1．【考点】O1：二阶矩阵．【专题】11：计算题．【分析】先由矩阵为，对应的方程为：，再由题意得：关于x、y 的二元线性方程组的解为：，从而求得m，n的值，最后利用行列式的计算法则求解即可．【解答】解：矩阵为，对应的方程组为：，由题意得：关于x、y的二元线性方程组的解为：，∴⇒∴则二阶行列式=﹣2﹣mn=﹣1故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查了几种特殊的矩阵变换，解答的关键是对增广矩阵的理解，利用方程组同解解决问题．9．（4分）已知函数f（x）=若f（a）=，则a=﹣1或．【考点】3T：函数的值；5B：分段函数的应用．【专题】11：计算题．【分析】当a＞0时，log2a=；当a≤0时，2a=．由此能求出a的值．【解答】解：当a＞0时，log2a=∴a=，当a≤0时，2a==2﹣1，∴a=﹣1．∴a=﹣1或．故答案为：﹣1或．【点评】本题考查孙数值的求法，解题时要认真审题，注意分段函数的函数值的求法．10．（4分）已知向量，则的最大值为3．【考点】91：向量的概念与向量的模；9J：平面向量的坐标运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用向量模的计算公式和三角函数的单调性及值域即可得出．【解答】解：∵=，∴===，当时，取得最大值3．故答案为3．【点评】熟练掌握向量模的计算公式和三角函数的单调性及值域是解题的关键．11．（4分）若函数f（x）=log在区间内有零点，则实数a的取值范围是．【考点】51：函数的零点．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】先求出函数f（x）=log在区间的值域，进而即可求出a的取值范围．【解答】解：设u（x）=，，则=，令u′（x）=0，，解得x=1．当时，u′（x）＜0，u（x）单调递减；当1＜x≤2时，u′（x）＞0，u（x）单调递增．又∵f（u）=log2u在区间上单调递增，∴f（x）在区间上单调递减，在区间[1，2]上单调递增．又f（1）=1，f（2）==，∴函数f（x）在x=1处取得最小值1，在x=2或处取得最大值，因此函数f（x）的值域为．要使函数f（x）=log在区间内有零点，则实数a的取值范围一定是．故答案为．【点评】利用复合函数的单调性正确求出函数f（x）=log在区间的值域是解题的关键．12．（4分）已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的偶函数，g（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，g（x）=f（x﹣1），g（3）=2013，则f（2014）的值为2013．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据g（x）为奇函数及g（x）=f（x﹣1）可得f（﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），再由f（x）为偶函数可得f（x+1）=﹣f（x﹣1），由此可求得f（x）的周期，利用周期性可把f（2014）进行转化，再利用所给等式赋值即可求得．【解答】解：因为g（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，所以g（﹣x）=﹣g（x），又g（x）=f（x﹣1），所以f（﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），因为f（x）为（﹣∞，+∞）上的偶函数，所以f（﹣x﹣1）=f（x+1），则f（x+1）=﹣f（x﹣1），用x+1替换该式中的x，有f（x+2）=﹣f（x），所以f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣[﹣f（x）]=f（x），故f（x）为以4为周期的函数，所以f（2014）=f（4×503+2）=f（2），因为g（x）=f（x﹣1），所以g（3）=f（2）=2013，所以f（2014）=2013．故答案为：2013．【点评】本题考查函数奇偶性、周期性及其应用，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，属中档题．解决本题关键是利用所给条件推导函数周期．13．（4分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，；则C的实轴长为4．【考点】K8：抛物线的性质；KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用，即可求得结论．【解答】解：设等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=λ．（1）∵抛物线y2=16x，2p=16，p=8，∴=4．∴抛物线的准线方程为x=﹣4．设等轴双曲线与抛物线的准线x=﹣4的两个交点A（﹣4，y），B（﹣4，﹣y）（y ＞0），则|AB|=|y﹣（﹣y）|=2y=4，∴y=2．将x=﹣4，y=2代入（1），得（﹣4）2﹣（2）2=λ，∴λ=4∴等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=4，即∴C的实轴长为4．故答案为：4【点评】本题考查抛物线，双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．14．（4分）椭圆的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是3a2．【考点】%H：三角形的面积公式；K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先画出图象，结合图象得到△FAB的周长最大时对应的直线所在位置．即可求出结论．【解答】解：设椭圆的右焦点为E．如图：由椭圆的定义得：△FAB的周长：AB+AF+BF=AB+（4a﹣AE）+（4a﹣BE）=8a+AB ﹣AE﹣BE；∵AE+BE≥AB；∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；∴AB+AF+BF=8a+AB﹣AE﹣BE≤8a；即直线x=m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大；此时△FAB的高为：EF=2a．此时直线x=m=c=a；把x=a代入椭圆的方程得：y=±a．∴AB=3a．所以：△FAB的面积等于：S=×3a×EF=×3a×2a=3a2．△FAB故答案为：3a2．【点评】本题主要考察椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．解决本题的关键在于利用定义求出周长的表达式．二、选择题（20分）15．（5分）设x∈R，则“|x﹣1|＞1”是“x＞3”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【分析】由判断充要条件的方法，由于|x﹣1|＞1⇔x＞2或x＜0，而{x|x＞3}⊊{x|x ＞2或x＜0}，结合集合关系的性质，不难得到正确结论．【解答】解：由|x﹣1|＞1，得到x＞2或x＜0，由于{x|x＞3}⊊{x|x＞2或x＜0}，则“|x﹣1|＞1”是“x＞3”的必要不充分条件．故选：B．【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．16．（5分）已知函数y=sinax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数y=log a（x+b）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】根据函数y=sinax+b（a＞0）的图象求出a、b的范围，从而得到函数y=log a（x+b）的单调性及图象特征，从而得出结论．【解答】解：由函数y=sinax+b（a＞0）的图象可得0＜b＜1，2π＜＜3π，即＜a＜1．故函数y=log a（x+b）是定义域内的减函数，且过定点（1﹣b，0），故选：A．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求函数的解析式，对数函数的单调性以及图象特征，属于中档题．17．（5分）已知S n是等差数列{a n}（n∈N*）的前n项和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．S6和S7均为S n的最大值．B．a7=0C．公差d＜0D．S9＞S5【考点】2K：命题的真假判断与应用；83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【专题】21：阅读型．【分析】根据题设条件且S5＜S6，S6=S7＞S8，则可判断A的正确性；∵且S5＜S6，S6=S7＞S8，则a7=0，可判断B正确；∵在等差数列中S n存在最大值可判断数列的单调性，这样可判断C的正确性；利用数列的前n项和定义与等差数列的性质，来判断D的正确性．【解答】解：∵S5＜S6，S6=S7＞S8，则A正确；∵S6=S7，∴a7=0，∴B正确；∵S5＜S6，S6=S7＞S8，则a6＞0，a7=0，a8＜0，∴d＜0，C正确；∵a6+a7+a8+a9=2（a7+a8）＜0，∴S9＜S5，D错误．故选：D．【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查等差数列的前n项和公式及等差数列的性质．在等差数列中S n存在最大值的条件是：a1＞0，d＜0．一般两种解决问题的思路：项分析法与和分析法．18．（5分）若对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ﹣伴随函数”．有下列关于“λ﹣伴随函数”的结论：①f（x）=0是常数函数中唯一一个“λ﹣伴随函数”；②f（x）=x不是“λ﹣伴随函数”；③f（x）=x2是“λ﹣伴随函数”；④“﹣伴随函数”至少有一个零点．其中正确结论的个数是（）个．A．1B．2C．3D．4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】16：压轴题；23：新定义．【分析】①、设f（x）=C则（1+λ）C=0，当λ=﹣1时，可以取遍实数集，可判断①；②、假设f（x）=x是一个“λ﹣同伴函数”，则x+λ+λx=0，则有λ﹣1﹣λ=0，解方程可判断②；③、假设f（x）=x2是一个“λ﹣同伴函数”，则（x+λ）2+λx2=0，则有λ+1=2λ=λ2=0，解方程可判断③；④、令x=0，可得f（）=﹣f（0）．若f（0）=0，f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（）•f（0）=﹣（f（0））2＜0．可得f（x）在（0，）上必有实根，可判断④【解答】解：①、设f（x）=C是一个“λ﹣同伴函数”，则（1+λ）C=0，当λ=﹣1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ﹣同伴函数”，故①错误②、假设f（x）=x是一个“λ﹣同伴函数”，则x+λ+λx=0对任意实数x成立，则有λ﹣1﹣λ=0，而此式无解，所以f（x）=x不是“λ﹣伴随函数”，故②正确；③、假设f（x）=x2是一个“λ﹣同伴函数”，则（x+λ）2+λx2=0，即（1+λ）x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ2=0，而此式无解，所以f（x）=x2不是一个“λ﹣同伴函数”．故③错误④、令x=0，得f（）+f（0）=0．所以f（）=﹣f（0）．若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（）•f（0）=﹣（f （0））2＜0．又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，）上必有实数根．因此任意的“﹣同伴函数”必有根，即任意“﹣同伴函数”至少有一个零点．故④正确．故选：B．【点评】本题考查的知识点是函数的概念及构成要素，函数的零点，正确理解f（x）是λ﹣同伴函数的定义，是解答本题的关键．三、解答题（共5小题，满分74分）19．（12分）已知集合A={x|z=（x+2）+4i，x∈R，i是虚数单位，|z|≤5}，集合，a∉A∩B，求实数a的取值范围．【考点】1E：交集及其运算；7E：其他不等式的解法；OY：三阶矩阵．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】由A中的复数，利用复数模的定义列出关于x的不等式，求出不等式的解集确定出A，将集合B中的三阶矩形化为普通不等式，求出不等式的解集确定出B，找出A与B的公共部分，求出两集合的交集，由a不属于两集合的交集，即可确定出a的范围．【解答】解：由集合A中的关系式得：（x+2）2+42≤25，即（x+2）2≤9，解得：﹣3≤x+2≤3，即﹣5≤x≤1，∴A=[﹣5，1]；由集合B中的不等式=x2﹣2x≤3，即（x﹣3）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤3，∴B=[﹣1，3]，∴A∩B=[﹣1，1]，∵a∉A∩B，∴实数a的范围为a＞1或a＜﹣1．【点评】此题考查了其他不等式的解法，交集及其运算，三阶矩形，以及复数，确定出A与B是解本题的关键．20．（14分）设函数，其中0＜ω＜2；（Ⅰ）若f（x）的最小正周期为π，求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象的一条对称轴为，求ω的值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H5：正弦函数的单调性；HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】11：计算题．【分析】（Ⅰ）利用辅助角公式将f（x）=sin2ωx+化为：f（x）=sin （2ωx+）+，T=π，可求得ω，从而可求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）由f（x）的图象的一条对称轴为，可得到：，从而可求得ω=k+，又0＜ω＜2，从而可求得ω．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2ωx+…（2分）=sin（2ωx+）+．…（3分）∵T=π，ω＞0，∴，∴ω=1．…（4分）令，…（5分）得，…（6分）所以f（x）的单调增区间为：．…（7分）（Ⅱ）∵的一条对称轴方程为，∴．…（9分）∴．…（11分）又0＜ω＜2，∴．∴k=0，∴．…（13分）【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，着重考查正弦函数的单调性与对称轴的应用，考察学生分析转化的能力，属于中档题．21．（14分）某海域有A、B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处．经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群．以A、B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线C的标准方程；（2）某日，研究人员在A、B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），A、B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5：3，问你能否确定P处的位置（即点P的坐标）？【考点】K3：椭圆的标准方程；KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据椭圆的定义，由题意知曲线C是以A、B为焦点且长轴长为8的椭圆，又2c=4，从而得出a，b的值即可得到曲线C的方程；（2）由于A、B两岛收到鱼群发射信号的时间比为5：3，因此设此时距A、B 两岛的距离分别比为5：3，即鱼群分别距A、B两岛的距离为5海里和3海里．再设P（x，y），B（2，0），由|PB|=3，及椭圆的方程列出方程组即可解出点P的坐标．【解答】解：（1）由题意知曲线C是以A、B为焦点且长轴长为8的椭圆（3分）又2c=4，则c=2，a=4，故（5分）所以曲线C的方程是（6分）（2）由于A、B两岛收到鱼群发射信号的时间比为5：3，因此设此时距A、B两岛的距离分别比为5：3（7分）即鱼群分别距A、B两岛的距离为5海里和3海里．（8分）设P（x，y），B（2，0），由|PB|=3，∴，（10分）∴，（12分）∴x=2，y=±3（13分）．∴点P的坐标为（2，3）或（2，﹣3）（14分）．【点评】本题考查椭圆问题在生产实际中的具体应用，涉及到椭圆方程的求法，椭圆的简单性质，椭圆的直线方程的关系，解题时要认真审题，注意转化思想的灵活运用．22．（16分）等比数列{c n}满足c n+1+c n=10•4n﹣1，n∈N*，数列{a n}满足c n=（1）求{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b n=，T n为数列{b n}的前n项和．求T n；（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式；8J：数列的极限．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可得，c1+c2=10，c2+c3=40，结合等比数列的通项公式可求公比q及c1，代入等比数列的通项公式可求c n，然后由可求a n，（2）由=，考虑利用裂项求和即可求解T n，进而可求（3）假设否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列，结合（2）代入可得，解不等式可求m的范围，然后结合m∈N*，m＞1可求【解答】解：（1）解：由题意可得，c1+c2=10，c2+c3=c1q+c2q=40，所以公比q=4（2分）∴c1+4c1=10∴c1=2（3分）由等比数列的通项公式可得，（4分）∵=22n﹣1∴a n=2n﹣1（15分）（2）∵=∴（6分）于是（8分）∴=（10分）（3）假设否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列，则，（12分）可得，由分子为正，解得，由m∈N*，m＞1，得m=2，此时n=12，当且仅当m=2，n=12时，T1，T m，T n成等比数列．（16分）说明：只有结论，m=2，n=12时，T1，T m，T n成等比数列．若学生没有说明理由，则只能得13分【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，数列的裂项求和方法的应用，属于数列知识的综合应用23．（18分）已知函数f（x）=x+的定义域为（0，+∞），且f（2）=2+．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．（1）求a的值．（2）问：|PM|•|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．【考点】57：函数与方程的综合运用．【专题】15：综合题；16：压轴题；31：数形结合；35：转化思想．【分析】（1）由f（2）=2+=2+求解a．（2）先设点P的坐标为（x0，y0），则有y0=x0+，x0＞0，再由点到直线的距离公式求得|PM|，|PN|计算即可．（3）由（2）可将S四边形OMPN 转化为S△OPM+S△OPN之和，分别用直角三角形面积公式求解，再构造S四边形OMPN面积模型求最值．【解答】解：（1）∵f（2）=2+=2+，∴a=．（2）设点P的坐标为（x0，y0），则有y0=x0+，x0＞0，由点到直线的距离公式可知，|PM|==，|PN|=x0，∴有|PM|•|PN|=1，即|PM|•|PN|为定值，这个值为1．（3）由题意可设M（t，t），可知N（0，y0）．∵PM与直线y=x垂直，∴k PM•1=﹣1，即=﹣1．解得t=（x0+y0）．又y0=x0+，∴t=x0+．∴S△OPM =+，S△OPN=x02+．∴S 四边形OMPN =S △OPM +S △OPN =（x 02+）+≥1+．当且仅当x 0=1时，等号成立．此时四边形OMPN 的面积有最小值：1+．【点评】本题主要考查函数与方程的综合运用，还考查了平面图形的转化与面积模型建立与解决．。

2013年上海市黄浦区高考数学一模试卷(文科)含详解

2013年上海市黄浦区高考数学一模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）1．（4分）函数y=sin2x+1的最小正周期为．2．（4分）已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B=．3．（4分）若复数z=（2﹣i）（a﹣i），（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为．4．（4分）若数列{a n}的通项公式为a n=n+3（n∈N*），则=．5．（4分）若双曲线的一条渐近线过点P（1，2），则b的值为．6．（4分）已知，，则tan（β﹣2α）的值为．7．（4分）已知直线l1：x+ay+6=0和l2：（a﹣2）x+3y+2a=0，则l1∥l2的充要条件是a=．8．（4分）（x+）9展开式中x3的系数是．（用数字作答）9．（4分）执行如图的程序框图，若p=15，则输出的n=．10．（4分）盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于．11．（4分）已知函数f（x）=，且关于x的方程f（x）+x﹣a=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是．12．（4分）已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）满足f（2）＞f（3），若y=f﹣1（x）是y=f（x）的反函数，则关于x的不等式的解集是．13．（4分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）到其焦点F的距离为5，该抛物线的顶点到直线MF的距离为d，则d的值为．14．（4分）已知命题“若f（x）=m2x2，g（x）=mx2﹣2m，则集合”是假命题，则实数m的取值范围是．二、选择题（本大题满分12分）15．（3分）在四边形ABCD中，=，且•=0，则四边形ABCD（）A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形16．（3分）已知|z|=1且z∈C，则|z﹣2﹣2i|（i为虚数单位）的最小值是（）A．B．C．D．17．（3分）若矩阵满足下列条件：①每行中的四个数所构成的集合均为{1，2，3，4}；②四列中有且只有两列的上下两数是相同的．则这样的不同矩阵的个数为（）A．24B．48C．144D．28818．（3分）若f（x）是R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，则下列结论：①y=|f（x）|是偶函数；②对任意的x∈R都有f（﹣x）+|f（x）|=0；③y=f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递增；④y=f（x）f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递增．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4三、解答题（本大题满分74分)19．（12分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为线段DD1，BD的中点．（1）求三棱锥E﹣ADF的体积；（2）求异面直线EF与BC所成的角．20．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若，且，求a+c的值；（2）若，求M的取值范围．21．（14分）如图所示，ABCD是一个矩形花坛，其中AB=6米，AD=4米．现将矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求：B在AM上，D在AN上，对角线MN过C点，且矩形AMPN的面积小于150平方米．（1）设AN长为x米，矩形AMPN的面积为S平方米，试用解析式将S表示成x的函数，并写出该函数的定义域；（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积．22．（16分）给定椭圆C：，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点F的距离为．（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；（2）过椭圆C的“准圆”与y轴正半轴的交点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，求l1，l2的方程；（3）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求的取值范围．23．（18分）对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”．设函数f（x）的定义域为R+，且f（1）=3．（1）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，求f（210）；（2）若（﹣2，0）是f（x）的一个“P数对”，且当x∈[1，2）时f（x）=k（2﹣x），求f（x）在区间[1，22n）（n∈N*）上的最大值与最小值；（3）若f（x）是增函数，且（2，﹣2）是f（x）的一个“P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．①f（2﹣n）与2﹣n+2（n∈N*）；②f（x）与2x+2（x∈（2﹣n，21﹣n]，n∈N*）．2013年上海市黄浦区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）1．（4分）函数y=sin2x+1的最小正周期为π．【考点】H1：三角函数的周期性．【专题】11：计算题．【分析】直接利用三角函数的周期公式，求出函数的周期即可．【解答】解：由三角函数的周期公式可知，函数y=sin2x+1的最小正周期为T=故答案为π．【点评】本题考查三角函数的周期公式的应用，是基础题，送分题．2．（4分）已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B={x|2≤x＜3}．【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；59：不等式的解法及应用．【分析】根据题意，B为一元二次不等式的解集，解不等式可得集合B；又由交集的性质，计算可得答案．【解答】解：由已知得：B={x|x≤﹣2或x≥2}，∵A={ x|0＜x＜3}，∴A∩B={x|0＜x＜3}∩{ x|x≤﹣2或x≥2}={x|2≤x＜3}为所求．故答案为：{x|2≤x＜3}．【点评】本题考查交集的运算，解题的关键在于认清集合的意义，正确求解不等式．3．（4分）若复数z=（2﹣i）（a﹣i），（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为．【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】11：计算题．【分析】首先进行复数的乘法运算，把复数整理成代数形式的标准形式，根据这个复数是一个纯虚数，得到它的实部等于0，而虚部不等于0，求出结果．【解答】解：z=（2﹣i）（a﹣i）=2a﹣1﹣（2+a）i∵若复数z=（2﹣i）（a﹣i）为纯虚数，∴2a﹣1=0，a+2≠0，∴a=故答案为：【点评】本题考查复数的基本概念，解题时要注意复数实部等于0，这个同学们不容易忽略，而虚部不等于0，容易漏掉．4．（4分）若数列{a n}的通项公式为a n=n+3（n∈N*），则=．【考点】8J：数列的极限．【专题】11：计算题．【分析】直接利用数列的通项公式，代入极限的表达式，然后求出数列的极限即可．【解答】解：因为数列{a n}的通项公式为a n=n+3（n∈N*），所以===．故答案为：．【点评】本题考查数列的极限的求法，数列通项公式的应用，考查计算能力．5．（4分）若双曲线的一条渐近线过点P（1，2），则b的值为4．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线的渐近线方程为y=±，它的一条渐近线过点P（1，2），知y=过P（1，2），由此能求出b的值．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y=±，双曲线的一条渐近线过点P（1，2），∴y=过P（1，2），∴，解得b=4．故答案为：4．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．6．（4分）已知，，则tan（β﹣2α）的值为﹣1．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数．【专题】56：三角函数的求值．【分析】根据tan（β﹣2α）=tan[（β﹣α）﹣α]=，再把已知，代入运算求得结果．【解答】解：∵已知，，则tan（β﹣2α）=tan[（β﹣α）﹣α]===﹣1，故答案为﹣1．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正切公式的应用，属于中档题．7．（4分）已知直线l1：x+ay+6=0和l2：（a﹣2）x+3y+2a=0，则l1∥l2的充要条件是a=﹣1．【考点】II：直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】11：计算题．【分析】由已知中，两条直线的方程，l1：x+ay+6=0和l2：（a﹣2）x+3y+2a=0，我们易求出他们的斜率，再根据两直线平行的充要条件，即斜率相等，截距不相等，我们即可得到答案．【解答】解：∵直线l1：x+ay+6=0和l2：（a﹣2）x+3y+2a=0，∴k1=，k2=若l1∥l2，则k1=k2即=解得：a=3或a=﹣1又∵a=3时，两条直线重合故答案为﹣1【点评】本题考查的知识点是直线的一般式方程与直线的平行关系，其中两个直线平行的充要条件，易忽略截距不相等的限制，而错解为﹣1或3．8．（4分）（x+）9展开式中x3的系数是84．（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．【分析】本题考查二项式定理的展开式，解题时需要先写出二项式定理的通项T r+1，因为题目要求展开式中x3的系数，所以只要使x的指数等于3就可以，用通项可以解决二项式定理的一大部分题目．【解答】解：写出（x+）9通项，∵要求展开式中x3的系数∴令9﹣2r=3得r=3，∴C93=84故答案为：84．【点评】本题是一个二项展开式的特定项的求法．解本题时容易公式记不清楚导致计算错误，所以牢记公式．它是经常出现的一个客观题．9．（4分）执行如图的程序框图，若p=15，则输出的n=5．【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题．【分析】由已知可得循环变量n的初值为1，循环结束时S≥p，循环步长为1，由此模拟循环执行过程，即可得到答案．【解答】解：当n=1时，S=2，n=2；当n=2时，S=6，n=3；当n=3时，S=14，n=4；当n=4时，S=30，n=5；故最后输出的n值为5故答案为：5【点评】本题考查的知识点是程序框图，处理本类问题最常用的办法是模拟程序的运行，其中分析循环过程中各变量在循环中的值是关键．10．（4分）盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题．【分析】先判断出此题是古典概型；利用排列、组合求出随机取出2个球的方法数及取出的2个球颜色不同的方法数；利用古典概型概率公式求出值．【解答】解：从中随机取出2个球，每个球被取到的可能性相同，是古典概型从中随机取出2个球，所有的取法共有C52=10所取出的2个球颜色不同，所有的取法有C31•C21=6由古典概型概率公式知P=故答案为【点评】本题考查利用排列、组合求完成事件的方法数、考查利用古典概型概率公式求事件的概率．11．（4分）已知函数f（x）=，且关于x的方程f（x）+x﹣a=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是（1，+∞）．【考点】5B：分段函数的应用．【专题】11：计算题；31：数形结合；51：函数的性质及应用．【分析】关于x的方程f（x）+x﹣a=0有且只有一个实根⇔y=f（x）与y=﹣x+a 的图象只有一个交点，结合图象即可求得．【解答】解：关于x的方程f（x）+x﹣a=0有且只有一个实根⇔y=f（x）与y=﹣x+a的图象只有一个交点，画出函数的图象如右图，观察函数的图象可知当a＞1时，y=f（x）与y=﹣x+a的图象只有一个交点，即有a＞1．故答案为：（1，+∞）【点评】本题主要考查了指数函数、对数函数的图象性质；但要注意函数的图象的分界点，考查利用图象综合解决方程根的个数问题．12．（4分）已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）满足f（2）＞f（3），若y=f﹣1（x）是y=f（x）的反函数，则关于x的不等式的解集是{x|1＜x＜﹣}．【考点】4R：反函数；7E：其他不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】由题意得到f（x）为减函数，利用指数函数的性质得到a大于0小于1，求出f（x）的反函数，将所求不等式变形后，即可求出解集．【解答】解：∵函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）满足f（2）＞f（3），∴f（x）为减函数，即0＜a＜1，∴y=f﹣1（x）=log a x为减函数，所求不等式变形得：log a（1﹣）＞1=log a a，∴0＜1﹣＜a，当x＞0时，去分母得：x﹣1＜ax，即（a﹣1）x＞﹣1，解得：0＜x＜﹣，此时不等式的解集为{x|0＜x＜﹣}；当x＜0时，去分母得：x﹣1＞ax，即（a﹣1）x＜﹣1，解得：x＞﹣，无解，综上，不等式的解集为{x|1＜x＜﹣}．故答案为：{x|1＜x＜﹣}【点评】此题考查了其他不等式的解法，涉及的知识有：反函数，指数、对数函数的性质，利用了转化及分类讨论的思想，是一道中档题．13．（4分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）到其焦点F的距离为5，该抛物线的顶点到直线MF的距离为d，则d的值为．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题．【分析】依题意，可求得p的值，继而可求得点M的坐标与直线MF的方程，利用点到直线间的距离公式即可求得d的值．【解答】解：∵抛物线的方程为y2=2px（p＞0），∴其准线l的方程为：x=﹣，设点M（1，m）在l上的射影为M′，则|MF|=|MM′|=1+=5，∴P=8．故F（4，0）．∴点M（1，±4），不妨取M（1，4），则直线MF的方程为：y﹣0=﹣（x﹣4），即：4x+3y﹣16=0．∴抛物线的顶点（0，0）到直线MF的距离d==．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查点到直线间的距离公式，求得p的值是难点，也是关键，考查运算能力与逻辑思维能力，属于中档题．14．（4分）已知命题“若f（x）=m2x2，g（x）=mx2﹣2m，则集合”是假命题，则实数m的取值范围是（﹣7，0）．【考点】2E：复合命题及其真假；2K：命题的真假判断与应用．【专题】11：计算题．【分析】由”是假命题可知（m2﹣m）x2+2m＜0在上有解，构造函数，h（x）=（m2﹣m）x2+2m，结合二次函数的图象可求m的范围【解答】解：∵f（x）=m2x2，g（x）=mx2﹣2m，又∵”是假命题∴m2x2＜mx2﹣2m，即（m2﹣m）x2+2m＜0在上有解令h（x）=（m2﹣m）x2+2m，或解可得﹣7＜m＜0，即m的范围是（﹣7，0），故答案为：（﹣7，0）【点评】本题主要考查了复合命题的真假关系的应用，解题的关键是二次函数的性质的应用二、选择题（本大题满分12分）15．（3分）在四边形ABCD中，=，且•=0，则四边形ABCD（）A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形【考点】91：向量的概念与向量的模；9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】11：计算题．【分析】由，可得四边形ABCD的对边AB∥CD且AB=CD，四边形ABCD 为平行四边形=0，可得平行四边形的对角线AC⊥BD，从而可得四边形ABCD为菱形【解答】解：∵=即一组对边平行且相等，•=0即对角线互相垂直；∴该四边形ABCD为菱形．故选：B．【点评】利用向量的知识进行判断是解决本题的关键，本题主要考查了由向量相等及向量垂直的知识进行判断四边形的知识16．（3分）已知|z|=1且z∈C，则|z﹣2﹣2i|（i为虚数单位）的最小值是（）A．B．C．D．【考点】A8：复数的模．【专题】11：计算题．【分析】利用复数|z|=1的几何意义即可求得|z﹣2﹣2i|（i为虚数单位）的最小值．【解答】解：∵|z|=1且z∈C，作图如图：∵|z﹣2﹣2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P（2，2）的距离，∴|z﹣2﹣2i|的最小值为：|OP|﹣1=2﹣1．故选：D．【点评】本题考查复数求模，着重考查复数模的几何意义，考查作图、用图的能力，属于中档题．17．（3分）若矩阵满足下列条件：①每行中的四个数所构成的集合均为{1，2，3，4}；②四列中有且只有两列的上下两数是相同的．则这样的不同矩阵的个数为（）A．24B．48C．144D．288【考点】OC：几种特殊的矩阵变换；OD：矩阵变换的性质．【专题】11：计算题．【分析】根据分步计数原理，先从集合{1，2，3，4}中选取2个数，再将它们插在矩阵四列的某2个位置，最后将剩余的两个数插在余下的2个位置，这样共有C42A42×2=144种不同的排列方法，由此即可得到满足条件的不同矩阵的个数．【解答】解：按以下步骤进行排列①从集合{1，2，3，4}中选取2个数，总共有C42=6种方法；②将选取的两个数插在第一列、第二列、第三列或第四列的2个位置，因为上下对应的数字相同，所以总共有A42=12种方法；③将剩余的两个数插在余下的2个位置，共2种方法综上，可得满足条件的不同排列共有C42A42×2=144个因此，满足条件的不同矩阵的个数为144个故选：C．【点评】本题给出2行、4列的矩阵，求满足条件的不同矩阵的个数，着重考查了排列与组合的计算方法和矩阵基本概念等知识，属于基础题．18．（3分）若f（x）是R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，则下列结论：①y=|f（x）|是偶函数；②对任意的x∈R都有f（﹣x）+|f（x）|=0；③y=f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递增；④y=f（x）f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递增．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】由f（x）是R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，知：y=|f （x）|是偶函数；对任意的x∈R，不一定有f（﹣x）+|f（x）|=0；y=f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递减；y=f（x）f（﹣x）=﹣[f（x）]2在（﹣∞，0]上单调递减．【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴y=|f（x）|是偶函数，故①正确；对任意的x∈R，不一定有f（﹣x）+|f（x）|=0，故②不正确；y=f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递减，故③不正确；y=f（x）f（﹣x）=﹣[f（x）]2在（﹣∞，0]上单调递增，故④正确．故选：B．【点评】本题考查命题的真假判断及其应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．三、解答题（本大题满分74分)19．（12分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为线段DD1，BD的中点．（1）求三棱锥E﹣ADF的体积；（2）求异面直线EF与BC所成的角．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；5G：空间角．【分析】（1）由题意，可得DE=1为三棱锥E﹣ADF的高，再算出△ADF的面积S，结合锥体体积公式即可算出三棱锥E﹣ADF的体积；（2）连接BC1、BD1，根据异面直线所成角定义和三角形中位线定理，可得∠CBD1（或其补角）就是异面直线EF与BC所成的角．然后在Rt△BCD1中，算出∠CBD1的正切值，即可得到异面直线EF与BC所成的角等于arctan．【解答】解：（1）∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，E为线段DD1的中点．∴DE⊥平面ADF，且DE=1为三棱锥E﹣ADF的高∵F是BD的中点=S ABCD=1∴△ADF的面积S=S△ABD因此，三棱锥E﹣ADF的体积为V=×S×DE=×1×1=△ADF（2）连接BC1、BD1∵EF是△BDD1的中位线，∴EF∥BD1，可得∠CBD1（或其补角）就是异面直线EF与BC所成的角．∵BC⊥平面C1D1DC，CD1⊂平面C1D1DC，∴Rt△BCD1中，tan∠CBD1===可得∠CBD1=arctan（锐角）因此，异面直线EF与BC所成的角等于arctan．【点评】本题在正方体中，求三棱锥的体积并求异面直线所成角，着重考查了异面直线及其所成的角及其求法、棱锥的体积公式等知识，属于基础题．20．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若，且，求a+c的值；（2）若，求M的取值范围．【考点】84：等差数列的通项公式；9O：平面向量数量积的性质及其运算；ON：二阶行列式与逆矩阵．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】（1）利用等差数列的定义和数量积的定义及余弦定理即可求出；（2）利用行列式的定义及三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又∵A+B+C=180°，∴B=60°．∵，∴accos（180°﹣60°）=﹣3，解得ac=6，根据余弦定理可得：，化为a2+c2=24，∴==6．（2）∵，∴M==．∵A+C=，∴，∴，∴，∴．∴M的取值范围是．【点评】熟练掌握等差数列的定义、数量积的定义、余弦定理、行列式的定义及三角函数的单调性是解题的关键．21．（14分）如图所示，ABCD是一个矩形花坛，其中AB=6米，AD=4米．现将矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求：B在AM上，D在AN上，对角线MN过C点，且矩形AMPN的面积小于150平方米．（1）设AN长为x米，矩形AMPN的面积为S平方米，试用解析式将S表示成x的函数，并写出该函数的定义域；（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积．【考点】33：函数的定义域及其求法；36：函数解析式的求解及常用方法；57：函数与方程的综合运用．【专题】15：综合题；51：函数的性质及应用．【分析】（1）由题意设出AN的长为x米，因为三角形DNC相似于三角形ANM，则对应线段成比例可知AM，由此能用解析式将S表示成x的函数，并求出该函数的定义域．（2）利用a+b≥2，当且仅当a=b时取等号的方法求出S的最小值即可；【解答】解：（1）设AN的长为x米（x＞4）由题意可知：∵=，∴=，∴|AM|=，∴S AMPN=|AN|•|AM|=，由S AMPN＜150，得＜150，（x＞4），∴5＜x＜20，∴S=．定义域为{x|5＜x＜20}．（2）∵S===6（x﹣4）++48≥2+48=96（10分）当且仅当6（x﹣4）=，即x=8时，取“=”号即AN的长为8米，矩形AMPN的面积最小，最小为96平方米．【点评】本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．22．（16分）给定椭圆C：，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点F的距离为．（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；（2）过椭圆C的“准圆”与y轴正半轴的交点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，求l1，l2的方程；（3）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求的取值范围．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用椭圆和其“准圆”的标准方程及其定义即可得出；（2）先求出点P的坐标，设出与椭圆相切的直线的方程，并与椭圆的方程联立，利用△=0即可求出切线的斜率，进而可求出直线l1，l2的方程；（3）先设出点B、D的坐标并求出点A的坐标，利用向量的数量积得出，再利用点B在椭圆上即可得出其取值范围．【解答】解：（1）由题意可得：，，b=1，∴r==2．∴椭圆C的方程为，其“准圆”的方程为x2+y2=4；（2）由“准圆”的方程为x2+y2=4，令x=0，解得y=±2，取P（0，2），设过点P且与椭圆相切的直线l的方程为m（y﹣2）=x，联立，消去x得到关于y的一元二次方程（3+m2）y2﹣4m2y+4m2﹣3=0，∴△=16m4﹣4（3+m2）（4m2﹣3）=0，解得m=±1，故直线l1、l2的方程分别为：y=x+2，y=﹣x+2．（3）由“准圆”的方程为x2+y2=4，令y=0，解得x=±2，取点A（2，0）．设点B（x0，y0），则D（x0，﹣y0）．∴=（x0﹣2，y0）•（x0﹣2，﹣y0）=，∵点B在椭圆上，∴，∴，∴==，∵，∴，∴，即的取值范围为【点评】熟练掌握圆锥曲线的定义及性质、直线与圆锥曲线相切问题的解法、斜率的数量积的定义是解题的关键．23．（18分）对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”．设函数f（x）的定义域为R+，且f（1）=3．（1）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，求f（210）；（2）若（﹣2，0）是f（x）的一个“P数对”，且当x∈[1，2）时f（x）=k（2﹣x），求f（x）在区间[1，22n）（n∈N*）上的最大值与最小值；（3）若f（x）是增函数，且（2，﹣2）是f（x）的一个“P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．①f（2﹣n）与2﹣n+2（n∈N*）；②f（x）与2x+2（x∈（2﹣n，21﹣n]，n∈N*）．【考点】57：函数与方程的综合运用．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】（1）由已知，f（2x）=f（x）+1恒成立，整理f（2x）﹣f（x）=1，令x=2k，则f（2k+1）﹣f（2k）=1，{f（2k）}是等差数列，利用通项公式求解；（2）先确定f（x）在[1，2）上的取值范围是（0，3]，再利用f（2x）=﹣2f（x）恒成立，当x∈[2k﹣1，2k）（k∈N*）时，∈[1，2），f（x）=﹣2=…=，即可得出结论；（3）①f（x）=f（2x）+1恒成立，令x=，则f（）=+1，可得{}是一个等比数列，可得结论；②当x∈[2﹣n，21﹣n]时，由f（x）是增函数，故f（x）≤f（21﹣n）=21﹣n+2，从而可得结论．【解答】解：（1）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，即f（2x）=f（x）+1恒成立，整理f（2x）﹣f（x）=1，令x=2k，则f（2k+1）﹣f（2k）=1，所以f（2），f（4），f（8），…f（2n）构成公差为1的等差数列，令x=1得f（2）=f（1）+1=4，所以f（2n）=4+（n﹣1）×1=n+3所以f（210）=10+3=13；（2）x∈[1，2）时，f（x）=k（2﹣x），令x=1，则f（1）=k=3，即当x∈[1，2）时，f（x）=3（2﹣x），所以f（x）在[1，2）上的取值范围是（0，3]，又（﹣2，0）是f（x）的一个“P数对”，即f（2x）=﹣2f（x）恒成立，当x∈[2k﹣1，2k）（k∈N*）时，∈[1，2），f（x）=﹣2=…=，∴故当k为奇数时，f（x）在[2k﹣1，2k）上的取值范围是（0，3×2k﹣1]当k为偶数时，f（x）在[2k﹣1，2k）上的取值范围是[﹣3×2k﹣1，0）所以，f（x）在区间[1，22n）上的最大值为3×22n﹣2，最小值为﹣3×22n﹣1．（3）①（2，﹣2）是f（x）的一个“类P数对”，可知f（2x）=2f（x）﹣2恒成立．即f（x）=f（2x）+1恒成立令x=，则f（）=+1∴=[]∵=f（1）﹣2=1∴{}是一个等比数列，∴∴f（2﹣n）=2﹣n+2②当x∈[2﹣n，21﹣n]时，由f（x）是增函数，故f（x）≤f（21﹣n）=21﹣n+2∵x＞2﹣n，∴2x+2＞21﹣n+2，∴f（x）＜2x+2．【点评】本题考查利用新定义分析问题、解决问题的能力．考查转化计算，分类讨论、构造能力及推理论证能力，思维量大，属于难题．。

2013年上海市闸北区高考数学一模试卷(文科)含详解

2013年上海市闸北区高考数学一模试卷（文科）一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．（6分）已知（a﹣i）2=2i，其中i是虚数单位，那么实数a=．2．（6分）已知（1+px2）5的展开式中，x6的系数为80，则p=．3．（6分）设{a n}是公比为的等比数列，且，则a1=．4．（6分）设双曲线的右顶点为A，右焦点为F．过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B，则△AFB的面积为．5．（6分）函数，则f（3.5）的值为．6．（6分）一人在海面某处测得某山顶C的仰角为α（0°＜α＜45°），在海面上向山顶的方向行进m米后，测得山顶C的仰角为90°﹣α，则该山的高度为米．（结果化简）7．（6分）已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为．8．（6分）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有种．9．（6分）若实常数a∈（1，+∞），则不等式的解集为．10．（6分）设函数则方程f（x）=x2+1有实数解的个数为．二、选择题（每小题5分，共15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．（5分）圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是（）A．B．C．D．12．（5分）已知向量，满足：，且（k＞0）．则向量与向量的夹角的最大值为（）A．B．C．D．13．（5分）以下四个命题中，真命题的个数为（）①集合{a1，a2，a3，a4}的真子集的个数为15；②平面内两条直线的夹角等于它们的方向向量的夹角；③设z1，z2∈C，若，则z1=0且z2=0；④设无穷数列{a n}的前n项和为S n，若{S n}是等差数列，则{a n}一定是常数列．A．0B．1C．2D．3三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．14．（12分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx），x∈R．（1）请指出函数f（x）的奇偶性，并给予证明；（2）当时，求f（x）的取值范围．15．（11分）如图，某农业研究所要在一个矩形试验田ABCD内种植三种农作物，三种农作物分别种植在并排排列的三个形状相同、大小相等的矩形中．试验田四周和三个种植区域之间设有1米宽的非种植区．已知种植区的占地面积为800平方米．（1）设试验田ABCD的面积为S，AB=x，求函数S=f（x）的解析式；（2）求试验田ABCD占地面积的最小值．16．（15分）设定义域为R的奇函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数．（1）求证：函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数；（2）试构造一个满足上述题意且在（﹣∞，+∞）内不是单调递减的函数．（不必证明）17．（16分）设点F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点．（1）求数量积的取值范围；（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．18．（21分）若数列{b n}满足：对于n∈N*，都有b n+2﹣b n=d（常数），则称数列{b n}是公差为d的准等差数列．如：若则{c n}是公差为8的准等差数列．（1）求上述准等差数列{c n}的第8项c8、第9项c9以及前9项的和T9；（2）设数列{a n}满足：a1=a，对于n∈N*，都有a n+a n+1=2n．求证：{a n}为准等差数列，并求其通项公式；（3）设（2）中的数列{a n}的前n项和为S n，若S63＞2012，求a的取值范围．2013年上海市闸北区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．（6分）已知（a﹣i）2=2i，其中i是虚数单位，那么实数a=﹣1．【考点】A5：复数的运算．【分析】直接化简方程，利用复数相等条件即可求解．【解答】解：a2﹣2ai﹣1=a2﹣1﹣2ai=2i，a=﹣1故答案为：﹣1【点评】考查复数的代数形式的混合运算，复数相等条件，易错处增根a=1没有舍去．高考基本得分点．2．（6分）已知（1+px2）5的展开式中，x6的系数为80，则p=2．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式，找到含x6项是第几项，通过该项的系数写出关于p的方程求出实数p的值．【解答】解：（1+px2）5的展开式中含x6项是第4项，其系数为C53（p）3=80，解得p=2．故答案为：2．【点评】本题考查二项展开式的特定项的问题，首先要弄清这一项是展开式的哪一项，其次通过系数建立关于字母的方程，达到求解的目的．3．（6分）设{a n}是公比为的等比数列，且，则a1=3．【考点】8J：数列的极限．【专题】11：计算题；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】由题设条件（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）=4．列出方程，求出a1的值．【解答】解：∵{a n}是公比为的等比数列，a1+a3+a5+…+a2n﹣1是公比为的等比数列的前n项和，∴（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）==4．∴a1=3．故答案为：3．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意等比数列求和公式的应用．4．（6分）设双曲线的右顶点为A，右焦点为F．过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B，则△AFB的面积为．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线的方程可得a、b的值，进而可得c的值，得到A、F两点的坐标．因此可得设BF的方程为y=±（x﹣5），与双曲线的渐近方程联解得到点B的坐标，即可算出△AFB的面积，得到本题答案．【解答】解：根据题意，得a2=9，b2=16，∴c==5，且A（3，0），F（5，0），∵双曲线的渐近线方程为y=±x∴直线BF的方程为y=±（x﹣5），①若直线BF的方程为y=（x﹣5），与渐近线y=﹣x交于点B（，﹣）=|AF|•|y B|=•2•=；此时S△AFB②若直线BF的方程为y=﹣（x﹣5），与渐近线y=x交点B（，）=|AF|•|y B|=•2•=．此时S△AFB因此，△AFB的面积为故答案为：【点评】本题给出双曲线右顶点为A，过右焦点F与一条渐近线平行的直线，交另一条渐近线于B，求△ABF的面积，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质的知识，属于中档题．5．（6分）函数，则f（3.5）的值为．【考点】3T：函数的值．【专题】11：计算题．【分析】直接利用函数的表达式，由f（3.5）求出x小于0时对应的函数值即可．【解答】解：因为函数所以f（3.5）=f（3.5﹣1）=f（2.5）=f（1.5）=f（0.5）=f（﹣0.5）=21﹣（﹣0.5）=．即f（3.5）的值为．故答案为：．【点评】本题考查函数值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．6．（6分）一人在海面某处测得某山顶C的仰角为α（0°＜α＜45°），在海面上向山顶的方向行进m米后，测得山顶C的仰角为90°﹣α，则该山的高度为米．（结果化简）【考点】HP：正弦定理．【专题】11：计算题；58：解三角形．【分析】由题可知，在图中直角三角形，在Rt△OBC中，利用α角的正切求出BC；在△ACD中，利用正弦定理，求出山高h．【解答】解：令OC=h，在Rt△OBC中，由sin（90°﹣α）=，得BC=，在△ACB中，由正弦定理可知=，h=．即山高为：．故答案为：．【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用正弦定理解三角形．7．（6分）已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题．【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，再由抛物线的性质知：当P，Q和焦点三点共线且点P在中间的时候距离之和最小，进而先求出纵坐标的值，代入到抛物线中可求得横坐标的值从而得到答案．【解答】解：∵y2=4x∴p=2，焦点坐标为（1，0）过M作准线的垂线于M，由PF=PM，依题意可知当P，Q和M三点共线且点P在中间的时候，距离之和最小如图，故P的纵坐标为﹣1，然后代入抛物线方程求得x=，故答案为：（，﹣1）．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．属基础题．8．（6分）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有20种．【考点】D3：计数原理的应用．【专题】11：计算题．【分析】本题是一个分类计数问题，根据甲安排在另外两位前面可以分三类：甲安排在周一，甲安排在周二，甲安排在周三，写出这三种情况的排列数，根据加法原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，根据题意分三类：甲安排在周一，共有A42种排法；甲安排在周二，共有A32种排法；甲安排在周三，共有A22种排法．根据分类加法原理知共有A42+A32+A22=20．故答案为：20【点评】本题考查分类计数问题，解题时一定要分清完成这件事需要分为几类，每一类有几种方法，把几个步骤中数字相加得到结果，本题是一个基础题．9．（6分）若实常数a∈（1，+∞），则不等式的解集为．【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】11：计算题；59：不等式的解法及应用．【分析】由a＞1，然后利用对数函数的单调性结合分式不等式的求法可解【解答】解：由a＞1，可得1﹣整理可得，∴故答案为：（，0）【点评】本题主要考查了对数函数的单调性及分式不等式的求解，属于基础试题10．（6分）设函数则方程f（x）=x2+1有实数解的个数为2．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】方程f（x）=x2+1的实数解的个数问题转化为图象的交点问题，作图分析即得答案．【解答】解：画出与y=x2+1的图象，有两个交点，故方程f（x）=x2+1的实数解的个数为2个．故答案为：2．【点评】华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．二、选择题（每小题5分，共15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．（5分）圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是（）A．B．C．D．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【分析】当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆没有公共点，这是充要条件．【解答】解：依题圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点．故选：C．【点评】本小题主要考查直线和圆的位置关系；也可以用联立方程组，△＜0来解；是基础题．12．（5分）已知向量，满足：，且（k＞0）．则向量与向量的夹角的最大值为（）A．B．C．D．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用向量模及其夹角的计算公式即可得出．【解答】解：∵（k＞0），∴=3（），∵=，∴=3（），化为，∵k＞0，∴=2．∴，当且仅当k=1时取等号．∴．∴向量与向量的夹角的最大值为．故选：B．【点评】熟练掌握向量的数量积、模及其夹角的计算公式是解题的关键．13．（5分）以下四个命题中，真命题的个数为（）①集合{a1，a2，a3，a4}的真子集的个数为15；②平面内两条直线的夹角等于它们的方向向量的夹角；③设z1，z2∈C，若，则z1=0且z2=0；④设无穷数列{a n}的前n项和为S n，若{S n}是等差数列，则{a n}一定是常数列．A．0B．1C．2D．3【考点】2K：命题的真假判断与应用；83：等差数列的性质；A1：虚数单位i、复数．【专题】21：阅读型．【分析】根据含有N个元素的集合的真子集的个数是2N﹣1，来判断①；根据直线夹角与向量交集的范围，来判断②是否正确；利用i2=﹣1，举反例，判断③是否正确；利用数列的项与和的关系式，求数列的通项．来判断④是否正确．【解答】解：∵含有4个元素的集合的真子集的个数是24﹣1=15个，∴①正确；对②，∵两条直线的夹角的范围是[0，]，而方向向量的夹角的范围是[0，π]，∴②不正确；对③，举反例，1，i∈C，12+i2=0，∴③不正确；∵{S n}是等差数列，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=d，当n=1时，a1=S1，∵d、S1不一定相等，∴{a n}不一定是常数列．故④不正确．故选：B．【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查虚数单位i的性质及向量的夹角问题．三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．14．（12分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx），x∈R．（1）请指出函数f（x）的奇偶性，并给予证明；（2）当时，求f（x）的取值范围．【考点】GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数；H5：正弦函数的单调性．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】（1）先化简函数得出的表达式，通过f（﹣）≠±f（﹣），直接证明即可．（2）先得出，然后根据正弦函数的单调性求出取值范围．【解答】解：（3分）（1）∵，∴f（x）是非奇非偶函数．（3分）注：本题可分别证明非奇或非偶函数，如∵f（0）=1≠0，∴f（x）不是奇函数．（2）由，得，．（4分）所以．即．（2分）【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的奇偶性的判断，考查计算能力．15．（11分）如图，某农业研究所要在一个矩形试验田ABCD内种植三种农作物，三种农作物分别种植在并排排列的三个形状相同、大小相等的矩形中．试验田四周和三个种植区域之间设有1米宽的非种植区．已知种植区的占地面积为800平方米．（1）设试验田ABCD的面积为S，AB=x，求函数S=f（x）的解析式；（2）求试验田ABCD占地面积的最小值．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】12：应用题；51：函数的性质及应用．【分析】（1））设ABCD的长与宽分别为x和y，则（x﹣4）（y﹣2）=800，由此能求出函数S=f（x）的解析式．（2）试验田ABCD的面积S=xy=，令x﹣4=t，t＞0，则，由此能求出试验田ABCD占地面积的最小值．【解答】解：（1）设ABCD的长与宽分别为x和y，则（x﹣4）（y﹣2）=800（3分）∴（2分）（2）试验田ABCD的面积S=xy=（2分）令x﹣4=t，t＞0，则，（4分）当且仅当时，t=40，即x=44，此时，y=22．（2分）答：试验田ABCD的长与宽分别为44米、22米时，占地面积最小为968米2．（1分）【点评】本题考查函数问题在生产生活中的具体应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．16．（15分）设定义域为R的奇函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数．（1）求证：函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数；（2）试构造一个满足上述题意且在（﹣∞，+∞）内不是单调递减的函数．（不必证明）【考点】3E：函数单调性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】（1）由单调性的定义可x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则0＞﹣x1＞﹣x2，则可得f（﹣x1）＜f（﹣x2），由奇函数的性质可得﹣f（x1）＜﹣f（x2），进而可得f（x1）＞f（x2），即得单调性；（2）举出例子即可，举分段函数．【解答】解：（1）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则0＞﹣x1＞﹣x2（2分）由y=f（x）在区间（﹣∞，0）上是单调递减函数，有f（﹣x1）＜f（﹣x2），（3分）又由y=f（x）是奇函数，有﹣f（x1）＜﹣f（x2），即f（x1）＞f（x2）．（3分）所以，函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．（1分）（2）如函数满足在（﹣∞，0）和（0，+∞）上是单调减函数，但在（﹣∞，+∞）内不是单调递减的函数（6分）【点评】本题考查函数单调性的判断与证明，属基础题．17．（16分）设点F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点．（1）求数量积的取值范围；（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由P为椭圆C上任意一点，可得出点P的横坐标的取值范围，再利用向量的数量积的计算公式即可求出；（2）把直线与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系即可得到线段AB的中点坐标，再利用已知即可得出线段AB的垂直平分线NG的方程．【解答】解：（1）由题意，可求得F1（﹣1，0），F2（1，0）．设P（x，y），则有，，，∴．（2）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），代入，整理得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，（*）∵直线AB过椭圆的左焦点F1，∴方程*有两个不相等的实根．设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为M（x0，y0），则，，．线段AB的垂直平分线NG的方程为．令y=0，则x G=x0+ky0===．∵k≠0，∴．即点G横坐标的取值范围为．【点评】熟练掌握椭圆的性质、向量的数量积的计算公式、直线与椭圆相交问题的解题模式、根与系数的关系、线段的中点坐标公式、线段的垂直平分线的方程是解题的关键．18．（21分）若数列{b n}满足：对于n∈N*，都有b n+2﹣b n=d（常数），则称数列{b n}是公差为d的准等差数列．如：若则{c n}是公差为8的准等差数列．（1）求上述准等差数列{c n}的第8项c8、第9项c9以及前9项的和T9；（2）设数列{a n}满足：a1=a，对于n∈N*，都有a n+a n+1=2n．求证：{a n}为准等差数列，并求其通项公式；（3）设（2）中的数列{a n}的前n项和为S n，若S63＞2012，求a的取值范围．【考点】83：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知把n=8，n=9分别代入数列的通项可求c8，c9，然后结合等差数列的求和公式可求T9（2）由a n+a n+1=2n可得a n+1+a n+2=2（n+1），两式相减可知a n+2﹣a n=2，结合n的奇偶及等差数列的通项公式可求（3）法一：在S63=a1+a2+…+a63中，有32各奇数项，31各偶数项，分组结合等差数列的求和公式可求S63，然后结合已知不等式可求a的范围法二：当n为偶数时，a1+a2=2×1，a3+a4=2×3，…a n﹣1+a n=2×（n﹣1），然后各式相加可求S n，而S63=S62+a63代入可求S63，然后结合已知不等式可求a的范围【解答】解：（1）c8=41，c9=35（2分）=211．（4分）（2）∵a n+a n+1=2n①a n+1+a n+2=2（n+1）②②﹣①得a n+2﹣a n=2．所以，{a n}为公差为2的准等差数列．（2分）当n为奇数时，；（2分）当n为偶数时，，（2分）∴（3）解一：在S63=a1+a2+…+a63中，有32各奇数项，31各偶数项，所以，．（4分）∵S63＞2012，∴a+1984＞2012．∴a＞28．（2分）解二：当n为偶数时，a1+a2=2×1，a3+a4=2×3，…a n﹣1+a n=2×（n﹣1）将上面各式相加，得．∵（4分）∵S63＞2012，∴a+1984＞2012．∴a＞28．（2分）【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，以新定义为载体考查了数列的递推公式的应用，及等差数列的求和公式的综合应用．。

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专题五解析几何汇编2013年3月)(A5． )(B 15 )(C 215 ． )(D 15． 17．)(B ；（普陀区2013届高三一模文科）16. 【文科】双曲线17922=-+-λλy x （97<<λ）的焦点坐标为…………………………（）（A ）)0,4(±. （B ）)0,2(±. （C ）)4,0(±. （D ）)2,0(±.（黄浦区2013届高三一模文科）5．若双曲线2221(0)4x y b b-=>的一条渐近线过点P (1, 2)，则b 的值为_________． 5．4（静安区2013届高三一模文科）7．（文）设圆过双曲线116922=-y x 右支的顶点和焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 . 7．（文）316（青浦区2013届高三一模）15．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为………………………………………………（ D ）．A . x y 2±= .B x y 2±=C . x y 21±=D . x y 22±=（黄浦区2013届高三一模文科）13．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)M m (m >0)到其焦点F 的距离为5，该抛物线的顶点在直线MF 上的射影为点P ，则点P 的坐标为．13．6448(,)2525；（闵行区2013届高三一模文科）4．已知抛物线24y x =的焦点与圆2240x y mx ++-=的圆心重合，则m 的值是 . 4．2-；（静安区2013届高三一模文科）4．（文）设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 . 4．（文）3（闸北区2013届高三一模文科）7．已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为．7．114⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（崇明县2013届高三一模）17、等轴双曲线C ：222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于,A B 两点，43AB =，则双曲线C 的实轴长等于……………………………………………………………………（）A 2B ．22C ．4D ．817、C（虹口区2013届高三一模）14、设点P 在曲线22+=x y 上，点Q 在曲线2-=x y 上，则PQ 的最小值等于． 14、427；（松江区2013届高三一模文科）7．抛物线的焦点为椭圆14522=+y x 的右焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 ▲ ．7． 24y x =（奉贤区2013届高三一模）13、（文）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =则C 的实轴长为____________．文4（闸北区2013届高三一模文科）4．设双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ．过点F 且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B ，则AF B ∆的面积为．4．310；（青浦区2013届高三一模）3．抛物线22x y =的焦点坐标是____)81,0( ．（奉贤区2013届高三一模）14、（文）椭圆()01342222>=+a a y a x 的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________．文23a（普陀区2013届高三一模文科）12.【文科】若1F 、2F 是椭圆2214x y +=的左、右两个焦点，M 是椭圆上的动点，则2111MF MF +的最小值为 . 12.1 （金山区2013届高三一模）11．双曲线C ：x 2 – y 2 = a 2的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A 、B 两点，34||=AB ，则双曲线C 的方程为__________．11．14422=-y x （杨浦区2013届高三一模文科）3．抛物线x y 42=的焦点到准线的距离为 . 3．2；（虹口区2013届高三一模）4、双曲线1322=-y x 的两条渐近线的夹角大小等于． 4、3π；PMOy（虹口区2013届高三一模）21、（本题满分14分）已知圆:O 422=+y x ．（1）直线1l ：0323=-+y x 与圆O 相交于A 、B 两点，求AB ；（2）如图，设),(11y x M 、),(22y x P 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线1PM 、2PM 与y 轴分别交于),0(m 和),0(n ，问n m ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．21、（14分）解：（1）圆心)0,0(O 到直线0323=-+y x 的距离3=d ．圆的半径2=r ，∴2222=-=d r AB ．………………4分（2）),(11y x M ，),(22y x P ，则),(111y x M --，),(112y x M -，42121=+y x ，42222=+y x ．………………8分1PM ：))(())((212212y y x x x x y y -+=-+，得121221x x y x y x m +-=．2PM ：))(())((212212y y x x x x y y --=-+，得121221x x y x y x n ---=．…………12分∴4)4()4(212222212122212222212122=----=--=⋅x x x x x x x x y x y x n m ………………14分（金山区2013届高三一模）22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，线段OF 1、OF 2的中点分别为B 1、B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．过Ｂ1作直线l 交椭圆于P 、Q 两点．(1) 求该椭圆的标准方程；(2) 若22QB PB ⊥，求直线l 的方程；(3) 设直线l 与圆O ：x 2+y 2=8相交于M 、N 两点，令|MN |的长度为t ，若t ∈[4,27]，求△B 2PQ 的面积S 的取值范围．22．解：（1）设所求椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ,右焦点为)0,(2c F .因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|=|AB 2|，故∠B 1AB 2=90º，得c =2b …………1分在Rt △AB 1B 2中，1224AB B S b ∆==，从而20222=+=c b a .………………3分因此所求椭圆的标准方程为：221204x y += …………………………………………4分 (2)由(1)知1(2,0),(2,0)B B -,由题意知直线l 的倾斜角不为0,故可设直线l 的方程为：2x my =-,代入椭圆方程得()2254160m y my +--=,…………………………6分设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则y 1、y 2是上面方程的两根，因此12245my y m +=+， 516221+-=⋅m y y ，又()()2112222,,2,B P x y B Q x y =-=- ，所以212122)2)(2(y y x x Q B P B +--=⋅2216645m m -=-+………………………………8分由21PB QB ⊥，得22B P B Q ⋅ =0，即216640m -=，解得2m =±；所以满足条件的直线有两条,其方程分别为：x +2y +2=0和x –2y +2=0……………………10分 (3) 当斜率不存在时，直线:l 2-=x ，此时4||=MN ，5516=S ………………11分当斜率存在时，设直线:l )2(+=x k y ，则圆心O 到直线的距离1|2|2+=k k d ，因此t=721482||22≤+-=k k MN ，得312≥k ………………………………………13分联立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1420),2(22y x x k y 得0164)51(222=--+k ky y k ，由韦达定理知， 22212215116,514k k y y k k y y +-=+=+，所以222421)51(454||k k k y y ++=-，因此421222144||852(15)k k S y y k +=⋅⋅-=+设28153u k u =+≥，，所以2851325()524S u =-++，所以)5516,35[∈S …15分综上所述：△B 2PQ 的面积]5516,35[∈S ……………………………………………16分（宝山区2013届期末）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点． (1)若2p =，求线段AF 中点M 的轨迹方程；(2) 若直线AB 的方向向量为(1,2)n = ，当焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭时，求OAB ∆的面积；(3) 若M 是抛物线C 准线上的点，求证：直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列．解：(1) 设00(,)A x y ，(,)M x y ，焦点(1,0)F ，则由题意00122x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即00212x x y y =-⎧⎨=⎩……………………………………2分所求的轨迹方程为244(21)y x =-，即221y x =-…………………………4分 (2) 22y x =，12(,0)F ，直线12()212y x x =-=-，……………………5分由2221y x y x ⎧=⎨=-⎩得，210y y --=， 2511212=-+=y y k AB ……………………………………………7分 5d =， ……………………………………………8分 4521==∆AB d S OAB ……………………………………………9分 (3)显然直线MA 、MB 、MF 的斜率都存在，分别设为123k 、k 、k ．点A 、B 、M 的坐标为11222pA(x ,y )、B(x ,y )、M(-,m)．设直线AB ：2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，代入抛物线得2220p y y p k --=，……………………11分所以212y y p =-，……………………………………………12分又2112y px =，2222y px =，因而()22211112222y p p x y p p p +=+=+，()24222212211222222y p p p p p x y p p py y +=+=+=+因而()()()22121112122222111222222p y m p y m y y m y m m k k p p p p y p p y p x x ⎛⎫-- ⎪---⎝⎭+=+=+=-++++ (14)分而30222m mk p p p -==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故1232k k k +=． (16)分（崇明县2013届高三一模）23、（本题18分，第(1)小题6分；第(2)小题12分）如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>> 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，2ABF ∆的周长为8，且12AF F ∆面积最大时，12AF F ∆为正三角形．（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ．试探究：① 以PQ 为直径的圆与x 轴的位置关系？② 在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出M 的坐标；若不存在，说明理由．23、解：（122=4,=3b ∴a ，椭圆E 的方程为22+=143x y（2）①由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得方程222(43)84120k x kmx m +++-=由直线与椭圆相切得220,0,430.m k m ≠∆=⇒-+= 求得43(,)k P m m -，(4,4)Q k m +，PQ 中点到x 轴距离 223(2)22m d k m=++ 2222212()(1)0(4302)2kPQ d k m m k m-=->-+=⇒≠。