高中数学第一章数列1.1数列1.1.2数列的函数特性课件北师大版必修5
【高中课件】高中数学北师大版必修5第1章1数列第1课时 数列的概念同步课件ppt.ppt
第一章 §1 数 列
第1课时 数列的概念
1 课前自主预习
2 课堂典例讲练
4 本节思维导图
3 易混易错点睛
5 课时作业
课前自主预习
世界十大高峰的海拔都是多少米呢？请看下表：
排位 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
名称或图片 珠穆朗玛峰 乔戈里峰 干城章嘉峰
洛子峰 马卡鲁峰 卓奥友峰 道拉吉里峰 马纳斯卢峰 南伽峰 安那布尔纳峰
a3，(…3)，{ana}与n，a…n是；不而同a概n表念示：数{a列n}{表an示}中数的列第an1，项a．2，
数列(的4)数概列念的与简集记合符概号念{的an区}，别不如可下能表理：解为集合{an}，
数列
集合
示例
数列中的项是有序
如数列1,3,4与1,4,3
的，两组相同的数 集合中的元素 是不同的数列，而
[解析] ∵3－1＝2,6－3＝3,10－6＝4， ∴2x－1－10x＝＝65 ，∴x＝15.
4．已知数列{an}的通项公式 an＝nn1＋2(n∈N＋)，则1120是 这个数列的第________项．
[答案] 10
[解析] 令 an＝1120，即nn1＋2＝1120， 解得 n＝10 或 n＝－12(舍去)．
2．若数列{an}的通项公式是 an＝(－1)n＋1·n2＋n－31 (n∈N＋)，则
该数列的第 5 项为( )
A．1
B．－1
C.12
[答案] C
D．－12
[解析] 令 n＝5 得，an＝12，选 C.
3．数列1,3,6,10，x,21，…中，x的值是( )
A．12
B．13
C．15
D．16
[答案] C
1.数列的概念 (1)数列：一般地，按照一定次_序_______排列的一列 数叫做数列． ____(_2_)项__：．数列中的每个数都叫做这个数列项的 a称3首，__项(…_3_)，数__a列_n_，的，…表an，是示简数：记列数为的列：第的_n一_项{_般a_，n_}形_叫_式_数.通可数列项以列的写的__成第__a1_1项，__aa_12也．，
高中数学第一章数列第1节数列1.2数列的函数特性课件北师大版必修5
(2)作商比较法： ①若 an＞0，则 当aan＋n 1＞1 时，数列{an}是递增数列； 当aan＋n 1＜1 时，数列{an}是递减数列； 当aan＋n 1＝1 时，数列{an}是常数列．
②若 an＜0，则 当aan＋n 1＜1 时，数列{an}是递增数列； 当aan＋n 1＞1 时，数列{an}是递减数列； 当aan＋n 1＝1 时，数列{an}是常数列．
数列增减性的判断
数列．
已知数列{an}的通项公式为 an＝ n－ n＋1，求证：此数列为递增
【精彩点拨】 根据数列单调性的定义，只需证明 an＋1－an＞0.
判断函数增减性的方法 (1)作差比较法： ①若 an＋1－an＞0 恒成立，则数列{an}是递增数列； ②若 an＋1－an＜0 恒成立，则数列{an}是递减数列； ③若 an＋1－an＝0 恒成立，则数列{an}是常数列．
2．数列的单调性
名称
定义
判断方法
递增数列 从第 2 项起，每一项都 大于 它前面的一项 递减数列 从第 2 项起，每一项都 小于 它前面的一项
常数列 各项都 相等
an＋1＞an an＋1＜an an＋1＝an
数列的图像
[小组合作型]
在数列{an}中，an＝n2－8n， (1)画出{an}的图像； (2)根据图像写出数列{an}的增减性． 【精彩点拨】 (1)画图像时利用列表、描点、连线三步去画． (2)根据图像的上升或下降判断增减性．
来解决数列的最值问题，但此时应注意“n∈N＋”这一条件．
1．已知数列{an}满足 an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( )
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．不能确定
【解析】 由条件得 an＋1－an＝3＞0，可知 an＋1＞an，所以数列{an}是递增 数列．
1.1.2《数列的函数特性》课件(北师大版必修5)
3.已知递增数列{an}的通项公式是an=n2+λ n，则实数λ 的取 值范围是( )
(A)λ >0
(B)λ <0
(C)λ =0
(D)λ >-3
【解题提示】利用an+1-an＞0恒成立来解决. 【解析】选D.由an+1>an对n∈N+恒成立，可得an+1-an=2n+1 +λ>0,∴λ>-1-2n.∵n∈N+,∴λ>-3.
4.数列{2n2-kn+1}中，只有n=5时a5最小，则k的取值范围
(
(A)（9，11） (C)（18，22） (B)（9.5，10.5） (D)（19，21）
)
【解题提示】利用a5＜a4且a5＜a6,解不等式组求解.
【解析】选C.由题意知a5＜a4,a5＜a6即
2 52 5k 1<2 42 4k 1 , 解得18＜k＜22. 2 2 2 5 5k 1<2 6 6k 1
5 10
其中是递增数列的有______,递减数列的有______.
15
20
【解析】∵2＞1，0＜0.84＜1，∴（1）为递增数列，（2）为 递减数列，（3）中an=(n-1)〓10,an+1-an=10,∴(3)递增； （4）中，an=2n,an+1-an=2,∴(4)递增；（5）是摆动数列；
（6）是常数列；（7）中an= 1 ,an+1-an=∴(7)是递减数列. 答案：（1），（3），（4）
2
答案：递减
6.下列数列
（1）1，2，22，23，24，„，263；
（2）1，0.84，0.842，0.843，„； （3）0，10，20，30，„，1 000； （4）2，4，6，8，10„； （5）-1，1，-1，1，-1，„； （6）7，7，7，7，„；
高一数学优质课件：第一章 数列§1 1.2 数列的函数特性 北师大版 必修五
1.数列的概念是什么. 2.数列的通项公式的含义是什么.
由上节课的学习我们知道数列可以看作定义域为正 整数集N+(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依 次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.
而数列的通项公式就类似于函数的解析式，因此研 究数列的性质我们就可以借助数列的通项公式，而且数 列的表示形式也和函数一样，有多种表示方法，下面来 看几个例子.
an+1<an,那么这个数列叫作递减数列. 如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫作常数列.
例3 判断下列无穷数列的增减性.
（1）2,1,0，1,,3 n,
(2) 1 , 2 , 3 ,, n , 2 3 4 n1
解 (1)设an 3 n，那么
an1 3 (n 1) 2 n,
2 (1)n ; 5
(3)an
n
1
(1)n (n 2
1)
解：(1)an1
an
n 1 n2
n n 1
(n 1)2 (n 2)n (n 1)(n 2)
(n
1 1)(n
2)
,
an1 an 0 ，所以数列{an} 为递增数列.
（2）方法1：
例4 作出数列 1 , 1 , 1 , 1 ,, ( 1 )n , 的图像，
并分析数列的增减性.2 4 8 16
2
an
1
2
1
●
41
3ห้องสมุดไป่ตู้
5
●
O
2
4 ●n
●
1 4
1
●
2
图4
高中数学 第一部分 第一章 §1 1.1 数列的概念课件 北师大版必修5
)
答案：D
2．数列 0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一个通项公式为( 1 n A. (10 －1) 9 1 1 C. (1－ n) 3 10 2 n B. (10 －1) 9 3 D. (10n－1) 10
)
解析：可通过取n＝1,2,3，…代入验证的方法．
答案：C
3．写出下列数列的一个通项公式： 1 9 25 (1) ，2， ，8， ，…； 2 2 2 1 4 9 16 (2)1 ，2 ，3 ，4 ，…. 2 5 10 17
4 [精解详析] (1)数列的前三项：a1＝ 2 ＝1， 1 ＋3×1 4 4 2 a2＝ 2 ＝ ＝ ， 2 ＋3×2 10 5 4 4 2 a3＝ 2 ＝ ＝ 3 ＋3×3 18 9 4 1 (2)令 2 ＝ ，则 n2＋3n－40＝0， n ＋3n 10 解得 n＝5 或 n＝－8，
(1 分) (2 分) (3 分)
解：(1)数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项 1 4 9 16 25 都统一成分数再观察： ， ， ， ， ，…，则它 2 2 2 2 2 n2 的一个通项公式为 an＝ . 2
1 22 32 (2)重新整理各项为：1＋ 2 ，2＋ 2 ，3＋ 2 ， 1 ＋1 2 ＋1 3 ＋1 42 4＋ 2 ，…，故它的一个通项公式为： 4 ＋1 n2 an＝n＋ 2 . n ＋1
8；(2)4 6 8 7 3 5；(3)7 6 5 3 8 4.
问题1：这三组数字有什么异同之处？
提示：都是由3～8这6个数字构成，但是排列顺序不
同． 问题2：小山把上面3组数当成密码来试验时，都没 有打开邮箱，他说：“仅仅知道数字及个数还不能确定密 码”．那么，找到密码还需要确定什么？ 提示：数字的排列顺序．
高中数学 1.1.2 数列的函数特征同步课件 北师大版必修5
an 1
对40应2 于函40数1， n 402
作出y这个1函数40大2 致(d40à1z，hì)的图像(如图).当x∈N+,x∈［1,50］ 时，f(20)最x小，f4(0221)最大，即a21最大，a20最小.故选C.
第三十二页，共46页。
第三十四页，共46页。
【典例】(12分)一个数列的通项公式为an＝30＋n－n2. (1)问－60是否为这个数列中的项？ (2)当n分别为何值时，an＝0，an>0，an<0； (3)当n为何值时，an有最大值，并求出最大值. 【审题指导】本题的解决关键是用函数的观点思考解决数 列问题，三问逐步深入递进，首先第一问判断是否是数列 的项，代入验证判断求出的n是否为正整数即可，第二问和 第三(dì sān)问，结合二次函数进行判断求解.
第三十五页，共46页。
【规范解答】(1)令30＋n－n2＝－60，
即n2－n－90＝0，
∴n＝10或n＝－9(舍)，…………………………………2分
∴－60是这个数列的第10项，即a10＝－60. …………4分
(2)令30＋n－n2＝0，即n2－n－30＝0.
∴n＝6或n＝－5(舍)，即当n＝6时，an＝0. …………6分
解得n>9.
∴数列{an}从第1项到第9项递增，从第10项起递减.
第二十七页，共46页。
(2)由(1)知a9＝a10＝1010 最大.
119
方法(fāngfǎ)二：（1）假设数列{an}中存在最大项.
∵an+1-an=(n+210)( )n+1-(n+110)( )n1=0( )n9· n ,
11
24
∴n＝4或5时，
北师大版高中数学必修五第一章数列1.1.2数列的函数特性课件
+
105 . 8
-4-
1.2 数列的函数特性
题型一 题型二 题型三 题型四
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
题型一
判断数列的单调性
2 3 4 【例1】 写出数列1 , , , , … 的通项公式, 并判断它的增减性. 3 5 7 分析:观察得到数列的通项公式,用作差法判断an与an+1之间的大 小关系.
∴an+1>an, ������ ∴数列 3������+1 是递增数列.
-6-
3������ +4� 题型二 题型三 题型四
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
题型二 画数列的图像 【例2】 已知数列{an},an=n2-8n. (1)画出数列{an}的图像; (2)根据图像写出数列{an}的增减性. 分析:(1)当n∈N+时,分别在平面直角坐标系中描出点(n,an)即 可.(2)图像的上升或下降显示数列的增减性. 解:(1)列表:
-3-
1.2 数列的函数特性
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
【做一做1】 已知数列{an},an=n+1,则数列{an}是( ). A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 解析:∵an+1-an=[(n+1)+1]-(n+1)=1>0, ∴{an}为递增数列. 答案:A 【做一做2】 数列{-2n2+9n+3}中的最大项为 . 解析:由题意知an 因为n为正整数,所以当n取2时,an取到最大值,为13. 故数列{-2n2+9n+3}的最大项为a2=13. 答案:13 =-2n2+9n+3= -2
高中数学 1.1.2 数列的函数特性课件 北师大版必修5
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 …
－－ － － － － －－
项
…
8 14 18 20 20 18 14 8
记 an＝n2－qn，数列图像如图所示：
由图像直观地看出它在{1，2，3，4}上是递减的，在{5， 6，7，8，…}上是递增的．
数列增减性的判断
已知数列{an}的通项公式 an＝n2＋n 1，试判断该 数列的增减性．
1．2 数列的函数特性
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 了解递增数列、递减数列、常数列的概念．掌握判断数 列增减性的方法．
2．过程与方法 通过画数列图像，观察图像的升降趋势的学习过程使学 生体会数列的增减性，学习过程采用启发、引导式教学． 3．情感、态度与价值观 通过本节课的学习培养学生数形结合思想，函数思想的 应用．
∵an＋1－an ＝(n＋2)(1110)n＋1－(n＋1)(1110)n＝(1110)n·9－ 11n， 当 n<9 时，an＋1－an>0，即 an＋1>an； 当 n＝9 时，an＋1－an＝0，即 an＋1＝an； 当 n>9 时，an＋1－an<0，即 an＋1<an. 故 a1<a2<a3<…<a9＝a10>a11>a12…， 所以数列中有最大项，最大项为第 9、10 项， 且 a9＝a10＝1101190.
解得 9≤k≤10. 又 k∈N＋， ∴数列{an}中存在的最大项是第 9 项和第 10 项， 且 a9＝a10＝1101190.
1．解答探索性题目的方法： 首先假设存在，然后在此前提下，利用已知条件进行推 理，若推出合理的结论，则说明存在；若推出矛盾的结论， 则说明不存在．
2．求数列的最大(小)项的两种方法： (1)利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况， 再求数列的最大项或最小项．
1.1.2__数列的函数特性_课件(北师大版必修五)(精)
1.2数列的函数特性止弓I入新课1.数列的概念是什么.2.数列的通项公式的含义是什么.自主学习禽望悶犊就材第Q7K,思考"下同軀：1、忆一忆：数列中的％与口是什么关系？2、想一想：什么是递增数列？通项具有什么特点？图像有什么特点？3、想一想：什么是递减数列？通项具有什么特点? 图像有什么特点？常数列呢？4、想一想：数列的图像有什么特点？为什么？5、议一议：如何判断一个数列的增减性？是说出具体的步骤。
（自主学习6分钟+分组讨论4分钟）58642图2是数列⑤：1,丄，丄，丄3 5 7图 1图3是数列⑥:2100,2100,2100, 2100的图像.数列可以看作定义域为正整数集N+ （或它的 有限子集）的函数，当自变量从小到大依次取值 时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.而数列的通项公式就类似于函数的解析式， 因此研究数列的性质我们就可以借助数列的通项 公式，而且数列的表示形式也和函数一样，有多从图中可以看出，数列①的函数图像上升，称这 样的数列为递增数列：数列⑤的函数图像下降，称 这样的数列为递减数列；数列⑥称为常数列.般地，一个数列｛«J ,如果从第2项起，每项都大于它前面的一项，即那么这个数列 叫作递增数列.如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项, 即+1V/”那么这个数列叫作递减数列.如果数列仏〃｝的各项都相等，那么这个数列叫作 常数列.种表示方法。
解(1)设a“=3-那么Q”+i = 3 —(n + l) = 2 —兄, a卄］—a n= (2 —n) —(3 —n) = —1,所以仇+i2 3 4 n + 1所以％饥+1M +1nn 4-2 n + 1a +l)(n +2)>°解图4是这个数列的图像，数列各项的值负正相间，表示数列的各点相对于横轴上下摆动，它既不是递增的，也不是递减的.例5 一辆邮车每天从A 地往B 地运送邮件，沿途 （包括A, B ）共有8站，从A 地出发时，装上发往后面7站 的邮件各一个，到达后面各站后卸下前面各站发往该站 的一个邮件，同时装上该站发往下面各站的邮件各一个. 试写出邮件在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列， 画出该数列的图像，并判断该数列的增减性.解 将A, B 之间所有站按序1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8编号，通 过计算，上面各站剩余邮件数依次排成数列： 7,12,15,16,15,12,7,0・填写下表站号 12 3 4 5 6 7 8 剩余邮件数712151615127可见，我们也可以用表格娄示数列•81 •在1984年到2004年的6届夏季奥运会上，我牌数依次排成数列：15, 5, 16, 16, 2& 32.试画出该数列的获得的金所以数列｛绻｝为递减数列.•・ a flli-a n <0,方法2：因为函数y =（|）'是减函数且2>0,所以数列｛①｝既不是递增数列也不是递减数列，是摇摆数列.本节课主要学习了：1 •递增数列.递减数列、常数列.2.判断数列增减性的方法.3.数列是一类定义域为正整数集的特殊函数，它也可以用图像、表格表示.。
高中数学第一章数列本章归纳总结课件北师大版必修5
(5)等差数列和的最大值、最小值． ①在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则 Sn 有最大值；若①a1<0，d>0，则 Sn 有 最小值． ②求 Sn 的最值的方法： 1° 因为 Sn＝d2n2＋a1－d2n，所以可转化为二次函数求最值，但应注意 n∈N＋； 2° 若aann≥ ＋1<00，， 则 Sn 最大；若aann≤ ＋1>00，， 则 Sn 最小．
[解析] 解法一：由已知 an＋1＝23an＋1 得：(an＋1－3)＝23(an－3) ∴aan＋n－1－33＝23， ∴{an－3}为以 a1－3＝－2 为首项，q＝23的等比数列．
∴an－3＝(－2)×(23)n－1，
∴an＝3－2·(23)n－1.
解法二：由已知得 an＋1－23an＝1， ①
4．数列的分类 (1)根据数列的项数可以对数列进行分类：项数有限的数列叫作有穷数列，项 数无限的数列叫作无穷数列． (2)按照项与项之间的大小关系，可以分为以下几类： ①一般地，一个数列{an}，如果从第 2 项起，每一项都大于它前面的一项，即 an＋1>an，那么这个数列叫作递增数列． ②一个数列{an}，如果从第 2 项起，每一项都小于它前面的一项，即 an＋1<an， 那么这个数列叫作递减数列．
得aa21·aa32·aa34·…·aan－n 1＝2·22·23·…·2n－1，
n(n-1)
∴an＝a1×21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2 2 .
4．构造转化法 例题 4 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝23an＋1，求 an.
[分析] 通过整理变形，进而构造等比数列，由等比数列的通项间接求数列{an} 的通项公式．
(2)由(1)得 bn＝1＋2(n－1)＝2n－1， 即 an＋1－an＝2n－1.
高中数学 第一部分 第一章 §1 1.2 数列的函数特性课件 北师大版必修5
(或
)，有无正整数解来判断．
n－ 97 4．已知数列{an}的通项公式为 an＝ (n∈N＋)，则在 n－ 98 数列{an}的前 30 项中，最大项和最小项分别是( A．a30，a1 C．a10，a9 B．a1，a30 D．a10，a30 )
解析：由于数列中的项是函数 an＝f(n)图 像上的一些孤立的点， 用图像可以反映数 98－ 97 列的构成规律， 且 an＝1＋ ，故 n－ 98 可作出图像．显然 a9 最小，a10 最大．
1．数列是一个特殊的函数，因此，与函数一样，数列
也可以用图像、列表等方法来表示．数列的图像是一群孤 立的点． 2．数列象函数一样，有些具备单调性，有些不具备 单调性．判断数列的增减性主要有两种方法：
(1)图像法：利用数列的函数图像的升、降趋势进行判
断． (2)定义法：根据相邻两项an，an＋1的大小关系来判断.
数列的图像可直观地反映数列各项的变
化趋势，从而判断数列的增减性．
1． 根据下面 3 个数列的通项公式， 分别作出它们的图像， 并判断它们是递增数列还是递减数列． －1 n 2n (1)an＝－ ；(2)bn＝ ；(3)cn＝ n . 4 3
n
解：(1)图像如图(1)，由图像知数列{an}为递减数列． (2)图像如图(2)，由图像知数列{bn}为递增数列． (3)图像如图(3)，由图像观察表示数列{cn}的各点在横轴上、 下摆动，它不是递增数列，也不是递减数列．
①若an＋1－an＞0恒成立，则数列{an}是递增数列；
②若an＋1－an＜0恒成立，则数列{an}是递减数列； ③若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列．
(2)利用作商比较法： ①若 an＞0，则 an＋1 当 a ＞1 时，数列{an}是递增数列； n an＋1 当 a ＜1 时，数列{an}是递减数列； n an＋1 当 a ＝1 时，数列{an}是常数列． n
高中数学 第1章 数列 1.2 数列的函数特性讲义教案 北师大版必修5
学习资料1．2 数列的函数特性学习目标核心素养1．了解递增数列、递减数列、常数列的概念．2．掌握判断数列增减性的方法．(重点）3．利用数列的增减性求最大值、最小值．（难点、易混点)1．通过数列的函数性质的学习培养学生的数学抽象素养．2．借助数列单调性的研究培养学生的逻辑推理素养．数列的单调性阅读教材P6～P7“例3”以上部分，完成下列问题．(1)数列的函数特性数列是一类特殊的函数,由于一般函数有三种表示方法，数列也不例外，有列表法、图像法和解析法．（2）数列的单调性名称定义判断方法递增数列从第2项起，每一项都大于它前面的一项a n＋1＞a n递减数列从第2项起，每一项都小于它前面的一项a n＋1＜a n常数列各项都相等a n＋1＝a n 思考：n,反之成立吗?［提示］若函数f（x）在[1,＋∞)上单调递增,则函数a n＝f（n)也单调递增,但反之不成立,例如f(x）＝错误!错误!，数列a n＝f（n)单调递增,但f(x)＝错误!错误!在［1，＋∞)上不是单调递增．（2)如何判断数列的单调性？［提示］比较数列中相邻的两项a n与a n＋1的大小来确定其单调性．1．数列a n＝n＋1是(）A．递增数列B．递减数列C．常数列D．不能确定A[a n＋1－a n＝[（n＋1)＋1］－（n＋1)＝1＞0，故a n＋1＞a n，所以a n＝n＋1是递增数列．] 2．若数列{a n｝为递增数列，其通项公式为a n＝kn－2，则实数k的取值范围是________．(0,＋∞）［由题意知a n＋1－a n＝[k（n＋1）－2]－（kn－2）＝k＞0，即实数k的取值范围是（0，＋∞）．]3．下列数列：①1,2,22，23，…；②1，0．5,0．52，0．53，…；③7，7,7,7，…；④－2,2，－2，2，－2，…．递增数列是________,递减数列是________，摆动数列是________，常数列是________．(填序号)[答案］①②④③4．判断数列错误!的单调性,并加以证明．[解]数列错误!是递增数列，证明如下：记a n＝错误!，则错误!＝错误!＝错误!>错误!＝1，又a n〉0，则a n＋1〉a n．所以，错误!是递增数列．数列的图像【例1】n n（1)画出｛a n}的图像；(2）根据图像写出数列{a n}的增减性．[解］(1)列表n 123456789…a n－7－12－15－16－15－12－709…12)，n(3，－15)，（4，－16），（5，－15)，（6，－12),（7,－7）,（8，0），（9,9），…图像如图所示．（2）数列｛a n}在[1，4］上是递减的,在[5，＋∞)上是递增的．画数列的图像的方法，数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像来表示，以项数n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n,a n)描点画图，就可以得到数列的图像。