七年级数学上册2.4绝对值用绝对值的非负性求极值素材新版华东师大版2
【初中数学】最新华师大版初中七年级数学上册2.4 绝对值PPT课件
A．―3
B． 1
C．1
D．3
3
3
【解析】选A.︱-3︱=3，-︱-3︱=-3.
5.已知|x|=6, |y|=4,并且x＞y,求x+y的值.
【解析】由题意知x=6,y=±4,当y=4时，x+y=6+4=10;
当
y=-4时，x+y=6-4=2.
6.根据绝对a 值的意义，思考：>
a
(1)如果 =1，那么a
【跟踪训练】
1.求下列各数的绝对值.
正数的绝对 值是它本身
︱9︱= 9 ︱-9︱= 9
负数的绝对值 是它的相反数
︱2.5︱= 2.5 ︱-2.5︱= 2.5
︱0︱= 0 这些数与它们的绝对值有何关系？
0的绝对 值是0
归纳：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值
是它的相反数；0的绝对值是0.
绝对值的代数意义
小组之间讨论一下：
正数的绝对值是它本身
(1)当a是正数时，｜a｜＝__a__； (2)当a是负数时，｜a｜＝＿-a＿； (3)当a=0时，｜a｜＝＿＿0 ＿.
a, | a | a,
0,
a0 a0 a0
0的绝对值是0
负数的绝对值 是它的相反数
2.说出下列各式的值
2
2 3
14 5
1.26
0
解：2 21 41.260
(4)如果 a b 1 0 ,则 a=__0___,b=__1___. (5)己知x＝30，y＝-４，则 x 3y _4__2__ .
3.(鄂尔多斯·中考）如果a与1互为相反数，则︱a︱
等于（ ）
A．2
B．-2
C．1
D．-1
2.4绝对值-华东师大版七年级数学上册同步讲义
2.4 绝对值知识点总结与例题讲解一．本节知识点（1）绝对值的定义.（2）绝对值的性质.（3）绝对值非负性的应用.二、本节题型（1）绝对值的几何意义.（2）与绝对值有关的计算和化简.（3）绝对值非负性的应用.（4）绝对值的应用.三、知识点讲解知识点一 绝对值的定义在数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值,记作a .数轴上的点距离原点越远,该点表示的数的绝对值越大;距离原点越近,该点表示的数的绝对值越小.原点到原点的距离为0,所以0的绝对值等于0,即00=.知识点二 绝对值的性质一个正数的绝对值是它本身;零的绝对值是零;一个负数的绝对值是它的相反数. 即⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a .由上面可知:绝对值等于它本身的数是非负数.绝对值的非负性 任何一个有理数的绝对值总是非负数（正数或0）,即对于任意有理数a ,总有a ≥0.相反数与绝对值的关系 互为相反数的两个数绝对值相等;绝对值相等的两个数相等或互为相反数.知识点三 绝对值非负性的应用非负数的性质 若几个非负数的和为零,则每个非负数都为零.因为绝对值具有非负性,所以若几个有理数绝对值的和等于0,则每个有理数都等于0.即若0=+b a ,则0,0==b a .四、题型讲解题型一 绝对值的几何意义例1. 如图所示,数轴的单位长度为1,如果点A 、B 表示的数的绝对值相等,那么点A 表示的数是【 】（A ）4- （B ）2- （C ）0 （D ）40分析:绝对值的几何意义是表示数的点到原点的距离.本题中A 、B 两点之间的距离为4,则点A 到原点的距离为2,且点A 在原点的左侧,所以点A 表示的数是2-. 解: 选择【 B 】.例2. 一个数a 在数轴上的对应点在原点左边,且4=a ,则a 的值为【 】（A ）4或4- （B ）4 （C ）4- （D ）都不对分析:由4=a 得4=a 或4-=a .因为表示数a 的点在原点的左边,所以0<a ,故4-=a .解: 选择【 C 】.题型二 与绝对值有关的计算和化简先去掉绝对值符号,再进行化简或计算.例3. 计算2020--的结果是【 】（A ）20201- （B ）20201 （C ）2020- （D ）2020 分析:先化简20202020=-,得20202020-=--.解: 20202020-=--,选择【 C 】.例4. 化简或计算:（1）32--; （2）32214-⨯-; （3）2214-++-. 分析: 按照先去绝对值再化简或计算的原则进行,注意解题的书写格式,要求学生的书写一定要规范.解:（1）原式32-=; （2）原式3322932214=⨯=⨯=; （3）原式2132214=++=. 例5. 化简:（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-21; （2）311--. 解:（1）原式2121=-=; （2）原式311-=. 本题也可以这样安排书写:解:（1）212121=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-; （2）311311-=--. 例6. 计算:（1）2345-+-; （2）5394-⨯-; （3）1103---+-; （4）3624-⨯-÷-.分析:含绝对值的四则运算,先去掉绝对值再进行计算.对于乘除混合运算,要注意运算顺序.解:（1）原式41146452345=+=+=; （2）原式1545394=⨯=; （3）原式121103=-+=;（4）原式12343624=⨯=⨯÷=.题型三 绝对值非负性的应用例7. 若034=-+-y x ,求y x ,的值.分析:这是一类重要的题型,考查非负数的性质:若几个非负数的和为零,则每个非负数都为零.注意过程的书写规范.解: 034=-+-y x 因为4-x ≥0,3-y ≥0（这一步是介绍每个绝对值为非负数,必须要有这一步） 所以,03,04=-=-y x解之得:3,4==y x .例8. 如果a 是有理数,那么2020+a 的最小值是_________.解: 因为a ≥0,所以a 的最小值为0 故2020+a 的最小值是2020.题型四 绝对值的应用例9. 检查5袋水泥的质量,把超过标准质量的千克数记为正数,不足标准质量的千克数记为负数,检查结果如下表所示（单位:千克）:（1）最接近标准质量的是几号水泥?（2）质量最多的水泥比质量最少的水泥多多少千克?分析:本题考查绝对值的应用,是一类常见的题型.根据与标准质量相差小（即最接近标准质量）的质量好,分别比较它们的绝对值的大小即可.解:（1）33,77,88,55,1010=-=-=+=-=+因为108753<<<<,所以5号水泥的质量最接近标准质量;（2）()17710=--（千克）.答:质量最多的水泥比质量最少的水泥多17千克.总结 实际问题中的绝对值的意义绝对值越小,表示该数据越接近标准数据;绝对值越大,表示该数据越远离标准数据.例10. 出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的人民大街上进行的.如果规定向东为正,向西为负,那么他这天的行车里程记录如下（单位: km ）:+15 , 3- , +14 , 11- , +10 , 12- , +4 , 15- , +16 , 18-.如果汽车的耗油量为0. 08L/km,那么这天下午该汽车共耗油多少升?分析:需要计算出汽车行驶的总路程.总路程等于以上各数的绝对值之和. 解: 汽车行驶的总路程为:118181615412101114315=-+++-+++-+++-+++-++（km ） 44.908.0118=⨯（L ）.答: 这天下午该汽车共耗油9. 44L.。
华东师大版数学七年级上册说课稿：2.4绝对值
（三）互动方式
我将设计以下师生互动和生生互动环节，以促进学生的参与和合作：
1.师生互动：通过提问、解答学生疑问，引导学生思考，给予学生及时反馈，激发学生的学习兴趣。
2.互评：组织学生进行小组内互评，互相交流学习心得，发现彼此的优点和不足，相互促进。
3.教师评价：针对学生的自评和互评，给予针对性的反馈和建议，强调重点知识点，纠正错误观念，指导学习方法。
（五）作业布置
课后作业布置如下：
1.基础作业：布置一些绝对值的基本运算题，巩固学生的运算能力。
2.提高作业：设置一些综合性的题目，如绝对值方程、不等式的求解，提高学生的应用能力。
-左侧：绝对值的定义、性质、运算规则。
-中间：包含典型例题的解题过程和关键步骤。
-右侧：学习要点、注意事项和拓展提示。
2.风格：板书将以简洁、直观为主，使用不同颜色的粉笔突出重点，使用箭头和框线表示逻辑关系。
板书在教学过程中的作用是帮助学生构建知识框架，强化记忆，同时作为教学过程的视觉辅助工具。为确保板书清晰、简洁且有助于学生把握知识结构，我将：
2.在解决实际问题时，学生可能难以将绝对值知识与其他数学知识相结合。
为应对这些问题，我将：
-在课堂上通过问答、小组讨论等形式，及时了解学生的理解程度，并给予个别指导。
-设计更多综合性的练习题，帮助学生将绝对值知识应用于其他数学领域。
课后，我将通过以下方式评估教学效果：
1.收集学生的作业，分析错误类型和普遍问题。
2.生生互动：组织学生进行小组合作，共同探讨绝对值的性质、运算规律和应用。设置竞赛、讨论等环节，鼓励学生积极参与，提高学生的合作意识。
新华师大版七年级上册初中数学 2-4 绝对值 教学课件
15，+ 1 ， 4.75, 10.5. 2 10
第十一页，共二十五页。
新课讲解
求一个数的绝对值的方法：去掉绝对值符号时， 必须按照“先判后去”的原则，先判断这个数是正数、 0或负数，再根据绝对值的定义去掉绝对值符号，总 之要确保其结果为非负数且只有一个．
第十二页，共二十五页。
新课讲解
例2 计算： (1)|－19|－|10|；(2)|8－6|；(3)
导引：先确定运算顺序，再计算． 解：(1)|－19|－|10|＝19－10＝9. (2)|8－6|＝|2|＝2.
2.4 .
3
第十三页，共二十五页。
新课讲解
例3 如果|a|＝4，|b|＝8，且a在数轴上对应的点
位于原点的右边，b在数轴上对应的点位于 原点的左边，那么在数轴上这两个点之间 的距离是多少？ 导引：题中涉及三个问题：(1)已知一个数的绝对 值，求这个数；(2)由表示数的点在数轴上 的位置，确定这个数；(3)在数轴上求出表 示这两个数的点之间的距离．
原点哪一边无关.
第五页，共二轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的
绝对值，记作
a.
代数定义：一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是
零；一个负数的绝对值是它的相反数；任意
一个数的绝对值为非负数．
用式子表示为：
第六页，共二十五页。
新课讲解
试一试
(1) 2 _____, 1 _____, 8.2 _____; 5
第二章 有理数
2.4 绝对值
第一页，共二十五页。
目
录
CONTENTS
1 学习目标
3 新课讲解
5 当堂小练 7 布置作业
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
华东师大版数学七年级上册2.4【例题与讲解】绝对值
2.4 绝对值1．绝对值的概念及表示(1)绝对值的几何意义我们把在数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值．记作|a |. 这是绝对值的几何意义，例如：10到原点的距离是10；－10到原点的距离也是10，所以10与－10的绝对值相等，都是10.记作：|10|＝10，|－10|＝10.谈重点 绝对值的几何意义 绝对值的几何意义与数的正、负无关，只与表示该数的点到原点的距离有关．(2)绝对值的代数意义一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数．用字母表示为：若a ＞0，则|a |＝a ；若a ＜0，则|a |＝－a ；若a ＝0，则|a |＝0.也可以归纳如下：|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a (a >0)0(a ＝0)－a (a <0)或|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)－a (a <0) 从代数角度来看：绝对值实际上和四则运算“加、减、乘、除”一样，也是一种运算，绝对值运算的本质就是要把带有绝对值符号的数化为不带绝对值符号的数(即去绝对值)．注意：既可以说0的绝对值是它本身，也可以说0的绝对值是它的相反数．故绝对值是它本身的数是正数和0；绝对值是它的相反数的数是负数和0.【例1】 根据绝对值的概念，求下列各数的绝对值：－1.6，85，0，－10，＋10，－a (a ＞0)． 分析：85，＋10是正数，绝对值等于其本身；－1.6，－10是负数，绝对值等于其相反数；0的绝对值是0；因为a ＞0，所以－a 是负数，其绝对值等于它的相反数a .解：|－1.6|＝1.6；⎪⎪⎪⎪⎪⎪85＝85；|0|＝0； |－10|＝10；|＋10|＝10；|－a |(a ＞0)＝a .2．绝对值的非负性一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．由于距离是一个非负数，所以任何一个有理数的绝对值都是非负数，即无论a 取何值，都有|a |≥0.例如|2|＝2，|－2|＝2，|0|＝0.一个数在数轴上表示的点离原点的距离越远，绝对值越大；离原点越近，绝对值越小.0的绝对值可以看成是原点到原点的距离，因此仍然是0.谈重点 数的大小与绝对值大小的关系 正数越大，它的绝对值越大；负数越小，它的绝对值越大；绝对值最小的数是0.【例2】 已知|x －4|＋|y －1|＝0，求x ，y 的值．分析：因为任何有理数的绝对值都是非负数，即|a |≥0，所以|x －4|≥0，|y －1|≥0，而两个非负数之和为0，则两个数均为0，所以可求出x ，y 的值．解：因为|x －4|≥0，|y －1|≥0，又|x －4|＋|y －1|＝0，所以只能|x －4|＝0，|y －1|＝0，即x －4＝0，y －1＝0，因此x ＝4，y ＝1.析规律非负数的性质(1)若干个非负数的和仍是非负数；(2)有限个非负数的和为0，则每个非负数都为0；(3)非负数的最小值是0.3．绝对值的求法(1)利用数轴确定一个数的绝对值时，首先确定这个数在数轴上表示的点，然后再看一下这个点到原点的距离即可．(2)利用绝对值计算的法则，首先要判断这个数是正数、零，还是负数．如果绝对值里面的数是非负数，那么这个数的绝对值就是它本身；如果绝对值里面的数是负数，那么这个数的绝对值就是它的相反数，此时去掉绝对值号时，就要把绝对值里的数添上括号，再在括号前面加上负号，如|－5|＝－(－5)＝5.解技巧求一个式子的绝对值的方法求一个式子的绝对值时，要先根据题意判断这个式子的正负性，再根据法则化去绝对值符号．【例3】(1)若a＞3，则|a－3|＝__________；(2)若a＝3，则|a－3|＝__________；(3)若a＜3，则|a－3|＝__________.解析：要想正确地化简|a－3|的结果．关键是确定a－3的符号．当a＞3时，a－3＞0，即a－3为正数，由正数的绝对值是它本身，可得结果为a－3；当a＝3时，a－3＝0，所以|a－3|＝|0|＝0；当a＜3时，a－3＜0，即a－3为负数，由负数的绝对值等于它的相反数可得|a－3|＝－(a－3)．答案：(1)a－3 (2)0 (3)－(a－3)解技巧化简含有字母的式子的绝对值的方法化简含有字母的式子的绝对值时，必须先讨论这个式子的计算结果的正负性，否则会出现错误．4．绝对值的性质(1)任何一个有理数均有绝对值，这个绝对值是唯一的，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|；(2)有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是0，且无最大的绝对值；(3)绝对值等于其本身的数是正数或0.反过来，如果一个数的绝对值是其本身，那么这个数必是正数或0；(4)若两个数绝对值的和等于0，则这两个数分别等于0.即若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0；(5)已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数．【例4】如图，点A，B在数轴上对应的有理数分别为m，n，则A，B之间的距离是__________．(用含m，n的式子表示)解析：由点A，B在数轴上的位置可得，m＜0，n＞0，A，B间的距离AB ＝|m|＋|n|＝－m＋n.答案：－m＋n5．利用数轴求绝对值问题一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．数a的绝对值记作|a|，例如|5|就是5到原点的距离．正数的绝对值等于其本身，负数的绝对值为它的相反数．总结得到：|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a >0，0，a ＝0，－a ，a <0，可知：任何一个数的绝对值总是非负数，即|a |≥0.绝对值为本身的数是非负数；绝对值最小的数是0.从数轴上观察可知，绝对值为一个正数的数有两个，如|a |＝2，则a ＝±2. 注意：从数轴上正负两个方向考虑．解技巧 利用数轴解决绝对值问题:已知一个数的绝对值求原数时，如果能充分地利用数轴的直观性，能够提高解题的正确性，避免漏解．【例5－1】 实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，那么化简|－b |－|a |的结果是( )．A ．a －bB ．b ＋aC ．b －aD ．－b －a解析：从数轴上可以看出a ＞0，b ＜0，所以－b ＞0，即－b 与a 都是正数，它们的绝对值都等于本身，所以|－b |－|a |＝－b －a .答案：D【例5－2】 已知a ，b ，c 中的a ，b 均为负数，c 为正数，且|b |＞|a |＞|c |，(1)在数轴上表示a ，b ，c 的大致位置；(2)比较a ，b ，c 的大小．分析：(1)a ，b 在原点的左侧，c 在原点的右侧，且b 到原点的距离最大，a 到原点的距离其次，c 到原点的距离最小；(2)在数轴上表示的有理数，右边的数总大于左边的数．解：(1)如图所示．(2)b ＜a ＜c .6.绝对值的化简和计算化简绝对值符号主要根据绝对值的非负性，解题时看清楚“－”号在绝对值符号的里面还是外面．如果“－”号在绝对值符号的里面，化简时把“－”号去掉；如果“－”号在绝对值符号的外面，化简时不能把“－”号去掉．谈重点 化简绝对值符号的关键 化简绝对值符号的关键是判断绝对值符号内的数是正数还是负数．【例6】 化简(1)－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23；(2)＋|－24|； (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎪－⎝ ⎛⎭⎪⎫＋312；(4)|－(－7.5)|；(5)－|－(－0)|. 分析：先判断数的符号，再求绝对值．解：(1)－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝－23； (2)＋|－24|＝24；(3)⎪⎪⎪⎪⎪⎪－⎝ ⎛⎭⎪⎫＋312＝312； (4)|－(－7.5)|＝7.5；(5)－|－(－0)|＝－|0|＝0.7．学习绝对值的五大误区误区一：认为|a|＝a.因为a可以表示正数、负数、0，由绝对值的意义可知，只有当a≥0时，|a|＝a才成立．例如：已知实数a，b在数轴上的对应位置如图所示，则化简|a|＝a，而|b|＝－b.误区二：误认为|a|＝|b|，则a＝b.事实上，当|a|＝|b|时，可能a＝b，也可能a＝－b.绝对值从几何意义上来讲是表示某数的点与原点的距离，互为相反数的两个数，虽然分布在原点的两边，但离原点的距离相等，所以互为相反数的两个数绝对值是相等的，不能由两数绝对值相等就简单的断定两数相等，还有可能互为相反数．误区三：忽略由绝对值求原数的双值特点．误认为|x|＝a(a≥0)，则x＝a.事实上，当|x|＝a(a≥0)时，x＝±a.误区四：忽略“0”的特殊性．“0的绝对值是0”可以做两种理解，一种是0的绝对值是它本身(和正数的绝对值相同)，另一种是0的绝对值是它的相反数(和负数的绝对值相同)．误区五：计算绝对值，混淆绝对值符号与括号的意义．求多个数的绝对值的四则运算，应按顺序去掉绝对值后再进行运算．解含绝对值与相反数双重运算的计算题，应分清层次按照题意一步一步计算．【例7－1】下面推理正确的是( )．A．若|m|＝|n|，则m＝nB．若|m|＝n，则m＝nC．若|m|＝－n，则m＝nD．若m＝n，则|m|＝|n|解析：A中，若|m|＝|n|，则m＝±n；B中，若|m|＝n(n一定是非负数)，则m＝±n，例如|±2|＝2，此时m＝±2，n＝2，显然m＝±n；C中，若|m|＝－n，则m＝n或m＝－n，例如|±3|＝－(－3)(n一定是非正数)，此时m＝±3，n＝－3，所以m＝±n.答案：D【例7－2】若m为有理数，且|－m|＝－m，那么m是( )．A．非正数B．非负数C．负数D．不为零的数解析：根据“正数或零”的绝对值等于它本身可知，－m≥0，所以它的相反数m≤0，即非正数．答案：A【例7－3】填空：(1)－(－4)＝__________；(2)－|－4|＝__________；(3)|－18|－|－6|＝__________(4)如果|a|＝|－7|，那么a＝__________.解析：(1)因为－(－4)表示－4的相反数，而－4的相反数是4，所以－(－4)＝4；(2)因为－|－4|表示|－4|的相反数，而|－4|＝4，所以－|－4|＝－4；(3)因为|－18|＝18，|－6|＝6，所以|－18|－|－6|＝18－6＝12；(4)由绝对值的意义可知绝对值是7的数有两个是±7，所以a＝±7.答案：(1)4 (2)－4 (3)12 (4)±7。
七年级数学上册 2.4 绝对值典型例题 (新版)华东师大版
《绝对值》典型例题例1 求下列各数的绝对值，并把它们用“＞”连起来．87-，91+，0，－1.2 分析 首先可根据绝对值的意义，即正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0来求出各数的绝对值．在比较大小时可以根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”比较出2.187->-，其他数的比较就容易了． 解 .2.12.1,00,9191,8787=-==+=- .2.187091->->>+ 说明： 利用绝对值只是比较两个负数．例2 求下列各数的绝对值：（1）－38；（2）0.15；（3）)0(<a a ；（4）)0(3>b b ；（5）)2(2<-a a ；（6）b a -．分析：欲求一个数的绝对值，关键是确定绝对值符号内的这个数是正数还是负数，然后根据绝对值的代数定义去掉绝对值符号，(6)题没有给出a 与b 的大小关系，所以要进行分类讨论．解：（1）|-38|＝38；（2）|+0.15|＝0.15；（3）∵a ＜0，∴|a |＝－a ；（4）∵b＞0，∴3b＞0，|3b|＝3b ；（5）∵a ＜2，∴a -2＜0，|a -2|＝-(a -2)＝2-a ；（6）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>-=-).();(0);(b a a b b a b a b a b a说明：分类讨论是数学中的重要思想方法之一，当绝对值符号内的数(用含字母的式子表示时)无法判断其正、负时，要化去绝对值符号，一般都要进行分类讨论．例3 一个数的绝对值是6，求这个数．分析 根据绝对值的意义我们可以知道，绝对值是6的数应该是6±．说明：互为相反数的两个数的绝对值相等．例4 计算下列各式的值（1）272135-+++-；（2）21354543-+--； （3）71249-⨯-；（4）.21175.0-÷- 分析 这些题中都带有绝对值符号，我们应先计算绝对值再进行其他计算．解 （1）83272135272135=++=-+++-；（2）2162135454321354543=+-=-+--； （3）1057124971249=⨯=-⨯-； （4）.5.021175.021175.0=÷=-÷- 说明：在去掉绝对值之后，要注意能简算的要简算，如（2）题．例5 已知数a 的绝对值大于a ，则在数轴上表示数a 的点应在原点的哪侧？分析 确定表示a 的点在原点的哪侧，其关键是确定a 是正数还是负数．由于负数的绝对值是它的相反数正数，所以可确定a 是负数．解 由于负数的绝对值是它的相反数，所以负数的绝对值大于这个负数；又因为0和正数的绝对值都是它本身，所以a 是负数，故表示数a 的点应在原点的左侧．说明：只有负数小于其本身的绝对值，而0和正数都等于自己的绝对值．例6 判断下列各式是否正确(正确入“T”，错误入“F”)：（1）a a =-；（ ）（2）a a -=-；（ ）（3）)0(≠=a aa a a；（ ） （4）若|a |＝|b|，则a ＝b ；（ ）（5）若a ＝b ，则|a |＝|b|；（ ）分析：判断上述各小题正确与否的依据是绝对值的定义，所以思维应集中到用绝对值的定义来判断每一个结论的正确性．判数(或证明)一个结论是错误的，只要能举出反例即可．如第(2)小题中取a ＝1，则-|a |＝-|1|＝-1，而|-a |＝|-1|＝1，所以-|a |≠|-a |．在第(4)小题中取a ＝5，b ＝-5等，都可以充分说明结论是错误的．要证明一个结论正确，须写出证明过程．如第(3)小题是正确的．证明步骤如下：当0>a 时，1==aa a a ，而1==a a a a ，a a a a =∴成立； 当0<a 时，1-=-=aa a a ，而1-=-=a a a a ，a a a a=∴也成立． 这说明0≠a 时，总有成立．此题证明的依据是利用的定义，化去绝对值符号即可． 解：其中第(2)、(4)、小题不正确，(1)、(3)、(5)小题是正确的．说明：判断一个结论是正确的与证明它是正确的是相同的思维过程，只是在证明时需要写明道理和依据，步骤都要较为严格、规范．而判断一个结论是错误的，可依据概念、性质等知识，用推理的方法来否定这个结论，也可以用举反例的方法，后者有时更为简便． 例7 若0512=-++y x ，则y x +2等于（ ）．分析与解：“任意有理数的绝对值一定为非负数．”利用这一特点可得012≥+x ；05≥-y ．而两个非负数之和为0，只有一种可能：两非负数均为0．则012=+x ，21-=x ；05=-y ，5=y ．故452122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=+y x ． 说明：任意有理数的绝对值一定为非负数，因为它表示的是一个数在数轴上的对应点到原点的距离．绝对值的这个特性今后会经常用到．几个非负数的和为0，则每一个非负数都是0．例8 计算)5(13>-+-x x x ．分析：要计算上式的结果，关键要弄清x -3和1-x 的符号，再根据正数的绝对值等于本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．可求上式的结果，又∵5>x ，故03<-x ，而01>-x ．解：又∵5>x ，∴03<-x ，01>-x ， ∴421313-=-+-=-+-x x x x x ．说明：利用绝对值的代数定义灵活化简含绝对值的式子同，首先应确定代数式的符号．另外，要求出负数的相反数．。
七年级数学上册(华师大版)2.4绝对值
绝对值在数学问题中的应用
解决不等式问题
绝对值可以用于解决不等式问题，例如求解绝对值不等式或比较 两个数的大小。
解决函数问题
在研究函数的性质时，绝对值可以用于分析函数的奇偶性、单调 性等。
解决几何问题
在几何学中，绝对值可以用于计算线段的长度、角度等。
绝对值在实际生活中的应用
1 2
金融投资
在金融投资中，绝对值可以用于计算投资的盈亏 情况，例如计算投资的收益率或亏损率。
03
应用绝对值的概念。
03
绝对值的应用
绝对值在解决实际问题中的应用
解决距离问题
解决最优化问题
绝对值可以用于计算两点之间的 距离，例如在地理信息系统（GIS） 中计算两点之间的最短路径。
在某些最优化问题中，如求函数 的最大值或最小值，绝对值可以 帮助确定函数的极值点。
解决概率问题
在概率论中，绝对值可以用于计 算事件的概率，例如计算事件之 间的距离或角度。
绝对值
目录
• 绝对值的定义 • 绝对值的运算 • 绝对值的应用 • 绝对值的拓展
01
绝对值的定义
绝对值的数学定义
01
绝对值表示一个数距离0的距离。具体来说，对于任意实数x， 它的绝对值|x|定义为
02
如果x ≥ 0，那么|x| = x；
03
如果x < 0，那么|x| = -x。
绝对值的几何意义
负数的绝对值是它的相反数
对于任何负数x（x < 0），都有|x| = -x。
零的绝对值是零
对于零x（x = 0），有|x| = 0。
绝对值运算的注意事项
01
当进行绝对值运算时，需要考虑每个表达式的正负情况，以确 定其绝对值。
七年级数学上册2.4绝对值巧用绝对值的性质解题素材新版华东师大版2
巧用绝对值的性质解题【概述】在数轴上，表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．根据绝对值的这一定义，我们不难得出绝对值的如下性质．1．一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零．2．任何数的绝对值都是非负数．3．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或是互为相反数．4．若两个数的绝对值的和等于零，则这两个数都等于零．利用绝对值的这些性质，可巧解一些数学题．【例解说明】一、化简例1 若x<-3，则|1-|2+x||等于( )A 、-x-3B 、-x+3C 、x-3．D 、x+3．解：由x<-3，有x+2<-1<0,x+3<0．则原式=|1+2+x|=-(x+3)=-x-3．选A ．例2 若m<0，n<0，那么|n-m+2|-|m-n-6|等于( )A 、4B 、-4C 、-2m+2n+8D 、-2m-2n-8解：由m<0，mn<0知n>0．这时，m<n ．∵m -n<0，n-m>0，∴n -m+2>0,m-n-6<0．则原式=(n-m+2)+(m-n-6)=-4．选B ．二、求值例3 若|a+1|+|2b+4|=0，则42007b a -= ．解：由已知等式，有a+1=0 2b+4=0．∴a=-1,b=-2原式=()()172142007-=--- 例4 设x ，y ，a 是有理数，并且|x|=1-a ，|y|=(1-a)×〔-1-()22-a 〕，试求|x|+y+3a +1的值等于多少?解：由|x|≥0；|y|≥0, -1-()22-a <0,那么，1-a≥0,1-a≤0 ∴1-a=0．∴a=1，x=0，y=0．则原式=|0|+0+31+1=2．三、解方程例5 若|2006x+2007|=2007则x= ．解：由已知方程，得2006x+2007=±2007．∴2006x=-2007±2007．则x=0，或10032007-四、求最值例6 设A=|x-b|+|x-10|+|x-b-10|，其中0<b<10，b≤x≤10，则A 的最小值是( )A 、10B 、15C 、20D 、不能确定．解：由已知条件，b≤x≤10<b+10，从而x-b≥0，x-10≤0，x-b-10<O ．则A=(x-b)+(10-x)-(x-b-10)=20-x ．∵x 的最大值为10，∴A 的最小值为20-10，即10．选A ．。
七年级数学上册第2章有理数2.4绝对值新版华东师大版
解：(2)A、B 两点间的距离为|a－b|； (3)|3＋6|可表示 3 与－6(或 6 与－3)对应的两点之 间的距离； (4)在数轴上， 当点 P 在－3 与 4 对应的两点之间(包 括－3 与 4 对应的两点)时， |x＋3|＋|x－4|的值最小， 最小值为 7.源自“＝”)．知识点 1.
绝对值的定义
1 － 的相反数是( 3
B )
1 B．－ 3 D．－3
1 A． 3 C．3
2. 在－2，|－2|，－|－2|，－(－2)，－(＋2)， －|＋2|中，负数的个数是( D ) A．1 C．3 B．2 D．4
3. 如图，检测 4 个足球，其中超过标准质量的克 数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重 的角度看，最接近标准的是( C ) A． B. C. D.
2. 已知在数轴上点 A、B 分别表示数 a、b. (1)填写下表： a b A、B 两点间的距离 2 3 －2 3 0 3 －2 －3
1
5
3
1
(2)试用含 a、b 的式子表示 A、B 两点间的距离； (3)你能说明|3＋6|在数轴上表示的意义吗？ (4)若点 P 表示的数为 x，当点 P 在数轴上什么位 置时，|x＋3|＋|x－4|的值最小？最小值是多少？
3. 已知在数轴上，O 为原点，A，B 两点所表示 的数分别为 a，b，利用下列 A，B，O 三点在数轴上的 位置关系，可以判断|a|<|b|的选项是( B )
A
B
C
D
4. 若 a 表示有理数，且|a|＝4，则|a＋4|的值为 ( D ) A．8 C．0 B．－8 D．0 或 8
【解析】|a|＝4，a＝4 或－4，所以|a＋4|＝8 或 0.