第三课时作业：数列的综合(一)
《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学选修1-2课时作业3
课时作业(三)一、选择题1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于( ) A ．47 B ．65 C ．63 D ．128答案 B2．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2009为( ) A ．3 B ．－3 C ．6 D ．－6 答案 D3．已知如图，则第n 个图形中小圆圈的个数为( )A ．2nB ．n 2C ．n 2－n ＋1D ．n 2－n答案 C4．(2010·泰安一中期中)已知22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2.依照以上各式的规律得到( ) A.n n －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2C.nn －4＋n ＋4(n ＋1)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＝n ＋5(n ＋5)－4＝2 答案 A 二、填空题5．(2010·浙江)在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________． 答案 n 2＋n解析 第n 行的第一个数是n ，第n 行的数构成以n 为公差的等差数列，则其第n ＋1项为n ＋n ·n ＝n 2＋n .6．观察下图： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 ……则第________行的各数之和等于20092.解析 规律：第n 行第一个数为n ，且第n 行共有2n －1个连续正整数，故由(2n －1)n ＋(2n －1)(2n －2)2×1＝20092，∴n ＝1005.7．对于正数a1，a2，…，a n，若(a1＋a2)(1a1＋1a2)≥4，(a1＋a2＋a3)(1a1＋1a2＋1a3)≥9，猜想(a1＋a2＋…＋a n)(1a1＋1a2＋…＋1a n)≥________.答案n28．(2009·徐州高二检测)观察下列等式：1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，由此推测第n个等式为________．(不必化简结果)．答案1－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1(1＋2＋3＋…＋n)9．(2009·鞍山高二检测)单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数．则f(4)＝________；f(n)＝________.答案373n2－3n＋110．(2010·福建信息卷)如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签20092的格点的坐标为________．解析 ∵点(1,0)处标1＝12，点(2,1)处标9＝32点(3,2)处标25＝52，点(4,3)处标49＝72，依此类推得(1005,1004)处标20092.答案 (1005,1004)11．(2010·四川眉山)已知数列{a n }的第1项a 1＝1且a n ＋1＝a n1＋a n(n＝1,2，……)，试归纳出这个数列的通项公式．解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13； 当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14.……猜想：a n ＝1n (n ＝1,2，……)三、解答题12．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0，试归纳出这个数列的通项公式．思路分析 数列的通项公式表示的是数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的对应关系．为此，我们先根据已知的递推公式，算出数列的前n 项．解析 当n ＝1时，a 1＝1，当n ＝1时，有2a 22－1＋a 2＝0，解得a 2＝12>0， 当n ＝2时，有3a 23－2·(12)2＋12a 3＝0，即6a 23＋a 3－1＝0.∵a 3>0，解得a 3＝13.于是猜想数列的通项公式为a n ＝1n.13．根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式．(1)a 1＝a ，a n ＋1＝12－a n；(2)对一切的n ∈N *，a n >0，且2S n ＝a n ＋1.分析 写出a 1，a 2，a 3，a 4，观察所得数与项数n 之间的规律． 解析 (1)由已知有a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ，a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a.猜测出a n ＝(n －1)－(n －2)an －(n －1)a .(n ≥2)(2)∵2S n ＝a n ＋1，∴2S 1＝a 1＋1，即2a 1＝a 1＋1，∴a 1＝1. 又2S 2＝a 2＋1，∴2a 1＋a 2＝a 2＋1， ∴a 22－2a 2－3＝0.∵对一切的n ∈N *，a n >0，∴a 2＝3.同理可求得a 3＝5，a 4＝7，猜测出a n ＝2n －1.14．已知正项数列{a n }满足S n ＝12(a n ＋1a n)．求出a 1、a 2、a 3并推测a n .思路分析 先由a 1＝S 1，求出a 1，再由当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1得出a n 和a n －1的递推关系，进而求出a 2、a 3，然后由a 1、a 2、a 3归纳出a n 的表达式．解析 由S 1＝12(a 1＋1a 1)，即a 1＝1a 1，又a 1>0，∴a 1＝1.当n ≥2时，由S n ＝12(a n ＋1a n )，S n －1＝12(a n －1＋1a n －1)．相减，得a n ＝12(a n ＋1a n )－12(a n －1＋1a n －1)，整理，得a n －1a n ＝－(a n －1＋1a n －1)．∴a 2－1a 2＝－2，即a 22＋2a 2＋1＝2，∴a 2＝2－1； 同理得a 3－1a 3＝－22，即a 23＋22a 3＋2＝3， ∴a 3＝3－2， 可推测a n ＝n －n －1.。
(人教版)2020届高考数学一轮复习 第五章 数列 第三节 等比数列及其前n项和课时作业
第三节 等比数列及其前n 项和课时作业1．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63D ．84解析：设数列{a n }的公比为q ，则a 1(1＋q 2＋q 4)＝21，又a 1＝3，所以q 4＋q 2－6＝0，所以q 2＝2(q 2＝－3舍去)，所以a 3＝6，a 5＝12，a 7＝24，所以a 3＋a 5＋a 7＝42.故选B.答案：B2．等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A.13 B ．－13 C.19D ．－19解析：由题知公比q ≠1，则S 3＝a 11－q 31－q＝a 1q ＋10a 1，得q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，则a 1＝19，故选C. 答案：C3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( ) A ．－3 B ．5 C ．－31D ．33解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知得q ≠1. ∵S 3＝2，S 6＝18， ∴1－q 31－q 6＝218，得q 3＝8， ∴q ＝2.∴S 10S 5＝1－q 101－q5＝1＋q 5＝33，故选D.答案：D4．在等比数列{a n }中，a 1＝2，公比q ＝2.若a m ＝a 1a 2a 3a 4(m ∈N *)，则m ＝( ) A ．11 B ．10 C ．9D ．8解析：a m ＝a 1a 2a 3a 4＝a 41qq 2q 3＝24×26＝210＝2m，所以m ＝10，故选B. 答案：B5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x的图象上，等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( ) A ．S n ＝2T nB ．T n ＝2b n ＋1C ．T n ＞a nD ．T n ＜b n ＋1解析：因为点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x的图象上，所以S n ＝3·2n－3，所以a n ＝3·2n－1，所以b n ＋b n ＋1＝3·2n －1，因为数列{b n }为等比数列，设公比为q ，则b 1＋b 1q ＝3，b 2＋b 2q＝6，解得b 1＝1，q ＝2，所以b n ＝2n －1，T n ＝2n－1，所以T n ＜b n ＋1，故选D.答案：D6．(2018·郑州质检)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 25＝2a 3a 6，S 5＝－62，则a 1的值是________．解析：设{a n }的公比为q .由a 25＝2a 3a 6得(a 1q 4)2＝2a 1q 2·a 1q 5，∴q ＝2，∴S 5＝a 11－251－2＝－62，a 1＝－2. 答案：－27．已知等比数列{a n }为递增数列，a 1＝－2，且3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1，则公比q ＝________. 解析：因为等比数列{a n }为递增数列且a 1＝－2<0，所以0<q <1，将3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1两边同除以a n 可得3(1＋q 2)＝10q ，即3q 2－10q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝13，而0<q <1，所以q＝13. 答案：138．若数列{a n ＋1－a n }是等比数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝5，则a n ＝__________. 解析：∵a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，∴q ＝3， ∴a n ＋1－a n ＝3n －1，∴a n －a 1＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋…＋a n －1－a n －2＋a n －a n －1＝1＋3＋…＋3n －2＝1－3n －11－3， ∵a 1＝1，∴a n ＝3n －1＋12. 答案：3n －1＋129．(2018·昆明市检测)数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＋2a n ＝3. (1)证明{a n －1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，设b n ＝a n ·sgn(a n )，求数列{b n }的前100项和．解析：(1)因为a n ＋1＝－2a n ＋3，a 1＝－1， 所以a n ＋1－1＝－2(a n －1)，a 1－1＝－2，所以数列{a n －1}是首项为－2，公比为－2的等比数列．故a n －1＝(－2)n ，即a n ＝(－2)n＋1.(2)b n ＝a n ·sgn(a n )＝⎩⎪⎨⎪⎧2n＋1，n 为偶数，2n－1，n 为奇数，设数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 100＝(2－1)＋(22＋1)＋(23－1)＋…＋(299－1)＋(2100＋1)＝2＋22＋23＋…＋2100＝2101－2.10．(2018·合肥质检)在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n ，n ∈N *.(1)求证：数列{a nn}为等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解析：(1)证明：由a n ＋1＝n ＋12n a n 知a n ＋1n ＋1＝12·a nn， ∴{a n n }是以12为首项、12为公比的等比数列．(2)由(1)知{a n n }是首项为12，公比为12的等比数列，∴a n n ＝(12)n ，∴a n ＝n2n ， ∴S n ＝121＋222＋…＋n2n ，①则12S n ＝122＋223＋…＋n2n ＋1，② ①－②得：12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，∴S n ＝2－n ＋22n.B 组——能力提升练1．(2018·长春调研)等比数列{a n }中，a 3＝9，前三项和S 3＝27，则公比q 的值为( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝9，∴S 3＝3×9＝27. 当q ≠1时，S 3＝a 1－a 3q1－q，∴27＝a 1－9q1－q∴a 1＝27－18q ， ∴a 3＝a 1q 2，∴(27－18q )·q 2＝9， ∴(q －1)2(2q ＋1)＝0， ∴q ＝－12.综上q ＝1或q ＝－12.选C.答案：C2．数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( )A ．1B ．－1 C.12D ．2解析：由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.答案：D3．(2018·彬州市模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －a ，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝( ) A ．(2n －1)2B ．13(2n－1) C ．4n－1D ．13(4n－1) 解析：∵S n ＝2n－a ，∴a 1＝2－a ，a 1＋a 2＝4－a ，a 1＋a 2＋a 3＝8－a ， 解得a 1＝2－a ，a 2＝2，a 3＝4，∵数列{a n }是等比数列，∴22＝4(2－a )，解得a ＝1. ∴公比q ＝2，a n ＝2n －1，a 2n ＝22n －2＝4n －1.则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4n－14－1＝13(4n－1)．答案：D4．设数列{a n }是公比为q (|q |＞1)的等比数列，令b n ＝a n ＋1(n ∈N *)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23，19,37,82}中，则q ＝( ) A.32B ．－43C ．－32D ．－52解析：数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，且b n ＝a n ＋1(n ∈N *)，∴a n ＝b n －1，则{a n }有连续四项在{－54，－24,18,36,81}中， ∵数列{a n }是公比为q (|q |＞1)的等比数列， 等比数列中有负数项，则q ＜0，且负数项为相隔两项∵|q |＞1，∴等比数列各项的绝对值递增，按绝对值的顺序排列上述数值18，－24,36，－54,81，相邻两项相除－2418＝－43，－3624＝－32，－5436＝－32，81－54＝－32，∵|q |＞1，∴－24,36，－54,81是{a n }中连续的四项，此时q ＝－32.答案：C5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.解析：由S 3＋3S 2＝0，得a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0，即4a 1＋4a 2＋a 3＝0，即4a 1＋4a 1q ＋a 1q 2＝0，即q 2＋4q ＋4＝0，所以q ＝－2. 答案：－26．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32a n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 3a n 2＋1，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n.解析：(1)当n ＝1时，a 1＝32a 1－1，∴a 1＝2，当n ≥2时，∵S n ＝32a n －1，①∴S n －1＝32a n －1－1(n ≥2)，②①－②得a n ＝(32a n －1)－(32a n －1－1)，即a n ＝3a n －1，∴数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＝2×3n －1.(2)由(1)得b n ＝2log 3a n2＋1＝2n －1，∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n＝11×3＋13×5＋…＋12n －32n －1＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －3－12n －1)＝n －12n －1. 7．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋12na n (n ∈N *)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n4n －a n，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n <2. 证明：(1)由题设得a n ＋1n ＋1＝12·a n n ，又a 11＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为2，公比为12的等比数列，所以a n n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝22－n ，a n ＝n ·22－n＝4n 2n .(2)b n ＝a n4n －a n＝4n 2n 4n －4n 2n＝12n－1，因为对任意n ∈N *,2n－1≥2n －1，所以b n ≤12n －1.所以T n ≤1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n <2.。
高考解答题专项突破(三) 数列的综合问题--2025年高考数学复习讲义及练习解析
[考情分析]预计2025年高考会从以下两个角度对数列的综合问题进行考查：(1)考查等差、等比数列的基本运算和数列求和的问题，可能与函数、方程、不等式等知识综合起来进行考查；(2)以新定义为载体，考查对新数列性质的理解及应用，以创新型题目的形式出现．考点一等差、等比数列的综合问题例1(2024·山东滨州模拟)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝2，b 2＝4，a n ＝2log 2b n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列{a n }中不在数列{b n }中的项按从小到大的顺序构成数列{c n }，记数列{c n }的前n 项和为S n ，求S 100.解(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为b 2＝4，所以a 2＝2log 2b 2＝4，所以d ＝a 2－a 1＝2，所以a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .又a n ＝2log 2b n ，即2n ＝2log 2b n ，所以n ＝log 2b n ，所以b n ＝2n .(2)由(1)得b n ＝2n ＝2·2n －1＝a 2n －1，即b n 是数列{a n }中的第2n －1项．设数列{a n }的前n 项和为P n ，数列{b n }的前n 项和为Q n ，因为b 7＝a 26＝a 64，b 8＝a 27＝a 128，所以数列{c n }的前100项是由数列{a n }的前107项去掉数列{b n }的前7项后构成的，所以S 100＝P 107－Q 7＝107×（2＋214）2－2－281－2＝11302.对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系．利用方程思想和通项公式、前n 项和公式求解，求解时注意对性质的灵活运用.1.(2022·浙江高考)已知等差数列{a n }的首项a 1＝－1，公差d >1.记{a n }的前n项和为S n (n ∈N *)．(1)若S 4－2a 2a 3＋6＝0，求S n ；(2)若对于每个n ∈N *，存在实数c n ，使a n ＋c n ，a n ＋1＋4c n ，a n ＋2＋15c n 成等比数列，求d 的取值范围．解(1)因为S 4－2a 2a 3＋6＝0，a 1＝－1，所以－4＋6d －2(－1＋d )(－1＋2d )＋6＝0，所以d 2－3d ＝0，又d >1，所以d ＝3，所以a n ＝3n －4，所以S n ＝n （a 1＋a n ）2＝3n 2－5n2.(2)因为a n ＋c n ，a n ＋1＋4c n ，a n ＋2＋15c n 成等比数列，所以(a n ＋1＋4c n )2＝(a n ＋c n )(a n ＋2＋15c n )，(nd －1＋4c n )2＝(－1＋nd －d ＋c n )(－1＋nd ＋d ＋15c n )，c 2n ＋(14d －8nd ＋8)c n ＋d 2＝0，由已知可得方程c 2n ＋(14d －8nd ＋8)c n ＋d 2＝0的判别式大于等于0，所以Δ＝(14d －8nd ＋8)2－4d 2≥0，所以(16d －8nd ＋8)(12d －8nd ＋8)≥0对于任意的n ∈N *恒成立，所以[(n －2)d －1][(2n －3)d －2]≥0对于任意的n ∈N *恒成立，当n ＝1时，[(n －2)d －1][(2n －3)d －2]＝(d ＋1)(d ＋2)≥0，当n ＝2时，由(2d －2d －1)(4d －3d －2)≥0，可得d ≤2，当n ≥3时，[(n －2)d －1][(2n －3)d －2]>(n －3)(2n －5)≥0，又d >1，所以1<d ≤2，即d 的取值范围为(1，2]．考点二通项与求和问题例2(2023·黑龙江哈九中模拟)在①S 3＝2a 3－15；②a 2＋6是a 1，a 3的等差中项；③2S n ＝t n ＋1－3(t ≠0)这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，并解答．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，且满足________．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a n ＝b n －1b n ，求数列2n n 项和T n .注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解(1)设正项等比数列{a n }的公比为q (q >0)，若选①：由S 3＝2a 3－15，得a 1＋a 2＋a 3＝2a 3－15，所以a 3－a 2－a 1＝15，又由a 1＝3，可得3q 2－3q －18＝0，解得q ＝3或q ＝－2(舍去)，所以a n ＝3×3n －1＝3n (n ∈N *)．若选②：由a 2＋6是a 1，a 3的等差中项，可得a 1＋a 3＝2(a 2＋6)，又因为a 1＝3，可得3＋3q 2＝2(3q ＋6)，即q 2－2q －3＝0，解得q ＝3或q ＝－1(舍去)，所以a n ＝3×3n －1＝3n (n ∈N *)．若选③：由2S n ＝t n ＋1－3(t ≠0)，当n ＝1时，2a 1＝6＝2S 1＝t 2－3，解得t ＝3或t ＝－3(舍去)，所以2S n ＝3n ＋1－3，当n ≥2时，2a n ＝2S n －2S n －1＝3n ＋1－3－(3n －3)＝2·3n ，所以a n ＝3n (n ≥2)．经验证当n ＝1时，满足a n ＝3n ，所以a n ＝3n (n ∈N *)．(2)由(1)知a n ＝3n ，所以b n －1b n ＝3n ，n ＝9n ，所以b 2n ＋1b 2n＝9n＋2，所以T n 2122 (2)n (91＋2)＋(92＋2)＋…＋(9n ＋2)＝91＋92＋…＋9n＋2n ＝9（1－9n ）1－9＋2n ＝9n ＋1＋16n －98.解决非等差、等比数列求和问题的两种思路思路一转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成思路二不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和2.(2024·广东深圳中学月考)若一个数列的奇数项为公差为正的等差数列，偶数项为公比为正的等比数列，且公差、公比相同，则称数列为“摇摆数列”，其表达式为a n ＝1＋n －12d ，n ＝2k ＋1，k ∈N ，2qn －22，n ＝2k ，k ∈N *，若数列{a n }(n ∈N *)为“摇摆数列”且a 1＝1，a 1＋a 2＝a 3，a 2a 3＝20.(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝na n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ∑ni ＝1i 2解(1)＋a 2＝a 3，2a 3＝202＝4，3＝52＝－5，3＝－4(舍去)，∴d ＝q ＝4，∴a n n －1，n ＝2k ＋1，k ∈N ，n ，n ＝2k ，k ∈N *.(2)b n ＝na n n 2－n ，n ＝2k ＋1，k ∈N ，·2n ，n ＝2k ，k ∈N *.先求奇数项的和：b n ＝2n 2－n ，n ＝2k ＋1，k ∈N ，S n ＝2×[12＋32＋…＋(2n －1)2]－n 2，引入W n ＝22＋42＋…＋(2n )2＝4(12＋22＋…＋n 2)，12(S n ＋n 2)＋W n ＝∑2ni ＝1i 2＝n （2n ＋1）（4n ＋1）3⇒S n＝2(∑2ni ＝1i 2－W n )－n 2＝2n （2n ＋1）（4n ＋1）3－4×n （n ＋1）（2n ＋1）6－n 2＝8n 3－3n 2－2n 3，再求偶数项的和：b n ＝n ·2n ，n ＝2k ，k ∈N *，S n ′＝2×22＋4×24＋…＋2n ×22n ，4S n ′＝2×24＋4×26＋…＋2(n －1)×22n ＋2n ×22n ＋2，两式相减，得－3S n ′＝2×22＋2×24＋2×26＋…＋2×22n －2n ×22n＋2＝8×（1－4n ）1－4－2n ×22n ＋2＝（1－3n ）×22n ＋3－83，∴S n ′＝（3n －1）22n ＋3＋89，∴T 2n ＝S n ＋S n ′＝8n 3－3n 2－2n3＋（3n －1）22n ＋3＋89.考点三数列与不等式的综合问题例3(2023·安徽十校联考)已知数列{a n }满足a 1＋a 2＋…＋a n －1－a n ＝－2(n ≥2且n ∈N *)，a 2＝4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)n 项和为T n ，求证：23≤T n <1.解(1)因为a 1＋a 2＋…＋a n －1－a n ＝－2，所以a 1＋a 2＋…＋a n －a n ＋1＝－2，两式相减得a n ＋1＝2a n (n ≥2)，当n ＝2时，a 1－a 2＝－2，又a 2＝4，所以a 1＝2，a 2＝2a 1，所以a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，所以{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n (n ∈N *)．(2)证明：因为2n（a n －1）（a n ＋1－1）＝2n （2n －1）（2n ＋1－1）＝12n －1－12n ＋1－1，所以T n …1－12n ＋1－1<1，由n ≥1，得2n ＋1≥4，所以1－12n ＋1－1≥23，综上，2≤T n <1.1．数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．2．放缩法常见的放缩技巧(1)1k 2＜1k 2－1＝121k －1－1k ＋1.(2)1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k.(3)2(n ＋1－n )＜1n＜2(n －n －1)．(4)12n ＋1＜12n ＋1＜12n ，13n ＜13n －1≤12·3n －1.3.(2023·河南五市高三二模)已知数列{a n }满足a 1＝23，且2a n ＋1－a n ＋1a n ＝1，n∈N *.(1){a n }的通项公式；(2)记T n ＝a 1a 2a 3…a n ，n ∈N *，S n ＝T 21＋T 22＋…＋T 2n .证明：S n 解(1)由2a n ＋1－a n ＋1a n ＝1，得a n ＋1＝12－a n ，则11－a n ＋1－11－a n＝1，是首项为11－a 1＝3，公差d ＝1的等差数列，所以11－a n ＝3＋(n －1)＝n ＋2，整理得a n ＝n ＋1n ＋2(n ∈N *)，经检验，符合要求．(2)证明：由(1)得a n ＝n ＋1n ＋2(n ∈N *)，T n ＝a 1a 2…a n ＝2n ＋2，∴T 2n ＝4（n ＋2）2>4（n ＋2）（n ＋3）＝∴S n ＝T 21＋T 22＋…＋T 2n －14＋…＋1n ＋2－即S n 考点四数列与函数的综合问题例4(2024·江苏辅仁中学阶段考试)设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x的图象上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列前n 项和T n .解(1)由已知，得b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x 的图象在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.则a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2，所以d ＝a 2－a 1＝1，从而a n ＝n ，b n ＝2n .所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n 2n －1.因此2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n.所以T n ＝2n ＋1－n －22n.数列与函数综合问题的常见类型及注意事项常见类型类型一已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题类型二已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形注意事项注意点一数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或有限子集)，它的图象是一群孤立的点注意点二转化为以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的问题注意点三利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化4.(2024·湖南湘潭一中阶段考试)设函数f (x )＝x2＋sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }．(1)求数列{x n }的通项公式；(2)设{x n }的前n 项和为S n ，求sin S n .解(1)令f ′(x )＝12＋cos x ＝0，所以cos x ＝－12，解得x ＝2k π±2π3(k ∈Z )．由x n 是f (x )的第n 个正极小值点知，x n ＝2n π－2π3(n ∈N *)．(2)由(1)可知，S n ＝2π(1＋2＋…＋n )－2n π3＝n (n ＋1)π－2n π3，所以sin S n ＝sinn （n ＋1）π－2n π3.因为n (n ＋1)表示两个连续正整数的乘积，所以n (n ＋1)一定为偶数，所以sin S n ＝－sin2n π3.当n ＝3m －2(m ∈N *)时，sinS n ＝－m π＝－32；当n ＝3m －1(m ∈N *)时，sin S n ＝－m π＝32；当n ＝3m (m ∈N *)时，sin S n ＝－sin2m π＝0.综上所述，sin S nn ＝3m －2（m ∈N *），＝3m －1（m ∈N *），3m （m∈N *）.课时作业1．(2023·新课标Ⅱ卷){a n }为等差数列，b n n －6，n 为奇数，a n ，n 为偶数，记S n ，T n 分别为数列{a n }，{b n }的前n 项和，S 4＝32，T 3＝16.(1)求{a n }的通项公式；(2)证明：当n >5时，T n >S n .解(1)设等差数列{a n }的公差为d ，而b n n －6，n 为奇数，a n ，n 为偶数，则b 1＝a 1－6，b 2＝2a 2＝2a 1＋2d ，b 3＝a 3－6＝a 1＋2d －6，4＝4a 1＋6d ＝32，3＝4a 1＋4d －12＝16，1＝5，＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋3，所以{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋3.(2)证法一：由(1)知，S n ＝n （5＋2n ＋3）2＝n 2＋4n ，b n n －3，n 为奇数，n ＋6，n 为偶数，当n 为偶数时，b n －1＋b n ＝2(n －1)－3＋4n ＋6＝6n ＋1，T n ＝13＋（6n ＋1）2·n 2＝32n 2＋72n ，当n >5时，T n －S n 2＋72n (n 2＋4n )＝12n (n －1)>0，因此T n >S n ；当n 为奇数时，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝32(n ＋1)2＋72(n ＋1)－[4(n ＋1)＋6]＝32n 2＋52n －5，当n >5时，T n －S n 2＋52n －(n 2＋4n )＝12(n ＋2)(n －5)>0，因此T n >S n .所以当n >5时，T n >S n .证法二：由(1)知，S n ＝n （5＋2n ＋3）2＝n 2＋4n ，b n n －3，n 为奇数，n ＋6，n 为偶数，当n 为偶数时，T n ＝(b 1＋b 3＋…＋b n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b n )＝－1＋2（n －1）－32·n 2＋14＋4n ＋62·n 2＝32n 2＋72n ，当n >5时，T n －S n 2＋72n (n 2＋4n )＝12n (n －1)>0，因此T n >S n ；当n 为奇数时，若n ≥3，则T n ＝(b 1＋b 3＋…＋b n )＋(b 2＋b 4＋…＋b n －1)＝－1＋2n －32·n ＋12＋14＋4（n －1）＋62·n －12＝32n2＋52n －5，显然T 1＝b 1＝－1满足上式，因此当n 为奇数时，T n ＝32n 2＋52n －5，当n >5时，T n －S n 2＋52n －(n 2＋4n )＝12(n ＋2)(n －5)>0，因此T n >S n .所以当n >5时，T n >S n .2．(2023·江苏徐州第七中学校考一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝12·3n ＋b (b 为常数)．(1)求b 的值和数列{a n }的通项公式；(2)记c m 为{a n }在区间[－3m ，3m ](m ∈N *)内的项的个数，求数列{a m c m }的前n 项和T n .解(1)由题设S n ＝12·3n ＋b ，显然等比数列{a n }的公比不为1，设{a n }的公比为q ，则S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝a 11－q －a 1q n1－q ，∴b ＝a 11－q ＝－12且q ＝3，∴a 1＝1，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.(2)令－3m ≤3n －1≤3m ，n ∈N *，解得0≤n －1≤m ，∴1≤n ≤m ＋1，数列{a n }在区间[－3m ，3m ](m ∈N *)内的项的个数为m ＋1，则c m ＝m ＋1，∴a m c m ＝(m ＋1)×3m －1，∵T n ＝2×30＋3×31＋…＋(n ＋1)×3n －1，①3T n ＝2×31＋3×32＋…＋(n ＋1)×3n ，②两式相减，得－2T n ＝2×30＋31＋…＋3n－1－(n ＋1)×3n＝1＋1－3n1－3－(n ＋1)·3n ＝（－1－2n ）·3n ＋12，∴T n n －14.3．(2024·河南郑州外国语学校阶段考试)已知f (x )＝－4＋1x2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点P n n ∈N *)在曲线y ＝f (x )上，且a 1＝1，a n ＞0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足T n ＋1a 2n ＝T na 2n ＋1＋16n 2－8n －3，确定b 1的值使得数列{b n }是等差数列．解(1)因为f (x )＝－4＋1x2，且点P n ，n ∈N *)在曲线y ＝f (x )上，所以1a n ＋1＝4＋1a 2n ，即1a 2n ＋1－1a 2n＝4，1为首项，4为公差的等差数列，所以1a 2n＝1＋4(n －1)＝4n －3，即a n ＝14n －3(n ∈N *)．(2)由(1)知T n ＋1a 2n ＝T n a 2n ＋1＋16n 2－8n －3，即为(4n －3)T n ＋1＝(4n ＋1)T n ＋(4n －3)(4n ＋1)，整理得T n ＋14n ＋1－T n 4n －3＝1，T 1为首项，1为公差的等差数列，则T n 4n －3＝T 1＋n －1，即T n ＝(4n －3)(T 1＋n －1)，当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝4b 1＋8n －11，若{b n }是等差数列，则b 1适合上式，令n ＝1，得b 1＝4b 1－3，解得b 1＝1.4．(2023·黑龙江齐齐哈尔模拟)在①S n ＝32a n －3，其中S n 为数列{a n }的前n 项和；②a 1＝1，a n －a n ＋1＝a n a n ＋1这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：已知数列{a n }满足________．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得a m ＋a m ＋1为数列{a n }中的项？若存在，求出m ；若不存在，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解若选择条件①：(1)令n ＝1，则a 1＝321－3，所以a 1＝6，由于S n ＝32a n －3，则当n ≥2时，S n －1＝32a n －1－3，两式相减，得a n ＝32a n －32a n －1，则a n a n －1＝3，所以{a n }是首项为6，公比为3的等比数列，则数列{a n }的通项公式为a n ＝6×3n －1＝2×3n .(2)假设存在正整数m ，使得a m ＋a m ＋1＝a k (k ∈N *)，则2×3m ＋2×3m ＋1＝2×3k ，所以4×3m ＝3k ，此等式左边为偶数，右边为奇数，所以不存在正整数m 满足题意．若选择条件②：(1)因为a 1＝1，a n －a n ＋1＝a n a n ＋1，所以a n ≠0，1a n ＋1－1a n＝1，是首项为1a 1＝1，公差为1的等差数列，所以1a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝1n.(2)假设存在正整数m ，使得a m ＋a m ＋1＝a k (k ∈N *)，则1m ＋1m ＋1＝1k，化简得m 2＋(1－2k )m －k ＝0，解得m ＝2k －1＋1＋4k 22，因为2k <1＋4k 2<2k ＋1，所以2k －12<m <2k ，m 无正整数解，故不存在正整数m 满足题意．5．已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6.(1)求数列{a n }的通项公式与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n ＜T m ＋λ成立，求实数λ的取值范围．解(1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6，得a 7＝－2，∴a 1＝4，∴a n ＝5－n ，S n ＝n （9－n ）2.(2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1，设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 2b 1＝12，∴T m 1－1281m ，的值随m 增加而减小，∴{T m }为递增数列，得4≤T m ＜8.又S n ＝n （9－n ）2＝－12(n 2－9n )－814，故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n ＜T m ＋λ，则10＜8＋λ，解得λ＞2.故实数λ的取值范围为(2，＋∞)．6．(2024·河北衡水调研)已知数列{a n }满足a 1＝37，3a n ，2a n ＋1，a n a n ＋1成等差数列．(1){a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，求证：1271S n <7528.解(1)由已知得4a n ＋1＝3a n ＋a n a n ＋1，因为a 1＝37≠0，所以由递推关系可得a n ≠0恒成立，所以4a n ＝3a n ＋1＋1，所以4a n －4＝3an ＋1－3，即1a n ＋1－1又因为1a 1－1＝73－1＝43，是首项为43，公比为43的等比数列，所以1a n －1，所以a n ＝11.(2)证明：由(1)可得a n ＝111－1＝37×－1，所以S n ≥37＋37×＋…＋37×－1＝1271a n ＝11<1，S 1＝37<7528，当n ≥2时，S n <37＋＋ (37)1－34＝7528－<7528.综上所述，1271S n <7528成立．。
课时作业32：2.5 第1课时 等比数列前n项和公式
§2.5 等比数列的前n 项和 第1课时 等比数列前n 项和公式1．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝1，则S 100等于( ) A ．4－2100 B ．4＋2100 C ．4－2－98D ．4－2－100答案 C 解析 q ＝a 2a 1＝12.S 100＝a 1(1－q 100)1－q＝2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫121001－12＝4(1－2－100)＝4－2－98.2．已知在等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( ) A ．3n －1 B ．3()3n －1 C.9n －14D.3()9n －14答案 D解析 ∵a n ＝2×3n －1，则数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项，以9为公比的等比数列，则前n 项和为S n ＝6()1－9n 1－9＝3()9n －14.3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11 答案 D解析 由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∵a 1≠0，q ≠0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.4．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A ．300米 B ．299米 C ．199米 D ．166米答案 A解析 小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝⎛⎭⎫128＝2993964≈300(米)． 5．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( ) A ．－2 B ．－1 C.12 D.23答案 B解析 由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2＝3q 2－3，解得q ＝－1(舍去)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2中得a 1＋32a 1＝3×32a 1＋2，解得a 1＝－1.6．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________. 答案1213解析 设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5，所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝13×(1－35)1－3＝1213.7．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S n ＝93，a n ＝48，公比q ＝2，则项数n ＝________，a 1＝________. 答案 5 3解析 由S n ＝93，a n ＝48，公比q ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(2n －1)＝93，a 1·2n －1＝48，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，n ＝5. 8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，则数列的公比q ＝________.答案 －342解析 当q ＝1时，S n ＝na 1，S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1＝S 9≠2S 9；当q ≠1时，a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2×a 1(1－q 9)1－q ，得2－q 3－q 6＝2－2q 9， ∴2q 9－q 6－q 3＝0，解得q 3＝－12或q 3＝1(舍去)或q 3＝0(舍去)，∴q ＝3－12＝－342. 9．在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和．解 设数列{a n }的公比为q (q ≠0)．由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1(q －1)＝2， ①q 2－4q ＋3＝0， ②解②得q ＝3或q ＝1. 由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不符合题意，应舍去． 故公比q ＝3，首项a 1＝1.所以数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝1×(1－3n )1－3＝3n －12(n ∈N *)．10．设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，∴a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13(n ≥2)，两式相减得3n －1a n ＝n 3－n －13＝13(n ≥2)，∴a n ＝13n (n ≥2)．验证当n ＝1时，a 1＝13也满足上式，故a n ＝13n (n ∈N *)．(2)∵b n ＝na n＝n ·3n ，∴S n ＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ，①①×3，得3S n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n ·3n ＋1，② 由①－②，得－2S n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ·3n ＋1， 即－2S n ＝3－3n ＋11－3－n ·3n ＋1，∴S n ＝2n －14·3n ＋1＋34(n ∈N *)．11．在等比数列{a n }中，a 1＝4，q ＝5，则使S n >107的最小正整数n 的值是( ) A ．11 B ．10 C ．12 D ．9答案 A解析 由题意可知在等比数列{a n }中，a 1＝4，q ＝5， ∴S n ＝4·(1－5n )1－5＝5n－1.∵S n >107，∴5n －1>107，∴n >10.01，∵n 为正整数，∴n ≥11，故n 的最小值为11.12．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4－a 1＝78，S 3＝39.设b n ＝log 3a n ，那么数列{b n }的前10项和为( ) A ．log 371 B.692 C ．50 D ．55答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 4－a 1＝78，S 3＝39，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3－a 1＝78，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝39，两式作比得q －1＝2，即q ＝3，∴a 1(33－1)＝78，则a 1＝3，∴a n ＝a 1q n －1＝3·3n －1＝3n ，∴b n ＝log 3a n ＝log 33n ＝n ，则数列{b n }的前10项和为1＋2＋3＋…＋10＝(1＋10)×102＝55.13．已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 答案 3n －1，n ∈N *解析 ∵a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0. ∵a n >0，∴a n ＋1＝3a n . 又a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公比为3的等比数列， ∴S n ＝2(1－3n )1－3＝3n－1，n ∈N *.14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1,2S n ＝a n ＋1－1，则S n ＝________. 答案 3n －12解析 当n ＝1时，则有2S 1＝a 2－1， ∴a 2＝2S 1＋1＝2a 1＋1＝3；当n ≥2时，由2S n ＝a n ＋1－1得出2S n －1＝a n －1，上述两式相减得2a n ＝a n ＋1－a n ，∴a n ＋1＝3a n ，得a n ＋1a n ＝3且a 2a 1＝3，所以数列{a n }是以1为首项，以3为公比的等比数列，则a n ＝1×3n －1＝3n －1，a n ＋1＝3n ， 那么2S n ＝a n ＋1－1＝3n－1，因此，S n ＝3n －12.15．在等比数列{a n }中，对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．(2n－1)2B.(2n －1)23 C ．4n－1 D.4n －13答案 D解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，∴a 1＝21－1＝1. ∵a 1＋a 2＝1＋a 2＝22－1＝3，∴a 2＝2，∴{a n }的公比为2.∴{a 2n }的公比为4，首项为a 21＝1. ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝a 21(1－4n )1－4＝4n－13.16．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n ，n ∈N *.(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，①S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n －12n －1＋a n 2n .② 所以，当n >1时，①－②得 S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－⎝⎛⎭⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n＝1－⎝⎛⎭⎫1－12n －1－2－n 2n ＝n 2n .所以S n ＝n2n －1，当n ＝1时也成立．综上所述，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1，n ∈N *.。
2013届高三人教B版文科数学一轮复习课时作业(33)数列的综合应用A
课时作业(三十三)A [第33讲 数列的综合应用][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＝( ) A.32 B.94 C.259 D.2516 2．[2011·东北三校一模] ( )A ．求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 的前10项和 B ．求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n 的前10项和C ．求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 的前11项和D ．求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n 的前11项和3．一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知信息的另外两个人，如此继续下去，要传遍100万人口的城市，所需的时间大约为( )A ．三个月B ．一个月C ．10天D ．20小时4．已知数列{a n }的首项a 1＝1，且点A n (a n ，a n ＋1)在函数y ＝xx ＋1的图象上．则该数列{a n }的通项公式是a n ＝________.能力提升 5．[2011·济南二模] 数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n 2－17n ，则当S n 取得最小值时n 的值为( ) A ．4或5 B ．5或6 C ．4 D ．5 6．[2011·天津卷] 已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110 7．[2011·衡水模拟] 设等比数列的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ，S n ＋1，S n ＋2成等差数列，则公比q ( )A ．等于－2B ．等于1C ．等于1或－2D ．不存在8．[2011·合肥一中月考] 各项均为正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3a 4＋a 2a 6a 2a 6＋a 4a 5＝( )A.5＋12B.5－12C.3－52D.2＋529．[2011·陕西卷] 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( )A ．①和⑳B ．⑨和⑩C ．⑨和⑪D ．⑩和⑪ 10．数列{a n }中，a 1＝2，点(log 3a n ，a n ＋1)在函数y ＝2×3x 的图象上，则{a n }的通项公式为a n ＝________.11．[2011·虹口区质检] 数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n －3，则通项公式a n ＝________.12．[2011·广东六校联考] 已知数列{a n }满足a 1＝23，且对任意的正整数m 、n 都有a m ＋n ＝a m ·a n .若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝________.13．[2011·菏泽二模] 已知a n ＝2n －1(n ∈N ＋)，把数列{a n }的各项排成如图K33－2所示的三角数阵．记S (m ，n )表示该数阵中第m 行中从左到右的第n 个数，则S (10,6)对应数阵中的数是________．1 3 5 7 9 11 13 15 17 19… 图K33－214．(10分)[2012·惠州模拟] 当p 1，p 2，…，p n 均为正数时，称np 1＋p 2＋…＋p n为p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”．已知数列{a n }的各项均为正数，且其前n 项的“均倒数”为12n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n2n ＋1(n ∈N *)，试比较c n ＋1与c n 的大小．15．(13分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)设：2b n ＝1a n＋1，求数列{b n b n ＋1}的前n 项和T n .难点突破16．(12分)设数列{b n }满足：b 1＝12，b n ＋1＝b 2n ＋b n . (1)求证：1b n ＋1＝1b n －1b n ＋1；(2)若T n ＝1b 1＋1＋1b 2＋1＋…＋1b n ＋1，对任意的正整数n,3T n －log 2m －5>0恒成立．求m 的取值范围．课时作业(三十三)A【基础热身】1．B [解析] a 2＝22a 1＝4，a 3＝32a 1a 2＝94.故选B.2．B [解析] 可知S ＝12＋14＋…＋120，所以其描述的是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n 的前10项和．3．D [解析] 每小时传递人数构成数列2,4,8，…，所以n 小时共传递人数S n ＝1－2n 1－2＝2n－1≈106，所以n ≈20小时．4.1n [解析] 因为a n ＋1＝a n a n ＋1且a 1＝1，所以1a n ＋1＝1＋1a n ，所以1a n ＋1－1a n＝1. 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，1为公差的等差数列.1a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝1n .【能力提升】5．C [解析] 二次函数f (x )＝2x 2－17x 的对称轴为直线x ＝174，因为n ∈N ＋，所以当n ＝4时，S n ＝2n 2－17n 有最小值．故选C.6．D [解析] 由a 27＝a 3·a 9，d ＝－2，得(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)，解之得a 1＝20，∴S 10＝10×20＋10×92(－2)＝110. 7．B [解析] 依题意有2S n ＋1＝S n ＋S n ＋2，当q ≠1时，有2a 1(1－q n ＋1)＝a 1(1－q n )＋a 1(1－q n ＋2)，解得q ＝1，但q ≠1，所以方程无解；当q ＝1时，满足条件．故选B.8．B [解析] 依题意，有a 3＝a 1＋a 2，设公比为q ，则有q 2－q －1＝0，所以q ＝1＋52(舍去负值).a 3a 4＋a 2a 6a 2a 6＋a 4a 5＝a 2a 4(q ＋q 2)a 2a 4(q 2＋q 3)＝1q ＝21＋5＝5－12.故选B. 9．D [解析] 从实际问题中考虑将树苗放在最中间的坑旁边，则每个人所走的路程和最小，一共20个坑，为偶数，在中间的有两个坑为10和11号坑，故答案选D.10．2n [解析] 由已知得a n ＋1＝2×3log 3a n ＝2a n ，显然{a n }的各项不为零，所以a n ＋1a n＝2，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，a n ＝2×2n －1＝2n .11.⎩⎪⎨⎪⎧－1(n ＝1)，2n (n ≥2)[解析] n ＝1时，a n ＝－1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ， 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1(n ＝1)，2n (n ≥2).12．2－2n ＋13n [解析] 令m ＝1，得a n ＋1＝a 1·a n ，即a n ＋1a n ＝a 1＝23，可知数列{a n }是首项为a 1＝23，公比为q ＝23的等比数列，于是S n ＝a 1(1－q n)1－q＝23×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n 1－23， ＝2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n ＝2－2n ＋13n .13．101 [解析] 观察知每一行的第1个数构成数列：1,3,7,13,21，…，相邻两项构成递推关系：a n ＋1＝a n ＋2n ，所以a 10＝a 9＋18＝a 8＋16＋18＝a 7＋14＋34＝a 6＋12＋48＝a 5＋10＋60＝a 4＋8＋70＝13＋78＝91，即第10行的第1个数为91，所以第10行第6个数为101. 14．[解答] (1)由已知有a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ＝n (2n ＋1)， 则a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)(2n －1)， 两式相减，得a n ＝4n －1(n ≥2)．又1a 1＝12×1＋1，解得a 1＝3＝4×1－1， ∴a n ＝4n －1(n ∈N *)．(2)∵c n ＝a n 2n ＋1＝4n －12n ＋1＝2－32n ＋1，c n ＋1＝a n ＋12n ＋3＝2－32n ＋3，∴c n ＋1－c n ＝32n ＋1－32n ＋3＞0，即c n ＋1＞c n .15．[解答] (1)由a n ＋1＝a n 2a n ＋1得1a n ＋1－1a n＝2且1a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，以2为公差的等差数列，所以1a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，得a n ＝12n －1.(2)由2b n ＝1a n ＋1得2b n ＝2n －1＋1＝2n ，∴b n ＝1n，从而b n b n ＋1＝1n (n ＋1)，则T n ＝b 1b 2＋b 2b 3＋…＋b n b n ＋1＝11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫11－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝nn ＋1.【难点突破】16．[解答] (1)因为b 1＝12，b n ＋1＝b 2n ＋b n ＝b n (b n ＋1)，所以对任意的n ∈N *，b n >0. 所以1b n ＋1＝1b n (b n ＋1)＝1b n －1b n ＋1，即1b n ＋1＝1b n －1b n ＋1. (2)T n ＝⎝⎛⎭⎫1b 1－1b 2＋⎝⎛⎭⎫1b 2－1b 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1b n －1b n ＋1＝1b 1－1b n ＋1＝2－1b n ＋1. 因为b n ＋1－b n ＝b 2n >0， ∴b n ＋1>b n ，所以数列{b n }是单调递增数列． 所以数列{T n }关于n 递增． 所以T n ≥T 1.因为b 1＝12，所以b 2＝b 1(b 1＋1)＝34，所以T 1＝2－1b 2＝23，所以T n ≥23.因为3T n －log 2m －5>0恒成立， 所以log 2m <3T n －5恒成立， 所以log 2m <－3，所以0<m <18.。
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案一、教学目标：1. 让学生掌握数列的基本概念和性质，包括等差数列、等比数列等。
2. 培养学生运用数列知识解决实际问题的能力，提高学生的数学应用意识。
3. 通过对数列的综合应用举例，使学生理解数列在数学和自然科学领域中的重要性。
二、教学内容：1. 等差数列的应用举例：例如计算工资、利息等问题。
2. 等比数列的应用举例：例如计算复利、人口增长等问题。
3. 数列的求和公式及应用：例如求等差数列、等比数列的前n项和等问题。
4. 数列的通项公式的应用：例如求等差数列、等比数列的第n项等问题。
5. 数列在函数中的应用：例如数列与函数的关系、数列的函数性质等问题。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：数列的基本概念、性质和求和公式。
2. 教学难点：数列的通项公式的理解和应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过解决实际问题来学习数列知识。
2. 利用多媒体课件，直观展示数列的应用实例，提高学生的学习兴趣。
3. 组织小组讨论，培养学生的合作能力和思维能力。
五、教学安排：1. 第一课时：等差数列的应用举例。
2. 第二课时：等比数列的应用举例。
3. 第三课时：数列的求和公式及应用。
4. 第四课时：数列的通项公式的应用。
5. 第五课时：数列在函数中的应用。
6. 剩余课时：进行课堂练习和课后作业的辅导。
六、教学目标：1. 深化学生对数列求和公式的理解，能够熟练运用求和公式解决复杂数列问题。
2. 培养学生运用数列知识进行数据分析的能力，提高学生的数学素养。
3. 通过对数列图像的观察，使学生理解数列与函数之间的关系。
七、教学内容：1. 数列图像的绘制与分析：学习如何绘制数列图像，并通过图像观察数列的特点。
2. 数列与函数的联系：探讨数列与函数之间的关系，理解数列可以看作是函数的特殊形式。
3. 数列在数据分析中的应用：例如，利用数列分析数据的变化趋势，预测未来的数据。
八、教学重点与难点：1. 教学重点：数列图像的绘制方法，数列与函数的关系，数列在数据分析中的应用。
数列专题(三)
年 级： 辅导科目：数学 课时数： 课 题 数列求和与数列综合应用教学目的教学内容数列求和（一）高考目标考纲解读1．熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式． 2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法． 考向预测1．以考查等差、等比数列的求和公式为主，同时考查转化的思想．2．常与函数、方程、不等式等诸多知识联系在一起，作为高考的中档题或压轴题．（二）课前自主预习知识梳理1．当已知数列{an }中，满足an ＋1－an ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用求数列的通项an .2．当已知数列{a n }中，满足a n ＋1a n＝f (n )，且f (1)·f (2)·…·f (n )可求，则可用 求数列的项通a n .3.等差数列前n 项和nS= = ，推导方法：（5）3333312n ++++L =5．(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和；(4)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导方法．（三）基础自测1．(2011·威海模拟)设f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1(n∈N*)，则f(n)等于( )A.27(8n－1) B.27(8n＋1－1) C.27(8n＋2－1) D.27(8n＋3－1)[答案] B[解析] 由题意发现，f(n)即为一个以2为首项，公比q＝23＝8，项数为n＋1的等比数列的和．由公式可得f(n)＝S n＋1＝a11－q n＋11－q＝21－8n＋11－8＝27(8n＋1－1)．2．(2011·滨州模拟)已知数列2011,1，－2010，－2011，－1…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2012项之和S2012等于( )A．2010 B．2011 C．1 D．2012[答案] D[解析] a1＝2011，a2＝1，a3＝－2010，a4＝－2011，a5＝－1，a6＝2010，a7＝2011，a8＝1，该数列是周期为6的周期数列且S6＝0，∴S2012＝S2＝2011＋1＝2012.3．数列{a n}的通项公式是a n＝1n＋n＋1(n∈N*)，若前n项的和为10，则项数n为( )A．11 B．99 C．120 D．121 [答案] C[解析] ∵a n＝1n＋n＋1＝n＋1－n，∴a1＝2－1，a2＝3－2，…，a n＝n＋1－n，∴S n＝n＋1－1＝10，∴n＝120.4．(2009·广东理)已知等比数列{a n}满足a n>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝( )A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2[答案] C[解析] 考查等比数列的性质、通项、等差数列求和及对数的运算法则．∵a n为等比数列，且a5·a2n－5＝22n，∴a n2＝22n，∵a n>0，∴a n＝2n，∴a2n－1＝22n－1.∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.5．(2011·济南模拟)数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前n 项和为________． [答案] 2n ＋1－2－n[解析] 该数列的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，而a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1×1－2n1－2＝2n－1.∴S n ＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋...＋(2n －1)＝(2＋22＋ (2))－n ＝2×1－2n1－2－n ＝2n ＋1－2－n .6．(教材改编题)数列112，214，318，4116，…的前n 项和为________．[答案] 12(n 2＋n ＋2)－12n[解析] 数列的通项公式为：a n ＝n ＋12n ，S n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋18＋…＋12n ＝n n ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝12(n 2＋n ＋2)－12n .7．求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)a n －1，…(a ≠0)的前n 项和． [解析] 当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)，…，S n ＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝n 1＋2n －12＝n 2；当a ≠1时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1，①aSn ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)an ，② 令①－②，得Sn －aSn ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋2a 4＋…＋2an －1－(2n －1)an ，(1－a )S n ＝1＋2·a 1－a n －11－a－(2n －1)a n，∵1－a ≠0，∴S n ＝1－2n －1a n 1－a＋2a －a n 1－a2.（四）典型例题1.命题方向：公式法求和[例1] 已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7(n ∈N*)．(1)若函数f (x )的图像的顶点的横坐标构成数列{a n }，试证明数列{a n }是等差数列； (2)设函数f (x )的图像的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，试求数列{b n }的前n 项和S n .[解析] f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8.(1)由题意，a n ＝n ＋1，故a n ＋1－a n ＝(n ＋1)＋1－(n ＋1)＝1，故数列{a n }是等差数列． (2)由题意，b n ＝|3n －8|.当1≤n ≤2时，b n ＝－3n ＋8，数列{b n }为等差数列，b 1＝5，∴S n ＝n 5－3n ＋82＝－3n 2＋13n 2；当n ≥3时，b n ＝3n －8，数列{b n }是等差数列，b 3＝1. ∴S n ＝S 2＋n －21＋3n －82＝3n 2－13n ＋282.∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n 2＋13n2，1≤n ≤23n 2－13n ＋282，n ≥3.[点评] 用等差数列或等比数列的求和公式时，一定要看清数列的哪些项构成等差数列或等比数列．在第(2)问的求解中，1≤n ≤2或n ≥3时，都可以用等差数列的前n 项和公式，但当1≤n ≤2时，不要误求为数列的前2项和；当n ≥3时，数列的首项为b 3，项数为n －2，不要误求为n 项的和，也不要误求为n －3项的和． 跟踪练习1在等差数列{a n }中，a 16＋a 17＋a 18＝a 9＝－36，其前n 项和为S n . (1)求S n 的最小值，并求出S n 取最小值时n 的值； (2)求Tn ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |.[解析] ∵a 16＋a 17＋a 18＝3a 17＝－36.∴a 17＝－12. 又∵a 9＝－36，∴d ＝a 17－a 917－9＝－12＋368＝3，首项a 1＝a 9－8d ＝－60，(1)方法一：设前n 项和S n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3n －63≤0，3n ＋1－63≥0，得n ＝20或n ＝21.故n ＝20或n ＝21时S n 的值最小，且最小值为S 20＝S 21＝－630. 方法二：S n ＝－60n ＋n n －12×3＝32(n 2－41n )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －4122－50438.∵n ∈N *，∴当n ＝20或21时，S n 取最小值，最小值为－630. (2)由a n ＝3n －63≤0，得n ≤21. ∴当n ≤21时，T n ＝－S n ＝32(41n －n 2)；当n >21时，T n ＝－a 1－a 2－…－a 21＋a 22＋…＋a n ＝S n －2S 21＝32(n 2－41n )＋1260.2.命题方向：分组求和[例2] (2008·陕西)已知数列{a n }的首项a 1＝23，a n ＋1＝2a na n ＋1，n ＝1,2，….(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等比数列； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n 的前n 项和S n .[分析] (1)由已知条件利用等比数列的定义证明，即从a n ＋1＝2a n a n ＋1得到1a n ＋1－1与1a n－1的等式关系．(2)充分利用(1)的结论得出1a n ＝12n ＋1.欲求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n 的前n 项和S n 可先求出T n ＝12＋222＋323＋…＋n2n 的值．[解析] (1)∵a n ＋1＝2a na n ＋1， ∴1a n ＋1＝a n ＋12a n ＝12＋12·1a n， ∴1a n ＋1－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1，又a 1＝23，∴1a 1－1＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知1a n －1＝12·12n －1＝12n ，即1a n ＝12n ＋1，∴n a n ＝n2n ＋n . 设T n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，①则12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，② ①－②得12T n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1∴T n ＝2－12n －1－n2n .又1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n 的前n 项和S n ＝2－2＋n 2n ＋nn ＋12＝n 2＋n ＋42－n ＋22n.跟踪练习2(2011·浙江省金丽衢联考)已知在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝2a n －1(n ∈N*)． (1)求证：数列{a n －1}是等比数列；(2)设数列{2na n }的前n 项和为S n ，求S n 的大小． [解析] (1)∵a 1＝3，a n ＋1＝2a n －1， ∴a n ＋1－1＝2(a n －1)，∴{a n －1}是以a 1－1＝2为首项，以2为公比的等比数列．(2)由(1)知a n －1＝2·2n －1＝2n ， ∴a n ＝2n ＋1，∴2na n ＝2n (2n ＋1)＝n ·2n ＋1＋2n ，∴S n ＝2(21＋1)＋4(22＋1)＋6(23＋1)＋…＋2n (2n＋1)＝(2×21＋4×22＋6×23＋…＋2n ×2n)＋(2＋4＋6＋…＋2n )设T n ＝2×21＋4×22＋6×23＋…＋2n ×2n，12T n ＝21＋4×2＋6×22＋…＋2n ·2n －1， 两式相减，得12T n ＝－2－22－23－…－2n －1－2n ＋2n ·2n ＝2n ·2n －22n－12－1＝2n ·2n －2n ＋1＋2， ∴T n ＝4(n －1)·2n＋4， ∴S n ＝4(n －1)·2n ＋4＋n 2＋n .3.命题方向：错位相减求和[例3] (2009·山东文)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N*，点(n ，Sn )均在函数y ＝bx ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝n ＋14a n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由题意，S n ＝b n ＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r ，所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)， 由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列， 又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r＝b ， 解得r ＝－1.(2)由(1)知，n ∈N *，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1所以b n ＝n ＋14×2n －1＝n ＋12n ＋1.T n ＝222＋323＋424＋…＋n ＋12n ＋1.12T n ＝223＋324＋…＋n 2n ＋1＋n ＋12n ＋2， 两式相减得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2＝12＋123×1－12n －11－12－n ＋12n ＋2＝34－12n ＋1－n ＋12n ＋2， 故T n ＝32－12n －n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1.跟踪练习3：(2010·新课标理)设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .[解析] 本小题主要考查数列的基础知识，即数列的通项公式与前n 项和的求法以及分析问题与解决问题的能力． (1)由已知得，当n ≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1.而a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1.①从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1.② ①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1.即S n ＝[(3n －1)22n ＋1＋2]. 4.命题方向：裂项相消求和[例4] (2008·江西)等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ； (2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.[解析] (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正整数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝qn －1，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧S 2b 2＝6＋d q ＝64S 3b 3＝9＋3dq 2＝960解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2q ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－65q ＝403(舍去)故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1.(2)S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)， ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1nn ＋2＝12⎣⎢⎡ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…⎦⎥⎤＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32n ＋1n ＋2. 跟踪练习4求数列31×22，522×32，522×32，732×42，…，2n ＋1n 2（n ＋1）2的前n 项和S n . [解析] ∵2n ＋1n2（n ＋1）2＝1n 2－1（n ＋1）2，∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－132＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n 2－1（n ＋1）2＝1－1（n ＋1）2＝n 2＋2n n ＋12.5.命题方向：倒序相加法求和[例5] 设函数f (x )＝3x 3x ＋3图像上有两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，若P 为P 1P 2的中点，且P 点的横坐标为12.(1)求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个值；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n .[分析] (1)由已知函数图像上两点P 1P 2可得y 1＝3x 13x 1＋3，y 2＝3x 23x 2＋3，设P (x ，y )，根据中点坐标公式去求y ＝y 1＋y 22.(2)根据(1)的结论：若x 1＋x 2＝1，则由f (x 1)＋f (x 2)＝1可以得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＝1，利用倒序相加进行求解．[解析] (1)证明：∵P 为P 1P 2的中点， ∴x 1＋x 2＝1，y p ＝y 1＋y 22.又y 1＋y 2＝3x 13x 1＋3＋3x 23x 2＋3＝1－33x 1＋3＋1－33x 2＋3＝2－6＋33x 1＋3x 26＋33x 1＋3x 2＝2－1＝1，∴y p ＝y 1＋y 22＝12.(2)由x 1＋x 2＝1，得y 1＋y 2＝f (x 1)＋f (x 2)＝1，f (1)＝3－32. 设S n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ，又S n ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ，∴2S n ＝1＋1＋1＋1＋…＋1＋＋2f (1)＝n ＋2－3， 即S n ＝n ＋2－32.（五）思想方法点拨1．常见数列求和的类型及方法(1)an ＝kn ＋b ，利用等差数列前n 项和公式直接求解；(2)an ＝a ·qn －1，利用等比数列前n 项和公式直接求解，但要注意对q 分q ＝1与q ≠1两种情况进行讨论； (3)an ＝bn ±cn ，数列{bn }，{cn }是等比数列或等差数列，采用分组转化法求{an }前n 项和； (4)an ＝bn ·cn ，{bn }是等差数列，{cn }是等比数列，采用错位相减法求{an }前n 项和； (7)an ＝(－1)nf (n )，可采用相邻两合并求解，即采用“并项法”． (8)求出S 1，S 2，S 3，然后猜出Sn ，用数学归纳法证明． 2．求和时应注意的问题(1)直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程．(2)注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和．（六）课后强化作业一、选择题1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．42 [答案] C[解析] 由题意设S n ＝An 2＋Bn ，又∵S 2＝2，S 4＝10，∴4A ＋2B ＝2,16A ＋4B ＝10， 解得A ＝34，B ＝－12，∴S 6＝36×34－3＝24.2．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n ＋1n ＋2，则S 8等于( )A.25B. 130C.730D.56 [答案] A [解析] ∵a n ＝1n ＋1n ＋2＝1n ＋1－1n ＋2， 而S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n2n ＋2， ∴S 8＝82×8＋2＝25. 3．数列1×12，2×14，3×18，4×116，…的前n 项和为( )A ．2－12n －n 2n ＋1B ．2－12n －1－n2nC.12(n 2＋n ＋2)－12nD.12n (n ＋1)＋1－12n －1 [答案] B[解析] S ＝1×12＋2×14＋3×18＋4×116＋…＋n ×12n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋n ×12n ，①则12S ＝1×122＋2×123＋3×124＋…＋(n －1)×12n ＋n ×12n ＋1，② ①－②得12S ＝12＋122＋123＋…＋12n －n ×12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1.∴S ＝2－12n －1－n2n .4.122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n ＋12－1的值为( )A.n ＋12n ＋2 B.34－n ＋12n ＋2C.34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2D.32－1n ＋1＋1n ＋2 [答案] C [解析] ∵1n ＋12－1＝1n 2＋2n ＝1n n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.∴S n ＝12⎝ ⎛1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n－⎭⎪⎫1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2. 5．(2011·汕头模拟)已知a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N *)，若称使乘积a 1·a 2·a 3·…·a n 为整数的数n 为劣数，则在区间(1,2002)内所有的劣数的和为( )A ．2026B ．2046C ．1024D ．1022 [答案] A[解析] ∵a 1·a 2·a 2·…·a n ＝lg3lg2·lg4lg3·…·lg n ＋2lg n ＋1＝lg n ＋2lg2＝log 2(n ＋2)＝k ，则n ＝2k－2(k ∈Z)．令1<2k－2<2002，得k ＝2,3,4， (10)∴所有劣数的和为41－291－2－18＝211－22＝2026.6．(2011·威海模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则 |a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝( ) A ．66 B ．65 C ．61 D ．56 [答案] A[解析] 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，不符合上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －5，n ≥2，∴{|a n |}从第3项起构成等差数列，首项|a 3|＝1， 末项|a 10|＝15.∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋1＋15×82＝66.7．(文)(2009·江西)公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．60D ．90 [答案] C[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 42＝a 3×a 7S 8＝32，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d 2＝a 1＋2d a 1＋6d8a 1＋8×72×d ＝32，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3d ＝2，∴S 10＝10×(－3)＋10×92×2＝60，选C. (理)(2009·重庆)设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( ) A.n 24＋7n 4 B.n 23＋5n 3 C.n 22＋3n4 D ．n 2＋n [答案] A[解析] 设等差数列公差为d ，∵a 1＝2，∴a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d .又∵a 1，a 3，a 6成等比数列，∴a 32＝a 1a 6，即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，整理得2d 2－d ＝0.∵d ≠0，∴d ＝12，∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝n 24＋74n .故选A.8．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( ) A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2n D ．3n－1[答案] C[解析] 解法1：由{a n }为等比数列可得a n ＋1＝a n ·q ，a n ＋2＝a n ·q 2由{a n ＋1}为等比数列可得(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)，故(a n ·q ＋1)2＝(a n ＋1)(a n ·q 2＋1)， 化简上式可得q 2－2q ＋1＝0，解得q ＝1，故a n 为常数列，且a n ＝a 1＝2，故S n ＝n ·a 1＝2n ，故选C. 解法2：设等比数列{a n }的公比为q ，则有a 2＝2q 且a 3＝2q 2， 由题设知(2q ＋1)2＝3·(2q 2＋1)， 解得q ＝1，以下同解法1. 二、填空题9．设f (x )＝12x ＋2，则f (－9)＋f (－8)＋…＋f (0)＋…＋f (9)＋f (10)的值为________．[答案] 5 2[解析] ∵f (－n )＋f (n ＋1)＝12－n ＋2＋12n ＋1＋2＝2n1＋2n ·2＋12n ＋1＋2＝2n·2＋12n ＋1＋2＝22， ∴f (－9)＋f (－8)＋…＋f (0)＋…＋f (9)＋f (10)＝5 2.10．(2011·启东模拟)对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.[答案] 2n ＋1－2[解析] ∵a n ＋1－a n ＝2n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n，∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.11．(2011·江门模拟)有限数列A ＝{a 1，a 2，…，a n }，S n 为其前n 项的和，定义S 1＋S 2＋…＋S nn为A 的“凯森和”；如果有99项的数列{a 1，a 2，…，a 99}的“凯森和”为1000，则有100项的数列{1，a 1，a 2，…，a 99}的“凯森和”为________．[答案] 991[解析] ∵{a 1，a 2，…，a 99}的“凯森和”为S 1＋S 2＋…＋S 9999＝1000，∴S 1＋S 2＋…S 99＝1000×99，数列{1，a 1，a 2，…，a 99}的“凯森和”为： 1＋S 1＋1＋S 2＋1＋…＋S 99＋1100＝100＋S 1＋S 2＋…＋S 99100＝991.三、解答题12．(2010·重庆文)已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和． (1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及其前n 项和T n .[解析] 本题主要考查等差数列的基本性质，以及通项公式的求法，前n 项和的求法，同时也考查了学生的基本运算能力．(1)因为{a n }为首项a 1＝19，公差d ＝－2的等差数列， 所以a n ＝19－2(n －1)＝－2n ＋21，S n ＝19n ＋n n －12(－2)＝－n 2＋20n .(2)由题意知b n －a n ＝3n －1，所以b n ＝3n －1－2n ＋21T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(1＋3＋…＋3n －1)＋S n ＝－n 2＋20n ＋3n－12.13．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n . (1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)若b n ＝a n ·2n，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)证明：a 1＝S 1＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－3n －2(n －1)2＋3(n －1)＝4n －5. 又a 1适合上式，故a n ＝4n －5(n ∈N *)． 当n ≥2时，a n －a n －1＝4n －5－4(n －1)＋5＝4， 所以{a n }是等差数列且d ＝4，a 1＝－1. (2)b n ＝(4n －5)·2n，∴T n ＝－21＋3·22＋…＋(4n －5)·2n，① 2T n ＝－22＋…＋(4n －9)·2n ＋(4n －5)·2n ＋1，②①－②得－T n ＝－21＋4·22＋…＋4·2n －(4n －5)·2n ＋1＝－2＋4·41－2n －11－2－(4n －5)·2n ＋1＝－18－(4n －9)·2n ＋1，∴T n ＝18＋(4n －9)·2n ＋1.14．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，且a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)， (1)求数列{S n }的通项公式； (2)设S n ＝1f（n ），b n ＝f (12n )＋1.记P n ＝S 1S 2＋S 2S 3＋…＋S n S n ＋1，T n ＝b 1b 2＋b 2b 3＋…＋b n b n ＋1，试求T n ，并证明P n <12.[解析] (1)解：∵a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)， ∴S n －S n －1＋2S n S n －1＝0. ∴1S n －1S n －1＝2.又∵a ＝1，∴S n ＝12n －1(n ∈N ＋)． (2)证明：∵S n ＝1f n，∴f (n )＝2n －1.∴b n ＝2(12n )－1＋1＝(12)n －1.T n ＝(12)0·(12)1＋(12)1·(12)2＋…＋(12)n －1·(12)n ＝(12)1＋(12)3＋(12)5＋…＋(12)2n －1＝23[1－(14)n ]．∵S n ＝12n －1(n ∈N ＋) ∴P n ＝11×3＋13×5＋…＋12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<12. 15．(2010·山东理)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a n 2－1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] 本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练掌握数列的基础知识是解答好本类题目的关键．对(1)可直接根据定义求解，(2)问采用裂项求和即可解决．(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝72a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1；S n ＝3n ＋n n －12×2＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a n 2－1＝12n ＋12－1＝14·1n n ＋1＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以T n ＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n4n ＋1， 即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4n ＋1.[点评] 数列在高考中主要考查等差、等比数列的定义、性质以及数列求和，解决此类题目要注意合理选择公式，对于数列求和应掌握经常使用的方法，如：裂项、叠加、累积．本题应用了裂项求和．第五节 数列的综合应用（一）高考目标考纲解读能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题． 考向预测1．以递推关系为背景，考查数列的通项公式与前n 项和公式． 2．等差、等比交汇，考查数列的基本计算．3．数列与函数、不等式、解析几何交汇，考查数列的综合应用． 4．以考查数列知识为主，同时考查“等价转化”、“变量代换”思想．（二）课前自主预习知识梳理1．数列在实际生活中着广泛的应用，其解题的基本步骤，可用图表示如下：2．数列应用题常见模型：(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差． (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an 与an ＋1的递推关系，还是前n 项和Sn 与Sn ＋1之间的递推关系．(4)分期付款模型：设贷款总额为a ，年利率为r ，等额还款数为b ，分n 期还完，则b ＝r 1＋r n1＋r n－1a . 3．数列与其他章节的综合题数列综合题，包括数列知识和指数函数、对数函数、不等式的知识综合起来；另外，数列知识在复数、三角函数、解析几何等部分也有广泛的应用． 4．数列的探索性问题探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现，探索性问题对分析问题、解决问题的能力有较高的要求．（三）基础自测1．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧3a n0<a n ≤1a n －1a n >1，若a 1＝23，则a 2012的值为( )A.23B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 由递推公式可知a 2＝3a 1＝2，a 3＝a 2－1＝1，a 4＝3a 3＝3，a 5＝a 4－1＝2，a 6＝a 5－1＝1…， 可见{a n }满足a n ＋3＝a n (n ≥2)． 故a 2012＝a 2＝1.2．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f （n ）}(n ∈N *)的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1 C.nn －1D.n ＋1n[答案] A[解析] f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2，∴f (x )＝x (x ＋1)，1f （n ）＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝n n ＋1. 3．(教材改编题)一个凸多边形，它的各内角度数成等差数列，最小角为60°，公差为20°，则这个多边形的边数是( )A ．3B ．4C ．5或9D ．4或9[答案] B[解析] 设边数为n ，则60°n ＋n n －12·20°＝(n －2)·180°，解得n ＝4或9.当n ＝9时，最大内角度数为60°＋(9－1)×20°＝220°>180°，故舍去．4．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( )A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟 [答案] B[解析] 设至少需要n 秒钟，则 1＋21＋22＋…＋2n －1≥100，∴1－2n1－2≥100，∴n ≥7.故选B. 5．(2011·安徽合肥模拟)秋末冬初，流感盛行，某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N*)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有________． [答案] 255[解析] 由于a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n，所以a 1＝a 3＝…＝a 29＝1，a 2，a 4，…，a 30构成公差为2的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 29＋a 30＝15＋15×2＋15×142×2＝255. 6．设等差数列{an }的前n 项和为Sn ，S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值是________． [答案] 4[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ≥105a 1＋5×42d ≤15，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ≥105a 1＋10d ≤15，也即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥5a 1＋2d ≤3，又a 4＝a 1＋3d ＝－(2a 1＋3d )＋3(a 1＋2d )≤－5＋3×3＝4，故a 4的最大值为4.7．某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员第1名得全部资金的一半加一千元，第二名得剩下的一半加一千元，以名次类推都得到剩下的一半加一千元，到第10名恰好资金分完，求此科研单位共拿出多少千元资金进行奖励． [解析] 设单位共拿出x 千元资金，第1名到第10名所得资金构成数列{a n }，前n 项和为S n ，则a 1＝x 2＋1，a n ＝12(x －S n －1)＋1(n ≥2)，∴2a n ＝x －S n －1＋2,2a n ＋1＝x －S n ＋2， 两式相减得2a n ＋1－2a n ＝－a n ， ∴2a n ＋1＝a n .∴{a n }是首项为x 2＋1，公比为12的等比数列，∴S 10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12101－12＝x ，解得x ＝2046.故单位共拿出2046千元资金进行奖励．又a 2＝2S 1＋a 1＝3a 1，a n ≠0，∴{a n }是首项为a 1，公比为3的等比数列， ∴a n ＝a 1·3n －1.(2)方法一：∵S n ＝a 11－q n 1－q ＝－12a 1＋12a 1·3n，∴b n ＝1－S n ＝1＋12a 1－12a 1·3n，要使{b n }为等比数列，当且仅当1＋12a 1＝0，即a 1＝－2，此时b n ＝3n，∴{b n }是首项为3，公比为3的等比数列． ∴{b n }能为等比数列，此时a 1＝－2.方法二：设数列{bn }能为等比数列，则b 1，b 2，b 3成等比数列， ∴b 22＝b 1·b 3，∵Sn ＝a 1＋a 2＋…＋an ，an ＝a 1·3n －1，bn ＝1－Sn ， ∴b 2＝1－4a 1，b 1＝1－a 1，b 3＝1－13a 1， ∴(1－4a 1)2＝(1－a 1)(1－13a 1)，又an ≠0，得a 1＝－2，此时bn ＝1－Sn ＝3n ， ∴{bn }是首项为3，公比为3的等比数列， ∴{bn }能为等比数列，此时a 1＝－2.方法三：设数列{b n }能为等比数列，即满足b n 2＝b n －1·b n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，又∵b n ＝1－S n ，b n －1＝1－(S n －a n )，b n ＋1＝1－(S n ＋a n ＋1)， ∴(1－S n )2＝(1－S n ＋a n )(1－S n －a n ＋1)，∴(1－S n )2＝(1－S n )2＋(a n －a n ＋1)(1－S n )－a n a n ＋1，即－2a n ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－a 11－3n 1－3＝a n a n ＋1， 将a n ＝a 1·3n －1代入得a 1＝－2，此时b n ＝1－S n ＝3n.2.命题方向：数列与函数的综合应用[例2] 已知f (x )＝log ax (a >0且a ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (an )(n ∈N*)是首项为4，公差为2的等差数列． (1)设a 为常数，求证：{an }成等比数列；(2)若bn ＝anf (an )，{bn }的前n 项和是Sn ，当a ＝时，求Sn .[分析] 利用函数的有关知识得出an 的表达式，再利用表达式解决其他问题．[解析] (1)f (a n )＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2，即log a a n ＝2n ＋2， 可得a n ＝a2n ＋2.∴a n a n －1＝a 2n ＋2a2n －1＋2＝a 2(n ≥2)，为定值．∴{a n }为等比数列． (2)b n ＝a n f (a n )＝a 2n ＋2log a a2n ＋2＝(2n ＋2)a2n ＋2.当a ＝2时，b n ＝(2n ＋2)(2)2n ＋2＝(n ＋1)2n ＋2.S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n ＋1)·2n ＋2①2S n ＝2·24＋3·25＋4·26＋…＋n ·2n ＋2＋(n ＋1)·2n ＋3②①－②得－S n ＝2·23＋24＋25＋…＋2n ＋2－(n ＋1)·2n ＋3＝16＋241－2n －11－2－(n ＋1)2n ＋3＝16＋2n ＋3－24－n ·2n ＋3－2n ＋3＝－n ·2n ＋3.∴S n ＝n ·2n ＋3(n ∈N *)．[点评] 数列与函数的综合问题主要有以下两类：①已知函数条件，解决数列问题．此类问题一般利用函数的性质、图像研究数列问题；②已知数列条件，解决函数问题．解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形． 跟踪练习2在数列{a n }中，a 1＝4，且对任意大于1的正整数n ，点(a n ，a n －1)在直线y ＝x －2上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知b 1＋b 2＋…＋b n ＝a n ，试比较a n 与b n 的大小． [解析] (1)∵点(a n ，a n －1)在直线y ＝x －2上，∴a n ＝a n －1＋2，即数列{a n }是以a 1＝2为首项，公差d ＝2的等差数列．∴a n ＝2＋2(n －1)＝2n ， ∴a n ＝4n 2.(2)∵b 1＋b 2＋…＋bn ＝an ，∴当n ≥2时，bn ＝an －an －1＝4n 2－4(n －1)2＝8n －4， 当n ＝1时，b 1＝a 1＝4，满足上式．∴bn ＝8n －4，∴an －bn ＝4n 2－(8n －4)＝4(n －1)2≥0， ∴an ≥bn .[点评] 第(2)问可由b 1＋b 2＋…＋bn ＝an 得，an －bn ＝an －1＝4(n －1)2≥0，∴an ≥bn 简捷明了，注意观察分析常能起到事半功倍的效果.3.命题方向：数列与导数、解析几何的综合应用[例3] (2011·山东模拟)设曲线y ＝x 2＋x ＋2－ln x 在x ＝1处的切线为l ，数列{an }的首项a 1＝－m (其中常数m 为正奇数)，且对任意n ∈N*，点(n －1，an ＋1－an －a 1)均在直线l 上． (1)求出{an }的通项公式；(2)令bn ＝nan (n ∈N*)，当an ≥a 5恒成立时，求出n 的取值范围，使得bn ＋1>bn 成立．[分析] 问题(1)可先利用求导公式求得直线的斜率，进而求出直线方程，利用累加法即求得数列的通项公式；问题(2)是恒成立问题，可转化为数列的单调性问题进而求得数列的最小值．[解析] (1)由y ＝x 2＋x ＋2－ln x ，知x ＝1时，y ＝4.又y ′|x ＝1＝(2x ＋1－1x)|x ＝1＝2，归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再结合其他相关知识来解决问题．（六）课后强化作业一、选择题1．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝14n (9n －4n )(n ∈N *)，那么这个数列( )A ．是等差数列而不是等比数列B ．是等比数列而不是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列又不是等比数列 [答案] B[解析] S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫94n －1符合S n ＝Aq n－A 的特征，故该数列为等比数列．2．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n －1，则a 3＋a 17等于( ) A ．15 B ．17 C ．34 D ．398 [答案] C[解析] a 3＝S 3－S 2＝(32－2×3－1)－(22－2×2－1)＝3.a 17＝S 17－S 16＝(172－2×17－1)－(162－2×16－1)＝31，∴a 3＋a 17＝34.3．某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按照此规律，6小时后细胞存活数是( )A ．33B ．64C ．65D ．127 [答案] B[解析] 每一小时后细胞变为前一小时细胞数的2倍减1,4小时后为17个，5小时后为33个，6小时后为65个．4．(2011·黄冈模拟)小正方形按照如图的规律排列：每个图中的小正方形的个数就构成一个数列{a n }，有以下结论： ①a 5＝15；②数列{a n }是一个等差数列； ③数列{a n }是一个等比数列；④数列的递推公式为：a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N *)． 其中正确的命题序号为( )A．①② B．①③ C．①④ D．①[答案] C[解析] 当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a2＝3；当n＝3时，a3＝6；当n＝4时，a4＝10，…，观察图中规律，有a n＋1＝a n＋n＋1，a5＝15.故①④正确．5．△ABC中，tan A是以－4为第三项，－1为第七项的等差数列的公差，tan B是以12为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是( )A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均错[答案] B[解析] 由题意知：tan A＝－1－－47－3＝34>0.tan3B＝412＝8，∴tan B＝2>0，∴A、B均为锐角．又∵tan(A＋B)＝34＋21－34×2＝－112<0，∴A＋B为钝角，即C为锐角，∴△ABC为锐角三角形．6．在正项数列{a n}中，a1＝2，点(a n，a n－1)(n≥2)在直线x－2y＝0上，则数列{a n}的通项公式a n为( ) A．2n－1 B．2n－1＋1 C．2n D．2n＋1[答案] C[解析] 据题意得a n－2a n－1＝0，即a n＝2a n－1，所以a n＝2×2n－1＝2n.7．编辑一个运算程序：1&1＝2，m&n＝k，m&(n＋1)＝k＋3(m、n、k∈N*)，1&2004的输出结果为( )A．2004 B．2006 C．4008 D．6011[答案] D[解析] 由已知m&(n＋1)－m&n＝3可得，数列{1&n}是首项为1&1＝2，公差为3的等差数列，∴1&2004＝2＋(2004－1)×3＝6011.应选D.8．下表给出一个“直角三角形数阵”141 2，143 4，38，316∵y ′＝2x ，∴过点(a k ，a k 2)的切线方程为y －a k 2＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.(理)如图，“杨辉三角”中从上往下数共有n (n >7，n ∈N)行，设其第k (k ≤n ，k ∈N *)行中不是1的数字之和为a k ，由a 1，a 2，a 3，…组成的数列{a n }的前n 项和是S n .现在下面四个结论：①a 8＝254；②a n ＝a n －1＋2n ；③S 3＝22；④S n ＝2n ＋1－2－2n .1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 … … … …其中正确结论的序号为________．(写出所有你认为正确的结论的序号) [答案] ①④[解析] 由已知得a n ＝C n 0＋C n 1＋C n 2＋…＋C n n－2 ＝(1＋1)n －2＝2n－2，∴a 8＝28－2＝256－2＝254，①正确；a n －a n －1＝2n －2－2n －1＋2＝2n －1≠2n ，②不正确；∵S n ＝2－2＋22－2＋ (2)－2＝21－2n1－2－2n ＝2n ＋1－2n －2，∴S 3＝24－6－2＝8≠22，③不正确，④正确． ∴①④正确． 三、解答题12．已知数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，记S n 为其前n 项和． (1)若a 2、a 3、a 6依次成等比数列，求其公比q .(2)若a 1＝1，证明点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1，S 11，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2，S 22，…，P n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n (n ∈N *)在同一条直线上，并写出此直线方程．[解析] (1)∵a 2、a 3、a 6依次成等比数列， ∴q ＝a 3a 2＝a 6a 3＝a 6－a 3a 3－a 2＝3dd＝3，即公比q ＝3.(2)证明：∵S n ＝na 1＋n n －12d ，∴S n n＝a 1＋n －12d ＝1＋n －12d .∴点P n ⎝⎛⎭⎪⎫n ，S n n在直线y ＝1＋x －12d 上．∴点P 1，P 2，…，P n (n ∈N *)都在过点(1,1)且斜率为d2的直线上．此直线方程为y －1＝d2(x －1)．13．(2010·福建文)数列{a n }中，a 1＝13.前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ；(2)若S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列，求实数t 的值．[解析] 本小题主要考查数列，等差数列，等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，化归与转化思想．(1)由S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1得a n ＋1＝(13)n ＋1(n ∈N *)又a 1＝13，故a n ＝(13)n (n ∈N *)从而S n ＝13×[1－13n]1－13＝12[1－(13)n ](n ∈N *) (2)由(1)可得S 1＝13，S 2＝49，S 3＝1327从而由S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列可得 13＋3×(49＋1327)＝2×(13＋49)t ，解得t ＝2. 14．(2010·湖北文)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a (单位：m 2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b (单位：m 2)的旧住房．(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b 是多少？(计算时取1.15＝1.6)[解析] 本小题主要考查阅读资料，提取信息，建立数学模型的能力，同时考查运用所学知识分析和解决实际问题的能力．(1)第1年末的住房面积a ·1110－b ＝(1.1a －b )(m 2) 第2年末的住房面积(a ·1110－b )1110－b ＝a (1110)2－b (1＋1110)＝(1.21a －2.1b )(m 2)(2)第3年末的住房面积⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11102－b 1＋1110·1110－b ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11103－b ⎣⎢⎡ 1＋1110＋⎦⎥⎤11102第4年末住房面积为：a (1110)4－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋11102＋11103. 第5年末住房面积为：a ·(1110)5－b ⎣⎢⎡ 1＋1110＋11102＋11103⎦⎥⎤＋11104＝1.6a －6b 依题意可得，1.6a －6b ＝1.3a ，解得b ＝a20，所以每年拆除的旧房面积为a20(m 2)． 15．某企业投资1000万元于一个高科技项目，每年可获利25%.由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg2＝0.3)[解析] 设该企业逐年的项目资金依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，则由已知a n ＋1＝a n (1＋25%)－200(n ∈N *)，即a n ＋1＝54a n －200， 令a n ＋1－x ＝54(a n －x )，即a n ＋1＝54a n －14x ，由x4＝200，得x ＝800， ∴a n ＋1－800＝54(a n －800)(n ∈N *)，故{a n －800}是以a 1－800为首项，54为公比的等比数列．∵a 1＝1000(1＋25%)－200＝1050， ∴a 1－800＝250∴a n －800＝250⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1，∴a n ＝800＋250⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1(n ∈N *)．由题意a n ≥4000，∴800＋250⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1≥4000，即⎝ ⎛⎭⎪⎫54n≥16， ∴n ln 54≥lg16，即n (1－3lg2)≥4lg2，∵lg2＝0.3，∴0.1n ≥1.2，故n ≥12. 答：经过12年后，该项目资金可以翻两番．教师备课平台一、函数与方程的思想在数列中的应用在数列中，数列本身就是一种函数．这种函数的定义域是N ＋(或其子集)，从而表现在图像上就是孤立的点．数列具有单调性，如等差数列(除去公差为0的情况)，等比数列(如a 1>0，q >1)．因此研究数列问题，可以类比函数的一些性质来研究，用运动变化的观点来研究，例如数列中求某项的范围问题，某个字母的范围问题、最值问题等就可以利用函数思想，转化成求函数值域问题，或解不等式．在等差、等比数列问题中，已知五个基本量中的几个，求另几个时，往往是设出基本量，建立方程或方程组来解决问题．但需注意数列看作函数时的定义域与一般函数定义域的区别．[例1] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )在函数f (x )＝2x－1的图像上，数列{b n }满足b n ＝log 2a n －12(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)当数列{b n }的前n 项和最小时，求n 的值；(3)设数列{b n }的前n 项和为T n ，求不等式T n <b n 的解集．[分析] 先利用函数关系求出S n 的表达式，再依a n 与S n 关系求出a n .进而求出b n 、T n ，使问题解决． [解析] 由题意得S n ＝2n－1. (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1.又∵a 1＝1＝21－1，∴a n ＝2n －1.(2)b n ＝log 2a n －12＝log 22n －1－12＝(n －1)－12＝n －13，∴b n ＝n －13，令b n ≥0得n ≥13，∴数列{b n }的前12项均为负数，第13项为0，从第14项起均为正数，∴当n ＝12或13时，数列{b n }的前n 项和最小．(3)∵b n ＋1－b n ＝1，∴数列{b n }为等差数列． ∴T n ＝n n －252<n －13，整理得n 2－27n ＋26<0，解得1<n <26. ∴T n <b n 的解集为{n |1<n <26，n ∈N *}．[例2] 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝21，S 15＝－75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n 的最大值．[分析] 列方程组可求得S n ，继而求得T n ，把T n 看成关于自变量n 的函数来求最大值即可． [解析] 设等差数列{a n }公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d .∵S 7＝21，S 15＝－75，。
《金版新学案》高考数学总复习 3.3等比数列课时作业(扫描版) 文 大纲人教版
《金版新学案》高考数学总复习 3.3等比数列课时作业（扫描版）文大纲人教版本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！一、选择题1．若数列{a n}的前n项和S n＝3n－a，数列{a n}为等比数列，则实数a的值是A．3 B．1C．0 D．－1解析：可用特殊值法，由S n得a1＝3－a，a2＝6，a3＝18，由等比数列的性质可知a＝1.答案： B3．在等比数列{a n}中，“a2＞a4”是“a6＞a8”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：由a2＞a4，得a2＞a2q2，所以0＜q2＜1，由a6＞a8得a6＞a6q2，所以0＜q2＜1，因此“a2＞a4”是“a6＞a8”的充要条件．答案： C4．已知等比数列{a n}中，a n＞0，a1，a99为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a20·a50·a80的值为A．32 B．64C．256 D．±64答案： B5．已知等比数列{a n}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝120，则a5＋a6等于A．240 B．±240C．480 D．±4806．等比数列{a n}前n项的积为T n，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是A．T10 B．T13C．T17 D．T25三、解答题10．已知在数列{a n}中，已知a1＝－1，且a n＋1＝2a n＋3n∈N．1求证：数列{a n＋1－a n}是等比数列；2求数列{a n}的通项公式；解析：1证明：设b n＝a n＋1－a n，则b n＋1＝a n＋2－a n＋1＝2a n＋1＋3－2a n－3＝2a n＋1－a n＝2b n，由题设知：a2＝1，b1＝2，则{b n}是以2为首项，公比为2的等比数列．2由1知：b n＝2n，即a n＋1－a n＝2n，∴a n－a1＝a n－a n－1＋a n－1－a n－2＋a n－2－a n－3＋…＋a3－a2＋a2－a1＝2n－1＋2n－2＋2n－3＋…＋22＋21＝2n－2，得a n＝2n－3n∈N．。
高一数学上 第三章 数列：3.3.1 等差数列的前n项和1优秀教案
3.3 等差数列的前n项和（一）教学目的：1．掌握等差数列前n项和公式及其获取思路．2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题教学重点：等差数列n项和公式的理解、推导及应教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能利用它求和等差数列求和公式的推导，采用了倒序相加法，思路的获得得益于等到差数列任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现通过对等差数列求和公式的推导，使学生能掌握“倒序相加”数学方法教学过程：一、复习引入：首先回忆一下前几节课所学主要内容：1．等差数列的定义：a－1-n a=d ，（n≥2，n∈N+）n2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+或n a =pn+q (p 、q 是常数))3．几种计算公差d 的方法：① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =mn a a mn --4．等差中项：,,,2a bA a A b +=⇔成等差数列 5．等差数列的性质： m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )6．数列的前n 项和：数列{}n a 中，n a a a a ++++ 321称为数列{}n a 的前n 项和，记为n S . “小故事”:高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目, 老师说: “现在给大家出道题目: 1+2+…100=?”过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+…+100=5050教师问：“你是如何算出答案的？ 高斯回答说：因为1+100=101；2+99=101；…50+51=101，所以 101×50=5050” 这个故事告诉我们：（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西（2）该故事还告诉我们求等差数列前n 项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法二、讲解新课：如图，一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V 形架上共放着多少支铅笔?这是一堆放铅笔的V 形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V 形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的“小故事”问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n ,…的前120项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n 来表示，且任意的第k 项与倒数第k 项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n 项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解. 1．等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S +=证明： n n n a a a a a S +++++=-1321 ① 1221a a a a a S n n n n +++++=-- ②①+②：)()()()(223121n n n n n n a a a a a a a a S ++++++++=--∵ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ∴)(21n n a a n S += 由此得：2)(1n n a a n S +=从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 2． 等差数列的前n 项和公式2：2)1(1dn n na S n -+= 用上述公式要求n S 必须具备三个条件：n a a n ,,1 但d n a a n )1(1-+= 代入公式1即得： 2)1(1dn n na S n -+= 此公式要求n S 必须已知三个条件：d a n ,,1 （有时比较有用） 总之：两个公式都表明要求n S 必须已知n a d a n ,,,1中三个公式二又可化成式子：n )2da (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式 三、例题讲解例1 一个堆放铅笔的V 型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V 形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个V 形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔成等差数列，记为{}n a ，其中120,11201==a a ，根据等差数列前n 项和的公式，得答：V 形架上共放着7260支铅笔例2 等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？ 解：设题中的等差数列为{}n a ，前n 项为n S 则 54,4)10()6(,101==---=-=n S d a由公式可得5442)1(10=⨯-+-n n n 解之得：3,921-==n n （舍去）∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54例3 .已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,nS 取最大值.解法1：设公差为d ，由3S =11S 得： 3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, n a =13-2(n-1), n a =15-2n, 由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：6.5≤n ≤7.5,所以n=7时,n S 取最大值.解法2:由解1得d= -2,又a 1=13所以 n )2d a (n 2d S 12n -+== - n 2+14 n = -（n-7）2+49∴当n=7，n S 取最大值对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1） 利用n a :当n a >0，d<0，前n 可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n的值当n a <0，d>0，前n 可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n的值（2） 利用n S ：由n )2d a (n 2d S 12n -+=利用二次函数配方法求得最值时n 的值四、练习：1．求集合{}100*,7|<∈==m N n n m m M 且的元素个数，并求这些元素的和解：由1007<n 得 72147100=<n ∴正整数n 共有14个即M 中共有14个元素 即：7，14，21，…，98 是为首项71=a AP a 的9814= ∴ 7352)987(14=+⨯=n S 答：略2.已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求其前n 项和的公式.解：由题设： 31010=S 122020=S得： ⎩⎨⎧=+=+122019020310451011d a d a ⎩⎨⎧==⇒641d a∴ n n n n n S n +=⨯-+=2362)1(4 五、小结 本节课学习了以下内容： 1.等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S +=2.等差数列的前n 项和公式2：2)1(1dn n na S n -+= 3.n )2d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式 4.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（3） 利用n a :当n a >0，d<0，前n 可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n的值当n a <0，d>0，前n 可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n的值（4） 利用n S ：n )2da (n 2d S 12n -+=二次函数配方法求得最值时n 的值 六、课后作业：已知等差数列的前n 项和为a ，前n 2项和为b ，求前n 3项和． 解：由题设 a S n = b S n =2 ∴a b a a a n n n -=+++++221 而)(2)()(2213221221n n n n n n n a a a a a a a a a +++=+++++++++++)(3)(3221a b a a a n n n -=+++=++ .。
课时作业1：4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式
§4.3 等比数列4.3.1 等比数列的概念第1课时 等比数列的概念及通项公式1．在数列{a n }中，若a n ＋1＝3a n ，a 1＝2，则a 4为( )A ．108B ．54C ．36D ．18答案 B解析 因为a n ＋1＝3a n ，所以数列{a n }是公比为3的等比数列，则a 4＝33a 1＝54.2．(多选)在等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项为( ) A ．－4 B ．4 C ．－14 D.14答案 AB解析 由题意得a 26＝a 4a 8，因为a 1＝18，q ＝2， 所以a 4与a 8的等比中项为±a 6＝±4.3．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．81答案 B解析 ∵a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9.∴q ＝3(q ＝－3舍去)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.4．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为( ) A. 2 B ．4 C ．2 D.12答案 C解析 因为a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中的连续三项，所以a 23＝a 1a 7，设数列{a n }的公差为d ，则d ≠0，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，所以a 1＝2d ，所以公比q ＝a 3a 1＝4d 2d＝2. 5．若正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0，则数列{a n }的通项公式a n 等于( )A ．22n －1B ．2nC ．22n ＋1D ．22n －3答案 A解析 由a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0， 得(a n ＋1－4a n )·(a n ＋1＋a n )＝0.又{a n }是正项数列，所以a n ＋1－4a n ＝0，a n ＋1a n＝4. 由等比数列的定义知数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列．由等比数列的通项公式，得a n ＝2×4n －1＝22n －1.6．若{a n }为等比数列，且a 3＋a 4＝4，a 2＝2，则公比q ＝________.答案 1或－2解析 根据题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＋a 1q 3＝4，a 1q ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，q ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，q ＝－2. 7．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，且a 1＝________，d ＝________.答案 23－1 解析 ∵a 2，a 3，a 7成等比数列，∴a 23＝a 2a 7，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，即2d ＋3a 1＝0.①又∵2a 1＋a 2＝1，∴3a 1＋d ＝1.②由①②解得a 1＝23，d ＝－1. 8．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________.答案 4×⎝⎛⎭⎫32n －1解析 由已知可得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，所以a 1＝4，a 2＝6，所以q ＝a 2a 1＝64＝32， 所以a n ＝4×⎝⎛⎭⎫32n －1.9．在等比数列{a n }中，a 3＝32，a 5＝8.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若a n ＝12，求n . 解 (1)因为a 5＝a 3q 2，所以q 2＝a 5a 3＝14. 所以q ＝±12. 当q ＝12时，a n ＝a 3q n －3＝32×⎝⎛⎭⎫12n －3＝28－n ； 当q ＝－12时，a n ＝a 3q n －3＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －3. 所以a n ＝28－n 或a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －3. (2)当a n ＝12时， 即28－n ＝12或32×⎝⎛⎭⎫－12n －3＝12， 解得n ＝9.10．在等比数列{a n }中：(1)已知a 3＝2，a 5＝8，求a 7；(2)已知a 3＋a 1＝5，a 5－a 1＝15，求通项公式a n .解 (1)因为a 5a 3＝q 2＝82， 所以q 2＝4，所以a 7＝a 5q 2＝8×4＝32.(2)a 3＋a 1＝a 1(q 2＋1)＝5，a 5－a 1＝a 1(q 4－1)＝15，所以q 2－1＝3，所以q 2＝4，所以a 1＝1，q ＝±2，所以a n ＝a 1q n －1＝(±2)n －1.11．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．－2答案 B解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2.又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.12．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( )A ．2B ．1 C.12 D.18答案 C解析 方法一 ∵a 3，a 5的等比中项为±a 4，∴a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8，∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12.方法二 ∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝12.13．(多选)已知等差数列a ，b ，c 三项之和为12，且a ，b ，c ＋2成等比数列，则a 等于() A ．－2 B ．2 C ．－8 D. 8答案 BD解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ，a ＋b ＋c ＝12，a (c ＋2)＝b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝4，c ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝8，b ＝4，c ＝0.故a ＝2或a ＝8.14．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________． 答案 a n ＝3·(－1)n －1解析 由a n ＝2S n －3得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)，∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，又a 1＝3，故{a n }是首项为3，公比为－1的等比数列，∴a n ＝3·(－1)n －1.15．已知在等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝16，a 1＋1，a 2＋1，a 4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列．则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为________．答案 275或8解析 设公差为d ，由a 2＋a 4＝16，得a 1＋2d ＝8，①由a 1＋1，a 2＋1，a 4＋1成等比数列，得(a 2＋1)2＝(a 1＋1)(a 4＋1)，化简得a 1－d ＝－1或d ＝0，②当d ＝3时，a n ＝3n －1.由题图可得第10行第11个数为数列{a n }中的第92项，a 92＝3×92－1＝275.当d ＝0时，a n ＝8，a 92＝8.16．设数列{a n }是公比小于1的正项等比数列，已知a 1＝8，且a 1＋13,4a 2，a 3＋9成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n (n ＋2－λ)，且数列{b n }是单调递减数列，求实数λ的取值范围． 解 (1)设数列{a n }的公比为q .由题意，可得a n ＝8q n －1，且0＜q ＜1.由a 1＋13,4a 2，a 3＋9成等差数列，知8a 2＝30＋a 3，所以64q ＝30＋8q 2，解得q ＝12或152(舍去)， 所以a n ＝8×⎝⎛⎭⎫12n －1＝24－n ，n ∈N *.(2)b n＝a n(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n，由b n＞b n＋1，得(n＋2－λ)·24－n＞(n＋3－λ)·23－n，即λ＜n＋1，所以λ＜(n＋1)min＝2，故实数λ的取值范围为(－∞，2)．。
等差数列-等比数列的综合应用
课时作业12 等差、等比数列的综合问题时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．等差数列{a n }中，a 3＋a 11＝8，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6·b 8的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】 D【解析】 ∵a 3＋a 11＝2a 7，∴a 7＝4，∴b 6·b 8＝b 27＝a 27＝16，故选D.2．(2013·新课标Ⅱ理)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )A.13 B ．－13C.19D ．－19【答案】 C【解析】 ∵S 3＝a 2＋10a 1，∴a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，a 3＝9a 1，又∵a 5＝9，∴9＝a 3·q 2＝9a 1q 2，∴a 1q 2＝1，由a 3＝9a 1＝a 1·q 2，∴q 2＝9，故a 1＝19.3．(2013·新课标Ⅰ理)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________.【答案】 (－2)n －1 【解析】 ∵S n ＝23a n ＋13，∴当n ＝1时，S 1＝23a 1＋13＝a 1，∴a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(23a n ＋13)－(23a n －1＋13)＝23a n －23a n －1，∴a na n －1＝－2，∴a n ＝1×(－2)n －1＝(－2)n －1.4．在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.【分析】 (1)由a 1＝10结合等比数列的性质可求得d 的值，进而求出a n ；(2)首先确定出⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，的n 值，然后分类讨论．【解析】 (1)由题意得a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，a 1＝10， 即d 2－3d －4＝0. 故d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈N ＋或a n ＝4n ＋6，n ∈N ＋.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，得d ＝－1，a n ＝－n ＋11.则当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n .当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11 ＝12n2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ， n ≤11，12n 2－212n ＋110， n ≥12.课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．数列{a n}的通项公式为a n＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于( )A．200 B．－200C．400 D．－400【答案】B【解析】S100＝1－5＋9－13＋…＋(4×99－3)－(4×100－3)＝50×(－4)＝－200.2．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝( )A．1 B．2C．4 D．8【答案】A【解析】利用等比数列的性质和通项公式求解．∵a3·a11＝16，∴a27＝16.又∵a n>0，∴a7＝4，a5＝a7·q－2＝4×2－2＝1.故选A.3．在等比数列{a n}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝( )A．135 B．100C ．95D ．80【答案】 A【解析】 由等比数列的性质知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，其首项为40，公比为6040＝32.∴a 7＋a 8＝40×(32)3＝135.4．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116 D.158【答案】 C【解析】 由题知q 3＝S 6－S 3S 3＝8，则q ＝2，由数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是公比为12，首项为1的等比数列，其前5项和T 5＝1×1－1251－12＝3116，故选C.5．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a 50＝200，a 51＋a 52＋…＋a 100＝2 700，则a 1等于( )A ．－1 221B ．－21.5C ．－20.5D ．－20【答案】 C【解析】 设{a n }公差为d ，则a 51＋a 52＋…＋a 100＝2 700＝200＋50×50d ，∴d ＝1.把d ＝1代入a 1＋a 2＋…＋a 50＝200，可得a 1＝－20.5.6．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足S n ＝n90(21n －n 2－5)(n ＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( )A ．5月、6月B ．6月、7月C ．7月、8月D ．8月、9月【答案】 C【解析】 设第n 个月份的需求量超过1.5万件．则S n －S n －1＝n90(21n －n 2－5)－n －190[21(n －1)－(n －1)2－5]＞1.5，解不等式，得n 2－15n ＋54＜0，即6＜n ＜9.∴应选C.7．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29【答案】 C【解析】 由a 2·a 3＝2a 1知a 21q 3＝2a 1，又a 1≠0.∴a 1q 3＝2，由a 4和2a 7的等差中项为54得，52＝a 4＋2a 7，即52＝a 1q 3＋2a 1q 6＝2＋4q 3，∴q 3＝18，q ＝12；∴a 1＝16，S 5＝161－1251－12＝31.8．数列1×12，2×14，3×18，4×116，…的前n 项和为( )A ．2－n 2n ＋1－12n B ．2－12n －1－n2nC.12(n 2＋n ＋2)－12nD.12(n ＋1)n ＋1－12n ＋1 【答案】 B【解析】 S n ＝1×12＋2×14＋3×18＋…＋n ×12n ，①∴12S n ＝1×122＋2×18＋…＋(n －2)12n －1＋(n －1)·12n ＋n ×12n ＋1，② ①－②，得：12S n ＝1×12＋1×14＋1×18＋…＋12n －n ×12n ＋1.12S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－n 2n ＋1.∴S n ＝2－12n －1－n 2n . 二、填空题(每小题10分，共20分)9．已知1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2＝________.【答案】 52【解析】 由题意知，a 1＋a 2＝1＋4＝5，b 22＝b 1·b 3＝1×4，∴b 2＝2或－2.又∵b 21＝1×b 2，∴b 2>0，故b 2＝2. ∴a 1＋a 2b 2＝52.10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N ＋，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.【答案】 11【解析】 利用“特殊值”法，确定公式．由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0.由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，则S 5＝a 11－q 51－q＝1－－253＝11.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }的前20项和S 20.【解析】 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d ， a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d .因为a 3，a 6，a 10成等比数列，所以a 3a 10＝a 26，即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2，整理得10d 2－10d ＝0， 解得d ＝0，或d ＝1.当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7， 于是S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330.12．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝(n 2＋n －λ)a n (n ＝1,2，…)，λ是常数．(1)当a 2＝－1时，求λ及a 3的值；(2)是否存在实数λ，使数列{a n }为等差数列？若存在，求出λ及数列{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由．【分析】 (1)把a 1，a 2及n 代入已知等式，即可求出λ，从而a 3也很容易求出．(2)假设存在实数λ，使数列{a n } 为等差数列，利用等差数列的定义求解．【解析】 (1)因为a n ＋1＝(n 2＋n －λ)a n (n ＝1,2，…)，且a 1＝1， 所以当a 2＝－1时，得－1＝2－λ，所以λ＝3， 所以a 3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3. (2)不存在实数λ使 数列{a n }为等差数列． 理由如下：由a 1＝1，a n ＋1＝(n 2＋n －λ)a n ， 得a 2＝2－λ，a 3＝(6－λ)(2－λ)． 若存在实数λ，使数列{a n }为等差数列． 则a 3－a 2＝a 2－a 1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.精品所以a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24，这与{a n}为等差数列矛盾．所以不存在λ使数列{a n}为等差数列．【规律方法】根据等差数列的定义可知，一个数列是不是等差数列，要看任意相邻两项的差是不是同一个常数，要判断一个数列是否为等差数列，需证明a n＋1－a n＝d(d为常数)．-可编辑-。
2020学年高中数学课时分层作业1数列的概念(含解析)北师大版必修5(2021-2022学年)
课时分层作业（一)（建议用时：60分钟)［基础达标练]一、选择题１.下列说法：①如果已知数列的通项公式，可求出数列中的任何一项；②数列１，-１，１,-1，…与数列－１，1,-1,1,…是同一数列;③所有的数列都有通项公式,且只有一个;④数列1,2,３,…,n是无穷数列．其中正确说法的个数是(）Ａ．1 ﻩ B.２Ｃ.3ﻩ D.4A［①正确;②不正确,数列1，-1,1，－1,…与数列-1,1,-1，1,…不是同一数列；③不正确，有的数列没有通项公式,有的数列的通项公式不止一个；④不正确，数列１,2,3，…,n是有穷数列，共n项,故选A。
］2．已知数列{ａn}的通项公式是a n＝n２＋2,则其第3,4项分别是()A.11,3ﻩＢ.１1，15C．1１,18 Ｄ．1３，18C［a3＝３2＋２＝11,a4＝42＋２=1８。
］3．已知数列{ａｎ}的通项公式为a n=25-２ｎ,下列数中不是数列{aｎ｝的项的是（)Ａ．1 B．-１Ｃ.2ﻩ D.3C [由ａn＝２5－2n,知a11＝3,ａ１2=1，a13=-1,所以2不是数列｛a n}中的项．]4．已知数列的通项公式是aｎ=错误!则该数列的前两项分别是( ) A．2,４ﻩＢ.2，２Ｃ．2,0 D．1,2B[当ｎ=１时,ａ1=２;当ｎ＝2时，ａ2＝22-2=2.]ﻬ5。
如图，各图形中的点的个数构成一个数列,该数列的一个通项公式是( )A．ａn=n2－ｎ+１ﻩＢ.a n=错误!未定义书签。
C.a n=＼f(ｎ(n＋１)，2) Ｄ.aｎ=错误!C［法一：将各图形中点的个数代入四个选项便可得到正确结果．图形中,点的个数依次为1，３,6，１０，代入验证可知正确答案为C 。
法二：观察各个图中点的个数，寻找相邻图形中点个数之间的关系,然后归纳一个通项公式.观察点的个数的增加趋势可以发现，ａ1=错误!,a 2＝错误!未定义书签。
，a ３＝错误!，ａ4=错误!未定义书签。
,所以猜想a n =错误!,故选Ｃ.］二、填空题６．数列错误!，错误!,错误!,错误!未定义书签。
《红对勾》2021届高三数学第一轮复习北师大版 课时作业32 Word版含解析
课时作业32 数列的综合应用一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知{a n }为等比数列．下面结论中正确的是( ) A ．a 1＋a 3≥2a 2 B ．a 21＋a 23≥2a 22C ．若a 1＝a 3，则a 1＝a 2D ．若a 3>a 1，则a 4>a 2解析：设公比为q ，对于选项A ，当a 1<0，q ≠1时不正确；选项C ，当q ＝－1时不正确；选项D ，当a 1＝1，q ＝－2时不正确；选项B 正确，由于a 21＋a 23≥2a 1a 3＝2a 22.答案：B2．(2022·威海期中)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但假如年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为疼惜环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( )A ．5年B ．6年C ．7年D ．8年解析：由已知可得第n 年的产量a n ＝f (n )－f (n －1)＝3n 2.当n ＝1时也适合，据题意令a n ≥150⇒n ≥52，即数列从第8项开头超过150，即这条生产线最多生产7年．答案：C3．(2021·福州模拟)在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }前n 项的和，若S n 取得最大值，则n ＝( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：设公差为d ，由题设3(a 1＋3d )＝7(a 1＋6d )， 所以d ＝－433a 1<0.解不等式a n >0，即a 1＋(n －1)(－433a 1)>0， 所以n <374，则n ≤9，当n ≤9时，a n >0，同理可得n ≥10时，a n <0. 故当n ＝9时，S n 取得最大值． 答案：C4．黑白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地砖的块数是( )A ．4n ＋2B ．4n －2C ．2n ＋4D ．3n ＋3解析：白色地砖的块数成等差数列，其公差为4，即得通项为4n ＋2.故选A. 答案：A5．(2022·湖南十二校联考)设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，对任意x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N ＋)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是( )A.12≤S n <2 B.12≤S n ≤2 C.12≤S n ≤1D.12≤S n <1解析：由条件得：f (n )·f (1)＝f (n ＋1)，即a n ＋1＝a n ·12，所以数列{a n }是首项与公比均为12的等比数列，求和得S n ＝1－(12)n ，所以12≤S n <1.答案：D6．设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N ＋)的前n项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.n n －1D.n ＋1n解析：f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2， ∴f (x )＝x (x ＋1)，1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1＝n n ＋1. 答案：A7．(2022·浙江金华一中月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 10＝110，则S n ＋64a n的最小值为( )A ．7B ．8 C.152D.172解析：由题意知⎩⎨⎧a 1＋d ＝4，10a 1＋45d ＝110.∴⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝2.∴S n ＝n 2＋n ，a n ＝2n .∴S n ＋64a n＝n 2＋n ＋642n＝n 2＋12＋32n ≥12＋2n 2·32n ＝172.等号成立时，n 2＝32n ，∴n＝8，故选D.答案：D8．(2021·辽宁理，4)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列； p 3：数列{a nn }是递增数列； p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列． 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4解析：对于p 1，数列{a n }的公差d >0，所以数列是递增数列；对于p 4，由于(a n＋1＋3(n ＋1)d )－(a n ＋3nd )＝d ＋3(n ＋1)d －3nd ＝4d >0，是递增数列．对于p 2，由于(n ＋1)a n ＋1－na n ＝(n ＋1)a n ＋(n ＋1)d －na n ＝a 1＋2nd ，a 1不知道正负，不愿定大于零，所以不愿定是递增数列；同理，对于p 3，也不愿定是递增数列，选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)9．(2022·赣州模拟)设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N ＋)的解集中整数的个数。
高考数学一轮复习 第六章 数列 第3讲 等比数列及其前n项和配套课时作业 理(含解析)新人教A版-新
第3讲 等比数列及其前n 项和配套课时作业1．(2019·某某某某模拟)已知等比数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝8，则a 3a 4a 5＝( ) A ．±64 B ．64 C ．32 D ．16答案 B解析 因为a 2＝2，a 6＝8，所以由等比数列的性质可知a 2·a 6＝a 24＝16，而a 2，a 4，a 6同号，所以a 4＝4，所以a 3a 4a 5＝a 34＝64.故选B.2．(2019·某某调研)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝3，a 4＝24，则S 6＝( ) A ．93 B ．189 C ．99 D ．195答案 B解析 ∵a 4＝a 1q 3＝3q 3＝24，∴q ＝2，∴S 6＝a 11－q 61－q＝189.故选B.3．已知正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝( ) A.56 B.65 C.23 D.32答案 D解析 由等比数列性质可知a 2a 8＝a 4a 6＝6，故a 4，a 6分别是方程x 2－5x ＋6＝0的两根．因为a n ＋1<a n ，所以a 4＝3，a 6＝2，故a 5a 7＝a 4a 6＝32.故选D.4．(2019·某某模拟)设a 1＝2，数列{1＋2a n }是公比为2的等比数列，则a 6＝( ) A ．31.5 B ．160 C ．79.5 D ．159.5答案 C解析 因为1＋2a n ＝(1＋2a 1)·2n －1，则a n ＝5·2n －1－12，a n ＝5·2n －2－12. a 6＝5×24－12＝5×16－12＝80－12＝79.5.5．(2019·某某某某中学调研)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 5＝2a 3，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．29B ．31C ．33D ．36答案 B解析 由a 2a 5＝a 3a 4＝2a 3，得a 4＝ 2.又a 4＋2a 7＝2×54，所以a 7＝14，又因为a 7＝a 4q 3，所以q ＝12，所以a 1＝16，所以S 5＝16×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝31.故选B.6．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＋a 3＋a 5＝a 1(1＋q 2＋q 4)＝21，即q 4＋q 2＋1＝7，解得q 2＝2，所以a 3＋a 5＋a 7＝(a 1＋a 3＋a 5)×q 2＝21×2＝42.故选B.7．在递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n －2＝64(n >2)，且前n 项和S n ＝42，则n ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 A解析 由a 1＋a n ＝34，a 1a n ＝a 3a n －2＝64及{a n }为递增数列，得a 1＝2，a n ＝32＝a 1qn －1，又S n ＝a 11－q n1－q＝42，∴q ＝4，n ＝3.故选A.8．(2019·某某模拟)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( ) A ．2 B ．73 C ．310 D ．1或2答案 B解析 设S 2＝k ，S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，∴S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，S 4＝3k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73.故选B.9．(2019·延庆模拟)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1)C ．n n ＋12D ．n n －12答案 A解析 ∵a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 2·a 8，即(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )， 将d ＝2代入上式，解得a 1＝2， ∴S n ＝2n ＋n n －1·22＝n (n ＋1)．故选A.10．(2019·北大附中模拟)若正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝22n －1B ．a n ＝2nC ．a n ＝22n ＋1D ．a n ＝22n －3答案 A解析 ∵a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝(a n ＋1－4a n )(a n ＋1＋a n )＝0，又a n ＋1＋a n >0，∴a n ＋1＝4a n ，∴a n ＝2×4n －1＝22n －1.故选A.11．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 8＝2a 4，S 4＝4，则S 8的值为( ) A ．4 B ．8 C ．10 D ．12答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由题意知q ≠1.因为a 8＝2a 4，S 4＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 7a 1q 3＝2，a 11－q 41－q＝4，解得q 4＝2，a 1＝－4(1－q )，所以S 8＝a 11－q 81－q＝－41－q 1－221－q＝12.故选D.12．记等比数列{a n }的前n 项积为T n (n ∈N *)，已知a m －1·a m ＋1－2a m ＝0，且T 2m －1＝128，则m 的值为( )A ．4B ．7C ．10D ．12答案 A解析 因为{a n }是等比数列，所以a m －1a m ＋1＝a 2m .又a m －1a m ＋1－2a m ＝0，则a 2m －2a m ＝0，所以a m ＝2.由等比数列的性质可知前2m －1项积T 2m －1＝a 2m －1m ，即22m －1＝128，故m ＝4.故选A.13．(2019·某某模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋3，则S 4＝________.答案 66解析 依题意有a n ＝2S n －1＋3(n ≥2)，与原式作差，得a n ＋1－a n ＝2a n ，n ≥2，即a n ＋1＝3a n ，n ≥2，可见，数列{a n }从第二项起是公比为3的等比数列，a 2＝5，所以S 4＝1＋5×1－331－3＝66.14．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 答案 3n －1解析 由3S 1,2S 2，S 3成等差数列可得4S 2＝3S 1＋S 3，所以3(S 2－S 1)＝S 3－S 2，即3a 2＝a 3，a 3a 2＝3.所以q ＝3，所以a n ＝3n －1. 15．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.答案 2n解析 ∵a 25＝a 10，∴(a 1q 4)2＝a 1q 9，∴a 1＝q ，∴a n ＝q n.∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，∴2a n (1＋q 2)＝5a n q ，∴2(1＋q 2)＝5q ，解得q ＝2或q ＝12(舍去)．∴a n ＝2n.16．(2019·启东模拟)已知等比数列{a n }中，a 2>a 3＝1，则使不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n ≥0成立的最大自然数n 是________．答案 5解析 设公比为q ，由a 2>a 3＝1知0<q <1，a n ＝q n －3，∴不等式的左端＝q －21－q n1－q－q 21－q －n 1－q －1＝1－q n1－q q2·(1－q 5－n)≥0，∵0<q <1，∴n ≤5. 17．(2018·高考)设{a n }是等差数列，且a 1＝ln 2，a 2＋a 3＝5ln 2. (1)求{a n }的通项公式； (2)求e a 1＋e a 2＋…＋e an . 解 (1)设{a n }的公差为d .因为a 2＋a 3＝5ln 2，所以2a 1＋3d ＝5ln 2. 又a 1＝ln 2，所以d ＝ln 2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ln 2. (2)因为ea 1＝eln 2＝2，eane a n －1＝e an －an －1＝eln 2＝2，所以{e an }是首项为2，公比为2的等比数列． 所以ea 1＋ea 2＋…＋e an ＝2×1－2n1－2＝2(2n－1)．18．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)．设b n ＝a n ＋1－a n . (1)证明：数列{b n }是等比数列； (2)设＝b n4n 2－12n，求数列{}的前n 项和S n .解 (1)证明：因为a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝a n ＋1－a n ， 所以b n ＋1b n ＝a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝3a n ＋1－2a n －a n ＋1a n ＋1－a n ＝2a n ＋1－a na n ＋1－a n＝2， 又b 1＝a 2－a 1＝2－1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以2为公比的等比数列． (2)由(1)知b n ＝1×2n －1＝2n －1，因为＝b n4n 2－12n，所以＝122n ＋12n －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以S n ＝c 1＋c 2＋…＋＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n4n ＋2.19．(2019·某某省实验中学模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q >0，S 2＝2a 2－2，S 3＝a 4－2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝n a n，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 2＝2a 2－2，①S 3＝a 4－2，②所以由①②两式相减得a 3＝a 4－2a 2，即q 2－q －2＝0. 又因为q >0，所以q ＝2.又因为S 2＝2a 2－2，所以a 1＋a 2＝2a 2－2，所以a 1＋a 1q ＝2a 1q －2， 代入q ＝2，解得a 1＝2，所以a n ＝2n. (2)由(1)得b n ＝n2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，①将①式两边同乘12，得12T n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，②由①②两式错位相减得12T n ＝12＋122＋123＋124＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1，整理得T n ＝2－n ＋22n.20．(2019·正定模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且3a n ＋1＋2S n ＝3(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若对任意n ∈N *，k ≤S n 恒成立，某某数k 的最大值． 解 (1)因为3a n ＋1＋2S n ＝3，① 所以当n ≥2时，3a n ＋2S n －1＝3.②由①－②，得3a n ＋1－3a n ＋2a n ＝0(n ≥2)，所以a n ＋1a n ＝13(n ≥2)． 因为a 1＝1,3a 2＋2a 1＝3，解得a 2＝13，所以a 2a 1＝13.所以数列{a n }是首项为1，公比为13的等比数列．所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.(2)由(1)知S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .由题意，可知对于任意n ∈N *，恒有k ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 成立．因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 单调递增，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 中的最小项为23，所以k ≤32×23＝1，故实数k 的最大值为1.。
高中数学必修课数列的概念与简单表示法
课
前
自
课 前 预 习 ········································· 明 确 目 标
主
预
习
新知初探
1．数列及其有关概念 (1)数列：按照一定_顺__序__排列的一列数称为数列． (2)项：数列中的每__一___个__数_叫做这个数列的项，第1项 通常也叫做_首__项_，若是有穷数列，最后一项也叫做末__项__．
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第二章 2.1 第1课时
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类型二 观察法求数列的通项公式 [例2] 根据下面数列的前几项，写出各数列的一个通 项公式． (1)9,99,999,9999，…； (2)112，245，3190，41167，…； (3)－1,0，－1,0，…； (4)1，23，12，25，….
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第二章 2.1 第1课时
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3．是否所有的Biblioteka 列都有通项公式？ 提示：不是．数列的通项公式实际就是相应函数的解 析式，并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有 的函数都能用解析式表示一样．
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第二章 2.1 第1课时
课
堂
互
例 练 结 合 ········································· 素 能 提 升
(3)(n，an)表示相应函数an＝f(n)图象上一些离散的点． (4)数列同函数一样，可以有单调性、有界性、最值 等．
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第二章 2.1 第1课时
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Microsoft Office PowerPoint，是微软公司 的演示文稿软件。用户可以在投影仪或者计算 机上进行演示，也可以将演示文稿打印出来， 制作成胶片，以便应用到更广泛的领域中。利 用Microsoft Office PowerPoint不仅可以创 建演示文稿，还可以在互联网上召开面对面会 议、远程会议或在网上给观众展示演示文稿。 Microsoft Office PowerPoint做出来的东西 叫演示文稿，其格式后缀名为：ppt、pptx； 或者也可以保存为：pdf、图片格式等
数列教案优秀3篇
数列教案优秀3篇数列教案篇一在本节课教学设计中，以学生身边的一个事例为背景，创设一个数学情境，激发了学生的学习兴趣和探究热情，体现了“人人学有价值的数学”的教学理念。
教师引进著名数学家高斯十岁时所做的一道计算题，通过此题的解法让学生发现规律，从而探索出等差数列的前n项和公式的推导过程。
这个过程反映了数学思维方法的灵活性，从学生丰富多彩的解答中，我们看到了“不同的人在数学上得到不同的发展”。
【教学背景】所授班级为普通班，学生的数学认知水平高低不一，所以，教师在问题探究的设置上要体现出知识的层次，力求使所有学生都能参与各种问题的探究。
【教学设计】一、教材分析1.教学内容“等差数列的前n项和”为苏教版必修5第二章第二节的第一课时，主要内容是等差数列前n项和的推导过程和简单应用。
2.地位与作用本节对“等差数列的前n项和”的推导，是在学生学习了等差数列通项公式的基础上进一步研究等差数列，其实学生已掌握等差数列的性质以及高斯求和法等相关知识。
对本节的研究，为学习数列求和提供了一种重要的思想方法――倒序相加求和法，具有承上启下的重要作用。
二、目标分析1.教学目标（1）掌握等差数列的前n项和公式及推导过程。
（2）会简单运用等差数列的前n项和公式。
（3）结合具体模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣，并通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。
2.教学重点、难点（1）重点：等差数列前n项和公式的推导和应用。
（2）难点：等差数列前n项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法。
三、教学模式与教法、学法本课采用“探究―发现”教学模式。
教师的教法：突出活动的组织设计与方法的引导。
学生的学法：突出探究、发现与交流。
四、教学活动设计1.新课引入创设情境：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支。
这个V形架上共放着多少支铅笔？问题就是（板书）“1+2+3+4+…+100=？”设计意图：利用实际，生活引入新课，形象直观。
数列 高中数学习题13-1
课时作业(十三)(第一次作业)1．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )A ．33B ．72C ．84D ．1892．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝( ) A ．2 B ．4 C.172 D.1523．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( ) A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n ) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n ) 4．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( ) A ．35 B ．33 C ．31 D ．295．等比数列{a n }中，公比q ≠1，它的前n 项和为M ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n 的前n 项和为N ，则M N ＝( ) A ．2a 12q n B.12a 1q n －1 C.12a 12q n －1 D ．2a 12q n －1 6．等比数列{a n }共有2n ＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则a n ＋1＝( ) A.65 B.56C ．20D ．110 7．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及：今有银一秤一斤十两，令甲、乙、丙从上作折半差分之．其意思是：现有银一秤一斤十两，将银分给甲、乙、丙三人，甲、乙、丙三人每一个人所得是前一个人所得的一半．若银的数量不变，按此法将银依次分给5个人，则得银最少的3个人一共得银(规定：1秤＝10斤，1斤＝10两)( )A.266127两B.889127两C.84031两D.1 11131两 8．等比数列的公比为2，前4项之和等于10，则前8项之和S 8＝________．9．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________． 10．在数列{a n }和{b n }中，a 1＝2，且对任意正整数n ，3a n ＋1－a n ＝0，b n 是a n 与a n ＋1的等差中项，则{b n }的前n 项和为________．11．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．912．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________． 13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝pn 2－2n ＋q (p ，q ∈R ，n ∈N *)．(1)求q 的值；(2)若a 3＝8，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .14．已知数列{a n }是公差为2，首项a 1＝1的等差数列，求数列{2a n }的前n 项和S n .15．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1，n ∈N *)．(1)求{a n }的通项公式；(2)等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .。
高中数学课时作业(湘教版选修第一册)课时作业(三) 等差数列及其通项公式
课时作业(三)等差数列及其通项公式[练基础]1．若数列{a n}的通项公式a n＝3－2n，则此数列()A．是公差为－2的等差数列B．是公差为2的等差数列C．是公差为3的等差数列D．是首项为3的等差数列2．[2022·湖南株洲长鸿实验学校高二月考]已知等差数列{a n}中，a2＋a8＝18，则a5＝()A．7 B．11C．9 D．183．在等差数列{a n}中，已知a7＝19，2a2＋a5＝21，则{a n}的公差d＝()A．4 B．3C．2 D．14．已知{a n}是等差数列，且a3－1是a2和a5的等差中项，则{a n}的公差为()A．－2 B．－1C．1 D．25．在等差数列{a n}中，a1＋a3＋a5＋a7＝120，则a2＋a4＋a6的值为()A．30 B．60C．90 D．1206．[2022·湖南雅礼中学高二期中](多选)下列数列中，是等差数列的是()A．1，4，7，10 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16C．25，24，23，22D．10，8，6，4，27．在等差数列{a n}中，已知5是a3和a6的等差中项，则a1＋a8＝________．8．[2022·湖南永州四中高二月考]在等差数列{a n}中，a3＝5，a8＝10.则a10＝________．9．已知等差数列{a n}中，a11＝20，a22＝86.(1)求数列{a n}的公差d和a1；(2)满足10<a n<150的共有几项．[提能力]10．(多选)下列说法错误的有()A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列D．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列11．已知数列{a n }满足a 1＝12 ，a n ＋1＝a n a n ＋1，则a 2 023＝( ) A ．12 021 B ．12 022C ．12 023D ．12 02412．在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝16，a 14＋a 15＋a 16≥53，则d 的取值范围为________．13．[2022·湖南邵东一中高二期中]数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23 ，且n ≥2时，有1a n －1＋1a n ＋1 ＝2a n，则a n ＝________． 14．数列{a n }满足a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N ＋，n ≥2)，已知a 3＝95.(1)求a 1，a 2；(2)若b n ＝13n (a n ＋t )(n ∈N ＋)，则是否存在实数t ，使{b n }为等差数列？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． [培优生]15．[2022·湖南长郡中学模拟](多选)在数列{a n }中，若a 2n －a 2n －1 ＝p (n ≥2，n ∈N ＋，p为常数)，则称{a n }为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是( )A ．若{a n }是等差数列，则{a 2n }是等方差数列B ．{(－1)n }是等方差数列C ．若{a n }是等方差数列，则{a kn }(k ∈N ＋，k 为常数)也是等方差数列D ．若{a n }是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列。
人教版高中数学选择性必修第二册4.1数列第1课时 同步作业(含解析)
人教版高中数学选择性必修第二册4.1数列第1课时同步作业（原卷版）1．数列23，45，67，89，…的第10项是()A.1617B.1819C.2021D.22232．已知数列12，23，34，45，…，那么0.94，0.96，0.98，0.99中属于该数列中某一项值的应当有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．2n 是数列1，2，4，…，2n ，…的第几项()A ．nB ．n ＋1C ．n －1D ．都不是4．已知数列{a n }前三项分别为－1，0，1，下列各式：①a n ＝n －2；②a n ＝（－1）n －12；③a n ＝(n －2)5；④a n ＝(n －2)＋(n －1)(n －2)(n －3)．其中，能作为数列{a n }的通项公式的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．数列12，16，112，120，…的一个通项公式是()A ．a n ＝1n （n －1）B ．a n ＝12（2n －1）C ．a n ＝1n －1n ＋1D ．a n ＝1－1n6．数列{a n }的通项公式a n ＝3n 2－28n ，则数列各项中最小项是()A ．第4项B ．第5项C ．第6项D ．第7项7．下图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n 个图有化学键()A ．6n 个B ．4n ＋2个C ．5n －1个D ．5n ＋1个8．【多选题】下列说法中，正确的是()A ．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}B ．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列C k 项为1＋1kD ．数列0，2，4，6，8，…可记为{2n －2}9．已知下列数列：①2000，2004，2008，2012；②0，12，23，…，n －1n ，…；③1，12，14，…，12n －1，…；④1，－23，35，…，（－1）n －1·n 2n －1，…；⑤1，0，－1，…，sin n π2，…；⑥6，6，6，6，6，6.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________，周期数列是________．(将合理的序号填在横线上)10．已知数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是项数n 的一次函数．(1)求数列{a n }的通项公式，并画出它的图象；(2)88是否是数列{a n }中的项？11．数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式a n ＝()A.19(10n －1) B.13(10n －1)D.310(10n －1)12．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *)，则a n ＋1－a n ＝()A.12n ＋1B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋213．数列{a n}的通项公式为a n＝log n＋1(n＋2)，则它前14项的积为________．14．数列{a n}的通项公式为a n＝30＋n－n2.(1)－60是否是{a n}中的一项？(2)当n分别取何值时，a n＝0，a n>0，a n<0?15．已知数列{a n}，a n＝cosnθ，0<θ<π6，a5＝12，则a10＝________．16．一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途(包括A，B)共有8站．从A地出发时，装上发往后面7站的邮件各1件，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的邮件，同时装上该站发往后面各站的邮件各1件，试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件数所成的数列，画出该数列的图象．人教版高中数学选择性必修第二册4.1数列第1课时同步作业（解析版）1．数列23，45，67，89，…的第10项是()A.1617B.1819C.2021D.2223答案C2．已知数列12，23，34，45，…，那么0.94，0.96，0.98，0.99中属于该数列中某一项值的应当有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案C 解析0.96＝96100＝2425，0.98＝98100＝4950，0.99＝99100.3．2n 是数列1，2，4，…，2n ，…的第几项()A ．nB ．n ＋1C ．n －1D ．都不是答案B4．已知数列{a n }前三项分别为－1，0，1，下列各式：①a n ＝n －2；②a n ＝（－1）n －12；③a n ＝(n －2)5；④a n ＝(n －2)＋(n －1)(n －2)(n －3)．其中，能作为数列{a n }的通项公式的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案C5．数列12，16，112，120，…的一个通项公式是()A ．a n ＝1n （n －1）B ．a n ＝12（2n －1）C ．a n ＝1n －1n ＋1D ．a n ＝1－1n答案C解析联系基本数列：2，6，12，20，…的通项为a n ＝n(n ＋1)，而1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.6．数列{a n }的通项公式a n ＝3n 2－28n ，则数列各项中最小项是()A ．第4项B ．第5项C ．第6项D ．第7项答案B解析a n ＝3n 2－28n ＝－1963，5离143最近．7．下图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n 个图有化学键()A ．6n 个B ．4n ＋2个C ．5n －1个D ．5n ＋1个答案D解析每个结构简图去掉最左边的一个化学键后，每个环上有5个化学键，故第n 个结构简图有5n ＋1个化学键．8．【多选题】下列说法中，正确的是()A ．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}B ．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列C k 项为1＋1kD ．数列0，2，4，6，8，…可记为{2n －2}答案CD解析A 中，{1，3，5，7}表示集合，所以A 不正确；B 中，数列中的各项是有顺序的，所以B 不正确；D 中，数列应记为{2n －2}，所以D 正确；很明显C 正确．9．已知下列数列：①2000，2004，2008，2012；②0，12，23，…，n －1n ，…；③1，12，14，…，12n －1，…；④1，－23，35，…，（－1）n －1·n 2n －1，…；⑤1，0，－1，…，sin n π2，…；⑥6，6，6，6，6，6.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________，周期数列是________．(将合理的序号填在横线上)答案①⑥②③④⑤①②③⑥④⑤⑤10．已知数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是项数n 的一次函数．(1)求数列{a n }的通项公式，并画出它的图象；(2)88是否是数列{a n }中的项？解析(1)设a n ＝an ＋b ，∴a 1＝2＝a ＋b ，a 17＝17a ＋b ＝66.∴a ＝4，b ＝－2.∴a n ＝4n －2(n ∈N ＋)．图象如图所示．(2)令4n －2＝88，得n ＝452∉N ＋，故88不是{a n }中的项．11．数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式a n ＝()A.19(10n －1) B.13(10n －1)D.310(10n －1)答案C12．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *)，则a n ＋1－a n ＝()A.12n ＋1B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2答案D 解析∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ，∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2.13．数列{a n }的通项公式为a n ＝log n ＋1(n ＋2)，则它前14项的积为________．答案4解析log 23·log 34·log 45·…·log 1516＝log 216＝4.14．数列{a n }的通项公式为a n ＝30＋n －n 2.(1)－60是否是{a n }中的一项？(2)当n 分别取何值时，a n ＝0，a n >0，a n <0?解析(1)假设－60是{a n }中的一项，则－60＝30＋n －n 2.解得n ＝10或n ＝－9(舍去)．∴－60是{a n}的第10项．(2)当n＝6时，a n＝0；当0<n<6时，a n>0；当n>6时，a n<0.15．已知数列{a n}，a n＝cosnθ，0<θ<π6，a5＝12，则a10＝________．答案－1 216．一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途(包括A，B)共有8站．从A地出发时，装上发往后面7站的邮件各1件，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的邮件，同时装上该站发往后面各站的邮件各1件，试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件数所成的数列，画出该数列的图象．解析将A，B之间所有站按1.2，3，4，5，6，7，8依次编号，通过计算，上面各站剩余邮件数依次排成数列：7，12，10，16，15，12，7，0.根据题意，列表，如下表．站号12345678剩余邮件数7121516151270该数列的图象如下图所示．。
课时作业2：3.1.3 第一课时 组合与组合数及组合数的性质
3.1.3组合与组合数第一课时组合与组合数及组合数的性质基础达标一、选择题1.给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？②有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法？③a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？其中是组合问题的个数是()A.0B.1C.2D.3解析②③为组合问题，①为排列问题.答案C2.集合M＝{x|x＝C n4，n≥0且n∈N}，集合Q＝{1，2，3，4}，则下列结论正确的是()A.M∪Q＝{0，1，2，3，4}B.Q⊆MC.M⊆QD.M∩Q＝{1，4}解析由C n4知n＝0，1，2，3，4，因为C04＝1，C14＝4，C24＝4×32×1＝6，C34＝C14＝4，C44＝1，所以M＝{1，4，6}.故M∩Q＝{1，4}.答案D3.若C n12＝C2n－312，则n等于()A.3B.5C.3或5D.15解析由组合数的性质得n＝2n－3或n＋2n－3＝12，且满足n≤12，2n－3≤12，解得n＝3或n＝5，故选C.答案 C4.A 3101C 2100＋C 97100等于( ) A.16B.101C.1107D.6解析 A 3101C 2100＋C 97100＝A 3101C 2100＋C 3100＝A 3101C 3101＝A 33＝6. 答案 D5.若A 3n ＝6C 4n ，则n 的值为( )A.6B.7C.8D.9 解析 由题意知n (n －1)(n －2)＝6·n （n －1）（n －2）（n －3）4×3×2×1，化简得n －34＝1，所以n ＝7.答案 B二、填空题6.不等式C 2n －n <5的解集为________.解析 由C 2n －n <5，得n （n －1）2－n <5， 即n 2－3n －10<0，解得－2<n <5，由题设条件知n ≥2，且n ∈N ＋，则n ＝2，3，4，故原不等式的解集为{2，3，4}.答案 {2，3，4}7.已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，则C 12n ＝________.解析 ∵C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，∴2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，∴2×n ！5！（n －5）！＝n ！4！（n －4）！＋n ！6！（n －6）！， 整理得n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝14，n ＝7(舍去)，则C 1214＝C 214＝91.答案 918.从2，3，5，7四个数中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积；任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ∶n ＝________.解析 ∵m ＝C 24，n ＝A 24，∴m ∶n ＝1∶2.答案 1∶2三、解答题9.计算下列各式的值：(1)C 37＋C 47＋C 58＋C 69；(2)C 5－n n ＋C 9－n n ＋1.解 (1)原式＝C 48＋C 58＋C 69＝C 59＋C 69＝C 610＝C 410＝210.(2)由组合数的性质可得：⎩⎨⎧0≤5－n ≤n ，0≤9－n ≤n ＋1， 解得4≤n ≤5，又n ∈N ＋，所以n ＝4或n ＝5.当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5；当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16.10.已知⎩⎪⎨⎪⎧C x n ＝C 2x n ，C x ＋1n＝113C x －1n ，试求x 和n 的值. 解 由C x n ＝C 2x n ，得x ＝2x 或x ＋2x ＝n ，即x ＝0或n ＝3x .显然当x ＝0时，C x －1n 无意义，把n ＝3x 代入C x ＋1n ＝113C x －1n ，得C x ＋13x ＝113C x －13x ， 即（3x ）！（x ＋1）！（2x －1）！＝113·（3x ）！（x －1）！（2x ＋1）！， 所以1x ＋1＝116（2x ＋1），解得x ＝5. 所以n ＝15.即所求x 的值为5，n 的值为15.能力提升11.对于所有满足1≤m ≤n ≤5的自然数m ，n ，方程x 2＋C m n y 2＝1所表示的不同椭圆的个数为( )A.15B.7C.6D.0解析 因为1≤m ≤n ≤5，且方程表示椭圆，所以C m n 可能为C 12，C 13，C 23，C 14，C 24，C 34，C 15，C 25，C 35，C 45，其中C 13＝C 23，C 14＝C 34，C 15＝C 45，C 25＝C 35，所以x 2＋C m n y 2＝1能表示的不同椭圆有6个.答案 C12.规定C m x ＝x （x －1）…（x －m ＋1）m ！，其中x ∈R ，m ∈N ＋，且C 0x ＝1，这是组合数C m n (n ，m 是正整数，且m ≤n )的一种推广：(1)求C 3－15的值；(2)设x >0，当x 为何值时，C 3x （C 1x ）2取得最小值？ (3)组合数的两个性质：①C m n ＝C n －m n ；②C m ＋1n ＋C m n ＝C m ＋1n ＋1是否推广到C m x (x ∈R ，m ∈N ＋)的情形？若能推广，则写出推广的形式不用证明；若不能，说明理由.解 (1)C 3－15＝（－15）（－16）（－17）3！＝－680. (2)C 3x （C 1x ）2＝x （x －1）（x －2）6x 2＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x －3. ∵x >0，x ＋2x ≥22，当且仅当x ＝2时，等号成立∴当x ＝2时，C 3x （C 1x ）2取得最小值.创新猜想13.(多选题)下列四个组合数公式，对n ，k ∈N ＋，约定0！＝C 00＝1，其中正确的命题是( )A.C k n ＝A k n k ！(0≤k ≤n ) B.C k n ＝C n －k n (0≤k ≤n )C.k n C k n ＝C k －1n －1(1≤k ≤n )D.C k n ＝C k n －1＋C k －1n －1(1≤k ≤n )解析 A.C k n ＝A k n A k k＝A k n k ！(0≤k ≤n )成立； B.C k n ＝A k n k ！＝n ！k ！（n －k ）！，C n －k n ＝n ！（n －k ）！[n －（n －k ）]！＝n ！k ！（n －k ）！(0≤k ≤n )成立；C.k n C k n ＝k n ·n ！k ！（n －k ）！＝（n －1）！（k －1）！（n －k ）！，C k －1n －1＝（n －1）！（k －1）！（n －1－k ＋1）！＝（n －1）！（k －1）！（n －k ）！成立； D.利用组合数的性质可知正确.答案 ABCD14.(多空题)C m x ＋1＋C m ＋1x ＋1＝C m n 及m n C m n ＝C m ＋1y (n ≥2，x ，y ，m ，n ∈N ＋)，则x ＝________，y ＝________(结果用n 表示).解析C m x ＋1＋C m ＋1x ＋1＝C m ＋1x ＋2＝C m n ⇒⎩⎨⎧x ＋2＝n ，m ＋1＋m ＝n ⇒x ＝n －2. m n C m n ＝m n ·n ！m ！（n －m ）！＝（n －1）！（m －1）！（n －m ）！＝C m －1n －1＝C m ＋1y ⇒⎩⎨⎧n －1＝y ，m －1＋m ＋1＝n －1⇒y ＝n －1. 答案 n －2 n －1。
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第三课时作业：数列的综合（一）
一、填空题：
1. 已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n
n 的最小值为________．
2.【扬州市2013届高三期末】数列{}n a 满足111,1(1)n n n a a a a +>-=-，()n N +∈，且
122012
111a a a +++ =2，则201314a a -的最小值为 ▲ ．
3. 已知等比数列{}n a 的首项81=a ，令n n a b 2
l
o g =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，若3S 是
数列{}n S 中的唯一最大项，则{}n a 的公比q 的取值范围是 .
4. 【天津市新华中学2013届高三第三次月考理】在数列{}n a 中，7
(1)()8
n
n a n =+，则数列{}n a 中的最大项是第 项。
5. 已知数列{a n }为等差数列，若a 5
a 6<－1，则数列{|a n |}的最小项是第________项．
6. 【北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习（一）理】在等差数列{}n a 中，
0>n a ，且301021=+++a a a ，则65a a ⋅的最大值是
7.【阜宁中学2014届高三第一次调研】设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若
11a =,21179
d -<<-,则当n S 取最大值时,n 的值为________.
8. 【扬州市2012-2013学年度第一学期期末】数列{}n a 满足111,1(1)n n n a a a a +>-=-,()n N +∈,
且 122012
111a a a +++ =2,则201314a a -的最小值为 .
二、解答题：
9.【扬州市2013届高三上学期期中】设数列{}n a ,对任意*
n N
∈都有
112()()2()n n kn b a a p a a a +++=++ ,(其中
k 、b 、p 是常数). (1)当0k =,3b =,4p =-时,求123n a a a a ++++ ;
(2)当1k =,0b =,0p =时,若33a =,915a =,求数列{}n a 的通项公式;
(3)若数列{}n a 中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.当
1k =,0b =,0p =时,设n S 是数列{}n a 的前n 项和,212a a -=,试问:是否存在这样的“封
闭数列” {}n a ,使得对任意*
n N ∈,都有0n S ≠,且
12311111111218
n S S S S <++++< .若存在,求数列{}n a 的首项1a 的所有取值;若不存在,说明理由.
参考答案： 1. 212
2. 2
7-
3. 1(
)42
4. 6或7
5.6
6.9
7.9
8. 27
-
9. 解:(1)当0k =,3b =,4p =-时,
1123()42()n n a a a a a +-=++ , ①
用1n +去代n 得,111213()42()n n n a a a a a a +++-=+++ , ② ②-①得,113()2n n n a a a ++-=,13n n a a +=, 在①中令1n =得,11a =,则n a ≠0,∴
1
3n n
a a +=, ∴数列{}n a 是以首项为1,公比为3的等比数列,
∴123n a a a a ++++ =31
2
n -
(2)当1k =,0b =,0p =时,112()2()n n n a a a a a +=++ , ③ 用1n +去代n 得,11121(1)()2()n n n n a a a a a a ++++=+++ , ④ ④-③得, 11(1)0n n n a na a +--+=, ⑤ 用1n +去代n 得,211(1)0n n na n a a ++-++=, ⑥
⑥-⑤得,2120n n n na na na ++-+=,即211n n n n a a a a +++-=-, ∴数列{}n a 是等差数列.
∵33a =,915a =,∴公差93
293
a a d -=
=-,∴23n a n =-
(3)由(2)知数列{}n a 是等差数列,∵212a a -=,∴12(1)n a a n =+-. 又{}n a 是“封闭数列”,得:对任意,m n N *
∈,必存在p N *
∈使
1112(1)2(1)2(1)a n a m a p +-++-=+-,
得12(1)a p m n =--+,故1a 是偶数, 又由已知,
111111218S <<,故1181211
a <<. 一方面,当
118
1211
a <<时, 1(1)n S n n a =+-0>,对任意*n N ∈,都有
123111111112
n S S S S S ++++≥> . 另一方面,
当12a =时,(1)n S n n =+,
111
1
n S n n =-+, 则
1231111111
n S S S S n ++++=-+ , 取2n =,则
12111211
13318
S S +=-=>,不合题意 当14a =时,(3)n S n n =+,
1111
()33
n S n n =-+,则 1231111111111()183123n S S S S n n n ++++=-+++++ 1118
<, 当16a ≥时,1(1)n S n n a =+-(3)n n >+,
1111
()33
n S n n <-+, 123111*********()18312318
n S S S S n n n ++++<-++<+++ , 又118
1211
a <<,∴14a =或16a =或18a =或110a =。