167;4.1随机变量序列两种收敛性167;4.2特征函数167;4.3大数定律
随机变量序列的两种收敛性
§4.2随机变量序列的两种收敛性在上一节中，我们从频率的稳定性出发，引入了n η=∑=n i i n 11ξ−→−p a （n ∞→） 即随机变量序列{}n η依概率收敛于常数a 这么一个概念。
我们自然可以把所讨论的问题推广到a 不是一个常数，而是一个随机变量这样的情形，于是需要引入下面的定义。
定义4.2 设有一列随机变量1η，2η，3η，…，n η，如果对任意的ε>0,都有 lim ∞→n P ()εηη<-n （4.6）则称随机变量序列{}n η依概率收敛于η，并记作lim ∞→n r η−→−p η 或n η−→−p η （n ∞→） 由此可知，前一节中讨论过的大数定律只是上述依概率收敛的一种特殊情况。
我们已经知道分布函数全面地描述了随机变量的统计规律，如果已知n η−→−p η（n ∞→），那么它们相应的分布函数n F （x ）与F （x ）之间的关系会有什么样的关系呢?一个猜测是,对所有的x ，都有n F （x ）→ F （x ）（n ∞→）成立，这个猜测对不对呢?让我们看一个很简单的例子。
例4.2 设η，n η都是服从退化分布的随机变量，且P （η=0）=1,P （n η=-n 1）=1，n=1,2,… 于是对任给的ε>0，当n>ε1时有 P （ηη-n ≥ε）=P （n η≥ε）=0所以n η−→−p η （n ∞→） 成立。
又设η，n η的分布函数分别为F （x ），n F （x ），则F （x ）=⎩⎨⎧≤>0,20,1x xF （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧-≤->n x n x 1,21,1 显然,当x ≠0时，lim ∞→n n F （x ）= F （x ）成立，当x=0时，lim ∞→n n F （0）=lim ∞→n 1=1≠0= F （0） 这个简单的例子表明，一个随机变量序列依概率收敛于某一个随机变量，相应的分布函数列不一定是在每一点上都收敛于这个随机变量的分布函数的。
概率论与数理统计教程(茆诗松)第4章
解：用 Xi=1表示第i个部件正常工作, 反之记为Xi=0. 又记Y=X1+X2+…+X100，则 E(Y)=90，Var(Y)=9.
由此得：
P{Y
85}
ห้องสมุดไป่ตู้
1
85
0.5 9
90
0.966.
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第四章 大数定律与中心极限定理
第10页
二、给定 n 和概率，求 y
例4.4.4 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，
第6页
4.4.3 二项分布的正态近似
定理4.4.2 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理
设n 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当 n
充分大时，有
lim
n
P
n
np npq
y
( y)
是林德贝格—勒维中心极限定理的特例.
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第四章 大数定律与中心极限定理
第7页
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第四章 大数定律与中心极限定理
第5页
例4.4.2 设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为
X 10 9 8 7
6
P 0.8 0.1 0.05 0.02 0.03
求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率.
解: 设 Xi 为第 i 次射击命中的环数，则Xi 独立同分布，
且 E(Xi) =9.62，Var(Xi) =0.82，故
P
900
100 i 1
Xi
930
930 100 9.62 100 0.82
900 100 9.62 100 0.82
概率论_特征函数
概率论_特征函数特征函数（characteristic function）是概率论中一个非常重要的工具，它能够完全描述一个随机变量的分布，并且可以用来推导和证明一系列的性质和定理。
特征函数具有许多重要的性质，如唯一决定定理、独立性的性质、收敛性的性质等。
特征函数的定义如下：对于一个随机变量X，它的特征函数$\varphi(t)$定义为$E[e^{itX}]$，其中 i 是复数单位，t 是实数。
特征函数是关于 t 的复数函数，其实部和虚部分别是 $\cos(tx)$ 和$\sin(tx)$。
特征函数的一个重要性质是唯一决定性（uniqueness），即对于一个分布，它的特征函数是唯一确定的，并且确定了分布的所有性质。
这一性质使得特征函数成为一种描述概率分布的有效工具。
对于连续分布，特征函数可以通过概率密度函数和积分的关系得到，对于离散分布，特征函数可以通过概率质量函数和求和的关系得到。
另一个重要的性质是独立性的性质。
如果两个随机变量 X 和 Y 是独立的，那么它们的特征函数的乘积等于它们各自的特征函数的乘积。
即$\varphi_{X+Y}(t)=\varphi_X(t)\varphi_Y(t)$。
这个性质可以用来推导和证明随机变量的和的分布。
特别地，如果 X 和 Y 是独立同分布的，那么它们的特征函数的乘积等于它们特征函数的平方。
特征函数还有一个重要的性质是收敛性的性质。
对于一个随机变量序列X₁,X₂,...，如果它们的特征函数逐点收敛于一个函数，那么这个函数也是一个随机变量的特征函数，且收敛到的分布是弱收敛的。
这个性质可以用来证明中心极限定理等重要的结果。
特征函数在概率论和统计学中有广泛的应用。
它被用来推导和证明许多重要的定理，如中心极限定理、大数定律、极限理论等。
它还可以用来计算随机变量的矩、协方差、相关系数等统计量，并且可以用来推导各种分布族的性质。
特征函数的计算通常比较简单，只需计算指数函数的期望。
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第4~5章【圣才出品】
（1）|φ （t）|≤φ （0）＝1．
——————
——————
（2）φ （－t）＝φ （t），其中φ （t）表示 φ （t）的共轭．
（3）若 y＝aX＋b，其中 a，b 是常数，则 φ Y（t）＝eibtφ X（at）．
（4）独立随机变量和的特征函数为每个随机变量的特征函数的积．即设 X 与 Y 相互独
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P
Xn a
P
Yn b
则有 ①
P
X n Yn a b
②
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P
X n Yn a b
③
P
Xn Yn a b(b 0)
2．按分布收敛、弱收敛
（1）按分布收敛
设随机变量 X，X1，X2，…的分布函数分别为 F（X），F1（X），F2（X），…．若对 F（x）
p(x) x e n/21 x/2 ，x 0 Γ (n / 2)2n/2
exp
it
2t 2
2
(1 it )1
(1 it )
(1 2it )n / 2
贝塔分布
Be(a，b)
p(x) Γ (a b) xa1 (1 x)b1，0 x 1 Γ (a)Γ (b)
Γ (a b)
(it)k Γ (a k)
P
Xn x
或者说，绝对偏差|Xn－x|小于任一给定量的可能性将随着 n 增大而愈来愈接近于 1， 即等价于 P（|Xn－x|＜ε）→1（n→∞）．
特别当 x 为退化分布时，即 P（X－c）＝1，则称序列{Xn}依概率收敛于 C． （2）依概率收敛于常数的四则运算性质如下： 设{Xn}，{Yn}是两个随机变量序列，a，b 是两个常数．如果
东北林业大学2023自命题科目考研复试大纲：概率论与数理统计及常微分方程
东北林业大学2023自命题科目考研复试大纲：概率论与数理统计及常微分方程东北林业大学2023自命题科目考研复试大纲：概率论与数理统计及常微分方程由考研大纲频道为大家提供，更多考研资讯请____网站的更新!东北林业大学2023自命题科目考研复试大纲：概率论与数理统计及常微分方程考试科目名称：概率论与数理统计及常微分方程(一、)概率论与数理统计局部考试内容与范围：一、事件与概率1、随机事件和样本空间;2、概率与频率;3、古典概率;4、概率的公理化定义及概率的性质;5、条件概率、全概率公式和贝叶斯公式;6、独立性;7、贝努利概型。
二、离散型随机变量1、一维随机变量及分布列;2、多维随机变量、结合分布列和边际分布列;3、随机变量函数的分布列;4、数学期望的定义及性质;5、方差的定义及性质、6、条件分布与条件数学期望。
三、连续型随机变量1、随机变量及分布函数;2、连续型随机变量;3、多维随机变量及其分布;4、随机变量函数的分布;5、随机变量的数字特征、切贝雪夫不等式;6、条件分布与条件期望;7、特征函数。
四、大数定律与中心极限定理1、大数定律;2、随机变量序列的两种收敛性;3、中心极限定理。
五、数理统计的根本概念1、母体与子样、经历分布函数;2、统计量及其分布。
六、点估计1、矩法估计;2、极大似然估计;3、估计的有效性。
参考资料：魏宗舒等编，《概率论与数理统计教程》，高等教育出版社(二、)常微分方程局部考试内容与范围：一，初等积分法1，纯熟掌握初等积分法中的变量可别离方程解法、常数变易法、全微分方程解法(含积分因子的解法)及参数法和降阶法。
2，掌握证明一阶线性微分方程解的性质的根本方法。
3，掌握把实际问题抽象为常微分方程的根本方法。
二，根本定理1，理解常微分方程解的几何解释，理解解的存在唯一性及延展定理的证明;2，掌握奇解的求法。
3，掌握利用解的存在唯一性及延展定理证明有关方程解的某些性质的方法。
三，一阶线性微分方程组1，理解线性微分方程组解的构造，通解根本定理，掌握常数变易法和刘维尔公式;2，纯熟掌握常系数线性微分方程组的解法。
概率论课件 第4章第2讲随机变量序列的两种收敛性
0,当( x a)2 ( y b)2 2时有
| f ( x, y) f (a, b) |
于是 {| f (k ,k ) f (a, b) | } {( a)2 ( b)2 2 }
辛钦k 1n Nhomakorabeak
a | } 1
证明: {n } 同分布, 它们有相同的特征函数, 这个相同的特征函数记为 (t )
1 n 记 n k n k 1
a E ( k )
(0)
i
(t ) (0) (0)t o(t ) 1 iat o(t )
的分布函数Fn ( x) F ( x).
显然有 lim Fn ( x) F ( x)
n
L Xn Y
但对任意的0<ε<2,恒有
P{| n | } P{2 | | } 1
即不可能有{n }依概率收敛于
所以:依分布收敛依概率收敛不真
定理:随机变量序列依概率收敛于常数C 的充要条件是依分布收敛于常数C 证明:必要性已证,下面只证充分性
§4.2 随机变量序列的两种收敛性 上一节我们由大数定理可得,在贝努里试验中, 事件发生的频率稳定于概率,即
lim P{
n
n
n
P } 1
自然想到的是, 随机变量序列是否依 这种方式能稳定于一个随机变量呢 ?
这就是我们要讲的依概率收敛问题.
1
依概率收敛 定义：设{ n }是随机变量序列,若存在随机 变量 (或常数),对于任意ε>0,有
x x
令y x, z x,由x为F ( x)的连续点, 有
深圳大学课程教学大纲
深圳大学课程教学大纲李建华：《概率论与数理统计》课程教学大纲深圳大学数学与计算科学学院课程教学大纲（2006年10月重印版）课程编号 22123030C课程名称概率论与数理统计课程类别专业必修教材名称概率论与数理统计教程制订人李建华审核人魏正红2005年4月修订- 31 -李建华：《概率论与数理统计》课程教学大纲一、课程设计的指导思想（一）课程性质 1．课程类别：专业必修课 2．适应专业：数学与应用数学专业（数学教育方向） 3．开设学期：第四学期 4．学时安排：周学时5，总学时90 5．学分分配：5学分（二）开设目的概率论与数理统计是一门讲述随机变量的数学基础课，作为本科各专业的必修课程。
本课程的任务是通过各种教学环节，使学生掌握概率论的基本概念、基本理论、基本计算方法和数理统计的基本思想方法，还要求学生掌握统计推断的两大部分：参数估计、假设检验的基本内容和方法，培养学生能够运用概率统计知识处理实际问题的能力，为以后学习专业课程、从事专业工作和科学研究打下良好的基础。
（三）基本要求通过本课程学习，学生应掌握概率论的基本概念，基本方法，若干重要模型和极限定理；分析整理数据，并从中提炼出有用信息的方法以及掌握利用数据对考察对象进行分析和做出推断的有关理论和方法。
（四）主要内容本课程主要介绍概率论基本理论和基本统计方法及其应用。
首先讲述概率论的基础知识，然后介绍抽样理论和统计推断的内容（包括参数估计、假设检验、一元回归及方差分析）。
（五）先修课程数学分析、高等代数（六）后继课程多元统计公析，以及随机过程等课程（七）考核方式闭卷考试（八）使用教材魏宗舒. 概率论与数理统计教程[M]. 北京: 高等教育出版社, 1988年, 第二版. （九）参考书目 (1) 李贤平, 沈崇圣. 概率论与数理统计[M]. 上海: 复旦大学出版社, 2003年. (2) 盛骤等. 概率论与数理统计[M]. 北京: 高等教育出版社, 1989年. - 32 -李建华：《概率论与数理统计》课程教学大纲二、教学内容第一章事件与概率（15学时）教学目的要求能够理解随机事件、样本空间与随机变量的基本概念，掌握概率的运算公式。
5.2随机变量序列的两种收敛
即 n P (n )
证明 ：略。
Fn ( x) W F ( x)(n )
注意：这个定理的逆命题不一定成立，即不能从分布 函数列的弱收敛肯定相应的随机变量序列依概率收敛， 但在特殊情况下，它却是成立的。
概率论与数理统计
定理5.6 随机变量序列 n c(c为常数）
趋于0，是指当n无限增大时，
随机变量序列依概率收敛与函数序列收敛也不一样．
0, lim P(n ) 1 n n
概率论与数理统计 P
n
有了依概率收敛的概念，随机变量序列 n 服从大 1 n 1 n 数定律就可以表达为 0, lim P( i Ei ) 1 n n n
概率论与数理统计
2）、设 n , n 是两个随机变量序列， a，b为常数，
g (n ,n ) P g (a, b), (n ). 则
n P a,n P b 且在g(x,y)在点（a,b）处连续， 若
证明略，方法类似于1） 3）、若
n P ,n P ,
是否对 x R 都有
Fn ( x) F ( x)(n ) 成立。
这个猜测对不对？
概率论与数理统计
例2、设 , n 都是服从退化分布的随机变量，且
P 0 1
1 Pn 1, n 1,2, n
于是对 0, 当n 时有
于是
n 2 2 P( ) P( n ) P( n ) 0(n ) 2 2
即 0, 有P（ ） 1，从而P（ ） 1
这表明，若将两个以概率为1相等的随机变量看作 相等时，依概率收敛的极限是唯一的。
随机变量序列的几种收敛性和关系毕业论文
由上面四种收敛性间的关系可得：
几乎处处收敛 依概率收敛 依分布收敛.
阶收敛 依概率收敛 依分布收敛.
3.
因为随机变量取值的统计规律可由它的分布函数完全确定，所以自然会考虑利用分布函数的收敛性来定义随机变量的收敛性，又分布函数和特征函数一一对应，而判断一个分布函数的序列的收敛是否弱收敛有时是很麻烦的，但判断相应的特征函数序列的收敛性却往往比较容易，下面给出弱收敛的充要条件，首先做一些准备：
后来我们引入了伯努利概型来刻画独立重复试验.将一成功（即A发生）概率为p的试验独立重复n次，其中成功 次，则 是二项分布随机变量.
因此成功的频率 也是随机变量.其期望为p与n无关，且方差 当 时趋于0.熟知，方差为0的随机变量恒等于它的期望，所以当 时频率 应以概率p为极限.另一方面，可以写 ，其中 相互独立，具有一样的伯努利分布，至此，问题转化为研究 时 的平均值序列 的极限行为.鉴于已在上面讨论过随机变量列的各种收敛性，因此我们可以给出大数定律的严格定义.
注：由于 连续，如 广义均匀收敛到 ，则 必定是连续函数.
系1设分布函数列 对应的特征函数列为 ，则下列四条件等价：
（1） 弱收敛于某分布函数 ，
（2） 收敛到某函数 ， 在点0连续，
（3） 收敛到某连续函数 ，
（4） 广义均匀收敛到某函数 .
当任一条件满足时， 是 的特征函数.
下面说明系1中等价条件（2）中“ 在 的连续性”是不可缺少的条件.
则对任意的 ，有 成立.
证明：因为 有一样分布，所以也有一样的特征函数，记这个特征函数为 ，又因为 存在，从而特征函数 有展开式：
=
再由独立性知 的特征函数为
对任意取定的t,有
而 是退化分布的特征函数，相应的分布函数为
§4.1特征函数§4.2大数定律§4.3随机变量序列的两种收敛性
第10页
特征函数的定理
定理4.1.1 一致连续性.
定理4.1.2 非负定性.
定理4.1.3 逆转公式.
定理4.1.4 定理4.1.5
分布函数的唯一性.
连续场合，求p(密x)度函21数. eitx(t)dt
第11页
定理4.1.5 设X为连续型随机变量，密度函数
为p(x),若 | (t) | dt ,则 p(x) 1 eitx(t)dt 2
二、给定 n 和概率，求 y
例4 P237 15 设一家有500间客房的大旅馆的每间 客房装有一台2kw的空调机.若开房率为80%， 问需要多少kw的电力才能有99%的可能性保证 有足够的电力使用空调机？
第53页
三、给定 y 和概率，求 n
例5 用调查对象中的收看比例 作为某电
视节目的收视率 p 的估计 pˆ . 要有 90％ 的把握，使调查所得收视率 pˆ与实际收
第44页
练习 P238 6 某汽车销售点每天出售的汽车数服 从参数为λ＝2的泊松分布，若一年365天都经 营汽车销售，且每天出售的汽车数相互独立， 求一年中售出700辆以上汽车的概率.
第45页
例2 P238 4 掷一颗骰子100次，记第i次掷出的点
数为Xi , i=1,2,…,100,试求概率
å P{3 ＃ 1
性质4.1.1 |(t)| (0)=1
性质4.1.2 (t) (t)
性质4.1.3 aX b(t) eibtX (at)
第7页
性质4.1.4 若 X 与 Y 独立，则
X Y (t) X (t)Y (t)
性质4.1.5 若 E(X l )存在，则对0≤k≤l有
(k)(0) ik E(X k )
《概率论与数理统计课件》随机变量序列的收敛性
Fx 0 Fx 0．因此有
W
Fn x Fx ．
13
首先令 x x ，则由
X x X x, X n x X x, X n x
Xn x Xn X x x 得 Fx PX x PXn x P Xn X x x
Fn x P Xn X x x
14
P
由于 X n X ，所以当 n 时，有
28
例 4.3.3 如果随机变量 X 服从参数为 的
Poisson 分布，证明：
lim P X x 1
x
e
t2 2
dt
．
2
29
证明：
由于随机变量 X 服从参数为 的 Poisson 分布，所
以 X 的特征函数为
t exp eit 1．
所以， Y
X
X
的特征函数为
g x
0 1
x0 ． x0
但是 gx 并不是分布函数．本例告诉我们，要求分布函
数序列 Fn x点点收敛于一个分布函数 Fx 是有些太
苛刻了．
7
再仔细分析本例，我们发现 x 0 恰好是分
布函数 Fx的间断点，而除了这个间断点外， 分 布 函 数 序 列 Fn x 都 是 收 敛 于 分 布 函 数 Fx 的 ． 因 此 我 们 可 以 将 分 布 函 数 序 列 Fn x收敛于分布函数 Fx 的定义修改成为
P
不能推出 X n X ．见下例．
17
例 4.3.2 设随机变量 X 的分布列为
PX 1 1 , X 1 1 ．
2
2
再令 X n X ，n 1, 2, 3, ．则随机变量 X n 与
ห้องสมุดไป่ตู้
L
随机变量 X 有相同的分布函数，因此 X n X ．
§4.1随机变量序列的两种收敛性§4.2特征函数§4.3大数定律
第8页
方法一：利用大数定律 例1 P215 18. 设随机变量序列{Xn }独立同分布， 2 期望、方差均存在，且 E( X n ) = 0,Var( X n ) = s
1 n P 2 2 X 揪 ? s 求证： å i n i= 1
思考题：P215 19
第9页
方法二：利用切比雪夫不等式 例2 P215 17. 设随机变量序列{Xn }独立同分布， 期望、方差均存在，且 E( X n ) = m.
注意：i 1 是虚数单位.
第20页
注 意 点(1)
(t ) e (1) 当X为离散随机变量时，
k 1
itxk
pk
itx ( t ) e (2) 当X为连续随机变量时， p( x)dx
这是 p(x) 的傅里叶变 换
第21页
注 意 点(2)
特征函数的计算中用到复变函数，为此注意： (1) 欧拉公式： eitx cos(tx) i sin(tx) (2) 复数的共轭： a bi a bi (3) 复数的模： a bi a2 b2
P
c 其中c为常数，并求c的值.
作业：习题4.1第12、15题
第13页
引例 设随机变量序列{ Xn } 服从以下的退化分布 1 P ( X n = ) = 1, n = 1, 2, L n 求{Xn }的分布函数，并求其极限函数. 它还是一个分布函数吗？
第14页
4.1.2
按分布收敛、弱Leabharlann 敛 lim P X X 若对任意的 >0，有 n n 0
则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于X, 记为
Xn
P X
第4页
第四章 大数定律与中心极限定理要点
第四章 大数定律与中心极限定理一、教学要求1. 深刻理解并掌握大数定律，能熟练应用大数定律证明题目；2.理解随机变量序列的两种收敛性，了解特征函数的连续性定理；3. 深刻理解与掌握中心极限定理，并要对之熟练应用。
二、重点与难点本章的重点是讲清大数定律与中心极限定理的条件、结论，难点是随机变量序列的两种收敛及大数定律和中心极限定理的应用。
§4.1 大数定律一、大数定律的意义 1.引入在第一章中引入事件与概率的概念时曾经指出，尽管随机事件A 在一次试验可能出现也可能不出现，但在大量的试验中则呈现出明显的统计规律性——频率的稳定性。
频率是概率的反映，随着观测次数n 的增加，频率将会逐渐稳定到概率。
这里说的“频率逐渐稳定于概率”实质上是频率依某种收敛意义趋于概率，这个稳定性就是“大数定律”研究的客观背景。
详细地说：设在一次观测中事件A 发生的概率()p A P =，如果观测了n 次（也就是一个n 重贝努利试验），A 发生了n μ次，则A 在n 次观测中发生的频率为nnμ，当n 充分大时，频率nnμ逐渐稳定到概率p 。
若用随机变量的语言表述，就是：设i X 表示第i 次观测中事件A 发生次数，即1,0,i i A X i A ⎧=⎨⎩第次试验中发生第次试验中不发生n i ,,2,1 =则12,,,n X X X 是n 个相互独立的随机变量，显然1nn i i X μ==∑,从而有11nni i X n n μ==∑.因此“nnμ稳定于p ”，又可表述为n 次观测结果的平均值稳定于p 。
现在的问题是：“稳定”的确切含义是什么？nnμ稳定于p 是否能写成p nnn =∞→μlim（1）亦即，是否对0>∀ε，εμ<->∃p nN n N n有时当,, ? （2）对n 重贝努里试验的所有样本点都成立？实际上，我们发现事实并非如此，比如在n 次观测中事件A 发生n 次还是有可能的，此时1,==nn nn μμ，从而对p -<<10ε，不论N 多么大，也不可能得到εμ<->p nN n n有时当,成立。
概率论控制收敛定理
概率论控制收敛定理概率论控制收敛定理是概率论中的一个重要定理，它描述了随机变量序列的收敛性质。
在实际问题中，我们经常需要研究随机变量的极限行为，而概率论控制收敛定理为我们提供了一种判断随机变量序列是否收敛的方法。
概率论控制收敛定理的核心思想是通过控制随机变量序列的矩或特征函数来判断其收敛性。
其中，矩是随机变量的一个重要特征，它能够刻画随机变量的分布情况。
特征函数则是随机变量的另一种特征描述方式，它是随机变量的分布函数的傅里叶变换。
概率论控制收敛定理主要包括三种形式：切比雪夫型、布瓦杰-拉普拉斯型和林德伯格型。
切比雪夫型定理是最基本的收敛定理，它利用切比雪夫不等式给出了一个上界，通过控制该上界可以判断随机变量序列的收敛性。
布瓦杰-拉普拉斯型定理是一种强收敛定理，它给出了一个直接的收敛判别条件，不需要额外的条件限制。
而林德伯格型定理则是在一些特殊情况下的收敛定理，它给出了一种弱收敛的判别方法。
概率论控制收敛定理在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在大数定律中，我们需要判断随机变量序列的均值是否收敛于某个常数，这时可以利用概率论控制收敛定理来判断。
在中心极限定理中，我们需要判断随机变量序列的标准化和是否收敛于标准正态分布，也可以借助概率论控制收敛定理来进行判别。
此外，在统计推断中，我们还可以利用概率论控制收敛定理来研究参数估计的收敛性。
概率论控制收敛定理是概率论中的一个重要工具，它为我们研究随机变量序列的收敛性提供了一种有效的方法。
通过控制随机变量序列的矩或特征函数，我们可以判断其是否收敛，并在实际问题中得到广泛应用。
概率论控制收敛定理的研究不仅对于理论研究有着重要的意义，也对于实际应用有着重要的指导作用。
茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解(大数定律与中心极限定理)【圣才出品
设{Xn}是独立同分布的随机变量序列，且 E（Xi）＝μ，Var（Xi）＝σ2＞0 存在，若记
Y n
X1 X2 X n n n
，则对任意实数 y，有
lim
n
P(Yn
y)
(
y)
1 2
y t2 e 2dt
2．棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理 设 n 重伯努利试验中，事件 A 在每次试验中出现的概率为 p（0＜p＜1），记 Sn 为 n
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Var（Xi）≤c，i＝1，2，…，则{Xn}服从大数定律，即对任意的ε＞0，，nlim P(
Sn n
p
)
1
成立。
（2）马尔可夫大数定律
对随机变量序列{Xn}，若
1 n2
Var (
n i1
Xi)
0
，成立，则{Xn}服从大数定律，即对任意
即 X n Yn P X Y 成立。
（2）先证
X
2 n
P
X
2
，∀ε＞0，δ＞0，取
M
足够大（譬如ε/M≤1），使有
P{|X|
＞（M-1）/2}＜δ成立，对于选择的 M，∃N，当 n＞N 时，有
P{|Xn-X|≥1}≤P{|Xn-X|≥ε/M}＜δ
此时
P{| X n X | M } P{| X n X | | 2X | M } P({| X n X | | 2X | M } I {| X n X | 1}) P({| X n X | | 2X | M }I | X n X | 1) P{| 2X | M 1} P{| X n X | 1} 2
U P( X
Y)
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第45页
实例: 考察射击命中点与靶心距离的偏差.
这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微 小误差的总和, 这些因素包括: 瞄准误差、测量 误差、子弹制造过程方面 (如外形、重量等) 的 误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、 风向、能见度、温度等) 的作用, 所有这些不同 因素所引起的微小误差是相互独立的, 并且它们 中每一个对总和产生的影响不大. 问题: 某个随机变量是由大量相互独立且均匀 小的随机变量相加而成的, 研究其概率分布情况.
为 X 的特征函数. (必定存在)
注意：i 1 是虚数单位.
第20页
注 意 点(1)
(1) 当X为离散随机变量时，(t) eitxk pk
k 1
(2) 当X为连续随机变量时，(t)
eitx p(x)dx
这是 p(x) 的傅里叶变换
注 意 点(2)
第21页
特征函数的计算中用到复变函数，为此注意：
k1
求证：Yn P c 其中c为常数，并求c的值.
总结证明依概率收敛的方法有哪些.
补充作业题
第12页
设随机变量序列{ Xn } 独立同分布，均
n
2
服从(0,1)上的均匀分布，令 Zn ( X i ) n
i1
(1)求 Yi 2 ln Xi 的密度函数；
(2)证明：Zn P c 其中c为常数，并求c的值.
0
n i1
f (xi )
注意点
第41页
(1) 伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的 特例.
(2) 切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的 特例.
(3) 伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例.
第42页
例3 习题4.3 第7题 作业
习题4.3 第1、3、9题
第43页
§4.4 中心极限定理
4.4.1 独立随机变量和
1 100
n i1
Xi
4}
应用实例: 正态随机数的产生； 误差分析
第51页
练习 设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为
X 10 9 8 7
6
P 0.8 0.1 0.05 0.02 0.03
定理4.1.4 定理4.1.5
分布函数的唯一性.
连续场合，求p(密x)度函21数. eitx(t)dt
第27页
定理4.1.5 设X为连续型随机变量，密度函数
为p(x),若 | (t) | dt ,则 p(x) 1 eitx(t)dt 2
第28页
4.1.4 特征函数的应用
1. 利用特征函数法求Z=X+Y的分布
求证： 2
n(n
n
k 1) i 1
Xk
P
方法三：定义法
第10页
例3 P214 12. 设随机变量Xn 服从柯西分布，其密
度函数为
pn (x)
(1
n n2
x2
)
,
x
求证：Xn P 0
练习：P214 13
第11页
方法四：利用性质法（综合法） 例4 设随机变量序列{ Xn } 独立同分布，均
n
服从(0,1)上的均匀分布，令 Yn ( X k )1/n
第30页
2. 利用特征函数法求随机变量的高阶矩 例3 设 X ~ N (0, 2 ) ,求X的3阶、4阶原点矩.
作业 习题4.1 第1、2、7、8题
第31页
§4.3 大数定律
➢ 讨论 “概率是频率的稳定值”的确切含义； ➢ 给出几种大数定律：
伯努利大数定律、切比雪夫大数定律、 马尔可夫大数定律、辛钦大数定律.
第46页
4.4.2 独立同分布下的中心极限定理
定理4.4.1 林德贝格—勒维中心极限定理
设 {Xn} 为独立同分布随机变量序列，数学期
望为, 方差为 2>0，则当 n 充分大时，有
lim P
n i1
Xi
n
y
( y)
n
n
第47页
根据上述定理，当n充分大时，近似地有
n
Xi n
i 1
~ N(0,1)
i 1
1
则称{Xn} 服从大数定律.
第37页
切比雪夫大数定律
定理4.3.2
若{Xn}两两不相关，且Xn方差存在，有共 同的上界，则 {Xn}服从大数定律.
例1 设{Xn}为独立同分布的随机变量序列，且
E(
X
4 n
)
,
E(
X
n
)
,Var(
X
n
)
2
记 Yn ( X n )2 , n 1, 2,
例1 正态分布的可加性（与P159例3.3.6比较）
设
X
~
N (1,12 ),Y
~
N
(
2
,
2 2
)
,且X,Y相互独立，
求证：X
Y
~
N (1
2
,
2 1
2 2
)
第29页
例2 二项分布的可加性（与P156例3.3.3比较）
设 X ~ b(n, p),Y ~ b(m, p),且X,Y相互独立， 求证：X Y ~ b(n m, p)
Yn
1 n
n i 1
Xi
P
推论:若{Xi,i=1.2,...}为独立同分布随机变量序列, 且
k
E
(
X
k i
)
，则
1
n
n i 1
X
k i
P k
第40页
由辛钦大数定律知
E(X )
1 n
n i 1
Xi
应用：利用平均值法
进行随机模拟——计算定积分
1
1n
J
f (x)dx E( f ( X ))
特征函数为 (t) eibt eiat
it(b a)
第25页
3.二项分布 b(n,p)
特征函数为 (t) ( peit q)n
4.正态分布 N(μ,σ2)
特征函数为 (t) eit2t2 /2
第26页
特征函数的定理
定理4.1.1 一致连续性.
定理4.1.2 非负定性.
定理4.1.3 逆转公式.
设 {Xn} 为独立随机变量序列，记其和为
n
Yn Xi i1
➢ 讨论独立随机变量和的极限分布,
➢ 在一定条件下极限分布为正态分布.
第44页
中心极限定理的基本思想是：如果有一个随机 变量，它受到大量微小的、独立的随机因素的 影响，可以看作是一系列相互独立的随机变量 叠加的总和，其中每一个个别的随机变量对于 总和的作用都是微小的，那么作为总和的随机 变量的分布就会逼近于正态分布．
n 2
n
近似
Xi ~ N (n, n 2 )
i 1
~ X
1 n
n i 1
Xiຫໍສະໝຸດ 近似N(,
2
n
)
第48页
例1 P238 9 计算机在进行加法运算时对每个加 数按四舍五入取整数，设所有的取整误差相互 独立，且均服从(-0.5,0.5)上的均匀分布. （1）若将1500个数相加，求误差总和的绝对 值超过15的概率； （2）最多几个数加在一起，可使得误差总和 的绝对值小于10的概率不小于90%？
第23页
性质4.1.4 若 X 与 Y 独立，则
X Y (t) X (t)Y (t)
性质4.1.5 若 E(X l )存在，则对0≤k≤l有
(k)(0) ik E(X k )
第24页
4.1.3 常用分布的特征函数
1.泊松分布 P(λ)
特征函数为 (t) e(eit1)
2.均匀分布 U(a,b)
第8页
方法一：利用大数定律
例1 P215 18. 设随机变量序列{Xn }独立同分布，
期望、方差均存在，且 E( X n ) 0,Var( X n ) 2
求证：1
n
n i1
X
2 i
P
2
思考题：P215 19
第9页
方法二：利用切比雪夫不等式
例2 P215 17. 设随机变量序列{Xn }独立同分布， 期望、方差均存在，且 E(Xn ) .
预备知识：依概率收敛 P209
第32页
设{Xn}为随机变量序列，a为常数，若任给 >0,
使得
lim
n
P{|
Xn
a
|
}
1
则称{Xn}依概率收敛于a. 可记为
X n P a.
第33页 P
X n a 意思是:当 n 时, n0 , n n0 ,使Xn落在
(a , a ) 内的概率越来越大.
nlim Fn(x) F(x) 则称{Fn(x)} 弱收敛于 F(x) ，记为
Fn(x) W F(x) 相应记 Xn L X 按分布收敛
第15页
依概率收敛与按分布收敛的关系
定理4.1.2 定理4.1.3
Xn P X Xn L X Xn P a Xn L a
第16页
4.1.3 判断弱收敛的方法
平均值的稳定性
第35页
设{Xn}为随机变量序列，则在一定的条件下，其算术 平均
X
1 n
n i 1
Xi
P 某常数
自学书中：蒙特卡洛法求定积分
（随机投点法）的原理介绍
第36页
4.3.2 常用的几个大数定律
大数定律一般形式：
若随机变量序列{Xn}满足：
nlim
P
1 n
n
i 1
Xi
1 n
n
E(Xi)
(1) 欧拉公式： eitx cos(tx) isin(tx)
(2) 复数的共轭： a bi a bi