重庆市2017届高三数学上学期一诊模拟考试试题 文(扫描版)
2017年重庆市高考数学一模试卷(理科)
2017年重庆市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z满足（z+i）（1﹣2i）=2，则复数z在复平面内的对应点所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，B={x|1＜2x＜4}，则A∩B=（）A．{x|1≤x≤2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0≤x＜2}3．（5分）若过点M（1，1）的直线l与圆（x﹣2）2+y2=4相较于两点A，B，且M为弦的中点AB，则|AB|为（）A．B．4 C．D．24．（5分）（2+x）（1﹣2x）5展开式中，x2项的系数为（）A．30 B．70 C．90 D．﹣1505．（5分）已知函数的图象向左平移个单位后关于y轴对称，则函数f（x）的一个单调递增区间是（）A．B．C．D．6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1+a2+a3=a4+a5，S5=60，则a10=（）A．16 B．20 C．24 D．267．（5分）设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）将5名学生分到A，B，C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A宿舍的不同分法有（）A．18种B．36种C．48种D．60种9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．14 B．15 C．16 D．1710．（5分）设实数x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围是（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）＜f（x）对任意的x∈R恒成立，则下列不等式均成立的是（）A．f（ln2）＜2f（0），f（2）＜e2f（0）B．f（ln2）＞2f（0），f（2）＞e2f（0）C．f（ln2）＜2f（0），f（2）＞e2f（0） D．f（ln2）＞2f（0），f（2）＜e2f（0）12．（5分）已知函数f（x）=若关于x的方程f2（x）+f（x）+m=0有三个不同实数根，则m的取值范围是（）A．B．m≤﹣2 C．D．m＞2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设向量的夹角为θ，已知向量，若，则θ=．14．（5分）如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，若直角三角形两条直角边的长分别为a，b，且a=2b，则在大正方形内随即掷一点，这一点落在正方形内的概率为．15．（5分）已知α∈（，π），且cos2α+sin（π+2α）=，则tanα=．16．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于两点A，B，若点M 满足=（+），过M作y轴的垂线与抛物线交于点P，若|PF|=2，则M点的横坐标为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，2S n=3a n﹣2n（n∈N+）．（Ⅰ）证明数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n+2n+1，求证：++…+＜．18．（12分）为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h 的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 的人与性别有关．（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+d19．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（Ⅰ）若C=2B，求证：cosA=3cosB﹣4cos3B；（Ⅱ）若bsinB﹣csinC=a，且△ABC的面积S=，求角B．20．（12分）已知F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，点P（x0，y0）在椭圆C上．（Ⅰ）求•的最小值；（Ⅱ）若y0＞0且•=0，已知直线l：y=k（x+1）与椭圆C交于两点A，B，过点P且平行于直线l的直线交椭圆C于另一点Q，问：四边形PABQ能否成为平行四边形？若能，请求出直线l的方程；若不能，请说明理由．21．（10分）已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=x2﹣x．（Ⅰ）求过点（﹣1，0）且与曲线y=f（x）相切的直线方程；（Ⅱ）设h（x）=af（x）+g（x），其中a为非零实数，若y=h（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：2h（x2）﹣x1＞0．四．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（α为参数，t＞0），曲线C2：（s为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C3：ρcosθ﹣ρsinθ=2，记曲线C2与C3的交点为P．（Ⅰ）求点P的直角坐标；（Ⅱ）当曲线C1与C3有且只有一个公共点时，C1与C2相交于A、B两点，求|PA|2+|PB|2的值．23．（14分）设f（x）=|x﹣1|+2|x+1|的最小值为m．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设a，b∈R，a2+b2=m，求的最小值．2017年重庆市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z满足（z+i）（1﹣2i）=2，则复数z在复平面内的对应点所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（z+i）（1﹣2i）=2，得，∴．∴复数z在复平面内的对应点的坐标为（），所在象限是第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，B={x|1＜2x＜4}，则A∩B=（）A．{x|1≤x≤2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0≤x＜2}【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，B={x|1＜2x＜4}={x|0＜x＜2}，∴A∩B={x|1≤x＜2}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．3．（5分）若过点M（1，1）的直线l与圆（x﹣2）2+y2=4相较于两点A，B，且M为弦的中点AB，则|AB|为（）A．B．4 C．D．2【分析】圆（x﹣2）2+y2=4的圆心为C（2，0），半径为2，则|CM|=，CM⊥AB，利用勾股定理可得结论．【解答】解：圆（x﹣2）2+y2=4的圆心为C（2，0），半径为2，则|CM|=，CM ⊥AB，∴|AB|=2=2，故选：A．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查勾股定理的运用，属于基础题．4．（5分）（2+x）（1﹣2x）5展开式中，x2项的系数为（）A．30 B．70 C．90 D．﹣150【分析】先求得（1﹣2x）5展开式的通项公式，可得（2+x）（1﹣2x）5展开式中，x2项的系数．=C5r•（﹣2x）r，【解答】解：∵（1﹣2x）5展开式的通项公式为T r+1∴（2+x）（1﹣2x）5展开式中，x2项的系数为2C52•（﹣2）2+C51•（﹣2）=70，故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．5．（5分）已知函数的图象向左平移个单位后关于y轴对称，则函数f（x）的一个单调递增区间是（）A．B．C．D．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得φ值，利用正弦函数的单调性可求单调递增区间．【解答】解：函数f（x）的图象向左平移个单位后的函数解析式为：y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x+φ+），由函数图象关于y轴对称，可得：+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈z，由于|φ|＜，可得：φ=，可得：f（x）=sin（2x+），由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解答：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，可得，当k=1时，函数f（x）的一个单调递增区间是：[﹣，]．故选：B．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1+a2+a3=a4+a5，S5=60，则a10=（）A．16 B．20 C．24 D．26【分析】利用等差数列有通项公式、前n项和公式列出方程组，求出首项及公差，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a1+a2+a3=a4+a5，S5=60，∴，解得a1=8，d=2，a10=8+9×2=26．故选：D．【点评】本题考查等差数列的第10项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．7．（5分）设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】求出双曲线的渐近线方程，联立抛物线方程，运用相切的条件：判别式为0，可得b=2a，再由a，b，c的关系，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，渐近线与抛物线相切，可得x2±x+2=0，由△=（）2﹣4××2=0，可得b=2a，c==a，即离心率e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，同时考查直线和抛物线相切的条件：判别式为0，考查方程思想和运算能力，属于中档题．8．（5分）将5名学生分到A，B，C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A宿舍的不同分法有（）A．18种B．36种C．48种D．60种【分析】以甲单独住，合伙住进行分类，利用分类计数原理可得．【解答】解：利用分类计数原理，第一类，甲一个人住在一个宿舍时有=12种，第二类，当甲和另一个一起时有=48种，所以共有12+48=60种．故选：D．【点评】本题主要考查了分类计数原理，分类是要不重不漏，属于中档题．9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．14 B．15 C．16 D．17【分析】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果．【解答】解：第一次循环：，n=2；第二次循环：，n=3；第三次循环：，n=4；…第n次循环：=，n=n+1令解得n＞15∴输出的结果是n+1=16故选：C．【点评】本题考查程序框图的应用，数列的应用，考查分析问题解决问题的能力．10．（5分）设实数x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由约束条件作出可行域，再由目标函数的几何意义，即可行域内的点与定点（﹣1，0）连线的斜率求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（1，﹣1），联立，得B（1，3）．由=，而．∴目标函数的取值范围是[，]．故选：D．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．11．（5分）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）＜f（x）对任意的x∈R恒成立，则下列不等式均成立的是（）A．f（ln2）＜2f（0），f（2）＜e2f（0）B．f（ln2）＞2f（0），f（2）＞e2f（0）C．f（ln2）＜2f（0），f（2）＞e2f（0） D．f（ln2）＞2f（0），f（2）＜e2f（0）【分析】令g（x）=，求出函数g（x）的导数，判断函数的单调性，从而求出答案．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=＜0，故g（x）在R递减，而ln2＞0，2＞0，故g（ln2）＜g（0），g（2）＜g（0），即＜，＜，即f（ln2）＜2f（0），f（2）＜e2f（0），故选：A．【点评】本题考查了函数的单调性、导数的应用，构造函数g（x）=是解题的关键，本题是一道中档题．12．（5分）已知函数f（x）=若关于x的方程f2（x）+f（x）+m=0有三个不同实数根，则m的取值范围是（）A．B．m≤﹣2 C．D．m＞2【分析】结合方程f2（x）+f（x）+m=0有三个不同的实数根，将问题转化为函数图象交点的个数判断问题，结合函数f（x）的图象即可获得解答．【解答】解：函数f（x）=的图象如图，若关于x的方程f2（x）+f（x）+m=0有三个不同实数根，令f（x）=t，则方程t2+t+m=0的两根一个大于等于1而另一个小于1．再令g（t）=t2+t+m，则g（1）≤0，即2+m≤0，得m≤﹣2．故选：B．【点评】本题考查的是方程的根的存在性以及根的个数判断，考查转化的思想、数形结合的思想方法，属中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设向量的夹角为θ，已知向量，若，则θ=．【分析】根据条件，可先求出向量的坐标，并可得到，进行数量积的运算，从而能求得x的值，从而求出及的值，从而求出θ的值．【解答】解：，；∵又；∴；∴x=±1；∴；∴；∴．故答案为：．【点评】考查向量坐标的数乘运算，以及向量数量积的坐标运算，向量余弦的计算公式．14．（5分）如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，若直角三角形两条直角边的长分别为a，b，且a=2b，则在大正方形内随即掷一点，这一点落在正方形内的概率为．【分析】求出三角形的面积，再求出大正方形的面积，根据比值解得即可．【解答】解：由题意，大正方形面积为a2+b2=5b2，三角形的面积为ab=b2，∴小正方形面积为b2，∴在大正方形内随即掷一点，这一点落在正方形内的概率为故答案为．【点评】本题考查几何概型的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积和总面积的比，这个比即事件（A）发生的概率．15．（5分）已知α∈（，π），且cos2α+sin（π+2α）=，则tanα=﹣7．【分析】由题意可得tanα＜0，再利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值．【解答】解：∵α∈（，π），∴tanα＜0，∵cos2α+sin（π+2α）=cos2α﹣sin2α=cos2α﹣2sinαcosα=，∴==，∴tanα=（舍去），或tanα=﹣7，故答案为：﹣7．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式的应用，属于基础题．16．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于两点A，B，若点M满足=（+），过M作y轴的垂线与抛物线交于点P，若|PF|=2，则M点的横坐标为3．【分析】根据已知条件M是AB中点，设出A和B的坐标及直线方程，并将直线方程代入椭圆方程得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，表示出x1+x2和x1•x2，并求出P点坐标，根据|PF|=2，求得k的值，即可求得M点的横坐标．【解答】解：由题意可知：抛物线y2=4x的焦点为F，准线为x=﹣1，M是AB的中点，设A（x1，y2），B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x﹣1），将直线方程代入抛物线方程消去y得：k2x2﹣（2k2+4）+k2=0，由根与系数的关系：x1+x2=2+，x1•x2=1，又设P（x0，y0），y0=（y1+y2）=[k（x1﹣1）+k（x2﹣1）]=，∴x0=，∴P（，），|PF|=x0+1=+1=2，∴k2=1，∴M点的横坐标为3，故答案为：3．【点评】本题考查抛物线的性质和应用及根与系数的关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，积累解题方法，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，2S n=3a n﹣2n（n∈N+）．（Ⅰ）证明数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n+2n+1，求证：++…+＜．【分析】（Ⅰ）再写一式，两式相减，即可证明数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）b n=a n+2n+1=3n+2n，可得＜，即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）由2S n=3a n﹣2n得：2S n﹣1=3a n﹣1﹣2（n﹣1），∴2S n﹣2S n=3a n﹣3a n﹣1﹣2，即：a n=3a n﹣1+2﹣1+1），所以{a n+1}是以a1+1为首项，公比为3的等比数列，∴a n+1=3（a n﹣1由2S1=3a1﹣2知a1=2，∴a n+1=3n，即a n=3n﹣1；（Ⅱ）证明：b n=a n+2n+1=3n+2n，∵3n+2n＞2n+2n=2n+1，∴＜，∴++…+=++…+＜+…+=．【点评】本题考查等比数列的证明，考查数列与不等式的综合，考查放缩方法的运用，属于中档题．18．（12分）为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h 的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 的人与性别有关．（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a +b +c +d【分析】（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 的人与性别有关．（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h 的车辆的概率，X 可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解： （Ⅰ）因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 与性别有关．…（6分）（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h 的车辆的概率为．X 可取值是0，1，2，3，，有：，，，，分布列为．…（12分）【点评】本题考查离散性随机变量的分布列，期望的求法，独立检验的应用，考查分析问题解决问题的能力．19．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（Ⅰ）若C=2B，求证：cosA=3cosB﹣4cos3B；（Ⅱ）若bsinB﹣csinC=a，且△ABC的面积S=，求角B．【分析】（Ⅰ）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，利用分析法即可证明．（Ⅱ）利用余弦定理、正弦定理、三角形的面积公式，结合二倍角公式，即可求出B．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵cosA=3cosB﹣4cos3B，⇔cosA=cosB（3﹣4cos2B），⇔cosA=cosB（3﹣4×），⇔cosA=cosB﹣2cosBcos2B，⇔cosA+2cosBcos2B=cosB，∵C=2B，可得：A=π﹣B﹣C=π﹣3B，∴原式⇔﹣cos3B+2cosBcosC=cosB，⇔2cosBcosC﹣cosB=cos3B，⇔2cosBcosC﹣cosB=cos（B+C）=cosBcoC﹣sinBsinC，⇔cosBcosC﹣cosB=﹣sinBsinC，⇔cosBcosC+sinBsinC=cosB，⇔cos（C﹣B）=cosB，⇔cos（2B﹣B）=cosB，显然成立，故得证cosA=3cosB﹣4cos3B．（Ⅱ）在△ABC中，∵S=，∴bcsinA=，∴bcsinA=bccosA，∴tanA=1，∴A=45°∵bsinB﹣csinC=a，∴sin2B﹣sin2C=，∴cos2C﹣cos2B=，∴cos（270°﹣2B）﹣cos2B=，∴﹣sin2B﹣cos2B=，∴sin（2B+45°）=﹣1，∴2B+45°=270°，∴B=112.5°．故B=112.5°．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，考查了余弦定理、正弦定理、三角形的面积公式、二倍角公式，考查学生的计算能力，正确转化是关键，属于中档题．20．（12分）已知F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，点P（x0，y0）在椭圆C上．（Ⅰ）求•的最小值；（Ⅱ）若y0＞0且•=0，已知直线l：y=k（x+1）与椭圆C交于两点A，B，过点P且平行于直线l的直线交椭圆C于另一点Q，问：四边形PABQ能否成为平行四边形？若能，请求出直线l的方程；若不能，请说明理由．【分析】（Ⅰ）求出•=x02+y02﹣1=x02+1，即可求•的最小值；（Ⅱ）由题意设直线方程，代入椭圆方程，与韦达定理及弦长公式分别求得丨AB丨和丨PQ丨，由平行四边形的性质可知：丨AB丨=丨PQ丨，即可求得k的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，F1（﹣1，0），F2（1，0），∴=（﹣1﹣x0，﹣y0），=（1﹣x0，﹣y0），∴•=x02+y02﹣1=x02+1∵﹣≤x0≤，∴•最小值1．（Ⅱ）∵•=0，∴x0=﹣1，∵y0＞0，∴P（﹣1，），设A（x1，y1），B（x2，y2）．由直线与椭圆联立得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，由韦达定理可知：x1+x2=﹣，x1•x2=．∴由弦长公式可知丨AB丨=|x1﹣x2|=，∵P（﹣1，），PQ∥AB，∴直线PQ的方程为y﹣=k（x+1）．将PQ的方程代入椭圆方程可知：（2+3k2）x2+6k（k+）+3（k+）2﹣6=0，∵x P=﹣1，∴x Q=，∴丨PQ丨=•丨x P﹣x Q丨=•，若四边形PABQ成为平行四边形，则丨AB丨=丨PQ丨，∴4=丨4﹣4k丨，解得k=﹣．故符合条件的直线l的方程为y=﹣（x+1），即x+y+1=0．【点评】本题考查椭圆的标准方程与性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及平行四边形性质的综合应用，考查计算能力，属于中档题．21．（10分）已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=x2﹣x．（Ⅰ）求过点（﹣1，0）且与曲线y=f（x）相切的直线方程；（Ⅱ）设h（x）=af（x）+g（x），其中a为非零实数，若y=h（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：2h（x2）﹣x1＞0．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，设出切点，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得切点坐标，进而得到所求切线的方程；（Ⅱ）求出h（x）的解析式和导数，讨论a＜0，0＜a＜1，a≥1，求出极值点和单调区间，由2h（x2）﹣x1＞0等价为2h（x2）+x2＞0，由x2=，可得a=1﹣x22，即证明2（1﹣x22）ln（x2+1）+x22﹣x2＞0，由0＜x2＜1，可得1﹣x2＞0，即证明2（1+x2）ln（x2+1）﹣x2＞0，构造函数t（x）=2（1+x）ln（1+x）﹣x，0＜x＜1，求出导数判断单调性，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=ln（x+1）的导数为f′（x）=，设切点为（x0，y0），则切线的斜率为k=，点（x0，y0）在f（x）=ln（x+1）上，则y0=ln（1+x0），可得=，解得x0=e﹣1，可得切线的斜率为，则切线方程为y﹣0=（x+1），即为x﹣ey+1=0；（Ⅱ）证明：h（x）=af（x）+g（x）=aln（x+1）+x2﹣x，导数h′（x）=+x﹣1=，x＞﹣1，当a﹣1≥0时，即a≥1时，h′（x）≥0，h（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；当0＜a＜1时，由h′（x）=0得，x1=﹣，x2=，故h（x）在（﹣1，﹣）上单调递增，在（﹣，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；当a＜0时，由h′（x）=0得，x0=，h（x）在（﹣，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．当0＜a＜1时，h（x）有两个极值点，即x1=﹣，x2=，可得x1+x2=0，x1x2=a﹣1，由0＜a＜1得，﹣1＜x1＜0，0＜x2＜1，由2h（x2）﹣x1＞0等价为2h（x2）+x2＞0，即为2aln（x2+1）+x22﹣x2＞0，由x2=，可得a=1﹣x22，即证明2（1﹣x22）ln（x2+1）+x22﹣x2＞0，由0＜x2＜1，可得1﹣x2＞0，即证明2（1+x2）ln（x2+1）﹣x2＞0，构造函数t（x）=2（1+x）ln（1+x）﹣x，0＜x＜1，t′（x）=2（1+x）•+2ln（x+1）﹣1=1+2ln（1+x）＞0，t（x）在（0，1）上单调递增，又t（0）=0，所以t（x）＞0在（0，1）时恒成立，即2（1+x2）ln（x2+1）﹣x2＞0成立则2h（x2）﹣x1＞0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，注意设出切点，以及极值问题，考查不等式的证明，注意运用分类讨论思想方法和运用导数判断单调性，构造函数是解题的关键，属于难题．四．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（α为参数，t＞0），曲线C2：（s为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C3：ρcosθ﹣ρsinθ=2，记曲线C2与C3的交点为P．（Ⅰ）求点P的直角坐标；（Ⅱ）当曲线C1与C3有且只有一个公共点时，C1与C2相交于A、B两点，求|PA|2+|PB|2的值．【分析】（I）曲线C2：（s为参数），消去参数s可得普通方程．曲线C3：ρcosθ﹣ρsinθ=2，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可得直角坐标方程．（II）曲线C1：（α为参数，t＞0），消去参数α可得普通方程，由曲线C1与C3有且只有一个公共点，利用圆心到直线的距离等于半径解得t=．设A（x1，﹣x1），B（x2，﹣x2）．曲线C1与直线C2联立化为4x2+4x﹣7=0，利用根与系数的关系、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：（I）曲线C2：（s为参数），消去参数s可得普通方程：x+y=0．曲线C3：ρcosθ﹣ρsinθ=2，可得直角坐标方程：x﹣y﹣2=0．联立，解得交点P（1，﹣1）．（II）曲线C1：（α为参数，t＞0），消去参数α可得普通方程：x2+（y﹣1）2=t2，可得圆心C1（0，1），半径r=t．∵曲线C1与C3有且只有一个公共点，∴=t，解得t=．设A（x1，﹣x1），B（x2，﹣x2）．联立，化为4x2+4x﹣7=0，∴x1+x2=﹣1，x1x2=﹣．∴|PA|2+|PB|2=×2+×2=﹣4（x1+x2）+4=﹣4x1x2﹣4（x1+x2）+4=2×（﹣1）2﹣4×（﹣1）﹣4×+4=17．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、直线与圆相切的充要条件、直线与圆相交、一元二次方程的根与系数的关系、点到直线的距离公式公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．（14分）设f（x）=|x﹣1|+2|x+1|的最小值为m．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设a，b∈R，a2+b2=m，求的最小值．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围求出函数f（x）的最小值，从而求出m的值即可；（Ⅱ）根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=﹣3x﹣1≥2，当﹣1＜x＜1时，f（x）=x+3＞2，当x≥1时，f（x）=3x+1≥4，∴当x=﹣1时，f（x）取得最小值m=2；（Ⅱ）由题意知a2+b2=2，a2+1+b2+1=4，∴+=（a2+1+b2+1）（+）=[5++]≥，当且仅当=]时，即a2=，b2=等号成立，∴的最小值为．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质的应用，是一道中档题．。
2017届重庆一中高三上学期一诊模拟考试文科数学试题
重庆一中2017届高三一诊模拟考试数 学 试 题 卷 （文科）一．选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1．设集合2{|2150}M x x x =+-<，{17}N x x x =≥≤-或，则MN =（ ）A ．[1,3)B ．(5,3)-C ．(5,1]-D ．[7,3)-2、对于非零向量a ，b ，“a ∥b ”是“a ＋b ＝0”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分又不必要条件3．设()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，当x∈[－2，1)时，242,20,(),0 1.x x f x x x ⎧--≤≤=⎨<<⎩，则5()2f ＝（ ）A ．0B ． 1C ．12D ．1-4.下列结论正确的是（ ）A ．111x x >⇒<B. 12x x +≥C.11x y x y >⇒<D.22x y xy >⇒>5.若23a=，则3log 18=（ ）A.13a +B.13a -C.12a +D.12a -6.如图所示，四面体ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD 的正视图，左视图，俯视图依次是（用①②③④⑤⑥代表图形）（ ）A ．①②⑥B ．①②③C ．④⑤⑥D ．③④⑤7. 已知O 是坐标原点，点()11，-A ，若点()y x M ,为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x 上的一个动点，则OM OA ⋅的取值范围是（ ）A ．[]01，- B ．[]10， C ．[]20， D ．[]21，- 8. 执行如右图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 9.抛物线的焦点为F ，M 足抛物线C 上的点，若三角形OFM 的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．810. 已知函数=)(x f 221,0,2,0,x x x x -⎧-≥⎨+<⎩ =)(x g 22,0,1,0.x x x x x⎧-≥⎪⎨<⎪⎩则函数)]([x g f 的所有零点之和是（ ） A.321+-B. 321+C.231+- D. 231+二．填空题（本大题共5个小题，每题5分，共25分） 11. 设数列{n a }的前n项和为2n S n =,中5a = .12. 已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且(1)7m i ni +=+，则m nim ni +=-13.已知1,2,,60a b a b ==<>=，则2a b-=14.已知2cos()63πα-=，且62ππα<<，则cos 2α= .15. 设等比数列{}n a 满足公比,n q N a N **∈∈，且{}n a 中的任意两项之积也是该数列中的一项，若8112a =，则q 的所有可能取值的集合为三．解答题（本大题共6个小题，共75分）16.（13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，350,5S S ==-. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列21211{}n n a a -+的前n 项和.17.（13分）随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损．（Ⅰ）若已知甲班同学身高平均数为170cm ，求污损处的数据； （Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学，求身高176cm 的同学被抽中的概率．18.（13分） 已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且满足222b c bc a +=+（1）求角A ；（2）若2a =，求ABC ∆的面积的最大值.19.（12分）（原创）已知1()1f x x =++（1）求函数()f x 在4x =处的切线方程（用一般式作答）；A（2）令()2(1)1F x m x =+-+，若关于x 的不等式()0F x ≤有实数解.求实数m 的取值范围.20.（12分）如图，几何体EF ABCD -中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AD DC ⊥2AD =，4AB =，90ADF ∠=．（1）求证:AC FB ⊥（2）求几何体EF ABCD -的体积．21.（12分）（原创）已知椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在，且与x 轴的一个交点为(1,0).(1)求椭圆C 的标准方程； (2)已知椭圆C 过点，P是椭圆C 上任意一点，在点P 处作椭圆C 的切线l ，12,F F 到l 的距离分别为12,d d .探究：12d d ⋅是否为定值？若是，求出定值；若不是说明理由(提示：椭圆221mx ny +=在其上一点00(,)x y 处的切线方程是001mx x ny y +=)；（3）求（2）中12d d +的取值范围.重庆一中2017届高三上期一诊模拟考试 数 学 答 案 解 析 （文科）11．设集合2{|2150}M x x x =+-<，{17}N x x x =≥≤-或，则M N =A ．[1,3)B ．(5,3)-C ．(5,1]-D ．[7,3)- 答案：A2、对于非零向量a ，b ，“a ∥b ”是“a ＋b ＝0”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分又不必要条件 答案：B3．设()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，当x∈[－2，1)时，242,20,(),0 1.x x f x x x ⎧--≤≤=⎨<<⎩，则5()2f ＝A ．0B ． 1C ．12D ．1-答案：D4.下列结论正确的是（ ）A ．111x x >⇒<B. 12x x +≥C.11x y x y >⇒<D.22x y x y >⇒>答案：A 5.若23a=，则3log 18=（ ）A.13a +B. 13a -C 12a +.D. 12a -答案：C6.如图所示，四面体ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD 的正视图，左视图，俯视图依次是（用①②③④⑤⑥代表图形）（ ）A ．①②⑥B ．①②③C ．④⑤⑥D ．③④⑤ 答案：B7. 已知O 是坐标原点，点()11，-A ，若点()y x M ,为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x 上的一个动点，则OM OA ⋅的取值范围是A ．[]01，- B ．[]10， C ．[]20， D ．[]21，- 答案：C8. 执行如右图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 答案：C 9.抛物线的焦点为F ，M 足抛物线C 上的点，若三角形OFM 的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为的值为A ．2B ．4C ．6D ．8 答案：D10. 已知函数=)(x f 221,0,2,0,x x x x -⎧-≥⎨+<⎩ =)(x g 22,0,1,0.x x x x x ⎧-≥⎪⎨<⎪⎩则函数)]([x g f 的所有零点之和是（ ） A.321+-B. 321+C.231+- D. 231+答案：B11. 设数列{n a }的前n 项和为2n S n =,中5a = .答案：912. 已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且(1)7m i ni +=+，则m nim ni +=-答案：i 13.已知1,2,,60a b a b ==<>=，则2a b-=答案：14.已知2cos()63πα-=，且62ππα<<，则cos 2α= .答案：15. 设等比数列{}n a 满足公比,n q N a N **∈∈，且{}n a 中的任意两项之积也是该数列中的一项，若8112a =，则q 的所有可能取值的集合为【答案】392781{2,2,2,2,2} 解析：根据题意得对任意*12,n n N ∈有*n N ∈,使1212118118181222n n n n n n a a a qqq---=⇒=⋅，即128112n n n q --+=，因为*q N ∈，所以12811n n n --+是正整数1、3、9、27、81，q 的所有可能取值的集合为392781{2,2,2,2,2}. 16.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，350,5S S ==-. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列21211{}n n a a -+的前n 项和.解答：设{}n a 的公差为d ，则由题得1113301,15105a d a d a d +=⎧⇒==-⎨+=-⎩则2n a n =-（2）由（1）得212111111()(32)(12)22321n n a a n n n n -+==----- 则所求和为12nn -17.随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损．（Ⅰ）若已知甲班同学身高平均数为170cm ，求污损处的数据； （Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学，求身高176cm 的同学被抽中的概率． 解答： (1)15816216316816817017117918210a x +++++++++=170=解得a =179 所以污损处是9(2)设“身高为176 cm 的同学被抽中”的事件为A ，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm 的同学有：{181,173}，{181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}，{178,176}，{176,173}共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件，∴P(A)＝410＝2518. 已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且满足222b c bc a +=+（1）求角A ；（2）若2a =，求ABC ∆的面积的最大值. 解答：（1）由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，则3A π=；（2）由题得22424b c bc bc bc +=+≥⇒≤，则1sin 2ABC S bc A b c ∆=≤=时取等号）故ABC ∆的面积的最大值为.19.（原创）已知1()1f x x =+（1）求函数()f x 在4x =处的切线方程（用一般式作答）；（2）令()2(1)1F x m x =+-+，若关于x 的不等式()0F x ≤有实数解.求实数m 的取值范围. 解答：（1）由题21()f x x'=，则721(4),(4)164f f '==，则所求切线为()2174416y x -=-即716+560x y -=（2）()021F x mx x ≤⇔≥++，显然0x =时不是不等式的解，故0x >，故1()0211()F x mx x m f x x ≤⇔≥++⇔≥++=由（1）可知min ()(1)4f x f ==，则4m ≥.20. 如图，几何体EF ABCD -中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AD DC ⊥，2AD =，4AB =，90ADF ∠=．（1）求证:AC FB ⊥（2）求几何体EF ABCD -的体积． 解答：（1）证明：由题意得，AD DC ⊥，AD DF ⊥，且DCDF D =，∴AD ⊥平面CDEF ， ∴AD FC ⊥， ………………2分 ∵四边形CDEF 为正方形. ∴DC FC ⊥ 由DCAD D= ∴FC ABCD⊥平面 ∴A FC C ⊥ (4)分A又∵四边形ABCD 为直角梯形，AB CD ，AD DC ⊥，2AD =，4AB =∴C A =C B = 则有222AC BC AB += ∴A C BC ⊥由BC FC C = ∴AC FCB ⊥平面 ∴AC FB ⊥ ……………6分（２）连结EC ，过B 作CD 的垂线，垂足为N ，易见BN ⊥平面CDEF ，且2BN =.…………8分∵EF ABCD V -E ABCD B ECF V V --=+ ……………9分1133ABCD EFC S DE S BN =⋅+⋅△△163= (11)分∴ 几何体EF ABCD -的体积为163 (12)分21.（原创）已知椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在坐标轴上，，且与x 轴的一个交点为(1,0).(1)求椭圆C 的标准方程； (2)已知椭圆C过点，P是椭圆C 上任意一点，在点P 处作椭圆C 的切线l ，12,F F 到l 的距离分别为12,d d .探究：12d d ⋅是否为定值？若是，求出定值；若不是说明理由(提示：椭圆221mx ny +=在其上一点00(,)x y 处的切线方程是001mx x ny y +=)；（3）求（2）中12d d +的取值范围.解答：由题，21()2c ba a==⇒=，因为椭圆C与x轴的一个交点为(1,0)，则若1a=，则212b=，则椭圆C方程为2221x y+=；若1b=，则22a=，则椭圆C方程为2212yx+=.故所求为者22112yx+=或2212yx+=因为椭圆C过点，故椭圆C方程为2221x y+=，且12(F F）设(,)P m n，则l的方程是21mx ny+=，则12d d⋅11m-≤≤，故21102m->，故212221124md dm n-⋅=+，又因为2221m n+=，代入可得1212d d=，故12d d⋅为定值12；由题12d d+==因为212n≤≤，故12d d+∈2].。
【重庆市第一中学】2017届高三上学期一诊模拟考试文数试卷
重庆一中学2017届高三上学期一诊模拟考试数学（文）试题 A B =（ {2,3} 对应的点在第（B ．C ．3．向量(1,1),(1,2)a b =-=-，则若a b -与2a kb +共线，则实数（原创）最简单的数学概念就是计数，用话语来计算，或以更永久的方式用书写的符号来计数，2,13,141,1214A ．,x x m m <>甲乙乙甲 C ．,x x m m ><甲乙乙甲 6．设S 是数列{}a 的前A．1-9．如图为某几何体的三视图，它的表面积是（+A．242πA ．0B ．1C ．2D ．以上情况均有可能第Ⅱ卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．元旦放假第一天小明从语文，数学，外语，文综四个科目中任意选两科进行复习，数学被选在第一天复习的概率是________．14．函数()ln f x ax x =+在1x =处的切线与直线10x y -+=垂直，则实数a =________．15．已知定义域为R 的函数()f x 满足下列性质：(1)(1)f x f x +=--，(2)()f x f x -=-，则(3)f =________． 16．已知数列{}n a 满足12a =，212log log 1()n n a a n *+=+∈N 它的前n 项和为n S ，则1024n S <的最大n 值是________．（原创）如图所示四棱锥，平面，梯形中，， 且24PD AB CD ===，5PB AD ==，E 是PC 上一点，满足2PE EC =．（1）证明：PA ∥平面BDE ； （2）求三棱锥P BDE -的高．记2005年为第1年，依次为第2年……，得到如右图所示散点图．（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合天然气年产量y （单位：百亿立方米）与年份序号(1,2,...)t t =的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立天然气年产量y （单位：百亿立方米）关于年份序号(1,2,...)t t =的回归方程（系数精确到0.1），估计2016年我国天然气产量．附注：参考数据：9.6=，111721i i i t y ==∑8.810.5=，（1）求证：1l 的方程是221a b +=； （2）求证：2l 平分12F QF ∠；请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为22cos 12sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），以直角坐标系为极点，x 轴为极轴建立极坐标系．（1）运用曲线C 的极坐标方程，求当曲线C 上点A 的极角π4时对应的极径； （2）若P 是曲线21:43x m l y m =+⎧⎨=--⎩（m 为参数）上任意一点，Q 是曲线C 上任意一点，求||PQ 的最小值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知,,a b c +∈R ．（1）若对任意的(0,1)a ∈及任意的x ∈R ，不等式2|2||2|x a x a c ---≤恒成立，求c 的取值范围；。
重庆一中2017届高三模拟数学试卷理科
2016-2017学年重庆一中高三（上）一诊模拟数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z满足z（1+i）=4，则复数z在复平面上对应的点与点（1，0）间的距离为（）A．2 B．C．4 D．2．已知集合为实数集，则集合A∩（∁R B）=（）A．R B．（﹣∞，2）C．（1，2）D．[1，2）3．将函数y=sinx+cosx图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到y=f（x）的图象，则y=f（x）的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π4．已知双曲线的离心率为，且点P（，0）到其渐近线的距离为8，则C的实轴长为（）A．2 B．4 C．8 D．165．设，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．121 B．129 C．178 D．2097．若随机变量X～N（u，ς2）（ς＞0），则有如下结论（）P（u﹣ς＜X≤u+ς）=0.6826，P（u﹣2ς＜X≤u+2ς）=0.9544P（u﹣3ς＜X≤u+3ς）=0.9974，一班有60名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分110，方差为100，理论上说在120分到130分之间的人数约为（）A．6 B．7 C．8 D．98．定义在R上的奇函数f（x）关于点（2，1）对称，则f（6）=（）A．9 B．7 C．5 D．39．将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是（）A．B．C．D．10．（x+2y+z）6的展开式中，x2y3z2的系数为（）A．﹣30 B．120 C．240 D．42011．过x轴下方的一动点P作抛物线C：x2=2y的两切线，切点分别为A，B，若直线AB到圆x2+y2=1相切，则点P的轨迹方程为（）A．y2﹣x2=1（y＜0）B．（y+2）2+x2=1C．D．x2=﹣y﹣112．已知函数，若f[g（x）]≤0对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，0]C．[0，﹣1] D．二、填空题△ABC中，∠A=90°，AC=2，D为边BC的中点，则=．14．已知实数x，y满足，则z=的最大值为．15．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则tanAtan2B的取值范围是．16．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，并用{x}=x﹣[x]表示x的非负纯小数，则y=[x]称为高斯函数，已知数列{a n}满足：，则a2017=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知（1+2x）n的展开式中各项的二项式系数和为a n，第二项的系数为b n．（1）求a n，b n；（2）求数列{a n b n}的前n项和S n．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（1）证明：a，c，b成等比数列；（2）若△ABC的外接圆半径为，且4sin（C﹣）cosC=1，求△ABC的周长．19．（12分）为降低汽车尾气的排放量，某厂生产甲乙两种不同型号的节排器，分别从甲乙两种节排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示．（1）若从这100件甲型号节排器按节排器等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件节排器中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率；（2）视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总体，则①若从乙型号节排器中随机抽取3件，求二级品数ξ的分布列及数学期望E（ξ）；②从长期来看，骰子哪种型号的节排器平均利润较大？20．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且F2为抛物线的焦点，C2的准线l被C1和圆x2+y2=a2截得的弦长分别为和4．（1）求C1和C2的方程；（2）直线l1过F1且与C2不相交，直线l2过F2且与l1平行，若l1交C1于A，B，l2交C1交于C，D，且在x轴上方，求四边形AF1F2C的面积的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（1）若函数f（x）的图象与直线y=x﹣1相切，求a的值；（2）当1＜x＜2时，求证：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数，α∈（0，））与圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于点A，B，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l与圆C的极坐标方程；（2）求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x﹣a|+|x+a|（a＞0）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若关于x的不等式在x∈[1，2]上有解，求实数a的取值范围．2016-2017学年重庆一中高三（上）一诊模拟数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z满足z（1+i）=4，则复数z在复平面上对应的点与点（1，0）间的距离为（）A．2 B．C．4 D．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：z（1+i）=4，∴z（1+i）（1﹣i）=4（1﹣i），∴z=2﹣2i，则复数z在复平面上对应的点（2，﹣2）与点（1，0）间的距离==．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知集合为实数集，则集合A∩（∁R B）=（）A．R B．（﹣∞，2）C．（1，2）D．[1，2）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】利用不等式的解法、集合的运算性质即可得出．【解答】解：由1，化为：＞0，解得x＜1．可得B（﹣∞，1）．∴∁R B=[1，+∞）．集合A∩（∁R B）=[1，2）．故选：D．【点评】本题考查了不等式的解法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．将函数y=sinx+cosx图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到y=f（x）的图象，则y=f（x）的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】求出y=f（x）的解析式，即可求出y=f（x）的最小正周期．【解答】解：y=sinx+cosx=sin（x+），横坐标缩短到原来的倍，得到y=f （x）=sin（2x+），T==π，故选B．【点评】本题考查y=f（x）的最小正周期，考查图象变换，确定函数的解析式是关键．4．已知双曲线的离心率为，且点P（，0）到其渐近线的距离为8，则C的实轴长为（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的离心率公式和渐近线方程，以及点到直线的距离公式，结合a，b，c的关系式，解方程可得a的值，即可得到实轴长．【解答】解：由题意可得e==，a2+b2=c2，渐近线方程为y=±x，点P（，0）到其渐近线的距离为8，即有P（c，0）到渐近线bx+ay=0的距离为8，可得=8，即有b=8，则a2+64=c2，可得a=4，c=4，则C的实轴长为8．故选：C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查点到直线的距离公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于基础题．5．设，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数与对数的运算法则及其函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=＞1，1＞b=log43===，c=log85===，可得b＞c．∴a＞b＞c．故选：A．【点评】本题考查了指数与对数的运算法则及其函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．121 B．129 C．178 D．209【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出S的值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=8，b=5，S=13满足条件S≤85，a=5，b=13，S=18，满足条件S≤85，a=13，b=18，S=31，满足条件S≤85，a=18，b=31，S=49，满足条件S≤85，a=31，b=49，S=80，满足条件S≤85，a=49，b=80，S=129不满足条件S≤85，输出S的值为129．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．7．若随机变量X～N（u，ς2）（ς＞0），则有如下结论（）P（u﹣ς＜X≤u+ς）=0.6826，P（u﹣2ς＜X≤u+2ς）=0.9544P（u﹣3ς＜X≤u+3ς）=0.9974，一班有60名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分110，方差为100，理论上说在120分到130分之间的人数约为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】正态总体的取值关于x=110对称，利用P（100＜x＜120）=0.6826，P （90＜x＜130）=0.9544，得即可到要求的结果．【解答】解：∵数学成绩近似地服从正态分布N（110，102），∴P（100＜x＜120）=0.6826，P（90＜x＜130）=0.9544，根据正态曲线的对称性知：位于120分到130分的概率为=0.1359∴理论上说在120分到130分的人数0.1359×60≈8．故选：C．【点评】一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，正态分布在概率和统计中具有重要地位且满足3ς原则．8．定义在R上的奇函数f（x）关于点（2，1）对称，则f（6）=（）A．9 B．7 C．5 D．3【考点】函数奇偶性的性质．【分析】定义在R上的奇函数f（x）关于点（2，1）对称，f（2+x）+f（2﹣x）=2，即可求出f（6）．【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x）关于点（2，1）对称，∴f（2+x）+f（2﹣x）=2，∴f（2）=1∴f（6）+f（﹣2）=2，∴f（6）=3，故选D．【点评】本题考查函数的对称性，考查学生的计算能力，利用f（2+x）+f（2﹣x）=2是关键．9．将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是（）A．B．C．D．【考点】排列、组合的实际应用；条件概率与独立事件．【分析】根据题意，由分步计数原理计算可得“将4个不同的小球装入4个不同的盒子”的放法数目，进而由排列、组合数公式计算“没有空盒”、“有1个空盒的放法”、“有3个空盒”的放法数目，由古典概型公式计算可得“至少一个盒子为空”以及“恰好有两个盒子为空”的概率，最后由条件概率的计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，将4个不同的小球装入4个不同的盒子，有44=256种不同的放法，若没有空盒，有A44=24种放法，有1个空盒的放法有C41C42A33=144种，有3个空盒的放法有C41=4种，则至少一个盒子为空的放法有256﹣24=232种，故“至少一个盒子为空”的概率P1=，恰好有两个盒子为空的放法有256﹣24﹣144﹣4=84种，故“恰好有两个盒子为空”的概率P2=，则则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率p==；故选：A．【点评】本题考查条件概率的计算，涉及排列、组合的应用，关键是求出“至少一个盒子为空”以及“恰好有两个盒子为空”的概率．10．（x﹣y）（x+2y+z）6的展开式中，x2y3z2的系数为（）A．﹣30 B．120 C．240 D．420【考点】二项式定理的应用．=（2y）6﹣r（x+z）r=26﹣r y6﹣r 【分析】（x+2y+z）6的展开式的通项公式：T r+1=x r﹣k z k．可得两个通项公式相乘（x+z）r，（x+z）r的展开式的通项公式：T k+1可得展开式的通项形式：26﹣r y6﹣r•x r﹣k z k．通过分类讨论即可得出．=（2y）6﹣r（x+z）r=26﹣r 【解答】解：（x+2y+z）6的展开式的通项公式：T r+1y6﹣r（x+z）r，=x r﹣k z k．（x+z）r的展开式的通项公式：T k+1可得两个通项公式相乘可得展开式的通项形式：26﹣r y6﹣r•x r﹣k z k．令r﹣k+1=2，6﹣r=3，k=2，或r﹣k=2，6﹣r+1=3，k=2．解得k=2，r=3．或k=2，r=4．∴x2y3z2的系数为﹣=120．故选：B．【点评】本题考查了二项式定理的应用、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．过x轴下方的一动点P作抛物线C：x2=2y的两切线，切点分别为A，B，若直线AB到圆x2+y2=1相切，则点P的轨迹方程为（）A．y2﹣x2=1（y＜0）B．（y+2）2+x2=1C．D．x2=﹣y﹣1【考点】轨迹方程．【分析】设抛物线的弦AB与圆x2+y2=1切于点M（x0，y0），则x02+y02=1，过M 点的圆的切线方程为x0x+y0y=1．联立抛物线方程后，根据△＞0，可得y0的范围，进而结合﹣1≤y0≤1且y0＜0，可得y0的范围．设出A，B的坐标，由韦达定理可得x1+x2的关系式①，x1x2的关系式②．求出AP，BP的方程，进而可得M的坐标，代入圆的方程可得P点轨迹方程；【解答】解：设抛物线的弦AB与圆x2+y2=1切于点M（x0，y0），则x02+y02=1，过M点的圆的切线方程为x0x+y0y=1．由得y0x2+x0x﹣1=0．（*）由△=x02+2y0=﹣y02+2y0+1＞0，得1﹣＜y0＜1+．又∵﹣1≤y0≤1且y0＜0，∴1﹣＜y0≤0．令A（x1，x12），B（x2，x22），知x1、x2是方程（*）的两个实根，由根与系数的关系，得x1+x2=﹣①，x1x2=﹣②．过A点的抛物线的切线AP的方程为y﹣x12=x1（x﹣x1），即y=x1x﹣x12．③同理，BP的方程为y=x2x﹣x22．④联立①②③④，解得，∴，代入x02+y02=1得（）2+（﹣）2=1，整理，得y2﹣x2=1（x∈R，﹣1≤y＜0），这就是点P的轨迹方程．故选：A．【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，综合性强，运算量大，转化困难，难度较大，属于难题．﹣12．已知函数，若f[g（x）]≤0对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，0]C．[0，﹣1] D．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】令t=g（x），x∈[0，1]，则g′（x）=2x ln2﹣2x．设g′（x0）=0，利用单调性可得：g（x）在x∈[0，1]上的值域为[1，g（x0）]，（g（x0）=2x0﹣x02）．由f[g（x）]≤0对x∈[0，1]恒成立，可得+（a﹣1）+a≤0，a≤2﹣1=h（t），t∈[1，g（x0）]，即可得出．【解答】解：令t=g（x），x∈[0，1]，则g′（x）=2x ln2﹣2x设g′（x0）=0，则函数在[0，x0]上单调递增，在[x0，1]上单调递减，g（x）在x∈[0，1]上的值域为[1，g（x0）]，（g（x0）=2x0﹣x02＜2）．∵f[g（x）]≤0对x∈[0，1]恒成立，∴f（t）≤0，即+（a﹣1）+a≤0，a≤=2﹣1=h（t），t∈[1，g（x0）]，则h（t）的最小值=2×﹣1=﹣1．∴a≤﹣1．故选：A．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、三角函数的单调性、恒成立问题等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（2016秋•沙坪坝区校级月考）△ABC中，∠A=90°，AC=2，D为边BC的中点，则=2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积的运算法则计算即可．【解答】解：△ABC中，∠A=90°，AC=2，D为边BC的中点，则=（+）•=2+•=×22=2，故答案为：2．【点评】本题考查了向量的数量积的运算，属于基础题．14．已知实数x，y满足，则z=的最大值为．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合目标函数的几何意义求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由，解得：A（3，4），z=的几何意义是可行域内的点与（0，﹣1）连线的斜率的一半，由题意可知可行域的A与（0，﹣1）连线的斜率最大．∴z=的最大值是：，故答案为：．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．15．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则tanAtan2B的取值范围是．【考点】余弦定理．【分析】由且，可得cosC==，C∈（0，π），解得C=．可得tanAtan2B=tan•tan2B=，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由且，∴cosC==，C∈（0，π），解得C=．则tanAtan2B=tan•tan2B=×=，令tanB=t∈（0，1），则≤=，等号不成立．∴∈（0，），故答案为：．【点评】本题考查了余弦定理、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，并用{x}=x﹣[x]表示x的非负纯小数，则y=[x]称为高斯函数，已知数列{a n}满足：，则a2017=．【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】由于：，经过计算可得：数列{a2k}成等差数列，首项为，公差为3．即可得出．﹣1【解答】解：满足：，∴a2=1+=2+．a3=2+=3+=4+（﹣1），a4=4+=5+，a5=5+=6+=7+（﹣1）．a6=7+=8+，a7=8+=9+=10+（﹣1），…，}成等差数列，首项为，公差为3．可得：数列{a2k﹣1则a2017=+3×（1009﹣1）=3024+．故答案为：．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2016秋•沙坪坝区校级月考）已知（1+2x）n的展开式中各项的二项式系数和为a n，第二项的系数为b n．（1）求a n，b n；（2）求数列{a n b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；二项式系数的性质．【分析】（1）由二项式系数的性质和二项展开式的通项公式，可得a n，b n；（2）求得a n b n=n•2n+1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．【解答】解：（1）（1+2x）n的展开式中各项的二项式系数和为a n，第二项的系数为b n．可得a n=2n，b n=2=2n；（2）a n b n=n•2n+1，则前n项和S n=1•22+2•23+…+n•2n+1，2S n=1•23+2•24+…+n•2n+2，两式相减可得，﹣S n=22+23+…+2n+1﹣n•2n+2，=﹣n•2n+2，化简可得S n=（n﹣1）•2n+2+4．【点评】本题考查二项式系数的性质和二项展开式的通项公式，同时考查数列的求和方法：错位相减法，同时考查等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．18．（12分）（2016秋•沙坪坝区校级月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（1）证明：a，c，b成等比数列；（2）若△ABC的外接圆半径为，且4sin（C﹣）cosC=1，求△ABC的周长．【考点】正弦定理；等比数列的通项公式．【分析】（1）+=，由余弦定理可得： +=，化简即可证明．（2）4sin（C﹣）cosC=1，C为锐角，利用积化和差可得：=1，C∈（0，），∈．解得C=．利用余弦定理可得a2+b2﹣c2=2abcos，又c2=ab，解得a=b．再利用正弦定理即可得出．【解答】（1）证明：∵ +=，由余弦定理可得：+=，化为c2=ab，∴a，c，b成等比数列．（2）解：4sin（C﹣）cosC=1，∴C为锐角，2=1，化为：=1，C∈（0，），∈．∴2C﹣=，解得C=．∴a2+b2﹣c2=2abcos，又c2=ab，∴（a﹣b）2=0，解得a=b．∴△ABC的周长=3a==9．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、积化和差，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2016秋•沙坪坝区校级月考）为降低汽车尾气的排放量，某厂生产甲乙两种不同型号的节排器，分别从甲乙两种节排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示．（1）若从这100件甲型号节排器按节排器等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件节排器中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率；（2）视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总体，则①若从乙型号节排器中随机抽取3件，求二级品数ξ的分布列及数学期望E（ξ）；②从长期来看，骰子哪种型号的节排器平均利润较大？【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用互斥事件概率加法公式能求出至少有2件一级品的概率．（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号节排器中的一级品的概率为，二级品的概率，三级品的概率为，若从乙型号节排器随机抽取3件，则二级品数ξ所有可能的取值为0，1，2，3，且，由此能求出ξ的分布列和数学期望．②由题意分别求出甲型号节排器的利润的平均值和乙型号节排器的利润的平均值，由此求出投资乙型号节排器的平均利润率较大．【解答】解：（1）至少有2件一级品的概率．（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号节排器中的一级品的概率为，二级品的概率，三级品的概率为，若从乙型号节排器随机抽取3件，则二级品数ξ所有可能的取值为0，1，2，3，且，所以，，所以ξ的分布列为所以数学期望（或）．②由题意知，甲型号节排器的利润的平均值，乙型号节排器的利润的平均值，，又，所以投资乙型号节排器的平均利润率较大．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．20．（12分）（2017春•都匀市校级月考）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且F2为抛物线的焦点，C2的准线l被C1和圆x2+y2=a2截得的弦长分别为和4．（1）求C1和C2的方程；（2）直线l1过F1且与C2不相交，直线l2过F2且与l1平行，若l1交C1于A，B，l2交C1交于C，D，且在x轴上方，求四边形AF1F2C的面积的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆及抛物线的性质，列方程组求得a，b和c的值，即可求得C1和C2的方程；（2）设直线方程，代入抛物线和椭圆方程，求得丨AB丨，则AB与CD间的距离为，利用椭圆的对称性及函数单调性即可求得四边形AF1F2C的面积的取值范围．【解答】解：（1）由题意可知：抛物线的准线方程x=﹣，c=，C2的准线l被C1和圆x2+y2=a2截得的弦长分别为和4，，得，∴C1和C2的方程分别为．（2）由题意，AB的斜率不为0，设AB：x=ty﹣2，由，得y2﹣8ty+16=0，△=64t2﹣64≤0，得t2≤1，由，得（t2+1）y2﹣4ty﹣4=0，，AB与CD间的距离为，由椭圆的对称性，ABDC为平行四边形，，设，．即为四边形AF1F2C的面积的取值范围．【点评】本题考查椭圆及抛物线的方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）（2016秋•沙坪坝区校级月考）设函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x ﹣1）．（1）若函数f（x）的图象与直线y=x﹣1相切，求a的值；（2）当1＜x＜2时，求证：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1），设切点为（x0，y0），则切线为y﹣y0=f'（x0）（x﹣x0），又切线为y=x﹣1，可得，消a，再利用函数的单调性即可得出x0，a．（2）令，所以，可得其单调性．g （x）min=g（x）极小值=g（1）=2﹣a，当a≤2时，即2﹣a≥0时，g（x）≥g（1）≥0，即f'（x）≥0，故a=2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，进而证明结论．【解答】（1）解：，设切点为（x0，y0），则切线为y﹣y0=f'（x0）（x﹣x0），即，又切线为y=x﹣1，所以，消a，得，设，易得g（x）为减函数，且g（1）=0，所以x0=1，a=1（2）证明：令，所以，当x＞1时，g'（x）＞0，函数g（x）在（1，+∞）为单调递增；当0＜x＜1时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，1）为单调递减；所以g（x）min=g（x）极小值=g（1）=2﹣a，当a≤2时，即2﹣a≥0时，g（x）≥g（1）≥0，即f'（x）≥0，故a=2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x∈（1，2）时，f（x）＞f（1）=0，即（x+1）lnx＞2（x﹣1），所以，①因为1＜x＜2，所以，所以，即，②①+②得：，故当1＜x＜2时，．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、研究切线方程、证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2016秋•沙坪坝区校级月考）在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数，α∈（0，））与圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于点A，B，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l与圆C的极坐标方程；（2）求的最大值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l：（t为参数，α∈（0，））可得极坐标方程：θ=α，α∈（0，）．圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4展开可得：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，利用互化公式可得极坐标方程．（2）直线l：（t为参数，α∈（0，）代入上述圆的方程可得：t2﹣（2cosα+4sinα）t+1=0．利用=即可得出．【解答】解：（1）直线l：（t为参数，α∈（0，））化为普通方程：y=xtanα．α∈（0，）．可得极坐标方程：θ=α，α∈（0，）圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4展开可得：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，可得极坐标方程：ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+1=0．（2）直线l：（t为参数，α∈（0，）代入上述圆的方程可得：t2﹣（2cosα+4sinα）t+1=0．∴t1+t2=2cosα+4sinα，t1•t2=1．∴==2cosα+4sinα=2sin（α+φ）≤2，φ=arctan．∴的最大值为2．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标互化公式、直线的参数方程的应用、直线与圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2016秋•沙坪坝区校级月考）设函数f（x）=|2x﹣a|+|x+a|（a＞0）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若关于x的不等式在x∈[1，2]上有解，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=1时，利用绝对值不等式的性质，求f（x）的最小值；（2）若关于x的不等式在x∈[1，2]上有解，利用函数的单调性求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，，当且仅当时，取等号．（2）x∈[1，2]时，，所以0＜a＜6．【点评】本题考查绝对值不等式的性质，考查学生的计算能力，正确转化是关键．。
2017届重庆市高三学业质量调研抽测(第一次)数学(文)试卷(带解析)
绝密★启用前2017届重庆市高三学业质量调研抽测（第一次）数学（文）试卷（带解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．已知集合={0,1,2},B ={0,x }，若B ⊆A ，则x =（ ）A. 0或1B. 0或2C. 1或2D. 0或1或22．设命题p :∀x >0,x >ln x ，则¬p 为（ ）A. ∀x >0,x ≤ln xB. ∃x >0,x ≤ln xC. ∃x ≤0,x ≤ln xD. ∃x >0,x >ln x3．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2000石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒内夹谷36粒，则这批米内夹谷约为（ ）A. 1760石B. 200石C. 300石D. 240石4．为了得到函数y =sin (2x +π3)的图象，只需把函数y =sin 2x 的图象（ ）A. 向左平行移动π3个单位长度B. 向左平行移动π3个单位长度C. 向右平行移动π6个单位长度D. 向右平行移动π6个单位长度 5．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（ ）A. 13 B. 1 C. 2+ 3 D. 2 26．在ΔA B C 中，|A B |=|B C |=3,∠A B C =120°,A D 是边B C 上的高，则A D ⋅A C 的值等于（ ）A. −9B. 9C. 27D. 97．给出30个数：1,3,5,7，…，59，要计算这30个数的和，如图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断框①处和执行框②处可以分别填入（）A. i≤30?和p=p+1B. i≤31?和p=p+1C. i≤31?和p=p+2D. i≤30?和p=p+28．在ΔO A B中，O为坐标原点，A(1,cosθ),B(sinθ,1),θ∈(0,π2]，则当ΔO A B的面积取最大值时，θ=（）A. π6B. π4C. π3D. π29．奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+3)为偶函数，且f(1)=1，则f(6)+f(11)=（）A. -2 B. -1 C. 0 D. 110．若平面区域{x+y−3≥02x−y−3≤0x−2y+3≥0夹在两条平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）A. 355B. 2 C. 322D. 511．设m,n∈R，若直线m x+n y−2=0与圆x2+y2=1相切，则m+n的取值范围是（）A. [−2.2] B. (−∞,−2]∪[2,+∞) C. [−22,22] D. (−∞,−22]∪[22,+∞)12．定义在R上的连续可导函数f(x)，当x≠0时，满足f′(x)+2f(x)x>0，则函数g(x)=f(x)+1x的零点的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．已知i是虚数单位，复数1+i(1−i)2的虚部为__________．14．如图所示，在直角梯形B E C D中，A为线段C E上一点，D C⊥E C,∠B A E=15°,∠D A C= 60°,∠D B A=30°,A B=24m，则C D为__________m．15．已知底面为正方形的长方体A B C D−A1B1C1D1内接于球O，球O的表面积为16π，E为AA1的中点，O A⊥平面B D E，则底面正方形A B C D的边长为__________．16．如图，过抛物线y2=2p x(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B，交其准线于点C，若|B C|=2|B F|,|A F|=4，则此抛物线的方程为__________．三、解答题17．已知数列{a n}的首项a1=35,a n+1=3a n4a n+1,n∈N∗.（Ⅰ）求证：数列{1a n−2}为等比数列；（Ⅱ）记S n=1a1+1a2+⋯+1a n，若S n<100，求n的最大值.18．某科技兴趣小组对昼夜温差的大小与小麦新品种发芽多少之间的关系进行了研究，记录了2016年12月1日至12月5日五天的昼夜温差与相应每天100颗种子的发芽得到了如下数据：现从这5组数据中任选两组，用余下的三组数据求回归直线方程，再对被选取的两组数据进行检验.（Ⅰ）求选取的两组数据恰好是不相邻的两天的概率；（Ⅱ）若选取的是12月1日和12月5日的两组数据，请根据余下的三组数据，求出y 与x 的线性回归直线方程y ^=b ^x +a ^；（Ⅲ）若由线性回归直线方程得到的估计值与所选出的两组实际数据的误差均不超过两颗，则认为得到的回归直线方程是可靠的，试判断（Ⅱ）中得到的线性回归直线方程是否可靠.附：在线性回归方程y ^=b ^x +a ^中，b ^= x i y i −nxy n i =1 x i 2ni =1−nx 2.19．如图所示，在长方体A B C D −A 1B 1C 1D 1中，E ,F ,P ,Q 分别是B C ,C 1D 1,AD 1,B D 的中点 . （Ⅰ）求证：E F //平面B B 1D 1D ；（Ⅱ）若A B =B B 1=2a ,A D =a ，求点A 到平面P D Q 的距离.20．已知函数f (x )=a ln x +a 2x 2+1,a ≠0.（Ⅰ）讨论函数f (x )的单调性；（Ⅱ）当−1<a <0时，有f (x )>1+a 2ln (−a )−12x 2恒成立，求a 的取值范围.21．已知F 1,F 2分别为椭圆C :x 23+y 22=1的左、右焦点，点P (x 0,y 0)在椭圆C 上.（Ⅰ）求PF 1 ⋅PF 2 的最小值；（Ⅱ）若y 0>0且PF 1 ⋅PF 2 =0，已知直线l :y =k (x +1)与椭圆C 交于两点A ,B，过点P 且平行于直线l 的直线交椭圆C 于另一点Q ，问：四边形P A B Q 能否程成为平行四边形？若能，请求出直线l 的方程；若不能，请说明理由.22．在直角坐标系中，曲线C 1:{x =t cos αy =t sin α+1（α为参数，t >0），曲线C 2:{x =1− 22s y =−1+ 22s（s 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为：ρcos θ−ρsin θ=2，记曲线C 2与C 3的交点为P .（Ⅰ）求点P 的直角坐标；（Ⅱ）当曲线C 1与C 3有且只有一个公共点时，C 1与C 2相较于A ,B 两点，求|P A |2+|P B |2的值.23．设f(x)=|x−1|+2|x+1|的最小值为m.（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设a,b∈R,a2+b2=m，求1a+1+4b+1的最小值.参考答案1．C【解析】由题意可知，根据集合中元素的互异性原则，以及互为子集关系，可x 的值为1或2，故选C.2．B【解析】由题意，命题p 是全称命题，其非命题需要用特称命题来完成，故选B.3．D【解析】由题意，由统计知识可知，通样本的特征数来估计整体数据的特征，所以2000×36300=240，故选D.4．C【解析】由函数y =sin (2x +π3)=sin [2(x +π6)]，所以只需把函数y =sin 2x 的图象沿着x 轴向左平移π6个单位而得到，故选C.5．A【解析】由题意，根据该四面体的三视图可知其体积为V =13S =13×12×2×1×1=13，故选A.6．C【解析】由题意可知，△A B C 是以∠A B C 为顶角，腰长为3的等腰三角形，则D 为B C 边上的中点，即|A D |=12|A C |，由余弦定理得|A C |= 3+3−2×3×3cos 120°=3 3，又A D 与A C 同向，所以A D ⋅A C =|A D |⋅|A C |=3 32×3 3=272，故选C 7．D【解析】由题意，i 是计数变量，p 是累加变量，由于总共30个数相加，所以当条件成立，执行循环体，又累加变量相差2，故选D.8．D【解析】由题意可作草图，如图所示，则S △O A B =1−12×1×cos θ−12×sin θ×1−12(1−cos θ)(1−sin θ)=1−14sin 2θ，又θ∈(0，π2]，则2θ∈(0，π]，所以当2θ=π，即sin 2θ=0时，△O A B 的面积最大，即θ=π2，故选D.9．B【解析】由f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)=0，又f(x+3)为偶函数，则f(−x+3)=f(x+ 3)，f(6)=f(3+3)=f(−3+3)=f(0)=0，f(11)=f(−8+3)=f(−5)=−f(5)=−[f(−2+3)]=−f(1)=−1，所以f(6)+f(11)=−1，故选B.10．A【解析】由题意，可以考虑使用数形结合法，首先作出可行区域图，可以发现可行区域图是以A B=B C为腰的等腰三角形，则这两条平行线中以B C为其一条，而另一条过点A且与B C平行，此时两条平行线间的距离最小，即点A到直线B C的距离，则所求距离最小值为d==35，故选A.5点睛：此题主要考查线性规划在求最优解中的应用，属于中低档题型，也是最近几年高考的必考题型.利用线性规划求最优解的具体步骤是：1.依题意，设出变量，建立目标函数；2.列出线性约束条件；3.作出可行域（图形要准确，否则易出错）；4.借助可行域确定函数的最优解.以上步骤可根据具体题目条件而定.11．C【解析】由题意知，圆心坐标为(0，0)，半径为1，则=1⇒m2+n2=4，则m n≤2，而|m+n|=(m+n)2=4+2m n≤22，即−22≤m+n≤22，故选C.点睛：此题主要考查直线与圆的位置关系（相切），以及均值不等式在求参变量的取值范围中的应用等有关方面的知识，属于中档低题型，也是高频考点.判断直线与圆的位置关系常用圆心到直线的距离与圆的半径进行比较，从而得出直线与圆的位置关系；在使用均值不等式求值域时，注意：当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“一正，二定，三取等”.12．A>0⇒xf′(x)+f(x)>0⇒[x f(x)]′>0，所以函【解析】由题意，当x>0时，f′(x)+2f(x)x数y=x f(x)在(0，+∞)上为增函数，又函数g(x)的零点个数，可转化为方程x f(x)+1=0的根的个数，令F(x)=x f(x)+1，则F′(x)>0，所以F(x)在(0，+∞)上为单调递增函数，同理，当x<0时，F(x)在(−∞，0)上为单调递减函数，而函数y=f(x)为R上的连续可导的函数，所以x f(x)+1=0无实数根，故选A.点睛：此题主要考查导数在判断函数单调性，以及函数单调性在判断函数零点个数中的应用，属于中高档题型，也是高频考点.这里先构造函数F(x)，再用导数知识确定函数F(x)的单调性，最后选择合适的区间，通过对端点的函数值符号的考察，从而确定函数零点的个数. 13．12【解析】由已知得，1+i(1−i)2=1+i−2i=−1+i2=−12+12i，所以所求复数的虚部为12.14．66【解析】由题意得，∠B A D=105°，∠B D A=45°，由正弦定理得，A Dsin∠D B A =A Bsin∠B D A⇒A D=24×sin30°sin45°=122，又D C⊥E C，且∠D B A=60°，所以C D=A D sin∠D A C=122×sin60°=66.15．2【解析】由题意，可设底面正方形A B C D的边长为a，因为O A⊥平面B D E，所以长方体对角AC1⊥A1C，则AA1=A C=2a，所以体对角线AC1=2R=a2+a2+(2a)2=2a，即a=R，又球的表面积为16π，则4πa2=16π，所以a=2，即所求底面正方形A B C D的边长为2.点睛：此题主要考查了空间立体几何中球的表面积与其内接长方体边长的关系，及其有关计算，属于中低档题型，属于高频考点.在解决此类问题中，常用到此结论：设长方体的棱长为a,b,c，其体对角线长为l，当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体外接球的道理一样的，故球的半径为：R=l2=a2+b2+c22.16．66【解析】由抛物线定义，|B F|等于B到准线的距离，|B C|=2|B F|，得准线与直线l的夹角为30°，则直线l的倾斜角为60°，又|A F|=4，从而A(2+p2,23)，又因为点A在抛物线上，所以(23)2=2p(2+p2)(p>0)，解得p=2，即抛物线方程为y2=4x.点睛：此题主要考查抛物线定义、方程、焦点、准线等，以及直线与抛物线位置关系等有关方面的知识，属于中档题型，是高频考点.这里有几点提示：1.做题之前必须弄清不同标准对应的抛物线不现开口方向以及p的大小；2.牢记抛物线焦点弦的各种结论；3.熟练运用抛物线焦点与准线的定义对解题能起到事倍功半的效果，注意采用数形结合法. 17．（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）n max=50.【解析】（Ⅰ）根据题目所给条件，结合所证数列通项表达式，将条件a n+1=3a n4a n+1进行变化整理成等比数列定义表达式，再验证首项，问题即可得证；（Ⅱ）由（Ⅰ）可根据等比数列前n项和公式求出S n，再由数列极限求出n的最大值.试题解析：（Ⅰ）∵1a n +1=43+13a n ， ∴1a n +1−2=13a n −23=13(1a n−2)， 又∵1a 1−2=−13≠0， ∴数列{1a n−2}是首项为−13公比为13的等比数列. （Ⅱ）由（Ⅰ）可求得1a n −2=−13×(13)n −1,∴1a n =2−(13)n . S n =1a 1+1a 2+⋯+1a n =2n −(13+132+⋯+13n )=2n −13−13n +11−13=2n −12+12⋅3n 若S n <100，则2n −12+12⋅3n <100,∴n max =50.18．（Ⅰ）P =35;（Ⅱ）y ^=5x −23;（Ⅲ）线性回归方程y ^=5x −23是可靠的.【解析】（Ⅰ）根据题意，采用列举法，列出5组数据任取两组的总共情况，再数出不相邻两组数据的种数，根据古典概型概率的计算公式即可求得；（Ⅱ）根据题目所给参考公式，逐一进行计算即求出线性回归方程；（Ⅲ）根据题目所给数据，分别将12月1日、12月5日的数据代入检验即可.试题解析：（Ⅰ）设五组数据依次是A 1,A 2,A 3,A 4,A 5，则取出的两组数据构成：Ω={A 1A 2,A 1A 3,A 1A 4,A 1A 5,A 2A 3,A 2A 4,A 2A 5,A 3A 4,A 3A 5,A 4A 5}其中共有10个元素.则选取的两组数据恰好不相邻这一事件为：A ={A 1A 3,A 1A 4,A 1A 5,A 2A 4,A 2A 5,A 3A 5}其中共有6个元素.∴P =610=35． （Ⅱ）∵x =11+10+123=11,y =34+26+363=32 ∴b=11×34+10×26+12×36−3×11×32112+102+122−3×112=5， 又∵b ^x +a ^=y ^,5×11+a ^=32即a ^=−23，∴线性回归方程为：y ^=5x −23（Ⅲ）∴当x =9时，y ^=5×9−23=22，这与实际值y =21比较，误差没有超过两颗，又当x =13时，y ^=5×13−23=42，而实际值y =40是，误差也没有超过两颗，∴（Ⅱ）问中得到的线性回归方程y ^=5x −23是可靠的.19．（Ⅰ）见解析; （Ⅱ） 63a .【解析】（Ⅰ）此问题为要证线面平行，可根据线面平行判定定理，只要证明直线平行于该平面内的某一直线即可，则可取B 1D 1中点O 1，连接O 1F ，只要证四边形O 1B E F 为平行四边形即可；（Ⅱ）根据题意可由三棱锥体积相等，即由V P −A D Q =V A −P D Q 进行计算，从而问题可得解.试题解析：（Ⅰ）如图，取B1D1的中点O1，连结B O1,FO1，则有FO1//__12B1C1，∴B E//__FO1.∴四边形B E FO1是平行四边形.∴E F//B O1.又E F⊄平面B B1D1D,B O1⊂平面B B1D1D，∴E F//平面B B1D1D.（Ⅱ）设点A到平面P D Q的距离为x,P Q=12D1C，三角形P D Q为等边三角形.∵体积V P−A D Q=V A−P D Q，∴13⋅12a2⋅a=13⋅22a⋅3a2⋅x，∴x=63a，即点A到平面P D Q的距离为63a.点睛：此题主要考查了空间立体几何中线面平行的证明问题，以及计算点到平面的距离等有关方面的知识，属于中档题型，也是高频考点.求点到平面的距离是立体几何中不可忽视的一个基本问题，是近几年来高考的一个热点.求点到平面的距离一般有这么几种方法：1.直接作出所求之距离，再进行计算；2.不直接作出所求之距离，间接求之，如：利用二面角的平面角；利用斜线和平面所成的角；利用三棱锥体积相等；3.不经过该点间接确定点到平面的距离，如：利用直线到平面的距离计算；利用平行平面间的距离进行计算. 20．（Ⅰ）当a>0,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，当a<0,f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.（Ⅱ）(1e−1,0).【解析】（Ⅰ）由已知求出函数f(x)的定义域，再利用导数法，由参数a的取值对导数正负的影响进行分类讨论，从而判断函数f(x)的单调性；（Ⅱ）由题意，将不等式中的未知数与参数分离，再构造新函数，通过导数法求出新函数的最值，从而将问题进行转化为关于参数a的不等式，再进行求解即可.试题分析：（Ⅰ）∵f(x)=a ln x+a2x2+1,∴f(x)的定义域为(0,+∞)，又f′(x)=ax +a x=a(x2+1)x∴当a>0,f′(x)>0,∴f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，当a <0,f ′(x )<0,∴f (x )在区间(0,+∞)上单调递减. （Ⅱ）由已知f (x )>1+a2ln (−a )−12x 2，得a ln x +a +12x 2>a2ln (−a )，令g (x )=a ln x +a +12x 2,g ′(x )=(a +1)x 2+ax,x ∈(0,+∞). 当−1<a <0时，由g ′(x )>0得x 2>−aa +1,∴x >−aa +1或x <−−aa +1（舍去）∴g (x )在( −aa +1,+∞)上单调递增，在(0, −aa +1)上单调递减；当−1<a <0时，g min (x )=g ( −aa +1)，即原不等式等价于g ( −aa +1)>a2ln (−a ) 即a ln−aa +1+a +12⋅−aa +1>a2ln (−a )，整理得ln (a +1)>−1,∴a >1e−1，又∵−1<a <0,∴a 的取值范围为(1e −1,0).点睛：此题主要考查了导数在判断函数单调性，以及函数最值在恒等式中求参数取值范围等有关方面的知识，属于中高档题型，也是必考题型.利用导数研究函数单调性的一般步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数f ′(x )；（3）①若求单调区间（或证明单调性），只需在函数f (x )的定义域内解（或证明）不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0.②若已知f (x )的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题求解. 21．（Ⅰ）1，（Ⅱ）y =−33(x +1)，即x + 3y +1=0.【解析】试题分析: （Ⅰ）根据向量数量积坐标关系得PF 1 ⋅PF 2 =x 02+y 02−1，再根据点P (x 0,y 0)在椭圆C 上，将二元问题转化为一元二次函数，最后根据对称轴及定义区间位置关系确定函数最小值，（Ⅱ）由PF 1 ⋅PF 2 =0及点P (x 0,y 0)在椭圆C 上可解出点P 坐标.由四边形PA B Q 能成为平行四边形可得|A B |=|P Q |，由直线方程与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理可得弦长,通过解方程可得k 的值，即直线l 的方程. 试题解析:解：（Ⅰ）由题意可知，F 1(−1,0),F 2(1,0),∴PF 1 =(−1−x 0,−y 0),PF 2 =(1−x 0,−y 0)∴PF 1 ⋅PF 2 =x 02+y 02−1 ∵点P (x 0,y 0)在椭圆C 上，∴x 023+y 022=1，即y 02=2−2x 023∴PF 1 ⋅PF 2 =x 02+2−23x 02−1=13x 02+1，且− 3≤x 0≤ 3∴PF 1 ⋅PF 2 最小值1.（Ⅱ）∵PF 1 ⋅PF 2 =0,∴x 0=−1,∵y 0>0∴P (−1,2 33)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 由{y =(k +1)x 23+y 22=1得，(2+3k 2)x 2+6k 2x +3k 2−6=0，∴x 1+x 2=−6 k 22+3k ,x 1,x 2=3k 2−62+3k ， ∴|x 1−x 2|= (x 1+x 2)2−4x 1x 2=4 3⋅ 1+k 2+3k 2，∴|A B |= 1+k 2⋅|x 1−x 2|=4 3⋅(1+k 2)2+3k∵P (−1.2 33),P Q //A B ,∴直线PQ 的方程为y −2 33=k (x +1).由{y −2 33=k (x +1)x 23+y22=1得，(2+3k 2)x 2+6k (k +2 33)x +3(k +2 33)2−6=0， ∵x P =−1,∴x Q =2−3k 2−4 3k 2+3k 2，∴|P Q |= 1+k 2⋅|x P −x Q |= 1+k 2⋅|4−4 3k |2+3k ，若四边形P A B Q 能成为平行四边形，则|A B |=|P Q |， ∴4 3⋅ 1+k =|4−4 3k |，解得k =− 33. ∴符合条件的直线l 的方程为y =−33(x +1)，即x + 3y +1=0.点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决. 22．（Ⅰ）P (1,−1)（Ⅱ）17【解析】试题分析: （Ⅰ）利用加减消元法得C 2普通方程x +y =0，根据ρcos θ=x ,ρsin θ=y 将极坐标方程化为直角坐标方程x −y −2=0，解方程组可得点P 的直角坐标；（Ⅱ）利用平方关系消参数得C 1普通方程：x 2+(y −1)2=t 2，根据直线与圆相切得t =3 22，再根据直线与圆相交，利用韦达定理可得两根之和及两根之积，最后将|P A |2+|P B |2化为两根之和及两根之积关系，并代入求值. 试题解析:解：（Ⅰ）由曲线C 2:{x =1−22s y =−1+22s可得普通方程x +y =0.由曲线C 3:ρcos θ−ρsin θ=2可得直角坐标方程：x −y −2=0. 由{x +y =0x −y −2=0得P (1,−1)，（Ⅱ）曲线C 1:{x =t c o sαy =t s i n α+1（α为参数，t >0）消去参数α可得普通方程：x 2+(y −1)2=t 2，圆C 1的圆心C 1(0,1)半径为t ，∵曲线C 1与C 2有且只有一个公共点，∴2=t ，即t =3 22，设A (x 1,−x 1),B (x 2,−x 2)联立{x +y =0x 2+(y −1)2=92得4x 2+4x −7=0,∴x 1+x 2=−1,x 1x 2=−74∴|P A |2+|P B |2=2(x 1−1)2+2(x 2−1)2=2(x 12+x 22)−4(x 1+x 2)+4=2(x 12+x 22)−4(x 1+x 2)−4x 1x 2+4=17. 23．（Ⅰ）m =2（Ⅱ）94【解析】试题分析: （Ⅰ）根据绝对值定义将函数化为三段，分别求出各段上的最小值，最后取三个最小值的最小值，作为m 的值；（Ⅱ）根据条件可得所求式子中两个分母的和为定值4，利用1的代换方法，将式子转化：14[5+b 2+1a 2+1+4(a 2+1)b 2+1]，最后根据基本不等式求最值.试题解析:解：（Ⅰ）当x ≤−1时，f (x )=−3x −1≥2当−1<x <1时，f (x )=x +3>2 当x ≥1时，f (x )=3x +1≥4∴当x =−1时，f (x )取得最小值m =2（Ⅱ）由题意知a 2+b 2=2,a 2+1+b 2+1=4∴1a 2+1+4b 2+1=14(a 2+1+b 2+1)(1a 2+1+4b 2+1) =14[5+b 2+1+1+4(a 2+1)+1]≥94 当且仅当b 2+1a +1=4(a 2+1)b +1时，即a 2=13,b 2=53等号成立，∴1a +1+4b +1的最小值为94.。
【全国百强校】重庆市第一中学2017届高三上学期一诊模拟考试理数(解析版)
重庆市第一中学2017届高三上学期一诊模拟考试理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z 满足(1)4z i +=，则复数z 在复平面上对应的点与点(1,0)间的距离为 （ ）A ．2B ．4 D 【答案】B2.已知集合{|2},{|1},1xA x xB x R x =<=<-为实数集，则集合()R AC B = （ ） A ．R B ．(,2)-∞ C ．(1,2)D ．[1,2)【答案】D 【解析】由11x x <-，得101x x -<-，即{}{}10,1,|1,|11R x B x x C B x x x <<∴=<=≥-，又 {}{}[)|2,|121,2R A x x A C B x x =<∴=≤<= ，故选D.3.将函数sin cos y x x =+图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到()y f x =的图象，则()y f x =的最小正周期为（ ）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π 【答案】B【解析】sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数()24y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，其最小正周期为22T ππ==，故选B.4.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，且点P 到其渐近线的距离为8，则C 的实轴长为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】C5.设13482,log 3,log 5a b c ===，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】A【解析】由指数函数性质知1a >，c 可化为2log b 可化为2log 66,,b c a b c <∴>∴>>，故选A.6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．121B ．129C ．178D ．209【答案】B【解析】执行程序框图，第一次循环13,5,13S a b ===；第二次循环18,13,18S a b ===；第三次循环31,18,31S a b ===；第四次循环49,315,49S a b ===；第五次循环80,49,80S a b ===；第六次循环12985S =>，退出循环，输出129S =，故选B.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7.若随机变量2(,)(0)X N u σσ> ，则有如下结论（ ）()0.6826,(22)0.9544P u X u P u X u σσσσ-<≤+=-<≤+=(33)0.9974P u X u σσ-<≤+=，一班有60名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分110，方差为100，理论上说在120分到130分之间的人数约为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C8.（原创）定义在R 上的奇函数()f x 关于点(2,1)对称，则()6f =（ ）A ．9B ．7C ．5D ．3【答案】D【解析】()y f x = 关于()2,1对称，()()42f x f x ∴-+=，令2x =- ，则()()622f f +-= ① 又()y f x = 是奇函数()()()()()(),42,842f x f x f x f x f x f x ∴=--∴---=---=，相加()()84f x f x ---=，令()()2,624x f f =--= ， ② 由① ②得()63f =，故选D.9.（原创）将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是（ ）A ．2158 B ．1229 C ．2164 D ．727【答案】A【解析】4个不同的球装入4个不同的盒子共有44256=（种）方法，至少一个盒子为空的方法共有44256232A -=，四个球分为两组有两种方法 ，若两组每组有两个球，不同分组的方法有24223C A =种，恰有两个盒子不放球的不同方法是24336A ⨯=种，若一组为3，一组为1个球，不同的分组方法有344C =种，恰有两个盒子不放球的不同方法是 24448A ⨯=种，综合两种情况，恰有两个盒子不放球的不同方法是364884+=种，所以恰有两个盒子为空的的概率为842123258=，故选A. 10.（原创）6()(2)x y x y z -++的展开式中，232x y z 的系数为（ ）A ．30-B ．120C ．240D ．420【答案】B11.（原创）过x 轴下方的一动点P 作抛物线2:2C x y =的两切线，切点分别为,A B ，若直线AB 到圆221x y +=相切，则点P 的轨迹方程为（ ）A ．221(0)y x y -=< B ．22(2)1y x ++= C ．221(0)4y x y +=< D ．21x y =--【答案】A【解析】设()()11221,,,,',PA A x y B x y y x k x =∴= ，可得()111:PA y y x x x -=-，化为110x x y y --=，同理PB 方程为220x x y y --=，设()()000,0P x y y <，则有100120020x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，说明()()1122,,,A x y B x y 都在在直线000x x y y --=上，即AB 方程000x x y y --=，又AB 与圆220x y +=相切，1=，可化为()220010,y x y P -=<∴点轨迹方程为()2210y x y -=<，故选A.【方法点晴】本题主要考查利用导数求切线方程、直线与抛物线的位置关系及轨迹方程的求法，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'00()()y y f x x x -=∙-. 12.（原创）已知函数()22cos()(1)sin(),()233x f x x a x a g x x ππ=+-+=-，若()[]0f g x ≤对[]0,1x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1]-∞B ．(,0]-∞C ．1]-D ．(,1-∞【答案】A【解析】如图所示，在同一坐标系内画出2231,2,2x y x y y x =+==+的图象，由图象可知，在[]0,1上，223122+≤<+x x x 恒成立，即23122x x ≤-<，当且仅当0x =或1x =时等号成立，()312g x ∴≤<，设()g x t =，则()(31,02≤<≤⎤⎦t f g x 等价于()0f t ≤，即()2cos1sin 033t a t a ππ+-+≤，31,,2332t t πππ⎡⎫≤≤∴∈⎪⎢⎣⎭，再设sin 13t m m π=≤<，原不等式可化为()212sin t a 1sint a 033ππ-+-+≤，即()22211210,211m m m a m n a m m +--+-+≤≤=-+1211m -≤-<，1a ∴≤-，故选A .【方法点晴】本题主要考查函数的图象与性质、三角函数的性质及不等式恒成立问题.，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.本题是利用方法 ① 求得a 的范围的.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.ABC ∆中，090,2,A AC D ∠==为边BC 的中点，则AD AC ⋅= ．【答案】214.已知实数,x y 满足03035x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩，则12y z x +=的最大值为 ．【答案】错误！未找到引用源。
2017年重庆市高考数学一模试卷(理科)
2017年重庆市高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知复数z满足（z+i）（1-2i）=2，则复数z在复平面内的对应点所在象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】解：由（z+i）（1-2i）=2，得，∴．∴复数z在复平面内的对应点的坐标为（，），所在象限是第四象限．故选：D．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.已知集合A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|1＜2x＜4}，则A∩B=（）A.{x|1≤x≤2}B.{x|1＜x≤2}C.{x|1≤x＜2}D.{x|0≤x＜2}【答案】C【解析】解：∵集合A={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，B={x|1＜2x＜4}={x|0＜x＜2}，∴A∩B={x|1≤x＜2}．故选：C．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．3.若过点M（1，1）的直线l与圆（x-2）2+y2=4相较于两点A，B，且M为弦的中点AB，则|AB|为（）A. B.4 C. D.2【答案】A【解析】解：圆（x-2）2+y2=4的圆心为C（2，0），半径为2，则|CM|=，CM⊥AB，∴|AB|=2=2，故选A．圆（x-2）2+y2=4的圆心为C（2，0），半径为2，则|CM|=，CM⊥AB，利用勾股定理可得结论．本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查勾股定理的运用，属于基础题．4.（2+x）（1-2x）5展开式中，x2项的系数为（）A.30B.70C.90D.-150【答案】B【解析】解：∵（1-2x）5展开式的通项公式为T r+1=C5r•（-2x）r，∴（2+x）（1-2x）5展开式中，x2项的系数为2C52•（-2）2+C51•（-2）=70，故选：B．先求得（1-2x）5展开式的通项公式，可得（2+x）（1-2x）5展开式中，x2项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．5.已知函数＜的图象向左平移个单位后关于y轴对称，则函数f（x）的一个单调递增区间是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】解：函数f（x）的图象向左平移个单位后的函数解析式为：y=sin[2（x+）+φ]=sin （2x+φ+），由函数图象关于y轴对称，可得：+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈z，由于|φ|＜，可得：φ=，可得：f（x）=sin（2x+），由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解答：kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，可得，当k=1时，函数f（x）的一个单调递增区间是：[-，]．故选：B．由条件利用y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得φ值，利用正弦函数的单调性可求单调递增区间．本题主要考查y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．6.设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1+a2+a3=a4+a5，S5=60，则a10=（）A.16B.20C.24D.26【答案】D【解析】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a1+a2+a3=a4+a5，S5=60，∴，解得a1=8，d=2，a10=8+9×2=26．故选：D．利用等差数列有通项公式、前n项和公式列出方程组，求出首项及公差，由此能求出结果．本题考查等差数列的第10项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．7.设双曲线＞，＞的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：双曲线＞，＞的渐近线方程为y=±x，渐近线与抛物线相切，可得x2±x+2=0，由△=（）2-4××2=0，可得b=2a，c==a，即离心率e==．故选：B．求出双曲线的渐近线方程，联立抛物线方程，运用相切的条件：判别式为0，可得b=2a，再由a，b，c的关系，结合离心率公式，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，同时考查直线和抛物线相切的条件：判别式为0，考查方程思想和运算能力，属于中档题．8.将5名学生分到A，B，C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有（）A.18种B.36种C.48种D.60种【答案】D【解析】解：利用分类计数原理，第一类，甲一个人住在一个宿舍时有=12种，第二类，当甲和另一个一起时有=48种，所以共有12+48=60种．故选：D．以甲单独住，合伙住进行分类，利用分类计数原理可得．本题主要考查了分类计数原理，分类是要不重不漏，属于中档题．9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A.14B.15C.16D.17【答案】C【解析】解：第一次循环：，n=2；第二次循环：，n=3；第三次循环：，n=4；…第n次循环：=，n=n+1令＜解得n＞15∴输出的结果是n+1=16故选：C．通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果．本题考查程序框图的应用，数列的应用，考查分析问题解决问题的能力．10.设实数x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围是（）A. ，，B.，C.，D.，【答案】D【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（1，-1），联立，得B（1，3）．由=，而，．∴目标函数的取值范围是[，]．故选：D．由约束条件作出可行域，再由目标函数的几何意义，即可行域内的点与定点（-1，0）连线的斜率求解．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．11.已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）＜f（x）对任意的x∈R恒成立，则下列不等式均成立的是（）A.f（ln2）＜2f（0），f（2）＜e2f（0）B.f（ln2）＞2f（0），f（2）＞e2f（0）C.f（ln2）＜2f（0），f（2）＞e2f（0）D.f（ln2）＞2f（0），f（2）＜e2f（0）【答案】A【解析】解：令g（x）=，则g′（x）=′＜0，故g（x）在R递减，而ln2＞0，2＞0，故g（ln2）＜g（0），g（2）＜g（0），即＜，＜，即f（ln2）＜2f（0），f（2）＜e2f（0），故选：A．令g（x）=，求出函数g（x）的导数，判断函数的单调性，从而求出答案．本题考查了函数的单调性、导数的应用，构造函数g（x）=是解题的关键，本题是一道中档题．12.已知函数f（x）=，，＞若关于x的方程f2（x）+f（x）+m=0有三个不同实数根，则m的取值范围是（）A.＜B.m≤-2C.＜D.m＞2【答案】B【解析】解：函数f（x）=，，＞的图象如图，若关于x的方程f2（x）+f（x）+m=0有三个不同实数根，令f（x）=t，则方程t2+t+m=0的两根一个大于等于1而另一个小于1．再令g（t）=t2+t+m，则g（1）≤0，即2+m≤0，得m≤-2．故选：B．结合方程f2（x）+f（x）+m=0有三个不同的实数根，将问题转化为函数图象交点的个数判断问题，结合函数f（x）的图象即可获得解答．本题考查的是方程的根的存在性以及根的个数判断，考查转化的思想、数形结合的思想方法，属中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设向量，的夹角为θ，已知向量，，，，若，则θ= ______ ．【答案】【解析】解：，，，；∵又；∴；∴x=±1；∴，；∴；∴．故答案为：．根据条件，可先求出向量的坐标，并可得到，进行数量积的运算，从而能求得x的值，从而求出及，的值，从而求出θ的值．考查向量坐标的数乘运算，以及向量数量积的坐标运算，向量余弦的计算公式．14.如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，若直角三角形两条直角边的长分别为a，b，且a=2b，则在大正方形内随即掷一点，这一点落在正方形内的概率为______ ．【答案】【解析】解：由题意，大正方形面积为a2+b2=5b2，三角形的面积为ab=b2，∴小正方形面积为b2，∴在大正方形内随即掷一点，这一点落在正方形内的概率为故答案为．求出三角形的面积，再求出大正方形的面积，根据比值解得即可．本题考查几何概型的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积和总面积的比，这个比即事件（A）发生的概率．15.已知α∈（，π），且cos2α+sin（π+2α）=，则tanα= ______ ．【答案】-7【解析】解：∵α∈（，π），∴tanα＜0，∵cos2α+sin（π+2α）=cos2α-sin2α=cos2α-2sinαcosα=，∴==，∴tanα=（舍去），或tanα=-7，故答案为：-7．由题意可得tanα＜0，再利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式的应用，属于基础题．16.设抛物线y2=4x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于两点A，B，若点M 满足=（+），过M作y轴的垂线与抛物线交于点P，若|PF|=2，则M点的横坐标为______ ．【答案】3【解析】解：由题意可知：抛物线y2=4x的焦点为F，准线为x=-1，M是AB的中点，设A（x1，y2），B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x-1），将直线方程代入抛物线方程消去y得：k2x2-（2k2+4）+k2=0，由根与系数的关系：x1+x2=2+，x1•x2=1，又设P（x0，y0），y0=（y1+y2）=[k（x1-1）+k（x2-1）]=，∴x0=，∴P（，），|PF|=x0+1=+1=2，∴k2=1，∴M点的横坐标为3，故答案为：3．根据已知条件M是AB中点，设出A和B的坐标及直线方程，并将直线方程代入椭圆方程得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，表示出x1+x2和x1•x2，并求出P点坐标，根据|PF|=2，求得k的值，即可求得M点的横坐标．本题考查抛物线的性质和应用及根与系数的关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，积累解题方法，属于中档题．三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17.已知数列{a n}的前n项和为S n，2S n=3a n-2n（n∈N+）．（Ⅰ）证明数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n+2n+1，求证：++b3+…+＜．【答案】解：（Ⅰ）由2S n=3a n-2n得：2S n-1=3a n-1-2（n-1），∴2S n-2S n-1=3a n-3a n-1-2，即：a n=3a n-1+2∴a n+1=3（a n-1+1），所以{a n+1}是以a1+1为首项，公比为3的等比数列，由2S1=3a1-2知a1=2，∴a n+1=3n，即a n=3n-1；（Ⅱ）证明：b n=a n+2n+1=3n+2n，∵3n+2n＞2n+2n=2n+1，∴＜，∴++…+=++…+＜+…+=．【解析】（Ⅰ）再写一式，两式相减，即可证明数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）b n=a n+2n+1=3n+2n，可得＜，即可证明结论．本题考查等比数列的证明，考查数列与不等式的综合，考查放缩方法的运用，属于中档题．18.为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+d【答案】40；15；55；20；25；45；60；40；100【解析】解：（Ⅰ）因为＞，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．…（6分）（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为．X可取值是0，1，2，3，～，，有：，，，，分布列为．…（12分）（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2，3，～，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．本题考查离散性随机变量的分布列，期望的求法，独立检验的应用，考查分析问题解决问题的能力．19.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（Ⅰ）若C=2B，求证：cos A=3cos B-4cos3B；（Ⅱ）若bsin B-csin C=a，且△ABC的面积S=，求角B．【答案】解：（Ⅰ）证明：∵cos A=3cos B-4cos3B，⇔cos A=cos B（3-4cos2B），⇔cos A=cos B（3-4×），⇔cos A=cos B-2cos B cos2B，⇔cos A+2cos B cos2B=cos B，∵C=2B，可得：A=π-B-C=π-3B，∴原式⇔-cos3B+2cos B cos C=cos B，⇔2cos B cos C-cos B=cos3B，⇔2cos B cos C-cos B=cos（B+C）=cos B co C-sin B sin C，⇔cos B cos C-cos B=-sin B sin C，⇔cos B cos C+sin B sin C=cos B，⇔cos（C-B）=cos B，⇔cos（2B-B）=cos B，显然成立，故得证cos A=3cos B-4cos3B．（Ⅱ）在△ABC中，∵S=，∴bcsin A=，∴bcsin A=bccos A，∴tan A=1，∴A=45°∵bsin B-csin C=a，∴sin2B-sin2C=，∴cos2C-cos2B=，∴cos（270°-2B）-cos2B=，∴-sin2B-cos2B=，∴sin（2B+45°）=-，∴2B+45°=210°或2B+45°=330°，∴B=77.5°或142.5°（舍去）．故B=77.5°．【解析】（Ⅰ）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，利用分析法即可证明．（Ⅱ）利用余弦定理、正弦定理、三角形的面积公式，结合二倍角公式，即可求出B．本题主要考查了三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，考查了余弦定理、正弦定理、三角形的面积公式、二倍角公式，考查学生的计算能力，正确转化是关键，属于中档题．20.已知F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，点P（x0，y0）在椭圆C上．（Ⅰ）求•的最小值；（Ⅱ）若y0＞0且•=0，已知直线l：y=k（x+1）与椭圆C交于两点A，B，过点P且平行于直线l的直线交椭圆C于另一点Q，问：四边形PABQ能否程成为平行四边形？若能，请求出直线l的方程；若不能，请说明理由．【答案】解：（Ⅰ）由题意可知，F1（-1，0），F2（1，0），∴=（-1-x0，-y0），=（1-x0，-y0），∴•=x02+y02-1=x02+1∵-≤x0≤，∴•最小值1．（Ⅱ）∵•=0，∴x0=-1，∵y0＞0，∴P（-1，），设A（x1，y1），B（x2，y2）．由直线与椭圆联立得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2-6=0，由韦达定理可知：x1+x2=-，x1•x2=．∴由弦长公式可知丨AB丨=|x1-x2|=，∵P（-1，），PQ∥AB，∴直线PQ的方程为y-=k（x+1）．将PQ的方程代入椭圆方程可知：（2+3k2）x2+6k2（k+）+3（k+）2-6=0，∵x P=-1，∴x Q=，∴丨PQ丨=•丨x P-x Q丨=•，若四边形PABQ成为平行四边形，则丨AB丨=丨PQ丨，∴4=丨4-4k丨，解得k=-．故符合条件的直线l的方程为y=-（x+1），即x+y+1=0．【解析】（Ⅰ）求出•=x02+y02-1=x02+1，即可求•的最小值；（Ⅱ）由题意设直线方程，代入椭圆方程，与韦达定理及弦长公式分别求得丨AB丨和丨PQ丨，由平行四边形的性质可知：丨AB丨=丨PQ丨，即可求得k的值．本题考查椭圆的标准方程与性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及平行四边形性质的综合应用，考查计算能力，属于中档题．21.已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=x2-x．（Ⅰ）求过点（-1，0）且与曲线y=f（x）相切的直线方程；（Ⅱ）设h（x）=af（x）+g（x），其中a为非零实数，若y=h（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：2h（x2）-x1＞0．【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=ln（x+1）的导数为f′（x）=，设切点为（x0，y0），则切线的斜率为k=，点（x0，y0）在f（x）=ln（x+1）上，则y0=ln（1+x0），可得=，解得x0=e-1，可得切线的斜率为，则切线方程为y-0=（x+1），即为x-ey+1=0；（Ⅱ）证明：h（x）=af（x）+g（x）=aln（x+1）+x2-x，导数h′（x）=+x-1=，x＞-1，当a-1≥0时，即a≥1时，h′（x）≥0，h（x）在（-1，+ ）上单调递增；当0＜a＜1时，由h′（x）=0得，x1=-，x2=，故h（x）在（-1，-）上单调递增，在（-，）上单调递减，在（，+ ）上单调递增；当a＜0时，由h′（x）=0得，x0=，h（x）在（-，）上单调递减，在（，+ ）上单调递增．当0＜a＜1时，h（x）有两个极值点，即x1=-，x2=，可得x1+x2=0，x1x2=a-1，由0＜a＜1得，-1＜x1＜0，0＜x2＜1，由2h（x2）-x1＞0等价为2h（x2）+x2＞0，即为2aln（x2+1）+x22-x2＞0，由x2=，可得a=1-x22，即证明2（1-x22）ln（x2+1）+x22-x2＞0，由0＜x2＜1，可得1-x2＞0，即证明2（1+x2）ln（x2+1）-x2＞0，构造函数t（x）=2（1+x）ln（1+x）-x，0＜x＜1，t′（x）=2（1+x）•+2ln（x+1）-1=1+2ln（1+x）＞0，t（x）在（0，1）上单调递增，又t（0）=0，所以t（x）＞0在（0，1）时恒成立，即2（1+x2）ln（x2+1）-x2＞0成立则2h（x2）-x1＞0．【解析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，设出切点，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得切点坐标，进而得到所求切线的方程；（Ⅱ）求出h（x）的解析式和导数，讨论a＜0，0＜a＜1，a≥1，求出极值点和单调区间，由2h（x2）-x1＞0等价为2h（x2）+x2＞0，由x2=，可得a=1-x22，即证明2（1-x22）ln（x2+1）+x22-x2＞0，由0＜x2＜1，可得1-x2＞0，即证明2（1+x2）ln（x2+1）-x2＞0，构造函数t（x）=2（1+x）ln（1+x）-x，0＜x＜1，求出导数判断单调性，即可得证．本题考查导数的运用：求切线的方程，注意设出切点，以及极值问题，考查不等式的证明，注意运用分类讨论思想方法和运用导数判断单调性，构造函数是解题的关键，属于难题．22.在直角坐标系x O y中，曲线C1：（α为参数，t＞0），曲线C2：（s为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C3：ρcosθ-ρsinθ=2，记曲线C2与C3的交点为P．（Ⅰ）求点P的直角坐标；（Ⅱ）当曲线C1与C3有且只有一个公共点时，C1与C2相交于A、B两点，求|PA|2+|PB|2的值．【答案】解：（I）曲线C2：（s为参数），消去参数s可得普通方程：x+y=0．曲线C3：ρcosθ-ρsinθ=2，可得直角坐标方程：x-y-2=0．联立，解得交点P（1，-1）．（II）曲线C1：（α为参数，t＞0），消去参数α可得普通方程：x2+（y-1）2=t2，可得圆心C1（0，1），半径r=t．∵曲线C1与C3有且只有一个公共点，∴=t，解得t=．设A（x1，-x1），B（x2，-x2）．联立，化为4x2+8x-7=0，∴x1+x2=-2，x1x2=-．∴|PA|2+|PB|2=×2+×2=-4（x1+x2）+4= -4x1x2-4（x1+x2）+4=2×（-2）2-4×（-2）-4×+4=27．【解析】（I）曲线C2：（s为参数），消去参数s可得普通方程．曲线C3：ρcosθ-ρsinθ=2，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可得直角坐标方程．（II）曲线C1：（α为参数，t＞0），消去参数α可得普通方程，由曲线C1与C3有且只有一个公共点，利用圆心到直线的距离等于半径解得t=．设A（x1，-x1），B（x2，-x2）．曲线C1与直线C2联立化为4x2+8x-7=0，利用根与系数的关系、两点之间的距离公式即可得出．本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、直线与圆相切的充要条件、直线与圆相交、一元二次方程的根与系数的关系、点到直线的距离公式公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.设f（x）=|x-1|+2|x+1|的最小值为m．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设a，b∈R，a2+b2=m，求的最小值．【答案】解：（Ⅰ）当x≤-1时，f（x）=-3x-1≥2，当-1＜x＜1时，f（x）=x+3＞2，当x≥1时，f（x）=3x+1≥4，∴当x=-1时，f（x）取得最小值m=2；（Ⅱ）由题意知a2+b2=2，a2+1+b2+1=4，∴+=（a2+1+b2+1）（+）=[5++]≥，当且仅当=]时，即a2=，b2=等号成立，∴的最小值为．【解析】（Ⅰ）通过讨论x的范围求出函数f（x）的最小值，从而求出m的值即可；（Ⅱ）根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质的应用，是一道中档题．。
【重庆】2017学年高考一模数学年(理科)试题
2223111111111132323222222n n n n n b ++++=+++<++=-++++．平均车速超过平均车速不超过合计∴1(1=PF --，21PF x =（﹣∴2120PF PF x =+03x -≤∴12PF PF 最小值（Ⅱ）∵120PF PF =，∴0y >，∴3P （y ），B x y （，21232k x x =-+23+222443123P Q x x k k--=++， 3可得120x x +=，121x x a =-，由01a <<得，110x -<<，201x <<，12ln(1x ++）221x x +-（）重庆市2017年高考一模数学（理科）试卷解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.【考点】复数代数形式的乘除运算。
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案。
【解答】解：由（z+i）（1﹣2i）=2，得，∴。
∴复数z在复平面内的对应点的坐标为（），所在象限是第四象限。
故选：D．2．【考点】交集及其运算。
【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，B={x|1＜2x＜4}={x|0＜x＜2}，∴A∩B={x|1≤x＜2}。
故选：C．3．【考点】直线与圆的位置关系。
【分析】圆（x﹣2）2+y2=4的圆心为C（2，0），半径为2，则|CM|=，CM⊥AB，利用勾股定理可得结论。
【解答】解：圆（x﹣2）2+y2=4的圆心为C（2，0），半径为2，则|CM|=，CM⊥AB，∴|AB|=2=2，故选A．4．【考点】二项式系数的性质。
【分析】先求得（1﹣2x）5展开式的通项公式，可得（2+x）（1﹣2x）5展开式中，x2项的系数。
【解答】解：∵（1﹣2x）5展开式的通项公式为Tr+1=C5r•（﹣2x）r，∴（2+x）（1﹣2x）5展开式中，x2项的系数为2C52•（﹣2）2+C51•（﹣2）=70，故选：B．5．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换。
【重庆第一中学年】2017届高三上学年期一诊模拟考试文数试题
重庆一中学2017届高三上学期一诊模拟考试数学（文）试题答 案第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1~5．CDADA 6~10．BADBD 11~12．CB第Ⅱ卷（共90分）17．解：（1）2π11111cos(2)sin cos2sin2(1cos2)sin2422222x x x x x x ++=-+-=-，2π11())sin sin22422f x x x b x b =+++=-++， 当sin21x =-时，()f x 有最大值，即16b +=，则5b =．（2）由（1）中5b =及已知πC =，则1sin ABC S ab C =△，知1π5sin 3a =，得8a =，18．解：（1）连接AC 交BC 于F ，连接EF ，由题意在在直角梯形ABCD 中，CD AB ∥，2CD AB =，可知2AF FC =， 又因为2PE EC =，可知PA EF ∥， 又EF ⊂平面BDE ，而PA ⊄平面BDE ， 故PA ∥平面BDE ． （2）法一（作出高）由题意PD ⊥平面ABCD ，知Rt PBD △中，3BD =,则由题意得222AD BD AB =+，可知BD AB ⊥，则BD DC ⊥， 由PD ⊥平面ABCD ，可知BD PD ⊥，故BD ⊥平面ADC ， 则平面BDE ⊥平面ADC ，过点P 作PG DE ⊥，垂足为G ，则由面面垂直的性质定理知，PG ⊥平面BDE ， 则PG 为三棱锥P BDE -的高，平面PDC 中，以D 为原点，DC 为x 轴建立直角坐标系，则44(0,4),(2,0),(,)33P C E ,则直线:DE y x =，则||PG ===， 故三棱锥P BDE -的高为．11i i ==11()()87.487.40.958810.592.4tt y y r --===≈⨯，由于线性相关系数很接近1，说明天然气年昌乐y 与年份序号t 具有很强的线性相关性，且为正相关，这与散点图表现出来的特征一致.（2）由公式11111221()()87.4ˆ0.7910.5()ii i ii tt y y btt ==--==≈-∑∑，ˆˆ9.60796 4.86a y bx =-=-⨯=， 则回归方程为0.8 4.9y t =+2016年的年份序号为12，则当12t =时，0.812 4.914.5y =⨯+=（百亿立方米）， 由上述可知，2016年我国天然气年昌乐估计为14.5百亿立方米． 20．解：（1）由题221()a x af x x x x-'=-=， 当0a ≤时，()0,()f xf x '>在定义域(0,)+∞上单调递增；当0a >时，单调性见下表：（2）由（1）值，当0a ≤时，()f x 在定义域[1,e]上单调递增，min 3()(1)2f x f a ===，矛盾； 当01a <<时，()f x 在定义域[1,e]单调递增，min 3()(1)2f x f a ===，矛盾； 当1e a ≤≤时，由（1）知min 3()()ln 12f x f a a ==+=，则a =，符合题意； 当e a >时，由（1）知min 3()(e)1a f x f ==+=，则3a =，矛盾，21．解：（1）当0n =时，点(,0)Q a ±，1l 的方程为221mx ny a b +=即为x a =±，与椭圆T 相切， 当0n ≠时，1l 为22(1)b mxy n a=-，将之代入T 的方程有222222222220b b mx b n x a n a n n --+=，其422222222222442224444()4b m b b n b b m a b a n a n a n n a n--+∆=-= （运算过程中注意到：222222b m a n a b +=） 故1l 与椭圆T 相切；（2）由（1）得推导结果可知：当0m ≠时，2l 的方程为22()a ny n x m b n-=-，可求得2l 与x 轴交于点22(,0)mc G a，则222221222222||||mc c F G mc a c mc a a mc F G a c mc a mc c a +++===---， 根据椭圆的第二定义得1||cF Q a m a =+，2||c F Q a m a=-，则211222||||||||F Q FG mc a F Q a mc F G +==-（学生也可以利用椭圆方程及两点间距离公式推导焦半径公式） 由平面几何知识可知：2l 平分12F QF ∠；（3）2l过点(,0)2c，由（2）的结论可知2l 平分12F QF ∠，则12||3||F QF Q =，再由椭圆第一定义可知2||2a F Q =，代入2||cF Q a m a=-可得22a m c =，而12F QF △12||2c n =，则n =，将(,)Q m n 代入椭圆方程的4222224144a c a c a b -+=，整理可得e =或12为所求． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．解：（1）由题意曲线C 的普通方程为22(2)(1)4x y -+-=，即224210x y x y +--+=，其极坐标方程为24cos 2sin 10ρρθρθ--+=，将π4θ=代入，可解得ρ=.（2）由题曲线l 的普通方程为210x y ++=是曲线C 相离的一条直线，由圆的几何性质可知||PQ 的最小值为圆心(2,1)到l 的距离为圆的半径，22=-=23．解：（1）因为222|2||2||(2)(2)|||x a x a x a x a a a ---≤---=-， 而(0,1)a ∈时，2max 1||4a a -=，故需14c ≥；（2）由三个正数的均值不等式有3b c a a b c a b c++≥=。
重庆市高三数学上学期一诊模拟考试试题文(扫描版)
重庆市2017届高三数学上学期一诊模拟考试试题文（扫描版）
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