高数A(2)习题课(3)-向量
高数考试内容
高数考试内容一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数$f(x)=\sin x + \cos x$，则$f'(x)$等于（）A. $\cos x-\sin x$B. $\cos x+\sin x$C. $-\cos x-\sin x$D. $-\cos x+\sin x$答案：A。
解析：根据求导公式$(\sin x)'=\cos x$，$(\cos x)' =-\sin x$，所以$f(x)=\sin x+\cos x$的导数$f'(x)=\cos x-\sin x$。
2. 定积分$\int_{0}^{\pi}\sin xdx$的值为（）A. 0B. 1D. - 2答案：C。
解析：$\int_{0}^{\pi}\sin xdx=-\cos x\big _{0}^{\pi}= - (\cos\pi-\cos0)=-(-1 - 1)=2$。
3. 函数$y = \ln x$在点$(1,0)$处的切线方程为（）A. $y = x - 1$B. $y=-x + 1$C. $y = 0$D. $x = 1$答案：A。
解析：$y=\ln x$的导数$y'=\frac{1}{x}$，在点$(1,0)$处的切线斜率$k = y'\big _{x = 1}=1$，根据点斜式方程可得切线方程为$y - 0 = 1\times(x - 1)$，即$y=x - 1$。
4. 若向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(x,4)$，且$\vec{a}\parallel\vec{b}$，则$x$的值为（）B. - 2C. 1D. -1答案：A。
解析：两向量平行，对应坐标成比例，即$\frac{1}{x}=\frac{2}{4}$，解得$x = 2$。
5. 极限$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}$的值为（）A. 0B. 1C. 不存在D. $\infty$答案：B。
高等数学A（二）期末复习题
⾼等数学A（⼆）期末复习题⾼等数学A （⼆）期末复习题⼀、填空题1、设(1,2,1),(2,3,1)a b =-=r r ，则a br r .2、过点()3,4,1-且与直线5123--==-z y x 平⾏的直线⽅程为。
3、⽅程b az y x =+-2224，当0=a ，2=b ；4-=a ，2-=b ；0=a ，0=b 时依次表⽰的曲⾯是，，。
4、曲线222212z x y z x y ì?=+?í?=--??在xoy ⾯内的投影曲线的⽅程是。
5、设22y xy x u +-=，()1,10P ，()=0P u grad , du = 。
6、设,3ln sin 2=-z y y x 则=??xz ，=??y z 。
7、交换积分次序 ()1,dxf x y dy -=蝌。
8、=--??≤+dxdy y x y x 122221 。
9、设D 是xoy 平⾯内的⼀块密度为()y x ,µ的薄板，质量M = 。
10、()=++?ydy e dx my y ex L其中L 为沿上半圆周()0222>=+a ax y x 从点()0,2a A 到点()0,0O 的⼀段弧。
⼆、选择题1、直线37423zy x =-+=-+与平⾯3224=--z y x 的关系是（）（A ）平⾏，但直线不在平⾯上（B ）直线在平⾯上（C ）垂直相交（D ）相交但不垂直 2、下列曲⾯中是旋转抛物⾯的是（）（A ）0422=-+z y x（B ）04222=-+z y x （C ）042222=-+z y x（D ）04222=-+z y x3、()xyz f u =，f 可微，则=??xu （）（A ）dx df （B ）()xyz f ' （C ）()xyz f yz ' （D ）dxdf yz 4、设22z xy u -=，u 在点()1,1,2-处的⽅向导数的最⼤值为（）（A ）62 （B ）4 （C ）()1,1,2-u grad （D ）6 5、设4:22≤+y x D ，f 在D 上连续，则()=+??dxdy y x f D22（）（A ）()ρρρπ?d f 22 （B ）()ρρρπ?ρρπd f 2022 （D ）()ρρρπ?d f 146、⽤格林公式计算()dy xy dx y x c22+-?，其中:c 沿圆222R y x =+逆时针⽅向绕⼀周，则得（）（A ）24203R d d R π-=ρρθ-π（B ）??=D dxdy 00 （C ）2)(422R dxdy y x D π=+?? （D ）3232R d d D π=θρρ??7、若级数()nn n x a 20-∑∞=在2-=x 处收敛，则此级数在5=x 处（）（A ）必发散（B ）必条件收敛（C ）必绝对收敛（D ）敛散性不能确定第⼋章：向量代数与空间解析⼏何1、求过点A （0，1，2）且与直线L ：21111zy x =--=-垂直相交的直线⽅程。
高数A习题课(3)_
′ 故仅当a = 2, b = −1 f− (1) = f+ (1)即f (x)在x =1 时′ 处可导 ， 综上，当a = 2, b = −1 f (x)在（− ∞，∞）可导 时 + 。
例5 求下列函数的导数： 求下列函数的导数：
dy （）由方程sin( xy) + ln( y − x) = x确定y是x的函数 求 1 , dx 方程两边对x求导，得 解 1 cos(xy)( y + xy′) + ( y′ −1) =1 （ ） * y−x
解
由 件 f (0) = 0， 条 知
f (x) − f (0) ϕ(a + bx) −ϕ(a − bx) f ′(0) = lim = lim x→0 x→0 x −0 x −0 [ϕ(a + bx) −ϕ(a)] ⋅ b + lim [ϕ(a −bx) −ϕ(a)] ⋅ b = lim x→0 x→0 bx − bx
dy d d sinxlnx x ) ∴ = (sinx) + (e dx dx dx = (sinx) (ln sin x + x cot x) + x
x sinx
sin x (cos x ln x + ). x
例2
求下列函数在指定点处的导数： 求下列函数在指定点处的导数：
1−sin x （） = arcsinx ⋅ 1 y , 求 ′(0). f 1+ sin x
3
′ 7.证 明： f (x)在 a, b]上可导 设 [ ，且 + (a) f− (b) < 0,则 f′ 至 ∃一 ξ ∈(a, b)，使 ′(ξ ) = 0. 少 个 f 8.设f (x)在 a, b]上连续 [ ，在 a, b)可 ( 导， f (a) = 且 f (b) = 0, 证 至少 一个 ∈(a, b), 使 (ξ ) + f ′(ξ ) = 0. ∃ ξ f
高等数学A(2)复习题(统一版、2017年)(1)
7、求过点 (0,1,3) 且与平面 : x 2 y 2 z 1 0 垂直的直线方程，并求出直线与平面的交点坐标.
x 1 y 1 z 垂直相交的直线的方程． 3 2 1 x3 y 2 z 9、求过点 M 0 (1,0,2) 且与平面 3 x 4 y z 6 0 平行，又与直线 L : 垂直的直线方程. 1 4 1
16、过点 ( 2,1,3) 且垂直于直线
x 1 y z 1 的平面方程为 1 2 1
．
17、设一平面通过 z 轴和点 (3,1, 2) ，则其方程为_____________________. 18、 直线
x 2 y 1 z 与平面 2 x 4 y 3 z 2 的位置关系为 1 2 2
38、函数 z x 2 y 2 在点（1,2）处沿从点 A（1,2）到点 B（2,2＋ 3 ）的方向的方向导数等于
2y 39、函数 z xe 在点 P(1,0) 处沿从点 P(1,0) 到点 Q( 2,1) 的方向的方向导数等于
40、函数 z ye 2 x 在点（0,1）处沿向量 {
x 2u 2u 1、设 u arctan ，求 2 , . y x xy
u l
M
. .
xe 2 y 在点 P(1, 0) 处沿从点 P(1, 0) 到点 Q(2, 1) 的方向的方向导数为
2、求三元函数 u x 的全微分 du
y z z 3、设函数 z f ( x 2 y , ), 求 , . x x y
x 0 y 0
xy 2 xy 4 sin xy x
=
26、极限 lim
x 0 y 2
.
27、极限 28、 lim x 0
高数A(二)复习试卷解答
上海大学高数A （二）复习试卷解答一、 求下列导数与极限（1）⎰=x xdt t x F cos sin 2cos )(π 求：)(x F '解: )sin (cos cos )cos (cos sin )(22x x x x x F ππ--=' （2）⎰=2sin ln )(x xdx x x Φ 求：)(x Φ'解: x x x x sin ln sin ln 2)(2-='Φ （3）设)(x f 为连续的偶函数，且⎰⎰+=-x x dt t f dt t f x g 1)()()( 求：)('x g解: 0)()()()()('=+-=+--=x f x f x f x f x g（4）xdt t t x x cos 1)1ln(lim)sin(02-+⎰>- 解:2)s i n (2lim sin )sin(]1)ln[sin()cos(2limsin 2)cos()sin(]1)ln[sin(lim cos 1)1ln(lim 3222202220)sin(02==+=⋅⋅+=-+>->->->-⎰x x x x x x x x x x x x x x dt t t x x x x x （5）dt tt x xx ⎰+∞→31221lim解: 31131lim 31lim 1lim1lim 2022203220112233=+=+=++→→→=∞→⎰⎰uu u u u dttt dtttx u u u u uxxx （6）求：⎰-=20arctan )1()(x dt t t x f 的极值点。
解:2)1(,2)1(,0)0(1)1(4a r c t a n )21(22)(11)1(2a r c t a n )(2a r c t an )1(2)(1,1,00a r c t a n )1(22a r c t a n )1()(422222222223212222ππ-=''-=-''=''+-+-=⋅+-+-+-=''=-===-=⨯-='f f f x x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x f又当01<<-x 时，0)(<'x f ，当10<<x 时，0)(>'x f 所以1,1,0321=-==x x x 都是极值点。
高数课后习题答案及其解析
第一章习题 习题1.11.判断下列函数是否相同: ①定义域不同;②定义域对应法则相同同;2.解 25.125.01)5.0(,2)5.0(=+=-=f f5.解 ① 10,1,1222≤≤-±=-=y y x y x② +∞<<-∞+=+=-=-=y be b c x e c bx c bx e c bx e ay ay a y a y ,,,),ln(ln 6.解 ① x v v u u y sin ,3,ln 2=+== ② 52,arctan 3+==x u u y 习题1.24.解:① 无穷大 ② 无穷小 ③ 负无穷大 ④ 负无穷大 ⑤ 无穷小 ⑥ 无穷小5.求极限：⑴ 21lim 2lim 3)123(lim 13131=+-=+-→→→x x x x x x x⑵ 51)12(lim )3(lim 123lim 22222=+-=+-→→→x x x x x x x⑶ 0tan lim=∞→xxa x⑷-∞=∞--=------=----=+--→→→→32)1)(4(1lim )1)(4()1(2lim )1)(4(122lim 4532lim 11121x x x x x x x x x x x x x x x⑸ 4123lim )2)(2()2)(3(lim 465lim 22222-=+-=-+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x x ⑹ )11)(11()11(lim 11lim22220220x x x x x x x x +++-++=+-→→2)11(lim )11(lim 202220-=++-=-++=→→x xx x x x ⑺ 311311lim 131lim 22=++=+++∞→+∞→xx x x x x⑻2132543232lim 25342332lim =⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⋅+⋅⋅+⋅+∞→+∞→x xx x x x x x ⑼ 133)1)(1()2)(1(lim 12lim 1311lim 2132131-=-=+-+-+=+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-→-→-→x x x x x x x x x x x x x ⑽011lim )1()1)(1(lim)1(lim =++=++++-+=-+∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n n n⑾ 1lim 1231lim 22222==⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++∞→∞→n n n n n n x x ⑿221121211lim2121211lim 2=-⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→∞→n n n n 6.求极限 ⑴ 414tan lim0=→x x x⑵ 111sinlim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x⑶ 2sin 2lim sin sin 2lim sin 2cos 1lim0200===-→→→xxx x x x x x x x x ⑷ x x n nn =⋅∞→2sin 2lim⑸ 21sin lim 212arcsin lim00==→→y y x x y x ⑹111sinlim1sin lim 1sinlim 22222-=-=-=-∞→-∞→-∞→x x x x x x x x x ⑺ k k xx k xx xkx e x x x x ----→---→-→=--=-=-])1()1[(lim )1(lim )1(lim2)(12)(120⑻ 22211lim 1lim e x x x x x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅∞→∞→⑼ 313tan 311cot 0])tan 31()tan 31[(lim )tan 31(lim e x x x xx x x =++=+→+→⑽ =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→32321lim x x x 343)34(23])321()321[(lim ---∞→=-⋅-e xx xx ⑾ []1)31(lim )31(lim )31(lim 03133311==+=+=+⋅-+∞→⋅⋅-+∞→-+∞→--e xx x x x x x x x x xxx⑿ 1333111lim 1111lim 1lim -+∞→+∞→+∞→==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+e ex x x x x x x x x x习题1.31、⑴ 因为函数在x=1点处无定义，)2)(1()1)(1()(--+-=x x x x x f ，但是2)(lim 1-=→x f x ，x=1点是函数的第一类间断点（可去）。
高数下册练习题
高等数学（第二册）练习题1一、选择题1、函数()y x f z ,=在()0,0y x 处的偏导数x z 、y z 存在是函数()y x f z ,=在该点连续的 （ ）A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 2、微分方程x e y y y y x 342=-'-''是（ ）A. 二阶线性微分方程 B.二阶齐次微分方程C.二阶非齐次线性微分方程 D.二阶非齐次非线性微分方程3、下列说法中不正确的是（ ）A. 若0=⋅b a ，则向量b a ,垂直 B. 若0 =⨯b a ， 则向量b a,平行C. 若平面π过x 轴，则平面π方程的形式为：0=++D Cz ByD. 若平面垂直与x 轴，则平面方程的形式为0=+D x ；4、设⎪⎭⎫⎝⎛+=x y xF xy z ，其中()u F 为可微函数，则=∂∂+∂∂y z yx z x ( ) A.xz y + B. xy z + C. yz x + D.xy z - 5、设二重积分()⎰⎰=+Ddxdy y x 2（ ）其中D 是区域(){}20,11,≤≤≤≤-y x y x A.5 B.6 C.7 D.86、无穷级数()∑∞=-113n nn n x 的收敛半径（ ） A. 3 B. 0.3 C. 32 D. 31 7、若∑∞=-1)5(n n nx a在x=3处收敛，则它在x=-3处（ ） A 发散 B 条件收敛 C 绝对收敛 D 不能确定二、填空题1.二阶齐次线性微分方程0106=+'+''y y y 的通解是__________； 2、函数xy e z =的全微分_______________ 3、交换二次积分I 的积分次序，=I ()=⎰⎰--dy y x f dx x 21011,_____________ ； 4、过点()2,0,1-且与平面012752=+-+z y x 垂直的直线方程__________ ；5、以点()2,3,1-为球心，2为半径的球面方程_________________ ；6、函数x e y =的麦克劳林级数_____________________________ 。
高数A(2)习题课空间解析几何20页文档
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
高数A(2)习题课空间解析几何
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
45、自己的饭量自己知道。——苏联
高数A(2)习题课(3)向量代数
将 cos 2 2 cos 1代入并整理得
2
cos （ 2 cos 1） 0
2 2
解得
2
或
（ . 不合） 4 4
3
故向量的方向余弦为
0 , 0 1或
1 2
，
1 2
， 0
所求向量为（
0 , 0， 2）或（
2， 2，） 0
三、
典型例题讲析
2 3
即ab=ca.
同理可证ab=bc.
充分性：由条件ab=bc=ca知，三向量a,b,c共面， 于是有不全为0的1,2,3,使得1a+2b+3c=0 在上式两边与a,b作叉积得 2ab+3ac=0, 1ab+3cb =0 ∴ 1= 2= 3且非零。于是得a+b+c=0。
1 42
cos
1
（为什么不是
42
1 42
？）
如图，过B作PA的平行向量BD交PC于D，显然 |PB|= |BD|=3.于是PD=PB+BD=PB+3/7PA
而 PD 2 PB cos
6 42
C D
B
故 PC
PC
PD
3 42 6/ 42
P
PD
A
PD
解：显然1与2不平行，过其交线的一切平面方程 （除2外）均可表示为 2x -y +1 +( x +2y +z+1)=0 （1） 显然3是上述方程中取1的结果，即1、2、 3 属同一平面束。
将P(1,0,1)的坐标代入（1）式解得=-1
高考数学专题复习《向量的加法和减法运算》知识梳理及典型例题讲解课件(含答案)
当a, b方向相同时：
a
b
ab
C
A
B
CB a b
当a, b方向相反时：
b
a
C
b
a
A•
B
CB a b
练习1：如图，已知 a 、b ，求作 a b .
（1）
a
（2）
b
ab
b
a
b
ab
（3）
b
a
ab
b
（4）
b
b
b
a
ab
练习2：
2. AB AD DB BA BC CA BC BA AC OD OA AD OA OB BA
例1 已知向量a 、b（如图），求作向量a b. 作法：在平面内任取一点O , 作OA a, AB b, 则 OB ＝ a b .
.
O
A
a
b a
ba ba
ba
ba
b
a b
b
bb
b
b
bb
b
b
B
练习1.如图,已知 a b 用向量加法的三角形
法则作出 a b
（1）
a
b ab
（2）
b
b
ab ab
例1、如图，平行四边形ABCD中，AB a ，AD b ，
用 a ，b 表示向量 AC 、DB .
D
C
b
A
a
B
解： 由平行四边形法则得：
AC a b
由作向量差的方法得
DB AB AD a b
例2、化(1)AB BC AM M C (2)AB－AC BD DE C E (3)(AM－AN ) (MG GE) N E (4)NQ QP MN MP 0 (5)(AB CD) ( AC BD) 0
高数A(2)习题课(3)-向量共15页
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
高等数学向量习题课
解得
n0
(
2
i
1
j
2
k ).
333
解答完毕
2010年12月
第7章 向量习题课
第6页 总17页
事实上
已知
a
i ，b
求一单位向量
j 2k, c 2i 2 j n0，使 n0c，且 n0 ,a,
k , b 共面．
设
n0
xi
yj
zk ,
n0
a
b
i j ab 1 0
k
2010年12月
第7章 向量习题课
第5页 总17页
二.典型例题
例1
已知
a
i ，b
求一单位向量
j 2k, c 2i 2 j
n0，使
n0c，且
n0
,
a,
k b
, 共面．
解
设
n0
xi
yj
zk ,
由题设条件得
n0 1
n0c
n0a
b
x2 y2 z2 1 2x 2 y z 0 2 y z 0
v // a b
而
a
b
i 2
j 3
k 1
7i 5 j k
1 2 3
故可设
v t(a b)
7t,5t,t t7,5,1
2010年12月
第7章 向量习题课
第16页 总17页
c
2,1,2
v
t7,5,1
v
c
14
5
2t
21t
而 | c | 3
故
1 Pr
jcv
v c |c |
0 0,2,1
0 1 2
高考数学向量及其运算习题课.doc
向量及其运算习题课一. 教学内容：向量及其运算习题课二. 重点与难点：1. 向量的概念：向量是既有大小，又有方向的量。
向量的大小（长度）叫做向量的模，模是非负数，可以比较大小，但由于方向不能比较大小，所以，向量不可以比较大小，这是数量与向量的最大差异。
2. 向量的表示方法：（1）几何表示法。
向量可以用有向线段表示，如：A →B（）字母表示法：如、或、等。
2a b AB BC →→3. 零向量与单位向量：零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0。
单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。
4. 平行向量、相等向量、共线向量。
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
规定0与任一向量平行，平行向量也叫做共线向量。
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
任意两个相等的非零向量都可以用同一条有向线段表示。
5. 向量的加法：已知向量、，在平面内任取一点，作，，则向量叫a b A AB a BC b AC →=→=→做与的和，记作，即。
求两个向量和的运算，叫做向量的加a b a b AC a b +→=+法。
注意：（1）两个向量的和仍为向量。
（2）对于零向量与任一向量a 有a+0=0+a=a 。
6. 向量的加法法则 （1）三角形法则：（首尾连接） （2）平行四边形法则：（共起点） 7. 向量的加法运算律。
（1）交换律：a+b=b+a（2）结合律：a+(b+c)=(a+b)+c8. 相反向量：与a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量，记作-a 。
零向量的相反向量为零向量。
相反向量性质： （）1--=()a a（）20a a a a +-=-+=()()（）如、为相反向量，那么，，30a b a b b a a b =-=-+= 9. 向量的减法：向量a 加上向量b 的相反向量叫做a 与b 的差。
记 a b a b -=+-()求两个向量差的运算叫做向量的减法。
高中数学 第二章 平面向量 2.5.1 平面几何中的向量方法课后习题 新人教A版必修4高中数学 第二
高中数学第二章平面向量2.5.1 平面几何中的向量方法课后习题新人教A 版必修4高中数学第二章平面向量2.5.1 平面几何中的向量方法课后习题新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章平面向量 2.5.1 平面几何中的向量方法课后习题新人教A版必修4高中数学第二章平面向量 2.5.1 平面几何中的向量方法课后习题新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.5。
1 平面几何中的向量方法1。
已知A，B,C，D四点的坐标分别是（1，0），(4，3)，（2，4），(0，2），则四边形ABCD为（)A.梯形B。
菱形 C.矩形 D.正方形解析:由题意知，=（3,3），=（2，2），所以。
又因为｜｜≠｜｜,所以四边形ABCD为梯形.答案:A2。
已知直角梯形ABCD中，AB⊥AD,AB=2,DC=1,AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD=（)A.1B.C。
D。
2解析：建立如图的平面直角坐标系，则A（0,0），B(2，0).设AD=a,则C（1,a），=(1,a),=(-1,a).∵AC⊥BC,∴.∴=-1+a2=0,∴a=1（负值舍去）。
答案:A3。
在△ABC中,∠C=90°,且CA=CB=3,点M满足=2，则=()A。
18 B.3 C.15 D。
12解析：如图,建立平面直角坐标系,则A（3,0）,B（0，3),设M(x,y），则=（x，y-3),=(x-3，y），∵=2，∴∴M(6，-3）,∴=(6，—3)·(3，0）=18。
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一、 二、 三、
内容总结 作业讲析 典型例题讲解
四、
练习题
一、
内容总结
1.向量的加法与数乘运算
运算律：交换、结合、分配
2.向量的分解
a = ax i + ay j+ az k， b =bxi + by j+ bz k a b = (ax + bx) i + (ay+ by) j + (az+ bz ) k a = ( a x ) i + ( a y ) j + ( a z ) k a = ax i + ay j+ az k 称为向量a在基本单位向量 i, j, k下的基本分解式或坐标表示式. ax、ay 、az为 坐标，分别是a在三坐标轴上的投影. 若在三维空间中不建立直角坐标系，同样可 研究向量的分解及向量的坐标运算。 设, , 为三个线性无关向量,a为任意向量， 则存在唯一一组数x,y,z,使得 a = x+ y+ z
ax bx
ay by
az bz
ax ay by cy az bz . cz
(a b) c [a, b, c] b x
cx
复习数量积、向量积、混合积的运算性质、几何意义、物理意义。
4.平面
建立平面方程的基本方法：点法式、截距式、一般式。 点到平面的距离的向量式表达。 平面之间的位置关系。
2cos2 cos2 2 1
将cos2 2cos2 1代入并整理得 2（2cos2 1 0 cos ）
解得
3 或 （ 不合） . 2 4 4
1 1 故向量的方向余弦为,0 1或 0 ， ， 0 2 2
所求向量为（ ,0， 2）或（ 2，2， 0 0）
平面1：x+y+z+1=0垂直， 求平面(称为PQ到1的 投影平面)的方程 . 9*.四平面y-z=0, x-y=0, x+z-1=0, y=0围成一立体， 求立体体积. 10*.平面6x+y=6, 2x+y=6, x+y+z=6, y=0,z=0围成一 立体,画出该立体并求其体积.
练习题答案：
3.数量积、向量积、混合积
设 a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz), c = (cx , cy , cz),则
a b = a x bx + ay b y + az bz
a b = ( aybz azby) i+( azbx axbz) j+ ( axby ay bx) k i j k
1. 11 3
2. (-10,5,5) 3. c=5a+b 6. ①R(G)=2,相交； ②R(G)=1, R(G)=2,平行； ③R(G)=R(G)=1,重合 7. 3y-2z=0 8. x-y+1=0 9. 1/12 10. 16
例3.设(ab)· c=1,求[(a+b)(b+c)]· (c+a). 解： [(a+b)(b+c)]· (c+a) = [(ab)+(ac)+(bb)+(bc)]· (c+a) = (ab)· (ac)· c+ c+(bc)· c+(ab)· a+(ac)· a+(bc)· a
三、
典型例题讲析
2 b>= 3
例1.设|a|=2, |b|=1,< a, 故=2/5
.若向量m=a+b与向量n=a-b垂直,求.
解：m· a· a· a-b· +-2=5-2=0 n= a- b+b· b=4
例2.设a,b,c为不共线的三向量，那么它们能构成三角形a+b+c=0的 充要条件是ab=bc=ca. 证：必要性:利用向量积的性质得（a+b+c)a=ba+ca=0
解：显然1与2不平行，过其交线的一切平面方程 （除2外）均可表示为 2x -y +1 +( x +2y +z+1)=0 （1） 显然3是上述方程中取1的结果，即1、2、 3 属同一平面束。
将P(1,0,1)的坐标代入（1）式解得=-1
故所求平面方程为x-3y -z= 0
例8.对于平面Ax+By+Cz+D=0，若规定法向量n=(A,B,C) 所指一侧为平面的正侧，另一侧为负侧，那么D的符号就 决定了原点在平面的侧位。试讨论之。 n
3 21( PB PA) 21PB 9 PA (3,15,12) 7
C D
APຫໍສະໝຸດ 六、已知一向量的模为2，且与x轴和y轴的正向成等角，与z轴 正向的夹角则是它们的两倍，求该向量。 解：依题意只需求出向量的方向角即可。可设它的三个方向角 分别为,,2,于是有
试用矩阵
A 1 G A2 B1 B2 A C1 1 , G A2 C2 B1 B2 C1 C2 D1 D2
的秩为条件，判断平面的相交、平行与重合。
7.求过 x 轴和点 M(1, 2, 3) 的平面方程. 8.设平面 过点P(-1, 0, 1), Q(1, 2, 1)且与
即ab=ca.
同理可证ab=bc.
充分性：由条件ab=bc=ca知，三向量a,b,c共面， 于是有不全为0的1,2,3,使得1a+2b+3c=0 在上式两边与a,b作叉积得 2ab+3ac=0, 1ab+3cb =0 ∴ 1= 2= 3且非零。于是得a+b+c=0。
2
cos
1 1 （为什么不是 ？） 42 42
如图，过B作PA的平行向量BD交PC于D，显然 |PB|= |BD|=3.于是PD=PB+BD=PB+3/7PA 6 而 PD 2 PB cos B 42
3 42 故 PC PD PD 6 / 42 PD PC
二、
作业讲析（练习册 P32 §1.1）
五、已知PA =(2,-3, 6) ，PB =(-1,2,-2) ， |PC|= 3 42 ，且PC平 分∠APB，求向量PC。 解： |PA|=7, |PB|=3.记∠APB=2，利用数量积易求得
20 cos 2 21
1 cos 2 1 cos 2 42
2 例5.设a,b是两个非零向量， |a|=2, < a, b>= 3 x 0 [ xa b b ]dx . 求 lim x 0 x2
[ xa b b ]dx lim [ xa b b ] 解： lim
0 x 0
x
x2
2
x 0
2x
lim
x 0
xa b b
解：所求平面过y轴，故可设其方程为Ax+Cz=0.
平面和点M(2,7,3),N(-1,1,0)等距离，故有
2 A 3C A C
2 2
A A2 C 2
于是A=-C或A=-3C，故所求平面方程为
x-z=0或3x-z=0
例7.证明平面1: 2x -y +1 = 0, 2: x +2y +z+1 = 0, 3: 3x +y +z+2 = 0属于同一平面束(相交于同一直线), 并求束里经过点P(1,0,1)的平面方程。
解：首先研究D的几何意义。
O(0,0,0)
D=A(-x)+B(-y)+C(-z) M(x,y,z) =n· MO = |n| |MO|cos<n, MO> 当原点在平面正侧时,D>0;在平面负侧时,D<0. 反之亦然。 例如平面x-y+z+1=0，则原点在平面的正侧。
四、
练习题
b>= 3
1.设m=2a+3b,n=3a-b,|a|=2|b|=1, < a, ,求|mn|. 2.向量x同时垂直于a=(2,3,1)和b=(1,-1,3),且与c=(2,0,2) 的数量积为-10，求x. 3.证明a=(-1,3,2),b=(2,-3,4), c=(-3,12,6)在同一平面上， 并将c用a,b表示出来. 4.证明：若三向量a,b,c不共面,d同时垂直于a,b,c,则d=0. 5*.证明： (ab)c= (a· b- (b· a. c)· c)· 6.已给平面 1:A1x+B1y+C1z+D1=0, 2: A2x+B2y+C2z+D2=0,
= (ab)· c+0+0+0+0+(ab)· c=2 例4.设a,b,c为两两正交的向量，且|a|=1, |b|=2，|c|=3. 求向量d= a+2b+3c的长度。 解： d· d=(a+2b+3c)· (a+2b+3c） = a· a+2a· b+3a· c+2b· a+4b· b+6b· c+3c· a+6c· b+9c· c = 12 +4·2 +9·2 =98 2 3 ∴|d|= 98 7 2
2
2 x( xa b b )
lim
x 0
x a 2 xa b
2 2
2 x( xa b b )
lim
x 0
x a 2a b
2
2( xa b b )
= |a|cos < a, b>= 1
例6.求过y轴并和点M(2,7,3),N(-1,1,0)等距离的平面方程。