数字信号处理 第三章

第三章 数字滤波器设计
J.F.Kaiser把数字滤波器定义为：“一种 把一个采样信号或一系列数值作为输入 转换成另一系列数值的计算过程或算法 （例如低通、带通、插值、求导等）。” 数字滤波器以其线性、时变性、因果性、 稳定性来表征，以其频率响应的形式来 分类。
第一节 基本概念与分类
滤波是指改变信号中各个频率分量的相对大小， 或者抑制，甚至全部滤除某些频率分量的过程。 根据滤波器的效用可以分为两大类：一类是频 率选择性滤波器，即让一个或一组频率范围内 的信号尽可能无失真地通过并衰减或抑制其余 滤波范围的信号；另一类是频率成形滤波器， 例如信号锐化、平滑、频率补偿滤波器等，在 通信系统中又称为均衡器，利用频域均衡可以 有效地补偿传输信道色散引起的频率失真。
三、数字滤波器的设计方法 三个步骤： 1. 给出所需要的滤波器的技术指标； 2. 设计一个使其逼近所需要的技术指标； 3. 实现所设计的。 IIR滤波器的设计主要借助模拟滤波器z做转 换来进行；FIR的设计主要建立在对理想滤波 器频率特性作某种近似的基础上，有窗函数 法、频率抽样法等； 线性相位滤波器通常采用FIR型，其单位脉冲 响满足一定条件时，其相位特性是严格线性 的。
解： （1） 确定阶数 N：
2πfs 10 p −1 = 2.4 ksp = = 0.0242 λsp = 0.1 s α 2πf p 10 −1 lg0.0242 N =− = 4.25 取 = 5 N lg2.4
α 0.1
（2）极点 ：
s0
3 j π =e 5
归一化传输函数:
1
s1
4 j π =e 5
设计出的LPF频率响应曲线
讨论求出的LPF频率响应特性 显然，由MATLAB直接设计出来的巴特沃斯LPF与 讨论计算结果一致的。
三、模拟高通、带通及带阻滤波器的设计 模拟高通、 模拟高通
1.从低通滤波器转换到模拟高通滤波器
G ( jλ )
G ( jλ )
0
λ p λs
λ
0
ηs ηp
η
设计步骤如下： ' Ω' α α （1）确定高通滤波器的技术指标：Ωp ， s ， p ， s （2）转换成相应低通滤波其的设计指标： Ωp＝ Ω'p ； 1 ① 低通滤波器通带截止频率 Ω＝ Ω's； ② 低通滤波器阻带截止频率 s 1 ③ 通带最大衰减仍为α p ，阻带最小衰减仍 为αs 。 （3）设计归一化低通滤波器 G(p) 。 （4）求模拟高通的 H(s) ： H(s) = G( p)
2 2 λs =ηs1 (ηs21 −η0 ) ，λs＝(ηs21 −η0 ) ηs1 − λp＝ ， 1
H(s) = G( p) p=s(Ωu −Ωl )
s2 +Ωl Ωu
4、模拟与数字滤波器的转换方法
<1> 脉冲响应不变法 设模拟滤波器的脉冲响应为 ha (t) ，当用信 号 xa (t)激励此滤波器时，输出为 ya (t) 。那么 时域逼近 ：
λ η － ∞ － λ s － λp η0 ηs2 ηu 0 ＋ ∞ 0 0 λp ηl λs ηs1 ∞ η0
λ＝ (η −η ) η
2 2 0
G(p) （2）确定归一化模拟低通技术要求：
一般取λs 和 −λs 当中绝对值较小的 λs ，这样保 证在较大的 λs 处能满足要求。 （3）设计归一化模拟低通 （4）直接将 G(p) 转换成带通滤波器 H(s)
（3）设计归一化模拟低通 G(p) （4）直接将 G(p) 转换成带通滤波器 H(s)
H(s) = G( p) p= s2 +ΩlΩu
s(Ωu −Ωl )
[例3.2.3] 设计一个四阶的模拟低通椭圆滤波器， 例 通带内最大的衰减为3dB，阻带内的最小衰减为 40dB，截止频率为8π rad/s，再将其转换成通带 频率为30π－50π rad/s的模拟带通滤波器。
第二节 IIR型滤波器的设计 型滤波器的设计
1. 2. 3.
4.
设计步骤如下： 按一定规则把给定的数字滤波器技术指标转 换为模拟低通滤波器的技术指标； 根据转换后的技术指标设计模拟低通滤波器 系统函数 H(s) ； 再按一定规则将 H(s)转换成 H(z) ；若所设计 的数字滤波器是低通的，那么完成整个设计 工作； 将高通，带通或带阻数字滤波器的技术指标 转化为低通模拟滤波器的技术指标，然后从 第(2)步开始设计低通滤波器 H(s) ，再将转换 为所需的 H(z) 。
%模拟低通——模拟带通演示。f35.m Ap=3;As=40;[z,p,k]=ellipap(4,Ap,As); [A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k);%状态转换
[At,Bt,Ct,Dt]=lp2lp(A,B,C,D,8*pi);%低通截止频率转换 [b,a]=ss2tf(At,Bt,Ct,Dt);%状态转换 figure(1); freqs(b,a); [At1,Bt1,Ct1,Dt1]=lp2bp(A,B,C,D,sqrt(30*pi*50*pi),20*p i); [b1,a1]=ss2tf(At1,Bt1,Ct1,Dt1); figure(2); freqs(b1,a1);
λsp = Ωs Ωp
l ksp g N＝－ l λ g sp
ksp =
p 10 −1 α 100.1 s −1
01 . α
2.
求归一化传输函数Ha (p)
Ha ( p) = 1
∏( p − p )
k k=0
4
pk = e
1 2k+1 jπ ( + ) 2 2N
k = 0, ,⋅⋅⋅, (N−1) 1
一、模拟低通滤波器
d0 + d1s +⋅⋅⋅ + dN−1sN−1 + dN sN H（ ） s ＝ c0 +c1 +⋅⋅⋅ +cN−1sN−1 +cN sN
Ha (s)必须是稳定的，所以极点必须落在s
平面的左平面，相应的的极点落在右半 平面。 H( jΩ)
1 0.707
0
Ωp Ωc
Ωs
Ω
二、巴特沃斯低通滤波器设计 巴特沃斯低通滤波器设计 按以下三个步骤来进行： 1. 确定阶数
)
δ2
0
ωp ωc
ωs
ω
低通滤波器的技术要求（图示）
通带频率范围 : 0≤ ω≤ ωp 阻带频带范围 : ωs ≤ ω π ≤ ω 过渡带 : ωs 、 p 之间的频带
ωp :通带截止频率
ωs :阻带截止频率
通带中要求 (1−δ1) < H(e jω) ≤1，但不一定水 平，允许通带内起伏； 阻带中要求 H(e jω ) ≤ δ2 ，但不一定衰减 到零 ； 通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数 表示，通带内允许的最大衰减用 α p 表示， αs 阻带内允许的最小衰减用 表示； 2 当幅度下降到 2 时， ω ωc ，α p ＝ ＝ 3dB，称 ωc为3dB通带截止频率，它是 滤波器设计的重要参数之一。
2 2 率 Ω0 ＝ l Ωu ，通带宽度 B＝ u Ωl，＝η2 −η0 ) η Ω－ λ ( Ω
（2）确定归一化模拟低通技术要求：
2 2 2 λp＝ ，s = (ηs2 −η0 ) ηs2 ，λs＝ηs1 −η0 ) ηs1 1 λ − ( 2
一般取 λs和 −λs 当中绝对值较小的 λs ，这样保 证在较大的 λs 处能满足要求。
（3）3dB截止频率 Ωc
Ωc = Ωp (10
0.1 p α

Ωs = Ωc (100.1αs −1 )
1 2N
= 2π ⋅10.2525 krad / s
由于 Ωs <12 krad / s ，过渡带小于要求，所 以说阻带指标有富裕量。
3.
求 Ωc，得到实际的滤波器传输函数 Ha (s)
Ωc = Ωp (100.1αP −1)
1 − 2N
Ωs = Ωc (100.1αS −1 )
1 − 2N
将p＝s/Ωc 带入 Ha ( p)中得到 Ha (s)。 [例3.2.1] 已知通带截止频率f p = 5kHz，通带 例 最大衰减 αp 2 dB,阻带截止频率 f s =12kHz, 阻 ＝ 阻带截止频率 带最小衰减αs＝30 dB 按照以上指标设计 ， 巴特沃斯低通滤波器。 巴特沃斯低通滤波器。
p=Ωc s
2.模拟带通滤波器的设计
( H jη)
G( jλ)
λp =1
0
ηs1 ηl
Ωs1 Ωl
η0
Ω0
ηu
Ωu Ωs2
ηs2
η
Ω
−λs −λp
0
λp
λs
λ
（1）确定模拟带通滤波器的技术指标：通带中心频
λ η － ∞ 0 － λs ηs1 － λp ηl 0 η0 λp ηu λs ηs2 ∞ ∞
二、滤波器的技术指标 数字滤波器的传输函数表示为：
H(e jω ) = H(e jω ) e jQ(ω)
称为幅频特性，它表示信号通过该 滤波器后各频率成分的衰减情况； Q(ω) 称为相频特性，它反映各频率成分 通过滤波器后在时间上的延时情况。
H(e jω )
H e jω 1−δ1
0.707 1
(
设计出的带通频率响应曲线
理论计算出的带通频响曲线
3.模拟带阻滤波器的设计
H( jη)
G( jλ)
λp =1
0
ηl
Ωl
ηs1
Ωs1
η0
Ω0
ηs2 ηu
η
Ω
Ωs2 Ωu
−λs −λp
0
λp
λs
λ
（1）确定模拟带阻滤波器的技术指标：通带 2 Ω－ 中心频率 Ω0 ＝ l Ωu Ω ，通带宽度 B＝ u Ωl