第二章 维纳滤波
第2章 维纳滤波讲解
J min (w R 1p) T R ( w R 1p) J min (w w o ) T R (w w o )
（该式表明最佳权向量与最小均方误差的对应关系）
为使误差性能曲面的表达式简单化，定义权偏差向量为
T , w1 ,, w w w w o w0 M 1
结论：维纳滤波器所得最小均方误差等于期望响应的方差与滤波器输出方差的差值。
6
第2章 维纳滤波
2.4 横向滤波器的维纳解 2.4.1 横向滤波器的维纳-霍夫方程及其解
u (n)
u ( n 1)
z w0
1
z
1
u (n M 2)
z
1
u ( n M 1)
w1
wM 2
wM 1
u (n) ，当前输出 y (n) ，期望响应为 d (n) 滤波器的当前输入值： 重写维纳-霍夫方程
M 1 i 0
w
oi
r (i k ) p(k ) k 0,1,2,
定义横向滤波器的抽头输入 u(n), u(n 1),, u(n M 1) 的相关矩阵为Ｒ，则
p E[u(n)d (n)] [ p(0), p(1),, p(1 M )]T
则横向滤波器的维纳-霍夫方程式的矩阵表示形式为 Rwo p ，即维纳解为 w o R 1p 式中： w o [wo,0 , wo,1 ,, wo,M 1 ]T 是横向滤波器最优抽头权向量。
J J J J J , ,, 0 w w0 w1 wM 1
T
而 故可推出
J 2Rw(n) 2p
Rwo p ，与维纳-霍夫方程一致。
10
维纳滤波
e 2 (n) [ s(n) X (n) H ][ s(n) H T X (n)] s 2 ( n) 2 s ( n) X ( n) H H X (n) X (n)]H
E[e 2 n ] E[ s 2 n ] 2 E[ sn X T n ]H H T E[ X n X T n ]H
x(
我们已知
X ( z ) B( z )W ( z )
则信号功率谱为
2 Pxx ( z) B( z) B( z 1 )
如果已知信号的Pxx(z)，即可求得B(z) 。
非因果IIR维纳滤波器的求解
计算Hopt (z)：
1 B( z )
x( n )
w(n)
G(z)
ˆ( n ) y ( n) s
正交性原理：最优估计 误差正交于任一个进入 估计的输入信号或信号 空间。
由正交方程可得：
E[enxn m] E[{sn hmxn m}xn m]
E[snxn m] E[xn mxn p ]h p 0
m
m 0
k ≥ 0的约束使得上式不能直接转到Z域求解。如
能将其转化为非因果问题，则求解会大大简化。
如果滤波器的输入x(n)是方差为 w 的白噪声w(n)
2
因果维纳滤波器的维纳－霍夫方程变为：
2 2 xs m ws m h p w m p w hm m 0
代入可得： (h) s2 2P H H RH (二次型问题）
其解为：HOP R1P， 且
2 T H H 即 op s op P
结论：在所有N阶FIR滤波器中，最优滤波器的均 方误差值是最小的。其阶数越高，采用的已知信 息越多，最小均方误差越小，计算量也越大。
维纳滤波概述
E[ x(t ) h(t ) y (t )d ]2
0
E[ x(t )]2 2 h( )( E[ y (t ) y ( )]d
0
h( )d h( ) E[ y (t ) y (t )]d
0 0
Rxx (0) 2 h( ) Ryx ( )d
E[e 2 (n)] lim
(2-25)
1 T 2T
T
T
(n) s (n)]2 dn [s
滤波器在n时刻复现信号s(n)显然是滤波问题。这是一种简单的过滤，滤除 噪声v(n)是唯一的目的。 但输出在时间上的简单的超前或者滞后，都不失为线性
(n a) ，这显然是一种超前的情况，输 滤波问题。在n时刻，滤波器输出如果为 s (n a) 是 s(n a) 的估计值，它比x(n)超前了 时间。这个时候滤波器所完成 出s
2 J1 2 J 2 0( 3 )
(2-15) 则将导致
J[ h h( t )] J [ o p t( t ) oh p t (t ) ]
(2-16) 这明显与最佳冲击响应将使均方误差最小的假设相矛盾。所以，我们只能取
J1 =0，即满足式(2-11)。由式(2-13)知，若使 J1 =0成立，则必须使式(2-13)中的方
第 2 章 维纳滤波理论
2.1 维纳滤波的概述
维纳 （Wiener） 滤波是用来解决从噪声中提取信号问题的一种过滤 （或滤波） 的方法。 实际上这种线性的滤波问题，可以看成是一种估计问题或是一种线性估 计问题。 维纳滤波器是一种基于最小均方误差准则下的估计滤波器。 滤波器的输入包 括有真实信号值x(t)和干扰噪声w(t)，信号值与噪声是统计独立的，则两者的合 成输入信号是
第二章维纳滤波2-3
解 得 B ( z )。 因 B ( z ) 是 xx ( z ) 单 位 园 内 的 零 、 极 点 组 成 ， 所 以 B ( z )和 1 B(z) 都是物理可实现的因果系统。
G ( z )也 可 分 为 因 果 性 与 非 因 果 性 的 情 况 ， 但它是将激励信号白化后所得的白噪声， 使 求 解 G ( z )比 直 接 求 解 H
2 -1
又 因 为 x ( n ) s ( n ) ( n ), x ( n )的 信 号 模 型 为 ：
v(n)
w (n) A( z)
s(n)
x(n)
当 x ( n )的 功 率 谱 密 度 也 是 z的 有 理 式 时 ， 显 然 可 将 x (n )表 示 如 下 信 号 模 型 ：
2
1
2
ws (k )
2
ws ( z )=
xs
(z)
1
w k -
B(z
)
E e (n) m in =
2 -1 1 1 xs ( z ) xs ( z ) -1 c ss ( z ) - 2 B ( z -1 ) B ( z ) z d z 2 j w
x s (- m ) b ( m ) w s (- m )
x s ( m ) b (- m ) w s ( m )
(z) B(z xs
ws 1
)
1
ws
(z)
( z )=
xs
(z) )
B(z
H
opt
(z)
G (z) B(z)
xs 1
ˆ s ( n )的 均 方 误 差 ：
维纳滤波
表了一篇关于集合论的论文，将关系的理论 简化为类的理论的论文，在数理逻辑的发展 中占据一席之地。1919年维纳到麻省理工学 院数学系任教直至退休。1932年任正教授。
不満12岁中学毕业。 提出维纳滤波理论，开创了维纳信息论，创
立控制论。第二次世界大战期间，为了解决
第二章 维纳(Wiener)滤波
维纳生平
18岁获哈佛大学哲学博士学位。先后留学英 国剑桥大学和德国哥丁根大学，在罗索、哈 代、希尔伯特等著名数学家指导下研究逻辑 和数学。
罗索鼓励维纳选择把数学和物理、工程学结 合起来的研究方向。
1913年19岁维纳在＜剑桥哲学学会会刊＞发
N.维纳 （Norbert Wiener )
维纳滤波不能实时处理，其最大缺点是： 仅适用于一维平稳随机信号。这是由于 采用频域设计法所造成的。
因此，人们逐渐转向在时域内直接设计 最佳滤波器的方法。
11、维纳滤波器的应用
（1）通信的信道均衡器 （2）系统辨识 （3）最优线性预测
（1）通信的信道均衡器
在通信系统中，为了在接收器端补偿信 道传输引入的各种畸变，在对接收信号 进行检测之前，通过一个滤波器对信道 失真进行校正，这个滤波器称为信道均 衡器。
防空火力控制和雷达噪声滤波问题，1942年
建立维纳滤波理论。
本章内容
维纳滤波器的时域解 维纳滤波器的Z域解 维纳滤波器的预测器
第一节 引言
1、线性最佳滤波
滤波理论是估计理论的一个重要组成部分。 最佳线性估计理论：维纳滤波和卡尔曼滤波
理论，即：在线性滤波的前提下，以最小均 方误差为最佳准则。 采用最小均方误差准则的原因：其理论分析 比较简单，且可得到解析的结果。
数字信号处理第2章
（2.2.14)
共一百三十一页
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波
因此(yīncǐ)
E［x*(n-j)e(n)］=0
j=0, 1, 2, … （2.2.15）
上式说明，均方误差达到最小值的充要条件是误差信号与任一进入估计 (gūjì)的输入信号正交，这就是通常所说的正交性原理。它的重要意义在 于提供了一个数学方法，用以判断线性滤波系统是否工作于最佳状态。
测数据x(n)是信号s(n)与噪声v(n)之和（如图2.1.1所示）, 即
x(n)=s(n)+v(n)
（2.1.1）
共一百三十一页
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 我们的目的是为了得到不含噪声的信号s(n)，也称为期望
信号，若滤波系统的单位脉冲响应为h(n)（如图2.1.2所示）， 系统的期望输出用yd(n)表示，yd(n)应等于信号的真值s(n)；系 统的实际输出用y(n)表示，y(n)是s(n)的逼近或估计，用公式表
共一百三十一页
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波
2.2 维纳滤波器的离散(lísàn)形式——时域解
2.2.1 维纳滤波器时域求解的方法
根据线性系统的基本理论，并考虑到系统的因果性，可以(kěyǐ)得 到滤波器的输出y(n),
y(n) x(n) h(n) h(m)x(n m) n=0, 1, 2, … （2.2.2）
…
当k=M-1时， h1rxx(M-1)+ h2rxx (M-2)+…+hMrxx(0)= rxd(M-1)
(2.2.22)
共一百三十一页
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波
定义(dìngyì)
h1
维纳滤波和卡尔曼滤波
2.2 维纳滤波器旳离散形式－－时域解
维纳滤波器设计旳任务就是选择 h(n),使其输出信号 y(n) 与期望信号 d (n)误差旳均方值最小，实质是解维纳－霍夫方程。
2.2.1维纳滤波器时域求解旳措施
假设滤波系统 h(n)是一种线性时不变系统，它旳h(n)和输 入信号都是复函数，设
h(n) a(n) jb(n)
系统实际输出： y(n) 。 y(n) sˆ(n) 1
预测：已知过去旳观察值 x(n 1), x(n 2), , x(n m)，估计 目前及后来时刻旳信号值 sˆ(n N ) , N 0 。 滤波：已知目前和过去旳观察值 x(n), x(n 1), , x(n m) ，
估计目前旳信号sˆ(n) 。
卡尔曼滤波是20世纪60年代由卡尔曼提出旳。
2
维纳滤波和卡尔曼滤波比较：
共同点：都处理最佳线性滤波和预测问题，都以均方误差最 小为最优准则，平稳条件下它们得到旳稳态成果一致。 不同点： (1)维纳滤波根据 x(n), x(n 1), , x(n m) 估计信号旳目前值，
它旳解以系统旳系统函数H (z)或单位脉冲响应h(n)形式给出。
M 1
i0
h(i)x(n
i)
17
E
e(n)
2
E
d
(n)
2
M 1
k 0
h
(k
)E
x
(n
k)d
(n)
M 1
M 1 M 1
h(i)E x(n i)d (n) h(k)h(i)E[x*(n k)x(n i)]
i0
k0 i0
M 1
M 1(k
19
2.3离散维纳滤波旳Z域解
时域求解Wiener滤波器很困难，用Z域求解。又因为实际旳系统是因果旳，
维纳滤波（最小均方滤波）
维纳滤波（最⼩均⽅滤波）维纳滤波（最⼩均⽅滤波）避免逆滤波固有的弊端的另⼀种⽅法就是寻找图像的⼀种估值，使得和之间的均⽅误差最⼩。
均⽅误差最⼩准则是由维纳（Wiener）在1949年⾸先提出并⽤来对⼀维平稳时间序列进⾏估值。
因此这种⽅法被称为维纳滤波，也被称为最⼩均⽅误差滤波。
设、、分别为退化图像、原始图像和噪声，并设他们都是均匀随机的，且噪声的均值为零，并与图像不相关。
可以得到（3-6）式中，为维纳滤波器的点扩散函数。
按照均⽅误差最⼩准则，应该满⾜（3-7）为最⼩。
我们把称为已知时的线性最⼩均⽅估计。
将(2.2)带⼈(2.1)式，得到（3-8）可以证明当（3-9）时，式（3-7）取最⼩值。
经过证明可以得到维纳滤波的转移函数为（3-10）其中为噪声功率谱，为图像功率谱。
由式(2.5)可以看出，当没有噪声时，有，维纳滤波器就可以简化的看成是逆滤波器。
在有噪声的情况下，维纳滤波也⽤信噪功率⽐作为修正函数对逆滤波器进⾏了修正，但它在均⽅误差最⼩的意义上提供最佳恢复。
通常将噪声假设为⽩噪声，即噪声功率谱为常数，若在频谱空间上⾼频区下降⽐快得多，这种假设就近似正确。
于是可以认为常数（3-11）如果噪声时各态历经的，可以⽤⼀幅噪声图像进⾏计算从⽽求得，图像功率谱则可利⽤与原始图像统计性质相同的⼀类图像来确定。
如果不知道有关随机场的统计性质，也常⽤下式近似计算转移函数：（3-12）K是根据信噪⽐的某种先验知识来确定的常数。
下⾯是维纳滤波的复原效果：（a）原图（b）退化（c）复原图3-3 维纳滤波复原实验。
维纳滤波
维纳滤波维纳滤波又称为最小均方误差滤波，是由N.Wiener 在1942年提出的一种线性图像复原方法。
它的原理是对原始图像假设为f ，找出它的一个估计值，使得f 和估计图像之间的均方误差值最小，也就是实现了图像的去噪复原。
其误差度量的公式如式1.13所示(){}22e E f f =- （1.15） 我们假设噪声和图像没有任何关系，其中任意一个有零均值而且估计的灰度值是退化图像灰度级的线性函数。
那么在这样的情况下，式1.13中误差函数的最小值在频域中可以用下面的式子来表示：()()()()()()()22,1ˆ,,,,,/,f H u v F u v G u v H u v H u v S u v S u v η⎡⎤⎢⎥=⎢⎥+⎢⎥⎣⎦（1.16） 我们在针对运动中的模糊图像去噪复原过程中，维纳滤波对于反滤波法中H(u,v)零点的噪声放大问题完美的可以进行解决，但是也存在着一定的缺陷，例如无法消除图像模糊而导致信息不完整而造成的边缘误差。
维纳去卷积算法的设计在基本点上就决定了会存在着一定的局限性[16]：① 采用均方误差作为判断图像复原程度的标准，在数学计算上是较好的算法，但会导致我们所得的复原图像对于人类视觉上面的图像存在着一定的出入。
我们用标量的方式找到最好的滤波器。
人们希望能够找到滤除传统感染信号噪声的滤波器，这样维纳滤波器产生了。
② 对于退化函数具有空间可变、点扩散等性质的时候，经典的维纳滤波处理效果差强人意。
③ 对于非平稳的图像，如具有被边缘分开的平坦区域、噪声与图像局部灰度值相关等，维纳滤波无法较好的保证其滤波的效果。
假定线性滤波器的输入是有用信号和噪声的和，两者均为广义平稳过程且知它们的二阶统计特性，维纳方程是根据最小均方误差准则来求得最佳线性滤波器的参数，这种滤波器被称为维纳滤波器[5]。
实现维纳滤波的要求是：输入过程是广义平稳的；输入过程的统计特性是已知的。
维纳滤波器的优点是适合于更广泛的去噪滤波器，无论是在平稳随机过程或离散过程的都可应用。
维纳滤波处理
维纳滤波处理1. 引言维纳滤波是一种常用的信号处理技术，它可以用来降低信号中的噪声并恢复信号的有效信息。
维纳滤波在图像处理、语音处理、雷达等领域都有广泛应用。
本文将详细介绍维纳滤波的原理、方法和应用。
2. 维纳滤波原理维纳滤波是一种基于最小均方差准则的滤波方法，它的目标是最小化输出信号和原始信号之间的均方误差。
假设原始信号为x，滤波器的输出为y，对于离散信号，维纳滤波器可以用以下公式表示：其中，Y(k)为输出信号的第k个采样值，H(k)为滤波器的频率响应，X(k)为原始信号的第k个采样值，N(k)为噪声的第k个采样值。
维纳滤波的目标是选择一个适当的滤波器，使得输出信号的均方误差最小。
3. 维纳滤波方法维纳滤波的主要方法有两种：空域方法和频域方法。
下面将详细介绍这两种方法的原理和步骤。
3.1 空域方法空域方法是指在时域或空间域上对信号进行滤波。
维纳滤波的空域方法主要包括以下几个步骤：1.对原始信号进行空域预处理，如平滑处理等。
2.估计噪声的功率谱密度。
3.估计信号的功率谱密度。
4.计算维纳滤波器的传递函数。
5.对输入信号应用维纳滤波器，得到输出信号。
3.2 频域方法频域方法是指在频率域上对信号进行滤波。
维纳滤波的频域方法主要包括以下几个步骤：1.对原始信号进行傅里叶变换，转换到频域。
2.估计噪声的功率谱密度。
3.估计信号的功率谱密度。
4.计算维纳滤波器的频率响应。
5.将维纳滤波器的频率响应应用于原始信号的频谱，得到滤波后的频谱。
6.对滤波后的频谱进行逆傅里叶变换，得到输出信号。
4. 维纳滤波应用维纳滤波在图像处理、语音处理和雷达信号处理等领域有着广泛的应用。
4.1 图像处理在图像处理中，图像往往受到噪声的影响，这会导致图像模糊和细节丢失。
维纳滤波可以有效地降低图像噪声，改善图像质量。
维纳滤波在医学影像、无损检测和图像增强等领域有广泛应用。
4.2 语音处理在语音处理中，语音信号常常受到环境噪声的干扰，这会降低语音信号的可听性和识别率。
第二章1 维纳滤波
S(n)
x(n)
例2.1
解：由题知信号的自相关与噪声的自相关为:
ss ( m ) 0.6
m
, ww ( m ) 1( m )
[fxs ] [fxx ][hopt ] fxs fss fxx fss fvv
代入维纳－霍夫方程得: k0 1 2h(0) 0.6h(1) k 1 0.6 0.6h(0) 2h(1) 求出: h(0)=0.451，h(1)=0.165 最小均方误差为：
10
2.2.2 有限脉冲响应法求解维纳－霍夫方程
xs ( k ) = å hopt ( m ) xx ( k - m )
m =0 ¥
k = 0,1, 2...
从维纳－霍夫方程中求出h，就是最小均方误差下的最优 hopt。设h(n)是一个因果序列可以且用有限长度为N的 （h(n)是一个长度为N的FIR滤波器）序列逼近它。
xi x j E [ x i x j ] sx j E[ sx j ]
¥ ì ü i = m + 1 或 m = i 1 ï ï j ³ 1 2 E [( s h x ) x ] = 0 ï ï å i i j ï ï ï hi = h( i - 1) = h( m ) i =1 ý ï í ¥ ï ï x = x ( n i + 1) = x ( n m ) ï ï i ï þ = h j ³ 1 å ï xj s i x j xi ï i =1 ï î 正交性原理的另一表达式
i =1
均方误差最小原则
要求使均方差最小的h(n)，将上式对hj求偏导，并令其 为零：
2 E[( s - å hi xi ) x j ] = 0
i =1
第二章维纳滤波2-4
{
}
{
}
（1）因果系统
取反变换：用b(n)表示B ( z )的逆变换。
E e2 (n + N )
∞ n=-∞
{
}
min ∞
2 2 = σ w ∑ b2 (n) - σ w ∑ b(n + N ) [b(n + N )u(n)] n=-∞
e2 (n + N ) 说明N 增大将导致E
N
Φ xyd ( z )
及 = 1
ˆ E [ s (n + N )-s (n + N ) ]
ss
{
c
2
}
min -1 -1
∫ Φ 2π j
( z ) - H opt ( z ) z Φ xs ( z ) z dz
-N
(2)物理可实现约束的(因果)维纳预测器
1 Φ xyd ( z ) H opt ( z ) = 2 -1 σ w B( z ) B( z ) + 1 Z Φ xs ( z ) = 2 -1 σ w B( z ) B( z ) +
因而，具有
2 Φ xx ( z) = Φss ( z) = Φ xs ( z) = σ w B( z) B( z -1 )
x(n) = s(n)
H ( z)
纯预测器
ˆ y (n) = s(n + N )
纯预测在工程上的意义： 当噪声小到一定程度以后可将该噪声忽略 或不再作更多考虑。 为此，可先用维纳滤波器等将噪声抑制到一定水准 之后再以纯预测方法作相应的预测处理。
φx y =∑hiφx x
j d
∞
i =1
j i
第2章 维纳滤波讲解
横向滤波器的二次误差性能曲面和等高 线
15
第2章 维纳滤波
相关矩阵R的特征分解与化为标准形
det[R I] 0
0 , 1 ,, M 1
0 0 Λ 0 0
Q q 0
q1 q M 1 R来自 QΛQT1 0
0 0 M 1
3
第2章 维纳滤波
得到维纳滤波器的另一个充要条件，即著名的维纳-霍夫（Wiener-Hopf）方程为
w
i 0
oi
r (i k ) p(k ) k 0,1,2,
2.3 离散形式维纳滤波器的性质 2.3.1 正交原理的几何解释
d (1 )
eo (1)
u (1 )
yo
u (0 )
p E[u(n)d (n)] [ p(0), p(1),, p(1 M )]T
则横向滤波器的维纳-霍夫方程式的矩阵表示形式为 Rwo p ，即维纳解为 w o R 1p 式中： w o [wo,0 , wo,1 ,, wo,M 1 ]T 是横向滤波器最优抽头权向量。
8
第2章 维纳滤波
2.4.2 横向滤波器的误差性能 一、误差性能曲面 M 1 输出： y(n) w u(n k ) u T (n)w(n) w T (n)u(n)
k 0
k
估计误差： 均方误差：
e(n) d (n) y(n) d (n) wT (n)u(n)
J E[e 2 (n)] E{[d (n) y (n)]2 } E{[d (n) wT (n)u(n)]2 } E[d 2 (n)] wT (n) E[u(n)uT (n)]w (n) 2wT (n) E[d (n)u(n)]
第二章—维纳滤波和卡尔曼滤波
2.2.2 非因果IIR维纳滤波器
非因果IIR维纳滤波器的维纳-霍夫方程为：
Rs x (m)
i
h(i)R (m i) m
第二章
维纳滤波和卡尔曼滤波 2.1维纳滤波的标准方程 2.2维纳-霍夫方程的求解 2.3维纳滤波的均方误差 2.4因果IIR维纳滤波器的设计与计算 2.5标量卡尔曼滤波器 2.6矢量卡尔曼滤波器 2.7维纳滤波和卡尔曼滤波的计算和应用 举例
第二章 维纳滤波与卡尔曼滤波
• 2.0 引言 • 在许多实际问题中，人们能够测量到的是退化了的或 失真了的有用信号。例如：在传输或测量真实信号时，由 于存在干扰，接受或测量 到的数据与真值不同。我们就 说混有了噪声（信道噪声，测量噪声），常常是要解决从 噪声中提取有用信号问题。 • 我们就要找一种有最佳线性过滤特性的滤波器，信号 和噪声同时输入时，在输出端能尽量把信号精确复现，而 噪声能受到最大抑制。 • 维纳（Wiener)和卡尔曼(Kalman)找到了一种从噪声 中提取信号的一种滤波方法。
• OPT表示“最佳”，是FIR的冲激响应。实际上，利用矩 阵R的对称和Toeplitz性质，可得到一些高效算法，将在 第四章介绍。 • 为了得到维纳滤波器的输出
ˆ(n) hT x(n) ( R 1P)T x(n) y ( n) s PT ( RT ) 1 x(n) E[ s(n) xT (n)] E[ x(n) xT (n)]1 x(n)
• 2.2 维纳霍夫方程的求解 • 维纳滤波器的设计和计算问题可以归结为根据已知 Rs x (m) • 和Rx x ( m) 求解维纳-霍夫方程以得到h( n)或 H ( z )。方程中 求和的范围不同，其求解方法也不同。 • 2.2.1 FIR维纳滤波器 • 设： h( n) 长度为N ,则冲激响应矢量为
第二章 维纳滤波与卡尔曼滤波
k0
xs (k ) h0 pt * xx (k )
又称互相关定理
共128页 12
解Wiener-Hopf 方程 存在的问题及解决的思路
存在的问题： 1。假设设计的是因果系统，由于存在 k>0的约 束条件，卷积定理（双边Z变换）不能用。 2。实际物理系统为因果系统。 解决思路： 1。设计一个非因果性系统（滤波器）。 2。用有限长的因果序列h(n)来逼近hopt(n).实 质为设计FIR型滤波器。
s (k ) g opt (k ) 0
共128页
k
31
s (k ) g opt (k ) 2
k
Gopt ( z )
1
2
s ( z )
s ( z ) B( z )
32
G( z ) 1 H opt ( z ) 2 B( z )
共128页 5
2.2 维纳滤波器的离散形式(I) —— 时域解
ˆ(n) h(m) x(n m) y(n) s
m
h(n)=0
当n<0， 因果系统
ˆ(n) h(m) x(n m) y ( n) s
m 0
ˆ(n) hi xi 为表示简单，记：s
共128页
i 1
Es(n) (n m) 0
xs (m) Ex(n)s(n m) Es(n) (n) s(n m) Es(n)s(n m) ss (m) xx ( z ) ss ( z ) ( z )
X ( z ) B( z )W ( z )
1 W ( z) X ( z) B( z ) 则维纳滤波器的设计变为：
数字信号处理知识点 整理 Chapter 2
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波2.1 引言只考虑加性噪声影响，即观测数据()xn 是信号()s n 和噪声()v n 之和，即()()()x n s n v n =+不含噪声的信号()s n 称为期望信号，乃滤波之目的，亦可用()dy n 表示。
系统实际输出()()ˆy n s n =是对期望信号的估计。
维纳滤波从信号估计的角度讲： 估计过去的信号值()s n N -叫做平滑； 估计当前的信号值()s n 叫做滤波； 估计将来的信号值()sn N +叫做预测。
这些估计都采用相同的准则：误差均方值最小,2n E e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
2.2 维纳滤波器的时域解（费时费力，更多考虑用Z 域解）设计维纳滤波器实际就是选择系统函数h (n )，使得输出信号x (n )与期望信号d (n )的误差均方值最小。
考虑线性时不变系统，设单位脉冲响应()()()012,,,h n a n jb n n =+=2.2.1 时域求解根据系统输出()()()*y n x n h n =和均方误差函数()()()22E e n E d n y n ⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦令()2Ee n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦关于()h j 的导数为0，即()20012,,,,jE e n j h ⎡⎤∂⎢⎥⎣⎦==∂ 可以推得()()0*E x n j e n ⎡⎤-=⎣⎦结论：正交性原理．．．．．——均方误差值达到最小的充要条件是误差信号．．．．．．．．．．．．．．．．．．．e ．(．n ．)．与任意输入的待估计信号．．．．．．．．．．．x ．(．n ．)．正交．．。
2.2.2 维纳-霍夫方程由上一式子展开可以得到维纳．．——．．霍夫方程．．．．的形式： ()()()()()012*,,,xd xxxx m r k h m r k m h k r k k +∞==-==∑维纳——霍夫方程表明，输入信号x (n )（待处理信号）与期望信号d (n )的互相关函数等于系统函数（维纳滤波器的时域解）与输入信号的互相关函数r xx (n )卷积。
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第二章 维纳滤波
2.1 维纳滤波问题描述
x n 观察/测量数据
sn 真实信号
vn 加性噪声/干扰
ˆ s n x n h n i h i x n i
线性估计问题
ˆ en sn sn
估计误差
最小均方误差(MMSE)估计 (minimum mean-square error)
Bz z1 z 1 F z
The zero: z 1 z1
1 z1 z 1 1 z1 z 1 z1 z 1
共轭 系数倒序
Bz z
Az 1 z1 z 1 F z
1
z 1 F z
i
Rxx m i E x n i x n m autocorrelation sequence of x n Rsx m E s n x n m
cross-correlation sequence of s n and x n
Wiener Filters
注意:
• A data-dependant linear least square error estimation • Wiener-Hopf equation - solutions • Orthogonal equation - decorrelation
ˆ s n x n h n i h i x n i
i 0 i 1
zi 1
最小相位多项式，最小相位系统
为什么一个所有零点位于单位圆内的序列具有最小相位滞后？ 假设A(Z)是一个M阶多项式，仅有一个零点位于单位圆内：
Az 1 z1 z 1 F z
The zero: z z1
这里F(z)是一个M-1阶多项式，其所有的零点都位于单位圆 外 共轭倒序关系得到另一个序列 B(z)
ˆ s n x n h n i h i x n i
正交方程 :
E en xn j 0 , j
n en 2 E en 2 E en xn j 0 , h j h j
S xx z 2 B z B z 1 N z Bz , N z and D z both are minimum phasepolynomils Dz
arge j z1
arg e j z1
2 2 B A 2 0, 0 B A
arg A arg B 2
n E e2 n min h n
维纳滤波->对真实信号的最小均方误差估计问题.
线性估计根据其取值范围不同通常有下面几种情况:
平滑
ˆ s n hn i xi
i 0
N 1
滤波
ˆ s n hn i xi
i 0 i 0
m0
1 Rs n 2 1 G z 2 S s z g n
Stable, Causal. The poles inside the unit circle.
4.因果维纳IIR滤波器 -----具有有理功率谱的输入信号
A z 1 z1 z
1
1 z z 1 z z
1 1 2 M
假设A(z)为M阶多项式，其所有的零点都位于单位圆内。
最小相位序列 最小相位多项式 最小相位系统
M
最大相位序列 最大相位多项式 最大相 共轭倒序)，这些序列具有相同的幅度特性但是不同 的相位特性
i 0 N 1
Rxx N 1 h0 Rxx N 2 h1 Rxx N 3 h2 Rxx 0 hN 1
Rxx N 1 Rxx N 2 Rxx N 3 Rxx 0
1
(1) 幅度特性（单位圆上，即|z|=1）
z z1 z z Az Bz
Phase lag:
1
1 z1 z 1 z 1 z z1 z z1 z 1 z1
A B
(2) 相位滞后特性
A A e j arg A A e j A , A argA
B B e j arg B B e j B , B argB
相位差 :
A 1 z1e j e j z1 j j e e j 2 e j B z1 e j e z1
Rsx 0 R 1 sx P Rsx 2 Rsx N 1 E sn xn
Rxx 1 Rxx 2 Rxx 0 R 1 Rxx 0 Rxx 1 xx R Rxx 2 Rxx 1 Rxx 0 Rxx N 1 Rxx N 2 Rxx N 3 E xn xT n
x(m p 1)
w Rxx1 Pxs
s ( m)
ˆ s ( m)
2.3 求解 Wiener-Hopf Equations --非因果 IIR滤波器
标准方程 :
Rsx m
Solution :
i
hi R m i ,
xx
m
S sx z H opt z S xx z S sx z H opt z S xx z
ˆ s n hT x n
维纳-霍夫方程 展开为矩阵形式
Rsx m hi Rxx m i , m 0, 1, , N 1 Rxx 1 Rxx 2 Rsx 0 Rxx 0 R 1 R 1 Rxx 0 Rxx 1 xx sx Rsx 2 Rxx 2 Rxx 1 Rxx 0 Rsx N 1 Rxx N 1 Rxx N 2 Rxx N 3
wn
Az
sn
vn
xn
1 B z
Whitening filter
n
Gz
ˆ sn
Optimum causal filter for white input
第一部分为白化滤波器（将输入信号变为白噪声） 第二部分为以白噪声为激励的最优因果滤波器。
2.5 一些预备知识 1.最小相位序列
n E e2 n min h n
j 0, 1,
任何时刻的估计误差都与用于估计的所有数据（即滤波器的输入） 正交
标准方程 (Wiener-Hopf equations):
Rsx m h i Rxx m i , m
0 0 0 h0
x0 x1 x2 xN 1
问题在于估计滤波器的参数/单位冲激响应序列
维纳-霍夫（Wiener-Hopf）/标准方程
ˆ en sn sn
i 0
n
预测
ˆ sn
i n 1 p
hn i xi
n 1
这里我们主要考虑滤波问题，即……
ˆ sn hi xn i , n 0, 1, , N 1
i 0
n
0 0 ˆ s0 h0 s1 h1 h0 0 ˆ ˆ h1 h0 s2 h2 sN 1 hN 1 hN 2 hN 3 ˆ
下标i的取值范围决定了FIR,非因果IIR，因果IIR
2.2 求解 Wiener-Hopf Equations --FIR滤波器
FIR (Finite Impulse Response) Wiener Filter
h h0 h1 h N 1
T T
xn xn xn 1 xn N 1
1. Minimum Phase Sequence 如果一个稳定的因果序列具有有理Z变换并且其所有的零点 和极点都位于单位圆内，则为最小相位序列。
例如：有限序列
a0 ,
M
a1 , , aM
M
当下式成立时为最小相位序列
A z ai z i a0 1 zi z 1 ,
P Rh
or
P h R
T T
Solution:
hopt R P
T T 1
1
ˆ sn h xn P R xn E snx n E xnx n xn
T T 1
Wiener Filters
FIR维纳滤波器结构
x ( m) x(m 1) x(m 2)
(1) 任何平稳随机过程可以看作是一个稳定的因果线性系统在 白噪声序列激励下的输出。 (2) 如果x(n)使用逆滤波器1/B(z)进行滤波，则输出为白噪声 序列。 (3) 由于信号x(n)和白噪声由一个可逆的变换相互关联，可以 相互求得，所以他们包含了同样的信息。
3. 因果维纳IIR (白噪声作输入)
ˆ sn xn hn hi xn i
i 0
Rsx m hi Rxx m i , m 0
i 0
xn n
2 输入为白噪声，方差为