矩形、菱形能力提升训练题
菱形、矩形、正方形能力提升专题训练
菱形、矩形、正方形能力提升专题训练一． 选择、填空1. 如图所示，已知矩形ABCD ，R 、P 分别是DC 、BC 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时，那么下列结论成立的是（ ）ABCD E FPRA. 线段EF 的长逐渐增大B. 线段EF 的长逐渐减小C. 线段EF 的长不改变D. 线段EF 的长不能确定2、如图2，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2㎝，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连结AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ）A ．32㎝ B ．33㎝ C ．34㎝D ．3㎝3、如图3，正方形ABCD 的三边中点E 、F 、G 。
连ED 交AF 于M,GC 交DE 于N, 下列结论 ①GM ⊥CM , ②CD=CM ,③四边形MFCG 为等腰梯形。
④∠CMD=∠AGM 其中正确的有（ ）A ①②③B ①②④C ①③④D ①②③④4．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上一动点，则DN+MN 的最小值为（ ）．A ．8B ．．．105．（2011重庆中考）如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE 。
将△ADE 沿对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF 。
下列结论：①△ABG ≌△AFG ； ②BG ＝GC ；③AG ∥CF;④S △FGC =3. 其中正确结论的个数是（ ） A 1 B 2 C 、3 D 、46.如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上．四边形EFGB 也为正方形，设△AFC 的面积为S ，则（ ）A 、S=2B 、S=2.4C 、S=4D 、S 与BE 长度有关图2ABCD EFGN MFE DCBA图3D C B AE GF 7.如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为对角线AC 上一点，且CP=3 ，PE ⊥PB 交CD 于点E ，则PE= ____________ 三．解答题8．已知：如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、DC 的中点，AF 、BE 交于点G ，连结CG ，求证：ΔCGB 是等腰三角形。
初中数学 矩形、菱形与正方形测试题含答案
矩形、菱形与正方形测试题一、选择题1．能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）．（A）AB∥CD，AD=BC; （B）∠A=∠B，∠C=∠D;（C）AB=CD，AD=BC; （D）AB=AD，CB=CD2．在给定的条件中，能画出平行四边形的是（）．（A）以60cm为一条对角线，20cm、34cm为两条邻边;（B）以6cm、10cm为对角线，8cm为一边;（C）以20cm、36cm为对角线，22cm为一边;（D）以6cm为一条对角线，3cm、10cm为两条邻边3．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）（A）对角线互相平分; （B）对角线相等;（C）对角线平分一组对角; （D）对角线互相垂直4．在下列说法中不正确的是（）（A）两条对角线互相垂直的矩形是正方形;（B）两条对角线相等的菱形是正方形;（C）两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形;（D）两条对角线垂直且相等的四边形是正方形5．下列说法不正确的是（）（A）对角线相等且互相平分的四边形是矩形;（B）对角线互相垂直平分的四边形是菱形;（C）一组对边平行且不等的四边形是梯形;（D）一边上的两角相等的梯形是等腰梯形6．不能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）（A）AB=CD，AD=BC （B）AB//CD（C）AB=CD，AD∥BC （D）AB∥CD，AD∥BC7．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它为正方形的题设是（）（A）AO=CO，BO=DO; （B）AO=CO=BO=DO;（C）AO=CO，BO=DO，AC⊥BD; （D）AO=BO=CO=DO，AC⊥BD8．下列说法不正确的是（）（A）只有一组对边平行的四边形是梯形;（B）只有一组对边相等的梯形是等腰梯形;（C）等腰梯形的对角线相等且互相平分;（D）在直角梯形中有且只有两个角是直角9．如图1，在□ABCD中，MN分别是AB、CD的中点，BD分别交AN、CM于点P、Q，在结论：①DP=PQ=QB ②AP=CQ ③CQ=2MQ ④S △ADP=14S ABCD中，正确的个数为（）．（A）1 （B）2 （C）3 （D）4(1) (2) (3)10．如图2，在梯形ABCD中，AD∥CB，AD=2，BC=8，AC=6，BD=8，则梯形ABCD的面积为（）．（A）24 （B）20 （C）16 （D）12二、填空题11．在□ABCD中，AC与BD交于O，则其中共有_____对全等的三角形．12．矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为20cm，则其对角线长为_______，矩形的面积为________．13．一个菱形的两条对角线长分别为6cm，8cm，这个菱形的边长为_______，•面积S=______．14．如果一个四边形的四个角的比是3：5：5：7，则这个四边形是_____形．15．如图3，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，BC=8，AB=6，AD=5，则△CDE的周长是________．16．如图4，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB=_______．(4) (5) (6)17．在长为1.6m，宽为1.2m的矩形铅板上，剪切如图5所示的直角梯形零件（•尺寸单位为mm），则这块铅板最多能剪出______个这样的零件．18．如图6，ABCD中，过对角线交点O，引一直线交BC于E，交AD于F，若AB=2.4cm，BC=4cm，OE=1.1cm，则四边形CDFE周长为________．19．已知等腰梯形的一个锐角等于60•°，•它两底分别为15cm，•49cm，•则腰长为_______．20．已知等腰梯形ABCD中AD∥BC，BD平分∠ABC，BD•⊥DC，•且梯形ABCD•的周长为30cm，则AD=_____．三、计算题21．如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，AD=3cm，BC=7cm，•DE•⊥BC 于E，试求DE的长．四、证明题22．如图，已知四边形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形EFGH是菱形．23．已知如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AM=MB，DN=NC．求证：MN∥BC，MN=12（BC+AD）．答案:1．（C） 2．（C） 3．（B） 4．（D） 5．（D）6．（C） 7．（D） 8．（C） 9．（C） 10．（A）11．4 12．40cm 4003cm213．5cm 24cm2 14．直角梯形15．15 16．15° •17．12 18．8.6cm 19．34cm20．如图，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，∴AD=EF，设BE=x．则AB=2x，DC=2x，FC=x，∴BD平分∠ABC，∴∠DBC=30°．∴DC=12BC，∴BC=4x．∴EF=2x=AD．又∵AB+BC+CD+AD=30，∴4x+6x=30，x=3，∴AD=6（cm）．21．过D点作DF∥AC，交BC的延长线于点F，则四边形ACFD为平行四边形，•所以AC=DF，AD=CF．因为四边形ABCD为等腰梯形，所以AC=BD，所以BD=DF，又已知AC⊥BD，DF∥AC，•所以BD⊥DF，则△BDF为等腰直角三角形．又因为DF⊥BC，所以DE=12BF=12（BC+CF）=12（BC+AD）=12（7+3）=5（cm）．22．证明：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF=12AC，HG=12AC，FG=12BD，EH=12BD．∴EF=HG=12AC，FG=EH=12BD．又∵AC=BD，∴EF=HG=FG=EH．∴四边形EFGH是菱形．23．证明：如图，连接AN并延长，交BC的延长线于点E．∵DN=NC，∠1=∠2，∠D=∠3，∴△ADN≌△ECN，∴AN=EN，AD=EC．又AM=MB，∴MN是△ABE的中位线．∴MN∥BC，MN=12BE（三角形中位线定理）∵BE=BC+CE=BC+AD，∴MN=12（BC+AD）．。
平行四边形、矩形、菱形、正方形提高题
平行四边形练习 一、选择题1、如图1，在平行四边形ABCD 中，EF ∥BC ，GH ∥AB ，EF 、GH 的交点P 在BD 上，则图中面 积相等的平行四边形有（ ）A 0对B 1对C 2对D 3对 2、如图2，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为（ ）A ．12B ．33C ．313-D ．314-CBD A图 （1） 图（2） 图（3）3、如图3，正方形ABCD 中，点E 在BC 的延长线上，AE 平分∠DAC,则下列结论:（1）∠E=22.50. (2) ∠AFC=112.50. (3) ∠ACE=1350（4）AC=CE(5) AD ∶CE=1∶2. 其中正确的有（ ） A 5个 B 4个 C 3个 D 2个4、如图4，在四边形ABCD 中，E 是AB 上的一点，△ADE 和△BCE 都是等边三角形，点P 、Q 、 M 、N 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形MNPQ 是（ ） A 等腰梯形 B 矩形 C 菱形 D 正方形A DEFB C图（5）二、填空题5、如图5,正方形ABCD 中,∠DAF=25°,AF 交对角线BD 于E,交CD 于F, 则∠BEC= 度6、在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若对角线AC=10cm ，•边BC=•8cm ，•则△ABO 的周 长为________．7、在矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，且MA ⊥MD ．•若矩形ABCD•的周长为48cm ，•则矩形ABCD 的 面积为_______c m 2．三、解答题C BB '__D C 'D 'DAAQ E PMN DCBA 图（4）_ E _ F_ B_ C8、已知，如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是OA ，OB 的中点． （1）求证：△ADE ≌△BCF ；（2）若AD=4cm ，AB=8cm ，求OF 的长．10、如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE ． ⑴求证：CE ＝CF ；⑵在图1中，若G 在AD 上，且∠GCE ＝45°，则GE ＝BE ＋GD 成立吗？为什么？ ⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B ＝90°，AB ＝BC ＝6，E 是AB 上一点， 且∠DCE ＝45°，BE ＝2，求DE 的长．6.如图1，在△ABC 中，AB=BC ，P 为AB 边上一点，连接CP ，以PA 、PC 为邻边作□APCD ，AC 与PD 相交于点E ，已知∠ABC=∠AEP=α（0°<α<90°）. （1）求证：∠EAP=∠EPA；（2）□APCD 是否为矩形？请说明理由；（3）如图2，F 为BC 中点，连接FP ，将∠AEP 绕点E 顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（点M 、N 分别是∠MEN 的两边与BA 、FP 延长线的交点）.猜想线段EM 与EN 之间的数量关系，并证明你的结论.图1ABDCE P 图2ABDCEPM NFB CA G D FEB CA DE图1图2。
(完整版)矩形、菱形与正方形-专题训练(含答案)
矩形、菱形与正方形专题训练(含答案)班级________姓名________成绩________一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是( )A．12 B．24 C．12 3 D．16 3第1题图第2题图第3题图第4题图2．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( ) A．14 B．15 C．16 D．173．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合．若AB＝2，则C′D的长为( ) A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是( )A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形5．由菱形的两条对角线的交点向各边引垂线，以各垂足为顶点的四边形是( )A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形6．如图，▱ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为( )A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm第6题图第9题图第10题图7．菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角度数比为( )A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶18．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥等边三角形，一定能拼成的图形是( )A．①④⑤B．②⑤⑥C．①②③D．①②⑤9．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1＋S2的值为( )A．16 B．17 C．18 D．1910．如图，F为正方形ABCD的边AD上一点，CE⊥CF交AB的延长线于点E，若正方形ABCD 的面积为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为( )A．20 B．24 C．25 D．26二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图所示，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为点E，连结CP，则∠CPB＝____度．第11题图第12题图第14题图第15题图12．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD 各边中点，如果AC＝8，BD＝10，则四边形A1B1C1D1的面积为___．13．矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为20 cm，则其对角线长为____________-_，矩形的面积为_______________．14．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4 cm，BD＝8 cm，则这个菱形的面积是____cm2.15．如图，矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连结DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连结AM，CN，MN，若AB＝22，BC＝23，则图中阴影部分的面积为____________．,第16题图第17题第18题图16．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件______________，使▱ABCD是矩形．17．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E点在BC上，EG⊥OB，EF⊥OC，垂足分别为点G，F，AC＝10，则EG＋EF＝____．18．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_______________________________．三、解答题(共66分)19．(6分)如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF⊥EC且EF＝EC，DE ＝4 cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．20．(8分)如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连结BM，DN.(1)求证：四边形BMDN是菱形；(2)若AB＝4，AD＝8，求MD的长．21．(8分)如图所示，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAE和∠EAO 的度数．22．(10分)如图，已知菱形ABCD中，AB＝AC，E，F分别是BC，AD的中点，连结AE，CF.(1)证明：四边形AECF是矩形；(2)若AB＝8，求菱形ABCD的面积．23．(12分)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是点E，F，并且DE＝DF，求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)四边形ABCD是菱形．24．(10分)在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点，求证：MN与PQ互相垂直平分．参考答案一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是( D )A．12 B．24 C．12 D．16第1题图第2题图第3题图第4题图2．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( C ) A．14 B．15 C．16 D．173．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合．若AB＝2，则C′D的长为( B ) A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是( A )A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形5．由菱形的两条对角线的交点向各边引垂线，以各垂足为顶点的四边形是( B )A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形6．如图，▱ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为( C )A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm第6题图第9题图第10题图7．菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角度数比为( C )A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶18．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥等边三角形，一定能拼成的图形是( D )A．①④⑤B．②⑤⑥C．①②③D．①②⑤9．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1＋S2的值为( B )A．16 B．17 C．18 D．1910．如图，F为正方形ABCD的边AD上一点，CE⊥CF交AB的延长线于点E，若正方形ABCD 的面积为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为( B )A．20 B．24 C．25 D．26二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图所示，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为点E，连结CP，则∠CPB＝__72__度．第11题图第12题图第14题图第15题图12．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD 各边中点，如果AC＝8，BD＝10，则四边形A1B1C1D1的面积为__20__．13．矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为20 cm，则其对角线长为__40_cm__，矩形的面积为__400_cm2__．14．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4 cm，BD＝8 cm，则这个菱形的面积是__16__cm2.15．如图，矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连结DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连结AM，CN，MN，若AB＝2，BC＝2，则图中阴影部分的面积为__2__．,第16题图第17题第18题图16．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件__AO＝BO(答案不唯一)__，使▱ABCD 是矩形．17．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E点在BC上，EG⊥OB，EF⊥OC，垂足分别为点G，F，AC＝10，则EG＋EF＝__5__．18．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为__(8，4)，(3，4)或(2，4)__．三、解答题(共66分)19．(6分)如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF⊥EC且EF＝EC，DE ＝4 cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．解：∵∠AFE ＋∠AEF ＝∠AEF ＋∠CED ＝90°，∴∠AFE ＝∠DEC .又∵∠A ＝∠D ＝90°，EF ＝EC ，∴△AEF ≌△DCE ，∴AE ＝CD .设AE ＝x ，则CD ＝x ，∴AD ＋CD ＝21×32，即x ＋4＋x ＝16，∴x ＝6.即AE ＝6 cm20．(8分)如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ，与BD 相交于点O ，与BC 相交于点N ，连结BM ，DN .(1)求证：四边形BMDN 是菱形；(2)若AB ＝4，AD ＝8，求MD 的长．解：(1)∵MN 是BD 的垂直平分线，∴BO ＝DO ，∠BON ＝∠DOM ＝90°.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠BNO ＝∠DMO ，∴△BON ≌△DOM (AAS )，∴OM ＝ON .∵OB ＝OD ，∴四边形BMDN 是平行四边形．∵MN ⊥BD ，∴▱BMDN 是菱形(2)设MD ＝x ，则MB ＝x ，MA ＝8－x ，在Rt △ABM 中，∵BM 2＝AM 2＋AB 2，∴x 2＝(8－x )2＋42，解得x ＝5.∴MD 的长为521．(8分)如图所示，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1，求∠BAE 和∠EAO 的度数．解：提示：由∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1，求出∠BAE ＝22.5°，而∠ABD ＝90°－∠BAE ＝90°－22.5°＝67.5°，∵∠BAO ＝∠ABD ＝67.5°，∴∠EAO ＝∠BAO －∠BAE ＝67.5°－22.5°＝45°22．(10分)如图，已知菱形ABCD 中，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连结AE ，CF .(1)证明：四边形AECF 是矩形；(2)若AB ＝8，求菱形ABCD 的面积．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，又∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形．∵E 是BC 的中点，∴AE ⊥BC (等边三角形三线合一)，∠AEC ＝90°.同理，CF ⊥AD .∵E ，F 分别是BC ，AD 的中点，∴AF ＝21AD ，EC ＝21BC .∵四边形ABCD 是菱形，∴AD 綊BC ，∴AF 綊EC ，∴四边形AECF 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．又∵∠AEC ＝90°，∴四边形AECF 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)(2)在Rt △ABE 中，∵AE ＝＝4，∴S 菱形ABCD ＝8×4＝3223．(12分)如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别是点E ，F ，并且DE ＝DF ，求证：(1)△ADE ≌△CDF ；(2)四边形ABCD 是菱形．解：证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C ，又∵DE ＝DF ，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠DEA ＝∠DFC ＝90°，∴△ADE ≌△CDF (AAS ) (2)由(1)知AD ＝DC ，又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形24．(10分)在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M ，N ，P ，Q 分别是AD ，BC ，BD ，AC 的中点，求证：MN 与PQ 互相垂直平分．解：证明：连结MP ，NQ ，PN ，MQ ，∵PM 綊21AB ，同理NQ 綊21AB ，∴PM 綊NQ ，∴四边形MPNQ 为平行四边形，又∵PN 綊21CD ，而CD ＝AB ，∴PN ＝PM ，∴四边形MPNQ 为菱形，∴MN 与PQ 互相垂直平分。
中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形(附参考答案)
中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形（附参考答案）1．下列命题正确的是( )A ．正方形的对角线相等且互相平分B ．对角互补的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线互相垂直D ．一组邻边相等的四边形是菱形2．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则以下说法错误的是( )A ．△BDE 和△DCF 的面积相等B ．四边形AEDF 是平行四边形C ．若AB ＝BC ，则四边形AEDF 是菱形D ．若∠A ＝90°，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，CE ，DF 交于点G ，连接AG .下列结论：①CE ＝DF ；②CE ⊥DF ；③∠AGE ＝∠CDF .其中正确的结论是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，∠ABC ＝60°，BC ＝2AB .下列结论：①AB ⊥AC ；②AD ＝4OE ；③四边形AECF 是菱形；④S △BOE ＝14S △ABC .其中正确结论的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝9 cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2 cm，BD，EF交于点G.若G是EF的中点，则BG的长为______cm.6．如图，在菱形ABCD中，AC，BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC的中点，则EF的长为_____．7．已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H.(1)如图1，求证：CE＝BH；(2)如图2，若AE＝AB，连接CF，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四个三角形(△AEG除外)，使写出的每个三角形都与△AEG全等．8．如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE ＝BF＝CG＝AH.若菱形的面积等于24，BD＝8，则EF＋GH＝_____．9．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F.(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；(3)若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．10．(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G.求证：△ADE∽△DCF.【问题解决】(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC 到点H，使CH＝DE，连接DH.求证：∠ADF＝∠H.【类比迁移】(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．参考答案1．A 2．C 3．A 4．D5．√13 6．5 7．(1)证明略 (2)略8．6解析：如图，连接AC ，交BD 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，BD ＝8，∴AB ＝BC ＝AD ＝CD ，AC ⊥BD ，AO ＝OC ＝12AC ，BO ＝OD ＝12BD ＝4. ∵S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝24，∴AC ＝6，∴AO ＝3，∴AB ＝√AO 2+BO 2＝5＝AD .∵BE ＝BF ＝CG ＝AH ，∴AE ＝CF ＝DH ＝DG ，∴BE AE ＝BF CF ，∴EF ∥AC .同理可得GH ∥AC ，设BE ＝BF ＝CG ＝AH ＝a ，则有DH ＝5－a ，∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，∴BE AB ＝EF AC ，即a 5＝EF 6，∴EF ＝65a ，同理可得DH DA ＝GH CA ，即5−a 5＝GH 6，∴GH ＝6－65a ，∴EF ＋GH ＝6.9．(1)证明略(2)与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF，理由略(3)DE＝3＋√1910．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴∠CDF＋∠DFC＝90°.∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°，∴∠CDF＋∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF.(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°.∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，∴DE＝CF.∵CH＝DE，∴CF＝CH.∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°.又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH(SAS)，∴∠DFC＝∠H.∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠H.(3)解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG(SAS)，∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG. ∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等边三角形，∴FG＝DF＝11.∵CF＋CG＝FG，∴CF＝FG－CG＝11－8＝3，即CF的长为3.。
矩形菱形测试题及答案
矩形菱形测试题及答案一、选择题1. 下列哪个图形是矩形？A. 四边形B. 菱形C. 平行四边形D. 矩形答案：D2. 菱形的对角线具有什么性质？A. 相等B. 平行C. 垂直D. 垂直且平分答案：D3. 如果一个平行四边形的对角线互相垂直，则该平行四边形是：A. 矩形B. 菱形C. 平行四边形D. 梯形答案：B二、填空题4. 矩形的四个角都是_________。
答案：直角5. 菱形的四条边都_________。
答案：相等6. 如果一个平行四边形的一组对边相等，则该平行四边形是_________。
答案：矩形三、判断题7. 矩形的对角线相等。
（）答案：正确8. 菱形的对角线不一定垂直。
（）答案：错误9. 平行四边形的对角线互相平分。
（）答案：正确四、简答题10. 请简述矩形和菱形的共同点。
答案：矩形和菱形都是平行四边形，它们的对边都相等且平行。
11. 矩形和菱形的区别是什么？答案：矩形的四个角都是直角，而菱形的角不一定是直角；矩形的对角线相等且互相平分，而菱形的对角线垂直且互相平分。
五、计算题12. 已知一个矩形的长为10厘米，宽为5厘米，求其面积。
答案：矩形的面积 = 长× 宽 = 10厘米× 5厘米 = 50平方厘米。
13. 若菱形的一条对角线长为8厘米，另一条对角线长为6厘米，求菱形的面积。
答案：菱形的面积= 1/2 × 对角线1 × 对角线2 = 1/2 × 8厘米× 6厘米 = 24平方厘米。
六、解答题14. 如何证明一个四边形是矩形？答案：要证明一个四边形是矩形，需要证明以下条件之一：- 四边形的对角线相等且互相平分。
- 四边形的四个角都是直角。
- 四边形的对边相等且平行。
15. 证明菱形的对角线互相垂直。
答案：设菱形ABCD，对角线AC和BD相交于O点。
由于菱形的对边相等，所以AB=BC，AD=DC。
根据平行四边形的性质，OA=OC且OB=OD。
矩形菱形提高题
17.如图，四边形ABCD 中，AB Zz CD , AC 平分.BAD , CE Zz AD 交AB 于E .(1) 求证：四边形AECD是菱形；(2) 若点E是AB的中点，试判断AABC的形状，并说明理由.21.如图，在AABC中，点O是AC边上的一动点，过点O作直线MN // BC ,设MN交BCA的平分线于点E ,交.BCA的外角平分线于点F .1(1)说明OC EF ；2(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.11.如图，在△ ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F ,且AF = DC,连结CF .(1)求证：D是BC的中点;⑵如果AB= AC,试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论.10.已知：如图，□ ABCD中，AC与BD交于O点，∠ OAB =∠ OBA.(1)求证：四边形ABCD为矩形；(2)作BE丄AC 于E, CF丄BD 于F,求证：BE = CF .7.如图所示，在矩形 ABCD 中，AC, BD 是对角线，过顶点 C 作BD?勺平行线与 AB 的延长线相交于点E 求证：△ ACE 是等腰三角形.&如图所示，在梯形 ABCC 中, AH BD 于点E ,对角线 AC, BD 交于 0,且BE : ED=1: 3, AD=6cm求AE 的长.7.如图所示，在△ ABC 中，∠ ABC=90 , BD 是厶ABC 的中线，延长 BD 到E , ?使DE=BD 连 结AE , CE 求证：四边形 ABCE 是矩形.&如图所示，M 是.ABCD 的中点，且 MB=MC 求证：.ABCD 是矩形.E5. 如图所示，在矩形ABCD中，F为BC边上一点，AF的延长线交DC的延长线于点G, DE丄AG于点E,且DE=DC .根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论.6. 如图所示，在矩形ABCD中，点E, F在BC边上，且BE=CF , AF , DE相交于点M , ?求证：AM=DM .&如图所示，在△ ABC中，∠ ACB=90°,点D, E分别为AC , AB 的延长线上，且∠ CDF= ∠ A .求证：四边形DECF为平行四边形.5•如图所示，在菱形ABCD中,AC、BD相交于0,且AC : BD=I :、、3若AB=2.求菱形ABCD 的面积•的中点，点F?在BCI>6•如图,在Rt△ ABC中，∠ ACB=90°,∠ BAC=60°, DE垂直平分BC,垂足为D ,交AB于点E.又点F在DE的延长线上, 且AF=CE.求证：四边形ACEF是菱形•7•如图,在一张长12 cm、宽5 Cm的矩形纸片内，要折出一个菱形•李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH （见方案一），张丰同学按照沿矩形的对角线AC折出∠ CAE= ∠ DAC，∠ ACF= ∠ ACB的方法得到菱形AECF （见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？求：⑴∠ ABC 的度数；（2）菱形ABCD 的面积.求：（1） ∠ ABC 的度数；（2）菱形ABCD 的面积.16.如图，菱形 ABCD 的边长为2, BD = 2, E 、F 分别是边AD , CD 上的两个动点，且满足 AE + CF = 2.（1）求证：△ BDE ◎△ BCF ; ⑵判断△ BEF 的形状，并说明理由； ⑶设△ BEF 的面积为S,求S 的取值范围.D AG CB<J>*l⅛'%他、■* ⅝* ⅝. * * % ⅛ *f11.如图，在菱形 ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE 丄 AB , 11.如图，在菱形 ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE 丄 AB , AB = 4.B D（方案一）AB =4.E17.如图，四边形ABCD 是菱形，CE ⊥ AB,交AB 的延长线于E , CF ⊥ AD,交AD 的延长线于 F , 请你猜想CE 与CF 的大小有什么关系？并证明你的猜想.6.如图所示，菱形 ABCD 的对角线交于点 O, AC=16cm BD=12cm 求菱形的高 DM 的长.6.如图所示,菱形 ABCD 的对角线交于点 O, AC=16cm BD=12cm 求菱形的高 DM 的长.5.如图，△ ABC 中，AD 平分∠ BAC DE// AC 交AB 于点E , DF?// AB?交AC 于点F ,试说明四 边形AEDF 是菱形.B6.如图，矩形ABCD勺对角线AC BD相交于点O, AP// BD, DP// AC, AP DP相交于点P, 则四边形AODP是什么样的特殊四边形，并说明你的理由.7. 如图，已知O是矩形ABCD对角线BD的中点，过点O作BD?勺垂线交DC于F,交AB于E,说明四边形DEBF的形状.R 9.如图所示，M N分别是ABCD的对边AD BC的中点，且AD=2AB 求证：四边形PMQ是矩形.10.如图所示，在边长为2的菱形ABCC中,∠ DAB=60 ,点E为AB中点，点F是AC上一动点，求EF+BF的最小值.（提示：根据轴对称的性质）&如图所示，在矩形ABCD K O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB, ?CD的延长线分别交于E, F.(1)求证：△ BOE≤^ DOF(2)当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形，并证明你的结论.27•如图所示，在矩形ABCD中，AB=12厘米，BC=6厘米.点P沿AB边从点A开始向点B 以2厘米/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速移动，如果P、Q同时出发，用t (秒)表示移动的时间(OW t ≤6,那么：(1)当t为何值时，"QAP为等腰直角三角形？(2)求四边形QA P C的面积，并提出一个与计算结果有关的结论•P27(1) T四边形ABCD是矩形•∙∙∙ CD=AB=12 Cm ,AD=BC=6 Cm , 由题意，AP=2 t , DQ= t ,∙AQ=6-t,当AP=AQ时，即6-t=2t时，"QAP为等要直角三角形由6-t=2t ,解得t =2.∙当t =2秒时，"QAP为等要直角三角形.1 1(2) S四边形QAPC= S"APC+ s"AQC= AP BC 一AQ CD2 21 12t 6 ㊁ 6_t 12 2=6t 36 -6t = 36 Cm结论：四边形 QAPC 的面积与t 无关，即无论点 P 和点Q 在AB 和AD 边上运动2到何处，四边形QAPC 的面积总是等于 36 Cm .24 .已知：如图，在 □ ABCD 中，E 、F 分别为边 AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG //DB 交CB 的延长线于G (1)求证：△ ADE ◎△ CBF ;⑵若四边形 BEDF 是菱形，则四边形 AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论•过C 点作CF 丄BE ,垂足为F .猜想线段BF 与图中现有的哪一条线段相等 ？先将你猜想 出的结论填写在下面的横线上，并加以证明. 结论：BF = ______ . 证明:13.如图，把一张矩形的纸ABCD 沿对角线BD 折叠，使点 C 落在点E 处，BE 与AD 交于点F .(1)求证：△ ABF 也厶EDF12.如图，在矩形ABCD 中，以点B 为圆心、DC(2)若将折叠的图形恢复原状，点 F 与BC 边上的点M 正好重合，连接 DM ,试判断四边形BMDF 的形状，并说明理由.4. (06沈阳改编)如图，四边形ABCD 中，AC=6 , 的各边中点得到四边形A IB IC ID I ；再连接四边形A 2B 2C 2D 2；……如此下去得到四边形 A n B n C n D n o(1) 求证：四边形 A I B I C I D I 是矩形； (2) 求四边形 A I B I C I D I 和A 2B 2C 2D 2的面积；26. (6分)将平行四边形纸片 ABCD 按如图方式折叠, 使点C 与A 重合, 点D 落到D'处,折痕为EF .(1)求证：A ABE ^A AD F;(2)连接CF ,判断四边形 AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论.19.如图，在矩形 ABCD 中 ,点E 、F 在BC 边上，且BE=CF AF 、DE 交于点 M.求证:AM=DM (6分)BD=8 ,且AC 丄BD ,连接四边形 ABCD⑶用含有n 的式子表示四边形 A n B n C n D n 的面积; (4)求四边形A 5B 5C 5D 5的周长。
菱形、矩形基础与提高练习题
平行四边形、菱形、矩形练习题矩形一、矩形除了具有平行四边形的一切性质外，还有自己的特征：矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角．2：矩形对角线相等．（1）边：对边平行且相等（共性） （2）角：四个角都是直角 （个性） （3）对角线: 互相平分（共性） 相 等（个性） （4）对称性 轴对称图形（个性） 矩形的判定方法1．有一个角是直角的平行四边形是矩形 2．对角线相等的平行四边形是矩形 3．有三个角是直角的四边形是矩形菱形：1、菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有自己的特征：①菱形的四条边都相等②菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 2、也是轴对称图形。
3、菱形的面积等于它的两条对角线乘积的一半。
菱形的判定方法1．（定义）一组邻边相等的平行四边形是菱形；2．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3．四条边都相等的四边形是菱形；一、矩形1、下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ）A 、对边相等B 、对角相等C 、对角线相等D 、对边平行 2.在矩形ABCD 中，∠AOD=130°，则∠ACB=____________3.已知矩形的一条对角线长是8cm ，两条对角线的一个交角为60°，则矩形的周长为______4. 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是___________.5.形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.6矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm ， 对角线是13cm ，那么矩形的周长是____________7在矩形ABCD 中, 对角线交于O 点，AB=0.6, BC=0.8, 那么△AOB 的面积为_________; 周长为_________.8一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为_______________9在△ABC 中, AM 是中线, ∠BAC=90︒, AB=6cm, AC=8cm, 那么AM 的长为____________. 10角三角形斜边上的高与中线分别是5cm 和6cm ，则它的面积为____________11.，在Rt △ABC 中，BD 为斜边AC 上的中线，若∠A=35°，那么∠DBC= 。
矩形菱形练习题及答案
矩形 【2 】.菱形常识考点：懂得并控制矩形的剖断与性质,并能应用所学常识解决有关问题. 精典例题：【例1】如图,已知矩形ABCD 中,对角线AC.BD 订交于点O,AE ⊥BD,垂足为E,∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1,求∠EAC 的度数.剖析：本题充分应用矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形的根本图形进行求解. 解略,答案450.例1图E ODC BA例2图FE DCB A例3图【例2】如图,已知菱形ABCD 的边长为3,延伸AB 到点E,使BE ＝2AB,贯穿连接EC 并延伸交AD 的延伸线于点F,求AF 的长.剖析：本题应用菱形的性质,联合平行线分线段成比例的性质定理,可使问题得解. 解略,答案AF ＝4.5.【例3】如图,在矩形ABCD 中,M 是BC 上的一动点,DE ⊥AM,垂足为E,3AB ＝2BC,并且AB.BC 的长是方程02)2(2=+--k x k x 的两根.（1）求k 的值;（2）当点M 分开点B 若干时,△ADE 的面积是△DEM 面积的3倍？请解释来由. 剖析：用韦达定理树立线段AB.AC 与一元二次方程系数的关系,求出k . 略解：（1）由韦达定理可得AB ＋BC ＝2-k ,AB ·BC ＝k 2,又由BC ＝23AB 可消去AB,得出一个关于k 的一元二次方程0123732=+-k k ,解得1k ＝12,2k ＝31,因AB ＋BC ＝2-k ＞0,∴k ＞2,故2k ＝31应舍去. （2）当k ＝12时,AB ＋BC ＝10,AB ·BC ＝k 2＝24,因为AB ＜BC,所以AB ＝4,BC ＝6,由DEM AED S S ∆∆=3可得AE ＝3EM ＝43AM.易证△AED ∽△MBA 得MB AE ＝AMAD ,设AE ＝a 3,AM ＝a 4,则MB ＝22a ,而AB 2＋BM 2＝AM 2,故2421644a a =+,解得2a ＝2,MB ＝22a ＝4.即当MB ＝4时,DEM AED S S ∆∆=3.评注：本题将几何问题从“形”向“数”转化,这类分解题既有几何证实中的剖析和推理,又有代数式的灵巧变换.盘算,其解题进程层次较多,步骤较庞杂,书写进程也要增强练习.摸索与创新：【问题一】如图,四边形ABCD 中,AB ＝6,BC ＝35-,CD ＝6,且∠ABC ＝1350,∠BCD ＝1200,你知道AD 的长吗？剖析：这个四边形是一个不规矩四边形,应将它补割为规矩四边形才便于求解. 略解：作AE ⊥CB 的延伸线于E,DF ⊥BC 的延伸线于F,再作AG ⊥DF 于G ∵∠ABC ＝1350,∴∠ABE ＝450 ∴△ABE 是等腰直角三角形又∵AB ＝6,∴AE ＝BE ＝3 ∵∠BCD ＝1200,∴∠FCD ＝600 ∴△DCF 是含300的直角三角形 ∵CD ＝6,CF ＝3,DF ＝33 ∴EF ＝3)35(3+-+＝8 由作图知四边形AGFE 是矩形 ∴AG ＝EF ＝8,FG ＝AE ＝3从而DG ＝DF －FG ＝32 在△ADG 中,∠AGD ＝900∴AD ＝22DG AG +＝1264+＝76＝192【问题二】把矩形ABCD 沿BD 折叠至如上图所示的情况,请你猜想四边形ABDE 是什问题一图GD问题二图么图形,并证实你的猜想.剖析与结论：本题依据题设并联合图形猜想该四边形是等腰梯形,应用对称及全等三角形的有关常识易证.跟踪练习：一.填空题：1.若矩形的对称中间到双方的距离差为4,周长为56,则这个矩形的面积为.2.已知菱形的锐角是600,边长是20cm,则较短的对角线长是cm.3.如图,矩形ABCD 中,O 是对角线的交点,若AE ⊥BD 于E,且OE ∶OD ＝1∶2,AE ＝3cm,则DE ＝cm.4.如图,P 是矩形ABCD 内一点,PA ＝3,PD ＝4,PC ＝5,则PB ＝.5.如图,在菱形ABCD 中,∠B ＝∠EAF ＝600,∠BAE ＝200,则∠CEF ＝.第3题图E O DC BA第4题图543P D CBA 第5题图FEBA二.选择题：6.在矩形ABCD 的各边AB.BC.CD.DA 上分离取点E.F.G.H,使EFGH 为矩形,则如许的矩形（ ）A.仅能作一个B.可以作四个C.一般情况下不可作D.可以作无限多个7.如图,在矩形ABCD 中,AB ＝4cm,AD ＝12cm,P 点在AD 边上以每秒1 cm 的速度从A 向D 活动,点Q 在BC 边上,以每秒4 cm 的速度从C 点动身,在CB 间往返活动,二点同时动身,待P 点到达D 点为止,在这段时光内,线段PQ 有（ ）次平行于AB. A.1 B.2 C.3 D.4••第7题图QPDCB第8题图GFE DCBA8.如图,已知矩形纸片ABCD 中,AD ＝9cm,AB ＝3cm,将其折叠,使点D 与点B 重合,那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分离是（ ） A.4cm.10cm B.5cm.10cmC.4cm.32cmD.5cm.32cm9.给出下面四个命题：①对角线相等的四边形是矩形;②对角线互相垂直的四边形是菱形;③有一个角是直角且对角线互相等分的四边形是矩形;④菱形的对角线的平方和等于边长平方的4倍.个中准确的命题有（ ） A.①②B.③④C.③D.①②③④10.平行四边形四个内角的等分线,假如能围成一个四边形,那么这个四边形必定是（ ） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 三.解答题：11.如图,在矩形ABCD 中,F 是BC 边上一点,AF 的延伸线交DC 的延伸线于点G,DE ⊥AG 于E,且DE ＝DC,依据上述前提,请在图中找出一对全等三角形,并证实你的结论.第11题图GFEDCBA第12题图 EBA第13题图C12.如图,在△ABC 中,∠ACB ＝900,CD 是AB 边上的高,∠BAC 的等分线AE 交CD 于F,EG ⊥AB 于G,求证：四边形GECF 是菱形.13.如图,以△ABC的三边为边在BC的统一侧分离作三个等边三角形,即△ABD.△BCE.△ACF.请答复下列问题（不请求证实）：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC知足什么前提时,四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC知足什么前提时,以A.D.E.F为极点的四边形不消失？跟踪练习参考答案一.填空题：3;5.2001.180;2.20cm;3.3;4.2提醒：4题过点P作矩形任一边的垂线,应用勾股定理求解;5题贯穿连接AC,证△ABE≌△ACF得AE＝AF,从而△AEF是等边三角形.二.DDBBA三.解答题：11.可证△DEA≌△ABF12.略证：AE等分∠BAC,且EG⊥AB,EC⊥AC,故EG＝EC,易得∠AEC＝∠CEF,∵CF ＝EC,EG＝CF,又因EG⊥AB,CD⊥AB,故EG∥CF.四边形GECF是平行四边形,又因EG＝FG,故GECF是菱形.13.（1）平行四边形;（2）∠BAC＝1500;（3）当∠BAC＝600时,以A.D.E.F为极点的四边形不消失.。
九年级中考临考专题训练：矩形、菱形(含答案)
2021中考临考专题训练：矩形、菱形一、选择题1. 下列说法，正确的个数有 ()①正方形既是菱形又是矩形;②有两个角是直角的四边形是矩形;③菱形的对角线相等;④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.A.1个B.2个C.3个D.4个2. 已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为()A.2B.2C.4D.23. （2020·四川甘孜州）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E 为AB的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为( )A．3 B．4 C．5 D．64. 如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是()5. （2020·黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（）A．4∶1 B．5∶1 C．6∶1 D．7∶16. （2020·广州）如图5，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）C DFE OBA图5 A ．485 B ．325 C ．245 D ．1257. （2020·泰安）如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，过点B 作BF ⊥AC 交CD 于点F ，交AC 于点M ，过点D 作DE ∥BF 交AB 于点E ，交AC 于点N ，连接FN ，EM ．则下列结论：① DN ﹦BM ；②EM ∥FN ；③AE ﹦FC ；④当AO ﹦AD 时，四边形DEBF 是菱形．其中，正确结论的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ． 3个 D ．4个AB CDEFOMN 8. （2020·达州）如图，∠BOD =45°，BO=DO ，点A 在OB 上，四边形ABCD 是矩形，连接AC 、BD 交于点E ，连接OE 交AD 于点F .下列4个判断：①OE 平分∠BOD ；②OF=BD ；③DF=AF ；④若点G 是线段OF 的中点，则△AEG 为等腰直角三角形.正确判断的个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1二、填空题9. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ADB=30°，AB=4，则OC= .10. 如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，M ，N 分别为BC ，OC 的中点.若DCA B F EOMN=4，则AC的长为.11. 如图，菱形ABCD的边长为10 cm，DE⊥AB，sin A=，则这个菱形的面积= cm2.12. 如图，矩形ABCD的面积是15，边AB的长比AD的长大2，则AD的长是________．13. 如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AD、BD的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长为________．14. （2020·四川甘孜州）如图，有一张长方形纸片ABCD，AB＝8cm，BC＝10cm，点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边B'C'恰好经过点D，则线段DE的长为__________cm．15. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE.如果∠ADB ＝30°，则∠E＝________度.16. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10.点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处．有下列结论：①∠EBG ＝45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △ABG ＝32S △FGH ；④AG ＋DF ＝FG . 其中正确的是______________．(把所有正确结论的序号都选上)三、解答题17. 如图，将等腰三角形ABC 绕顶点B 按逆时针方向旋转α到△A 1BC 1的位置，AB 与A 1C 1相交于点D ，AC 与A 1C 1，BC 1分别交于点E ，F . (1)求证:△BCF ≌△BA 1D ;(2)当∠C=α时，判断四边形A 1BCE 的形状，并说明理由.18. 如图，对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合，得到折痕MN ，将纸片展平;再一次折叠，使点D 落到MN 上的点F 处，折痕AP 交MN 于E ;延长PF 交AB 于G .求证: (1)△AFG ≌△AFP ; (2)△APG 为等边三角形.19. 如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，AD ∥BC ，AD=2BC ，∠ABD=90°，E 为AD 的中点，连接BE. (1)求证:四边形BCDE 为菱形;(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长.20. 如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC.(1)求证:四边形BECD是平行四边形;(2)若∠A=50°，则当∠BOD=°时，四边形BECD是矩形.21. 如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD、CE交于点F.(1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．22. 如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和点G，H.(1)求证：△PHC≌△CFP；(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．23. 如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，且点F落在矩形ABCD的内部，连接AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设ADAE＝n.(1)求证：AE＝GE；(2)当点F落在AC上时，用含n的代数式表示ADAB的值；(3)若AD＝4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．24. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，sin∠ABD＝55，点P是射线BC上一点，连接AP交菱形对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：△ABE≌△CBE；(2)如图①，当点P在线段BC上时，且BP＝2，求△PEC的面积；(3)如图②，当点P在线段BC的延长线上时，若CE⊥EP，求线段BP的长．2021中考临考专题训练：矩形、菱形-答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】C3. 【答案】B【解析】本题考查了菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ．∵菱形ABCD 的周长为32，∴AB ＝8．∵AC ⊥BD ，E 为AB 的中点，∴OE ＝AB ＝4．故选B ．4. 【答案】C 【解析】本题考查菱形的性质、相似三角形的性质、函数的图象和二次函数的图象和性质. 解题思路：设AC 、BD 交于点O ，由于点P 是菱形ABCD的对角线AC 上一动点，所以0＜x ＜2.当0＜x ＜1时，△AMN ∽△ABD ⇒APAO ＝MN BD ⇒x 1＝MN 1⇒MN ＝x ⇒y ＝12x 2.此二次函数的图象开口向上，对称轴是x ＝0，此时y 随x 的增大而增大. 所以B 和D 均不符合条件．当1＜x ＜2时，△CMN∽△CBD ⇒CP CO ＝MN BD ⇒2－x 1＝MN 1⇒MN ＝2－x ⇒y ＝12x(2－x)＝－12x 2＋x.此二次函数的图象开口向下，对称轴是x ＝1，此时y 随x 的增大而减小. 所以A 不符合条件．综上所述，只有C 是符合条件的．5. 【答案】B【解析】本题考查了菱形的性质及锐角三角函数等知识．由菱形的周长为16可得其边长为4，而高为2，即转化为已知某一直角三角形的斜边为4，一直角边为2，求该直角三角形的锐角．由sin α=2142，可得锐角α=30°，所以该菱形的两邻角为150°和30°，两邻角之比5∶1，因此本题选B ． 6. 【答案】C【解析】本题考查了矩形的性质，由勾股定理可得AC=10，再由矩形的对角线相等且互相平分的性质可得，OA=OD=5. △ABD 的面积为24，OA 为△ABD 的中线，由中线等分面积可得，△AOD 的面积为12.再由等面积法即可得OE+EF 的值．过程如下：∵AOE EOD AOD S S S ∴111222OA OE OD EF 即11551222OE EF ，∴OE+EF=245，因此本题选C ．7. 【答案】D【解析】本题考查了矩形的性质、三角形全等的条件与性质、等边三角形的条件与性质、平行四边形的条件与性质以及菱形的判定方法，因为四边形ABCD 是矩形，所以AB=CD ，AD=BC ，AD ∥BC ，所以∠DAN=∠BCM.因为BF ⊥AC ，DE ∥BF ，所以DE ⊥AC ，即∠AND=∠CMB=90°，所以△ADN ≌△CBM ，所以DN=BM ，∠AND=∠CBM ，则△ADE ≌△CBF ，所以AE=CF 、DE=BF ，所以NE=MF ，即①②③都是正确的，由AE=CF 、AB=CD ，所以BE=DF ，所以四边形AEBF 是平行四边形. 因为四边形ABCD 是矩形，所以AO=DO ，因为当AO ﹦AD 时，AO=DO=AO ，所以△ADO 是等边三角形，所以∠AND=∠BDE=30°，所以∠BDE=∠ABD=30°，所以DE=BE ，所以四边形DEBF 是菱形，则④也是正确的，因此本题选D ． 8. 【答案】A【解析】由矩形的性质可知：BE=DE=BD ，∠OAD=∠BAD=90°，在△ODE 和△OBE 中，BO=DO ，BE=DE ，OE=OE ，所以△ODE ≌△OBE ，∠OED=∠OEB=90°，∠OBD=∠ODB=67.5°，∠BOE=∠DOE=22.5°，故①正确；在R t △AOD 中，∠BOD=45°，∴OA=AD ，在R t △ABD 中，∠BAD=90°，∠OBD=67.5°，所以∠BDA=22.5°，在△BDA 和△FOA 中，∠BDA=∠FOA ，OA=AD ，∠OAD=∠BAD=90°，所以△BDA ≌△FOA ，所以OF=BD ，故②正确；如答图，过点F 作FQ ⊥OD 于点Q ，由角平分线的性质得AF=FQ ，由题可知∠ADO=45°，所以△FDQ 是等腰直角三角形即DF=AF ，故③正确；如答图，AG=OG=OF ，所以OG=DE ，由题意可得△OAG ≌△DAE ，所以∠OAG=∠DAE ，AG=AE ，又由∠OAG ＋∠GAF=90°可得∠GAE=90°，所以△GAE 是等腰直角三角形，故④正确．二、填空题9. 【答案】4 [解析]由题意可知，四边形ABCD 为矩形，则AC=BD ，OC=AC.已知∠ADB=30°，故在Rt △ABD 中，BD=2AB=8，∴AC=BD=8，OC=AC=4.10. 【答案】1611. 【答案】60[解析]菱形的面积可以用边长×高，即AB ×DE 计算，在Rt △ADE中，∵AD=10，sin A=，∴DE=6，∴菱形的面积为60 cm 2.12. 【答案】3【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用问题. 设AD ＝x ，由题知，AB ＝x ＋2，又∵矩形ABCD 的面积为15，则x(x ＋2)＝15，得到x 2＋2x －15＝0，解得，x 1＝－5(舍) , x 2＝3，∴AD ＝3.13. 【答案】16 【解析】∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，∴AB ＝2EF ＝4，∴菱形ABCD 周长是4AB ＝16.14. 【答案】5【解析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理．∵长方形纸片ABCD ，AB ＝8，BC ＝10，∴AB '＝8，AD ＝10，B 'C '＝10．在R t △ADB '中，由勾股定理，得DB '＝6．∴DC '＝4． 设DE ＝x ，则CE ＝C 'E ＝8－x ．在R t △C 'DE 中，由勾股定理，得DE 2＝EC '2＋DC '2GQD C AB F E O即x 2＝(8－x )2＋42．∴x ＝5．即线段DE 的长为5cm ．461088-x x 108C'B'D A BCE15. 【答案】15 【解析】如解图，连接AC.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AC ＝BD ，又∵AB ＝BA ，∴△DAB ≌△CBA(SSS )，∴∠ACB ＝∠ADB ＝30°，∵CE ＝BD ，∴AC ＝CE ，∴∠E ＝∠CAE ＝12∠ACB ＝15°.解图16. 【答案】①③④ 【解析】由折叠的性质得，∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，∴∠EBG ＝∠FBE ＋∠FBG ＝12×90°＝45°，故①正确；由折叠的性质得，BF ＝BC ＝10，BA ＝BH ＝6，∴HF ＝BF －BH ＝4，AF ＝BF 2－BA 2＝102－62＝8，设GH ＝x ，则GF ＝8－x ，在Rt △GHF 中，x 2＋42＝(8－x)2，∴x ＝3，∴GF ＝5，∴AG ＝3，同理在Rt △FDE 中，由FD 2＝EF 2－ED 2，得ED ＝83，EF ＝103，∴EDFD ＝43≠AB AG ＝2，∴△DEF 与△ABG 不相似，故②不正确；S △ABG ＝12×3×6＝9，S △FGH ＝12×3×4＝6，∴S △ABG S △FGH ＝96＝32，故③正确；∵AG ＝3，DF ＝AD －AF ＝2，∴FG＝5，∴AG ＋DF ＝FG ＝5，故④正确．综上，答案是①③④.三、解答题17. 【答案】解:(1)证明:∵△ABC 是等腰三角形，B 是顶点， ∴AB=BC ，∠A=∠C ，∵将等腰三角形ABC 绕顶点B 按逆时针方向旋转α到△A 1BC 1的位置， ∴A 1B=AB=BC ，∠A 1=∠A=∠C ，∠A 1BD=∠CBC 1.在△BCF 与△BA 1D 中，∴△BCF≌△BA1D.(2)四边形A1BCE是菱形.理由如下:∵将等腰三角形ABC绕顶点B按逆时针方向旋转α到△A1BC1的位置，∴∠A1=∠A，∵∠ADE=∠A1DB，∴∠AED=∠A1BD=α，∵∠AED=∠C=α，∴A1E∥BC.∵∠AED=∠A1=α，∴A1B∥CE.∴四边形A1BCE是平行四边形，又∵A1B=BC，∴四边形A1BCE是菱形.18. 【答案】证明:(1)∵对折矩形纸片ABCD，使AB与CD重合，得到折痕MN，∴MN∥AB，M，N分别为AD，BC中点，由平行线的性质可知PF=GF.由折叠的性质得∠PF A=∠GF A=90°，∴△AFG≌△AFP(SAS).(2)∵△AFG≌△AFP，∴AP=AG，∠2=∠3.又∵∠2=∠1，∴∠1=∠2=∠3.又∵∠1+∠2+∠3=90°，∴3∠2=90°，∴∠2=30°，∠P AG=2∠2=60°，∴△APG 为等边三角形.19. 【答案】解:(1)证明:∵E为AD的中点，AD=2BC，∴BC=ED，∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形，∵∠ABD=90°，AE=DE，∴BE=ED，∴四边形BCDE是菱形.(2)∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=∠BCA，∴BA=BC=1，∵AD=2BC=2，∴sin∠ADB=，∴∠ADB=30°，∴∠DAC=∠BAD=30°，∠ADC=2∠ADB=60°.∴∠ACD=90°.在Rt△ACD中，AD=2，CD=1，∴AC=.20. 【答案】解:(1)证明:∵平行四边形ABCD，∴AE∥DC，∴∠EBO=∠DCO，∠BEO=∠CDO，∵点O是边BC的中点，∴BO=CO，∴△EBO≌△DCO(AAS)，∴EO=DO，∴四边形BECD是平行四边形.(2)100[解析]若四边形BECD为矩形，则BC=DE，BD⊥AE，又AD=BC，∴AD=DE.根据等腰三角形的性质，可知∠ADB=∠EDB=40°，故∠BOD=180°-∠ADE=100°.21. 【答案】(1)证明：∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，AE ＝AC ，∠BAC ＝∠DAE ，(1分)∵AB ＝AC ，∴AD ＝AB ＝AE ＝AC ，∠EAC ＝∠DAB ，在△AEC 和△ADB 中∵⎩⎨⎧AD ＝ AE∠EAC ＝∠DAB AB ＝AC，∴△AEC ≌△ADB(SAS )．(3分)(2)解：当四边形ADFC 是菱形时，AC ＝DF ，AC ∥DF ，∴∠BAC ＝∠ABD ，又∵∠BAC ＝45°，∴∠ABD ＝45°，(5分)又∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，∴∠DAB ＝90°，(6分)又∵AB ＝2，由勾股定理可得：BD ＝AD 2＋AB 2＝2AB ＝22，在菱形ADFC 中，DF ＝AD ＝AB ＝2，∴BF ＝BD －DF ＝22－2.(8分)22. 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ∥AB ，AD ∥BC ，∠DCB ＝90°.(1分) ∵EF ∥AB ，GH ∥AD ，∴EF ∥CD ，GH ∥BC ，∴四边形PFCH 是矩形，(2分)∴∠PHC ＝∠PFC ＝90°，PH ＝CF ，HC ＝PF ，(3分)∴△PHC ≌△CFP(SAS )．(4分)(2)证明：(1)由(1)知AB ∥EF ∥CD ，AD ∥GH ∥BC ，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是平行四边形，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠B ＝90°，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是矩形，∴S 矩形PEDH ＝S 矩形PGBF .(8分)【解法提示】同(1)证法一样可得，△ACD ≌△CAB ，△APE ≌△PAG ，△PHC ≌△CFP ，∴S △ACD －S △AEP －S △PCH ＝S △CAB －S △PGA －S △CFP ，∴S 四边形PEDH ＝S 四边形PFBG .23. 【答案】(1)证明：由折叠性质得AE ＝FE ，∴∠EAF ＝∠EF A ，∵GF ⊥AF ，∴∠EAF ＋∠FGA ＝∠EF A ＋∠EFG ＝90°，∴∠FGA ＝∠EFG ，∴EG ＝EF ，∴AE ＝GE ；(2)解：如解图①，当点F 落在AC 上时，设AE ＝a ，则AD ＝na ，解图①由对称性得BE ⊥AF ，∴∠ABE ＋∠BAC ＝90°，∵∠DAC ＋∠BAC ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAC ，又∵∠BAE ＝∠D ＝90°，∴△ABE ∽△DAC ， ∴AB DA ＝AE DC ，∵AB ＝DC ，∴AB 2＝AD ·AE ＝na ·a ＝na 2，∵AB ＞0，∴AB ＝na ，∴AD AB ＝na na＝n ； (3)解：若AD ＝4AB ，则AB ＝n 4a ， 如解图②，当点F 落在线段BC 上时，EF ＝AE ＝AB ＝a .解图②此时n 4a ＝a ，∴n ＝4，∴当点F 落在矩形内部时，n ＞4.∵点F 落在矩形的内部，点G 在AD 上，∴∠FCG ＜∠BCD ，∴∠FCG ＜90°.①若∠CFG ＝90°，则点F 落在AC 上，由(2)得AD AB ＝n ，即4AB AB ＝n ，∴n ＝16；②如解图③，若∠CGF ＝90°，则∠CGD ＋∠AGF ＝90°，解图③∵∠F AG ＋∠AGF ＝90°，∴∠CGD ＝∠F AG ＝∠ABE .∵∠BAE ＝∠D ＝90°，∴△ABE ∽△DGC ，∴AB DG ＝AE DC ，∵DG ＝AD －AE －EG ＝na －2a ＝(n －2)a ，∴AB ·DC ＝DG ·AE ，即(n 4a )2＝(n －2)a ·a ，解得n 1＝8＋42，n 2＝8－42＜4(不合题意，舍去)．综上所述，当n ＝16或n ＝8＋42时，以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形．24. 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBE .在△ABE 和△CBE 中，AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBE ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△CBE (SAS)；(2)解：如解图①，连接AC 交BD 于点O ，分别过点A 、E 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F ，解图①∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∵AB ＝5，sin ∠ABD ＝55，∴AO ＝OC ＝5，∴BO ＝OD ＝25， ∴AC ＝25，BD ＝45， ∵12AC ·BD ＝BC ·AH ，即12×25×45＝5AH ，∴AH ＝4，∵AD ∥BC ，∴△AED ∽△PEB ， ∴AE PE ＝AD BP， ∴AE ＋PE PE ＝AD ＋BP BP ，即AP PE ＝5＋22＝72，∴AP ＝72PE ，又∵EF ∥AH ，∴△EFP ∽△AHP ，∴EF AH ＝PE AP ，∴EF ＝PE AP ·AH ＝PE 72PE×4＝87，∴S △PEC ＝12PC ·EF ＝12×(5－2)×87＝127；(3)解：如解图②，连接AC 交BD 于点O ，解图②∵△ABE ≌△CBE ，CE ⊥PE ，∴∠AEB ＝∠CEB ＝45°，∴AO ＝OE ＝5，∴DE ＝OD －OE ＝25－5＝5，BE ＝3 5. ∵AD ∥BP ，∴△ADE ∽△PBE ，∴AD BP ＝DE BE ，∴5BP＝535，∴BP＝15.。
矩形、菱形、正方形形能力训练题3
矩形、菱形、正方形形能力训练题一、选择题1．下列关于矩形的说法，正确的是（ ）．A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分 D ．矩形的对角线相等且互相平分 2、如图2是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边（x y >），下列四个说法：①2249x y +=，②2x y -=，③2449xy +=，④9x y +=.其中说法正确的是 （ ）A ．①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④3、图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n个图形的周长是（）（A）2n（B ）4n（C ）12n + （D ）22n +4、如图4，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B '处，点A 对应点为A '，且C B '=3，则AM 的长是（ ） A ．1.5 B ．2 C ．2.25 D ．2.55、如图,在一张△ABC 纸片中, ∠B=90°, ∠C=60°,DE 是中位线,现把纸片沿中位线DE 剪开,计划拼出以下四个图形:①邻边不等的矩形;②等腰梯形;③有一个角为锐角的菱形;④正方形.那么以上图形一定能被拼成的个数为( )A.1 ( B.2 C.3 D.46、如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上，四边形EFGB 也为正方形，设AFC △的面积为S ，则（ ）Ａ．2S = Ｂ． 2.4S = Ｃ．4S = Ｄ．S 与BE 长度有关 7、若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD 一定是（ ） A 、菱形B 、对角线互相垂直的四边形C 、矩形D 、对角线相等的四边形8、如图，正方形ABCD 外有一点P ，P 在BC 外侧，并在平行线AB 与CD 之间，若PA=，PB=，PC=5，则PD=（ ）A ．25B ．C ．3D ．yx图2 图1图2图3……A BCDM N A 'B '图4二、填空题11、如图，将长8 cm ，宽4 cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与C 重合，则折痕EF 的长等于 cm ．12、如图，正方形纸片ABCD 的边长为8，将其沿EF 折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为_______．13、如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为14、如图，平面内4条直线l1、l 2、 l 3、 l 4是一组平行线，相邻2条平行线的距离都是2个单位长度，正方形ABCD 的4个顶点A 、B 、C 、D 都在这些平行线上，其中点A 、C 分别在直线l 1、l 4上，该正方形的15中，已知两邻边AD=12，AB=5，P 是AD 边上异于A 和D 的任意一点，且PE⊥BD，PE+PF 的值为16、如图，已知四边形ABCD 是矩形，点E 在线段CB 的延长线上，连接DE 交AB 于点F ，∠AED=2∠CED，点G 是DF 的中点，若BE=1，AG=4，则AB 的长为17、已知菱形ABCD 的边长为6，∠A =60°，如果点P 是菱形内一点，且PB =PD ，那么AP 的长为 ． 18、如图，Rt △ABC 中，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2，D 是AC 的中点，过D 作DE ⊥AC 与CB 的延长线交于E ，以AB 、BE 为邻边作长方形ABEF ，连接DF ，则DF 的长等于三、解答题19、如图，在正方形ABCD 的对角线AC 上取点E ，使得∠CDE=15°，连接BE ．延长BE 到F ，连接CF ，使得CF=BC ．（1）求证：DE=BE ；（2）求证：EF=CE+DE ．20、正方形ABCD 如图所示，连接其对角线AC ，BCA ∠的平分线CF 交AB 于点F ,过点B 作CF BM ⊥于点N ，交AC 于点M ，过点C 作CF CP ⊥,交AD 延长线于点P ．（1）若正方形ABCD 的边长为4，求ACP ∆的面积；（2）求证：FN BM CP 2+=．D ′ FE BC (A ′)D AB D CB AC ′F E ③ ②①④ (第12题)如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D 分别落在矩形ABCD外部的点A’，D’处，则整个阴影部分图形的周长．．为（）A．18cm B．36cm C．40cm D．72cm如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2 M1，对角线A1 M1和A2B2交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3 M2，对角线A1M2和A3B3交于点M3；……，依次类推，这样作的第n个正方形对角线交点的坐标为M n_______________．6、解：连接FB．∵四边形EFGB为正方形，∴∠FBA=∠BAC，∴FB∥AC，∴△ABC与△AFC是同底等高的三角形．∵2S△ABC=S正ABCD，S正ABCD=2×2=4，∴S=2．故应填：2．10、解：由题意三角形ABE对折后为三角EFB，∴∠EFB=∠DAB=90°，由题意正方形ABCD，连接BD，则角ABF=45°，∴在直角三角形BHF中HF=BF，故①正确．由上一证知：HF=BF=AB，∠FHB=∠ADB=45°，又知AF为公共边，∴△AHF≌△ADF，故②正确．由①证得：∠ABE=∠DAG=22.5°，由已知∠BDC=45°，∴在直角三角形ADG中，角AGD=67.5°，在三角形DFG中角DFG=67.5°，故③不正确；2-1，所以DE=2DF，即④正确，或者过D作FG的垂线证明三角形全等，⑤过D作DI垂直于FG，垂足为I，EB与AF的交点为G，而这两个三角形的面积分别等于相应所在三角形的面积的一半，所以证得三角形DFI与EFG全等．故⑤正确．所以①②④⑤正确．故选D．17、解：作DG∥CE，则G为EF的中点，∵EG=FG，∠DGF=∠DGE，DG=DG，∴△DGF≌△DGE，∴DF=DE，∵∠C=60°，∴AC=2BC，D为AC中点，∴BC=CD，∵∠CDE=∠CBA，BC=CD，∠C=∠C，∴△ABC≌△EDC，∴AB=DE=DF=3cm，∵AC=2BC，∴AB=AC2-BC2=3cm．解得BC=1cm，故答案为 1．19、（1）证明：∵tanB=2，∴AE=2BE；∵E是BC中点，∴BC=2BE，即AE=BC；又∵四边形ABCD是平行四边形，则AE = AD =4；（2）证明：作AG⊥AF，交DP于G；（如图2）∵AD∥BC，∴∠ADG=∠DPC；∵∠AEP=∠EFP=90°，∴∠PEF+∠EPF=∠PEF+∠AEF=90°，即∠ADG=∠AEF=∠FPE；又∵AE=AD，∠FAE=∠GAD=90°-∠EAG，∴△AFE≌△AGD，∴AF=AG，即△AFG是等腰直角三角形，且EF=DG；∴FG=2AF，且DF=DG+GF=EF+FG，故DF-EF=2AF；18、在直角△ABC中，∠C＝60°，∴∠A=30°，∴AC=4，由勾股定理得：BA=2√3，又∵DE是AC的垂直平分线，它交BA于G点，∴DC=DA=2，∴GC=GA，∠GCB=∠GCD=∠GAD=30°，在直角△ECD中，∴∠CED=30°∴∠DEF=60°，∴△GCB≌△GEB，∴BE=BC=AF=2，∴△ADF是等腰△，∴∠∠ADF=∠AFD=﹙180－30－90﹚／2=30°，∴∠EDF=60°∴△DEF是等边△，∴DF=EF=BA=2√3.ABC中，已知∠ABC=90°，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC，与CB的延长线交于点E，以BA、BE为邻边作长方形BAFE，连接FD．若∠C=60°，DF=3cm，则BC的长为。
中考复习《矩形、菱形、正方形》测试题(含答案)
中考复习《矩形、菱形、正方形》测试题（含答案）一、选择题(每题4分，共24分)1．[2015·泸州]菱形具有而平行四边形不具有的性质是(D) A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．[2015·衢州]如图28－1，已知某菱形花坛ABCD的周长是24 m，∠BAD＝120°，则花坛对角线AC的长是(B)A．6 3 m B．6 m图28－1 C．3 3 m D．3 m【解析】易知△ABC为等边三角形，所以AC＝AB＝6 m.3．[2015·益阳]如图28－2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是(D) A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OB D．OA＝AD图28－2 图28－34．[2014·福州]如图28－3，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为(C) A．45°B．55°C．60°D．75°【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，又∵△ADE 是等边三角形， ∴AE ＝AD ＝DE ，∠DAE ＝60°， ∴AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∠BAE ＝90°＋60°＝150°， ∴∠ABE ＝(180°－150°)÷2＝15°， 又∵∠BAC ＝45°， ∴∠BFC ＝45°＋15°＝60°.5．[2015·临沂]如图28－4，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连结EB ，EC ，DB .添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是 (B) A ．AB ＝BEB ．BE ⊥DCC ．∠ADB ＝90°D ．CE ⊥DE【解析】 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AD 綊BC ，因为DE ＝AD ，所以DE 綊BC所以四边形EDBC 为平行四边形，A ．假若AB ＝BE ，因为AB ＝BE ，AD ＝DE ，BD ＝BD ，所以△ADB ≌△EDB ，所以∠BDE ＝90°，所以四边形EDBC 为矩形； B ．假若BE ⊥DC ，可得四边形EDBC 为菱形；C ．假若∠ADB ＝90°，所以∠EDB ＝90°，所以四边形EDBC 为矩形；D ．假若CE ⊥DE ，所以∠DEC ＝90°，所以四边形EDBC 为矩形，故选B. 6．[2015·日照]小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 中选两个作为补充条件，使▱ABCD 成为正方形(如图28－5)现有下列四种选法，你图28－4图28－5认为其中错误的是(B)A．①②B．②③C．①③D．②④【解析】此题考查正方形的判定，即在▱ABCD的基础上，需要再同时具备矩形和菱形的特征．①是菱形的特征；②是矩形的特征；③是矩形的特征，④是菱形的特征．而B中都是矩形的特征，故选B.二、填空题(每题4分，共20分)7．[2015·铜仁]已知一个菱形的两条对角线长分别为6 cm和8 cm，则这个菱形的面积为__24__cm2.8．[2014·衡阳]如图28－6，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AB＝5，则BD的长为__10__．9．[2015·上海]已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，图28－6 AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠F AD＝__22.5__度．10．[2014·淄博]已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个菱形．你添加的条件是__AB＝BC或AC⊥BD等__．11．[2014·资阳]如图28－7，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为__6__．图28－7【解析】如答图，连结BD，DE，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，∴DE的长即为BQ＋QE的最小值，∵DE＝BQ＋QE＝5，∴△BEQ周长的最小值＝DE＋BE＝5＋1＝6.三、解答题(共20分)12．(10分)[2015·安顺]如图28－8，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于图28－8F.(1)求证：AE＝DF；(2)若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．证明：(1)∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AE＝DF；(2)若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠F AD，∵AE∥DF，∴∠EAD＝ADF，∠DAF＝∠FDA，∴AF＝DF，∴平行四边形AEDF为菱形．13．(10分)[2015·青岛]已知：如图28－9，在△ABC中，AB ＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E.(1)求证：△ABD≌△CAE；图28－9(2)连结DE ，线段DE 与AB 之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论． 解：(1)证明：∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线， ∴AD ⊥BC ，BD ＝CD . ∵AE ∥BC ，CE ⊥AE ， ∴四边形ADCE 是矩形， ∴AD ＝CE .在Rt △ABD 与Rt △CAE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CE ，AB ＝CA ，∴△ABD ≌△CAE (HL )；(2)DE ∥AB ，DE ＝AB .证明如下： 如答图所示，∵四边形ADCE 是矩形， ∴AE ＝CD ＝BD ，AE ∥BD ， ∴四边形ABDE 是平行四边形， ∴DE ∥AB ，DE ＝AB .14．(10分)[2014·扬州]如图28－10，已知Rt △ABC ，∠ABC ＝90°，先把△ABC 绕点B 顺时针旋转90°后至△DBE ，再把△ABC 沿射线AB 平移至△FEG ，DE ，FG 相交于点H .(1)判断线段DE ，FG 的位置关系，并说明理由； (2)连结CG ，求证：四边形CBEG 是正方形． 解：(1)DE ⊥FG ，理由如下：由题意得∠A ＝∠EDB ＝∠GFE ，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，第13题答图图28－10∴∠BDE＋∠BED＝90°.∴∠GFE＋∠BED＝90°，∴∠FHE＝90°，即DE⊥FG；(2)证明：∵△ABC沿射线AB平移至△FEG，∴CB∥GE，CB＝GE.∴四边形CBEG是平行四边形．∵∠ABC＝∠GEF＝90°，∴四边形CBEG是矩形．∵BC＝BE，∴四边形CBEG是正方形．15．(10分)[2015·南京]如图28－11，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连结EF，∠AEF，∠CFE的平分线交于点G，∠BEF，∠DFE的平分线交于点H.(1)求证：四边形EGFH是矩形；(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD交于点P，Q，得到四边形MNQP.此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框图中补全他的证明思路．小明的证明思路由AB∥CD，MN∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证▱MNQP是菱形，只要证MN＝NQ.由已知条件__FG平分∠CFE__，MN∥EF，可证NG＝NF，故只要证GM＝FQ，即证△MEG≌△QFH，易证__GE＝FH__，__∠GME ＝∠FQH__.故只要证∠MGE＝∠QFH.易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，__∠GEF＝∠EFH__，即可得证．图28－11解：(1)证明：∵EH平分∠BEF.∴∠FEH＝12∠BEF，∵FH平分∠DFE，∴∠EFH＝12∠DFE，∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°，∴∠FEH＋∠EFH＝12(∠BEF＋∠DFE)＝12×180°＝90°，又∵∠FEH＋∠EFH＋∠EHF＝180°，∴∠EHF＝180°－(∠FEH＋∠EFH)＝180°－90°＝90°，同理可证，∠EGF＝90°，∵EG平分∠AEF，∴∠FEG＝12∠AEF，∵EH平分∠BEF，∴∠FEH＝12∠BEF，∵点A，E，B在同一条直线上．∴∠AEB＝180°，即∠AEF＋∠BEF＝180°.∴∠FEG＋∠FEH＝12(∠AEF＋∠BEF)＝12×180°＝90°，即∠GEH＝90°.∴四边形EGFH是矩形；(2)本题答案不唯一，下列解法供参考．例如，FG平分∠CFE；GE＝FH；∠GME ＝∠FQH；∠GEF＝∠EFH.16．(6分)[2015·资阳]若顺次连结四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是(D) A．矩形B．菱形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形17．(10分)如图28－12，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°.顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；…；按此规律继续下去，则四边形A2B2C2D2的周长是__20__；四边形A2 016B2 016C2 016D2 016的周长是__521 005__．图28－12。
中考数学复习《菱形》专项提升训练(附答案)
中考数学复习《菱形》专项提升训练(附答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.菱形不具备的性质是( )A.是轴对称图形B.是中心对称图形C.对角线互相垂直D.对角线一定相等2.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,下列说法错误的是( )A.AB∥DCB.AC=BDC.AC⊥BDD.OA=OC3.如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO.若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为( )A.28°B.52°C.62°D.72°4.菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（）A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：15.如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC 的长等于（）A.63米B.6米C.33米D.3米6.如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD 的周长为36，则OH的长等于( )A.4.5B.5C.6D.97.任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示.若连接EH，HF，FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是( )A.△EGH为等腰三角形B.△EHF为等腰三角形C.四边形EGFH为菱形D.△EGF为等边三角形8.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为( )①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD.A.①③B.②③C.③④D.①②③9.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的一半长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN 分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF，则可以得到四边形AEDF的形状( )A.仅仅只是平行四边形B.是矩形C.是菱形D.无法判断10.已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图1；再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图2；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图3；如此反复操作下去，则第2 024个图形中直角三角形的个数有( )A.4 048个B.4 046个C.2 024个D.2 023个二、填空题11.如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件，使ABCD成为菱形(只需添加一个即可)12.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF.给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是__________(填序号).13.如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(－2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是.14.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4 cm，BD＝8 cm，则这个菱形的面积是________cm2.15.如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B ﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2025米停下，则这个微型机器人停在点.16.如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的顶点D(3，2)，点P对角线OC上的一个动点，已知A(-1，0)，则AP+BP的最小值是__________.三、解答题17.如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE.求证：(1)∠CEB＝∠CBE；(2)四边形BCED是菱形．18.如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.(1)求证：AE＝DF；(2)若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由.19.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC.(1)求证：四边形BFCE是平行四边形;(2)若AD＝10，DC＝3，∠EBD＝60°，则当BE＝______时，四边形BFCE是菱形.20.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F.(1)求证：OE＝CD；(2)若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，求AE的长.21.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD、BC分别交于点M和点N.(1)请你判断OM和ON的数量关系，并说明理由；(2)过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，当AB＝6，AC＝8时，求△BDE的周长.22.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH. 求证：∠DHO＝∠DCO.23.(1)如图,纸片▱ABCD中,AD=5,S=15.过点A作AE⊥BC,垂足为E,沿AE剪下△ABE,▱ABCD将它平移至△DCE'的位置,拼成四边形AEE'D,则四边形AEE'D的形状为( )A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形(2)如图,在(1)中的四边形纸片AEE/D中,在EE/上取一点F,使EF=4,剪下△AEF,将它平移至△DE/F/的位置,拼成四边形AFF/D.①求证:四边形AFF'D是菱形;②求四边形AFF'D的两条对角线的长.图1 图224.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6.(1)实践操作：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹.①作∠ABC的角平分线交AC于点D.②作线段BD的垂直平分线，交AB于点E，交BC于点F，连接DE、DF.(2)推理计算：四边形BFDE的面积为.参考答案1.D.2.B3.C4.B.5.A.6.A.7.D.8.A9.C10.A.11.答案为：OA＝OC.12.答案为：菱形．13.答案为：(－5，4).14.答案为：16.15.答案为：B.16.答案为：2 5.17.证明；(1)∵△ABC≌△ABD∴∠ABC＝∠ABD∵CE∥BD∴∠CEB＝∠DBE∴∠CEB＝∠CBE．(2)∵△ABC≌△ABD∴BC＝BD∵∠CEB＝∠CBE∴CE＝CB∴CE＝BD∵CE∥BD∴四边形CEDB是平行四边形∵BC＝BD∴四边形CEDB是菱形．18.证明：(1)∵DE∥AC，∠ADE＝∠DAF，同理∠DAE＝∠FDA ∵AD＝DA∴△ADE≌△DAF∴AE＝DF；(2)若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形∵DE∥AC，DF∥AB∴四边形AEDF是平行四边形∴∠DAF＝∠FDA.∴AF＝DF.∴平行四边形AEDF为菱形.19.证明：(1)∵AB＝DC∴AB＋BC＝DC＋BC∴AC＝DB.在△AEC和△DFB中AC＝DB，∠A＝∠D，AE＝DF∴△AEC≌△DFB(SAS)∴EC＝BF，∠ACE＝∠DBF.∴EC∥BF∴四边形BFCE是平行四边形.(2)4.当四边形BFCE是菱形时，BE＝CE∵AD＝10，AB＝CD＝3∴BC＝10﹣3﹣3＝4∵∠EBD＝60°∴BE＝BC＝4∴当BE＝4时，四边形BFCE是菱形.20.(1)证明：∵DE＝OC，DE∥AC∴四边形OCED是平行四边形∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD∴∠COD＝90°∴平行四边形OCED是矩形.∴OE＝CD.(2)解：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°∴AC＝AB＝4∴在矩形OCED中，CE＝OD＝2 3∴在△ACE中，AE＝27.21.解：(1)∵四边形ABCD是菱形∴AD∥BC，AO＝OC∴OM＝ON.(2)∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AD＝BC＝AB＝6∴BO＝2 5∴BD＝2OB＝4 5∵DE∥AC，AD∥CE∴四边形ACED是平行四边形∴DE＝AC＝8∴△BDE的周长是：BD＋DE＋BE＝BD＋AC＋(BC＋CE)＝45＋8＋(6＋6)＝20＋4 5. 即△BDE的周长是20＋ 5.22.证明：∵四边形ABCD是菱形∴OD＝OB，∠COD＝90°.∵DH⊥AB于H∴∠DHB＝90°.在Rt△DHB中，OH＝OB∴∠OHB＝∠OBH.又∵AB∥CD∴∠OBH＝∠ODC.∴∠OHB＝∠ODC.在Rt△COD中，∠ODC＋∠OCD＝90°在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°∴∠DHO＝∠DCO.23.解：(1)C.=15,AE⊥BC,∴AE=3.(2)①证明:∵AD=BC=5,S▱ABCD如图,∵EF=4,∴在Rt△AEF中,AF=5.∴AF=AD=5.又△AEF经平移得到△DE'F'∴AF∥DF',AF=DF'∴四边形AFF'D是平行四边形.又AF=AD,∴四边形AFF'D是菱形.②如图,连接AF',DF.在Rt△DE'F中,∵E'F=E'E-EF=5-4=1,DE'=3,∴DF=10.在Rt△AEF'中,∵EF'=E'E+E'F'=5+4=9,AE=3,∴AF'=310. ∴四边形AFF'D的两条对角线长分别为10,310.24.解：(1)如图，DE、DF为所作；(2)∵∠C=90°，∠A=30°∴∠ABC=60°，AB=2BC=12∵BD为∠ABC的角平分线∴∠DBC=∠EBD=30°∵EF垂直平分BD∴FB=FD，EB=ED∴∠FDB=∠DBC=30°，∠EDB=∠EBD=30°∴DE∥BF，BE∥DF∴四边形BEDF为平行四边形而FB=FD∴四边形BEDF为菱形在Rt△ADE中，DE=AE而AE=AB﹣BE∴12﹣BE=BE，解得BE=8在Rt△BDC中，CD=BC=2∴四边形BFDE的面积=×8×2=8.。
菱形矩形的练习题
菱形矩形的练习题菱形和矩形是我们初中数学学习中经常遇到的几何形状。
它们具有特殊的性质和特点，在几何图形的分类和性质研究中起到重要的作用。
本篇文章将围绕菱形和矩形展开论述，介绍一些与它们相关的练习题供大家练习。
1. 菱形练习题题目：已知菱形ABCD的对角线AC和BD的长度分别为12cm和16cm，求菱形的周长和面积。
解答：首先，菱形的对角线相等且互相垂直，所以菱形的四条边长相等。
设菱形的边长为a，则有4a = 12，解得a = 3 cm。
因此，菱形的周长为4a = 12 cm，面积为(AC × BD) / 2 = (12 cm × 16 cm) / 2 = 96 cm²。
2. 矩形练习题题目：已知矩形ABCDE的长为10 cm，宽为6 cm，求矩形的周长和面积。
解答：矩形的周长等于两倍的长加两倍的宽，所以矩形的周长为2× (10 cm + 6 cm) = 32 cm。
面积等于长乘以宽，所以矩形的面积为10cm × 6 cm = 60 cm²。
3. 组合练习题题目：在菱形和矩形的组合图形ABCDE中，已知菱形ABCD的周长为24 cm，矩形AEFG的面积为30 cm²，求矩形的长和宽。
解答：设菱形的边长为a，则矩形的长为2a，宽为4a。
根据菱形的周长为24 cm，有4a = 24，解得a = 6 cm。
因此，矩形的长为2 × 6 cm = 12 cm，宽为4 × 6 cm = 24 cm。
通过以上练习题的解答，我们可以进一步巩固菱形和矩形的性质和计算方法。
在实际应用中，我们还可以利用菱形和矩形的特点来解决一些几何问题，例如计算建筑物、绘图等。
总结：菱形和矩形是初中数学中常见的几何形状，具有独特的性质和特点。
对于菱形，其对角线相等且互相垂直，四条边长相等；对于矩形，其对角线相等，两对边平行且相等。
通过练习题的解答，我们可以进一步加深对菱形和矩形的理解，并且巩固周长和面积的计算方法。
(完整版)矩形、菱形与正方形-专题训练(含答案)
矩形、菱形与正方形专题训练（含答案）班级_________ 姓名 __________ 成绩 ___________、选择题（每小题3分，共30分）1.如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的B 处，若AE = 2, DE = 6, / EFB = 60 ° 则矩形ABCD 的面积是（ ）A . 12B . 24C . 12 .'3D . 16 .'3第1题图 第2题图 第3题图 第4题图2 . 如图，菱形ABCD 中，/ B = 60 ° AB = 4,则以AC 为边长的正方形 ACEF 的周长为（） A . 14 B . 15C . 16D . 173. 如图， 将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 C 与点 C 重合.若AB = 2，则CD 的长为（） A. 1 B . 2C . 3D . 44. 如图， 在厶ABC 中，AC =BC , 占 八D ,E 分别是边AB , ,AC 的中点. 将厶 ADE 绕点E 旋转180 得厶CFE ，则四边形 ADCF •宀曰疋是 ( )A.矩形 B . 菱形 C . 正方形 D .梯形5•由菱形的两条对角线的交点向各边引垂线，以各垂足为顶点的四边形是（ ）6.如图，?ABCD 的周长为16 cm , AC , BD 相交于点 O , 0E 丄AC 交AD 于点 丘，则厶DCE 的周 长为（）A •平行四边形B •矩形C •菱形D .正方形A . 4 cmB . 6 cmC .第6题图 第9题图7•菱形的周长为 8 cm ,高为1 cm ,则菱形两邻角度数比为BC10 cmA F DE&用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥等边三角形，一定能拼成的图形是（）A .①④⑤B .②⑤⑥C .①②③D .①②⑤9. 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S i, S2,则S i + S2的值为（）A . 16B . 17 C. 18 D . 1910. 如图，F为正方形ABCD的边AD上一点，CE丄CF交AB的延长线于点E,若正方形ABCD 的面积为64,A CEF的面积为50,则厶CBE的面积为（）A . 20B . 24C . 25D . 26二、填空题（每小题3分，共24分）11. 如图所示，在菱形ABCD中，/ ADC = 72 ° AD的垂直平分线交对角线BD于点P,垂足为点E,连结CP,则/ CPB = _______ 度.1)第11题图第12题图第14题图第15题图12 .如图，四边形ABCD的两条对角线AC, BD互相垂直，A1, B1, C1, D1分别是四边形ABCD 各边中点，如果AC= 8, BD = 10,则四边形A1B1C1D1的面积为—.13 .矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°这个角所对的边长为20 cm,则其对角线长为___________ -_,矩形的面积为__________________ .14 .如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O, AC = 4 cm, BD = 8 cm,则这个菱形的面积是_____ c m2.AC , BD 交于点 O , E 点在BC 上，EG 丄OB , EF 丄OC ,垂足，使?ABCD 是矩形.17 .如图，正方形 ABCD 中，对角线第18题图15 .如图，矩形 ABCD 中，点E , F 分别是 AB , CD 的中点，连结 DE 和BF ，分别取 DE , BF 的 中点M , N ,连结AM , CN , MN ,若AB = 2 2, BC = 2 '3,则图中阴影部分的面积为，第16题O ,请你添加一个条件16 .如图,分别为点G , F, AC= 10,则EG + EF = ______ .18. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A, C的坐标分别为(10, 0), (0, 4),点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为三、解答题(共66分)19. (6分)如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF丄EC且EF = EC, DE =4 cm，矩形ABCD的周长为32 cm,求AE的长.20. (8分)如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O,与BC相交于点N,连结BM , DN.(1)求证：四边形BMDN是菱形；⑵若AB= 4, AD = 8,求MD的长.21 . （8 分）如图所示，矩形ABCD 中，AE丄BD 于点E,/ DAE :/ BAE = 3 : 1，求/ BAE 和/ EAO 的度数.22. （10分）如图，已知菱形 ABCD 中，AB = AC , E , F 分别是BC , AD 的中点，连结 AE , CF. （1）证明：四边形 AECF 是矩形； ⑵若AB = 8,求菱形 ABCD 的面积.参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1.如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的B 处，若AE = 2, DE = 6, / EFB = 60 ° 则矩形ABCD 的面积是（D ） A . 12B . 24C . 12D . 164 / 9DE 丄AB , DF 丄BC ,垂足分另U 是点 E , F ，并且DE = DF ，求证： (1)△ ADECDF ; (2)四边形 ABCD 是菱形.24. (10分)在四边形 ABCD 中，AB = CD , M , N , P , Q 分别是AD , BC , BD , AC 的中点，求证:MN 与PQ 互相垂直平分.23. （12分）如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形,6.如图，？ABCD 的周长为16 cm , AC , BD 相交于点 O , 0E 丄AC 交AD 于点 丘，则厶DCE 的周 长为（C ）7.菱形的周长为 8 cm ,高为1 cm ,则菱形两邻角度数比为 （C ） A . 3 : 1B . 4 : 1C . 5 : 1D . 6 : 1&用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等 腰三角形，⑥等边三角形，一定能拼成的图形是 （D ）A .①④⑤B .②⑤⑥C .①②③D .①②⑤9.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 S 1, S 2,则S 1 +S 2的值为（B ） A . 16B . 17C . 18D . 19的面积为64,^ CEF 的面积为50,则厶CBE 的面积为（B）2 . 如图，菱形ABCD 中，/ B = 60 ° AB = 4,则以AC 为边长的正方形 ACEF 的周长为（C ） A . 14 B . 15C . 16D . 173. 如图， 将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 C 与点 C 重合.若AB = 2，贝U CD 的长为（B ） A . 1 B . 2C . 3D . 44. 如图，在厶ABC 中，AC =BC , 点D , E 分别是边AB , ,AC 的中点. 将厶 ADE 绕点E 旋转180 得厶CFE ，则四边形 ADCF •宀曰(A )定是A.矩形 B . 菱形C .正方形D .梯形A •平行四边形B •矩形C •菱形D .正方形 A . 4 cmB . 6 cmC .第6题图10 .如图, F 为正方形 ABCD 的边AD 上一点, CE 丄CF 交AB 的延长线于点 E ,若正方形 ABCD第4题图第1题图 第2题图 第3题图 5•由菱形的两条对角线的交点向各边引垂线，以各垂足为顶点的四边形是 （B BC第9题图10 cm二、填空题(每小题3分，共24分)11.如图所示，在菱形 ABCD 中，/ ADC = 72 ° AD 的垂直平分线交对角线 BD 于点P ,垂足为点 E ,连结 CP ,则/ CPB =72 度.第11题图 第12题图 第14题图 第15题图12. 如图，四边形 ABCD 的两条对角线 AC , BD 互相垂直，A 1, B 1, C 1, D 1分别是四边形 ABCD 各边中点，如果 AC = 8, BD = 10,则四边形 A 1B 1C 1D 1的面积为 _20_. 13. 矩形的对角线相交成的角中，有一个角是 _40 cm ，矩形的面积为_400 cm 2 .14. 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC 和BD 相交于点O , AC= 4 cm , BD = 8 cm ,则这个菱形的面积是_16 cm 2.15. 如图，矩形 ABCD 中，点E , F 分别是 AB , CD 的中点，连结 DE 和BF ，分别取 DE , BF 的是矩形. 17.如图，正方形 ABCD 中，对角线 AC , BD 交于点O , E 点在BC 上, EG 丄OB , EF 丄OC ,垂足 分别为点 G , F , AC = 10,则 EG + EF = 5 . 18.如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点A , C 的坐标分别为(10, 0), (0, 4),点D 是 OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点 P 的坐标为 _(8, 4), (3, 4)或(2, 4)_. 三、解答题(共66分)19. (6分)如图，已知矩形 ABCD 中，E 是AD 上一点，F 是AB 上一点，EF 丄EC 且EF = EC , DE =4 cm ，矩形ABCD 的周长为32 cm ，求AE 的长.B . 24C . 25D . 2660°这个角所对的边长为 20 cm ,则其对角线长为中点M , N ,连结AM , CN , MN ，若，第16题图16.如图, ?ABCD 的对角线相交于点 O ,请你添加一个条件AO = BO (答案不唯一)，使?ABCD第17题AB = 2, BC = 2，则图中阴影部分的面积为2解：I/ AFE + / AEF = / AEF + / CED = 90° /•/ AFE = / DEC . 又•••/ A = / D = 90° EF = EC ,•••△ AEF◎△ DCE AE = CD.1设 AE = x ，贝U CD = x , • AD + CD = 2x32，即 x + 4 + x = 16, •- x = 6.即卩 AE = 6 cm⑴求证：四边形 BMDN 是菱形； ⑵若AB = 4, AD = 8,求MD 的长.解：(1) •/ MN 是 BD 的垂直平分线，• BO = DO , / BON =/ DOM = 90° •••四边形 ABCD 是矩形，• AD // BC ，• / BNO = / DMO , • △ BON ◎△ DOM (AAS), • OM = ON.v OB = OD , •四边形 BMDN 是平行四边形.•/ MN 丄BD , • ?BMDN 是菱形(2)设 MD = x ，贝U MB = x , MA = 8-x ，在 Rt △ ABM 中，T BM 2= AM 2+ AB 2, • x 2= (8- x)2 + 42,解得 x = 5.「. MD 的长为 521 . （8 分）如图所示，矩形 ABCD 中，AE 丄 BD 于点 E ，/ DAE :/ BAE = 3 : 1，求/ BAE 和/ EAO 的度数.解：提示：由 / DAE :/ BAE = 3 ： 1 ,求出 / BAE = 22.5 ° 而/ABD = 90°— / BAE = 90° — 22.5° = 67.5°•••/ BAO = / ABD = 67.5 ° •••/ EAO = Z BAO — / BAE = 67.5。
习题4 矩形与菱形提高篇(教师版)
4 习题4 矩形与菱形提高篇1、(2015·安徽)如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，点E 在AB 上，点F 在CD 上，点G ，H 在对角线AC 上．若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是( ) CA ．2 5B ．3 5C ．5D ．62、(2014·南京)如图，在矩形AOBC 中，点A 的坐标是(－2，1)，点C 的纵坐标是4，则B 、C 两点的坐标分别是( )A ．(32，3)、(－23，4)B ．(32，3)、(－12，4)C ．(74，72)、(－23，4)D ．(74，72)、(－12，4)B 提示：首先过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，过点C 作CF ∥y 轴，过点A 作AF ∥x 轴，交点为F ，易得△CAF ≌△BOE ，△AOD ∽△OBE ，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．3、（2015•甘肃兰州,第10题，4分）如图，菱形ABCD 中，AB =4，∠B =60°，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，连结EF ，则△AEF 的面积是（ ）A . 34B . 33C . 32D .3【 答 案 】B【解答过程】连结AC 和BD ，并记它们的交点为G ，则有AC ⊥BD ，且AG =CG ，BG =CG ， △ABC 中，AB =CB ，∠ABC =60°，所以△ABC 是正三角形， 正三角形△ABC 中，AE 和BG 是中线，也是高线，可求得AE =BG =23AB =32， △BCD 中，因为E ，F 分别是BC ，CD 的中点，所以EF ∥BD ，且EF =21BD = BG =32， 记AC 与EF 的交点H ，因为EF ∥BD ，AC ⊥BD ，所以AH ⊥EF ， 且由相似形的性质，可得CH =21CG =41AC =1，则AH =AC －CH =4－1=3 则333322121=⨯⨯=⋅=∆AH EF S AEF 。
矩形、菱形提优拔尖精练
9.4矩形、菱形知识点一矩形的性质和判定13第2题图第3题图第4题图∠上一动．如图，Rt ABC△中，BAC⊥AB于点E，PF AC）四边形AEPF的形状是的最小值是．如图，在矩形ABCD中，对角线，过点A作BD的垂线，垂足为E．已∠的度数．3BAE=∠，求EAO如图，P是平行四边形O，且∠APC=∠BPD=90°求证：四边形ABCD是矩形．知识点二矩形的翻折问题（2）若6AB =，BC 知识点三菱形的性质与判定．8B ．16D ．3第9题图第10题图第11题图．如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是4和3，则重叠部分的四边形面积是．．如图，若菱形ABCD 的顶点，B 的坐标分别为（3，0）（﹣2，0），点D 在y 轴上，则点的坐标是．．如图，在菱形ABCD 中，2，120C ∠=︒，Q 为AB 的中点，P 为对角线BD 上的任意一AP PQ +的最小值为．第12题图第13题图第14题图和正三角形BGF 中，60ABC ∠=︒，P 是DF 的中点，连接BC 边上时，试猜想PG 与PC 的数量关系．AB 的延长线上时，PC 与PG 有怎样的数量关系，写出你的猜想并给予证明；知识点四初探函数背景下特殊四边形存在性问题16．在平面直角坐标系中，直线4y kx k =+（k 是常数，0k ≠）与坐标轴分别交于点A ，点B ，且点B 的坐标为()0,2．(1)求点A 的坐标；(2)如图1，将直线AB 绕点B 逆时针旋转45︒交x 轴于点C ，求直线BC 的解析式；(3)已知D 是线段AB 中点，若点E 是直线BC 上一动点，请问y 轴上是否存着另一点F ，使得以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出F 点坐标；若不存在，请说明理由；(4)在（2）的条件下，直线BC 上有一点M ，坐标平面内有一点P ，若以A 、B 、M 、P 为顶点的四边形是菱形，请直接写出点P 的坐标．练习9.4⊥ECM=︒，过点D作DF CM15第2题图第3题图第4题图∠的角平分线BE交AD于点，连接EC，EC恰好平分∠如图，在矩形ABCD中，ABC=，则DE的长为26．把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，重合，折痕为EF．若AB=3cm，BC ）求线段DF的长；）连接BE，求证：四边形BFDE（3）求线段EF的长．(2)如果设1216AC BD ==，8．如图1，△ABC 中，点的平分线于点E ，交∠DCA (1)线段CE 与CF 的位置关系是；(2)探究：线段OE 与OF 的数量关系，并加以证明；(3)如图2，当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形，并说明理由；(4)在（3）的前提下，直接写出△ABC 满足什么条件时，四边形AECF；、Q、C、P为顶点的图形面积为43cm2？）在整个运动的过程中，若△AQP为直角三角形，请直接写出符合条件的所有。
矩形菱形正方形能力提升训练
矩形菱形正方形能力提升训练一、选择题1.在菱形ABCD中，AB=5cm，则此菱形的周长为（）A. 5cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm2.如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则OC的长为（）A. 2B. 3C. 2D. 43.如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，过点E作EG∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O．当四边形AEOF 与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（）A. 6.5B. 6C. 5.5D. 54.如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：①S△ABF=S△ADF；②S△CDF=4S△CEF；③S△ADF=2S△CEF；④S△ADF=2S△CDF，其中正确的是（）A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④5.如图，已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（）A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形B. 四条边相等的四边形是菱形C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形D. 对角线互相垂直的平分四边形是菱形6.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABC的周长是（）A. 14B. 16C. 18D. 207.如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（）A. 60°B. 67.5°C. 75°D. 54°8.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC=（）A. 5B. 4C. 3.5D. 39.如图，在矩形ABCD中BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（）A. 3B.C. 5D.10.如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为（）A. 一定不是平行四边形B. 一定不是中心对称图形C. 可能是轴对称图形D. 当AC=BD时它是矩形二、填空题11.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=______度．12.如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为AC=8和BD=6，那么，菱形ABCD的面积为______ ．13.如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME=______ ．14.如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD的高DH= ______ ．15.如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为______．三、解答题16.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC．求证：四边形ADCF是菱形．17.已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且CE=CF，连接DE，BF．求证：DE=BF．18.如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给△ABC添加什么条件，为什么？19.如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．（1）求证：△PHC≌△CFP；（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．20.某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8．问题思考：如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK 中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．问题拓展：（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8．若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动，求点P从A到D 的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长．（4）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值．答案和解析【答案】1. C2. A3. C4. C5. B6. C7. A8. B9. C10. C11. 22.512. 2413. 45°14. 4.815. 616. 证明：∵E是AC的中点，∴AE=CE，∵AF∥CD，∴∠AFE=∠CDE，在△AFE和△CDE中，，∴△AEF≌△CED（AAS）．∴AF=CD，∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．由题意知，AE=AB，∠EAD=∠BAD，AD=AD，∴△AED≌△ABD（SAS）．∴∠AED=∠B=90°，即DF⊥AC．∴四边形ADCF是菱形．17. 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCD=90°∵E为BC延长线上的点，∴∠DCE=90°，∴∠BCD=∠DCE．在△BCF和△DCE中，，∴△BCF≌△DCE（SAS），∴DE=BF．18. （1）证明：∵E是AC中点，∴EC=AC．∵DB=AC，∴DB∥EC．（1分）又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．（3分）∴BC=DE．（4分）（2）添加AB=BC．（5分）理由：∵DB AE，∴四边形DBEA是平行四边形．（6分）∵BC=DE，AB=BC，∴AB=DE．∴▭ADBE是矩形．（8分）19. 证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，AD∥BC．∵PF∥AB，∴PF∥CD，∴∠CPF=∠PCH．∵PH∥AD，∴PH∥BC，∴∠PCF=∠CPH．在△PHC和△CFP中，，∴△PHC≌△CFP（ASA）．（2）∵四边形ABCD 为矩形，∴∠D =∠B =90°．又∵EF ∥AB ∥CD ，GH ∥AD ∥BC ，∴四边形PEDH 和四边形PFBG 都是矩形．∵EF ∥AB ，∴∠CPF =∠CAB ．在Rt △AGP 中，∠AGP =90°，PG =AG •tan ∠CAB ．在Rt △CFP 中，∠CFP =90°，CF =PF •tan ∠CPF ．S 矩形DEPH =DE •EP =CF •EP =PF •EP •tan ∠CPF ；S 矩形PGBF =PG •PF =AG •PF •tan ∠CAB =EP •PF •tan ∠CAB ．∵tan ∠CPF =tan ∠CAB ，∴S 矩形DEPH =S 矩形PGBF ．20. 解：（1）当点P 运动时，这两个正方形的面积之和不是定值．设AP =x ，则PB =8-x ，根据题意得这两个正方形面积之和=x 2+（8-x ）2 =2x 2-16x +64=2（x -4）2+32，所以当x =4时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为32．（2）存在两个面积始终相等的三角形，它们是△APK 与△DFK ．依题意画出图形，如答图2所示．设AP =a ，则PB =BF =8-a ．∵PE ∥BF ， ∴，即， ∴PK =，∴DK =PD -PK =a -=，∴S △APK =PK •PA =••a =，S △DFK =DK •EF =•（8-a ）=， ∴S △APK =S △DFK ．（3）当点P 从点A 出发，沿A →B →C →D 的线路，向点D 运动时，不妨设点Q 在DA 边上， 若点P 在点A ，点Q 在点D ，此时PQ 的中点O 即为DA 边的中点；若点Q在DA边上，且不在点D，则点P在AB上，且不在点A．此时在Rt△APQ中，O为PQ的中点，所以AO=PQ=4．所以点O在以A为圆心，半径为4，圆心角为90°的圆弧上．PQ的中点O所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90°的圆弧，如答图3所示：所以PQ的中点O所经过的路径的长为：×2π×4=6π．（4）点O所经过的路径长为3，OM+OB的最小值为．如答图4-1，分别过点G、O、H作AB的垂线，垂足分别为点R、S、T，则四边形GRTH为梯形．∵点O为中点，∴OS=（GR+HT）=（AP+PB）=4，即OS为定值．∴点O的运动路径在与AB距离为4的平行线上．∵MN=6，点P在线段MN上运动，且点O为GH中点，∴点O的运动路径为线段XY，XY=MN=3，XY∥AB且平行线之间距离为4，点X与点A、点Y与点B之间的水平距离均为2.5．如答图4-2，作点M关于直线XY的对称点M′，连接BM′，与XY交于点O．由轴对称性质可知，此时OM+OB=BM′最小．在Rt△BMM′中，MM′=2×4=8，BM=7，由勾股定理得：BM′==．∴OM+OB的最小值为．【解析】1. 解：∵在菱形ABCD中，AB=BC=CD=DA，AB=5cm，∴菱形的周长=AB×4=20cm；故选C．根据菱形的四条边长都相等的性质、菱形的周长=边长×4解答本题主要考查了菱形的基本性质．菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直平分．2. 解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∵∠ACB=30°，AB=2，∴AC=2AB=2×2=4，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OA=AC=2．故选A．根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2AB=4，再根据矩形的对角线互相平分解答．本题考查了矩形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．3. 解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC=AB=CD，AD∥BC，AB∥CD，∵EG∥AD，FH∥AB，∴四边形AEOF与四边形CGOH是平行四边形，∴AF=OE，AE=OF，OH=GC，CH=OG，∵AE=AF，∴OE=OF=AE=AF，∵AE=AF，∴BC-BH=CD-DG，即OH=HC=CG=OG，∴四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，∵四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12，∴4AE-4（8-AE）=12，解得：AE=5.5，故选C根据菱形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，推出平行四边形ABHF、AEGD、GCHO，得出AF=FO=OE=AE和OH=CH=GC=GO，根据菱形的判定得出四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，再解答即可．此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的判定得出四边形AEOF与四边形CGOH是菱形．4. 解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥CB，AD=BC=AB，∠FAD=∠FAB，在△AFD和△AFB中，，∴△AFD≌△AFB，∴S△ABF=S△ADF，故①正确，∵BE=EC=BC=AD，AD∥EC，∴===，∴S△CDF=2S△CEF，S△ADF=4S△CEF，S△ADF=2S△CDF，故②③错误④正确，故选C．由△AFD≌△AFB，即可推出S△ABF=S△ADF，故①正确，由BE=EC=BC=AD，AD∥EC，推出===，可得S△CDF=2S△CEF，S△ADF=4S△CEF，S△ADF=2S△CDF，故②③错误④正确，由此即可判断．本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5. 解：如图所示；∵将△ABC延底边BC翻折得到△DBC，∴AB=BD，AC=CD，∵AB=AC，∴AB=BD=CD=AC，∴四边形ABDC是菱形；故选B．根据翻折得出AB=BD，AC=CD，推出AB=BD=CD=AC，根据菱形的判定推出即可．本题考查了菱形的判定和翻折变换的应用，解此题的关键是求出AB=BD=CD=AC，题目比较典型，难度不大．6. 解：∵在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，∴AB=BC，∠AOB=90°，AO=4，BO=3，∴BC=AB==5，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=5+5+8=18．故选：C．利用菱形的性质结合勾股定理得出AB的长，进而得出答案．此题主要考查了菱形的性质、勾股定理，正确把握菱形的性质，由勾股定理求出AB是解题关键．7. 解：如图，连接DF、BF．∵FE⊥AB，AE=EB，∴FA=FB，∵AF=2AE，∴AF=AB=FB，∴△AFB是等边三角形，∵AF=AD=AB，∴点A是△DBF的外接圆的圆心，∴∠FDB=∠FAB=30°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∠ADB=∠DBC=45°，∴∠FAD=∠FBC，∴△FAD≌△FBC，∴∠ADF=∠FCB=15°，∴∠DOC=∠OBC+∠OCB=60°．故选A．解法二：连接BF．易知∠FCB=15°，∠DOC=∠OBC+∠FCB=45°+15°=60°如图，连接DF、BF．如图，连接DF、BF．首先证明∠FDB=∠FAB=30°，再证明△FAD≌△FBC，推出∠ADF=∠FCB=15°，由此即可解决问题．本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．8. 解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，∠BAD=90°，∵∠ADB=30°，∴AC=BD=2AB=8，∴OC=AC=4；故选：B．由矩形的性质得出AC=BD，OA=OC，∠BAD=90°，由直角三角形的性质得出AC=BD=2AB=8，得出OC=AC=4即可．此题考查了矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握矩形的性质，注意掌握数形结合思想的应用．9. 解：∵矩形ABCD，∴∠BAD=90°，由折叠可得△BEF≌△BAE，∴EF⊥BD，AE=EF，AB=BF，在Rt△ABD中，AB=CD=6，BC=AD=8，根据勾股定理得：BD=10，即FD=10-6=4，设EF=AE=x，则有ED=8-x，根据勾股定理得：x2+42=（8-x）2，解得：x=3，则DE=8-3=5，故选：C．由ABCD为矩形，得到∠BAD为直角，且三角形BEF与三角形BAE全等，利用全等三角形对应角、对应边相等得到EF⊥BD，AE=EF，AB=BF，利用勾股定理求出BD的长，由BD-BF 求出DF的长，在Rt△EDF中，设EF=x，表示出ED，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出DE的长．此题考查了翻折变换，矩形的性质，以及勾股定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．10. 【分析】本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：平行四边形是中心对称图形．解决问题的关键是掌握三角形中位线定理．先连接AC，BD，根据EF=HG=AC，EH=FG=BD，可得四边形EFGH是平行四边形，当AC⊥BD时，∠EFG=90°，此时四边形EFGH是矩形；当AC=BD 时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，据此进行判断即可．【解答】解：如图，连接AC，BD，∵点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，∴EF=HG=AC，EH=FG=BD，∴四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH一定是中心对称图形，当AC⊥BD时，∠EFG=90°，此时四边形EFGH是矩形，当AC=BD时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH可能是轴对称图形.故选C.11. 解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OB═OC，∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，∴∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，∵∠EAC=2∠CAD，∴∠EAO=∠AOE，∴∠AEO=90°，∴∠AOE=45°，∴∠OAB=∠OBA==67.5°，∴∠BAE=∠OAB-∠OAE=22.5°．故答案为22.5．首先证明△AEO是等腰直角三角形，求出∠OAB，∠OAE即可．本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是发现△AEO是等腰直角三角形这个突破口，属于中考常考题型．12. 解：菱形的面积=×6×8=24，故答案为：24．直接根据菱形面积等于两条对角线的长度的乘积的一半进行计算即可．本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．菱形面积等于两条对角线的长度的乘积的一半．13. 解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，∠ACB=45°，由折叠的性质得：∠AEM=∠B=90°，∴∠CEM=90°，∴∠CME=90°-45°=45°；故答案为：45°．由正方形的性质和折叠的性质即可得出结果．本题考查了正方形的性质、折叠的性质；熟练掌握正方形和折叠的性质是解决问题的关键．14. 解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∵AC=8，BD=6，∴OA=AC=×8=4，OB=BD=×6=3，在Rt△AOB中，AB==5，∵DH⊥AB，∴菱形ABCD的面积=AC•BD=AB•DH，即×6×8=5•DH，解得DH=4.8，故答案为：4.8．根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再根据勾股定理列式求出AB，然后利用菱形的面积列式计算即可得解．本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理，根据菱形的面积的两种表示方法列出方程是解题的关键．15. 解：设BE与AC交于点P，连接BD，∵点B与D关于AC对称，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；∵正方形ABCD的边长为6，∴AB=6．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=6．故所求最小值为6．故答案为：6．由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的边长为6，可求出AB的长，从而得出结果．此题主要考查轴对称--最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题．16. 先证明△AEF≌△CED，推出四边形ADCF是平行四边形，再证明△AED≌△ABD，推出DF⊥AC，由此即可证明．本题考查菱形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．17. 根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角，BC=CD、∠BCF=∠DCE=90°，又CE=CF，根据边角边定理△BCF和△DCE全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明．本题主要考查正方形的四条边都相等和四个角都是直角的性质以及三角形全等的判定和全等三角形对应边相等的性质．18. （1）要证明BC=DE，只要证四边形BCED是平行四边形．通过给出的已知条件便可．（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决．解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论．19. （1）由矩形的性质得出对边平行，再根据平行线的性质得出相等的角，结合全等三角形的判定定理AAS即可得出△PHC≌△CFP；（2）由矩形的性质找出∠D=∠B=90°，再结合对边互相平行即可证出四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，通过角的正切值，在直角三角形中表示出直角边的关系，利用矩形的面积公式即可得出两矩形面积相等．本题考查了矩形的判定及性质、全等三角形的判定及性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）通过平行找出相等的角；（2）利用矩形的判定定理来证明四边形为矩形．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据结合矩形的性质及全等三角形的判定定理来解决问题是关键．20. （1）设AP=x，则PB=8-x，根据正方形的面积公式得到这两个正方形面积之和=x2+（8-x）2，配方得到2（x-4）2+32，然后根据二次函数的最值问题求解．（2）根据PE∥BF求得PK=，进而求得DK=PD-PK=a-=，然后根据面积公式即可求得．（3）本问涉及点的运动轨迹．PQ的中点O所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90°的圆弧，如答图3所示；（4）本问涉及点的运动轨迹．GH中点O的运动路径是与AB平行且距离为3的线段XY上，如答图4-1所示；然后利用轴对称的性质，求出OM+OB的最小值，如答图4-2所示．本题是中考压轴题，难度较大．解题难点在于分析动点的运动轨迹，需要很好的空间想象能力和作图分析能力；此外本题还综合考查了二次函数、整式运算、四边形、中位线、相似、轴对称与勾股定理等众多知识点，是一道好题．。
平行四边形菱形矩形正方形证明题(能力提升题)
已知：在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ， ∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC 的度数。
已知：直角梯形ABCD 中，BC=CD=a且∠BCD=60︒，E 、F 分别为梯形的腰AB 、 DC 的中点，求：EF 的长。
已知：在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ， AD=BC ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BD 平分∠ABC 交EF 于G ，EG=18，GF=10 求：等腰梯形ABCD 的周长。
如图所示，矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，且MA ⊥MD ，若_B _ C_A_ B矩形的周长为36cm ，求此矩形的面积。
已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥CB ，AC 平分∠A ，又∠B=60︒，梯形的周长是 20cm, 求：AB 的长。
已知：如图，平行四边形ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ，求证：四边形EFGH 是矩形。
如图，在矩形A B C D 中，E 是AD 上一点，F 是AB 上一点，EF CE =，且,2EF CE DE cm ⊥=，矩形ABCD 的周长为16cm ，求AE 与CF 的长．已知，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD ，E 是垂足， ∠DAE ∶∠EAB=2∶1，求∠CAE 的度数。
_A_ B如图所示，已知菱形ABCD中，E、F分别在BC和CD上，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=15°，求∠CEF的度数。
如图，在△ABC中，AB=BC，D、E、F分别是BC、AC、AB上的中点，（1）求证四边形BDEF是菱形。
（2）若AB=12cm，求菱形BDEF的周长？如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC上任意一点，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：DE+DF=AC矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE∶ED=1∶3，求证：AC=2AB如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 交AD 于点F ，连接AE .求证：(1)BF ＝DF ；(2)AE ∥BD .如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥BD . 求证：四边形OCED 是菱形；如图，△ABC 中，∠B=90°，AB=6cm ，BC=8cm ．将△ABC 沿射线BC 方向平移10cm ，得到△DEF ，A ，B ，C 的对应点分别是D ，E ，F ，连接AD ．求证：四边形ACFD 是菱形．已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E ，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC 的长； （2）求证：AM=DF+MD ．如图 在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，点F 在边BC 上， FE ⊥AE ，求证FE=AE 。
2024学年初中名校数学能力提升题专项(菱形的判定)练习(附答案)
2024学年初中名校数学能力提升题专项(菱形的判定)练习班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023春•杜尔伯特县期中）菱形的周长为12，一个内角为60°，则较短的对角线长为（ ）A．2 B．3 C．1 D．2．（2023春•南岗区校级期中）如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝9和BD＝6，那么菱形ABCD 的面积为（ ）A．4B．30 C．54 D．273．（2023春•墨玉县期末）如图，菱形ABCD中，AC＝8．BD＝6．则菱形的面积为（ ）A．20 B．40 C．28 D．244．（2023春•南召县期末）四边形具有不稳定性，小明将一个菱形ABCD转动，使它形状改变，当转动到使∠B＝60°时（如图），测得AC＝2；当转动到使∠B＝120°时，AC的值为（ ）A．2 B．C．D．5．（2023春•博兴县期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AB于点E，若AB＝5，DE＝4，则在下列结论中正确的是（ ）A．DB＝5 B．AE＝4 C．BE＝2 D．OA＝36．（2023春•承德县期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（12，13），则点C的坐标是（ ）A．（0，﹣8）B．（0，﹣5）C．（﹣5，0）D．（0，﹣6）7．（2023春•丰泽区校级月考）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝2，若菱形ABCD的面积为12，则AB的长为（ ）A．10 B．4 C．D．68．（2023秋•合川区校级月考）如图，在菱形ABCD中，M．N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC 交于点O，连接BC若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为（ ）A．28°B．52°C．62°D．72°9．（2023秋•胶州市校级月考）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD＝120°；②BG+DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④，其中正确的结论有（ ）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④10．（2023春•新抚区期末）如图，点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD，DC 延长线的垂线，垂足分别为点E，F．若∠B＝120°，AB＝，则PE﹣PF的值为（ ）A．2 B．3 C．4 D．6二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2023秋•牡丹区校级月考）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AC＝24，AB＝13，则菱形ABCD 的面积是．12．（2023秋•东明县校级月考）已知菱形的两条对角线长为10cm和24cm，那么这个菱形的周长为，面积为．13．（2023春•杭州期中）如图，菱形ABCD中，AC，BD相交于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠BAD＝40°，则∠ODE的度数为．14．（2023春•吴中区校级期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，E，F分别是边AB和CD 上的点，EF⊥CD于点F，则线段EF的长度为．15．（2023春•集美区校级期中）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝a，点E，F分别是边AB，AD 上的动点，且AE+AF＝a，则△CEF面积的最小值为．16．（2023•温江区校级自主招生）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC＝10，BD＝24，则FG的长为．17．（2023春•南岗区校级期中）如图，在边长为5的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E、点F分别在AD、CD上，且∠EBF＝60°，连接EF，若AE＝2，则EF的长度为．18．（2023春•鼓楼区校级期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝120°，点E在边BC上（不与端点重合），AE交BD于点F，以EF为边向外作等边△EFG，连接CF，BG，现给出以下结论：①∠EAB＝30°；②△ABF≌△CBF；③直线AB与直线DC的距离是9；④BF+BG＝BE．其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2023秋•薛城区月考）如图，已知A，F，C，D四点在同一条直线上，AF＝CD，AB∥ED，且AB＝ED．（1）求证：△ABC≌△DEF．（2）如果四边形EFBC是菱形，已知EF＝3，DE＝4，∠DEF＝90°，求AF的长度．20．（2023春•姑苏区校级期中）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠E＝60°，BD＝8，求菱形ABCD的面积．21．（2023•雨花区校级开学）如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若AE＝4，CF＝2，求菱形的面积．22．（2023春•南浔区期末）如图，已知四边形ABCD是菱形，点E、F分别是边AB、BC的中点，连结DE、EF、DF．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）若AD＝10，EF＝8，求菱形ABCD的面积．23．（2023春•重庆期末）如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，E是对角线BD上一点．（1）如图1，若E是线段BD的中点，且AB＝6，求AE的长度；（2）如图2，F是线段AB延长线上一点，且DE＝BF，连接AE，EF．求证：AE＝EF．24．（2023春•抚远市期末）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边三角形APE，点E的位置随点P位置的变化而变化，连接CE．（1）如图①，当点E在菱形ABCD内部或边上时，求证：BD＝CE+PD；（2）如图②、图③，请分别写出线段BD，CE，PD之间的数量关系，不需证明．。
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矩形、菱形能力提升训练题
1、如图，已知矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为E ，∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1，求∠EAC 的度数。
2、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，AD ＝12cm ，P 点在AD 边上以每秒1 cm 的速度从A 向D 运动，点Q 在BC 边上，以每秒4 cm 的速度从C 点出发，在CB 间往返运动，二点同时出发，待P 点到达D 点为止，在这段时间内，线段PQ 有（ ）次平行于AB 。
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
3、如图，P 是矩形ABCD 内一点，PA ＝3，PD ＝4，PC ＝5，则PB ＝ 。
4、在菱形ABCD 中，∠B ＝∠EAF ＝600，∠BAE ＝200，则∠CEF ＝ 。
5、如图，以△ABC 的三边为边在BC 的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD 、△BCE 、△ACF 。
请回答下列问题（不要求证明）：
第 1 图 E
O D C B
A ∙ ∙ 第 2 题图 Q P D
C
B A 第 3 题图 ?
5 4 3
P D C
B A
第 4 题图 F
E D C
B
A
（1）四边形ADEF 是什么四边形？
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形？
（3）当△ABC 满足什么条件时，以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形不存在？
第 5 题图 F
E
D
C B
A。