第四章 虚功原理
虚功原理的内容及应用条件
虚功原理的内容及应用条件1. 虚功原理的概念虚功原理是力学中的基本原理之一，它根据体系处于平衡状态时的平衡条件，从而推导出力学中的一些重要定理。
根据虚功原理，一个约束系统在平衡位置上的任意虚位移所做的虚功等于零。
虚功原理是可以应用在各个领域的一个重要原理，包括物理学、工程学等。
2. 虚功原理的条件虚功原理适用于满足以下条件的体系： - 约束体系：虚功原理主要应用于约束体系，即约束在某些条件下运动的物体体系。
- 平衡位置：虚功原理适用于约束体系处于某个平衡位置的情况。
- 虚位移：虚功原理建立在虚位移的基础上，即物体在平衡位置上的任意虚位移。
3. 虚功原理的应用虚功原理在力学中有广泛的应用，以下是几个常见的应用领域：3.1 静力学应用在静力学中，虚功原理可以应用于分析力的平衡和支持结构的设计等问题。
通过建立平衡方程和应用虚功原理，可以推导出约束体系的平衡条件和约束反力等。
3.2 动力学应用在动力学中，虚功原理可以用于分析非平衡状态下的物体运动。
通过应用虚功原理，可以推导出物体受力和加速度之间的关系，并得到物体的运动方程。
3.3 物体变形分析虚功原理还可以应用于物体的变形分析。
通过对物体进行虚位移，利用虚功原理和弹性力学理论，可以计算物体在受力作用下的变形情况。
3.4 热力学应用在热力学中，虚功原理可以应用于分析热力学平衡和传热等问题。
通过应用虚功原理，可以推导出热平衡条件和传热方程等。
3.5 其他应用领域除了上述应用领域外，虚功原理还可以应用于弹性体的弹性力学分析、流体力学中的动量守恒和能量守恒等问题。
4. 总结虚功原理是力学中的一个重要原理，它可以应用于各个领域的问题。
虚功原理适用于约束体系处于平衡位置的情况，并建立在虚位移的基础上。
通过应用虚功原理，可以推导出约束体系的平衡条件、力学关系和变形情况等。
虚功原理的应用广泛，包括静力学、动力学、热力学等领域。
了解虚功原理的内容及应用条件，对于深入理解力学和应用力学原理具有重要意义。
第四章 第一节 虚位移与虚功的概念
虚位移可以是线位移也可以是角位移 在稳定约束的条件下，在 dt时间内发生的微小实位移必是所 有可能的虚位移中的一种。 4．机构中一组虚位移之间的关系 (l)几何法:作图给出机构的微小运动，直接按几何关系，确定 各有关虚位移之间的联系。 (2)变分法(解析法)：选定一个适当的自变量，给出各有关点的 坐标方程，再求其变分；各变分之间的比例，即为各虚位移之 间的比例关系。 (3)运动学法(虚速度法):计算各有关点的虚速度；各虚速度之 比即为各虚位移之比。
Hale Waihona Puke djjlds
M(x, y) y
例(P104例4-2)试求曲柄连杆机构中A、B两点虚位移之间的关系。 90º j+y) -( r O
dsA
A
l
j
y
dsB
B A、B二点的虚位移和在连杆AB的轴线上的投影必定相等， 否则就会破坏连杆长度不变的约束条件。
dsAcos[90º j+y)] = dsBcosy -( dsA sin(j+y)= dsB cosy
第一节 虚位移与虚功的概念
y O y=0 dr x
O
x dj
z
f(x,y,z)=0 drM M(x,y,z) y O
j
y
l
drM
M(x, y) x2 + y2 = l2
x f(x,y,z)=0
2．虚位移:某一瞬时，质点系为所有约束所允许的任何无限小 的位移称为虚位移(也称可能位移) f(x,y,z)=0 drM y
dr
O x
x
z
M(x,y,z) y O
O
j
y drM
dj
l
M(x, y)
x
A r dj dsA O l
结构力学虚功原理
结构力学虚功原理结构力学虚功原理是结构力学中的一个重要概念，它是通过能量方法来分析结构的力学性能和变形规律的一种理论工具。
虚功原理的提出，为结构力学的研究和工程实践提供了一种简洁而有效的分析方法，对于工程结构的设计和优化具有重要意义。
首先，我们来看一下虚功原理的基本假设。
虚功原理假设结构在受力作用下，其位移满足虚位移的要求。
所谓虚位移，是指在结构受力作用下，结构的位移不仅满足实际受力平衡条件，还需满足虚位移的平衡条件。
这个假设为后续的分析提供了基础，也是虚功原理得以应用的前提。
虚功原理的核心思想是能量守恒。
在结构受力作用下，结构内部会产生应变能和变形能，而外部施加的力会做功。
根据能量守恒的原理，结构受力平衡时，内部的能量增加等于外部做功，这就是虚功原理的基本表达式。
通过对这个表达式的分析，可以得到结构的受力方程和变形规律，为结构设计和分析提供了重要的依据。
虚功原理的应用非常广泛，它可以用于分析各种类型的结构，包括梁、柱、桁架等。
在工程实践中，虚功原理常常被用于分析复杂结构的受力性能，比如钢结构、混凝土结构等。
通过虚功原理的分析，可以得到结构的内力分布、变形情况，为结构的设计和施工提供了重要的参考依据。
除此之外，虚功原理还可以用于结构的优化设计。
通过对结构受力性能的分析，可以找到结构的薄弱环节，进而对结构进行合理的优化设计，提高结构的受力性能和使用效率。
这对于工程结构的安全性和经济性都具有重要意义。
总的来说，结构力学虚功原理是结构力学中的重要理论工具，它通过能量方法来分析结构的受力性能和变形规律，为工程结构的设计、分析和优化提供了重要的理论依据。
在工程实践中，虚功原理的应用具有重要的意义，可以帮助工程师更好地理解和分析结构的受力性能，为工程结构的设计和施工提供重要的参考依据。
通过对虚功原理的深入研究和应用，可以推动结构力学理论的发展，为工程结构的安全性和经济性提供更好的保障。
第4章虚功原理及结构的位移计算
水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组
第 4章
虚功原理及结构的位移计算
§4.2 虚 功 原 理
一、刚体体系的虚功原理
第二种应用：虚力原理 如右图，已知支座A向上移 动一个已知位移 ,现求c点 竖向位移 .利用已知的位移状态 ..建立虚设的力状态 …建立虚功方程求解 力状态
位移状态
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第 4章
虚功原理及结构的位移计算
§4.1 结构位移的概念及类型
一、结构的位移
1、变形和位移 在荷载作用下，结构将产生变 形和位移。 变形：是指结构形状的改变。 位移：是指结构各处位置的移动。 2、位移的分类 线位移 x y C D 角位移 相对线位移 C D 相对角位移
a
(1)把上式变形即为平衡方程式，实质上是实际受力状 态的平衡方程，即：
b Fx FP a
Fx a FP b 0 M B
MB
0
特点: 把平衡问题转化成几何问题求解 (2)所求力与虚设位移的大小无关,故可设单位位移
X 1 x
单位位移法
(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。
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第 4章
虚功原理及结构的位移计算
§4.1 结构位移的概念及类型 §4.2 虚功原理及应用
§4.3 结构位移计算的一般公式
§4.4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §4.5 图乘法 §4.6 由于温度改变、支座移动引起的位移 §4.7 线弹性结构的互等定理
【特别说明】 对于刚体，力状态下有内力，但因位移状态
下没有对应位移，故内力虚功为零。因此对于刚体的虚功原理 也可以这样理解：外力虚功和内力虚功都等于零。
虚功原理概念
虚功原理概念
虚功原理是力学中的重要概念，主要运用于静力学和弹性力学的问题中。
该原理是通过比较系统在实际情况下的受力和在虚位移情况下的受力之间的差异，来推导出力学问题的解析解。
虚功原理的基本思想是，如果一个力系统处于平衡状态，则在任意虚位移下，系统所受到的合力必然为零。
这意味着在虚位移下，系统没有做任何实际的功。
因此，可以根据虚功原理来解决平衡问题。
虚功原理的应用主要涉及到两个方面：平衡条件和变形计算。
在平衡条件中，通过比较系统在实际情况下的受力和在虚位移情况下的受力，可以得出力的平衡条件。
在变形计算中，可以通过比较系统在实际变形和虚位移情况下的变形能量，来计算系统的位移和应变。
虚功原理的使用需要考虑以下几个要点：
1. 虚位移应满足几何约束条件，即虚位移必须满足系统的边界条件和约束条件。
2. 虚功原理可以应用于单个物体或整个力系统，这取决于具体的力学问题。
3. 虚功原理可以推广到三维空间中的力学问题，并且可以应用于弹性体和非弹性体。
4. 虚功原理还可以推广到动力学问题，即考虑物体的运动和加速度。
总之，虚功原理是力学中非常重要的概念，可以用于平衡条件
和变形计算。
通过应用虚功原理，可以简化力学问题的分析，得到解析解。
结构力学虚功原理
结构力学虚功原理
结构力学虚功原理是指在静力学分析中，结构平衡的条件可以通过能量守恒原理来表示。
根据虚功原理，结构在任何形变状态下，受力系统所作的虚功等于外界对结构所做的虚功。
虚功是指由于结构内部力引起的位移所做的功。
根据虚功原理，结构的平衡可以通过计算结构内部力引起的位移所做的功来判断。
具体而言，可以通过计算结构每个构件上的受力与位移的乘积，然后将它们求和，得到结构内部力所作的总虚功。
如果结构处于平衡状态，则结构受力与位移之积的总和为零。
虚功原理的应用非常广泛。
它可以用于计算结构的位移、应力、应变等重要参数。
例如，在弹性力学中，可以利用虚功原理求解结构的位移和应力分布。
在塑性力学中，虚功原理可以用来分析结构在超过弹性极限后的变形情况。
此外，虚功原理还可以用于分析非线性和非弹性结构的行为。
通过应用虚功原理，可以对结构进行静态分析和设计。
静态分析可以确定结构在受力条件下的平衡状态，进而计算各个构件的受力和位移。
静态设计可以根据结构的受力和位移要求，确定结构的尺寸和材料，以满足结构的强度和刚度要求。
总之，结构力学虚功原理为结构分析和设计提供了重要的理论基础。
通过虚功原理，可以建立结构平衡的数学模型，计算结构的位移、应力和应变等关键参数，为工程实践提供了可靠的理论支持和设计方法。
第四章 虚功原理
虚功方程
1
平面杆系结构 虚功方程
Fk km = ∑ ∫ FNk ε m ds + ∑ ∫ FQk γ m ds + ∑ ∫ M k
s s s
ρm
ds
虚功原理适用范围：刚体体系、弹性、非弹性、线性、非线性 的变形体系均可适用。
结构力学
第4章 虚功原理
虚功原理两种应用形式：
2值反向共线的两集中力等值反向共面的两集中力偶平衡力系在刚体位移上的虚功1集中力的虚功静力状态k位移状态m2集中力偶的虚功静力状态k位移状态m3均布力的虚功静力状态k位移状态m4等值反向共线的两集中力的虚功静力状态k位移状态m5等值反向共面的两力偶的虚功静力状态k位移状态m6平衡力系在刚体位移上的虚功刚体虚位移原理
若令 k = 1 m = 1
rmk × 1 = rkm ×1
rmk = rkm
反力互等定理：k支座发生单位位移在m支座引起的反力 rmk 等于m支座发生单位位移在k支座引起的反力 rkm
m =1
结构力学
第4章 虚功原理
4、反力位移互等定理
r mk
Fk =1
θm=1
δkm
k状态
m状态
虚功互等定理
（1）沿所求位移的方向加以对应的单位虚力，建立静力状态（k）； （2）求解静力状态（k）中力 ； （3）用“k”状态考察实际的位移状态“m” 的协调性，建立虚功方程，求解未 知位移。
结构力学
第4章 虚功原理
v v 时， 中间铰C的竖向位移 Cm。 Bm
例题2
A
试利用单位荷载法求图示结构由于中间支座B发生沉降
结构力学
第4章 虚功原理
5、等值反向共面的两力偶的虚功
结构力学第四章虚功原理和结构的位移计算PPT
( ) 1× Rc
KH
ii
N Q M ds
2
2
2
( )
N
2
Q
2
M
2
ds
Ri ci
该式是结构位移计算的一般公式, 1) 适用于静定结构和超静定结构。 2) 适用于不同的材料、产生位移的各
种原因、不同的变形类型。
3) 该式右边四项乘积，当力与变形 的方向一致时，乘积取正。
单个力偶 等值反向共线的一对力
力偶作用截面的转角
两力作用点间距的改变，即两力作用点的 相对位移Δ
一对等值反向的力偶
两力偶作用截面的相对转角Δ
P
P
A
mB
P
mA
ΔA
T=PΔA+PΔB
t
t
ΔB
=P（ ΔA+ΔB）
β
=PΔ
Δ A
T=mA+mB
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=m（ A+ B） =mΔ
Bm
B
4、刚体虚功原理刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是，对于任意微小的虚位移， 外力所作的虚功之和等于零。
X P Pb
a
虚设位移求未知力（虚位移原理） 1）由虚位移原理建立的虚功方程，实质上是平衡方程。 2）虚位移与实际力系是彼此独立无关的，为了方便，可 以随意虚设，如设δX=1。 3）虚功法求未知力的特点是采用几何的方法求解静力平 衡问题。
应用虚功原理求静定结构的某一约束力X的步骤： 1）撤除与X相应的约束，使静定结构变成具有一个自由度
t1
P2 K ΔKH
t2
K‘ Ε2γ2κ2
力学中的虚功原理
力学中的虚功原理力学是物理学的一个重要分支，研究物体的运动和力的作用。
在力学的研究中，虚功原理是一个基本概念，它在解决力学问题时起着重要的作用。
本文将介绍力学中的虚功原理，并探讨其应用。
1. 虚功的概念和定义虚功是力学中的一个重要概念，它用于描述一个力对物体的作用所做的功，但物体实际上并未发生位移。
虚功可以通过以下公式计算：虚功 = 力 ×虚位移其中，力是作用在物体上的力，虚位移是物体在力的作用下所产生的虚拟位移。
虚位移是一个想象出来的位移，用于计算力对物体的作用所做的功。
虚功是一个标量，它的单位是焦耳（J）。
2. 虚功原理的表述虚功原理是力学中的一个基本原理，它描述了一个力对物体的作用所做的虚功等于零。
换句话说，当物体处于平衡状态时，力对物体的作用所做的虚功总和等于零。
虚功原理可以通过以下公式表述：Σ虚功 = 0其中，Σ虚功表示所有力对物体的作用所做的虚功的总和。
根据虚功原理，当物体处于平衡状态时，所有作用在物体上的力对物体所做的虚功总和为零。
3. 虚功原理的应用虚功原理在力学中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：3.1 弹簧的伸缩虚功原理可以用于分析弹簧的伸缩问题。
当一个物体施加一个力使弹簧伸长或缩短时，虚功原理可以帮助我们计算弹簧对物体所做的虚功。
根据虚功原理，弹簧对物体所做的虚功等于零，即力与虚位移的乘积为零。
通过这个原理，我们可以求解弹簧的伸长或缩短距离。
3.2 斜面上的物体虚功原理还可以应用于斜面上的物体。
当一个物体沿着斜面上升或下降时，虚功原理可以帮助我们计算斜面对物体所做的虚功。
根据虚功原理，斜面对物体所做的虚功等于零。
通过这个原理，我们可以求解物体在斜面上的运动状态。
3.3 摩擦力的分析虚功原理还可以用于分析摩擦力的作用。
当一个物体在受到摩擦力的作用下运动时，虚功原理可以帮助我们计算摩擦力对物体所做的虚功。
根据虚功原理，摩擦力对物体所做的虚功等于零。
通过这个原理，我们可以求解物体在摩擦力作用下的运动状态。
schapery 虚功原理
虚功原理是弹性力学中的一个重要原理，它描述了弹性体在力的作用下，其内部各部分之间的相互作用关系。
这个原理在工程领域中有着广泛的应用，特别是在结构分析和设计方面。
虚功原理的基本思想是：对于一个弹性体，如果作用在它上面的外力是保守力，那么这个弹性体在某个方向上的变形和相应的外力在该方向上的功是相等的。
也就是说，对于一个弹性体，其内部各部分之间的相互作用力和变形之间的关系可以用虚功原理来描述。
虚功原理的数学表达式为：W = W'其中，W表示外力在某个方向上的功，W'表示相应的变形在该方向上的功。
这个公式表明，对于一个弹性体，其内部各部分之间的相互作用力和变形之间的关系是等价的，可以用虚功原理来描述。
虚功原理的物理意义是：如果一个弹性体受到一组外力的作用，那么这组外力在该弹性体的变形过程中所做的功和相应的变形所做的功是相等的。
也就是说，这组外力和变形之间存在着一种等效关系。
虚功原理的应用非常广泛，特别是在结构分析和设计方面。
例如，在桥梁、建筑、机械等领域中，需要对结构进行静力学分析、动力学分析、稳定性分析等。
在这些分析中，虚功原理可以用来描述结构内部各部分之间的相互作用力和变形之间的关系，从而得到结构在不同条件下的响应和性能。
此外，虚功原理还可以用来解决一些工程问题。
例如，在桥梁设计中，需要考虑桥梁在不同荷载条件下的变形和应力分布。
通过应用虚功原理，可以建立桥梁的力学模型，并对其进行数值模拟和分析，从而得到桥梁在不同荷载条件下的响应和性能。
总之，虚功原理是弹性力学中的一个重要原理，它描述了弹性体在力的作用下，其内部各部分之间的相互作用关系。
这个原理在工程领域中有着广泛的应用，特别是在结构分析和设计方面。
通过应用虚功原理，可以建立结构的力学模型，并对其进行数值模拟和分析，从而得到结构在不同条件下的响应和性能。
力学中的虚功原理
力学中的虚功原理在力学的广袤天地里，虚功原理宛如一颗璀璨的明珠，闪耀着智慧的光芒。
它不仅是解决力学问题的有力工具，更是深入理解物体运动和受力关系的关键钥匙。
要弄清楚虚功原理，首先得明白什么是“功”。
简单来说，功就是力在位移上的积累。
当一个力作用在物体上，并且物体在这个力的方向上发生了位移，我们就说这个力做了功。
比如，你推一个箱子，使它在水平方向移动了一段距离，你施加的推力就做了功。
那么，虚功又是什么呢？这可得好好说道说道。
虚功并不是真正意义上的功，它是在一个假设的、满足约束条件的微小位移下，力所做的功。
这个微小位移是想象出来的，并非实际发生的。
虚功原理的核心思想是：对于一个处于平衡状态的系统，所有主动力在任何虚位移上所做的虚功之和等于零。
这听起来可能有点抽象，咱们来举个例子。
想象一个简单的杠杆，支点在中间，两端分别挂着不同重量的物体。
当杠杆处于平衡状态时，如果我们给它一个微小的虚拟位移，那么两端重物的重力所做的虚功之和就是零。
为什么虚功原理这么重要呢？这是因为它为我们解决力学问题提供了一种简洁而有效的方法。
在很多实际情况中，直接分析力和位移的关系可能会非常复杂，但通过虚功原理，我们可以巧妙地避开这些困难。
比如说，在求解复杂的静定结构问题时，传统的方法可能需要我们详细分析每一个杆件的受力和变形，但利用虚功原理，我们可以把注意力集中在系统的整体平衡上，通过设定合适的虚位移，快速得出结果。
再比如，在分析机械系统的运动时，虚功原理可以帮助我们确定各个部件之间的力和能量关系，从而优化系统的设计和性能。
虚功原理还与其他力学原理有着密切的联系。
比如，它和达朗贝尔原理就有着深刻的内在一致性。
达朗贝尔原理通过引入惯性力，将动力学问题转化为静力学问题，而虚功原理则在这个转化过程中发挥了重要作用。
在实际应用中，我们需要注意一些问题。
首先，要正确地确定系统的约束条件，只有这样才能合理地设定虚位移。
其次，对于不同类型的力，如保守力和非保守力，在运用虚功原理时也有不同的处理方法。
第4章虚功原理及结构的位移计算
A
y
A
FP
x
C
C
D
FP
D
广义位移
第4章
虚功原理及结构的位移计算
§4.1 结构位移的概念及类型
一、结构的位移
3、引起结构位移的原因 荷载 温度改变 T 支座移动 c 制造误差 等
+t℃
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x l
dx
力状态
力状态
位移状态
位移状态
1 2 We qd x x ql 0 0 2
l
1 We qd x x ql 0 0 l 2
l
Wi 0
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Wi 0
第4章
虚功原理及结构的位移计算
§4.2 虚 功 原 理
F
d
m=Fd
Ｗ=m
F'
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第4章
虚功原理及结构的位移计算
§4.2 虚 功 原 理
一、刚体体系的虚功原理
2、广义力与广义位移 作功有两方面因素：力和位移。与力相对应的因子，称为 广义力F ；与位移相对应的因子，称为广义位移Δ。 应该指出： 广义力可以是一个集中力或一个集中力偶，也可以是 一对集中力或一对集中力偶，它可以是外力，也可以是内力； 既可以是主动力，也可以是约束反力。 广义位移可以是一个线位移、一个角位移、相对线位 移或相对角位移等。 通常广义力是与广义位移相对应的。
虚功原理及结构的位移计算
作业6
支座移动产生的位移应采用刚体的虚力原理来计算。
例：图示简支梁B支座往下位移了 ，求由此产生的A
点转角 A 。
A
B
运用刚体的虚功原理， 虚设的力状态上的所有外
Δ
L
力在真实的位移状态上所
真实的位移状态
做的虚功应该等于零，有：
1A
1 L
0
得：
A
L
M=1 虚设的力状态
4.2 变形体虚功原理及应用 问：试述变形体虚功原理？
4.4 荷载作用下静定结构的位移计算
问：如何由变形体虚功原理推导得荷载作用下静定结 构的位移计算公式？
答：变形体虚功原理中，位移状态为欲求位移的荷载 作用，静力状态为欲求位移方向施加单位力作用的情 况（力上加一横）
再次显示如何由变形体虚功原理推 导得荷载作用下静定结构的位移计 算公式？
km= kp
第四章虚功原理及 结构的位移计算
问：引起位移的原因有哪些？
答：荷载、温度改变、支座移动。
问：何谓虚功和实功？ 答：力在自己引起的位移（实位移）上做的功为
实功，力在其他原因引起的位移（虚位移）上 做的功为虚功。
问： 试述做虚功和实功过程中力的变化？ 答：力在自己引起的位移（实位移）上做实功过
程中力是位移的函数，力由0增加到最大值， 此时位移达最大值。力在其他原因引起的位移 （虚位移）上做功过程中力保持不变。
答：1、支座移动引起的位移计算公式为：单位力乘以欲 求位移加上单位力引起的反力乘以支座移动等于0.
2、支座移动引起的位移计算公式如何得到？在欲求位移 处所和方向作用单位力，求出支座移动处反力，该状 态为静力平衡状态。支座移动状态为位移状态，由于 静定结构支座移动不引起内力和应变，应用虚功原理， 静力状态的单位力和反力在位移状态上作虚功总和为0 得位移计算公式。
第4章-影响线2-虚功原理基础
(i = 1, 2, ⋅⋅⋅, n)
即：质点系中每个质点上作用的主动力、约束力和 它的惯性力在形式上组成平衡力系。这就是质点系 的达朗贝尔原理。
2.2 质点系的达朗贝尔原理
因为质点系的内力总是成对出现, 且等值、反向、共 线, 因此有ΣFi(i) = 0和ΣMO(Fi(i)) = 0, 于是有
uu (e) r uur Σ F i + Σ FI i = 0 uur uu (e) r uur uur Σ M O ( F i ) + Σ M O ( FI i ) = 0
y
A
O
r δϕ ϕ δ rA
θ
r B δ rB
x
由于AB作平面运动，由速度投影定理 速度投影定理 由于AB作平面运动 AB作平面运动 速度
vB cos θ = v A cos 90o − (ϕ + θ ) = v A sin(ϕ + θ ) C∗ δrB vB sin(ϕ + θ ) = = δrA v A cosθ y ∗ 或者， 的瞬心，故 或者，由于C 为AB的瞬心 故 的瞬心 A r ∗ r B δrB δϕ vA vB vB BC x ϕ δrA θ = 即 = O ∗ ∗ ∗ AC BC v A AC
3.2 定常约束与非定常约束
约束条件不随时间变化的约束称为定常约束。 约束条件不随时间变化的约束称为定常约束。 不随时间变化的约束称为定常约束 随时间变化的约束称为非定常约束。 约束条件随时间变化的约束称为非定常约束 约束条件随时间变化的约束称为非定常约束。
O
x
l0
其约束方程为
r u
x 2 + y 2 = (l0 − ut ) 2
广义位移广义位移1作虚功的力系为一个集中力作虚功的力系为一个集中力2作虚功的力系为一个集中力偶作虚功的力系为一个集中力偶3作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值反向的集中力偶反向的集中力偶4作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值反向的集中力反向的集中力任何一个处于平衡状态的变形体当发生任意一个虚位移时变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功w恒等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和w86变形体的虚功原理变形体虚功原理的证明
结构力学第4章-虚功原理和结构的位移计算
dv
ds
θ
微段相对位移 微段相对位移 微段相对位移 （轴向变形） （剪切变形） （弯曲变形）
微段刚体位移
一个微杆段的位移可分解为刚体位移和变形体位移之和 （1）刚体位移（不计微段的变形）：u、v、θ （2）变形位移（反映微段的变形）：du、dv、dθ 。这是 描述微段总变形的三个基本参数。
ds
dv= g0 ds
变
变
N
Q
W变实际上是所有微段上内力在变形虚位移上所做虚功的总和， 称为变形虚功（数量上等于虚变形能）。
（2） 外力虚功W外
对于平面杆系而言，因为单个外力虚功按式W=FPΔ计算， 故所有外力（包括荷载和支座反力）在虚位移上所做虚功 的总和为:
W外=SFP
（ e）
将有关W外和W 的计算式（e）和（d）代入式（c），则 平面杆件结构的虚功方程可表示为 :
C1
C2
ds
D1
将微段ds上的作用力区分为 外力与内力，微段总的虚功：
D2
dW总= dW外+dW内
整个结构的总虚功为：
dW总 dW外 dW内
du ds
g0 g0
dθ
dv
ds
ds
W总=W外+W内 或简写为：
q
BM
FN FN MB
q
C M+dM
M+dM C
q
ds A FQ
或者简单地说，外力虚功等于变形虚功（数量上等于虚 变形能）。
W外 W变
2、关于原理的证明
FP
M
F
q
E F E’ F’
ds
FR1
E
第四章 虚功原理
若令 k = 1 m = 1
rmk × 1 = rkm ×1
rmk = rkm
反力互等定理：k支座发生单位位移在m支座引起的反力 rmk 等于m支座发生单位位移在k支座引起的反力 rkm
m =1
结构力学
第4章 虚功原理
4、反力位移互等定理
r mk
Fk =1
θm=1
δkm
k状态
m状态
虚功互等定理
v Cm
可直接用几何方法验证。 静力方法解决几何问题。
l1
l2
l3
结构力学
第4章 虚功原理
七、互等定理 虚功互等定理、位移互等定理、反力互等定理、反力位移互等定理 1、虚功互等定理
Fk A
θmk
FNk
C
mm A B km C
εm γm
1
B
FQk Mk
k状态（静力） 虚功原理
s
m状态（ 位移） λ FQm 1 M m FNm = εm = γm = EA GA ρ m EI
D a
C
建立静力状态（k）
2、沿FRD 方向给以微小单位虚位移 km =1，建立位移状态（m）
D FR D
q=F/ 2a A E B
F
C
3、建立虚功方程，求未知力
FRD ×1 = 0
静力状态（k）
A E B C D' km=1 D
FRD = 0
可直接用平衡方程验证。
位移状态（m）
几何方法解决静力问题。
结构力学
第4章 虚功原理
5、等值反向共面的两力偶的虚功
mk
（a）
A
B
mk
（b）
A
θ'km θ"km
虚功原理——精选推荐
虚功原理ΔCΔCyΔCxiP静定结构结构位移计算§4.1 应⽤虚⼒原理求刚体体系位移1、结构的位移：结构在荷载作⽤下，要产⽣内⼒和变形，结构的变形引起结构的位移，位移⼀般分为线位移和⾓位移两种，线位移是指结构上点的移动，⾓位移是指杆件横截⾯产⽣的转动。
2、产⽣位移的主要原因产⽣位移的主要原因主要由上述三种：①荷载作⽤、②温度改变和材料胀缩、③⽀座移动和制造误差。
(1)荷载使静定结构产⽣内⼒、变形、位移；（2）温度改变或材料胀缩使静定结构不产⽣内⼒、但能产⽣变形、位移；（3）⽀座移动或制造误差使静定结构不产⽣内⼒变形、但能产⽣位移；§4.2 结构位移计算的⼀般公式如结构在荷载、温度改变、⽀座移动等因素作⽤下⽽发⽣了图1所⽰变形和位移，这是结构的实际的位移状态。
要利⽤虚功⽅程求位移Δi2（状态②中i ⽅向的位移）。
应先虚拟⼒状态：在欲求位移处沿着求位移的⽅向，加上与所求位移相应的⼴义单位荷载（如图2）。
求出虚拟⼒状态的内⼒和反⼒。
由虚功⽅程，即得平⾯杆系结构位移计算的⼀般公式：该式适⽤于：①静定结构和超静定结构；②弹性体系和⾮弹性体系；③各种因素产⽣的位移计算。
4.3 荷载作⽤下的位移计算如果弹性体系由荷载产⽣了内⼒（M P ，N P ，Q P ），⽽内⼒产⽣的变形可由材料⼒学公式得到：(a )M PM(b )注意：1．该式可⽤来求弹性体系由荷载产⽣的位移；2．该式既⽤于静定结构也⽤于超静定结构；3．第⼀、⼆、三项分别表⽰弯曲变形、轴向变形、剪切变形产⽣的位移；4．结构不同简化为：梁、刚架只考虑弯曲变形：桁架只有轴向变形：组合结构：对于具有弹性⽀承和内部弹性联结的结构，在位移计算公式中应增加⼀项弹性⼒的虚功项：N i N P /k ，N i ，N P 分别为虚拟状态和实际状态中弹性⽀承和内部弹性联结的弹性⼒，两者⽅向⼀致时，乘积为正，否则取负，k 是弹性⽀承和内部弹性联结的为刚度系数。
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平衡条件（求力）
位移协调条件（求位移）
虚位移原理：单位位移法，虚设位移状态求力。 几何方法解决静力问题 虚力原理：单位荷载法，虚设静力状态求位移。 静力方法解决几何问题
结构力学
第4章 虚功原理
五、虚位移原理与单位位移法 虚位移原理：变形体系在力系作用下平衡的充要条件是当有任意 的位移协调系（虚位移）时，力系中外力经位移系中的位移所作 的虚功恒等于变形体系各微段内力在变形位移上的虚功和。 单位位移法 求解步骤：
刚体虚位移原理：平衡力系在刚体虚位移过程中所作的虚功为零。
结构力学
第4章 虚功原理
三、变形虚功
Fk
FN k FQ k
B
Mk
（a）
A
B
m m 1 m
（b）
A
静力状态（k）
Mk FNk Mk FNk
位移状态（m）
ρm
dθm
ds
ds+ ε
mds
γm d s
FQ k
FQ k
结构力学
Mk FNk Mk FNk
（b）
ΔB
FRAx 0 FRAy
Fk a l
FRB
Fk b l
W FRAy Am FRBy Bm Fk km
Bm Am km Am a l Am Bm b a l l
Fk b Fk a Am Bm Am Bm Fk ( b a) 0 l l l l
结构力学
第4章 虚功原理
5、等值反向共面的两力偶的虚功
mk
（a）
A
B
mk
（b）
A
θ'km θ"km
B
静力状态（k）
位移状态（m）
W mk 'km mk "km
mk ( 'km "km ) mkkm
结构力学
第4章 虚功原理
6、平衡力系在刚体位移上的虚功
Fk A （a） FR A x FR A y a l b B
2、集中力偶的虚功
mk
B
（a）
A
B
静力状态（k）
（b） A
静力状态（k）
B
（b）
A
θkm
B
Δkm
位移状态（m）
位移状态（m）
W Fk km
W mkkm
结构力学
第4章 虚功原理
3、均布力的虚功
qk dx
（a） A
4、等值反向共线的两集中力的虚功
qk b B
C
Fk
Fk D
a dx
静力状态（k）
W (外力虚功) U (变形虚功)
虚功方程
1
平面杆系结构 虚功方程
Fk km FNk m ds FQk m ds M k
s s s
m
ds
虚功原理适用范围：刚体体系、弹性、非弹性、线性、非线性 的变形体系均可适用。
结构力学
第4章 虚功原理
虚功原理两种应用形式：
结构力学
第4章 虚功原理
第四章 虚功原理
F A B F
W FΔCOS
△
F F D F F
W FD M
结构力学
第4章 虚功原理
一、实功与虚功 1、功是力与位移的乘积。 （1）实位移：位移是由作功的力引起的。力在实位移上所作的功 称为实功。 （2）虚位移：位移是由其它因素力引起的。力在虚位移上所作的 功称为虚功。 1 W实＝ F l l是由F本身引起的 2
W1 +W2 W3
W3＝F33＝(F1 F2 )(1 2 )
虚功计算叠加原理适用
结构力学
第4章 虚功原理
二、外力虚功 外力系总虚功：
W Fk km
式中： Fk 表示作功的力或力系，称为广义力；
km表示广义力作功的位移，称为广义位移。
前下标k 表示广义力的作用位置和方向； 后下标m表示广义位移产生的原因。
C
0 l2 l3
静力状态（k）
Δ vB m
A
l1＋l2 1 v Bm 0 l1 l1＋l2 v v Cm Bm l1
v Cm
Δ vC m
B
C
D
可直接用几何方法验证。
静力方法解决几何问题。
l1
l2
l3
结构力学
第4章 虚功原理
七、互等定理 虚功互等定理、位移互等定理、反力互等定理、反力位移互等定理 1、虚功互等定理
（1）解除约束代之以约束力，建立静力状态（k）； （2）沿所求约束力的方向给以单位位移，建立协调的位移状态（m）； （3）用“m”状态考察“k”状态的平衡条件，建立虚功方程，求解未知力。
结构力学
第4章 虚功原理
F D a
例题1
A a
试利用单位位移法求FRD和M E。
q=F/ 2a E a B a C
位移状态（m）
几何方法解决静力问题。
结构力学
q=F/ 2a A a E a B a F D a
第4章 虚功原理
求内力M E？
解： 1、解除E截面限制转动的约束 代之以M E作用，建立静力状态（k）
C
q=F/ 2a A ME E ME B
F D
2、沿M E 方向给以单位虚角位移
km =1，建立位移状态（m）
结构力学
第4章 虚功原理
例题2
A
试利用单位荷载法求图示结构由于中间支座B发生沉降
Δ vB m
B C D
v v 时， 中间铰 C 的竖向位移 Bm Cm。
l1
l2
l3
解： 1、建立静力（虚力）状态（k） 2、求虚力状态各力 3、建立虚功方程，求未知位移
D
位移状态（m）
F k =1 A 0
-
B l2 l1 l1 l1+l2 l1
相对转角位移
C
静力状态（k）
a
θkm=1 E'
a 2
A a
E a
B a
a 2
C C' a
D
可直接用平衡方程验证。
几何方法解决静力问题。
3、建立虚功方程，求未知力 a 1 a M E 1 F q 2a 0 2 2 2 1 M E Fa 4
位移状态（m）
结构力学
1 W2＝ F2 2 2
F2
1 1 W3＝ F3 3＝ （F1 F2 )(1 2 ) 2 2
F3
W1 +W2 W3
F1 A Δ1 Δ2
（a）
实功计算叠加原理不适用
F3 = F1 +F2
B A Δ1 Δ2
（b）
B
A
B A
Δ3
（c）
Δ1 Δ2
（d）
B
虚功 W1＝F1 (1 2 ) W2＝F2 (1 2 )
第4章 虚功原理
六、虚力移原理与单位荷载法 虚力原理：变形体系在任意外来因素作用下其位移系协调的充要条 件是当有任意虚拟的静力平衡系时，力系中外力经位移系中的位移 所作的虚功恒等于变形体系各微段内力在变形位移上的虚功和。 单位荷载法 求解步骤：
（1）沿所求位移的方向加以对应的单位虚力，建立静力状态（k）； （2）求解静力状态（k）中力 ； （3）用“k”状态考察实际的位移状态“m” 的协调性，建立虚功方程，求解未 知位移。
若令k 1 m 1
rmk 1 rkm 1
Δ m =1
反力互等定理：k支座发生单位位移在m支座引起的反力 等于m支座发生单位位移在k支座引起的反力
rmk rkm
结构力学
第4章 虚功原理
4、反力位移互等定理
r mk
Fk =1
θm=1
δkm
k状态
m状态
虚功互等定理
Fk km Fmmk
Fk A
θmk
B
C
k状态（位移）
FNk k EA
k
FQk
GA
k k 1 k 1 Mk k EI
mm A B Δkm C
FNm FQm Mm
m状态（ 静力）
虚功原理
mmmk FNm k ds FQm k ds M m
s s s
1
k
1 km 1 mk
km mk
位移互等定理：沿k方向的单位力在m方向引起的位移 等于沿m方向的单位力在k方向引起的位移
mk km
结构力学
第4章 虚功原理
3、反力互等定理
Δ k =1
A B C
A B rkm C
rmk
k状态
m状态
虚功互等定理
Fk km Fmmk rmk k rkmm rmk rkm
rmkm Fk km 0
若令Fk 1 m 1
rmk 1 1 km 0 rmk km
rmk 反力位移互等定理：沿k方向的单位力在m支座引起的反力 等于m支座发生单位位移时在k方向引起的位移，但符号相反 km
x
A
B
（a）
静力状态（k）
（b） A
a c x ykm dx
b d
B
Δ'km
C
D
Δ''km
位移状态（m）
位移状态（m）
A
（b）
W qk dx ykm
a
b
B
qk ykm dx