1.1 线性规划问题及其数学模型
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线性规划
影子价格测算 影子价格就是对偶最优解，它可以从单 纯形最优表中读到，即松弛变量所对应 的检验数的绝对值。
线性规划引例1
派公司是一个生产高尔夫器材的大型公司，公司决 定生产高中价位的高尔夫袋。分销商对新产品十分 感兴趣，并且同意买进派公司下3个月内的全部产品。 在对整个高尔夫袋生产步骤进行了详细的调查以后， 管理阶层明确了高尔夫袋的生产过程：
n
AT m
≤ C
n
§4.2 对偶问题的性质
1、对偶的对偶就是原始问题
min z=CTX s.t. AX≥b X ≥0
对偶的定义
max y=bTW s.t. ATW≤C W ≥0
max z’=-CTX
s.t. -AX≤-b X ≥0
对偶的定义
min y=-bTW s.t. -ATW≥-C W ≥0
某约束条件右端项每增加一个单位而产生的目标函
数最优值的增加，成为相应于此约束条件的影子价 格。（也称对偶变量）
对偶变量的经济解释
对偶变量yi在经济上表示原问题第i种资源的边际贡 献,即当第i种资源增加一个单位时,相应的目标值z的 增量 对偶问题的最优解yi*是原问题第i种资源的影子价格 应用:1.出租资源或设备时,租金价格的设定(至少高于 该资源在企业内的影子价格) 2.企业内资源I的存量设定(当资源I的影子价格>= 市场价格时,可买进该资源;否则卖出) 3.调整资源的分配量以增加利润
问题成型或称问题建模，是将语言文字上的 问题转化为数学问题。可以说，这是一项艺 术创造，只有通过不断的练习才能熟练掌握。 虽然，实际生活中的每个问题都有独特之处， 但其中大部分还是有共性的。所以，我们可 以学习一些具有普遍适用性的方法来帮助我 们建立数学模型，这些方法对初学者尤其有 效。下面我们以派公司为例讲解一下建立数 学模型的方法。
第一章 线性规划
(1-8)
例 1.5 （汽油混合问题） 一种汽油的特性可用两个指标描述：其点火性用“辛烷数” 描述，其挥发性用“蒸汽压力”描述，某炼油厂有四种标准汽油，设其标号分别为 1，2， 3，4，其特性及库存量见表 1.5，将上述标准汽油适量混合，可得到两种飞机汽油，其标 号分别为 1，2，这两种飞机汽油的性能指标及产量需求见表 1.6，问应如何根据库存情况 适量混合各种标准汽油，使既满足飞机汽油的性能指标，而产量又为最高。
注：前苏联的尼古拉也夫斯克城住宅兴建计划采用了上述模型，共用了 12 个变量，10 个约束条件。
表 1.2 资源 住宅体系 砖混住宅 壁板住宅 大模住宅 资源限量 造价 (元/m2) 105 135 120 110000 (千元 钢材 (公斤/m2) 12 30 25 20000 (吨) 例 1.2 的数据表 水泥 (公斤/m2) 110 190 180 150000 (吨) 砖 (块/m2) 210 —— —— 147000 (千块) 人工 (工日/m2) 4.5 3.0 3.5 4000 (千工日)
3．线性规划模型的一般形式 以 MAX 型、≤约束为例 决策变量： x1 ,
(1-4)
, xn
目标函数： Maxz = c1 x1 +
+ cn x n
⎧a11 x1 + + a1n x n ≤ b1 ⎪ ⎪ 约束条件： s.t.⎨ ⎪a m1 x1 + + a mn x n ≤ bm ⎪ ⎩ x1 , , x n ≥ 0
2
Maxz = x1 + x 2 + x3 ⎧0.105 x1 + 0.135 x 2 + 0.120 x3 ≤ 110000 ⎪0.012 x1 + 0.030 x 2 + 0.025 x3 ≤ 20000 数学模型为: ⎪0.110 x1 + 0.190 x 2 + 0.180 x 3 ≤ 150000 (1-3) s.t ⎨ 0.210 x ≤ 147000 ⎪0.00451 x + 0.003x 2 + 0.0035 x 3 ≤ 4000 ⎪x , x , x 1 ≥ 0 ⎩ 1 2 3
例 1.5 （汽油混合问题） 一种汽油的特性可用两个指标描述：其点火性用“辛烷数” 描述，其挥发性用“蒸汽压力”描述，某炼油厂有四种标准汽油，设其标号分别为 1，2， 3，4，其特性及库存量见表 1.5，将上述标准汽油适量混合，可得到两种飞机汽油，其标 号分别为 1，2，这两种飞机汽油的性能指标及产量需求见表 1.6，问应如何根据库存情况 适量混合各种标准汽油，使既满足飞机汽油的性能指标，而产量又为最高。
注：前苏联的尼古拉也夫斯克城住宅兴建计划采用了上述模型，共用了 12 个变量，10 个约束条件。
表 1.2 资源 住宅体系 砖混住宅 壁板住宅 大模住宅 资源限量 造价 (元/m2) 105 135 120 110000 (千元 钢材 (公斤/m2) 12 30 25 20000 (吨) 例 1.2 的数据表 水泥 (公斤/m2) 110 190 180 150000 (吨) 砖 (块/m2) 210 —— —— 147000 (千块) 人工 (工日/m2) 4.5 3.0 3.5 4000 (千工日)
3．线性规划模型的一般形式 以 MAX 型、≤约束为例 决策变量： x1 ,
(1-4)
, xn
目标函数： Maxz = c1 x1 +
+ cn x n
⎧a11 x1 + + a1n x n ≤ b1 ⎪ ⎪ 约束条件： s.t.⎨ ⎪a m1 x1 + + a mn x n ≤ bm ⎪ ⎩ x1 , , x n ≥ 0
2
Maxz = x1 + x 2 + x3 ⎧0.105 x1 + 0.135 x 2 + 0.120 x3 ≤ 110000 ⎪0.012 x1 + 0.030 x 2 + 0.025 x3 ≤ 20000 数学模型为: ⎪0.110 x1 + 0.190 x 2 + 0.180 x 3 ≤ 150000 (1-3) s.t ⎨ 0.210 x ≤ 147000 ⎪0.00451 x + 0.003x 2 + 0.0035 x 3 ≤ 4000 ⎪x , x , x 1 ≥ 0 ⎩ 1 2 3
第1章 线性规划
投资项目 1 2 3 4 5 6 风险（%） 18 6 10 4 12 8 红利（%） 4 5 9 7 6 8 增长（%） 22 7 12 8 15 8 信用度 4 10 2 10 4 6
1.1 线性规划问题及其数学模型
线性规划
该公司想达到的目标为：投资 风险最小，每年红利至少为6.5万 元，最低平均增长率为12%，最低 平均信用度为7。请用线性规划方 法求解该问题。
1.1 线性规划问题及其数学模型
解：
（1）决策变量
线性规划
本问题的决策变量是在每种投资项目上的投 资 额 。 设 xi 为 项 目 i 的 投 资 额 （ 万 元 ） （ i=1,2,,6）
（2）目标函数
本问题的目标为总投资风险最小，即
Min z 0.18x1 0.06x2 0.10x3 0.04x4 0.12x5 0.08x6
线性规划
运筹学
线性规划
线性规划
本章内容要点
线性规划问题及其数学模型；
线性规划的电子表格建模； 线性规划的多解分析。
线性规划
本章内容
1.1 线性规划问题及其数学模型
1.2 线性规划问题的图解法
1.3 用Excel“规划求解”功能求解线性规划问题
1.4 线性规划问题求解的几种可能结果
本章主要内容框架图
1.4 线性规划问题求解的 几种可能结果
线性规划
唯一解 无穷多解 无解 可行域无界（目标值不收敛）
1.4 线性规划问题求解的 几种可能结果
线性规划
唯一解
线性规划问题具有 唯一解是指该规划 问题有且仅有一个 既在可行域内、又 使目标值达到最优 的解。例1.1就是一 个具有唯一解的规 划问题
(1-1)
1.1 线性规划问题及其数学模型
线性规划
该公司想达到的目标为：投资 风险最小，每年红利至少为6.5万 元，最低平均增长率为12%，最低 平均信用度为7。请用线性规划方 法求解该问题。
1.1 线性规划问题及其数学模型
解：
（1）决策变量
线性规划
本问题的决策变量是在每种投资项目上的投 资 额 。 设 xi 为 项 目 i 的 投 资 额 （ 万 元 ） （ i=1,2,,6）
（2）目标函数
本问题的目标为总投资风险最小，即
Min z 0.18x1 0.06x2 0.10x3 0.04x4 0.12x5 0.08x6
线性规划
运筹学
线性规划
线性规划
本章内容要点
线性规划问题及其数学模型；
线性规划的电子表格建模； 线性规划的多解分析。
线性规划
本章内容
1.1 线性规划问题及其数学模型
1.2 线性规划问题的图解法
1.3 用Excel“规划求解”功能求解线性规划问题
1.4 线性规划问题求解的几种可能结果
本章主要内容框架图
1.4 线性规划问题求解的 几种可能结果
线性规划
唯一解 无穷多解 无解 可行域无界（目标值不收敛）
1.4 线性规划问题求解的 几种可能结果
线性规划
唯一解
线性规划问题具有 唯一解是指该规划 问题有且仅有一个 既在可行域内、又 使目标值达到最优 的解。例1.1就是一 个具有唯一解的规 划问题
(1-1)
线性规划问题及其数学模型
第一章线性规划问题及其数学模型一、问题旳提出在生产管理和经营活动中常常提出一类问题，即怎样合理地运用有限旳人力、物力、财力等资源，以便得到最佳旳经济效果。
例1 某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已知生产单位产品所需旳设备台时及A、B两种原材料旳消耗，如表1-1所示。
表1-1该工厂每生产一件产品I可获利2元，每生产一件产品II可获利3元，问应怎样安排计划使该工厂获利最多？这问题可以用如下旳数学模型来描述，设x1、x2分别表达在计划期内产品I、II旳产量。
由于设备旳有效台时是8，这是一种限制产量旳条件，因此在确定产品I、II旳产量时，要考虑不超过设备旳有效台时数，即可用不等式表达为：x1+2x2≤8同理，因原材料A、B旳限量，可以得到如下不等式4x1≤164x2≤12该工厂旳目旳是在不超过所有资源限量旳条件下，怎样确定产量x1、x2以得到最大旳利润。
若用z表达利润，这时z=2x1+3x2。
综合上述，该计划问题可用数学模型表达为：目旳函数 max z =2x 1+3x 2 满足约束条件 x 1+2x 2≤84x 1≤16 4x 2≤12 x 1、x 2≥0例2 某铁路制冰厂每年1至4季度必须给冷藏车提供冰各为15，20，25，10kt 。
已知该厂各季度冰旳生产能力及冰旳单位成本如表6-26所示。
假如生产出来旳冰不在当季度使用，每千吨冰存贮一种季度需存贮费4千元。
又设该制冰厂每年第3季度末对贮冰库进行清库维修。
问应怎样安排冰旳生产，可使该厂整年生产费用至少？解：由于每个季度生产出来旳冰不一定当季度使用，设x ij 为第i 季度生产旳用于第j 季度旳冰旳数量。
按照各季度冷藏车对冰旳需要量，必须满足：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++++33231343221242114144x x x x x x x x x x 。
，，，25201510==== 又每个季度生产旳用于当季度和后来各季度旳冰旳数量不也许超过该季度旳生产能力，故又有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++++33232213121143424144x x x x x x x x x x 。
第1章-线性规划模型-宋
第一章 线性规划模型线性规划（Linear Programming ）是数学规划的一个重要组成部分，是最优化与运筹学理论中的一个重要分支和常用的方法，是最优化理论的基础性内容。
第一节 线性规划问题及其数学模型一、问题的提出在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到最好的经济效果。
例1 生产计划问题某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ的两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时，A 、B 两种原材料的消耗以及每件产品可获得的利润如下表所示。
问应如何安排生产计划使该工厂获利最多？解：设12,x x 分别表示在计划期内生产产品Ⅰ、Ⅱ的产量。
由于资源的限制，所以有：机器设备的限制条件: 1228x x +≤原材料A 的限制条件： 1416x ≤（称为资源约束条件） 原材料B 的限制条件： 2412x ≤同时，产品Ⅰ、Ⅱ的产量不能是负数，所以有120,0x x ≥≥（称为变量的非负约束）。
显然，在满足上述约束条件下的变量取值，均能构成可行方案，且有许许多多。
而工厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下，如何确定产量12,x x 以得到最大的利润，即使目标函数1223z x x =+的值达到最大。
综上所述，该生产计划安排问题可用以下数学模型表示：例2 运输问题某公司经销某种产品，三个产地和四个销地的产量、销量、单位运价如下表所示。
问在保证产销平衡的条解:（1）决策变量：设(1,2,3;1,2,3,4)ij x i j ==为从产地i 运到销地j 的运量（2）目标函数：总运费最小3411min ij iji j z c x===∑∑（3）约束条件： 产量约束 销量约束 非负约束 模型为：二、线性规划问题的模型上述几例所提出的问题，可归结为在变量满足线性约束条件下，求使线性目标函数值最大或最小的问题。
它们具有以下共同的特征。
（1）每个问题都可用一组决策变量12(,,,)n x x x 表示某一方案，其具体的值就代表一个具体方案。
线性规划PPT
所有可行解的集合称为可行域。
最优解 使目标函数达到最大的可行解 称为最优解。
基本解 对于有n个变量、m个约束方程的标准 型线性规划问题，取其m个变量。若这些变量在约 束方程中的系数列向量线性无关，则它们组成一组 基变量。确定了一组基变量后，其它n-m个变量称 为非基变量。
令非基变量都为 0 ，解约束方程，可唯一得到 基变量的值，从而得到一个满足约束方程的解，称 为基本解。由此可见，一个基本解的非零分量个数 不超过m个。
量，记为xN。对线性规划（**） 取定一个基矩阵B, 令其非
基变量xN=0， 可以唯一的解出xB, xB=B-1b。 这样得到的点 x=(B-1 b,0)称为（**）的一个基本解。为了叙述方便，这里
我们将xB放在了前面， 其实它的位置可以是任意的， 这并
不影响问题的实质。显然基本解不一定是可行解，当一个 基本解同时还是可行解时（即B-1 b≥0），称之为线性规划 问题（**）的一个基本可行解，进而若B-1 b＞0，则称 x=(B-1 b,0)为（**）的一个非退化的基本可行解，并称B为 一组非退化的可行基。由于基矩阵最多只有Cnm 种不同的取 法，即使A的任意m列均线性无关，且对应的基本解均可行， (**)最多也只有C nm个不同的基本可行解。
污水的含量应不大于0.2%。而工 Min z=1000x1+800x2
厂1和工厂2处理污水的成本分别为 (2-x1)/500 ≤0.002
1000元/万m3和800元/万m3。问两 工厂各应处理多少污水才能使处理 污水的总费用最低？
[0.8(2-x1)+1.4-x2]/700 ≤0.002
x1≤2, x2≤1.4
已知生产单位产品所需的设备台时和原料A、B的消
耗量如下表。 该工厂每生产一件
最优解 使目标函数达到最大的可行解 称为最优解。
基本解 对于有n个变量、m个约束方程的标准 型线性规划问题，取其m个变量。若这些变量在约 束方程中的系数列向量线性无关，则它们组成一组 基变量。确定了一组基变量后，其它n-m个变量称 为非基变量。
令非基变量都为 0 ，解约束方程，可唯一得到 基变量的值，从而得到一个满足约束方程的解，称 为基本解。由此可见，一个基本解的非零分量个数 不超过m个。
量，记为xN。对线性规划（**） 取定一个基矩阵B, 令其非
基变量xN=0， 可以唯一的解出xB, xB=B-1b。 这样得到的点 x=(B-1 b,0)称为（**）的一个基本解。为了叙述方便，这里
我们将xB放在了前面， 其实它的位置可以是任意的， 这并
不影响问题的实质。显然基本解不一定是可行解，当一个 基本解同时还是可行解时（即B-1 b≥0），称之为线性规划 问题（**）的一个基本可行解，进而若B-1 b＞0，则称 x=(B-1 b,0)为（**）的一个非退化的基本可行解，并称B为 一组非退化的可行基。由于基矩阵最多只有Cnm 种不同的取 法，即使A的任意m列均线性无关，且对应的基本解均可行， (**)最多也只有C nm个不同的基本可行解。
污水的含量应不大于0.2%。而工 Min z=1000x1+800x2
厂1和工厂2处理污水的成本分别为 (2-x1)/500 ≤0.002
1000元/万m3和800元/万m3。问两 工厂各应处理多少污水才能使处理 污水的总费用最低？
[0.8(2-x1)+1.4-x2]/700 ≤0.002
x1≤2, x2≤1.4
已知生产单位产品所需的设备台时和原料A、B的消
耗量如下表。 该工厂每生产一件
线性规划-讲义-12章
第一章 线性规划 第二章 对偶单纯形法与灵敏度分析 第三章 运输问题 第四章
整数规划
第五章 动态规划
第六章 图论与问题及其数学模型 1.1.1 线性规划问题的数学模型
例1、生产计划问题 I 1 3 0 40 II 2 2 2 50
原材料A 原材料B 台时 利润
例6 max S=2x1+ 4x2 2x1+x2 8
x2
8
-2x1+ x2=2
-2x1+x2 2
x1 , x2 0 无界解(无最优解) 无界解=>可行域无界 <=
6
4
2
0
4
x1
2x1+ x2=8
例7 max S=3x1+2x2 -x1 -x2 1
x1 , x2 0 有解 无可行解 唯一解 无穷多解 无有限最优解 无可行解
(3) 变量 若xj 0, 令 xj = -xjˊ, 其中: xjˊ 0 若xj是无限制变量. 令 xj = xjˊ- xj〞, 其中: xjˊ、 xj〞 0
例 3x1+2x2 8
x1 –4x2 14
x2 0 令x1= x1'- x1 " 3 x1' –3x1 " +2x2 8 x1' - x1 " – 4x2 14 x1' , x1" ,x2 0
2x3 +2x4+ x5=100 3x1+ x2+2x3 +3x5=100
xi 0 (i =1,…,5)，且为整数
最优方案是：按方案I-30根, II-10根；III-50根 即只要90根原料--制造100套
运输问题
整数规划
第五章 动态规划
第六章 图论与问题及其数学模型 1.1.1 线性规划问题的数学模型
例1、生产计划问题 I 1 3 0 40 II 2 2 2 50
原材料A 原材料B 台时 利润
例6 max S=2x1+ 4x2 2x1+x2 8
x2
8
-2x1+ x2=2
-2x1+x2 2
x1 , x2 0 无界解(无最优解) 无界解=>可行域无界 <=
6
4
2
0
4
x1
2x1+ x2=8
例7 max S=3x1+2x2 -x1 -x2 1
x1 , x2 0 有解 无可行解 唯一解 无穷多解 无有限最优解 无可行解
(3) 变量 若xj 0, 令 xj = -xjˊ, 其中: xjˊ 0 若xj是无限制变量. 令 xj = xjˊ- xj〞, 其中: xjˊ、 xj〞 0
例 3x1+2x2 8
x1 –4x2 14
x2 0 令x1= x1'- x1 " 3 x1' –3x1 " +2x2 8 x1' - x1 " – 4x2 14 x1' , x1" ,x2 0
2x3 +2x4+ x5=100 3x1+ x2+2x3 +3x5=100
xi 0 (i =1,…,5)，且为整数
最优方案是：按方案I-30根, II-10根；III-50根 即只要90根原料--制造100套
运输问题
1.1 72线性规划问题及其数学模型
可行域
4 3 2
最优解
8 0 3 4
x1
无穷多最优解(多重最优解)
即可行域的范围延伸到无 例： max z=x1+x2
穷远，目标函数值可以无 穷大或无穷小。 ≤4 s.t. -2x1+ x2 一般来说，这说明模型有 x1 - x2 ≤2 错，忽略了一些必要的约 束条件。 ≥0, x2≥0 x1 x2
无穷 多个最优解
2.可行域为非封闭的无界区域
x2 x2 x2
z
z
x1 x1
Z
x1
唯一最优解
无穷多个最优解
无界解
3、可行域为空集
x2
空集 x1
无可行解
两个变量的LP问题的解的启示：
(1)可行域非空时，它是有界或无界凸多边形 （凸集） ，顶点个数只有有限个。 (2)求解LP问题时，解的情况有： 唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解。 (3)若可行域非空且有界则必有最优解， 若可行域无界，则可能有最优解，也可能无最优解。 (4)若最优解存在，则最优解或最优解之一一定是 可行域的凸集的某个顶点。 (5)若在两个顶点上同时取到最优解，则这两点的 连线上 任一点都是最优解
由图解法得到的结论：
求解线性规划问题最优解的方法：
确定可行域 = 凸集(凸多边形) 确定可行域顶点 = 求基可行解 寻找最优解， 如果最优解存在，则必在可行域的某一顶点 = 在基可行解中寻找
图解法优点： 直观、易掌握。有助于了解解的结构。
图解法缺点：
只能解决低维问题，对高维无能为力。
1.3 线性规划问题的标准型式
m i nZ
C
j 1
n j1
n
j
Xj
4 3 2
最优解
8 0 3 4
x1
无穷多最优解(多重最优解)
即可行域的范围延伸到无 例： max z=x1+x2
穷远，目标函数值可以无 穷大或无穷小。 ≤4 s.t. -2x1+ x2 一般来说，这说明模型有 x1 - x2 ≤2 错，忽略了一些必要的约 束条件。 ≥0, x2≥0 x1 x2
无穷 多个最优解
2.可行域为非封闭的无界区域
x2 x2 x2
z
z
x1 x1
Z
x1
唯一最优解
无穷多个最优解
无界解
3、可行域为空集
x2
空集 x1
无可行解
两个变量的LP问题的解的启示：
(1)可行域非空时，它是有界或无界凸多边形 （凸集） ，顶点个数只有有限个。 (2)求解LP问题时，解的情况有： 唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解。 (3)若可行域非空且有界则必有最优解， 若可行域无界，则可能有最优解，也可能无最优解。 (4)若最优解存在，则最优解或最优解之一一定是 可行域的凸集的某个顶点。 (5)若在两个顶点上同时取到最优解，则这两点的 连线上 任一点都是最优解
由图解法得到的结论：
求解线性规划问题最优解的方法：
确定可行域 = 凸集(凸多边形) 确定可行域顶点 = 求基可行解 寻找最优解， 如果最优解存在，则必在可行域的某一顶点 = 在基可行解中寻找
图解法优点： 直观、易掌握。有助于了解解的结构。
图解法缺点：
只能解决低维问题，对高维无能为力。
1.3 线性规划问题的标准型式
m i nZ
C
j 1
n j1
n
j
Xj
线性规划
1.3 线性规划问题的标准型式
M1 : 目标函数： max z c 1 x 1 c 2 x 2 c n x n a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n b1 a x a 22 x 2 a 2 n x n b 2 21 1 约束条件： a x a x a x b m2 2 mn n n m1 1 x 1 , x 2 , , x n 0
24
第2节 应用举例
最终计算表（第3次计算）
c j→ CB 0.1 -0.3 0 XB x2 x4 x1 c j -z j b 10 50 30 0 x1 0 0 1 0 0.1 x2 1 0 0 0 0.2 x3 -1 1 1 0 0.3 x4 0 1 0 0 0.8 x5 -9/10 1/3 13/10 -0.74 -M x6 3/5 0 -1/5 -M + 0.06 -M x7 -3/10 1/3 1/10 -M + 0.12 -M x8 -1/5 0 2/5 -M -0.02 θ
27
第2节 应用举例
表1-7表明这些原材料供应数量的限额。加入到产品A、 B、D的原材料C总量每天不超过100kg，P的总量不超过 100kg，H总量不超过60kg。
表1-7
原材料名称 C P H 每 天 最 多 供 应 量 （ kg） 100 100 60 单 价 /(元 /kg) 65 25 35
29
第2节 应用举例
约束条件可表示为：
1 2 1 4 x1 x1 1 2 3 4 x2 x2 1 2 1 4 x3 x3 x1 x2 x3 x1 , , x 9 0 3 4 1 2 x4 x4 1 4 1 2 x5 x5 1 4 1 2 x6 x6 x7 x5 x6 x8 0 0 0 0 100 100 x 9 60
M1 : 目标函数： max z c 1 x 1 c 2 x 2 c n x n a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n b1 a x a 22 x 2 a 2 n x n b 2 21 1 约束条件： a x a x a x b m2 2 mn n n m1 1 x 1 , x 2 , , x n 0
24
第2节 应用举例
最终计算表（第3次计算）
c j→ CB 0.1 -0.3 0 XB x2 x4 x1 c j -z j b 10 50 30 0 x1 0 0 1 0 0.1 x2 1 0 0 0 0.2 x3 -1 1 1 0 0.3 x4 0 1 0 0 0.8 x5 -9/10 1/3 13/10 -0.74 -M x6 3/5 0 -1/5 -M + 0.06 -M x7 -3/10 1/3 1/10 -M + 0.12 -M x8 -1/5 0 2/5 -M -0.02 θ
27
第2节 应用举例
表1-7表明这些原材料供应数量的限额。加入到产品A、 B、D的原材料C总量每天不超过100kg，P的总量不超过 100kg，H总量不超过60kg。
表1-7
原材料名称 C P H 每 天 最 多 供 应 量 （ kg） 100 100 60 单 价 /(元 /kg) 65 25 35
29
第2节 应用举例
约束条件可表示为：
1 2 1 4 x1 x1 1 2 3 4 x2 x2 1 2 1 4 x3 x3 x1 x2 x3 x1 , , x 9 0 3 4 1 2 x4 x4 1 4 1 2 x5 x5 1 4 1 2 x6 x6 x7 x5 x6 x8 0 0 0 0 100 100 x 9 60
运筹学第1章：线性规划问题及单纯型解法
原料甲 原料乙 最低含量 VA 0.5 0.5 2 VB1 1.0 0.3 3 VB2 0.2 0.6 1.2 VD 0.5 0.2 2 0.3 0.5 单价
分别代表每粒胶丸中甲, 设 x1, x2分别代表每粒胶丸中甲, 乙两种原料的用量
5
例3,合理下料问题 , 分别代表采用切割方案1~8的套数, 的套数, 设 xj 分别代表采用切割方案 的套数
19
( f(x
)= 3
6
1.2.2 单纯型法的基本思路
确定初试基础可行解
检查是否为 最优解? 最优解?
是
求最优解的目标函数值
否 确定改善方向
求新的基础可行解
20
1.2.3 单纯型表及其格式
IV CB III XB II x1 b c1 a11 a21 c1′′= cn+1 xn+1 b1 c2′′= cn+2 xn+2 b2 x2 … xn c2 … cn a12 … a1n a22 … a2n I xn+1 cn+1 1 0 0 zn+1 xn+2 cn+2 0 1 0 zn+2 … … … … … … xn+m cn+m 0 0 1 zn+m
OBJ : max f ( x) = 6x1 + 4x2 2x1 + x2 ≤ 10 铜资源约束 x1 + x2 ≤ 8 铅资源约束 s.t. x2 ≤ 7 产量约束 x1, x2 ≥ 0 产量不允许为负值 最优解: x1 = 2, x2 = 6, max f ( x) = 36.
4
例2,配料问题(min, ≥) ,配料问题(
2 max 1 O 1 2 3 4 D 5 6 7 H 8
运筹学课件1-1线性规划问题及其数学模型
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• 第三步：确定目标函数 第三步： 以 Z 表示生产甲和乙两种产品各为x1 表示生产甲和乙两种产品各为x 时产生的经济价值， 和x2（吨）时产生的经济价值，总经济价值 最高的目标可表示为： 最高的目标可表示为：
max z＝7 x1十5 x2 z＝
这就是该问题的目标函数 这就是该问题的目标函数。 目标函数。
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• 第1步 -确定决策变量
•设 ——I x1——I的产量 ——II x2 ——II的产量
是问题中要确定的未知量， 是问题中要确定的未知量， 表明规划中的用数量表示的 方案、措施，可由决策者决 方案、措施， 定和控制。 定和控制。
x1
x2
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第2步 --定义目标函数
利润
Max Z =
x1 +
x2
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第2步 --定义目标函数
Max Z = 2 x1 + 3 x2
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对我们有 何限制?
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第3步 --表示约束条件
x1 + 2 x2 ≤ 8 4 x1 ≤ 16 4 x2 ≤ 12 x1、 x2 ≥ 0
设备 原材料A 原材料 原材料B 原材料 利润 I 1 4 0 2 II 2 0 4 3 资源限量 8 台时 16kg 12kg
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– 用向量表示
m Z = CX ax n ∑Pj xj = b i=1 x ≥ 0 j =1 2,...n , j 其 ： 中 x1 x 2 X= ... xn C = (c1, c2 , ) a1 j a2 j Pj = ... amj b 1 b 2 b= ... bm
• 第三步：确定目标函数 第三步： 以 Z 表示生产甲和乙两种产品各为x1 表示生产甲和乙两种产品各为x 时产生的经济价值， 和x2（吨）时产生的经济价值，总经济价值 最高的目标可表示为： 最高的目标可表示为：
max z＝7 x1十5 x2 z＝
这就是该问题的目标函数 这就是该问题的目标函数。 目标函数。
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• 第1步 -确定决策变量
•设 ——I x1——I的产量 ——II x2 ——II的产量
是问题中要确定的未知量， 是问题中要确定的未知量， 表明规划中的用数量表示的 方案、措施，可由决策者决 方案、措施， 定和控制。 定和控制。
x1
x2
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第2步 --定义目标函数
利润
Max Z =
x1 +
x2
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第2步 --定义目标函数
Max Z = 2 x1 + 3 x2
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对我们有 何限制?
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第3步 --表示约束条件
x1 + 2 x2 ≤ 8 4 x1 ≤ 16 4 x2 ≤ 12 x1、 x2 ≥ 0
设备 原材料A 原材料 原材料B 原材料 利润 I 1 4 0 2 II 2 0 4 3 资源限量 8 台时 16kg 12kg
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– 用向量表示
m Z = CX ax n ∑Pj xj = b i=1 x ≥ 0 j =1 2,...n , j 其 ： 中 x1 x 2 X= ... xn C = (c1, c2 , ) a1 j a2 j Pj = ... amj b 1 b 2 b= ... bm
1-1 线性规划问题及其数学模型
1 4 0
2 0 4
利润
2元
3元
第一章 线性规划与单纯形法
18
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2 x2 8 4 x1 16 4x2 12 x1 、 x 2 0
x1
x2
第一章 线性规划与单纯形法
19
靠近某河流有两个化工厂，相关信息如表， 现已知从一化排出的污水流到二化前，有20%可以 自然净化。据环保要求，河流中污水的含量应不大 于0.2%。问，在满足环保要求的条件下，每厂各应 处理多少污水，使两厂总的处理污水费用最小。
(万立方米) 排放污水
第一化工厂 2
第二化工厂 1.4
河流流量
处理成本
500
1000元
700
800元
22
第一章 线性规划与单纯形法
第3步 表示约束条件
1. 一化与二化之间，污水含量要不大于0.2%
2 x1 0.2% 500
(万立方米) 第一化工厂 第二化工厂
排放污水
河流流量 处理成本
2
500 1000元
Decision variables
第一章 线性规划与单纯形法
7
目标函数
决策变量的函数
Objective function
第一章 线性规划与单纯形法
8
约束条件
指决策变量取值时受到的各种资源条件 的限制，通常表达为含决策变量的
等式或不等式。
Constraint conditions
第一章 线性规划与单纯形法
第一章 线性规划与单纯形法
43
问题的提出 图解法 标准形式 解的概念
第一章 线性规划与单纯形法
线性规划问题及其数学模型
就代表一个具体方案一般这些变量取值是非负 且连续的；
2要有各种资源和使用有关资源的技术数据 创造新价值的数据；
a i; jcj(i1 , m ;j1 , n)
共同的特征继续
3 存在可以量化的约束条件这些约束条件可 以用一组线性等式或线性不等式来表示;
4 要有一个达到目标的要求它可用决策变量 的线性函数称为目标函数来表示按问题的 不同要求目标函数实现最大化或最小化
约束条件：
a
21
x1
a22
x
2
a2n xn
b2
a
m
1
x1
am 2 x2
a mn xn
bn
x1 , x2 , , xn 0
线性规划问题的几种表示形式
M
' 1
:
n
目标函数：max z c j x j
j 1
约束条件：
n
aij x j
j 1
bi ,
i 1,2, ,m
x
j
0,
j 1,2, ,n
弛变量x6； 3 在第二个约束不等式≥号的左端减去剩
余变量x7； 4 令z′= -z把求min z 改为求max z′即可得到
该问题的标准型
例4的标准型
max z ' x1 2 x 2 3( x 4 x5 ) 0 x6 0 x7
x1 x2 ( x4 x5 ) x6
7
x1 x2 ( x4 x5 )
经第2工厂后的水质要求：
[0.8(2x1)(1.4x2 )] 2
700
1000
数学模型
目标函数 约束条件
min z 1000 x1 800 x2 x1 1
0.8 x1 x2 1.6 x1 2 x2 1.4 x1 , x2 0
2要有各种资源和使用有关资源的技术数据 创造新价值的数据；
a i; jcj(i1 , m ;j1 , n)
共同的特征继续
3 存在可以量化的约束条件这些约束条件可 以用一组线性等式或线性不等式来表示;
4 要有一个达到目标的要求它可用决策变量 的线性函数称为目标函数来表示按问题的 不同要求目标函数实现最大化或最小化
约束条件：
a
21
x1
a22
x
2
a2n xn
b2
a
m
1
x1
am 2 x2
a mn xn
bn
x1 , x2 , , xn 0
线性规划问题的几种表示形式
M
' 1
:
n
目标函数：max z c j x j
j 1
约束条件：
n
aij x j
j 1
bi ,
i 1,2, ,m
x
j
0,
j 1,2, ,n
弛变量x6； 3 在第二个约束不等式≥号的左端减去剩
余变量x7； 4 令z′= -z把求min z 改为求max z′即可得到
该问题的标准型
例4的标准型
max z ' x1 2 x 2 3( x 4 x5 ) 0 x6 0 x7
x1 x2 ( x4 x5 ) x6
7
x1 x2 ( x4 x5 )
经第2工厂后的水质要求：
[0.8(2x1)(1.4x2 )] 2
700
1000
数学模型
目标函数 约束条件
min z 1000 x1 800 x2 x1 1
0.8 x1 x2 1.6 x1 2 x2 1.4 x1 , x2 0
第一章 线性规划
对于标准形式的线性规划问题若约束方程系数矩阵中不存在现成的初始可行基则不能简单的用上述单纯形法而通常采用所谓的人工变量法
第一章 线性规划
(Linear Programming, LP)
概述
• 线性规划问题的提出最早是1939年由前苏联 数学家康托洛维奇在研究铁路运输的组织问题、 工业生产的管理问题时提出来的。
（5）若bi < 0，则－bi > 0
举例: 化下列线性规划为标准形
max z=2x1+2x2－4x3 x1 + 3x2－3x3 ≥30 x1 + 2x2－4x3≤80 x1、x2≥0，x3无限制
max z=2x1+2x2－4x3’+4x3” x1 + 3x2－3x3’+3x3” –x4 = 30 x1 + 2x2－4x3+ 4x3” + x5 = 80 x1、x2 、x3’、x3” 、x4、x5 ≥0
称X0为该线性规划对应与基B的一个基本解。
同样，在A中任选m个线性无关的列向量都可以组成一个基， 对应基一个基本解。对于一个LP最多有多少呢？从n个中 选m个进行组合，即：
Cnm=n！/[（n－m）！m！] 因此，基本解是有限的。
举例：找出下列LP所有的基及其对应的基本解 max z=6x1+4x2 2x1 + 3x2≤100 4x1 + 2x2≤120 x1、x2≥0
资源
产品
甲
乙 资源限制
A
1
B
2
C
0
单位产品利润(元/件) 50
1
300kg
1
400kg
1
250kg
100
• 决策变量：x1、x2——分别代表甲、乙两
第一章 线性规划
(Linear Programming, LP)
概述
• 线性规划问题的提出最早是1939年由前苏联 数学家康托洛维奇在研究铁路运输的组织问题、 工业生产的管理问题时提出来的。
（5）若bi < 0，则－bi > 0
举例: 化下列线性规划为标准形
max z=2x1+2x2－4x3 x1 + 3x2－3x3 ≥30 x1 + 2x2－4x3≤80 x1、x2≥0，x3无限制
max z=2x1+2x2－4x3’+4x3” x1 + 3x2－3x3’+3x3” –x4 = 30 x1 + 2x2－4x3+ 4x3” + x5 = 80 x1、x2 、x3’、x3” 、x4、x5 ≥0
称X0为该线性规划对应与基B的一个基本解。
同样，在A中任选m个线性无关的列向量都可以组成一个基， 对应基一个基本解。对于一个LP最多有多少呢？从n个中 选m个进行组合，即：
Cnm=n！/[（n－m）！m！] 因此，基本解是有限的。
举例：找出下列LP所有的基及其对应的基本解 max z=6x1+4x2 2x1 + 3x2≤100 4x1 + 2x2≤120 x1、x2≥0
资源
产品
甲
乙 资源限制
A
1
B
2
C
0
单位产品利润(元/件) 50
1
300kg
1
400kg
1
250kg
100
• 决策变量：x1、x2——分别代表甲、乙两
运筹学 教案
《运筹学》课程教案2019-2020（ 1 ）学期授课教师： xxx授课专业：物流管理授课班级： xxxxx周学时： 3授课周数： 16xxxxxxxxxxx系第 一 章 教案教学目的和要求 教学目的：让学生对运筹学的基本概念有一个大致的了解 教学要求：要求学生能够课前预习教材内容 教学重 点难点教学重点：线性规划的图解法 教学难点：线性规划的标准形式教学内容第一章 线性规划的基本概念1.1线性规划问题及其数学模型1.1.1问题的提出1.1.2线性规划的一般数学模型 1.2线性规划的图解法1.2.1图解法的基本步骤适用于求解两个变量的线性规划问题 例4 利用例1说明图解法的主要步骤。
例1的数学模型为s.t.线性规划图解法的基本步骤：（1）建立以x 1,x 2为坐标轴的直角坐标系，画出线性规划 问题的可行域。
（2）求目标函数 Z=C 1x 1+C 2x 2 的梯度▽Z =（c 1,c 2）。
（3）任取等值线 C 1x 1+C 2x 2=Z 0, 沿梯度▽Z 正方向平移, （若是极小化问题，则沿负梯度方向-▽Z 平移）， 求等直线将离未离可行域时与可行域的交点。
121212112maxZ 5x 2x 30x 2 0x 160 5x x 15 x 4x 0, x 0=++≤⎧⎪+≤⎪⎨≤⎪⎪≥≥⎩第 二 章 教案教学目的和要求 使学生对于单纯形法有一定的了解，并且能够解决简单的关于单纯形法的问题。
教学重 点难点教学重点：单纯形法的一般原理 教学难点：表格单纯形法教学内容第二章 单纯形法2.1单纯形法的一般原理Dantzig 的单纯形法把寻优的目标集中在所有基本可行解（即可行域顶点）中。
其基本思路是从一个初始的基本可行解出发，寻找一条达到最优基本可行解的最佳途径。
单纯形法的一般步骤如下：（1）寻找一个初始的基本可行解。
（2）检查现行的基本可行解是否最优，如果为最优， 则停止迭代，已找到最优解，否则转一步。
线性 规划
• ①画出约束条件对应的直线。将约束条件“4x1≤16”和“4x2≤12” , “x1+2x2≤8”中的不等式符号“≤”变成“=”，画出方程“x1=4”， “x2=3”，“x1=+2x2= 8”对应的直线。
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1. 2图解法
• ②利用特殊坐标判断可行域。对于约束条件“x1+2x2 ≤8”，可用原 点O坐标(0,0)作为参考判断所在区域。由于“x1= 0”和“x2=0”满足 约束条件“x1+2x2 ≤8 ”，说明O点在直线“x1+2x2=8”的左侧，因 此可以判断所求区域在直线“x1+2x2=8”的左下侧。同理，也可以判 断所求可行域在“x1=4”的左侧，“x2=3”的下侧、x1轴的上侧和x2 轴的右侧。因此，可行域是由点O,A,B,C,D围成的多边形，如图1-2 所示。
– 1.企业生产质量控制的概念 – 企业生产质量控制是企业生产质量管理的一部分，是指为了达
到企业生产质量要求所采取的生产作业技术和活动。其目的在于 监视生产质量活动过程，进行控制、诊断和调整，使生产质量活 动过程处于受控状态。 – 对企业生产质量控制定义的理解需要把握好以下几个方面。 – (1)企业生产质量控制是企业生产质量管理的一个组成部分，其 目的是为了使产品、体系或过程的固有特性达到规定的要求。
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第一节 企业质量管理概述
• 二、质量管理及其演变
– 质量管理(Qualify Management, QM)的定义:是指在质量方面 指挥和控制组织的协调的活动。质量管理早已作为企业经营管理 的一部分。
– (1)戴明的质量理念。美国著名的质量管理专家，在日本推广统 计质量管理理念。总结出了PDCA模式或循环，亦即戴明循环。
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1. 2图解法
• ②利用特殊坐标判断可行域。对于约束条件“x1+2x2 ≤8”，可用原 点O坐标(0,0)作为参考判断所在区域。由于“x1= 0”和“x2=0”满足 约束条件“x1+2x2 ≤8 ”，说明O点在直线“x1+2x2=8”的左侧，因 此可以判断所求区域在直线“x1+2x2=8”的左下侧。同理，也可以判 断所求可行域在“x1=4”的左侧，“x2=3”的下侧、x1轴的上侧和x2 轴的右侧。因此，可行域是由点O,A,B,C,D围成的多边形，如图1-2 所示。
– 1.企业生产质量控制的概念 – 企业生产质量控制是企业生产质量管理的一部分，是指为了达
到企业生产质量要求所采取的生产作业技术和活动。其目的在于 监视生产质量活动过程，进行控制、诊断和调整，使生产质量活 动过程处于受控状态。 – 对企业生产质量控制定义的理解需要把握好以下几个方面。 – (1)企业生产质量控制是企业生产质量管理的一个组成部分，其 目的是为了使产品、体系或过程的固有特性达到规定的要求。
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第一节 企业质量管理概述
• 二、质量管理及其演变
– 质量管理(Qualify Management, QM)的定义:是指在质量方面 指挥和控制组织的协调的活动。质量管理早已作为企业经营管理 的一部分。
– (1)戴明的质量理念。美国著名的质量管理专家，在日本推广统 计质量管理理念。总结出了PDCA模式或循环，亦即戴明循环。
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定义1 在LP 问题中，凡满足约束条件的解 称为LP 问题的可行解，所有可行解的集合 称为可行解集（或可行域）。
定义2 使目标函数取得最优值的可行解，称 为最优解。 相应的目标函数值称为最优值.
图解法的步骤： 建立平 面直角 坐标系
根据约 束条件 找出可 行域
图示 目标 函数
确定 最优 解
【例1】
价值系数
max(min) z c1 x1 c2 x2 cn xn 目标函数 a11 x1 a12 x2 a1 n xn ( , )b1 约束条件 Subject to a21 x1 a22 x2 a2 n xn ( , )b2 s .t . a x a x a x ( , )b m2 2 mn n m m1 1 x1 , x2 , 工艺系数 , xn 0 资源系数
第一章 线性规划与单纯形法
第一章 线性规划与单纯形法
第1节 第2节 第3节 第4节 第5节 第6节 线性规划问题及其数学模型 线性规划问题的几何意义 单纯形法 单纯形法的计算步骤 单纯形法的进一步讨论 应用举例
1.1 问题的提出
【例1】最优生产计划问题。 某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品， 已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种 原材料的消耗，如表1-1所示。 Ⅰ Ⅱ
由图解法得到的结论：
求解线性规划问题最优解的方法：
确定可行域 = 凸集(凸多边形) 确定可行域顶点 = 求基可行解 寻找最优解， 如果最优解存在，则必在可行域的某一顶点 = 在基可行解中寻找
设 备 原料 A 原料 B
1 4 0
2 0 4
8 台时 16kg 12kg
该工厂每生产一件产品Ⅰ可获利2元， 每生产一件产品Ⅱ可获利3元， 问应如何安排计划使该工厂获利最多?
1、融会贯通地理解要解决的问题， 搞清在什么条件下，要追求什么目标？ 2、这个要实现的目标是由一组变量决定的—— 决策变量。 定义决策变量，每一个问题用一组决策变量 （x1 , x2 , x3 … , xn）来表示某一方案， 每组决策变量的值就代表一个具体方案； 3、用决策变量的线性函数来表示写出所要追求的 目标，我们称之为目标函数。 按问题的不同，可能要求这目标函数实现最大化 或最小化。 4、这些决策变量需要一定的限制和约束，这些约 束条件可以用一组线性等式或线性不等式来表示。
x2 6
最优解
4
可行域
最优解必落在可行域的顶点上
-8 6
0 x1
目标函数等值线 x2= -x1/3+z/3
目标函数的等值线：
max z = 15x1 +25x2
s.t.
x2=-3/5 x1+z/25
x2
x1 x2 40
B点是使z达到 最大的唯一可
x1 + 3x2 ≤ 60 x1 + x2 ≤ 40 x1， x2 ≥ 0
Ⅰ
Ⅱ
2 0 4 8 台时 16kg 12kg
数学模型
设 备 原料 A 原料 B
1 4 0
max z=2x1+3x2 s.t. x1+2x2 120 4x1 50 4x2≤12 x1,x2 0 线性规划数学模型三要素： 决策变量、约束条件、目标函数
图1-1 【例2 】. 简化的环境保护问题 靠近某河流有两个化工厂(见图11)，流经第一化工厂的河流流量 为每天500万立方米，在两个工 厂之间有一条流量为每天200万 立方米的支流。 第一化工厂每天排放污水2万m3， 第二化工厂每天排放污水 1.4万m3。 污水从工厂1流到工厂2前会有20%自然净化。 根据环保要求，河水中污水的含量应不大于0.2%。 而工厂1和工厂2处理污水的成本分别为 1000元/万m3和800元/万m3。 问两工厂各应处理多少污水才能使处理污水的总费用最低？
目标函数等值线 2
0
x1
无可行解
x1 1.5x2 8
增加的约束条件
当存在矛盾的约束条件 时，为无可行域。 在例1的数学模型中 增加一个约束条件:
x1 1.5x2 8
则可行域为空域，不存 在满足约束条件的解， 当然也就不存在最优解
小结:
唯一最优解
无穷多最优解
无界解
无可行解
线性规划的可行域和最问题转化为线性规划模型有 以下几个步骤： 1．确定决策变量：x1=产品Ⅰ的产量 x2=产品Ⅱ的产量 2．确定目标函数： 目标是使工厂获得的利润最大 max z=2x1+3x2 3．确定约束条件： x1+2x2 8 （设备的有效台时的限制） 4x1 16 （原材料A的消耗限制） 4x2 ≤12 （原材料B的消耗限制） 4．变量取值限制： 一般情况，决策变量取非负值 x1 0, x2 0
4 3 4（3，0） Q
Q3（2，3）
最优解
Q2（4，2）
8 0 4
Q1（4，0）
x1
最优解为x=(4,2)T
最优值z=14
LP图解法的基本步骤：
1、在平面上建立直角坐标系； 2、图示约束条件，确定可行域和顶点坐标； 3、图示目标函数（等值线）和其移动方向； 4、寻找最优解。
max z=x1+3x2 s.t. x1+ x2≤6 -x1+2x2≤8 x1 ≥0, x2≥0
1 活 2 动 m
价值系数
x1 x 2 xn a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m 2 a mn c1 c2 cn
资源
b1 b2 bm
1.2 二维线性规划问题的图解法 对于只有两个决策变量的LP，可以在平 面直角坐标系上作图表示其有关概念， 并进行求解。 因存在 x1 , x2 0 ，所以必须在直角坐 标系的第1象限内作图，求解。
I. 可行域为封闭的有界区域
① 有唯一的最优解
② 有无穷多个最优解 II. 可行域为非 封闭的无界区域 ③ 有唯一的最优解 ④ 有无穷多个最优解
⑤ 目标函数无界
III. 可行域为空集
⑥ 没有可行解，原问题无最优解
1、可行域为封闭的有界区域
x
2
x
2
C
z
C
z B
x
1
x
1
唯一最优解
无穷 多个最优解
2.可行域为非封闭的无界区域
可行域
4
3
2
最优解
8
0
3
4
x1
无穷多最优解(多重最优解)
即可行域的范围延伸到无 例： max z=x1+x2
穷远，目标函数值可以无 穷大或无穷小。 ≤4 s.t. -2x1+ x2 一般来说，这说明模型有 x1 - x2 ≤2 错，忽略了一些必要的约 束条件。 ≥0, x2≥0 x1 x2
无界解
4
小结2：数学模型的共同特征 （1）每一个线性规划问题都用一组决策变量 x1 , x 2 ,xn ,
每组决策变量的值就代表一个具体方案。 一般这些变量取值是非负且连续的；
(2)要有各种资源和使用有关资源的技术数据 创造新价值的数据；资源的数据: a ij; c j ; b i (i 1, m; j 1, n )
[0.8 ( 2- x1)+1.4 - x2 ] /700 ≤0.002 其他约束：
0.8x1 + x2
≥ 16
3.确定目标函数：
x1 ≤ 2
x2 ≤1.4
4.确定决策变量的约束：
Min Z=1000x1+800x2
x1, x2≥0
（非负值约束）
数学模型 目标函数 min z 1000x1 800x 2
(右边项)
max(min) Z
n
C
j 1
n
j
Xj
a ij X j b i ( i 1,2, , m ) j 1 X j 0( j 1,2, , n )
目标函数
工艺系数 价值系数 决策变量
资源系数
它们的对应关系可用表格表示：
决策变量
有最优解
b. 有无穷优多最解 无最优解 （无界解）
第 二（1）有最优解 种 分 类
唯一最优解 无穷多最优解 无界解 无可行解
（2）无最优解
4 【 例1 】 max z=2x1+ 3 x2
s.t. x1+ 2x2≤8 4x1 ≤16 4x2≤12 x1 ≥0, x2≥0
目标函数等值线
x2
结论： LP 若有最优解，必在可行 域的某个顶点上取到； 若在两个顶点上同时取到 ，则这两点的连线上 任一 点都是最优解。
决策变量
目标函数 约束条件
线性规划的一般模型形式
目标函数 max(min) z c1x1 c 2 x 2 cn x n 约束条件 a11x1 a12x 2 a1n x n ( , ) b1 a 21x1 a 22x 2 a 2n x n ( , ) b 2 (1.2) (1.3) a m1x1 a m 2 x 2 a m x n ( , ) b m x1 , x 2 , , x n 0 (1.1)
max z 2 x1 3x2
x1 2x 2 8 4x1 16 4x 2 12
x1 , x2 0
定义3 当z取某一 固定值时得到一条 直线，直线上的每 一点都具有相同的 目标函数值，称之 为“等值线”。
z 2x1 3x2
x2= - (2/3) x1 + z / 3
目标函数 等值线
max z=2x1+3x2 目标函数等值线:x2=-(2/3)x1+z/3 目标函数Z增加最快的方向就是函数 z 2x1 3x 2 s.t. x1+ 2x2≤8 x z z 2 的梯度方向 ≤16 4x1 x , x 2,3 1 2 4x2≤12 x1 ≥0, x2≥0 可行域