【高考调研】2014届高考数学总复习第九章解析几何配套单元测试(含解析)理新人教A版

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2014年全国高考真题(理科数学)分类汇编九、立体几何(逐题详解)

2014年高考题专题整理 --立体几何第I 部分1.【2014年陕西卷（理05）】已知底面边长为1，侧棱长为2则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）32.3A π .4B π .2C π 4.3D π【答案】 D【解析】D r r r r 选解得设球的半径为.π3434V ∴,1,4)2(11)2(,32222====++=π2.【2014年重庆卷（理07）】某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（）A.54B.60C.66D.72【答案】B【解析】在长方体中构造几何体'''ABC A B C -,如右图所示，4,'5,'2,3AB A A B B AC ====，经检验该几何体的三视图满足题设条件。

其表面积'''''''''ABC ACC A ABB A BCC B A B C S S S S S S ∆∆=++++，3515615146022=++++=，故选择B3.【2014年安徽卷（理07）】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为俯视图左视图正视图3245C'B'A'C BA（A ）321+ （B ）318+（C ）21（D ）18【答案】A【解析】此多面体的直观图如下图所示表面积为61121622⨯⨯⨯-⨯⨯ 3212)2(432+=⨯⨯+第（7）题图4.【2014年福建卷（理02）】某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A ．圆柱B ．圆锥C ．四面体D ．三棱柱【答案】A【解析】圆柱的正视图为矩形，故选：A5.【2014年湖南卷（理07）】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示. 将该石材切割、打磨，加工成球，则能得到最大球的半径等于A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,则2286862r r r -+-=+⇒=，故选B6.【2014年辽宁卷（理04）】已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的正（主）视图侧（左）视图俯视图111111111111是（）A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥【答案】B【解析】A ．若m ∥α，n ∥α，则m ，n 相交或平行或异面，故A 错；B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ，故B 正确；C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故C 错；D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α或n ⊥α，故D 错．故选B7.【2014年全国大纲卷（08）】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（） A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π【答案】A【解析】设球的半径为R ，则∵棱锥的高为4，底面边长为2， ∴R 2=（4﹣R ）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=．故选：A8.【2014年四川卷（理08）】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。

【高考调研】2014届高考数学总复习第九章解析几何课时作业62(含解析)理新人教A版

课时作业(六十二)1．若椭圆x 216＋y 2b2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( )A ．2 5B ．2 3C ．4 5D ．4 3答案 D解析 ∵椭圆过(－2，3)，则有416＋3b 2＝1，b 2＝4，c 2＝16－4＝12，c ＝23，2c ＝4 3.故选D.2．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8答案 D解析椭圆焦点在y 轴上，∴a 2＝m －2，b 2＝10－m . 又c ＝2，∴m －2－(10－m )＝c 2＝4. ∴m ＝8.3．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值为( )A ．3B ．3或253C.15D.15或5153答案 B解析若焦点在x 轴上，则有⎩⎪⎨⎪⎧5>m ，5－m 5＝105.∴m ＝3.若焦点在y 轴上，则有⎩⎪⎨⎪⎧m >5，m －5m＝105.∴m ＝253.4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1、F 2，b ＝4，离心率为35.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．10B ．12C ．16D ．20答案 D解析如图，由椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ，又e ＝c a ＝35，即c ＝35a ， ∴a 2－c 2＝1625a 2＝b 2＝16.∴a ＝5，△ABF 2的周长为20.5．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任一点到两焦点的距离分别为d 1，d 2，焦距为2c .若d 1,2c ，d 2成等差数列，则椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.34答案 A解析由d 1＋d 2＝2a ＝4c ，∴e ＝c a ＝12.6．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→²MF 2→＝0，则点M 到y 轴的距离为( )A.233 B.263C.33D. 3答案 B解析由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M (x ，y )，则MF 1→²MF 2→＝(－3－x ，－y )²(3－x ，－y )＝0，整理得x 2＋y 2＝3.① 又因为点M 在椭圆上，故x 24＋y 2＝1，即y 2＝1－x 24.②将②代入①，得34x 2＝2，解得x ＝±263.故点M 到y 轴的距离为263.7．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈(12，1)，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(3，163)C ．(0,3)∪(163，＋∞)D ．(0,2)答案 C解析当k >4时，c ＝k －4，由条件知14<k －4k <1，解得k >163；当0<k <4时，c ＝4－k ，由条件知14<4－k4<1，解得0<k <3，综上知选C.8．(2013²温州五校)已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，若PF 1→²PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )A.12B.23C.13D.53答案 D解析由PF 1→²PF 2→＝0，得△PF 2F 2为直角三角形，由tan ∠PF 1F 2＝12，设|PF 2|＝s ，则|PF 1|＝2s ，又|PF 2|2＋|PF 1|2＝4c 2(c ＝a 2－b 2)，即4c 2＝5s 2，c ＝52s ，而 |PF 2|＋|PF 1|＝2a ＝3s ，∴a ＝3s 2.∴离心率e ＝c a ＝53，故选D.9．已知椭圆x 24＋y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，点P 为该椭圆上一动点，则当PF 2→²PA 1→取最小值时|PA 1→＋PF 2→|的取值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5答案 B解析由已知得a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以F 2(1,0)，A 1(－2,0)，设P (x ，y )，则PF 2→²PA 1→＝(1－x ，－y )²(－2－x ，－y ) ＝(1－x )(－2－x )＋y 2.又点P (x ，y )在椭圆上，所以y 2＝3－34x 2，代入上式，得PF 2→²PA 1→＝14x 2＋x ＋1＝14(x ＋2)2.又x ∈[－2,2]，所以x ＝－2时，PF 2→²PA 1→取得最小值．所以P (－2,0)，求得|PF 2→＋PA 1→|＝3.10．设F 1，F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心作圆，已知圆F 2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于点M ，若直线MF 1恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率为 ( )A.3－1 B ．2－ 3 C.22D.32答案 A解析由题意知∠F 1MF 2＝π2，|MF 2|＝c ，|F 1M |＝2a －c ，则c 2＋(2a －c )2＝4c 2，e 2＋2e－2＝0，解得e ＝3－1.11．已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为______________．答案 8解析直线y ＝k (x ＋3)过定点N (－3，0)，而M 、N 恰为椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM 的周长为4a ＝4³2＝8.12．已知点A (4,0)和B (2,2)，M 是椭圆x 225＋y 29＝1上一动点，则|MA |＋|MB |的最大值为________．答案 10＋210 解析显然A 是椭圆的右焦点，如图所示，设椭圆的左焦点为A 1(－4,0)，连BA 1并延长交椭圆于M 1，则M 1是使|MA |＋|MB |取得最大值的点．事实上，对于椭圆上的任意点M 有：|MA |＋|MB |＝2a －|MA 1|＋|MB |≤2a ＋|A 1B |(当M 1与M 重合时取等号)，∴|MA |＋|MB |的最大值为2a ＋|A 1B |＝2³5＋62＋22＝10＋210.13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，直线l 为圆O ：x 2＋y 2＝b 2的一条切线，记椭圆C的离心率为e .若直线l 的倾斜角为π3，且恰好经过椭圆的右顶点，则e 的大小为______．答案 12解析如图所示，设直线l 与圆O 相切于C 点，椭圆的右顶点为D ，则由题意，知△OCD 为直角三角形，且OC ＝b ，OD ＝a ，∠ODC ＝π3，∴CD ＝OD 2－OC 2＝a 2－b 2＝c (c 为椭圆的半焦距)，∴椭圆的离心率e ＝c a ＝cos π3＝12.14．F 1，F 2是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |的长为________．答案 23解析由椭圆的定义可知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝1，|BF 1|＋|BF 2|＝1，相加得 |AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝2.∴|AF 2|＋|BF 2|＝2－(|AF 1|＋|BF 1|)＝2－|AB |. ∵|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列， ∴2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|.于是2|AB |＝2－|AB |，∴|AB |＝23.15.如右图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程．解析 (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形．所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题知A (0，b )，F 2(1,0)，设B (x ，y )，由AF 2→＝2F 2B →，解得x ＝32，y ＝－b2.代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b 2＝1.即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3. 所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.16．(2013²沧州七校联考)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶ 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．答案 (1)x 216＋y 212＝1 (2)1≤m ≤4解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a b ＝23，a 2＝b 2＋4，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝12.∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P (x 0，y 0)，且x 2016＋y 2012＝1，∴|MP →|2＝(x 0－m )2＋y 20 ＝x 20－2mx 0＋m 2＋12(1－x 2016)＝14x 20－2mx 0＋m 2＋12 ＝14(x 0－4m )2－3m 2＋12. ∴|MP →|2为关于x 0的二次函数，开口向上，对称轴为4m . 由题意知，当x 0＝4时，|MP →|2最小，∴4m ≥4，∴m ≥1. 又点M (m,0)在椭圆长轴上，∴1≤m ≤4.17．(2013²潍坊质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，且与椭圆x 2＋y 22＝1有相同的离心率，斜率为k 的直线l 经过点M (0,1)，与椭圆C 交于不同的两点A 、B .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当椭圆C 的右焦点F 在以AB 为直径的圆内时，求k 的取值范围．解析 (1)∵椭圆C 的焦距为4，∴c ＝2. 又∵椭圆x 2＋y 22＝1的离心率为22，∴椭圆C 的离心率e ＝c a ＝2a ＝22，∴a ＝22，b ＝2.∴椭圆C 的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y24＝1消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kx －6＝0.∴x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k2.由(1)知椭圆C 的右焦点F 的坐标为(2,0)， ∵右焦点F 在圆的内部，∴AF →²BF →<0. ∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2<0，即x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1<0. ∴(1＋k 2)x 1x 2＋(k －2)(x 1＋x 2)＋5＝(1＋k 2)²－61＋2k 2＋(k －2)²－4k 1＋2k 2＋5＝8k －11＋2k 2<0，∴k <18.经检验，当k <18时，直线l 与椭圆C 相交．∴直线l 的斜率k 的取值范围为(－∞，18)．1．已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P (－2，1)在椭圆上，线段PF 2与y 轴的交点M 满足PM →＋F 2M →＝0.(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 上任一动点N (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为N 1(x 1，y 1)，求3x 1－4y 1的取值范围．解析 (1)由已知，点P (－2，1)在椭圆上， ∴有2a 2＋1b2＝1.①又∵PM →＋F 2M →＝0，M 在y 轴上， ∴M 为PF 2的中点． ∴－2＋c ＝0，c ＝ 2. ∴a 2－b 2＝2，②解得①②，得b 2＝2(b 2＝－1舍去)，∴a 2＝4.故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)∵点N (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为N 1(x 1，y 1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－y 1x 0－x 1³2＝－1，y 0＋y 12＝2³x 0＋x12.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝4y 0－3x 05，y 1＝3y 0＋4x5.∴3x 1－4y 1＝－5x 0.∵点N (x 0，y 0)在椭圆C ：x 24＋y 22＝1上，∴－2≤x 0≤2. ∴－10≤－5x 0≤10，即3x 1－4y 1的取值范围为[－10,10]．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点F 及点A (0，b )，原点O 到直线FA 的距离为22b . (1)求椭圆C 的离心率e ；(2)若点F 关于直线l ：2x ＋y ＝0的对称点P 在圆O ：x 2＋y 2＝4上，求椭圆C 的方程及点P 的坐标．解析 (1)由点F (－ae,0)，点A (0，b )及b ＝1－e 2a 得直线FA 的方程为x －ae ＋y1－e 2a ＝1，即1－e 2x －ey ＋ae 1－e 2＝0，∵原点O 到直线FA 的距离为22b ＝a1－e22， ∴ae 1－e 21－e 2＋e2＝a 1－e 22，解得e ＝22. (2)∵F (－22a,0)关于直线l 的对称点P 在圆O 上，且直线l ：2x ＋y ＝0经过圆O ：x 2＋y 2＝4的圆心O (0,0)，∴F (－22a,0)也在圆O 上．从而(－22a )2＋02＝4，得a 2＝8，∴b 2＝(1－e 2)a 2＝4. ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.∵F (－2,0)与P (x 0，y 0)关于直线l 对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＋2＝12，2²x 0－22＋y2＝0.解得x 0＝65，y 0＝85.∴点P 的坐标为(65，85)．3.如图，从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且它的长轴端点A 与短轴端点B 的连线AB ∥OM .(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上任一点，F 2是右焦点，F 1是左焦点，求∠F 1QF 2的取值范围； (3)设Q 是椭圆上任一点，当QF 2⊥AB 时，延长QF 2与椭圆交于另一点P ，若△F 1PQ 的面积为203，求此时椭圆的方程．解析 (1)∵MF 1⊥x 轴，∴x M ＝－c .代入椭圆方程，得y M ＝b 2a ，∴k OM ＝－b 2ac.又∵k AB ＝－ba且OM ∥AB ，∴－b 2ac ＝－b a .故b ＝c ，从而e ＝22.(2)设|QF 1|＝r 1，|QF 2|＝r 2，∠F 1QF 2＝θ. ∵r 1＋r 2＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，∴cos θ＝r 21＋r 22－4c22r 1r 2＝r 1＋r 22－2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝4b 22r 1r 2－1＝a 2r 1r 2－1≥a 2r 1＋r 222－1＝11 0.(当且仅当r 1＝r 2时，等号成立)∵0≤cos θ≤1，故θ∈[0，π2]． (3)∵b ＝c ，a ＝2c ，∴设椭圆方程为x 22c 2＋y 2c 2＝1. ∵PQ ⊥AB ，k AB ＝－22，k PQ ＝2，∴直线PQ 的方程为y ＝2(x －c )．联立可得5x 2－8cx ＋2c 2＝0.∴|PQ |＝[8c 52－4³2c25]1＋2＝62c5.又点F 1到PQ 的距离d ＝263c ，∴S △F 1PQ ＝12d |PQ |＝12³263c ³625c ＝435c 2. 由435c 2＝203，得c 2＝25，故2c 2＝50. ∴所求椭圆方程为x 250＋y 225＝1.。

2014届高考高三数学一轮复习数学(人教A版·理)【配套训练】第九章平面解析几何9.5

第5讲曲线与方程基础巩固1.(2012·福建泉州质检)方程x2+xy=x表示的曲线是( )A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线【答案】C【解析】方程变形为x(x+y-1)=0,即x=0或x+y-1=0,故方程表示直线x=0或直线x+y-1=0.2.已知两个定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )A.πB.4πC.8πD.9π【答案】B【解析】设P(x,y),则由题意得=2,整理得x2+y2-4x=0,即(x-2)2+y2=4,所以轨迹是一个以(2,0)为圆心,2为半径的圆,其围成的图形的面积等于4π.3.已知||=3,A,B分别在y轴和x轴上运动,O为原点,=+,则动点P的轨迹方程是( )A.+y2=1B.x2+=1C.+y2=1D.x2+=1【答案】A【解析】设A(0,y0),B(x0,0),P(x,y),则由||=3得+=9,又因为=(x,y),=(0,y0),=(x0,0),由=+得x=,y=,因此,x0=,y0=3y,将其代入+=9得+y2=1.4.已知动圆P与定圆C:(x+2)2+y2=1相外切,又与定直线l:x=1相切,那么动圆的圆心P的轨迹方程为( )A.y2=-4xB.y2=4xC.y2=-8xD.y2=8x【答案】C【解析】由于动圆P与定圆C:(x+2)2+y2=1相外切,又与定直线l:x=1相切,所以动圆的圆心P到点(-2,0)的距离比到直线l:x=1的距离大1,从而动圆的圆心P到点(-2,0)的距离与到直线l:x=2的距离相等,由抛物线的定义知动圆的圆心P的轨迹为抛物线,其方程为y2=-8x.5.方程x2+y2+2ax+2y+(a-1)2=0,当0<a<1时表示一封闭曲线,那么原点( )A.在曲线外B.在曲线上C.在曲线内D.与曲线的位置不确定【答案】A【解析】方程可化为(x+a)2+(y+1)2=2a,表示以(-a,-1)为圆心,为半径的圆.∵原点到圆心的距离等于,大于,∴原点在曲线外.6.已知点A(-2,0),B(3,0),动点P(x,y)满足·=x2-6,则点P的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】D【解析】∵=(-2-x,-y),=(3-x,-y),又·=x2-6,∴(-2-x)(3-x)+(-y)2=x2-6,化简得y2=x.7.已知动圆P与圆(x+2)2+y2=4外切,又与直线x-2=0相切,则动圆圆心P点的轨迹方程为( )A.y2=12(x-1)B.y2=-12(x-1)C.y2=-8xD.y2=6(x-1)【答案】B【解析】设点P(x,y),由题意可得=4-x,整理,得y2=-12(x-1).8.方程(x+y-1)=0所表示的曲线是.【答案】直线x=1或射线x+y-1=0(x≥1)【解析】由方程(x+y-1)=0可得或即x+y-1=0(x≥1)或x=1.∴方程表示的曲线是直线x=1和射线x+y-1=0(x≥1).9.已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是.【答案】+=1(y≠0)【解析】设抛物线焦点为F,过A,B,O作准线的垂线AA1,BB1,OO1,则|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4,由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,∴|FA|+|FB|=4.故F点的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).10.直线+=1与x轴、y轴相交于A,B两点,则线段AB的中点的轨迹方程是.【答案】x+y=1(x≠0,x≠1)【解析】(参数法)直线+=1与x轴、y轴的交点坐标分别为A(a,0),B(0,2-a),线段AB的中点为M(x,y),则x=,y=1-,消去a,得x+y=1,∵a≠0,a≠2,∴x≠0,x≠1.11.如图所示,线段AB与CD互相垂直平分于点O,|AB|=2a(a>0),|CD|=2b(b>0),动点P满足|PA|·|PB|=|PC|·|PD|,求动点P的轨迹方程.【解】以O为坐标原点,直线AB,CD分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.设P(x,y)是曲线上的任意一点,则A(-a,0),B(a,0),C(0,-b),D(0,b),由题意知,|PA|·|PB|=|PC|·|PD|,∴·=·.化简,得x2-y2=.12.设F(1,0),M点在x轴上,P点在y轴上,且=2,⊥.当点P在y轴上运动时,求点N的轨迹方程.【解】设M(a,0),P(0,b),动点N(x,y),则=(x-a,y),=(-a,b),=(1,-b).∵=2,⊥.∴且-a-b2=0.上述两式消去a,b,得y2=4x.∴动点N的轨迹方程为y2=4x.13.一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆x2+y2-6x-91=0内切,求动圆圆心M的轨迹方程,并说明它是什么曲线.【解】如图所示,设动圆圆心为M(x,y),半径为R.设已知圆的圆心分别为O1,O2,将圆的方程分别配方,得(x+3)2+y2=4,(x-3)2+y2=100,当动圆与圆O1相外切时,有|O1M|=R+2.①当动圆与圆O2相内切时,有|O2M|=10-R.②将①②两式相加,得|O1M|+|O2M|=12>|O1O2|,即动圆圆心M(x,y)到点O1(-3,0)和O2(3,0)的距离和是常数12,所以点M的轨迹是焦点为O1(-3,0),O2(3,0),长轴长等于12的椭圆.由2c=6,2a=12,得c=3,a=6,从而b2=36-9=27,故动圆圆心轨迹的方程为+=1,轨迹为椭圆.拓展延伸14.在平面直角坐标系xOy中,点P到点F(3,0)的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d,当P点运动时,d恒等于点P的横坐标与18之和,求点P的轨迹C.【解】设点P的坐标为(x,y),则d=4+3|x-2|.由题设可知d=x+18,即4+3|x-2|=x+18.①当x>2时,由①得=6-x,化简得+=1.当x≤2时,由①得=3+x,化简得y2=12x.故点P的轨迹C是椭圆C1:+=1在直线x=2的右侧部分与抛物线C2:y2=12x在直线x=2的左侧部分(包括它与直线x=2的交点)所组成的曲线.。

【高考调研】2014届高考数学总复习第九章解析几何课时作业66(含解析)理新人教A版

课时作业(六十六)1．抛物线y ＝2x 2的准线方程为( )A ．y ＝－18B ．y ＝－14C ．y ＝－12D ．y ＝－1答案 A解析由y ＝2x 2，得x 2＝12y ，故抛物线y ＝2x 2的准线方程为y ＝－18，选A.2．抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离是 ( )A.18 B.14 C.116D ．1答案 A解析由x 2＝14y 知，p ＝18，所以焦点到准线的距离为p ＝18.3．过点P (－2,3)的抛物线的标准方程是 ( )A ．y 2＝－92x 或x 2＝43yB ．y 2＝92x 或x 2＝43yC ．y 2＝92x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝－43y答案 A解析设抛物线的标准方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2,3)，解得k ＝－92，m ＝43，∴y 2＝－92x 或x 2＝43y ，选A. 4．焦点为(2,3)，准线是x ＋6＝0的抛物线方程为 ( )A ．(y －3)2＝16(x －2) B ．(y －3)2＝8(x ＋2) C ．(y －3)2＝16(x ＋2) D ．(y －3)2＝8(x －2)答案 C解析设(x ，y )为抛物线上一点，由抛物线定义x －2＋y －2＝|x ＋6|，平方整理，得(y －3)2＝16(x ＋2)．5．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是 ( )A.|a |4B.|a |2C ．|a |D ．－a2答案 B解析 ∵y 2＝ax ，∴p ＝|a |2，即焦点到准线的距离为|a |2，故选B.6．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3 C. 5 D.92答案 A解析记抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，准线是直线l ，则点F 的坐标是(12，0)，由抛物线的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F 与点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于122＋22＝172，选A. 7．(2013·皖南八校)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A (72，4)，则|PA |＋|PM |的最小值是( )A.72 B ．4 C.92 D ．5答案 C解析设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F (12，0)，又点A (72，4)在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －12，又|PA |＋d ＝|PA |＋|PF |≥|AF |＝5，所以|PA |＋|PM |≥92.故选C.8．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 到x 轴的距离是( )A.1716B ．1 C.78 D.1516答案 D解析由y ＝4x 2，得x 2＝14y ，准线方程为y ＝－116，作MD 垂直于准线，垂足为D ，∴|MF |＝|MD |＝1＝y 0＋116.∴y 0＝1516，即点M 到x 轴的距离是1516.9．顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线上的一点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( )A ．－2B ．2或－2C ．4D ．4或－4答案 D解析由题意知抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，准线方程为y ＝p 2，∴p2＋2＝4，∴p ＝4，∴抛物线方程为x 2＝－8y .代入(m ，－2)得m ＝±4，故选D.10．(2013·厦门质检)已知动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，则此动圆必过定点( )A ．(2,0)B ．(1,0)C ．(0,1)D ．(0，－1)答案 B解析因为动圆的圆心在抛物线y 2＝4x 上，且x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)．所以选B.11．点A 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于A. 2B. 3C. 5D. 6答案 C解析求抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的交点⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝b ax ，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pa 2b 2，y ＝2pa b ，所以2pa 2b 2＝p 2，c 2＝5a 2，e ＝5，选C.12.如图，过抛物线y 2＝4x 焦点的直线依次交抛物线和圆(x －1)2＋y 2＝1于A 、B 、C 、D 四点，则|AB |·|CD |＝( )A ．4B ．2C ．1 D.12答案 C解析 ∵|AB |·|CD |为定值，∴分析直线与x 轴垂直的情况，即可得到答案．∵圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，半径为1， ∴此时|AB |＝|CD |＝1. ∴|AB |·|CD |＝1，故选C.13．边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点，且过A 、B 的抛物线方程是________．答案 y 2＝±36x 解析根据题意可知抛物线以x 轴为对称轴，当开口向右时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，设抛物线方程为y 2＝2px ，则有14＝2p ·32，所以p ＝143.抛物线方程为y 2＝36x ，同理可得，当开口向左时，抛物线方程为y 2＝－36x . 14．一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝ax 上，另一个顶点在坐标原点，若这个三角形的面积为363，则a ＝________.答案 ±2 3解析设正三角形边长为x ，则363＝12x 2sin60°.∴x ＝12.当a >0时，将(63，6)代入y 2＝ax 得a ＝2 3.当a <0时，将(－63，6)代入y 2＝ax 得a ＝－23，故a ＝±2 3.15．已知抛物线y ＝ax 2－1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________．答案 2解析 y ＝ax 2－1变形为x 2＝1a (y ＋1)，此抛物线焦点坐标为(0，14a －1)，由题意14a －1＝0，∴a ＝14.∴抛物线为y ＝14x 2－1，令y ＝0，得x ＝±2，如图．顶点A (0，－1)，|BC |＝4.∴S △ABC ＝12|BC |·|AF |＝12×4×1＝2.16．抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y ＝2x ，斜边长为513，求此抛物线方程．解析设抛物线y 2＝2px (p >0)的内接直角三角形为AOB ，直角边OA 所在直线方程为y ＝2x ，另一直角边所在直线方程为y ＝－12x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，可得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，p ；解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y 2＝2px ，可得点B 的坐标为(8p ，－4p )．∵|OA |2＋|OB |2＝|AB |2，且|AB |＝513，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫p 24＋p 2＋(64p 2＋16p 2)＝325. ∴p ＝2，∴所求的抛物线方程为y 2＝4x .17．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A 、B 是抛物线C 上的两个动点(AB 不垂直于x 轴)，且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q (6,0)，求此抛物线的方程．答案 y 2＝8x解析设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，其准线方程为x ＝－p2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为|AF |＋|BF |＝8，所以x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8，即x 1＋x 2＝8－p .因为Q (6,0)在线段AB 的中垂线上，所以QA ＝QB ，即(x 1－6)2＋y 21＝(x 2－6)2＋y 22. 又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2－12＋2p )＝0. 因为x 1≠x 2，所以x 1＋x 2＝12－2p . 故8－p ＝12－2p . 所以p ＝4.所以所求抛物线方程是y 2＝8x .18．(2012·江西)已知三点O (0,0)，A (－2,1)，B (2,1)，曲线C 上任意一点M (x ，y )满足|MA →＋MB →|＝OM →·(OA →＋OB →)＋2.(1)求曲线C 的方程；(2)点Q (x 0，y 0)(－2<x 0<2)是曲线C 上的动点，曲线C 在点Q 处的切线为l ，点P 的坐标是(0，－1)，l 与PA ，PB 分别交于点D ，E ，求△QAB 与△PDE 的面积之比．答案 (1)x 2＝4y (2)2解析 (1)由MA →＝(－2－x,1－y )，MB →＝(2－x,1－y )，得 |MA →＋MB →|＝－2x2＋－2y2＝2y ＋2.化简得曲线C 的方程是x 2＝4y .(2)直线PA ，PB 的方程分别是y ＝－x －1，y ＝x －1，曲线C 在Q 处的切线l 的方程是y ＝x 02x －x 204，且与y 轴的交点为F (0，－x 204)，分别联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －1，y ＝x 02x －x 204，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝x 02x －x 204解得D ，E 的横坐标分别是x D ＝x 0－22，x E ＝x 0＋22，则x E －x D ＝2，|FP |＝1－x 204.故S △PDE ＝12|FP |·|x E －x D |＝12(1－x 204)·2＝4－x 24.而S △QAB ＝12·4·(1－x 204)＝4－x 202，则S △QABS △PDE ＝2.即△QAB 与△PDE 的面积之比为2.。

高考数学一轮复习第九章《解析几何》精编配套试题(含解析)文新人教A版

2014届高考数学（文）一轮复习单元测试第九章解析几何一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1、．（2013年高考重庆卷（文4））设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上的动点,Q 是直线3x =-上的动点,则PQ的最小值为（） A ．6B ． 4C ．3D ．22 ．（2013年高考天津卷（文5））已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（） A ．12-B ．1C ．2D ．123 ．（2013年高考广东卷（文7））垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是（）A ．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y +=4、【云南省昆明一中2013届高三第二次高中新课程双基检测数学文】椭圆221259x y +=的焦距为A ．4B ．6C ．8D ．105、【北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文】点P 是抛物线24y x =上一点，P 到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为A ．2 B. 3 C. 4 D.56．（ 2013年高考福建卷（文））双曲线122=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于（） A ．21 B ．22 C ．1D ．27、【东北三校2013届高三3月第一次联考】与椭圆:C 2211612y x +=共焦点且过点(1,3)的双曲线的标准方程为（）A ．2213y x -= B ．2221y x -=C ．22122y x -= D ．2213y x -=8 ．（2013年高考广东卷（文））已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C的方程是（）A ．14322=+y xB ．13422=+y xC ．12422=+y x D ．13422=+y x9 ．（2013年高考重庆卷（文10））设双曲线C 的中心为点O ,若有且只有一对相较于点O 、所成的角为060的直线11A B 和22A B ,使1122A B A B =,其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是（） A ．23(,2]3B ．23[,2)3C ．23(,)3+∞ D ．23[,)3+∞ 10、【山东省潍坊一中2013届高三12月月考测试数学文】设12,F F 分别是椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点，与直线y b =相切的2F e 交椭圆于点E ，E 恰好是直线EF 1与2F e 的切点，则椭圆的离心率为33 5 511．（2013年高考课标Ⅰ卷（文8））O 为坐标原点,F 为抛物线2:42C y x =的焦点,P 为C上一点,若||42PF =,则POF∆的面积为（）A ．2B ．C ．D ．412、【贵州省遵义四中2013届高三第四月考文】设圆锥曲线C 的两个焦点分别为1F 、2F ，若曲线C 上存在点P 满足1PF ：12F F ：2PF =4：3：2，则曲线C 的离心率等于（）（A ）2332或（B ）223或（C ）122或（D ）1322或二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．【北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文】已知双曲线中心在原点，一个焦点为)0,5(1-F ，点P 在双曲线上，且线段1PF 的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是，离心率是 . 14.（2013年高考江西卷（文14））若圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C 的方程是_________.15、（2013年高考湖南（文14））设F 1,F 2是双曲线C,22221a x y b-= (a>0,b>0)的两个焦点.若在C 上存在一点P.使PF 1⊥PF 2,且∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为___________.16、（2013年高考辽宁卷（文15））已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点, ,P Q 为C 上的点,若PQ 的长等于虚轴长的2倍,点()5,0A 在线段PQ 上,则PQF ∆的周长为____________.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分) （2013年高考四川卷（文））已知圆C 的方程为22(4)4x y +-=,点O 是坐标原点.直线:l y kx =与圆C 交于,M N 两点.(Ⅰ)求k 的取值范围;(Ⅱ)设(,)Q m n 是线段MN 上的点,且222211||||||OQ OM ON =+.请将n 表示为m 的函数.18. (本小题满分12分) （2013年高考广东卷（文））已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为322.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (1) 求抛物线C 的方程;(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (3) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.19．(本小题满分12分) 【北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文】已知椭圆的中心在原点O ，短半轴的端点到其右焦点()2,0F 的距离为10，过焦点F 作直线l ，交椭圆于,A B 两点．（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；（Ⅱ）若椭圆上有一点C ，使四边形AOBC 恰好为平行四边形，求直线l 的斜率．20．(本小题满分12分) 【（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知圆22:(1)1M x y ++=,圆22:(1)9N x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C .(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长是,求||AB .21．(本小题满分12分) （2013年高考福建卷（文））如图,在抛物线2:4E y x =的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上,以C 为圆心OC 为半径作圆,设圆C 与准线l 的交于不同的两点,M N .(1)若点C 的纵坐标为2,求MN ; (2)若2AFAM AN =⋅,求圆C 的半径.22．(本小题满分12分) （上海市虹口区2013届高三（二模）数学（文）试卷）已知抛物线C :px y 22=)0(>p ,直线l 交此抛物线于不同的两个点),(11y x A 、),(22y x B .(1)当直线l 过点)0,(p M -时,证明21y y ⋅为定值;(2)当p y y -=21时,直线l 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由; (3)记)0,(p N ,如果直线l 过点)0,(p M -,设线段AB 的中点为P ,线段PN 的中点为Q .问是否存在一条直线和一个定点,使得点Q 到它们的距离相等?若存在,求出这条直线和这个定点;若不存在,请说明理由.祥细答案一、选择题 1、【答案】B【解析】本题考查圆的性质以及距离公式。

2024年高考数学总复习第九章《平面解析几何》复习试卷及答案解析

2024年高考数学总复习第九章《平面解析几何》复习试卷及答案解析一、选择题1．已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是()A．长轴长为12B．焦距为34C．短轴长为14D．离心率为32答案D解析由椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得x2 1 16＋y214＝1，所以a＝12，b＝14，c＝34，长轴2a＝1，焦距2c＝32，短轴2b＝12，离心率e＝ca＝32.故选D.2．双曲线x23－y29＝1的渐近线方程是()A．y＝±3x B．y＝±13xC．y＝±3x D．y＝±33x 答案C解析因为x23－y29＝1，所以a＝3，b＝3，渐近线方程为y＝±ba x，即为y＝±3x，故选C.3．已知双曲线my2－x2＝1(m∈R)与抛物线x2＝8y有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为()A．y＝±3x B．y＝±3xC．y＝±13x D．y＝±33x答案A解析∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)，∴双曲线的一个焦点为(0,2)，∴1m ＋1＝4，∴m ＝13，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，故选A.4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和直线l ：x 4＋y3＝1，若过C 的左焦点和下顶点的直线与l平行，则椭圆C 的离心率为()A.45B.35C.34D.15答案A解析直线l 的斜率为－34，过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，所以b c ＝34，又b 2＋c 2＝a 2＋c 2＝a 2⇒2516c 2＝a 2，所以e ＝c a ＝45，故选A.5．(2019·洛阳、许昌质检)若双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是()A ．(1,2]B ．[2，＋∞)C ．(1，3]D ．[3，＋∞)答案A 解析双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一条渐近线方程是bx －y ＝0，由题意圆x 2＋(y －2)2＝1的圆心(0,2)到bx －y ＝0的距离不小于1，即2b 2＋1≥1，则b 2≤3，那么离心率e ∈(1,2]，故选A.6．(2019·河北武邑中学调研)已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |＝2|FB |，则k 等于()A.13B.23C.23D.223答案D解析＝k (x ＋2)，2＝8x ，消去y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，Δ＝(4k 2－8)2－16k 4>0，又k >0，解得0<k <1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝8k 2－4，①x 1x 2＝4，②根据抛物线定义及|FA |＝2|FB |得x 1＋2＝2(x 2＋2)，即x 1＝2x 2＋2，③且x 1>0，x 2>0，由②③解得x 1＝4，x 2＝1，代入①得k 2＝89，∵0<k <1，∴k ＝223.故选D.7．(2019·唐山模拟)双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±7x ，则E 的离心率为()A ．2 B.2147C ．22D ．23答案C解析由题意，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±7x ，即ba＝7，所以双曲线的离心率为e ＝ca＝a 2＋b 2a2＝22，故选C.8．(2019·河北衡水中学模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2＝45°，则双曲线的渐近线方程为()A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±xD ．y ＝±2x答案A解析如图，作OA ⊥F 1M 于点A ，F 2B ⊥F 1M 于点B .因为F 1M 与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∠F 1MF 2＝45°，所以|OA |＝a ，|F 2B |＝|BM |＝2a ，|F 2M |＝22a ，|F 1B |＝2b .又点M 在双曲线上，所以|F 1M |－|F 2M |＝2a ＋2b －22a ＝2a .整理，得b ＝2a .所以ba＝ 2.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .故选A.9．(2019·湖南五市十校联考)在直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，直线MN 与x 轴交于点R ，若∠NFR ＝60°，则|FR |等于()A ．2 B.3C ．23D ．3答案A解析由抛物线C ：y 2＝4x ，得焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，因为M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，所以MN ∥QF ，所以四边形QMRF 为平行四边形，|FR |＝|QM |，又由PQ 垂直l 于点Q ，可知|PQ |＝|PF |，因为∠NFR ＝60°，所以△PQF 为等边三角形，所以FM ⊥PQ ，所以|FR |＝2，故选A.10．已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为()A.2B.32C.3D ．2答案A解析因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a .又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义，得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a ，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝ca＝ 2.11．(2019·湖南长沙长郡中学调研)已知点P (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与抛物线y 2＝2x交于不同的两点A ，B ，若x 轴是∠APB 的角平分线，则直线l 一定过点()B ．(1,0)C ．(2,0)D ．(－2,0)答案B解析根据题意，直线的斜率存在且不等于零，设直线的方程为x ＝ty ＋m (t ≠0)，与抛物线方程联立，消元得y 2－2ty －2m ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为x 轴是∠APB 的角平分线，所以AP ，BP 的斜率互为相反数，所以y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝0，所以2ty 1y 2＋(m ＋1)(y 1＋y 2)＝0，结合根与系数之间的关系，整理得出2t (－2m )＋2tm ＋2t ＝0,2t (m －1)＝0，因为t ≠0，所以m ＝1，所以过定点(1,0)，故选B.12．(2019·陕西四校联考)已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝2π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则3e 21＋1e 22等于()A ．4B ．23C ．2D ．3答案A解析如图所示，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，设|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝2π3，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos2π3，化简得3a 21＋a 22＝4c 2，该式可变成3e 21＋1e 22＝4.故选A.二、填空题13．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为________．答案22解析双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，点(4,0)到C 的渐近线的距离为|±4|2＝2 2.14．(2019·新乡模拟)设P 为曲线2x ＝4＋y 2上一点，A (－5，0)，B (5，0)，若|PB |＝2，则|PA |＝________.答案4解析由2x ＝4＋y 2，得4x 2＝4＋y 2(x >0)，即x 2－y 24＝1(x >0)，故P 为双曲线x 2－y 24＝1右支上一点，且A ，B 分别为该双曲线的左、右焦点，则|PA |－|PB |＝2a ＝2，|PA |＝2＋2＝4.15．已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，直线y ＝k (x －1)(k ≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D ，则|AB |·|CD |的值是________．答案1解析设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则|AB |·|CD |＝(|AF |－1)(|DF |－1)＝(x 1＋1－1)(x 2＋1－1)＝x 1x 2，由y ＝k (x －1)与y 2＝4x 联立方程消y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，x 1x 2＝1，因此|AB |·|CD |＝1.16．(2019·四省联考诊断)在平面上给定相异两点A ，B ，设P 点在同一平面上且满足|PA ||PB |＝λ，当λ＞0且λ≠1时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D为椭圆的短轴端点，动点P 满足|PA ||PB |＝2，△PAB 的面积最大值为163，△PCD 面积的最小值为23，则椭圆的离心率为________．答案32解析依题意A (－a ,0)，B (a ,0)，设P (x ，y )，依题意得|PA |＝2|PB |，(x ＋a )2＋y 2＝2(x －a )2＋y 2，两边平方化简得－53a ＋y 2，r ＝4a3.所以△PAB 的最大面积为12·2a ·43a ＝163，解得a ＝2，△PCD 的最小面积为12·2b b ·a 3＝23，解得b ＝1.故椭圆的离心率为e ＝1－14＝32.三、解答题17．(2019·湖南长沙长郡中学调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：(x －3)2＋(y －b )2＝r 2(r 为正数，b ∈R )．(1)若对任意给定的r ∈(0，＋∞)，直线l ：y ＝－x ＋r ＋4总能把圆M 的周长分成3∶1的两部分，求圆M 的标准方程；(2)已知点A (0,3)，B (1,0)，且r ＝103，若线段AB 上存在一点P ，使得过点P 的某条直线与圆M 交于点S ，T (其中|PS |<|PT |)，且|PS |＝|ST |，求实数b 的取值范围．解(1)根据题意可得，圆心到直线的距离为22r 恒成立，即|3＋b －r －4|2＝22r ，整理得|b －1－r |＝r ，去绝对值符号可得b －1－r ＝r 或b －1－r ＝－r ，根据恒成立，可得b ＝1，所以圆M 的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝r 2.(2)根据题意，如果存在满足条件的点，对应的边界值为过圆心的弦，而从另一个角度，即为线段端点值满足条件即可，先考虑点A ，即为|AM |≤3r ，即(0－3)2＋(b －3)2≤9×109，解得2≤b ≤4，再考虑点B ，即为|BM |≤3r ，即(1－3)2＋b 2≤10，解得－6≤b ≤6，两者取并集，得到b 的取值范围是[－6，4]．18.(2019·陕西四校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点A (1,1)．(1)求抛物线C的方程；(2)若过点P(3，－1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合)．设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值．(1)解由题意得2p＝1，所以抛物线方程为y2＝x.(2)证明设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝t(y＋1)＋3，代入抛物线方程得y2－ty－t－3＝0.所以Δ＝(t＋2)2＋8>0，y1＋y2＝t，y1y2＝－t－3.所以k1·k2＝y1－1x1－1·y2－1x2－1＝y1－1y21－1·y2－1y22－1＝1(y1＋1)(y2＋1)＝1y1y2＋y1＋y2＋1＝1－t－3＋t＋1＝－12，所以k1·k2是定值．。

2014《高考调研》高考数学总复习(人教新课标)配套单元测试：第九章解析几何 Word版含解析

第九章单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1．(2012·浙江)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由a＝1可得l1∥l2，反之，由l1∥l2可得a＝1或a＝－2，故选A.2．(2012·湖北)过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4|}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为() A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0答案 A解析两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P(1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y－2＝0.3．经过抛物线y2＝4x的焦点且平行于直线3x－2y＝0的直线l的方程是() A．3x－2y－3＝0 B．6x－4y－3＝0C．2x＋3y－2＝0 D．2x＋3y－1＝0答案 A解析∵抛物线y2＝4x的焦点是(1,0)，直线3x－2y＝0的斜率是32，∴直线l的方程是y＝32(x－1)，即3x－2y－3＝0，故选A.4．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为() A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝0答案 D解析设圆心C (a,0)(a >0)，由3a ＋45＝2得，a ＝2，故圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0.5．(2012·江西)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14B.55 C.12 D.5－2答案 B解析由等比中项的性质得到a ，c 的一个方程，再进一步转化为关于e 的方程，解之即得所求．依题意得|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |，即4c 2＝(a －c )(a ＋c )＝a 2－c 2，整理得5c 2＝a 2，∴e ＝c a ＝55.6．(2012·浙江)如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A ．3B ．2 C. 3 D. 2答案 B解析设焦点为F (±c,0)，双曲线的实半轴长为a ，则双曲线的离心率e 1＝ca ，椭圆的离心率e 2＝c 2a ，所以e 1e 2＝2.选B.7．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于( )A.10 B ．210 C. 5 D ．2 5答案 B解析 F 1(－10，0)，F 2(10，0)，2c ＝210，2a ＝2. ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝40. ∴(PF 1→＋PF 2→)2＝|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝40. ∴|PF 1→＋PF 2→|＝210.8．过抛物线y ＝14x 2准线上任一点作抛物线的两条切线，若切点分别为M ，N ，则直线MN 过定点( )A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(－1,0)答案 A解析特殊值法，取准线上一点(0，－1)．设M (x 1，14x 21)，N (x 2，14x 22)，则过M 、N 的切线方程分别为y －14x 21＝12x 1(x －x 1)，y －14x 22＝12x 2(x －x 2)．将(0，－1)代入得x 21＝x 22＝4，∴MN 的方程为y ＝1，恒过(0,1)点．9．如图，过抛物线x 2＝4py (p >0)焦点的直线依次交抛物线与圆x 2＋(y －p )2＝p 2于点A 、B 、C 、D ，则AB →·CD →的值是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2答案 D解析 |AB →|＝|AF |－p ＝y A ，|CD →|＝|DF |－p ＝y B ，|AB →|·|CD →|＝y A y B ＝p 2.因为AB →，CD →的方向相同，所以AB →·CD →＝|AB →|·|CD →|＝y A y B ＝p 2.10．已知抛物线y ＝x 2上有一定点A (－1,1)和两动点P 、Q ，当P A ⊥PQ 时，点Q 的横坐标取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[1，＋∞)C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 D解析设P (x 1，x 21)，Q (x 2，x 22)，∴k AP ＝x 21－1x 1＋1＝x 1－1，k PQ ＝x 22－x 21x 2－x 1＝x 2＋x 1.由题意得k P A ·k PQ ＝(x 1－1)(x 2＋x 1)＝－1， ∴x 2＝11－x 1－x 1＝1(1－x 1)＋(1－x 1)－1.利用函数性质知x 2∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，故选D.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)11．设l 1的倾斜角为α，α∈(0，π2)，l 1绕其上一点P 逆时针方向旋转α角得直线l 2，l 2的纵截距为－2，l 2绕点P 逆时针方向旋转π2－α角得直线l 3：x ＋2y －1＝0，则l 1的方程为________．答案 2x －y ＋8＝0 解析 ∵l 1⊥l 3，∴k 1＝tan α＝2，k 2＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. ∵l 2的纵截距为－2，∴l 2的方程为y ＝－43x －2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－43x －2，x ＋2y －1＝0，∴P (－3,2)，l 1过P 点．∴l 1的方程为2x －y ＋8＝0.12．过直线2x ＋y ＋4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的交点且面积最小的圆的方程是________．答案 (x ＋135)2＋(y －65)2＝45解析因为通过两个定点的动圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆，于是解方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，得交点A (－115，25)，B (－3,2)．因为AB 为直径，其中点为圆心，即为(－135，65)， r ＝12|AB |＝255，所以圆的方程为(x ＋135)2＋(y －65)2＝45.13．(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．答案 43解析设圆心C (4,0)到直线y ＝kx －2的距离为d ，则d ＝|4k －2|k 2＋1，由题意知问题转化为d ≤2，即d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，得0≤k ≤43，所以k max ＝43.14．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程是________．答案 x 24＋y 22＝1解析抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，∴a ＝2，c ＝ 2.∵b 2＝a 2－c 2，∴b 2＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.15．已知两点M (－3,0)，N (3,0)，点P 为坐标平面内一动点，且|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )到点A (－3,0)的距离的最小值为________．答案 3解析因为M (－3,0)，N (3,0)，所以MN →＝(6,0)，|MN →|＝6，MP →＝(x ＋3，y )，NP →＝(x －3，y )．由|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，得6(x ＋3)2＋y 2＋6(x －3)＝0，化简整理得y 2＝－12x .所以点A 是抛物线y 2＝－12x 的焦点，所以点P 到A 的距离的最小值就是原点到A (－3,0)的距离，所以d ＝3.16．已知以y ＝±3x 为渐近线的双曲线D ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，若P 为双曲线D 右支上任意一点，则|PF 1|－|PF 2||PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 解析依题意，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|≥2c ，所以0<|PF 1|－|PF 2||PF 1|＋|PF 2|≤a c ＝1e .又双曲线的渐近线方程y ＝±3x ，则ba ＝ 3.因此e ＝ca ＝2，故0<|PF 1|－|PF 2||PF 1|＋|PF 2|≤12.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)已知O 为平面直角坐标系的原点，过点M (－2,0)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于P ，Q 两点．(1)若OP →·OQ →＝－12，求直线l 的方程；(2)若△OMP 与△OPQ 的面积相等，求直线l 的斜率．解析 (1)依题意知直线l 的斜率存在，因为直线l 过点M (－2,0)，故可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．因为P ，Q 两点在圆x 2＋y 2＝1上，所以|OP →|＝|OQ →|＝1.因为OP →·OQ →＝－12，即|OP →|·|OQ →|·cos ∠POQ ＝－12. 所以∠POQ ＝120°，所以点O 到直线l 的距离等于12. 所以|2k |k 2＋1＝12，解得k ＝±1515. 所以直线l 的方程为x －15y ＋2＝0或x ＋15y ＋2＝0.(2)因为△OMP 与△OPQ 的面积相等，所以MP ＝PQ ，即P 为MQ 的中点，所以MQ →＝2MP →.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，所以MQ →＝(x 2＋2，y 2)，MP →＝(x 1＋2，y 1)．所以⎩⎨⎧ x 2＋2＝2(x 1＋2)，y 2＝2y 1，即⎩⎨⎧x 2＝2(x 1＋1)，y 2＝2y 1.①因为P ，Q 两点在圆x 2＋y 2＝1上，所以⎩⎨⎧x 21＋y 21＝1，x 22＋y 22＝1.②由①及②得⎩⎨⎧x 21＋y 21＝1，4(x 1＋1)2＋4y 21＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－78，y 1＝±158.故直线l 的斜率k ＝k MP ＝±159.18．(本题满分12分)(2012·北京文)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．解析(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为 S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2.由|k |4＋6k 21＋2k2＝103，化简得7k 4－2k 2－5＝0，解得k ＝±1. 19．(本题满分12分)(2012·天津理)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率； (2)若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |> 3. 解析 (1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由题意，有x 20a 2＋y 20b 2＝1.① 由A (－a,0)，B (a,0)，得k AP ＝y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0x 0－a. 由k AP ·k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0.由于y 0≠0，故a 2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22.(2)方法一依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b2＝1.消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2(ab )2＋4.由a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4.因此k 2>3，所以|k |> 3.方法二依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，有x 20a 2＋k 2x 20b 2＝1.因为a >b >0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a 2<1，即(1＋k 2)x 20<a 2.③由|AP |＝|OA |，A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2.代入③，得(1＋k 2)·4a 2(1＋k 2)2<a 2，解得k 2>3，所以|k |> 3.20. (本题满分12分)如图，点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左，右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．解析 (1)由已知可得点A (－6,0)，F (4,0)，设点P 的坐标是(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，(x ＋6)(x －4)＋y 2＝0，则2x 2＋9x －18＝0，x ＝32或x ＝－6. ∵点P 位于x 轴上方，∴x ＝－6舍去，只能取x ＝32.由于y >0，于是y ＝52 3. ∴点P 的坐标是(32，523)． (2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M 的坐标是(m,0)(－6≤m ≤6)，则M 到直线AP 的距离是m ＋62. 于是m ＋62＝6－m ，解得m ＝2. 椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离d 有 d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2 ＝49(x －92)2＋15. 由于－6≤x ≤6，∴当x ＝92时，d 取得最小值15.21．(本题满分12分)已知椭圆x 2m ＋1＋y 2＝1的两个焦点是F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)．(1)设E 是直线y ＝x ＋2与椭圆的一个公共点，求|EF 1|＋|EF 2|取得最小值时椭圆的方程；(2)已知点N (0，－1)，斜率为k (k ≠0)的直线l 与条件(1)下的椭圆交于不同的两点A ，B ，点Q 满足AQ →＝QB →，且NQ →·AB →＝0，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围．解析 (1)由题意，知m ＋1>1，即m >0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x2m ＋1＋y 2＝1，得(m ＋2)x 2＋4(m ＋1)x ＋3(m ＋1)＝0.又由Δ＝16(m ＋1)2－12(m ＋2)(m ＋1)＝4(m ＋1)(m －2)≥0，解得m ≥2或m ≤－1(舍去)，∴m ≥2. 此时|EF 1|＋|EF 2|＝2m ＋1≥2 3.当且仅当m ＝2时，|EF 1|＋|EF 2|取得最小值23，此时椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋t .由方程组⎩⎨⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝kx ＋t ，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0. ∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ， ∴Δ＝(6kt )2－4(1＋3k 2)(3t 2－3)>0，即t 2<1＋3k 2.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x Q ，y Q )，则x 1＋x 2＝－6kt1＋3k 2. 由AQ →＝QB →，得Q 为线段的AB 的中点，则x Q ＝x 1＋x 22＝－3kt 1＋3k 2，y Q ＝kx Q ＋t ＝t1＋3k 2. ∵NQ →·AB →＝0，∴直线AB 的斜率k AB 与直线QN 的斜率k QN 乘积为－1，即k QN ·k AB ＝－1，∴t1＋3k 2＋1－3kt 1＋3k 2·k ＝－1.化简得1＋3k 2＝2t ，代入①式得t 2<2t ，解得0<t <2.又k ≠0，即3k 2>0，故2t ＝1＋3k 2>1，得t >12. 综上，直线l 在y 轴上的截距t 的取值范围是(12，2)．22．(本题满分12分)(2012·浙江文)如图，在直角坐标系xOy 中，点P (1，12)到抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线的距离为54.点M (t,1)是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 被直线OM 平分．(1)求p ，t 的值；(2)求△ABP 面积的最大值．解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2pt ＝1，1＋p 2＝54，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，t ＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为Q (m ，m )．由题意知，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)．由⎩⎨⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2. 故k ·2m ＝1.所以直线AB 的方程为y －m ＝12m (x －m )．即x －2my ＋2m 2－m ＝0.由⎩⎨⎧x －2my ＋2m 2－m ＝0，y 2＝x ，消去x ，整理得y 2－2my ＋ 2m 2－m ＝0.所以Δ＝4m －4m 2>0，y 1＋y 2＝2m ，y 1·y 2＝2m 2－m . 从而|AB |＝1＋1k 2·|y 1－y 2|＝1＋4m 2·4m －4m 2.设点P到直线AB的距离为d，则d＝|1－2m＋2m2|1＋4m2.设△ABP的面积为S，则S＝12|AB|·d＝|1－2(m－m2)|·m－m2.由Δ＝4m－4m2>0，得0<m<1.令u＝m－m2，0<u≤12，则S＝u(1－2u2)．设S(u)＝u(1－2u2)，0<u≤12，则S′(u)＝1－6u2.由S′(u)＝0，得u＝66∈(0，12]．所以[S(u)]max＝S(66)＝69.故△ABP面积的最大值为6 9.1．(2012·辽宁文)将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是() A．x＋y－1＝0B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0答案 C解析要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，由题知圆心坐标为(1,2)．A，B，C，D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心，故选C.2．(2012·孝感统考)若直线过点P(－3，－32)且被圆x2＋y2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为()A．3x＋4y＋15＝0 B．x＝－3或y＝－3 2C．x＝－3 D．x＝－3或3x＋4y＋15＝0答案 D解析若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x＝－3，代入圆的方程解得y＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为y ＋32＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0，因为该直线被圆截得的弦长为8，故半弦长为4，又圆的半径为5，则圆心(0,0)到直线的距离为52－42＝|3k －32|k 2＋1，解得k ＝－34，此时该直线的方程为3x ＋4y ＋15＝0.综上可知答案为D.3．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A 、B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )A.74 B ．2 C.94 D ．4答案 C解析直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k (x －14)，可知直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点(14，0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点的横坐标是74，弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94.4．已知l 1和l 2是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A ，动点B 、C 分别在l 1和l 2上，且BC ＝32，则过A 、B 、C 三点的动圆所形成的区域的面积为( )A ．6πB ．8πC ．16πD ．18π答案 D解析当A 与B 或C 重合时，此时圆的面积最大，且圆的半径r ＝BC ＝32，所以圆的面积S ＝πr 2＝π(32)2＝18π，则过A 、B 、C 三点的动圆所形成的区域的面积为18π.5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)．若c 是a 与m 的等比中项，n 2是m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率等于( )A.13B.33C.12D.22答案 B解析 ∵c 2＝am,2n 2＝c 2＋m 2，又n 2＝c 2－m 2， ∴m 2＝13c 2，即m ＝33c .∴c 2＝33ac ，则e ＝c a ＝33.6．椭圆x 24＋y 23＝1离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )A ．3x ＋2y －4＝0B ．4x ＋6y －7＝0C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝0答案 B解析依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，12)的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率等于－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)，即4x ＋6y －7＝0，选B.7．已知圆x 2＋y 2＝1与x 轴的两个交点为A 、B ，若圆内的动点P 使|P A |、|PO |、|PB |成等比数列，则P A →·PB →的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0 C ．(－12，0) D ．[－1,0)答案 C解析设P (x ，y )，∴|PO |2＝|P A ||PB |，即x 2＋y 2＝(x －1)2＋y 2·(x ＋1)2＋y 2，整理得2x 2－2y 2＝1.∴P A →·PB →＝(1－x ，－y )·(－1－x ，－y )＝x 2＋y 2－1＝2x 2－32.∴P 为圆内动点且满足x 2－y 2＝12. ∴22<|x |<32，∴1<2x 2<32. ∴－12<2x 2－32<0，选C.8．(2012·新课标全国)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A.2 B ．2 2 C ．4 D ．8答案 C解析抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4,23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4.9．已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为________．答案2－1解析令AB ＝2，则AC ＝2 2. ∴椭圆中c ＝1,2a ＝2＋22⇒a ＝1＋ 2. 可得e ＝c a ＝12＋1＝2－1. 10．(2012·北京理)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．答案3解析直线l 的方程为y ＝3(x －1)，即x ＝33y ＋1，代入抛物线方程得y 2－433y －4＝0，解得y A ＝433＋163＋162＝23(y B <0，舍去)，故△OAF 的面积为12×1×23＝ 3.11．设椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，A 是椭圆C 上的一点，且AF 2→·F 1F 2→＝0，坐标原点O 到直线AF 1的距离为13|OF 1|.(1)求椭圆C 的方程；(2)设Q 是椭圆C 上的一点，过点Q 的直线l 交x 轴于点P (－1,0)，交y 轴于点M ，若MQ →＝2QP →，求直线l 的方程．解析 (1)由题设知F 1(－a 2－2，0)，F 2(a 2－2，0)．由于AF 2→·F 1F 2→＝0，则有AF 2→⊥F 1F 2→，所以点A 的坐标为(a 2－2，±2a )，故AF 1→所在直线方程为y ＝±(x a a 2－2＋1a)．所以坐标原点O 到直线AF 1的距离为a 2－2a 2－1(a >2)．又|OF 1|＝a 2－2，所以a 2－2a 2－1＝13a 2－2，解得a ＝2(a >2)．所求椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 斜率为k ，直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则有M (0，k )．设Q (x 1，y 1)，∵MQ →＝2QP →， ∴(x 1，y 1－k )＝2(－1－x 1，－y 1)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－23，y 1＝k3.又Q 在椭圆C 上，得(－23)24＋(k 3)22＝1，解得k ＝±4.故直线l 的方程为y ＝4(x ＋1)或y ＝－4(x ＋1)，即4x －y ＋4＝0或4x ＋y ＋4＝0.12．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，过F 1的直线l 与椭圆交于A 、B 两点．(1)如果点A 在圆x 2＋y 2＝c 2(c 为椭圆的半焦距)上，且|F 1A |＝c ，求椭圆的离心率；(2)若函数y ＝2＋log m x (m >0且m ≠1)的图像，无论m 为何值时恒过定点(b ，a )，求F 2B →·F 2A →的取值范围．解析 (1)∵点A 在圆x 2＋y 2＝c 2上， ∴△AF 1F 2为一直角三角形． ∵|F 1A |＝c ，|F 1F 2|＝2c ， ∴|F 2A |＝|F 1F 2|2－|AF 1|2＝3c . 由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ， ∴c ＋3c ＝2a .∴e ＝c a ＝21＋3＝3－1.(2)∵函数y ＝2＋log m x 的图像恒过点(1，2)，由已知条件知还恒过点(b ，a )，∴a ＝2，b ＝1，c ＝1.点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，①若AB ⊥x 轴，则A (－1，22)，B (－1，－22)． ∴F 2A →＝(－2，22)，F 2B →＝(－2，－22)． ∴F 2A →·F 2B →＝4－12＝72.②若AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的斜率为k ，则AB 的方程为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋1)，x 2＋2y 2－2＝0，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2(k 2－1)＝0.(*) ∵Δ＝8k 2＋8>0，∴方程(*)有两个不同的实根．设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(*)的两个根．x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2(k 2－1)1＋2k 2.∴F 2A →＝(x 1－1，y 1)，F 2B →＝(x 2－1，y 2)． ∴F 2A →·F 2B →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋1＋k 2 ＝(1＋k 2)2(k 2－1)1＋2k 2＋(k 2－1)(－4k 21＋2k2)＋1＋k 2 ＝7k 2－11＋2k 2＝72－92(1＋2k 2). ∵1＋2k 2≥1，∴0<11＋2k 2≤1,0<92(1＋2k 2)≤92.∴－1≤F 2A →·F 2B →＝72－92(1＋2k 2)<72.综上，由①②，知－1≤F 2A →·F 2B →≤72.13．(2013·衡水调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是F (1,0)，且离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P (0，y 0)，求y 0的取值范围．解析 (1)设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得c ＝1. 因为椭圆C 的离心率为12，所以a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)当MN ⊥x 轴时，显然y 0＝0.当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为Q (x 3，y 3)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2.所以x 3＝x 1＋x 22＝4k 23＋4k 2，y 3＝k (x 3－1)＝－3k 3＋4k 2. 线段MN 的垂直平分线的方程为y ＋3k 3＋4k 2＝－1k (x －4k 23＋4k 2)．在上述方程中，令x ＝0，得y 0＝k 3＋4k 2＝13k ＋4k. 当k <0时，3k ＋4k ≤－43；当k >0时，3k ＋4k ≥4 3. 所以－312≤y 0<0或0<y 0≤312. 综上，y 0的取值范围是[－312，312]． 14．(2013·北京海淀区期末)已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)，且离心率为32，Q 为椭圆C 的左顶点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知过点(－65，0)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点． ①若直线l 垂直于x 轴，求∠AQB 的大小；②若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得△QAB 为等腰三角形？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解析 (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且a 2＝b 2＋c 2. 由题意可知：b ＝1，c a ＝32.解得a 2＝4，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)得Q (－2,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ①当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝－65. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－65，x 24＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－65，y ＝45或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－65，y ＝－45.即A (－65，45)，B (－65，－45)(不妨设点A 在x 轴上方)，则k AQ ＝45－0－65－(－2)＝1，k BQ ＝－45－0－65－(－2)＝－1.因为k AQ ·k BQ ＝－1，所以AQ ⊥BQ . 所以∠AQB ＝π2，即∠AQB 的大小为π2.②当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋65)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋65)，x 24＋y 2＝1，消去y 得(25＋100k 2)x 2＋240k 2x ＋144k 2－100＝0.因为点(－65，0)在椭圆C 的内部，显然Δ>0. ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－240k 225＋100k 2，x 1x 2＝144k 2－10025＋100k 2.因为QA →＝(x 1＋2，y 1)，QB →＝(x 2＋2，y 2)，y 1＝k (x 1＋65)，y 2＝k (x 2＋65)，所以QA →·QB →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2 ＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋k (x 1＋65)·k (x 2＋65) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2＋65k 2)(x 1＋x 2)＋4＋3625k 2＝(1＋k 2)144k 2－10025＋100k 2＋(2＋65k 2)(－240k 225＋100k 2)＋4＋3625k 2＝0. 所以QA →⊥QB →.所以△QAB 为直角三角形．假设存在直线l 使得△QAB 为等腰三角形，则|QA |＝|QB |. 如图，取AB 的中点M ，连接QM ，则QM ⊥AB .记点(－65，0)为N .因为x M ＝x 1＋x 22＝－120k 225＋100k 2＝－24k 25＋20k 2，所以y M ＝k (x M ＋65)＝6k5＋20k 2，即M (－24k 25＋20k 2，6k 5＋20k 2)．所以QM →＝(10＋16k 25＋20k 2，6k 5＋20k 2)，NM →＝(65＋20k 2，6k 5＋20k 2)．所以QM →·NM →＝10＋16k 25＋20k 2×65＋20k 2＋6k 5＋20k 2×6k 5＋20k 2＝60＋132k 2(5＋20k 2)2≠0.所以QM →与NM →不垂直，即QM →与AB →不垂直，矛盾．所以假设不成立，故当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得△QAB 为等腰三角形．15．设椭圆M ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率与双曲线x 2－y 2＝1的离心率互为倒数，且内切于圆x 2＋y 2＝4.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线y ＝2x ＋m 交椭圆于A 、B 两点，椭圆上一点P (1，2)，求△P AB 面积的最大值．解析 (1)双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为 e ＝c a ＝22，圆x 2＋y 2＝4的直径为4，则2a ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝4，c a ＝22，b 2＝a 2－c 2⇒⎩⎨⎧a ＝2，c ＝2，b ＝ 2.所求椭圆M 的方程为y 24＋x 22＝1. (2)直线AB 的直线方程为y ＝2x ＋m . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 22＋y 24＝1，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0.由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)>0，得－22<m <2 2. ∵x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44.∴|AB |＝1＋2|x 1－x 2|＝3·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝3·12m 2－m 2＋4＝ 3 4－m 22.又P 到AB 的距离为d ＝|m |3. 则S △ABC ＝12|AB |d ＝12 3 4－m 22|m |3＝12m 2(4－m 22)＝122m 2(8－m 2)≤122·m 2＋(8－m 2)2＝2，当且仅当m ＝±2∈(－22，22)取等号． ∴(S △ABC )max ＝ 2.16．设椭圆C ：x 2＋2y 2＝2b 2(常数b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，M ，N 是直线l ：x ＝2b 上的两个动点，F 1M →·F 2N →＝0.(1)若|F 1M →|＝|F 2N →|＝25，求b 的值； (2)求|MN |的最小值．解析设M (2b ，y 1)，N (b ，y 2)，则F 1M →＝(3b ，y 1)，F 2N →＝(b ，y 2)．由F 1M →·F 2N →＝0，得y 1y 2＝－3b 2.① (1)由|F 1M →|＝|F 2N →|＝25，得(3b )2＋y 21＝2 5.②b 2＋y 22＝2 5.③由①、②、③三式，消去y 1，y 2，并求得b ＝ 2. (2)易求椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.方法一 |MN |2＝(y 1－y 2)2＝y 21＋y 22－2y 1y 2≥－2y 1y 2－2y 1y 2＝－4y 1y 2＝12b 2，所以，当且仅当y 1＝－y 2＝3b 或y 2＝－y 1＝3b ，|MN |取最小值23b . 方法二 |MN |2＝(y 1－y 2)2＝y 21＋9b 4y 21＋6b 2≥12b 2，所以，当且仅当y 1＝－y 2＝3b 或y 2＝－y 1＝3b 时，|MN |取最小值23b . 17．(2013·武汉)如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且|DM |＝2|DP |.当点P 在圆x 2＋y 2＝1上运动时．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点T (0，t )作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交曲线C 于A ，B 两点，求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标．解析 (1)设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 0，y ＝2y 0，所以x 0＝x ，y 0＝y 2.①因为P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，所以x 20＋y 20＝1.②将①代入②，得点M 的轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)由题意知，|t |≥1.当t ＝1时，切线l 的方程为y ＝1，点A 、B 的坐标分别为(－32，1)、(32，1)，此时|AB |＝3，当t ＝－1时，同理可得|AB |＝3；当|t |>1时，设切线l 的方程为y ＝kx ＋t ，k ∈R.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 2＋y 24＝1，得(4＋k 2)x 2＋2ktx ＋t 2－4＝0.③设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则由③得 x 1＋x 2＝－2kt 4＋k 2，x 1x 2＝t 2－44＋k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|t |k 2＋1＝1，即t 2＝k 2＋1.所以|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(1＋k 2)[4k 2t 2(4＋k 2)2－4(t 2－4)4＋k 2]＝43|t |t 2＋3.因为|AB |＝43|t |t 2＋3＝43|t |＋3|t |≤2，且当t ＝±3时，|AB |＝2，所以|AB |的最大值为2.依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆x 2＋y 2＝1的半径，所以△AOB 面积S ＝12|AB |×1≤1，当且仅当t ＝±3时，△AOB 面积S 的最大值为1，相应的T 的坐标为(0，－3)或(0，3)．18．已知焦点在y 轴上的椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1经过A (1,0)点，且离心率为32. (1)求椭圆C 1的方程；(2)过抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R)上P 点的切线与椭圆C 1交于两点M 、N ，记线段MN 与P A 的中点分别为G 、H ，当GH 与y 轴平行时，求h 的最小值．解析 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2.解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 1的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设P (t ，t 2＋h )，由y ′＝2x ，抛物线C 2在点P 处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝2t ，所以MN 的方程为y ＝2tx －t 2＋h .代入椭圆方程得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0，化简得4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0. 又MN 与椭圆C 1有两个交点，故Δ＝16[－t 4－2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0.①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点横坐标为x 0，则x 0＝x 1＋x 22＝t (t 2－h )2(1＋t 2).设线段P A 的中点横坐标为x 3＝1＋t2. 由已知得x 0＝x 3，即t (t 2－h )2(1＋t 2)＝1＋t2.②显然t ≠0，h ＝－(t ＋1t ＋1)．③当t >0时，t ＋1t ≥2，当且仅当t ＝1时取得等号，此时h ≤－3不符合①式，故舍去；当t <0时，(－t )＋(－1t )≥2，当且仅当t ＝－1时取得等号，此时h ≥1，满足①式．综上，h 的最小值为1.19．已知△ABC 中，点A 、B 的坐标分别为(－2，0)，B (2，0)，点C 在x 轴上方．(1)若点C 坐标为(2，1)，求以A 、B 为焦点且经过点C 的椭圆的方程； (2)过点P (m,0)作倾斜角为34π的直线l 交(1)中曲线于M 、N 两点，若点Q (1,0)恰在以线段MN 为直径的圆上，求实数m 的值．解析 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，c ＝2，2a ＝|AC |＋|BC |＝4，b ＝2，所以椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)直线l 的方程为y ＝－(x －m )，令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程解得 3x 2－4mx ＋2m 2－4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4m3，x 1x 2＝2m 2－43若Q 恰在以MN 为直径的圆上，则y 1x 1－1·y 2x 2－1＝－1，即m 2＋1－(m ＋1)(x 1＋x 2)＋2x 1x 2＝0,3m 2－4m －5＝0，解得m ＝2±193.20．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点F (－2,0)． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 关于直线y ＝x ＋1的对称点在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．解析(1)⎩⎨⎧c a ＝22，c ＝2⇒x 28＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，V (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m⇒3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0.∴Δ＝96－8m 2>0⇒－23<m <2 3. ∴x 3＝x 1＋x 22＝－2m 3，y 3＝x 3＋m ＝m3.又⎩⎪⎨⎪⎧y 3＋y 42＝x 3＋x 42＋1，y 4－y 3x 4－x 3＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 4＝m3－1，y 4＝1－2m 3，在x 2＋y 2＝1上．∴(m 3－1)2＋(1－2m 3)2＝1⇒m 29－2m 3＋4m 21－4m 3＋1＝0. ∴5m 2－18m ＋9＝0⇒(5m －3)(m －3)＝0. ∴m ＝35或m ＝3经检验成立． ∴m ＝35或m ＝3.21．(2012·浙江宁波市期末)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，抛物线上一点A 的横坐标为x 1(x 1>0)，过点A 作抛物线C 的切线l 1交x 轴于点D ，交y 轴于点Q ，交直线l ：y ＝p2于点M ，当|FD |＝2时，∠AFD ＝60°.(1)求证：△AFQ 为等腰三角形，并求抛物线C 的方程；(2)若B 位于y 轴左侧的抛物线C 上，过点B 作抛物线C 的切线l 2交直线l 1于点P ，交直线l 于点N ，求△PMN 面积的最小值，并求取到最小值时的x 1的值．解析 (1)设A (x 1，y 1)，则切线AD 的方程为y ＝x 1p x －x 212p .所以D (x 12，0)，Q (0，－y 1)，|FQ |＝p 2＋y 1，|F A |＝p2＋y 1，所以|FQ |＝|F A |. 所以△AFQ 为等腰三角形，且D 为AQ 中点，所以DF ⊥AQ . ∵|DF |＝2，∠AFD ＝60°，∴∠QFD ＝60°，p 2＝1，得p ＝2，抛物线方程为x 2＝4y . (2)设B (x 2，y 2)(x 2<0)，则B 处的切线方程为y ＝x 22x －x 224. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 12x －x 214，y ＝x 22x －x 224⇒P (x 1＋x 22，x 1x 24)，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 12x －x 214，y ＝1⇒M (x 12＋2x 1，1)．同理N (x 22＋2x 2，1)，所以面积S ＝12(x 12＋2x 1－x 22－2x 2)·(1－x 1x 24)＝(x 2－x 1)(4－x 1x 2)216x 1x 2.①设AB 的方程为y ＝kx ＋b ，则b >0. 由⎩⎨⎧ y ＝kx ＋b ，x 2＝4y ⇒x 2－4kx －4b ＝0，得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，代入①得 S ＝16k 2＋16b (4＋4b )264b ＝(1＋b )2k 2＋b b ，使面积最小，则k ＝0，得到S ＝(1＋b )2b b.② 令b ＝t ，②得S (t )＝(1＋t 2)2t ＝t 3＋2t ＋1t ，S ′(t )＝(3t 2－1)(t 2＋1)t 2，∴当t ∈(0，33)时S (t )单调递减；当t ∈(33，＋∞)时S (t )单调递增． ∴当t ＝33时，S 取最小值为1639，此时b ＝t 2＝13，k ＝0， ∴y 1＝13即x 1＝233. 22.如图，已知M (m ，m 2)、N (n ，n 2)是抛物线C ：y ＝x 2上的两个不同的点，且m 2＋n 2＝1，m ＋n ≠0，直线l 是线段MN 的垂直平分线，设椭圆E 的方程为x 22＋y 2a ＝1(a >0，a ≠2)．(1)当M 、N 在C 上移动时，求直线l 的斜率k 的取值范围；(2)已知直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，与椭圆E 交于P 、Q 两点，设线段AB 的中点为R ，线段QP 的中点为S ，若OR →·OS →＝0，求椭圆E 的离心率的取值范围．解析 (1)由题意知，直线MN 的斜率k MN ＝m 2－n 2m －n ＝m ＋n .又l ⊥MN ，m ＋n ≠0，∴直线l 的斜率k ＝－1m ＋n. ∵m 2＋n 2＝1，由m 2＋n 2≥2mn ，得2(m 2＋n 2)≥(m ＋n )2，即2≥(m ＋n )2(当m ＝n 时，等号成立)，∴|m ＋n |≤ 2. ∵M 、N 是不同的两点，即m ≠n ，∴0<|m ＋n |< 2. ∴|k |>22，即k <－22或k >22.(2)由题意易得，线段MN 的中点坐标为(m ＋n 2，m 2＋n 22)． ∵直线l 是线段MN 的垂直平分线， ∴直线l 的方程为y －m 2＋n 22＝k (x －m ＋n2)．又∵m 2＋n 2＝1，k ＝－1m ＋n ，∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1.将直线l 的方程代入抛物线方程和椭圆方程并分别整理，得 x 2－kx －1＝0， ①(a ＋2k 2)x 2＋4kx ＋2－2a ＝0. ② 易知方程①的判别式Δ1＝k 2＋4>0，方程②的判别式Δ2＝8a (2k 2＋a －1)．由(1)易知k 2>12，且a >0，∴2k 2＋a －1>a >0，∴Δ2>0恒成立．设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，则x A ＋x B ＝k ，y A ＋y B ＝kx A ＋1＋kx B ＋1＝k (x A ＋x B )＋2＝k 2＋2.∴线段AB 的中点R 的坐标为(k 2，k 22＋1)．又x P ＋x Q ＝－4ka ＋2k 2，y P ＋y Q＝kx P ＋1＋kx Q ＋1 ＝k (x P ＋x Q )＋2＝2aa ＋2k 2.∴线段QP 的中点S 的坐标为(－2k a ＋2k 2，a a ＋2k 2)．∴OR →＝(k 2，k 22＋1)，OS →＝(－2ka ＋2k 2，a a ＋2k 2)，由OR →·OS →＝0，得－k 2＋a (k 22＋1)a ＋2k 2＝0，即－k 2＋a (k22＋1)＝0. ∴a ＝2k 2k 2＋2.∵k 2>12，∴a ＝2k 2k 2＋2＝21＋2k 2>25，a ＝2k 2k 2＋2＝2－4k 2＋2<2.∴25<a <2.由题易知，椭圆E 的离心率e ＝2－a2，∴a ＝2－2e 2，∴25<2－2e 2<2，∴0<e 2<45，∴0<e <255.∴椭圆E 的离心率的取值范围是(0，255)．。

【高考调研】2014届高考数学总复习第九章解析几何课时作业57(含解析)理新人教A版

课时作业(五十七)1．空间四点A ，B ，C ，D 中，每两点所连线的长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，则P 与Q 的最短距离为( )A.12a B.22a C.32a D ．a答案 B解析易知，以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，如右图所示，取P ，Q 分别为AB ，CD 的中点，因为AQ ＝BQ ＝32a ，所以PQ ⊥AB . 同理可证PQ ⊥CD ，故线段PQ 的长为P ，Q 两点间的最短距离．在Rt △APQ 中，PQ ＝AQ 2－AP 2＝32a 2－12a 2＝22a . 故应选B.2. 如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCO —A ′B ′C ′D ′，A ′C 的中点E 与AB 的中点F 的距离为( )A.2aB.22a C ．a D.12a 答案 B解析由图易知A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，A ′(a,0，a )．∴F (a ，a 2，0)，E (a2，a 2，a2)． ∴|EF |＝a －a 22＋a 2－a22＋0－a22＝a 24＋a 24＝22a . 3．在直角坐标系中，A (－2,3)，B (3，－2)，沿x 轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB 的长度为( )A. 2 B ．211 C ．3 2 D ．4 2答案 B解析设A 、B 在x 轴上的射影分别为C 、D ，则AC ＝3，BD ＝2，CD ＝5，又AB →＝AC →＋CD →＋DB →，AC →，DB →所夹的角为60°，易求得|AB →|＝AC →＋CD →＋DB →2＝211.4．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则AB A ′B ′等于A ．2 1B ．3 1C ．3 2D ．4 3答案 A解析在Rt △ABB ′中，AB ′＝AB ·sin π4＝22AB .在Rt △ABA ′中，AA ′＝AB ·sin π6＝12AB .在Rt △AA ′B ′中，A ′B ′＝AB ′2－AA ′2＝12AB .∴AB A ′B ′＝2 1.5．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E 、F 分别是BC 、DD 1的中点，则B 1到平面ABF 的距离为 ( )A.33 B.55 C.53D.255答案 D解析方法一由VB 1－ABF ＝VF －ABB 1可得解．方法二建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,1)，B 1(1,1,0)．设F (0,0，12)，E (12，1,1)，B (1,1,1)，AB →＝(0,1,0)．∴B 1E →＝(－12，0,1)，AF →＝(－1,0，－12)．∵AF →·B 1E →＝(－1,0，－12)·(－12，0,1)＝0，∴AF →⊥B 1E →，又AB →⊥B 1E →，∴B 1E →⊥平面ABF . 平面ABF 的法向量为B 1E →＝(－12，0,1)，AB 1→＝(0,1，－1)．B 1到平面ABF 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB 1→·B 1E →|B 1E →|＝255.6．(2013·济南统考)等腰Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝1，M 为AC 中点，沿BM 把它折成二面角，折后A 与C 的距离为1，则二面角C —BM —A 的大小为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°答案 C解析如图，由AB ＝BC ＝1， ∠ABC ＝90°，得AC ＝ 2. ∵M 为AC 中点，∴MC ＝AM ＝22，且CM ⊥BM ，AM ⊥BM .∴∠CMA 为二面角C －BM －A 的平面角． ∵AC ＝1，MC ＝MA ＝22， ∴∠CMA ＝90°.7．二面角α－l －β为60°，A ，B 是棱l 上的两点，AC ，BD 分别在半平面α，β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝a ，BD ＝2a ，则CD 的长为( )A ．2a B.5a C ．a D.3a答案 A 解析 |CD →|＝CD →2＝CA →＋AB →＋BD →2＝a 2＋a 2＋4a 2＋2×a ×2a cos120°＝2a .8．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一个球面上，且AB ＝2，AD ＝3，AA 1＝1，则顶点A 、B 间的球面距离是________．答案22π 解析 ∵(2R )2＝AB 2＋AD 2＋AA 21＝4＋3＋1＝8， ∴R ＝ 2.又|AB |＝2，∴∠AOB ＝π2.∴l ＝|α|R ＝π2·2＝22π.9．如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ＝2，AA 1＝1，直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°，AE 垂直BD 于E ，F 为A 1B 1的中点．(1)求异面直线AE 与BF 所成的角；(2)求平面BDF 与平面AA 1B 所成二面角(锐角)的大小； (3)求点A 到平面BDF 的距离．解析方法一 (1)连接B 1D 1，过F 作B 1D 1的垂线，垂足为K ，∵BB 1与两底面ABCD ，A 1B 1C 1D 1都垂直，⎭⎪⎬⎪⎫FK ⊥BB 1FK ⊥B 1D 1B 1D 1∩BB 1＝B 1⇒FK ⊥平面BDD 1B 1. 又⎭⎪⎬⎪⎫AE ⊥BB 1AE ⊥BD BB 1∩BD ＝B ⇒AE ⊥平面BDD 1B 1，因此FK ∥AE ，∴∠BFK 为异面直线BF 与AE 所成的角，连接BK ，由FK ⊥面BDD 1B 1，得FK ⊥BK . 从而△BKF 为Rt △.在Rt △B 1KF 和Rt △B 1D 1A 1中，由FK B 1F ＝A 1D 1B 1D 1，得FK ＝A 1D 1·B 1F B 1D 1 ＝AD ·12ABBD＝233×122＋2332＝12. 又BF ＝2，∴cos ∠BFK ＝FK BF＝24.∴异面直线BF 与AE 所成的角为arccos 24. (2)由于DA ⊥面AA 1B ，过点A 作BF 的垂线AG ，垂足为G ，连接DG ，由三垂线定理知BG ⊥DG .∴∠AGD 即为平面BDF 与平面AA 1B 所成二面角的平面角．且∠DAG ＝90°，在平面AA 1B 中，延长BF 与AA 1的延长线交于点S ，∵F 为A 1B 1的中点，A 1F ＝12AB ，∴A 1、F 分别为SA 、SB 的中点，即SA ＝2A 1A ＝2＝AB .∴Rt △BAS 为等腰直角三角形，垂足G 点实为斜边SB 的中点F ，即F 、G 重合．易得AG ＝AF ＝12SB ＝ 2.在Rt △AGD 中，AD ＝233.∴tan ∠AGD ＝AD AG＝2332＝63. ∴∠AGD ＝arctan63. 即平面BDF 与平面AA 1B 所成二面角(锐角)的大小为arctan63. (3)由(2)知平面AFD 是平面BDF 与平面AA 1B 所成二面角的平面角所在的平面． ∴面AFD ⊥面BDF .在Rt △ADF 中，由A 作AH ⊥DF 于H ，则AH 即为点A 到平面BDF 的距离．由AH ·DF ＝AD ·AF ，得AH ＝AD ·AF DF＝233×22332＋22＝25 5.所以点A 到平面BDF 的距离为255.方法二在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AA 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系(如图)．由已知AB ＝2，AA 1＝1，可得A (0,0,0)、B (2,0,0)、F (1,0,1)．又AD ⊥平面AA 1B 1B ，从而BD 与平面AA 1B 1B 所成的角即为∠DBA ＝30°，又AB ＝2，AE ⊥BD ，AE ＝1，AD ＝233. 从而易得E (12，32，0)，D (0，233，0)．(1)∵AE →＝(12，32，0)，BF →＝(－1,0,1)．∴cos 〈AE →，BF →〉＝AE →·BF →|AE →||BF →|＝－122＝－24.即异面直线AE 、BF 所成的角为arccos24. (2)易知平面AA 1B 的一个法向量m ＝(0,1,0)，设n ＝(x ，y ，z )是平面BDF 的一个法向量． BD →＝(－2，233，0)．由⎩⎨⎧n ⊥BF →，n ⊥BD→⇒⎩⎨⎧n ·BF →＝0，n ·BD →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，2x －233y ＝0⇒⎩⎨⎧x ＝z ，3x ＝y .取n ＝(1，3，1)，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝31×5＝155.即平面BDF 与平面AA 1B 所成二面角(锐角)大小为 arccos155.(3)点A 到平面BDF 的距离，即AB →在平面BDF 的法向量n 上的投影的绝对值．所以距离d ＝||AB →|·cos〈AB →，n 〉|＝||AB →|·AB →·n|AB →|·|n ||＝|AB →·n ||n |＝25＝255.所以点A 到平面BDF 的距离为255.10．如下图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝a ，D 、E 分别为棱AB 、BC 的中点，M 为棱AA 1上的点，二面角M －DE －A 为30°.(1)证明：A 1B 1⊥C 1D ；(2)求MA 的长，并求点C 到平面MDE 的距离．解析 (1)证明：连接CD . ∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱， ∴CC 1⊥平面ABC .∴CD 为C 1D 在平面ABC 内的射影． ∵△ABC 中，AC ＝BC ，D 为AB 中点， ∴AB ⊥CD ，∴AB ⊥C 1D . ∵A 1B 1∥AB ，∴A 1B 1⊥C 1D .(2)方法一过点A 作CE 的平行线，交ED 的延长线于F ，连接MF . ∵D 、E 分别为AB 、BC 的中点，∴DE ∥AC . 又∵AF ∥CE ，CE ⊥AC ，∴AF ⊥DE .∵MA ⊥平面ABC ，∴AF 为MF 在平面ABC 内的射影． ∴MF ⊥DE .∴∠MFA 为二面角M －DE －A 的平面角，∠MFA ＝30°. 在Rt △MAF 中，AF ＝12BC ＝a 2，∠MFA ＝30°，∴AM ＝36a .作AG ⊥MF ，垂足为G .∵MF ⊥DE ，AF ⊥DE ，∴DE ⊥平面AMF . ∴平面MDE ⊥平面AMF . ∴AG ⊥平面MDE .在Rt △GAF 中，∠GFA ＝30°，AF ＝a2.∴AG ＝a 4，即A 到平面MDE 的距离为a4.∵CA ∥DE ，∴CA ∥平面MDE .∴C 到平面MDE 的距离与A 到平面MDE 的距离相等，为a4.方法二过点A 作CE 的平行线，交ED 的延长线于F ，连接MF . ∵D 、E 分别为AB 、CB 的中点， ∴DE ∥AC .又∵AF ∥CE ，CE ⊥AC ，∴AF ⊥DE .∵MA ⊥平面ABC .∴AF 为MF 在平面ABC 内的射影， ∴MF ⊥DE .∴∠MFA 为二面角M －DE －A 的平面角，∠MFA ＝30°. 在Rt △MAF 中，AF ＝12BC ＝a2，∠MFA ＝30°，∴AM ＝36a . 设C 到平面MDE 的距离为h . ∵V M －CDE ＝V C －MDE ， ∴13S △CDE ·MA ＝13S △MDE ·h ， S △CDE ＝12CE ·DE ＝a 28，MA ＝36a ，S △MDE ＝12DE ·MF ＝12DE ·AFcos30°＝312a 2.∴13×a 28×36a ＝13×312a 2×h . ∴h ＝a 4，即C 到平面MDE 的距离为a4.11．已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E 、F 分别为棱AB 、BC 的中点．(1)求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1； (2)求点D 1到平面B 1EF 的距离．解析 (1)证明建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (22，22，0)，E (22，2，0)， F (2，22，0)，D 1(0,0,4)， B 1(22，22，4)．∴EF →＝(－2，2，0)， DB →＝(22，22，0)，DD 1→＝(0,0,4)．∴EF →·DB →＝0，EF →·DD 1→＝0. ∴EF ⊥DB ，EF ⊥DD 1，DD 1∩BD ＝D . ∴EF ⊥平面BDD 1B 1. 又EF ⊂平面B 1EF ， ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.(2)由(1)知D 1B 1→＝(22，22，0)，EF →＝(－2，2，0)，B 1E →＝(0，－2，－4)．设平面B 1EF 的法向量为n ，且n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥EF →，n ⊥B 1E →.即n ·EF →＝(x ，y ，z )·(－2，2，0)＝－2x ＋2y ＝0，n ·B 1E →＝(x ，y ，z )·(0，－2，－4)＝－2y －4z ＝0.令x ＝1，则y ＝1，z ＝－24. ∴n ＝(1,1，－24)，∴D 1到平面B 1EF 的距离d ＝|D 1B 1→·n ||n |＝|22＋22|12＋12＋－242＝161717.12．(2012·重庆)如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝4，AC ＝BC ＝3，D 为AB 的中点．(1)求点C 到平面A 1ABB 1的距离；(2)若AB 1⊥A 1C ，求二面角A 1－CD －C 1的平面角的余弦值．解析 (1)由AC ＝BC ，D 为AB 的中点，得CD ⊥AB .又CD ⊥AA 1.故CD ⊥平面A 1ABB 1，所以点C 到平面A 1ABB 1的距离为CD ＝BC 2－BD 2＝ 5.(2)方法一如图，取D 1为A 1B 1的中点，连接DD 1，则DD 1∥AA 1∥CC 1.又由(1)知CD ⊥面A 1ABB 1，故CD ⊥A 1D ，CD ⊥DD 1，所以∠A 1DD 1为所求的二面角A 1－CD －C 1的平面角．因A 1D 为A 1C 在面A 1ABB 1上的射影，又已知AB 1⊥A 1C ，由三垂线定理的逆定理得AB 1⊥A 1D ，从而∠A 1AB 1、∠A 1DA 都与∠B 1AB 互余，因此∠A 1AB 1＝∠A 1DA ，所以Rt △A 1AD ∽Rt △B 1A 1A .因此AA 1AD ＝A 1B 1AA 1，即AA 21＝AD ·A 1B 1＝8，得AA 1＝2 2. 从而A 1D ＝AA 21＋AD 2＝2 3. 所以，在Rt △A 1DD 1中，cos ∠A 1DD 1＝DD 1A 1D ＝AA 1A 1D ＝63. 方法二如图，过D 作DD 1∥AA 1交A 1B 1于D 1，在直三棱柱中，易知DB ，DC ，DD 1两两垂直．以D 为原点，射线DB ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D －xyz .设直三棱柱的高为y ，则A (－2,0,0)，A 1(－2,0，h )，B 1(2,0，h )，C (0，5，0)，C 1(0，5，h )，从而AB 1→＝(4,0，h )，A 1C →＝(2，5，－h )．由AB 1→⊥A 1C →，有8－h 2＝0，解得h ＝2 2. 故DA 1→＝(－2,0,22)，CC 1→＝(0,0,22)，DC →＝(0，5，0)．设平面A 1CD 的法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，则m ⊥DA 1→，m ⊥DC →，即⎩⎨⎧5y 1＝0，－2x 1＋22z 1＝0.取z 1＝1，得m ＝(2，0,1)．设平面C 1CD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则n ⊥DC →，n ⊥CC 1→，即⎩⎨⎧5y 2＝0，22z 2＝0.取x 2＝1，得n ＝(1,0,0)．所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝22＋1×1＝63.所以二面角A 1－CD －C 1的平面角的余弦值为63.。

高考数学总复习第九章直线、平面、简单几何体 91课后巩固提升(含解析)新人教A版

【创优导学案】2014届高考数学总复习第九章直线、平面、简单几何体 9-1课后巩固提升（含解析）新人教A 版(对应学生用书P 263 解析为教师用书独有)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．一个班级有5个小组，每一个小组有10名学生，随机编号为1～10号，为了了解他们的学习情况，要求抽取每组的2号学生留下来进行问卷调查，这里运用的方法是A ．分层抽样法B ．抽签法C ．随机数法D ．系统抽样法解析 D 因为按照一定规则进行抽样，故选D.2．(2013·郑州测试)一个学校高三年级共有学生200人，其中男生有120人，女生有80人，为了调查高三复习状况，用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为25的样本，应抽取女生的人数为( ) A ．20B ．15C ．12D ．10解析 D 应抽取女生人数n ＝80×25200＝10. 3．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为( )A ．9B ．18C ．27D ．36解析 B 设该单位有老年职工x 人，则160＋x ＋2x ＝430，∴x ＝90.设抽取的样本中的老年职工有y 人，则有32160＝y 90，∴y ＝18. 4．高三(1)班共有56人，学号依次为1,2,3，…，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本．已知学号为6,34,48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为A ．30B ．25C ．20D ．15解析 C 由题意可知，可将学号依次为1,2,3，…，56的56名同学分成4组，每组14人，抽取的样本中，若将他们的学号按从小到大的顺序排列，彼此之间会相差14，故还有一个同学的学号应为14＋6＝20.5．某企业对全厂的男女职工共2 400人进行健康调查，采取分层抽样法抽取一个容量为120的样本，已知女职工比男职工多抽了20人，则该厂的男职工人数应是A．1 000 B．1 200C．1 400 D．1 600解析 A 依题意，应该抽取女职工70人、男职工50人，所以该厂一共有男职工2 400 120×50＝1 000人．6．为了检查某超市货架上的奶粉中维生素的含量，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样的方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是A．5,10,15,20,25 B．2,4,8,16,32C．1,2,3,4,5 D．7,17,27,37,47解析 D 选取的奶粉的编号构成公差为10的等差数列，且首项在1到10之间，末项在41～50之间．故选D.二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)7．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型产品有16件，那么此样本容量n＝________.解析依题意A、B、C三种不同型号样本个数之比为2∶3∶5，∴样本中B型产品有24件，C型产品有40件，∴n＝16＋24＋40＝80.【答案】808．某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表格：A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是_____________________________________________________________件．解析设C产品的数量为x，则A产品的数量为1 700－x，C产品的样本容量为a，则A产品的样本容量为10＋a，由分层抽样的定义可知：1 700－xa＋10＝xa＝1 300130，∴x＝800.【答案】8009．(2013·咸阳模拟)某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取80名学生进行家庭情况调查，经过一段时间后，再次从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查，发现有20名学生上次被抽到过，估计这个学校高一年级的学生人数为________．解析根据抽样的等可能性，设高一年级共有x 人，则80x ＝20100，∴x ＝400. 【答案】 400三、解答题(本大题共3小题，共40分)10．(12分)某工厂有1 000名工人，从中抽取10人参加体检，试用系统抽样方法进行具体实施．解析 ①将所有工人随机编号，由0001至1 000；②分段，取间隔k ＝1 00010＝100，将总体均分为10组，每组含100个工人； ③从第一段即0001号到0100号中随机抽取一个号l ；④将l,100＋l,200＋l ，…，900＋l 共10个号选出．这10个号所对应的工人组成要抽取的样本．11．(12分)某批零件共160个，其中，一级品48个，二级品64个，三级品32个，等外品16个．从中抽取一个容量为20的样本．请说明分别用简单随机抽样、系统抽样和分层抽样法抽取时总体中的每个个体被取到的概率均相同．解析 (1)简单随机抽样法：可采取抽签法，将160个零件按1～160编号，相应地制作1～160号的160个号签，把它们放在一起，并搅拌均匀，从中随机抽取20个．显然每个个体被抽到的概率为20160＝18. (2)系统抽样法：将160个零件从1至160编上号，按编号顺序分成20组，每组8个．然后在第1组用抽签法随机抽取一个号码，例如它是第k 号(1≤k ≤8)，则在其余组中分别抽取第k ＋8n (n ＝1,2,3，…，19)号，此时每个个体被抽到的概率为18. (3)分层抽样法：按比例20160＝18，分别在一级品、二级品、三级品、等外品中抽取48×18＝6个，64×18＝8个，32×18＝4个，16×18＝2个，每个个体被抽到的概率分别为648，864，432，216，即都是18.综上可知，无论采取哪种抽样，总体的每个个体被抽到的概率都是18. 12．(16分)一个城市有210家百货商店，其中大型商店有20家，中型商店有40家，小型商店有150家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本，按分层抽样方法抽取样本时，各类百货商店要分别抽取多少家？写出抽样过程．解析 ∵21∶210＝1∶10，∴2010＝2，4010＝4，15010＝15.∴应从大型商店中抽取2家，从中型商店中抽取4家，从小型商店中抽取15家．抽样过程：(1)计算抽样比21210＝110；(2)计算各类百货商店抽取的个数：2010＝2，4010＝4，15010＝15；(3)用简单随机抽样方法依次从大、中、小型商店中抽取2家、4家、15家；(4)将抽取的个体合在一起，就构成所要抽取的一个样本．。

高考数学总复习第九章直线、平面、简单几何体 94课后巩固提升(含解析)新人教A版

【创优导学案】2014届高考数学总复习第九章直线、平面、简单几何体 9-4课后巩固提升（含解析）新人教A版(对应学生用书P257解析为教师用书独有)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．计算下列各式中的S值，能设计算法求解的是( )①S＝1＋2＋3＋ (30)②S＝1＋2＋3＋…＋30＋…；③S＝1＋2＋3＋…＋n(n∈N*)．A．①②B．①③C．②③D．①②③解析 B ②为求无限项的和，而算法要求必须在有限步之内完成，所以，不能用算法求解．2．阅读程序框图(如图)，若输入的a，b，c分别为21,32,75，则输出的a，b，c分别是( )A．75,21,32 B．21,32,75C．32,21,75 D．75,32,21解析 A 该程序框图是利用赋值语句交换a，b，c的值，逐一进行即可．3．(2013·泉州模拟)执行如图所示的程序框图，若输出y的值为2，则输入的x应该是( )A ．2或 3 B ．2或± 3 C ．2D ．2或－3解析 D 由程序框图可得：当x ＜0时，y ＝x 2－1， ∴x 2－1＝2，x 2＝3.∴x ＝－ 3. 当x ＞0时，y ＝2x－2， ∴2x－2＝2，∴2x＝4＝22. ∴x ＝2，综上所述，x ＝2或－ 3.4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析 B 试将程序分步运行：第一次循环：S ＝11－2＝－1，n ＝2；第二次循环：S ＝11－－1＝12，n ＝3；第三次循环：S ＝11－12＝2，n ＝4.5．阅读如图所示的程序框图，若输出的S 的值等于16，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是( )A ．i ＞5?B ．i ＞6?C ．i ＞7?D ．i ＞8?解析 A 因为16＝1＋1＋2＋3＋4＋5，所以判断框内应填写i ＞5？或i ≥6？. 6．阅读如图所示的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是( )A ．5 049B ．5 050C ．5 051D ．5 052解析 A 由循环结构可得S ＝100＋99＋…＋3＋2＝5 049.故输出的变量S 的值为5 049.二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)7．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2xx ≥2，2－x x <2，如图表示的是给定x 的值，求其对应的函数值y的程序框图．①处应填写________；②处应填写________．解析由框图可知，只要满足①中的条件，则对应的函数解析式为y ＝2－x ，故此处应填写“x <2？”，则②处应填写“y ＝log 2x ”．【答案】 x <2？ y ＝log 2x8．(2013·西安模拟)执行如图所示的程序框图，输出结果的值是________．解析 ∵16>2，∴x ＝16＝4. ∵4>2，∴x ＝4＝2. ∵2>2不成立， ∴y ＝e2－2＝e 0＝1.【答案】 19．执行如图所示的程序框图，输出的结果为________．解析 S ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋12 011×2 013＝12⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12 011×2 013＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 013＝1 0062 013. 【答案】1 0062 013三、解答题(本大题共3小题，共40分)10．(12分)(2013·锦州模拟)对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如表所示的数据.观测次数i 1 2 3 4 5 6 7 8 观测数据a i4041434344464748在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的程序框图(其中a 是这8个数据的平均数)，求输出的S 的值．解析根据题表中数据可得a ＝44，由程序框图得S ＝42＋32＋12＋12＋02＋22＋32＋428＝7.11．(12分)按图所示的程序框图操作．(1)操作结果得到的数集是什么？如果把依次产生的数看成是数列{a n}的项，试写出其通项公式；(2)如何变更A框，能使操作流程图产生的数分别是数列{2n－2}的前10项？解析(1)操作结果得到的数集是{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}，其通项公式为a n＝2n －1(n∈N*，且n≤10)．(2)变更A框为：写下0，这时可依次产生0,2,4，…，18，恰好为数列{2n－2}的前10项．12．(16分)在国家法定工作日内，每周满工作量的时间为40小时，若每周工作时间不超过40小时，则每小时工资8元；如因需要加班，超过40小时的每小时工资为10元．某公务员在一周内工作时间为x小时，但他须交纳个人住房公积金和失业保险(这两项费用为每周总收入的10%)．试分析算法步骤并画出其净得工资y元的程序框图(注：满工作量外的工作时间为加班)．解析算法如下：第一步，输入工作时间x小时．第二步，若x≤40，则y＝8x(1－10%)；否则，y＝[40×8＋(x－40)×10](1－10%)．第三步，输出y值．程序框图如图所示：。

2014高考数学真题汇编(解析几何)部分

2014解析几何部分：一选择题1（2014全国大纲卷）6.已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F，离心率为2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为 A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 2（全国大纲卷）9.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（） A ．14 B ．13 CD3（2014课标1）4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为AB .3 CD .3m4（2014课标1）10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =A .72 B .52C .3D .2 5（2014新课标2）10.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（）A.B.C. 6332D. 946（2014辽宁卷）10.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，学科网过点A 的直线与C在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（） A ．12 B ．23 C ．34 D ．437（2014福建卷）10设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（） A.25 B.246+ C.27+ D.268（2014广东卷）4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等9（2014四川卷）10、已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（）A 、2B 、3 CD二填空题1（2014全国大纲卷）15．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .2（2014新课标2）16.设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.3（2014陕西卷）12若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为_______.4（2014辽宁卷）15.已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .5（2014广东卷）14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿6（2014湖南卷）15.如图4，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为(),a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线)0(22>=p px y 经过F C ,两点，则_____=ab.7（2014四川卷）14设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是____________8（2014上海卷）3若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.9（2014上海卷）14.已知曲线C：x =l ：x=6。

【高考调研】2014届高考数学总复习第九章解析几何课时作业65(含解析)理新人教A版

课时作业(六十五)1．已知F 1、F 2是双曲线x 22－y 2＝1的左、右焦点，P 、Q 为右支上的两点，直线PQ 过F 2且倾斜角为α，则|PF 1|＋|QF 1|－|PQ |的值为( )A ．8B ．2 2C ．4 2D ．随α的大小而变化答案 C解析由双曲线定义知： |PF 1|＋|QF 1|－|PQ |＝|PF 1|＋|QF 1|－(|PF 2|＋|QF 2|) ＝(|PF 1|－|PF 2|)＋(|QF 1|－|QF 2|) ＝4a ＝4 2.2．与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线且经过点A (－3，32)的双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离是( )A. 2B.342 C ．1 D ．4答案 B解析设此双曲线方程为x 29m －y 216m＝1，代入点A (－3,32)得m ＝－18.∴方程为y 22－x 298＝1.∵焦点到渐近线的距离为b ， ∴d ＝b ＝98＝324. 3．双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，则半焦距的取值范围是( ) A ．[42－4,4] B ．[42－4,2] C ．(42－4,2) D ．[42－4,2)答案 D解析设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，其中a 2＋b 2＝c 2.∵2a ＋2b ＋2c ＝8，∴a ＋b ＋c ＝4. ∵(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)，∴(4－c )2≤2c 2⇒c 2＋8c －16≥0⇒c ≥42－4或c ≤－42－4(负根舍去)．又∵a 2＋b 2＝c 2，∴a ＋b >c .而a ＋b ＋c ＝4，∴c <2，即42－4≤c <2.4．设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若F 1、F 2、P (0,2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率( )A.32 B ．2 C.52 D ．3答案 B解析设F 1(－c,0)，F 2(c,0)．由△PF 1F 2为正三角形得2c ＝c 2＋4b 2. ∴3c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)． ∴c 2＝4a 2，e 2＝4，e ＝2.5．△ABC 的顶点为A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x >3) D.x 216－y 29＝1(x >4) 答案 C解析设△ABC 的内切圆与x 轴相切于D 点，则D (3,0)．由于AC 、BC 都为圆的切线．故有|CA |－|CB |＝|AD |－|BD |＝8－2＝6.再由双曲线第一定义知所求轨迹为x 29－y 216＝1(x >3)．故选C.6．已知点F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，以线段F 1F 2为一边的等边三角形PF 1F 2与双曲线的两交点M 、N 恰为等边三角形PF 1F 2两边的中点，则该双曲线的离心率e ＝( )A.3＋1B.3＋2C. 3D.2＋1答案 A解析设点M 、N 分别是△PF 1F 2的边PF 1、PF 2的中点，连接MF 2.因为|F 1F 2|＝2c ，△PF 1F 2为等边三角形，所以|MF 1|＝c ，所以|MF 2|＝2a ＋c .又易知|MF 1|2＋|MF 2|2＝|F 1F 2|2，所以c2＋(2a ＋c )2＝4c 2，化简得e 2－2e －2＝0，得e ＝1±3，因为e >1，故取e ＝3＋1.故选A.7．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，点F 是其左焦点，点E 是其右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若AE →·BE →＝0，则该双曲线的离心率为A ．2B ．3C ．4D ．5答案 A 解析根据题意画出如图所示的简图．由AE →·BE →＝0，可知∠AEB 为直角．由双曲线的几何性质可知∠AEF ＝45°.又AF ＝b 2a ，EF ＝a ＋c ，三角形AEF 为等腰直角三角形，所以b 2a＝a ＋c ，整理得c 2－ac －2a 2＝0，即e 2－e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)．8.8. (2012·浙江)如图，F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是 ( )A.233B.62C. 2D. 3答案 B解析不妨设c ＝1，则直线PQ ：y ＝bx ＋b ，两渐近线为y ＝±b ax .因此有交点P (－aa ＋1，ba ＋1)，Q (a 1－a ，b 1－a )，设PQ 的中点为N ，则点N 的坐标为(a 21－a2，b1－a2)．因为线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，|MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 的坐标为(3,0)．因此有k MN ＝b1－a2－0a 21－a2－3＝－1b ，所以3－4a 2＝b 2＝1－a 2.所以a 2＝23，所以e ＝62.9．已知圆C 过双曲线x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是______．答案163解析由双曲线的几何性质易知圆C 过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C 的圆心的横坐标为4，故圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，±473，易求它到中心的距离为163.10．双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为_______；若双曲线C 的右顶点为A ，过A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于P ，Q 两点，且PA →＝2AQ →，则直线l 的斜率为_______．答案 x ±y ＝0 ±3解析双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为x 2－y 2＝0，即y ＝±x ；双曲线C 的右顶点A (1,0)，设l ：x ＝my ＋1，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 2－y 2＝0，消去x 得(m 2－1)y 2＋2my ＋1＝0(*)，方程(*)的根为P 、Q 两点的纵坐标，设P (x P ，y P )，∵PA →＝2AQ →，∴y P ＝－2y Q .又⎩⎪⎨⎪⎧y P＋y Q＝2m1－m 2，y P y Q ＝1m 2－1，解得m ＝±13，直线l 的斜率为1m，即为3或－3.11．求两条渐近线为x ＋2y ＝0和x －2y ＝0且截直线x －y －3＝0所得的弦长为833的双曲线的方程．解析渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 24m －y2m＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x 24m －y 2m＝1，x －y －3＝0.可得3x 2－24x ＋36＋4m ＝0， ∴x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝36＋4m3.由弦长公式|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2，得|AB |＝2·48－16m3. 又∵|AB |＝833，∴m ＝1.∴双曲线方程为x 24－y 2＝1.12．(2011·江西)P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N分别是双曲线E 的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解析 (1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b2＝1. 由题意又有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，则e ＝c a ＝305.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c2，x 1x 2＝35b24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.因为C 为双曲线上一点，所以x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2.化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.② 因为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，由②式得λ2＋4λ＝0，解出λ＝0或λ＝－4.13．(2013·上海徐汇高三模拟)已知点F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线于点M ，且∠MF 1F 2＝30°，圆O 的方程为x 2＋y 2＝b 2；(1)求双曲线C 的方程；(2)过圆O 上任意一点Q (x 0，y 0)作切线l 交双曲线C 于A ，B 两个不同点，AB 中点为N ，求证：|AB |＝2|ON |；(3)过双曲线C 上一点P 作两条渐近线的垂线，垂足分别是P 1和P 2，求PP 1→·PP 2→的值．解析 (1)设F 2，M 的坐标分别为(1＋b 2，0)，(1＋b 2，y 0)(y 0>0)，因为点M 在双曲线C 上，所以1＋b 2－y 20b2＝1，即y 0＝b 2.所以|MF 2|＝b 2.在Rt △MF 2F 1中，∠MF 1F 2＝30°，|MF 2|＝b 2，所以|MF 1|＝2b 2. 由双曲线的定义可知|MF 1|－|MF 2|＝b 2＝2，故双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.(2)证明 ①当切线l 的斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，切线l 的方程为y ＝kx ＋n (k ≠±2)，代入双曲线C 中，化简得(2－k 2)x 2－2knx －(n 2＋2)＝0. 所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝1＋k 2·8n 2－8k 2＋16－k22. 因为直线l 与圆O 相切，所以|n |1＋k 2＝2，代入上式，得|AB |＝221＋k 2|2－k 2|·k 2＋4. 设点N 的坐标为(x N ，y N )，则x N ＝x 1＋x 22＝kn 2－k 2，y n ＝kx N ＋n ＝2n2－k 2. 所以ON ＝kn2－k22＋2n 2－k22＝2·1＋k 2|2－k 2|·k 2＋4，即|AB |＝2|ON |成立．②当切线l 的斜率不存在时，A (2，－2)，B (2，2)或A (－2，－2)，B (－2，2)，此时|AB |＝22，|ON |＝2，即|AB |＝2|ON |成立．(3)由条件可知：两条渐近线分别为l 1：2x －y ＝0；l 2：2x ＋y ＝0. 设双曲线C 上的点P (x 0，y 0)，则点P 到两条渐近线的距离分别为 |PP 1→|＝|2x 0－y 0|3，|PP 2→|＝|2x 0＋y 0|3.所以|PP 1→|·|PP 2→|＝|2x 0－y 0|3·|2x 0＋y 0|3＝|2x 20－y 20|3.因为P (x 0，y 0)在双曲线C ：x 2－y 22＝1上，所以2x 20－y 20＝2.故|PP 1→|·|PP 2→|＝|2x 20－y 20|3＝23.设PF 1→和PF 2→的夹角为θ，则cos θ＝|2·2＋－3·3＝13. 所以PF 1→·PF 2→＝|PF 1→|·|PF 2→|·cos θ＝23·13＝29.1．设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两点A 、B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且PA →＝512PB →，求a 的值．解析 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－a 2y 2－a 2＝0，x ＋y ＝1，消y 得x 2－a 2(1－x )2－a 2＝0，(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2a 21－a2，x 1x 2＝－2a21－a 2.∵与双曲线交于两点A 、B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2－a 2⇒0<a 2<2且a 2≠1.∴e 的取值范围为(62，2)∪(2，＋∞)． (2)由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2a 21－a2，x 1x 2＝－2a21－a 2.∵PA →＝512PB →，∴x 1＝512x 2.则1712x 2＝－2a 21－a 2，① 512x 22＝－2a 21－a 2.② ①2②得，a 2＝289169. 结合a >0，则a ＝1713.2．直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B . (1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．解析 (1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1后，整理得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0.①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2≠0，Δ＝k 2－k 2－，－2k k 2－2>0，2k 2－2>0，解得k 的取值范围为－2<k <－ 2.(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则由①式得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k2－k2，x 1·x 2＝2k 2－2.②假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F (c,0)，则由FA ⊥FB 得(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0.即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0. 整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0.③ 把②式及c ＝62代入③式化简得5k 2＋26k －6＝0. 解得k ＝－6＋65或k ＝6－65∉(－2，－2)(舍去)．可知k ＝－6＋65使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点．。

2014年高考理科数学总复习试卷第9卷题目及其答案

2014年高考理科数学总复习试卷第9卷题目及其答案一﹑选择题（每小题5分，共40分）1．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（）A ．3个B ．5个C ．7个D ．8个2．设()2lg2xf x x+=-，则22x f f x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域为 A 、()()4,00,4- B 、()()4,11,4--C 、()()2,11,2--D 、()()4,22,4--3．已知1lg(2)(lg lg )2x y x y -=+，则xy的值为（）A ．1B ．4C ．1或4D ．41或4 4．函数对于任意实数满足条件，若，则A ．B ．C ．D ．5．已知))((3)(b x a x x f ----=，并且n m ,是0)(=x f 的两根，则实数n m b a ,,,的大小关系可能正确的是（） A ．n b a m <<< B ．n b m a <<<C ．b n m a <<<D ．b n a m <<<6．函数)(x f 在定义域R 内可导，若()(2),f x f x =-且(1)'()0x f x-<，若),3(),21(),0(f c f b f a ===则c b a ,,的大小关系是（）A ．c b a >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a >>7．在R 上定义运算():1x y x y ⊗⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围是A 、()1,1-B 、()0,2C 、13,22⎛⎫-⎪⎝⎭ D 、31,22⎛⎫-⎪⎝⎭ 8．函数()y f x =与函数()y g x =有相同的定义域，且都不是常函数，对定义域内的任何x ，有()()0,()()1f x f x g x g x +-=-=，且()1g x ≠，则2()()()()1f x F x f xg x =+-是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数二﹑填空题（每小题5分，共30分）9. 方程xx x 222=-的正根个数为_______个. 10．设210,1,()xx a a f x a ++>≠=函数有最小值，则不等式0)1(log >-x a 的解集为 .11．求由两条曲线x y x x y 2,22=-=所围图形的面积12.已知函数)(x f 满足：x xf x f ln )1(2)(+=，则过点（1，)1(f ）的切线方程是 13. 定义在实数集R 上的偶函数()f x 满足()(2).f x f x =+当[2,3]x ∈时，()f x x =，则[1,0]x ∈-时，()f x =_______.14．已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的导函数是(),0g x a b c ++=，0)1()0(>⋅g g . 设12,x x 是方程()0g x =的两根，则|12x x -|的取值范围为 .三、解答题（共80分）15．已知条件p ：{}2|230,,x A x x x x R ∈=--≤∈条件q ：{}22|240,,x B x x mx m x R m R ∈=-+-≤∈∈（Ⅰ）若[]0,3A B = ,求实数m 的值；（Ⅱ）若p 是q ⌝的充分条件，求实数m 的取值范围.16．设)(x f 在R 上是偶函数，在区间)0,(-∞上递增，且)123()12(22+-<++a a f a a f ，求a 的取值范围17．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形的休闲区1111D C B A 和环公园人行道（阴影部分）组成。

2014届高考数学(理)分项模拟解析几何(含详解)

解析几何一、选择题1．“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若a ＝2，则直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1，反之也成立，即“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充要条件，故应选C.答案：C2．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆中过点M (3,5)的最长弦、最短弦分别为AC ，BD ，则以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形ABCD 的面积为( )A ．106B ．20 6C ．30 6D ．40 6解析：已知圆的圆心为(3,4)，半径为5，则最短的弦长为252－12＝46，最长的弦为圆的直径为10，则四边形的面积为12×46×10＝206，故应选B.答案：B3．若直线l 被圆x 2＋y 2＝4所截得的弦长为23，则直线l 与下列曲线一定有公共点的是( )A ．y 2＝x B.x 22－y 2＝1C ．(x －2)2＋y 2＝4 D.x 23＋y 2＝1解析：依题意得，圆心(0,0)到直线l 的距离等于4－⎝⎛⎭⎫2322＝1，即直线l 必是圆x 2＋y 2＝1的切线．对于A ，圆x 2＋y 2＝1的切线x ＝－1与曲线y 2＝x 没有公共点；对于B ，圆x 2＋y 2＝1的切线x ＝－1与曲线x 22－y 2＝1没有公共点；对于C ，圆x 2＋y 2＝1的切线x ＝－1与曲线(x －2)2＋y 2＝4没有公共点；对于D ，由于圆x 2＋y 2＝1上的所有点均不在椭圆x 23＋y 2＝1外，因此圆x 2＋y 2＝1的切线与曲线x23＋y 2＝1一定有公共点．综上所述，选D.答案：D4．已知双曲线y 22－x 23＝1的两个焦点分别为F 1、F 2，则满足△PF 1F 2的周长为6＋25的动点P 的轨迹方程为( )A.x 24＋y 29＝1B.x 29＋y 24＝1 C.x 24＋y 29＝1(x ≠0) D.x 29＋y 24＝1(x ≠0) 解析：依题意得，|F 1F 2|＝22＋3＝25，|PF 1|＋|PF 2|＝6＞|F 1F 2|，因此满足△PF 1F 2的周长为6＋25的动点P 的轨迹是以点F 1、F 2为焦点，长轴长是6的椭圆(除去长轴的端点)，即动点P 的轨迹方程是x 24＋y 29＝1(x ≠0)，选C.答案：C5．正方形的四个顶点都在双曲线C 上，其一边经过C 的焦点，则C 的离心率为( )A.3＋12 B ．2C.5＋12D. 2解析：不妨设正方形的边长为2，则有2c ＝2,2a ＝5－1，∴双曲线C 的离心率e ＝c a ＝2c2a＝25－1＝5＋12，选C.答案：C6．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A 、B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )A.74 B ．2 C.94D ．4 解析：直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －14，即直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点⎝⎛⎭⎫14，0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点的横坐标是74，弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94.答案：C7．已知A (－2,0)，B (0,2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，则△P AB 面积的最大值是( )A ．3－ 2B ．4C ．3＋ 2D ．6解析：依题意得圆x 2＋y 2＋kx ＝0的圆心⎝⎛⎭⎫－k 2，0位于直线x －y －1＝0上，于是有－k 2－1＝0，即k ＝－2，因此圆的圆心坐标是(1,0)、半径是1.由题意可得|AB |＝22，直线AB 的方程是x －2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB 的距离等于|1－0＋2|2＝322，点P 到直线AB 的距离的最大值是322＋1，△P AB 面积的最大值为12×22×32＋22＝3＋2，选C.答案：C8．已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是( )A. 3B. 5 C ．2 D.5－1解析：由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义知，点P 到y 轴的距离为|PF |－1，所以点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF |－1.易知d ＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d ＋|PF |的最小值为|2＋3|22＋(－1)2＝5，所以d ＋|PF |－1的最小值为5－1.答案：D9．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞1，b ＞0)的焦距为2c ，离心率为e ，若点(－1,0)与点(1,0)到直线x a －y b ＝1的距离之和为S ，且S ≥45c ，则离心率e 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤52，5 B ．[2，7] C.⎣⎡⎦⎤52，7 D.[]2，5解析：由题意得S ＝|－b －ab |a 2＋b 2＋|b －ab |a 2＋b2＝2ab c ≥45c ，所以2c 2≤5ab ，即4c 4≤25a 2(c 2－a 2)，整理得4c 4－25a 2c 2＋25a 4≤0，所以4e 4－25e 2＋25≤0，解得54≤e 2≤5，即52≤e ≤ 5.答案：A10．已知椭圆x 22a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点F 1、F 2，则椭圆和双曲线离心率的平方和为( )A.94B.74 C ．2 D ．3解析：依题意得2a 2－b 2＝a 2＋b 2，即a 2＝2b 2，因此该椭圆和双曲线的离心率分别是 2a 2－b 22a 2和 a 2＋b 2a 2，该椭圆与双曲线的离心率的平方和为2a 2－b 22a 2＋a 2＋b 2a 2＝4b 2－b 24b 2＋2b 2＋b 22b 2＝94，选A. 答案：A11．若P 是双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)和圆C 2：x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点且∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，其中F 1、F 2是双曲线C 1的两个焦点，则双曲线C 1的离心率为( )A.3－1B.3＋1 C ．2 D ．3解析：依题意得，∠F 1PF 2＝90°，又∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，因此∠PF 1F 2＝30°，|PF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|PF 1|＝32|F 1F 2|＝3c ，双曲线C 1的离心率等于|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝2c3c －c＝3＋1，选B.答案：B12．若曲线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 恰好是曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，且曲线C 1与曲线C 2交点的连线过点F ，则曲线C 2的离心率为( )A.2－1B.2＋1C.6＋22D.2＋12解析：设曲线C 1与曲线C 2在第一象限的交点为A ，则点A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以A 点的坐标可以表示为⎝⎛⎭⎫p 2，p ，所以p ＝2c ，从而b 2a＝2c ，即e 2－2e －1＝0，解得e ＝2＋1或e ＝1－2(舍去)，故选B.答案：B 二、填空题13．已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线y 2＝2x 上，其中O 为坐标原点，则△OAB 的外接圆的方程是______________．解析：由题意知A ，B 两点关于x 轴对称，所以外接圆的圆心C 在x 轴上．设圆C 的半径为r (r ＞0)，则圆心坐标为(r,0)，A 点坐标为⎝⎛⎭⎫32r ，32r ，于是有⎝⎛⎭⎫32r 2＝2×32r ，解得r ＝4，所以圆C 的方程为(x －4)2＋y 2＝16.答案：(x －4)2＋y 2＝1614．若直线l ：4x ＋3y －8＝0过圆C ：x 2＋y 2－ax ＝0的圆心且交圆C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为__________．解析：由题易知，圆C ：x 2＋y 2－ax ＝0的圆心为⎝⎛⎭⎫a 2，0.又直线l ：4x ＋3y －8＝0过圆C的圆心⎝⎛⎭⎫a 2，0，∴4×a2＋3×0－8＝0，∴a ＝4，∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4.∴|AB |＝2r ＝4.又点O (0,0)到直线l ：4x ＋3y －8＝0的距离d ＝|0＋0－8|42＋32＝85，∴S △OAB ＝12|AB |·d ＝12×4×85＝165.答案：16515．F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝6，则线段AB 的中点到y 轴的距离为__________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知：|AF |＋|BF |＝p 2＋x 1＋p2＋x 2＝x 1＋x 2＋p ＝6，∵p ＝1，∴x 1＋x 2＝5，∵线段AB 的中点的横坐标为x 1＋x 22＝52，∴线段AB 的中点到y 轴的距离为52.答案：5216．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为__________．解析：由题意知，△ABE 为等腰三角形．若△ABE 是锐角三角形则只需要∠AEB 为锐角．根据对称性，只要∠AEF ＜π4即可．直线AB 的方程为x ＝－c ，代入双曲线方程得y 2＝b4a2，取点A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，则|AF |＝b 2a ，|EF |＝a ＋c ，只要|AF |＜|EF |就能使∠AEF ＜π4，即b2a ＜a ＋c ，即b 2＜a 2＋ac ，即c 2－ac －2a 2＜0，即e 2－e －2＜0，即－1＜e ＜2，又e ＞1，故1＜e ＜2.答案：(1,2) 三、解答题17．已知椭圆x 2m ＋1＋y 2＝1的两个焦点是F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)．(1)设E 是直线y ＝x ＋2与椭圆的一个公共点，求|EF 1|＋|EF 2|取得最小值时椭圆的方程； (2)已知点N (0，－1)，斜率为k (k ≠0)的直线l 与条件(1)下的椭圆交于不同的两点A ，B ，点Q 满足AQ →＝QB →，且NQ →·AB →＝0，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围．解析：(1)由题意，知m ＋1＞1，即m ＞0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋1＋y 2＝1，得(m ＋2)x 2＋4(m ＋1)x ＋3(m ＋1)＝0. 又Δ＝16(m ＋1)2－12(m ＋2)(m ＋1)＝4(m ＋1)(m －2)≥0，解得m ≥2或m ≤－1(舍去)，∴m ≥2. 此时|EF 1|＋|EF 2|＝2m ＋1≥2 3.当且仅当m ＝2时，|EF 1|＋|EF 2|取得最小值23，此时椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋t .由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝kx ＋t ，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0.∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，∴Δ＝(6kt )2－4(1＋3k 2)(3t 2－3)＞0，即t 2＜1＋3k 2.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x Q ，y Q )，则x 1＋x 2＝－6kt1＋3k 2.由AQ →＝QB →，得Q 为线段AB 的中点，则x Q ＝x 1＋x 22＝－3kt 1＋3k 2，y Q ＝kx Q＋t ＝t1＋3k 2. ∵NQ →·AB →＝0，∴直线AB 的斜率k AB 与直线QN 的斜率k QN 乘积为－1，即k QN ·k AB ＝－1，∴t1＋3k 2＋1－3kt 1＋3k 2·k ＝－1，化简得1＋3k 2＝2t ，代入①式得t 2＜2t ，解得0＜t ＜2.又k ≠0，即3k 2＞0，故2t ＝1＋3k 2＞1，得t ＞12.综上，直线l 在y 轴上的截距t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，2.18．已知圆C ：(x －4)2＋(y －m )2＝16(m ∈N *)，直线4x －3y －16＝0过椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a＞b ＞0)的右焦点，且被圆C 所截得的弦长为325，点A (3,1)在椭圆E 上．(1)求m 的值及椭圆E 的方程；(2)设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AC →·AQ →的取值范围．解析：(1)因为直线4x －3y －16＝0被圆C 所截得的弦长为325，所以圆心C (4，m )到直线4x －3y －16＝0的距离为 42－⎝⎛⎭⎫1652＝125，即|4×4－3×m －16|5＝125，解m ＝4或m ＝－4(舍去)．又因为直线4x －3y －16＝0过椭圆E 的右焦点，所以椭圆E 的右焦点F 2的坐标为(4,0)，则其左焦点F 1的坐标为(－4,0)．因为椭圆E 过A 点，所以|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，所以2a ＝52＋2＝62，所以a ＝32，a 2＝18，b 2＝2，故椭圆E 的方程为x 218＋y 22＝1.(2)由(1)知C (4,4)，又A (3,1)，所以AC →＝(1,3)，设Q (x ，y )，则AQ →＝(x －3，y －1)，则AC →·AQ→＝x ＋3y －6.令x ＋3y ＝n ，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 218＋y 22＝1，x ＋3y ＝n ，消去x 得18y 2－6ny ＋n 2－18＝0，由于直线x ＋3y ＝n 与椭圆E 有公共点，所以Δ＝(6n )2－4×18×(n 2－18)≥0，解得－6≤n ≤6，故AC →·AQ →＝x ＋3y －6的取值范围为[－12,0]．19．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝22，左、右焦点分别为F 1、F 2，抛物线y 2＝42x 的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知圆M ：x 2＋y 2＝23的切线l 与椭圆相交于A 、B 两点，那么以AB 为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．解析：(1)设椭圆C 的焦距为2c .∵椭圆C 的离心率e ＝22，∴c a ＝22，即a ＝2c . ∵抛物线y 2＝42x 的焦点F (2，0)恰好是该椭圆的一个顶点， ∴a ＝ 2.∴c ＝1，b ＝1.∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)(ⅰ)当直线l 的斜率不存在时， ∵直线l 与圆M 相切，∴其中的一条切线的方程为x ＝63.由⎩⎨⎧x ＝63，x22＋y 2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝63，y ＝63或⎩⎨⎧x ＝63，y ＝－63，不妨设A ⎝⎛⎭⎫63，63，B ⎝⎛⎭⎫63，－63，则以AB 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －632＋y 2＝23.(ⅱ)当直线l 的斜率为零时，∵直线l 与圆M 相切，∴其中的一条切线的方程为y ＝－63. 由⎩⎨⎧y ＝－63，x22＋y 2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝63，y ＝－63或⎩⎨⎧x ＝－63，y ＝－63，不妨设A ⎝⎛⎭⎫63，－63，B ⎝⎛⎭⎫－63，－63，则以AB 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋632＝23. 显然以上两圆的一个交点为O (0,0)．(ⅲ)当直线l 的斜率存在且不为零时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，消去y 得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1.∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 22k 2＋1.∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝3m 2－2k 2－22k 2＋1.①∵直线l 和圆M 相切，∴圆心到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2＝63，整理得m 2＝23(1＋k 2)，②将②式代入①式，得OA →·OB →＝0，显然以AB 为直径的圆经过定点O (0,0)．综上可知，以AB 为直径的圆过定点(0,0)．20．如图，已知M (m ，m 2)、N (n ，n 2)是抛物线C ：y ＝x 2上的两个不同的点，且m 2＋n 2＝1，m ＋n ≠0，直线l 是线段MN 的垂直平分线．设椭圆E 的方程为x 22＋y 2a＝1(a ＞0，a ≠2)．(1)当M 、N 在C 上移动时，求直线l 的斜率k 的取值范围；(2)已知直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，与椭圆E 交于P 、Q 两点，设线段AB 的中点为R ，线段QP 的中点为S ，若OR →·OS →＝0，求椭圆E 的离心率的取值范围．解析：(1)由题意知，直线MN 的斜率k MN ＝m 2－n 2m －n＝m ＋n ，又l ⊥MN ，m ＋n ≠0，∴直线l 的斜率k ＝－1m ＋n.∵m 2＋n 2＝1，由m 2＋n 2≥2mn ，得2(m 2＋n 2)≥(m ＋n )2，即2≥(m ＋n )2(当m ＝n 时，等号成立)， ∴|m ＋n |≤2，∵M 、N 是不同的两点，即m ≠n ， ∴0＜|m ＋n |＜2，∴|k |＞22，即k ＜－22或k ＞22.(2)由题意易得，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫m ＋n 2，m 2＋n 22，∵直线l 是线段MN 的垂直平分线，∴直线l 的方程为y －m 2＋n 22＝k ⎝⎛⎭⎫x －m ＋n 2，又∵m 2＋n 2＝1，k ＝－1m ＋n，即m ＋n ＝－1k ，∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1，将直线l 的方程代入抛物线和椭圆方程并分别整理得，x 2－kx －1＝0，① (a ＋2k 2)x 2＋4kx ＋2－2a ＝0.②易知方程①的判别式Δ1＝k 2＋4＞0，方程②的判别式Δ2＝8a ·(2k 2＋a －1)，由(1)易知k 2＞12，a ＞0， ∴2k 2＋a －1＞a ＞0，∴Δ2＞0恒成立．设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，则x A ＋x B ＝k ，y A ＋y B ＝kx A ＋1＋kx B ＋1＝k (x A ＋x B )＋2＝k 2＋2，∴线段AB 的中点R 的坐标为⎝⎛⎭⎫k 2，k 22＋1，又x P ＋x Q ＝－4k a ＋2k 2，y P ＋y Q ＝kx P ＋1＋kx Q ＋1＝k (x P ＋x Q )＋2＝2aa ＋2k 2， ∴线段QP 的中点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k a ＋2k 2，a a ＋2k 2.∴OR →＝⎝⎛⎭⎫k 2，k 22＋1，OS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2ka ＋2k 2，a a ＋2k 2，由OR →·OS →＝0得，－k 2＋a ⎝⎛⎭⎫k 22＋1a ＋2k2＝0，即－k 2＋a ⎝⎛⎭⎫k 22＋1＝0， ∴a ＝2k 2k 2＋2，∵|k |＞22，∴a ＝2k 2k 2＋2＝2－4k 2＋2＞2－412＋2＝25，a ＝2k 2k 2＋2＝2－4k 2＋2＜2，故25＜a ＜2.由题易知，椭圆E 的离心率e ＝ 2－a2， ∴a ＝2－2e 2，∴25＜2－2e 2＜2，∴0＜e 2＜45，∴0＜e ＜255，∴椭圆E 的离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，255.21．已知椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上，且C 1的中心和C 2的顶点均为原点O .(1)求C 1、C 2(2)请问是否存在直线l 满足下列条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点M 、N ，且满足OM →⊥ON →.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解析：(1)设抛物线C 2的标准方程为y 2＝2px (p ≠0)，则有y 2x＝2p (x ≠0)，据此验证四个点易知只有(1，－2)、(4，－4)两点在抛物线上，进而可求得C 2的标准方程为y 2＝4x .设椭圆C 1的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，把(－2,0)、⎝⎛⎭⎫2，62两点代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b2＝1，2a 2＋32b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，故C 1的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在满足题设条件的直线l . 由(1)知抛物线C 2的焦点为(1,0)，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x 24＋y 23＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－32，故不妨令M ⎝⎛⎭⎫1，32，N ⎝⎛⎭⎫1，－32. 此时OM →·ON →＝1－94＝－54，这与OM →⊥ON →矛盾．当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)，直线l 与C 1的交点坐标为M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，得，(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0，所以x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4(k 2－3)3＋4k 2，y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4(k 2－3)3＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1＝－9k 23＋4k 2. 又OM →⊥ON →，即OM →·ON →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即4(k 2－3)3＋4k 2－9k 23＋4k2＝0，整理得5k 2＋12＝0，此方程无实数解．所以不存在满足题设条件的直线l .22．已知平面上的动点P (x ，y )及两定点A (－2,0)，B (2,0)，直线P A ，PB 的斜率分别是k 1，k 2，且k 1·k 2＝－14.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与曲线C 交于不同的两点M 、N .①若OM ⊥ON (O 为坐标原点)，证明点O 到直线l 的距离为定值，并求出这个定值；②若直线BM ，BN 的斜率都存在并满足k BM ·k BN ＝－14，证明直线l 过定点，并求出这个定点．解析：(1)由题意得y x ＋2·y x －2＝－14(x ≠±2)，即x 2＋4y 2－4＝0(x ≠±2)，所以P 点的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1(x ≠±2)．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，化简得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.所以x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.①若OM ⊥ON ，则x 1x 2＋y 1y 2＝0，即(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，即(1＋k 2)4m 2－44k 2＋1＋km －8km 4k 2＋1＋m 2＝0，化简得m 2＝45(1＋k 2)，此时点O 到直线l 的距离为d ＝|m |1＋k2＝255，即点O 到直线l 距离为定值255.②k BM ·k BN ＝－14，即y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－14.即x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋4y 1y 2＝0，即x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝0，即4m 2－4－8km (4km －2)4k 2＋1＋4m 2＋4＝0，化简得m (m ＋2k )＝0，解得m ＝0或m ＝－2k .当m ＝0时，直线l 恒过原点；当m ＝－2k 时，直线l 恒过点(2,0)，此时直线l 与曲线C 最多只有一个公共点，不符合题意．所以，直线l 恒过定点，定点坐标是(0,0)．。

《志鸿优化设计》2014届高考数学(苏教版)一轮复习题库：第9章解析几何9

课时作业46 双曲线一、填空题1. (2019江苏南通高三调研)在平面直角坐标系xOy中, 双曲线y2－x2＝1的离心率为______. [来源:1]2. (2019江苏南通高三期末考试)设F是双曲线－＝1的右焦点, 双曲线的两条渐近线分别为l1, l2, 过F作直线l1的垂线, 分别交l1, l2于A, B两点. 若OA, AB, OB成等差数列, 且向量与同向, 则双曲线的离心率e的大小为__________.3. 过双曲线－＝1(a＞0, b＞0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM(切点为M), 交y轴于点P.若M为线段FP的中点, 则双曲线的离心率等于__________.4. 已知双曲线的两个焦点为F1(－, 0), F2( , 0), M是此双曲线上的一点, 且满足·＝0, | || |＝2, 则该双曲线的方程是__________.5. 过双曲线M: x2－＝1的左顶点A作斜率为1的直线l, 若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于B与C, 且AB＝BC, 则双曲线M的离心率是__________.6. (2019江苏高考名校名师押题卷)双曲线－＝1(a＞0, b＞0)的离心率为2, 则的最小值为______.7. 在直角坐标系中, 过双曲线x2－＝1的左焦点F作圆x2＋y2＝1的一条切线(切点为T)交双曲线右支于P, 若M为线段FP的中点, 则OM－MT＝__________.8. 已知点P是双曲线－＝1(a＞0, b＞0)右支上一点, F1, F2分别为双曲线的左、右焦点, 点I为△PF1F2的内心, 若成立, 则λ的值为_ _________.9．A, B是双曲线C的两个顶点, 直线l与双曲线C交于不同的两点P, Q, 且与实轴所在直线垂直．若·＝0, 则双曲线C的离心率e＝__________.二、解答题10. 已知双曲线的中心在原点, 焦点F1, F2在坐标轴上, 离心率为, 且过点(4, －).(1)求双曲线方程；(2)若点M(3, m)在双曲线上, 求证: ·＝0；(3)求△F1MF2的面积.11.(2019届江苏南京月考)在平面直角坐标系xOy中, 已知双曲线C: 2x2－y2＝1.(1)设F是C的左焦点, M是C右支上一点. 若MF＝2 , 求点M的坐标；(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线, 求这两组平行线围成的平行四边形的面积.12．已知点M(－2,0), N(2,0), 动点P满足条件PM－P N＝2 , 记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程；(2)若A和B是W上的不同两点, O是坐标原点, 求·的最小值. [来源:1]参考答案一、填空题 1. 解析: 因为a ＝1, b ＝1, 所以c ＝ .从而e ＝ .2.523. 解析: 如图所示, 在Rt △OPF 中, OM ⊥PF 且M 为PF 的中点,所以△OMF 也是等腰直角三角形.所以有OF ＝ OM, 即c ＝ a.所以e ＝c a＝ 2. 4. －y2＝1 解析: 由 · ＝0, 可知 ⊥ .可设| |＝t1, | |＝t2, 则t1t2＝2.在△MF1F2中, t ＋t ＝40,∴|t 1－t 2|＝t 21＋t 22－2t 1t 2＝40－4＝6＝2a .∴a ＝3.∴所求双曲线方程为x 29－y 2＝1. 5. 解析: 因为A(－1,0), 所以l 方程为y ＝x ＋1.与两条渐近线方程y ＝±bx 联立, 解得B , C .又因为AB ＝BC, 所以B 是线段AC 的中点, 所以＝ , 解得b ＝3. 所以c2＝a2＋b2＝12＋32＝10, e ＝＝ .6. 解析: 由于已知双曲线的离心率是2, 即2＝＝＝ , 解得＝ .所以的最小值是 , 当a ＝时, 取等号.7. 2 解析：设双曲线右焦点为F ′, 连结PF ′, 则OM 是△PFF ′的中位线, 所以OM ＝ PF ′＝ (PF －2).又OT ⊥PF, OF ＝ , OT ＝1, 所以FT ＝3, 从而OM ＝ (2FM －2)＝FM －1＝3＋MT －1＝2＋MT, 所以OM －MT ＝2.8. 解析: 设△PF1F2内切圆半径为r, 根据已知可得 ×PF1×r ＝ ×PF2×r ＋ ×2c ×r, 整理可得PF1＝PF2＋2λc, 由双曲线的定义可得PF1－PF2＝2a, 故2λc ＝2a ⇒λ＝＝ .9. 解析：如图所示, 设双曲线方程为－＝1, 取其上一点P(m, n), 则Q(m, －n), 由 · ＝0可得(a －m, －n)·(m ＋a, －n)＝0, 化简得－＝1, 又－＝1可得b ＝a, 即此双曲线的离心率为e ＝ .二、解答题10. 解: (1)因为e ＝ ,所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ.因为双曲线过点(4, － ),所以16－10＝λ, 即λ＝6.所以双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明: 由(1)可知, 双曲线中a ＝b ＝ ,所以c ＝2 3.所以F1(－2 , 0), F2(2 , 0). [来源:1]所以＝ , ＝ ,1MF k ·2MF k ＝m 29－12＝－m 23. 因为点(3, m)在双曲线上,所以9－m2＝6, 即m2＝3.故 1· ＝－1, 所以 MF1⊥MF2.所以MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F1MF2的底边F1F2 ＝4 ,△F1MF2的高h ＝|m |＝ , 所以S △F1MF2＝6.11. 解: (1)双曲线C: －y2＝1, 左焦点F ,设M(x, y), 则MF2＝ 2＋y2＝ 2.[来源:1ZXXK]由点M 是双曲线右支上一点, 得x ≥ , 所以MF ＝ x ＋＝2 , 得x ＝ .所以M ⎝⎛⎭⎫62，±2. (2)左顶点 A , 渐近线方程为y ＝±2x .过点A 与渐近线y ＝ x 平行的直线方程为y ＝ , 即y ＝ x ＋1.解方程组⎩⎨⎧ y ＝－2x ，y ＝2x ＋1，得⎝ ⎛ x ＝－24，y ＝12.所以所求平行四边形的面积为S ＝OA ·|y |＝24. 12. 解: (1)由PM －PN ＝2 ＜MN 知动点P 的轨迹是以M, N 为焦点的双曲线的右支, 实半轴长a ＝ .又半焦距c ＝2, 故虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 2.所以W 的方程为－＝1(x ≥ ).(2)设A, B 的坐标分别为(x1, y1), (x2, y2).当AB ⊥x 轴时, x1＝x2, y1＝－y2,从而OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 21－y 21＝2.当AB 与x 轴不垂直时, 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m, 与W 的方程联立, 消去y 得(1－k2)x2－2kmx －m2－2＝0, 故x1＋x2＝ , x1x2＝ , [来源:1ZXXK]所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝(1＋k 2)(m 2＋2)k 2－1＋2k 2m 21－k 2＋m 2＝2k 2＋2k 2－1＝2＋4k 2－1. 又因为x1x2＞0, 所以k2－1＞0.从而OA →·OB →＞2.综上所述, 当AB ⊥x 轴时, · 取得最小值2.。

2014高考调研理科数学单元测试讲解_第九章单元测试

第九章单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1．(2012·浙江)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由a＝1可得l1∥l2，反之，由l1∥l2可得a＝1或a＝－2，故选A.2．(2012·湖北)过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4|}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为() A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0答案 A解析两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P(1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y－2＝0.3．经过抛物线y2＝4x的焦点且平行于直线3x－2y＝0的直线l的方程是() A．3x－2y－3＝0 B．6x－4y－3＝0C．2x＋3y－2＝0 D．2x＋3y－1＝0答案 A解析∵抛物线y2＝4x的焦点是(1,0)，直线3x－2y＝0的斜率是32，∴直线l的方程是y＝32(x－1)，即3x－2y－3＝0，故选A.4．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为() A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0答案 D解析设圆心C(a,0)(a>0)，由3a＋45＝2得，a＝2，故圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.5．(2012·江西)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.14 B.55C.12 D.5－2答案 B解析由等比中项的性质得到a，c的一个方程，再进一步转化为关于e的方程，解之即得所求．依题意得|F1F2|2＝|AF1|·|F1B|，即4c2＝(a－c)(a＋c)＝a2－c2，整理得5c2＝a2，∴e＝ca ＝55.6．(2012·浙江)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N 是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A．3 B．2C. 3D. 2答案 B解析设焦点为F (±c,0)，双曲线的实半轴长为a ，则双曲线的离心率e 1＝ca ，椭圆的离心率e 2＝c 2a ，所以e 1e 2＝2.选B.7．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于( )A.10 B ．210 C. 5 D ．2 5答案 B解析 F 1(－10，0)，F 2(10，0)，2c ＝210，2a ＝2. ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝40. ∴(PF 1→＋PF 2→)2＝|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝40. ∴|PF 1→＋PF 2→|＝210.8．过抛物线y ＝14x 2准线上任一点作抛物线的两条切线，若切点分别为M ，N ，则直线MN 过定点( )A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(－1,0)答案 A解析特殊值法，取准线上一点(0，－1)．设M (x 1，14x 21)，N (x 2，14x 22)，则过M 、N 的切线方程分别为y －14x 21＝12x 1(x －x 1)，y －14x 22＝12x 2(x －x 2)．将(0，－1)代入得x 21＝x 22＝4，∴MN 的方程为y ＝1，恒过(0,1)点．9．如图，过抛物线x 2＝4py (p >0)焦点的直线依次交抛物线与圆x 2＋(y －p )2＝p 2于点A 、B 、C 、D ，则AB →·CD →的值是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2答案 D解析 |AB →|＝|AF |－p ＝y A ，|CD →|＝|DF |－p ＝y B ，|AB →|·|CD →|＝y A y B ＝p 2.因为AB →，CD →的方向相同，所以AB →·CD →＝|AB →|·|CD →|＝y A y B ＝p 2.10．已知抛物线y ＝x 2上有一定点A (－1,1)和两动点P 、Q ，当P A ⊥PQ 时，点Q 的横坐标取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[1，＋∞)C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 D解析设P (x 1，x 21)，Q (x 2，x 22)，∴k AP ＝x 21－1x 1＋1＝x 1－1，k PQ ＝x 22－x 21x 2－x 1＝x 2＋x 1.由题意得k P A ·k PQ ＝(x 1－1)(x 2＋x 1)＝－1， ∴x 2＝11－x 1－x 1＝1(1－x 1)＋(1－x 1)－1.利用函数性质知x 2∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，故选D.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)11．设l 1的倾斜角为α，α∈(0，π2)，l 1绕其上一点P 逆时针方向旋转α角得直线l 2，l 2的纵截距为－2，l 2绕点P 逆时针方向旋转π2－α角得直线l 3：x ＋2y －1＝0，则l 1的方程为________．答案 2x －y ＋8＝0 解析 ∵l 1⊥l 3，∴k 1＝tan α＝2，k 2＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. ∵l 2的纵截距为－2，∴l 2的方程为y ＝－43x －2.由⎩⎨⎧y ＝－43x －2，x ＋2y －1＝0，∴P (－3,2)，l 1过P 点．∴l 1的方程为2x －y ＋8＝0.12．过直线2x ＋y ＋4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的交点且面积最小的圆的方程是________．答案 (x ＋135)2＋(y －65)2＝45解析因为通过两个定点的动圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆，于是解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，得交点A (－115，25)，B (－3,2)．因为AB 为直径，其中点为圆心，即为(－135，65)， r ＝12|AB |＝255，所以圆的方程为(x ＋135)2＋(y －65)2＝45.13．(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．答案 43解析设圆心C (4,0)到直线y ＝kx －2的距离为d ，则d ＝|4k －2|k 2＋1，由题意知问题转化为d ≤2，即d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，得0≤k ≤43，所以k max ＝43.14．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程是________．答案 x 24＋y 22＝1解析抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，∴a ＝2，c ＝ 2.∵b 2＝a 2－c 2，∴b 2＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.15．已知两点M (－3,0)，N (3,0)，点P 为坐标平面内一动点，且|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )到点A (－3,0)的距离的最小值为________．答案 3解析因为M (－3,0)，N (3,0)，所以MN →＝(6,0)，|MN →|＝6，MP →＝(x ＋3，y )，NP →＝(x －3，y )．由|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，得 6(x ＋3)2＋y 2＋6(x －3)＝0，化简整理得y 2＝－12x .所以点A 是抛物线y 2＝－12x 的焦点，所以点P 到A 的距离的最小值就是原点到A (－3,0)的距离，所以d ＝3.16．已知以y ＝±3x 为渐近线的双曲线D ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，若P 为双曲线D 右支上任意一点，则|PF 1|－|PF 2||PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12解析依题意，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|≥2c ，所以0<|PF 1|－|PF 2||PF 1|＋|PF 2|≤a c ＝1e .又双曲线的渐近线方程y ＝±3x ，则ba ＝ 3.因此e ＝ca ＝2，故0<|PF 1|－|PF 2||PF 1|＋|PF 2|≤12.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)已知O 为平面直角坐标系的原点，过点M (－2,0)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于P ，Q 两点．(1)若OP →·OQ →＝－12，求直线l 的方程；(2)若△OMP 与△OPQ 的面积相等，求直线l 的斜率．解析 (1)依题意知直线l 的斜率存在，因为直线l 过点M (－2,0)，故可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．因为P ，Q 两点在圆x 2＋y 2＝1上，所以|OP →|＝|OQ →|＝1.因为OP →·OQ →＝－12，即|OP →|·|OQ →|·cos ∠POQ ＝－12. 所以∠POQ ＝120°，所以点O 到直线l 的距离等于12. 所以|2k |k 2＋1＝12，解得k ＝±1515.所以直线l 的方程为x －15y ＋2＝0或x ＋15y ＋2＝0.(2)因为△OMP 与△OPQ 的面积相等，所以MP ＝PQ ，即P 为MQ 的中点，所以MQ →＝2MP →.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，所以MQ →＝(x 2＋2，y 2)，MP →＝(x 1＋2，y 1)．所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2＝2(x 1＋2)，y 2＝2y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2(x 1＋1)，y 2＝2y 1.①因为P ，Q 两点在圆x 2＋y 2＝1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝1，x 22＋y 22＝1.②由①及②得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝1，4(x 1＋1)2＋4y 21＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－78，y 1＝±158.故直线l 的斜率k ＝k MP ＝±159.18．(本题满分12分)(2012·北京文)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．解析(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为 S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2.由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，化简得7k 4－2k 2－5＝0，解得k ＝±1.19．(本题满分12分)(2012·天津理)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率； (2)若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |> 3. 解析 (1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由题意，有x 20a 2＋y 20b 2＝1.① 由A (－a,0)，B (a,0)，得k AP ＝y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0x 0－a.由k AP ·k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0.由于y 0≠0，故a 2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22.(2)方法一依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎨⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b2＝1.消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k2，代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2(ab )2＋4.由a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4.因此k 2>3，所以|k |> 3.方法二依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，有x 20a 2＋k 2x 20b 2＝1.因为a >b >0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a 2<1，即(1＋k 2)x 20<a 2.③由|AP |＝|OA |，A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a1＋k 2.代入③，得(1＋k 2)·4a 2(1＋k 2)2<a 2，解得k 2>3，所以|k |> 3.20. (本题满分12分)如图，点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左，右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．解析 (1)由已知可得点A (－6,0)，F (4,0)，设点P 的坐标是(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )．由已知得⎩⎨⎧x 236＋y 220＝1，(x ＋6)(x －4)＋y 2＝0，则2x 2＋9x －18＝0，x ＝32或x ＝－6. ∵点P 位于x 轴上方，∴x ＝－6舍去，只能取x ＝32.由于y >0，于是y ＝52 3. ∴点P 的坐标是(32，523)． (2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M 的坐标是(m,0)(－6≤m ≤6)，则M 到直线AP 的距离是m ＋62. 于是m ＋62＝6－m ，解得m ＝2. 椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离d 有d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49(x －92)2＋15. 由于－6≤x ≤6，∴当x ＝92时，d 取得最小值15.21．(本题满分12分)已知椭圆x 2m ＋1＋y 2＝1的两个焦点是F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)．(1)设E 是直线y ＝x ＋2与椭圆的一个公共点，求|EF 1|＋|EF 2|取得最小值时椭圆的方程；(2)已知点N (0，－1)，斜率为k (k ≠0)的直线l 与条件(1)下的椭圆交于不同的两点A ，B ，点Q 满足AQ →＝QB →，且NQ →·AB →＝0，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围．解析 (1)由题意，知m ＋1>1，即m >0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x2m ＋1＋y 2＝1，得(m ＋2)x 2＋4(m ＋1)x ＋3(m ＋1)＝0.又由Δ＝16(m ＋1)2－12(m ＋2)(m ＋1)＝4(m ＋1)(m －2)≥0，解得m ≥2或m ≤－1(舍去)，∴m ≥2. 此时|EF 1|＋|EF 2|＝2m ＋1≥2 3.当且仅当m ＝2时，|EF 1|＋|EF 2|取得最小值23，此时椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋t .由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝kx ＋t ，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0.∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ， ∴Δ＝(6kt )2－4(1＋3k 2)(3t 2－3)>0，即t 2<1＋3k 2.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x Q ，y Q )，则x 1＋x 2＝－6kt1＋3k2. 由AQ →＝QB →，得Q 为线段的AB 的中点，则x Q ＝x 1＋x 22＝－3kt 1＋3k 2，y Q ＝kx Q ＋t ＝t1＋3k2. ∵NQ →·AB →＝0，∴直线AB 的斜率k AB 与直线QN 的斜率k QN 乘积为－1，即k QN ·k AB ＝－1，∴t1＋3k 2＋1－3kt 1＋3k 2·k ＝－1.化简得1＋3k 2＝2t ，代入①式得t 2<2t ，解得0<t <2.又k ≠0，即3k 2>0，故2t ＝1＋3k 2>1，得t >12. 综上，直线l 在y 轴上的截距t 的取值范围是(12，2)． 22．(本题满分12分)(2012·浙江文)如图，在直角坐标系xOy 中，点P (1，12)到抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线的距离为54.点M (t,1)是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 被直线OM 平分．(1)求p ，t 的值；(2)求△ABP 面积的最大值．解析(1)由题意知⎩⎨⎧2pt ＝1，1＋p 2＝54，得⎩⎨⎧p ＝12，t ＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为Q (m ，m )．由题意知，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2.故k ·2m ＝1.所以直线AB 的方程为y －m ＝12m(x －m )．即x －2my ＋2m 2－m ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2my ＋2m 2－m ＝0，y 2＝x ，消去x ，整理得y 2－2my ＋2m 2－m ＝0.所以Δ＝4m －4m 2>0，y 1＋y 2＝2m ，y 1·y 2＝2m 2－m . 从而|AB |＝1＋1k 2·|y 1－y 2|＝1＋4m 2·4m －4m 2.设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|1－2m ＋2m 2|1＋4m2.设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |·d ＝|1－2(m －m 2)|·m －m 2.由Δ＝4m－4m2>0，得0<m<1.令u＝m－m2，0<u≤12，则S＝u(1－2u2)．设S(u)＝u(1－2u2)，0<u≤12，则S′(u)＝1－6u2.由S′(u)＝0，得u＝66∈(0，12]．所以[S(u)]max＝S(66)＝6 9.故△ABP面积的最大值为69.1．(2012·辽宁文)将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是() A．x＋y－1＝0B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0答案 C解析要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，由题知圆心坐标为(1,2)．A，B，C，D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心，故选C.2．(2012·孝感统考)若直线过点P(－3，－32)且被圆x2＋y2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为()A．3x＋4y＋15＝0 B．x＝－3或y＝－3 2C．x＝－3 D．x＝－3或3x＋4y＋15＝0答案 D解析若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x＝－3，代入圆的方程解得y＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为y＋32＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－32＝0，因为该直线被圆截得的弦长为8，故半弦长为4，又圆的半径为5，则圆心(0,0)到直线的距离为52－42＝|3k －32|k 2＋1，解得k ＝－34，此时该直线的方程为3x ＋4y ＋15＝0.综上可知答案为D.3．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A 、B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )A.74 B ．2 C.94 D ．4答案 C解析直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k (x －14)，可知直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点(14，0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点的横坐标是74，弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94.4．已知l 1和l 2是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A ，动点B 、C 分别在l 1和l 2上，且BC ＝32，则过A 、B 、C 三点的动圆所形成的区域的面积为( )A ．6πB ．8πC ．16πD ．18π答案 D解析当A 与B 或C 重合时，此时圆的面积最大，且圆的半径r ＝BC ＝32，所以圆的面积S ＝πr 2＝π(32)2＝18π，则过A 、B 、C 三点的动圆所形成的区域的面积为18π.5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)．若c 是a 与m 的等比中项，n 2是m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率等于( )A.13B.33C.12D.22答案 B解析 ∵c 2＝am,2n 2＝c 2＋m 2，又n 2＝c 2－m 2， ∴m 2＝13c 2，即m ＝33c .∴c 2＝33ac ，则e ＝c a ＝33.6．椭圆x 24＋y 23＝1离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )A ．3x ＋2y －4＝0B ．4x ＋6y －7＝0C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝0答案 B解析依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，12)的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率等于－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)，即4x ＋6y －7＝0，选B.7．已知圆x 2＋y 2＝1与x 轴的两个交点为A 、B ，若圆内的动点P 使|P A |、|PO |、|PB |成等比数列，则P A →·PB →的取值范围为A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0 C ．(－12，0) D ．[－1,0)答案 C解析设P (x ，y )，∴|PO |2＝|P A ||PB |，即x 2＋y 2＝(x －1)2＋y 2·(x ＋1)2＋y 2，整理得2x 2－2y 2＝1.∴P A →·PB →＝(1－x ，－y )·(－1－x ，－y )＝x 2＋y 2－1 ＝2x 2－32.∴P 为圆内动点且满足x 2－y 2＝12. ∴22<|x |<32，∴1<2x 2<32. ∴－12<2x 2－32<0，选C.8．(2012·新课标全国)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A.2 B ．2 2 C ．4 D ．8答案 C解析抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4,23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4.9．已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为________．答案2－1解析令AB ＝2，则AC ＝2 2. ∴椭圆中c ＝1,2a ＝2＋22⇒a ＝1＋ 2. 可得e ＝c a ＝12＋1＝2－1. 10．(2012·北京理)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．答案3解析直线l 的方程为y ＝3(x －1)，即x ＝33y ＋1，代入抛物线方程得y 2－433y －4＝0，解得y A ＝433＋163＋162＝23(y B <0，舍去)，故△OAF 的面积为12×1×23＝ 3.11．设椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，A 是椭圆C 上的一点，且AF 2→·F 1F 2→＝0，坐标原点O 到直线AF 1的距离为13|OF 1|.(1)求椭圆C 的方程；(2)设Q 是椭圆C 上的一点，过点Q 的直线l 交x 轴于点P (－1,0)，交y 轴于点M ，若MQ →＝2QP →，求直线l 的方程．解析 (1)由题设知F 1(－a 2－2，0)，F 2(a 2－2，0)．由于AF 2→·F 1F 2→＝0，则有AF 2→⊥F 1F 2→，所以点A 的坐标为(a 2－2，±2a )，故AF 1→所在直线方程为y ＝±(xaa 2－2＋1a )．所以坐标原点O 到直线AF 1的距离为a 2－2a 2－1(a >2)．又|OF 1|＝a 2－2，所以a 2－2a 2－1＝13a 2－2，解得a ＝2(a >2)．所求椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 斜率为k ，直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则有M (0，k )．设Q (x 1，y 1)，∵MQ →＝2QP →，∴(x 1，y 1－k )＝2(－1－x 1，－y 1)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－23，y 1＝k 3.又Q 在椭圆C 上，得(－23)24＋(k 3)22＝1，解得k ＝±4.故直线l 的方程为y ＝4(x ＋1)或y ＝－4(x ＋1)，即4x －y ＋4＝0或4x ＋y ＋4＝0.12．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，过F 1的直线l 与椭圆交于A 、B 两点．(1)如果点A 在圆x 2＋y 2＝c 2(c 为椭圆的半焦距)上，且|F 1A |＝c ，求椭圆的离心率；(2)若函数y ＝2＋log m x (m >0且m ≠1)的图像，无论m 为何值时恒过定点(b ，a )，求F 2B →·F 2A →的取值范围．解析 (1)∵点A 在圆x 2＋y 2＝c 2上， ∴△AF 1F 2为一直角三角形． ∵|F 1A |＝c ，|F 1F 2|＝2c ， ∴|F 2A |＝|F 1F 2|2－|AF 1|2＝3c .由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ， ∴c ＋3c ＝2a .∴e ＝ca ＝21＋3＝3－1. (2)∵函数y ＝2＋log m x 的图像恒过点(1，2)，由已知条件知还恒过点(b ，a )，∴a ＝2，b ＝1，c ＝1.点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，①若AB ⊥x 轴，则A (－1，22)，B (－1，－22)． ∴F 2A →＝(－2，22)，F 2B →＝(－2，－22)． ∴F 2A →·F 2B →＝4－12＝72.②若AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的斜率为k ，则AB 的方程为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 2＋2y 2－2＝0，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2(k 2－1)＝0.(*) ∵Δ＝8k 2＋8>0，∴方程(*)有两个不同的实根．设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(*)的两个根． x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2(k 2－1)1＋2k2. ∴F 2A →＝(x 1－1，y 1)，F 2B →＝(x 2－1，y 2)． ∴F 2A →·F 2B →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋1＋k 2＝(1＋k 2)2(k 2－1)1＋2k 2＋(k 2－1)(－4k 21＋2k2)＋1＋k 2＝7k 2－11＋2k 2＝72－92(1＋2k 2). ∵1＋2k 2≥1，∴0<11＋2k 2≤1,0<92(1＋2k 2)≤92.∴－1≤F 2A →·F 2B →＝72－92(1＋2k 2)<72.综上，由①②，知－1≤F 2A →·F 2B →≤72.13．(2013·衡水调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是F (1,0)，且离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P (0，y 0)，求y 0的取值范围．解析 (1)设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得c ＝1. 因为椭圆C 的离心率为12，所以a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)当MN ⊥x 轴时，显然y 0＝0.当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为Q (x 3，y 3)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2.所以x 3＝x 1＋x 22＝4k 23＋4k 2，y 3＝k (x 3－1)＝－3k 3＋4k2.线段MN 的垂直平分线的方程为y ＋3k3＋4k 2＝－1k (x －4k 23＋4k 2)．在上述方程中，令x ＝0，得y 0＝k 3＋4k 2＝13k ＋4k.当k <0时，3k ＋4k ≤－43；当k >0时，3k ＋4k ≥4 3. 所以－312≤y 0<0或0<y 0≤312. 综上，y 0的取值范围是[－312，312]．14．(2013·北京海淀区期末)已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)，且离心率为32，Q 为椭圆C 的左顶点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知过点(－65，0)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点． ①若直线l 垂直于x 轴，求∠AQB 的大小；②若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得△QAB 为等腰三角形？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解析 (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且a 2＝b 2＋c 2. 由题意可知：b ＝1，c a ＝32.解得a 2＝4，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)得Q (－2,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ①当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝－65. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－65，x 24＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－65，y ＝45或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－65，y ＝－45.即A (－65，45)，B (－65，－45)(不妨设点A 在x 轴上方)，则k AQ ＝45－0－65－(－2)＝1，k BQ ＝－45－0－65－(－2)＝－1.因为k AQ ·k BQ ＝－1，所以AQ ⊥BQ . 所以∠AQB ＝π2，即∠AQB 的大小为π2.②当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋65)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋65)，x 24＋y 2＝1，消去y 得(25＋100k 2)x 2＋240k 2x ＋144k 2－100＝0.因为点(－65，0)在椭圆C 的内部，显然Δ>0.⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－240k 225＋100k2，x 1x 2＝144k 2－10025＋100k2.因为QA →＝(x 1＋2，y 1)，QB →＝(x 2＋2，y 2)，y 1＝k (x 1＋65)，y 2＝k (x 2＋65)，所以QA →·QB →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2 ＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋k (x 1＋65)·k (x 2＋65) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2＋65k 2)(x 1＋x 2)＋4＋3625k 2＝(1＋k 2)144k 2－10025＋100k 2＋(2＋65k 2)(－240k 225＋100k2)＋4＋3625k 2＝0. 所以QA →⊥QB →.所以△QAB 为直角三角形．假设存在直线l 使得△QAB 为等腰三角形，则|QA |＝|QB |. 如图，取AB 的中点M ，连接QM ，则QM ⊥AB .记点(－65，0)为N .因为x M ＝x 1＋x 22＝－120k 225＋100k 2＝－24k 25＋20k 2，所以y M ＝k (x M ＋65)＝6k5＋20k2，即M (－24k 25＋20k 2，6k 5＋20k 2)．所以QM →＝(10＋16k 25＋20k 2，6k 5＋20k 2)，NM →＝(65＋20k 2，6k5＋20k2)．所以QM →·NM →＝10＋16k 25＋20k 2×65＋20k 2＋6k 5＋20k 2×6k5＋20k 2＝60＋132k 2(5＋20k 2)2≠0. 所以QM →与NM →不垂直，即QM →与AB →不垂直，矛盾．所以假设不成立，故当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得△QAB 为等腰三角形．15．设椭圆M ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率与双曲线x 2－y 2＝1的离心率互为倒数，且内切于圆x 2＋y 2＝4.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线y ＝2x ＋m 交椭圆于A 、B 两点，椭圆上一点P (1，2)，求△P AB 面积的最大值．解析 (1)双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为e ＝c a ＝22，圆x 2＋y 2＝4的直径为4，则2a ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝4，c a ＝22，b 2＝a 2－c2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝2，b ＝ 2.所求椭圆M 的方程为y 24＋x 22＝1. (2)直线AB 的直线方程为y ＝2x ＋m .由⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，x 22＋y 24＝1，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0.由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)>0，得－22<m <2 2. ∵x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44. ∴|AB |＝1＋2|x 1－x 2|＝3·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝3·12m 2－m 2＋4＝ 3 4－m 22.又P 到AB 的距离为d ＝|m |3. 则S △ABC ＝12|AB |d ＝12 3 4－m 22|m |3＝12m 2(4－m 22)＝122m 2(8－m 2)≤122·m 2＋(8－m 2)2＝2，当且仅当m ＝±2∈(－22，22)取等号． ∴(S △ABC )max ＝ 2.16．设椭圆C ：x 2＋2y 2＝2b 2(常数b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，M ，N是直线l ：x ＝2b 上的两个动点，F 1M →·F 2N →＝0.(1)若|F 1M →|＝|F 2N →|＝25，求b 的值； (2)求|MN |的最小值．解析设M (2b ，y 1)，N (b ，y 2)，则F 1M →＝(3b ，y 1)，F 2N →＝(b ，y 2)．由F 1M →·F 2N →＝0，得y 1y 2＝－3b 2.① (1)由|F 1M →|＝|F 2N →|＝25，得(3b )2＋y 21＝2 5.②b 2＋y 22＝2 5.③由①、②、③三式，消去y 1，y 2，并求得b ＝ 2. (2)易求椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.方法一 |MN |2＝(y 1－y 2)2＝y 21＋y 22－2y 1y 2≥－2y 1y 2－2y 1y 2＝－4y 1y 2＝12b 2，所以，当且仅当y 1＝－y 2＝3b 或y 2＝－y 1＝3b ，|MN |取最小值23b . 方法二 |MN |2＝(y 1－y 2)2＝y 21＋9b 4y 21＋6b 2≥12b 2，所以，当且仅当y 1＝－y 2＝3b 或y 2＝－y 1＝3b 时，|MN |取最小值23b . 17．(2013·武汉)如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且|DM |＝2|DP |.当点P 在圆x 2＋y 2＝1上运动时．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点T (0，t )作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交曲线C 于A ，B 两点，求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标．解析 (1)设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 0，y ＝2y 0，所以x 0＝x ，y 0＝y2.①因为P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，所以x 20＋y 20＝1.②将①代入②，得点M 的轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)由题意知，|t |≥1.当t ＝1时，切线l 的方程为y ＝1，点A 、B 的坐标分别为(－32，1)、(32，1)，此时|AB |＝3，当t ＝－1时，同理可得|AB |＝3；当|t |>1时，设切线l 的方程为y ＝kx ＋t ，k ∈R.由⎩⎨⎧y ＝kx ＋t ，x 2＋y 24＝1，得(4＋k 2)x 2＋2ktx ＋t 2－4＝0.③设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则由③得 x 1＋x 2＝－2kt 4＋k 2，x 1x 2＝t 2－44＋k 2. 又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|t |k 2＋1＝1，即t 2＝k 2＋1.所以|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[4k 2t 2(4＋k 2)2－4(t 2－4)4＋k 2]＝43|t |t 2＋3.因为|AB |＝43|t |t 2＋3＝43|t |＋3|t |≤2，且当t ＝±3时，|AB |＝2，所以|AB |的最大值为2.依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆x 2＋y 2＝1的半径，所以△AOB 面积S ＝12|AB |×1≤1，当且仅当t ＝±3时，△AOB 面积S 的最大值为1，相应的T 的坐标为(0，－3)或(0，3)．18．已知焦点在y 轴上的椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1经过A (1,0)点，且离心率为32. (1)求椭圆C 1的方程；(2)过抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R)上P 点的切线与椭圆C 1交于两点M 、N ，记线段MN 与P A 的中点分别为G 、H ，当GH 与y 轴平行时，求h 的最小值．解析(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2.解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 1的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设P (t ，t 2＋h )，由y ′＝2x ，抛物线C 2在点P 处的切线的斜率为k ＝y ′⎪⎪x ＝t ＝2t ，所以MN 的方程为y ＝2tx －t 2＋h .代入椭圆方程得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0，化简得4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0. 又MN 与椭圆C 1有两个交点，故Δ＝16[－t 4－2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0.①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点横坐标为x 0，则x 0＝x 1＋x 22＝t (t 2－h )2(1＋t 2).设线段P A 的中点横坐标为x 3＝1＋t2. 由已知得x 0＝x 3，即t (t 2－h )2(1＋t 2)＝1＋t2.② 显然t ≠0，h ＝－(t ＋1t ＋1)．③当t >0时，t ＋1t ≥2，当且仅当t ＝1时取得等号，此时h ≤－3不符合①式，故舍去；当t <0时，(－t )＋(－1t )≥2，当且仅当t ＝－1时取得等号，此时h ≥1，满足①式．综上，h 的最小值为1.19．已知△ABC 中，点A 、B 的坐标分别为(－2，0)，B (2，0)，点C 在x 轴上方．(1)若点C 坐标为(2，1)，求以A 、B 为焦点且经过点C 的椭圆的方程； (2)过点P (m,0)作倾斜角为34π的直线l 交(1)中曲线于M 、N 两点，若点Q (1,0)恰在以线段MN 为直径的圆上，求实数m 的值．解析 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，c ＝2，2a ＝|AC |＋|BC |＝4，b ＝2，所以椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)直线l 的方程为y ＝－(x －m )，令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程解得 3x 2－4mx ＋2m 2－4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4m3，x 1x 2＝2m 2－43若Q 恰在以MN 为直径的圆上，则y 1x 1－1·y 2x 2－1＝－1，即m 2＋1－(m ＋1)(x 1＋x 2)＋2x 1x 2＝0,3m 2－4m －5＝0，解得m ＝2±193.20．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点F (－2,0)． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 关于直线y ＝x ＋1的对称点在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．解析(1)⎩⎨⎧c a ＝22，c ＝2⇒x 28＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，V (x 4，y 4)．由⎩⎨⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m⇒3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0.∴Δ＝96－8m 2>0⇒－23<m <2 3. ∴x 3＝x 1＋x 22＝－2m 3，y 3＝x 3＋m ＝m 3.又⎩⎪⎨⎪⎧y 3＋y 42＝x 3＋x 42＋1，y 4－y3x 4－x3＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 4＝m 3－1，y 4＝1－2m3，在x 2＋y 2＝1上．∴(m 3－1)2＋(1－2m 3)2＝1⇒m 29－2m 3＋4m 21－4m 3＋1＝0. ∴5m 2－18m ＋9＝0⇒(5m －3)(m －3)＝0. ∴m ＝35或m ＝3经检验成立． ∴m ＝35或m ＝3.21．(2012·浙江宁波市期末)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，抛物线上一点A 的横坐标为x 1(x 1>0)，过点A 作抛物线C 的切线l 1交x 轴于点D ，交y 轴于点Q ，交直线l ：y ＝p2于点M ，当|FD |＝2时，∠AFD ＝60°.(1)求证：△AFQ 为等腰三角形，并求抛物线C 的方程；(2)若B 位于y 轴左侧的抛物线C 上，过点B 作抛物线C 的切线l 2交直线l 1于点P ，交直线l 于点N ，求△PMN 面积的最小值，并求取到最小值时的x 1的值．解析 (1)设A (x 1，y 1)，则切线AD 的方程为y ＝x 1p x －x 212p .所以D (x 12，0)，Q (0，－y 1)，|FQ |＝p 2＋y 1，|F A |＝p2＋y 1，所以|FQ |＝|F A |. 所以△AFQ 为等腰三角形，且D 为AQ 中点，所以DF ⊥AQ . ∵|DF |＝2，∠AFD ＝60°，∴∠QFD ＝60°，p 2＝1，得p ＝2，抛物线方程为x 2＝4y . (2)设B (x 2，y 2)(x 2<0)，则B 处的切线方程为y ＝x 22x －x 224. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 12x －x 214，y ＝x 22x －x 224⇒P (x 1＋x 22，x 1x 24)，⎩⎨⎧y ＝x 12x －x 214，y ＝1⇒M (x 12＋2x 1，1)．同理N (x 22＋2x 2，1)，所以面积S ＝12(x 12＋2x 1－x 22－2x 2)·(1－x 1x 24)＝(x 2－x 1)(4－x 1x 2)216x 1x 2.①设AB 的方程为y ＝kx ＋b ，则b >0.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b ，x 2＝4y ⇒x 2－4kx －4b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，代入①得 S ＝16k 2＋16b (4＋4b )264b ＝(1＋b )2k 2＋bb，使面积最小，则k ＝0，得到S ＝(1＋b )2bb.② 令b ＝t ，②得S (t )＝(1＋t 2)2t ＝t 3＋2t ＋1t ，S ′(t )＝(3t 2－1)(t 2＋1)t 2，∴当t ∈(0，33)时S (t )单调递减；当t ∈(33，＋∞)时S (t )单调递增． ∴当t ＝33时，S 取最小值为1639，此时b ＝t 2＝13，k ＝0， ∴y 1＝13即x 1＝233. 22.如图，已知M (m ，m 2)、N (n ，n 2)是抛物线C ：y ＝x 2上的两个不同的点，且m 2＋n 2＝1，m ＋n ≠0，直线l 是线段MN 的垂直平分线，设椭圆E 的方程为x22＋y 2a ＝1(a >0，a ≠2)．(1)当M 、N 在C 上移动时，求直线l 的斜率k 的取值范围；(2)已知直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，与椭圆E 交于P 、Q 两点，设线段AB 的中点为R ，线段QP 的中点为S ，若OR →·OS →＝0，求椭圆E 的离心率的取值范围．解析 (1)由题意知，直线MN 的斜率k MN ＝m 2－n 2m －n ＝m ＋n .又l ⊥MN ，m ＋n ≠0，∴直线l 的斜率k ＝－1m ＋n. ∵m 2＋n 2＝1，由m 2＋n 2≥2mn ，得2(m 2＋n 2)≥(m ＋n )2，即2≥(m ＋n )2(当m ＝n 时，等号成立)，∴|m ＋n |≤ 2. ∵M 、N 是不同的两点，即m ≠n ，∴0<|m ＋n |< 2. ∴|k |>22，即k <－22或k >22.(2)由题意易得，线段MN 的中点坐标为(m ＋n 2，m 2＋n 22)． ∵直线l 是线段MN 的垂直平分线， ∴直线l 的方程为y －m 2＋n 22＝k (x －m ＋n2)．又∵m 2＋n 2＝1，k ＝－1m ＋n， ∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1.将直线l 的方程代入抛物线方程和椭圆方程并分别整理，得 x 2－kx －1＝0， ①(a ＋2k 2)x 2＋4kx ＋2－2a ＝0. ② 易知方程①的判别式Δ1＝k 2＋4>0，方程②的判别式Δ2＝8a (2k 2＋a －1)．由(1)易知k 2>12，且a >0，∴2k 2＋a －1>a >0，∴Δ2>0恒成立．设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，则x A ＋x B ＝k ，y A ＋y B ＝kx A ＋1＋kx B ＋1＝k (x A ＋x B )＋2＝k 2＋2.∴线段AB 的中点R 的坐标为(k 2，k 22＋1)．又x P ＋x Q ＝－4ka ＋2k 2，y P ＋y Q ＝kx P ＋1＋kx Q ＋1 ＝k (x P ＋x Q )＋2＝2aa ＋2k2. ∴线段QP 的中点S 的坐标为(－2ka ＋2k 2，aa ＋2k2)． ∴OR →＝(k 2，k 22＋1)，OS →＝(－2k a ＋2k 2，aa ＋2k 2)，由OR →·OS →＝0，得－k 2＋a (k 22＋1)a ＋2k2＝0，即－k 2＋a (k 22＋1)＝0. ∴a ＝2k 2k 2＋2.∵k 2>12，∴a ＝2k 2k 2＋2＝21＋2k2>25，a ＝2k 2k 2＋2＝2－4k 2＋2<2. ∴25<a <2.由题易知，椭圆E 的离心率e ＝2－a 2，∴a ＝2－2e 2，∴25<2－2e 2<2，∴0<e 2<45，∴0<e <255.∴椭圆E 的离心率的取值范围是(0，255)．沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。

【高考调研】2014届高考数学总复习第九章解析几何课时作业63(含解析)理新人教A版

课时作业(六十三)1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案 A解析 ∵直线方程可化为y －1＝k (x －1)，恒过(1,1)定点，而(1,1)在椭圆内部，故选A.2．(2013·锦州模拟)已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )A ．3 2B ．2 6C ．27D ．4 2答案 C解析设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，(a >b >0)，与直线x ＋3y ＋4＝0联立方程． ∵有一个交点，∴Δ＝0，又c ＝2， ∴a ＝7，∴故选C.3．椭圆的焦点为F 1，F 2，过F 1的最短弦PQ 的长为10，△PF 2Q 的周长为36，则此椭圆的离心率为( )A.33B.13C.23D.63答案 C解析 PQ 为过F 1垂直于x 轴的弦，则Q (－c ，b 2a)，△PF 2Q 的周长为36.∴4a ＝36，a ＝9.由已知b 2a ＝5，即a 2－c 2a＝5.又a ＝9，解得c ＝6，解得c a ＝23，即e ＝23.4．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内 B ．必在圆x 2＋y 2＝2上 C ．必在圆x 2＋y 2＝2外 D ．以上三种情形都有可能答案 A解析由已知得e ＝c a ＝12，c ＝a 2，x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝－c a ，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a2＋2c a ＝b 2＋2ca a 2＝b 2＋a 2a 2<2a 2a2＝2，因此点P (x 1，x 2)必在圆x 2＋y 2＝2内． 5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.12答案 D解析由题意知：F (－c,0)，A (a,0)，B (－c ，±b 2a)，∵BF ⊥x 轴，∴AP PB ＝a c.又∵AP →＝2PB →，∴a c ＝2即e ＝c a ＝12.6．过原点O 作两条相互垂直的直线分别与椭圆T ：x 22＋y 2＝1交于A 、C 与B 、D ，则四边形ABCD 面积的最小值为( )A.83 B ．4 2 C ．2 2 D.43答案 A解析 ①直线与坐标轴重合时，|AC |＝22，|BD |＝2，S ＝12|AC |·|BD |＝2 2.②直线不与坐标轴重合时，设AC ：y ＝kx ，则BD ：y ＝－1kx ，设A (x 1，y 1)，C (－x 1，－y 1)，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2＋2y 2－2＝0，消y 得(2k 2＋1)x 2－2＝0，∴x 2＝22k 2＋1.|AC |＝2x 21＋y 21＝2k 2＋1·x 21＝22k 2＋12k 2＋1. 同理，|BD |＝2·21k 2＋12k 2＋1＝22k 2＋12＋k2. 则面积S ＝12|AC |·|BD |＝4·k 2＋122k 2＋1k 2＋2.又(2k 2＋1)·(k 2＋2)≤(2k 2＋1＋k 2＋22)2＝9k 2＋124.∴S ≥4·k 2＋129k 2＋124＝4·49＝83. 当且仅当2k 2＋1＝k 2＋2，即k 2＝1，k ＝±1时取“＝”． ∵83<2 2.∴最小面积为83，选A. 7．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2答案 D解析设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，∴S ＝12×2c ×b ＝bc ＝1≤b 2＋c 22＝a 22.∴a 2≥2.∴a ≥2，∴长轴长2a ≥22，故选D.8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，M ，N 是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，若|k 1k 2|＝14，则椭圆的离心率e ＝A.12B.22C.32D.23答案 C解析设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)，则k 1＝y －y 0x －x 0，k 2＝y ＋y 0x ＋x 0，依题意有|k 1k 2|＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0|＝|y 2－y 20x 2－x 20|＝14.因为点P ，M ，N 在椭圆上，所以x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 20a 2＋y 20b 2＝1，两式相减，得x 2－x 20a 2＋y 2－y 20b 2＝0，即y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2，所以b 2a 2＝14，即a 2－c 2a 2＝14，解得e ＝c a ＝32.选C.9.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，以O 为圆心，短半轴长为半径作圆O ，过椭圆的长轴的一端点P 作圆O 的两条切线，切点为A 、B ，若四边形PAOB 为正方形，则椭圆的离心率为________．答案22解析如图，因为四边形PAOB 为正方形，且PA 、PB 为圆O 的切线，所以△OAP 是等腰直角三角形，故a ＝2b ，所以e ＝c a ＝22. 10．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M 、N 两点，原点O 与线段MN 的中点P 连线的斜率为22，则mn 的值是________．答案22解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，mx 2＋ny 2＝1，消去y ，得(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0. 则MN 的中点P 的坐标为(nm ＋n ，mm ＋n)．∴k OP ＝m n ＝22. 11．(2013·唐山统考)过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F 作斜率为k (k ≠0)的直线交椭圆于A ，B 两点，使得AB 的中点M 在直线x ＋2y ＝0上，则k 的值为________．答案 1解析由椭圆方程x 22＋y 2＝1知，a ＝2，b ＝1，c ＝1，则点F 的坐标为(－1,0)．∴直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，将其代入椭圆方程，得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0. ①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1.由点M 在直线x ＋2y ＝0上，得－2k 2＋2k ＝0. ∵k ≠0，∴k ＝1.12．已知点M (－5,0)，N (0,5)，P 为椭圆x 26＋y 23＝1上一动点，则S △MNP 的最小值为________．答案 5解析 ∵直线MN 的斜率为1，∴设直线y ＝x ＋m 为椭圆x 26＋y 23＝1的一切线．∴联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 26＋y23＝1，即3x 2＋4mx ＋2m 2－6＝0.∴Δ＝0，∴m ＝±3. ∴m ＝3时，S △MNP 最小．又y ＝x ＋3与y ＝x ＋5两平行线间的距离为|5－3|2＝2，∴S △MNP 最小值为12·52·2＝5.13．设A 、B 是椭圆3x 2＋y 2＝λ上的两点，点N (1,3)是弦AB 的中点，弦AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点．(1)求弦AB 所在直线的方程，并确定λ的取值范围； (2)求以弦CD 的中点M 为圆心且与直线AB 相切的圆的方程．解析 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x 21＋y 21＝λ，3x 22＋y 22＝λ，整理，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 由题意知，x 1≠x 2，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3x 1＋x 2y 1＋y 2. ∵N (1,3)是弦AB 的中点，∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝6，∴k AB ＝－1，∴弦AB 所在直线的方程为y －3＝－(x －1)，即x ＋y －4＝0.又N (1,3)在椭圆内，∴λ>3×12＋32＝12. ∴λ的取值范围是(12，＋∞)．(2)∵弦CD 垂直平分弦AB ，∴弦CD 所在直线的方程为y －3＝x －1，即x －y ＋2＝0. 将其代入椭圆的方程，整理得4x 2＋4x ＋4－λ＝0.①设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，弦CD 的中点为M (x 0，y 0)，则x 3、x 4是方程①的两根． ∴x 3＋x 4＝－1，∴x 0＝12(x 3＋x 4)＝－12，y 0＝x 0＋2＝32，即M (－12，32)．∴点M 到直线AB 的距离d ＝|－12＋32－4|12＋12＝322. ∴以弦CD 的中点M 为圆心且与直线AB 相切的圆的方程为(x ＋12)2＋(y －32)2＝92.14．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)与直线x ＋y ＝1交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ ，其中O 为坐标原点．(1)求1a 2＋1b2的值；(2)若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围．解析 (1)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由OP ⊥OQ ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，∵y 1＝1－x 1，y 2＝1－x 2，代入上式得：2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0.①又将y ＝1－x 代入x 2a 2＋y 2b2＝1⇒(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0. ∵Δ＞0，∴x 1＋x 2＝2a2a 2＋b2，x 1x 2＝a 21－b 2a 2＋b 2代入①化简得1a 2＋1b 2＝2. (2)∵e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2，∴13≤1－b 2a 2≤12⇒12≤ b 2a 2≤23.又由(1)知b 2＝a 22a 2－1，∴12≤12a 2－1≤23⇒54≤ a 2≤32⇒52≤a ≤62. ∴长轴是2a ∈[5，6]．1．已知椭圆E ：x 2m ＋y 24＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与l ：y ＝kx ＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是( )A ．kx ＋y ＋k ＝0B ．kx －y －1＝0C ．kx ＋y －k ＝0D ．kx ＋y －2＝0答案 D解析 A 选项中，当k ＝－1时，两直线关于y 轴对称，两直线被椭圆E 截得的弦长相等；B 选项中，当k ＝1时，两直线平行，两直线被椭圆E 截得的弦长相等；C 选项中，当k ＝1时，两直线关于y 轴对称，两直线被椭圆E 截得的弦长相等，故选D.2．已知点P 满足x 44＋y 2＝1，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则|PF 1|＋|PF 2|与4的大小关系为( )A ．≥B ．≤C ．＝D ．无法确定答案 A解析 ∵1＝x 44＋y 2≤x 24＋y 2，∴点P 在椭圆x 24＋y 2＝1外部，∴选A.3．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A 、B 两点，则|F 1A |＋|F 1B |的值为________．解析823解析设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝x －1，消去y 整理得3x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝43，易得点A (0，－1)、B (43，13)．又点F 1(－1,0)，因此|F 1A |＋|F 1B |＝12＋－12＋732＋132＝823. 4．(2012·四川)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B .当△FAB的周长最大时，△FAB 的面积是________．答案 3 解析设椭圆的右焦点为F 1，则|AF |＝2a －|AF 1|＝4－|AF 1|. ∴△AFB 的周长为2|AF |＋2|AH |＝2(4－|AF 1|＋|AH |)． ∵△AF 1H 为直角三角形，∴|AF 1|>|AH |，仅当F 1与H 重合时，|AF 1|＝|AH |.∴当m ＝1时，△AFB 的周长最大，此时S △FAB ＝12×2×|AB |＝3.5．(2013·北京西城区)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，且经过点(32，12)．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P (0,2)的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△AOB (O 为原点)面积的最大值．解析 (1)由e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝23，得b a ＝13.①由椭圆C 经过点(32，12)，得94a 2＋14b 2＝1.②联立①②，解得b ＝1，a ＝ 3.所以椭圆C 的方程是x 23＋y 2＝1.(2)易知直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋2.将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋ 12kx ＋9＝0.令Δ＝144k 2－36(1＋3k 2)>0，得k 2>1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2.所以S △AOB ＝|S △POB －S △POA |＝12×2×|x 1－x 2|＝|x 1－x 2|.因为(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(－12k 1＋3k 2)2－361＋3k 2＝36k 2－11＋3k22，设k 2－1＝t (t >0)，则(x 1－x 2)2＝36t3t ＋42＝369t ＋16t＋24≤3629t ×16t＋24＝34. 当且仅当9t ＝16t ，即t ＝43时等号成立，此时k 2＝73，△AOB 面积取得最大值32.6．(2013·广州调研)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的离心率e ＝12.直线x ＝t (t >0)与椭圆E 交于不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆C ，圆心为C .(1)求椭圆E 的方程；(2)若圆C 与y 轴相交于不同的两点A ，B ，求△ABC 的面积的最大值．解析 (1)∵椭圆E ：x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的离心率e ＝12，∴a 2－3a ＝12，解得a ＝2. ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)依题意，圆心为C (t,0)(0<t <2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，x 24＋y 23＝1，得y 2＝12－3t 24. ∴圆C 的半径为r ＝12－3t 22. ∵圆C 与y 轴相交于不同的两点A ，B ，且圆心C 到y 轴的距离d ＝t ， ∴0<t <12－3t 22，即0<t <2217. ∴弦长|AB |＝2r 2－d 2＝212－3t 24－t 2＝12－7t 2. ∴S △ABC ＝12·t 12－7t 2＝127×(7)t ·12－7t 2 ≤127×7t 2＋12－7t 22＝377. 当且仅当7t ＝12－7t 2，即t ＝427时，等号成立．。

2014高考数学总复习(人教新课标理科)课时作业64 第9章解析几何9含解析

课时作业(六十四）1．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为A．（错误!,0) B．（错误!，0)C．（错误!，0) D．(错误!，0）答案C解析将双曲线方程化为标准方程为x2－错误!＝1，∴a2＝1，b2＝错误!，∴c2＝a2＋b2＝错误!,∴c＝错误!，故右焦点坐标为(错误!，0)．2．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点是(0，3)，则k的值是A．1 B．－1C.错误!D．－错误!答案B解析kx2－错误!＝1，焦点在y轴上，c＝3,解得k＝－1。

3．已知平面内有一条线段AB，其长度为4，动点P满足｜PA｜－｜PB|＝3,O为AB的中点,则|OP｜的最小值为A．1 B。

错误!C．2 D．3答案B解析以AB中点为原点，中垂线为y轴建立直角坐标系，P点的轨迹为双曲线c＝2，a＝1。

5,∴｜OP｜min＝a＝1.5。

4．已知双曲线C：错误!－错误!＝1(a〉0，b>0)，以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是A．a B．bC.错误!D。

错误!答案B解析圆的半径即为双曲线C的右焦点到渐近线的距离，渐近线方程为y＝错误!x，即bx－ay＝0，所以r＝错误!＝b.5．(2013·济南模拟）已知点F1、F2分别是双曲线错误!－错误!＝1（a〉0，b>0）的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )A．(1，错误!）B．（错误!,2错误!）C．(1＋错误!,＋∞）D．(1，1＋错误!）答案D解析依题意,0〈∠AF2F1〈错误!,故0〈tan∠AF2F1〈1，则错误!＝错误! <1，即e－错误!<2,e2－2e－1〈0，(e－1)2<2，所以1<e<1＋错误!,故选D.6．已知双曲线的方程为错误!－错误!＝1（a>0，b>0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为错误!c（c为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率为（)A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!答案B解析双曲线错误!－错误!＝1的渐近线为错误!±错误!＝0，焦点A（c,0)到直线bx－ay＝0的距离为错误!＝错误!c，则c2－a2＝错误!c2，得e2＝错误!，e＝错误!，故选B.7．已知双曲线的两个焦点F1（－错误!，0),F2（错误!,0），M是此双曲线上的一点，且错误!·错误!＝0,|错误!|·|错误!|＝2,则该双曲线的方程是( ）A.错误!－y2＝1 B．x2－错误!＝1C。

【高考调研】2014届高考数学总复习第九章解析几何课时作业56(含解析)理新人教A版-推荐下载

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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置2试时32卷，3各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并25工且52作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

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第九章单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1．(2012²浙江)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由a ＝1可得l 1∥l 2，反之，由l 1∥l 2可得a ＝1或a ＝－2，故选A.2．(2012²湖北)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4|}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0答案 A解析两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0.3．经过抛物线y 2＝4x 的焦点且平行于直线3x －2y ＝0的直线l 的方程是( )A ．3x －2y －3＝0B ．6x －4y －3＝0C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0答案 A解析 ∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1,0)，直线3x －2y ＝0的斜率是32，∴直线l 的方程是y ＝32(x －1)，即3x －2y －3＝0，故选A.4．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0 B ．x 2＋y 2＋4x ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＝0答案 D解析设圆心C (a,0)(a >0)，由3a ＋45＝2得，a ＝2，故圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0.5．(2012²江西)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14B.55C.12D.5－2答案 B解析由等比中项的性质得到a ，c 的一个方程，再进一步转化为关于e 的方程，解之即得所求．依题意得|F 1F 2|2＝|AF 1|²|F 1B |，即4c 2＝(a －c )(a ＋c )＝a 2－c 2，整理得5c 2＝a 2，∴e ＝c a ＝55. 6．(2012²浙江)如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A ．3B ．2 C. 3 D. 2答案 B解析设焦点为F (±c,0)，双曲线的实半轴长为a ，则双曲线的离心率e 1＝c a，椭圆的离心率e 2＝c 2a ，所以e 1e 2＝2.选B.7．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且PF 1→²PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于( )A.10 B ．210 C. 5 D ．2 5答案 B解析 F 1(－10，0)，F 2(10，0)，2c ＝210，2a ＝2. ∵PF 1→²PF 2→＝0，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝40. ∴(PF 1→＋PF 2→)2＝|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2PF 1→²PF 2→＝40.∴|PF 1→＋PF 2→|＝210.8．过抛物线y ＝14x 2准线上任一点作抛物线的两条切线，若切点分别为M ，N ，则直线MN 过定点( )A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(－1,0)答案 A解析特殊值法，取准线上一点(0，－1)．设M (x 1，14x 21)，N (x 2，14x 22)，则过M 、N 的切线方程分别为y －14x 21＝12x 1(x －x 1)，y －14x 22＝12x 2(x －x 2)．将(0，－1)代入得x 21＝x 22＝4，∴MN 的方程为y ＝1，恒过(0,1)点．9．如图，过抛物线x 2＝4py (p >0)焦点的直线依次交抛物线与圆x 2＋(y －p )2＝p 2于点A 、B 、C 、D ，则AB →²CD →的值是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2答案 D解析 |AB →|＝|AF |－p ＝y A ，|CD →|＝|DF |－p ＝y B ，|AB →|²|CD →|＝y A y B ＝p 2.因为AB →，CD →的方向相同，所以AB →²CD →＝|AB →|²|CD →|＝y A y B ＝p 2.10．已知抛物线y ＝x 2上有一定点A (－1,1)和两动点P 、Q ，当PA ⊥PQ 时，点Q 的横坐标取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[1，＋∞)C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 D解析设P (x 1，x 21)，Q (x 2，x 22)，∴k AP ＝x 21－1x 1＋1＝x 1－1，k PQ ＝x 22－x 21x 2－x 1＝x 2＋x 1.由题意得k PA ²k PQ ＝(x 1－1)(x 2＋x 1)＝－1，∴x 2＝11－x 1－x 1＝11－x 1＋(1－x 1)－1.利用函数性质知x 2∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，故选D.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上) 11．设l 1的倾斜角为α，α∈(0，π2)，l 1绕其上一点P 逆时针方向旋转α角得直线l 2，l 2的纵截距为－2，l 2绕点P 逆时针方向旋转π2－α角得直线l 3：x ＋2y －1＝0，则l 1的方程为________．答案 2x －y ＋8＝0 解析 ∵l 1⊥l 3，∴k 1＝tan α＝2，k 2＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. ∵l 2的纵截距为－2，∴l 2的方程为y ＝－43x －2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－43x －2，x ＋2y －1＝0，∴P (－3,2)，l 1过P 点．∴l 1的方程为2x －y ＋8＝0.12．过直线2x ＋y ＋4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的交点且面积最小的圆的方程是________．答案 (x ＋135)2＋(y －65)2＝45解析因为通过两个定点的动圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆，于是解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，得交点A (－115，25)，B (－3,2)．因为AB 为直径，其中点为圆心，即为(－135，65)，r ＝12|AB |＝255，所以圆的方程为(x ＋135)2＋(y －65)2＝45.13．(2012²江苏)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．答案 43解析设圆心C (4,0)到直线y ＝kx －2的距离为d ，则d ＝|4k －2|k 2＋1，由题意知问题转化为d ≤2，即d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，得0≤k ≤43，所以k max＝43. 14．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程是________．答案x 24＋y 22＝1 解析抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，∴a ＝2，c ＝ 2.∵b 2＝a 2－c 2，∴b 2＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.15．已知两点M (－3,0)，N (3,0)，点P 为坐标平面内一动点，且|MN →|²|MP →|＋MN →²NP →＝0，则动点P (x ，y )到点A (－3,0)的距离的最小值为________．答案 3解析因为M (－3,0)，N (3,0)，所以MN →＝(6,0)，|MN →|＝6，MP →＝(x ＋3，y )，NP →＝(x －3，y )．由|MN →|²|MP →|＋MN →²NP →＝0，得 6x ＋32＋y 2＋6(x －3)＝0，化简整理得y 2＝－12x .所以点A 是抛物线y 2＝－12x 的焦点，所以点P 到A 的距离的最小值就是原点到A (－3,0)的距离，所以d ＝3.16．已知以y ＝±3x 为渐近线的双曲线D ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，若P 为双曲线D 右支上任意一点，则|PF 1|－|PF 2||PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 解析依题意，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|≥2c ，所以0<|PF 1|－|PF 2||PF 1|＋|PF 2|≤a c ＝1e .又双曲线的渐近线方程y ＝±3x ，则ba＝ 3.因此e ＝c a ＝2，故0<|PF 1|－|PF 2||PF 1|＋|PF 2|≤12.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知O 为平面直角坐标系的原点，过点M (－2,0)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于P ，Q 两点．(1)若OP →²OQ →＝－12，求直线l 的方程；(2)若△OMP 与△OPQ 的面积相等，求直线l 的斜率．解析 (1)依题意知直线l 的斜率存在，因为直线l 过点M (－2,0)，故可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．因为P ，Q 两点在圆x 2＋y 2＝1上，所以|OP →|＝|OQ →|＝1.因为OP →²OQ →＝－12，即|OP →|²|OQ →|²cos∠POQ ＝－12.所以∠POQ ＝120°，所以点O 到直线l 的距离等于12.所以|2k |k 2＋1＝12，解得k ＝±1515.所以直线l 的方程为x －15y ＋2＝0或x ＋15y ＋2＝0.(2)因为△OMP 与△OPQ 的面积相等，所以MP ＝PQ ，即P 为MQ 的中点，所以MQ →＝2MP →. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，所以MQ →＝(x 2＋2，y 2)，MP →＝(x 1＋2，y 1)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2＝2x 1＋2，y 2＝2y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2x 1＋1，y 2＝2y 1.①因为P ，Q 两点在圆x 2＋y 2＝1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝1，x 22＋y 22＝1.②由①及②得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝1，4x 1＋12＋4y 21＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－78，y 1＝±158.故直线l 的斜率k ＝k MP ＝±159. 18．(本题满分12分)(2012²北京文)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．解析 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.所以|MN |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝21＋k 24＋6k 21＋2k2. 又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为 S ＝12|MN |²d ＝|k |4＋6k 21＋2k2. 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，化简得7k 4－2k 2－5＝0，解得k ＝±1. 19．(本题满分12分)(2012²天津理)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；(2)若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |> 3. 解析 (1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由题意，有x 20a 2＋y 20b2＝1.①由A (－a,0)，B (a,0)，得k AP ＝y 0x 0＋a，k BP ＝y 0x 0－a.由k AP ²k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0.由于y 0≠0，故a2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22.(2)方法一依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 2b 2＝1.消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0. 而x 0≠0，于是x 0＝－2a1＋k2，代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2(ab)2＋4.由a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4.因此k 2>3，所以|k |> 3. 方法二依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，有x 20a 2＋k 2x 20b 2＝1.因为a >b >0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a2<1，即(1＋k 2)x 20<a 2.③由|AP |＝|OA |，A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2.代入③，得(1＋k 2)²4a 21＋k 22<a 2，解得k 2>3，所以|k |> 3.20. (本题满分12分)如图，点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左，右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．解析 (1)由已知可得点A (－6,0)，F (4,0)，设点P 的坐标是(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，x ＋6x －4＋y 2＝0，则2x 2＋9x －18＝0，x ＝32或x ＝－6.∵点P 位于x 轴上方，∴x ＝－6舍去，只能取x ＝32.由于y >0，于是y ＝52 3.∴点P 的坐标是(32，523)．(2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M 的坐标是(m,0)(－6≤m ≤6)，则M 到直线AP 的距离是m ＋62.于是m ＋62＝6－m ，解得m ＝2.椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离d 有d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49(x －92)2＋15. 由于－6≤x ≤6，∴当x ＝92时，d 取得最小值15.21．(本题满分12分)已知椭圆x 2m ＋1＋y 2＝1的两个焦点是F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)． (1)设E 是直线y ＝x ＋2与椭圆的一个公共点，求|EF 1|＋|EF 2|取得最小值时椭圆的方程； (2)已知点N (0，－1)，斜率为k (k ≠0)的直线l 与条件(1)下的椭圆交于不同的两点A ，B ，点Q 满足AQ →＝QB →，且NQ →²AB →＝0，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围．解析 (1)由题意，知m ＋1>1，即m >0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋1＋y 2＝1，得(m ＋2)x 2＋4(m ＋1)x ＋3(m ＋1)＝0.又由Δ＝16(m ＋1)2－12(m ＋2)(m ＋1)＝4(m ＋1)(m －2)≥0，解得m ≥2或m ≤－1(舍去)，∴m ≥2. 此时|EF 1|＋|EF 2|＝2m ＋1≥2 3.当且仅当m ＝2时，|EF 1|＋|EF 2|取得最小值23，此时椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋t .由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝kx ＋t ，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0. ∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ， ∴Δ＝(6kt )2－4(1＋3k 2)(3t 2－3)>0，即t 2<1＋3k 2.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x Q ，y Q )，则x 1＋x 2＝－6kt1＋3k 2.由AQ →＝QB →，得Q 为线段的AB 的中点，则x Q ＝x 1＋x 22＝－3kt 1＋3k 2，y Q ＝kx Q ＋t ＝t 1＋3k2.∵NQ →²AB →＝0，∴直线AB 的斜率k AB 与直线QN 的斜率k QN 乘积为－1，即k QN ²k AB ＝－1，∴t1＋3k 2＋1－3kt 1＋3k2²k ＝－1.化简得1＋3k 2＝2t ，代入①式得t 2<2t ，解得0<t <2.又k ≠0，即3k 2>0，故2t ＝1＋3k 2>1，得t >12.综上，直线l 在y 轴上的截距t 的取值范围是(12，2)．22．(本题满分12分)(2012²浙江文)如图，在直角坐标系xOy 中，点P (1，12)到抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线的距离为54.点M (t,1)是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 被直线OM 平分．(1)求p ，t 的值；(2)求△ABP 面积的最大值．解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2pt ＝1，1＋p 2＝54，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，t ＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为Q (m ，m )．由题意知，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2.故k ²2m ＝1.所以直线AB 的方程为y －m ＝12m (x －m )．即x －2my ＋2m 2－m ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2my ＋2m 2－m ＝0，y 2＝x ，消去x ，整理得y 2－2my ＋2m 2－m ＝0.所以Δ＝4m －4m 2>0，y 1＋y 2＝2m ，y 1²y 2＝2m 2－m . 从而|AB |＝1＋1k2²|y 1－y 2|＝1＋4m 2²4m －4m 2.设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|1－2m ＋2m 2|1＋4m 2. 设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |²d ＝|1－2(m －m 2)|²m －m 2.由Δ＝4m －4m 2>0，得0<m <1.令u ＝m －m 2，0<u ≤12，则S ＝u (1－2u 2)．设S (u )＝u (1－2u 2)，0<u ≤12，则S ′(u )＝1－6u 2.由S ′(u )＝0，得u ＝66∈(0，12]．所以[S (u )]max ＝S (66)＝69.故△ABP 面积的最大值为69.1．(2012²辽宁文)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是 ( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0答案 C解析要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，由题知圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心，故选C.2．(2012²孝感统考)若直线过点P (－3，－32)且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为( )A ．3x ＋4y ＋15＝0B ．x ＝－3或y ＝－32C ．x ＝－3D ．x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0答案 D解析若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x ＝－3，代入圆的方程解得y ＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为y ＋32＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0，因为该直线被圆截得的弦长为8，故半弦长为4，又圆的半径为5，则圆心(0,0)到直线的距离为52－42＝|3k －32|k 2＋1，解得k ＝－34，此时该直线的方程为3x ＋4y ＋15＝0.综上可知答案为D.3．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A 、B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )A.74 B ．2 C.94 D ．4答案 C解析直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k (x －14)，可知直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x的焦点(14，0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点的横坐标是74，弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94.4．已知l 1和l 2是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A ，动点B 、C 分别在l 1和l 2上，且BC ＝32，则过A 、B 、C 三点的动圆所形成的区域的面积为A ．6πB ．8πC ．16πD ．18π答案 D解析当A 与B 或C 重合时，此时圆的面积最大，且圆的半径r ＝BC ＝32，所以圆的面积S ＝πr 2＝π(32)2＝18π，则过A 、B 、C 三点的动圆所形成的区域的面积为18π.5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)．若c 是a 与m 的等比中项，n 2是m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率等于A.13 B.33 C.12 D.22答案 B解析 ∵c 2＝am,2n 2＝c 2＋m 2，又n 2＝c 2－m 2， ∴m 2＝13c 2，即m ＝33c .∴c 2＝33ac ，则e ＝c a ＝33.6．椭圆x 24＋y 23＝1离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )A ．3x ＋2y －4＝0B ．4x ＋6y －7＝0C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝0答案 B解析依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，12)的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率等于－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)，即4x ＋6y －7＝0，选B.7．已知圆x 2＋y 2＝1与x 轴的两个交点为A 、B ，若圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，则PA →²PB →的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0 C ．(－12，0)D ．[－1,0)答案 C解析设P (x ，y )，∴|PO |2＝|PA ||PB |，即x 2＋y 2＝x －12＋y 2²x ＋12＋y 2，整理得2x 2－2y 2＝1.∴PA →²PB →＝(1－x ，－y )²(－1－x ，－y )＝x 2＋y 2－1 ＝2x 2－32.∴P 为圆内动点且满足x 2－y 2＝12.∴22<|x |<32，∴1<2x 2<32. ∴－12<2x 2－32<0，选C.8．(2012²新课标全国)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．8答案 C解析抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4,23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4.9．已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为________．答案2－1解析令AB ＝2，则AC ＝2 2.∴椭圆中c ＝1,2a ＝2＋22⇒a ＝1＋ 2. 可得e ＝ca＝12＋1＝2－1.10．(2012²北京理)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．答案3解析直线l 的方程为y ＝3(x －1)，即x ＝33y ＋1，代入抛物线方程得y 2－433y －4＝0，解得y A ＝433＋163＋162＝23(y B <0，舍去)，故△OAF 的面积为12³1³23＝ 3.11．设椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，A 是椭圆C 上的一点，且AF 2→²F 1F 2→＝0，坐标原点O 到直线AF 1的距离为13|OF 1|.(1)求椭圆C 的方程；(2)设Q 是椭圆C 上的一点，过点Q 的直线l 交x 轴于点P (－1,0)，交y 轴于点M ，若MQ →＝2QP →，求直线l 的方程．解析 (1)由题设知F 1(－a 2－2，0)，F 2(a 2－2，0)．由于AF 2→²F 1F 2→＝0，则有AF 2→⊥F 1F 2→，所以点A 的坐标为(a 2－2，±2a)，故AF 1→所在直线方程为y ＝±(x a a 2－2＋1a)．所以坐标原点O 到直线AF 1的距离为a 2－2a 2－1(a >2)．又|OF 1|＝a 2－2，所以a 2－2a 2－1＝13a 2－2，解得a ＝2(a >2)．所求椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 斜率为k ，直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则有M (0，k )．设Q (x 1，y 1)，∵MQ →＝2QP →， ∴(x 1，y 1－k )＝2(－1－x 1，－y 1)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－23，y 1＝k3.又Q 在椭圆C 上，得－2324＋k322＝1，解得k ＝±4.故直线l 的方程为y ＝4(x ＋1)或y ＝－4(x ＋1)，即4x －y ＋4＝0或4x ＋y ＋4＝0.12．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，过F 1的直线l 与椭圆交于A 、B 两点．(1)如果点A 在圆x 2＋y 2＝c 2(c 为椭圆的半焦距)上，且|F 1A |＝c ，求椭圆的离心率； (2)若函数y ＝2＋log m x (m >0且m ≠1)的图像，无论m 为何值时恒过定点(b ，a )，求F 2B →²F 2A →的取值范围．解析 (1)∵点A 在圆x 2＋y 2＝c 2上， ∴△AF 1F 2为一直角三角形． ∵|F 1A |＝c ，|F 1F 2|＝2c ， ∴|F 2A |＝|F 1F 2|2－|AF 1|2＝3c . 由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ， ∴c ＋3c ＝2a .∴e ＝c a ＝21＋3＝3－1.(2)∵函数y ＝2＋log m x 的图像恒过点(1，2)，由已知条件知还恒过点(b ，a )，∴a ＝2，b ＝1，c ＝1.点F 1(－1,0)，F 2(1,0)， ①若AB ⊥x 轴，则A (－1，22)，B (－1，－22)． ∴F 2A →＝(－2，22)，F 2B →＝(－2，－22)．∴F 2A →²F 2B →＝4－12＝72.②若AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的斜率为k ，则AB 的方程为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 2＋2y 2－2＝0，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2(k 2－1)＝0.(*) ∵Δ＝8k 2＋8>0，∴方程(*)有两个不同的实根．设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(*)的两个根． x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－11＋2k2.∴F 2A →＝(x 1－1，y 1)，F 2B →＝(x 2－1，y 2)． ∴F 2A →²F 2B →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋1＋k 2＝(1＋k 2)2k 2－11＋2k 2＋(k 2－1)(－4k 21＋2k 2)＋1＋k 2＝7k 2－11＋2k 2＝72－921＋2k 2. ∵1＋2k 2≥1，∴0<11＋2k 2≤1,0<921＋2k 2≤92. ∴－1≤F 2A →²F 2B →＝72－921＋2k 2<72. 综上，由①②，知－1≤F 2A →²F 2B →≤72.13．(2013²衡水调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点是F (1,0)，且离心率为12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P (0，y 0)，求y 0的取值范围．解析 (1)设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得c ＝1. 因为椭圆C 的离心率为12，所以a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当MN ⊥x 轴时，显然y 0＝0.当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y23＝1，消去y 并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为Q (x 3，y 3)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k2.所以x 3＝x 1＋x 22＝4k 23＋4k 2，y 3＝k (x 3－1)＝－3k 3＋4k2. 线段MN 的垂直平分线的方程为y ＋3k 3＋4k 2＝－1k (x －4k23＋4k2)．在上述方程中，令x ＝0，得y 0＝k 3＋4k 2＝13k＋4k. 当k <0时，3k ＋4k ≤－43；当k >0时，3k＋4k ≥4 3.所以－312≤y 0<0或0<y 0≤312. 综上，y 0的取值范围是[－312，312]． 14．(2013²北京海淀区期末)已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)，且离心率为32，Q 为椭圆C 的左顶点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知过点(－65，0)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．①若直线l 垂直于x 轴，求∠AQB 的大小；②若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得△QAB 为等腰三角形？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解析 (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且a 2＝b 2＋c 2.由题意可知：b ＝1，c a ＝32. 解得a 2＝4，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)得Q (－2,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ①当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝－65.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－65，x 24＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－65，y ＝45或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－65，y ＝－45.即A (－65，45)，B (－65，－45)(不妨设点A 在x 轴上方)，则k AQ ＝45－0－65－－2＝1，k BQ ＝－45－0－65－－2＝－1.因为k AQ ²k BQ ＝－1，所以AQ ⊥BQ .所以∠AQB ＝π2，即∠AQB 的大小为π2.②当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋65)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋65，x 24＋y 2＝1，消去y 得(25＋100k 2)x 2＋240k 2x ＋144k 2－100＝0.因为点(－65，0)在椭圆C 的内部，显然Δ>0.⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－240k 225＋100k2，x 1x 2＝144k 2－10025＋100k 2.因为QA →＝(x 1＋2，y 1)，QB →＝(x 2＋2，y 2)，y 1＝k (x 1＋65)，y 2＝k (x 2＋65)，所以QA →²QB →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2 ＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋k (x 1＋65)²k (x 2＋65)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2＋65k 2)(x 1＋x 2)＋4＋3625k 2＝(1＋k 2)144k 2－10025＋100k ＋(2＋65k 2)(－240k 225＋100k )＋4＋3625k 2＝0. 所以QA →⊥QB →.所以△QAB 为直角三角形．假设存在直线l 使得△QAB 为等腰三角形，则|QA |＝|QB |. 如图，取AB 的中点M ，连接QM ，则QM ⊥AB.记点(－65，0)为N .因为x M ＝x 1＋x 22＝－120k 225＋100k 2＝－24k 25＋20k2，所以y M ＝k (x M ＋65)＝6k5＋20k 2，即M (－24k 25＋20k 2，6k 5＋20k2)．所以QM →＝(10＋16k 25＋20k 2，6k 5＋20k 2)，NM →＝(65＋20k 2，6k 5＋20k2)．所以QM →²NM →＝10＋16k 25＋20k ³65＋20k ＋6k 5＋20k ³6k 5＋20k ＝60＋132k 25＋20k ≠0.所以QM →与NM →不垂直，即QM →与AB →不垂直，矛盾．所以假设不成立，故当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得△QAB 为等腰三角形．15．设椭圆M ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的离心率与双曲线x 2－y 2＝1的离心率互为倒数，且内切于圆x 2＋y 2＝4.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线y ＝2x ＋m 交椭圆于A 、B 两点，椭圆上一点P (1，2)，求△PAB 面积的最大值．解析 (1)双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为e ＝c a ＝22，圆x 2＋y 2＝4的直径为4，则2a ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，c a ＝22，b 2＝a 2－c2⇒⎩⎨⎧a ＝2，c ＝2，b ＝ 2.所求椭圆M 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)直线AB 的直线方程为y ＝2x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 22＋y 24＝1，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0.由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)>0，得－22<m <2 2. ∵x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44.∴|AB |＝1＋2|x 1－x 2|＝3²x 1＋x 22－4x 1x 2＝3²12m 2－m 2＋4＝ 3 4－m 22.又P 到AB 的距离为d ＝|m |3.则S △ABC ＝12|AB |d ＝12 34－m 22|m |3＝12m 24－m 22＝122m 28－m 2≤122²m 2＋8－m 22＝2，当且仅当m ＝±2∈(－22，22)取等号． ∴(S △ABC )max ＝ 2.16．设椭圆C ：x 2＋2y 2＝2b 2(常数b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，M ，N 是直线l ：x ＝2b 上的两个动点，F 1M →²F 2N →＝0.(1)若|F 1M →|＝|F 2N →|＝25，求b 的值； (2)求|MN |的最小值．解析设M (2b ，y 1)，N (b ，y 2)，则F 1M →＝(3b ，y 1)，F 2N →＝(b ，y 2)．由F 1M →²F 2N →＝0，得y 1y 2＝－3b 2.① (1)由|F 1M →|＝|F 2N →|＝25，得 3b 2＋y 21＝2 5.②b 2＋y 22＝2 5.③由①、②、③三式，消去y 1，y 2，并求得b ＝ 2. (2)易求椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.方法一 |MN |2＝(y 1－y 2)2＝y 21＋y 22－2y 1y 2≥ －2y 1y 2－2y 1y 2＝－4y 1y 2＝12b 2，所以，当且仅当y 1＝－y 2＝3b 或y 2＝－y 1＝3b ，|MN |取最小值23b .方法二 |MN |2＝(y 1－y 2)2＝y 21＋9b4y 21＋6b 2≥12b 2，所以，当且仅当y 1＝－y 2＝3b 或y 2＝－y 1＝3b 时，|MN |取最小值23b .17．(2013²武汉)如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且|DM |＝2|DP |.当点P 在圆x 2＋y 2＝1上运动时．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点T (0，t )作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交曲线C 于A ，B 两点，求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标．解析 (1)设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 0，y ＝2y 0，所以x 0＝x ，y 0＝y2.①因为P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，所以x 20＋y 20＝1.② 将①代入②，得点M 的轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)由题意知，|t |≥1.当t ＝1时，切线l 的方程为y ＝1，点A 、B 的坐标分别为(－32，1)、(32，1)，此时|AB |＝3，当t ＝－1时，同理可得|AB |＝3；当|t |>1时，设切线l 的方程为y ＝kx ＋t ，k ∈R.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 2＋y 24＝1，得(4＋k 2)x 2＋2ktx ＋t 2－4＝0.③设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则由③得 x 1＋x 2＝－2kt 4＋k 2，x 1x 2＝t 2－44＋k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|t |k 2＋1＝1，即t 2＝k 2＋1.所以|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k 2[4k 2t24＋k 22－4t 2－44＋k 2]＝43|t |t ＋3.因为|AB |＝43|t |t 2＋3＝43|t |＋3|t |≤2，且当t ＝±3时，|AB |＝2，所以|AB |的最大值为2.依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆x 2＋y 2＝1的半径，所以△AOB 面积S ＝12|AB |³1≤1，当且仅当t ＝±3时，△AOB 面积S 的最大值为1，相应的T 的坐标为(0，－3)或(0，3)．18．已知焦点在y 轴上的椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1经过A (1,0)点，且离心率为32.(1)求椭圆C 1的方程；(2)过抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R)上P 点的切线与椭圆C 1交于两点M 、N ，记线段MN 与PA 的中点分别为G 、H ，当GH 与y 轴平行时，求h 的最小值．解析 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2.解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 1的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设P (t ，t 2＋h )，由y ′＝2x ，抛物线C 2在点P 处的切线的斜率为k ＝y ′| x ＝t＝2t ，所以MN 的方程为y ＝2tx －t 2＋h .代入椭圆方程得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0，化简得4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0. 又MN 与椭圆C 1有两个交点，故Δ＝16[－t 4－2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0.①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点横坐标为x 0，则x 0＝x 1＋x 22＝t t 2－h 21＋t 2. 设线段PA 的中点横坐标为x 3＝1＋t2.由已知得x 0＝x 3，即t t 2－h 21＋t 2＝1＋t2.② 显然t ≠0，h ＝－(t ＋1t＋1)．③当t >0时，t ＋1t≥2，当且仅当t ＝1时取得等号，此时h ≤－3不符合①式，故舍去；当t <0时，(－t )＋(－1t)≥2，当且仅当t ＝－1时取得等号，此时h ≥1，满足①式．综上，h 的最小值为1.19．已知△ABC 中，点A 、B 的坐标分别为(－2，0)，B (2，0)，点C 在x 轴上方． (1)若点C 坐标为(2，1)，求以A 、B 为焦点且经过点C 的椭圆的方程；(2)过点P (m,0)作倾斜角为34π的直线l 交(1)中曲线于M 、N 两点，若点Q (1,0)恰在以线段MN 为直径的圆上，求实数m 的值．解析 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，c ＝2，2a ＝|AC |＋|BC |＝4，b ＝2，所以椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)直线l 的方程为y ＝－(x －m )，令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程解得 3x 2－4mx ＋2m 2－4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4m3，x 1x 2＝2m 2－43若Q 恰在以MN 为直径的圆上，则y 1x 1－1²y 2x 2－1＝－1，即m 2＋1－(m ＋1)(x 1＋x 2)＋2x 1x 2＝0,3m 2－4m －5＝0，解得m ＝2±193. 20．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点F (－2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 关于直线y ＝x ＋1的对称点在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．解析 (1)⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2⇒x 28＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，V (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m⇒3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0.∴Δ＝96－8m 2>0⇒－23<m <2 3. ∴x 3＝x 1＋x 22＝－2m 3，y 3＝x 3＋m ＝m3.又⎩⎪⎨⎪⎧y 3＋y 42＝x 3＋x 42＋1，y 4－y 3x 4－x 3＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 4＝m3－1，y 4＝1－2m3，在x 2＋y 2＝1上．∴(m3－1)2＋(1－2m 3)2＝1⇒m 29－2m 3＋4m 21－4m3＋1＝0. ∴5m 2－18m ＋9＝0⇒(5m －3)(m －3)＝0. ∴m ＝35或m ＝3经检验成立．∴m ＝35或m ＝3.21．(2012²浙江宁波市期末)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，抛物线上一点A 的横坐标为x 1(x 1>0)，过点A 作抛物线C 的切线l 1交x 轴于点D ，交y 轴于点Q ，交直线l ：y ＝p2于点M ，当|FD |＝2时，∠AFD ＝60°.(1)求证：△AFQ 为等腰三角形，并求抛物线C 的方程；(2)若B 位于y 轴左侧的抛物线C 上，过点B 作抛物线C 的切线l 2交直线l 1于点P ，交直线l 于点N ，求△PMN 面积的最小值，并求取到最小值时的x 1的值．解析 (1)设A (x 1，y 1)，则切线AD 的方程为y ＝x 1p x －x 212p.所以D (x 12，0)，Q (0，－y 1)，|FQ |＝p 2＋y 1，|FA |＝p2＋y 1，所以|FQ |＝|FA |.所以△AFQ 为等腰三角形，且D 为AQ 中点，所以DF ⊥AQ . ∵|DF |＝2，∠AFD ＝60°，∴∠QFD ＝60°，p2＝1，得p ＝2，抛物线方程为x 2＝4y .(2)设B (x 2，y 2)(x 2<0)，则B 处的切线方程为y ＝x 22x －x 224.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 12x －x 214，y ＝x 22x －x224⇒P (x 1＋x 22，x 1x 24)，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 12x －x 214，y ＝1⇒M (x 12＋2x 1，1)．同理N (x 22＋2x 2，1)，所以面积S ＝12(x 12＋2x 1－x 22－2x 2)²(1－x 1x 24)＝x 2－x 14－x 1x 2216x 1x 2.①设AB 的方程为y ＝kx ＋b ，则b >0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝4y⇒x 2－4kx －4b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，代入①得S ＝16k 2＋16b 4＋4b 264b ＝1＋b 2k 2＋bb，使面积最小，则k ＝0，得到S ＝1＋b 2bb.②令b ＝t ， ②得S (t )＝1＋t 22t＝t 3＋2t ＋1t ，S ′(t )＝3t 2－1t 2＋1t2， ∴当t ∈(0，33)时S (t )单调递减；当t ∈(33，＋∞)时S (t )单调递增． ∴当t ＝33时，S 取最小值为1639，此时b ＝t 2＝13，k ＝0， ∴y 1＝13即x 1＝233.22.如图，已知M (m ，m 2)、N (n ，n 2)是抛物线C ：y ＝x 2上的两个不同的点，且m 2＋n 2＝1，m＋n ≠0，直线l 是线段MN 的垂直平分线，设椭圆E 的方程为x 22＋y 2a＝1(a >0，a ≠2)．(1)当M 、N 在C 上移动时，求直线l 的斜率k 的取值范围；(2)已知直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，与椭圆E 交于P 、Q 两点，设线段AB 的中点为R ，线段QP 的中点为S ，若OR →²OS →＝0，求椭圆E 的离心率的取值范围．解析 (1)由题意知，直线MN 的斜率k MN ＝m 2－n 2m －n＝m ＋n .又l ⊥MN ，m ＋n ≠0，∴直线l 的斜率k ＝－1m ＋n. ∵m 2＋n 2＝1，由m 2＋n 2≥2mn ，得2(m 2＋n 2)≥(m ＋n )2，即2≥(m ＋n )2(当m ＝n 时，等号成立)，∴|m ＋n |≤ 2. ∵M 、N 是不同的两点，即m ≠n ，∴0<|m ＋n |< 2. ∴|k |>22，即k <－22或k >22. (2)由题意易得，线段MN 的中点坐标为(m ＋n 2，m 2＋n 22)．∵直线l 是线段MN 的垂直平分线， ∴直线l 的方程为y －m 2＋n 22＝k (x －m ＋n2)．又∵m 2＋n 2＝1，k ＝－1m ＋n， ∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1.将直线l 的方程代入抛物线方程和椭圆方程并分别整理，得x 2－kx －1＝0， ①(a ＋2k 2)x 2＋4kx ＋2－2a ＝0. ②易知方程①的判别式Δ1＝k 2＋4>0，方程②的判别式Δ2＝8a (2k 2＋a －1)．由(1)易知k 2>12，且a >0，∴2k 2＋a －1>a >0，∴Δ2>0恒成立．设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，则x A ＋x B ＝k ，y A ＋y B ＝kx A ＋1＋kx B ＋1＝k (x A ＋x B )＋2＝k 2＋2.∴线段AB 的中点R 的坐标为(k 2，k 22＋1)．又x P ＋x Q ＝－4ka ＋2k ，y P ＋y Q ＝kx P ＋1＋kx Q ＋1 ＝k (x P ＋x Q )＋2＝2aa ＋2k 2. ∴线段QP 的中点S 的坐标为(－2k a ＋2k 2，aa ＋2k 2)． ∴OR →＝(k 2，k 22＋1)，OS →＝(－2k a ＋2k 2，a a ＋2k 2)，由OR →²OS →＝0，得－k 2＋a k 22＋1a ＋2k 2＝0，即－k 2＋a (k 22＋1)＝0.∴a ＝2k 2k 2＋2.∵k 2>12，∴a ＝2k 2k 2＋2＝21＋2k2>25，a ＝2k 2k 2＋2＝2－4k 2＋2<2.∴25<a <2.由题易知，椭圆E 的离心率e ＝2－a 2，∴a ＝2－2e 2，∴25<2－2e 2<2，∴0<e 2<45，∴0<e <255.∴椭圆E 的离心率的取值范围是(0，255)．。

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