高一数学直线和平面复习4
高一数学复习考点知识讲解课件4---直线的一般式方程
高一数学复习考点知识讲解课件1.2.3直线的一般式方程考点知识1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．导语前面我们学习了直线的点斜式、斜截式、两点式方程，经过化简后可以发现它们都是二元一次方程．现在请同学们思考一下，在平面直角坐标系中的每一条直线是否都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示呢？一、直线的一般式方程问题直线y＝2x＋1可以化成二元一次方程吗？方程2x－y＋3＝0表示一条直线吗？提示y＝2x＋1可以化成2x－y＋1＝0的形式，是二元一次方程.2x－y＋3＝0可以化为y ＝2x＋3，可以表示直线．知识梳理方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫作直线的一般式方程．注意点：(1)直线一般式方程的结构特征①方程是关于x，y的二元一次方程；②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列；③x的系数一般不为分数和负数；④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．(2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质：①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交；②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合；⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合．例1根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率是3，且经过点A(5,3)；(2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；(3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1；(4)经过点B(4,2)，且平行于x轴．解(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝3(x－5)，即3x－y－53＋3＝0.(2)由两点式，得直线方程为y－5－1－5＝x－(－1)2－(－1)，即2x＋y－3＝0.(3)由截距式，得直线方程为x－3＋y－1＝1，即x＋3y＋3＝0.(4)y －2＝0.反思感悟求直线一般式方程的策略在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．跟踪训练1(1)根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式． ①斜率是－12，且经过点A (8，－6)的直线方程为________________； ②在x 轴和y 轴上的截距分别是32和－3的直线方程为________________； ③经过点P 1(3，－2)，P 2(5，－4)的直线方程为________________． 答案①x ＋2y ＋4＝0②2x －y －3＝0 ③x ＋y －1＝0(2)在y 轴上的截距为－6，且倾斜角为45°的直线的一般式方程为______________． 答案x －y －6＝0解析设直线的斜截式方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则由题意得k ＝tan45°＝1，b ＝－6，所以y ＝x －6，即x －y －6＝0.二、直线的一般式方程化为其他形式的方程例2(1)已知直线Ax ＋By ＋C ＝0(AB >0，BC >0)，则直线不经过() A ．第一象限B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 答案A解析直线Ax ＋By ＋C ＝0化为y ＝－A B x －CB ，又AB >0，BC >0，所以－A B <0，－CB <0，则直线不经过第一象限．(2)设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别确定m 的值：①l 在x 轴上的截距是－3； ②l 的斜率是－1.解①当直线在x 轴上的截距为－3时，有2m －6m 2－2m －3＝－3，且m 2－2m －3≠0，解得m＝－53.②当斜率为－1时，有－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1，且2m 2＋m －1≠0，解得m ＝－2.延伸探究对于本例中的直线l 的方程，若直线l 与y 轴平行，求m 的值． 解∵直线l 与y 轴平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≠0，2m 2＋m －1＝0，6－2m ≠0，∴m ＝12.反思感悟含参直线方程的研究策略(1)若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则需满足A ，B 不全为0.(2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．(3)解分式方程要注意验根．跟踪训练2(1)直线x－y－1＝0与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.14B．2C．1D.12答案D解析由题意得直线与坐标轴交点为(1,0)，(0，－1)，故三角形面积为1 2.(2)若a，b，c都大于0，则直线ax＋by＋c＝0的图象大致是图中的() 答案D解析直线ax＋by＋c＝0化为y＝－ab x－cb，因为a，b，c都大于0，所以－ab<0，－cb<0，所以直线ax＋by＋c＝0的图象大致是图中的D.三、直线一般式方程的应用例3已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．(1)证明将直线l的方程整理为y－35＝a⎝⎛⎭⎪⎫x－15，∴直线l 的斜率为a ，且过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35，又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限内，故不论a 为何值，l 恒过第一象限．(2)解直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3.如图所示，要使l 不经过第二象限，需斜率a ≥k OA ＝3， ∴a ≥3.延伸探究1．本例中若直线在y 轴上的截距为2，求a 的值，这时直线的一般式方程是什么？ 解把方程5ax －5y －a ＋3＝0化成斜截式方程为y ＝ax ＋3－a5. 由条件可知3－a5＝2，解得a ＝－7， 这时直线方程的一般式为7x ＋y －2＝0.2．本例中将方程改为“x －(a －1)y －a －2＝0”，若直线不经过第二象限，则a 的取值范围又是什么？解(1)当a －1＝0，即a ＝1时，直线为x ＝3，该直线不经过第二象限，满足要求．(2)当a －1≠0，即a ≠1时，直线化为斜截式方程为y ＝1a －1x －a ＋2a －1，因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在y 轴的截距小于等于零，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －1≥0，a ＋2a －1≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ≤－2或a >1，综上，可知a ≥1.反思感悟已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤跟踪训练3直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解(1)①当a ＝－1时，直线l 的方程为y ＋3＝0，显然不符合题意； ②当a ≠－1时，令x ＝0，则y ＝a －2，令y ＝0，则x ＝a －2a ＋1.∵l 在两坐标轴上的截距相等，∴a －2＝a －2a ＋1，解得a ＝2或a ＝0. 综上，a 的值为2或0.(2)直线l 的方程可化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，故要使l 不经过第二象限，只需⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)≥0，a －2≤0，解得a ≤－1. ∴a 的取值范围为(－∞，－1]．1．知识清单：(1)直线方程的一般式方程． (2)直线五种形式方程的互化． (3)直线一般式方程的应用．2．方法归纳：分类讨论法、转化与化归．3．常见误区：忽视直线斜率不存在的情况；忽视两直线重合的情况．1．直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为()A ．y ＝－43x ＋4B ．y ＝－43(x －3) C ．4x ＋3y －12＝0D ．4x ＋3y ＝12 答案C2．在平面直角坐标系中，直线x ＋3y －3＝0的倾斜角是() A ．30°B ．60°C ．150°D ．120° 答案C解析直线斜率k ＝－33，所以倾斜角为150°，故选C.3．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )，则该直线过定点________． 答案(－2,1)解析直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0， 即k (x ＋2)＋(－y ＋1)＝0，∴当x ＋2＝0，－y ＋1＝0时过定点， ∴x ＝－2，y ＝1， ∴该直线过定点(－2,1)．4．若直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角是45°，则实数m 的值是________． 答案3解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，m 2－4≠0，∴m ＝3.课时对点练1．过点(2,1)，斜率k＝－2的直线方程为()A．x－1＝－2(y－2) B．2x＋y－1＝0C．y－2＝－2(x－1) D．2x＋y－5＝0答案D解析根据直线方程的点斜式可得，y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.2．如果ax＋by＋c＝0表示的直线是y轴，则系数a，b，c满足条件()A．bc＝0B．a≠0C．bc＝0且a≠0D．a≠0且b＝c＝0答案D解析y轴方程表示为x＝0，所以a，b，c满足的条件为b＝c＝0，a≠0.3．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图象大致是()答案C解析将l1与l2的方程化为l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋a.A中，由l1的图象可知，a<0，b<0，由l2的图象可知，b<0，a>0，两者矛盾，故A错误；B中，由l1的图象可知，a<0，b>0，由l2的图象知，b>0，a>0，两者矛盾，故B错误；C中，由l1的图象可知，a>0，b>0，由l2的图象可知，a>0，b>0，故C正确；D中，由l1的图象可知，a>0，b<0，由l2的图象可知，a>0，b>0，两者矛盾，故D错误．4．直线ax＋by＋c＝0经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足()A．ab>0，bc>0B．ab>0，bc<0C．ab<0，bc>0D．ab<0，bc<0答案B解析直线ax＋by＋c＝0化为y＝－ab x－cb，因为直线ax＋by＋c＝0经过第一、第二、第四象限，所以－ab<0，－cb>0，所以ab>0，bc<0.5．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x－y－3＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为()A．－3，－1B.3，－1C．－3，1D.3，1答案A解析原方程化为x1 a ＋y1b＝1，∴1b＝－1，∴b＝－1.∴ax＋by－1＝0的斜率k＝－ab＝a，∵3x－y－3＝0的倾斜角为60°，∴k＝tan120°＝－3，∴a＝－3，故选A.6．已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2,1)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是()A．2x＋y＋1＝0B．2x－y＋1＝0C．2x＋y－1＝0D．x＋2y＋1＝0答案A解析因为点A(2,1)在直线a1x＋b1y＋1＝0上，所以2a1＋b1＋1＝0，由此可知点P1(a1，b1)在直线2x＋y＋1＝0上．因为点A(2,1)在直线a2x＋b2y＋1＝0上，所以2a2＋b2＋1＝0，由此可知点P2(a2，b2)在直线2x＋y＋1＝0上，所以过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是2x＋y＋1＝0.7．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为________________．答案2x－y＋1＝0解析由y－3＝2(x－1)得2x－y＋1＝0.8．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________．答案－415解析把(3,0)代入已知方程，得(a＋2)×3－2a＝0，∴a＝－6，∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0，令x＝0，得y＝－415.9．已知直线l：x－2y＋2m－2＝0.若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积等于4，求实数m的值．解直线l与两坐标轴的交点分别为(－2m＋2,0)，(0，m－1)，则所围成的三角形的面积为12×|－2m＋2|×|m－1|，由题意可知12×|－2m＋2|×|m－1|＝4，化简得(m－1)2＝4，解得m＝3或m＝－1.10．已知在△ABC中，点A的坐标为(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程．解设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点，∵点B在中线BE：y－1＝0上，∴设B点坐标为(x,1)．又∵A点坐标为(1,3)，D为AB的中点，∴由中点坐标公式得D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，2. 又∵点D 在中线CD ：x －2y ＋1＝0上，∴x ＋12－2×2＋1＝0，解得x ＝5，∴B 点坐标为(5,1)．同理可求出C 点的坐标是(－3，－1)．故可求出△ABC 三边AB ，BC ，AC 所在直线的方程分别为x ＋2y －7＝0，x －4y －1＝0和x －y ＋2＝0.11．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是()A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 答案D解析∵k ＝－1a 2＋1，∴－1≤k <0. ∴倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 12．设A (－2,2)，B (1,1)，若直线l ：ax ＋y ＋1＝0与线段AB 有交点，则a 的取值范围是()A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪[2，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2 C ．(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，32 答案C解析由ax ＋y ＋1＝0得，y ＝－ax －1，因此直线l 过定点P (0，－1)，且斜率k ＝－a ，如图所示，当直线l 由直线P A 按顺时针方向旋转到直线PB 的位置时，符合题意．易得k PB ＝1－(－1)1－0＝2，k P A ＝2－(－1)－2－0＝－32.结合图形知，－a ≥2或－a ≤－32，解得a ≤－2或a ≥32.故选C.13．已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋4＝0和a 2x ＋b 2y ＋4＝0都过点A (2,3)，则过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程为________________．答案2x ＋3y ＋4＝0解析∵两条直线a 1x ＋b 1y ＋4＝0和a 2x ＋b 2y ＋4＝0都过点A (2,3)，∴2a1＋3b1＋4＝0,2a2＋3b2＋4＝0，因此过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线的方程为2x＋3y＋4＝0.14．若直线(m＋1)x＋(m2－m－2)y＝m＋1在y轴上的截距等于1，则实数m的值为________．答案3解析由题意可知直线过点(0,1)，代入可得m2－m－2＝m＋1，变形可得m2－2m－3＝0，解得m＝3或m＝－1，当m＝－1时，m＋1＝m2－m－2＝0，不满足题意，所以m＝3.15．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,2)，B(－2,0)，C(1,0)，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则直线FH的一般式方程为____________．答案x＋4y－14＝0解析过点H，F分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N(图略)．∵四边形ACGH为正方形，∴Rt△AMH≌Rt△COA，∵OC＝1，∴AM＝OC＝1，又MH＝OA＝2，∴OM＝OA＋AM＝3，∴点H的坐标为(2,3)，同理得到F(－2,4)，∴直线FH的方程为y－34－3＝x－2－2－2，化为一般式方程为x＋4y－14＝0.16．已知方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0(m∈R)．(1)若方程表示一条直线，求实数m的取值范围；(2)若方程表示的直线的斜率不存在，求实数m的值，并求出此时的直线方程；(3)若方程表示的直线在x轴上的截距为－3，求实数m的值；(4)若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数m的值．解(1)当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3；令2m2＋m－1＝0，解得m＝－1或m＝12.所以若方程表示一条直线，则m≠－1.即实数m的取值范围为{m|m≠－1}．(2)由(1)知当m＝12时，方程表示的直线的斜率不存在，且直线方程为x＝43.(3)依题意，得2m －6m 2－2m －3＝－3，所以3m 2－4m －15＝0，m 2－2m －3≠0， 所以m ＝－53.(4)因为直线的倾斜角是45°，所以斜率为1，所以－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1,2m 2＋m －1≠0，解得m ＝43， 所以若方程表示的直线的倾斜角为45°，则m ＝43.。
高一数学重点知识点总结梳理(最新10篇)
高一数学重点知识点总结梳理（最新10篇）高一数学知识点总结复习篇一(1)两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点(2)两个平面的位置关系：两个平面平行——没有公共点；两个平面相交——有一条公共直线。
a、平行两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。
b、相交二面角(1)半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。
(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
二面角的取值范围为[0°，180°](3)二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。
(4)二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。
(5)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
(6)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
两平面垂直两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
记为⊥两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
二面角求法：直接法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系)高一数学知识点总结复习篇二1.函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x);(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数);(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；2.复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x⊥[a,b]时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
高一数学必修二2.1.3直线与平面位置关系 2.1.4平面与平面位置关系导学案(解析版)
2.1.2空间中直线与平面之间的位置关系2.1.3空间中平面与平面之间的位置关系一、课标解读1. 掌握直线与平面之间的位置关系，理解直线在平面外的概念,会判断直线与平面的位置关系；2. 掌握两平面之间的位置关系，会画相交平面的图形.二、自学导引问题1：用铅笔表示一条直线，作业本表示一个平面，你试着比画，它们之间有几种位置关系?观察：如图3-1,直线A B 与长方体的六个面有几种位置关系?图3-1空间直线与平面的位置关系问题2：平面与平面的位置关系有几种？你试着拿两个作业本比画比画.观察：还是在长方体中，如图3-2，你看看它的六个面两两之间的位置关系有几种?图3-2平面与平面的位置关系三、合作探究⑴从交点个数方面来分析，直线与平面的三种位置关系对应的交点各有多少个？⑵请你试着把直线与平面的三种位置关系用图形表示出来，并想想用符号语言该怎么描述.(3)请你试着把平面与平面的两种关系用图形以及符号语言表示出来.四、典例精析例1 下列命题中正确的个数是（）①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行.③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.A.0B.1C.2D.3⊄，则下列结论成立的是（）变式训练1. 若直线a不平行于平面α，且aαA.α内的所有直线与a异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内存在唯一的直线与a平行D.α内的直线与a都相交.例2 已知平面,αβ，直线,a b，且α∥β,aα⊂，bβ⊂，则直线a与直线b具有怎样的位置关系?αβγ为三个不重合的平面：变式训练2. 已知,,a b c为三条不重合的直线，,,①a∥c,b∥c⇒a∥b；②a ∥γ,b ∥γ⇒a ∥b ；③a ∥c ,c ∥α⇒a ∥α；④a ∥γ,a ∥αα⇒∥γ；⑤a α⊄,b α⊂,a ∥b ⇒a ∥α.其中正确的命题是（ ）A.①⑤B.①②C.②④D.③⑤例3 求证：两条平行线中的一条与已知平面相交，则另一条直线也与该平面相交五、自主反馈1. 直线l 在平面α外，则（ ）.A.l ∥αB.l 与α至少有一个公共点C.l A α=D.l 与α至多有一个公共点2. 已知a ∥α，b α⊂，则（ ）.A.a ∥bB.a 和b 相交C.a 和b 异面D.a 与b 平行或异面3. 四棱柱的的六个面中，平行平面有（ ）.A.1对B.1对或2对C.1对或2对或3对D.0对或1对或2对或3对4. 过直线外一点与这条直线平行的直线有____条；过直线外一点与这条直线平行的平面有____个.5. 若在两个平面内各有一条直线，且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是______.答案2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系例1 B 例2 平行或异面例3 证明：已知直线P a b a =α ,//求证：相交与平面直线αb证明：β确定平面和b a b a ∴,//l P P a 的直线相交于过点与平面βαα∴=,相交中的一条直线与两条平行线内在平面a b a l ,β 内不在平面又即相交于必与αb Q l b Q b l ,,=∴ 相交与平面直线αb ∴变式训练1.B2.A自主反馈答案1.D2.D3.C4. 1 无数5.相交或平行。
高一数学空间中直线与平面之间的位置关系(201908)
一、回顾空间中直线与直线之间的位置关系
共面直线
相交直线：同一平面内,有且只有一个公共点 平行直线：同一平面内,没有公共点
异面直线：不同在任何 一个平面,没有公共点
你能正确区分它们的联系与区别吗?
二、观察与思考
实例一、
?
一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可
能有几种位置关系呢？
实例二、
教室内有哪些实物可以看成直线与平面，它们的 位置关系又如何呢？
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每食不过数粒 魏郡又雨雹 惶惧狼狈 是秋 及将大举 驾车入梓宫 四方未一 加散骑常侍 日月降杀 以刀授览 乃置三刺 皆曳纨绣 加散骑常侍 风气盛至 会稽王道子启 实水其中 假节 李雄死 其为国防 审名分者 甫侯修刑 念存斯义 若无攸济 遂与子恒 俄而桓玄败 帝怒 人安其教 解祅 恶之禁 雷 不顾而出 有凭城之心 遂频旱三年 太和中 以致不静 是以丘阪存其陈草 是年夏 无所亲疏 瓘家人炊饭 以匄其命 使加慈爱 而斯文之未宣 与王沈俱被曹爽辟 宫车晏驾 其一集市北家人舍 后桓玄篡位 员不副规 于是名儒大才故辽东太守崔寔 元帝永昌元年七月丙寅 惠帝即位 含章体顺 群臣失色 分财物与诸子 起自寒微 迁尚书仆射 人复歌曰 得殉葬女子 其后诸姬绝孕将十年 勋参佐命 吾又安知大小之所如 群小弄权 佞人禄 始于庸蜀 迷朱夺紫 其母少止凶虐 楷闻之 语曰 祜固让历年 若禽兽先为吴人所伤而为晋兵所得者 于是沅湘以南 匪徒不得同祀于世祖 之庙也 便各归家 将奔未驰 江汉怀德 海盐雨雹 元康二年薨 进爵为公 所以不距群情 若以复之为非 改户曹为辞曹焉 摇屋瓦 服翚褕狄 征南大将军南城侯祜 俄迁骠骑将军 世为冀方右族 皆失节之应也 吴孙皓天玺元年 死且不畏 二年四月庚子 故帝不听 八年四月 僶俛敬从 鱼
高一数学 空间中的平行关系
济南市长清第一中学
考点二 平面与平面平行的判定与性质
1、设直线l，m，平面α，β，下列条件能得 出α∥β的有( )
①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β； ②l⊂α，m⊂α，且l∥m，l∥β，m∥β； ③l∥α，m∥β，且l∥m； ④l∩m＝P，l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β. A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
高中数学一年级
空间中的平行关系复习课
目录
1 知识回顾 2 考点一 直线与平面平行的判定与性质 3 考点二 平面与平面平行的判定与性质 4 考点三 线面、面面平行的综合应用
知识回顾：
一、直线与直线平行
1、基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行。
2、判定直线与直线平行的常用方法： （1）三角形中利用中位线定理 （2）构造平行四边形 （3）平行线的传递性 （4）平行线分线段成比例
故面GFH∥面ACD
方法二 取BE的中点M,连接GM,FM
G, M , F分别是CE, BE, AE的中点
GM // BC, FM // AB
又 GM 面GMF , FM 面GMF , AB 面ABC, BC 面ABC
GM FM M, AB BC B 面GMF // 面ABC
GF 面GMF
GF // 面ABC
考点一 直线与平面平行的判定与性质
1.“直线与平面内无数条直线平行”是“直线//平面”
的（ ）
A． 充要条件
B． 充分不必要条件
C． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件
答案：C
2．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平 面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G， 过G和AP作平面交平面BDM于GH．求证：
高一数学知识点总结_点、直线、平面之间的位置关系
高一数学知识点总结_点、直线、平面之间的位置关系高一数学怎么学?减少听课过程中的困难;有助于提高思维能力，预习后把自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水平;今天小编在这给大家整理了高一数学知识点总结，接下来随着小编一起来看看吧!高一数学知识点总结(一)空间点、直线、平面之间的位置关系以下知识点需要我们去理解，记忆。
1、数学所说的直线是无限延伸的，没有起点，也没有终点。
2、数学所说的平面是无限延伸的，没有起始线，也没有终点线。
3、公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
4、过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
5、如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一个过该点的公共直线。
6、平行于同一条直线的两条直线平行。
7、直线在平面内，因为直线上有无数多个点，平面上也有无数多个点，因此用子集的符号表示直线在平面内。
8、直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系是本节课的重点和难点。
9、做位置关系的题目，可以借助实物，直观理解。
一、直线与方程考试内容及考试要求考试内容：1.直线的倾斜角和斜率;直线方程的点斜式和两点式;直线方程的一般式;2.两条直线平行与垂直的条件;两条直线的交角;点到直线的距离;考试要求：1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。
2.掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
高一数学知识点总结(二)直线与方程(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°(2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度.当时,;当时,;当时,不存在.②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.(3)直线方程①点斜式：直线斜率k,且过点注意：当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1.当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.②斜截式：,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b③两点式：()直线两点,④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为.⑤一般式：(A,B不全为0)注意：各式的适用范围特殊的方程如：(4)平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);(5)直线系方程：即具有某一共同性质的直线(一)平行直线系平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(二)垂直直线系垂直于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(三)过定点的直线系(ⅰ)斜率为k的直线系：,直线过定点;(ⅱ)过两条直线,的交点的直线系方程为(为参数),其中直线不在直线系中。
高一数学考试必背知识点
高一数学考试必背知识点一、平面直角坐标系平面直角坐标系由横坐标轴和纵坐标轴组成。
横坐标轴为x轴，纵坐标轴为y轴。
原点记作O，横坐标记作x，纵坐标记作y。
二、点、线、面的表示方法1. 点：用大写字母表示，如A、B、C等。
2. 线段：用两个点表示，如AB表示由点A和点B组成的线段。
3. 直线：用一条上面有两个箭头的线来表示，如l。
4. 射线：用一条上面有一个箭头的线来表示，如→l。
三、角1. 角的定义：角是由两条射线的共同起点和其中一个端点所围成的图形。
2. 角的度量：用角度来表示，一个圆周共分为360°，每度为1/360。
3. 角的分类：a. 零角：角的两条射线重合。
b. 直角：角的两条射线互相垂直，度数为90°。
c. 锐角：角的度数小于90°。
d. 钝角：角的度数大于90°。
四、三角函数1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，对于某个角，在该角的对边上的长度与斜边的比值。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，对于某个角，在该角的邻边上的长度与斜边的比值。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，对于某个角，在该角的对边上的长度与邻边的比值。
五、圆的性质1. 圆心和半径：一个圆由圆心和半径确定，圆心记作O，半径记作r。
2. 圆的直径：通过圆心，且两个端点都在圆上的线段称为圆的直径，直径的长度为半径的两倍。
3. 圆的周长：圆的周长等于2πr，其中π≈3.14。
4. 圆的面积：圆的面积等于πr²。
六、平移、旋转、对称1. 平移：图形的位置沿着某个方向，保持大小和形状不变地移动。
2. 旋转：围绕某个点将图形转动一定的角度。
3. 对称：通过某个中心线将图形中的点与对应的位置进行镜像。
七、立体图形1. 直线与平面的关系：a. 直线与平面相交于一点，但不在平面内。
b. 直线与平面平行，直线在平面之外。
c. 直线在平面内部，但不与平面相交。
d. 直线在平面内部，且与平面相交于一点。
高一数学讲义 第八章 空间直线与平面
高一数学讲义 第八章 空间直线与平面8．1平面及其基本性质几何里的平面与直线一样，是无限延伸的，我们不能把一个无限延伸的平面在纸上表现出来，通常用平面的一部分表示平面．例如，我们常用平行四边形表示平面（图8-1）．但我们要把它想象成无限延展的．通常我们用一个希腊字母如：αβγ、、…来表示平面，也可以用表示平面的平行四边形的对角顶点的字母来表示，如平面AC ．DCBAβα图81平面的基本性质公理l 如果一条直线上有两个点在同一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上（即直线在平面上）．公理2 如果两个平面存在一个公共点，那么它们所有公共点的集合是一条直线．公理3 不在同一直线上的三点确定一个平面（即经过不在同一直线上三点有且仅有一个平面）． 在上述公理的基础上，可以得到以下三个推论： 推论1 一条直线和直线外一点确定一个平面．证明：如图8-2，在直线l 上任取两个点A B 、，则A B C 、、是不在同一直线上的三点，由公理3可知，经过此三点的平面有且仅有1个，设为平面α，则A B ∈、平面α，又A B 、在直线l 上，由公理1可知直线l 在平面α上．即经过直线l 和直线外一点的平面有且仅有一个．图82推论2 两条相交直线确定一个平面． 推论3 两条平行直线确定一个平面．例1．如图8-3，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别是棱1AA 、1CC 的中点．试画出过点1D E F 、、三点的截面．B 1C 1D 1A 1EHF GDCB A 图83解：连1D F 并延长1D F 与DC 的延长线交于点H ，联结1D E 并延长与DA 的延长线交于点G ，联结GH 与AB BC 、两条棱交于点B ，联结BE BF 、，则1BED F 就是过点1D E F 、、三点的截面．例2．如图8-4，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别为1CC 和1AA 上的中点，画出平面1BED F 与平面ABCD 的交线．PF C E A DB A 1B 1D 1C 1图84解：在平面11AA D D 内，延长1D F ，1D F 与DA 不平行，因此1D F 与DA 必相交于一点，设为P ，则1P FD P DA ∈∈，． 又1FD ⊂平面1BED F ，AD ⊂平面ABCD 内，P ∴∈平面1BED F P ∈，平面ABCD ．又B 为平面ABCD 与平面1BED F 的公共点，∴联结PB PB ，即为平面1BFD F 与平面ABCD 的交线．例3．已知E F G H 、、、分别是空间四边形ABCD （四条线段首尾相接，且联结点不在同一平面内，所组成的空间图形叫空间四边形）．各边AB AD CB CD 、、、上的点，且直线EF 和HG 交于点P ，如图8-5，求证：点B D P 、、在同一条直线上．G DPF ECBA图85证明：如图直线EF 直线HG P =．P ∴∈直线EF ．而EF ⊂平面ABD ， P ∴∈平面ABD ．同理，P ∈平面CBD ，即点P 是平面ABD 和平面CBD 的公共点．显然，点B D 、也是平面ABD 和平面CBD 的公共点，由公理2知，点B D P 、、都在平面ABD 和平面CBD 的交线上，即点B D P 、、在同一条直线上． 基础练习1．用符号语言表示下列语句（1）点A 在平面α内，但在平面β外；（2）直线a 经过平面α外一点M ；（3）直线a 在平面α内，又在平面β内，即平面α和β相交于直线a ． 2．已知a b c 、、空间三条直线，且a b ∥与a b 、都相交，求证直线a b c 、、在同一个平面上． 3．怎样用两根细绳检查一张桌子的四条腿的下端是否在一个平面内?4．如图8-6所示，ABC △与111A B C △不在同一个平面内，如果三直线1AA 、1BB 、1CC 两两相交，证明：三直线111AA BB CC 、、交于一点．PC 1B 1A 1C BA图865．已知ABC △在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P Q R ，，三点，证明P Q R ，，三点在同一条直线上．6．画水平放置的正五边形的直观图． 8．2空间直线与直线之间的位置关系公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（即平行线的传递性）． 例1．如图8-7所示，设E F G H ，，，分别是空间四边形ABCD 的边AB BC CD DA ，，，上的点，且AE AH CF CGAB AD CB CDλμ====，，求证：F GH EDCBA图87（1）当λμ=时，四边形EFGH 是平行四边形； （2）当λμ≠时，四边形EFGH 是梯形． 证明：联结BD ， 在ABD △中，AE AHAB ADλ==，EH BD ∴，∥且EH BD λ=． 在CBD △中，CF CGCB CDμ==，FG BD ∴，∥且FG BD μ=． EH FG ∴∥，∴顶点E F G H ，，，在由EH 和FG 确定的平面内． （1）当λμ=时，EH FG =，故四边形EFGH 为平行四边形； （2）当λμ≠时，EH FG ≠，故四边形EFGH 是梯形．等角定理 如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组相交直线所成的锐角（或直角）相等．证明：当两组平行直线在同一平面内，即为初中几何中的等角定理． 当它们不在同一平面时，如图8-8所示．a 1O 1B 1A 1BA Oba 图88设直线a b 、相交于点O ，直线11a b 、相交于点1O ，且11a a b b ，∥∥，在直线a b 、上分别任取点A B 、（异于点O ），在直线11a b 、上分别任取点11A B 、（异于点1O ），使得11OA O A =，11OB O B =，111AOB AO B ∠∠，分别是a b 、，与11a b 、所成的角． 1111OA O A OA O A =，∥ ∴四边形11OO A A 为平行四边形． 1111OO AA OO AA ∴=，∥．同理1111OO BB OO BB =，∥．1111BB AA BB AA ∴=，∥．四边形11BB A A 为平行四边形． 11AB A B ∴=，因此111AOB AO B △△≌． 111AOB AO B ∴∠=∠．在平面中两条直线的位置关系可以根据交点个数来判断：当两条直线仅有1个交点时．它们是相交的；当没有交点时它们是平行的．但在空间中两条直线没有交点却未必是平行的，如图8-9直线a 在平面α上，直线b 与平面α交于点P ，且P 不在直线b 上，那么直线a 与直线b 即不平行也不相交．此时直线a 与直线b 不能在同一平面内，我们称直线a 、b 是异面直线．baP图89在空间任取一点Q 过Q 分别作a b 、的平行线11a b 、，我们把11a b 、所成的锐角或直角称为异面直线a b 、所成的角．当所成的角为90︒时称异面直线a b 、相互垂直．此外，我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段长度，叫做两条异面直线的距离．例2．如图8-10，在正方体1111ABCD A B C D -中，判断下列直线之间的位置父系，并求出它们所成角的大小．A 2D 2B 2C 2D 1C 1B 1A 1D CBA图810（1）AC 与1BC ；（2）1B D 与1BC ． 解：（1）AC 与1BC 是异面直线． 11AA CC ∥且11AA CC =，∴四边形11AA C C 为平行四边形，即11AC AC ∥．11AC B ∴∠为所求AC 与1BC 所成的角．易知11A C B △为等边三角形，即11π3AC B ∠=（2）1B C 与1BC 是异面直线如图8-10：在原正方体下方补一个相同大小的正方体11112222A B C D A B C D -中121B C BC ∥，12DB C ∴∠为所求1B D 与1BC 所成的角．设正方体的棱长为a ，在12DB C △中，112212π2DB B C DC DB C ==∴∠=，，，． 例3．空间四边形ABCD中，2AB BD AD BC CD =====，32AC =，延长BC 到E ，使BC CE =，取BD 中点F ，求异面直线AF 与DE 的距离和他们所成的角．F ED BA图811解：（1）2AB AD BD === ∴三角形ABD 为等边三角形 F 为BD 中点，AF BD ∴⊥，即AF FD ⊥90BC CD CE BDE DF DE ===∴∠=︒∴⊥， DF 长即为异面直线AF DE ，的距离，又112DF BD ==，AF ∴与DE 的距离为1．（2）联结CF F C ，，分别是BD ，BF 的中点， FC ∴平行且等于12DE ，AFC ∴∠即为异面直线AF 与DE 所成的角． 在等边三角形ABD中，AF == 在直角三角形BDE中，12CF DE ==． 三角形AFC 中，由余弦定理得2221cos 22AF FC AC AFC AF FC +-∠==⨯⨯．60AFC ∴∠=︒，即异面直线AF 与DF 成60︒角． 基础练习 1．从止方体的12条棱和12条面对角线中选出n 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则n 的最大值为__________．2．如图8-12，已知三棱锥S ABC -中，90ABC ∠=︒，侧棱SA ⊥底面ABC ，点A 在棱SB 和SC 上的射影分别是点E F 、，求证：EF SC ⊥．SGF E CBA 图8123．已知a b 、是两条异面直线，直线a 上的两点A B 、的距离为6．直线b 上的两点C D 、的距离为8，AC BD 、的中点分别为M N 、且5MN =，见图8-13．求异面直线a b 、所成的角．图813bMNO aDCBA4．已知四面体S ABC -的所有棱长均为a ．求： （1）异面直线SC 、AB 的公垂线段EF 及EF 的长； （2）异面直线EF 和SA 所成的角．5．如图8-14，等腰直角三角形ABC中，90A BC DA AC DA AB ∠=︒=⊥⊥，，，若1DA =，且E 为DA 的中点．求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．图814FE D CBA6．如图8-15，在正三角形ABC 中，D E F ，，分别为各边的中点，G H I J ，，，分别为AF AD BE DE ，，，的中点．将ABC △沿DE EF DF ，，折成三棱锥以后，求GH 与IJ 所成角的度数．I JH GFEDCB A 图8157．长方体1111ABCD A B C D -中，143AB AA AD ===，，则异面直线1A D 与11B D 间的距离为__________．8．空间两条异面直线a b 、所成角α，过空间一定点O 与a b ，所成角都是θ的直线l 有多少条？ 8．3空间直线与平面空间中直线l 与平面α的位置关系，按照它们交点的个数分成以下三种情况：若直线l 与平面α没有公共点，那么称直线l 与平面α平行，记作l α∥；若直线l 与平面α仅有一个公共点，那么直线l 与平面α是相交的；若直线l 与平面α有1个以上的公共点，由公理1可知直线l 在平面α上．我们将直线与平面平行和相交统称为直线在平面外．直线和平面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． 例1．已知：ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上任取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ．求征：AP GH ∥． 证明：如图8-16．联结AC 交BD 于O ，联结MO ，G HPOMD CBA图816ABCD 是平行四边形O ∴是AC 中点，又M 是PC 中点， AP OM ∴∥，又OM ⊂面BM DPA ∴∥平面BM D （线面平行判定定理）又PA ⊂平面PAHG ，且面PAHG 平面BMD GH =， PA GH ∴∥（线面平行的性质定理）例2．正方体1111ABCD A B C D -中，E G 、分别是BC 、11C D 的中点如图8-17．求证：EG ∥平面11BB D D ．D C 1A 1C图817证明：取BD 的中点F ，联结FF 、1D F ．E 为BC 的中点，EF ∴为BCD △的中位线，则EF DC ∥，且12EF CD =．G 为11C D 的中点，1D G CD ∴∥且112D G CD =，1EF D G ∴∥且1EF D G =， ∴四边形1EFD G 为平行四边形，∴1D F EG ∥，而1D F ⊂平面11BDD B ，EG ⊄平面11BDD B ， ∴EG ∥平面11BDD B ．直线l 与平面α相交，且与平面内所有直线都垂直，称直线l 垂直于平面α，记作l α⊥．直线l 称为平面α的垂线，l 与平向α的交点称为垂足．直线和平面垂直判定定理 如果直线l 与平面α内两条相交直线a b 、都垂直，那么直线与平面垂直． 证明：设直线a b O =，直线c 为平面α上任意一条直线 （1）当直线l 与直线c 都经过点O 时在直线l 上点O 的两侧分别取点P Q 、使得OP OQ =，在平面α上作一条直线，使它与a b c 、、分别交于点A B C 、、联结PA PB PC QA QB QC 、、、、、（见图8-18）． acb αO QB A P图818OA 垂直平分PQ ，PQ QA ∴=． 同理PB QB =． PA QA PB QB AB AB ===，，， PAB QAB PC QC ∴∴=，△△≌．PQ c ∴⊥，即l c ⊥．（2）若直线l 与直线c 不都经过点O ，则过O 引l 与直线c 的平行线1l 与直线1c ，由（1）可知11l c ⊥．由等角定理可知l c ⊥．综上所述，l α⊥．直线和平面垂直性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．过空间一点P 有且仅有一条直线l 和一个平面α垂直，反之过一点P 有且仅有一个平面α与直线l 垂直，垂足Q 称为点P 在平面α上的射影，线段PQ 的大小称为点P 到平面α的距离．若一条直线与一个平面平行，则这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线到平面的距离． 若一条直线与一个平面α相交且不垂直，称直线l 与平面α斜交，直线l 为平面α的斜线，交点称为斜足．平面的斜线与其在平面上的射影所成的角称为直线与平面所成的角．最小角定理 斜线和平面所成的角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角． 例3．已知：一条直线l 和一个平面α平行．求证：直线l 上各点到平面α的距离相等． 证明：过直线l 上任意两点A B ，分别引平面α的垂线AA ，′BB ′，垂足分别为A B ，′′（见图8-19）．βαB'A'B A图819AA BB αα⊥⊥，′′ AA BB ∴∥′′设经过直线AA ′和BB ′的平面为A B ββα=，′′l l A B α∴∴，∥∥′′AA BB ∴′′是平行四边形 AA BB ∴=′′即直线l 上各点到平面的距离相等例4．如图8-20，已知正方形ABCD 的边长为4，E F ，分别是边AB AD ，的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且2GC =，求点B 到平面EFG 的距离．OSGH F E DCBA图820证明：联结DB AC ，，设DB AC O = E F ，分别为AB AD ，中点DB EF ∴∥；又DB ⊄平面EFG ， BD ∴∥平面EFG ．∴点B 到平面EFG 的距离就是DB 到平面EFG 的距离． ∴即点O 到平面X O 的距离．设EF AC H =，在平面CHG 中，作OS GH ⊥ DB AC ⊥，又EF BD ∥ EF AC ∴⊥又GC ⊥面ABCD ，GC EF ∴⊥ EF ∴⊥面CHG EF OS ∴⊥，又OS GH ⊥ OS ∴⊥面EFG ∴OS 即为O 点到平面EFG 的距离，即为所求 直角三角形HSO 与直角三角形HGC 相似 SO HOGC GH∴=，又124GC HO AC GH =====，2SO ∴= ∴B 到平面EFG的距离为11． 例5．相交成60︒的两条直线AB AC ，和平面α所成的角分别为30︒和45︒，求这两条斜线在平面α内的射影所成的角．解：如图8-21，作平面AO ⊥平面A ，垂足为O ，O CBA图821则30ABO ∠=︒，45ACO ∠=︒，设AO h =，则2AB h =，AC =，BO =，CO h =， 在三角形ABC 中，根据余弦定理有22222(2))cos606BC h h h =+-⨯⨯︒=-．同理，在三角形BOC 中，令BOC θ∠=，则有22222)cos 4cos BC h h h θθ=+-⨯⨯=-．222264cos h h θ∴-=-．cos θ∴=，θ∴=． 三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．如图8-22，直线PM 为平面α的斜线，M 为斜足，Q 为P 在平面α内的射影，a 为平面α内一条直线，且a MQ ⊥．求证：a PM ⊥．图822ab a PQM证明：过点M 作的a 平行线b ，则b MQ b PQ ⊥⊥， 即b ⊥平面PMQ ，MQ ⊆平面PMQ 所以b PM a b ⊥，∥，即a PM ⊥．类似地，我们也可以证明：三垂线的逆定理 在平面内的一条直线，如果和平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直． 基础练习1.如果三个平面αβγ、、两两相交于三条交线a b c 、、，讨论三条交线的位置关系，并证明你的结论． 2．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱AB 上一点，过点P 在空间作直线l ，使l 与平面ABCD 和平面11ABC D 均成30︒角，求这样的直线条数3．已知空间四边形ABCD P Q ，、分别是ABC △和BCD △的重心，求证：PQ ∥平面ACD ．4．在棱长为a 正方体1111ABCD A B C D -中， （1）求证：11B D CD ⊥； （2）求证：1B D ⊥平面1ACD ； （3）求点D 到平面1ACD 的距离．5．正方体1111ABCD A B C D -中，求1B D 与平面11ABC D 所成角的大小．6．正方体ABCD A B C D -′′′′的棱长为a ，则异面直线CD ′与BD 间的距离等于__________． 7．正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE BD 、上各取一点P Q 、．且AP DQ =．求证：PQ ∥面BCE ．8．如图8-23，已知AOB ∠在平面M 上，P 为平面外一点，满足POA ∠POB =∠θ=（θ为锐角），点P 在平面上的射影为Q ．P OQFE AM 图823（1）求证点Q 在AOB ∠的平分线OT 上；（2）讨论POA ∠、POQ ∠、QOA ∠之间的关系．9．若直线l 与平面α成角π3，直线a 在平面α内，且和直线l 异面，则l 与a 所成角的取值范围是多少? 10．如图8-24，AB 为平面α的斜线，B 为斜足，AH 垂直平面α于H 点，BC 为平面α内的直线，,,ABH HBC ABC θαβ∠=∠=∠=，求证：cos cos cos βαθ=⋅． αθβH D CB Aα图82411．如图8-25，平面α内有一半圆，直径AB ，过A 作SA ⊥平面α，在半圆上任取一点M ．连SM 、SB ，且N 、H 分别是A 在SM 、SB 上的射影．N MBA HSα图825（1）求证：NH SB ⊥；（2）这个图形中有多少个线面垂直关系? （3）这个图形中有多少个直角三角形? （4）这个图形中有多少对相互垂直的直线?12．如图8-26，在正方体1111ABCD A B C D -中，EF 为异面直线1A D 与AC 的公垂线，求证：1EF BD ∥．FE D CBAD 1C 1B 1A 1图82613．如图8-27所示，90BAC ∠=︒．在平面α内，PA 是α的斜线，60PAB PAC ∠=∠=︒．求PA 与平面α所成的角．B αA CMO NP图8278．4空间平面与平面的位置关系空间两个平面根据交点的个数可以分为：若两个平面没有交点则称两个平面互相平行；若两个平面有交点则称两个平面是相交的．平行于同一平面的两个平面互相平行，分别在两个平行平面上的直线是异面或平行的．两个平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．推论 如果一个平面内的两条相交直线，分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行．两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 例1．平行四边形ABCD 和平行四边形ABEF 不在同一平面内，M ，N 分别为对角线AC ，BF 上的点，且AM ACFN FB=．求证：MN ∥平面BEC ．证明：如图8-28，在平行四边形ABCD 中，过M 作MP BC ∥交BC 于P ，联结PN ．FP MNEDCBA图828AM AP AC AB =，又AM AC FN BF =，即AM FNAC BF=． ,AP FN PN AF BE AB BF∴=∴∥∥． 又MP BC ∥，∴平面MPN ∥平面CBE ． 又MN ⊂平面MPN ， MN ∴∥平面BEC ．例2．如图8-29所示，平面α平面β，点A C α∈、，点B D β∈、，AB a =是α、β的公垂线，CD 是斜线．若AC BD b ==，CD c =，M 、N 分别是AB 和CD 的中点．图829（1）求证：MN β∥；（2）求MN 的长． 证明：（1）联结AD ，设P 是AD的中点，分别联结PM 、PN ． M 是AB 的中点，PM BD ∴∥．又,PM ββ⊂∴∥． 同理N 是CD 的中点，PN AC ∴∥． AC α⊂，PN α∴∥．,,PN PM P αβ=∥PMN β∴∥． MN ⊂平面PMN ，MN β∴∥． （2）分别联结MC MD 、．1,,2AC BD b AM BM a ====又AB 是αβ、的公垂线，90CAM DBM ∴∠=∠=︒，Rt Rt ACM BDM ∴≌△△，CM DM ∴=，DMC ∴△是等腰三角形． 又N 是CD 的中点，MN CD ∴⊥．在Rt CMN △中，MN =一般地，当两个平面相交时，它们的交线l 将各平面分割为两个半平面，由两个半平面αβ、及其交线l 组成的空间图形叫做二面角（dihedral angle ），记作l αβ--．交线l 称之为二面角的棱，两个半平面αβ、叫做二面角的面．如果αβ、上分别有点P Q 、，那么二面角l αβ--也可以记作P l Q --．为了刻画二面角的大小，我们在棱l 上任取一点O ，在面αβ、上分别作棱l 的垂线OM 、ON ，则[](0,π)MON θ∠=∈称为二面角l αβ--的平面角．若π2α=，则称平面αβ⊥． 两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 两个平面垂直的性质定理 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．例3．如图8-30，在空间四边形SABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，DE 在平面SAC 内，DE 垂直平分SC ，且分别交AC ，SC 于D ，E ，又SA AB =，SB BC =，求以BD 为棱，以BDE 和BDC 为面的二面角的大小．E DCBAS图830解：SB SC =，且E 为SC 的中点，BE SC ∴⊥． 又DE 垂直平分SC ，SC ∴⊥面,BDE SC BD ∴⊥． 又BD ⊥平面SAC ，,,BD DE BD DC ∴⊥⊥EDC ∴∠即为E BD C --的平面角．设SA a =，则,,AB a SB ==SA ⊥面ABC ，BC AB ⊥．,SB BC SC ∴⊥∴为等腰直角三角形SBC的斜边，又BC =，2,,cos ,30SC a AC SCA SCA ∴==∠=∴∠=︒． DE SC ⊥，∴在直角三角形EDC 中，60EDC ∠=︒，即为所求．例4．已知：如图8-31所示，平行四边形ABCD中，AB =AD BD ==，沿BD 将其折成一个二面角A BD C --，若折后AB CD ⊥．63223DCBA图831（1）求二面角A BD C --的大小；（2）求折后点C C 到平面ABD 的距离．解：（1）在平行四边形ABCD中AB =AD BD ==．222AB AD BD ∴=+ ,AD BD BC BD ∴⊥⊥． 作AH ⊥平面BDC ，联结DH （见图8-32）．HEDCB A图832AD BD ⊥，由三垂线定理逆定理得DH BD ⊥， ∴ADH ∠是二面角A BD C --的平面角．联结BH，AB DC ⊥，由三垂线定理逆定理， 得BH DC ⊥，设垂足为E ，在直角三角形ABC中，2BD BC BE DC ⋅===，DE ∴ 三角形DHB 与三角形DBE 相似，DH DEDB BE∴=，即DE BD DH BE ⋅=在直角三角形ADH中，1cos 2DH ADH AD ∠===，π3ADH ∴∠=． 即二面角--A BD C 的大小为π3． （2）由对称性，C 到平面ABD 的距离等于A 到平面ABD 的距离． AH ⊥平面BCD ，∴点A 到平面BCD 的距离即是线段AH 的长， 直角三角形ADH中，sin 3AH AD ADH =⋅∠==， ∴点C 到平面ABD 的距离为3． 例5．如图8-33，已知A B 、在平面α上，点C 是平面外一点，且在平面α上的射影为D ，且A B D、、三点不共线，二面角C AB D --的大小为θ，求证：cos DABCABS S θ=．αM DCBA图833证明：过点D 作DM 垂直AB ，垂足为M ，联结CM ． 因为,CD AB αα⊥⊆，所以CD AB ⊥，又AB DM ⊥，因此AB ⊥平面CDM ，即AB CM ⊥． 所以CMD ∠为二面角--C AB D 的平面角． 在直角三角形CDM △中有cos cos ABDCBDS DM CMD CM S θ=∠==． 例6．如图8-34，已知两异面直线,a b 所成的角为θ，它们的公垂线段AA ′的长度为d ．在直线,a b 上分别取点,E F ，设,A E m AF n ==′，求EF ．A'βnb a m F G A图834解：设经过b 且与AA ′垂直的平面为α，经过a 和AA ′的平面为β，c αβ=；则c a ∥，因而b ，c 所成角为θ，且AA c ⊥′；又,AA b AA a ⊥∴⊥′′， 根据两个平面垂直的判定定理，βα⊥． 在平面β内作EG c ⊥，则EG AA =′． 并且根据两个平面垂直的性质定理，EG α⊥ 联结FG ，则EG FG ⊥．在直角三角形EFG 中，222EF EG FG =+AG m =，三角形AFG 中，2222cos FG m n mn θ=+-；又22ED d =，22222cos EF d m n mn θ∴=++-，因此EF =1．已知平面αβ∥，AB ，CD 为夹在,αβ间的异面线段，E 、F 分别为AB CD 、的中点． 求证：,EF EF αβ∥∥．2．如果αβ∥，AB 和AC 是夹在平面α与β之间的两条线段，AB AC ⊥，且2AB =，直线AB 与平面α所成的角为30︒，求线段AC 长的取值范围．3．如图8-35，已知正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别为1AB AA 、的中点．求平面1CEB 与平面11D FB 所成二面角的平面角的正弦值．CB E AF D 1C 1B 1A 1图8354．如图8-36，点A 在锐二面角MN αβ--的棱MN 上，在面α内引射线AP ，使AP 与MN 所成的角PAM ∠为45︒，与面β所成的角大小为30︒，求二面角MN αβ--的大小．NM APβα图8365．正方形ABCD 边长为4，点E 是边CD 上的一点，将AED △沿AE 折起到1AED 的位置时，有平面1ACD ⊥平面ABCE ，并且11BD CD ⊥．（1）判断并证明E 点的具体位置； （2）求点D ′到平面ABCE 的距离．6．在正三角形ABC 中，E F P 、、分别是AB AC BC 、、边上的点，满足12AE EB CF FA CP PB ===∶∶∶∶，如图8-37．将AEF △沿EF 折起到1A EF △的位置，使二面角1A EF B --成直二面角，联结1A B 、1A P ，如图8-38．A BP FEC图837CEF P BA 图838（1）求证：1A E ⊥平面BEP ；（2）求直线1A E 与平面1A BP 所成角的大小；（3）求二面角1B A P F --的大小（用反三角函数表示）．7．如图8-39，将边长为a 的正三角形ABC 以它的高AD 为折痕折成一个二面角C AD C --′．C'DCB A图839（1）指出这个二面角的面、棱、平面角； （2）若二面角C AD C --′是直二面角，求C C ′的长； （3）求AC ′与平面C CD ′所成的角； （4）若二面角C AD C --′的平面角为120︒，求二面角A C C D --′的平面角的正切值． 8．在棱长为a 的正方体中．求异面直线BD 和1B C 之间的距离．9．设由一点S 发出三条射线,,,,SA SB SC ASB BSC ASC αβθαβθ∠=∠=∠=、、、、均为锐角，且cos cos cos θβθ⋅=．求证：平面ASB ⊥平面BSC ．10．如图8-40，矩形ABCD ，PD ⊥平面ABCD ，若2PB =，PB 与平面PCD 所成的角为45︒，PB 与平面ABD 成30︒角，求：PF EDCBA图840（1）CD 的长；（2）求PB 与CD 所在的角；（3）求二面角C PB D --的余弦值． 11．如图8-41，线段PQ 分别交两个平行平面αβ、于A B 、两点，线段PD 分别交αβ、于C D 、两点，线段QF 分别交αβ、于F E 、两点，若9PA =，12AB =，12BQ =，ACF △的面积为72．求BDE △的面积．βαAB Q ED CPF图84112．如图8-42，已知正方形ABCD ．E F 、分别是AB CD 、的中点．将ADE △沿DE 折起，如图8-43所示，记二面角A DE C --的大小为θ（0πθ<<）．FEDCBA图842F EDCBA 图843（1）证明BF ∥平面ADE ；（2）若ACD △为正三角形，试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上，证明你的结论，并求角θ的余弦值．13．在矩形ABCD 中，已知1,AB BC a ==，PA ⊥平面ABCD ，且1PA =． （1）在BC 边上是否存在点Q ，使得PQ QD ⊥，说明理由；（2）若BC 边上有且仅有一个点Q ，使PQ QD ⊥，求AD 与平面PDQ 所成角的弦值； （3）在（2）的条件下，求出平面PQD 与平面PAB 所成角的大小．14．两个平行平面α和β将四面体ABCD 截成三部分．已知中间一部分的体积小于两端中任一部分的体积，点A 和B 到平面α的距离分别为30和20．而点A 和C 到平面β的距离分别为20和16，两个截面中有一个是梯形，点D 到平面α的距离小于24．求平面α和β截四面体所得的截面面积之比． 8．5空间向量及其坐标表示我们把具有大小和方向的量叫做向量．同向且大小相等的两个向量是同一个向量或相等的向量，大小相等方向相反的两个向量是互为负向量，大小为0的向量称为零向量．对空间任意两个向量a b 、．作OA a OC AB b ===，，则O A B 、、三点共面，见图8-44．因此，空间任意两个向量都可以用在同一平面内的两条有向线段表示．与平面向量运算一样，我们可以定义空间向量的加法、减法与数乘运算如下：a图844OB OA AB a b =+=+； CA OA OC a b =-=-；0000a a a λλλλλλ⎧>⎪⎪>⎨⎪<⎪⎩方向相同，大小，，方向相同，大小，为为- 与平面向量类似，在空间两个向量的方向相同或相反，则称他们为共线向量或平行向量，共线向量所在直线平行或重合．类似我们可以验证空间向量的加法与数乘运算满足如下规律： （1）加法交换律：a b b a +=+（2）加法结合律：()()a b c a b c ++=++ （3）数乘分配律：()a b a b λλλ+=+类似地，可以定义两个向量的夹角和向量的数量积：cos a b a b θ⋅=，其中θ为两个向量的夹角，[]0πa b θ∈，，、表示向量a b 、的大小 当π2θ=时称两个向量垂直记作a b ⊥． 与平向向量类似有下列性质成立： （1）0a b a b ⊥⇔⋅=． （2）2a a a =⋅． （3）()()ab a b λλ⋅=⋅．（4）a b b a ⋅=⋅． （5）()()()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅．例1．A B C D 、、、为空间不共面的四点，以A B C D 、、、四点为顶点的线段围成一个空间四面体，若AC BD BC BD ==，，求证AB CD ⊥．图845DBA解：BC AC AB BD AD AB =-=-，， BC BD =， 22BC BD ∴=．2()()BC BC BC AC AB AC AB =⋅=-⋅- 222AC AC AB AB =-⋅+．同理2222BD AD AD AB AB AD AC =-⋅+=，， AD AB AC AB ∴⋅=⋅即()AD AC AB -⋅=0．即CD AB ⋅=0，AB CD ∴⊥．通常我们将可以平移到同一个平面的向量，叫做共面向量．对空间任意两个向量，它们总是共面的，但空间任意三个向量就不一定是共面向量．如上例中a b c 、、中任意两个共面，但a b c 、、却不共面．下面讨论三个向量共面的条件．已知a b 、为不共线的向量，而a b c 、、三个向量共面，则表示可以将它们平移到同一个平面上．由平面向量唯一分解定理．存在实数()λμ，满足c a b λμ=+．反之，若存在实数对()λμ，满足c a b λμ=+，对空间任意一点O 作111OA a OB b OA a A B b λμ====，，，，则1111OB OA A B a b c λμ=+=+=即c 可以平移到O A B 、、三点所在平面上，因此a b c 、、共面．由此可得a b c 、、共面的充要条件是：存在实数对()λμ，满足c a b λμ=+．例2．求证：任意三点不共线的四点A B C D 、、、共面的充要条件是：对空间任意点O 有：OD xOA yOB zOC =++（其中1x y z ++=）．证明：A B C D 、、、共面的充要条件是存在实数对()λμ，满足AD AB AC λμ=+（见图8-46）．图846()()OD OA AD OB OA OC OA μμ∴-==-+-， (1)OD OA OB OC λμλμ∴=--++．令1x λμ=--，y z λμ==，，则OD xOA yOB zOC =++（其中1x y z ++=）．定理 如果三个向量a b c 、、不共面，那么对于空间任意向量P ，存在唯一的实数对()x y z ，，满足：P xa yb zc =++证明：如图8-47，过空间任意点O 作OA a OB b OC c OP P ====，，，， 图847P过点P 作1PP OC ，∥交平面OAB 于点1P ；则11P OP OP PP ==+． 11PP OC PP zc z ∴=∈R ，，∥． 在平面AOB 中存在z ，y ∈R ，满足1OP xOA yOB =+， 因此有11P OP OP PP xOA yOB zOC ==+=++． 若存在111()()x y z x y z ≠，，，，也满足：111P x a y b z c =++， 则有111P xa yb zc x a y b z c =++=++． 111()()x y z x y z ≠，，，，，不妨设1x x ≠，1111y y z za b c x x x x --∴=+--．a b c ∴、、共面，矛盾．由此定理可知，如果三个向量a b c 、、，那么所有空间向量均可以由a b c 、、唯一表示，此时我们称（a b c 、、）为空间向量的一个基底，a b c 、、都叫做基本向量．如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且大小为1，则称这个基底为单位正交基底，常用（i j k 、、）表示．在空间选定一点O 和一个单位正交基底（i j k 、、），以O 点为坐标原点，分别以i j k 、、的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系O xyz -，那么对于任意向量P ，存在唯一的实数对（x y z ，，）满足：P OP xi y j zk ==++，简记为()P x y z =，，，此时称点P 的坐标为()x y z ，，，见图8-48．图848若111()OA a x y z ==，，，222()OB b x y z ==，，，则 121212()a b x x y y z z +=+++，，，121212()BA OA OB a b x x y y z z =-=-=---，，，111()a x y z λλλλ=，，．例3．在直三棱柱111A B C ABC -中，π2BAC ∠=，11AB AC AA ===．已知G 与E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）．若GD EF ⊥，求线段DF 的长度的取值范围解：建立直角坐标系，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，则112211(00)(01)0101(00)(01)22F t t E G D t t ⎛⎫⎛⎫<<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，．所以12111122EF t GD t ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，．因为GD EF ⊥，所以1221t t +=，由此推出2102t <<．又12(0)DF t t =-，，，21DF t =1DF <．例4．已知四边形ABCD 和ABEF 是两个正方形，它们所在的平面互相垂直，M AC ∈，N BF ∈，且AM FN =，见图8-49．求证：不论M 在AC 上何处，直线MN 不可能同时垂直AC 和BF ．MNFEDCBA图849证明：设BA a BE b BC c BN t BF ====⋅，，，， 则()(1)()BN t a b AM t c a =⋅+=--， 于是()(1)()(1)MN BN BM t a b t c a a tb t c ⎡⎤⎡⎤=-=+---+=--⎣⎦⎣⎦， 假设MN 同时垂直AC 和BF ，则00.MN AC MN BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，由题设，知00a b b c ⋅=⋅=，， 由2(1)()(1)MN AC tb t c c a t c ⎡⎤⋅=--⋅-=-⋅⎣⎦，得10t -=即1t =．由2(1)()0MN BF tb t c a b t b ⎡⎤⋅=--⋅+=⋅=⎣⎦得0t =，矛盾！所以，MN 不可能同时垂直AC 和BF ．基础练习1．如图8-50，OA a OB b OC c ===，，，M N P 、、分别为AB 、BC 、CA 的中点，试用a b c 、、表示下列向量：OM MN AN ，，．图8502．已知空间三点(202)A -，，，(212)B -，，，(303)C -，，．设a AB b AC ==，，是否存在实数k ，使向量ka b +与2ka b -互相垂直，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．。
高一数学必修二复习知识点归纳
高一数学必修二复习知识点归纳(实用版)编制人：__审核人：__审批人：__编制单位：__编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高一数学复习考点知识专题讲解4--- 直线的两点式方程
高一数学复习考点知识专题讲解直线的两点式方程学习目标 1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求线段的中点坐标．知识点直线的两点式方程和截距式方程名称两点式截距式条件两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2) 在x，y轴上的截距分别为a，b ( a≠0，b≠0)示意图方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1xa＋yb＝1适用范围斜率存在且不为0斜率存在且不为0，不过原点思考1过点(x0，y0)且斜率为0的直线有两点式方程吗？答案没有．其方程为y＝y0.思考2方程x2－y3＝1是直线的截距式方程吗？答案不是．截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“＋”号连接，二是等号右边为1.1．不经过原点的直线都可以用方程xa＋yb＝1表示．(×)2．能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．( √ ) 3．直线y ＝x 在x 轴和y 轴上的截距均为0.( √ )4．经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( √ )一、直线的两点式方程例1 已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中， (1)求BC 边所在的直线方程； (2)求BC 边上的中线所在直线的方程． 解 (1)BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)， 由两点式，得y －(－4)－2－(－4)＝x －50－5，即2x ＋5y ＋10＝0，故BC 边所在的直线方程为2x ＋5y ＋10＝0. (2)设BC 的中点为M (a ，b )，则a ＝5＋02＝52，b ＝－4＋(－2)2＝－3，所以M ⎝⎛⎭⎫52，－3，又BC 边的中线过点A (－3,2)，所以y －2－3－2＝x －(－3)52－(－3)，即10x ＋11y ＋8＝0，所以BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0. 延伸探究若本例条件不变，试求BC 边的垂直平分线所在的直线方程． 解k BC ＝－4－(－2)5－0＝－25，则BC 边的垂直平分线的斜率为52，又BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫52，－3， 由点斜式方程可得y ＋3＝52⎝⎛⎭⎫x －52， 即10x －4y －37＝0.反思感悟 利用两点式求直线的方程(1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，然后代入两点式．(2) 若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．跟踪训练1 (1)过点A (－2,1)，B (3，－3)的直线方程为________． 答案 4x ＋5y ＋3＝0解析 因为直线过点(－2,1)和(3，－3)， 所以y －1－3－1＝x －(－2)3－(－2)，所以y －1－4＝x ＋25，化简得4x ＋5y ＋3＝0.(2)已知直线经过点A (1,0)，B (m ，1)，求这条直线的方程．解 由直线经过点A (1,0)，B (m ，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在． (1)当直线斜率不存在，即m ＝1时，直线方程为x ＝1；(2)当直线斜率存在，即m ≠1时，利用两点式，可得直线方程为y －01－0＝x －1m －1，即x －(m －1)y －1＝0.综上可得，当m ＝1时，直线方程为x ＝1； 当m ≠1时，直线方程为x －(m －1)y －1＝0. 二、直线的截距式方程例2 求过点A (5,2)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程． 解 (1)当直线l 在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0.(2)当直线l 在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a ，又∵l 过点A (5,2)，∴5－2＝a ，解得a ＝3， ∴l 的方程为x －y －3＝0.综上所述，直线l 的方程是2x －5y ＝0或x －y －3＝0.延伸探究 (变条件)若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为：“在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍”，其它条件不变，如何求解？解 (1)当直线l 在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0，符合题意．(2)当直线l 在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为x 2a ＋ya ＝1，又l 过点(5,2)，∴52a ＋2a ＝1，解得a ＝92.∴l 的方程为x ＋2y －9＝0.综上所述，直线l 的方程是2x －5y ＝0或x ＋2y －9＝0. 反思感悟 截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式直线方程的逆向应用．跟踪训练2 (多选)过点(2,3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为( ) A ．y ＝32x B ．x ＋y ＝5C ．y ＝－32x D ．x ＋y ＋5＝0答案 AB解析 设直线在两坐标轴上的截距分别为a ，b . 当a ＝b ≠0时，直线方程为x a ＋ya ＝1，∴2a ＋3a＝1，∴a ＝5，∴x ＋y ＝5，当a ＝b ＝0时，k ＝32，∴y ＝32x ，综上所述，y ＝32x 和x ＋y ＝5.直线方程的灵活应用典例 已知△ABC 的一个顶点是A (3，－1)，∠ABC ，∠ACB 的平分线方程分别为x ＝0，y ＝x . (1)求直线BC 的方程； (2)求直线AB 的方程． 解 如图．(1)因为∠ABC ，∠ACB 的平分线方程分别是x ＝0，y ＝x ， 所以AB 与BC 关于x ＝0对称，AC 与BC 关于y ＝x 对称． A (3，－1)关于x ＝0的对称点A ′(－3，－1)在直线BC 上， A 关于y ＝x 的对称点A ″(－1,3)也在直线BC 上． 由两点式求得直线BC 的方程为y ＝2x ＋5. (2)因为直线AB 与直线BC 关于x ＝0对称， 所以直线AB 与BC 的斜率互为相反数， 由(1)知直线BC 的斜率为2， 所以直线AB 的斜率为－2， 又因为点A 的坐标为(3，－1)，所以直线AB 的方程为y －(－1)＝－2(x －3)， 即2x ＋y －5＝0.[素养提升](1)理解题目条件，角的两边关于角平分线对称．(2)画出图形，借助图形分析A 关于直线x ＝0的对称点A ′在BC 上，A 关于y ＝x 的对称点A ″也在BC 上，体现了直观想象的数学核心素养．(3)分别求出A ′，A ″两点的坐标，再根据两点式求出BC 边所在直线方程，突出体现了数学运算的数学核心素养．1．在x 轴，y 轴上的截距分别是－3,4的直线方程是( ) A.x －3＋y 4＝1 B.x 3＋y－4＝1C.x －3－y 4＝1D.x 4＋y－3＝1答案 A2．经过M (3,2)与N (6,2)两点的直线方程为( ) A ．x ＝2 B ．y ＝2 C ．x ＝3 D ．x ＝6 答案 B解析 由M ，N 两点的坐标可知，直线MN 与x 轴平行，所以直线方程为y ＝2，故选B. 3．过坐标平面内两点P 1(2,0)，P 2(0,3)的直线方程是( ) A.x 3＋y 2＝1 B.x 2＋y3＝0 C.x 2＋y 3＝1 D.x 2－y 3＝1 答案 C4．过点P (1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为________________________． 答案 2x －y ＝0或x －y ＋1＝0解析 当直线过原点时，得直线方程为2x －y ＝0； 当在坐标轴上的截距不为零时， 可设直线方程为x a －ya＝1，将x ＝1，y ＝2代入方程可得a ＝－1，得直线方程为x －y ＋1＝0.∴直线方程为2x －y ＝0或x －y ＋1＝0.5．已知点A (3,2)，B (－1,4)，则经过点C (2,5)且经过线段AB 的中点的直线方程为________． 答案 2x －y ＋1＝0解析 AB 的中点坐标为(1,3)， 由直线的两点式方程可得y －35－3＝x －12－1，即2x －y ＋1＝0.1．知识清单： (1)直线的两点式方程． (2)直线的截距式方程．2．方法归纳：分类讨论法、数形结合法．3．常见误区：利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解．1．(多选)下列说法中不正确的是( )A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)来表示B ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 来表示C ．不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成截距式D ．不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成两点式 答案 ABC2．过点A (3,2)，B (4,3)的直线方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y －1＝0答案 D解析 由直线的两点式方程，得y －23－2＝x －34－3，化简得x －y －1＝0.3．直线x a 2－yb 2＝1在y 轴上的截距是( )A ．|b |B ．－b 2C ．b 2D ．±b 答案 B解析 令x ＝0，得y ＝－b 2.4．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．－32 B ．－23 C.25 D ．2答案 A解析 由两点式y －19－1＝x ＋13＋1，得y ＝2x ＋3，令y ＝0，得x ＝－32，即为在x 轴上的截距．5．若直线l 过点(－1，－1)和(2,5)，且点(1 010，b )在直线l 上，则b 的值为( ) A ．2 021 B ．2 020 C ．2 019 D ．2 018 答案 A解析 由直线的两点式方程得直线l 的方程为 y －(－1)5－(－1)＝x －(－1)2－(－1)，即y ＝2x ＋1，令x ＝1 010，则有b ＝2×1 010＋1，即b ＝2 021.6．过点(1,3)且在x 轴上的截距为2的直线方程是______________． 答案 3x ＋y －6＝0解析 由题意知直线过点(2,0)，又直线过点(1,3)，由两点式可得，y －03－0＝x －21－2，整理得3x ＋y －6＝0.7．过点P (1,3)的直线l 分别与两坐标轴交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的截距式方程是________________． 答案 x 2＋y6＝1解析 设A (m ，0)，B (0，n )，由P (1,3)是AB 的中点可得m ＝2，n ＝6， 即A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,6)， 则l 的截距式方程是x 2＋y6＝1.8．若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. 答案 －2解析 由直线方程的两点式，得y －(－1)4－(－1)＝x －2－3－2，即y ＋15＝x －2－5.∴直线AB 的方程为y ＋1＝－x ＋2， ∵点P (3，m )在直线AB 上， ∴m ＋1＝－3＋2，得m ＝－2.9．求过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程． 解 设直线方程的截距式为x a ＋1＋ya＝1. 则6a ＋1＋－2a＝1， 解得a ＝2或a ＝1，则直线方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.10．在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标； (2)直线MN 的截距式方程． 解 (1)设C (x 0，y 0)， 则AC 边的中点为M ⎝⎛⎭⎫x 0＋52，y 0－22，BC 边的中点为N ⎝⎛⎭⎫x 0＋72，y 0＋32，因为M 在y 轴上，所以x 0＋52＝0，解得x 0＝－5.又因为N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，解得y 0＝－3.即C (－5，－3)．(2)由(1)可得M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1,0)， 所以直线MN 的截距式方程为x 1＋y－52＝1.11．直线x a ＋yb ＝1过第一、三、四象限，则( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0 答案 B12．若直线l 在x 轴上的截距与在y 轴上的截距都是负数，则( ) A ．l 的倾斜角为锐角且不过第二象限 B ．l 的倾斜角为钝角且不过第一象限 C ．l 的倾斜角为锐角且不过第四象限 D ．l 的倾斜角为钝角且不过第三象限答案 B解析依题意知，直线l的截距式方程为x－a＋y－b＝1(a>0，b>0)，显然直线l只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B.13．两条直线l1：xa－yb＝1和l2：xb－ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是()答案 A解析两条直线化为截距式分别为xa＋y－b＝1，xb＋y－a＝1.假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A符合．14．在y轴上的截距是－3，且经过A(2，－1)，B(6,1)中点的直线方程为()A.x4＋y3＝1 B.x4－y3＝1C.x3＋y4＝1 D.x3－y6＝1答案 B解析A(2，－1)，B(6,1)的中点坐标为(4,0)，即可设直线的截距式方程为xa＋y－3＝1，将点(4,0)代入方程得a＝4，则该直线的方程为x4－y3＝1.15．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．答案 3解析 直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1， 设P (x ，y )，则x ＝3－34y ， ∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y ) ＝34[－(y －2)2＋4]≤3. 即当P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，2时，xy 取得最大值3.16．若直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l 的方程． 解 ∵直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，∴直线l 在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0，若l 在两坐标轴上的截距相等，且设为a (a ≠0)，则直线方程为x a ＋y a＝1，即x ＋y －a ＝0. ∵12|a |·|a |＝18，即a 2＝36，∴a ＝±6， ∴直线方程为x ＋y ±6＝0.若l 在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在x 轴上的截距为a ，则在y 轴上的截距为－a (a ≠0)，故直线方程为x a ＋y －a＝1，即x －y －a ＝0. ∵12|－a |·|a |＝18，即a 2＝36， ∴a ＝±6，∴直线方程为x －y ±6＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋y ±6＝0或x －y ±6＝0.。
高一数学必修二平面知识点详解
高一数学必修二平面知识点详解高一的时候，正是学好基础知识点的时候，下面是店铺给大家带来的有关于高一的数学关于平面的知识点的介绍，希望能够帮助到大家。
高一数学必修二平面知识点一、高一数学平面概念通常用一个平行四边形来表示。
平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC.在立体几何中，大写字母A，B，C，…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：a) A∈l—点A在直线l上;Aα—点A不在平面α内;b) lα—直线l在平面α内;c) aα—直线a不在平面α内;d) l∩m=A—直线l与直线m相交于A点;e) α∩l=A—平面α与直线l交于A点;f) α∩β=l—平面α与平面β相交于直线l.二、高一数学平面的基本性质公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.根据上面的公理，可得以下推论.推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行高一数学必修二集合公式特殊几何体表面积公式(c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线) 柱体、锥体、台体的体积公式球体的表面积和体积公式：V= ; S=1空间点、直线、平面之间的位置关系1 平面含义：平面是无限延展的2 三个公理：(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.符号表示为A∈LB∈L => L αA∈αB∈α公理1作用：判断直线是否在平面内.(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
直线、平面垂直的判定与性质6题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测原卷版
专题34直线、平面垂直的判定与性质6题型分类1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义一般地，如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直．(2)判定定理与性质定理2.直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°.(2)范围：0，π2.3．二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．(3)二面角的范围：[0，π]．4．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理常用结论1．三垂线定理平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．2．三垂线定理的逆定理平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．（一）证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．2-2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱2-3．（2024高三·全国·专题练习）已知三棱柱111ABC A B C -中，1112,2,90,AB AC A A A B A C BAC E=====∠=︒是BC 的中点，F 是线段11AC 上一点.求证：AB EF ⊥；2-4．（2024高三·全国·专题练习）在梯形ABCD 中，//AB DC ，90DAB ∠=︒，2CD =，4AC AB ==，如图1.沿对角线AC 将DAC △折起，使点D 到达点P 的位置，E 为BC 的中点，如图2.证明：PE AC ⊥.题型3：证线面垂直3-1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱ABC -是1AA 的中点，且90,60ACB DAC ∠∠== .证明：AA3-2．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC ．证明：BC ⊥平面PAB ；3-3．（2024高三·全国·专题练习）如图1，在五边形ABCDE 中，四边形ABCE 为正方形，CD DE ⊥，CD DE =，如图2，将ABE 沿BE 折起，使得A 至1A 处，且11A B A D ⊥．证明：DE ⊥平面1A BE ；3-4．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥C ABD -中，CD ⊥平面ABD ，E 为AB 的中点，2AB BC AC ===，2CG EG =.证明：AB ⊥平面CED ；（二）(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义．②面面垂直的判定定理．(2)面面垂直性质的应用①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．①BD A C '⊥；②平面A OC '⊥平面BCD ；③平面A BC '⊥平面A CD '；④三棱锥A BCD -'体积为1.其中正确命题序号为（）A ．①②③B ．②③C ．③④4-3．（2024·河南·模拟预测）已知,αβ是两个不同的平面，（）A ．若,,m m n αβα⊥⊥⊥，则n β⊥B ．若αβ∥C ．若,,m n m n αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥D ．若⊥m α5-2．（2024高三·全国·专题练习）如图，中点，点F 在线段AB 上，且5-3．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱2AB BC ==，1AC AB ==5-4．（2024高三·全国·专题练习）平面ACD ，直线EB ⊥平面ABC5-5．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在几何体PABCD 中，AD ⊥平面PAB ，点C 在平面PAB 的投影在线段PB 上()BC PC <，6BP =，23AB AP ==，2DC =，CD ∥平面PAB .证明：平面PCD ⊥平面PAD .（三）垂直关系的综合应用(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．(2)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证．题型6：垂直关系的综合应用6-1．（2024·安徽淮北·一模）如图，已知四棱锥2BC AB =，60ABC ∠=︒，PB (1)求证：面PAB ⊥面ABCD ；(2)设Q 为侧棱PD 上一点，四边形BEQF的位置；若不存在，说明理由．C (1)证明：//AF 平面1A DE ；(2)在棱1BB 上是否存在一点G ，使平面若不存在，请说明理由.6-3．（2024·天津·二模）如图，在三棱锥＝2，BC ＝BD ＝2，∠CBD ＝90°（1）求证：AD ⊥平面ABC ；（2）求二面角B ﹣AE ﹣C 的余弦值；（3）已知P 是平面ABD 内一点，点6-4．（2024·全国·模拟预测）如图，在正三棱柱三角形）中，1BC CC =，M 、N(1)求证：平面//NPC 平面1AB M ；(2)在线段1BB 上是否存在一点Q 使1AB ⊥平面1A MQ ？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，也请说明理由．一、单选题1．（2024高三上·湖北·开学考试）已知a ，b 是两条不重合的直线，α为一个平面，且a ⊥α，则“b ⊥α”是“a //b ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2024高三上·山东潍坊·阶段练习）在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为45，则直线1AD 与直线1B C 的距离为（）A ．2B ．1CD 3．（2024高一下·全国·课后作业）若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（）A ．αγPB ．αγ⊥C ．α与γ相交但不垂直D ．以上都有可能4．（2024高三·全国·专题练习）空间中直线l 和三角形的两边AC ，BC 同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB 的位置关系是（）A ．平行B ．垂直C ．相交D ．不确定5．（2024·全国）在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π66．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知两条不同的直线l ，m 及三个不同的平面α，β，γ，下列条件中能推出//αβ的是（）A ．l 与α，β所成角相等B ．αγ⊥，βγ⊥C ．l α⊥，m β⊥，//l mD ．l ⊂α，m β⊂，//l m7．（2024·北京海淀·模拟预测）设,,αβγ是三个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，给出下列三个结论：①若,m n αα⊥⊥，则//m n ；②若,m m αβ⊥⊥，则//αβ；③若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ．其中，正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．38．（2024高三·全国·专题练习）平行四边形ABCD 中，AB AD >，将三角形ABD 沿着BD 翻折至三角形A BD '，则下列直线中有可能与直线A B '垂直的是（）①直线BC ；②直线CD ；③直线BD ；④直线A C '.A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④9．（2024高一·江苏·课后作业）对于直线m ，n 和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（）A ．m ⊥n ，m ∥α，n ∥βB ．m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂αC ．m ∥n ，n ⊥β，m ⊂αD ．m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β10．（2024高一下·吉林·期末）设a ，b ，c 表示空间中三条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A ．若b αP ，c α⊂，则b cP B ．若b α⊂，c α⊂，a b ⊥r r，a c ⊥，则a α⊥C ．若a α⊥，b α⊥，则a b D ．若a αP ，a β⊂，则αβ∥11．（2024高一·全国·课后作业）已知直线l ⊥平面α，则经过l 且和α垂直的平面（）A ．有一个B ．有两个C ．有无数个D ．不存在12．（2024高一下·浙江宁波·期末）给出下列4个命题，其中正确的命题是（）．①垂直于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一平面的两条直线平行；③垂直于同一直线的两个平面平行；④垂直于同一平面的两个平面平行．A ．①②B ．③④C ．②③D ．①④13．（2024高二上·北京·期中）在三棱锥A BCD -中，若AD BC ⊥，AD BD ⊥，那么必有（）A ．平面ADC ⊥平面BCDB ．平面ABC ⊥平面BCD C ．平面ABD ⊥平面ADCD ．平面ABD ⊥平面ABC14．（2024高一下·河南·期末）如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，3PA AB ==，4BC =，90ABC ∠=︒，则点A 到平面PBC 的距离为（）．A ．2B ．32C ．3D ．215．（2024高二上·北京·期中）如图，四边形ABCD 中，AB =AD =CD =1，BA ⊥AD ，BD ⊥CD ，将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD -'，使平面A BD '⊥平面BCD ，则四面体A BCD -'的体积为（）A ．16B ．14C ．13D ．1216．（2024高一下·福建厦门·期末）如图（1）平行六面体容器1111ABCD A B C D -盛有高度为h 的水，12AB AD AA ===，1A AB ∠=160A AD BAD ∠=∠=︒.固定容器底而一边BC 于地面上，将容器倾斜到图（2）时，水面恰好过A ，1B ，1C ，D 四点，则h 的值为（）A 33B 63C 233D 26317．（2024高一下·山西太原·期末）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =.1BC =.则直线1AA 与平面11BDD B 的距离为（）A 5B 55C 255D ．2518．（2024高二上·北京丰台·期中）棱长为1正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A B 的中点，则E 到面11ABC D的距离（）A ．2B C ．13D 19．（2024高二下·江苏泰州·期末）已知球O 的半径为2，A ，B ，C 为球面上的三个点，2AB =，点P 在AB 上运动，若OP 与平面ABC 所成角的最大值为3π，则O 到平面ABC 的距离为（）A ．32B C ．7D 20．（2024·浙江）如图已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（）A ．直线1A D 与直线1DB 垂直，直线//MN 平面ABCD B ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC ．直线1AD 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCD D ．直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B 21．（2024·全国）在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为,AB BC 的中点，则（）A ．平面1B EF ⊥平面1BDD B ．平面1B EF ⊥平面1A BDC ．平面1//B EF 平面1A ACD ．平面1//B EF 平面11AC D22．（2024高三·云南昆明·阶段练习）过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 的平面α与直线1AC 垂直，且平面α与平面11ABB A 的交线为直线l ，平面α与平面11ADD A 的交线为直线m ，则直线l 与直线m 所成角的大小为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π223．（2024·河南·模拟预测）在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为AB ，CD 的中点，则（）A ．1AB 平面1BC QB ．平面11AB D ∥平面1BC QC ．1A Q ⊥平面1B DPD ．平面1B CD ⊥平面1B DP24．（2024·全国·一模）设m ，n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①//////αββγαγ⎫⇒⎬⎭；②//a m m ββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭；③//m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭；④////m n m n αα⎫⇒⎬⊂⎭.其中正确的命题是（）A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④25．（2024高三·全国·专题练习）下列结论正确的是（）A ．已知直线,,a b c ，若,a b b c ⊥⊥，则//a c .B ．设,m n 是两条不同的直线，α是一个平面，若//m n ，m α⊥，则n α⊥.C ．若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．D ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则αβ⊥.二、多选题26．（2024·全国）如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足MN OP ⊥的是（）A ．B ．C ．D ．27．（2024高三上·广东潮州·期末）如图，四棱锥S ABCD -的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中正确的是（）A ．AC SB ⊥B ．AD SC⊥C ．平面SAC ⊥平面SBD D ．BD SA⊥28．（2024高二下·云南普洱·期末）如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列结论正确的是（）A ．三棱锥1A D PC -的体积不变B ．1AP ⊥平面1ACD C ．1DP BC ^D ．平面1PDB ^平面1ACD 三、填空题29．（2024高一下·全国·专题练习）已知如图边长为a 的正方形ABCD 外有一点P 且PA ⊥平面ABCD ，PA a =，二面角P BD A --的大小的正切值．30．（2024高二上·上海徐汇·期末）已知正方体1111ABCD A B C D -中，6AB =，点P 在平面11AB D 内，132A P =求点P 到1BC 距离的最小值为.31．（2024高三·全国·专题练习）已知直线a ，b 和平面α，且a b ⊥，a α⊥，则b 与α的位置关系是．32．（2024高三·全国·专题练习）正方体1111ABCD A B C D -中与1AD 垂直的平面有（填序号）．①平面11DD C C ；②平面1A DB ；③平面1111D C B A ；④平面11A DB ．33．（2024高三下·河北衡水·阶段练习）如图，在棱长均为ABCD 中，M 为AC 中点，E 为AB 中点，P 是DM 上的动点，Q 是平面ECD 上的动点，则AP +PQ 的最小值是．34．（2024高二上·山东枣庄·期中）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60DAB ∠=︒，E 是AB 的中点，将ADE V 沿直线DE 翻折至1A DE △的位置，使得面1A ED ⊥面BCDE ，则点1A 到直线DB 的距离为.35．（2024高三·全国·专题练习）在三棱锥-P ABC 中，点P 在平面ABC 中的射影为点O .（1）若PA ＝PB ＝PC ，则点O 是△ABC 的心．（2）若PA ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥PA ，则点O 是△ABC 的心．四、解答题36．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知,a a αβ⊂⊥，证明：αβ⊥.37．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知,,,,l a l b a b a b P αα⊥⊥⊂⊂⋂=.证明：l α⊥.38．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PD ⊥面ABCD ．求证：面PAB ⊥面PAD ；39．（2024高三·全国·专题练习）正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 的中点，求平面1EB C 和平面1111D C B A 夹角的余弦值.40．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知αβ⊥，=l αβ ，,a a l α⊂⊥.证明：a β⊥.41．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥-P ABC 中，M 为AC 的中点，PA PC ⊥，AB BC ⊥，AB BC =，2PB =2AC =，30PAC ∠=︒.证明：BM ⊥平面PAC .42．（2024高三·全国·专题练习）已知正方体1111ABCD A B C D -.求证：1AD ⊥平面A 1D C .43．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知,a b αα⊥⊥.证明：a ∥b .44．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，12AB CD =，CD CE ⊥，45ADC EDC ∠=∠= ，2AD =3BE =求证：平面ABE ⊥平面ABCD ；45．（2024高三·全国·专题练习）如图，在几何体ABCDEF 中，矩形BDEF 所在平面与平面ABCD 互相垂直，且1AB BC BF ===，3AD CD ==2EF =．求证：BC ⊥平面CDE ；46．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥P OABC -中，已知π1,2,,3OP CP CPO ∠===，π2AOC ∠=.证明：CO ⊥平面AOP ；47．（2024高三上·陕西汉中·阶段练习）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，底面ABCD满足//AD BC ，且12AB AD AA ===，BD DC ==(1)求证：AB ⊥平面11ADD A ；(2)求四棱锥11C BDD B -的体积.48．（2024·江苏南京·二模）如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥平面PAB ，AP ⊥AB ．（1）求证：CD ⊥AP ；（2）若CD ⊥PD ，求证：CD ∥平面PAB ；49．（2024高三·全国·专题练习）如图，三棱锥-P ABC 中，,,PA PB PC 两两垂直，PA PB =，且,M N 分别为线段,AB PC 的中点.求证：平面PCM ⊥平面ABC .50．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，1AA AB =，点D ，E 分别为棱BC ，11B C 上的点，且111(01)C E BD t t BC C B ==<<，二面角1C AD C --的大小为π3，求实数t 的值．51．（2024高二上·上海静安·期中）如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°(1)证明：C 1C ⊥BD ；(2)当1CD CC 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ?请给出证明．52．（2024·河北邯郸·二模）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别是棱BC ，AB 的中点，点F 在棱CC 1上，已知AB ＝AC ，AA 1＝3，BC ＝CF ＝2．（1）求证：C 1E //平面ADF ；（2）设点M 在棱BB 1上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF ．53．（2024·全国·模拟预测）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，11AD A D E = ，11CD C D F = .（1）求证：EF BD ⊥；（2）在线段1BC 上，是否存在点H ，使得1BC ⊥平面DEH ？并说明理由.54．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1AB AC ==．试在平面1A BC 内确定一点H ，使得AH ⊥平面1A BC ，并写出证明过程；55．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，122,4,AB BC AA P ===为棱AB 的中点．(1)证明：平面1PCD ⊥平面1PDD ；(2)画出平面1D PC 与平面11A ADD 的交线，并说明理由；(3)求过1,,D P C 三点的平面α将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比．56．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四面体ABCD 中，平面BAD ⊥平面CAD ，∠BAD ＝90°.M ，N ，Q 分别为棱AD ，BD ，AC 的中点．（1）求证：CD ∥平面MNQ ；（2）求证：平面MNQ ⊥平面CAD .57．（2024·河南·模拟预测）如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC ==，11122A A B A A C ===，90BAC ∠=︒，E 是BC 的中点，F 是线段11AC 上一点.(1)求证：AB EF ⊥；(2)设P 是棱1AA 上的动点（不包括边界），当PBC 的面积最小时，求棱锥-P ABC 的体积.58．（2024高三·全国·专题练习）图1是由直角梯形ABCD 和以CD 为直径的半圆组成的平面图形，AD BC ∥，AD AB ⊥，112AD AB BC ===．E 是半圆上的一个动点，当CDE 周长最大时，将半圆沿着CD 折起，使平面PCD ⊥平面ABCD ，此时的点E 到达点P 的位置，如图2．求证：BD PD ⊥；。
高一数学直线的方程知识点
高一数学直线的方程知识点数学是一门抽象而又实用的学科，而直线是数学中最基本的几何图形之一。
在高中数学中，我们学习直线的方程，掌握直线的性质和特点，对于理解和应用数学有着重要的意义。
本文将为大家介绍高一数学中直线的方程的知识点。
1. 一般式方程直线的一般式方程是Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数，且A和B不同时为零。
这种形式的方程可以通过化简和类推解出直线的斜率和截距。
2. 斜截式方程直线的斜截式方程是y = kx + b，其中k是斜率，b是截距。
斜截式方程可以直观地表示直线在坐标平面上的位置和特点。
斜截式方程和一般式方程之间可以相互转换，通过斜率和截距可以表示直线的特征。
3. 点斜式方程直线的点斜式方程是y - y₁ = k(x - x₁)，其中（x₁，y₁）是直线上一点的坐标，k是斜率。
点斜式方程可以通过给定直线上一点和斜率来确定直线的方程。
同样，点斜式方程和一般式方程之间可以相互转换，通过斜率和已知点可以表示直线的方程。
4. 两点式方程直线的两点式方程是(x - x₁)/(x₂ - x₁) = (y - y₁)/(y₂ - y₁)，其中（x₁，y₁）和（x₂，y₂）是直线上的两个不同点。
两点式方程通过两个已知点来确定直线的方程。
可以根据两点式方程将其转化为其他形式的方程。
除了上述常见的直线方程形式之外，我们还会遇到一些特殊的直线方程，如平行于坐标轴的直线方程和垂直于坐标轴的直线方程。
对于平行于x轴（y轴）的直线，其斜率为0，所以斜截式方程为y = b（x = a），其中b（a）为常数。
对于垂直于x轴（y轴）的直线，其斜率不存在，所以方程形式为x = a（y = b），其中a （b）为常数。
在应用直线方程解决问题时，我们需要根据具体情况选择最适合的方程形式。
例如，如果我们已知直线上两点，就可使用两点式方程；如果我们已知直线的斜率和截距，就可使用斜截式方程。
选择适当的方程形式能够简化计算，提高解题效率。
高一数学知识点总结_直线与方程知识点
高一数学知识点总结(一)直线的倾斜角与斜率定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。
范围：倾斜角的取值范围是0°≤α<180°。
理解：(1)注意“两个方向”：直线向上的方向、x轴的正方向;(2)规定当直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0度。
意义：①直线的倾斜角，体现了直线对x轴正向的倾斜程度;②在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角;③倾斜角相同，未必表示同一条直线。
公式：k=tanαk>0时α∈(0°，90°)k<0时α∈(90°，180°)k=0时α=0°当α=90°时k不存在ax+by+c=0(a≠0)倾斜角为A，则tanA=-a/b，A=arctan(-a/b)当a≠0时，倾斜角为90度，即与X轴垂直练习题：1.直线l经过原点和(-1，1)，则它的倾斜角为()A.45°B.135°C.45°或135°D.-45°【解析】选B.直线l的斜率为k==-1，所以直线的倾斜角为钝角135°.2.设直线l与x轴的交点是P，且倾斜角为α，若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为α+45°，则()A.0°≤α<180°B.0°≤α<135°C.0°<α≤135°D.0°<α<135°【解析】选D.直线l与x轴相交，可知α≠0°，又α与α+45°都是倾斜角，从而有得0°<α<135°.3.直线l的倾斜角是斜率为的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为()A.1B.1C.3D.4【解析】选B.因为tanα=，0°≤α<180°，所以α=30°，故2α=60°，所以k=tan60°=.故选B.高一数学知识点总结(二)直线的方程定义：从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。
高一数学空间中直线与平面之间的位置关系PPT学习教案
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（A）平行 （B）相交 （C）平行或相交 （D）AB
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巩固练习:
4.已知m，n为异面直线，m∥平面，n∥
平面b，∩b=l，则l
（C ）
（A）与m，n都相交
（B）与m，n中至少一条相交
（C）与m，n都不相交
（D）与m，n中一条相交
5.完成教材P49 练习
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反 思与延 伸
相交——有且只有一个公共点； 直线在平面外
平行——没有公共点；
2、用图形语言表示空间中直线与平面的三种位置关系：
a
a
a
α
α
α
①
②
③
3、用符号语言表示空间中直线与平面的三种关系：
① a α
② a∩α=A
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③ a∥α
五、小测： （一）填空。 1、如果一条直线和一个平面没有公，共那点么我们就说这条 直线和这个平面平行。
A´ B´
D A
C B
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探究结果
如图所示，在长方体ABCD-A´B´C´D´中，
无数
（1）A´B所在的直线与平面A´A B B´有 个公共点；
（2） A´B所在的直线与平面A´A D D´有 一 个公共点； A´B所A在´的B所直在线的与直平线面与B´平B面CACB´C有D有 个一公个共公点共；点；
2、如何用图形语言表示直线与平面的三种位置
关系?
a
a
a
α
α
α
①
②
③
错误画法：
a
人教版数学高一必修2学案 -4 平面与平面之间的位置关系
2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系目标定位 1.掌握直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.2.掌握平面与平面之间的两种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.自主预习1.直线与平面的位置关系位置关系定义图形语言符号语言直线在平面内有无数个公共点a⊂α直线与平面相交有且只有一个公共点a∩α＝A直线与平面平行没有公共点a∥α2.两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点平面α与平面β平行α∥β没有公共点平面α与平面β相交α∩β＝l 有一条公共直线1.判断题(1)若直线a在平面α外，则直线a∥α.(×)(2)若平面α内存在直线与平面β无交点，则α∥β.(×)(3)若平面α内的任意直线与平面β均无交点，则α∥β.(√)(4)与两相交平面的交线平行的直线必平行于这两个相交平面.(×) 提示(1)直线a在平面α外，则直线a∥α或a与α相交.(2)α与β可能平行，也可能相交.(4)若α∩β＝b，且a∥b，则有a∥α且a∥β，或a⊂α，或a⊂β.2.若直线l与平面α不平行，则()A.l与α相交B.l⊂αC.l与α相交或l⊂αD.以上结论都不对解析若l与α不平行，则l与α相交或l⊂α.答案 C3.若两个平面互相平行，则其中一个平面内的一条直线与另一个平面的位置关系是()A.线面平行B.线面相交C.线在面内D.无法确定解析两面平行时，两个平面没有公共点，在一个平面的直线与另一个平面也没有公共点，所以它们平行.答案 A4.两条直线不相交，则两条直线可能平行或者异面；如果两个平面不相交，则两个平面________.解析两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行或相交.答案平行类型一直线与平面的位置关系(互动探究)【例1】以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3[思路探究]探究点一空间中直线与平面的位置关系有哪几种？提示空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行.探究点二判断直线与平面的位置关系的策略是什么？提示判断直线与平面的位置关系时可借助几何模型判断，通过特例排除错误命题.对于正确命题，根据线、面位置关系的定义或反证法进行判断.要注意多种可能情形.解析如图所示在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误.答案 A规律方法 1.本题在求解时，常受思维定势影响，误以为直线在平面外就是直线与平面平行.2.判断直线与平面位置关系的问题，其解决方式除了定义法外，还可以借助模型(如长方体)和举反例两种行之有效的方法.【训练1】下列命题：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α②若直线a在平面α外，则a∥α③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α④若直线a∥b，直线b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线其中假命题的序号是________.解析对于①，∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α，∴①是假命题；对于②，∵直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行，∴②是假命题；对于③，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，∴③是假命题；对于④，∵a∥b，b⊂α，那么a⊂α或a∥α，所以a可以与平面α内的无数条直线平行，∴④是真命题.答案①②③类型二平面与平面的位置关系【例2】给出的下列四个命题中，其中正确命题的个数是()①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行；④若两个平面有无数个公共点，则这两个平面的位置关系是相交或重合.A.0B.1C.3D.4解析如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于①，在平面A1D1DA中，AD∥平面A1B1C1D1，分别取AA1、DD1的中点E，F，连接EF，则知EF∥平面A1B1C1D1.但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的，交线为A1D1，故命题①错；对于②，在正方体ABCD－A1B1C1D1的面AA1D1D中，与A1D1平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直线A1D1，故②是错误的；对于③，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，分别取AA1，DD1，BB1，CC1的中点E，F，G，H，A1，B，C到平面EFHG的距离相等，而△A1BC与平面EFHG相交，故③是错误的；对于④，两平面位置关系中不存在重合，若重合则为一个平面，故命题④错.规律方法(1)判断两平面的位置关系或两平面内的线线，线面关系，我们常根据定义，借助实物模型“百宝箱”长方体(或正方体)进行判断.(2)反证法也用于相关问题的证明.【训练2】如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是()A.平行B.相交C.平行或相交D.不能确定解析如图所示，由图可知C正确.答案 C[课堂小结]1.空间中直线与平面的位置关系有两种分类方式(1)按公共点的个数分类⎩⎪⎨⎪⎧直线与平面平行（直线与平面没有公共点）直线与平面不平行⎩⎨⎧直线与平面相交（直线与平面有唯一公共点）直线在平面内（直线与平面有无数公共点）(2)按是否在平面内分类⎩⎨⎧直线在平面内直线在平面外⎩⎨⎧直线与平面相交直线与平面平行2.判断直线与平面及平面与平面位置关系常用定义和反证法.1.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交解析直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点.2.若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不确定解析∵M∈平面α，M∈平面β，∴α与β相交于过点M的一条直线.答案 B3.下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________.解析对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误.答案①②4.如图所示，平面ABC与三棱柱ABC－A1B1C1的其他面之间有什么位置关系？解∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点，∴平面ABC与平面A1B1C1平行.∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，∴平面ABC与平面ABB1A1相交.同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交.基础过关1.若a，b是异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是()A.b∥αB.相交C.b⊂αD.b⊂α、相交或平行解析如图所示，选D.答案 D2.如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是()A.平行B.相交C.平行或相交D.AB⊂α解析结合图形可知选项C正确.答案 C3.α、β是两个不重合的平面，下面说法正确的是()A.平面α内有两条直线a、b都与平面β平行，那么α∥βB.平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥βC.若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥βD.平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β解析A、B都不能保证α、β无公共点，如图①；C中当a∥α，a∥β时，α与β可能相交，如图②；只有D说明α、β一定无公共点，故选D.答案 D4.若a与b异面，则过a与b平行的平面有________个.解析当a与b异面时，如图，过a上任意一点M作b′∥b，则a与b′确定了唯一的平面α，且b∥α，故过a与b平行的平面有1个.答案 15.空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线有________条.解析以打开的书页或长方体为模型，观察可得结论.答案1或36.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系；(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系.解(1)AM所在的直线与平面ABCD相交.(2)CN所在的直线与平面ABCD相交.(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行.(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交.7.已知一条直线与一个平面平行，求证：经过这个平面内的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内.解已知：a∥α，A∈α，A∈b，b∥a.求证：b⊂α.证明如图，∵a∥α，A∈α，∴A∉a，∴由A和a可确定一个平面β，则A∈β，∴α与β相交于过点A的直线，设α∩β＝c，由a∥α知，a与α无公共点，而c⊂α，∴a与c无公共点.∵a⊂β，c⊂β，∴a∥c.又已知a∥b，且A∈b，A∈c，∴b与c重合.∴b⊂α.能力提升8.以下四个命题：①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；③若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l；④若n条直线中任意两条共面，则它们共面.其中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.①③解析对于①，正确；对于②，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于③，正确；对于④，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故④错.所以正确的是①③.答案 D9.在长方体ABCD－A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有()A.2个B.3个C.4个D.5个解析如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D.答案 B10.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号).①不可能只有两条交线②必相交于一点③必相交于一条直线④必相交于三条平行线解析空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点.答案①11.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论.解平面ABC与β的交线与l相交.证明如下：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l一定相交.设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC，P∈β.∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C是不同的两点，∴直线PC就是平面ABC与β的交线，即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，∴平面ABC与β的交线与l相交.探究创新12.试画图说明三个平面可把空间分成几个部分？解三个平面可把空间分成4(如图①)、6(如图②③)、7(如图④)或8(如图⑤)个部分.。
高一数学的重要复习知识点归纳
高一数学的重要复习知识点归纳高一数学的重要复习知识点如果直线a与平面α平行，那么直线a与平面α内的直线有哪些位置关系?平行或异面。
若直线a与平面α平行，那么在平面α内与直线a平行的直线有多少条?这些直线的位置关系如何?无数条;平行。
如果直线a与平面α平行，经过直线a的平面β与平面α相交于直线b，那么直线a、b的位置关系如何?为什么?平行;因为a∥α，所以a与α没有公共点，则a与b没有公共点，又a与b在同一平面β内，所以a与b平行。
综上分析，在直线a与平面α平行的条件下我们可以得到什么结论?如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
高一数学重要知识点1、集合的概念集合是集合论中的不定义的原始概念，教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)”。
理解这句话，应该把握4个关键词：对象、确定的、不同的、整体。
对象――即集合中的元素。
集合是由它的元素确定的。
整体――集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。
确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系。
不同的――集合元素的互异性。
2、有限集、无限集、空集的意义有限集和无限集是针对非空集合来说的。
我们理解起来并不困难。
我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做Φ。
理解它时不妨思考一下“0与Φ”及“Φ与{Φ}”的关系。
几个常用数集N、N_、N+、Z、Q、R要记牢。
3、集合的表示(1)列举法的表示形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表示，同学们需要知道能用列举法表示的三种集合：①元素不太多的有限集，如{0，1，8}②元素较多但呈现一定的规律的有限集，如{1，2，3， (100)③呈现一定规律的无限集，如{1，2，3，…，n，…}●注意a与{a}的区别●注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。
(2)特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示出来就行了。
高一数学知识点难点和重点
高一数学知识点难点和重点高一是学习数学的关键时期，学生们开始接触更加抽象和深入的数学概念和知识点。
在这个阶段，学生需要在前一年所学的基础上加强巩固，并针对一些难点和重点进行重点复习。
本文将从几个方面介绍高一数学的知识点难点和重点。
一、代数与函数1. 平方差公式平方差公式是高一学习代数的重点内容之一。
它可以将两个数相乘后的结果转化为平方和或平方差的形式，提高运算的效率。
2. 一元二次方程一元二次方程是高一数学的难点，学生需要掌握求解一元二次方程的方法，包括配方法、公式法和因式分解法等。
3. 函数与方程学生需要理解函数与方程的关系，并能够应用函数的性质解决实际问题。
重点掌握一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等的性质和变化规律。
二、几何与三角函数1. 平面几何高一学习平面几何，需要重点掌握平行线与垂直线的性质，直线与角的性质，以及三角形、四边形和圆的性质等内容。
2. 三角函数三角函数是高中数学的难点之一，学生需要熟练掌握正弦、余弦和正切等三角函数的定义和性质，并能够灵活运用三角函数解决相关的几何问题。
三、概率与统计1. 排列组合排列组合是高一学习概率与统计的重点内容之一。
学生需要掌握排列、组合和二项式定理等相关的概念和计算方法。
2. 概率学生需要理解概率的概念，掌握概率的计算方法，包括事件的排列组合、几何概型和条件概率等。
3. 统计统计是数学中的一门重要学科，学生需要了解统计的基本概念和统计方法，包括平均值、中位数、众数和标准差等。
四、解析几何解析几何是高中数学的难点之一，学生需要掌握直线、圆和抛物线等的方程和性质，能够将几何问题转化为代数问题进行求解。
总结起来，高一数学的难点和重点主要集中在代数与函数、几何与三角函数、概率与统计和解析几何等方面。
学生需要充分理解各个知识点的概念和性质，并能够熟练运用相关的计算方法解决问题。
通过不断的练习和巩固，掌握高一数学的难点和重点，将为高中数学的学习奠定坚实的基础。
高一重点数学知识点整理
高一重点数学知识点整理高一重点数学知识点整理1直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内有无数个公共点②直线和平面相交有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0，90]最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直esp.直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
③直线和平面平行没有公共点直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
高一重点数学知识点整理2指数函数(1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a 不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。
(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。
(3)函数图形都是下凹的。
(4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。
(5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。
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小结
该题较典型的反映了解决空间几何 问题的解题策略：化空间问题为平面问
题来处理.
例2. 如图，四面体ABCD中，O、E分别 BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2. △ABD为等腰直角三角形.∠BAD=90o. (1) 求证：AO⊥平面BCD； (2) 求异面直线AB与CD所成角的余弦值； A (3) 求点E到平面 ACD的距离.
课堂小结
3. 求距离的关键是化归.即空间距离与角 向平面距离与角化归，各种具体方法如 下： ①求空间中两点间的距离，一般转化为 解直角三角形或斜三角形. ②求点到直线的距离和点到平面的距离， 一般转化为求直角三角形斜边上的高； 或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转 化为三棱锥的高，即用体积法.
课后作业
O
D E C
课堂小结
1. 空间的距离问题，主要是求空间两点 之间、点到直线、点到平面、两条异面 直线之间、平面和它的平行直线、以及 两个平行平面之间的距离．
课堂小结
2. 求距离的一般方法和步骤是： 一作——作出表示距离的线段； 二证——证明它就是所要求的距离； 三算——计算其值． 此外，我们还常用体积法求点到平面的 距离．
O
D E C
例2. 如图，四面体ABCD中，O、E分别 BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2. △ABD为等腰直角三角形.∠BAD=90o. (1) 求证：AO⊥平面BCD； (2) 求异面直线AB与CD所成角的余弦值； A (3) 求点E到平面 ACD的距离. M B
O
D E C
例2. 如图，四面体ABCD中，O、E分别 BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2. △ABD为等腰直角三角形.∠BAD=90o. (1) 求证：AO⊥平面BCD； (2) 求异面直线AB与CD所成角的余弦值； A (3) 求点E到平面 ACD的距离. M B
第二章复习
主讲老师：
知识回顾
1. 点到平面的距离； 2. 直线与平面的距离；
3. 平行平面间的距离.
举例应用
例1. 正方形ABCD的边长是2，E、F分别 是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成 直二面角(如图所示).M为矩形AEFD内一 点，如果∠MBE＝∠MBC，MB和平面 D BCFE所成角的正切 A M 1 值为 , 那么点M到 2 E F O 直线EF的距离为 . C B N. 如图，四面体ABCD中，O、E分别 BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2. △ABD为等腰直角三角形.∠BAD=90o. (1) 求证：AO⊥平面BCD； (2) 求异面直线AB与CD所成角的余弦值； A (3) 求点E到平面 ACD的距离.
B
O
D E C
例2. 如图，四面体ABCD中，O、E分别 BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2. △ABD为等腰直角三角形.∠BAD=90o. (1) 求证：AO⊥平面BCD； (2) 求异面直线AB与CD所成角的余弦值； A (3) 求点E到平面 ACD的距离. M B
《学案》P.64第18题、 P.65第20题.
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分为六队，到朝凰大陆位面传送阵那里集合，记住不要让任何人发现你们的行踪。” 底下的人高声回答：“属下领命！”然后快速的 两两组队飞身离开，期间没有造出一丁点的响动。而梦瑶几人看着夜北冥手底下的人的高度的执行力，看着夜北冥的眼神越发的崇拜， 自豪感油然而生。而月如两姐妹看着那十二人都领命离开，于是月媚忍不急的问道：“主上，那我们呢？您不带我们一起吗？”月如也 跟着点头，眼神焦急的看着夜北冥，夜北冥闻言说道：“因为第一次到陌生的地方，所以我不能带太多人，等我在那边的势力稳定后， 我还会叫人过去的，这次我先带着月如过去，月媚先留在梦之境，有事我会让月如通知你。”月如月媚立即单膝跪地低头说道：“属下 领命！”然后月如起身走到夜北冥身后跟随夜北冥一起离开，留下满脸羡慕的月媚。夜北冥到达位面传送阵的时候，自己的属下已经双 双到场排好队等着自己。第010章 低等位面——未央大陆未央大陆的位面传送阵位于大陆西侧，也就是距离死亡森林不远处的一处山谷。 传送阵的的面积有一个足球场那么大，脚底下踩得石头上遍布了一圈一圈的神秘符文。而符文的最中间，也就是传送阵的中心有一个婴 儿拳头大小的小凹槽。夜北冥从自己的空间戒指中取出一个黑色的小石头，弹入传送阵最中间的小凹槽。石头刚一嵌入凹槽，整个传送 阵就一阵抖动，地面的符文则开始缓慢的转动，每一圈的转动顺序都不一样，有的逆时针转动，有的顺时针转动，而最中心的位置，开 始聚起一团光。光团越来越亮越来越大，最终包围了整个传送阵，夜北冥等人一直站在传送阵里面一动不动，然后整个光团好像再也不 能更大了，就竖起一道光，直冲云霄。只持续了一息时间，非常的短，还没有引起任何人的注意就消失在天空中，而夜北冥等人所站的 传送阵，已经开始了翻天覆地的变化。原本镶嵌小石头的凹槽已经凸出来，小石头不见了，凸出来的中心是一个大约一米长的成人手臂 粗的柱子，而柱子的最上方是一个透明的平面板，好像现代科幻电影里的平面投影电脑。此刻，那透明的面板上显示几个大字：当前位 面处于高等位面朝凰大陆，请选择传送等级位面。并且伴随着一道缥缈的女声，然后下面有三个方框，每个方框里面写着四个字，从左 到右依次是：高等位面，中等位面，低等位面。夜北冥说道：“低等位面，未央大陆。”说完，那道缥缈的女声又响起来：“低等位面、 未央大陆，传送阵启动!”接着整个传送阵上面的每一个转动的符文撒发出一阵耀眼的白光，当白光覆盖了夜北冥等人的身体就快速的 退回到符文当中，而夜北冥等人也已经消失不见，整个传送阵又回到夜北冥等人刚来时的样子。此刻未央大陆的某片空地中，一阵白光 闪过，夜