利用函数思想认识和证明不等式
利用函数凹凸性质证明不等式
利用函数的凹凸性质证明不等式内蒙古包头市第一中学 张巧霞摘要：本文主要利用函数的凹凸性来推导和证明几个不等式.首先介绍了凹凸函数的定义，描述了判定一个函数具有凹凸性质的充要条件，并且给出了凸函数的一个重要性质——琴生不等式.通过巧妙构造常见的基本初等函数，利用这些函数的凹凸性推导几个重要不等式，如柯西不等式，均值不等式，柯西赫勒德尔不等式，然后再借助这些函数的凹凸性及其推导出来的重要不等式证明一些初等不等式和函数不等式. 关键词：凸函数；凹函数；不等式.一． 引言在数学分析和高等数学中，利用导数来讨论函数的性态时，经常会遇到一类特殊的函数——凹凸函数.凹凸函数具有一些特殊的性质，对于某些不等式的证明问题如果灵活地运用函数的凹凸性质就可以简洁巧妙地得到证明.二． 凹凸函数的定义及判定定理(1)定义 设)(x f 是定义在区间I 上的函数，若对于I 上的任意两点21,x x 及实数()1,0∈λ总有()()()()21211)1(x f x f x x f λλλλ-+≤-+则称)(x f 为I 上的凸函数（下凸函数）；反之，如果总有不等式()()()()21211)1(x f x f x x f λλλλ-+≥-+则称)(x f 为I 上的凹函数（上凸函数）.特别地，取21=λ，则有()()().2)2(2121x f x f x x f +≥≤+ 若上述中不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数或严格凹函数.（2）判定定理 若函数)(x f 在区间 I 上是二阶可微的，则函数)(x f 是凸函数的充要条件是0)("≥x f ，函数)(x f 是凹函数的冲要条件是.0)("≤x f三．关于凸函数的一个重要不等式——琴生不等式设)(x f 是定义在区间I 上的一个凸函数，则对()1,0,,,2,1,1=≥=∈∀∑=ni ii i n i I x λλ 有().)(11i ni i i n i i x f x f ∑∑==≤λλ特别地，当(),,,2,11n i ni ==λ有 ()()().2)2(2121n n x f x f x f x x x f +++≤+++琴生不等式是凸函数的一个重要性质，因为每个凸函数都有一个琴生不等式，因此它在一些不等式的证明中有着广泛的应用.四． 应用凸函数和琴生不等式证明几个重要不等式.（1）（调和——几何——算术平均不等式） 设(),,,2,1,0n i a i =≥则有naa a nni inn i i ni i ∑∏∑===≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤11111当且仅当n a a a === 21时，等号成立.证明 设,ln )(x x f -=因为(),,0,01)("2+∞∈>=x xx f 所以)(x f 是()+∞,0上的凸函数，那么就有().)(11ini iin i i x f x f ∑∑==≤λλ现取(),,,2,1,1,n i na x i i i ===λ 则有 (),ln ln 11ln 1111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-∏∑∑===n i n i i n i n i i a a n a n 得 ,ln 1ln 111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫⎝⎛∏∑==n i n i n i i a a n由x ln 的递增性可得nni i i n i a a n 1111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∏∑== （1） 同理，我们取01>=ii a x ，就有,1ln 1ln 111ln 1111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∏∑∑===ni n i i n i n i i a a n an 即nni i ni i a a n1111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∏∑== （2） 由（1），（2）两式可得naa a nni inn i i ni i ∑∏∑===≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤11111（2）柯西——赫勒德尔不等式qni q i pn i p i i n i i b a b a 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑=== 其中()n i b a i i ,,2,1,, =是正数，又,1,0≠>p p p 与q 共轭，即111=+qp . 证明 首先构造函数()1,>=p x x f p 时，()()0,0">>x x f 所以()px x f =是()+∞,0上的凸函数，则有pi ni i pn i i i i ni i x x x f ∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=111)(λλλ 令 ,1∑==ni iii pp λ这里()n i p i ,,2,1,0 =>，则 ∑∑∑∑====≤⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ni ini p ii pni i ni ii pxp p x p 1111即 1111-===⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑p ni i n i p i i pn i i i p x p x p由题设知111=+qp ，得1-=p pq ，所以 qni i pni p i i n i i i p x p x p 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫⎝⎛∑∑∑===， 现取qi i i pi i p b x p a 11,==，()n i ,,2,1 = 则pi p i i i i qii pi i i a x p x p p x p b a ===,11，代入上式得qni q i pni p i i n i i b a b a 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑=== 命题得证.在柯西赫勒德尔不等式中，若令2==q p 时，即得到著名的不等式——柯西不等式211221121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===ni i ni i i n i i b a b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===n i i n i i i ni i b a b a 121221)(这里()n i b a i i ,,2,1,, =为两组正实数，当且仅当i i b a =时等号成立.五．凸函数及重要不等式在证明初等不等式和函数不等式中的应用.例1.求证在圆的内接n 边形中，以正变形的面积最大.证明 设圆的半径为r ，内接n 边形的面积为S ，各边所对的圆心角分别为n θθθ,,,21 ，则(),sin sin sin 21212n r S θθθ+++=因为()0sin "<-=x x f ， 所以()x x f sin =是[]π,0上的凹函数，由琴生不等式可得().1)(11i ni ni if nn f θθ∑∑==≥ 即 nnni ini i∑∑-=≥11s i ns i nθθnn ni i πθ2sinsin 1≤∑= 上式只有在n θθθ=== 21时等号才成立，也即正n 边形的面积最大.特别地，若A,B,C 为三角形的三个内角时，由上式可得323sin sin sin =++C B A . 例2 求证对任意的0,0>>y x ，下面的不等式2ln )(ln ln yx y x y y x x ++≥+成立.证明 我们根据所要证明的不等式构造相应的函数，令()0,ln >=t t t t f ，因().01">=tt f 故()t t t f ln =是()+∞,0上的凸函数， 所以有()()(),,0,,22+∞∈∀+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x y f x f y x f 即(),ln ln 212ln 2y y x x y x y x +≤++ (),ln ln 2ln )(y y x x yx y x +≤++所以在利用凸函数证明不等式时，关键是如何巧妙地构造出能够解决问题的函数，然后列出琴生不等式就可以简洁，巧妙地得到证明.例3 设i i i i d c b a ,,,都是正实数，证明∑∑∑∑∑=====≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i n i i n i i i i i d c b a d c b a 1414141441.分析 本题所要证明的结论看上去接近于柯西不等式，但是这里是4次方的情形，所以想办法将其变成标准形式。
例谈用函数思想指导数列不等式的证明
只‰ ≤
当
， 欲 证 ％＝
≤
前 述 证 明 其 实 就 是 构 建 函数 后 采 用 作 差 比较 法 探 究 函 数 的单 调 性 ． 与此 法 相 应 的 还 有 构 造 恰 当 的 函 数 探 究 其 最 值 来 实
ｆ ～ ｂ ｎ ＋ ｌ ＋ １ １ — ｂ ＂ － — ２ ＂ ．
２
证 明： 由ｌ 知， 问题 的关键 即证
０， Ｐ≠ １ ） （ ） 亦 即 证 （
Ｐ≠ １ ．
ｐ＂ －Ｉ Ｐ 叶 ＋ １ ）
≤ （ ｐ ” ｌ ＋ １ ） （ ｐ ＞
（ ＋ １ ） （ 善 － １ ） （ ０ ＜ ６ ．
ｉ ￣ － ｂ ＝ ２ ｘ（ ＞ ０， ≠ １ ） ， 则 问题 车 戈 ＋（ １ － ｘ） （ １ ＋ ２ ｎ） ｘ 一 １ ＞０ ／
） （
） ＝ ２ ｎ （ ｐ － １ ） ｐ ＂
（ ｐ＞ ０， （ Ｐ 一１ ） （ ｐ 肿 ＋ Ｊ ） ） ｜ ． － ｌ Ｊ
（ ＞ １ ） ， 或 ＋ （ １ ） （ １ ＋ ２ ｎ ） ｘ ＂ － Ｉ ≤ ０ （ ０ ＜ １ ） ．避厂 （ ）
・
函数 进 行 研 究．
证明 ： 当６ ＝ ２时 ， ＝ ２， ＋１ ＝ ２， 成 立．
散 函 数 的 视 角去 看 ． 则 又是 一 番 景 象．上 面 的 证 明 中利 用相 邻
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式.基本不等式1教案第一册
2.2基本不等式教材分析:“基本不等式" 是必修1的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用。
利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛。
同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.教学目标 【知识与技能】1。
学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2。
掌握基本不等式2a b +≤；会应用此不等式求某些函数的最值;能够解决一些简单的实际问题【过程与方法】通过实例探究抽象基本不等式； 【情感、态度与价值观】通过本节的学习，体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣。
教学重难点 【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b+≤的证明过程; 【教学难点】 12a b+≤等号成立条件； 22a b+≤求最大值、最小值。
教学过程 1。
课题导入前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：一般地,∀a ,a ∈a ，有a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立特别地，如果a 〉0，b 〉0,我们用√a ，√a 分别代替上式中的a ，b ，可得√aa ≤a +a 2①当且仅当a =b 时，等号成立。
通常称不等式（1）为基本不等式（basic inequality ）。
其中，a +a 2叫做正数a ，b 的算术平均数，√aa 叫做正数a ，b 的几何平均数。
基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
思考： 上面通过考察a 2+b 2=2ab 的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下.2.讲授新课1）类比弦图几何图形的面积关系认识基本不等式2a bab +≤特别的，如果a ＞0,b ＞0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥,(a>0,b>0)2a bab +≤2)2a bab +≤用分析法证明:要证 2a bab +≥（1） 只要证 a +b ≥（2） 要证（2），只要证 a +b - ≥0(3） 要证(3）,只要证 ( — ）2≥0 （4）显然，（4）是成立的。
证明基本不等式的方法
证明基本不等式的方法基本不等式是解决数学不等式问题中常用的方法，其核心思想是将一个不等式转化为另一个更简单的不等式，从而得到所需的解集。
在证明基本不等式的方法上，可以分为以下几种常见的方式：1.数学归纳法：数学归纳法是证明基本不等式的一种常用方法。
首先，我们需要证明当不等式成立时，对于一些特定的值$n$，不等式也成立。
接着，我们假设当$n=k$时不等式成立，可以通过这个假设证明当$n=k+1$时不等式成立。
最后，根据归纳法的原理，我们可以得出不等式对于所有自然数$n$成立。
2.递推法：递推法是证明基本不等式的另一种常用方法。
我们首先找到一个较小的数$k$，证明不等式对于这个特定的数成立。
然后，我们假设当$n=k$时不等式成立，接着通过这个假设证明当$n=k+1$时不等式也成立。
最后，根据递推法的原理，我们可以得出不等式对于所有自然数$n$成立。
3.反证法：反证法是证明基本不等式的另一种有效方法。
我们首先假设不等式不成立，即假设存在一些数使得不等式不成立。
接着，我们通过一系列的推导和推理，得出矛盾的结论。
这表明我们的假设是错误的，即不等式是成立的。
4.变量替换法：变量替换法是证明基本不等式的一种常用方法。
我们首先对不等式进行变量替换，将其转化为一个使用其他变量的等价不等式。
然后，通过对这个等价不等式进行一系列的变换和推导，我们可以得出所需的结论。
5.辅助不等式法：辅助不等式法是证明基本不等式的一种有效方法。
我们首先找到一个与原不等式相关的不等式，这个不等式往往更容易证明。
然后，我们通过对这个辅助不等式的推导和推理，结合原不等式的特点，得出所需的结论。
无论采用哪种方法，证明基本不等式的关键在于用恰当的方法将其转化为另一个更简单或更容易证明的不等式。
此外，在证明过程中需要注意推导的合理性和严密性，关注每一步的符号变化和不等式的严格性，避免出现错误的结论。
在证明过程中，也可以适当地运用数学知识和技巧，如代数运算、函数性质和数列性质等，使证明更加简洁和高效。
证明不等式的定积分放缩法
证明不等式的定积分放缩法定积分放缩法是一种常用的证明不等式的方法，它的基本思想是通过对不等式两边进行积分，利用积分的性质来证明不等式的正确性。
具体来说，我们可以通过放缩被积函数的大小，从而得到一个更加简单的不等式，进而证明原不等式的正确性。
下面我们以一个简单的例子来说明定积分放缩法的具体应用。
假设我们要证明如下不等式：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \frac{1}{3}$$我们可以通过放缩被积函数$x^2$ 的大小来证明该不等式。
具体来说，我们可以将 $x^2$ 放缩为 $x$，即：$$x^2 \leq x, \quad 0 \leq x \leq 1$$因此，我们可以得到如下不等式：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \int_0^1 x dx$$对右侧的积分进行计算，可以得到：$$\int_0^1 x dx = \frac{1}{2}$$因此，我们可以得到如下结论：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \frac{1}{2}$$但是，这个结论并不能证明原不等式的正确性。
为了进一步放缩被积函数的大小，我们可以将 $x$ 放缩为 $1$，即：$$x \leq 1, \quad 0 \leq x \leq 1$$因此，我们可以得到如下不等式：$$\int_0^1 x dx \leq \int_0^1 1 dx$$对右侧的积分进行计算，可以得到：$$\int_0^1 1 dx = 1$$因此，我们可以得到如下结论：$$\int_0^1 x dx \leq 1$$综合以上两个结论，我们可以得到如下不等式：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \frac{1}{2} \leq \frac{1}{3}$$因此，原不等式得证。
可以看出，通过定积分放缩法，我们成功地证明了该不等式的正确性。
总的来说，定积分放缩法是一种常用的证明不等式的方法，它的基本思想是通过放缩被积函数的大小，从而得到一个更加简单的不等式，进而证明原不等式的正确性。
利用凹凸函数证明不等式
利用凹凸函数证明不等式凹凸函数在数学中是一类非常特殊的函数，它是用有极大重要意义的。
凹凸函数定义为：当不等式有复数解时，存在符合凹凸函数定义的函数，它可以将不等式转化为一个凸空间，并且以动态平衡的方式证明不等式。
本文将重点介绍如何利用凹凸函数证明不等式。
第二段：凹凸函数的核心思想是利用不等式来构建一个凸凹空间，通过不断对不等式内变量的取值范围的变换，使得凸凹空间内的元素按照一定的规律动态地平衡。
凹凸函数的特点在于，它使得不等式的解可以通过函数的平衡状态被求出。
换句话说，不等式的解可以被凹凸函数所描述，而这种描述法可以很好地证明不等式。
第三段：具体到如何利用凹凸函数证明不等式，我们首先利用凹凸函数将不等式转换成凸空间。
把不等式中的变量代入凹凸函数，得到一个凸凹平衡的函数，并且确定该函数的最大值和最小值的取值之间的范围。
如果不等式是有复数解的，那么就可以得出不等式的解；如果不等式是无解的，则可以通过对函数作减小变量值的取值范围来确定它是无解的。
第四段：除了上述方法外，还可以用重新定义空间的方法证明不等式。
首先，将不等式中的变量作为新定义的空间的坐标，然后用凹凸函数来构造新定义的空间，以及新定义的空间的凹凸平衡性。
在此基础上，若不等式有复解，则可以通过对凹凸函数作减小变量值的取值范围来确定复数解；若不等式是无解的，则可以通过找出不等式解空间的最小取值和最大取值，以及找出变量的取值范围，来证明不等式是无解的。
第五段：凹凸函数是一种极为重要的数学技术，它可以用来证明不等式，并且可以更有效地求出不等式的解。
凹凸函数的使用技巧有很多，但是最重要的是要理解凹凸函数的核心思想，以及如何利用它来证明不等式。
只有当理解了这一点，才能够明确凹凸函数在证明不等式上的重要作用。
第六段：综上所述，凹凸函数对证明不等式具有重要作用，它可以使我们更加清晰地求出不等式的解。
它的使用技巧也有很多，如将不等式变换成凸空间，以及使用重新定义空间的方法。
初中数学新课程标准考试【和解答】
初中数学新课程标准考试【和解答】《初中数学课程标准考试题》（1）有效的数学学习活动不可以纯真地依靠模拟与记忆，、与是学习数学的重要方式。
（ 2）《义务教育数学课程标准》的基本理念指出：义务教育阶段的数学课程应突出体现、和，使数学教育面向全体学生，实现：；；。
（ 3）学生是数学学习的，教师是数学学习的、与。
（ 4）《标准》中所陈说课程目标的动词分两类。
第一类，知识与技术目标动词，包括、、、、第二类，数学活动水平的过程性目标动词，包含、、。
5）数学教课活动一定成立在学生的认知和已有基础上。
教师应激发学生的学习踊跃性，向学生供应充足从事数学的时机，帮助他们在自主研究和的过程中真实理解和掌握数学知识技术、数学思想和方法，获取宽泛的数学活动经验。
（6）《义务教育数学课程标准》的基本理念指出：义务教育阶段的数学课程应突出体现、和，使数学教育面向全体学生，实现：；；。
（7）评论的主要目的是为了全面认识学生的数学学习历程，激励学生的学习和改良教师的教课；应成立评论目标化、评论方法化的评论系统，对学生的数学学习评论要关注学生数学学习的，更要关注他们的。
（8）初中数学新课程的四大学习领域是、、、。
（ 9）《标准》中陈说课程目标的动词分两类。
第一类，目标动词，第二类，数学活动水平的目标动词。
（10）学生的数学学习内容应当是、、的，这些内容有益于学生主动地进行察看、实验、猜想、考证、推理与交流等数学活动。
（ 11）《义务教育数学课程标准》的基本理念指出：义务教育阶段的数学课程应突出体现、和，使数学教育面向全体学生，实现：；；。
（12）学生是数学学习的，教师是数学学习的、与。
（ 13）《标准》中所陈说课程目标的动词分两类。
第一类，知识与技术目标动词，包括、、、、第二类，数学活动水平的过程性目标动词，包含、、。
（14 ）数学教课活动一定成立在学生的认知和已有基础上。
教师应激发学生的学习踊跃性，向学生供应充足从事数学的时机，帮助他们在自主研究和的过程中真实理解和掌握数学知识技术、数学思想和方法，获取宽泛的数学活动经验。
函数思想在中学数学中的应用
函数思想在中学数学中的应用在中学代数的学习中,函数起着“纽带”的作用,特别是在近几年全国各地高考中,好多问题如数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法.这就要求我们在平时的学习中更加重视对函数的学习和理解,我们应掌握函数的概念、本质及相关性质.通过此篇文章希望大家可以深刻体会一下函数思想在中学数学中的应用.一，利用函数思想解决数列的问题数列是初等数学与高等数学的重要衔接点之一,由于数列问题的载体能力强,思维跨度大,知识的综合度高,往往能较好的考查学生在知识,方法和能力上的差异,拉开考生之间的距离.特别是在近几年全国各地高考中,数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法,这就要求我们平时多重视研究数列问题的函数本质.数列是定义在正整数集或其子集上的函数,因此我们应掌握各种基本数列所对应的函数及相关性质,习惯于用函数方法解题是很重要的.下面举例来看一下:例1.设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，m，k∈N *，且m≠k，若S m=S k=a, 则S m+k =().-2a D. 0A. aB. 2aC.解析：由于{a n}是等差数列，所以S n是关于n的二次函数，设S n=f(n)=An 2+Bn(A≠0)，∵S m=S k=a，∴f(m)=f(k)，∴f(n)的对称轴为n=m+k2，∴f(m+k)=f(0)=0，即S m+k =0，选 D .评析：解本题的关键是建立目标函数f(n)，因为等差数列的前n项和是关于n的二次函数，利用二次函数的对称性就可以解出这道题．二．利用函数思想解决解析几何问题在解析几何中常遇到动态型的问题。
在变化过程中，存在两个变量，我们常常把某一个看做自变量，另一个看做自变量的函数，通过明确函数的解析式，利用函数思想来研究和处理问题例2.若抛物线y=-x 2+mx-1和两端点为A(0,3)，B(3,0)的线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围．解析：线段AB的方程为y=-x+3(0≤x≤3)由y=-x 2+mx-1, y=-x+3(0≤x≤3）消去y得x 2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3).∵抛物线和线段AB有两个不同的交点，∴方程x 2-(m+1)x+4=0在［0,3］上有两个不同的解.设f(x)=x 2-(m+1)x+4，则f(x)的图像在［0,3］上与x轴有两个不同的交点，∴Δ=(m+1) 2-16＞0,0＜m+12＜3,f(0)=4＞0,f(3)=9-3(m+1)+4≥0.解得3＜m≤10三．利用函数思想解决不等式的问题在不等式的有关问题（计算、证明）中，函数的性质常常是有力的工具，利用函数的单调性、奇偶性等性质对题解十分有利，但在这方面往往是学生的缺陷.下面举两例来看一下：例3.已知不等式7x-2>m(x 2-1)对m∈［-2,2］恒成立,求实数x的取值范围．解析：设f(m)=(x 2-1)m-7x+2，f(m)是关于m的一个函数，其图像是直线.依题意，f(m)<0对m∈［-2,2］恒成立.当-2≤m≤2时，y=f(m)的图像是线段，该线段应该全部位于x轴下方，其充要条件是端点的纵坐标小于0，即f(-2)＜0， f(2)＜0，解得12＜x＜72.即适合题意的x的取值范围是（12,72）四。
函数与方程思想在数学归纳法证明有关数列的不等式中的应用
（） ２ 求整数 ｍ， ｌ 一ｍｆ 使 ａ 最小． ２０ （０ ５年河 北省 高 中数学竞赛试题） 证明 ：１ ①当 一１ 命题显然成立． （） 时，
②假 设 当 一 ｋ 志 １ ｋ∈ Ｎ 时 命 题 成 立 ， （≥ ， ） 即
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８ ０ 学教学参考 上旬 ｏ 总第 。 １‘ Ｏ 期
要 证 一是 １时 成 立 ， 要 证 一 ＋ 只
证明不等式的方法
证明不等式的方法1.比较法。
在证明不等式的方法中，比较法是最基本、最重要的方法。
比较法是利用不等式两边的差是正还是负来证明不等关系的。
利用不等式的性质对不等式进行变形，变形目的在于判断差的符号，而不考虑值是多少。
2.综合法。
综合法是由已知条件出发，推导出所要证明的不等式成立，即由已知逐步推演不等式成立的必要条件得到结论。
综合法是“由因导果”。
3.分析法。
分析法也是证明不等式的一种常用的基本方法，当证题不知从何入手时，有时可以用分析法获得解决。
分析法是和综合法对立统一的两种方法，它是由结果步步寻求不等式成立的充分条件，找寻已知，是“执果索因”。
分析法和综合法常常是不能分离的，如果使用综合法证明不等式，难以入手时常用分析法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程。
4.作商法。
将不等式左右两端作商、变形化简商式到最简形式，判断商与1的大小，应用范围一般是被证式的两端都是正数，被证式子两端都是乘积形式或指数形式时常用此法。
5.判别式法，对于含有两个或两个以上字母的不等式，在使用比较法无效时，若能整理成一边为零，而另一边为某个字母的二次式时，这时候可用判别式法。
6.代换法。
代换法中常用的有两种：一种是三角代换法，一种是增量代换法。
三角代换法多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时候可考虑三角代换，将两个变量都用同一个参数表示。
此法可以把复杂的代数问题转化为三角问题。
要注意的是可能对引入的角有一定的限制，这一点要根据已知来定。
增量代换法一般是在对称式（任意互换两个字母，代数式不变）和给定字母顺序的不等式，常用增量法进行代换，代换的目的是通过代换达到减元的目的，使问题化难为易，化繁为简。
7.构造函数法。
函数思想是中学数学重要的思想方法之一，有些数学问题只要将其中某些变化的量建立起联系，构造出函数，再利用函数的性质，就能解决问题。
8.反证法。
用直接法证明不等式困难时，可考虑用反证法。
微积分在不等式证明中的应用探究
微积分在不等式证明中的应用探究微积分是一门非常重要的数学分支，其在数学、物理、工程以及经济学等各个领域都有广泛的应用。
在不等式证明中，微积分也有着很大的作用，可以帮助我们更好地理解和证明不等式。
本文将探讨微积分在不等式证明中的应用。
一、不等式证明的基本思路不等式证明是数学中的一个重要问题，它的基本思路是通过变形来证明不等式的成立。
通常，我们可以将不等式转化成一个函数的形式，然后利用微积分的思想对函数进行研究，进而得到不等式的证明。
二、微积分在不等式中的应用微积分在不等式证明中有着广泛的应用，下面列举几个例子来说明。
1. 极值法极值法是一种常用的证明不等式的方法。
当我们要证明一个不等式时，我们可以先找到函数的极值点，然后利用函数在极值点处的取值来说明不等式成立。
具体实现方法如下：假设有不等式a≤f(x)≤b，其中f(x)为函数，a、b为已知数。
我们可以通过求解f(x)的导数来找到极值点。
假设f(x)的导数为0，即f'(x)=0，则f(x)在x处取得极值。
根据极值的定义，我们知道当f(x)在极值点处取到最大值或最小值时，不等式a≤f(x)≤b都会成立。
例如，要证明不等式sinx≤x（0≤x≤π/2），我们可以定义函数f(x)=x-sinx，然后求出f'(x)=1-cosx。
当f'(x)=0时，即cosx=1，这时f(x)的极小值为0，因此sinx≤x成立。
2. 积分法积分法也是证明不等式的一种重要方法。
具体方法如下：假设有不等式a≤f(x)≤b，其中f(x)为函数，a、b为已知数。
我们可以通过积分来获得f(x)在[a,b]上的取值。
具体来说，我们可以定义函数g(x)为a≤g(x)≤b且f(x)≤g(x)，然后计算g(x)在[a,b]上的积分，即∫[a,b]g(x)dx。
由于a≤f(x)≤g(x)且g(x)在[a,b]上的积分一定小于等于f(x)在[a,b]上的积分，因此就能证明不等式的成立。
高中证明不等式的四大方法
高中证明不等式的四大方法
研究不等式是很重要的，它作为数学、物理和其他领域的基础，对日常生活也有着十分重要的意义。
高中时期学习不等式的过程中，常常会遇到如何证明不等式所带来的问题，证明不等式一般可以有四种方法：
一、函数极值法
函数极值法是借助函数及其导数的性质来证明不等式，判断函数的极值的性质，然后用极值来证明不等式。
这种方法适用于不等式中带有 x 的函数及其导数，比如函数 f ( x ) = x^2 + ax + b ( a，b 为常数) 的大于、小于及其证明，都可以用函数极值法来证明。
二、不等式组合法
不等式组合法是利用不等式和其他熟悉的性质，把不等式组合起来，以有效证明一个不等式的方法，一般可用自然数的定理、AM-GM 定理、费马平方和定理、牛顿黎曼不等式等方法结合不等式证明原不等式。
三、几何法
几何法是一种综合的方法，它的核心是运用间接证明的思想，通过几何形象中的定理，证明几何形象和不等式之间的关系，如正方形边长和正数之间的关系等。
四、数学归纳法
数学归纳法是一种经典的元素数学思想，包括数学归纳和数学归纳法，它利用数学归纳法的思想，由简到难，从某一特定情况，以及一切类似的情况中得出一般性的结论和推论，最终证明某个不等式。
以上就是证明不等式的四大方法。
不等式是所有科目中都有用到的知识，学习不等式也需要一定技巧，上面介绍的四大方法可以帮助我们更好的学习不等式，并有助于我们准确地研究不等式。
在数学学习中，不要把不等式搞混、弄回，按照上面介绍的四大方法认真学习，才能更好的掌握不等式的学习方法，正确地解答各种不等式的问题。
高中数学中函数与方程思想的研究
高中数学中函数与方程思想的研究函数与方程思想是数学学科中的两个重要思想，也是解决实际问题的重要方法。
在高中数学教学中，函数与方程思想的应用对于提高学生的数学素养和解决问题的能力具有重要意义。
本文旨在探讨函数与方程思想在普通高中教学中的实践研究，以期为优化高中数学教学提供参考。
普通高中教学的主要目标是培养学生的创新精神和实践能力，为其未来的发展奠定基础。
在这个过程中，数学学科作为一门重要的基础课程，需要着重培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
函数与方程思想作为数学学科的基本思想，也是解决高中数学教学问题的关键。
在普通高中教学中，函数与方程思想的实践主要包括以下环节：教学准备：教师需要深入理解函数与方程思想的概念和特点，掌握其在解决问题中的应用方法。
同时，教师应结合具体的教学内容和教学目标，准备好相应的教案和学案。
教学目标制定：教师需要明确函数与方程思想的教学目标，包括知识目标、能力目标和情感目标。
同时，教师需要根据学生的实际情况和需求，制定相应的教学计划。
教学实施：教师在课堂上需要采用多种教学方法和手段，如案例教学、探究式教学等，引导学生理解和掌握函数与方程思想，并运用它们解决实际问题。
教学反思：教师需要及时反思自己的教学过程和效果，发现问题并及时改进，以便更好地提高教学质量和效果。
以高中数学中“函数”章节的教学为例，教师可以通过以下方式将函数与方程思想融入教学中：帮助学生理解函数的概念和性质，如定义域、值域、单调性等，为后续的应用奠定基础。
通过实例让学生了解函数在解决实际问题中的应用，如利用函数解析式解决行程问题、利润问题等。
引导学生通过方程或不等式的方式描述实际问题，然后利用函数的性质和相关算法求解。
例如，帮助学生理解以下题目：某公司为了营销一款产品，计划在三个方面进行投入（x1, x2, x3），已知产品总成本为C元。
试求C关于x1, x2, x3的函数关系式。
教师可以引导学生列出成本与投入之间的方程，然后通过调整方程的形式，使学生理解函数关系式的意义和应用。
不等式证明的方法与技巧
不等式证明的方法与技巧陈怡不等式证明是不等式中的基本内容之一，也是其重难点所在。
许多学生遇到不等式证明题不知所措，无从下手。
因此，有必要从解题思路入手，总结一些不等式证明的方法、技巧以及在某些方法技巧中所体现的数学思想，使学生们在解题时有的放矢。
除常见的综合法、分析法、反证法、放缩法及利用公式证明不等式外，本文另总结、归纳常见不等式证明方法技巧如下：一、利用数列的单调性证不等式法：我们常常用数学归纳证明含自然数n的不等式（这里不举例说明），然而，换一种角度，用数列的单调证性证此类不等式，更是简单明晰。
例1．求证明：1＋＋＋…＋＞（n＞1）证明：令：a n＝1＋＋＋…＋－＝11＋＋＋…＋－则a n－1∴a n－a n＝＋－－1＝＞０∴a n＞a n－1即数列｛a n｝递增∴1＋＋＋…＋＞（n＞1）例2．求证：1＋＋＋…＋＜2－（n≥2）证明：令a n＝1＋＋＋…＋－2＋＝1＋＋＋…＋＋－2＋(n≥)则a n－1∴a n－a n＝＋－－1＝－＜0＋＜…＜a2＝－＜0∴a n＜a n－１∴1＋＋＋…＋＜2－仔细分析上面两个例题，我们发现这里运用了转化的思想，其实是把难解的关于自然数n的不等式证明问题，转化成了熟悉易解的求某数列的单调性问题。
将未知归为已知，从而最终求得原问题的解决。
下再举一例说明不等式证明中的转化思想。
例3．a、b、c∈R+，求证：＋＋≥（a＋b＋c）(分析：由左边的形式联想到复数的模，引入复数，不等式证明问题转化为复数问题。
)证明：令Z1=a＋bi，Z2=b＋ci，Z3=c＋ai则Z1＋Z2＋Z3=（a＋b＋c）＋(a＋b＋c)I｜Z1｜＋｜Z2｜＋｜Z3｜≥｜Z1＋Z2＋Z3=｜∴＋＋≥（a＋b＋c）二、不等量代换法此法虽是“代换”，但不同于换元法。
一般用于证明条件不等式，如能先求出一个适当的不等式进行代换，往往能简化证明过程。
但在代换时，必须注意保持非严格不等式等号成立的条件的一致性。
三角不等式深入理解三角不等式的证明和应用
三角不等式深入理解三角不等式的证明和应用三角不等式是初中数学中的重要知识点，它是解决三角形相关问题的基础。
深入理解三角不等式的证明和应用，不仅有助于提升数学思维能力，还能在实际问题中灵活运用。
本文将对三角不等式进行深入剖析，从证明到应用，帮助读者全面理解和掌握。
一、三角不等式的证明三角不等式是通过三角函数的性质进行推导得到的，下面将介绍常见的三角函数形式的三角不等式证明。
1. 正弦函数形式的三角不等式证明考虑任意角A，由正弦函数的性质可知，-1 ≤ sinA ≤ 1。
将该不等式两边同乘以正数a得-a ≤ a*sinA ≤ a。
对于任意角A，左侧的-a是常数，右侧的a*sinA则是关于角A的函数。
由于-a是常数，故不等式可以保持不变，因此得到-a ≤ a*sinA ≤ a。
这就是正弦函数形式的三角不等式。
2. 余弦函数形式的三角不等式证明类似地，考虑任意角A，由余弦函数的性质可知，-1 ≤ cosA ≤ 1。
同样，将该不等式两边同乘以正数a得-a ≤ a*cosA ≤ a。
对于任意角A，左侧的-a是常数，右侧的a*cosA则是关于角A的函数。
由于-a是常数，故不等式可以保持不变，因此得到-a ≤ a*cosA ≤ a。
这就是余弦函数形式的三角不等式。
3. 正切函数形式的三角不等式证明对于正切函数，由于正切函数的定义域为除去所有传统角的终边上的点外的全体实数，而正切函数值的范围为实数，所以不存在类似于正弦函数和余弦函数形式的三角不等式证明。
通过以上三个函数形式的三角不等式证明，我们可以看出三角不等式的基本思想是利用三角函数值的性质进行推导，从而得到关于角的不等式。
二、三角不等式的应用三角不等式广泛应用于各种几何问题和实际问题的求解中。
接下来，将介绍三角不等式在几何问题和实际问题中的应用。
1. 几何问题中的应用在解决几何问题时，经常需要根据已知条件来推导出额外的条件以求解未知量。
三角不等式在这方面起到了关键作用。
确界不等式的证明方法
确界不等式的证明方法
确界不等式是数学分析中一种重要的不等式，它影响着许多重要分析问题。
证明确界
不等式时，需要应用下列六个步骤：
一、明确涉及的函数
要证明确界不等式，首先要明确该确界不等式中涉及的函数。
二、估计函数的界限
估计函数的界限时，需要讨论有关的条件空间和最大最小值。
从空间的角度考虑，
通过合理估计其定义域、值域，选取函数的有效区域又该空间的连续性来估计该函数的界，其中，积分定理也可以用于估计函数的界限。
三、定义变量和函数
在证明确界不等式时，需要定义变量和函数，用来描述该不等式。
四、建立数学模型
建立数学模型时，可以通过熟悉的方法建立简单的模型，并加以修正和完善，使得模
型能够更好地反映不等式中的实际情况。
从模型的思想出发，运用数学变量，将不等式的结果表示成凸组合形式的一个数学函
数形式。
六、证明不等式
最后，通过合理的变换、矩阵乘法，建立数学关系，就可以证明确界不等式成立。
以上是证明确界不等式的具体步骤，要想证明成功还需对函数的特性及边界处理等细
节进行正确把握，因此，证明确界不等式是一个需要不断深入思考的过程。
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利用函数思想认识和证明不等式
摘要：函数思想是中学数学中最重要最基本的数学思想之一，它贯彻于中学课程的始终。
有的专家学者曾用三句话概括中学数学的基本观点：以函数为纲，以方程为网，数形结合。
中学数学中的很多内容如方程、不等式、数列等，若用函数的思想（观点）去认识，往往可以展露新的视角、开辟新的解题思路。
本文试着通过实例，就如何利用函数思想来认识和证明不等式这个问题，做一些探究。
关键词：函数；不等式
中图分类号：o12 文献标识码：a 文章编号：1009-0118（2011）-05-0-01
根据不等式的结构特点，分析其异同，把相同的量固定下来，把不同的量赋予其一个变量，便可构造一个可供利用的函数。
例1（高中数学必修五，第81页）：
分析：设a和b分别表示住宅原来窗户的总面积和占地面积的值，m表示窗户和占地所增加的面积的值（面积单位都相同），由题意知：00。
教材中利用比较法证得：>
这个实际问题的数学实质是：已知00，那么>。
现在我们用函数思想重新打量这个不等式：该式可以改写为 >，这样一来，不等式两边两个式子具有了相同的结构形式。
我们把相同的地方固定下来，把不同的地方赋予一个变量，就可构造出一个函数=，而与就是该函数的两个函数值和，要比较与的大小，只要考查该函数的单调性就可以了。
证明：考查函数=(0设0≤又∵m>0，∴>∴>
利用函数f(x)的单调性，若m>n>0，则，由此得推论：
推论1：0
推论2：0例2（高中数学选修1—2，第38页）：求证-a-2≥1∵0,令，探求分界点，得>，∴>, ∴在(+∞)上单调递增，同理，在(0,)上单调递减,∴≥()
而()=(-)2≥0 ∴≥0,即++≥
可以看到，要构造辅助函数，就要寻找到一个合适的自变量。
该不等式中的三个字母a、b、c本来都是常量，且地位相同，我们让其中一个字母a“动”起来，看做一个变量，变成一个主元，则就找到了自变量，因而构造出了可供利用的函数。
若不等式具有->0（或<0）的形式特点，可以构造一个以 -为判别式的一元二次函数，利用一元二次函数的性质证明不等式。
例4：求证()2≤()()
分析：该不等式中的两边的两个式子无论如何也无法看成是一个函数的两个函数值，也就是无法构造出辅助函数，但通过变形和转化，就可以找到可供利用的辅助函数。
要证原式成立，只要证△=[2()]2-4()()≤0
构造一个以△为判别式的一元二次函数，通过证得恒有≥0成立，便可使原题从容得解。
证明：设=()-2()+()
对于这个二次函数，由于=()2+()2≥0恒成立。
∴△=[2()]2-4()()≤0 ∴原式成立。
例5：已知+ +……+=1,+++……+=1
求证：++……=1
略证：设=(+ +……+)-2(++……)+(++……+)由于，=()2+()2+……()2≥0成立。
所以△≤0，原式即得证。
事实上，将例4、例5进行推广，便可得到证明的柯西不等式：≤。
在解题时，我们习惯于把注意力集中在那些主元上，这一点是无可厚非的。
但当思维受阻时，如果能变换一下思维角度，“反客为主”，常能于绝境中走出一条坦途。
例6：已知，且，且，求证()
证明：由于，故只需证：
令=
∵且∴-=-=-<0
∴当时，<==1即当时，，又()，∴()
我们习惯上以作为自变量，这里一反常规，以作自变量，使问题变得简捷易解。
从上述实例可以看到：不等号两端的两个数（式）往往可以看成是一个函数的两个函数值，或者通过变形后可以看成一个函数的两个函数值。
如果这样看待，那么一个不等式就变成了一个函数的两个函数值之间的大小关系式。
如果能根据问题所处的情境，构造恰当的辅助函数，把对不等量关系的考查纳入一个“动”的过程中，便可以利用函数的单调性等性质使不等式获证。
参考文献：
[1]刘卓雄.函数观点在解题中的应用[j].福建中学数
学,2002:22-24.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以pdf格式阅读原文。