梯形问题巧转化
初中数学：添加辅助线将梯形问题转化为三角形或平行四边形问题
初中数学：添加辅助线将梯形问题转化为三角形或平行四边形问题常常通过添加辅助线将梯形问题转化为三角形或平行四边形的问题．再利用熟知的三角形或平行四边形知识来解决．1、平移一腰（或两腰），即从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）．2、过顶点作两条高，即从同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个直角三角形（图2）．3、延长两腰交于一点，把梯形转化为三角形（图3）．4、过一腰的中点作辅助线．连接一个顶点与一腰的中点并延长，与一条底边的延长线相交，把梯形转化为三角形（图4）．5、平移对角线，即从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形（图5）．例1、如图6，在梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点.若∠B与∠C互余，则MN与BC-AD的关系是（）．A、2MN>BC-ADB、2MN<BC-ADC、2MN=BC-ADD、MN=2（BC-AD）解析：问题中涉及线段BC与AD的差，若作平行一腰的辅助线，很容易找到BC－AD，但与线段MN无法比较．所以，我们不妨灵活一点，过点M分别作两腰的平行线ME、MF （如图7），容易知道四边形ABEM、DCFM均为平行四边形，从而有BE=AM=MD=FC．又BN=NC，故EN=NF，且EF=BC－AD．又∠MEN+∠MFN=∠B+∠C=90°，则∠EMF＝90°．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，2MN=EF=BC-AD，故选C．例2、在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线AC平分∠BAD，∠B=60°，CD=2cm，则梯形ABCD的面积为（）cm2．A、B、6C、D、12解析：如图8，分别过点C、D作CF⊥AB于F，DE⊥AB于E．因对角线AC平分∠BAD，则∠DAC=∠BAC=∠DCA，AD=CD＝2cm. BC＝2cm.在R t△DEA与Rt△CFB中，根据30°所对的直角边等于斜边的一半，可知AE=BF=1cm，故DE=cm.故选A．例3、如图9所示，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥DC，AD=BC．翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF。
添加辅助线,把梯形转化为三角形和平行四边形的组合图形,再运用三
梯形是一种特殊的四边形，它是平行四边形和三角形的综合，通过适当的添加辅助线，把梯形转化为三角形和平行四边形的组合图形，再运用三角形和平行四边形的知识去解决梯形的有关问题。
添加辅助线口诀：梯形问题巧转换，变为△和□。
平移腰，移对角，两腰延长作出高。
如果出现腰中点，细心连上中位线。
上述方法不奏效，过腰中点全等造。
通常情况下，通过作辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件来定。
常见的几种辅助线的作法如下：作法图形平移腰，转化为三角形、平行四边形。
平移对角线。
转化为三角形、平行四边形。
延长两腰，转化为三角形。
作高，转化为直角三角形和矩形。
中位线顶点与一腰的中点连线。
过一腰的中点作另一腰的平行线例题知识点一：平移1. 平移一腰：例1.如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB//DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17。
求CD的长。
思路分析：1）题意分析：本题考查了梯形的常见辅助线和计算。
2）解题思路：根据梯形的知识，过点D作DE//BC，可把梯形分割成一个平行四边形和一个直角三角形，利用勾股定理可求得梯形各边长。
解答过程：过点D作DE//BC交AB于点E.又AB//CD，所以四边形BCDE是平行四边形.所以DE＝BC＝17，CD＝BE.在R t△DAE中，由勾股定理，得AE2＝DE2－AD2，即AE2＝172－152＝64.所以AE＝8.所以BE＝AB－AE＝16－8＝8.2. 平移两腰：例2. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。
思路分析：1）题意分析：本题考查了平移梯形两腰的方法的应用。
2）解题思路：根据∠B＋∠C=90°可联想到直角三角形，又E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长，所以平移两腰得直角三角形，从而求得EF的长。
小学梯形面积公式
小学梯形面积公式梯形是一个具有四边的四边形。
它的两条边平行且不相等，而其余两条边不平行也不相等。
小学阶段，学生们通常会学习到梯形的面积计算公式。
在本文中，我将详细介绍小学阶段学生所学习到的梯形面积公式以及相关的解题方法。
梯形的面积计算公式是：面积=（上底+下底）×高÷2这个公式适用于任何梯形，只要我们知道梯形的上底、下底和高即可。
上底和下底是梯形上下两条平行边的长度，高是两条平行边的距离。
那么，如何应用这个公式来解决实际问题呢？我们可以通过以下几个步骤来解题：步骤一：问题分析首先，我们需要仔细读题并理解题意。
看看题目给出的条件是什么，我们需要计算什么。
我们要确定上底、下底和高的具体数值。
步骤二：数据提取一旦我们理解了问题的具体要求，我们就需要从题目中提取出必要的数据。
通常，题目中会给出上底、下底或高的数值，或者我们需要计算这些数值。
步骤三：应用公式知道了梯形的上底、下底和高的具体数值，我们就可以将这些数值代入梯形面积计算公式中，计算出梯形的面积。
步骤四：单位最后，我们要记住给出的答案必须与题目中提供的单位保持一致。
如果题目中没有给出单位，我们可以使用默认的单位。
让我们通过一个例子来具体说明这些步骤：例子一：若一梯形的上底长为5cm，下底长为8cm，高为3cm，求该梯形的面积。
步骤一：问题分析我们需要计算一个梯形的面积，已知上底、下底和高的数值。
步骤二：数据提取已知上底长为5cm，下底长为8cm，高为3cm。
步骤三：应用公式根据梯形面积公式，面积=（上底+下底）×高÷2代入数值，面积=（5+8）×3÷2=39÷2=19.5步骤四：单位答案为19.5平方厘米。
通过这个例子，我们可以清楚地看到解决梯形面积问题的步骤。
让我们再做一个稍微复杂一点儿的例子：例子二：一块土地的形状为梯形，上底长为12米，下底长为20米，高为8米。
农民需要计算这块土地的面积以确定需要购买多少土壤来种植庄稼。
例谈梯形中的转化思想
例说梯形中的转化思想内容提要：“转化”方法是研究和解决数学问题的一种有效的思考方法，是运用事物之间互相联系的观点，把未知变为已知，把复杂变为简单的思维方法。
《数学课程标准》中指出：数学学习应当使学生“形成解决问题的一些策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神”。
因此，我在数学教学中，渗透数学转化思想，有意识地培养学生学会用“转化”思想解决问题，从而提高数学能力。
下面结合自己的教学实践，通过例题谈一谈转化的数学思想在梯形中的应用。
关键词：梯形转化思想梯形是一种特殊的四边形，它的一组对边平行而另一组对边不平行。
它是三角形和平行四边形知识的综合，通过适当地添加辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形的组合图形，再运用三角形、平行四边形的知识去解决梯形的有关问题是最常见的方法。
抓住“转化”这一数学思想，添加辅助线，梯形的计算题与证明题便迎刃而解了。
一、平移一腰：就是过梯形上腰的一个顶点作一腰的平行线，将梯形转化为一个三角形和一个平行四边形来解决问题。
例1：如图，已知：在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=16，CD=13，AD=10 ，则BC的取值范围。
解：过点C作CE∥AD，交AB于点E，∵AB∥DC，EB∴四边形DAEC 是平行四边形， ∴DC=AE=13，AD=EC=10， ∴EB=AB-AE=AB-CD=16-13=3，在△BCE 中，根据三角形三边关系定理，得：7＜BC ＜13。
二、作梯形的高：即过梯形的同一底的两个端点作另一底的垂线，把梯形转化为一个矩形和两个直角三角形，如果在等腰梯形中，这两个直角三角形是全等的。
例2：（全国初中数学竞赛试题）如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=8，BC=62，∠BCD=45°，∠BAD=120°，求梯形ABCD 的面积. 分析：可以作梯形的高，将梯形分成直角三角形和矩形来研究. 解：作梯形ABCD 的高AE 和BF ，则四边形AEFB 是矩形. ∴AB=EF ，AE=BF.在Rt △BFC 中，∠BCD=45°， ∴∠FBC=45°.∴BF=CF=22BC.∵BC=62， ∴BF=CF=6. 在Rt △ADE 中，∠DAE=∠DAB －∠EAB=120°－90°=30°. 设DE=x ，则AD=2x ，AE=3x . ∴36x =.∴23D E x ==.∴S梯形ABCD = 12（AB＋CD）×AE=12（8＋23＋8＋6）= 66＋63.三、利用中点：当已知梯形一腰的中点时，可连结梯形底边的一个端点和中点，并延长与另一底边的延长线相交，构造一对全等三角形，从而把梯形问题转化为三角形问题。
以《梯形》面积教学为例谈小学数学面积教学中转化思想的运用
以《梯形》面积教学为例谈小学数学面积教学中转化思想的运用作者：何清燕来源：《新课程·上旬》2018年第11期摘要：在小学数学的学习中，多边形面积求解是学生学习的重点，这主要是训练学生的空间思维想象能力与分析能力，看学生是否能够活学活用，将其转化。
尤其是在苏教版的教材中，多边形面积求解作为五年级学生必须掌握的知识，即让学生必须掌握转化思想的灵活运用。
以此为内容展开深入探讨。
关键词：转化思想；梯形面积；小学数学一、关于转化思想的内容概述转化思想和其他的数学思想不同，具有一定的针对性，转化思想只针对一部分知识，并不是对所有的知识都适用。
转化思想就是把问题转化成相似的问题来进行思考。
当学生在做数学题的时候，遇到一些没有见过的问题，需要从已知的方向入手去分析，有可能就能解决这个问题。
这就运用了转化的思想。
转化的实质就是把那些未知的转变成已知的。
从而把那些复杂的问题简单化，化繁为简，学生也可以有一个更加清晰的思路去解决问题。
转化思想在数学中的使用还是非常普遍的。
学生学会使用转化思想可以大大提高学生的数学水平和解题能力。
在小学这个重要的时期，数学的学习尤为重要，在这个阶段，是学生为今后的数学学习打基础的阶段。
在小学数学的多边形面积这块就可以体现出转化思想。
尤其是梯形的这块，所以教师在教学的时候要注意对学生转化思想的培养。
二、转化思想在梯形面积求解中的运用策略谈到梯形的面积，首先学生应该熟练掌握一些简单图形的面积，比如正方形和长方形。
除了这两个，学生还应该掌握三角形以及平行四边形。
对于平行四边形，它的对边平行，而且对边是相等的。
要想学生正确使用转化的思想，需要学生从当前的问题跳跃出来，对其进行深入的思考和分析，然后对梯形进行空间的转化，这就是转化思想的运用。
在进行转化思想的教学的过程中，应该注意从当前的教学过程中分离，才能够体现出转化思想的巧妙。
（一）立足于教材，而又超脱于教材梯形面积的学习是教材原有的内容，也是学生必须要掌握的知识和技巧。
转化恩想在梯形教学中的应用——梯形第1课时的教学过程及分析
Ｃ
组 对边不 平 行 的四边 形 叫梯形 ．
师： 对， 我 们 将 其 中平 行 的 两 边 叫梯 形 的 底
边， 不平 行 的两边 叫梯 形 的腰 ， 夹在 两底 之 间的垂 线段 叫梯形 的高 ． 师： 从 刚才 的实验 可 以看 出 ， 梯形 和 三角形 有 什 么联 系 ？ 生： 梯形 可 由三 角形 切割得 到 ， 或梯 形可 以补 为 三 角形．
师： 你是 怎 么想 到的 ？
生： 平 行 四边形 、 菱形、 长 方形 、 正 方形 等一些
特殊 的 四边 形 ． 师： 那 接下 来 研 究梯 形 也 自然研 究 特 殊 的 梯 形． 聪 明的你 是否 可 以画 出特 别 的梯形 呢 ？
学生 画 出图 ２ ．
生： 证 明两个 角相 等 可 以用 三 角形 全 等 来 证
生： 一组对边平行 ， 另 一 组对 边不 平行 ． 师： 这 类 四 边 形 也 是 常 见的， 我 们 称 它 为 梯形 ． 你 能 Ｂ 给 出梯形 的定 义 吗？
生： 一 组 对 边 平 行 另 一
图 １
．
点 评 通过 简单的 实验探 究 ， 让 学生从 三 角 形 剪切 得 到梯形 ， 然后 追 问 三 角形 和梯 形 的 相 互
图５
（ 图５ ） ， 从而 Ｅ Ａ—Ａ Ｄ 一５ ， Ｂ Ｃ
巧用转化思想求作梯形面积等分线
巧用转化思想求作梯形面积等分线——对一道中考试题的探究一、问题的缘起原题（2005年贵阳中考题）如图1，在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；(1)根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有多少组；(2)请在平行四边形中画出满足小强分割方法的不同的直线；(3)由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？解 (1)无数；(2)作图的时候要首先找到对角线的交点，只要过对角线的交点，任画两条直线即可．(3)这两条直线过平行四边形的对称中心（或对角线的交点）．图2中前两个图中四部分面积相等，第三个图只是相对的面积相等．由此我们想到新问题：怎样在平行四边形中作两条直线，把其面积四等分？我们知道，过平行四边形对称中心的直线平分其面积，在图3中，EF 把□ABCD的面积分为两个全等等积的梯形，因此只要过一腰中点作梯形的面积等分线即可．二、问题的探究问题梯形ABCD中，AD∥BC，点O是CD的中点，在AB上求作一点P，使直线OP平分梯形ARCD的面积．分析1 假设直线OP已作出，如图4．由合比定理，得，故而AF＝BP．作法1 如图4．1．连结AO并延长，交BC延长线于点E；2．过点C作CF∥AE，交AB于点F；3．在BA上作BP＝AF；4．作直线OP．分析2 假设直线OP已作出，如图5．要使S△APD＝S△BPC，只需AP·AD＝BP·BC．将AD平移至BE，在AB上截取AF＝BP，则AP＝BF，则只需BF·BE＝BP·BC，即，则PE∥CF，四边形ECFP为梯形．取其中位线MN，则MN∥EP，此时N为AB的中点．作法2 如图5．1.过点D作DE∥AB，交BC于点E；2．分别作EC、AB的中点M、N，连结MN；3．过点E作EP∥MN，交AB于点P；4．作直线OP．分析3 假设直线OP已作出，如图6．要使S△APD＝S△BPC，将AD平移至BE，则S△APD＝S△PAE.过点A作AF∥PE，则S△PAE＝S△PEF.故只需S△BPC＝S△PEF，由于同高，故而BE＝CF.作法3 如图6．1．过点D作DE∥AB，交BC于点E；2．在BC延长线上作CF＝BE，连结AF；3．过点E作EP∥AF，交AB于点P；4．作直线OP.分析4 在图6中明显地看到AF经过点O，这是巧合吗？由CF＝BE，而AD＝BE，故CF＝AD且平行，由平行四边形对角线互相平分易证AF 经过点O．看来是偶然中的必然，为此可改良作法3．作法4 如图6．1．过点D作DE∥AB，交BC于点E；2．连结AO并延长，交BC延长线于点F；3．过点E作EP∥AF，交AB于点P；4．作直线OP.分析5 假设直线OP已作出，如图7．将AD平移至BE，连结AO并延长，交BC延长线于点F，则S△BOE＝S△OCF＝S△OAD，S△BAO＝S△BFO，∴S△BPO＋S△PAO＝S△BOC＋S△OCF. ①要使S四边形APOD＝S四边形BCOP，即S△PAO＋S△OAD＝S△BOC＋S△BPO. ②由①、②，得S△BPO＝S△OCF，故S△BPO＝S△BOE.△BPO与△BOE同底OB，只需等高即可．作法5 如图7．1．过点D作DE∥AB，交BC于点E；2．作点E关于BO的对称点E’；3．过点E’作E'P∥BO，交AB于点P；4．作直线OP.注图中还有S△APO＝S△BOC，分析6 假设直线OP已作出，如图8．将AD平移至CE，取AE中点F，则O－F－B等分梯形面积．连结BO、PF，则S四边形APOD＝S□AFOD＋S△APF＋S△PFO＝S□AFOD＋S△ABF－S△PFB＋S△PFO，故S△PFB＝S△PFO，因而PF∥BO.作法6 如图8．1．过点A作AE∥DC，交BC于点E；2．取AE中点F，连结OB；3．过点F作FP∥BO，交AB于点P；4．作直线OP.分析7 假设直线OP已作出，如图9．连结AC；过点D作DE∥AC，交BA延长线于点E则S△ACD＝S△ACE，梯形面积转化为△BCE的面积．取BE中点F，连结OF，则S△EFC＝S△BCE＝S四边形APOD而S△EFC＝S△AFC＋S△ACE＝S△AFC＋S△ACD＝S四边形AFCD．故只需S四边AFCD＝S四边形APOD，只需S△OFP＝S△OFC，因而CP∥OF.作法7 如图9．1．连结AC；过点D作DE∥AC，交BA延长线于点E；2．取BE中点F，连结OF；3．过点C作CP∥OF，交AB于点P；4．作直线OP.分析8 假设直线OP已作出，如图10.连结AO、BO；分别过点D、C作DE∥AO、CF∥BO、交直线AB于点E、F，则梯形面积转化为△EOF 的面积，此时只需作EF上的中线即可．作法8 如图10.1．连结AO、BO；2．分别过点D、C作DE∥AO、CF∥BO，交直线AB于点E、F；3．取EF的中点P；4．作直线OP.注图9、图10的方法也是过任意四边形边上一点作四边形的面积等分线的通法，之所以把这两种通法放到最后，是以防通法禁锢住我们的思维而陷入思维定势，让我们不再动脑多思而漏掉前6种作法．以上解法，多次用到了转化的思想，如等线段代换，等积代换等等，让我们感受到了转化的神奇魅力．同时，“老题”不“老”，“老题”也能发“新芽”，也能焕发出勃勃生机！。
梯形中添加辅助线的六种常用技巧
梯形中添加辅助线的六种常用技巧在几何学中，梯形是一种具有两条平行边的四边形。
为了解决梯形问题，往往需要在梯形中添加辅助线。
下面介绍六种常用的技巧。
1.连接两个对角线：首先，连接梯形的两个非平行边的中点，形成一条对角线。
然后，连接梯形的两个对角线中点，即可形成两个等腰三角形。
这样，可以通过等腰三角形性质来得到有关角度和边长的信息。
2.连接平行边的中点：将梯形的两条平行边的中点相连，可以形成一条平行于两条平行边的线段。
这条线段将梯形分成两个平行四边形，从而可以根据平行四边形的性质来解决问题。
3.连接一条平行边的中点和另一条边的中点：将梯形的一条平行边的中点和与之相对的边的中点连接，可以形成一条平行于梯形的底边的中线。
这样，可以通过中线分割线段的性质来得到有关线段和平行边的信息。
4.连接底边的中点和非平行边的中点：将梯形的底边的中点和非平行边的中点连接，可以形成一条平行于两条平行边的线段。
这样，可以根据平行四边形的性质来推导出梯形内部各部分的关系。
5.连接两个顶点和底边上的中点：将梯形的两个顶点和底边上的中点相连，可以得到两个等腰三角形。
利用等腰三角形的性质，可以推导出梯形的各个部分的角度和边长关系。
6.连接梯形的顶点和对角线交点：将梯形的两个顶点和另一条对角线的交点相连，可以形成一个三角形。
根据三角形的性质，可以得到角度和边长的关系，进而解决梯形问题。
这些添加辅助线的技巧可以帮助我们更好地理解和解决梯形问题。
通过巧妙地添加辅助线，可以将原来复杂的问题转化为简单的几何形状，从而更容易得到解答。
在解决梯形问题时，我们可以根据具体情况选择适合的添加辅助线的技巧，以便更加高效地解决问题。
悉心领悟 适时转化——以“梯形的面积”教学为例
习的 ， 学生 已经 能够 区分平行 四边形 、 角形和梯 形 三
的高 和底 ， 掌握 了 平 行 四 边 形 和 三 角 形 的 面 积 公 式 ， 并 会 正确 运 用公 式 解 决 相 关 的 问 题 。 之前 学 生 在 学 习平 行 四边 形 和 三 角 形 面 积 公 式 时 已 接 触 过 “ 归 ” 想 ， 平 行 四 边 形 化 成 长 方 形 化 思 把
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的方法 ， 也可 以用拼摆的方法 ； 以转化 为三角形进 可
行推 导 ， 可 以 转化 成 平 行 四边 形 进 行 推 导 ， 法 与 也 方
旧知回顾 ， 提炼 方法
课件出示 ：
（ ） 数 乘 小 数 １小
１２ ．
但较 之前两节课 ， 本节课要求 有所 提高 ， 不再给出具 体 的方法 ，而是要求 用学 过的方法去推导梯 形面积
计 算 公 式 。 这 里 仍 然 要 运 用 转 化 成 已学 过 图形 的 方 法 ， 是 从 教 材 中 学 生 的 操 作 可 以 看 出 ， 以 用分 割 但 可
（） １两个拼成平行四边形 ：
生： 梯形 的面积和转化 后（ ）３） 图形面积 的 ２（ （ ４）
ห้องสมุดไป่ตู้大 小是 相 等 的 。 （ 那 我 们 选 择 了 哪 几 个 信 息 解 决 了 梯 形 的 ４）
（） ２ 对角线分成 两个 三角形
面积 ？
梯形的教学案例：从梯形到平行四边形的巧妙转化
梯形的教学案例：从梯形到平行四边形的巧妙转化梯形是小学数学中比较基础的图形之一，也是中学数学中比较重要的概念之一。
梯形既有基本特征，也有多种分类方法和应用。
在教学中，如何能让学生真正掌握梯形的性质和应用，更好地理解和掌握平行四边形的相关概念和性质，是当前教学需要解决的难题。
本文将通过一个具体的教学案例，从多个方面介绍如何将梯形与平行四边形有机结合，推进小学数学到中学数学的过渡过程。
1．引出问题在课程开始之前，通过一个简单的问题引出课程的主题，激发学生的学习兴趣和好奇心。
以“画一个梯形，如何才能把它变成平行四边形？”为例，可以让学生自己寻找答案，感受到数学的神奇之处。
2．引入梯形的基本概念和性质通过图形、直观的示例，引入梯形的基本概念和性质。
可以让学生自己观察一些具有梯形特征的图形，如楼梯、梯田、梯形车道等，让学生自己发现和描述它们的共性和特点，了解梯形的定义和基本构造。
引入梯形的性质，如两个底角相等、两边角相等、两对邻边平行等，让学生通过观察和验证来感悟梯形的性质。
还可以通过绘制模型、拼图等活动，让学生进一步体验和感受梯形的各种特征。
3．引入平行四边形的基本概念和性质在学习梯形的基本概念和性质后，引入平行四边形的概念和性质，让学生通过对比和类比，更好地理解和掌握平行四边形的相关概念和性质。
可以通过简单的图形和实物，引入平行四边形的概念和特点，如同位角相等、对边相等且平行等。
引入平行四边形的性质，如两组对边相等、两组对角线互相平分等，让学生通过观察和比较来感悟平行四边形的性质。
还可以通过画图、折纸等活动，让学生进一步体验和探究平行四边形的各种特征。
4．梯形到平行四边形的转化在学习了梯形和平行四边形的相关概念和性质后，引入如何将梯形转化成平行四边形的方法和技巧，从而达到更深层次、更全面的理解和掌握。
可以通过具体的例子，让学生自己找出其中的规律和特点，如将一个梯形划分成若干个三角形和平行四边形、在梯形上面或下面加一条边等。
梯形转化为平行四边形的方法
梯形转化为平行四边形的方法大家好，今天咱们来聊聊一个看起来有点复杂但其实挺简单的数学问题——如何把一个梯形变成平行四边形。
听起来是不是有点吓人？别急，咱们一步一步来，就像剥洋葱一样，把问题一点点揭开，最后你会发现其实并没有那么难。
1. 梯形和它的特点1.1 什么是梯形梯形，顾名思义，就是有两个平行边的四边形。
那两个平行的边叫做梯形的“底边”，其余的两个边叫做“腰”。
梯形的高，就是指从一个底边到另一个底边的垂直距离。
说白了，就是从上到下的高度。
1.2 梯形的样子想象一下，梯形就像是你在学校操场上看到的那种有点倾斜的挡板。
底边可以是短的，也可以是长的；上面一边也可以是短的或者长的。
梯形的这些边不一定都是一样的长度，有些可能长一些，有些可能短一些。
2. 如何将梯形转化为平行四边形2.1 了解平行四边形先来聊聊平行四边形。
平行四边形就是两个对边分别平行且长度相等的四边形。
举个例子，咱们常见的桌子就是平行四边形，桌子的对边都是平行的。
2.2 转化的基本思路将梯形转化为平行四边形的关键在于“裁剪”和“拼接”。
具体来说，我们可以把梯形的一个部分裁剪下来，然后调整位置，再拼接到原来的梯形上。
听起来是不是很神奇？其实就是把梯形“变戏法”一样的“改头换面”。
3. 具体操作步骤3.1 步骤一：画图和裁剪首先，拿出一个梯形图纸，准备好一把剪刀。
我们要做的第一步是把梯形分成两个部分。
最简单的方法就是从梯形的一个角开始，画一条平行于底边的直线，这样梯形就被分成了两个小梯形。
这条线其实就是梯形的“腰线”，它是从一个底边到另一个底边的高度。
你可以在纸上用直尺画这条线。
3.2 步骤二：调整位置接下来，把其中一个小梯形沿着刚才画的线剪下来。
然后，把这个小梯形翻转过来，像拼图一样把它贴到另一个小梯形的空白位置。
这样，你会发现之前两个不平行的边，现在被拼接成了两个平行的边。
慢慢地，梯形就变成了一个平行四边形了。
4. 总结与应用转化的过程可能听起来有些复杂，但实际操作起来其实挺简单的。
梯形的最大面积问题
梯形的最大面积问题梯形是初中数学中常见的一个几何图形，其定义为有两条平行边的四边形。
在初中数学中，我们学过如何计算梯形的面积，即取上底和下底的平均数，再乘以梯形的高。
但是，我们是否曾想过，梯形的最大面积是多少呢？这是一个非常有趣的问题，本文将探讨这个问题。
为了更好地讨论这个问题，我们首先需要了解一些基本的知识。
围绕着梯形的最大面积问题，我们需要掌握以下几个知识点：函数的最大值、导数的应用、二次函数的图像和性质等。
首先，我们来看一个简单的问题：如何求函数y=x^2在区间[0,1]上的最大值。
我们可以通过画出函数图像，或者通过观察变化率的方法来求解。
但是，这些方法在面对更加复杂的问题时可能无法奏效。
因此，我们需要使用函数的导数来解决这个问题。
函数的导数可以理解为函数的变化率，其意义是在某个点上函数的函数值随着自变量的微小变化而变化的比率。
更加具体地说，如果函数f(x)在某个点x0处有导数，那么f(x0)的导数就是关于x的一次函数k，它表示了在x0处，f(x)的变化与x的变化的比率。
如果我们希望求解函数的最大值，那么我们可以使用导数的方法。
具体地说，我们找到函数的导数为0的点，然后将这些点带回原函数中，找到最大值即可。
例如，对于函数y=x^2在区间[0,1]上的最大值问题，我们可以求出它的导数y'=2x，然后令其等于0，即2x=0，解得x=0，x=1。
由于这是一个二次函数，由一元二次方程的根的性质可知，当x=0或x=1时，它取得最大值y=1。
有了这个方法，我们就可以对梯形的最大面积问题进行求解了。
我们假设梯形的上底长为a，下底长为b，高为h。
显然，梯形的面积为：S=(a+b)h/2。
首先，我们可以将求梯形的最大面积问题转化为求函数的最大值问题。
具体地说，我们将S看作关于a的函数，即S=f(a)=(a+b)h/2。
然后，我们对函数f(a)求导数，得到f'(a)=h/2。
当f'(a)=0时，即h=0时，显然S=0，因此我们只需要考虑h不等于0的情况。
解决梯形问题的基本思路为通过割补，拼接转化成三角形、平行四边形
解决梯形问题的基本思路为通过割补，拼接转化成三角形、平行四边形的问题解决，通常利用平移，旋转等引辅助线法来实现转化，常见的辅助线大致有以下八种：1．延长两腰，构造三角形例1：已知：在四边形ABCD中，有，，。
求证：四边形ABCD为等腰梯形。
分析：由题意：只需证即可证此四边形为等腰梯形，由知，如果延长BA、CD可得等腰和，从而可得。
证明：延长BA、CD，它们交于点E，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，，∴，∴∵，，∴四边形ABCD为等腰梯形。
2．连对角线，把梯形问题转化为平行四边形或三角形来解决例2：已知在梯形ABCD中，，，延长AB到E，使，连结AC、CE，求证：。
分析：因为，且，因此ABCD是等腰梯形，因此只需证即可。
证明：连接BD，∵，且，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴∵，且，∴四边形BECD是平行四边形，∴，∴。
3．平移一腰，把梯形转化成三角形和平行四边形（过梯形任一顶点作腰的平行线）例3：已知：如图，等腰梯形ABCD中，，，，，求的度数。
分析：如过A作，有平行四边形AECD，则为等边三角形。
证明：过A作AE//CD交BC于E，∵，∴四边形AECD为平行四边形。
∴，∵，，∴，∵四边形ABCD为等腰梯形，∴，∴∴为等边三角形，∴。
注意：在梯形中常通过作腰的平行线，构造平行四边形，三角形，利用平行四边形的性质，把分散条件集中到三角形中去，从而为证题创造必要条件。
4．平移对角线，把梯形转化成平行四边形和三角形（过任一顶点作对角线的平行线）例4：已知，如图，等腰梯形ABCD中，，，，于E，求的长。
分析：由等腰梯形知，又，，如过D作，交BC的延长线于F，则为等腰直角三角形。
证明：过D作，交BC的延长线于F，则四边形ACFD为平行四边形，∴，，∵四边形ABCD为等腰梯形，∴，，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴的长为5。
注意：当有对角线相等或垂直时，常作梯形对角线的平行线，构造平行四边形、等腰三角形或直角三角形。
5．作双高，把梯形转化成两个直角三角形和矩形（过一底两顶点作另一底的垂线）例5：如图，在梯形ABCD中，已知，，，，求梯形ABCD的面积。
梯形的转化
梯形的转化梯形，相对于其他特殊的平行四边形而言，所具有的性质较“贫乏”，因此给解决相关问题所能提供和使用的性质定理也就比较单一，解题难度随之加大，这使我们不得不将梯形问题化归为其他更易于解决的问题。
化归思想，其实质就是将一个问题进行等价变形，使其转化为另一个已经解决的问题，从而使原来的问题得到解决。
梯形知识的学习是建立在三角形、平行四边形、矩形等知识基础上的，因此，在解决梯形问题时，应充分考虑将问题转化为上述问题来研究.把梯形转化成其他图形，一般有两条常用的思路供我们选择：一是“就梯形论梯形”，在梯形中添加适当的辅助线进行重新分割；二是“向梯形外扩张”，因势利导地把梯形“扩”为其他图形。
有时，这两种思路都能解决问题；有时，必须根据图形的特征选择其中一种能解决问题的思路。
例如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C＝45°，AD＝4，AB＝22，求BC的长和梯形ABCD的面积。
解法1 如图，过D作DE∥AB交BC于E，易得四边形ABED是平行四边形，∴AD＝BE＝4，DE＝AB＝22∴在等腰直角三角形DEC中，斜边EC＝4，斜边上的高＝2∴BC＝BE＋EC＝8∴梯形ABCD的面积＝（4＋8）×2÷2＝12解法2如图，过A，D分别作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，∴四边形AEFD为矩形，∴AD＝EF＝4，AE＝DF，Rt⊿ABE≌Rt⊿DCF，∠B＝45°，∴BE＝AE＝DF＝CF＝2，∴ BC＝2＋4＋2＝8∴梯形ABCD的面积＝（4＋8）×2÷2＝12解法3如图，延长BA，CD交于E，因为∠B＝∠C＝45°，所以∠E＝90°在等腰直角三角形ADE中，斜边AD＝4∴AE＝DE＝22∴等腰直角三角形BCE的直角边BE＝22＋22＝42，∴BC＝8，∴梯形ABCD的面积＝⊿BCE的面积－⊿ADE的面积＝16－4＝12有时，当梯形的对角线相互垂直时，下面的方法也是常用的化归方法。
巧用转化思想求作梯形面积等分线
巧用转化思想求作梯形面积等分线——对一道中考试题的探究一、问题的缘起原题 （2005年贵阳中考题）如图1，在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD 分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；(1)根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有多少组；(2)请在平行四边形中画出满足小强分割方法的不同的直线；(3)由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？解 (1)无数；(2)作图的时候要首先找到对角线的交点，只要过对角线的交点，任画两条直线即可．(3)这两条直线过平行四边形的对称中心（或对角线的交点）．图2中前两个图中四部分面积相等，第三个图只是相对的面积相等．由此我们想到新问题：怎样在平行四边形中作两条直线，把其面积四等分？我们知道，过平行四边形对称中心的直线平分其面积，在图3中，EF 把□ABCD 的面积分为两个全等等积的梯形，因此只要过一腰中点作梯形的面积等分线即可．二、问题的探究问题 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点O 是CD 的中点，在AB 上求作一点P ，使直线OP 平分梯形ARCD 的面积．分析1 假设直线OP 已作出，如图4．由合比定理，得AF BP AB AB， 故而AF ＝BP ．作法1 如图4．1．连结AO 并延长，交BC 延长线于点E ；2．过点C 作CF ∥AE ，交AB 于点F ；3．在BA 上作BP ＝AF ；4．作直线OP ．分析2 假设直线OP 已作出，如图5．要使S △APD ＝S △BPC ，只需AP ·AD ＝BP ·BC ．将AD 平移至BE ，在AB 上截取AF ＝BP ，则AP ＝BF ，则只需BF ·BE ＝BP ·BC ， 即BE BP BC BF，则PE ∥CF ，四边形ECFP 为梯形．取其中位线MN ，则MN ∥EP ，此时N 为AB 的中点．作法2 如图5．1.过点D 作DE ∥AB ，交BC 于点E ；2．分别作EC 、AB 的中点M 、N ，连结MN ；3．过点E 作EP ∥MN ，交AB 于点P ；4．作直线OP ．分析3 假设直线OP 已作出，如图6．要使S △APD ＝S △BPC ，将AD 平移至BE ，则S △APD ＝S △PAE .过点A 作AF ∥PE ，则S △PAE ＝S △PEF.故只需S △BPC ＝S △PEF ，由于同高，故而BE ＝CF.作法3 如图6．1．过点D 作DE ∥AB ，交BC 于点E ；2．在BC 延长线上作CF ＝BE ，连结AF ；3．过点E 作EP ∥AF ，交AB 于点P ；4．作直线OP.分析4 在图6中明显地看到AF 经过点O ，这是巧合吗？由CF ＝BE ，而AD ＝BE ，故CF ＝AD 且平行，由平行四边形对角线互相平分易证AF 经过点O ．看来是偶然中的必然，为此可改良作法3．作法4 如图6．1．过点D 作DE ∥AB ，交BC 于点E ；2．连结AO 并延长，交BC 延长线于点F ；3．过点E 作EP ∥AF ，交AB 于点P ；4．作直线OP.分析5 假设直线OP 已作出，如图7．将AD 平移至BE ，连结AO 并延长，交BC 延长线于点F ，则S △BOE ＝S △OCF ＝S △OAD ，S △BAO ＝S △BFO ，∴S △BPO ＋S △PAO ＝S △BOC ＋S △OCF . ①要使S 四边形APOD ＝S 四边形BCOP ，即S △PAO ＋S △OAD ＝S △BOC ＋S △BPO. ②由①、②，得S △BPO ＝S △OCF ，故S △BPO ＝S △BOE .△BPO 与△BOE 同底OB ，只需等高即可．作法5 如图7．1．过点D 作DE ∥AB ，交BC 于点E ；2．作点E 关于BO 的对称点E ’；3．过点E ’作E'P ∥BO ，交AB 于点P ；4．作直线OP.注 图中还有S △APO ＝S △BOC ，分析6 假设直线OP 已作出，如图8．将AD 平移至CE ，取AE 中点F ，则O －F －B 等分梯形面积．连结BO 、PF ，则S 四边形APOD ＝S □AFOD ＋S △APF ＋S △PFO＝S □AFOD ＋S △ABF －S △PFB ＋S △PFO ，故S △PFB ＝S △PFO ，因而PF ∥BO.作法6 如图8．1．过点A 作AE ∥DC ，交BC 于点E ；2．取AE 中点F ，连结OB ；3．过点F 作FP ∥BO ，交AB 于点P ；4．作直线OP.分析7 假设直线OP 已作出，如图9．连结AC ；过点D 作DE ∥AC ，交BA 延长线于点E 则S △ACD ＝S △ACE ，梯形面积转化为△BCE 的面积．取BE 中点F ，连结OF ，则S △EFC ＝12S △BCE ＝S 四边形APOD 而S △EFC ＝S △AFC ＋S △ACE＝S △AFC ＋S △ACD ＝S 四边形AFCD ．故只需S 四边AFCD ＝S 四边形APOD ，只需S △OFP ＝S △OFC ，因而CP ∥OF.作法7 如图9．1．连结AC ；过点D 作DE ∥AC ，交BA 延长线于点E ；2．取BE 中点F ，连结OF ；3．过点C 作CP ∥OF ，交AB 于点P ；4．作直线OP.分析8假设直线OP已作出，如图10.连结AO、BO；分别过点D、C作DE∥AO、CF∥BO、交直线AB于点E、F，则梯形面积转化为△EOF的面积，此时只需作EF上的中线即可．作法8 如图10.1．连结AO、BO；2．分别过点D、C作DE∥AO、CF∥BO，交直线AB于点E、F；3．取EF的中点P；4．作直线OP.注图9、图10的方法也是过任意四边形边上一点作四边形的面积等分线的通法，之所以把这两种通法放到最后，是以防通法禁锢住我们的思维而陷入思维定势，让我们不再动脑多思而漏掉前6种作法．以上解法，多次用到了转化的思想，如等线段代换，等积代换等等，让我们感受到了转化的神奇魅力．同时，“老题”不“老”，“老题”也能发“新芽”，也能焕发出勃勃生机！。
梯形问题巧转化
流程
知识准备
问题探究 知识总结
1.等腰梯形具有怎样的性质？ 2.梯形的中位线具有怎样的性质？ 3.如图：△ABC中,∠C=90°,且 C CD⊥AB，若AC=6,BC=8, CD=_____
B
C
F
拓展：在已知条件不变的情况下，若∠BAD=110°，
则∠EBC=_________
梯 形 中 常 见 辅 助 线 添 加 方 法
平移腰
延长两腰
作高
平移对角线
连接底的一端与一腰 的中点
从课本、练习册或参考书中，找5道题，分别对应5 种方法 (以小组为单位，组内交流之后上交题目及解题过程)
挑战你的技能
A D
4. △ABC中,AB=AC,若AD是中线，你 还能得出怎样的结论？ A
B D C
B
1.如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD//BC,∠B=∠60°， BC＝49，AD=15,求它的腰长.
A D
B
E
C
1.如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD//BC,∠B=∠60°， BC＝49，AD=4,求它的腰长. E
A D
B
C
2．已知梯形ABCD中，AD//BC，对角线 AC⊥BD，且AC=6， BD=8，求梯形的中位 线长.
A D
B
C
E
拓展：题目条件不变，你还能求得什么结论？
3.已知:如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD+BC， E为CD的中点，连接AE、BE A D 求证：(1)BE平分∠ABC (2)AE⊥BE E
初中几何
初中几何三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形问题巧转换，变为△和□。
平移腰，移对角，两腰延长作出高。
如果出现腰中点，细心连上中位线。
上述方法不奏效，过腰中点全等造。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
注意点辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
二由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线（一）、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。
下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。
如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
梯形面积公式推导：动画演示梯形转化成平行四边形、三角形
课堂练习
1.算出下面每个梯形的面积。（单位：厘米）
5
10
20
8
8
11
12
10
8
S=(a＋b) ×h÷2 S=(a＋b) ×h÷2 S=(a＋b)×h÷2
=(5＋10) ×8÷2 =(8＋12) ×10÷2 =(8＋20) ×11÷2
=60
=100
=154
梯形的面积是平行四边形的面积的一半。
选择题
（ （1）梯形的上底是4米，下底是6米，高是5米，它的面积
是（ B ） 。
A. A. 45平方米 B. 25平方米 C. 25米
( 2 ) （2）一个梯形上底是80厘米,下底是12分米。高是5分米
，它的面积是（ A ）平方分米。
A A 50
B. 25
C. 230
一个梯形的上底是9厘米，比下底短 3 厘米，高是10厘米， 它的面积是多少平方厘米？
b=9 + 3 = 12（厘米） S=(a＋b) ×h÷2
=（9+12）×10÷2 = 21 ×10÷2 = 105
答：梯形的面积是105平方厘米。
全课总结
1、今天课堂上我们学梯形面积公式的推导。 2、梯形的面积公式中为什么要除以2 ？
梯形面积公式推导ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
动画演示梯形拼成平行四边形、三角形
自主学习：
你能仿照求三角形面积的办法，运用转化法把梯形转化成已学过 的图形（平行四边形、三角形等），然后推导出梯形的面积公式吗？
上底
下底
下底
上底
上底
下底
下底
上底
想一想：
１、拼成的图形与原梯形的面积有什么关系？ 2、拼成图形的底与梯形的上底、下底有什么关 系？ 3、拼成图形的高与梯形的高有什么关系？
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知识准备
问题探究 知识总结
1.等腰梯形具有怎样的性质？ 2.梯形的中位线具有怎样的性质？ 3.如图：△ABC中,∠C=90°,且 C CD⊥AB，若AC=6,BC=8, CD=_____
A D
4. △ABC中,AB=AC,若AD是中线，你 还能得出怎样的结论？ A
B D C
B
1.如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD//BC,∠B=∠60°， BC＝49，AD=15,求它的腰长.
A D
B
E
C
1.如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD//BC,∠B=∠60°， BC＝49，AD=4,求它的腰长. E
A D
B
C
2．已知梯形ABCD中，AD//BC，对角线 AC⊥BD，且AC=6， BD=8，求梯形的中位 线长.
A D
B
C
E
拓展：题目条件不变，你还能求得什么结论？
3.已知:如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD+BC， E为CD的中点，连接AE、BE A D 求证：(1)BE平分∠ABC (2)AE⊥BE E
B
C
F
拓展：在已知条件不变的情况下，若∠BAD=110°，
则∠EBC=_________
梯 形 中 常 见 辅 助 线 添 加 方 法
平移腰
延长两腰
作高
平移对角线
连接底的一端与一腰 的中点
从课本、练习册或参考书中，找5道题，分别对应5 种方法 (以小组为单位，组内交流之后上交题目及解题过程)
挑战你的技能
1.梯形ABCD的两底AB和CD的长分 别为16cm和8cm，∠B和∠A分别为 60°和30°则BC长为___________.
D C
A
E
B
挑战你的技能
2．梯形的高为12cm,两条对角线 的长分别为15cm和20cm, 则梯形 的面积为__________.
A D
FBE源自C