【志鸿优化设计-赢在课堂】(人教)高中数学选修2-2课件 1-6 微积分基本定理(共29张PPT)
高中数学人教A版选修2-2课件1-6微积分基本定理3
＝－cosπ2＋sinπ2＋cos－π2－sin－π2
＝0＋1＋0＋1＝2.
(6)1(x2－x)dx＝(13x3－12x2)|10＝－16. 0
(7)
π 2 0
(3x＋sinx)dx＝(32x2－cosx) |
＝38π2＋1.
(8)3 (3x2－2x＋1)dx＝(x3－x2＋x)|3－1＝24. －1
＝sin1－23.
典例剖析
忽视积分变量致误
1(t2＋t)dx＝________________.
0
[错解]
5 6
1(t2＋t)dx＝(13t3＋12t2)|10＝56.
0
[辨析] 对于积分变量x来说，被积函数表达式f(x)＝t2＋t
为常数，它与f(x)＝x2＋x是不同的．
[正解] 填t2＋t 1(t2＋t)dx＝(t2＋t)x|10＝t2＋t. 0
1．微积分基本定理 如果F(x)是区间[a，b]上的__连__续____函数，并且F ′(x)＝ ___f(_x_) ___，那么bf(x)dx＝__F_(b_)_－__F_(a_)__．
a
2．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x) ＝f(x)的函数F(x)，即找被积函数的__原__函_数___，利用求导运算 与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公 式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．
(9)2x12dx＝________________. 1
(10)e
1xdx＝________________.
1
[答案]
1 (1)2
(2)1
2 (3)ln2
(4)0
(5)2
(6)－16
(7)38π2＋1
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2.3 数学归纳法
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1.6 微积分基本定理Байду номын сангаас
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1.7 定积分的简单应用
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小结
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1.3 导数在研究函数中的应用
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1.4 生活中的优化问题举例
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1.5 定积分的概念
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第一章 导数及其应用
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1.1 变化率与导数
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1.2 导数的计算
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复习参考题
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第二章 推理与证明
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2.1 合情推理与演绎推理
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2.2 直接证明与间接证明
人教版高二数学选修2－2全套精 美课件目录
0002页 0077页 0115页 0162页 0206页 0245页 0288页 0302页 0314页 0357页 0359页
第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算 1.4 生活中的优化问题举例 1.6 微积分基本定理 小结 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 小结 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 复习参考题
高中数学人教A版选修(2-2)1.6 教学课件 《微积分基本定理》(人教A版)
y a
= lim y' ti-1 Δ t
n→∞ i=1
b
a
v t dt
S
b
a
y ' t dt
b
y ' t d t y b y a
a
人民教育出版社 高二年级 | 选修2-2
微积分基本定理： 如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数，并且F＇(x)＝f（x)，那么
2
5 2
4、
0
3
9 x 2 dx＝？
9 4
人民教育出版社 高二年级 | 选修2-2
问题2：一个作变速直线运动的物体的运动规律S＝S(t)。由导数的概念可以知道， 它在任意时刻t的速度v(t)＝S’（t)。设这个物体在时间段〔a，b〕内的位移为S， 你能分别用S(t)，v(t)来表示S吗？从中你能发现导数和定积分的内在联系吗？
n 0 i 1
被 积 函 数 被 积 表 达 式 积 分 变 量
n
[a, b] 积分区间
积分下限
人民教育出版社 高二年级 | 选修2-2
复习：2、定积分的几何意义是什么？
1、如果函数f（x）在[a，b]上连续且f（x）≥0时，那么： 定积分
b
a
f ( x ) dx
就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积。
0 1 2 1 2 3 2008
2007
f ( x)dx
2、已知， dx 3,
0
3
3
0
3 9 3 2 81 3 xdx , x dx 9, x dx 0 2 0 4
《志鸿优化设计-赢在课堂》(人教)2015高中数学选修2-2课件章末整合提升3
������2
+ ������
5m + 6 = +3 ≠ 0
0
⇒
������ = -2 或������ = -3⇒ m=-2. ������ ≠ -3
故当 m=-2 时,复数 z 为实数.
一
二
三
知识网络构建 专题归纳整合
(2)复数 z 是虚数的充要条件是
������2
知识网络构建 专题归纳整合
一
二
三
知识网络构建 专题归纳整合
专题一 复数的分类 复数分为实数、虚数,虚数又包括纯虚数和非纯虚数.要判断一个复
数是否为实数可根据定义判断,也可由 z 与������是否相等来判断,要判断一 个复数是否为纯虚数,根据定义需满足:实部为零且虚部不为零,或由
z+������=0(z≠0)来判断.
则
lg(������2-2m-2) < 0, ������2 + 3m + 2 > 0,
解得-1<m<1- 3或 1+ 3<m<3.
故(1)m=3 时,z 为纯虚数; (2)m=-1 或 m=-2 时,z 为实数;
(3)-1<m<1- 3或 1+ 3<m<3 时,z 在复平面内的对应点在第二象限.
一
解决此类问题.
1
+
1 i
4
=
1+i i
4
= (1+i4i)4=(1+i)4=(2i)2=-4.
知识网络构建 专题归纳整合
一
二
三
专题三 复数几何意义的应用
例 3 已知复数 z,且|z|=2,求|z-i|的最大值,以及取得最大值时 的 z.
高中数学选修2-2微积分基本定理课件
3 dx
-1 1 + x2
= arctanx
3 -1
= arctan 3 - arctan -1
=
π 3
-
-
π 4
=
7 12
π
新知探究
例2. 计算
3 1
2x
-
1 x2
dx
解: 因为x2来自'=2x,
1 x
'
=
-
1 x2
,
由微积分基本定理得：
3
1
2x
-
1 x2
dx
=
3
2xdx -
课前导入
学习微积分，数学和思维水平都将进入一个新的阶段，能切实地训练学生的辨证思维.毫不夸张地 说，不学或未学懂微积分，思维难以达到较高的水平，难以适应21世纪对高中学生素质的要求. 利用本节学习的微积分基本定理，我们就能轻松解决首页的问题.
课前导入
学习微积分的意义 微积分是研究各种科学的工具，在中学数学中是研究初等函数最有效的工具.恩格斯称之为“17 世纪自然科学的三大发明之一”. 微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之一，它引入了若干极其成功的、对 以后许多数学的发展起决定性作用的思想.” 微积分的建立，无论是对数学还是对其他科学以至于技术的发展都产生了巨大的影响，充分显示 了数学对于人的认识发展、改造世界的能力的巨大促进作用.
新知探究
变速直线运动
如图，一个作变速直线运动的物体的运动规律是y=y(t).由导数的概念的可知，它在任意时刻t的
速度
v t = y' t .设这个物体在时间段[a,b]内的位移为s，你能分别用y(t),v(t)表示s吗？
高中数学人教A版选修2-2课件：1-6 微积分基本定理
反思求函数f(x)在某个区间上的定积分时,要注意: (1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则,正确求解导数 等于被积函数的函数.当这个函数不易求时,可将被积函数适当变 形后再求解.具体方法是能化简的化简,不能化简的变为幂函数、 正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数与常数的和或差. (2)准确定位积分区间,分清积分下限与积分上限.
1 eπ
0 -π
2 1
������2d������ +
2 1
2������d������ +
2 1
3d������
cos xdx−
0 -π
e������d������
0 =sin ������|0 − e ������ | = -π -π
− 1.
(3) = =
1 2 1 2
������ sin2 d������ 0 2
������ ������
������ (������)d������ = ������ (������)|������ = ������ (������) − ������ (������). ������
栏目 导引
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三 题型四
利用微积分基本定理计算定积分 【例1】 计算下列定积分:
1-������ , ������2
第一章 典例透析三角函数
题】 计算下列定积分:
(1) (2) (3)
π 2
-1 3 0 2 0
������ 2 ,������ ≤ 0, ������(������)d������, 其中������ (������) = cos������-1,������ > 0; |������2 − 4|d������ ; (|������ − 1| + |������ − 3|)d������.
数学选修2-2人教新课标A版1-6微积分基本定理课件(27张)
＝a2－1＋ln a＝3＋ln 2，
解得a＝2.
1 234
解析答案
2.ʃ20(x2－23x)dx＝___43_____. 解析 ʃ20(x2－23x)dx＝ʃ20x2dx－ʃ2023xdx ＝ x3320－ x3220＝83－43＝43.
1 234
解析答案
1 234
3.已知 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且 f(－1)＝2，f′(0)＝0，ʃ10f(x)dx＝－2.求 a，b，c 的值.
例 1 (1)定积分ʃ10(2x＋ex)dx 的值为( C )
A.e＋2
B.e＋1ຫໍສະໝຸດ C.eD.e－1解析 ʃ10(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|10＝(1＋e)－1＝e.故选 C.
重点难点 个个击破
解析答案
(2)ʃ20|1－x2|dx＝____2____. 解析 |1－x2|＝1x2－－x12， ，01≤ <xx≤≤21. ， ʃ20|1－x2|dx＝ʃ10(1－x2)dx＋ʃ21(x2－1)dx ＝ x－13x310＋ 31x3－x21 ＝23＋73－1＝2.
解析 ʃ10f(x)dx＝ʃ10(ax2＋c)dx
＝ 31ax3＋cx10＝a3＋c. f(x0)＝ax20＋c，
∴a3＝ax20，即
x0＝
33或－
3 3.
∵0≤x0≤1，∴x0＝
3 3.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 2 (1)已知 x∈(0,1]，f(x)＝ʃ10(1－2x＋2t)dt，则 f(x)的值域 是__[_0_,_2_) __. 解析 f(x)＝ʃ10(1－2x＋2t)dt ＝(t－2xt＋t2)|10＝－2x＋2(x∈(0,1]). ∴f(x)的值域为[0,2).
人教a版数学【选修2-2】1.6《微积分基本定理》ppt课件
①
xf(x)dx＝ (ax
1 3 1 21 ＋bx)dx＝3ax ＋2bx 0
1 1 17 ＝3a＋2b＝ 6 .
a＝4 由①②得 b＝3
② ，∴f(x)＝4x＋3.
3．求下列定积分：
1 (1) xdx＝________.
0
(2)
1
sinxdx＝________.
a
′(x)＝
2．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x)
原函数 ，利用求导运 ＝f(x)的函数F(x)，即找被积函数的__________
算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导 公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．
3．被积函数的原函数有很多，即若 F(x)是被积函数 f(x)的
1 1 2 2 ＝ln2－ln1＝ [解析] (1)因为(lnx)′＝ x ，所以 d x ＝ ln x 1 x
1
ln2.
1 4 1 4 1 3 1 3 (2)∵ 4x ′＝x ，∴ x d x ＝ x 0 4
0
1 ＝4. 1 ＝e－e .
1 (9) x2dx＝________.
2 1
1 (10) x dx＝________. 1 2 [答案] (1)2 (2)1 (3)ln2
e 1
(4)0
(5)2
1 (6)－6
3π2 (7) 8 ＋
1 (8)24
1 (9)2
(10)1
2 x2 x 1 1 1 [解析] (1)∵( 2 )′＝x，∴ xdx＝ 2 |0＝2. 0
e 1
典例探究学案
利用牛顿—莱布尼茨公式求定积分
【志鸿优化设计-赢在课堂】(人教)2015高中数学选修2-2【精品课件】1-1 变化率与导数(共41张PPT)
)
B.4+2Δx
答案:B 解析:Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2 -1-2+1=2(Δx)2+4Δx, 故 =2Δx+4.
������y ������x
1.1
问题导学
变化率与导数
当堂检测
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
1.1
问题导学
变化率与导数
当堂检测
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
迁移与应用 1.一个物体的运动方程为 s(t)=1-t+t2,其中 s 的单位是米,t 的单位是 秒,那么该物体在 3 秒末的瞬时速度是( ) A.7 米/秒 C.5 米/秒 答案:C 解析:s(3+Δt)=1-(3+Δt)+(3+Δt)2=(Δt)2+5Δt+7,所以 s(3+Δt)-s(3)=(Δt)
预习交流 2
(1)思考:能否认为函数在 x=x0 处的导数值越大,其函数值变化就越 大? 提示:不能.导数的正、负号确定函数值变化的趋势,其绝对值的大 小决定函数值变化的快慢,应该说导数的绝对值越大,函数值变化得越 快. (2)做一做:求函数 f(x)=2x2 在 x=-1 处的导数. 提示:①求 f(x)在 x=-1 处函数值的改变量 ������y Δy=f(-1+Δx)-f(-1)=2(Δx)2-4Δx;②求 f(x)的平均变化率 =2Δx-4; ������x ������y ③求瞬时变化率即导数 f'(-1)= ������������������ = ������������������ (2Δx-4)=-4.
高中数学人教A版选修2-2课件：1.6微积分基本定理
−
e|0-π
sin2 d
0
2
0
π
2
0
9
4
2
1
2d +
2
1
2d +
25
3 2
2
2
.
|1 + 2|1 + 3|1 =
=
3
3
π
2
π
2
典例透析
典例透析
题型四
0
-π
(cos x-ex)dx=
|0-π
重难聚焦
=
=
1
eπ
cos xdx−
0
-π
2
1
3d
ed
− 1.
π
2
1
(1 − cos x)dx
-1
(3 + )d = 0.
1
(3 + )d +
-1
(3 − )d
-1
=0+(3a-b)[1-(-1)]=6a-2b.
∴6a-2b=2a+6,即 2a-b=3.①
又 f(t)=
4
4
+ 2
2
+ (3-)
)为偶函数,
∴3a-b=0.②
由①②,得 a=-3,b=-9.
(1 + )d.
分析:第(1)(2)小题属简单函数的定积分,利用微积分基本定理求
解即可;而第(3)(4)小题属较复杂函数的定积分,可按如下步骤进行
计算:
化简被积函数→转化为基本函数的定积分→求定积分
-4-
目标导航
题型一
题型二
解:(1)
(2)
0
人教版高中数学选修2-2 6微积分基本定理 (共18张PPT)教育课件
0
1
( 2 )0 xd x
=
_ _1_/2_ _ _
( 3 ) 1 x 3 d x 0
=
_1_ /_4_ _ _
( 4 ) 2 x 3 d x -1
=
_1_5_ /_4_ _
公式2: abxndx=nxn++11|ab
已 知 C R为 常 数 ， 试 填 写 下 列 空 格
1 .C ' _ _ _ 0_ _
a a a a a c c a c
Oa
c
bx
一、引入
1.比由较定麻积烦分(四的步定曲义)可,有以没计有算更加01 x简2dx便有13 效,的但
方法求定积分呢?
2 x2dx 8
0
3
1(t2 2)dt 5
0
3
2(t2பைடு நூலகம்2)dt 22
0
3
探究:如图,一个作变速直线运动的物体的运动规律是s=s(t), 由导数的概念可知,它在任意时刻t的速度v(t)=s’(t).设这个 物体在时间段[a,b]内的位移为S,你能分别用s(t),v(t)表示S 吗?
:
那
你
的
第
一
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
但
是
当
我
拍
完
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就
是
如
果
我
告
诉
你
怎
么
弄
■
电
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高中数学选修2-2教学设计6：1.6 微积分基本定理教案
1.6 微积分基本定理教学目标1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．教学知识梳理知识点一 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)思考1 已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x ，则ʃ10(2x ＋1)d x 与F (1)－F (0)有什么关系？答 由定积分的几何意义知，ʃ10(2x ＋1)d x ＝12×(1＋3)×1＝2，F (1)－F (0)＝2，故ʃ10(2x ＋1)d x ＝F (1)－F (0)．思考2 对一个连续函数f (x )来说，是否存在唯一的F (x )，使得F ′(x )＝f (x )?答 不唯一，根据导数的性质，若F ′(x )＝f (x )，则对任意实数c ，都有[F (x )＋c ]′＝F ′(x )＋c ′＝f (x )．1．微积分基本定理(1)条件：f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )；(2)结论：ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )；(3)符号表示：ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．2．常见的原函数与被积函数关系(1)ʃb a C d x ＝Cx |b a (C 为常数)．(2)ʃb a x n d x ＝⎪⎪1n ＋1x n ＋1b a (n ≠－1)．(3)ʃb a sin x d x ＝－cos x |b a .(4)ʃb a cos x d x ＝sin x |b a . (5)ʃb a 1xd x ＝ln x |b a (b >a >0)． (6)ʃb ae x d x ＝e x |b a .(7)ʃb a a x d x ＝ ⎪⎪a x ln a b a (a >0且a ≠1)．(8)ʃb a x d x ＝⎪⎪⎪23x 32b a (b >a >0)． 知识点二 定积分和曲边梯形面积的关系思考 定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？答 当被积函数f (x )≥0恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数f (x )≥0不恒成立，则不相等．设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，在x 轴下方的面积为S 下，则(1)当曲边梯形在x 轴上方时，如图①，则ʃb a f (x )d x ＝S 上．(2)当曲边梯形在x 轴下方时，如图②，则ʃb a f (x )d x ＝－S 下．(3)当曲边梯形在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图③，则ʃb a f (x )d x ＝S 上－S 下．特别地，若S 上＝S 下，则ʃb a f (x )d x ＝0.教学案例类型一 定积分的求法例1 (1)定积分ʃ10(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1(2)ʃ20|1－x 2|d x ＝________. (3)ʃ21[2x 2＋x ＋1x－cos x ]d x ＝________. [答案] (1)C (2)2 (3)4＋ln 2－sin 2＋sin 1[解析] (1)ʃ10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝(1＋e)－1＝e.故选C.(2)|1－x 2|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，0≤x ≤1，x 2－1，1<x ≤2. ʃ20|1－x 2|d x ＝ʃ10(1－x 2)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －13x 310＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 21＝23＋73－1＝2. (3)ʃ21[2x 2＋x ＋1x －cos x ]d x ＝ʃ21(2x ＋1＋1x－cos x )d x ＝(x 2＋x ＋ln x －sin x )|21＝6＋ln 2－sin 2－(2－sin 1)＝4＋ln 2－sin 2＋sin 1.反思与感悟 1.掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；2．被积函数会有绝对值号，可先求函数的零点，结合积分区间、分段求解．跟踪训练1 (1)计算定积分ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝______.[答案] 23[解析] ʃ1－1(x 2＋sin x )d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－cos x 1－1＝(13－cos 1)－(－13－cos 1)＝23. (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2x ，0≤x ≤1，x 2，1<x ≤2，求ʃ20f (x )d x . 解 ʃ20f (x )d x＝ʃ10(1＋2x )d x ＋ʃ21x 2d x＝(x ＋x 2)|10＋⎪⎪13x 321＝2＋73＝133. 类型二 利用定积分求参数例2 (1)已知2≤ʃ21(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________． (2)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)．若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．[答案] (1)[23，2] (2)33[解析] (1)ʃ21(kx ＋1)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12kx 2＋x 21＝32k ＋1.由2≤32k ＋1≤4得23≤k ≤2. (2)ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax 2＋c )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx 10＝a 3＋c . f (x 0)＝ax 20＋c ， ∴a 3＝ax 20，即x 0＝33或－33. ∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33. 反思与感悟 1.含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．2．计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．跟踪训练2 (1)已知x ∈(0,1]，f (x )＝ʃ10(1－2x ＋2t )d t ，则f (x )的值域是________．[答案] [0,2)[解析] f (x )＝ʃ10(1－2x ＋2t )d t＝(t －2xt ＋t 2)|10＝－2x ＋2(x ∈(0,1])． ∴f (x )的值域为[0,2)．(2)已知ʃ10[(3ax ＋1)(x ＋b )]d x ＝0，a ，b ∈R ，试求ab 的取值范围． 解 ʃ10[(3ax ＋1)(x ＋b )]d x＝ʃ10[3ax 2＋(3ab ＋1)x ＋b ]d x＝ ⎪⎪⎣⎡⎦⎤ax 3＋12(3ab ＋1)x 2＋bx 10＝a ＋12(3ab ＋1)＋b ＝0， 即3ab ＋2(a ＋b )＋1＝0.由于(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≥4ab ，所以(－3ab ＋12)2≥4ab ，即9(ab )2－10ab ＋1≥0， 得(ab －1)(9ab －1)≥0，解得ab ≤19或ab ≥1. 所以ab 的取值范围是(－∞，19]∪[1，＋∞). 当堂检测1．若ʃa 1(2x ＋1x)d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2[答案] D[解析] ʃa 1(2x ＋1x )d x ＝ʃa 12x d x ＋ʃa 11xd x ＝x 2|a 1＋ln x |a 1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2， 解得a ＝2.2．ʃ20(x 2－23x )d x ＝________. [答案] 43[解析] ʃ20(x 2－23x )d x ＝ʃ20x 2d x －ʃ2023x d x ＝ ⎪⎪x 3320－⎪⎪x 2320＝83－43＝43. 3．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，ʃ10f (x )d x ＝－2.求a ，b ，c 的值． 解 ∵f (－1)＝2，∴a －b ＋c ＝2，① f ′(x )＝2ax ＋b ，f ′(0)＝b ＝0，②ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax 2＋c )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx 10＝13a ＋c ＝－2，③ 由①②③可得a ＝6，b ＝0，c ＝－4. 4．已知f (x )＝⎩⎨⎧ 4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算ʃπ0f (x )d x . 解 ʃπ0f (x )d x ＝⎠⎜⎛0π2f (x )d x ＋⎠⎜⎛π2πf (x )d x ＝⎠⎜⎛0π2 (4x －2π)d x ＋ ⎠⎜⎛π2πʃcos x d x ， 取F 1(x )＝2x 2－2πx ，则F 1′(x )＝4x －2π； 取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x .所以⎠⎜⎛0π2 (4x －2π)d x ＋⎠⎜⎛π2πcos x d x ＝(2x 2－2πx )|20π＋sin x |2ππ＝－12π2－1， 即ʃπ0f (x )d x ＝－12π2－1.。
人教版高中数学选修2-2学案1.6微积分的基本定理(2)
1. 6微积分的基本定理（2）【学习目标】1．理解微积分基本定理；2．应用微积分基本定理解决综合问题；3．了解求定积分的类型及方法．【新知自学】知识回顾：1.一般地，如果)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，并且)()(x f x F ='，那么=⎰dx x f ba )(_______________= ．2．计算定积分的关键是找到满足)()(x f x F ='的函数________，通常，可以用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从_________方向上求出)(x F ．新知梳理：1. 定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0．(1)当对应的曲边梯形位于x 轴上方时(图1)，定积分的值取_______ 且等于曲边梯形的________ ；(2)当对应的曲边梯形位于x 轴下方时(图2)，定积分的值取_______ 且等于曲边梯形______ 的相反数；(3)当位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于位于x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为 _______ (如图3)且等于位于x 轴_____ 的曲边梯形的面积减去位于 ______ 的曲边梯形的面积．2.活用定积分的三个性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝ ；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝(3)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛c b f (x )d x (其中a <c <b )． 对点练习：1.设[)[]⎩⎨⎧∈-∈=2,1,21,0,)(2x x x x x f ，则dx x f ⎰20)(等于 ( ) A.43 B.54 C.65 D.不存在 2．求下列定积分:（1）求=⎰e dx x 11 ； （2）()=+-⎰dx e x x π023sin 2_____________． （3）()=+⎰dx x x 20cos 2sin π_________ ． 3.设()f x 是奇函数，则=⎰-a a dx x f )( . 4.求⎰-aa dx x 2．【合作探究】 典例精析：例1. 计算定积分（1）dx ⎰+40|)3-x ||1-x (|;；（2）设函数⎩⎨⎧≤≤<≤=21,110,)(2x x x x f ，求dx x f ⎰20)(.变式练习：()dx x x ⎰--++332332=___________________.例2.求使dx c x 2102)+⎰（最小的c 的值.规律总结：(1)由三条直线x ＝a 、x ＝b (a ＜b )、x 轴、一条曲线y ＝f (x )[f (x )≥0]围成的曲边梯形的面积(如图1)：S ＝⎠⎛a b f (x )d x .(2)由三条直线x ＝a 、x ＝b (a <b )、x 轴、一条曲线y ＝f (x )[f (x )≤0]围成的曲边梯形的面积(如图2)：S ＝|⎠⎛a b f (x )d x |＝－⎠⎛a b f (x )d x .(3)由两条直线x ＝a 、x ＝b (a <b )、两条曲线y ＝f (x )、y ＝g (x )[f (x )≥g (x )]围成的平面图形的面积(如图3)：S ＝⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x .【课堂小结】【当堂达标】1.曲线)0(sin π≤≤=x x y 与直线21=y 围成的封闭图形的面积是 () A.3 B.32-C.32π- D.33π-2.dx t ⎰+21)2(=______________.3.求直线x=-1,x=1, y=0,以及y=|x|-2所围成的图形的面积.4.如图，求阴影部分的面积.【课时作业】1. 由曲线2x y =和直线 ()1,0,,1,02∈===t t y x x ，所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为 A.41 B.31 C.21 D.322.dx x |4|102⎰-=________________.3.设函数()0)(2≠+=a c ax x f ，若⎰=100)()(x f dx x f ，100≤≤x ，则0x 的值为 ．4.计算由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成图形的面积．5.求定积分dx x x ⎰-3026．。