高考数学一轮复习 第八章 复数讲义
高考数学一轮总复习教学课件第八章 平面解析几何第6节 双曲线
A.1
√
B.17
C.1或17
D.8
解析:(2)对于 - =1 ,a2=16,b2=20,
所以c2=a2+b2=36,a=4,c=6,
又|PF1|=9<a+c,所以点P在双曲线的左支,则有|PF2|-|PF1|=2a=8,
所以|PF2|=17,故选B.
)
考点二
双曲线的标准方程
| | +| | -
cos∠F1PF2=
| || |
= ,
整理得|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=100,①
根据点P在双曲线上可得||PF1|-|PF2||=6,
则(|PF1|-|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=36,②
解析:(1)由题意,双曲线 C1 的焦距 2c=4 ,又 C1 过点(3,1),
若 C1 的焦点在 x 轴上,设双曲线 C1 的方程为 -=1(a>0,b>0),
将点(3,1)代入 - =1(a>0,b>0),
得 - =1,①
2
2
2
又 a +b =c =8,②
)
解析:(2)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),
= - ,
+ = ,
则
解得
+ = ,
= ,
故双曲线的标准方程为 - =1.故选 B.
考点三
双曲线的简单几何性质
角度一
渐近线
高三数学一轮复习复数.ppt
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[分析]
根据复数的有关概念，转化为实部与虚部分别
满足的条件去求解．
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[解] 2.
(1)若 z
2 m ＋5m＋6＝0 为实数，则 m＋3≠0
，解得 m＝－
(2)若 z 为虚数，则 m2＋5m＋6≠0 且 m＋3≠0， 解得 m≠－2 且 m≠－3. m2＋5m＋6≠0 2 (3)若 z 为纯虚数，则m －m－6 m＋3 ＝0
较大小，但若两个复数不全为实数，则不能比
较大小．在复数集里，一般没有大小之分，但 却有相等与不相等之分． (3) 熟悉扩充后，数的概念由实数集扩充 到复数集，实数集中的一些运算性质、概念、
关系就不一定适用了，如绝对值．
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1 3 (4)在进行复数计算时，要灵活利用 i、ω(ω＝－ ＋ i) 2 2 的性质，适当变形，创造条件，从而转化为关于 i、ω 的计 算问题，并注意对以下结论的灵活应用： 1＋i 1－i ①(1± i) ＝ ± 2i ； ② ＝i， ＝－ i；③i4n ＝ 1，i4n ＋1 1－i 1＋i
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例 2 计算： (－1＋i)(2＋i) (1) ； i3 (1＋2i)2＋3(1－i) (2) ； 2 ＋i 1－i 1＋i (3) ＋ ； (1＋i)2 (1－i)2 1－ 3i (4) . ( 3＋i)2
[分析] 解． 利用复数的运算法则及特殊复数的运算性质求
，解得 m＝3.
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(4)若 z 对应的点在第二象限， m2－m－6 ＜0 则 m＋3 m2＋5m＋6＞0
2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 两条直线的位置关系
√A.6x－4y－3＝0
C.2x＋3y－2＝0
B.3x－2y－3＝0 D.2x＋3y－1＝0
解析 因为抛物线 y2＝2x 的焦点坐标为12，0， 直线 3x－2y＋5＝0 的斜率为32， 所以所求直线 l 的方程为 y＝32x－21，
化为一般式，得6x－4y－3＝0.
4.已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三 角形，则实数m的取值集合为
解析 由题意得，点 P 到直线的距离为|4×4－35×a－1|＝|15－5 3a|. 又|15－5 3a|≤3，即|15－3a|≤15，解得 0≤a≤10，
所以a的取值范围是[0,10].
4.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则
29
|PQ|的最小值为__1_0___.
题型二 两直线的交点与距离问题
自主演练
1.已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－
1 2
x＋2的交点位于第一象限，则实
数k的取值范围是__－__16，__12__.
解析
y＝kx＋2k＋1， 由方程组y＝－12x＋2，
x＝22－k＋41k， 解得y＝62kk＋＋11.
(若 2k＋1＝0，即 k＝－12，则两直线平行)
知识梳理
一、两条直线的平行与垂直 1.两条直线平行 (1)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔ k1＝k2 . (2)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. 2.两条直线垂直 (1)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔ k1·k2＝－1 . (2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
高考数学(理)一轮总复习课件：第八章 立体几何 8-8-2
思考题 1 (1)如图，四面体 A－BCD 的三视图如图所示， 其中正视图是一个正三角形，设二面角 A－BC－D 的大小为 θ， 则 sin2θ＝________．
【解析】 设 BD 中点为 E，则由侧视图知面 ABD⊥面 BCD，
∴AE⊥平面 BCD，由 E 作 EO⊥BC 于 O，连接 OA，则∠AOE
连接 OD，易知 PO⊥平面 ABC，所以 PO⊥ AB，所以 AB⊥平面 POD，则 AB⊥OD，所以∠PDO 为二面角 P－AB－C 的平面角．又 OD＝12BC＝ 2，PD＝ PO2＋OD2＝ 6，则 sinθ＝sin∠PDO＝PPOD ＝ 36，故选 C.
【答案】 C
★状元笔记★ 如果由已知易作出二面角的平面角，则可采取定义法求解， 其步骤是：作→证→求→答．
第 2 学时 二 面 角
授人以渔
题型一 定义法求二面角 (1)(2019·台州一模)在边长为 a 的等边三角形 ABC 中， AD⊥BC 于点 D，沿 AD 折成二面角 B－AD－C，若此时 BC＝12 a，则二面角 B－AD－C 的大小为________．
【解析】 在边长为 a 的等边三角形 ABC 中，AD⊥BC 于
【答案】 C
★状元笔记★ 二面角的平面角实质上就是两个向量的夹角！这两个向量的 起点都在棱上，且分别在两个半平面内垂直于棱！
思考题 2 (1)设平面 α 的一个法向量为 n1＝(1，2，－2)， 平面 β 的一个法向量为 n2＝(－2，－4，k)，若 α 和 β 所成的锐二 面角的余弦值为23，则 k＝________．
【解析】 (1)证明：如图，取 A1C1 的中点 D，连接 B1D，CD.
∵C1C＝A1A＝A1C，∴CD⊥A1C1. ∵底面△ABC 是边长为 2 的正三角形， ∴AB＝BC，∴A1B1＝B1C1， ∴B1D⊥A1C1. 又∵B1D∩CD＝D，∴A1C1⊥平面 B1CD， ∴A1C1⊥B1C.
高中数学一轮复习《复数》课件ppt（29张PPT）
解析 1－1 i＝1＋2 i＝12＋12i，其共轭复数为12－12i，
∴复数1－1 i的共轭复数对应的点的坐标为12，－12，位于第四象限，故选 D.
答案 D
5.(2019·全国Ⅲ卷)若z(1＋i)＝2i，则z＝( )
A.－1－i
B.－1＋i
C.1－i
D.1＋i
解析 由 z(1＋i)＝2i，得 z＝12＋i i＝(21i＋（i1)－ (1－i）i)＝2i（12－i）＝i(1－i)＝1＋i.
D.－
3 2i
解析 (1)∵z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i为纯虚数，
∴mm2－＋2m≠－0，6＝0，解得 m＝－3，故选 D.
(2)∵z＝1－
3i，∴－zz＝z·－z－z2
＝（1＋|z|23i）2＝1＋2 43i－3＝－12＋
－
23i，∴zz的虚部
为 23.故选 C.
答案 (1)D (2)C
规律方法 1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该 满足的条件，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式) 组即可. 2.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
建立平面直角坐标系来表示复数的 数；除了原点外，虚轴
复平面 平面叫做复平面，__x_轴___叫实轴，y 上的点都表示纯虚数，
轴叫虚轴
各象限内的点都表示
虚数
复数的 设O→Z对应的复数为 z＝a＋bi，则向量 模 O→Z的长度叫做复数 z＝a＋bi 的模
|z|＝|a＋bi|＝__a_2_＋__b_2
2.复数的几何意义
2.(新教材必修第二册 P69 例 1 改编)若复数 z＝11＋＋aii为纯虚数，则实数 a 的值为
浙江省2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量补上一课空间角的大小比较及最值范围问题课件
类型2 不同类型角间的大小比较
【例1－2】 (1)(2019·浙江卷)设三棱锥V－ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是
棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的
角为β，二面角P－AC－B的平面角为γ，则( )
A.β<γ，α<γ
B.β<α，β<γ
C.β<α，γ<α
A.θ＞γ＞β
B.θ＝β＞γ
C.γ＞β＞θ
D.θ＞β＝γ
(2)(2020·浙江新高考仿真卷一)已知三棱锥S－ABC的底面ABC为
正三角形，SA＜SB＜SC，平面SBC，SCA，SAB与平面ABC所成
的锐二面角分别为α1，α2，α3，则( A.α1＜α2 C.α2＜α3
) B.α1＞α2 D.α2＞α3
题型突破
题型一 空间角的大小比较
类型1 同类角间的大小比较
【例1－1】 (1)(2020·嘉兴测试)已知长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，
AA1＝a，AB＝b，且a＞b，侧棱CC1上一点E满足CC1＝3CE，设异面直线A1B与AD1，
A1B与D1B1，AE与D1B1的所成角分别为α，β，γ，则( )
坐标系，设正方体的棱长为 1，AP＝a(0≤a≤1)，则易得 D(0，0，0)，P(1，a，0)，B1(1，
1，1)，则D→P＝(1，a，0)，D→B1＝(1，1，1)，设平面 PDB1 的法向量为 n＝(x，y，z)，则
D→P·n＝x＋ay＝0， D→B1·n＝x＋y＋z＝0，令 x＝a，得平面 PDB1 的一个法向量为 n＝(a，－1，－a＋1)，易
为 A1C1，B1A1，B1C1 中点，由图易得平面 AB1D1 即为平面α，直线
高考数学一轮总复习教学课件第八章 平面解析几何第3节 圆的方程
+
+Dx0+Ey0+F>0.
( √)
(4)方程x2+y2-4x-2y+5=0表示圆心为(2,1)的圆.( × )
2.已知圆的标准方程是(x-3)2+(y+2)2=16,下列各点中在圆内的是
(
)
A.(2,2)
B.(1,3)
C.(-1,-2)
√
D.(0,-1)
解析:A中(2-3)2+(2+2)2=17>16,在圆外;
(1)直角顶点C的轨迹方程;
解:(1)法一
设C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.
因为AC⊥BC,且BC,AC斜率均存在,
所以 kAC·kBC=-1,又 kAC=
所以+·
-
,kBC=
+
-
,
=-1,
化简得x2+y2-2x-3=0.
因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0).
连线组成的三角形为直角三角形,该直角三角形的外接圆的圆心为
点(0,0)和点(4,2)所连线段的中点,即(2,1),直径2R等于点(0,0)和
点(4,2)所连线段的长,即 2R= (-) + (-) ,可得 R= ,所以圆的
2
2
方程为(x-2) +(y-1) =5.
③若圆过(0,0),(-1,1),(4,2)三点,设过这三点的圆的一般方程为
已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.
[针对训练]
(1)经过坐标原点,且圆心坐标为(-1,1)的圆的一般方程是(
2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 第2课时 直线与椭圆
(2)若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且 —F1→P⊥—F1→Q ，求直线l的方程.
解 易知椭圆 C 的方程为x22＋y2＝1， 当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝1，不符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，
y＝kx－1， 由x22＋y2＝1， 得(2k2＋1)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0， Δ＝8(k2＋1)>0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则 x1＋x2＝2k42k＋2 1，x1x2＝22kk22＋－11，
所以直线 AB 的方程为 y＝12x－3 或 y＝x－3， 即x－2y－6＝0或x－y－3＝0.
思维升华
(1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立 直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关 系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解. (2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不 存在等特殊情形.
当 Δ>0，即－3 2<m<3 2时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组
有两组不同的实数解.这时直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点.
(2)有且只有一个公共点；
解 当 Δ＝0，即 m＝±3 2时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组 有两组相同的实数解. 这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有 一个公共点.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.直线 y＝kx－k＋1 与椭圆x92＋y42＝1 的位置关系为
√A.相交
C.相离
B.相切 D.不确定
解析 由题意得直线y－1＝k(x－1)恒过定点(1，1)， 而点(1，1)在椭圆x92＋y42＝1 的内部，所以直线与椭圆相交.故选 A.
高考数学一轮复习第八章第二节第1课时系统知识__圆的方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系讲义含解析
第二节圆与方程第1课时系统知识——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系1．圆的定义及方程点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.[提醒] 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．[谨记常用结论]若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有：当F＝0时，圆过原点.当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上.当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点.当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切.[小题练通]1.[人教A版教材P124A组T4]圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1,3)，则圆C的方程为____________．答案：(x－2)2＋y2＝102.[教材改编题]经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为________________．答案：(x －1)2＋(y －1)2＝13.[教材改编题]圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是________． 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝24.[易错题]已知圆的方程为x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0，一定点为A (1,2)，要使过定点A 的圆的切线有两条，则a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，2335．若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是________． 答案：(－2，2)6．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________________． 答案：x 2＋y 2－2x ＝01．直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d )2．圆的切线(1)过圆上一点的圆的切线①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(2)过圆外一点的圆的切线过圆外一点M (x 0，y 0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k ，从而得切线方程；若求出的k 值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x ＝x 0.(3)切线长①从圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)外一点M (x 0，y 0)引圆的两条切线，切线长为 x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .②两切点弦长：利用等面积法，切线长a 与半径r 的积的2倍等于点M 与圆心的距离d 与两切点弦长b 的积，即b ＝2ard.[提醒] 过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． 3．圆的弦问题直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：(1)几何法：因为半弦长L2、弦心距d 、半径r 构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2r 2－d 2.(2)代数法：若直线y ＝kx ＋b 与圆有两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1k2|y 1－y 2|.[谨记常用结论]过直线Ax ＋By ＋C ＝0和圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝D 2＋E 2－4F ＞交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λAx ＋By ＋C ＝0.,[小题练通]1.[教材改编题]若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案：C2.[教材改编题]直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2－2x －3＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交C ．相离D ．随a 的变化而变化解析：选B ∵直线y ＝ax ＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x －1)2＋y 2＝4的内部，故直线与圆相交．3.[教材改编题]已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是________．解析：由题意知点M 在圆外，则a 2＋b 2＞1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2＜1，故直线与圆相交．答案：相交4.[易错题]过点(2,3)且与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线的方程为________________． 解析：当切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y ＝k (x －2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为1，得k ＝43，所以切线方程为4x －3y ＋1＝0；当切线的斜率不存在时，易知直线x＝2是圆的切线，所以所求的直线方程为4x －3y ＋1＝0或x ＝2.答案：x ＝2或4x －3y ＋1＝05．以M (1,0)为圆心，且与直线x －y ＋3＝0相切的圆的方程是________． 答案：(x －1)2＋y 2＝86．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析：由x 2＋y 2＋2y －3＝0，得x 2＋(y ＋1)2＝4.∴圆心C (0，－1)，半径r ＝2.圆心C (0，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1＋1|2＝2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2. 答案：2 2圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)[提醒] 涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．[谨记常用结论]圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交时：将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程； 两圆圆心的连线垂直平分公共弦；x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λx 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0表示过两圆交点的圆系方程不包括C 2[小题练通]1.[人教A 版教材P133A 组T9]圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦的长为________．答案：2 22.[教材改编题]若圆x 2＋y 2＝1与圆(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，则实数a ＝________.答案：±25或03.[教材改编题]圆x2＋y2＝r2与圆(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则半径r＝________.解析：由题意，得2r＝32＋－2，所以r＝10 2.答案：10 24.[易错题]若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是________．答案：[1,121]5．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )A．21 B．19C．9 D．－11解析：选C 圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y －4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝25－m(m＜25)．从而|C1C2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋25－m＝5，解得m＝9，故选C.6．与圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0都相切的直线有( ) A．1条 B．2条C．3条 D．4条解析：选A 两圆分别化为标准形式为C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，C2：(x－7)2＋(y－1)2＝36，则两圆圆心距|C1C2|＝7－32＋[1－－2]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.。
2023年高考数学一轮复习(新高考1) 第8章 §8
跟踪训练1 (1)(多选)(2021·新高考全国Ⅱ)已知直线l：ax＋by－r2＝0与
圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是
√A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 √B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
√D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
AB 的长为
A. 10
B.2 10
C.2 2
√D.4 2
过点(0,1)且倾斜角为π3的直线 l：y－1＝ 3x，即 3x－y＋1＝0. ∵圆x2＋y2－6y＝0，即x2＋(y－3)2＝9，
|－3＋1| ∴圆心坐标为(0,3)，半径 r＝3，圆心到直线 l 的距离 d＝ 2 ＝1， ∴直线被圆截得的弦长|AB|＝2× 32－12＝4 2.
若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0， 即a2＋b2＝r2， 所以 d＝ a2r＋2 b2＝|r|，则直线 l 与圆 C 相切，故 D 正确.
(2)(2021·北京)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截
得圆C弦长的最小值为2，则m等于
A.±2
B.± 2
√C.± 3
第八章
考试要求
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
落实主干知识 探究核心题型
课时精练
LUOSHIZHUGANZHISHI
落实主干知识
知识梳理
1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离
相切
题型一 直线与圆的位置关系
命题点1 位置关系的判断
例1 直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为
一轮复习学生讲义复数的运算
2.复数复数的概念和基本运算【知识精讲】 1 复数的定义1） 概念：设i 为方程21x =-的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除运算，便产生形如bi a +(,a b R ∈)的数叫做复数，全体复数所成的集合C 叫做复数集。
复数通常用字母z 表示，即bi a z +=(,a b R ∈)，其中a 称作实部记作()Re z ，b 称为虚部记作()Im z ，bi a z +=(,a b R ∈)称为代数形式，它是由实部、虚部和虚数单位三部分组成. 2）虚数单位的性质i 叫做虚数单位，并规定：① i 可与实数进行四则运算；② 12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x =或i x -=3）复数的定义要注意以下几点：○1bi a z +=(,a b R ∈)被称为复数的代数形式，其中bi 表示b 与虚数单位i 相乘○2数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式 4）复数相等复数a bi +与c di +(),,,a b c d R ∈相等，当且仅当a cb d=⎧⎨=⎩，记作a bi c di +=+.2 复数的分类对于复数a bi +(,a b R ∈)，当且仅当0b =时，它是实数；当且仅当0a b ==时，它是实数0；当0b ≠时，它叫做虚数，当0a =且0b ≠时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R ,是复数集C 的真子集，即C R ≠⊂.3 复数的几何意义复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量(,)OZ a b =),(R b a ∈是一一对应关系（复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量） 相等的向量表示同一个复数 4 复数的模向量→OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z =若bi a z +=1，di c z +=2，则21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=-5.复数的其他形式(1)复数的三角形式：设z 对应复平面内的点Z ，连接OZ ，设xOZ θ∠=，OZ r =，则cos ,sin a r b r θθ==，所以()cos sin z r i θθ=+，这种形式称为三角形式.则θ称为的辐角.若02θπ≤<，则θ称为z 的辐角主值，记作()arg z θ=，r 称为z 的模，也记作z ，由勾股定理可知z =(2)复数的指数形式：,0,i z e r R θθ=≥∈(3)复数的向量形式：()(),,z a b a b R =∈，复数的向量形式可以很好体现复数的几何意义. 6.共轭复数：若bi a z +=(,a b R ∈)，则z a bi =-称为z 的共轭复数. 性质：(1)1212z z z z ±=± (2) 1212z z z z ⋅=⋅ (3)22z z z z ⋅==(4)1122z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(5)1212z z z z ⋅=⋅(6)1122z z z z = (7)121212z z z z z z -≤±≤+ (8)222212121222z z z z z z ++-=+(9)若1,z =则1z z=.7.复数的运算(1)加法运算：两个复数,a bi c di ++的和定义为()()()()a bi c di a c b d i +++=+++两个复数相加，实部和实部相加的结果为实部，虚部和虚部相加的结果为虚部. (2)乘法运算：两个复数,a bi c di ++的和定义为()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++两个复数相加乘，可以参照多项式乘法相乘，最后合并同类项.(3)减法运算：给定两个复数12,z z ，满足条件12z z z +=的复数z 叫做复数2z 减去1z 的差，记作21z z z =-.(4)除法运算：给定两个复数12,z z ，且10z ≠，满足条件12z z z =的复数z 叫做复数2z 除以去1z 的商，记作21z z z =. 设()12,,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，则()()()()()1222a bi c di ac bd bc ad iz a bi z z c di c di c di c d+-++-+====++-+ (5)开方运算：给定复数1z ，满足条件1nz z =的复数z 叫做复数1z 的n 次方根. 注解：一个不为0的复数z ，有n 个不同的n 次方根.任意一元n 次方程有n 个复数根.(6)按向量形式，加减法满足平行四边形和三角形法则.(7)按照三角形式，若()()11112222cos sin ,cos sin z r z r θθθθ=+=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ⋅=+++⎡⎤⎣⎦如20z ≠，则()()11121222cos sin z r i z r θθθθ=-+-⎡⎤⎣⎦ 8. 隶莫弗定理：()()cos sin cos sin nnr i rn i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦9.开方：若()cos sin nz r i θθ=+，则22cos sin k k z i n n θπθπ++⎫=+⎪⎭，其中()0,1,2,,1k n =⋅⋅⋅-.10.实系数方程虚根成对定理：实系数一元n 次方程的虚根成对出现，即若z a bi =+是方程的一个根，则z a bi =-也是一个根.11.几个常用结论在复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 对应的复数分别为1234,,,z z z z ，则 (1)()()1233212cos sin Z Z Z z z z z r i θθθ∠=⇔-=-⋅± (2)()43123421//z z Z Z Z Z k k R z z -⇔=∈-(3)()43123421z z Z Z Z Z ki k R z z -⊥⇔=∈-(4) 123,,Z Z Z 三点共线3121z z R z z -⇔∈- (5)123Z Z Z 的重心对应的复数为1233z z z ++ 12.复数表示的轨迹方程在复平面上的点12,Z Z 对应的复数分别为12,z z ，则 (1)1221Z Z z z =-表示复平面上12,Z Z 两点之间的距离； (2) 1z z r -=表示以1Z 为圆心，r 为半径的圆的方程； (3) ()1212+22z z z z a z z a --=-<表示椭圆； (4) ()1212+22z z z z a z z a --=-=表示线段； (5) ()121222z z z z a z z a ---=->表示双曲线； (6) ()121222z z z z a z z a ---=-=表示两条射线； (4) 12=z z z z --表示垂直平分线方程；13. 在复平面上的点123,,Z Z Z 对应的复数分别为123,,z z z ，则123Z Z Z 的面积为()1231223311Im 2Z Z Z Sz z z z z z =++ 【典型例题】 例1．已知复数i1iz =+，则它的共轭复数z =（ ） A ．1i2+ B ．1i2- C ．1i + D ．1i -例2．已知复数z 满足()()2i 2i 1i z +=+-，则复数z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限例3．欧拉恒等式：π10i e +=被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e 、圆周率π、虚数单位i 、自然数1和0完美地结合在一起，它是在欧拉公式：()cos sin i e i R θθθθ=+∈中，令πθ=得到的．根据欧拉公式，4i e 复平面内对应的点在（ ）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式3-1】（不定项选择题）欧拉公式i cos isin x e x x =+其中i 为虚数单位，)x R ∈是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）A ．i4e π=B ．i2e π为纯虚数C ．复数i x e 的模长等于1D ．i3e π的共轭复数为122-i 【变式3-2】欧拉公式i cos isin x x x e =+（其中i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，即当π3x =时，πi 3πcos isin 3π3e ⋅=+，根据欧拉公式，若将2021πi e ⋅所表示的复数记为z ，则将复数1iz+表示成三角形式为________． 【变式3-3】已知i cos isin x x x e =+，则2022i e 对应的点位于复平面的第________象限． 例4.如图，在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ，则复数12z z -对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限例5.已知z 是关于x 的方程20x x a ++=的根，且z =则实数a =（ ）A ．B ．5-C ．5D 【变式5-1】若1i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则c =______. 例6.若复数z 满足1i 3z -+=，则复数z 对应的点的轨迹围成图形的面积等于（ ） A ．3B ．9C ．6πD ．9π【变式6-1】已知复数z 1，z 2满足|z 1|=1，|z 2|=5，则|z 1-z 2|的最小值是________． 【变式6-2】复数012i z =-，3z =，则0z z -的最大值是_____.【变式6-3】18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如||||z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离．已知复数z 满足||1z =，i 为虚数单位，则|34i |z --的最小值为________．【变式6-4】若z C ∈且11z -=，则z 最大值是_______________. 【变式6-5】若复数z 满足11z i +-≤，则z 的最大值是___________．例7.已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z =__________. 例8.已知复数()2236i z m m m m =-+-为纯虚数，则实数m =______. 例9．已知i 为虚数单位，复数z 满足()20212i i z -=，则复数z 的虚部为______.例10. 若复数1z 2cosisin33ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，21cos isin 244z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则12z z 的辐角的主值为______．例11.如果向量OZ 对应复数2i,OZ -绕原点O 按顺时针方向旋转4π后再把模变为原来的32倍得到向量1OZ ，则1OZ 对应的复数是___________. 例12. 设1z 、2z C ∈，若121z z ==，则2212z z -的最大值为______. 例13.已知复数1z ，2z 满足121z z ==，12z z +=，则12z z -=______.例14.i 是虚数单位，则202111i 1i kk =-⎛⎫=⎪+⎝⎭∑______．例15.已知复数()()2281543i,z m m m m m R =-++-+∈. （1）若z 是实数，求实数m 的值； （2）若z 是纯虚数，求实数m 的值：（3）若z 在复平面上对应的点位于直线y x =上，求实数m 的值. 例16．已知复数32i23iz +=-. （1）求12i z --；（2）计算：234z z z z ++++……2021z +． 43．已知复数22cossincos isin 9999z i ππππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． （1）求z 的共轭复数； （2）若复数0z =，求0z 在复平面内对应的点的坐标．。
高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题11.1 复数(解析版)
11.1 复数一．复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)．规定i 2=-1(2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R)．(4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R)．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)．二．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R)是一一对应关系．三．复数的运算（1）复数的加、减、乘、除运算法则设12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R ，则①加法：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d +=+++=+++；②减法：；③乘法：； ④除法：1222i (i)(i)()i (i 0)i (i)(i)z a b a b c d ac bd bc ad c d z c d c d c d c d++-++-===+≠++-+． （2）复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有1221123123()(),z z z z z z z z z z +=+++=++．（3）复数乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有1221z z z z ⋅=⋅，，1231213()z z z z z z z +=+.(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.考向一 复数的基本概念【例1】（1）复数12z i =-的虚部是 。
2023年高考数学一轮复习(新高考1) 第8章 §8
由最小值为 41，得 402＋20－p22＝41，
②
解得p＝22或p＝58.
当p＝58时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去.
综上，p＝42或p＝22.
思维升华
“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问 题均可根据定义获得简捷、直观的求解.“由数想形，由形 想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径.
TANJIUHEXINTIXING
探究核心题型
题型一 抛物线的定义和标准方程
命题点1 定义及应用
例1 (1)(2020·全国Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C
的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于
A.2
B.3
√C.6
D.9
设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋p2 ＝12.
2.(2022·济南模拟)已知抛物线x2＝2py(p>0)，过焦点F的直线与抛物线交
于A，B两点(点A在第一象限).若直线AB的斜率为
33，点A的纵坐标为
3 2
，
则p的值为
1 A.4
1 B.2
√C.1
D.2
由题意得，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点在y轴上， 准线方程为 y＝－p2， 设A(xA，yA)， 则|AF|＝yA＋p2＝32＋p2， 设直线AB的倾斜角为α，
跟踪训练1 (1)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上
异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线
A.经过点O
√B.经过点P
C.平行于直线OP
D.垂直于直线OP
连接PF(图略)，由题意及抛物线的定义可知|PQ|＝|FP|，则△QPF为 等腰三角形，故线段FQ的垂直平分线经过点P.
高考数学一轮总复习教学课件第八章 平面解析几何第1节 直线的方程
(3)若一条直线的倾斜角为θ,则此直线的斜率为tan θ.( × )
(4)若一条直线的斜率为tan θ,则此直线的倾斜角为θ.( × )
(5)所有直线的方程都可以写成一次函数y=kx+b的形式.( × )
2. 一 条 直 线 l 与 x 轴 相 交 , 其 向 上 方 向 与 y 轴 正 方 向 所 成 的 角 为
√
解析:(3)由-1≤k< ,即-1≤tan α< ,而α∈[0,π),如图,结合
正切函数图象得α∈[0,)∪[ ,π).故选 D.
(1)斜率的两种求法
①定义法:若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据
k=tan α求斜率;
②公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据斜率公式
又直线l在y轴上的截距为-1,
所以直线l的方程为 y= x-1 .
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
直线的倾斜角与斜率
[例1] (1)直线l向上的方向与x轴负半轴的夹角为120°,则直线l
的斜率是(
A.
)
B.-
C.
√
D.-
解析:(1)由题意,直线l向上的方向与x轴正半轴的夹角为60°,
点 A(- ,3),所以所求直线方程为 y-3= (x+ ),即 x-y+6=0.
(3)若直线经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的
2倍.
解:(3)①当横截距、纵截距均为零时,设所求的直线方程为y=kx,
将(-5,2)代入 y=kx 中,得 k=- ,此时,直线方程为 y=- x,即 2x+5y=0.
高考数学一轮总复习教学课件第八章 平面解析几何第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是(
A.相交
√
C.相离
D.无法判断
)
B.相切
解析:圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离 d=
与圆相切.故选B.
|-|
,所以直线
=1=r
+
3.直线x-y+3=0被圆(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦长等于(
A.
B.
C.2
)
D.
√
解析:圆心(-2,2)到直线 x-y+3=0 的距离 d= ,圆的半径 r= ,
解直角三角形得,半弦长为 ,所以弦长等于 .故选 D.
4.圆O1:(x-1)2+y2=1与圆O2:x2+(y+2)2=4的位置关系是(
A.外离
B.外切
C.相交
D.内切
故选C.
判断直线与圆的位置关系常见的方法:
(1)几何法:利用d与r的关系.
(2)代数法:联立方程组,消元得一元二次方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直
线与圆相交;若点在圆上,直线与圆可能相切,也可能相交.
上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法更适用于动直
A.x-2y+3=0
B.2x+y-4=0
√
D.2x-y-4=0
C.x+2y-5=0
)
解析:圆心为O(0,0),kOP=2,故切线的斜率为
y-2=- (x-1) ,即x+2y-5=0.故选C.
高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.7 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离
（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.7 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离教师用书理苏教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.7 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离教师用书理苏教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第八章立体几何与空间向量 8。
7 立体几何中的向量方法（二）--求空间角和距离教师用书理苏教版1.两条异面直线所成角的求法设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量，则l与l2所成的角θa与b的夹角β1范围(0,错误!]［0，π]求法cos θ＝错误!cos β＝错误!2.直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为θ,a与n的夹角为β,则sin θ＝｜cos β|＝错误!.3.求二面角的大小（1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈错误!，错误!>.(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量,则二面角的大小θ满足|cos θ｜＝|cos〈n，n2〉|,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角）。
1【知识拓展】利用空间向量求距离（供选用）（1)两点间的距离设点A（x1，y1，z1)，点B（x2，y2，z2），则AB＝｜错误!|＝错误!.(2)点到平面的距离如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为|错误! |＝错误!。
2020版高考数学新设计一轮复习新课改省份专用讲义：第八章 第三节 圆的方程 含答案
第三节圆的方程1．圆的定义及方程如果没给出r＞0，则圆的半径为|r|.当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点⎝⎛⎭⎫－D2，－E2；当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形．2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.[熟记常用结论](1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＝0不一定表示圆．()(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＞0.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√二、选填题1．圆心坐标为(1,1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：选D 由题意得圆的半径为2，故该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，故选D. 2．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B.(－2,3) C ．(－2，－3)D ．(2，－3)解析：选D 圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)． 3．若点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B.(0,1) C.⎝⎛⎭⎫－1，15 D.⎝⎛⎭⎫－15，1 解析：选D 由(2a )2＋(a －2)2＜5，得－15＜a ＜1.4．若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是________．解析：若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)＞0，即3a 2＋4a －4＜0，解得－2＜a ＜23.答案：⎝⎛⎭⎫－2，23 5．圆心在y 轴上，半径长为1，且过点A (1,2)的圆的方程是________．解析：根据题意可设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1，因为圆过点A (1,2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2，所以所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.答案：x 2＋(y －2)2＝1考点一 求圆的方程[师生共研过关][典例精析][例1] 已知圆E 经过三点A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( )A.⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254 B.⎝⎛⎭⎫x ＋342＋y 2＝2516 C.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516D.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝254[解析] 法一：(待定系数法)设圆E 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，1－E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－32，E ＝0，F ＝－1，所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－32x －1＝0，即⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516.法二：(几何法)因为圆E 经过点A (0,1)，B (2,0)，所以圆E 的圆心在线段AB 的垂直平分线y －12＝2(x －1)上． 又圆E 的圆心在x 轴的正半轴上，所以圆E 的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫34，0. 则圆E 的半径为|EB |＝ ⎝⎛⎭⎫2－342＋(0－0)2＝54，所以圆E 的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516.[答案] C[例2] 圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程为________________________．[解析] 法一：(几何法)设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a )．又该圆经过A ，B 两点，所以|CA |＝|CB |，即(2a ＋3－2)2＋(a ＋3)2＝(2a ＋3＋2)2＋(a ＋5)2，解得a ＝－2， 所以圆心C 的坐标为(－1，－2)，半径r ＝10， 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.法二：(待定系数法)设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10， 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. [答案] (x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10[解题技法]1．求圆的方程的两种方法[提醒] 解答圆的有关问题时，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质． 2．确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[过关训练]1．若不同的四点A (5,0)，B (－1,0)，C (－3,3)，D (a,3)共圆，则a 的值为________． 解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 分别代入A ，B ，C 三点坐标， 得⎩⎪⎨⎪⎧25＋5D ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，9＋9－3D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－253，F ＝－5.所以A ，B ，C 三点确定的圆的方程为 x 2＋y 2－4x －253y －5＝0.因为D (a,3)也在此圆上，所以a 2＋9－4a －25－5＝0. 所以a ＝7或a ＝－3(舍去)．即a 的值为7. 答案：72．已知圆心在直线y ＝－x ＋1上，且与直线x ＋y －2＝0相切于点(1,1)的圆的方程为________________________．解析：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ＋1，(a －1)2＋(b －1)2＝|a ＋b －2|2，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12.所以r ＝⎝⎛⎭⎫1－122＋⎝⎛⎭⎫1－122＝22.故所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12. 答案：⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12考点二 与圆有关的最值问题 [全析考法过关][考法全析]考法(一) 斜率型最值问题[例1] 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求yx 的最大值和最小值． [解] 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx ＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3. 所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3. 考法(二) 截距型最值问题[例2] 已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上，求x ＋y 的最大值与最小值．[解] (转化为截距的最值问题求解)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆C 相切时，b 取得最大值或最小值，如图所示．由圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆C 的半径，可得|3＋3－b |12＋12＝2，即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y 的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.考法(三) 距离型最值问题[例3] 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求x 2＋y 2的最大值和最小值． [解] 如图所示，x2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43， x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 考法(四) 利用对称性求最值[例4] 已知A (0,2)，点P 在直线x ＋y ＋2＝0上，点Q 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0上，则|PA |＋|P Q |的最小值是________．[解析] 因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0， 故圆C 是以C (2,1)为圆心，半径r ＝5的圆．设点A (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )， 故⎩⎪⎨⎪⎧m ＋02＋n ＋22＋2＝0，n －2m －0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2，故A ′(－4，－2)．连接A ′C 交圆C 于Q (图略)，由对称性可知|PA |＋|P Q |＝|A ′P |＋|P Q |≥|A ′Q |＝|A ′C |－r ＝2 5. [答案] 2 5[规律探求][过关训练]1．已知点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆C：(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是()A．2,2－52B．2＋52，2－52C.5，4－ 5D.52＋1，52－1解析：选B由题意知|AB|＝(－1)2＋(－2)2＝5，l AB：2x－y＋2＝0，由题意知圆C的圆心坐标为(1,0)，∴圆心到直线l AB的距离d＝|2－0＋2|4＋1＝455.∴S△PAB的最大值为12×5×⎝⎛⎭⎫455＋1＝2＋52，S△PAB的最小值为12×5×⎝⎛⎭⎫455－1＝2－52.2．设P为直线3x－4y＋11＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值为________．解析：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为C (1,1)，半径r ＝1，根据对称性可知，四边形PACB 的面积为2S △APC ＝2×12|PA |r ＝|PA |＝|PC |2－r 2，要使四边形PACB 的面积最小，则只需|PC |最小，|PC |最小时为圆心到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离d ＝|3－4＋11|32＋(－4)2＝105＝2.所以四边形PACB 面积的最小值为(|PC |min )2－r 2＝4－1＝ 3.答案： 3考点三 与圆有关的轨迹问题 [师生共研过关][典例精析]已知直角三角形ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)． (1)求直角顶点C 的轨迹方程；(2)求直角边BC 的中点M 的轨迹方程．[解] (1)设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·y x －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y . 由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)， 将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4(y ≠0)， 即(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．[解题技法]求与圆有关轨迹问题的3种方法(1)直接法：当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程．(2)定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程． (3)代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程．[过关训练]1．自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，P Q 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为( )A ．8x －6y －21＝0B ．8x ＋6y －21＝0C ．6x ＋8y －21＝0D ．6x －8y －21＝0解析：选D 由题意得，圆心C 的坐标为(3，－4)，半径r ＝2，如图．因为|P Q |＝|PO |，且P Q ⊥C Q ，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x 2＋y 2＋4＝(x －3)2＋(y ＋4)2，即6x －8y －21＝0，所以点P 的轨迹方程为6x －8y －21＝0，故选D.2．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解：如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)， 则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2， 线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42. 因为平行四边形的对角线互相平分，所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆⎝⎛⎭⎫因为O ，M ，P 三点不共线，所以应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285.[课时跟踪检测]一、题点全面练1．圆(x －3)2＋(y －1)2＝5关于直线y ＝－x 对称的圆的方程为( ) A ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝5 B ．(x －1)2＋(y －3)2＝5 C ．(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝5D ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝5解析：选C 由题意知，所求圆的圆心坐标为(－1，－3)，半径为5，所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝5，故选C.2．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213C.253D.43解析：选B 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，∴⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1，∴△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为1＋⎝⎛⎭⎫2332＝213. 3．(2019·成都模拟)若抛物线y ＝x 2－2x －3与坐标轴的交点在同一个圆上，则由交点确定的圆的方程为( )A ．x 2＋(y －1)2＝4 B.(x －1)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋y 2＝4D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝5解析：选D 抛物线y ＝x 2－2x －3关于直线x ＝1对称，与坐标轴的交点为A (－1,0)，B (3,0)，C (0，－3)，设圆心为M (1，b )，半径为r ，则|MA |2＝|MC |2＝r 2，即4＋b 2＝1＋(b ＋3)2＝r 2，解得b ＝－1，r ＝5，∴由交点确定的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝5，故选D.4．(2019·银川模拟)若圆C 与y 轴相切于点P (0,1)，与x 轴的正半轴交于A ，B 两点，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝2 B.(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －2)2＋(y －1)2＝2D ．(x －1)2＋(y －2)2＝2解析：选C 设线段AB 的中点为D ，则|AD |＝|CD |＝1，∴r ＝|AC |＝2＝|CP |，故C (2，1)，故圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝2，故选C.5．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B.(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选A 设中点为A (x ，y )，圆上任意一点为B (x ′，y ′)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋4＝2x ，y ′－2＝2y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x －4，y ′＝2y ＋2，故(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A. 6．在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为________．解析：圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，故由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，|－a |＞2，|2a |＞2，解得a ＜－2，故实数a 的取值范围为(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)7．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为____________________． 解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.答案：(x －2)2＋y 2＝98．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____________________．解析：因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r ＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝29．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C ，D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410， ∴|PA |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.10．已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)． (1)求|M Q |的最大值和最小值； (2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解：(1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|Q C |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42＞2 2. 所以点Q 在圆C 外，所以|M Q |max ＝42＋22＝62， |M Q |min ＝42－22＝2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线M Q 的斜率，设直线M Q 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k .因为直线M Q 与圆C 有交点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22， 可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 二、专项培优练 (一)易错专练——不丢怨枉分1．方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是( )A ．一个椭圆B.一个圆 C ．两个圆 D ．两个半圆解析：选D 由题意知|y |－1≥0，则y ≥1或y ≤－1，当y ≥1时，原方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1(y ≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y ＝1上方的半圆；当y ≤－1时，原方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1(y ≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y ＝－1下方的半圆．所以方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是两个半圆，选D.2．(2019·海口模拟)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝4(y ≥0)，则m ＝3x ＋y 的取值范围是( )A ．(－23，4)B.[－23，4] C ．[－4,4] D ．[－4,23]解析：选B x 2＋y 2＝4(y ≥0)表示圆x 2＋y 2＝4的上半部分，如图所示，直线3x ＋y －m ＝0的斜率为－3，在y 轴上的截距为m .当直线3x＋y －m ＝0过点(－2,0)时，m ＝－2 3.设圆心(0,0)到直线3x ＋y －m ＝0的距离为d ，则⎩⎨⎧ m ≥－23，d ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，|－m |2≤2， 解得m ∈[－23，4]．3．若对圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )，|3x －4y ＋a |＋|3x －4y －9|的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]B.[－4,6] C ．(－∞，－4]∪[6，＋∞) D ．[6，＋∞)解析：选D |3x －4y －9|表示点P 到直线l 1：3x －4y －9＝0的距离的5倍，|3x －4y ＋a |表示点P 到直线l 2：3x －4y ＋a ＝0的距离的5倍，|3x －4y ＋a |＋|3x －4y －9|的取值与x ，y 无关，即点P 到直线l 1，l 2的距离之和与点P 的位置无关，所以直线3x －4y ＋a ＝0与圆相离或相切，并且l 1和l 2在圆的两侧，所以错误!≥1，且a ＞0，解得a ≥6，故选D.4．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 的方程为______________________．解析：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a ), 半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43. 答案：x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝435．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点．记d ＝|PB |2＋|PA |2，其中A (0,1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________．解析：设P (x 0，y 0)，d ＝|PB |2＋|PA |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(32＋42＋1)2＝36，∴d max ＝74.答案：74(二)交汇专练——融会巧迁移6．[与不等式交汇]已知圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，则1a ＋3b的最小值是( ) A ．2 3B.203 C ．4 D.163解析：选D 由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知，其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，∵圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0，∴a ＋3b ＝3(a ＞0，b ＞0)，∴1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝13⎝⎛⎭⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝⎛⎭⎫10＋2 3a b ·3b a ＝163， 当且仅当3b a ＝3a b ，即a ＝b 时取等号，故选D.7．[与线性规划交汇]已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为____________________．解析：如图，不等式表示的平面区域是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0，2)所构成的三角形及其内部，∴覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OP Q 为直角三角形，∴圆心为斜边P Q 的中点(2,1)，半径r ＝|P Q |2＝5， 因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝5 8．[与函数交汇]如果直线2ax －by ＋14＝0(a ＞0，b ＞0)和函数f (x )＝m x ＋1＋1(m ＞0，m ≠1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(x －a ＋1)2＋(y ＋b －2)2＝25的内部或圆上，那么b a的取值范围为________．解析：易知函数f (x )＝m x ＋1＋1(m ＞0，m ≠1)的图象过定点(－1,2)，∴直线2ax －by ＋14＝0(a ＞0，b ＞0)过定点(－1，2)，∴a ＋b ＝7，①又定点(－1,2)在圆(x －a ＋1)2＋(y ＋b －2)2＝25的内部或圆上，∴a 2＋b 2≤25，②由①②解得3≤a ≤4，∴14≤1a ≤13， ∴b a ＝7－a a ＝7a －1∈⎣⎡⎦⎤34，43.答案：⎣⎡⎦⎤34，439．[与向量交汇]已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求P Q ―→·M Q ―→的最小值．解：(1)设圆C 的圆心C (a ，b )，由已知得M (－2，－2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0， 则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝2，P Q ―→·M Q ―→＝(x 0－1，y 0－1)·(x 0＋2，y 0＋2)＝x 20＋y 20＋x 0＋y 0－4＝x 0＋y 0－2.令x 0＝2cos θ，y 0＝2sin θ，所以P Q ―→·M Q ―→＝x 0＋y 0－2 ＝2(sin θ＋cos θ)－2＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2， 又⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4min ＝－1，所以P Q ―→·M Q ―→的最小值为－4.(三)难点专练——适情自主选10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ，B ，曲线Γ与y 轴交于点C .(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．(2)求证：过A ，B ，C 三点的圆过定点．解：由曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )，令y ＝0，得x 2－mx ＋2m ＝0.设A (x 1,0)，B (x 2,0)，可得Δ＝m 2－8m ＞0，则m ＜0或m ＞8.x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2m .令x ＝0，得y ＝2m ，即C (0,2m )．(1)若存在以AB 为直径的圆过点C ，则AC ―→·BC ―→＝0，得x 1x 2＋4m 2＝0，即2m ＋4m 2＝0，所以m ＝0(舍去)或m ＝－12. 此时C (0，－1)，AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫－14，0即圆心， 半径r ＝|CM |＝174， 故所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋y 2＝1716. (2)证明：设过A ，B 两点的圆的方程为x 2＋y 2－mx ＋Ey ＋2m ＝0，将点C (0,2m )代入可得E ＝－1－2m ，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－mx －(1＋2m )y ＋2m ＝0.整理得x 2＋y 2－y －m (x ＋2y －2)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－y ＝0，x ＋2y －2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1或⎩⎨⎧ x ＝25，y ＝45，故过A ，B ，C 三点的圆过定点(0,1)和⎝⎛⎭⎫25，45.。
高考数学(江苏版)一轮配套课件：第八章 复 数
性质有 z1
z2 = z1±z2 ,z1 z2
=z1·z2 ,
z1 z2
= z1
z2
(z2≠0).
8.设z=a+bi,则|z|=r= a2 b2 且有
(1)||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|;
(2)|z|2=z·z ; (3)|z|=1⇔z·z =1; (4)|z|2=| z |2=|z2|=| z 2|=z·z . 9.复平面内的两点间距离公式:d=|z1-z2|,其中z1、z2是复平面内的两点Z1 和Z2所对应的复数,d为Z1和Z2间的距离.
y的实数问题来求解.复数问题实数化是解决复数问题最基本、最重要
的思想方法.
2.求根公式法:有关求一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,且a≠0)的根的
问题.其求解思路是先求判别式Δ=b2-4ac,若Δ≥0,则其根为x=
b
b2 4ac ,若Δ<0,则其根为x= b
4ac b2i
.
2a
+c=0的根,利用根与系数的关系,即可求出b,c的值.
解析 因为1+ 2 i是实系数方程x2+bx+c=0的一个虚根,所以1- 2 i也是
此方程的根,则 1
(1
2i 1 2i)(1
2i b, 2i) c,
解得cb
2, 3.
答案 -2;3
除法:
a c
bi di
=
(a
bi)(c c2 d
2
di)
=
(ac
bd c
)
2
(bc d2
ad
)i
(c+di≠0).
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第八章复数
命题探究
考纲解读
2017
算
分析解读复数是江苏高考的必考内容,重点考查复数的四则运算和简单的几何意义,试题比较简单,只要掌握基本概念就能解决.
五年高考
考点一复数的有关概念及几何意义
1.(2017课标全国Ⅲ文改编,2,5分)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于第象限.
答案三
2.(2016天津,9,5分)i是虚数单位,复数z满足(1+i)z=2,则z的实部为.
答案 1
3.(2016天津理,9,5分)已知a,b∈R,i是虚数单位.若(1+i)(1-bi)=a,则的值为.
答案 2
4.(2015天津,9,5分)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为.
答案-2
5.(2015重庆,11,5分)设复数a+bi(a,b∈R)的模为,则(a+bi)(a-bi)= .
答案 3
6.(2015广东改编,2,5分)若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则= .
答案2-3i
7.(2015湖北改编,1,5分)i为虚数单位,i607的为.
答案i
8.(2014江苏,2,5分)已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的实部为.
答案21
9.(2014江西改编,1,5分)是z的共轭复数,若z+=2,(z-)i=2(i为虚数单位),则z= .
答案1-i
10.(2013江苏,2,5分)设z=(2-i)2(i为虚数单位),则复数z的模为.
答案 5
11.(2013课标全国Ⅰ理改编,2,5分)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为.
答案
12.(2013湖南理改编,1,5分)复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于第象限. 答案二
教师用书专用(13—15)
13.(2014重庆改编,1,5分)复平面内表示复数i(1-2i)的点位于第象限.
答案一
14.(2013北京理改编,2,5分)在复平面内,复数(2-i)2对应的点位于第象限.
答案四
15.(2013山东理改编,1,5分)复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数为. 答案5-i
考点二复数的运算
1.(2017课标全国Ⅱ文改编,2,5分)(1+i)(2+i)= .
答案1+3i
2.(2017山东文改编,2,5分)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2= .
答案-2i
3.(2017山东理改编,2,5分)已知a∈R,i是虚数单位.若z=a+i,z·=4,则a= .
答案1或-1
4.(2016四川改编,1,5分)设i为虚数单位,则复数(1+i)2= .
答案2i
5.(2016课标全国Ⅰ改编,2,5分)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a= .
答案-3
6.(2016课标全国Ⅲ理改编,2,5分)若z=1+2i,则= .
答案i
7.(2016北京改编,2,5分)复数= .
答案i
8.(2015江苏,3,5分)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为.
答案
9.(2015课标Ⅰ改编,1,5分)设复数z满足=i,则|z|= .
答案 1
10.(2015课标Ⅱ改编,2,5分)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a= .
答案0
11.(2015湖南改编,1,5分)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z= .
答案-1-i
12.(2015山东改编,2,5分)若复数z满足=i,其中i为虚数单位,则z= .
答案1-i
13.(2015四川改编,2,5分)设i是虚数单位,则复数i3-= .
答案i
14.(2014山东改编,1,5分)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a-i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2= . 答案3+4i
15.(2014安徽改编,1,5分)设i是虚数单位,表示复数z的共轭复数.若z=1+i,则+i·= .
答案 2
16.(2014课标Ⅰ改编,2,5分)= .
答案-1-i
17.(2014湖北改编,1,5分)i为虚数单位,= .
答案-1
18.(2013江西理改编,1,5分)已知集合M={1,2,zi},i为虚数单位,N={3,4},M∩N={4},则复数z= . 答案-4i
19.(2013重庆理,11,5分)已知复数z=(i是虚数单位),则|z|= .
答案
教师用书专用(20—21)
20.(2013天津理,9,5分)已知a,b∈R,i是虚数单位.若(a+i)·(1+i)=bi,则a+bi= .
答案1+2i
21.(2013安徽理改编,1,5分)设i是虚数单位,是复数z的共轭复数.若z·i+2=2z,则z= .
答案1+i
三年模拟
A组2016—2018年模拟·基础题组
考点一复数的有关概念及几何意义
1.(2017江苏南京、盐城一模,2)设复数z满足z(1+i)=2,其中i为虚数单位,则z的虚部为.
答案-1
2.(2017江苏泰州中学模拟,2)已知复数z满足(1+i)·z=-i(i为虚数单位),则的模为.
答案
3.(2017江苏南京师范大学附中期中,2)若复数z满足i=1+i(i为虚部单位),则的共轭复数是.
答案1+i
4.(2017江苏南京第一次调研)若z∈C,且|z+2-2i|=1,则|z-2-2i|的最小值为.
答案 3
5.(2016江苏南京、盐城一模,5)已知复数z=(i是虚数单位),则|z|= .
答案
6.(苏教选2—2,三,3,3,变式)在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段A B的中点,则点C对应的复数是.
答案2+4i
考点二复数的运算
7.(2018江苏扬州中学月考)设(1+2i)2=a+bi(a,b∈R),其中i是虚数单位,则ab= .
答案-12
8.(2017江苏南京高淳质检,1)若(i是虚数单位)是实数,则实数a的值是.
答案-1
9.(2017江苏苏州调研,2)已知i是虚数单位,复数z的共轭复数为,若2z=+2-3i,则z= .
答案2-i
B组2016—2018年模拟·提升题组
(满分:20分时间:10分钟)
一、填空题(每小题5分,共10分)
1.(2018江苏海安高三阶段测试)已知复数z=a+3i(i为虚数单位,a>0),若z2是纯虚数,则a的值为. 答案 3
2.(2017江苏南京溧水中学质检,7)已知复数z1=2+ai,z2=2-i,i是虚数单位,若|z1|<|z2|,则实数a的取值范围是.
答案-1<a<1
二、解答题(共10分)
3.(苏教选2—2,三,2,12,变式)复数z1=+(10-a2)i,z2=+(2a-5)i,若+z2是实数,求实数a的值.
解析+z2=+(a2-10)i++(2a-5)i
=+[(a2-10)+(2a-5)]i
=+(a2+2a-15)i.
∵+z2是实数,
∴a2+2a-15=0,解得a=-5或a=3.
又(a+5)(a-1)≠0,
∴a≠-5且a≠1,故a=3.
C组2016—2018年模拟·方法题组
方法1 复数的几何意义
1.(2016湖北武汉调研改编)若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数的点是.
答案H
2.△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1,z2,z3,若复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点为△ABC的心.
答案外
方法2 求解有关复数方程的常用方法
3.已知a,b∈R,且2+ai,b+i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2+px+q=0的两个根,那么
p= ,q= .
答案-4;5。