全国高中数学联赛模拟试题总

2015年全国高中数学联赛模拟试题01第一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分. 1.设127()3x f x x +=-+，11()(())n n f x f f x +=，2,3x x ≠-≠-，则2013(2014)f =______. 2. 设(2,4)A =-，2{|40,}R B x x ax x =++=?．若A B I 的非空子集个数为1， 则实数a 的取值范围是 ．3.设R 是满足00[][]5x y x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+++≤⎩，，的点(),x y 构成的区域，则区域R 的面积为_______.（其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数）.4.二元函数()f x y ，的最大值为___ 5. 已知B 是双曲线22:2410C x y -+=上靠近点(0,)(1)A m m >的一个顶点．若以点A 为圆心，AB 长为半径的圆与双曲线C 交于3个点，则m 的取值范围是 ． 6.甲、乙两人玩游戏，规则如下：第奇数局，甲赢的概率为34，第偶数局，乙赢的概率为34.每一局没有平局，规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多2次时游戏结束.则游戏结束时，甲乙两人玩的局数的数学期望为________. 7.设五边形ABCDE 满足120A B C D ∠=∠=∠=∠=o ，则AC BDAE ED⋅⋅的最小值为8.过正四面体ABCD 的顶点A 作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD 所成的角为075.这样的截面共可作出 个 .MDO 2O 1O 3CBA二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）.试求实数a 的取值范围，使得2是不等式22log (23)21log x x a a+->+的最小整数解.10.（本小题满分20分）、数列{}1n n a ≥定义为11a =，24a =，)2n a n =≥.⑴ 求证：数列{}1n n a ≥为整数列；⑵ 求证：121n n a a ++()1n ≥是完全平方数. 11.（本小题满分20分）已知S,P(非原点)是抛物线y=x 2上不同的两点,点P 处的切线分别交x,y 轴于Q,R.(1)若λ=,求λ的值;(2)若⊥,求ΔPSR 面积的最小值.2015年全国高中数学联赛模拟试题01加试一、（本小题满分40分）一、如图，设A 为12,O O e e 的一个交点，直线l 切12,O O e e 分别于,B C ，3O 为ABC ∆的外心，3O 关于A 的对称点为D ，M 为12O O 的中点.求证：12O DM O DA ∠=∠.二、（本小题满分40分）设)(131211*N n nS n ∈++++=Λ.证明:对任意m ∈N *,存在n ∈N *,使得[S n ]=m.三、（本小题满分50分）试求所有的正整数n ，使得存在正整数数列12n a a a <<<L ，使得和()1i j a a i j n +≤<≤互不相同，且模4意义下各余数出现的次数相同.四、（本小题满分50分）集合S 是由空间内2014个点构成，满足任意四点不共面.正整数m 满足下列条件：将任意两点连成一条线段，并且在此线段上标上一个m ≤的非负整数，使得由S 中顶点构成的任何一个三角形，一定有两边上的数字是相同的，且这个数字小于第三边上的数字.试求m 的最小值.2015全国高中数学联赛模拟试题02一、填空题（每小题8分，共64分）1.在如下图所示的正方体''''D C B A ABCD -中， 二面角''C BD A --等于 （用反三角函数表示） 2.如果三角形ABC ∆的三个内角C B A ,,满足C B A cot ,cot ,cot 依次成等差数列，则角B 的最大值是3.实数列{}n a 满足条件：)2(2,12,12211121≥+-=++=+=--+n a a na a a a n n n n ， 则通项公式=n a )1(≥n 。

4.21,F F 是椭圆)0(2222>>=+b a b y a x 的两个焦点，P 为椭圆上任意一点，如果21F PF ∆的面积为1，,2tan ,21tan 1221-=∠=∠F PF F PF 则=a5.在同一直角坐标系中，函数)0(4)(≠+=a ax x f 与其反函数)(1x f -的图像恰有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是6. 已知正实数12,,,n a a a L 与非负实数12,,,n b b b L 满足(1) 1212n n a a a b b b n +++++++=L L ;(2) 121212n n a a a b b b +=L L ，则 121212n n n b b b a a a a a a ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭L L 的最大值为__________． 7. 已知20块质量为整数克的砝码可称出1,2,,2014L 克的物品， 砝码只能放在天平一端，则最大砝码质量最小值为________________克． 8.设)1()(x x x g -=是定义在区间[]1,0上的函数，则函数)(x xg y =的图像与x 轴所围成图形的面积是二、简答题（本大题共3小题，共56分）9.（16分）设数列{}n a 的前n 项和n S 组成的数列满足)1(796221≥++=++++n n n S S S n n n ，已知,5,121==a a 求数列{}n a 的通项公式。

10.（20分）设,3,2,1x x x 是多项式方程011103=+-x x 的三个根。

（1）已知,3,2,1x x x 都落在区间)5,5(-之中，求这三个根的整数部分； （2）证明：123arctan arctan arctan 4x x x π++=11.（20分）如下图，椭圆)1,0(),0,2(,14:22--=+ΓB A y x 是椭圆Γ上的两点，直线)0,0)(,(.1:,2:000021>>-=-=y x y x P y l x l 是Γ上的一个动点，3l 是过点P 且与Γ相切的直线，E D C ,,分别是直线1l 与2l ，2l 与3l ，1l 与3l 的交点，求证：三条直线BE AD ,和CP 共点。

2015全国高中数学联赛模拟试题02一（本题满分40分）对任意实数,a b ，定义运算“⊕”为：[2]a b a b ?+．在直角坐标系中，设点集{(,)|03,02,)2)2}A x y x y x y y x =??=，求A 所对应的平面区域的面积．二（本题满分40分）如图，在ABC ∆中，AB AC >，H 为ABC ∆的垂心，M 为边BC 的中点，点S 在边BC 上且满足BHM CHS ∠=∠，点A 在直线HS 上的射影为P .证明：MPS ∆的外接圆与ABC ∆的外接圆相切. 三（本题满分50分）整数,,,a b c d 满足1ad bc -=.求2222a b c d ab cd ac bd bc +++++---的最小值,并求出一切达到最小值的四元数组(),,,a b c d 四（本题满分50分）设整数2n ≥,{}0,1,,1G n =-L ，,A B G ⊆，对x G ∈，记()AB f x 为满足(mod )a b x n -≡，a A ∈，b B ∈的数组(,)a b 的个数，类似定义()AA f x ，()BB f x .证明：2()()()ABAA BB x Gx Gfx f x f x ∈∈=⋅∑∑.2015全国高中数学联赛模拟试题03一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.已知函数2()log f x x =，若实数,()a b a b <满足()()f a f b =，则2014a b +的取值范围是__________．2.函数()sin cos (,)Z f x a x b x a b =+?满足(){}()(){}00x f x x f f x ===，则a 的最大值为 ．3.设复数1(6)(4)z a b i =-+-，2(32)(23)z a b i =+++，3(3)(32)z a b i =-+-， （,a b R ∈），则当123||||||z z z ++取到最小值时，34a b +=________________4.有一个顶点在下且底面呈水平状的圆锥形容器，轴截面是边长为6的正三角形，容器里装满了水，现有一个正四棱柱，底面边长为(6)a a <，高为(6)h h >，竖直地浸在容器里，为了使容器溢出的水最多，a 的值应取为 ．5.在ABC ∆中，030AB AC BAC ==∠=，P 是ABC ∆所在平面上任意一点，则PA PB PB PC PC PA μ=⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值是______________6. 正数列{}n a 满足: 14n nnS a =(n S 为前n 项之和),则2nn a =_____________________． 7.设过点(2,0)M 的直线l 与抛物线24y x =交于点,A B ，与圆229()162x y -+=交于点,C D ，若AC BD =且AB CD ≠，则这样的直线l 的条数是8. 6名男生和x 名女生随机站成一排，每名男生都至少与另一男生相邻.至少有4名男生站在一起的概率为p ，若1100p ≤，则x 的最小值为 ． 二、简答题（本大题共3小题，共56分）9.已知正数数列}{n a =*n N ∈），且122,10a a ==，求}{n a 的通项公式．10.二次函数()f x 的图像开口向上，与x 轴正向交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，以D 为顶点，若三角形ABC 的外接圆与y 轴相切，且150DAC ∠=o ，则0x >时，求()f x xμ=的最小值． 11、已知圆222(1)(2)x y R -+-=（0R >）与椭圆2214x y +=有公共点，求圆的半径R 的最小值． 2015全国高中数学联赛模拟试题03加试一（本题满分40分）如图，圆1O 、圆2O 与圆3O 相交于点P ，圆1O 和圆2O 的另一个交点为A ，经过点A 的一条直线分别交圆1O 、圆2O 于点B 、C ，AP 的延长线交圆3O 于点D ，作//DE BC 交圆3O 于点E ，再作EM 、EN 分别切圆1O 、圆2O 于M 、N ．求证：22EM EN DE BC -=⋅． 二、（本题满分40分）若数列{}n a 是项为非负整数的不减数列，且满足：对任意的*n N ∈，只有有限个正整数m 使得m a n <成立，记这样的m 的个数为*()n a ，则得到一个新数列{}*()n a ，如此可定义数列(){}**()n a 等．求证：()**()n n a a =．三、（本题满分50分）证明：存在无穷多个素数，使得对于这些素数中的每一个p ，至少存在一个n N ∈， 满足：2|20142014np +． 四、（本题满分50分）平面上有4n （*n N ∈）个半径相同的圆，其中任意两个圆都不相切，任意一个圆至少与另外三个圆相交．设这些圆的交点个数为()f n ，求()f n 的最小值．2015年全国高中数学联赛模拟试题04第一试（时间：8:00-9:20 满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1. 集合{,}A x y =与3{1,log (2)}B x =+恰有一个公共元为正数1x +，则A B =U ．2.若函数()23log 2a f x ax x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭在区间[]1,2上递增，则a 的取值范围是___________. 3.已知02πβα≤≤<，且tan 3tan αβ=，则u αβ=-的最大值为________.4.在单调递增数列{}n a 中，已知12a =，24a =，且21n a -，2n a ，21n a +成等差数列，2n a ，21n a +，22n a +成等比数列，1,2,3,n =L .那么，100a =_________.5. 已知点(1,2,5)P 是空间直角坐标系O xyz -内一定点，过P 作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于,,A B C 三点，则所有这样的四面体OABC 的体积的最小值为 ． 6.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边为,,a b c ，5a =，4b =，又知31cos()32A B -=， 则ABC ∆的面积为 ．7. 已知过两抛物线21:1(1)C x y +=-，22:(1)41C y x a -=-++的交点的各自的切线互相垂直， 则实数a 的值为 ．8.若整数,a b 既不互质，又不存在整除关系，则称,a b 是一个“联盟”数对；设A 是集{}1,2,,2014M =L 的n 元子集，且A 中任两数皆是“联盟”数对，则n 的最大值为 ． 二、解答题：本大题共3小题，共56分.9. （本小题满分16分）设数列{}n a 满足21131,,12n n na a a n a ++==≥．求证：（1） 当2n ≥时，n a 严格单调递减．（2） 当1n ≥时，212|331nnn r a r+-=-这里23r =10. （本小题满分20分）设椭圆22221(0)y x a b a b+=>>与抛物线22(0)x py p =>有一个共同的焦点F ，PQ 为它们的一条公切线，P 、Q 为切点，证明： PF QF ⊥．11. （本小题满分20分）求证：（1）方程310x x --=恰有一个实根ω，并且ω是无理数； （2）ω不是任何整数系数二次方程20(,,,0)ax bx c a b c Z a ++=∈≠的根．2015年全国高中数学联赛模拟试题04加试（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分40分）如图，在锐角ABC ∆ 中，,AB AC D > 、E 分别是边AB 、AC 的中点，ADE ∆ 的外接圆与BCE ∆ 的外接圆交于点P （异于点E ），ADE ∆ 的外接圆与BCD ∆ 的外接圆交于点Q （异于点D ）。