人大版微积分第三版课件71级数概念与正项级数.ppt
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微积分人大3版 7.1
设级数 ∑ u n 收敛且 ∑ u n =s，则差值
n =1 n =1 ∞ ∞
rn =s−sn=un+1 + un+2 + · · ·
叫做级数 ∑ u n 的余项。
n =1 ∞
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例1 讨论等比级数（几何级数）
∑aq
n =0
∞
n
= a + aq + aq + ⋅ ⋅ ⋅ + aq + ⋅ ⋅ ⋅
n =0
当|q|>1 时， lim sn =∞，此时级数 ∑aq n 发散。 =∞，此时级数
n →∞
∞
a 。 1− q
当 q =1 时， n = na → ∞，因此级数 ∑aq n 发散。 ，s ，sn 随着n为奇数或偶数而等于a或等于0，
从而 sn 的极限不存在，这时级数 ∑aq n 也发散。
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二、级数敛散性的概念
级数的部分和： 级数的部分和： sn = u1 + u2 + u3 + ⋅ ⋅ ⋅ + un。 级数敛散性定义： 级数敛散性定义：
如果级数 ∑ u n 的部分和数列 sn 有极限： lim sn =s， 则称无穷级数 ∑ u n 收敛， ，这时极限 s 叫做这级数的和， 并写成 s= ∑ u n = u1 + u2 + u3 + ⋅ ⋅ ⋅ + un + ⋅ ⋅ ⋅ ；
2 n
的敛散性，其中a ≠0，q叫做级数的公比。 解：如果q ≠1，则部分和
a (1 − q n ) sn= a + aq + aq 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + aq n−1 = 。 1− q ∞ a n 当|q|<1 时， lim s n = ， ，此时级数 ∑ aq 收敛。 n→∞ 1− q n =0
n =1 n =1 ∞ ∞
rn =s−sn=un+1 + un+2 + · · ·
叫做级数 ∑ u n 的余项。
n =1 ∞
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例1 讨论等比级数（几何级数）
∑aq
n =0
∞
n
= a + aq + aq + ⋅ ⋅ ⋅ + aq + ⋅ ⋅ ⋅
n =0
当|q|>1 时， lim sn =∞，此时级数 ∑aq n 发散。 =∞，此时级数
n →∞
∞
a 。 1− q
当 q =1 时， n = na → ∞，因此级数 ∑aq n 发散。 ，s ，sn 随着n为奇数或偶数而等于a或等于0，
从而 sn 的极限不存在，这时级数 ∑aq n 也发散。
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二、级数敛散性的概念
级数的部分和： 级数的部分和： sn = u1 + u2 + u3 + ⋅ ⋅ ⋅ + un。 级数敛散性定义： 级数敛散性定义：
如果级数 ∑ u n 的部分和数列 sn 有极限： lim sn =s， 则称无穷级数 ∑ u n 收敛， ，这时极限 s 叫做这级数的和， 并写成 s= ∑ u n = u1 + u2 + u3 + ⋅ ⋅ ⋅ + un + ⋅ ⋅ ⋅ ；
2 n
的敛散性，其中a ≠0，q叫做级数的公比。 解：如果q ≠1，则部分和
a (1 − q n ) sn= a + aq + aq 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + aq n−1 = 。 1− q ∞ a n 当|q|<1 时， lim s n = ， ，此时级数 ∑ aq 收敛。 n→∞ 1− q n =0
大学课程《微积分》PPT课件：微积分7章1节
1
正确答案选（C）。
例 3 判别级数
1
n1 (2n 1)(2n 1)
= 1+
1+
1 +…+
13 35 57
1
+…的敛散性，
(2n 1)(2n 1)
若收敛则求其和。
解 由于
un
(2n
1 1)(2n
1)
1 2
(1 2n 1
1) 2n 1
所以级数的部分和
Sn
=1 13
+1 35
+1 57
+…+
1 (2n 1)(2n 1)
例3（讲义例3）讨论等比级数(又称为几何级数)
aqn a aq aq2 aqn
n0
(a 0) 的收敛性.
注：几何级数是收敛级数中最著名的一个级数．阿贝尔曾经指出“除了几何级数 之外，数学中不存在任何一种它的和已被严格确定的无穷级数”．几何级数在判断 无穷级数的收敛性、求无穷级数的求和以及将一个函数展开为无穷级数等方面都有 广泛而重要的应用.
（4）级数收敛的必要条件：若级数
un
n1
收敛，则
lim
n
un
0
例 1 讨论几何级数（也叫等比级数）
aq n1 = a+ aq+ aq2 +…+aq n1 +… （a≠0,q≠0）
n 1
的敛散性，若收敛则求其和。
解 级数的部分和
Sn
a(1 qn ) ; q 1q
1
na; q 1
（1）当
q
1
1
11
解 由于 n1 3n 与 n1 7 n 都是几何级数，公比分别为 3， 7，
大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx
高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法 或莱布尼茨公式等方法进行求解。 需要注意的是，在计算过程中要 遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领 域有着广泛的应用。例如，在物 理学中，加速度是速度的一阶导 数，而速度是位移的一阶导数； 在工程学中，梁的挠度是荷载的 一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导 数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在 该点有定义，且左右极限相等并 等于函数值。连续性是函数的基 本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在 该点的切线斜率存在，即函数在 该点有导数。可微性反映了函数 局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连 续。即函数的连续性是可微性的 必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼 茨独立发展。经过数百年的完善，已成 为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变 化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量 与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了 有效方法。
教学课件微积分第三版
称函数值f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值,
点x0为函数f(x)在区间I上的最大值点;若恒有
f(x0)≤f(x),则称函数值f(x0)为函数f(x)在区
间I上的最小值,点x0为函数f(x)在区间I上的最
小值点.
第一章 函数与极限
1.2 几何与经济方面函数关系式
1.几何方面函数关系式
(1)矩形面积S等于长x与宽u的积,即
又已知生产xkg产品的总成本为
1
C=C(x)=9x2+6x+100
所以每日产品全部销售后获得的总利润
1
1
L=L(x)=R(x)-C(x)= − 3 2 + 46x - 9 2 + 6x + 100
4
=- x2+40x-100(元)
9
1
由于产量x>0;又由于销售价格p>0,即46-3x>0,得到0<x<138,因而函数定
1.5 未定式极限
2.第二种基本情况
已知函数R(x)与S(x)中至少有一个含二次根式,当x→x0(有限值)时,
() 0
若R(x)→0且S(x)→0,则无理分式极限 lim
为 型未定式极限.
→0 () 0
解法:分子R(x)、分母S(x)同乘以它们的有理化因式,并注意到在
x→x0的过程中,恒有x-x0≠0,因而约去使得分子、分母同趋于零的
义域为0<x<138.
第一章 函数与极限
1.3 极限的概念与基本运算法则
定义1.8 已知数列
y1,y2,y3,y4,…,yn,…
当n→∞时,若一般项yn无限接近于常数A,则称当n→∞时数列yn的极
限为A,记作
点x0为函数f(x)在区间I上的最大值点;若恒有
f(x0)≤f(x),则称函数值f(x0)为函数f(x)在区
间I上的最小值,点x0为函数f(x)在区间I上的最
小值点.
第一章 函数与极限
1.2 几何与经济方面函数关系式
1.几何方面函数关系式
(1)矩形面积S等于长x与宽u的积,即
又已知生产xkg产品的总成本为
1
C=C(x)=9x2+6x+100
所以每日产品全部销售后获得的总利润
1
1
L=L(x)=R(x)-C(x)= − 3 2 + 46x - 9 2 + 6x + 100
4
=- x2+40x-100(元)
9
1
由于产量x>0;又由于销售价格p>0,即46-3x>0,得到0<x<138,因而函数定
1.5 未定式极限
2.第二种基本情况
已知函数R(x)与S(x)中至少有一个含二次根式,当x→x0(有限值)时,
() 0
若R(x)→0且S(x)→0,则无理分式极限 lim
为 型未定式极限.
→0 () 0
解法:分子R(x)、分母S(x)同乘以它们的有理化因式,并注意到在
x→x0的过程中,恒有x-x0≠0,因而约去使得分子、分母同趋于零的
义域为0<x<138.
第一章 函数与极限
1.3 极限的概念与基本运算法则
定义1.8 已知数列
y1,y2,y3,y4,…,yn,…
当n→∞时,若一般项yn无限接近于常数A,则称当n→∞时数列yn的极
限为A,记作
最新人大版微积分第三版课件第七章7-习题课课件PPT
人大版微积分第三版课件第 七章7-习题课
un(x)
求和
S(x) (在收敛域内进行)
n0
展开
un(x)
n0
当xx0 时为数项级数; 当 un(x)anxn 时为幂级数; 当 u n ( x ) a n cn x o b n s sn x in (an,bn为傅氏系数) 时, 为傅立叶级数.
基本问题：判别敛散； 求收敛域； 求和函数； 级数展开.
(2) 因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛 .
1
n1n1
收敛, 故
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(3) n 1(1)nlnnn1
因 unlnnn 1ln(11 n)单调递减, 且 nl im un 0
由Leibniz判别法知级数收敛 ;
但
ln n 1 lim n ln k 1
(a0).
n
解
nl im n un
nl im n lann(12)
1lim n lnn(2), an
n
n 2 时 ,n 2 e n ,从而有
1nln n (2)nn ,
由l于 im nn1, n
lim nln n (2)1,
n
limn
n
un
1. a
当a0即 011时 , 原级数收敛； a
(b n a n ) 收敛
(c n a n ) 收敛
n 1
n 1
c n [(cnan)an]
n 1
n1
(cn an) a n 收敛
n 1
n 1
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解答提示:
例3(P257 题2). 判别下列级数的敛散性:
(1)
un(x)
求和
S(x) (在收敛域内进行)
n0
展开
un(x)
n0
当xx0 时为数项级数; 当 un(x)anxn 时为幂级数; 当 u n ( x ) a n cn x o b n s sn x in (an,bn为傅氏系数) 时, 为傅立叶级数.
基本问题：判别敛散； 求收敛域； 求和函数； 级数展开.
(2) 因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛 .
1
n1n1
收敛, 故
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(3) n 1(1)nlnnn1
因 unlnnn 1ln(11 n)单调递减, 且 nl im un 0
由Leibniz判别法知级数收敛 ;
但
ln n 1 lim n ln k 1
(a0).
n
解
nl im n un
nl im n lann(12)
1lim n lnn(2), an
n
n 2 时 ,n 2 e n ,从而有
1nln n (2)nn ,
由l于 im nn1, n
lim nln n (2)1,
n
limn
n
un
1. a
当a0即 011时 , 原级数收敛； a
(b n a n ) 收敛
(c n a n ) 收敛
n 1
n 1
c n [(cnan)an]
n 1
n1
(cn an) a n 收敛
n 1
n 1
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解答提示:
例3(P257 题2). 判别下列级数的敛散性:
(1)
《微积分》(第三版)教学课件 (12)[8页]
![《微积分》(第三版)教学课件 (12)[8页]](https://img.taocdn.com/s3/m/a8822b4d960590c69fc376a5.png)
yn
A
”
《微积分》(第三版) 教学课件
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定义26(变量的极限)
对于任意给定的正数 在变量y的变化过程中 总有那么
一个时刻 在那个时刻以后
|yA|
恒成立 则称变量y在此变化过程中以A为极限 记作 lim yA
说明 (2)如果变量y是定义于实数集合的函数yf(x) 而研究的
变化过程是x 则定义中 “总存在那么一个时刻” 是指 “总存在一个正数M” “在那个时刻以后” 是指 “当|x|M时” 而 “lim yA” 应为
“ lim f (x) A ” x
《微积分》(第三版) 教学课件
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定义26(变量的极限)
对于任意给定的正数 在变量y的变化过程中 总有那么
一个时刻 在那个时刻以后
|yA|
恒成如果变量y是定义于实数集合的函数yf(x) 而研究的
为具体函数 则不能使用通用记号
《微积分》(第三版) 教学课件
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例 证明lim cc(c为常数) 证 设yc
对任意给定的 0 恒有|yc||cc|0 所以lim cc
结论 “limcc” 表示
对数列 f(n)c 有 lim f (n) lim c c
n
n
对函数 f(x)c 有 lim f (x) lim c c 及lim f (x) lim c c
定理24 如果在某一变化过程中 变量y有极限 则变量y是有界变
量
这个定理说明变量y在某一变化过程中有极限 则变量y 在某时刻后有界 但变量在某一时刻后有界不一定有极限
例如
f (x)1x
x0 x0
在
x0
大学微积分课件幻灯片版
不定积分的性质
包括线性性质、积分区间可加性 、常数倍性质和积分与微分互逆 性质。
基本积分公式与法
则
包括幂函数、三角函数、指数函 数、对数函数等基本初等函数的 不定积分公式，以及分部积分法 、换元积分法等基本积分法则。
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是求一个函数在闭区间上的积分值，表达形式为 ∫[a,b]f(x)dx，表示函数f(x)在区间[a,b]上的面积。
根据未知函数及其导数的次数划 分
一阶微分方程及其解法
可分离变量法
通过变量分离，将微分方程转化为可积分的 形式
齐次方程法
通过变量替换，将齐次方程转化为可分离变 量的形式
一阶线性微分方程法
利用积分因子，将一阶线性微分方程转化为 可积分的形式
二阶微分方程及其解法
二阶线性微分方程
具有常系数的二阶线性微分方程的通解结构
振动与波动方程
描述振动与波动现象的二阶线性微分方程
欧拉方程
通过变量替换，将欧拉方程转化为二阶线性微分方程进行求解
高阶微分方程的降阶法
通过变量替换或积分法，将高阶微分方程降阶为一阶或二阶微分方程进行求解
05
多元函数微积分学
多元函数的基本概念
01 02
多元函数的定义
设$D$为一个非空的$n$ 元有序数组的集合， $f$为某一 确定的对应规则。若对于每一个有序数组$( x1,x2,…,xn)∈D$，通过对应规则$f$，都有唯一确定的实 数$y$与之对应，则称对应规则$f$为定义在$D$上的$n$ 元函数。
三重积分的定义
设三元函数$f(x,y,z)$在可求体积的有界闭区域$Omega$上连续，将$Omega$任意分成$n$个小闭区域$Delta V_1,Delta V_2,…,Delta V_n$，记各小闭区域的直径中的最大值为$lambda $。若不论对$Omega $如何分割 及如何选取点$(xi_i,eta_i,zeta_i)$，只要当$lambda to 0 $时，和式$sum_{i=1}^{n} f(xi_i,eta_i,zeta_i)Delta V_i $的极限存在且唯一，则称此极限为函数 $f(x,y,z) $在区域 $Omega $上的三重积分。
《微积分》(第三版)教学课件 (17)[12页]
![《微积分》(第三版)教学课件 (17)[12页]](https://img.taocdn.com/s3/m/1a65fffcba1aa8114531d9a4.png)
lim(1 x
x11)(x1)1
e1e
1
《微积分》(第三版) 教学课件
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例 5 求 lxim01cxo2 sx
解
lim1
x0
cos x2
x
lim
x0
2sin2 x2
x 2
1 2
lim
x0
sin2 x 2
( x)2
1 2
lim(
x0
sin x
x 2
)2
1 2
12
1 2
2
2
《微积分》(第三版) 教学课件
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二、两个重要极限
第一个重要极限
limsin x 1 x0 x
§2.6 两个重要的极限
一、极限存在的准则 二、两个重要极限
《微积分》(第三版) 教学课件
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一、极限存在的准则
定理211(准则I) 如果在某个变化过程中 三个变量x、y及z满足下列条件 (1)yxz (2)lim ylim zA
则 lim xA
《微积分》(第三版) 教学课件
e
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limsin x 1 x0 x
或limsin(x()x) 1((x)0)
lim(1
x
1 x
)
x
e
1
或lim(1(x))(x) e((x) 0)
例 6
求 lim(1 x
2)x x
解
令 2
x
则当 x时 0
lim(1
x
2x)x
2
lim(1) 0
《微积分人大3版》PPT课件
பைடு நூலகம்
显 然 有 ls i n s m 及 ls i 2 n s m 。 于 是 li ( s 2 n m s n ) 0 。
n n
n
但另一方面，
1 1 1 1 s 2 n s n n 1 n 2 n 3 2 n
1 1 1 1 1 ， 2 n 2 n 2 n 2 n 2
n 1n 1
定理7.3 在一个级数的前面加上(去掉)有限项，级数的敛 散性不变。
定理7.4 若一个级数收敛，则对这个级数的项任意 加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。
推论：若加括号后所成的级数发散，则原来级数也 发散。
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二、级数收敛的必要条件
定 理 7 . 5 如 果 级 数 u n 收 敛 ， 则 l u n i 0 。 m
定 理 7 . 2 若 级 数 u n 收 敛 ， 且 其 和 为 s ， 则 级 数
n 1
k n 也 收 敛 ， 且 其 和 为 u k s 。
n 1 这 是 因 为 ， 设 u n 与 k n 的 部 分 u 和 分 别 为 s n 与 n ， n 1n 1
则 ln i l m ( k i u 1 k u m 2 k u n ) n n
n 1
n 0
证 ： 设 级 数 u n 的 部 分 和 为 s n ， 且 ls i n s ， 则 m
n 1
n
lu i n m l( i s n s m n 1 ) ls i n l m i s n 1 m s s 0 。
n 0 n n n
应注意的问题：级数的一般项趋于零并不是级数收
n 1n 1
显 然 有 ls i n s m 及 ls i 2 n s m 。 于 是 li ( s 2 n m s n ) 0 。
n n
n
但另一方面，
1 1 1 1 s 2 n s n n 1 n 2 n 3 2 n
1 1 1 1 1 ， 2 n 2 n 2 n 2 n 2
n 1n 1
定理7.3 在一个级数的前面加上(去掉)有限项，级数的敛 散性不变。
定理7.4 若一个级数收敛，则对这个级数的项任意 加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。
推论：若加括号后所成的级数发散，则原来级数也 发散。
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二、级数收敛的必要条件
定 理 7 . 5 如 果 级 数 u n 收 敛 ， 则 l u n i 0 。 m
定 理 7 . 2 若 级 数 u n 收 敛 ， 且 其 和 为 s ， 则 级 数
n 1
k n 也 收 敛 ， 且 其 和 为 u k s 。
n 1 这 是 因 为 ， 设 u n 与 k n 的 部 分 u 和 分 别 为 s n 与 n ， n 1n 1
则 ln i l m ( k i u 1 k u m 2 k u n ) n n
n 1
n 0
证 ： 设 级 数 u n 的 部 分 和 为 s n ， 且 ls i n s ， 则 m
n 1
n
lu i n m l( i s n s m n 1 ) ls i n l m i s n 1 m s s 0 。
n 0 n n n
应注意的问题：级数的一般项趋于零并不是级数收
n 1n 1
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ln(n 1) ( n ）
所以级数 (1) 发散 ;
技巧:
利用 “拆项相消” 求 和
(2)
Sn
1 1 2
1 1 1
23 34
n (n 1)
1
1 2
1 2
1 3
1 3
1 4
1 n
n
1
1
1 1 1 ( n ） n1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
技巧:
n1
n1
则级数
n1
(
un
vn
)也收敛, 其和为 S 即 (un vn )
,
un
vn .
n1
n1
n1
比如:
(
n1
1 2n1
1 3n1
)
n1
1 2n1
n1
1 3n1
2
3 2
7 2
说明:
un , vn
n1
n1
(1) 敛+敛=敛 (性质2)
( un vn )
n1
(2) 敛+散 =发散 (用反证法可证)
调增加的: S1 S2 Sn
由 Sn有上界 Sn有极限 un 收敛 .
n1
反过来由 un 收敛 Sn 有极限 Sn 有界 .
n1
定理 1. 正项级数
收敛
部分和数列 有界 .
定理2 (比较审敛法)
设 un , vn 为正项级数 , 且 un vn , ( n 1, 2, 3, ),
n1
n1
则有 (1) 若大 收敛 , 则小
也收敛 ;
(2) 若小
发散 , 则大
也发散 .
证 记 un 的部分和序列为sn ,
n1
vn 的部分和序列为 n ,
由
un
n1
vn sn n
,
再由
n 有上界 sn 有上界 .
(1) 得证 . ( 2) 是 (1) 的逆否命题,亦真 .
注. un vn ,当n k 1, k 2, k 3, 时成立就够了.
例1. 讨论等比级数(又称几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若 q 1 ,则部分和
a(1 1
q q
n
)
当 q 1时，由于lim qn
n
因此级数收敛
,
其和为
1
a
0, q;
从而
lim
n
Sn
a 1
q
当q
1时, 由于lim qn n
,
从而 lim n
Sn
,
因此级数发散 .
2). 若 q 1 ,则 当q 1时, 当q 1时, 级数成为
的和.
证: 设收敛级数 S un,若按某一规律加括弧, 例如
n1
则新级数的部分和序列
为原级数部分和
序列Sn ( n 1 , 2 , )的一个子序列, 因此必有 S
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注: 1 逆否命题:若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 2 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例1.
讨论
p
-级数
1
1 2p
1 3p
1 np
(常数
p
> 0)
的敛散性.
( 重要级数)
解: 1) 若 p 1,
让 p 级数
1 np
与调和级数
因此级数发散 ;
因此 从而
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
不存在 , 因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ; q 1时, 等比级数发散 .
例2. 判别下列级数的敛散性:
解: (1)
Sn
ln 2 ln 3 12
ln 4 3
ln n 1 n
(ln 2 ln1) (ln 3 ln 2) ln(n 1) ln n
lim
n
un
0
并非级数收敛的充分条件.
例如, 调和级数
虽然
但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则 1 2n
但
S2n
Sn
1 n1
1 n2
1 n3
1
2n
n 2n
1 2
矛盾! 所以假设不真 .
例 判断敛散性
例:判断收敛与否
解(1)原式= (2)原式=
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现有 un收敛; vn发散 , 假设 ( un vn ) 收敛, 则
n1
n1
n1
由性质2知, [( un vn ) un ] vn 也收敛, 矛盾!
n1
n1
(3) 散+散 不一定发散.
例如,
取 un (1)2n , vn (1)2n1,
( un vn ) 0 0, 收敛
五、小结
常数项级数的基本概念
基本审敛法
1.由定义,若sn s,则级数收敛;
2.当lim n
un
0,则级数发散;
3.按基本性质.
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
若 un 0, 则称 un 为正项级数 .
n1
正项级数 un 的部分和 sn u1 u2 un 是单
n1
或加刮号后的级数收敛,原级数不一定收敛 例如，
(11) (11) 0 , 但
发散.
三、级数收敛的必要条件
设收敛级数
则必有
证: un Sn Sn1
lim
n
un
lim
n
Sn
lim
n
Sn1
S
S
0
逆否: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
例如,
其一般项为
不趋于0, 因此这个级数发散.
注意:
利用 “拆项相消” 求 和
二、无穷级数的基本性质
性质1. 设 k 0, 则 k un 与 un 同敛散 .
n1
n1
a 1q
若 un S , 则 k un k S , 即 k un k un
n1
n1
n1
n1
1
n1 2n1 2
3 2n1
n1
6
性质2. 设有两个收敛级数
S un , vn
第7章 无穷级数
第一节 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念
等差数列： 1 , 3 ,5 , (2n 1) ,
等比数列： 1 , 2 ,4 , 8 , , 2n1 ,
无穷数列：u1 , u2 , u3 , , un ,
级数： un u1 u2 u3 un
n1
定义： 给定一个数列
无穷级数: un u1 u2 u3 un
n1
un 叫做级数的一般项(通项),
n
n次部分和: Sn uk u1 u2 u3 un
k 1
部分和数列:
若 lim n
Sn
S
存在,
则称无穷级数
记作
收敛 ,
若
lim
n
Sn
不存在
,
则称无穷级数发散 .
当级数收敛时, 称差值
为级数的余项 (误差).
n1
n1
性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数
的敛散性.
即 un 与 un 同敛散 .
n1
nk
(级数的敛散性与前有限项无关 , 收敛和发生改变.)
比如:
2
48100n1来自1 2n1收敛 !
2 4 8 100 n2
n1
发散!
性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数