高三数学模拟考试
高三数学模拟考试卷(附答案解析)
高三数学模拟考试卷（附答案解析）一、单选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知p:sinx=siny，q:x=y，则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件2.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程为()A. y=±3xB. y=±2xC. y=±2xD. y=±x3.函数y=f(x)是定义域为R的奇函数，且对于任意的x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<1成立．如果f(m)>m，则实数m的取值集合是()A. {0}B. {m|m>0}C. {m|m<0}D. R4.已知数列{an}满足a1+a2+⋯+an=n(n+3)，n∈N*，则an=()A. 2nB. 2n+2C. n+3D. 3n+1二、填空题（本大题共12小题，共54分）5.不等式|2x+1|+|x−1|<2的解集为______．6.函数f(x)=x+9x(x>0)的值域为______．7.函数f(x)=sinx+cosx(x∈R)的最小正周期为______．8.若an为(1+x)n的二项展开式中x2项的系数，则n→+∞lim ann2=______．9.在所有由1，2，3，4，5这五个数字组成的无重复数字的五位数中，任取一个数，则取出的数是奇数的概率为______．10.若实数x，y满足x+y≤4y≤3xy≥0，则2x+3y的取值范围是______．11.已知向量a,b满足|a|=2，|b|=1，|a+b|=3，则|a−b|=______．12.已知椭圆C：x29+y2b2=1(b>0)的左、右两个焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点．若△F1AB是等边三角形，则b的值等于______．13.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q>1，且a2+1为a1与a3的等差中项，S3=14.若数列{bn}满足bn=log2an，其前n项和为Tn，则Tn=______．14.已知A，B，C是△ABC的内角，若(sinA+i⋅cosA)(sinB+i⋅cosB)=12+32i，其中i为虚数单位，则C 等于______．15.设a∈R，k∈R，三条直线l1：ax−y−2a+5=0，l2：x+ay−3a−4=0，l3：y=kx，则l1与l2的交点M到l3的距离的最大值为．16.设函数f(x)=x2−1,x≥a|x−a−1|+a,x<a，若函数f(x)存在最小值，则a的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共76分。
2024届高三数学模拟检测(广东专用,2024新题型)(考试版)
2024年高考第三次模拟考试
高三数学（广东专用）
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
2168πcm
C．3
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
⎫
对称
⎪
⎭
单调递减
与平面ABP夹角的余弦值．
2 21
y
b
+=的焦距为2，1F 的周长为8．。
2024年高考第三次模拟考试高三数学(考试版)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{}4A x x =∈<N ，{}21,B x x n n A ==-∈，P A B = ，则集合P 的子集共有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．8个2.古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分隔率，黄金分割率的值也可以用2sin18°表示，即12sin182-=,设12m =,则2tan 811tan 81=+（）A.4mB.2m C.m3.若5(4)(2)x m x --的展开式中的3x 的系数为600-,则实数m =（）A.8.B.7C.9D.104.甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（）A ．518B ．625C ．925D ．895.设n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和．若20232023S =，则4202014a a +的最小值为（）A.52B.5C.9D.926.已知函数()()()sin f x x x ωω=+，若沿x 轴方向平移()f x 的图象，总能保证平移后的曲线与直线1y =在区间[]0,π上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数ω的取值范围为（）A.82,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.10,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.[)2,47.已知()6116,ln ,log 71ln 510115a b c =+==-,则（）A.a b c >> B.b c a>> C.a c b >> D.c a b>>8.已知正方体1121ABCD A B C D -的棱长为2,P 为线段11C D 上的动点，则三棱锥P BCD -外接球半径的取值范围为（）A．,24⎤⎥⎣⎦B．4⎣C．1⎣D．4⎣二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9．已知复数123,,z z z ,下列说法正确的有（）A.若1122z z z z =,则12||||z z =B.若22120z z +=,则120z z ==C.若1213z z z z =,则10z =或23z z =D.若1212||||z z z z -=+,则120z z =10.已知抛物线2:4C x =y 的焦点为F ,准线为l ,过F 的直线与抛物线C 交于A,B 两点，M 为线段AB 中点，,,A B M '''分别为A,B,M 在ι上的射影，且||3||AF BF =,则下列结论中正确的是A.F 的坐标为(1,0)B.||2||A B M F '''=C.,,,A A M F ''四点共圆D.直线AB 的方程为313y x =±+11.对于[]()0,1,x f x ∈满足()()()11,23x f x f x f x f ⎛⎫+-== ⎪⎝⎭，且对于1201x x ≤≤≤．恒有()()12f x f x ≤．则（）A ．10011011002i i f =⎛⎫=⎪⎝⎭∑B ．112624f f⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．118080f ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．1113216016f ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分．12.某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布2(100,)N σ．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到95.45%，则需调整生产工艺，使得σ至多为.（若2~(,)X N μσ，则{||2}0.9545)P X μσ-<=13.ABC △中，,,a b c ,分别为角,,A B C的对边，若3A π=，a b c +=+，则ABC △的面积S 的最小值为.14.函数sin cos ()e e x x f x =-在(0,2π)范围内极值点的个数为.四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分13分)己知函数()ln f x x ax =-,其中a R ∈.(I)若曲线()y f x =在1x =处的切线在两坐标轴上的截距相等,求a 的值;(II)是否存在实数a ,使得()f x 在(0,]x e ∈上的最大值是-3?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.16.(本小题满分15分)某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．（1）若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．（2）记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m （2m >且*m ∈N ）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A ，否则该组标为B ，记询问的某组被标为B 的概率为p ．（i ）试用含m 的代数式表示p ；（ii ）若一共询问了5组，用()g p 表示恰有3组被标为B 的概率，试求()g p 的最大值及此时m 的值．17.(本小题满分15分)如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC BD O = ，2AB AD ==，13AA =，11π3BAA BAD DAA ∠=∠=∠=，点P 满足1221333DP DA DC DD =++ ．(1)证明：O ，P ，1B 三点共线；(2)求直线1AC 与平面PAB 所成角的正弦值．18.(本小题满分17分)已知椭圆22:11612x y E +=的左右焦点分别为12,F F ,点A 在椭圆E 上,且在第一象限内,满足1|| 5.AF =(1)求12F AF ∠的平分线所在的直线l 的方程；(2)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异的两点,若存在,请找出这两点；若不存在请说明理由；(3)已知双曲线M 与椭圆E 有共同的焦点,且双曲线M 与椭圆E 相交于1234,,,P P P P ,若四边形1234P P P P 的面积最大时,求双曲线M 的标准方程.19.(本小题满分17分)已知数列{}n a ,记集合()(){}*1,,...,1,,N i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++≤<∈.（1）若数列{}n a 为1,2,3,写出集合T ；（2）若2n a n =,是否存在*,N i j ∈,使得(),512S i j =？若存在,求出一组符合条件的,i j ；若不存在,说明理由；（3）若n a n =,把集合T 中的元素从小到大排列,得到的新数列为12,,...,,...m b b b ,若2024m b ≤,求m 的最大值．。
安徽省“江淮十校”2025届高三第三次模拟考试数学试卷含解析
安徽省“江淮十校”2025届高三第三次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数()2ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,2D ．()2,e2．若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．12B ．12-C ．12i D ．12i -3．已知函数()(0x f x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则|(2)|a f =，384b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，|(0)|c f =的大小关系为( ) A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c <<D ．b a c <<4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．53π B ．43π C ．223π+D ．243π+5．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则11m n+的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则AB =A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,77．给出下列四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ﹑q 均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③若命题0:p x R ∃∈，200x ≥，则命题:p x R ⌝∀∈，20x <；④设集合{}1A x x =>，{}2B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件；其中正确命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述： 甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路； 乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路； 丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ） A ．甲走桃花峪登山线路 B ．乙走红门盘道徒步线路 C ．丙走桃花峪登山线路D ．甲走天烛峰登山线路9．若双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22136x y -=10．水平放置的ABC ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C '''，其中2,O A O B ''''== 3O C ''=，则ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）A ．83πB ．163πC ．(833)π+D ．(16312)π+11．已知全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知向量11,,2a b m ⎛⎫==⎪⎝⎭，若()()a b a b +⊥-，则实数m 的值为（ ） A ．12B ．32C ．12±D ．32±二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(考试版)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。
高三数学模拟题(含答案)
数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 参考公式：球的表面积为：24S R π=,其中R 为球的半径．第Ⅰ卷（选择题 共60分）,一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. i 是虚数单位，复数ii+12的实部为 A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-2. 设全集R U =，集合{}2|lg(1)M x y x ==-，{}|02N x x =<<，则()U NM =A ．{}|21x x -≤<B ．{}|01x x <≤C ．{}|11x x -≤≤D ．{}|1x x < 3. 下列函数中周期为π且为偶函数的是 A ．)22sin(π-=x y B. )22cos(π-=x y C. )2sin(π+=x y D ．)2cos(π+=x y4. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1532,3a a a ==,则9S = A ．90 B ．54C ．54-D ．72-5. 已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是?A ．若l m ⊥,l n ⊥,且,m n α⊂,则l α⊥B ．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则正视图 俯视图左视图βα//C ．若n m m ⊥⊥,α，则α//nD ．若α⊥n n m ,//，则α⊥m6. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是A ．16πB ．14πC ．12πD ．8π7. 已知抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，l PA ⊥，垂足为A ，4PF =，则直线AF 的倾斜角等于^A ．712π B.23π C ．34π D. 56π8. 若两个非零向量a ，b 满足||2||||a b a b a=-=+，则向量a b +与b a -的夹角为A ．6πB ．3π C ．32πD ．65π9. 已知函数2, 0(), 0x x f x x x x ≤⎧=⎨->⎩，若函数()()g x f x m =-有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为 A ．1[,1]2-B ．1[,1)2-C ．1(,0)4-D ．1(,0]4- 10. 已知()|2||4|f x x x =++-的最小值为n ，则二项式1()nx x-展开式中2x 项的系数为 A ．15 B ．15- C ．30 D ．30-11. 已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -，且当2x ≠时其导函数()f x '满足()2(),xf x f x ''>若24a <<则A ．2(2)(3)(log )af f f a << B ．2(3)(log )(2)af f a f << C ．2(log )(3)(2)af a f f <<D ．2(log )(2)(3)af a f f <<"12. 定义区间(, )a b ，[, )a b ，(, ]a b ，[, ]a b 的长度均为d b a =-，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如, (1, 2)[3, 5)的长度(21)(53)3d =-+-=. 用[]x 表示不超过x 的最大整数，记{}[]x x x =-，其中R x ∈.设()[]{}f x x x =⋅，()1gx x =-，当0x k ≤≤时,不等式()()f x gx <解集区间的长度为5，则k 的值为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 某程序框图如右图所示，若3a =,则该程序运行后，输出的x 值为 ; 14. 若11(2)3ln 2(1)ax dx a x+=+>⎰，则a 的值 是 ;15. 已知,x y 满足约束条件224200x y x y y ⎧+≤⎪-+≥⎨⎪≥⎩,则目标函数2z x y =+的最大值是 ;16．给出以下命题： ① 双曲线2212yx -=的渐近线方程为y =； ② 命题:p “+R x ∀∈，1sin 2sin x x+≥”是真命题； ③ 已知线性回归方程为ˆ32yx =+，当变量x 增加2个单位，其预报值平均增加4个单位； ④ 设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，若(1)0.2P ξ>=，则(10)0.6P ξ-<<=； ⑤ 已知2622464+=--，5325434+=--，7127414+=--，102210424-+=---，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为824(8)4n nn n -+=---，（4n ≠） …则正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知函数()sin f x x ω= (0)ω>在区间[0,]3π上单调递增,在区间2[,]33ππ上单调递减;如图,四边形OACB 中,a ,b ,c 为ABC △的内角A B C ，，的对边，且满足ACB AC B cos cos cos 34sin sin sin --=+ω.（Ⅰ）证明：a c b 2=+；（Ⅱ）若c b =，设θ=∠AOB ，(0)θπ<<,22OA OB ==， 求四边形OACB 面积的最大值. 18．（本小题满分12分）现有长分别为1m 、2m 、3m 的钢管各3根（每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号），从中随机抽取n 根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的,19n ≤≤），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．（Ⅰ）当3n =时,记事件A ={抽取的3根钢管中恰有2根长度相等}，求()P A ；?（Ⅱ）当2n =时,若用ξ表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）,①求ξ的分布列； ②令21ηλξλ=-++，()1E η>，求实数λ的取值范围．19．（本小题满分12分）如图，几何体111ABCD B C D -中，四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=，AB a =， 面111B C D ∥面ABCD ,1BB 、1CC 、1DD 都垂直于面ABCD ,且1BB =，E 为1CC 的中点，F 为AB的中点.（Ⅰ）求证：1DB E ∆为等腰直角三角形； （Ⅱ）求二面角1B DE F --的余弦值.)20．（本小题满分12分）已知N n *∈,数列{}n d 满足2)1(3n n d -+=,数列{}n a 满足1232n n a d d d d =+++⋅⋅⋅+；又知数列{}n b 中，21=b ，且对任意正整数n m ,，nm m n b b =.1（Ⅰ）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）将数列{}n b 中的第．1a 项，第．2a 项，第．3a 项，……，第．n a 项，……删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{}n c ，求数列{}n c 的前2013项和. 21．（本小题满分13分）已知向量(,ln )xm e x k =+，(1,())n f x =，//m n （k 为常数， e 是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直,()()xF x xe f x '=． （Ⅰ）求k 的值及()F x 的单调区间；（Ⅱ）已知函数2()2g x x ax =-+(a 为正实数),若对于任意2[0,1]x ∈，总存在1(0,)x ∈+∞， 使得21()()g x F x <，求实数a 的取值范围．22．（本小题满分13分）*已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为离心率为2,其右焦点为F ,过点(0,)B b 作直线交椭圆于另一点A .(Ⅰ)若6AB BF ⋅=-,求ABF ∆外接圆的方程;(Ⅱ)若过点(2,0)M 的直线与椭圆:N 222213x y a b +=相交于两点G 、H ，设P 为N 上一点，且满足OG OH tOP +=（O 为坐标原点），当25PG PH -<t 的取值范围.青岛市高三统一质量检测数学（理科）参考答案及评分标准]一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． C B A C D A B B C A C B二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 31 14. 2 15.16．①③⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知：243ππω=，解得：32ω=， ……………………………2分ACB AC B cos cos -cos -2sin sin sin =+ A C A B A A C A B sin cos -sin cos -sin 2cos sin cos sin =+∴ A A C A C A B A B sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin =+++∴}A C AB A sin 2)(sin )(sin =+++∴………………………………………………………4分a cb A B C 2sin 2sin sin =+⇒∴=+∴…………………………………………………6分（Ⅱ）因为2b c a b c +==，，所以a b c ==，所以ABC △为等边三角形21sin 24OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅+ ……………………………8分22sin -2cos )OA OB OA OB θθ=+⋅ ……………………………………………9分 435cos 3-sin +=θθ2sin (-)3πθ=， ………………………………………10分 (0)θπ∈，,2--333πππθ∴∈(，)，当且仅当-32ππθ=，即56πθ=时取最大值,OACB S的最大值为212分18．（本小题满分12分）解：(Ⅰ)事件A 为随机事件，121336399()14C C C P A C ==………………………………………4分 ~（Ⅱ）①ξ可能的取值为2,3,4,5,623291(2)12C P C ξ=== 1133291(3)4C C P C ξ===211333291(4)3C C C P C ξ+=== 1133291(5)4C C P C ξ=== 23291(6)12C P C ξ===∴ξ的分布列为：)……………………………………………………9分 ②11111()2345641243412E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ………………………………10分 21ηλξλ=-++，2()()1E E ηλξλ∴=-++241λλ=-++()1E η>，2141104λλλ∴-++>⇒<<…………………………………………12分 19．（本小题满分12分）解：（I ）连接BD ，交AC 于O ，因为四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=，所以BD a = 因为1BB 、1CC 都垂直于面ABCD ,∴11//BB CC ，又面111B C D ∥面ABCD ,11//BC B C ∴所以四边形11BCC B 为平行四边形 ,则11B C BC a ==……………………………2分因为1BB 、1CC 、1DD 都垂直于面ABCD ,则1DB ===#2DE ===112B E===…4分所以222222116634a aDE B E a DB++===所以1DB E∆为等腰直角三角形………………………………………………5分（II）取1DB的中点H，因为,O H分别为1,DB DB的中点，所以OH∥1BB以,,OA OB OH分别为,,x y z轴建立坐标系，则1(0,,0),(),(0,),,,0)224a a aD E B F-所以13233(0,,2),(,,),(,,0)22244aDB a a DE a a DF a a==-=………………7分设面1DB E的法向量为1111(,,)n x y z=，则1110,0n DB n DE⋅=⋅=，即11ay=且111222aax y az-++=*令11z=，则1(0,n=………………………………………………………………9分设面DFE的法向量为2222(,,)n x y z=，则220,n DF n DE⋅=⋅=2234ay+=且2222ay++=令21x=，则2(1,n= (11)分则12cos,2n n==,则二面角1B DE F--的余弦值为2…12分20．（本小题满分12分）解：2)1(3nnd-+=,∴1232n na d d d d=+++⋅⋅⋅+3232nn⨯==…………………3分又由题知：令1m=，则22212b b==,33312b b==12n nnb b==………………5分若2n n b =，则2m nm n b =，2n mn m b =，所以m nn m b b =恒成立若2n n b ≠,当1m =,m n n m b b =不成立,所以2nn b = ……………………………………6分|（Ⅱ）由题知将数列{}n b 中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{}n c 中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是12b =，24b =公比均是,8 …………9分201313520132462012()()T c c c c c c c c =+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+1007100610062(18)4(18)208618187⨯-⨯-⨯-=+=--…………………………………………12分21．（本小题满分13分）解：（I ）由已知可得：()f x =1xnx k e+1ln ()x x k x f x e --'∴=， 由已知，1(1)0kf e-'==，∴1k = …………………………………………………………2分 ∴()()x F x xe f x '=1(ln 1)1ln x x x x x x=--=--所以()ln 2F x x '=-- …………3分由21()ln 200F x x x e '=--≥⇒<≤， 由21()ln 20F x x x e '=--≤⇒≥()F x ∴的增区间为21(0,]e ，减区间为21[,)e+∞ ………………………………………5分 （II ）对于任意2[0,1]x ∈，总存在1(0,)x ∈+∞， 使得21()()g x F x <，∴max max ()()g x F x < ……………………………………………………………………6分]由（I ）知，当21x e =时，()F x 取得最大值2211()1F e e=+.………………………………8分 对于2()2g x x ax =-+，其对称轴为x a = 当01a <≤时，2max ()()g x g a a ==， ∴2211a e<+，从而01a <≤………………10分 当1a >时，max ()(1)21g x g a ==-， ∴21211a e -<+，从而21112a e <<+……12分综上可知： 21012a e<<+………………………………………………………………13分 22．（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由题意知：c =2c e a ==，又222a b c -=，解得：a b ==椭圆C 的方程为：22163x y += …………………………2分可得：(0,3)B，F,设00(,)A x y ，则00()AB x y =-，(3,BF =，6AB BF ⋅=-，00)6y =-，即00y x =由220000163x y yx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩000x y =⎧⎪⇒⎨=⎪⎩0x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩、即(0,A，或A…………………………………………………………4分①当A 的坐标为(0,时，OA OB OF ===∴ABF ∆外接圆是以O为半径的圆，即223x y +=……………………………………………………………5分 ②当A的坐标为时，1AFk =，1BF k =-，所以ABF ∆为直角三角形，其外接圆是以线段AB 为直径的圆，圆心坐标为，半径为12AB =， ABF ∴∆外接圆的方程为225((3x y +-= 综上可知：ABF ∆外接圆方程是223x y +=，或225((333x y -+-= ……7分 (Ⅱ)由题意可知直线GH 的斜率存在.设:(2)GH y k x =-，11(,)G x y ，22(,)H x y ，(,)P x y由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2222(12)8820k x k x k +-+-=由422644(21)(82)0k k k ∆=-+->得：212k <（*） ………………………9分 22121222882,1212k k x x x x k k -+==++ 253PG PH -<，253HG ∴<123x -< 422222648220(1)[4](12)129k k k k k -∴+-⨯<++214k ∴>，结合（*）得：21142k << ………………………………………………11分 OG OH tOP +=，1212(,)(,)x x y y t x y ∴++=从而21228(12)x x k x t t k +==+，1212214[()4](12)y y k y k x x k t t t k +-==+-=+ 点P 在椭圆上，2222284[]2[]2(12)(12)k k t k t k -∴+=++，整理得：22216(12)k t k =+即228812t k =-+，2t ∴-<<2t <<………………………………13分。
2025届河北衡水中学高三数学第一学期期末考试模拟试题含解析
2025届河北衡水中学高三数学第一学期期末考试模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=，2AE EB =，AB AC λ=，若9AB AC AO EC ⋅=⋅，则实数λ=( ) A ．33B ．32C ．63D ．622．我国古代数学名著《九章算术》有一问题：“今有鳖臑(biē naò)，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺.问积几何？”该几何体的三视图如图所示，则此几何体外接球的表面积为( )A ．90π平方尺B ．180π平方尺C ．360π平方尺D ．13510π平方尺3．公比为2的等比数列{}n a 中存在两项m a ，n a ，满足2132m n a a a =，则14m n+的最小值为（ ） A ．97B ．53C ．43D ．13104．已知函数()2331x x f x x ++=+，()2g x x m =-++，若对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[)17,9,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．4179,,2⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭5．已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（ ）． A ．0B ．1C ．2D ．36．关于函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有下述三个结论：①函数()f x 的一个周期为2π； ②函数()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； ③函数()f x 的值域为[4,42]. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．②C ．②③D ．③7．已知锐角α满足2sin21cos2 ,αα=-则tan α=（ ） A ．12B ．1C ．2D ．48．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（ ） A ．正方体 B ．球体C ．圆锥D ．长宽高互不相等的长方体9．已知函数()()()2ln 14f x ax x ax =-+-，若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（ ）A ．2eB ．4eC ．2ee - D ．4ee- 10．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．611．已知()3,0A -，)3,0B，P 为圆221x y +=上的动点，AP PQ =，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB于点M ，若点M 的横坐标为x ，则x 的取值范围是（ ） A ．1x ≥B ．1x >C ．2x ≥D ．2x ≥12．函数f(x)＝sin(wx ＋φ)(w ＞0，φ＜2π)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移6π个单位后得到的函数图象关于直线x ＝2π对称，则函数f(x)的解析式为（ ） A ．f(x)＝sin(2x ＋3π) B ．f(x)＝sin(2x －3π) C ．f(x)＝sin(2x ＋6π) D ．f(x)＝sin(2x －6π) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
甘肃省张掖市某校2024届高三下学期模拟考试数学试题
甘肃省张掖市某校2024届高三下学期模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________点之间），过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若O，A，N，M四点共圆，求点P的坐标.22．已知函数()()()ln2,lnf x x ax xg x x x x a=+-=--，(1)若()f x与()g x有相同的单调区间，求实数a的值；(2)若方程()()331f xg x x a=++-有两个不同的实根12,x x，证明：12e ax x>.参考答案：1．C 【分析】分1a =-，0a =，1a =，2a =分别说明即可.【详解】因为a ÎZ ，所以当1a =-时，{}0,1P Q Ç=，符合题意，当0a =时，{}1,2P Q =I ，符合题意，当1a =时，{}2P Q =I ，不符合题意，当2a =时，{}4P Q Ç=，不符合题意，故a 的取值集合为{}1,0-.故选：C.2．B【详解】试题分析：由命题的否定的定义知，“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的平方不是有理数．考点：命题的否定．3．B 【分析】利用等差数列的通项公式列方程组求解.【详解】设等差数列{}na 的公差为d ，因为1223315a a a a =ìí=î，所以()()()11113215a a d a d a d ì+=ïí++=ïî，解得112a d =ìí=î或112a d =-ìí=-î（舍去），所以()()4513214263a a =+´´+´=.。
2025届湖南省湖南师大附中高三3月份模拟考试数学试题含解析
2025届湖南省湖南师大附中高三3月份模拟考试数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若202031i iz i+=+，则z 的虚部是（ ）A ．iB ．2iC ．1-D ．12．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()11,P x y ，()11,Q x y --在椭圆C 上，其中1>0x ，10y >，若22PQ OF =，1133QF PF ≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A ．610,2⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭ B ．(0,62⎤-⎦C ．2,312⎛⎤- ⎥ ⎝⎦D ．(0,31⎤-⎦3．如图，抛物线M ：28y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线M 交于A ，B 两点，若直线l 与以F 为圆心，线段OF （O 为坐标原点）长为半径的圆交于C ，D 两点，则关于AC BD ⋅值的说法正确的是（ ）A ．等于4B ．大于4C ．小于4D ．不确定4．已知集合{}1,2,3,,M n =（*n N ∈），若集合{}12,A a a M =⊆，且对任意的b M ∈，存在{},1,0,1λμ∈-使得i j b a a λμ=+，其中,i j a a A ∈，12i j ≤≤≤，则称集合A 为集合M 的基底.下列集合中能作为集合{}1,2,3,4,5,6M =的基底的是（ ）A ．{}1,5B ．{}3,5C ．{}2,3D ．{}2,45．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）A ．且B ．且C ．且D ．且6．某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）.A ．22S ∉，且23S ∉B ．22S ∉，且23S ∈C ．22S ∈，且23S ∉D ．22S ∈，且23S ∈7．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且11a ，31a ，41a 构成新的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若存在n 使得0n S =，则n =（ ） A ．10B ．11C ．12D ．138．设非零向量a ，b ，c ，满足||2b =，||1a =，且b 与a 的夹角为θ，则“||3b a -=”是“3πθ=”的（ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．610．已知复数z ，满足(34)5z i i -=，则z =（ ） A ．1B 5C 3D ．511．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =B ．()UMN =∅C ．MN U =D ．()UM N ⊆12．斜率为1的直线l 与椭圆22x y 14+=相交于A 、B 两点，则AB 的最大值为( )A ．2B ．455C ．4105D ．8105二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年“圆梦杯”高三统一模拟考试(六)数学试卷
数学试题 第 1 页（共 4 页）2024年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试（六）数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知3i z =−，则||z = A ．0BCD2．若2()(1)2f x x ax =−+为偶函数，则a = A ．2−B ．1−C ．0D ．13．已知某商场在上半年的六个月中，每个月的销售额y （万元）与月份x （126,,,x = ）满足线性回归方程ˆˆ12278..yx =+，则该商场上半年的总销售额为 A ．160万元 B ．176万元 C ．180万元 D ．192万元4．命题p ：0xy >；命题q ：||||||x y x y +=+，则命题p 是命题q 的 A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()ln f x x ax =+在区间(1,2)单调递增，则a 的最小值为 A ．1−B ．12−C ．12D ．16．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC △的面积为S ．若4a =，且2tan S A =，则22b c += A ．24B ．27C ．32D ．36数学试题 第 2 页（共 4 页）7．设椭圆2221(0)9:x y C b b +=>的离心率为23，左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 在C上．若211cos 4AF F ∠=，则12AF F △的面积为 ABCD．8．已知集合{|010π}A θθ=<<，7π{|sin 3cos()}6B θθθ==+，则集合A B 中的元素个数为 A ．15B ．20C ．30D ．40二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三第一次模拟考试卷数学
一、选择题（每小题5分，共50分）1. 下列函数中，在其定义域内是奇函数的是（）A. f(x) = x^2 + 1B. f(x) = x^3 - xC. f(x) = 1/xD. f(x) = x^2 - 2x + 12. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 2，f(-1) = 0，且f(x)的图像开口向上，则a的取值范围是（）A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 03. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则角A的正弦值是（）A. 3/5B. 4/5C. 5/3D. 3/44. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an = 2^n - 1，则数列{an}的第5项是（）A. 31B. 32C. 33D. 345. 下列不等式中，正确的是（）A. log2(3) > log2(2)B. log2(4) < log2(3)C. log2(9) > log2(8)D. log2(16) < log2(15)6. 已知复数z = 1 + i，则|z|^2 + |z|^3的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 67. 在极坐标系中，点P(2, π/6)对应的直角坐标是（）A. (√3, 1)B. (1, √3)C. (-√3, 1)D. (1, -√3)8. 已知函数f(x) = e^x + e^(-x)，则f(x)的图像关于（）A. x轴对称B. y轴对称C. 原点对称D. 直线y=x对称9. 下列各式中，表示二项式展开式的通项公式的是（）A. (a + b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b + ... + C(n, n)b^nB. (a - b)^n = C(n, 0)a^n - C(n, 1)a^(n-1)b + ... - C(n, n)b^nC. (a + b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b^2 + ... + C(n, n)b^nD. (a - b)^n = C(n, 0)a^n - C(n, 1)a^(n-1)b^2 + ... - C(n, n)b^n10. 下列函数中，在区间(0, +∞)上单调递减的是（）A. f(x) = x^2 - 2x + 1B. f(x) = 2x - 1C. f(x) = 1/xD. f(x) = e^x二、填空题（每小题5分，共50分）11. 函数f(x) = (x - 1)/(x + 1)的对称轴方程是______。
高三数学模拟考试卷及答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1在区间[1, 2]上的零点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 32. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则复数z在复平面内的几何意义是：A. 实部为0B. 虚部为0C. 到原点的距离为2D. 到x轴的距离为23. 下列各式中，正确的是：A. sin^2x + cos^2x = 1B. tan^2x + 1 = sec^2xC. cot^2x + 1 = csc^2xD. sin^2x + cot^2x = 14. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3 = 9，S5 = 21，则首项a1为：A. 2B. 3C. 4D. 55. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0）的图象开口向上，且与x轴的两个交点分别为(-1, 0)和(3, 0)，则a、b、c的关系是：A. a + b + c = 0B. a - b + c = 0C. -a + b + c = 0D. -a - b + c = 06. 若平面α上的直线l与平面β所成的角为θ，平面α与平面β所成的角为β，则下列关系式中正确的是：A. θ = βB. θ + β = 90°C. θ = 90° - βD. θ = 90° + β7. 在三角形ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列关系式中正确的是：A. a^2 = b^2 + c^2 - 2bccosAB. b^2 = a^2 + c^2 - 2accosBC. c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosCD. a^2 = b^2 + c^2 + 2bccosA8. 下列函数中，在区间(0, +∞)上单调递减的是：A. y = 2^xB. y = log2xC. y = x^2D. y = x^39. 已知向量a = (2, -1)，向量b = (-3, 2)，则向量a·b的值为：A. 5B. -5C. 0D. 710. 下列不等式中，正确的是：A. log2(3) > log2(2)B. log3(3) < log3(2)C. log2(2) < log2(3)D. log3(2) < log2(3)二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1的导数f'(x) = 0的解为x1、x2，则f(x)的极值点为______。
浙江省温州市2024届高三第一次模拟考试数学试题含答案
浙江省温州2024届高三第一次模拟考试数学学科（答案在最后）一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，则复数1i1i +-的虚部为（）A.i - B.iC.0D.1【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法运算，得到复数的代数形式，由此求得复数的虚部.【详解】因为()()21i (1i)2ii 1i 1i 1i 2++===-+-，所以虚部为1.故选：D ．2.某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的80%分位数为（）A.93B.93.5C.94D.94.5【答案】B 【解析】【分析】利用百分位数的定义即可得解.【详解】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因为1080%8⨯=，所以这组数据的80%分位数第8个数与第9个数的平均值，即939493.52+=.故选：B.3.已知直线:2l y x b =+与圆()()22:235C x y ++-=有公共点，则b 的取值范围为（）A.[]2,12 B.(][),212,∞∞-⋃+C.[]4,6- D.(][),46,-∞-+∞ 【答案】A 【解析】【分析】由圆心到直线距离小于等于半径，得到不等式，求出答案.【详解】由题意得，圆心()2,3-到直线:2l y x b =+的距离≤，解得212b ≤≤，故b 的取值范围是[]2,12.故选：A4.三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，ABC 为等边三角形，且3AB =，2PA =，则该三棱锥外接球的表面积为（）A.8πB.16πC.32π3D.12π【答案】B 【解析】【分析】首先作图构造外接球的球心，再根据几何关系求外接球的半径，最后代入三棱锥外接球的表面积公式.【详解】如图，点H 为ABC 外接圆的圆心，过点H 作平面ABC 的垂线，点D 为PA 的中点，过点D 作线段PA 的垂线，所作两条垂线交于点O ，则点O 为三棱锥外接球的球心，因为PA ⊥平面ABC ，且ABC 为等边三角形，2,3PA AB ==，所以四边形AHOD 为矩形，3AH AB ==112OH PA ==，所以2OA ==，即三棱锥外接球的半径2R =，则该三棱锥外接球的表面积为24π16πR =.故选：B5.已知等比数列{}n a 的首项11a >，公比为q ，记12n n T a a a =⋅⋅⋅（*n ∈N ），则“01q <<”是“数列{}n T 为递减数列”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，结合等差数列的前n 项和公式、充分性和必要性的定义进行判断即可.【详解】由题意，()()1123(1)1121211110n n n nn n n n a a q a q aT qa qa a a a --+++-=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅>= ，(1)12111(1)21n n n nn n n n nT a q a q T a q +++-⋅==⋅⋅，当11,01a q ><<时，11na q ⋅<对于N n *∈不一定恒成立，例如122,3a q ==；当{}n T 为递减数列时，0q >且11na q ⋅<对于N n *∈恒成立，又因为11a >，所以得01q <<，因此“01q <<”是“数列{}n T 为递减数列”的必要不充分条件，故选：C.6.已知函数()π4f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中0ω>.若()f x 在区间π3π,34⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是（）A.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B.35,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D.(]0,1【答案】A 【解析】【分析】利用余弦函数的单调性求出()π4f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增区间，可得3π2ππ4,3π2π3π4,4k k ωω⎧-+⎪≤⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩，解不等式即可得出答案.【详解】由题意得，函数()f x 的增区间为()ππ2π2π4k x k k ω-+≤-≤∈Z ，且0ω>，解得()3ππ2π2π44k k x k ωω-++≤≤∈Z .由题意可知：()3ππ2π2ππ3π44,,34k k k ωω⎛⎫-++ ⎪⎛⎫⊆∈⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭Z .于是3π2ππ43π2π3π44k k ωω⎧-+⎪≤⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩，解得()9186433k k k ω-+≤≤+∈Z .又0ω>，于是103ω<≤.故选：A .7.在直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，//DC AB ，1AD DC ==，=2AB ，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动（如图所示），若AP ED AF λμ=+，其中,R λμ∈，则2λμ-的取值范围是（）A.⎡⎤⎣⎦B.⎡⎣C.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.,22⎡-⎢⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】结合题意建立直角坐标系，得到各点的坐标，再由AP ED AF λμ=+ 得到3cos 2αλμ=-+，1sin 2αλμ=+，从而得到2π4αλμ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由此可求得2λμ-的取值范围.【详解】结合题意建立直角坐标，如图所示：.则()0,0A ，()1,0E ，()0,1D ，()1,1C ，()2,0B ，()ππcos ,sin 22P ααα⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，则31,22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()cos ,sin AP αα=，()1,1ED =- ，31,22AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，∵AP ED AF λμ=+ ，∴()()3131cos ,sin 1,1,,2222ααλμλμλμ⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴3cos 2αλμ=-+，1sin 2αλμ=+，∴()13sin cos 4λαα=-，()1cos sin 2μαα=+，∴()()11π23sin cos cos sin sin cos 224λμααααααα⎛⎫-=--+=-=- ⎪⎝⎭，∵ππ22α-≤≤，∴3πππ444α-≤-≤，∴π1sin 42α⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，∴π14α⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，故21λμ≤-≤，即()2λμ⎡⎤⎣⎦-∈.故选：A.8.已知lg4lg5lg610,9,8a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c >>B.a c b>> C.b c a>> D.c b a>>【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得lg lg4lg10,lg lg5lg9,lg lg6lg8a b c =⋅=⋅=⋅，构建函数()()lg lg 14,46f x x x x =⋅-≤≤，利用导数分析可知()f x 在[]4,6上单调递增，进而结合对数函数单调性分析判断.【详解】因为lg4lg5lg610,9,8a b c ===，两边取对数得：lg lg4lg10,lg lg5lg9,lg lg6lg8a b c =⋅=⋅=⋅，令()()lg lg 14,46f x x x x =⋅-≤≤，则()()()()()()lg 1414lg 14lg lg 1ln1014ln10ln1014x x x x x x f x x x x x ⎡⎤----⋅=-=⎢⎥-⋅-⎢⎥⎣⎦'，令()lg g x x x =⋅，则()()()()1lg lg lg 0,1,ln10g x x x x x x x '=⋅+⋅=+>∈''+∞，可知()g x 在()1,+∞上单调递增，因为46x ≤≤，则81410x ≤-≤，可知14x x ->恒成立，则()()14g x g x ->，即()()140g x g x -->，可得()0f x ¢>，则()()lg lg 14f x x x =⋅-在[]4,6上单调递增，可得()()()456f f f <<，可得lg4lg10lg5lg9lg6lg8⋅<⋅<⋅，即lg lg lg a b c <<，又因为lg y x =在()0,∞+上单调递增，所以a b c <<.故选：D.【点睛】关键点睛：对题中式子整理观察形式，构建函数()()lg lg 14,46f x x x x =⋅-≤≤，利用导数判断其单调性.二、多选题：本大题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.下列选项中，与“11x>”互为充要条件的是（）A.1x <B.20.50.5log log x x >C.233x x< D.()()11x x x x -=-【答案】BC 【解析】【分析】求解各不等式判断即可.【详解】对A ，11x>则110x ->，即10xx ->，()10x x -<，解得01x <<，故A 错误；对B ，20.50.5log log x x >则20x x <<，故()10x x -<，解得01x <<，故B 正确；对C ，233x x <则2x x <，解得01x <<，故C 正确；对D ，()()11x x x x -=-，则()10x x -≤，解得01x ≤≤，故D 错误.故选：BC10.设A ，B 是一次随机试验中的两个事件，且1(3P A =，1()4P B =，7()12P AB AB +=，则（）A.A ，B 相互独立B.5()6P A B +=C.()13P B A =D.()()P A B P B A≠【答案】ABD【解析】【分析】利用独立事件、对立事件、互斥事件的定义与概率公式可判定A 、B ，利用条件概率的定义与公式可判定C 、D .【详解】由题意可知()()()23()1,134P A P A P B P B =-==-=，事件,AB AB 互斥，且()()()()()(),P AB P AB P A P AB P AB P B +=+=，所以()()()()()7()212P AB AB P AB P AB P A P B P AB +=+=+-=，即()()()()2171234126P AB P AB P A P B +-=⇒==，故A 正确；则()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B+=+-=+-⋅1313534346=+-⨯=，故B 正确；由条件概率公式可知：()()()11162433P AB P B A P A ===≠，故C 错误；()()()()()()11146134P AB P B P AB P A B P B P B --====，()()()()()()21336243P BA P A P AB P B A P A P A --====即()()P A B P B A ≠，故D 正确.故选：ABD11.在三棱锥-P ABC 中，ACBC ⊥，4AC BC ==，D 是棱AC 的中点，E 是棱AB 上一点，2PD PE ==，AC ⊥平面PDE ，则（）A.//DE 平面PBCB.平面PAC ⊥平面PDEC.点P 到底面ABC 的距离为2D.二面角D PB E --的正弦值为7【答案】ABD 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理可判断A ；根据面面垂直的判定定理可判断B ；取DE 的中点O ，过点O 作OF DE ⊥交BC 于点F ，利用线面垂直的判定定理可得PO ⊥平面ABC ，求出PO 可判断C ；以{},,OE OF OP为正交基底建立空间直角坐标系，求出平面PBD 、平面PBD 的一个法向量，由线面角的向量求法可判断D ．【详解】对于A ，因为AC ⊥平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以AC DE ⊥．因为AC BC ⊥，且直线,,AC BC DE ⊂平面ABC ，所以//DE BC ．因为DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//DE 平面PBC ，A 正确；对于B ，AC ⊥平面PDE ，AC ⊂平面PAC ，所以平面PDE ⊥平面PAC ，B 正确；对于C ，取DE 的中点O ，连接PO ，过点O 作OF DE ⊥交BC 于点F ，因为PD PE =，所以PO DE ⊥．因为AC ⊥平面PDE ，PO ⊂平面PDE ，所以AC PO ⊥，因为DE AC D ⋂=，DE ，AC ⊂平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC，PO =，C 错误；对于D ，如图，以{},,OE OF OP为正交基底建立空间直角坐标系，因为D 是AC 的中点，4AC BC ==，所以()()()()0,0,0,3,2,0,1,0,0,1,0,0O B E D -，因为2PD PE ==，所以PO =，即(P ，所以()((()4,2,0,1,0,,1,0,,2,2,0DB DP EP EB ===-=，设平面PBD 的一个法向量()111,,m x y z =，则00m DB m DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11114200x y x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1x =111y z =-=-，所以平面PBD的一个法向量)1m =--，设平面PBE 的一个法向量()222,,n x y z = ，则0n EB n EP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22222200x y x +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令2x =，得221y z ==，所以平面PBE的一个法向量)n =，所以1cos ,7m nm n m n-⨯-⋅== ，设二面角D PB E--为[],0,πθθ∈，所以21sin 7θ==，所以二面角D PB E --的正弦值为7，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】方法点睛：二面角的通常求法，1、由定义作出二面角的平面角；2、作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角；3、利用向量法求二面角的平面.12.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，直线():2200l x ay b a -+=≠与C 的准线1l ，交于点A ．已知l 与C 相切，切点为B ，直线BF 与C 的一个交点为D ，则（）A.点(),a b 在C 上B.BAF AFB∠<∠C.以BF 为直径的圆与1l 相离 D.直线AD 与C 相切【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，联立直线l 与抛物线方程，根据根的判别式得到点(),b a 在C 上；B 选项，作出辅助线，结合抛物线定义得到相等关系，再由大边对大角作出判断；C 选项，证明出以BF 为直径的圆与y 轴相切，得到C 正确；D 选项，设出直线BD 方程，与抛物线方程联立求出D 点坐标，从而求出直线AD 方程，联立抛物线，根据根的判别式得到答案.【详解】对于A ，联立直线l 与C 的方程，消去x 得2240y ay b -+=，因为l 与C 相切，所以2Δ4160a b =-=，即24a b =，所以点(),b a 在C 上，A 错误．对于B ，过点B 作BM 垂直于C 的准线，垂足为M ，由抛物线定义知BF BM =，因为0a ≠，所以AB BM >，所以在ABF △中，AB BF >，由大边对大角得BAFAFB ∠<∠，B 正确．对于C ，()1,0F ，由A 选项l 与C 相切，切点为B ，可得(),B b a ，其中24a b =，则BF 的中点坐标为1,22b a +⎛⎫⎪⎝⎭，且()221BF b a =-+()()22211412b a b bb -+-++==，由于半径等于以BF 为直径的圆的圆心横坐标，故以BF 为直径的圆与y 轴相切，所以与1l 相离，C 正确；对于D ，设直线BD 方程为11b x y a -=+，与C 联立得()24140b y y a ---=，所以4D a y ⋅=-，解得4D y a=-，则21144111D D b b x y a a a a b --⎛⎫=+=⋅-+== ⎪⎝⎭，因为221,b A a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线AD 方程为22b y x a a=--，联立直线AD 与曲线C 的方程得2240by ay ++=，因为2Δ4160a b '=-=，所以直线AD 与C 相切，D 正确．故选：BCD ．【点睛】抛物线的相关结论，22y px =中，过焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点，则以,AF BF 为直径的圆与y 轴相切，以AB 为直径的圆与准线相切；22x py =中，过焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点，则以,AF BF 为直径的圆与x 轴相切，以AB 为直径的圆与准线相切.三、填空题：本大题共4小题13.已知:31p x -≤≤，:q x a £（a 为实数）．若q 的一个充分不必要条件是p ，则实数a 的取值范围是________.【答案】[)1,+∞【解析】【分析】利用小范围是大范围的充分不必要条件转换成集合的包含关系求解.【详解】因为q 的一个充分不必要条件是p ，所以[3,1]-是(],a -∞的一个真子集，则1a ≥，即实数a 的取值范围是[)1,+∞.故答案为：[)1,+∞.14.已知正项数列{}n a 满足121n n n a a n +=+，则106a a =_______.【答案】485【解析】【分析】由递推公式可得121n n a n a n +=+，再由累乘法即可求得结果.【详解】由121n n n a a n +=+可得121n na n a n +=+，由累乘可得9101879870662928272648918171615a a a a a a a a a a ⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=++++.故答案为：48515.直三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，AC BC ⊥，6AC =，8BC =，14AA =．若平面α将该直三棱柱111ABC A B C -截成两部分，将两部分几何体组成一个平行六面体，且该平行六面体内接于球，则此外接球表面积的最大值为______．【答案】104π【解析】【分析】α可能是AC 的中垂面，BC 的中垂面，1AA 的中垂面.截下的部分与剩余的部分组合成为长方体,用公式求出外接球直径进而求解.【详解】平行六面体内接于球，则平行六面体为直四棱柱，如图α有如下三种可能.截下的部分与剩余的部分组合成为长方体，则222238489R =++=或222264468R =++=或2222682104R =++=，所以2max 4π104πS R ==．故答案为：104π16.对任意(1,)x ∈+∞，函数()ln ln(1)0(1)x f x a a a x a =--≥>恒成立，则a 的取值范围为___________．【答案】1e e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】变形为()()11ln 1ln 1x x aa x x --≥--，构造()ln ,0F t t t t =>，求导得到单调性进而11x a ->恒成立，故()10x F a->，分当(]10,1x -∈和11x ->两种情况，结合()ln u g u u =单调性和最值，得到1e e a ≥，得到答案.【详解】由题意得1ln ln(1)x a a x -≥-，因为(1,)x ∈+∞，所以()()()11ln 1ln 1x x aa x x --≥--，即()()11ln 1ln 1x x a a x x --≥--，令()ln ,0F t t t t =>，则()()11x F aF x -≥-恒成立，因为()1ln F t t ='+，令()0F t '>得，1e t ->，()ln F t t t =单调递增，令()0F t '<得，10e t -<<，()ln F t t t =单调递减，且当01t <≤时，()0F t ≤恒成立，当1t >时，()0F t >恒成立，因为1,1a x >>，所以11x a ->恒成立，故()10x F a ->，当(]10,1x -∈时，()10F x -≤，此时满足()()11x F a F x -≥-恒成立，当11x ->，即2x >时，由于()ln F t t t =在()1e ,t ∞-∈+上单调递增，由()()11x F a F x -≥-得()1ln 11ln 1x x a x a x --≥-⇒≥-，令11u x =->，()ln u g u u =，则()21ln u g u u -'=，当()1,e u ∈时，()0g u '>，()ln u g u u =单调递增，当()e,+u ∞∈时，()0g u '<，()ln u g u u =单调递减，故()ln u g u u =在e u =处取得极大值，也是最大值，()ln e 1e e eg ==，故1ln e a ≥，即1e e a ≥，所以，a 的取值范围是1e e ,∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.故答案为：1e e ,∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现指数函数与对数函数，通常使用同构来进行求解，本题难点是1ln ln(1)x a a x -≥-两边同时乘以1x -，变形得到()()11ln 1ln 1x x a a x x --≥--，从而构造()ln ,0F t t t t =>进行求解.四、解答题：木大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a c b ac +-=，a =cos 3A =.（1）求角B 及边b 的值；（2）求sin(2)A B -的值.【答案】（1）π3B =，94b =（2【解析】【分析】（1）由余弦定理得到π3B =，求出2sin 3A =，由正弦定理得到94b =；（2）由二倍角公式求出sin 2,cos 2A A ，由差角公式求出答案.【小问1详解】因为222a cb ac +-=，由余弦定理得2221cos 222a c b ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =，因为()0,πA ∈，cos 3A =，所以2sin 3A ==，由正弦定理得sin sin a b A B =，即232=94b =；【小问2详解】由（1）得2sin 22sin cos 2339A A A ==⨯⨯=，2251cos 22cos 12139A A ⎛=-=⨯-= ⎝⎭，8sin(2)sin 2cos cos 2s 11929i 1n 2A B A B A B -=-=⨯-⨯=.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S a n =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11n n n n a b a a ++=，其前n 项和为n T ，求使得20232024n T >成立的n 的最小值．【答案】（1）21n n a =-；（2）10.【解析】【分析】（1）根据,n n a S 关系及递推式可得112(1)n n a a -+=+，结合等比数列定义写出通项公式，即可得结果；（2）应用裂项相消法求n T ，由不等式能成立及指数函数性质求得10n ≥，即可得结果.【小问1详解】当2n ≥时，111(2)(21)2()1n n n n n n n a S S a n a n a a ---=-=---+=--，所以121n n a a -=+，则112(1)n n a a -+=+，而1111211a S a a ==-⇒=，所以112a +=，故{1}n a +是首项、公比都为2的等比数列，所以12nn a +=⇒21n n a =-.【小问2详解】由1111211(21)(21)2121n n n n n n n n n a b a a ++++===-----，所以111111111111337715212121n n n n T ++=-+-+-++-=---- ，要使1202324112102n n T +>=--，即111202520211422n n ++>-<⇒，由1011220252<<且*N n ∈，则11110n n +≥⇒≥.所以使得20232024n T >成立的n 的最小值为10.19.如图，正三棱锥O ABC -的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且长度均为2．E 、F 分别是AB 、AC 的中点，H 是EF 的中点，过EF 作平面与侧棱OA 、OB 、OC 或其延长线分别相交于1A 、1B 、1C ，已知132OA =．（1）求证：11B C ⊥平面OAH ；（2）求二面角111O A B C --的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用三角形中位线定理结线面平行的判定可得EF ∥平面OBC ，再由线面平行的性质可得EF ∥11B C ，由等腰三角形的性质可得AH ⊥EF ，从而可得AH ⊥11B C ，再由已知可得OA ⊥平面OBC ，则OA ⊥11B C ，然后利用线面垂直的判定定理可证得结论；（2）作ON ⊥11A B 于N ，连1C N ，则由已知条件可证得11A B ⊥平面1OC N ，从而可得1ONC ∠就是二面角111O A B C --的平面角，过E 作EM ⊥1OB 于M ，则可得EM ∥OA ，设1OB x =，然后利用平行线分线段成比例定理结合已知条件可求得x ，在11R t OA B 中可求出11A B 的长，从而可求得ON ，进而可直角三角形1OC N 中可求得结果.【详解】（1）证明：因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点，所以EF 是ABC 的中位线，所以EF ∥BC ，因为EF ⊄平面OBC ，BC ⊂平面OBC ，所以EF ∥平面OBC ，因为EF ⊂平面111A B C ，平面111A B C Ç平面11OBC B C =，所以EF ∥11B C ．因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点，所以11,22AE AB AF AC ==，因为AB AC =，所以AE AF =，因为H 是EF 的中点，所以AH ⊥EF ，所以AH ⊥11B C ．因为OA ⊥OB ，OA ⊥OC ，OB OC O = ，所以OA ⊥平面OBC ，因为11B C ⊂平面OBC ，所以OA ⊥11B C ，因为OA AH A= 因此11B C ⊥面OAH ．（2）作ON ⊥11A B 于N ，连1C N ．因为111111,,OC OA OC OB OA OB O ⊥⊥= ，因为1OC ⊥平面11OA B ，因为11A B ⊂平面11OA B ，所以111OC A B ⊥，因为1ON OC O = ，所以11A B ⊥平面1OC N ，因为1C N ⊂平面1OC N ，所以1C N ⊥11A B，所以1ONC ∠就是二面角111O A B C --的平面角．过E 作EM ⊥1OB 于M ，则EM ∥OA ，则M 是OB 的中点，则111,122EM OA OM OB ====．设1OB x =，由111OB OA MB EM =得，312x x =-，解得3x =，则13OC =，在11R t OA B中，11A B ==则1111OA OB ON A B ⋅==．所以在1R t ONC中，11tan OC ONC ON ∠==故二面角111O A B C --为20.甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.（1）随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率；（2）已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.【答案】（1）23（2）512【解析】【分析】（1）设出事件，运用全概率公式求解即可.（2）利用条件概率公式求解即可.【小问1详解】记取到甲盒子为事件1A ，取到乙盒子为事件2A ，取到丙盒子为事件3A ，取到黑球为事件B ：由全概率公式得1122331815132()()(|)()(|)()(|)31236363P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=⨯+⨯+⨯=，故摸出的球是黑球的概率是23.【小问2详解】由条件概率公式得2215()536(|)2()123P A B P A B P B ⨯===，故此球属于乙箱子的概率是51221.设椭圆(222:109x y C b b +=<<，P 是C 上一个动点，点()1,0A ，PA长的最小值为2．（1）求b 的值：（2）设过点A 且斜率不为0的直线l 交C 于,B D 两点，,E F 分别为C 的左、右顶点，直线BE 和直线DF 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k 为定值．【答案】（1；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设出点P 坐标，并求出PA 长，再结合二次函数探求最小值即得解.（2）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，设出点,B D 的坐标，利用斜率坐标公式，结合韦达定理计算即得.【小问1详解】依题意，椭圆C 的焦点在x 轴上，设焦距为2(0)c c >，设00(,)P x y ，则222000||(1),[3,3]PA x y x =-+∈-，而22200(19x y b =-，则222200||(1)219b PA x x b =--++=222222*********()199c c x x b x b c c -++=-++-，而0b <<，则2(9(3,9))b -∈，即2(3,9)c ∈，因此29(1,3)c∈，由0[3,3]x ∈-，得当029x c =时，222min 295||1(22PA b c =+-==，即229392b b -=-，化简得42221450b b -+=，又0b <<，解得23b =，所以b=【小问2详解】由（1）知，椭圆C 的方程为22193x y +=，点(3,0),(3,0)E F -，设()()1122,,,B x y D x y ，则121212,33y y k k x x ==+-，即12k k =121212213(3)3(3)y x y x x y y x --⋅=++，斜率不为0的直线l 过点(1,0)A ，设方程为1x my =+，则112121221122(13)2(13)4k y my my y y k y my my y y +--==+++，由22139x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 并整理得22(3)280m y my ++-=，显然0∆>，则12122228,33m y y y y m m --+==++，即有2211)4(my y y y =+，因此()()121112112212212212422241444482y y y k my y y y y k my y y y y y y y +--+====++++，所以12k k为定值.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22.已知()3ln (1)f x x k x =--.（1）若过点(2,2)作曲线()y f x =的切线，切线的斜率为2，求k 的值；（2）当[1,3]x ∈时，讨论函数2π()()cos π2g x f x x =-的零点个数.【答案】（1）1（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求导，设切点坐标为()()000,3ln 1x x k x --，结合导数的几何意义列式求解即可；（2）求导，可得()g x '在[1,3]内单调递减，分类讨论判断()g x 在[1,3]内的单调性，进而结合零点存在性定理分析判断.【小问1详解】由题意可得：3()f x k x'=-，设切点坐标为()()000,3ln 1x x k x --，则切线斜率为003()2k f x k x '==-=，即032k x =-，可得切线方程为()()0003ln 12y x k x x x ---=-⎡⎤⎣⎦，将(2,2)，032k x =-代入可得()()0000323ln 2122x x x x ⎡⎤⎛⎫----=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，整理得001ln 10x x -+=，因为1ln ,y x y x ==-在()0,∞+内单调递增，则1ln 1y x x=-+在定义域()0,∞+内单调递增，且当1x =时，0y =，可知关于0x 的方程001ln 10x x -+=的根为1，即01x =，所以0321k x =-=.【小问2详解】因为2π2π()()cos 3ln (1)cos π2π2g x f x x x k x =-=---，则3π()sin 2g x k x x '=-+，可知3y x=在[1,3]内单调递减，且[1,3]x ∈，则ππ3π,222x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且sin y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递减，可知πsin 2y x =在[1,3]内单调递减，所以()g x '在[1,3]内单调递减，且(1)4,(3)g k g k ''=-=-，（i ）若0k -≥，即0k ≤时，则()()30g x g ''≥≥在[1,3]内恒成立，可知()g x 在[1,3]内单调递增，则()()10g x g ≥=，当且仅当1x =时，等号成立，所以()g x 在[1,3]内有且仅有1个零点；（ⅱ）若40k -≤，即4k ≥时，则()()10g x g ''≤≤在[1,3]内恒成立，可知()g x 在[1,3]内单调递减，则()()10g x g ≤=，当且仅当1x =时，等号成立，所以()g x 在[1,3]内有且仅有1个零点；（ⅲ）若400k k ->⎧⎨-<⎩，即04k <<时，则()g x '在()1,3内存在唯一零点()1,3m ∈，可知当1x m ≤<时，()0g x '>；当3m x <≤时，()0g x '<；则()g x 在[)1,m 内单调递增，在(],3m 内单调递减，且()10g =，可知()()10g m g >=，可知()g x 在[)1,m 内有且仅有1个零点，且()33ln 32g k =-，①当()33ln 320g k =-≤，即3ln 342k ≤<时，则()g x 在(],3m 内有且仅有1个零点；②当()33ln 320g k =->，即30ln 32k <<时，则()g x 在(],3m 内没有零点；综上所述：若[)3,ln 34,2k ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()g x 在[1,3]内有且仅有1个零点；若3ln3,42k⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g x在[1,3]内有且仅有2个零点.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．。
海南省海口市2023届高三模拟考试数学试题
一、单选题二、多选题1. 函数的单调递减区间是（ ）A．B．C．D．2. 已知复数,则的共轭复数A．B．C．D．3.已知集合，，则（ ）A．B．C．D．4. 甲､乙､丙三人被随机的安排在周六､周日值班，每天至少要有一人值班，每人只在其中一天值班.则甲､乙被安排在同一天值班的概率为（ ）A．B．C．D．5. 等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为A．B．C．D．6. 已知为锐角，且，则角（ ）A．B．C．D．7.函数的值域为（ ）A ．,B．,C．,D．8.已知数列满足，，若，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是A．B．C．D．9. 过点的直线交抛物线于两点，线段的中点为，抛物线的焦点为，下列说法正确的是（ ）A ．以为直径的圆过坐标原点B．C ．若直线的斜率存在，则斜率为D ．若，则10. PM2.5是衡量空气质量的重要指标．下图是某地4月1日到10日的PM2.5日均值（单位：）的折线图，则关于这10天中PM2.5日均值的说法正确的是（）A ．众数为33B ．第70百分位数是33海南省海口市2023届高三模拟考试数学试题海南省海口市2023届高三模拟考试数学试题三、填空题四、解答题C ．中位数小于平均数D ．前4天的方差小于后4天的方差11. 已知是抛物线的焦点，，是抛物线上相异两点，则以下结论正确的是（ ）A ．若，那么B ．若，则线段的中点到轴的距离为C ．若是以为直角顶点的等腰三角形，则D ．若，则直线的斜率为12. 已知条件p：，条件q ：，且p 是q 的必要条件，则m 的值可以是（ ）A．B．C ．-D ．013. 已知实数满足，，则的最小值为__________.14. 甲､乙两位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计赢2局者胜，分出胜负即停止比赛.已知甲每局赢的概率为，每局比赛的结果相互独立.本次比赛到第3局才分出胜负的概率为______，本次比赛甲获胜的概率为______.15. 已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数a 的取值范围为______________.16. 已知函数，．(1)求曲线在点处的切线方程．(2)已知关于的方程恰有4个不同的实数根，其中，．（i ）求的取值范围；（ii ）求证：．17. 的内角、、所对的边分别为、、.已知，.（1）若，求；（2）若，求的面积.18. 某校组织学生进行跳绳比赛，以每分钟跳绳个数作为比赛成绩（单位：个）.为了解参赛学生的比赛成绩，从参赛学生中随机抽取50名学生的比赛成绩作为样本，整理数据并按比赛成绩分成，，，，，这6组，得到的频率分布直方图如图所示.(1)估计该校学生跳绳比赛成绩的中位数；(2)若跳绳比赛成绩不低于140分的为优秀，以这50名学生跳绳比赛成绩的频率作为概率，现从该校学生中随机抽取3人，记被抽取的比赛成绩优秀的学生人数为，求的分布列与期望.19.已知是公差不为零的等差数列，而是等比数列，其中，，，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的通项公式.20. 如图，在三棱台中，平面平面.(1)证明：平面；(2)若直线与距离为3，求平面与平面夹角的余弦值.21. 某岗位聘用考核共设置2个环节，竞聘者需要参加全部2个环节的考核，通过聘用考核需要2个环节同时合格，规定：第1环节考核5个项目至少连续通过个为合格，否则为不合格；第2环节考核3个项目至少通过个为合格，否则为不合格.统计已有的测试数据得出第1环节每个项目通过的概率均为，第2环节每个项目通过的概率均为，各环节、各项目间相互独立.（1）求通过改岗位聘用考核的概率；（2）若第1环节考核合格赋分60分，考核不合格赋分0分；第2环节考核合格赋分40分，考核不合格分0分，记2个环节考核后所得赋分为，求的分布列与数学期望.。
高三数学模拟考试题
高三数学模拟考试题一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 7的导数是：A. 6x^2 - 6x + 5B. 6x^2 + 3x - 7C. 3x^2 - 3x + 5D. 6x^2 - 6x + 12. 若圆心在原点，半径为1的圆的方程是：A. x^2 + y^2 = 1B. x^2 + y^2 = 0C. (x-1)^2 + y^2 = 1D. (x+1)^2 + y^2 = 13. 已知集合A={1,2}，B={2,3}，则A∪B的元素个数是：A. 1B. 2C. 3D. 44. 若直线y=2x+b与曲线y=x^2-3x+2相切，则b的值为：A. 2B. 3C. 4D. 55. 已知等差数列的前三项分别为3, 5, 7，则该数列的通项公式为：A. an = 3 + 2(n-1)B. an = 2 + 3(n-1)C. an = 4 + 2(n-1)D. an = 5 + 2(n-1)6. 若复数z满足|z-1-i|=1，则z的轨迹表示的图形是：A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线7. 函数y=|x-1|+|x-2|的最小值是：A. 1B. 2C. 3D. 48. 抛物线y^2=4x的焦点坐标是：A. (1,0)B. (2,0)C. (0,1)D. (0,-1)9. 已知向量a=(2,3)，b=(-1,2)，则a·b的值为：A. -1B. 1C. 3D. 510. 若方程x^2-2x+1=0有实根，则实根的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，当x=______时，函数取得最小值。
12. 若方程x^2+2x+1=0的根为x1和x2，则x1+x2=______。
13. 已知数列{an}的前n项和为S_n=n^2，那么数列的通项公式an=______。
2024届高三数学仿真模拟卷(上海卷)(考试版)
2024年上海高考数学第三次模拟考试（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共21题。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．方程2(1)0x p x q --+=的解集为A ，方程2(1)0x q x p +-+=的解集为B ，已知{2}A B =- ，则A B =．2．复数z 满足(2)|34|i z i -=+，则z =．3．若(1,2)n =-是直线l 的一个法向量，则直线l 的倾斜角大小为．4．已知随机变量X 服从正态分布(1N ，2)(0)σσ>，若(0)0.9P X >=，则(12)P X <<=．5．某研究所收集、整理数据后得到如下列表：x23456y3791011由两组数据可以得到线性回归方程为ˆˆ1.9yx a =+，则ˆa =．6．底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为．7．若多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则123a a a ++=．8．高三年级某8位同学的体重分别为45，50，55，60，70，75，76，80（单位：)kg ，现在从中任选3位同学去参加拔河，则选中的同学中最大的体重恰好为这组数据的第70百分位数的概率是．9．已知数列{}n a 是等比数列，且2254a a =．设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则7S =．10．已知函数()sin()(0,||2f x x πωϕωϕ=+><，若()()1g x f x ⋅=，且函数()g x 的部分图象如图所示，则ϕ等于．11．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则曼哈顿距离1212(,)||||d A B x x y y =-+-，余弦距离(e A ，)1cos(B A =-，)B ，其中cos(,)cos ,(A B OA OB O =〈〉为坐标原点）．已知点(2,1)M ，(,)1d M N =，则(,)e M N 的最大值为．12．已知实数x ，y 满足223x y +=，则2214(2)(2)x y x y ++-的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸相应编号位置将代表正确选项的小方格涂黑。
高三模拟考试数学试题(附答案)
高三数学模拟试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，各题答案必需答在机读卡上。
1．已知集合M={x |x －a =0}，N={x |ax －1=0}，若M N=N ，则实数a 的值是（D ）A ．1B ．－1C ．1或－1D ．0或1或－12．已知集合A B R ==，映射:f A B →满足 2()2f x x x =-+，若对于实数k B ∈，在集合A 中不存在原象，则k 的取值范围是（ D ）A ． 1k ≥B ．1k ≤C ．1k <D ．1k > 3．图中阴影部分可用哪一组二元一次不等式表示（ C ）A ．⎩⎨⎧≥+--≥0221y x y B ．⎩⎨⎧≤+--≥0221y x yC ．⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≥≤02210y x y xD ．⎪⎩⎪⎨⎧≤+--≥≤02210y x y x4．已知F F 12，是双曲线1222=-y x 的左右焦点，P 、Q 为右支上的两点，直线PQ 过F 2且倾斜角为α，则PF QF PQ 11+-的值为（ A ） A. 42 B. 8C. 22D. 随α大小变化5．已知等比数列{n a }的前n 项和12-=n n S ，则++2221a a …2n a +等于（ D ）A ．2)12(-nB ．)12(31-nC ．14-nD ．)14(31-n6．过点M （－2，4）作圆C ：25)1()2(22=-+-y x 的切线l ，l 1：023=++a y ax 与l 平行，则l 1与l 间的距离是（ A ）A.512 B.528 C.58 D.52 7．已知函数y =f （x ）是偶函数，y =g （x ）是奇函数，它们的定义域为［－π，π］，且它们在x ∈［0，π］上的图象如下图所示，则不等式)()(x g x f ＞0的解集为（D ）A.（－3π，0）∪（3π，π）B.（－π，－3π）∪（3π，π） C.（－4π，0）∪（4π，π） D.（－π，－3π）∪（0，3π） 8．把函数y =cos x 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象向左平移4π个单位，则所得图形表示的函数的解析式为（ B ） A ．y=2sin 2x B ．y=－2sin 2xC ．y=2cos （x +4π） D ．y=2cos （2x +4π） 9．在区间［－4，－1］上，函数f （x ）=－x 2+px +q 与函数g （x ）=x +x4同时取相同最大值，那么函数f （x ）在区间［－4，－1］上的最小值为CA.－10B.－5C.－8D.－3210．函数y =x 2－2x 在区间[a ，b ]上的值域是[－1,3],则点（a ，b ）的轨迹是图中的 （ A ） A ．线段AB 和线段ADB ．线段AB 和线段CDC ．线段AD 和线段BC D ．线段AC 和线段BD11．若抛物线y =2x 2上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线y =x +m 对称，且x 1·x 2=－21,则实数m 的值为 B A.21 B.23 C.25 D.2 12.定义运算a*b 为：a*b=⎩⎨⎧>≤)()(b a b b a a 则关于x 的函数f (x )=x 21*的取值范围是（ C ）A ．(]1,∞- B.（0，1） C. (]1,0 D.[1，+∞]第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）各题答案必需填写在答题卡上（只填结果，不写过程）。
天一模拟考试卷高三数学
一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，其导数f'(x)为：A. 3x^2 - 3B. 3x^2 + 3C. 3x^2 - 6xD. 3x^2 + 6x2. 下列不等式中，恒成立的是：A. x + y > 0，当x > 0，y > 0时B. x^2 + y^2 > 0，当x ≠ 0，y ≠ 0时C. 1/x + 1/y > 0，当x > 0，y > 0时D. x^3 + y^3 > 0，当x > 0，y > 0时3. 下列各数中，不是无理数的是：A. √2B. πC. 3.14159D. √-14. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，d = 3，则S10为：A. 130B. 140C. 150D. 1605. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[0, 1]上单调递增，则下列结论正确的是：A. a > 0，b > 0，c > 0B. a > 0，b > 0，c < 0C. a < 0，b < 0，c > 0D. a < 0，b < 0，c < 06. 在平面直角坐标系中，点A(2, 3)，B(5, 1)，则线段AB的中点坐标为：A. (3, 2)B. (3.5, 2)C. (3.5, 2.5)D. (4, 2)7. 已知复数z = 1 + 2i，则|z|^2为：A. 5B. 4C. 3D. 28. 若函数y = ax^2 + bx + c的图像与x轴有两个交点，则下列结论正确的是：A. a > 0，b > 0，c > 0B. a < 0，b < 0，c > 0C. a > 0，b < 0，c < 0D. a < 0，b > 0，c < 09. 下列各函数中，是奇函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = x^410. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 1，q = 2，则S5为：A. 31B. 32C. 33D. 34二、填空题（每小题5分，共25分）11. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的对称轴方程为__________。
2024年浙江省高三数学考前模拟联考试卷附答案解析
2024年浙江省高三数学考前模拟联考试卷本卷满分150分，考试时间120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合(){}3log 21A x x =+>，(){}20B x x x =-<，则()R A B ð等于（）A ．∅B ．()0,1C ．()1,2D ．[)2,+∞2．已知复数z 满足()()112i 5i z --=，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量(),1a m = ，(),1b m =- ，若3a b - 与b垂直，则a r 等于（）ABC ．3D ．64．已知数列{}n a 满足12a =，则“{}n a 为等比数列”是“m n m n a a a +⋅=（m ∀，*n ∈N ）”的（）A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件5．在对某校高三学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分别为15，10，由此估计样本的方差不可．．能．为（）A ．11B ．13C ．15D ．176．若()()πsin cos sin 4αβαβαβ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，则（）A ．()tan 1αβ-=-B ．()tan 1αβ-=C ．()tan 1αβ+=-D ．()tan 1αβ+=7．如图，假定两点P ，Q 以相同的初速度运动．点Q 沿直线CD 做匀速运动，CQ x =；点P 沿线段AB （长度为710单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离()PB y =．令P 与Q 同时分别从A ，C 出发，定义x 为y 的纳皮尔对数，用现代数学符号表示x 与y 的对应关系就是()7107110 2.71828xy e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭L ，当点P 从线段AB 靠近A 的三等分点移动到中点时，经过的时间为（）．A ．ln 2B ．ln 3C ．3ln2D ．4ln38．设双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，过坐标原点的直线与C 交于A ，B 两点，AB =，120AFB ∠=︒，则C 的离心率为（）ABC D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知函数()11sin cos f x x x=+，则（）A ．()f x 的最小正周期为πT =B ．()f x 的图象关于()π,0对称C ．()f x 在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减D ．当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x ≥10．已知A ，B ，C 是一个随机试验中的三个事件，且()01P A <<，()01P B <<，下列说法正确的是（）A ．若A 与B 互斥，则A 与B 不相互独立B ．若A 与B 相互独立，则A 与B 不互斥C ．若()()()P A B P B A P AB ⋅=，且()0P AB ≠，则A 与B 相互独立D ．若()()()()P ABC P A P B P C =⋅⋅，则A ，B ，C 两两独立11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 满足1AP AD AA λμ=+，其中R λ∈，μ∈R ，则（）A ．当λμ=时，则1C P PD +B ．过点P 在平面11ADD A 内一定可以作无数条直线与CP 垂直C ．若1C P 与AD 所成的角为π4，则点P 的轨迹为双曲线D ．当1λ=，[]0,1μ∈时，正方体经过点A 、P 、1C 的截面面积的取值范围为62⎣三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若2nx⎛⎝展开式的二项式系数之和为128，则展开式中x 的系数为.13．已知圆1C ：222x y +=和圆2C ：()()223416x y -+-=，过圆2C 上一动点P 作圆2C 的切线，交圆1C 于A ，B 两点，当AOB （点O 为坐标原点）面积最大时，满足条件的切线方程为.（写出一条即可）14．已知函数()()2e ln xf x x x =-+，()g x ax b =+，对任意(],1a ∈-∞，存在()0,1x ∈使得不等式()()f x g x ≥成立，则满足条件的b 的最大整数为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在直角坐标平面内有线段12A A ，已知点3A 是线段12A A 上靠近2A 的三等分点，点4A 是线段23A A 上靠近3A 的三等分点，……，点1n A +是线段1-n n A A （2n ≥，*n ∈N ）上靠近n A 的三等分点，设点n A 的横坐标为n a .(1)求证：数列{}1n n a a +-为等比数列；(2)若11a =，25a =，求{}n a 的通项公式.16．在四棱锥P ABCD -中，AB AD ⊥，//AB DC ，122AD DC AB ===，=PC E 、F 分别为直线DC ，DP 上的动点.(1)若异面直线AD 与PC 所成的角为45︒，判断PB 与AD 是否具有垂直关系并说明理由；(2)若PB PA ==//EF PC ，求直线AC 与平面BEF 所成角的最大值.17．将除颜色外完全相同的红球2个、白球3个放入一盲盒（一种具有随机属性的玩具盒子），现从中不放回．．．取球.(1)若每次取一个球，求：（ⅰ）前两次均取到红球的概率；（ⅱ）第2次取到红球的概率；(2)若从中取出两个球，已知其中一个球为红球，求：（ⅰ）另一个也为红球的概率；（ⅱ）若你现在可以选择从剩下的球中随机取一个球来替换另一个球，如果从提高取到红球的可能性出发，你是选择换还是不换？试说明理由.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0A ，()1F ，)2F ，P 为动点，满足122PF PF -=.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知过点()3,1T -的直线l 与曲线C 交于两点M ，N ，连接AM ，AN .（ⅰ）记直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12122k k k k ++为定值；（ⅱ）直线AM ，AN 与直线12y x =-分别交于B ，C 两点，求BC 的最小值.19．莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出，数学家梅滕斯首先使用()n μ作为莫比乌斯函数的记号，其在数论中有着广泛应用.所有大于1的正整数n 都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：1212k r r rk n p p p =⋅⋅⋅（k 为n 的质因数个数，i p 为质数，1i r ≥，1,2,,i k =⋅⋅⋅），例如：260235=⨯⨯，对应3k =，12p =，23p =，35p =，12r =，21r =，31r =.现对任意*n ∈N ，定义莫比乌斯函数()()121,11,10, 1kk in n r r r r μ=⎧⎪=-==⋅⋅⋅==⎨⎪>⎩存在.(1)求()68μ，()985μ；(2)已知1n >，记1212k r r rk n p p p =⋅⋅⋅（k 为n 的质因数个数，i p 为质数，1i r ≥，1,2,,i k =⋅⋅⋅）的所有因数从小到大依次为1a ，2a ，…，m a .（ⅰ）证明：()()()122km a a a μμμ++⋅⋅⋅+=；（ⅱ）求()()()1212m ma a a a a a μμμ++⋅⋅⋅+的值（用i P （1,2,,i k =⋅⋅⋅）表示）.1．D【分析】首先解对数不等式求出集合A ，解一元二次不等式求出集合B ，再根据补集、交集的定义计算可得.【详解】由()3log 21x +>，即()33log 2log 3x +>，即23x +>，解得1x >，所以(){}{}3log 211A x x x x =+>=>，由()20x x -<，解得02x <<，所以(){}{}2002B x x x x x =-<=<<，所以(][)R ,02,B =-∞⋃+∞ð，则()[)R 2,A B =+∞ ð.故选：D 2．C【分析】由复数的除法运算可得1i z =-+，再由共轭复数可知问题的结果.【详解】由()()112i 5i z --=得：()()()5i 12i 5i 5i 1012i 12i 12i 12i 5z +--====-+--+，即1i z =-+，所以1i z =--，故复数z 在复平面内对应的点()1,1--位于第三象限.故选：C.3．B【分析】根据3a b - 与b垂直，可得()30a b b -⋅= ，即可求出m ，再根据模的坐标公式即可得解.【详解】()32,4a b m -= ，因为3a b - 与b垂直，所以()23240a b b m -⋅=-= ，解得22m =，所以a ==r .故选：B.4．B【分析】根据等比数列的定义、通项公式及充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若{}n a 为等比数列，则12n n a q -=，所以112224m n m m n n a q q q a --+-=⋅=⨯，12m n m n a q +-+=，当2q ¹时m n m n a a a +⋅≠，故充分性不成立；若m n m n a a a +⋅=（m ∀，*n ∈N ），不妨令1m =，则11n n a a a +⋅=，又12a =，所以12n n a a +=，即12n na a +=，所以{}n a 为公比为2的等比数列，故必要性成立；故“{}n a 为等比数列”是“m n m n a a a +⋅=（m ∀，*n ∈N ）”的必要不充分条件.故选：B 5．A【分析】根据题意，设男生体质健康状况的平均数为x ，女生的平均数为y ，总体的平均数为w ，方差为2s ，结合方差的公式，分析选项，即可求解.【详解】设男生体质健康状况的平均数为x ，女生的平均数为y ，总体的平均数为w ，方差为2s ，则8012023801208012055w x y x y =+=+++，22280120[15(][10()]8012080120s x w y w =+-++-++22229346[15()][10()]12(1252552525x y x y x y =+-++-=+-≥，结合选项，可得A 项不符合.故选：A.6．C【分析】利用和差角公式展开，即可得到sin cos cos cos sin sin cos sin αβαβαβαβ+=-，再两边同除cos cos αβ，最后结合两角和的正切公式计算可得.【详解】因为()()πsin cos sin 4αβαβαβ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，所以sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβαβαβ-++ππsin cos cos sinsin 44ααβ⎫=-⎪⎭，即sin cos cos sin cos cos sin sin 2sin sin 2cos sin αβαβαβαβαβαβ-++=-，即sin cos cos cos sin sin cos sin αβαβαβαβ+=-，两边同除cos cos αβ可得tan 1tan tan tan ααββ+=-，所以()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--.故选：C 7．D【分析】易知，它们的初速度相等，故Q 点的速度为710，然后可以根据7710110()xy e=，求出P 在中点、三等分点时的x ，则Q 点移动的距离可求，结合速度、时间可求．【详解】解：由题意，P 点初始速度710即为Q 点的速度．当P 在靠近A 点的三等分点时：77710211010()3xe⨯=，解得：7310ln 2x =，当P 在中点时：77710111010()2xe⨯=，解得：7n 102l x =，所以经过的时间为：7734[10(ln 2ln )]10ln 23-÷=．故选：D ．8．B【分析】设AF x =，结合已知条件和双曲线的定义求得BF ，利用余弦定理列方程，解方程求得,a c ，由此求得离心率.【详解】如图，设双曲线C 的右焦点为1F ，连接1AF ，1BF .由双曲线的对称性可得：1AF BF =，1//AF BF ，则四边形1AFBF 是平行四边形，又因为120AFB ∠=︒，则160FAF ∠=︒，设AF x =，由双曲线的定义可得：12BF AF a x ==+，在AFB △中，由余弦定理可得：2222cos AB AF BF AF BF AFB=+-⋅⋅∠所以()()()22212222x a x x a x ⎛⎫=++-+⋅- ⎪⎝⎭，整理可得：2236240x ax a +-=，解得：2x a =或4x a =-（舍去），则12AF BF a ==，14BF AF a ==，在1AFF 中，由余弦定理可得：22211112cos FF AF AF AF AF FAF =+-⋅⋅∠所以()()()()()22212242242c a a a a =+-⋅⋅⋅，整理可得：223c a =，所以==ce a.故选：B.9．BCD【分析】由()()πf x f x +≠，可判定A 不正确；由()()πf x f x +=-，可判定B 正确；设sin cos t x x =+，得到()221tf x t =-，利用导数求得函数()f x 的单调性和最值，可判定C 正确、D 正确.【详解】对于A 中，由()()1111πsin(π)cos(π)sin cos f x f x x x x x+=+=--≠++，所以A 不正确；对于B 中，由()()1111π()sin(π)cos(π)sin cos f x f x x x x x+=+=-+=-++，可得函数()f x 关于()π,0对称，所以B 正确；对于C 中，设sin cos t x x =+，可得21sin cos 2t x x -=，则()()211sin cos 2sin cos sin cos 1x x t f x g t x x x x t +=+===-，当π(,0)2x ∈-时，可得πππ(,444x +∈-，则πsin cos (1,1)4t x x x =+=+∈-，又由()()()()()()222222222212222220111t t tt t g t ttt --⋅-+--===<---'，所以函数()g t 在()1,1-上单调递减，又π4t x =+在π(,0)2x ∈-上为单调递增函数，所以由复合函数单调性，可得函数()f x 在π(,0)2x ∈-上为单调递减函数，所以C 正确；对于D 中，当π(0,)2x ∈时，可得ππ3π(,444x +∈，则(π1,4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又由()0g t '<，()g t在(为递减函数，当πππ(,)442x +∈时，即π(0,)4x ∈时，函数π4t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增；当ππ3π(,424x +∈时，即ππ(,)42x ∈时，函数π4t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，由复合函数的单调性，可得函数()f x 在π(0,4x ∈单调递减，在ππ(,)42x ∈上单调递增，所以()π()4f x f ≥=，所以D 正确.故选：BCD.10．ABC【分析】由互斥事件和相互独立事件的概念对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，若A 与B 互斥，则A 与B 不能同时发生，即()0P AB =，因为A B ⋂表示A 与B 都不发生，则A B ⋂的对立事件为A 与B 至少有一个发生，所以()()1P A B P A B ⋂=-⋂，而()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B ⋃=+-=+，所以()()()1P A B P A P B ⋂=--，因为()()()()11P A P B P A P B ⎡⎤⎡⎤⋅=--⎣⎦⎣⎦()()()()1P A P B P A P B =---⋅所以()()()P A B P A P B ⋂≠⋅，由此可知，A 与B 不相互独立，故A 正确；对于B ，若A 与B 相互独立，则()()()P AB P A P B =⋅，因为()01P A <<，()01P B <<，所以()()01P A P B <⋅<，则()0P AB ≠，所以A 与B 不互斥，故B 正确；对于C ，若()()()P A B P B A P AB ⋅=，因为()()()()()()()P AB P AB P A B P B A P AB P B P A ⋅=⋅=，因为()0P AB ≠，则有()()()P AB P A P B =⋅，所以A 与B 相互独立，故C 正确；对于D ，抛掷一枚质地均均的骰子，事件A 表示出现点数为1,3,4，事件B 表示出现点数1,5,6，事件C 表示出现点数1,2,3,5，事件ABC 表示出现点数为1,()16P ABC =，()()()33416666P A P B P C ⋅⋅=⨯⨯=，满足()()()()P ABC P A P B P C =⋅⋅，事件AB 表示出现点数为1,()16P AB =，但()()()13316664P AB P A P B =≠⋅=⨯=则A ，B 不相互独立，故D 错误.故选：ABC.11．ACD【分析】对A ，将平面1AD D 展开到与11D ABC 同一平面，由两点间线段最短得解；对B ，当P 在1D 时，过P 点只能作一条直线与CP 垂直，可判断；对CD ，以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系，设出点P 坐标，利用向量的坐标运算即可判断.【详解】对于A ，当λμ=时，()11AP AD AA AD λλ=+= ，所以点P 在线段1AD 上，如图，将三角形1AD D 与矩形11D ABC 沿1CD 展成平面图形如下所示，则线段1DC 即为1C P PD +的最小值，利用余弦定理可知22211111113π2cos24C D C D DD C D DD =+-⋅⋅=+所以1C D =，即1C P PD +，故A正确；对于B ，当P 在1D 时，过点P 在平面11ADD A 内只可以作一条直线与CP 垂直，故B 错误；对于C ，以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则1(0,0,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,1,0),(,0,)D C A B P x z ，得1(,1,1),(1,0,0)C P x z AD =--=-，11πcos 4C P AD C P AD⋅∴==⋅整理得22(1)1x z --=，为双曲线方程，故C 正确．对于D ，当1λ=时，11AP AD AA DP AA μμ=+⇒=，故点P 在线段1DD 上运动,正方体经过点A 、P 、1C 的截面为平行四边形1A P C H ，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()1,0,0A ，()10,1,1C ，()11,0,1A ，()0,0,P μ，所以()10,1,1PC μ=- ，()11,1,1AC =- ，112PC AC μ⋅=-，1PC =，1A C = ，所以点P 到直线1AC的距离为d =，于是当12μ=时min22d =，1PAC的面积取最小值，此时截面面积为2=；当0μ=或1时max 63d =1PAC3=所以正方体经过点A 、P 、1C 的截面面积的取值范围为2⎣，故D 正确．故选：ACD ．【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型.12．280【分析】先由二项式系数和为128，求出n ，再求出72x ⎛⎝展开式的通项，令3712r -=，即可得出答案.【详解】2nx ⎛ ⎝展开式的二项式系数之和为2128n=，解得：7n =，所以72x ⎛⎝展开式的通项为：()()37772177C 2C 21rr r r r r r r T x x---+⎛==⋅- ⎝，令3712r -=，解得：4r =，所以展开式中x 的系数为：()4437C 21358280⋅-=⨯=.故答案为：280.13．=1x -或3544y x =-+或7252424y x =-（写出一条即可）【分析】由圆的弦长公式求出AB =1d =，然后由圆心到直线AB 的距离分别等于半径列方程组，解出即可.【详解】设圆1C 的圆心()10,0C，半径1r 2C 的圆心()23,4C ，半径24r =；设O 到直线AB 的距离为d，则AB =0d <，则12AOB S AB d =⋅=== 所以当1d =时，AOB 的面积最大，当直线AB 的斜率不存在时，=1x -满足题意，当直线AB 的斜率存在时，设AB ：y kx m =+，则由题意可得14⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，①化简可得344k m m +-=，即334k m -=或354k m +=，代入①可解得3454k m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或7242524k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以满足条件的切线方程为=1x -或3544y x =-+或7252424y x =-，故答案为：=1x -或3544y x =-+或7252424y x =-.（写出一条即可）14．4-【分析】依题意存在()0,1x ∈使得()2e ln x x x x b -+≥+，参变分离可得()2e ln xx x x b -+-≥，令()()2e ln x F x x x x =-+-，()0,1x ∈，利用导数说明函数的单调性，求出()max F x ，则()max b F x ≤，即可求出b 的最大整数.【详解】依题意对任意(],1a ∈-∞，且0x >有()g x ax b x b =+≤+，因为存在()0,1x ∈使得不等式()()f x g x ≥成立，所以存在()0,1x ∈使得()2e ln x x x x b -+≥+，即()2e ln xx x x b -+-≥，令()()2e ln xF x x x x =-+-，()0,1x ∈，则()()()111e 11e xx F x x x x x ⎛⎫'=-+-=-- ⎪⎝⎭，令()1e xm x x=-，()0,1x ∈，则()m x 在()0,1上单调递增，且()1e 10m =->，121e 202m ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得()0001e 0x m x x =-=，即001e x x =，00ln x x =-，所以当00x x <<时()0F x '>，当01x x <<时()0F x '<，所以()F x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，所以()()()0000000m 0ax 00212e ln 212xF x x x x x x x x x F x ⎛⎫-=-+-=-=-=+ ⎪⎝⎭，因为01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()0012,3x x +∈，所以()()()0max 001124,3F x x F x x ⎛⎫=-+∈-⎪⎭=- ⎝，依题意()max b F x ≤，又b 为整数，所以4b ≤-，所以b 的最大值为4-.故答案为：4-【点睛】关键点点睛：本题关键是将问题转化为存在()0,1x ∈使得()2e ln xx x x b -+≥+，即()2e ln x x x x b -+-≥.15．(1)证明见解析(2)2143n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意得2122n n n n a a a a +++-=-进而证得21113n n n n a a a a +++-=--，即可证得数列{}1n n a a +-是等比数列；（2）根据题意，求得214a a -=，求得21143n n n a a --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合累加法，得到2n ≥时，2143n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，进而求得数列的通项公式.【详解】（1）解：由题意得2122n nn n a a a a +++-=-所以2132n n n a a a ++=+，可得21133n n n n a a a a +++-=-，又由210a a -≠，所以21113n n n n a a a a +++-=--所以数列{}1n n a a +-是首项为21a a -，公比为13-的等比数列.（2）解：因为11a =，25a =，所以214a a -=，因为数列{}1n n a a +-是公比为13-的等比数列，所以2n ≥时，21143n n n a a --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.由累加法可得2n ≥时，21114133n n a a -⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦111113433·1313n n --⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭==-- ⎪⎝⎭+，即当2n ≥时，2143n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，经检验，11a =满足上式，所以数列{}n a 的通项公式2143n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.16．(1)答案见解析，理由见解析(2)60︒【分析】（1）取AB 的中点G ，连接CG ，PG ，即可说明//CG AD ，则PCG ∠（或其补角）为异面直线AD 与PC 所成的角，分45PCG ∠=︒和135PCG ∠=︒两种情况讨论，利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）以G 为坐标原点建立空间直角坐标系，设(),2,0E t ，求出平面BEF 的法向量，利用空间向量法求出线面角的正弦值，即可求出线面角的最大值.【详解】（1）取AB 的中点G ，连接CG ，PG，因为//AB DC ，122AD DC AB ===，所以AG DC =且//AG DC ，所以四边形AGCD 为平行四边形，所以//CG AD ，所以PCG ∠（或其补角）为异面直线AD 与PC 所成的角，①当45PCG ∠=︒时，在PCG中，=PC 2CG =，由余弦定理可知2PG ==，所以222CG PG PC +=，所以CG PG ⊥，所以AD PG ⊥，又AD AB ⊥，AB PG G = ，AB ，PG ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥.②当135PCG ∠=︒，假设AD PB ⊥，则由①有AD ⊥平面PAB ，因为PG ⊂平面PAB ，所以AD PG ⊥，CG PG ⊥，这与135PCG ∠=︒相矛盾，故此时AD 与PB 不垂直.综上所述，当45PCG ∠=︒时，AD PB ⊥；当135PCG ∠=︒时，AD 与PB 不垂直.（2）由PB PA ==G 是AB 中点，可得PG AB ⊥，从而由122GB AB ==可得2PG =，又2,GC AD PC ===所以2228GC GP PC +==，即PG GC ⊥，因为AD AB ⊥，由（1）有//GC AD ，所以GB GC ⊥，所以,,GB GC GP 两两互相垂直，故可以G 为坐标原点，GB ，GC ，GP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.故()2,0,0A -，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,2P ，()2,2,0AC =.因为//EF PC ，设平面BEF 的法向量为(),,n x y z = ，则有0,0,n BE n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 设(),2,0E t ，则()2,2,0BE t =- ，又()0,2,2PC =- ，所以有()220220t x y y z ⎧-+=⎨-=⎩令2x =，则2y z t ==-，故平面BEF 的一个法向量为()2,2,2n t t =--，设直线AC 与平面BEF 所成的角为θ，则sin cos ,AC n AC n AC nθ⋅==⋅===令4t s -=，则sin θ=当0s =时，sin 0θ=；当0s ≠时，sin θ（当且仅当3s =-，1t =时取“＝”）.又090θ︒≤≤︒，所以060θ︒≤≤︒.综上所述，直线AC 与平面BEF 所成角的最大值为60︒.17．(1)（ⅰ）110；（ⅱ）25(2)（ⅰ）17；（ⅱ）选择交换，理由见解析【分析】（1）不放回取球可以用条件概率公式的变式公式来计算，即：()()()|P AB P A P B A =，第2次取到红球可由两互斥事件计算得到，即()()()21212P A P A A P B A =+；（2）条件概率公式：()()|()P AB P B A P A =，其中有一个球为红球，又等价转化到对立事件来求概率，即可求出结果，对于是否交换，只需要比较两种情形的概率就可以得到判断.【详解】（1）记事件i A （1,2,3,4,5i =）为第i 次取到红球，事件i B （1,2,3,4,5i =）为第i 次取到白球.（ⅰ）前两次均取到红球即为事件12A A ，()()()121212115410P A A P A P A A ==⨯=.（ⅱ）()()()()212121212P A P A A B A P A A P B A =+=+()()()12211132210545P A A P A B P B =+=+⨯=.（2）（ⅰ）事件：其中有一个球为红球的“对立事件”为：两个球均为白球，即为事件12B B ，()()()121213235410P B B P B P B B ==⨯=，所以在一个球为红球的前提下另一个球也为红球的概率()()1212111071710P A A P P B B ===-.（ⅱ）若不换：在取到的一个球为红球的前提下取到的另一个球也为红球的概率记为117P =；若换：换后取到红球的概率记为2161207737P =⨯+⨯=；由于12P P <，所以交换后摸到红球的概率更大，选择交换.18．(1)2214y x -=(2)【分析】（1）由双曲线的定义求解即可；（2）（ⅰ）设直线MN ：()11m x ny -+=，2214y x -=变形可得()()2241810x x y -+--=，两式联立，设1y k x =-，可知1k ，2k 是方程()28840k nk m --+=的两根，由根与系数的关系即可得出答案.（ⅱ）设直线AM ：()11y k x =-与12y x =-联立求出B x ，同理求出C x ，由此表示出BC ，由基本不等式求解即可.【详解】（1）因为12122PF PF F F -=<，所以根据双曲线的定义可知点P 的轨迹为以1F ，2F 为焦点，实轴长为2的双曲线，由22a =，c =，得1a =，2224b c a =-=，所以C 的方程为2214y x -=.（2）（ⅰ）设直线MN ：()11m x ny -+=（220m n +≠）因为直线过定点()3,1-，所以21m n -=.2214y x -=变形可得()224114x y ⎡⎤-+-=⎣⎦，即()()2241810x x y -+--=所以()()()22418110x x m x ny y ⎡⎤-+--+-=⎣⎦整理得()()()22841810m x n x y y +-+--=（*）设1y k x =-，则（*）式除以()21x -得28480m nk k ++-=此时1k ，2k 是方程()28840k nk m --+=的两根，所以1212884k k n k k m +=⎧⎨=--⎩，所以12122168816k k k k m n ++=--+=-，得证.（ⅱ）设直线AM ：()11y k x =-，由()1112y k x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，可得1112B kx k =+；设直线AN ：()21y k x =-，同理可得2212c k x k =+；2212111122111112222B C k BC x k k k k =-==--+=++++.由1212216k k k k ++=-得121131224k k ⎛⎫⎛⎫++=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以214231k BC ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+⋅，当且仅当2213124k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即212k -±=时取等号，故BC的最小值为31.【点睛】关键点点睛：设直线AM ：()11y k x =-与12y x =-联立求出B x ，同理求出C x ，由此表示出BC ，由基本不等式求解即可.19．(1)()680μ=，()9851μ=(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）12111111k p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【分析】（1）由268217=⨯，9851975=⨯，根据所给定义计算可得；（2）（ⅰ）依题意只考虑1p ，2p ，…，k p 中的若干个数的乘积构成的因数，从k 个质数中任选i ()1,2,,i k =⋅⋅⋅个数的乘积一共有C ik 种结果，再由组合数公式计算可得；（ⅱ）由（ⅰ）分析可知，因此1212k r r rk n p p p =⋅⋅⋅的所有因数除1之外，只考虑1p ，2p ，…，k p 中的若干个数的乘积构成的因数，即可推导出111k k kx x p -=-，最后利用累乘法计算可得.【详解】（1）因为268217=⨯，因为2的指数21>，所以()680μ=；又9851975=⨯，易知2k =，1197p =，25p =，11r =，21r =，所以()()298511μ=-=；（2）（ⅰ）i a ()1,2,,i m =⋅⋅⋅的因数中如有平方数，根据莫比乌斯函数的定义，()0i a μ=，因此1212k r r rk n p p p =⋅⋅⋅的所有因数除1之外，只考虑1p ，2p ，…，k p 中的若干个数的乘积构成的因数，从k 个质数中任选i ()1,2,,i k =⋅⋅⋅个数的乘积一共有C ik 种结果，所以()()()()121m a a a μμμμ+++⋅⋅⋅+()()()()()()()12122311k k k p p p p p p p p p μμμμμμμ-⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⎣⎦⎣⎦()12k p p p μ+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅01211211C C C C C C C C C 2k k k k kk k k k k k k k k --=+++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅++=.（ⅱ）方法一：由（ⅰ）知，因此1212k r r rk n p p p =⋅⋅⋅的所有因数除1之外，只考虑1p ，2p ，…，k p 中的若干个数的乘积构成的因数，所以()()()1212m ma a a a a a μμμ++⋅⋅⋅+()()()()()()()1212231121223111k k k k k k p p p p p p p p p p p p p p p p p p μμμμμμμ--⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()()222121212122311211111111kk kk k k k p p p p p p p p p p p p p p p p p p μ-⎡⎤⋅⋅⋅----⎡⎤---+⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦.令()()()()22212122311211111111kk k k k k x p p p p p p p p p p p p -⎡⎤----⎡⎤---=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎢⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则()()()()2221112112232112111111111k k k k k k x p p p p p p p p p p p p ------⎡⎤----⎡⎤---=+++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （2k ≥，*N k ∈），所以()()()()()()22233311211223211211111111(1)kk k k k k k k k k k k k kx p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p ----⎡⎤⎡⎤---------⋅=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⎢⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.所以111k k k k x x x p ---⋅+=，111k k kx x p -=-.因为1111x p =-，所以12112112111111111k k k k k k k x x x x x x x x p p p p ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.方法二：()()()1212m ma a a a a a μμμ++⋅⋅⋅+()()()()()()()1212231121223111k k k k k k p p p p p p p p p p p p p p p p p p μμμμμμμ--⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()()()2221212121223112111111111kk k k k k k p p p p p p p p p p p p p p p p p p μμ-⎡⎤⋅⋅⋅----⎡⎤---+⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()22212122311211111111kk k k k p p p p p p p p p p p p -⎡⎤----⎡⎤---=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦.由展开式原理可知，12111111k p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的展开式即为上式所求.【点睛】关键点点睛：本题关键是理解题干所给定义，得到1212k r r rk n p p p =⋅⋅⋅的所有因数除1之外，只考虑1p ，2p ，…，k p 中的若干个数的乘积构成的因数.。
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关于做好2010年招飞初检工作的通知
各完全中学、高级中学：
2010年无锡市招飞初检工作于11月4日（周三）上午在无锡市学生体检中心（无锡市解放东路866号）进行，10月26日经过我办对各校报名考生的初选，有31名考生符合上站初检条件。
初检内容包括体检、政审谈话，现将有关事项通知如下：
一、各校应对上站体检学生进行一次安全和纪律教育，服从招办和空军体检人员安排，测试视力时手势要准确、到位。
二、参加检测的学生，须带身份证、户口簿、《空军招飞体检预
选初检表》，穿运动鞋（胶鞋、旅游鞋均可），注意做好个人卫生（洗澡、理发等）。
家长一律不准送陪。
《空军招飞体检预选初检表》上有关栏目必须填写清楚、正确，不得遗漏项目，一定要有校医签名、学校公章，将照片的边框剪掉，贴好照片。
三、各校要按填写说明，根据初检上站人数，重新详细填写《2010年空军选拔高中生飞行学员报名推荐表》所有内容，打印后加盖学校公章后带至无锡。
“户口所在地派出所”不能填错，要填写全称；“高考估分”要在客观的情况下作适当提高。
四、各校学生均不再统一到招办集中，根据《2010年招飞体检车辆安排表》上的安排，自行确定出发时间，几所学校合乘一辆车的，事先一定要商量好上车时间、地点，必须保证在8：15到达体检地点，8：20正式开始体检。
体检结束后，学生原车返回，各带队老师负责本车学生的集中、安全事宜。
以上事项请各校及时传达到有关学生。
附：《各校初检上站学生名单》
《2010年招飞体检车辆安排表》
宜兴市高校招生办公室
二00九年十月二十七日
2010年招飞初检上站学生名单
(共计31人)
一、张渚高级中学：2人
夏劲、丁鹏程
二、官林中学：4人
路心资、蒋灿飞、王涛、杨文杰
三、和桥高级中学：5人
张科杰、仲涛、浦晨阳、殷蒋杰、吴文轩
四、丁蜀高级中学：2人
陈杰、许望
五、东山高级中学：3人
周翔、堵烜浩、周炜
六、铜峰中学：2人
许康、陈庭栋
七、阳羡高级中学：1人
孙寒
八、江苏省宜兴中学：5人
缪云杰、郭志文、路哲宇、堵衡、顾一帆
九、江苏省宜兴第一中学：1人
林康
十、汇文中学：6人
袁博、张泽、吴雨竹、李峰、陆珲、蒋达
附表
2010年招飞初检车辆安排表。