随机过程作业(2)

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随机过程——泊松过程(习题讲解)

n 0 k 1
n ( x t )n
n!
e ( x t )
因此，
dP( Sn k
k 1 n ( x t )n ( x t ) d 1 e k k 1 n! x | N (t ) n) n 0 ( x t ) e ( x t ) dx dx (k 1)!
即，在 N (t ) n 条件下，在时刻 t 之后首次事件发生的平均时间为 t

1 .
下面求 E{Sn k | N (t ) n} ，（ k 1）： E ( Sn k | N (t ) n)

t
xdP(Sn k x | N (t ) n) ，而
由于在 N(t)=n 的条件下，n 个到达时刻 < < …< 区间 [0 ， t] 上均匀分布
（）<
与时间
,
,… ，
的顺序统计量
<…<
有相同分布，所以
故
= 习题九：假设车站有两辆客车准备开出，乘客以速率为泊松过程登上 A 车，当 A 车坐满的事件，乘客以速率为的
个乘客就开出；与此独立
P( Sn k x, N (t ) n) P( N ( x) N (t ) k , N (t ) n) P( N (t ) n) P( N (t ) n) P( N ( x) N (t ) k ) P( N (t ) n) P( N ( x t ) k ) 1 P( N ( x t ) k 1) P( N (t ) n) P( Sn k x | N (t ) n) 1
t
e ( x t )

随机过程习题及部分解答【直接打印】

随机过程习题及部分解答习题一1. 若随机过程()(),X t X t At t =-∞<<+∞为，式中A 为（0，1）上均匀分布的随机变量，求X (t )的一维概率密度(;)X P x t 。

2. 设随机过程()cos(),X t A t t R ωθ=+∈，其中振幅A 及角频率ω均为常数，相位θ是在[,]ππ-上服从均匀分布的随机变量，求X (t )的一维分布。

习题二1. 若随机过程X (t )为X (t )=At t -∞<<+∞，式中A 为（0,1）上均匀分布的随机变量，求12[()],(,)X E X t R t t2. 给定一随机过程X (t )和常数a ，试以X (t )的相关函数表示随机过程()()()Y t X t a X t =+-的自相关函数。

3. 已知随机过程X (t )的均值M X (t )和协方差函数12(,),()X C i t t ϕ是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+的均值和协方差函数。

4. 设()cos sin X t A at B at =+，其中A ，B 是相互独立且服从同一高斯（正态）分布2(0,)N σ的随机变量，a 为常数，试求X (t )的值与相关函数。

习题三1. 试证3.1节均方收敛的性质。

2. 证明：若(),;(),X t t T Y t t T ∈∈均方可微，a ,b 为任意常数，则()()aX t bY t +也是均方可微，且有[()()]()()aX t bY t aX t bY t '''+=+3. 证明：若(),X t t T ∈均方可微，()f t 是普通的可微函数，则()()f t X t 均方可微且[()()]()()()()f t X t f t X t f t X t '''=+4. 证明：设()[,]X t a b 在上均方可微，且()[,]X t a b '在上均方连续，则有()()()b aX t dt X b X a '=-⎰5. 证明，设(),[,];(),[,]X t t T a b Y t t T a b ∈=∈=为两个随机过程，且在T 上均方可积，αβ和为常数，则有[()()]()()b b baaaX t Y t dt X t dt Y t dt αβαβ+=+⎰⎰⎰()()(),b c baacaX t dt X t dt X t dt a c b =+⎰⎰⎰≤≤6. 求随机微分方程()()()[0,](0)0X t aX t Y t t X '+=∈+∞⎧⎨=⎩的()X t 数学期望[()]E X t 。

（完整版）随机过程习题答案

（完整版）随机过程习题答案随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的⼀维概率密度、均值和相关函数。

解因)1,0(~N V，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的⼀维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的⼀维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。

解对于任意0>t，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的⼀维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X 2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷⼀枚均匀的硬币做实验，定义随机过程=时刻抛得反⾯时刻抛得正⾯t t t t t X ,2),cos()(π试求：（1）)(t X 的⼀维分布函数),1(),21(x F x F 和；（2）)(t X 的⼆维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，⽅差 )1(),(22X Xt σσ。

《随机过程概论》第2章随机信号的基本概念作业

第2章随机信号的基本概念作业
2-1、已知随机信号()0cos X t A t ω=，其中0ω 为常数，随机变量A 服从标准高斯分布。

求00
0,,32t ππωω=三个时刻()X t 的一维概率密度。

2-2、已知随机信号()X
t A Bt =+，其中,A B 皆为已知的随机变量。

①求随机信号()X t 的期望()E X t ⎡⎤⎣⎦和自相关函数()12,X R t t ；②若已知随机变量,A B 相互独立，试用,A B 的概率密度()A f a 和()B f b 来表示()X t 的一维概率密度();X f x t 。

2-3、两个随机信号()()0sin X
t t ω=+Φ与()()0cos Y t t ω=+Φ，其中0ω为常数，随机变量Φ服从[]0,2π的均匀分布；试求：
①两个随机信号的互相关函数()12,XY
R t t ； ②讨论两个随机信号的正交的条件，并且判定正交条件下它们的互不相关性与统计独立性。

2-4、设随机信号()00cos sin X t A t B t ωω=+，其中0ω为常数，,A B 是两个
线性无关的高斯随机变量，且期望都为0，方差为2σ，求()X
t 的一维概率密度函数。

随机过程作业和答案第一二章

随机过程作业第一章 P9例题6：随机过程X(t)=A+Bt, t ≥0, 其中A 和B 是独立随机变量，分布服从正态分布N(0, 1)。

求X(t)的一维和二维分布。

解先求一维分布。

当t 固定，X(t)是随机变量，因为 EX(t)=EA+tEB=0, DX(t)=DA+2t DB=1+2t故X(t)具有正态分布N(0, 1+2t )。

这亦是随机过程X(t)的一维分布。

再求二维分布。

当1t , 2t 固定， X(1t )=A+B 1t , X(2t )=A+B 2t因A 、B 独立同正态分布，故(A, B)T 亦为二维正态分布。

则其线性变换也服从正态分布。

且所以二维分布是数学期望为(0, 0)T,协方差矩阵的二维正态分布。

P10例题7：随机过程X(t)=Acost, -∞<t<∞,其中A 是随机变量,且有分布列 A 1 2 3 P 1/3 1/3 1/3 求 (1) 一维分布函数(2) 二维分布函数解 (1) 先求所以222211211)DX(t ,1)DX(t , 0)EX(t ,0)(t t t EX +=+===212121211))(())()X(t ())X(t ),(cov(t t Bt A Bt A E t X E t X +=++==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++222121211111t t t t t t )3π,0x x F )2πF(x;x F ;,( ),4;(21π( ;) 4F x π。

X()cos ,442A A ππ==显然，三值，，易知它仅取2232 22{()42P X π=={cos 42P A π==1P{A 1},3==31}223)4({ ,31 }2)4({====ππX P X P 同理，⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<= 2 23 x 1,2 23x 2 ,32 2 x 22 ,3122 x 0 )4; ( ，πx F进而有P18例题1：具有随机初相位的简谐波其中a 与是正常数，而服从在区间[0，2 ]上的均匀分布，求X(t)的数学期望方差和相关函数。

清华大学随机过程作业答案

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3
参考答案:
(1) |X1|, |X2|, |X3|, ... 满足 Markov 性，可以严格证明：P (|Xn+1| = xn+1||X1| = x1, ..., |Xn| = xn) = P (|Xn+1| = xn+1||Xn| = xn)。当 |Xn| = 0 时，必有：|Xn+1| = 1,P (|Xn+1| = 1||X1| = x1, ..., |Xn| = 0) = 1 = P (|Xn+1| = 1||Xn| = 0) 当 |Xn| = xn ̸= 0 ∨ m 时，则 |Xn+1| = xn+1 必须取值为 |Xn| ± 1
=
(i1,
i2),
Zt−1
=
(xt−1,
yt−1),
·
·
·
,
Z1
=
(x1,
y1)}
=
2
0
0 < i1 = i2 < m 其他

1
P {Zt+1
=
(i1,
i2)|Zt
=
(i1,
i2),
Zt−1
=
(xt−1,
yt−1),
·
·
·
,
Z1
=
(x1,
y1)}
=
2
0
i1 = i2 = m 其他

2. 设一个离散时间、离散状态的随机过程 {Xn, n ⩾ 1} 满足
X1, · · · , Xn−1⊥Xn+1|Xn, ∀n > 1
则成立

随机过程作业

0
1
0
平稳分布,且证明其唯一性.
第三章平稳随机过程第五次作业
9
学号
专业
姓名
作业号
3.2
设 U 是随机变量 , 随机过程 X (t= ) U , −∞ < t < ∞ .(1) X (t ) 是严平稳过程吗 ? 为什么 ?(2) 如果
3.4
设随机过程 X (t )=U cos ωt + V sin ωt , −∞ < t < ∞ , 其中 , U 与 V 相互独立 , 且都服从正态分布
1.20
设 { X n , n ≥ 1} 是参数为 p 的贝努利过程.试求协方差 Cov( X 2 − X 1 , X 3 − X 2 ) ,并由此证明 X n 不是独
立增量过程.
2 2 2 1.16 设复随机过程 Z = (t ) X (t ) + iY (t ) .试证 σ = σX (t ) + σ Y (t ) , RZ (t1 , t2 ) = [ RX (t1 , t2 ) + RY (t1 , t2 )] −i [ RXY (t1 , t2 ) − Z (t )
= EU µ = , DU σ 2 , 试证 X (t ) 的相关函数是常数.
N (0,1) .(1) X (t ) 是平稳过程吗?为什么?(2) X (t ) 是严平稳过程吗?为什么?
1.2
通过丢一颗骰子定义一个随机过程 { X (t ), −∞ < t < ∞} ,其中 X (t ) =
U Pr
1 2 3 1/3 1/3 1/3
t , 出现点数六 ; 试求随机过 2 否则 . t ,

（解答）《随机过程》第二章习题

（解答）《随机过程》第二章习题第二章 Markov 过程习题解答1、设}1,{≥n n ξ为相互独立同分布的随机变量序列，其分布为：01}0{,0}1{>-===>==p q P p P n n ξξ定义随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 如下：=========----;1,1,3;0,1,2;1,0,1;0,0,01111n nn n n n n nn X ξξξξξξξξ ===-;,1;0,0,01其它n n n Y ξξ试问随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 是否为马氏链？如果是的话，请写出其一步转移概率矩阵并研究各个状态的性质。

不是的话，请说明理由。

解：（1）显然，随机序列}2,{≥n X n 的状态空间为}3,2,1,0{=S 。

任意取S i i i j i n ∈-132,,,,, ，由于当i X n =给定时，即1,-n n ξξ的值给定时，就可以确定1+n X 的概率特性，即我们有：}{},,,,{12233111i X j X P i X i X i X i X j X P n n n n n n ========+--+因此}2,{≥n X n 是齐次马氏链，其一步转移概率矩阵为：=p qp q p q p qP 0000000 由于01,0>-=>p q p ，画出状态转移图，可知各个状态都相通，且都是非周期的，因此此链是不可约的遍历链。

（也可以利用02>P 判定此链是不可约的遍历链）（2）显然，}2,{≥n Y n 的状态空间为}1,0{=S ，由于：}1,1{}1,1,0{}1,10{23234234=========Y Y P Y Y Y P Y Y Y P}0,1{}0,1,0{}0,10{23234234=========Y Y P Y Y Y P Y Y Y P由}2,{≥n Y n 的定义，可知}1,1,1{}1,1,0{}0,1,1{}0,1,0{}1,0,1{}1,1{12312312312312323=== =========?======ξξξξξξξξξξξξξξξY Y}1,1,0,0{}0,1,0,0{}1,1,0{12341234234====?========ξξξξξξξξY Y Y}0,0,1{}0,1{12323======ξξξY Y ， ?====}0,1,0{234Y Y Y利用}1,{≥n n ξ是相互独立同分布的随机变量序列及其分布，我们有：322233}1,1{q q p pq Y Y P ++=== 223234}1,1,0{q p pq Y Y Y P +==== 223}0,1{pq Y Y P ===0}0,1,0{234====Y Y Y P即有：22222343}1,10{q p pq qp pq Y Y Y P +++==== 0}0,10{234====Y Y Y P由于01,0>-=>p q p ，因此有}0,10{}1,10{234234===≠===Y Y Y P Y Y Y P根据马氏链的定义可知}2,{≥n Y n 不是马氏链。

随机过程课后习题14页word文档

1．设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,...k P X k pq k ===。

求X 的特征函数、EX 及DX 。

其中01,1p q p <<=-是已知参数。

2．（1）求参数为（p,b ）的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为（2）求其期望和方差；（3）证明对具有相同的参数b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。

3．设X 是一随机变量，F （x ）是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。

（1）(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数；（2）Z=ln F()X ，并求()k E Z （k 为自然数）。

4．设12,,...,n X X X 相互独立，具有相同的几何分布，试求的分布。

5．试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。

6．试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。

7．设12,,...,n X X X 相互独立同服从正态分布2(,)N a σ，试求n 维随机向量12,,...,n X X X 的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求的概率密度函数。

8．设X 、Y 相互独立，且（1）分别具有参数为(m, p)及(n, p)的二项分布；（2）分别服从参数为12(,),(,)p b p b 的Γ分布。

求X+Y 的分布。

9．已知随机向量（X, Y ）的概率密度函数为试求其特征函数。

10．已知四维随机向量X ,X ,X ,X 1234（）服从正态分布，均值向量为0，协方差矩阵为B σ⨯kl 44=()，求(X ,X ,X ,X E 1234)。

11．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从(0,1)N ，试求随机变量112Y X X =+和213Y X X =+组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。

12．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从2(0,)N σ，试求：（1）随机向量(X 1, X 2, X 3)的特征函数；（2）设112123123,,S X S X X S X X X ==+=++，求随机向量(S 1, S 2, S 3)的特征函数；（3）121Y X X =-和232Y X X =-组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。

随机过程习题解答第1,2章

习题11. 令X(t)为二阶矩存在的随机过程，试证它是宽平稳的当且仅当EX(s)与E[X(s)X(s+t)]都不依赖s.证明：充分性：若X(t)为宽平稳的，则由定义知EX(t)=μ， EX(s)X(s+t)=r(t) 均与s 无关必要性：若EX(s)与EX(s)X(s+t)都与s 无关，说明EX(t)=常数， EX(s)X(s+t)为t 的函数2. 记1U ，．．．，n U 为在（０,１）中均匀分布的独立随机变量，对0 < t , x < 1定义I( t , x)=⎩⎨⎧>≤，，，，t x t x 01并记X(t)=),(11∑=nk k U t I n ，10≤≤t ，这是1U ，．．．，n U 的经验分布函数。

试求过程X （t ）的均值和协方差函数。

解： EI ()k U t ,= P ()t U k ≤= t ， D()),(k U t I = EI ()k U t ,－()2),(kU t EI= t －2t = t(1－t)j k ≠， cov ()),(),(j k U s I U t I ，=EI(t,k U )I(s,j U )－EI(t, k U )EI(s, j U ) = st －st=0k = j ， cov ()),(),(j k U s I U t I ，= EI(t,k U )I(s,j U )－st = min(t,s)－stEX(t)=),(11∑=n k k U t EI n =∑=nk tn 11= tcov ())(),(s X t X =()()),(),,(cov 1),(),,(cov 1212j kjk nk k k U s I Ut I n U s I U t I n ∑∑≠=+=[]∑=nk st t s n12),min(1－=()st t s n－),min(13.令1Z ，2Z 为独立的正态分布随机变量，均值为0，方差为2σ，λ为实数，定义过程()t Sin Z t Cos Z t X λλ21+=.试求()t X 的均值函数和协方差函数，它是宽平稳的吗？Solution: ()221,0~,σN Z Z . 02221==EZ EZ .()()221σ==Z D Z D ，()0,21=Z Z Cov ,()0=t EX ，()()()()()[]s Sin Z s Cos Z t Sin Z t Cos Z E s X t X Cov λλλλ2121,+⋅+=[]t C o s S i n Z Z s t S i n C o s Z Z s t S i n S i n Z t C o s C o s Z E λλλλλλλλ12212221+++=()02++=s t S i n S i n s t C o s C o s λλλλσ =()[]λσs t Cos -2(){}t X 为宽平稳过程.4.Poisson 过程()0,≥t t X 满足（i ）()00=X ；(ii)对s t >，()()s X t X -服从均值为()s t -λ的Poisson 分布；（iii ）过程是有独立增量的.试求其均值函数和协方差函数.它是宽平稳的吗？Solution ()()()()t X t X E t EX λ=-=0，()()t t X D λ= ()()()()()s t s X t EX s X t X Cov λλ⋅-=,()()()()()ts s EX s X s X t X E 22λ-+-= ()()()()ts s EX s X D 220λ-++=()ts s s 22λλλ-+=()t s s λλλ-+=1 显然()t X 不是宽平稳的.5. ()t X 为第4题中的Poisson 过程，记()()()t X t X t y -+=1，试求过程()t y 的均值函数和协方差函数，并研究其平稳性. Solution ()λλ=⋅=1t Ey , ()()λ=t y DCov(y(t),y(s))=Ey(t)y(s)-Ey(t)y(s)=E(x(t+1)-x(t))(x(s+1)-x(s))-λ2(1)若s+1<t, 即s≤t-1，则Cov(y(t),y(s))=0-λ2=-λ2(2)若t<s+1≤t+1, 即t>s>t-1, 则Cov(y(t),y(s))=E[x(t+1)-x(s+1)+x(s+1)-x(t)][x(s+1)-x(t)+x(t)-x(s)] -λ2=E(x(t+1)-x(s+1))(x(s+1)-x(t))+E(x(t+1)-x(s+1))(x(t)-x(s))+E(x(s+1)-x(t))+E(x(s+1)-x(t))(x(t)-x(s))- λ2=λ(s+1-t)= λ-λ(t-s)- λ2(3) 若t<s<t+1Cov(y(t),y(s))= E [x(t+1)-x(s)+x(s)-x(t)] [x(s+1)-x(t+1)+x(t+1)-x(s)]- λ2 =(x(t+1)-x(s))(x(s+1)-x(t+1))+E(x(t+1)-x(s))(x(t+1)-x(s))+E(x(s)-x(t))(x(s+1)-x(t+1))+E(x(s)-x(t))(x(t+1)-x(s))- λ2=0+λ(t+1-s)+0-λ2=λ+λ(t-s)- λ2(4) 若s>t+1 Cov(y(t),y(s))=0-λ2=-λ2由此知，故方差只与t-s有关，与t,s无关故此过程为宽平稳的。

随机过程作业(全部)

作业1（随机过程的基本概念）1、对于给定的随机过程{(),}X t t T ∈及实数x ，定义随机过程1,()()0,()X t xY t X t x≤⎧=⎨>⎩，t T ∈ 请将{(),}Y t t T ∈的均值函数和相关函数用{(),}X t t T ∈的一维和二维分布函数表示。

2、设(),Z t X Yt t R =+∀∈，其中随机变量X ，Y 相互独立且都服从2(0,)N σ，证明{(),}Z t t R ∀∈是正态过程，并求其相关函数。

3、设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的Wiener 过程，求下列过程的协方差函数：（1）{(),0}W t At t +≥，其中A 为常数；（2）{(),0}W t Xt t +≥，其中(0,1)X N ，且与{(),0}W t t ≥相互独立；（3）2{(),0}taW t a ≥，其中a 为正常数；（4）1{(),0}tW t t≥作业2（泊松过程）1、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，令()()()Y t N t L N t =+-，其中L>0为常数，求{(),0}Y t t ≥的一维分布，均值函数和相关函数。

2、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，证明对于任意的0s t ≤<，(()|())()(1),0,1,,k kn k n s s P N s k N t n C k n t t-===-=作业3 （更新过程）1 设{(t),0}N t ≥是更新过程，更新间距,1,2,i X i = 服从参数为λ的指数分布，则(t),0N t ≥是服从参数为λ的Poisson 分布。

2 某收音机使用一节电池供电，当电池失效时，立即换一节同型号新电池。

如果电池的寿命服从30小时到60小时的均匀分布，问长时间工作情况下该收音机更换电池的速率是多少？若没有备用电池，当收音机失效时，立即在市场上采购同型号电池，获得新电池的时间服从0小时到1小时的均匀分布，求在长时间工作的情况下，更换电池的速率。

随机过程习题答案

随机过程复习题一、填空题：1．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ，)()]()([12123t t t X t X E -=-，则15486}6)5(,4)3(,2)1({-====e X X X P ,618}4)3(|6)5({-===e X X P2. 已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(412141，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=43410313131043411)(P 则167)2(12=P ，161}2,2,1{210====X X X P 3．强度λ的泊松过程的协方差函数},min{),(t s t s C X λ= 4．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ，则)]()([)(πωδπωδπω-++=X S5.对于平稳过程X (t)若)()]()([)()(τττX R t X t X E t X t X =+>=+<以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。

6.已知平稳过程)(t X 的谱密度为23242++=ωωωω)(S ，则)(t X 的均方值=2222- 7. 随机相位过程),cos()(Θω+=t a t X 其中ω,a 为常数，Θ为),(π20上服从均匀分布的随机变量，则0)(>=<t X ，ωττcos 2)()(2a t X t X >=+<8．设马尔可夫链},2,1,0,{ =n X n 的状态空间}1,0{=I ，则一步转移概率矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=9.01.01.09.0P ，初始分布为)31,32()0(=p ，则2X 的分布律为 (2)P = (0.547,0.453)，234(1,1,0)________P X X X ====0.099.设...)2,1,0(=n Xn是只有两个状态的齐次马氏链，其n步转移概率矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n nD C n P 21311)(，则n n C D ==nn 21,31二、计算与证明：1．设任意相继两天中，雨天转晴天的概率为31，晴天转雨天的概率为21，任一天晴或雨是互为逆事件，以0表示晴天状态，以1表示雨天状态，nX 表示第n 天的状态（0或1）。

Solution_2随机过程作业

since P (A > B, A > C ) = P (A is the eldest child) = 1/3 (unconditionally, any of the 3 children is equally likely to be the eldest). 2. Two coins are in a hat. The coins look alike, but one coin is fair (with probability 1/2 of Heads), while the other coin is biased, with probability 1/4 of Heads. One of the coins is randomly pulled from the hat, without knowing which of the two it is. Call the chosen coin “Coin C”. (a) Coin C is tossed twice, showing Heads both times. Given this information, what is the probability that Coin C is the fair coin?
G: the man is guilty of murdering his wife M : the wife was murdered A: the man abused his wife
The relevant probability is P (G|A, M ). We are given that P (A|G, M ) = 0.5, P (G|M ) = 0.2, P (A|Gc , M ) = 0.1. P (G|A, M ) = P (A|G, M )P (G|M ) P (A|G, M )P (G|M ) = P (A|G, M )P (G|M ) + P (A|Gc , M )P (Gc |M ) P (A|M ) 0.5 · 0.2 5 = . 0.5 · 0.2 + 0.1 · 0.8 9

随机过程2016作业及答案2

(This is Bayes’ Rule, where the probabilities are all taken as conditional M .) So P (G|A, M ) =
This means that the evidence of abuse raised the probability of guilt from 20% to 56%, certainly important evidence. Since the woman was indeed murdered, it is crucial to condition on that information when weighing other evidence. 4. A family has two children. Assume that birth month is independent of gender, with boys and girls equally likely and all months equally likely, and assume that the elder child’s characteristics are independent of the younger child’s characteristics). (a) Find the probability that both are girls, given that the elder child is a girl who was born in March. Let Gj be the event that the j th born child is a girl and Mj be the event that the j th born child was born in March, for j 2 {1, 2}. Then P (G1 \ G2 |G1 \ M1 ) = P (G2 |G1 \ M1 ), since if we know that G1 occurs, then G1 \ G2 occurring is the same thing as G2 occurring. By independence of the characteristics of the children, P (G2 |G1 \ M1 ) = P (G2 ) = 1/2.

随机过程课后习题Word版

习题一1．设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,...k P X k pq k ===。

求X 的特征函数、EX 及DX 。

其中01,1p q p <<=-是已知参数。

3．设X 是一随机变量，F （x ）是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。

（1）(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数；（2）Z=ln F()X ，并求()k E Z （k 为自然数）。

4．设12,,...,n X X X 相互独立，具有相同的几何分布，试求的分布。

5．试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。

6．试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。

7．设12,,...,n X X X 相互独立同服从正态分布2(,)N a σ，试求n 维随机向量12,,...,n X X X 的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求的概率密度函数。

8．设X 、Y 相互独立，且（1）分别具有参数为(m, p)及(n, p)的二项分布；（2）分别服从参数为12(,),(,)p b p b 的Γ分布。

求X+Y 的分布。

9．已知随机向量（X, Y ）的概率密度函数为试求其特征函数。

10．已知四维随机向量X ,X ,X ,X 1234（）服从正态分布，均值向量为0，协方差矩阵为B σ⨯kl 44=()，求(X ,X ,X ,X E 1234)。

11．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从(0,1)N ，试求随机变量112Y X X =+和213Y X X =+组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。

12．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从2(0,)N σ，试求：1,0()0,0()p p bxb x e x p x p x --⎧>⎪Γ⎨⎪≤⎩=0,0b p >>1nkk X =∑(1)()(1)jt jnt jt e e f t n e -=-21()1f t t=+11ni i X X n ==∑221[1()],1,1(,)40,xy x y x y p x y ⎧+--<<⎪=⎨⎪⎩其他（1）随机向量(X 1, X 2, X 3)的特征函数；（2）设112123123,,S X S X X S X X X ==+=++，求随机向量(S 1, S 2, S 3)的特征函数；（3）121Y X X =-和232Y X X =-组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。

随机过程作业(2)

要求：前六个题每人选3个，第7题到第14题每人任选1个。

第三章Poisson 过程1、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，令()()()Y t N t L N t =+-，其中L>0为常数，求{(),0}Y t t ≥的一维分布，均值函数和相关函数。

2、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，证明对于任意的0s t ≤<，(()|())()(1),0,1,,k k n k n s s P N s k N t n C k n t t-===-= 3、设有两个相互独立，强度分别为12,λλ的Poisson 过程12{(),0},{(),0}N t t N t t ≥≥，证明在过程1{(),0}N t t ≥中两个相邻事件间，过程2{(),0}N t t ≥出现k 个事件的概率为121212(),0,1,2,k p k λλλλλλ==++4、设{(),0}X t t ≥复合Poisson 过程，证明{(),0}X t t ≥也是平稳独立增量过程。

5、对于齐次泊松过程，计算123,t t t ，的联合分布。

6、产生一个泊松随机变量。

设随机变量列12,,U U L 服从（0，1）上的的均匀分布，且相互独立：()a 若ln i i U X l-=,证明i X 服从参数为l 的指数分布； ()b 若N 定义为满足下式之n 值：111n n i i i i U e U l +-==吵照，其中011i i U =ºÕ 利用()a 证明N 服从均值为λ的泊松分布。

7、考虑一个从底层起动上升的电梯。

以i N 记在第i 层进入电梯的人数。

设i N 相互独立，且i N 是均值为i l 的泊松变量。

在第i 层进入的各个人相互独立地以概率ij p 在第j 层离开电梯。

ij j ip >å=1，令j O 为第j 层离开电梯的人数。

随机过程作业

随机过程作业南昌航空⼤学硕⼠研究⽣2009 / 2010学年第⼀学期考试卷1. 求随机相位正弦波()cos()X t a t ωθ=+，(,)t ∈-∞+∞，的均值函数，⽅差函数和⾃相关函数。

其中θ是在（-л，л）内均匀分布的随机变量2.()X t 是泊松过程，求出泊松过程的均值函数(),X m t ⽅差函数()X D t ，相关函数(,)X R s t 协⽅差函数(,)X B s t .3.设顾客到达商场的速率为2⼈/分钟，求: (i)在10分钟内顾客达到数的均值； (ii) 在10分钟内顾客达到数的⽅差； (iii)在10分钟内⾄少⼀个顾客达到的概率； (iv)在10分钟内到达顾客不超过3⼈的概率。

(12分)4.利⽤重复抛掷硬币的实验定义⼀个随机过程cos ,(){2,,t X t t π=出现正⾯，出现正⾯，(,)t ∈-∞+∞求:(i)()X t 的⼀维分布函数1(,),(,1);2F x F x (ii)()X t 的⼆维分布函数121(,,1);2F x x(iii)()X t 的均值函数(),(1),X X m t m ⽅差函数(),(1)X X D t D .(16分)5.设移民到某地区的居民户数是⼀泊松过程，平均每周有2户定居，如果每户的⼈⼝数是随机变量，⼀户4⼝⼈的概率是1/6,⼀户3⼝⼈的概率是1/3,⼀户2⼝⼈的概率是1/3,⼀户1⼝⼈的概率是1/6,并且每户的⼈⼝数是相互独⽴的，求2周内移民到该地区的⼈⼝数的期望和⽅6.设{,1}n X n ≥为有限齐次马尔可夫链，其初始分布和概率转移矩阵为01{},1,2,3,4.4i p P X i i ====11114444111144441111444411114444?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???, 求(i)201{4|1,14}P X X X ==<<,(ii) 21{4|14}P X X =<<(12分)7.设明天是否有⾬仅与今天的天⽓有关，⽽与过去的天⽓⽆关。

随机过程作业

随机过程作业定理、引理及推论部分定理 5.1（Champan-Kolmogorov 方程，简称C-K 方程）对一切n,m ≥0,i,j ∈S 有（1） p ()n m ij+=()()∑∈Sk n kjm ik p p ;（2）()()()nn n n ppp p pp p====-- 21....定理5.2 每个Markov 链}{,2,1,0:=n Yn都具有强的Markov 性；即，对每个停时τ，给定直到时刻τ的过去，之后过程Y }{,1,0:==++n Y n t t在}{∞τ上的分布是P Y .定理5.3 互通是一种等价关系，即满足：（1）自反性i ?i; （2）对称性i ?j,则j ?i ；（3）对称性i ?j ，j ?k,i ?k.定理5.4 若状态i,j 同属一类，则d ()i =d ()j . 定理5.5 状态i 为常返状态当且仅当)(n iin p ∑∞=0=∞；状态i 为非常返态时)(n iin p ∑∞=0=iif-11，因而此时)(.0lim=∞→n iin p引理5.1 对任意状态i,j 及1≤n +∞,有p()()()∑=-=nl l n jj l ij n ijf 1.引理5.2 若i ?j 且i 为常返态，则f .1=ii定理5.6 常返态是一个类性质.定理5.7 任意Markov 链的状态空间S ，可惟一分解为有限个或可列个互不相交的子集D,C 1,C,2之和，使得（1）每一个C n是常返状态组成的不可约闭集；（2） C n中的状态同类，或者全是正常返态，或者全是零常返态。

它们有相同的周期且f.,,1n iiC j i ∈=（3） D 由全体非常返态组成.自C n中状态出发不能到D 达中状态.定理5.8 周期为d 的不可约Markov 链，其状态空间S 可惟一地分解为d 个互不相交的子集之和，即 S=10-=d r S r , S,φ=?s rSr ≠s,且使得自S r中任意状态出发，经1步转移必进入中（其中S=d）.定理5.9 若状态i 是周期为d 的常返状态，则∞→n limp (),jndjjdμ=当∞=jμ时，=jdμ.推论5.1 设i 为常返状态，则i 为零常返状态?().0lim =∞→n iin p定理5.10 若j 为非常返状态或零常返状态，则对S i ∈?，().0lim =∞→n ii推论5.2 有限状态Markov 链，不可能全为非常返状态，也不可能有零常返状态，从而不可约的有限Markov 链是正常返的. 推论5.3 若Markov 链有一个零常返状态，则必有无限个零常返状态.定理5.11 若j 为正常返状态且周期为d ，则对i ?及0≤r ≤d-1,有()().lim jii r nd ijn dr f p μ=+∞→推论5.4 设不可约的、正常返的、周期为d 的Markov 链，其状态空间为S,则对任何状态i →j,i,j ,S ∈有,()sj n ijn S j i d p 同属于子集与若其他,,0lim ?=∞→μ引理5.3 设有非负数列{}na 的d 个子列{},1,2,1,0,-=+d s askd 如果对每一个s,存在极限∞→+=n s s kd b a ,lim.1111lims d s k nk n b da n∑∑-==∞→=定理5.12 对于任意状态i,j ,S ∈有()=∑=∞→.,,01lim1为正常返状态状态，为非常返状态或零常返j f j p njijk ijnk n μ推论5.5 如果{}nX 是不可约的、常返的，Markov 链（即每个状态都是常返的），则任意状态i,j ∈S,有().11jk ijnk n p nμ=∑=∞→定理5.13 对于不可约非周期的Markov 链:(1) 若它是遍历的，则()()S j p n ijn j∈=∞→0lim π是不变分布且是惟一的不变分布；(2) 若状态都是顺过的或全为零常返的，则不变分布不存在. 定义部分定义5.1（Markov 链）随机过程}{,2,1,0,=n X n称为Markov 链，若它只取有限或可列个值E ,0E,1(我们已{} ,2,1,0来标记E ,0E,,1它们是过程的状态，{} ,2,1,0或者其子集为S ，成为过程的状态空间).对任意的n ≥0及状态i,j,i,,,,110-n i i有P }{nnn n n i Xi Xi X i Xj X=====--+,.,|11,11001=P {}iXj Xnn ==+|1.定义5.2 （转移概率）称上式中的条件概率=P {}iXj Xnn ==+|1为Markov 链}{,2,1,0,=n Xn的一步转移概率，简称条件概率.定义 5.3 （时齐Markov 链）当Markov 链的转移概率P {}iXj Xnn ==+|1只与状态i,j 有关，而与n 无关时，称Markov链是时齐的，并记p =ijP {}iXj Xnn ==+|1(n 0≥);否则，就称之为非时齐的.定义5.4 （随机矩阵）若一个矩阵具有（1） p;,,0S j i ij∈≥（2）∑∈∈?=Sj ij S i p .,1性质，则称此矩阵为随机矩阵. 定义 5.5 （n 步转移概率）称条件概率p =ijP {}iXj Xnn ==+|1，i,j 1,0,≥≥∈n mS为Markov 链的n 步转移概率，相应的称P ()()()n ij n p =为n 步转移概率矩阵. 定义5.6 令}{,2,1,0:=n Yn是一个定义在概率空间()P Ω,,F 上的具有可数状态空间的随机过程，()P Ω,,F 上的广义随机变量（即可以取值+∞）τ称为一个停时，如果（1）τ只取非负整数值（包含+∞）；（2）对每个非负整数m ，事件()}{m ≤ωτω:完全由Y Y,0mY ,1确定.定义5.7 称状态i 可达状态j (),,S j i ∈若存在n 0≥使得()p记为i ?j.若同时有状态j ?i ，则称i 与j 互通，记为i ?j.定义5.8 若Markov 链只存在一个类，就称它是不可约的.否则称为可约的.定义5.9（周期性）若集合()}{0,1: n ijp n n ≥非空，则称它的最大公约数d=d ()i 为状态i 的周期,若d ,1 称i 是周期的;若d=1,称i 是非周期的.并特别规定上述集合为空集时,称i 的周期为无穷大.定义5.10 （常返性）对于任何状态i,j,以f ()n ij记从i 出发经n 步后首次到达j 的概率,则有f (),00=ijf ()}{.1,|1,,2,1,,0≥=-=≠==n iX n k j X j X P k n n ij令f(),1n ij n ijf ∑∞==,1=ij称状态j 为常返状态.若f,1 ij称j 为非常返状态或瞬过状态.定义5.11 对于常返态i,若,+∞ iμ则称i 为正常返态;若,+∞=iμ则称i为零常返状态.特别地，若i 为正常返且是非周期的，则称之为遍历状态.若i 是遍历状态，且f (),11=ii则称i 为吸收状态.此时显然.1=iμ定义5.12 对于Markov 链,概率分布}{Sj j∈,π称为不变的,若.ij i Si j p ππ∑∈=可见若Markov 链的初始分布P {}jp j X==0是不变分布,则X i的分布将是P }}{}{?==?====∑∑∈∈Sk i ij Si p p i X P iX j X P jX.|0011这与X 0的分布是相同的.依次递推,X,3,2,1,0,=n n将有相同的分布,这也是称{}S i p i∈,为不变分布的原因.定义5.13 称Markov 链是遍历的，如果所有状态相通且均是周期为1的正常返状态，对于遍历的Markov 链，极限()Sj p j n ijn ∈=∞→,lim π称为Markov 链的极限分布.。

随机过程作业(2)

随机过程——泊松过程(习题讲解)

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《随机过程概论》第2章 随机信号的基本概念 作业

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随机过程习题解答第1,2章

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