(浙江专用)高考数学第五章平面向量、复数2第2讲平面向量基本定理及坐标表示教学案

第2讲 平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2．(2)基底：不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21．(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2． 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0． [提醒] 当且仅当x 2y 2≠0时，a ∥b 与x 1x 2＝y 1y 2等价． 即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( ) (2)在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角为∠ABC .( ) (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( ) (5)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2 ，μ1＝μ2.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ [教材衍化]1．(必修4P99例8改编)若P 1(1，3)，P 2(4，0)且P 是线段P 1P 2的一个三等分点，则点P 的坐标为( )A ．(2，2)B ．(3，－1)C ．(2，2)或(3，－1)D ．(2，2)或(3，1)解析：选D.由题意得P 1P →＝13P 1P 2→或P 1P →＝23P 1P 2→，P 1P 2→＝(3，－3)．设P (x ，y )，则P 1P →＝(x－1，y －3)，当P 1P →＝13P 1P 2→时，(x －1，y －3)＝13(3，－3)，所以x ＝2，y ＝2，即P (2，2)；当P 1P →＝23P 1P 2→时，(x －1，y －3)＝23(3，－3)，所以x ＝3，y ＝1，即P (3，1)．故选D.2．(必修4P97例5改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5，6)，则顶点D 的坐标为________．解析：设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4，1)＝(5－x ，6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.答案：(1，5)3．(必修4P119A 组T9改编)已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n＝________．解析：由向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)， 得m a ＋n b ＝(2m －n ，3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)． 由m a ＋n b 与a －2b 共线， 得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12. 答案：－12[易错纠偏](1)忽视基底中基向量不共线致错； (2)弄不清单位向量反向的含义出错； (3)不正确运用平面向量基本定理出错．1．给出下列三个向量：a ＝(－2，3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，c ＝(－1，1)．在这三个向量中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为________．解析：易知a ∥b ，a 与c 不共线，b 与c 不共线，所以能构成基底的组数为2. 答案：22．已知A (－5，8)，B (7，3)，则与向量AB →反向的单位向量为________．解析：由已知得AB →＝(12，－5)，所以|AB →|＝13，因此与AB →反向的单位向量为－113AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，513. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，5133.如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为________．解析：因为E 为DC 的中点，所以AC →＝AB →＋AD →＝12AB →＋12AB →＋AD →＝12AB →＋DE →＋AD →＝12AB →＋AE →，即AE →＝－12AB →＋AC →，所以λ＝－12，μ＝1，所以λ＋μ＝12.答案：12平面向量基本定理及其应用(1)已知平行四边形ABCD 中，点E ，F 满足AE →＝2EC →，BF →＝3FD →，则EF →＝________(用AB →，AD →表示)．(2)在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则实数t 的值为________．【解析】 (1)如图所示，AE →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)，BF →＝34BD →＝34(AD →－AB →)，所以EF →＝EA →＋AB→＋BF →＝－23(AB →＋AD →)＋AB →＋34(AD →－AB →)＝－512AB →＋112AD →.(2)因为CP →＝23CA →＋13CB →，所以3CP →＝2CA →＋CB →， 即2CP →－2CA →＝CB →－CP →， 所以2AP →＝PB →.即P 为AB 的一个三等分点(靠近A 点)，又因为A ，M ，Q 三点共线，设AM →＝λAQ →. 所以CM →＝AM →－AC →＝λAQ →－AC →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋12AC →－AC →＝λ2AB →＋λ－22AC→，又CM →＝tCP →＝t (AP →－AC →)＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－AC →＝t 3AB →－tAC →. 故⎩⎪⎨⎪⎧λ2＝t 3，λ－22＝－t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝34，λ＝12.故t 的值是34.【答案】 (1)－512AB →＋112AD → (2)341．(变问法)在本例(2)中，试用向量AB →，AC →表示CP →. 解：因为CP →＝23CA →＋13CB →，所以3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →， 2AP →＝PB →，所以AP →＝13AB →，CP →＝AP →－AC →＝13AB →－AC →.2．(变问法)在本例(2)中，试问点M 在AQ 的什么位置？解：由本例(2)的解析CM →＝λ2AB →＋λ－22AC →及λ＝12，CB →＝2CQ →知，CM →＝12λ(CB →－CA →)＋2－λ2CA →＝λ2CB →＋(1－λ)CA → ＝λCQ →＋(1－λ)CA →＝CQ →＋CA→2.因此点M 是AQ 的中点．平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．1．(2020·温州七校联考)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝1，且∠B ＝90°，∠BCD ＝135°.若向量AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22b B ．－2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22b C ．－2a ＋⎝⎛⎭⎪⎫1－22b D.2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22b 解析：选B.根据题意可得△ABC 为等腰直角三角形，由∠BCD ＝135°，得∠ACD ＝135°－45°＝90°.以B 为原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，并作DE ⊥y 轴于点E ，则△CDE 也为等腰直角三角形．由CD ＝1，得CE ＝ED ＝22，则A (1，0)，B (0，0)，C (0，1)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1＋22，所以AB →＝(－1，0)，AC →＝(－1，1)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1，1＋22.令AD →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，则有⎩⎪⎨⎪⎧－λ－μ＝22－1，μ＝1＋22，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝1＋22，则AD →＝－2a ＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋22b ，故选B.2．在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m n的值是________．解析：法一：根据题意可知△AFE ∽△CFB ，所以EF FB ＝AE CB ＝12，故EF →＝12FB →＝13EB →＝13(AB →－AE →)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－12AD →＝13AB →－16AD →，所以m n ＝13－16＝－2.法二：如图，AD →＝2AE →，EF →＝mAB →＋nAD →，所以AF →＝AE →＋EF →＝mAB →＋(2n＋1)AE →，因为F ，E ，B 三点共线，所以m ＋2n ＋1＝1，所以m n＝－2.答案：－2平面向量的坐标运算已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．【解】 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，因为CM →＝OM →－OC →＝3c ， 所以OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)． 所以M (0，20)．又因为CN →＝ON →－OC →＝－2b ，所以ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， 所以N (9，2)．所以MN →＝(9，－18)．向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．(3)妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →等于( )A ．(－2，7)B ．(－6，21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)解析：选B.BC →＝3PC →＝3(2PQ →－PA →)＝6PQ →－3PA →＝(6，30)－(12，9)＝(－6，21)．平面向量共线的坐标表示(高频考点)平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属容易题．主要命题角度有：(1)利用两向量共线求参数； (2)利用两向量共线求向量坐标； (3)三点共线问题．角度一 利用两向量共线求参数(2020·浙江省名校联考)已知向量a ＝(m ，1)，b ＝(1－n ，1)(其中m ，n 为正数)，若a∥b ，则1m ＋2n的最小值是( )A ．2 2B ．3 2C ．32＋2D ．22＋3【解析】 已知a ＝(m ，1)，b ＝(1－n ，1)(其中m ，n 为正数)，若a∥b ，则m －(1－n )＝0，即m ＋n ＝1.所以1m ＋2n ＝m ＋n m ＋2m ＋2n n ＝3＋n m ＋2m n≥3＋2n m ·2m n ＝3＋22，当且仅当n m ＝2mn时取等号，故1m ＋2n的最小值是3＋22，故选D.【答案】 D角度二 利用两向量共线求向量坐标已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1，1)，C (2，3)，|BC →|＝2|AC →|，则向量OB →的坐标是________．【解析】 由点C 是线段AB 上一点，|BC →|＝2|AC →|，得BC →＝－2AC →.设点B (x ，y )，则(2－x ，3－y )＝－2(1，2)，即⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝－2，3－y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝7.所以向量OB →的坐标是(4，7)． 【答案】 (4，7) 角度三 三点共线问题已知向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(－k ，10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23B.43C.12D.13【解析】 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →，AC →共线， 所以－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.【答案】 A(1)向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.(2)两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a＋b )”的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由题意得a ＋b ＝(2，2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6.当m ＝－6时，a ∥(a ＋b )，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充分必要条件．核心素养系列11 数学运算——平面向量与三角形的“四心”设O 为△ABC 所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a2sin A. (2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →.(4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0. 一、平面向量与三角形的“重心”问题已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝13[(1－λ)OA→＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)·OC →]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( )A ．△ABC 的内心B ．△ABC 的垂心 C ．△ABC 的重心D ．AB 边的中点【解析】 取AB 的中点D ，则2OD →＝OA →＋OB →， 因为OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]，所以OP →＝13[2(1－λ)OD →＋(1＋2λ)OC →]＝2（1－λ）3OD →＋1＋2λ3OC →， 而2（1－λ）3＋1＋2λ3＝1，所以P ，C ，D 三点共线， 所以点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心． 【答案】 C二、平面向量与三角形的“内心”问题在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOB →＋yOC →，其中x ，y ∈[0，1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( )A.1063 B.1463C ．4 3D ．6 2 【解析】 根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC 面积的2倍．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cosA ，得a ＝7.设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263，所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763.故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463.【答案】 B三、平面向量与三角形的“垂心”问题已知O 是平面上的一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．重心 B ．垂心 C ．外心D ．内心【解析】 因为OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ， 所以AP →＝OP →－OA →＝λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ， 所以BC →·AP →＝BC →·λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ＝λ(－|BC →|＋|BC →|)＝0，所以BC →⊥AP →，所以点P 在BC 的高线上，即动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心． 【答案】 B四、平面向量与三角形的“外心”问题已知在△ABC 中，AB ＝1，BC ＝6，AC ＝2，点O 为△ABC 的外心，若AO →＝xAB →＋yAC →，则有序实数对(x ，y )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35B.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45 【解析】 取AB 的中点M 和AC 的中点N ，连接OM ，ON ，则OM →⊥AB →，ON →⊥AC →， OM →＝AM →－AO →＝12AB →－(xAB →＋yAC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x AB →－yAC →，ON →＝AN →－AO →＝12AC →－(xAB →＋yAC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－y AC→－xAB →. 由OM →⊥AB →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x AB →2－yAC →·AB →＝0，①由ON →⊥AC →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－y AC →2－xAC →·AB →＝0，②又因为BC →2＝(AC →－AB →)2＝AC →2－2AC →·AB →＋AB 2→，所以AC →·AB →＝AC →2＋AB →2－BC→22＝－12，③把③代入①，②得⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ＋y ＝0，4＋x －8y ＝0，解得x ＝45，y ＝35.故实数对(x ，y )为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35.【答案】 A[基础题组练]1．已知a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1，2)，则c 等于( ) A ．－12a ＋32bB.12a －32b C ．－32a －12bD ．－32a ＋12b解析：选B.设c ＝λa ＋μb ，则(－1，2)＝λ(1，1)＋μ(1，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝－32，所以c ＝12a －32b .2．设向量a ＝(x ，1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．0解析：选B.因为a与b 方向相反，所以b ＝m a ，m <0，则有(4，x )＝m (x ，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0，所以m ＝－2，x ＝m ＝－2.3．已知A (1，4)，B (－3，2)，向量BC →＝(2，4)，D 为AC 的中点，则BD →＝( ) A ．(1，3) B ．(3，3) C ．(－3，－3)D ．(－1，－3)解析：选B.设C (x ，y )，则BC →＝(x ＋3，y －2)＝(2，4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，y －2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝6即C (－1，6)．由D 为AC 的中点可得点D 的坐标为(0，5)，所以BD →＝(0＋3，5－2)＝(3，3)．4．(2020·温州瑞安七中高考模拟)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝( )A ．－8B ．－4C ．4D ．2解析：选C.设正方形的边长为1，则易知c ＝(－1，－3)，a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)；因为c ＝λa ＋μb ，所以(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)， 解得λ＝－2，μ＝－12，故λμ＝4.5．已知非零不共线向量OA →，OB →，若2OP →＝xOA →＋yOB →，且PA →＝λAB →(λ∈R )，则点Q (x ，y )的轨迹方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0解析：选A.由PA →＝λAB →，得OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)，即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →.又2OP →＝xOA→＋yOB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y －2＝0，故选A.6．(2020·金华十校联考)已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(0，1)，(2，0)，(0，－2)，O 为坐标原点，动点P 满足|CP →|＝1，则|OA →＋OB →＋OP →|的最小值是( )A.3－1B.11－1C.3＋1D.11＋1解析：选A.设点P (x ，y )，动点P 满足|CP →|＝1可得x 2＋(y ＋2)2＝1. 根据OA →＋OB →＋OP →的坐标为(2＋x ，y ＋1)，可得|OA →＋OB →＋OP →|＝（x ＋2）2＋（y ＋1）2，表示点P (x ，y )与点Q (－2，－1)之间的距离．显然点Q 在圆C ：x 2＋(y ＋2)2＝1的外部，求得QC ＝3，|OA →＋OB →＋OP →|的最小值为QC －1＝3－1，故选A.7．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝________．解析：因为a ∥b ，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×12＝0，得cos 2θ＝12，所以cosθ＝±22，又因为θ为锐角，所以θ＝π4. 答案：π48．设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)，其中a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则ab 的最大值为________．解析：易知AB →＝(a －1，1)，AC →＝(－b －1，2)，由A ，B ，C 三点共线知AB →∥AC →，故2(a －1)－(－b －1)＝0，所以2a ＋b ＝1.由基本不等式可得1＝2a ＋b ≥22ab ，当且仅当2a ＝b 时等号成立，所以ab ≤18，即ab 的最大值为18.答案：189．(2020·台州质检)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，向量a ＝(cos C ，3b －c )，向量b ＝(cos A ，a )且a ∥b ，则tan A ＝________．解析：a ∥b ⇒(3b －c )cos A －a cos C ＝0，即3b cos A ＝c cos A ＋a cos C ，再由正弦定理得3sin B cos A ＝sin C cos A ＋cos C sin A ⇒3sin B cos A ＝sin(C ＋A )＝sin B ，即cos A ＝33，所以sin A ＝63，tan A ＝sin Acos A＝ 2. 答案： 210．如图，两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形，若直角边长为2，且AD →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________．解析：因为∠DEB ＝∠ABC ＝45°， 所以AB ∥DE ，过D 作AB ，AC 的垂线DM ，DN ， 则AN ＝DM ＝BM ＝BD ·sin 45°＝2， 所以DN ＝AM ＝AB ＋BM ＝2＋2，所以AD →＝AM →＋AN →＝2＋22AB →＋22AC →，所以λ＝2＋22，μ＝22，所以λ＋μ＝1＋ 2. 答案：1＋ 211．已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c ，2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，那么t 为何值时，C ，D ，E 三点在一条直线上？解：由题设，知CD →＝d －c ＝2b －3a ， CE →＝e －c ＝(t －3)a ＋t b .C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD →，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ， 整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b . ①若a ，b 共线，则t 可为任意实数；②若a ，b 不共线，则有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，2k －t ＝0，解之得t ＝65.综上，可知a ，b 共线时，t 可为任意实数；a ，b 不共线时，t ＝65.12．(2020·杭州市七校高三联考)在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是线段AB ，BC 的中点，且|DM |＝1，|DN |＝2，∠MDN ＝π3.(1)试用向量AB →，AD →表示向量DM →，DN →； (2)求|AB →|，|AD →|；(3)设O 为△ADM 的重心(三角形三条中线的交点)，若AO →＝xAD →＋yAM →，求x ，y 的值． 解：(1)如图所示， DM →＝DA →＋AM →＝12AB →－AD →； DN →＝DC →＋CN →＝AB →＋12CB →＝AB →－12AD →.(2)由(1)知AD →＝23DN →－43DM →，AB →＝43DN →－23DM →，所以|AD →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23DN →－43DM →2＝43， |AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43DN →－23DM →2＝2313. (3)由重心性质知：AO →＋DO →＋MO →＝0，所以有：0＝xAD →＋yAM →＋OA →＝x (AO →－DO →)＋y (AO →－MO →)－AO →＝(x ＋y －1)AO →＋(－x )DO →＋(－y )MO →. 所以(x ＋y －1)∶(－x )∶(－y )＝1∶1∶1⇒x ＝y ＝13.[综合题组练]1．(2020·宁波诺丁汉大学附中期中考试)在△ABC 中，BC ＝7，AC ＝6，cos C ＝267.若动点P 满足AP →＝(1－λ)AB →＋2λ3AC →(λ∈R )，则点P 的轨迹与直线BC ，AC 所围成的封闭区域的面积为( )A ．5B ．10C ．2 6D ．4 6解析：选A.设AD →＝23AC →，因为AP →＝(1－λ)AB →＋2λ3AC →＝(1－λ)AB →＋λAD →，所以B ，D ，P三点共线．所以P 点轨迹为直线BC .在△ABC 中，BC ＝7，AC ＝6，cos C ＝267，所以sin C＝57，所以S △ABC ＝12×7×6×57＝15，所以S △BCD ＝13S △ABC ＝5. 2．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)和b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m2＋sin α，其中λ，m ，α为实数，若a ＝2b ，则λm的取值范围是( )A ．[－6，1]B ．[4，8]C ．(－∞，1]D ．[－1，6]解析：选A.由a ＝2b ，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝2m ，λ2－cos 2α＝m ＋2sin α， 所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2m －2，λ2－m ＝cos2α＋2sin α，又cos 2α＋2sin α＝－sin 2α＋2sin α＋1＝－(sin α－1)2＋2，所以－2≤cos 2α＋2sin α≤2，所以－2≤λ2－m ≤2，将λ2＝(2m －2)2代入上式，得－2≤(2m －2)2－m ≤2，得14≤m ≤2，所以λm ＝2m －2m＝2－2m∈[－6，1]．3．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________________．解析：由题意得AB →＝(－3，1)，AC →＝(2－m ，1－m )，若A ，B ，C 能构成三角形，则AB →，AC →不共线，则－3×(1－m )≠1×(2－m )，解得m ≠54.答案：m ≠544．(2020·浙江名校新高考研究联盟联考)如图，在等腰梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝CB ＝12AB ＝1，F 为BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE ︵上变动，E 为圆弧DE ︵与AB 的交点，若AP →＝λED →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是________．解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A (0，0)，E (1，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，B (2，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫74，34； 设P (cos α，sin α)(0°≤α≤60°)， 因为AP →＝λED →＋μAF →，所以(cos α，sin α)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫74，34.所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝－12λ＋74μ，sin α＝32λ＋34μ，所以2λ－μ＝3sin α－cos α＝2sin(α－30°)， 因为0°≤α≤60°，所以－1≤2sin(α－30°)≤1. 答案：[－1，1]5．(2020·嘉兴模拟)已知点O 为坐标原点，A (0，2)，B (4，6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线． 解：(1)OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0，2)＋t 2(4，4)＝(4t 2，2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2，4t 2＋2)．因为AB →＝OB →－OA →＝(4，4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2，4t 2)＝t 2(4，4)＝t 2AB →，且有公共点A ， 所以不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线． 6．已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A 、B 、C 三点共线，求m 的值． 解：(1)k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0， 即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)法一：因为A 、B 、C 三点共线， 所以AB →＝λBC →，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ3＝mλ，解得m ＝32.法二：AB →＝2a ＋3b ＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)， BC →＝a ＋m b ＝(1，0)＋m (2，1)＝(2m ＋1，m )．因为A 、B 、C 三点共线，所以AB →∥BC →. 所以8m －3(2m ＋1)＝0， 即2m －3＝0，所以m ＝32.。