浙江省杭州二中10-11学年高二上学期期末试卷(数学文)
浙江省杭州二中11-12学年高二上学期期末试题数学文
杭州二中2011学年第一学期高二年级期末考试文科数学试题审核：高一备课组一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把答案填在答卷相应空格中)1.“1=a ” 是“直线()02=++y x a a 和直线012=++y x 互相平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2. 设b a ,为两条直线,βα,为两个平面,下列四个命题中真命题是( )A.若b a ,与α所成角相等,则b a //B.若βαβα//,//,//b a ,则b a //C.若b a b a //,,βα⊂⊂,则βα//D.若βαβα⊥⊥⊥,,b a ,则b a ⊥3. 已知y x ,满足条件x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则y x 43-的最大值为( )A.1B.-1C.5D.-54. 双曲线13622=-y x 的渐近线与圆()()03222>=+-r r y x 相切,则r 的值为( ) A.3 B.2 C.3 D.65. 设P 为双曲线221916x y -=上的一点且位于第一象限。
若1F 、2F 为此双曲线的两个焦点,且1:3:21=PF PF ,则12FPF ∆的周长等于 ( ) A.22 B.16 C.14 D.126. 已知点21,F F 分别是椭圆()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点,过点1F 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于B A ,两点,若2ABF ∆为正三角形,则该椭圆的离心率是( )A.21B.22C.31D.337. 若直线b x y +=与曲线262x x y --=有公共点,则b 的取值范围是( )A.]231,231[+---B.]2,231[--C.]231,2[+-D.]2,4[-8.已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点,则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为( )A.43B.45C.47 D.439. 已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位：cm )可得这个几何体的体积是( )A.331cmB.332cmC.334cmD.338cm10.已知A ,B 是椭圆()012222>>=+b a bya x 长轴的两个顶点,N M ,是椭圆上关于x 轴对称的两点,直线BN AM ,的斜率分别为12,k k ,且021≠k k ,若21k k +的最小值为1,则椭圆的离心率为( ) A.12C.23D.328题二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分,把答案填在答卷中相应横线上)11.若命题“R x ∈∃,使得()0112<+-+x a x ”是假命题,则实数a 的取值范围是________.12.已知实数x 、y 满足：101010x x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩,则22y x z +=的最小值是 .13.已知双曲线的两个焦点()()0,10,0,1021F F -,M是此双曲线上的一点,且021=⋅MF MF2=,则双曲线的方程为 .14.已知正方形ABCD 的四个顶点在椭圆12222=+by a x ()0>>b a 上,x AB //轴,AD 过左焦点F ,则该椭圆的离心率为 .15.三棱锥ABC S -中,90=∠=∠SCA SBA , △ABC 是斜边a AB =的等腰直角三角形, 则以下结论中: ① 异面直线SB 与AC 所成的角为90； ② 直线⊥SB 平面ABC ；③ 面⊥SBC 面SAC ； ④ 点C 到平面SAB 的距离是2a. 其中正确结论的序号是 _______________ .16. 如图,在长方形ABCD 中,3=AB ,1=BC ,E 为线段DC 上一动点,现将AED ∆沿AE 折起,使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上,当E 从D 运动到C ,则K 所形成轨迹的长度为16题15题三、解答题(本大题共4小题,共36分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分8分)已知命题:P 函数()12+=x xx f 在区间()12,+a a 上是单调递增函数；命题:Q 不等式()()042222<--+-x a x a 对任意实数x 恒成立.若Q P ∨是真命题,求实数a 的取值范围.18.(本小题满分8分)某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？ 19.(本小题满分10分)在直三棱柱111C B A ABC -中,90=∠ACB ,11===AA BC AC ,E D ,分别为棱AB 、BC 的中点,M 为棱1AA 上的点。
浙江省杭州二中2011学年高二数学上学期期末测试题(文)新人教版
A
（Ⅱ）若椭圆左焦点为 F1 ，右焦点为 F2 ，过 F1 且斜率为 k 的直
线交椭圆于 A、 B ，且 | F2 A
F2B |
2
26 ，求直线 AB 的方程．
3
F1 B
F2 O
x
（第 20 题）
杭州二中 2009 学年第一学期高二年级期末考数学答题卷（文科）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（ I ）画出散点图；（ II ）根据如下的参考公式与参考数据，求利润额
y 与销售额 x 之间
的线性回归方程；（ III ）若该公司还有一个零售店某月销售额为
10 千万元，试估计它
的 利润额是 多
n
少？
xi yi nx y
n
n
（参 考公式：
b?
i1 n
, a? y b?x , 其中： xi yi 112, xi2 200 ）
END IF
PRINT y
END
A． 4 或– 4
B ． 6 或– 6
C ． 6 或– 4 D ．– 4
3. 用随机数表法从 100 名学生（男生 25 人）中抽选 20 人，某男生被抽到的几率是
A． 1
B
100
4. 将 51 化为二进制数得
．1 25
C． 1 5
D
．1
4
A. 10011 （2）
B. 110110 （2）
化简得 40k4 23k 2 17 0
解得 k 2 1或 k 2
17( 舍去 ) 40
∴k 1
∴ 所求直线 l 的方程为 y x 1或 y
y2 )2 2 26 代入 x1 x2与 y1 y2 3
浙江省杭州高级中学10-11学年高二6月教学质量测试题数学文(缺答案)
杭高2010学年5月教学测试高二数学试卷（文科）注意事项：1、本次考试时间90分钟,满分100分.2、在考试过程中不得使用计算器。
3、答案一律做在答卷页上。
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分,共30分）. 1、若i 为虚数单位，图中复平面内点Z ，则表示复数1z i-的点是（ ）A ．EB ．FC ．GD ．H 2、设m 、n 是两条不同的直线，αβγ,,是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若α⊥m ，α//n ,则n m ⊥; ②若βα//，γβ//，α⊥m ，则γ⊥m ； ③若α//m ，α//n ，则n m //；④若γα⊥，γβ⊥，则βα//,其中正确命题的序号是 （ ) A ．①和④ B ．①和② C ．②和③ D ．③和④3、5=k 是直线12:(3)(4)10:2(3)230l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行的 ( ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、设函数3()12f x x x =-,则下列结论正确的是 ( ）A ．函数()f x 在(,1)-∞-上单调递增B ．函数()f x 的极小值是12-C ．函数()f x 的图象与直线10y =只有一个公共点D ．函数()f x 的图象在点(2,(2))f --处的切线方程为16y =5、函数()10<<=a xxa y x的图象的大致形状是（ ）A B C D6、设椭圆12622=+y x 和双曲线1322=-y x 的公共焦点为21,F F ，P 是两曲线的一个公共点，则=∠21cos PF F（ ）A ．91 B ．41 C ．31 D ．537、已知点()3,1A 、()2,5-B ，点P 在x 轴上，使BP AP -取得最大值时P 的坐标 （ ）A ．()0,1B ．()0,4C ．()0,5D ．()0,138、设动直线x m =与函数3()f x x =和()ln g x x =的图象分别交于点M ，N ，则||MN 的最小值为 （ )A ．1ln 33B ．ln 31-C ．1(1ln 3)3+ D ．1(1ln 3)3-9、已知函数xx x f 2)(+=，x x x g ln )(+=，1)(--=x x x h 的零点分别为,,21x x 3x ，则321,,x x x 的大小关系是 （ ）A ．123x x x <<B ．213x x x <<C ．132x x x <<D ．321x x x << 10、设抛物线x y 22=的焦点为F ，过点()0,3M 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ,BF =2，则∆BCF 与∆ACF 的面积之比BCFACFS S ∆∆= （ ）A ．12B ．47C ．23D ．45二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分）。
浙江省杭州高中10—11学年高二数学上学期期末考试
杭高2022学年第一学期期末考试高一数学试卷考前须知：1．本卷答题时间90分钟，总分值100分。
2．本卷不得使用计算器，答案一律做在答卷页上。
一、选择题：本大题共10小题,每题3分,共30分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.在统计中，样本的标准差可以近似地反映总体的( )A.平均状态B.频率分布C.波动大小D.最大值和最小值 2.如果3log 3log b a <<0成立，那么〔 〕A.0<a<b<1B.0<b<a<1C. 1<a<bD. 1<b<a 3.100.3≈2，那么(45)10≈( ) A.12 B.10 C.8 D.5 4.函数f(x)=4x 3x )1x ln(2+--+的定义域是( )A.[–4, 1]B.[–4, –1)C.(–1, 1)D.(–1, 1]5.关于函数y=f(x)与函数y=f(x+1)的表达一定正确的选项是( ) A.定义域相同 B.对应关系相同C.値域相同D.定义域、値域、对应关系都可以不相同6.对甲、乙两组青年进行体检，得到如下图的身高数据(单位：cm)的茎叶图，那么甲、乙两组青年的身高平均数为x 甲、x 乙，方差为S 2甲、S 2乙 ， 那么下面结论正确的选项是( ) A. x 甲>x 乙 S 2甲>S 2乙 B. x 甲<x 乙 S 2甲>S2乙C. x 甲<x 乙 S 2甲<S 2乙D. x 甲>x 乙 S 2甲<S 2乙7.函数f(x)=1212x x +-的图像关于( )对称A.x 轴B.y 轴C.原点D.y=x8.总体已经分成A, B, C 三层, A, B, C 三层个体数之比为2:3:5,现从总体中抽取容量为20的一个样本, A 层中用简单随机抽样抽取样本时，甲被抽到的概率为41,那么总体的个体个数为( )A.40B.80C.120D.1609.从4张互不相同的彩色照片与3张互不相同的黑白照片中任取2张，至少有一张黑白照片的概率( )A.72B.75C.76D.4310.函数f(x)=x x a +-(a ∈N *), 对定义域内任意x 1, x 2，满足|f(x 1)–f(x 2)|<1, 那么正整数a 的取值个数是( )A.2B.3C.5D.7二、填空题：本大题共5小题,每题4分,共20分.11. 集合A={x||x|≤2，x ∈R }，B={x|x ≥a}，且A B ，那么实数a 的取值范围是_____.12. 某学生对质点P 的运动过程观测了8次, 获得了描述质点P 运动 速度的一些数据，记第i 次观测得到的数据为a i ，具体如下表所示.该同学对上述统计数据进行进一步分析中，其中的一局部计算 见如下图的算法流程图(其中a 是这8个数据的平均数)，那么运 行该程序输出的S 的值是_13.函数f(x)=⎩⎨⎧<≥ax ,0a x ,1, g(x)=x 2–x+1, 那么函数y=g(x) –f(x)有两个零点的实数a 的取值范围是______________.14.酒店用餐时顾客要求：将温度为10oC 、质量为0.25kg 的同规格某种袋装黄酒加热到30o C~40o C. 效劳生将n 袋该种袋装黄酒同时放入温度为80oC 、质量为2.5kg 的热水中，5分钟后取出可以供顾客饮用，此时袋装黄酒的温度与水的温度恰好相等. 假设m 1kg 该规格袋装黄酒提高的温度∆t 1o C 与m 2kg 水降低的温度∆t 2oC 满足关系：m 1⨯∆t 1=0.8⨯m 2⨯∆t 2，那么n 的最小值是_________.15.假设不存在整数x 使不等式(kx –k 2–4)(x –4)<0成立，那么实数k 的取值范围是_________.三、解答题：本大题共5小题,共50分.解容许写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 16.函数f(x)=⎩⎨⎧>-≤-+1x ,421x ,1)2x (f x. (1)求f(–3)的值；(2)A={x|–1<x ≤4},B={x| f(x)≤3}, 求A B.i 1 2 3 4 5 6 7 8 a i404143434446474817.函数f(x)=|x|(x – 4)(1)画出函数y=f(x)的图象；(2)根据函数图像指出函数y=f(x)(3)讨论关于x 的方程|x|(x –1)=k 实数解的个数18.某校从高一年级期中数学考试的学生中抽出60名学生,学生的成绩均为整数,并把成绩分成六组,作出了成绩 频率分布直方图如下图.(1)求这次考试的及格率(60分及以上为及格)； (2)求这次考试成绩的中位数与平均数,并说明这次考试 成绩中位数与平均数大小关系的统计意义； (3)从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选两人，求他们在同一组的概率.19.函数f(x)=x 2+ax+b 2, 分别在以下条件下求不等式f(x)>0的解集为R 的概率. (1)a, b ∈Z,且–2≤a ≤4, –2≤b ≤4；(2)假设a, b ∈R,且0<a ≤2, 0<b ≤2.20.函数f(a x)=x ，g(x)=2log a (2x+t –2)，其中a>0且a ≠1，t ∈R. (1)求函数y=f(x)的解析式,并指出其定义域；(2)假设t=4, x ∈[1, 2], 且F(x)=g(x)–f(x)有最小值2,求实数a 的值； (3)0<a<1,当x ∈[1, 2]时,有f(x)≥g(x)恒成立,求实数t 的取值范围.杭高2022学年第一学期期末考试高一数学答卷页试场号_________ 座位号________ 班级_________ 姓名____________ 学号_________…………………………………装……………………………………订………………………线………………………………………。
浙江省杭州高中10—11学年高二数学上学期期末考试 文
杭高2010学年第一学期期末考试高二数学试卷(文科)注意事项：1.本卷考试时间90分，满分100分。
2.本卷所有答案必须答在答题卷上，否则无效。
不能使用计算器。
一．选择题1．已知复数z a i =+(0,a i >是虚单位)，若||5z =，则1z的虛部是 （ ） A. 13- B. 13i - C. 15i - D. 15-2．当a ＞0时，设命题P ：函数()=+af x x x在区间（1，2）上单调递增；命题Q ：不等式210x ax ++>对任意x ∈R 都成立．若“P 且Q ”是真命题，则实数a 的取值范围是 （ ） A ． 01<≤aB ．12≤<aC ． 02≤≤aD ．012<<≥或a a3．已知直线βαβα⊂⊥m l m l ,,,,,且平面，给出下列四个命题：①若;,//m l ⊥则βα②若;//,βα则m l ⊥③若;//,m l 则βα⊥④若.,//βα⊥则m l 其中正确的命题是（ ）A ．①④B ． ②④C ．①③④D ．①②④4．如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形， 且斜边BD 长为2；侧视图为一直角三角形； 俯视图为一直角梯形，且1==BC AB ,则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是（ ）。
.A 1 .B 2 .C 12.D 125．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为(球的表面积为24R S π=)（ ）（A ）π28 （B ）π8 （C ）π24 （D ）π46． 2m =-是直线(2)30m x my -++=与直线30x my --=垂直的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分也非必要条件7．若圆221x y +=和224470x y x y ++-+=关于直线l 对称，则l 的方程是（ ）.0A x y += .20B x y +-= .20C x y --= .20D x y -+=8．若双曲线过点0m n n m >>(，)()，且渐近线方程为y x =±，则双曲线的焦点( )A ．在x 轴上B ．在y 轴上C ．在x 轴或y 轴上D ．无法判断是否在坐标轴上9．对于R 上的可导的任意函数)(x f ，若满足,0)(')(≥-x f a x 则必有 （ ）A ．)()(a f x f ≥B ．)()(a f x f ≤C ．)()(a x f >D ．)()(a f x f <10． 已知函数f x ()的导函数2f x ax bx c '=++()的图象如右图，则f x ()的图象可能是( )二．填空题11．设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x = 。
2010年浙江省杭州市高二期末教学质量检测 数学文(缺答案)PDF格式
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三、 解答题 （本大题有 ! 小题， 共 !" 分 # 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤） 得 分 评卷人
$%（本小题满分 # $& 分）
（第 $% 题）
那么， 对于非零复数 ) ， 仍然成立的命题的序号是 *，
（填上所有成立命题的序号） !
网
与+ （ #） 都是定义在 , 上的函数， （ #） （ ・+ （#） （%） ・ （ ， %! ! 已知 （ % #） + 1 ,， % %） 1+ % #） （ （ % -） % %） （ % ) %） 则在数列 （ #） （ ) 1 , 且 ) #%） ， （ - & %， …， 中， （ + & ， #， %,） % #） & ) #+ （ -） （%） + （ ) %） # + + 前 . 项和大于 %的概率是 %. !
三、 解答题： 本大题有 " 小题， 共 "# 分 ! 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤 ! %$（本小题满分 ! %, 分） 如图， " /01 是! / 为直角的三角形， " 021 是 已知面 /01 $ 面 201 ， 3， ! 0 为直角的三角形， ’ 分别是 02 ， /0 的中点 ! （%） 证明： 02 $ /1 ；
浙江省杭州市高二上学期期末数学试题(解析版)
高二上学期期末数学试题一、单选题1．若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） l (-A ． B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】C【分析】由题意，求出直线的斜率，从而得出结果．【详解】依题意，是直线的一个方向向量， (-l所以直线的斜率 l k =所以直线的倾斜角为． l 120︒故选：C ．2．已知某地A 、B 、C 三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层随机抽样的方法抽取15%的户数进行调查，则样本容量和抽取C 村贫困户的户数分别是（ ）．A ．150，15B ．150，20C ．200，15D ．200，20【答案】A【分析】将饼图中的、、三个村的人口户数全部相加，再将所得结果乘以得出样本容A B C 10%量，在村人口户数乘以，再乘以可得出村贫困户的抽取的户数. C 15%50%C 【详解】由图得样本容量为，1()35020045015%100015%150++⨯=⨯=抽取贫困户的户数为户，则抽取村贫困户的户数为户． 20015%30⨯=C 300.515⨯=故选：A.3．如图所示，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1111ABCD A B C D -1，且两两夹角为，则的长为（ ）60︒1ACAB ．2C D【答案】D【分析】记，，，由，利用向量法即可求出的长. AB a =AD b =1AA c = 1AC a b c =++ 1AC 【详解】解：记，，，AB a =AD b =1AA c = 由题意可知，，1a b c === ,,,60a b b c c a ︒〈〉=〈〉=〈〉=所以，11cos 601122a b b c c a a b ⋅=⋅=⋅=⋅⋅=⨯⨯=，222221111()2()11126222AC a b c a b c a b b c c a ⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯++= ⎪⎝⎭所以1AC =1AC 故选：D.4．设空间两个单位向量与向量，则()(),,0,0,,OA m n OB n p == ()1,1,1OC = （ ）,OA OB =A ．B ．C ．D ．π6π4π3π2【答案】C【分析】由题设，结合空间向量模长、夹角的坐标公式列方程组求得，再由n m p===即可求结果.2cos ,OA OB n =【详解】由题意可得，即，222211cos ,cos ,m n n p OA OCOB OC ⎧+=⎪+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪==⎪⎩222211m n n p m n n p ⎧+=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩n m p ==又，即，且， 2cos ,OA OB n = 1cos ,2OA OB = ,[0,π]OA OB ∈ 所以.π,3OA OB =故选：C5．已知双曲线，过左焦点作一条渐近线的垂线，记垂足为，点在双曲线上，且22221x y a b-=F P Q 满足，则双曲线的离心率为（ ）FP PQ =ABCD ．2【答案】A【分析】设在渐近线上，直线的方程为，联立求得，由P b y x a =-FP ()ay x c b =+2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求得，代入双曲线的方程化简即可得出答案. FP PQ = 222,a ab Q c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】解：设在渐近线上，直线的方程为，P b y x a=-FP ()ay x c b =+由，得，即，()b y x a a y x c b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩2a x c ab y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭由，得为的中点，又因为 FP PQ =P FQ (),0F c -所以， 222,a ab Q c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为在双曲线上，所以化简得： Q 2222222()41,2c a a a c c --=225,c a =所以 ce a==故选：A6．已知函数在处有极值0，则的值为（ ） 322()3f x x ax bx a =+++=1x -a b +A ．4 B ．7C ．11D ．4或11【答案】C【分析】由于在处有极值0，所以可得，解方程组可求出的值，从而可求()f x =1x -'(1)0(1)0f f -=⎧⎨-=⎩,a b 得答案【详解】解：由，得， 322()3f x x ax bx a =+++'2()36f x x ax b =++因为在处有极值0，()f x =1x -所以，即，解得或，'(1)0(1)0f f -=⎧⎨-=⎩2130360a b a a b ⎧-+-+=⎨-+=⎩13a b ==⎧⎨⎩29a b =⎧⎨=⎩当时，，则 在上单调递增，此时函数无极值，所以舍13a b ==⎧⎨⎩'22()3633(1)0f x x x x =++=+≥()f x R 去，当时，，令，得或，经检验 和都为函29a b =⎧⎨=⎩'2()3129f x x x =++'()0f x ==1x -3x =-=1x -3x =-数的极值点，综上， 29a b =⎧⎨=⎩所以， 2911a b +=+=故选：C7．已知双曲线经过点，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线的标准22221x y a b-=(6,A 221259x y +=方程为（ ）A ．B ．C ．D ．221142x y -=221133-=x y 221106x y -=221124x y -=【答案】D【分析】根据椭圆方程可求出焦点，将代入双曲线，结合，解方(6,A 22221x y a b-=222c a b =+程即可求解. 【详解】椭圆焦点为， 221259x y +=()4,0±双曲线焦点为，且， ∴()4,0±4c =将代入双曲线，(6,A 22221x y a b-=得， 223681a b-=又， 22216c a b =+=解得，，212a =24b =故双曲线的方程为，221124x y -=故选：D.8．已知函数对于任意时，不等式恒成立，则实数a 的取值范围是,()0x ∈+∞e ln 1ax x x ax ++<（ ） A ．B ．C ．D ．21,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭(),e -∞-(),1-∞-【答案】B【分析】将不等式化为，构造进而化为，利用导数研究e ln e 1ax ax x x +<()lnf x x x =+(e )(1)ax f x f <单调性，再得在上恒成立，构造研究其最值，即可得参数范围. ()f x 11ln a x x<(0,)+∞()ln g t t t =【详解】由题设，即，e ln ln e 1ax ax x x ++<e ln e 1ax ax x x +<令且，上述不等式等价于，()ln f x x x =+,()0x ∈+∞(e )(1)1ax f x f <=而，故在上递增，则有在上恒成立， 1()10f x x'=+>()f x (0,)+∞e 1ax x <(0,)+∞所以在上恒成立，记，令，则，11ln a x x <(0,)+∞1t x=∈(0,)+∞()ln g t t t =()1ln g t t =+'当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，10et <<()0g t '<()g t 1e t >()0g t '>()g t 所以在上递减，在上递增，则，故.11ln y x x =(0,e)(e,)+∞min e 1|e x y y ===-1e<-a 故选：B.【点睛】关键点点睛：由并构造函数并研究单调性，将问题转化为e ln e 1ax ax x x +<()ln f x x x =+在上恒成立，再次构造研究最值求范围. 11ln a x x<(0,)+∞()ln g t t t =二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．若动点到两定点的距离之和为10，则动点P 的轨迹方程为(),P x y ()()124,0,4,0F F -221259x y +=B ．若动点到两定点的距离之差为8，则动点P 的轨迹方程为(),P x y ()()125,0,5,0F F -221169x y -=C ．若到定点的距离和到定直线的距离相等，则动点P 的轨迹方程(),P x y ()5,0F (),P x y :5l x =-为220y x =D ．已知，若动点满足，则的轨迹方程是 ()()2,0,2,0A B -(),P x y 12PA AB =(),P x y 0x =【答案】AC【分析】根据题意，由椭圆，双曲线，抛物线，圆的定义可分别判断各个选项的正误，选出答案. 【详解】选项A ：由椭圆定义可知，，，，焦点在轴上，，210a =5a =4c =x 29b =所以动点P 的轨迹方程为，A 对；221259x y +=选项B ：由双曲线定义可知，， 1228PF PF a -==所以，，，4a =5c =29b =所以动点P 的轨迹方程为，，B 错；221169x y -=()0x >选项C ：由抛物线定义可知，抛物线的开口向右，， 52p=所以动点P 的轨迹方程为，C 对； 220y x =选项D ：因为， 122PA AB ==由圆的定义可知，圆心，半径， ()2,0A -2r =所以动点P 的轨迹方程为，D 错； ()2224x y ++=故选：AC.10．在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，将沿DE 翻折到的位置，22AB AD ==ADE V 1A DE △1A ∉平面ABCD ，M 为的中点，则在翻折过程中，下列结论不正确的是（ ） 1AC A ．恒有平面 //BM 1A DE B ．B 与M 两点间距离恒为定值C ．三棱锥 1A DEM -D ．存在某个位置，使得平面平面 1A DE ⊥1ACD 【答案】CD【分析】对选项A ：取的中点,可得，所以平面；（也可以延长1A D N //BM EN //BM 1A DE ,DE CB 交于,得,从而平面）H 1//MB A H //BM 1A DE 对选项B ：在可求得为定值，所以为定值；DNE △EN BM 对选项C ：三棱锥的体积是三棱锥的体积的两倍，当平面平面1C A DE -1M A DE -1A DE ⊥ABCD 时，求得三棱锥体积的最大值，可求得三棱锥的体积的最大值；1C A DE -1A DEM -对选项D ：假设平面平面，由面面垂直可得，求得，故,,三1A DE ⊥1ACD 11A E A C ⊥11A C =1A C D 点共线，与平面矛盾.1A ∉ABCD【详解】对选项A ：取的中点,连结，，可得且，所以四边形是平1A D N MN EN =MN BE //MN BE BMNE 行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，故选项A 结论正//BM EN BM ⊄1A DE EN ⊂1A DE //BM 1A DE 确；（也可以延长交于,所以，所以,又平面，平面,DE CB H HB BC =1//MB A H BM ⊄1A DE 1A H ⊂1A DE ，从而平面） //BM 1A DE对选项B ：因为，， 12DN =DE =145A DE ADE ∠=∠=︒根据余弦定理得，得 211522424EN =+-=EN =因为，故，故选项B 结论正确； EN BM =BM =对选项C ：因为为的中点，M 1AC 所以三棱锥的体积是三棱锥的体积的两倍，1C A DE -1M A DE -故三棱锥的体积，其中表示到底面的距离，1C A DE -1113C A DE A DEC CDE V V S h --==⋅A h 1A ABCD当平面平面时，达到最大值，此时 1A DE ⊥ABCD h h此时 111121332A DEC CDE V S h -=⋅=⨯⨯⨯=A所以三棱锥C 结论错误； 1A DEM -对选项D ：假设平面平面，平面平面，，平面1A DE ⊥1ACD 1A DE 11A CD A D =11A E A D ⊥1A E ⊂，1A DE 故平面，又平面，所以， 1A E ⊥1ACD 1AC ⊂1ACD 11A E A C ⊥则在中，，. 1A CE △190EA C ∠=︒11,A E EC ==11A C =又因为，，所以，故,,三点共线，11A D =2CD =11A D A C CD +=1A C D 所以，得平面，与题干条件平面矛盾，故选项D 结论错误； 1A CD ∈1A ∈ABCD 1A ∉ABCD 故选：CD11．已知曲线分别是曲线C 的左、右焦点，则下列说法中正确的有（ ）2212:1,,9x y C F F m+=A ．若，则曲线C 的两条渐近线所成的夹角为3m =-2π3B ．若曲线C 的离心率，则2e =27m =-C ．若，则曲线C 上不存在点P 使得 6m =12π2F PF ∠=D ．若，P 为曲线C 上一个动点，则面积的最大值为 4m =12F PF △【答案】BC【分析】对于A 选项：求出双曲线的渐近线，求出两渐近线的夹角； 对于B 选项：根据双曲线的离心率求即可；m 对于C 选项：先判断出短轴顶点与两焦点连线夹角为锐角，可知不成立； M 12π2F PF ∠=对于D 选项：当P 在短轴顶点时面积的最大值.12F PF △【详解】对于A 选项，当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，渐近线方程3m =-22:193x y C -=x为， y =故渐近线的倾斜角分别为，所以曲线的两条渐近线所成的锐角为，故A 选项错误；π5π,66C π3对于B 选项，离心率，则曲线为焦点在轴上的双曲线，，故， 2e =C x 3,2a e ==6c =所以，所以，故B 选项正确；2236927m c a -=-=-=27m =-对于C 选项，若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，此时，6m =22:196x y C +=x 2229,6,3a b c ===设椭圆的短轴的一个顶点坐标为，C (M 则，故为锐角，222122461cos 02183a a c F MF a +-∠===>12F MF ∠所以曲线上不存在点，使得，故C 选项正确；C P 12π2F PF ∠=对于D 选项，若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，4m =22:194x y C +=x 此时，为上一个动点，2229,4,5a b c ===P C则面积的最大值为D 选项错误. 12PF F △112222S c b =⨯⨯=⨯⨯=m ax 故选：BC12．设函数，，给定下列命题，其中正确的是（ ） ()ln f x x x =()212g x x =A ．若方程有两个不同的实数根，则；()f x k =1,0k e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭B ．若方程恰好只有一个实数根，则；()2kf x x =0k <C ．若，总有恒成立，则； 120x x >>()()()()1212m g x g x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦m 1≥D ．若函数有两个极值点，则实数．()()()2F x f x ag x =-10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】ACD【解析】利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为与有两个不同的交()y f x =y k =点，即可判断A 选项；易知不是该方程的根，当时，将条件等价于和只有1x =1x ≠y k =ln xy x=一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断B 选项；当120x x >>时，将条件等价于恒成立，即函数在上为增1122()()()()mg x f x mg x f x ->-()()y mg x f x =-(0,)+∞函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区间，即可求出的范围，即可判断C 选项；m 有两个不同极值点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D 选项. 2()ln (0)F x x x ax x =->【详解】解：对于A ，的定义域，， ()f x (0,)+∞()ln 1f x x '=+令，有，即，()0f x '>ln 1x >-1x e>可知在单调递减，在单调递增，所以极小值等于最小值，()f x 1(0,)e 1+e ∞（，），且当时，又，min 11()()f x f e e∴==-0x →()0f x →(1)0f =从而要使得方程有两个不同的实根，()f x k =即与有两个不同的交点，所以，故A 正确；()y f x =y k =1(,0)k e∈-对于B ，易知不是该方程的根，1x =当时，，方程有且只有一个实数根， 1x ≠()0f x ≠2()kf x x =等价于和只有一个交点， y k =ln xy x=，又且， 2ln 1(ln )-'=x y x 0x >1x ≠令，即，有，0'>y ln 1x >>x e知在和单减，在上单增， ln xy x=0,1（）1e （，）+e ∞（，）是一条渐近线，极小值为, 1x =e 由大致图像可知或，故B 错误； ln xy x=0k <=k e 对于C ，当时，恒成立， 120x x >>[]1212()()()()m g x g x f x f x ->-等价于恒成立， 1122()()()()mg x f x mg x f x ->-即函数在上为增函数， ()()y mg x f x =-(0,)+∞即恒成立， ()()ln 10y mg x f x mx x =-''--'=≥即在上恒成立， ln 1+≥x m x (0,)+∞令，则，ln 1()x r x x+=2ln ()xr x x -'=令得，有，()0r x '>ln 0x <01x <<从而在上单调递增，在上单调递减， ()r x (0,1)(1,)+∞则，于是，故C 正确； max ()(1)1r x r ==m 1≥对于D ，有两个不同极值点， 2()ln (0)F x x x ax x =->等价于有两个不同的正根， ()ln 120F x x ax +-'==即方程有两个不同的正根， ln 12x a x+=由C 可知，，即，则D 正确. 021a <<102a <<故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题，解题时注意利用数形结合，考查转化思想和运算能力．三、填空题13．甲袋中有1个黄球和2个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，球的大小，形状完全相同，现随机从甲袋中取出1个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出的球是红球的概率是______． 【答案】815【分析】分两种情况讨论：甲袋中取出黄球和甲袋中取出红球；分别求出对应概率，再求和即可. 【详解】解：分两种情况讨论如下：甲袋中取出黄球，则乙袋中有3个黄球和2个红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为1223515⨯=；甲袋中取出红球，则乙袋中有2个黄球和3个红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为；232355⨯=综上，所求概率为. 22851551+=故答案为：． 81514．已知，，，点Q 在直线OP 上运动，则当取得最(1,2,3)OA = (2,1,2)OB = (1,1,2)OP =QA QB ⋅ 小值时，点Q 的坐标为（O 为坐标原点）__________.【答案】448,,333⎛⎫⎪⎝⎭【分析】利用共线向量及数量积的坐标表示可得，再利用二次函数知识即得. QA QB ⋅【详解】设，则，(,,)Q x y z (,,)OQ x y z =因为点Q 在直线OP 上运动，所以， OP OQ∥所以，即，， 112x y z==y x =2z x =所以， (,,2)OQ x x x =所以()()(1,2,32)(2,1,22)QA QB OA OQ OB OQ x x x x x x ⋅=-⋅-=---⋅---=， 2(1)(2)(2)(1)(32)(22)61610x x x x x x x x --+--+--=-+所以当时，取得最小值，此时点Q 的坐标为. 164263x -=-=⨯QA QB ⋅ 448,,333⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：.448,,333⎛⎫⎪⎝⎭15．已知直线，若∥，则与之间的距离为__________. 12:2320,:640l x my m l mx x +-+=+-=1l 2l 1l 2l【详解】∵∥，∴∴，∴直线的方程分别为,1l 2l ()23120{62120m m m -=-++≠2m =12,l l 30,320x y x y +=+-=1l与2l. 16．已知、为实数，，若对恒成立，则的最小值为 m n ()e 1x f x mx n =-+-()0f x ≥R x ∀∈n mm-______. 【答案】1-【分析】求出函数的导函数，判断可得，即可求得函数的单调区间，从而求出函数的最小0m >值，依题意可得，即可得到，从而得到()min ln 10f x m m m n =-+-≥ln 1n m m m ≥-+，再令，，利用导数说明函数的单调性，从而求出1ln 2n m m m m -≥-+()1ln 2g x x x=-+()0,x ∈+∞函数的最小值，即可求出的取值范围. n mm-【详解】解：因为，所以，()e 1x f x mx n =-+-()e x f x m '=-若，则恒成立，所以在上单调递增，且当时，不符合题0m ≤()0f x '>()f x R x →-∞()f x →-∞意，所以，令，解得，当时，当时， 0m >()0f x '=ln x m =ln x m <()0f x '<ln x m >()0f x '>所以在上单调递减，在上单调递增， ()f x (),ln m -∞()ln ,m +∞所以， ()()min ln ln 10f x f m m m m n ==-+-≥所以，则， ln 1n m m m ≥-+ln 21n m m m m -≥-+则， 1ln 2n m m m m-≥-+令，， ()1ln 2g x x x=-+()0,x ∈+∞则，所以当时，当时， ()22111x g x x x x-'=-=1x >()0g x '>01x <<()0g x '<即在上单调递减，在上单调递增，所以， ()g x ()0,1()1,+∞()()min 11g x g ==-所以，即的最小值为. 1n mm -≥-n m m-1-故答案为：1-【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．四、解答题17．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组： ，得到如下的频率分[)[)[)[)40,50,50,60,60,70,,90,100⋯布直方图．(1)求出频率分布直方图中m 的值：利用样本估计总体的思想估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数、众数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）； (2)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出10个口罩，并从中再随机抽取3个作进一步的质量分析，试求这3个口罩中恰好有1个口罩为一等品的的概率． 【答案】(1)，平均数为71，众数为75，中位数为； 0.030m =73.33(2) 310【分析】（1）根据频率之和为1列出方程，求出，利用频率分布直方图求出平均数，众0.030m =数和中位数；（2）先求出一等品和二等品频率之比，进而利用分层抽样得到抽出10个口罩中，一等品和二等品的个数，再利用超几何分布求出答案.【详解】（1），解得， ()100.0050.0100.0150.0150.0251m ⨯+++++=0.030m =估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数为，()450.010550.015650.015750.030850.025950.0051071⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=因为的频率为，频率最大，故估计该企业所生产的口罩的质量指标值的众数[)70,800.030100.3⨯=为， 7080752+=因为，，100.0100.10.5⨯=<()100.0100.0150.250.5⨯+=<，，()100.0100.0150.0150.40.5⨯++=<()100.0100.0150.0150.0300.70.5⨯+++=>故该企业所生产的口罩的质量指标值的中位数落在内， [)70,80设估计该企业所生产的口罩的质量指标值的中位数为， x 则，解得，()700.0300.50.4x -⨯=-73.33x ≈故估计该企业所生产的口罩的质量指标值的中位数为.73.33（2）由频率分布直方图得，质量指标值小于70的口罩为二等品的频率为，故一等品的频率为，()100.0100.0150.0150.4⨯++=10.40.6-=故一等品和二等品频率之比为，0.6:0.43:2=故采用分层抽样可得从该企业所抽取的100个口罩中抽出10个口罩中，一等品个数为310632⨯=+个，二等品个数为4个，所以从中再随机抽取3个作进一步的质量分析，这3个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为. 1264310C C 3C 10=18．已知直线和圆．():12530,R l m x my m m -+-+=∈()()22:214C x y -+-=(1)证明：圆C 与直线l 恒相交；(2)求出直线l 被圆C 截得的弦长的最小值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)【分析】（1）求出直线过的定点A ，得到在圆C 内，证明出圆C 与直线l 恒相交； ()3,1A （2）数形结合得到直线l 与垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最小，由垂径定理求出弦长最小AC 值.【详解】（1）变形为，():12530l m x my m -+-+=()0253m x y x -+-=+令，解得，25030x y x +-=⎧⎨-+=⎩31x y =⎧⎨=⎩故直线过定点，l ()3,1A 因为，故在圆C 内，故圆C 与直线l 恒相交；()()22321114-+-=<()3,1A （2）因为直线过定点，且在圆C 内， l ()3,1A ()3,1A 故当直线l 与垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最小， AC其中，1CA ==圆的半径为2， ()()22:214C x y -+-=故弦长最小值为=19．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋6x －a .92（1）若对任意实数x ，≥m 恒成立，求m 的最大值； ()f x '（2）若函数f (x )恰有一个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）－；（2）(－∞，2)∪. 345(,)2+∞【分析】（1）求出导函数，结合二次函数性质可得参数范围；（2）由导函数确定函数的单调性，极值，由极小值大于0或极大值小于0得参数范围． 【详解】（1）＝3x 2－9x ＋6＝，()f x '23333(244x --≥-由≥m 恒成立，可得m ≤－， ()f x '34即m 的最大值为－. 34（2）＝3x 2－9x ＋6＝3(x －2)(x －1)， ()f x '由>0⇒x >2或x <1，由<0⇒1<x <2，()f x '()f x '∴f (x )在(－∞，1)和(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减， ∴f (x )极大值＝f （1）＝－a ，f (x )极小值＝f （2）＝2－a . 52∵f (x )恰有一个零点，∴－a <0或2－a >0， 52即a <2或a >， 52所以a 的取值范围为(－∞，2)∪.5(,)2+∞20．如图①，在等腰梯形ABCD 中，，将沿AC 折起，使得,222AB CD AB AD CD ===∥ADC △，如图②．AD BC ⊥(1)求直线BD 与平面ADC 所成的角；(2)在线段BD 上是否存在点E ，使得二面角的平面角的大小为?若存在，指出点E 的E AC D --π4位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1). π4(2)存在,分析见解析.【分析】（1）通过线面垂直的判定证明平面ADC ，直线BD 与平面ADC 所成的角，即为BC ⊥，通过即可求出结果. （2）以为坐标原点，所在的直线为轴，BDC ∠tan BCBDC DC∠=C CA x CB 所在的直线为轴，过点作垂直于平面ABC 的直线为轴，建立空间直角坐标系.利用向量法求y C z 出满足的点E ，使得二面角的平面角的大小为，并能求出相应的()01BE tBD t =≤≤ E AC D --π4实数的值.t 【详解】（1）等腰梯形ABCD 中，，,222AB CD AB AD CD ===∥由平面几何知识易得，∴π3B = , 22222π21221cos33AC AB BC ∴=+-⨯⨯⨯==-,又，，平面ADCAC CB ∴⊥ AD BC ⊥ AD AC A = BC ∴⊥直线BD 与平面ADC 所成的角，即为， ∴BDC ∠. 1πtan 1,14BC BDC BDC DC ∠===∴∠= 直线BD 与平面ADC 所成的角为.∴π4（2）在线段BD 上存在点E ，使得二面角的平面角的大小为. E AC D --π4由（1）知，以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，过点作AC CB ⊥ C CA x CB y C 垂直于平面ABC 的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.z平面ADC ，又平面ABC ，平面ADC 平面ABC ，是顶角为的等腰三BC ⊥ BC ⊂ ∴⊥ADC ∠2π3角形，知轴与底边上的中线平行， z ADC △则 ())()10,0,00,1,02C AB D ⎫⎪⎪⎭，，，，,令，则 11,)2CA BD ∴==- ()01BE tBD t=≤≤ ,2t E t ⎫-⎪⎪⎭，，设平面ACE 的法向量，则 ,2t CE t ⎫∴=-⎪⎪⎭ (),,m x y z = 00CA m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，令，则，， ()0210t y tz =-+=⎪⎩y t =()21z t =-()0,,22m t t ∴=- 平面ADC 的一个法向量为.要使二面角的平面角的大小为，()0,1,0n = E AC D --π4则或（舍去）. πcos 4m n m n ⋅===⋅ 23t =2t =所以在线段BD 上存在点E ，使得二面角的平面角的大小为，此时E 在线段BD 上靠E AC D --π4近D 的三等分点处.21．已知，为椭圆：的左、右焦点.点为椭圆上一点，当取1F 2F C ()222210x y a b a b+=>>M 12F MF ∠最大值时，.π3()1216MF MF MF +⋅= (1)求椭圆的方程；C (2)点为直线上一点（且不在轴上），过点作椭圆的两条切线，，切点分别为P 4x =P x P C PA PB ，，点关于轴的对称点为，连接交轴于点.设，的面积分别为A B B x B 'AB 'x G 2AF G △2BF G △1S ， ，求的最大值.2S 12S S -【答案】(1)22143x y +=【分析】(1)由已知结合椭圆定义，可求与的倍数关系，结合向量相关条件以及椭圆中a c ，即可求得与，也就得出椭圆方程.222a b c =+a b (2)利用过椭圆一点的切线方程的推导过程，得出切线方程，进而得出直线的定点坐标，然后解AB 设的方程，并与椭圆联立，然后利用韦达定理化简整理出点的坐标，由此求出的关系AB G 12S S -式，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）依题意有当为椭圆短轴端点时M 最大，此时，则 12F MF ∠12π3F MF ∠=为正三角形，则12F MF △2a c =且()1211π22cos66MF MF MF MO MF b a +⋅=⋅=⋅==，，∴ba =222a b c =+∴2a =b =1c =故椭圆方程为.22143x y +=（2）设，，， ()11,A x y ()22,B x y ()()4,0P t t ≠若，则切线方程为，10y =1x x =若，则在处的切线的斜率必定存在， 10y ≠A 设该切线的方程为，()1111y k x x y kx y kx =-+=+-由可得， 11223412y kx y kx x y =+-⎧⎨+=⎩()22113412x kx y kx ++-=整理得， ()()2221111348()4120k x k y kx x y kx ++-+--=故， ()()2222111164()4344120k y kx k y kx ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦整理得到：，故，2211211390216x x k k y y ++=1134x k y =-故切线方程为：， 211111111333124444x x x y x y x y y y y =-++=-+故：， PA 11143x x y y+=综上，：，同理： PA 11143x x y y +=PB 22143x x y y +=因，都过点，则，PA PB ()4,P t 1113y t x +=2213y tx +=则方程为，即过定点. AB 13ytx +=AB ()1,0故设方程为，，AB 1x my =+0m ≠联立， 2213412x my x y =+⎧⎨+=⎩ ∴()2234690m y my ++-=，，又 ∴122634m y y m -+=+122934y y m -=+()22,B x y '-直线方程为：，令得 AB '()211121y y y y x x x x ---=--0y =()()122112211212121212112G my y my y x y x y my y y y x y y y y y y ++++++===+++， 21212293421214634y y m m m m y y m -+=⋅+=⋅+=-++∴()4,0G ∴12212122613322234mS S F G y y y y m -=⋅-=+=⋅+2994343m m m m==≤=++当且仅当即，43m m =243m=m =故最大值为12S S -22．设，，已知和在处有相同的切线.()()1xf x ae x =+()22g x x bx =++()f x ()g x 0x =（1）求，的解析式；()f x ()g x （2）求在上的最小值；()f x [],1(3)t t t +>-（3）若对，恒成立，求实数的取值范围. 2x ∀≥-()()kf x g x ≥k 【答案】（1）；.()2(1)x f x e x =+2()42g x x x =++（2）． 2min2,32()2(1),2x e t f x e t t ⎧--<<-=⎨+≥-⎩（3）.2[1,e ]【详解】试题分析：（1）先求的导函数，再由题设得：.2()(1),()2x f x ae x g x x bx =+=++，从而可列方程组解得的值；,a b （2）利用导数判函数的单调性，进而求出函数在上的最小值；()(1)x f x ae x =+()f x [,1](3)t t t +>-要注意对 的取值分类讨论；t （3）令，利用导数研究此函数的极值，由其极小值非()()()()22142x F x kf x g x ke x x x =-=+---负可求实数的取值范围.k 试题解析：解：（1）()(2)x f x ae x '=+()2g x x b =+'依题意，即， 2{2a a b ==2{4a b =∴= ()2(1)x f x e x =+（2）()2(2)x f x e x +'=在上递减，在递增()f x (,2)-∞-(2,)-+∞3t >- 12t ∴+>-①当时32t -<<-在递减，在递增()f x [,2]t -[2,1]t -+2min ()(2)2f x f e -=-=-②当时 在递增2t ≥-()f x [,1]t t +min ()()2(1)tf x f t e t ==+ 2min2 32(){2(1) 2t e t f x e t t --<<-∴=+≥-（3）令()()()()22142x F x kf x g x ke x x x =-=+---由题意时 恒成立2x ≥-()0F x ≥()0220,1F k k ∴=-≥∴≥()()()221x F x x ke =+-'在 上只可能有一个极值点 ()2,x F x ≥-∴ [)2,-+∞1lnk①当 即 时， 在递增 1ln2k<-2k e >()F x [)2,-+∞不合题意 ()()()22min 22F x F e k e ∴=-=-②当 ，即 时 符合题意 1ln2k =-2k e =()()min 20F x F =-=③当，即 时 1ln 2k=-21k e ≤<在 上递减，在 上递增； ()F x 12,ln k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1ln ,k ⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦ 符合题意 ()()min 1ln ln 2ln 0F x F k k k ⎛⎫==⋅-> ⎪⎝⎭综上所述实数的取值范围是：k 21e ⎡⎤⎣⎦，【解析】1、导数的几何意义；2、导数在研究函数性质中的应用；3、等价转化的思想与分类讨论的思想.。
杭州二中高二上学期期末试题(数学文)
浙江省杭州二中2011-2012学年高二上学期期末试题（数学文）审核：高一备课组一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答卷相应空格中）1.“1=a ” 是“直线()02=++y x a a 和直线012=++y x 互相平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 设b a ,为两条直线，βα,为两个平面，下列四个命题中真命题是（ ） A ．若b a ,与α所成角相等，则b a // B ．若βαβα//,//,//b a ，则b a // C ．若b a b a //,,βα⊂⊂，则βα// D ．若βαβα⊥⊥⊥,,b a ，则b a ⊥3. 已知y x ,满足条件x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则y x 43-的最大值为( )A ．1B ．-1C ．5D ．-54. 双曲线13622=-y x 的渐近线与圆()()03222>=+-r r y x 相切，则r 的值为（ ） A ．3 B ．2 C ．3 D ．65. 设P 为双曲线221916x y -=上的一点且位于第一象限。
若1F 、2F 为此双曲线的两个焦点，且1:3:21=PF PF ，则12FPF ∆的周长等于 ( ) A ．22 B ．16 C ．14 D ．126. 已知点21,F F 分别是椭圆()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于B A ,两点，若2ABF ∆为正三角形，则该椭圆的离心率是（ ）A ．21B ．22C ．31D ．337. 若直线b x y +=与曲线262x x y --=有公共点，则b 的取值范围是（ ）A ．]231,231[+---B ．]2,231[--C ．]231,2[+-D ．]2,4[-8.已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）A ．43 B ．45 C ．47 D ．439. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这个几何体的体积是（ ）A ．331cmB ．332cmC ．334cmD ．338cm10.已知A ,B 是椭圆()012222>>=+b a by a x 长轴的两个顶点，N M ,是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线BN AM ,的斜率分别为12,k k ，且021≠k k ，若21k k +的最小值为1,则椭圆的离心率为（ ） A ．12B．2 C ．23 D ．32二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在答卷中相应横线上）11.若命题“R x ∈∃，使得()0112<+-+x a x ”是假命题，则实数a 的取值范围是________．12.已知实数x 、y 满足：101010x x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则22y x z +=的最小值是 .13.已知双曲线的两个焦点()()0,10,0,1021F F -，M 是此双曲线上的一点，且021=⋅MFMF ，8题221=⋅MF MF ，则双曲线的方程为 .14.已知正方形ABCD 的四个顶点在椭圆12222=+by a x ()0>>b a 上，x AB //轴，AD 过左焦点F ，则该椭圆的离心率为 .15.三棱锥ABC S -中, ο90=∠=∠SCA SBA , △ABC 是斜边a AB =的等腰直角三角形, 则以下结论中: ① 异面直线SB 与AC 所成的角为ο90； ② 直线⊥SB 平面ABC ； ③ 面⊥SBC 面SAC ； ④ 点C 到平面SAB 的距离是2a. 其中正确结论的序号是 _______________ .16. 如图，在长方形ABCD 中,3=AB ,1=BC ,E 为线段DC 上一动点，现将AED ∆沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为三、解答题（本大题共4小题，共36分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分8分）已知命题:P 函数()12+=x xx f 在区间()12,+a a 上是单调递增函数；命题:Q 不等式()()042222<--+-x a x a 对任意实数x 恒成立.若Q P ∨是真命题，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分8分）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？ 16题 15题19.（本小题满分10分）在直三棱柱111C B A ABC -中，ο90=∠ACB ，11===AA BC AC ，E D ,分别为棱AB 、BC 的中点，M 为棱1AA 上的点。
浙江省杭州二中2020至2021高二上学期期末数学文试卷
浙江省杭州二中2020-2021学年高二上学期期末数学文试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．直线31x y +=的倾斜角为（ ） （A ）3π （B ）23π （C ）6π（D ）56π2．已知实数,a b ，则0a b +>是0a >且0b >的（ ）条件（A ）充分不必要 （B ）必要不充分 （C ）充要 （D ）既不充分也不必要 3．直线1x y +=与圆222x y +=的位置关系是（ ）（A ）相切 （B ）相交 （C ）相离 （D ）不能确定4．一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 5．已知实数,x y 满足：221x y +=，则x y +的取值范围是（ ） （A ）2,2⎡⎤-⎣⎦ （B ）[]1,1- （C ）1,2⎡⎤⎣⎦（D ）(1,2⎤⎦6．对于平面α和两条不同的直线m 、n ,下列命题是真命题的是（ ） （A ）若αα⊥⊥n m ,,则n m // （B ）若,//,//ααn m 则n m //（C ）若n m m ⊥⊥,α,则α//n （D ）若n m ,与α所成的角相等,则n m // 7．过点()2,1P 的直线l 与坐标轴分别交,A B 两点，如果三角形OAB 的面积为5，则满足条件的直线l 最多有（ ）条（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）48．已知双曲线2221x y a -=(0)a >的一个焦点与抛物线218x y =的焦点重合,则此双曲线的离心率为（ ） （A ）332（B ）3 （C ）233 （D ）4339．已知椭圆：2221(03)9x y b b+=<<，左右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线l 交椭圆于A B，两点，若22BF AF +的最大值为8，则b 的值是 （ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）610．一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（ ）（A ）1 （B ）2 （C（D ）3二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.把答案填写在题中的横线上. 11．命题P ：直线2y x =与直线20x y +=垂直；命题Q ：异面直线在同一个平面上的射影可能为两条平行直线.则命题P Q ∧为 命题（填真或假）.12．若圆C 以抛物线24y x =的焦点为圆心, 且与抛物线的准线相切,则该圆的标准方程是__ .13．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，截去三个角1A BDA -，1C BDC -，111B BAC -后形成的几何体的体积与原正方体的体积之比值为 . 14．椭圆2214x y m +=的离心率为12，则实数m 的值为 . 15.沿矩形ABCD 的对角线AC 折起，形成空间四边形ABCD ，使得二面角B AC D --为120，若2,1AB BC ==，则此时四面体ABCD 的外接球的体积为 .16. 已知空间中动平面,αβ与半径为5的定球相交所得的截面的面积为4π与9π，其截面圆心分别为,M N ，则线段MN 的长度最大值为 .17. 过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,则AF BF 的最小值是_ .112013学年第一学期杭州二中高二年级数学（文科）期末答卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.把答案填写在题中的横线上11. 12. 13.14. 15 16.17.三、解答题：本大题共4小题，共42分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 18. （本大题满分10分）已知直线:0l ax by c ++=.（Ⅰ）求证：直线0ax by c ++=通过定点()1,1的充要条件是0a b c ++=（,,a b c 不全为0）；（Ⅱ）若直线:0l ax by c ++=与直线230x y ++=平行，求3a ba b-+的值.19．（本大题满分10分）已知直线():210l mx y m +-+=与曲线:C y =. （Ⅰ）若直线l 与直线1:210l x y -+=垂直，求实数m 的值； （Ⅱ） 若直线l 与曲线C 有且仅有两个交点，求实数m 的取值范围.20．（本大题满分10分）已知四面体ABCD ，AD CD =，120ADB CDB ∠=∠=，且平面ABD ⊥平面BCD . （Ⅰ）求证：BD AC ⊥；（Ⅱ）求直线CA 与平面ABD 所成角的大小.21. （本大题满分12分）已知O 为坐标原点，F 是抛物线2:4E y x =的焦点. （Ⅰ）过F 作直线l 交抛物线E 于,P Q 两点，求OP OQ 的值；（Ⅱ）过点(),0T t 作两条互相垂直的直线分别交抛物线E 于,,,A B C D 四点，且,M N 分别为线段,AB CD 的中点，求TMN ∆的面积最小值.B高二数学文科答案1．D 2．B 3．B 4．B 5．A 6．A 7．D 8．C 9．D 10．C 11．真12．()2214x y -+=13．12 14．163或31516．4+ 17．418．（Ⅰ）充分性：若0a b c ++=，则110a b c ++=，即点()1,1满足方程ax by c ++=，即直线ax by c ++=过定点()1,13分必要性：若直线0ax by c ++=过定点()1,1，则坐标()1,1满足方程0ax by c ++=，即110a b c ++=，即0a b c ++= 6分（Ⅱ）∵直线:0l ax by c ++=与直线230x y ++=平行，∴221a b ab=⇒= 8分 ∴33131aa b b a a b b--==-++ 10分19．（Ⅰ）直线l 的斜率k m =-，直线1l 的斜率1'22k k =⇒=-∴12m = 4分（Ⅱ）∵:(2)20l m x y -+-=，∴l 恒过点()2,2P又∵曲线:C y =是单位圆在x 轴的上方部分且直线l 与曲线C 有且仅有两个交点，先求直线l 与曲线C 相切时的斜率与点()2,2P 与点()1,0Q -连线的斜率当直线l 与曲线C24138303m m m -=⇒++=⇒=经检验知43m -=而23PQk =，所以23m ⎡∈-⎢⎣⎭10分 20．（Ⅰ）∵,120,AD DC ADB CDB BD BD =∠=∠==∴ADB CDB ∆≅∆∴AB BC =，取AC 中点M ， 则,MB AC DM AC ⊥⊥∴AC ⊥平面BDM ，∴AC BD ⊥ 4分（Ⅱ）过点C 作CH BD ⊥交BD 延长线于H ，连结HA∵平面ABD ⊥平面BCD ，∴CH ⊥平面BAD ，∴CAH ∠为CA 与平面BAD 所成角∵DC AD =，60ADH CDH ∠=∠=，DH DH =∴HAD CDH ∆≅∆ ∴AH HC =∴在Rt HAC ∆中，45HAC ∠=∴直线CA 与平面ABD 所成角的大小为45 21．（Ⅰ）设直线l 的方程为:1l x ty =+，()()1122,,,P x y Q x y由2214404x ty y ty y x=+⎧⇒--=⎨=⎩ ∴121241y y x x =-⇒=BB∴OP OQ 12123x x y y =+=- 4分 （Ⅱ）根据题意得,AB CD 斜率存在 故设1:,:AB x my t CD x y t m=+=-+，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y 由224404x my t y my t y x=+⎧⇒--=⎨=⎩ ∴()221212222,222y y x xm m t M m t m ++=⇒=+⇒+ 同理可得222,N t m m ⎛⎫+-⎪⎝⎭所以TN ==2TM ==∴11242TMNS TM TN m m ∆⎛⎫==+≥ ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当1m =时，面积取到最小值4. 12分。
浙江省杭州中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含答案
杭高2023学年第一学期期末考试高二数学试题卷（答案在最后）命题：1.本试卷分试题卷和答题卡两部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前务必将自己的学校、班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡规定的地方.3.答题时，请按照答题卡上“注意事项”的要求，在答题卡相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效.4.考试结束后，只需上交答题卡.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.直线:10l x ++=的倾斜角的大小为（）A.30 B.60C.120D.150【答案】D 【解析】【分析】根据斜率等于倾斜角的正切值，结合倾斜角的范围即可求解.【详解】由:10l x ++=可得3333y x =--，所以直线l 的斜率为33k =-，设直线l 的倾斜角为α，则tan 3α=-，因为0180α≤<o ，所以150α= ，故选：D.2.若数列{}n a 的通项公式为2n a n n =+，则12100111a a a +++= （）A.100101B.1101C.101100D.99100【答案】A 【解析】【分析】利用裂项相消求和可得答案.【详解】()111111n a n n n n ==-++，则1210011111111110011223100101101101+++=-+-++-=-= a a a .故选：A.3.若数列{}n a 满足12a =，11n n n a a a +=-，则2024a =（）A.3B.2C.12D.1-【答案】C 【解析】【分析】由递推公式计算数列的前几项得出周期，即可的答案.【详解】因为数列{}n a 满足12a =，11n n n a a a +=-，所以212a =，31a =-，42a =，512a =，...，故数列的周期为3，故202421.2a a ==故选：C.4.在空间四边形ABCD 中，,,DA a DB b DC c === ，且,2DM MA BN NC == ，则MN =（）A.112233a b c --B.121233a b c-++C.112233a b c-++ D.111222a b c-++ 【答案】C 【解析】【分析】由MN MA AB BN =++可表示出.【详解】()1223MN MA AB BN DA DB DA BC=++=+-+()()1223DA DB DA DC DB =+-+-121112332323DA DB DC a b +=+-+-=+.故选：C.5.以下四个命题中，正确的是（）A.若1123OP OA OB =+，则,,P A B 三点共线B.若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底C.()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅r r r r r r D.若a b a c ⋅=⋅r r r r，且0a ≠，则b c =【答案】B 【解析】【分析】根据向量三点共线可判断A ；假设,,a b b c c a +++ 共面，设()()a b m b c n c a +=+++得出矛盾可判断B ；举反例可判断C ；利用数量积公式计算可判断D.【详解】对于A ，若,,P A B 三点共线，则OP OA OB λμ=+，且1λμ+=，而1151236+=≠，故A 错误；对于B ，假设,,a b b c c a +++共面，设()()()a b m b c n c a ma mb m n c +=+++=+++，因为{},,a b b c c a +++ 为空间的一个基底，所以110m n m n =⎧⎪=⎨⎪+=⎩，该方程组无解，假设不成立，故B 正确；对于C ，设()()()1,3,1,2,2,1,3,4,1a b c ==-=，则()()515,20,5a b c c ⋅⋅== ，()()()33,9,315,20,5a b c a ⋅⋅=⨯=≠，故C 错误；对于D ，由a b a c ⋅=⋅r r r r 得()0a b c ⋅-=，设a 与b c - 的夹角为θ，所以cos 0a b c θ⋅-=，因为0a ≠ ，所以cos 0b c θ-= ，不一定有b c = ，故D 错误.6.已知圆()()221:2416C x y -++=，圆222:230C x y x ++-=，则两圆的公切线的条数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据圆的方程，求得圆心距和两圆的半径之和，之差，判断两圆的位置关系求解.【详解】因为圆()()221:2416C x y -++=，圆()222:14C x y ++=，所以125C C =，12126,2R R R R +=-=，所以121212R R C C R R -<<+，所以两圆相交，所以两圆的公切线的条数为2，故选：B7.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝1，S 30＝13，S 40＝（）A.﹣51B.﹣20C.27D.40【答案】D 【解析】【分析】由{a n }是等比数列可得S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20，S 40﹣S 30成等比数列，列方程组，从而即可求出S 40的值．【详解】由{a n }是等比数列，且S 10＝1＞0，S 30＝13＞0，得S 20＞0，S 40＞0，且1＜S 20＜13，S 40＞13所以S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20，S 40﹣S 30成等比数列，即1，S 20﹣1，13﹣S 20，S 40﹣13构成等比数列，∴（S 20﹣1）2＝1×（13﹣S 20），解得S 20＝4或S 20＝﹣3（舍去），∴（13﹣S 20）2＝（S 20﹣1）（S 40﹣13），即92＝3×（S 40﹣13），解得S 40＝40．故选：D ．8.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 是双曲线左支上一点，1290F MF ∠= ，直线2MF 交双曲线的另一支于点N ，22MN NF =，则双曲线的离心率（）A.3B.9C.D.2【解析】【分析】根据双曲线定义和22MN NF =得到边长之间的关系，结合勾股定理得到方程，求出离心率.【详解】设2NF n =，则2MN n =，23MF n =，由双曲线定义得212MF MF a -=，故132MF n a =-，由勾股定理得2221212MF MF F F +=，即()2229324n n a c +-=①，连接1NF ，则122NF NF a -=，故12NF a n =+，由勾股定理得22211MF MN NF +=，即()()2224322n n a a n +-=+②，由②得43n a =，代入①得22204a c =，故ca=故选：C二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列求导运算正确的是（）A.若()cos(23)f x x =+，则()2sin(23)f x x '=+B.若21()e x f x -+=，则21()e x f x -+'=C.若()e xx f x =，则()1e x xf x ='-D.若()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+【答案】CD 【解析】【分析】利用导数公式及运算法则，求解即可.【详解】对于选项A:()cos(23)f x x =+ ,()sin(23)(23)2sin(23)f x x x x ''∴=-+⋅+=-+,故选项A 错误；对于选项B:21()e x f x -+= ,()2121()e 212e x x f x x '-+-+∴=⋅-+=-',故选项B 错误；对于选项C:()ex xf x = ,()()2e e 1e e x xx xx xf x --∴==',故选项C 正确；对于选项D:()ln f x x x = ,1()1ln ln 1f x x x x x'∴=⨯+⋅=+,故选项D 正确；故选：CD.10.某次辩论赛有7位评委进行评分，首先7位评委各给出某选手一个原始分数，评定该选手成绩时从7个原始分数中去掉一个最高分、去掉一个最低分，得到5个有效评分．则这5个有效评分与7个原始评分相比，数字特征可能不同的是（）A.极差B.中位数C.平均数D.方差【答案】ACD 【解析】【分析】利用平均数、中位数、平均数、方差的定义进行判断.【详解】因为5个有效评分是7个原始评分中去掉一个最高分、去掉一个最低分，所以中位数不变，平均数、方差、极差可能发生变化.故B 错误.故选：ACD.11.在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠= ，12AB AC AA ===，,E F 分别是11,BC A C 的中点，D 在线段11B C 上，则下面说法中正确的有（）A.//EF 平面11AA B BB.若D 是11B C 上的中点，则BD EF ⊥C.直线EF 与平面ABC所成角的正弦值为5D.存在点D 使直线BD 与直线EF 平行【答案】AC 【解析】【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断各选项的正误.【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()2,0,0B 、()0,2,0C 、()10,0,2A 、()12,0,2B 、()10,2,2C 、()1,1,0E 、()0,1,2F .对于A 选项，()1,0,2EF =- ，易知平面11AA B B 的一个法向量为()0,1,0m =，0EF m ⋅= ，则EF m ⊥，又因为EF ⊄平面11AA B B ，所以，//EF 平面11AA B B ，故A 正确；对于B 选项，当D 是线段11B C 的中点时，()1,1,2D ，()1,1,2BD =-，则50BD EF ⋅=≠，故B 错误；对于C 选项，由A 知()1,0,2EF =- ，易知平面ABC 的一个法向量为()0,0,1u =，则·sin ,cos ,5EF uEF u EF u EF u===，故C 正确；对于D 选项，设()()1112,2,02,2,0B D B C λλλλ==-=-，其中01λ≤≤，()112,2,2BD BB B D λλ=+=-，假设存在点D 使直线BD 与直线EF 平行，则存在0μ≠使EF BD μ=，即2·20·21·2μμλμλ=⎧⎪=⎨⎪-=-⎩，无解，所以假设不成立，故D 错误.故选：AC.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知12(2,0),(2,0),(1,1)F F A --，若动点P 满足126,PF PF +=则（）A.存在点P ，使得21PF =B.12PF F 面积的最大值为C.对任意的点P ，都有292PA PF +>D.椭圆上存在2个点P ，使得1PAF 的面积为32【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意求得P 的轨迹是椭圆22195x y +=，从而判断椭圆上是否存在点P ，使得21PF =，即可判断A ；当点P 为椭圆上、下顶点时，12PF F 面积的取最大值，即可判断B ；由椭圆定义知，21122PA PF PA a PF a AF +=+-≥-即可判断C ；求得使得1PAF V 的面积为32的P 点坐标满足的关系，与椭圆联立，根据判别式判断交点个数，即可判断D.【详解】由题知，点P 的轨迹是3a =，2c =，焦点在x 轴上的椭圆，则b =22195x y +=，A ：当点P 为椭圆右顶点时，2321PF a c =-=-=，故A 正确；B ：当点P 为椭圆上、下顶点时，12PF F △面积的取最大值，且最大值为1212F F b =B 错误；C ：2112266PA PF PA a PF a AF +=+-≥-==，因为96 4.59 4.52≈>=，故C 正确；D ：设使得1PAF V 的面积为32的P 点坐标为()00,P x y ，由A ，1F 坐标知，1AF =，直线1AF 的方程为20x y -+=，则1322=，解得0010x y --=或0050x y -+=，联立00220010195x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得20075200y y +-=，则2528200∆=+⨯>，因此存在两个交点；同理可得直线与椭圆联立00220050195x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得200725400y y -+=，则22528404950∆=-⨯=-<，所以不存在交点；综上，有且仅有2个点P ，使得1PAF V 的面积为32，故D 正确；故选：ACD.【点睛】方法点睛：①椭圆上任意一点的焦半径范围为a c PF a c -≤≤+；②椭圆中当点P 位于椭圆上下顶点时焦三角形()12PF F 的面积有最大值bc ；③求直线与椭圆交点个数时，将直线与椭圆方程进行联立，利用判别式判断交点个数.三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在等差数列{}n a 中，12565,7a a a a +=+=，则910a a +=________.【答案】9【解析】【分析】根据等差数列的性质可得910a a +的值.【详解】因为()9101256214a a a a a a +++=+=，125a a +=，所以9109a a +=.故答案为：914.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.【答案】710.【解析】【分析】先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有2510C =种情况.若选出的2名学生恰有1名女生，有11326C C =种情况，若选出的2名学生都是女生，有221C =种情况，所以所求的概率为6171010+=.【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”.15.若函数()21ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是________.【答案】18a ≥【解析】【分析】依题意可得()210af x x x'=-+≥在()0,x ∈+∞上恒成立，参变分离得到22a x x ≥-在()0,x ∈+∞上恒成立，令()22g x x x =-，求出()g x 的最大值即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为()21ln f x x x a x =-++的定义域为()0,x ∈+∞，且函数()21ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增，()210af x x x'∴=-+≥在()0,x ∈+∞上恒成立，即22a x x ≥-在()0,x ∈+∞上恒成立，令()22112248g x x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭当14x =时()max 18g x =所以18a ≥即1,8a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭故答案为：1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，属于中档题.16.高斯函数[]y x =是以德国数学家卡尔-高斯命名的初等函数，其中R,[]x x ∈表示不超过x 的最大整数，如[π]3,[3.5]4=-=-.已知{}n a 满足()*111,21n n a a a n +==+∈N ，设1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，[]{}n S 的前n 项和为n T .则（1）3T =_____；（2）满足2024n T ≥的最小正整数n 为____．【答案】①.1②.91【解析】【分析】利用构造法可得数列{}n a 的通项公式为21nn a =-，则由题意可得，111112221n n n a a ++=-⋅-，231111122212121n n n S +⎛⎫=-⋅+++ ⎪---⎝⎭ ，利用放缩法可得所以122n n n S -<<，所以[]1,2121,22n n n k S nn k -⎧=+⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎩，可解问题.【详解】由题可知：()*111,21n n a a a n +==+∈N ，则()()*1121n n a a n ++=+∈N，且112a +=，即{}1n a +为首项为2，公比为2的等比数列，所以12nn a +=，则21nn a =-，所以11121111222121n n n n n a a +++-==-⋅--．所以231111122212121n n n S +⎛⎫=-⋅+++ ⎪---⎝⎭．设231111212121n n R ++++--=- ，则231211111101221212122n n nR +<+++<+++<---= ．所以231111112222121212n n n n nS +-⎛⎫<=-⋅+++< ⎪---⎝⎭ ．所以[]1,2121,22n n n k S n n k -⎧=-⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎩且k 为正整数，所以30011T =++=．所以222001122k T k k k k +=++++++++=+ ，221001122k T k k +=+++++++= ．所以9190202520241980T T =>>=，所以满足2024n T ≥的最小正整数n 为91．故答案为：1；91．【点睛】思路点睛：利用放缩法求出122n n n S -<<，从而由题意得[]1,2121,22n n n k S n n k -⎧=+⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎩，即可解决问题.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）17.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos (cos cos ).C a B +b A c =（1）求C ；（2）若5c =，ABC的面积为ABC 的周长.【答案】（1）π3C =（2）12【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换公式化简计算即可；（2）表示出面积，结合余弦定理计算即可.【小问1详解】由已知及正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=,即()2cos sin sin C A B C ⋅+=，故2cos sin sin C C C ⋅=,由()sin sin 0A B C +=>，可得1cos 2C =,因为()0,πC ∈，π3C ∴=.【小问2详解】由已知得，1sin 2ABC S ab C =⋅= 又π3C =，所以8ab =,由余弦定理得：222cos 25a b ab C +-⋅=，所以2233a b +=，从而()249a b +=，即7a b +=,∴ABC 周长为12a b c ++=．18.如图，在平行四边形ABCD 中，1,2,60AB BC ABC ∠=== ，四边形ACEF 为正方形，且平面ABCD ⊥平面ACEF .（1）证明:AB CF ⊥；（2）求平面BEF 与平面ADF 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）34.【解析】【分析】（1）由余弦定理和勾股定理逆定理得到AB AC ⊥，由面面垂直得到线面垂直，线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，从而得到面面角的余弦值.【小问1详解】因为1AB =，2BC =，60ABC ∠=︒，在ABC 中，由余弦定理可得2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=，于是222AC AB BC +=，所以AB AC ⊥.又平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD ⋂平面ACEF AC =，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面ACEF ，又CF ⊂平面ACEF ，所以AB CF ⊥【小问2详解】因为四边形ACEF 为正方形，所以AF AC ⊥.又平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD ⋂平面ACEF AC =，AF ⊂平面ACEF ，所以AF ⊥平面ABCD .以A 为原点，AB ，AC ，AF所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系.()0,0,0A，()1,0,0B，()C，(F，(E，()D-，(BE=-，()0,EF=，()AD=-，(AF=.设平面BEF的一个法向量为(),,m x y z=，所以m BE xm EF⎧⋅=-++=⎪⎨⋅==⎪⎩，解得0y=，令1z=，则x=)m= ，设平面ADF的一个法向量为()111,,n x y z= ，所以111n AD xn AF⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，解得10z=，令11y=，则1x=)n= ，所以33cos,224m nm nm n⋅⋅〈〉===⋅⨯，记平面BEF与平面ADF的夹角为θ，则3cos cos,4m nθ=〈〉=，即平面BEF与平面ADF夹角的余弦值为34.19.已知函数32()2f x x ax=-.（1）讨论()f x的单调性；（2）已知1a=时，直线:l y kx=为曲线32()2f x x ax=-的切线，求实数k的值．【答案】（1）答案见解析（2）0k=或18k=-【解析】【分析】（1）求导后因式分解，再讨论当0a>，0a=，0a<时导函数的正负，即可判断原函数的单调性.（2）求导后根据导数的几何意义设切点00(,)P x y，求得切线方程，根据切线过原点计算即可求得结果.【小问1详解】()()26223f x x ax x x a -='=-．令()=0f x '，得0x =或3a x =．若0a >，则当(),0,3a x ∞∞⎛⎫∈-⋃+⎪⎝⎭时，()>0f x '；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()<0f x '．故()f x 在(),0,,3a ∞∞⎛⎫-+⎪⎝⎭上单调递增，在(0,)3a 上单调递减；若0a =时，3()2f x x =，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；若0a <，则当(),0,3a x ∞∞⎛⎫∈-⋃+ ⎪⎝⎭时，()>0f x '；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()<0f x '．故()f x 在(),,0,3a ∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．综上所述：当0a >时，()f x 在(),0,,3a ∞∞⎛⎫-+⎪⎝⎭上单调递增，在(0,)3a 上单调递减；当0a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；a<0时，()f x 在(),,0,3a ∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减．【小问2详解】当1a =时，()()3222,62f x x x f x x x'=-=-设切点00(,)P x y ，则切线方程为()()()322000000262y y y x x x x x x -=--=--因为切线过原点，故32320000262x x x x -+=-+，即32004x x =，解得00x =或014x =所以0k =或18k =-.20.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2844n n n S a a =++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11212n n n n b a n --⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，{}n b 的前n 项和为n T ，求2n T .【答案】（1）42n a n =-（2）224123n n T n n-=+-【解析】【分析】（1）根据n a 与n S 的关系化简求解即可；（2）采用分组求和的方式计算即可.【小问1详解】2844n n n S a a =++ ①2111844n n n S a a ---∴=++②①-②整理得11()(4)0,2n n n n a a a a n --+--=≥ 数列{}n a 是正项数列，14,2n n a a n -∴-=≥当1n =时，21111844, 2.S a a a =++=由可得∴数列{}n a 是以2为首项，4为公差的等差数列，42n a n ∴=-；【小问2详解】由题意知，1223n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，故()()24222122215943n n T n -=+++++++++- ()()114143142nn n ⨯-+-=+-24123n n n -=+-.21.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点()11,A x y 是曲线C 上一点．（1）若154AF y =，求点A 的坐标；（2）若直线:l y x m =+与抛物线C 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过点(4,0)P ，求||AB .【答案】（1）1,14⎛⎫⎪⎝⎭或()4,4（2）或【解析】【分析】（1）利用点()11,A x y 是曲线C 上一点，结合抛物线的定义整理计算即可;（2）结合题意转化为0PA PB ⋅=，借助韦达定理得0m =或12=-m ，再借助弦长公式计算即可.【小问1详解】由抛物线2:4C y x =，可得焦点为()1,0F ，由抛物线的定义可得11AF x =+，而2114y x =，所以2115144y y +=，解得11y =或14y =.当11y =时，114x =;当14y =时，14x =.所以点A 的坐标为114⎛⎫⎪⎝⎭，或()4,4.【小问2详解】设()22,B x y ，联立方程24y x my x=+⎧⎨=⎩，得2440y y m -+=，所以16160m ∆=->，即1m <,且121244y y y y m+=⎧⎨=⎩，由题知，12121212(4)(4)(4)(4)0PA PB x x y y y m y m y y ⋅=--+=----+=，整理得()()()212122440y y m y y m -++++=，即()()284440m m m -+++=，解得0m =或12=-m ，当0m =时，12AB y=-===；当12=-m 时，12AB y y =-===.综上所述：弦长AB 的值为或.22.已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的渐近线方程为3y x =，焦点到渐近线的距离为1，过点(0,4)M 作直线AB （不与y 轴重合）与双曲线C 相交于,A B 两点，过点A 作直线:l y t =的垂线,AE E 为垂足．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）是否存在实数t ，使得直线EB 过定点P ，若存在，求t 的值及定点P 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）2213y x -=（2）存在实数3t 4=，使得直线EB 过定点190,8P ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）焦点到渐近线的距离为b ，在根据渐近线方程求出a ；（2）计算出EB 的直线方程，再令0x =即可求出定点坐标.【小问1详解】焦点到渐近线的距离不妨求()0,c 直线ay x b=的距离221bc d b a b===+，渐近线方程3ay x b=±=，得3a =所以双曲线方程为2213y x -=；【小问2详解】假设存在实数t ，使得直线EB 过定点P ,设直线()()1122:4,,,,AB y kx A x y B x y =+，则()1,E x t ．联立22413y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消y 得()2238130k x kx -++=则1212228,3313x k x x k x k +=-=--．直线2121:()y tEB y t x x x x --=--，令0x =得:()211211121121212144p kx x tx y x tx kx x x tx y t t tx x x x x x -++-+--+=+=+=+---又()121212121313,88x x kx x x x x x k =--=++ 2121131988p x t x y t x x ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭∴=+-当1319088t ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭即3t 4=时，p y 为定值198所以存在实数3t 4=，使得直线EB 过定点190,8P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
浙江省杭州二中高二上学期期末数学文试题.pdf
杭州二中2012学年高二试 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间100分钟. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答卷相应空格中） 1．”是直线与直线平行的A． B．C． D．2．如图, 在正方体ABCD—A1B1C1D1中, E，F，G，H分别是AA1，A1D1，A1B1，BB1的中点，则异面直线EF与GH所成的角 A．30°B．45°C．60°D．120° 3． 若实数满足则的最大值是 A． 0 B． C． 2 D． 3 4．已知椭圆的长轴长为10，离心率，则椭圆的方程是 A．或B．或 C．或D．或 5．设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 A．若，，则 B． 若，，则 C．若，，则 D． 若，，则 6． 点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离和的最小值是A． B． C． D．2 7． 已知直线和椭圆有两个公共点，则的取值范围 A．或 B． C．或 D． 8．和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是 A．B．C．D．9． 过双曲线的右焦点作圆的切线(切点为), 交轴于点，若为线段的中点, 则双曲线的离心率是（） A． B． C． D． 10．如图，四面体的三条棱两两垂直，为四面体外一点．给出下列命题不存在点,使四面体有三个面是直角三角形； 不存在点,使四面体是正三棱锥； 存在点,使与垂直并且相等； 存在无数个点,使点在四面体的外接球面上． 其中真命题的序号是 A．①② B．②③ C．③④ D．③ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答卷中相应横线上） 11．上点的切线方程为 ． 12．已知某个几何体的三视图如图（正视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的表面积是___________． 13． 直线(为参数)与曲线(为参数)的交点个数为 ． 14． 如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于AB两点，交其准线于点C，若，且，则此抛物线的方程为．15．在平面直角坐标系中，设点，定义坐标原点O与点之间的“出租车距离”为，对于下列结论：①符合的点的轨迹围成的图形面积为2；②设为直线上任意一点，则的最小值为；③设点为直线上的任意一点，则“使得取最小值的点有无数个”的必要不充分条件是“”．其中正确的结论有 ．（填上你认为正确的所有结论的序号） 杭州二中2012学年高二 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答卷相应空格中） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答卷中相应横线上）三、解答题（本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 16． （本小题满分分）已知命题：对任意实数都有恒成立：“方程表示焦点在轴上的椭圆”（Ⅰ）若命题是真命题,求实数的取值范围 （Ⅱ）若命题,中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 17． （本小题满分分）已知过点,且与:关于直线对称． （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）过点作两条相异直线分别与相交于,且直线和直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断直线和是否平行?请说明理由． 18．（本小题满分1分）在四棱锥中，平面，底面为矩形，． （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值． 19．（本小题满分1分）已知点是抛物线上一点，为抛物线的焦点，准线与轴交于点，已知，三角形的面积等于8． Ⅰ）求的值； （Ⅱ）过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，与抛物线相交得两条弦，两条弦的中点分别为求的最小值． 杭州二中2012学年高二 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 题号12345678910答案ACDABCAC二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 11．； 12． ； 13．； 14．； 15．①③． 三、解答题（本大题共4小题，共36分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 16．（）命题是真命题对任意实数都有恒成立；（）为真，则，命题,中有且只有一个真命题，求实数的取值范围或． 17．解：（）设圆心,则,解得 则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为（）由题意知, 直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设, ,由,得 因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得同理,,所以=所以,直线和一定平行18．解：（）当时，底面为正方形， 又因为,又 （）二面角的余弦值为 19．，因为抛物线的焦点 ， 则 ， ，而点A在抛物线上， 又 （Ⅱ）由，得，显然直线，的斜率都存在且都不为0．的方程为，则的方程为． 得，同理可得 则=．时取等号） 所以的最小值是8． 高考学习网： 高考学习网： D1 C1 B1 A1 HD GD FD ED D C B A。
2023-2024学年浙江省杭州第二中学高二上学期期末考试数学试题
2023-2024学年浙江省杭州第二中学高二上学期期末考试数学试题1.抛物线的准线方程为()A．B．C．D．2.圆上的点到直线的距离的最小值为（）A．1B．2C．4D．53.设平面内不共线的三点A，B，C以及平面外一点P，若平面内存在一点D满足，则x的值为（）A．0B．C．D．4.已知的三个顶点分别为，，，则边上的中线长为（）A．1B．C．D．25.设是公差为d的等差数列，是其前n项和，且，，则（）A．B．C．D．6.用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（）A．1项B．项C．项D．项7.若数列满足递推关系式，且，则（）A．B．C．D．8.设双曲线的中心为O，右焦点为F，点B满足，若在双曲线的右支上存在一点A，使得，且，则的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．9.已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（）A．B．C．D．10.已知等差数列的前项和为，正项等比数列的前项积为，则（）A．数列是等差数列B．数列是等比数列C．数列是等差数列D．数列是等比数列11.已知为抛物线的顶点，直线交抛物线于两点，过点分别向准线作垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（）A．若直线过焦点，则以为直径的圆与轴相切B．若直线过焦点，则C．若两点的纵坐标之积为，则直线过定点D．若，则直线恒过点12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A．B．若M为线段CQ上的一个动点，则的最小值为1C．点F到直线CQ的距离是D．异面直线CQ与所成角的正切值为13.已知，则_____________．14.若平面内两定点A，B间的距离为3，动点P满足，则△PAB面积的最大值为_____________．15.已知点是抛物线上动点，是抛物线的焦点，点的坐标为，则的最小值为________.16.意大利著名数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo·Fibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为．记一个新的数列，其中的值为除以4得到的余数，则_____________．17.已知函数，直线l：与x轴交于点A．(1)求过点A的的切线方程；(2)若点B在函数图象上，且在点B处的切线与直线l平行，求B点坐标．18.已知圆O：（）与圆C：有两个不同的交点D，E．(1)求r的取值范围；(2)若，求线段DE的长．19.已知数列是首项为正数的等差数列，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．20.如图，在四棱锥中，底面四边形为正方形，且，，(1)若与交于点，证明：平面；(2)棱上的点满足，若，，求直线与平面所成角的正弦值．21.已知数列满足，且对任意正整数n都有．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，，（），若且，求集合A中所有元素的和．22.已知焦点在x轴上的椭圆C：，长轴长为4，离心率为，左焦点为F．点M在椭圆内，且MF⊥x轴，过点M的直线与椭圆交于A、B两点（点B在点A右侧），直线AN、BN分别与椭圆相切且交于点N．(1)求椭圆的方程；(2)若直线AF与直线BF的倾斜角互补，则M点与N点纵坐标之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由．。
数学-高二浙江省杭州二中2010至2011学年高二上学期期中试题 数学文
准妈妈孕期可以跷二郎腿吗孕妇属于特殊时期，有很多生活习惯要特别注意，不管是饮食上还是生活上都要注意，有很多孕妈有跷二郎腿的习惯，觉得这样坐着比较舒服，但长期跷二郎腿容易影响骨盆和脊椎、腰椎出现偏位，还会引发腰疼腿疼，妨碍腿部血液循环不畅，所以孕妈最好还是不要跷二郎腿，为了宝宝的健康发育和自身的身体健康。
孕妇跷二郎腿的危害其实，不管是孕妇还是普通人都不适合跷二郎腿。
长时间翘腿的结果是骨盆、腰椎和脊椎偏位，不但会引发腰痛、下背痛、椎间盘突出，甚至还有可能会变成长短腿，导致胯骨变大和变形。
跷二郎腿会妨碍腿部的血液循环，有可能造成腿部静脉曲张，再加上跷二郎腿时两侧膝盖受力的不同，比较经常磨损的一侧膝关节就会提早退化，而退化性关节炎会直接影响个人健康。
在怀孕时，孕妇腹中的胎儿会加重腰椎的压迫力，如果再有跷二郎腿的习惯，那腰椎就会承受双重的压力而变得更加的严重，从而引发出一系列的健康问题。
此外，怀孕期间胎儿正在下腹部，跷二郎腿的时候胎儿也会受到压迫，从而影响到胎儿的健康发育。
所以，孕妈们可要注意了，千万不要再跷二郎腿了，注意端正自己的坐姿。
孕妇正确坐姿孕妇要注意自己的坐姿，当孕妇想要坐下来的时候，首先要确定椅子是否稳固，千万不要瞄都不瞄一眼就一屁股往后坐。
最好是能够用手作为探测器，确定椅面之后再慢慢地由椅边往里靠，直到后背笔直地倚靠在椅背上，而股关节和膝关节最好成直角，大腿要保持水平状态。
一屁股猛然就坐下，或长时间坐在软绵绵的沙发上都是不好的。
坐在差不多是椅面的1/2处，再慢慢地挪动下半身，直到背部紧紧地靠在椅背上，并把背部的肌肉伸展开来。
腿部要并拢，以免腰酸背痛。
当孕妇腹部越来越大，坐在地板上时，一定要在臀下放个软垫，保持良好的平衡感，也比较舒服。
若是侧坐时，要使腰骨平行，并于倾斜的一方垫个软垫。
还需要上班的孕妇，有时候连坐8个小时，正确的孕妇坐姿可以帮身体减轻不少负担，反之，不正确的孕妇坐姿不但会让人腰酸背痛，甚至还有可能有流产之忧。
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杭州二中2010学年第一学期高二年级期末考试数学试卷（文）时间 90分钟 命题 陈洁 校对 叶加群 审核 孙惠华注意：本试卷不得使用计算器，作图时必须使用尺规．一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 双曲线19422=-y x 的渐近线方程是A ．x y 23±= B ．x y 32±=C ．x y 49±=D ．x y 94±=2．原点在直线l 上的射影是(2,1)P -，则直线l 的方程是 A ．02=+y x B ．042=-+y x C ．052=+-y x D ．032=++y x3. 已知平面内两定点A 、B 及动点P ，设命题甲是：“PA PB +是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，那么A ．甲是乙成立的充分不必要条件B ．甲是乙成立的必要不充分条件C ．甲是乙成立的充要条件D ．甲是乙成立的非充分非必要条件 4．命题：“若220(,)a b a b R +=∈，则0a b ==”的逆否命题是 A ．若0(,)a b a b R ≠≠∈，则220a b +≠ B ．若0(,)a b a b R =≠∈，则220a b +≠C ．若0a ≠且0(,)b a b R ≠∈，则220a b +≠ D ．若0a ≠或0(,)b a b R ≠∈，则220a b +≠5．已知异面直线,a b 分别在平面,αβ内，且平面α与β的交线为c ，则直线c 与,a b 的位置关系是A.与,a b 都平行B.至多与,a b 中的一条相交C.与,a b 都不平行D.至少与,a b 中的一条相交6. 若直线10ax by ++=与圆221x y +=相离，则点(,)P a b 的位置是A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.以上都有可能7. 与椭圆1422=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是 A ．1222=-y x B ．1422=-y x C ．13322=-y x D ．1222=-y x 8.若倾斜角为4π的直线l 通过抛物线24y x =的焦点且与抛物线相交于M N 、两点，则线段MN 的长为A.B.8C.16D.9.抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0 10. 当210<<k 时，方程kx x =-1的解的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11. 若椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m = . 12. 在正ABC ∆中, D E 、分别为AB AC 、的中点,则以B C 、为焦点且过点D E 、的双曲线的离心率为 .13．椭圆193622=+y x 的一条弦被点)2,4(A 平分,那么这条弦所在的直线方程是________. 14．若,x y 满足220,x y +-≤且220y x -≤，则z x y =+的最大值为 ． 15. 已知四面体A BCD -的棱长均为2，其正视图是边长为2的等边三角形（如图，其中BC为水平线），则其侧视图的面积是 .（正视图）杭州二中2010学年第一学期高二年级期末考试数学答题卷（文）一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中的横线上．11． 12．13． 14．15．三．解答题：本大题共4小题，共50分.16．（本小题满分12分）已知圆C ：22420(,0)x y tx y t R t t+--=∈≠与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点.（1）求证：OAB ∆的面积为定值；（2）设直线42+-=x y 与圆C 交于点M 、N ，若OM ON =，求圆C 的方程.17．（本小题满分12分）已知曲线C 的极坐标方程是22(13sin )4ρθ+=，直线l 的参数方程是6x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩()t 为参数.（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）设点M 为曲线C 上任一点，求M 到直线l 的距离的最大值.18．（本小题满分12分）如图，已知BCD ∆中，90BCD ∠=︒，AB ⊥平面BCD ，1,BC CD ==AB E F =、分别为AC AD 、的中点.（1）求证：平面BEF ⊥平面ABC ；（2）求直线AD 与平面BEF 所成角的正弦值.19．（本小题满分14分）过x 轴上动点(,0)A a 引抛物线21y x =+的两条切线AP 、AQ ，P 、Q 为切点，设切线AP ，AQ 的斜率分别为1k 和2k .(1)求证：124k k =-;(2) 试问：直线PQ 是否经过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.杭州二中2010学年第一学期高二年级期末考试数学答案（文）一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中的横线上．11．3823或121 13．280x y +-= 14．3215 三．解答题：本大题共4小题，共50分. 16．解：（1）由题意知，(2,0)A t ,4(0,)B t4|2||4|2121=⨯⨯=⨯=∴∆t tOB OA S OAB ，即OAB ∆的面积为定值． （2）,,CN CM ON OM == OC ∴垂直平分线段MN ． 21,2=∴-=oc MN k k ，∴直线OC 的方程是x y 21= t t 212=∴，解得：22-==t t 或 ①当2=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(，5=OC ，此时C 到直线42+-=x y 的距离559<=d ，圆C 与直线42+-=x y 相交于两点．②当2-=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(--，5=OC ，此时C 到直线42+-=x y 的距离559>=d , 圆C 与直线42+-=x y 不相交，2-=∴t 不符合题意舍去．∴圆C 的方程为5)1()2(22=-+-y x17．解：（1）22:1,4x C y += :260l x y +-=（2）设(2cos ,sin )M θθ，则M 到直线l 的距离d ==∴当sin()14πθ+=-，即5,(4M πθ=时，max d ==18．（1）证明：AB ⊥平面BCD ，AB CD ∴⊥。
又,CD BC CD ⊥∴⊥平面ABC .E F 、分别为AC AD 、的中点，//EF CD ∴。
EF ∴⊥平面ABC ，EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ABC 。
（2）解：过A 作AH BE ⊥于H ，连结HF ,由（1）可得AH ⊥平面BEF ， AFH ∴∠为直线AD 与平面BEF 所成角。
在Rt ABC ∆中，1,AB BC E ==为AC 中点，130,2ABE AH AB ∴∠=︒∴==在Rt BCD ∆中，1,BC CD == BD ∴=。
∴在Rt ABD ∆中，AD =12AF AD ∴==.∴在Rt AFH ∆中，sin AH AFH AF ∠==, ∴AD 与平面BEF 所成角的正弦值为5。
19．解：（Ⅰ）设过)0,(a A 与抛物线12+=x y 的相切的直线的斜率是k ，则该切线的方程为：()y k x a =-，由()21y k x a y x ⎧=-⎨=+⎩得()210x kx ka -++= ()2241440k ka k ak ∴∆=-+=--=，则12,k k 都是方程2440k ak --=的解，故124k k =-。
（Ⅱ）法1：设()()1122,,,P x y Q x y ，故切线AP 的方程是：1112y y x x +=+，切线AQ 的方程是：2212y yx x +=+，又由于A 点在AP 上，则1112y x a =+，2212yx a =+， 1122y x a ∴=+，2222y x a =+则直线PQ 的方程是22+=ax y ，则直线PQ 过定点()0,2.法2：设221122(,1),(,1)2424k k k k P Q ++， 所以,直线PQ：1212211121112()()41()()2()422222k k k k k k k k k k y x x a x k k -++--=-=-=--，即2211114421244k k ak y ax ak ax -+=-++=+，由（1）知211440k ak --=， 所以，直线PQ 的方程是22+=ax y ，则直线PQ 过定点()0,2.。