2021版高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第8讲离散型随机变量的均值与方差正态分布
2021新高考第10章计数原理、概率、随机变量及其分布8讲(理)
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知识点一 条件概率及其性质
条件概率的定义
条件概率的性质
设 A、B 为两个事件，且 P(A)＞0，称 (1)0≤P(B|A)≤1
P(B|A)＝PPAAB为在事件 A 发生的条件 (2)若 B、C 是两个互斥事件，则 P(B∪
下，事件 B 发生的条件概率
C|A)＝___P__(B_|_A_)_＋__P_(_C_|A__) ____
(2)二项分布：在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试 验中事件 A 发生的概率为 p，则 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随 机变量 X 服从二项分布，记为 X～B(n，p)．
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布(理)
高考一轮总复习 • 数学 • 文理合订
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布(理)
高考一轮总复习 • 数学 • 文理合订
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知识点三 独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验：在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验，若 用 Ai(i＝1,2，…，n)表示第 i 次试验结果，则 P(A1A2A3…An)＝_P_(_A_1_)P__(A_2_)_P_(_A_3_)…__P_(_A_n_)__．
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(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n 二项展开式的通项公式，其
中 a＝p，b＝1－p.
(× )
(5)袋中有 5 个小球(3 白 2 黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则
在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是 0.5.
(√ )
(6)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试 3 次，那么其中恰好第 3 次测
2021高考数学一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量及其分布10.5古典概型课件理
12 C.3 D.3
解析：甲乙丙站一排共有 A33＝6 种，其中甲在中间有 A22＝2 种， ∴概率 P＝26＝13. 答案：C
5．从 52 张扑克牌(没有大小王)中随机地抽一张牌，这张牌是 J 或 Q 或 K 的概率是________．
解析：在 52 张牌中，J，Q 和 K 共 12 张，故是 J 或 Q 或 K 的概 率是1522＝133.
答案：B
2．[2019·全国卷Ⅰ]我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变 化，每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“——” 和“阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦， 则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是( )
5 11 A.16 B.3221 11 C.32 D.16
解析：由 6 个爻组成的重卦种数为 26＝64，在所有重卦中随机取 一重卦，该重卦恰有 3 个阳爻的种数为 C63＝6×65×4＝20.根据古典概 型的概率计算公式得，所求概率 P＝2604＝156.故选 A.
答案：A
悟·技法 1.求古典概型概率的基本步骤 (1)算出所有基本事件的个数 n. (2)求出事件 A 包含的所有基本事件数 m. (3)代入公式 P(A)＝mn ，求出 P(A)． 2．基本事件个数的确定方法 (1)列举法：此法适合于基本事件较少的古典概型． (2)列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可 看成是坐标法.
解析：对于 A，发芽与不发芽概率不同；对于 B，任取一球的概 率相同，均为14；对于 C，基本事件有无限个；对于 D，由于受射击运 动员水平的影响，命中 10 环，命中 9 环，…，命中 0 环的概率不等．因 而选 B.
答案：B
3 ． [2018·全 国 卷 Ⅲ] 若 某 群 体 中 的 成 员 只 用 现 金 支 付 的 概 率 为
高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布108离散型随机变量的均值与方差课件理新人教A版
5．在一次招聘中，主考官要求应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题，并独立完成所抽取的 3 道题。乙能正确完成每道题的概率为32，且 每道题完成与否互不影响。记乙能答对的题数为 Y，则 Y 的数学期望为 ________。
解析
＝2。 答案
由题意知 Y 的可能取值为 0,1,2,3，且 Y～B3，32，则 E(Y)＝3×32 2
二项分布的期望与方差 1．如果 ξ～B(n，p)，则用公式 E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大 大减少计算量。 2．有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机 变量服从二项分布，这时，可以综合应用 E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b 以及 E(ξ)＝ np 求出 E(aξ＋b)，同样还可求出 D(aξ＋b)。
2．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝
aE(X)＋b
。
(2)D(aX＋b)＝ a2D(X) (a，b 为常数)。
3．两点分布与二项分布的均值、方差
X
X 服从两点分布
X～B(n，p)
E(X)
p(p 为成功概率)
np
D(X)
p(1－p)
np(1－p)
1．均值 E(X)是一个实数，由 X 的分布列唯一确定，即 X 作为随机变量是 可变的，而 E(X)是不变的，它描述 X 值的取值平均状态。
A．37 B．4 C．－1 D．1
解析
选 A。 答案
E(X)＝－21＋61＝－13，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－23＋3＝73。故 A
2．(选修 2－3P68A 组 T5 改编)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数 分别是两个随机变量 X，Y，其分布列分别为：
高考数学一轮总复习课件：离散型随机变量的分布列、均值与方差
超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次
CMkCN－Mn－k
品，则P(X＝k)＝________C_N_n __，k＝0，1，2，…，m，其中m
＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.称分布列：
X
0
P
CM0CN－Mn－0 CNn
为超几何分布列．
1
…
m
CM1CN－Mn－1 CNn
…
CMmCN－Mn－m CNn
如果随机变量X的分布列具有上表的形式，那么称随机变量
X服从超几何分布，记作X～H(N，M，n)．
1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)． (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量． (2)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概 率之和可以小于1. (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥 的．
思考题2 (1)(2021·吉林省汪清县高三月考)已知随机变 量ξ的分布列如下表，则x＝____12____．
ξ01 2
P x2 x
1 4
【解析】
由随机变量概率分布列的性质可知：x2＋x＋
1 4
＝1，且0≤x≤1，解得x＝12.
(2)(2021·青铜峡市高三期末)设随机变量ξ的概率分布列如下
表，则P(|ξ－3|＝1)＝( A )
3．设ξ是一个离散型随机变量，则下列不一定能成为ξ的概
率分布列的一组数是( C )
A．0，0，0，1，0
B．0.1，0.2，0.3，0.4
C．p，1－p(p为实数)
D.1×1 2，2×1 3，…，（n－11）·n，1n(n∈N*，n≥2)
解析
显然A、B满足分布列的两个性质；对于D，有
2021高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布107离散型随机变量及其分布列课件理20
答案：C
2021高考数学一轮复习第十章计数原理
2021/4/17
概率随机变量及其分布107离散型随机变
11
量及其分布列课件理20
5．有一批产品共 12 件，其中次品 3 件，每次从中任取一件，在 取到合格品之前取出的次品数 X 的所有可能取值是________．
概率随机变量及其分布107离散型随机变
16
量及其分布列课件理20
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休 息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来 动一动，久坐对身体不好哦~
2021高考数学一轮复习第十章计数原理
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概率随机变量及其分布107离散型随机变
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量及其分布列课件理20
中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字 2,3 的卡片的同学留
下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这
位同学获得一个奖品．已知同学甲参加了该游戏．
(1)求甲获得奖品的概率；
(2)设 X 为甲参加游戏的轮数，求 X 的分布列．
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2021/4/17
X 0 1 2 3 45
P
1 10
3 10
x
3 10
y
z
则 P(X≥2)＝( )
A．0.3 B．0.4
C．0.5 D．0.6
解析：P(X≥2)＝x＋130＋y＋z＝1－110＋130＝0.6. 答案：D
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概率随机变量及其分布107离散型随机变
高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及分布列10.8n次独立重复试验与二项分布课件理
【变式训练 2】 某中学为丰富教职工生活，国庆节举 办教职工趣味投篮比赛，有 A，B 两个定点投篮位置，在 A 点投中一球得 2 分，在 B 点投中一球得 3 分．规则是：每 人投篮三次按先 A 后 B 再 A 的顺序各投篮一次，教师甲在 A 和 B 点投中的概率分别是12和13，且在 A，B 两点投中与否相 互独立．
P(A1)
＝
4 10
＝
2 5
，
P(A2)
＝
5 10
＝
1 2
，
所
以
P(B1) ＝ P(A1A2) ＝
P(A1)P(A2)＝25×12＝15，P(B2)＝P(A1 A2 ＋ A1 A2)＝P(A1 A2 )＋
(2)一个正方形被平均分成 9 个部分，向大正方形区域 随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧 3 个小正 方形区域的事件记为 A，投中最上面 3 个小正方形或正中间 的 1 个小正方形区域的事件记为 B，求 P(AB)、P(A|B)．
[解] 如图，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4， ∴n(AB)＝1，∴P(AB)＝19， P(A|B)＝nnABB＝14.
[解] (1)记事件 A1＝{从甲箱中摸出的 1 个球是红球}， A2＝{从乙箱中摸出的 1 个球是红球}，B1＝{顾客抽奖 1 次 获一等奖}，B2＝{顾客抽奖 1 次获二等奖}，C＝{顾客抽奖 1 次能获奖}．
由题意，A1 与 A2 相互独立，A1 A2 与 A1 A2 互斥，B1 与
B2 互斥，且 B1＝A1A2，B2＝A1 A2 ＋ A1 A2，C＝B1＋B2.因为
第10章 计数原理、概率、随机变量及分 布列
第8讲 n次独立重复试验与二项分布
板块一 知识梳理·自主学习
2021版高考数学一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量及其分布10.3随机事件的概率课件苏教版
A∩B＝∅
A∩B＝∅且 A∪B＝U (U为全集)
9
4.概率的基本性质 (1)任何事件A的概率都在[0,1]内，即0≤P(A)≤1，不可能事件 的概率为0，必然事件Ω的概率为1. (2)如果事件A，B互斥，则P(A∪B)＝ P(A)＋P(B) ． (3)事件A与它的对立事件 A 的概率满足P(A)＋P( A )＝ 1 .
25
判断含有“至多、至少”等关键词的事件关系，可先 借助枚举法分析每个事件包含的基本事件，然后再借助定义做出判 断．
26
考点2 随机事件的频率与概率 1.概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而 概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的 大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．
16
4．一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如
下：
时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内
新生婴儿数n 5544 9607 13520 17190
男婴数m 2883 4970 6994 8892
这一地区男婴出生的概率约是
(保留四位小数)．
17
0.517 3 [男婴出生的频率依次约是：0.520 0,0.517 3,0.517 3,0.517 3.由于这些频率非常接近0.517 3，因此这一地区男婴出生的 概率约为0.517 3.]
10
[常用结论] 如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则称这n个事件互斥，其概 率有如下公式：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
11
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
2021高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布108二项分布正态分布及其应用课件理20
3
分布及其应用课件理20
2．条件概率的性质 (1)条件概率具有一般概率的性质，即 0≤P(B|A)≤1； (2)如果 B，C 是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝②_P_(_B_|_A_)_＋P(C|A)． 3．相互独立事件的定义及性质 (1)定义：设 A，B 是两个事件，若 P(AB)＝③P__(A_)_P_(_B_)，则称事件 A 与事件 B 相互独立． (2)性质：若事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B ， A 与 B， A 与 B
A.6901，12 B.12，6901 C.158，6901 D.29116，12
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概率随机变量及其分布108二项分布正态
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分布及其应用课件理20
解析：P(A|B)的含义是在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概 率，即在“至少出现一个 6 点”的条件下，“三个点数都不相同”的 概率，因为“至少出现一个 6 点”有 6×6×6－5×5×5＝91 种情况， “至少出现一个 6 点，且三个点数都不相同”共有 C13×5×4＝60 种情 况，所以 P(A|B)＝6901.P(B|A)的含义是在事件 A 发生的情况下，事件 B 发生的概率，即在“三个点数都不相同”的情况下，“至少出现一个
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概率随机变量及其分布108二项分布正态
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分布及其应用课件理20
3．若事件 E 与 F 相互独立，且 P(E)＝P(F)＝14，则 P(EF)的值等
于( )
A．0
1 B.16
1
1
C.4
D.2
解析：P(EF)＝P(E)P(F)＝14×14＝116，选 B.
答案：B
高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10.7 离散型随机变量及其分布列课件(
类型一 随机变量的概念与性质
(1)写出下列随机变量可能的取值，并说明随 机变量所表示的意义．
①一个袋中装有 2 个白球和 5 个黑球，从中任取 3 个， 其中所含白球的个数 X；
②投掷两枚骰子，所得点数之和为 X，所得点数的最 大值为 Y.
解：①X 的可能取值为 0，1，2. X＝0 表示所取的 3 个球是 3 个黑球； X＝1 表示所取的 3 个球是 1 个白球，2 个黑球； X＝2 表示所取的 3 个球是 2 个白球，1 个黑球． ②X 的可能取值为 2，3，…，12，Y 的可能取值为 1，2，3，…，6.若以(i， j)表示先后投掷的两枚骰子出现的点数，则 X＝2 表示(1，1)； X＝3 表示(1，2)，(2，1)； X＝4 表示(1，3)，(2，2)，(3，1)； … X＝12 表示(6，6)． Y＝1 表示(1，1)； Y＝2 表示(1，2)，(2，1)，(2，2)； Y＝3 表示(1，3)，(2，3)，(3，3)，(3，1)，(3，2)； … Y＝6 表示(1，6)，(2，6)，(3，6)，…，(6，6)，(6，5)，…，(6，1)．
(2015·上海)赌博有陷阱．某种赌博每局的规则 是：赌客先在标记有 1，2，3，4，5 的卡片中随机摸取一 张，将卡片上的数字作为其赌金(单位：元)；随后放回该 卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对 值的 1.4 倍作为其奖金(单位：元)．若随机变量 ξ1 和 ξ2 分 别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 E(ξ1)－E(ξ2) ＝____________(元)．
(2)随机变量 X 的概率分布规律为 P(X＝k)＝k（kC＋1）
X
1ห้องสมุดไป่ตู้
0
P
p
则称 X 服从两点分布，并称 p＝P(X＝1)为成功概率．
高考数学一轮复习 第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第8讲 n次独立重复试验与二项分布创新
第8讲 n 次独立重复试验与二项分布[考纲解读] 1.了解条件概率与两个事件相互独立的概念．(重点)2．能够利用n 次独立试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．(难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2021年将会考查：①条件概率的计算；②事件独立性的应用；③独立重复试验与二项分布的应用．题型为解答题，试题难度不会太大，属中档题型.1.条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A 和B ，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做□01条件概率，用符号□02P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝□03P (AB )P (A )(P (A )>0)．在古典概型中，假设用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，那么P (B |A )＝n (AB )n (A )(n (AB )表示AB 共同发生的基本事件的个数)．(2)条件概率具有的性质 ①□040≤P (B |A )≤1； ②如果B 和C 是两个互斥事件， 那么P ((B ∪C )|A )＝□05P (B |A )＋P (C |A )． 2．相互独立事件(1)对于事件A ，B ，假设A 的发生与B 的发生互不影响，那么称□01A ，B 是相互独立事件．(2)假设A 与B 相互独立，那么P (B |A )＝□02P (B )， P (AB )＝P (B |A )P (A )＝□03P (A )P (B )． (3)假设A 与B 相互独立，那么□04A 与B ，□05A 与B ，□06A 与B 也都相互独立．(4)假设P (AB )＝P (A )P (B )，那么□07A 与B 相互独立． 3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在□01相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．A i (i ＝1,2，…，n )表示第i 次试验结果，那么P (A 1A 2A 3…A n )＝□02P (A 1)P (A 2)…P (A n )． (2)二项分布在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率是p ，此时称随机变量X 服从二项分布，记作□03X ～B (n ，p )，并称p 为□04成功概率．在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝□05C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )．1．概念辨析(1)相互独立事件就是互斥事件．( )(2)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．( )(3)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a ＋b )n 二项展开式的通项公式，其中a ＝p ，b ＝(1－p )．( )(4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．小题热身(1)甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P (A )＝0.2，P (B )＝0.18，P (AB )＝0.12，那么P (A |B )和P (B |A )分别为( )A.13，25B.23，25C.23，35D.12，35答案 C解析 由，得P (A |B )＝P (AB )P (B )＝0.120.18＝23， P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.120.2＝35. (2)设随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，那么P (ξ＝3)＝( )A.10243 B.32243 C.40243 D.80243答案 C解析 因为ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，所以P (ξ＝3)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫133·⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝40243. (3)一名信息员维护甲乙两公司的5G 网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，那么至少有一个公司不需要维护的概率为________．答案 0.88解析 P ＝1－0.4×0.3＝0.88.(4)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是________．答案 49解析 所求概率P ＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132＝49.题型 一 条件概率1．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ：“取到的2个数之和为偶数〞，事件B ：“取到的2个数均为偶数〞，那么P (B |A )＝( )A.18 B.14C.25 D.12答案 B解析解法一：事件A包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4个．事件AB发生的结果只有(2,4)一种情形，即n(AB)＝1.故由古典概型概率P(B|A)＝n(AB)n(A)＝14.应选B.解法二：P(A)＝C23＋C22C25＝410，P(AB)＝C22C25＝110.由条件概率计算公式，得P(B|A)＝P(AB)P(A)＝110410＝14.应选B.条件探究1假设将本例中的事件B改为“取到的2个数均为奇数〞，那么P(B|A)＝________.答案3 4解析P(A)＝C23＋C22C25＝25，P(B)＝C23C25＝310.又B⊆A，那么P(AB)＝P(B)＝3 10，所以P(B|A)＝P(AB)P(A)＝P(B)P(A)＝34.条件探究2将本例中的条件改为：从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数〞，事件B为“第二次取到的是奇数〞，那么P(B|A)＝________.答案1 2解析 从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，有A 25种方法；其中第一次取到的是奇数，有A 13A 14种方法；第一次取到的是奇数且第二次取到的是奇数，有A 13A 12种方法．那么P (A )＝A 13A 14A 25＝35，P (AB )＝A 13A 12A 25＝310，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝31035＝12.2．如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内〞，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内〞，那么P (B |A )＝________.答案 14解析 由题意可得，事件A 发生的概率P (A )＝S 正方形EFGH S 圆O ＝2×2π×12＝2π.事件AB 表示“豆子落在△EOH 内〞，那么P (AB )＝S △EOH S 圆O＝12×12π×12＝12π， 故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12π2π＝14.解决条件概率问题的步骤第一步，判断是否为条件概率，假设题目中出现“〞“在……前提下〞等字眼，一般为条件概率．题目中假设没有出现上述字眼，但事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率．假设为条件概率，那么进行第二步．第二步，计算概率，这里有两种思路：思路一缩减样本空间法计算条件概率，如求P (A |B )，可分别求出事件B ，AB 包含的基本事件的个数，再利用公式P (A |B )＝n (AB )n (B )计算思路二直接利用公式计算条件概率，即先分别计算出P (AB )，P (B )，再利用公式P (A |B )＝P (AB )P (B )计算提醒：要注意P (B |A )与P (A |B )的不同：前者是在A 发生的条件下B 发生的概率，后者是在B 发生的条件下A 发生的概率．1．(2019·某某模拟)甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传这四个项目，每人限报其中一项，记事件A 为“四名同学所报项目各不相同〞，事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目〞，那么P (A |B )＝( )A.14B.34C.29D.59答案 C解析 由题意，得P (B )＝3344＝27256，P (AB )＝A 3344＝3128，所以P (A |B )＝P (AB )P (B )＝29.2．(2019·武侯区校级模拟)如果{a n }不是等差数列，但假设∃k ∈N *，使得a k ＋a k ＋2＝2a k ＋1，那么称{a n }为“局部等差〞数列．数列{x n }的项数为4，记事件A ：集合{x 1，x 2，x 3，x 4}⊆{1,2,3,4,5}，事件B ：{x n }为“局部等差〞数列，那么条件概率P (B |A )＝( )A.415B.730 C.15 D.16答案 C解析 由数列{x n }的项数为4，记事件A ：集合{x 1，x 2，x 3，x 4}⊆{1,2,3,4,5}，那么事件A 的基本事件共有A 45＝120个，在满足事件A 的条件下，事件B ：{x n }为“局部等差〞数列，共有以下24个基本事件：其中含1,2,3的局部等差数列分别为1,2,3,5；5,1,2,3；4,1,2,3，共3个，同理含3,2,1的局部等差数列也有3个，含3,4,5和含5,4,3与上述相同，含2,3,4的有5,2,3,4；2,3,4,1，共2个，同理含4,3,2的也有2个．含1,3,5的有1,3,5,2；2,1,3,5；4,1,3,5；1,3,5,4，共4个，同理含5,3,1的也有4个．所以P (B |A )＝24120＝15.题型 二 相互独立事件的概率1．(2019·某某二模)甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被公司录取的概率分别为16，14，13，且三人录取结果相互之间没有影响，那么他们三人中至少有一人被录取的概率为( )A.3172B.712C.2572D.1572答案 B解析 由题意，得他们三人中至少有一人被录取的对立事件是三个人都没有被录取，∴他们三人中至少有一人被录取的概率为P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝712.2．(2019·全国卷Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束．(1)求P (X ＝2)；(2)求事件“X ＝4且甲获胜〞的概率．解 (1)X ＝2就是某局双方10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，那么这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P (X ＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.(2)X ＝4且甲获胜，就是某局双方10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.求相互独立事件概率的步骤第一步，先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，并把题中涉及的事件分为假设干个彼此互斥的事件的和；第二步，求出这些彼此互斥的事件的概率；第三步，根据互斥事件的概率计算公式求出结果．此外，也可以从对立事件入手计算概率.1．(2019·某某三模)某校在秋季运动会中，安排了篮球投篮比赛，现有20名同学参加篮球投篮比赛，每名同学投进的概率均为0.4；每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响；现规定：投进2个得4分，投进1个得2分，1个未进得0分，那么其中1名同学得2分的概率为()A．0.5 B.0.48答案 B解析设“第一次投进球〞为事件A，“第二次投进球〞为事件B，那么得2分的概率为P＝P(A B－)＋P(A－B)＝0.4×0.6＋0.6×0.4＝0.48.2．某社区举办《“环保我参与〞有奖问答比赛》活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．甲家庭回答正确这道题的概率是34，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是112，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是14.假设各家庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．解(1)记“甲回答正确这道题〞“乙回答正确这道题〞“丙回答正确这道题〞分别为事件A，B，C，那么P(A)＝3 4，且有⎩⎪⎨⎪⎧P (A )·P (C )＝112，P (B )·P (C )＝14，即⎩⎪⎨⎪⎧[1－P (A )]·[1－P (C )]＝112，P (B )·P (C )＝14，所以P (B )＝38，P (C )＝23.(2)有0个家庭回答正确的概率为P 0＝P (A －B －C －)＝P (A )·P (B )·P (C )＝14×58×13＝596， 有1个家庭回答正确的概率为P 1＝P (A B －C －＋A B C ＋A －B －C )＝34×58×13＋14×38×13＋14×58×23＝724， 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为 P ＝1－P 0－P 1＝1－596－724＝2132.题型 三 独立重复试验与二项分布1．假设同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时，就说这次试验成功，那么在3次试验中至少有1次成功的概率是( )A.125729B.80243 C.665729 D.100243答案 C解析 一次试验中，至少有5点或6点出现的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝1－49＝59，设X 为3次试验中成功的次数，所以X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，59，故所求概率P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫590×⎝ ⎛⎭⎪⎫493＝665729，应选C.2．为了弘扬国粹，提高民族自豪感，坐落于某实验中学内的艺术馆为学员们提供书法、国画、古琴、茶艺等教学服务，其中学习书法和国画的学员最多．为了研究喜欢书法和喜欢国画之间的联系，随机抽取了80名学员进行问卷调查，发现喜欢国画的人的比例为70%，喜欢书法的人的比例为50%.(1)(2)有人认为喜欢书法与喜欢国画有关，你同意这种看法吗？说明理由； (3)假定学员们都按照自己的喜好进行了系统学习．根据传统，国画上有题字和落款才算完整作品，那么既学书法又学国画的学员们创作的作品可以称为“书画兼优〞．为了配合实验中学七十年校庆，打算随机挑选5幅作品展览．设其中“书画兼优〞的作品数为X ，求X 的分布列．参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参考数据：解 (1)由题意，得c ＋16＝80×(1－50%)，∴c ＝24. ∵a ＋c ＝80×70%，∴a ＝32.∵a ＋b ＝80×50%，∴b ＝8. ∴a ＝32，b ＝8，c ＝24.(2)我同意这种看法．理由如下： K 2＝80×(32×16－24×8)240×40×56×24≈3.81.∵3.81>2.706，∴有90%以上的把握认为喜欢书法与喜欢国画有关， ∴我同意这种看法．(3)由(1)知一幅作品“书画兼优〞的概率为3280＝25. X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.P (X ＝0)＝C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫250⎝ ⎛⎭⎪⎫355＝2433125， P (X ＝1)＝C 15·25·⎝ ⎛⎭⎪⎫354＝162625，P (X ＝2)＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫252⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝216625， P (X ＝3)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫253⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝144625， P (X ＝4)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫254·35＝48625， P (X ＝5)＝C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫255⎝ ⎛⎭⎪⎫350＝323125. ∴X 的分布列如下．P 2433125162625216625144625486253231251．独立重复试验的实质及应用独立重复试验的实质是相互独立事件的特例，应用独立重复试验公式可以简化求概率的过程．2．判断某概率模型是否服从二项分布P n(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k的三个条件(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p.(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且每次试验的结果是相互独立的．(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率．提醒：在实际应用中，往往出现数量“较大〞“很大〞“非常大〞等字眼，这说明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布.1．春节期间，某旅游景区推出掷圆圈套玩具鹅的游戏，吸引了一大批的游客参加，规那么是：每人花10元拿到5个圆圈，在离最近的玩具鹅的2米处掷圆圈5次，只要圆圈连续套住同一只鹅颈3次，就可以获得套住的那只玩具鹅．假设某游客每次掷圆圈套住鹅颈的概率为23，且每次掷圆圈的结果互不影响，那么该游客获得一只玩具鹅的概率为()A.481 B.881C.13 D.104243答案 D解析 设“第i 次套住鹅颈〞为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)，那么A －i 表示“第i 次未套住鹅颈〞，依题意可得该游客能获得一只玩具鹅的3种情形：A 1A 2A 3，A －1A 2A 3A 4，A －1A －2A 3A 4A 5，而P (A 1A 2A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (A －1A 2A 3A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＝881，P (A －1A －2A 3A 4A 5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝8243，故该游客获得一只玩具鹅的概率为827＋881＋8243＝104243，应选D.2．医学上某种还没有完全攻克的疾病，治疗时需要通过药物控制其中的两项指标H 和V .现有A ，B ，C 三种不同配方的药剂，根据分析，A ，B ，C 三种药剂能控制H 指标的概率分别为0.5,0.6,0.75，能控制V 指标的概率分别为0.6,0.5,0.4，能否控制H 指标与能否控制V 指标之间相互没有影响．(1)求A ，B ，C 三种药剂中恰有一种能控制H 指标的概率；(2)某种药剂能使两项指标H 和V 都得到控制就说该药剂有治疗效果．求三种药剂中有治疗效果的药剂种数X 的分布列．解 (1)A ，B ，C 三种药剂中恰有一种能控制H 指标的概率为P ＝P (A B －C －)＋P (A B C )＋P (A －B －C )＝0.5×(1－0.6)×(1－0.75)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.75)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.75＝0.275.(2)∵A 有治疗效果的概率为P A ＝0.5×0.6＝0.3， B 有治疗效果的概率为P B ＝0.6×0.5＝0.3，C有治疗效果的概率为P C＝0.75×0.4＝0.3，∴A，B，C三种药剂有治疗效果的概率均为0.3，可看成3次独立重复试验，即X～B(3,0.3)．∵X的可能取值为0,1,2,3，∴P(X＝k)＝C k3×0.3k×(1－0.3)3－k，即P(X＝0) ＝C03×0.30×(1－0.3)3＝0.343，P(X＝1)＝C13×0.3×(1－0.3)2＝0.441，P(X＝2)＝C23×0.32×(1－0.3)＝0.189，P(X＝3)＝C33×0.33＝0.027.故X的分布列如下．X 012 3P 0.3430.4410.1890.027组基础关1．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，如果从两个口袋内各摸出一个球，那么56是()A．2个球不都是白球的概率B．2个球都不是白球的概率C．2个球都是白球的概率D．2个球恰好有一个球是白球的概率答案 A解析∵2个球不都是白球的对立事件是2个球都是白球，从甲口袋摸出白球和从乙口袋摸出白球两者是相互独立的，∴2个球都是白球的概率P ＝13×12＝16，∴2个球不都是白球的概率是1－16＝56.应选A.2．(2019·某某三市第一次联考)某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：2个元件的使用寿命在30天以上的概率为( )A.1316B.2764 C.2532 D.2732答案 D解析 由表可知元件使用寿命在30天以上的频率为150200＝34，那么所求概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫342×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2732. 3．位于坐标原点的一个质点M 按下述规那么移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点M 移动五次后位于点(2,3)的概率是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫125 B.C 25×⎝ ⎛⎭⎪⎫125C ．C 35×⎝⎛⎭⎪⎫123D.C 25×C 35×⎝⎛⎭⎪⎫125 答案 B解析 如图，由题可知质点M 必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点(2,3)，问题相当于5次重复试验中向右恰好发生2次的概率．所求概率为P ＝C 25×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝C 25×⎝ ⎛⎭⎪⎫125.应选B.4．某居民小区有两个相互独立的安全防X 系统A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为18和p ，假设在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为940，那么p 等于( )A.110B.215C.16D.15答案 B解析 由题意得，18(1－p )＋78p ＝940， ∴p ＝215.5．(2019·某某调研)某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和X 老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和X 老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．那么甲同学收到李老师或X 老师所发活动通知信息的概率为( )A.25B.1225C.1625D.45 答案 C解析 设A 表示“甲同学收到李老师所发活动通知信息〞，B 表示“甲同学收到X 老师所发活动通知信息〞，由题意P (A )＝410＝25，P (B )＝410＝25，∴甲同学收到李老师或X 老师所发活动通知信息的概率为25＋25－25×25＝1625.应选C.6．投掷一枚图钉，设钉尖向上的概率为p ，连续掷一枚图钉3次，假设出现2次钉尖向上的概率小于出现3次钉尖向上的概率，那么p 的取值X 围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 答案 B解析 ∵投掷一枚图钉，钉尖向上的概率为p (0<p <1)，连续掷一枚图钉3次，∴出现2次钉尖向上的概率为C 23p 2(1－p )，出现3次钉尖向上的概率为p 3.∵出现2次钉尖向上的概率小于出现3次钉尖向上的概率，∴C 23p 2(1－p )<p 3，即p 2(3－4p )<0，解得p >34，∴p 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1.7．(2019·某某模拟)某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场〞的前提下，学生丙第一个出场的概率为( )A.313 B.413 C.14 D.15答案 A解析 设事件A 为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场〞；事件B 为“学生丙第一个出场，〞那么P (A )＝A 44＋C 13C 13A 33A 55＝78A 55，P (AB )＝C 13A 33A 55＝18A 55，那么P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1878＝313. 8．(2019·武昌区模拟)抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A ＝{两次的点数均为奇数}，B ＝{两次的点数之和为4}，那么P (B |A )＝________.答案 29解析 根据题意，抛掷一枚质地均匀的骰子两次，有6×6＝36种情况，记A ＝{两次的点数均为奇数}，B ＝{两次的点数之和为4}，事件A 包含3×3＝9种情况，事件AB 有2种情况，那么P (A )＝3×336＝936，P (AB )＝236，那么P (B |A )＝P (AB )P (A )＝29.9．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠，假设该电梯在底层有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率为13，用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人数，那么P (ξ＝4)＝________.答案 10243解析 依题意，ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，故P (ξ＝4)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫134×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝10243. 10．(2019·全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主〞．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，那么甲队以4∶1获胜的概率是________．答案 0.18解析 甲队以4∶1获胜，甲队在第5场(主场)获胜，前4场中有一场输． 假设在主场输一场，那么概率为2×0.6×0.4×0.5×0.5×0.6；假设在客场输一场，那么概率为2×0.6×0.6×0.5×0.5×0.6. ∴甲队以4∶1获胜的概率P ＝2×0.6×0.5×0.5×(0.6＋0.4)×0.6＝0.18.组 能力关1．(2019·某某市高三调研)甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球．现随机地从甲袋中取出1个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出1个球，那么从乙袋中取出的球是红球的概率为( )A.13B.12C.59D.29答案 B解析 分两类：①假设从甲袋中取出黄球，那么乙袋中有3个黄球和2个红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为25；②假设从甲袋中取出红球，那么乙袋中有2个黄球和3个红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为35；∴所求概率P ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫25＋35＝12.应选B. 2．(2020·某某摸底)为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，假设他前一球投进那么后一球也投进的概率为34，假设他前一球投不进那么后一球投进的概率为14.假设他第1球投进的概率为34，那么他第2球投进的概率为( )A.34 B.58 C.716 D.916答案 B解析 设该运动员第2球投进的概率为p 2，第1球投进的概率为p 1＝34，∴p 2＝34p 1＋14(1－p 1)＝12p 1＋14＝12×34＋14＝58.应选B.3．(2019·某某一模)某超市在中秋节期间举行有奖销售活动，凡消费金额满200元的顾客均获得一次抽奖的机会，中奖一次即可获得5元红包，没有中奖不得红包．现有4名顾客均获得一次抽奖机会，且每名顾客每次中奖的概率均为0.4，记X 为4名顾客获得的红包金额总和，那么P (10≤X ≤15)＝________.答案 312625解析 中奖一次即可获得5元红包，没有中奖不得红包．现有4名顾客均获得一次抽奖机会，且每名顾客每次中奖的概率均为0.4，记X 为4名顾客获得的红包金额总和，那么P (10≤X ≤15)＝C 24×0.42×0.62＋C 34×0.43×0.6＝312625.4．为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h 的有40人，不超过100 km/h 的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h 的有20人，不超过100 km/h 的有25人．(1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100 km/h 的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100 km/h 且为男性驾驶员的车辆为X ，求X 的分布列．解 (1)平均车速不超过100 km/h 的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为C 240，记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员〞为事件A ，那么事件A 所包含的基本事件数为C 115C 125，所以所求的概率P (A )＝C 115C 125C 240＝15×2520×39＝2552.(2)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100 km/h 且为男性驾驶员的概率为40100＝25， 故X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25.所以P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫250⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125， P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫25⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝54125， P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫252⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝36125， P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫253⎝ ⎛⎭⎪⎫350＝8125. 所以X 的分布列如下．X 0 1 2 3 P2712554125361258125组 素养关1．(2019·某某六校教育研究会第二次联考)为调查人们在购物时的支付习惯，某超市对随机抽取的600名顾客的支付方式进行了统计，统计数据如表所示，支付方式 微信 支付宝 购物卡 现金 人数200150150100率近似代替概率．(1)求三人中使用微信支付的人数多于现金支付的人数的概率． (2)记X 为三人中使用支付宝支付的人数，求X 的分布列．解 (1)由表格得顾客使用微信、支付宝、购物卡和现金支付的概率分别为13，14，14，16.设Y 为三人中使用微信支付的人数，Z 为使用现金支付的人数， 事件A 为“三人中使用微信支付的人数多于现金支付的人数〞，那么P (A )＝P (Y ＝3)＋P (Y ＝2)＋P (Y ＝1，且Z ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＋C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝127＋29＋14＝55108. (2)由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，故所求分布列如下． X 0 1 2 3 P276427649641642．(2019·某某一模)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列．(1)求a ，b ，c 的值及居民月用水量在2～2.5内的频数；(2)根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w 至少定为多少？(w取整数)(3)假设将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列．解(1)∵前四组频数成等差数列，∴所对应的频率组距也成等差数列，设a＝0.2＋d，b＝0.2＋2d，c＝0.2＋3d，∴0.5×(0.2＋0.2＋d＋0.2＋2d＋0.2＋3d＋0.2＋d＋0.1＋0.1＋0.1)＝1，解得d＝0.1，∴a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5.居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25.居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×10000＝2500.(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于2的频率为(0.2＋0.3＋0.4)×0.5＝0.45，小于3的频率为0.45＋(0.5＋0.3)×0.5＝0.85，∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w至少定为3.(3)将频率视为概率，设A(单位：立方米)代表居民月用水量，可知P(A≤2.5)＝0.7，由题意，X～B(3,0.7)，P(X＝0)＝C03×0.33＝0.027，P(X＝1)＝C13×0.32×0.7＝0.189，P(X＝2)＝C23×0.3×0.72＝0.441，P(X＝3)＝C33×0.73＝0.343.∴X的分布列如下．。
高考数学一轮总复习新课标通用课件：第10章 计数原理、概率、随机变量 第8讲(理)
3 A.10
B．13
C．38
D．29
• [答案] B
4．(2015·山东)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从 正态分布 N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)
内的概率为 导学号 25402546 ( )
(附：若随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ，σ2)，则 P(μ－σ＜ξ
率为________. 导学号 25402550
[答案]
4 (1)99
2 (2)17
[分析] (1)根据条件概率的定义求解．
(2)
由题意可知抽取的2张钞票，检验了1张，发现 是假钞，另一张是否是假钞未地蚝检验
→
条件概率问题的条件是“2张钞票中至少有1张是假钞”
[解析] (1)解法一：设事件 A 为“第一次取到不合格品”， 事件 B 为“第二次取到不合格品”，则 P(AB)＝CC212500，
[点拨] 对于古典概型中的条件概率问题，一般用缩小样 本空间的方法比较简捷．
相互独立事件概率的计算
甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲 先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都投球 3 次时投 篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率 为12，且各次投篮互不影响. 导学号 25402551
(1)显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件 AB， 又由于事件 A 与 B 相互独立，
∴P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.8＝0.64.
(2)“两人各射击一次，恰有一次击中目标”包括两种情 况：一种是甲击中，乙未击中(即 A B )，另一种是甲未击中，乙 击中(即 A B)．根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同 时发生，即事件 A B 与 A B 是互斥的，所以所求概率为
(通用版)2021版高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布8第8讲离散型随机变量的
第8讲离散型随机变量的均值与方差、正态分布1．离散型随机变量X的均值与方差离散型随机变量X的分布列为P(X＝x i)＝p i(i＝1，2，3，…，n)．均值(数学期望)方差计算公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p nD(X)＝i＝1n(x i－E(X))2p i作用反映了离散型随机变量取值的平均水平刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度标准差方差的算术平方根D〔X〕为随机变量X的标准差(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b为常数)．(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．3．两个特殊分布的期望与方差分布期望方差两点分布E(X)＝p D(X)＝p(1－p) 二项分布E(X)＝np D(X)＝np(1－p)(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(3)曲线在x＝μ处到达峰值1σ2π；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高〞，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖〞，表示总体的分布越分散．判断正误(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．( )(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，那么偏离变量的平均程度越小．( )(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．( )(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．( )(5)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)× X 的分布列为X －1 0 1 P121316设Y ＝2X ＋3，那么E (Y )的值为( ) A.73 B ．4 C ．－1D ．1解析：选A.E (X )＝－12＋16＝－13，E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73.随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝0.8，那么P (0＜ξ＜4)＝( )解析：选A.由P (ξ，得P (ξ≥4)＝0.2.又正态曲线关于x ＝2对称，那么P (ξ≤0)＝P (ξ≥4)＝，所以P (0＜ξ＜4)＝1－P (ξ≤0)－P (ξ≥4)＝0.6.，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，那么DX ＝________．解析：依题意，X ～B (100，)，所以DX ＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.一个人将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号一样时就放对了，否那么就放错了．设放对个数记为ξ，那么ξ的期望的值为________．解析：将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有A 44种不同放法，放对的个数ξ可取的值有0，1，2，4，其中P (ξ＝0)＝9A 44＝38，P (ξ＝1)＝C 14×2A 44＝13，P (ξ＝2)＝C 24A 44＝14，P (ξ＝4)＝1A 44＝124，E (ξ)＝0×38＋1×13＋2×14＋4×124＝1. 答案：1离散型随机变量的均值与方差(高频考点)离散型随机变量的均值与方差是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，多为中档题．高考对离散型随机变量的均值与方差的考察主要有以下两个命题角度：(1)古典概型背景下的离散型随机变量的均值与方差； (2)与二项分布有关的均值与方差．[典例引领]角度一 古典概型背景下的离散型随机变量的 均值与方差某小组共10人，利用假期参加义工活动．参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4〞，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望与方差．【解】 (1)由，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13. 所以事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2. P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715， P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415.所以随机变量X 的分布列为X 0 1 2 P415715415随机变量X 的数学期望E (X )＝0×415＋1×715＋2×415＝1.方差D (X )＝415(0－1)2＋715(1－1)2＋415(2－1)2＝815.角度二 与二项分布有关的均值与方差(2021·洛阳市第一次统一考试)雾霾天气对人体安康有伤害，应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM 2.5，要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格考核指标．某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A 、B 、C 三个城市进展治霾落实情况抽查．(1)假设每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以一样，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；(2)每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进展评价，并对所选取的城市进展评价，每个专家组给检查到的城市评价为优的概率为12，假设四个专家组均评价为优那么检查通过不用复检，否那么需进展复检．设需进展复检的城市的个数为X ，求X 的分布列和期望．【解】 (1)随机选取，共有34＝81种不同方法，恰有一个城市没有专家组选取的有C 13(C 14A 22＋C 24)＝42种不同方法， 故恰有一个城市没有专家组选取的概率为4281＝1427.(2)设事件A ：“一个城市需复检〞，那么P (A )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝1516，X 的所有可能取值为0，1，2，3，P (X ＝0)＝C 03·⎝ ⎛⎭⎪⎫1163＝14 096，P (X ＝1)＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫1162·1516＝454 096，P (X ＝2)＝C 23·116·⎝ ⎛⎭⎪⎫15162＝6754 096，P (X ＝3)＝C 33·⎝ ⎛⎭⎪⎫15163＝3 3754 096.所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P14 096 454 096 6754 0963 3754 096X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，16，E (X )＝3×16＝16.(1)求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 ①理解ξ的意义，写出ξ可能的全部取值． ②求ξ取每个值的概率． ③写出ξ的分布列． ④由均值的定义求E (ξ)． ⑤由方差的定义求D (ξ)． (2)二项分布的期望与方差如果ξ～B (n ，p )，那么用公式E (ξ)＝np ；D (ξ)＝np (1－p )求解，可大大减少计算量．[提醒] 均值E (X )由X 的分布列唯一确定，即X 作为随机变量是可变的，而E (X )是不变的，它描述X 取值的平均水平．[通关练习]1．体育课的投篮测试规那么是：一位同学投篮一次，假设投中那么合格，停顿投篮，假设投不中，那么重新投篮一次，假设三次投篮均不中，那么不合格，停顿投篮．某位同学每次投篮命中的概率为23，那么该同学投篮次数X 的数学期望E (X )＝________．解析：投篮次数X 的可能取值为1，2，3， 且P (X ＝1)＝23，P (X ＝2)＝13×23＝29，P (X ＝3)＝13×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋13＝19.随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P232919所以E (X )＝1×3＋2×9＋3×9＝9.答案：1392．(2021·湖北黄冈三月调研)6只小白鼠中有1只感染了病毒，需要对6只小白鼠进展病毒DNA 化验来确定哪一只受到了感染．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染病毒的小白鼠为止．方案乙：将6只小白鼠分为两组，每组三只，将其中一组的三只小白鼠的待化验物质混合在一起化验，假设化验结果显示含有病毒DNA ，那么说明感染病毒的小白鼠在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染病毒的小白鼠为止；假设化验结果显示不含病毒DNA ，那么在另外一组中逐个进展化验．(1)求执行方案乙化验次数恰好为2次的概率；(2)假设首次化验的化验费为10元，第二次化验的化验费为8元，第三次及以后每次化验的化验费都是6元，求方案甲所需化验费的分布列和期望．解：(1)执行方案乙化验次数恰好为2次的情况分两种：第一种，先化验一组，结果显示不含病毒DNA ，再从另一组中任取一只进展化验，其恰含有病毒DNA ，此种情况的概率为C 35C 36×1C 13＝16，第二种，先化验一组，结果显示含病毒DNA ，再从中逐个化验，恰好第一只含有病毒，此种情况的概率为C 25C 36×1C 13＝16.所以执行方案乙化验次数恰好为2次的概率为16＋16＝13.(2)设用方案甲化验需要的化验费为η(单位：元)，那么η的可能取值为10，18，24，30，36.P (η＝10)＝16， P (η＝18)＝56×15＝16， P (η＝24)＝56×45×14＝16， P (η＝30)＝56×45×34×13＝16， P (η＝36)＝56×45×34×23＝13，那么化验费η的分布列为η 10 18 24 30 36 P1616161613所以E (η)＝10×16＋18×16＋24×16＋30×16＋36×13＝773(元)．均值与方差的实际应用[典例引领](2021·广西三市第一次联考)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每道题正确完成的概率都是23，且每道题正确完成与否互不影响．(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；(2)请分析比拟甲、乙两人谁面试通过的可能性大？【解】 (1)设甲正确完成面试的题数为ξ，那么ξ的可能取值为1，2，3. P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15；P (ξ＝2)＝C 24C 12C 36＝35；P (ξ＝3)＝C 34C 02C 36＝15.应聘者甲正确完成题数ξ的分布列为ξ 1 2 3 P153515E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.设乙正确完成面试的题数为η，那么η的可能取值为0，1，2，3. P (η＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127；P (η＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫231⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝627； P (η＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1227；P (η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827. 应聘者乙正确完成题数η的分布列为η 0 1 2 3 P127 6271227827E (η)＝0×127＋1×627＋2×1227＋3×827＝2.(或因为η～B (3，23)，所以E (η)＝3×23＝2)(2)因为D (ξ)＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25，D (η)＝3×23×13＝23.所以D (ξ)＜D (η)．综上所述，从做对题数的数学期望考察，两人水平相当； 从做对题数的方差考察，甲较稳定；从至少完成2道题的概率考察，甲面试通过的可能性大．均值与方差的实际应用(1)D (X )表示随机变量X 对E (X )的平均偏离程度，D (X )越大说明平均偏离程度越大，说明X 的取值越分散；反之，D (X )越小，X 的取值越集中在E (X )附近，统计中常用D 〔X 〕来描述X 的分散程度．(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比拟均值，假设均值一样，再用方差来决定．(2021·长沙市统一模拟考试)张教师开车上班，有路线①与路线②两条路线可供选择．路线①：沿途有A ，B 两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为12，23，假设A 处遇红灯或黄灯，那么导致延误时间2分钟；假设B 处遇红灯或黄灯，那么导致延误时间3分钟；假设两处都遇绿灯，那么全程所花时间为20分钟．路线②：沿途有a ，b 两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为34，25，假设a 处遇红灯或黄灯，那么导致延误时间8分钟；假设b 处遇红灯或黄灯，那么导致延误时间5分钟；假设两处都遇绿灯，那么全程所花时间为15分钟．(1)假设张教师选择路线①，求他20分钟能到校的概率；(2)为使张教师日常上班途中所花时间较少，你建议张教师选择哪条路线？并说明理由．解：(1)走路线①，20分钟能到校意味着张教师在A ，B 两处均遇到绿灯，记该事件发生的概率为P ，那么P ＝12×23＝13.(2)设选择路线①的延误时间为随机变量ξ，那么ξ的所有可能取值为0，2，3，5. 那么P (ξ＝0)＝12×23＝13，P (ξ＝2)＝12×23＝13，P (ξ＝3)＝12×13＝16，P (ξ＝5)＝12×13＝16.ξ的数学期望E (ξ)＝0×13＋2×13＋3×16＋5×16＝2.设选择路线②的延误时间为随机变量η，那么η的所有可能取值为0，8，5，13. 那么P (η＝0)＝34×25＝620，P (η＝8)＝14×25＝220，P (η＝5)＝34×35＝920，P (η＝13)＝14×35＝320.η的数学期望E (η)＝0×620＋8×220＋5×920＋13×320＝5.因此选择路线①平均所花时间为20＋2＝22分钟，选择路线②平均所花时间为15＋5＝20分钟．所以为使张教师日常上班途中所花时间较少，建议张教师选择路线②.正态分布[典例引领](1)(2021·长春质检)随机变量X 服从正态分布N (1，σ2)，假设P (X ，那么P (0≤X ≤1)＝( )B ．(2)某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )(附：假设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，那么P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ%)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%【解析】 (1)P (0≤X ≤1)＝P (1≤X ≤2)＝0.5－P (X ＞2)＝0.35.(2)由正态分布的概率公式知P (－3＜ξ＜3)≈0.682 7，P (－6＜ξ＜6)≈0.954 5，故P (3＜ξ＜6)＝P 〔－6＜ξ＜6〕－P 〔－3＜ξ＜3〕2＝0.954 5－0.682 72＝0.135 9%，应选B.【答案】 (1)C (2)B正态分布下的概率计算常见的两类问题(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，及曲线与x 轴之间的面积为1.(2)利用3σ原那么求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进展比照联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．[通关练习]1．假设X ～N (5，1)，那么P (3＜X ＜4)＝( ) A ．0.954 5 B ．0.477 3 C ．0.341 4 D ．0.135 9解析：选D.依题意得P (3＜X ＜4)＝12P (3＜X ＜7)－12P (4＜X ＜6)＝12×0.954 5－12×0.682 7＝0.135 9.2．(2021·福建省毕业班质量检测)假设随机变量X ～N (μ，σ2)，且P (X >5)＝P (X ，那么P (2<X <5)＝________．解析：因为随机变量X ～N (μ，σ2)，所以正态曲线关于直线x ＝μ对称．又P (X >5)＝P (X ，所以μ＝5－12＝2，所以P (2<X <5)＝P (X >2)－P (X >5)＝0.5－0.2＝0.3.随机变量的均值、方差与样本的平均值、方差的关系随机变量的均值、方差是常数，它们不依赖于样本的抽取，而样本的平均值、方差是随机变量，它们随着样本的不同而变化．期望与方差的一般计算步骤(1)理解X 的意义，写出X 的所有可能取的值； (2)求X 取各个值的概率，写出分布列；(3)根据分布列，正确运用期望与方差的定义或公式进展计算． 假设X 服从正态分布，即X ～N (μ，σ2)，要充分利用正态 曲线的关于直线X ＝μ对称和曲线与x 轴之间的面积为1的性质． 易错防范(1)E (X )是一个实数，由X 的分布列唯一确定．随机变量X 是可变的，可取不同的值，而E (X )是不变的，它描述X 取值的平均状态．(2)变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，其中标准差与随机变量本身具有一样的单位．(3)方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负的．1．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X 为取得红球的次数，那么X 的方差D (X )的值为( )A.125 B.2425 C.85D.265解析：选B.因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35，连续摸4次(做4次试验)，X 为取得红球(成功)的次数，那么X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，35，所以D (X )＝4×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝2425.2．某校在高三第一次模拟考试中约有1 000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即X ～N (100，a 2)(a ＞0)，试卷总分值为150分，统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的110，那么此次数学考试成绩在100分到110分(包含100分和110分)之间的人数约为( )A ．400B ．500C ．600D ．800解析：选 A.P (X ＜90)＝P (X ＞110)＝110，P (90≤X ≤110)＝1－110×2＝45，P (100≤X ≤110)＝25，1 000×25A.3．(2021·高考浙江卷)随机变量ξi 满足P (ξi ＝1)＝p i ，P (ξi ＝0)＝1－p i ，i ＝1，2.假设0＜p 1＜p 2＜12，那么( )A ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2)B ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)C ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2) D ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)解析：选 A.根据题意得，E (ξi )＝p i ，D (ξi )＝p i (1－p i )，i ＝1，2，因为0<p 1<p 2<12，所以E (ξ1)<E (ξ2)．令f (x )＝x (1－x )，那么f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增，所以f (p 1)<f (p 2)，即D (ξ1)<D (ξ2)，应选A.4．随机变量ξ的分布列为那么ξE (η)＝________．解析：由离散型随机变量的期望公式及性质可得，E (ξ)＝－1×12＋0×16＋1×13＝－16，E (η)＝E (2ξ＋1)＝2E (ξ)＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＋1＝23.答案：－16 235．有10张火车票，其中3张是卧铺，其他是硬座，从这10张火车票中任取两张，用ξ表示取到卧铺的张数，那么E (ξ)等于________．解析：ξ服从超几何分布P (ξ＝x )＝C x 3C 2－x7C 210(x ＝0，1，2)．所以P (ξ＝0)＝C 27C 210＝2145＝715，P (ξ＝1)＝C 17C 13C 210＝2145＝715，P (ξ＝2)＝C 23C 210＝345＝115.所以E (ξ)＝0×715＋1×715＋2×115＝915＝35.答案：356．袋中有20个大小一样的球，其中标上0号的有10个，标上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．(1)求X 的分布列、期望和方差；(2)假设Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，D (Y )＝11，试求a ，b 的值． 解：(1)X 的分布列为E (X )＝0×2＋1×20＋2×10＋3×20＋4×5＝1.5.D (X )2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (Y )＝a 2D (X )，得a 2×＝11，即a ＝±2. 又E (Y )＝aE (X )＋b ， 所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2. 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4.7．(2021·合肥市第一次教学质量检测)某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择．方案甲：员工最多有两次抽奖时机，每次抽奖的中奖率均为45.第一次抽奖，假设未中奖，那么抽奖完毕．假设中奖，那么通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进展第二次抽奖．规定：假设抛出硬币，反面朝上，员工那么获得500元奖金，不进展第二次抽奖；假设正面朝上，员工那么须进展第二次抽奖，且在第二次抽奖中，假设中奖，那么获得奖金1 000元；假设未中奖，那么所获得的奖金为0元．方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为25，每次中奖均可获得奖金400元．(1)求某员工选择方案甲进展抽奖所获奖金X (元)的分布列；(2)试比拟某员工选择方案乙与选择方案甲进展抽奖，哪个方案更划算？ 解：(1)X 的可能取值为0，500，1 000.P (X ＝0)＝15＋45×12×15＝725， P (X ＝500)＝45×12＝25， P (X ＝1 000)＝45×12×45＝825，所以某员工选择方案甲进展抽奖所获奖金X (元)的分布列为X 0 500 1 000 P72525825(2)由(1)可知，选择方案甲进展抽奖所获奖金X 的期望E (X )＝500×25＋1 000×825＝520，假设选择方案乙进展抽奖，中奖次数ξ～B (3，25)，那么E (ξ)＝3×25＝65，抽奖所获奖金X 的期望E (X )＝E (400ξ)＝400E (ξ)＝480， 应选择方案甲较划算．1．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进展奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)假设袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个适宜的设计，并说明理由．解：(1)设顾客所获的奖励额为X . ①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意，得X 的所有可能取值为20，60. P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，P (X ＝60)＝12，即X 的分布列为所以顾客所获的奖励额的数学期望为E (X )＝20×2＋60×2＝40(元)．(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X 1，那么X 1的分布列为X 1的期望为E (X 1)＝20×6＋60×3＋100×6＝60，X 1的方差为D (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003. 对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X 2，那么X 2的分布列为X 2的期望为E (X 2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60，X 2的方差为D (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003. 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.2．(2021·高考全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经历，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进展检查．(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性； (ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9．95 10．26经计算得x －＝116∑i ＝116x i ，s ＝116∑i ＝116 〔x i －x －〕2＝116⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝116x 2i －16x －2≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1，2， (16)用样本平均数x －作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进展检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(准确到0.01)．附：假设随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，那么P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.997 4.0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.解：(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X ～B (16，0.002 6)．因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8.X 的数学期望为EX ＝16×0.002 6＝0.041 6.(2)(i)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进展检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．(ii)由x －，s ≈，得μ的估计值为μ^，σ的估计值为σ^，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进展检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^，剩下数据的平均数为115，因此μ的估计值为10.02.i ＝116x 2i ＝22≈， 剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^，剩下数据的样本方差为错误!22， 因此σ的估计值为0.008≈0.09.。
2021高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布109离散型随机变量的均值与方差课件理2
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概率随机变量及其分布109离散型随机变
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量的均值与方差课件理20
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休 息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来 动一动，久坐对身体不好哦~
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2021/4/17
活动，共有 50 名志愿者参与．志愿者的工作内容有两项：①到各班宣
传，倡议同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物．每位
志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作，相关统计数据
如下表所示：
到班级宣传 整理、打包衣物 总计
20 人
30 人
50 人
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(2)求这 4 个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢
解析：E(Y)＝2E(X)＋1，由已知得 a＝13，
∴E(X)＝－12＋13＝－16，∴E(Y)＝23.
答案：B
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量的均值与方差课件理20
3．[2020·合肥检测]已知 5 件产品中有 2 件次品，现逐一检测，直
B．D(ξ)增大
C．D(ξ)先减小后增大
D．D(ξ)先增大后减小
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概率随机变量及其分布109离散型随机变
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量的均值与方差课件理20
解析：由题意得 E(ξ)＝0×1－2 p＋1×12＋2×p2＝12＋p， D(ξ)＝0－12＋p2·1－2 p＋1－12＋p2·12＋2－12＋p2·p2＝18[(1＋2p)2(1