梁和刚架的极限荷载

q u1 qu 2
Mu1
M u1 = M u 2 q u1 ≠ q u 2
Mu2 Mu2
第15章 章
四、如何确定单跨梁的极限荷载 1、机理 、 q
ql 2 12
ql 2 24
q u1
Mu
q u1 l = Mu 12
q u1 l 2 M u = 24 2
2
ql 2 12
Mu
q u1 l 2 = Mu 12
（1）最大应力达到屈服极限时，截面并未全 最大应力达到屈服极限时， 部进入流动状态； 部进入流动状态； （2）超静定结构某一局部应力达到屈服状态 结构并不破坏。 时，结构并不破坏。
二、塑性分析 按照极限状态进行结构设计的方法。 按照极限状态进行结构设计的方法。结构破坏瞬时对应的荷载称 极限荷载” 相应的状态称为“极限状态” 为“极限荷载”；相应的状态称为“极限状态”。
第15章 章
例题1 试用机动法求图示结构的极限荷载。 例题 试用机动法求图示结构的极限荷载。 p 1.1 p
解：
2a
a
a
a
机构（ 机构（1） 1.1 p1 ⋅ 2aθ = M u ⋅ 3θ + M u ⋅ 2θ p1 = 2.27 Mu a
1.1 p
Mu
θ
2θ 3θ
p
Mu
机构（ 机构（2） p2 ⋅ aθ = M u ⋅ θ + M u ⋅ 2θ
（1）弹性阶段 ）
qs
qs l 2 12
qs l 2 24
（3）梁两端出现塑性铰 ）
qs l 2 12
qu 2 q u1
（2）弹性阶段末 ）
Mu
可得： q 可得：u 2 = 4M u l2
Mu
Mu
M u qu 2 l 2 + 2 8
Mu
Mu
令
M u qu 2 l 2 + = Mu 2 8
12 M u 由情况（ ），可知 可知： 由情况（3），可知： qu1 = l2 12 M u 4 M u 16 M u 于是 qu = qu1 + qu 2 = + 2 = l2 l l2
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
第15章 章
一、弹性分析
梁和刚架的极限荷载 15.1 概述
材料在比例极限内的结构分析（利用弹性分析计算内力），以许 材料在比例极限内的结构分析（利用弹性分析计算内力），以许 ）， 用应力为依据确定截面或进行验算的方法。 用应力为依据确定截面或进行验算的方法。 q
q
h
ql2/8
b
应 力
σ
σs
σs
σs
应 变
ε
εs
塑性区
三、基本假设 1、材料为“理想弹塑性材料” 。 、材料为“理想弹塑性材料” 2、拉压时，应力、应变关系相同。 、拉压时，应力、应变关系相同。 3、满足平截面假定。即无论弹、塑性阶段，保持平截面不变。 、满足平截面假定。即无论弹、塑性阶段，保持平截面不变。
矩形截面： 矩形截面： M u = ∫ y (σ s )bdy ⋅ y = σ s b ⋅ 2
h 2
bh2 σs = 4
σs
y
b
h 2 h 2
d3 圆形截面： σs 圆形截面： M u = 6
σs
σs
dy
x
y
第15章 章
3、截面形状系数：极限弯矩与屈服弯矩之比 、截面形状系数：
矩形截面： 矩形截面： α = 1.5 16 圆形截面： 圆形截面： α= 3π 工字形截面： α = 1.15 工字形截面：
p1
机构（ 机构（三为什么？ 不可能出现，为什么？
第15章 章
15.3 确定极限荷载的几个定理
一、几点假设 1、比例加载 、
a ) p1 = α 1 p, p2 = α 2 p, LL , pn = α n p b) q1 = β 1q, q2 = β 2 q , LL , qn = β n q
α=
M u Wu = M s Ws
4、截面达到极限弯矩时的特点 、 极限状态时，无论截面形状如何，中性轴两侧的拉压面积相等。依 极限状态时，无论截面形状如何，中性轴两侧的拉压面积相等。 据这一特点可确定极限弯矩。 据这一特点可确定极限弯矩。
p
A
C
矩形截面： 矩形截面： M u = A1 ⋅ σ s ⋅ y1 + A2 ⋅ σ s ⋅ y2
− Mu ≥ M ≤ Mu
3、平衡条件 、 当荷载达到极限值时， 当荷载达到极限值时，作用在结构整体上或任意局部上的所有的力 都必须保持平衡。 都必须保持平衡。
第15章 章
三、三个定义 1、可破坏荷载（p+) 、可破坏荷载（ 对任意单向破坏机构，根据平衡条件求得的荷载。 对任意单向破坏机构，根据平衡条件求得的荷载。它满足机构条件 和平衡条件。 和平衡条件。 2、可接受荷载屈服条件（p-) 、可接受荷载屈服条件（ 根据静力可能而又安全的内力分布求得的荷载。它满平衡条件和屈 根据静力可能而又安全的内力分布求得的荷载。 服条件。 服条件。 3、极限荷载（pu) 、极限荷载（ 同时满足机构条件、平衡条件和屈服条件的荷载。 同时满足机构条件、平衡条件和屈服条件的荷载。它既是可破坏荷 又是可接受荷载。 载，又是可接受荷载。
机构（ 机构（三）A
C
M u2
D
M u2
不可能出现，为什么？ 不可能出现，为什么？ 情况（ ） 情况（3）
第15章 章
试确定图示单跨梁的极限荷载
p1
Mu
Mu
p2
B
Mu
p1
p2
B
p1
p2
B
Mu
机构（ 机构（一）
Mu
机构（ 机构（一）M 图情况
Mu
p1
p2
B
Mu
p1
p2
B
机构（ 机构（二）
Mu
Mu
机构（ 机构（二）M 图情况
h 3 2 − h 2 h 2 h − 2 h 2 h − 2
y ⋅ σ s ⋅ bydy h 2
σs
b
h 2 h 2
bh2 = σs 6
σ
y
dy
x
σs
圆形截面： 圆形截面： M s =
π d3
32
h 2 h − 2
σs
h 2 2 −
y
2、极限弯矩（Mu): 整个截面达到塑性流动状态时，对应的弯矩。 、极限弯矩（ 整个截面达到塑性流动状态时，对应的弯矩。
第15章 章
三、破坏机构 由于足够多的塑性铰的出现，使原结构成为机构（几何可变体系）， 由于足够多的塑性铰的出现，使原结构成为机构（几何可变体系）， 失去继续承载的能力，该几何可变体系称为“机构” 失去继续承载的能力，该几何可变体系称为“机构”。 1、不同结构在荷载作用下，成为机构，所需塑性铰的数目不同。 、不同结构在荷载作用下，成为机构，所需塑性铰的数目不同。
第15章 章
四、确定极限荷载三个定理 1、上限定理（亦称“机动定理”、或“极小定理”) 、上限定理（亦称“机动定理” 极小定理” 对于比例加载作用下的给定结构， 对于比例加载作用下的给定结构，按任意可能的破坏 机构，由平衡条件求得的荷载将大于或等于极限荷载。 机构，由平衡条件求得的荷载将大于或等于极限荷载。 或：“可破坏荷载的最小值是极限荷载的上限”。 可破坏荷载的最小值是极限荷载的上限” 或：“极限荷载是可破坏荷载的最小值” 极限荷载是可破坏荷载的最小值” 2、下限定理（亦称“静力定理”、或“极大定理”) 极大定理” 、下限定理（亦称“静力定理” 或：“可接受荷载的最大值是极限荷载的下限”。 可接受荷载的最大值是极限荷载的下限” 或：“极限荷载是可接受荷载的最大值” 极限荷载是可接受荷载的最大值” 3、单值定理（亦称“唯一定理”) 、单值定理（亦称“唯一定理”
4、确定复杂结构极限荷载面临的问题 、
p
Mu2
A C
M u1
M u2
p
D B
D
B
A
p
机构（ 机构（一）A C M u2 D
M u2 M u1
C
Mu2
B 情况（ ） 情况（1）
M u1
C A B
p
D B
p
C D
机构（ 机构（二）A
M u2
情况（ ） 情况（2）
M u2
p
M u1
M u1
C B A
p
D B
2、小变形假设（几何线形），变形后仍用变形前的几何尺寸。 、小变形假设（几何线形），变形后仍用变形前的几何尺寸。 ），变形后仍用变形前的几何尺寸 3、略去弹性变形（弹塑性材料，刚塑性变形。） 、略去弹性变形（弹塑性材料，刚塑性变形。）
qu 2
Mu
Mu
Mu 4、不计剪力、轴力对极限荷载的影响 、不计剪力、 5、正负极限弯矩值相等 、
p− p+
一系列 可破坏 荷载的 最小值
…… …… ……
pu
极限荷载 一系列 可接受 荷载的 最大值
“ 既是可破坏荷载，又是可接受荷载，则此荷载是极限荷载”。 既是可破坏荷载，又是可接受荷载，则此荷载是极限荷载” 或：“极限荷载是唯一的” 极限荷载是唯一的”
15.4 超静定梁的极限荷载
一、确定极限荷载的三种方法 1、机动法 、 2、静力法 、 3、试算法 、 二、机动法 1、依据：机动法是以上限定理为依据的。 、依据：机动法是以上限定理为依据的。 2、步骤：先假设出所有的破坏机构，而后利用虚位移原理计算出 、步骤：先假设出所有的破坏机构， 各机构相应的极限荷载。依据上限定理， 各机构相应的极限荷载。依据上限定理，这些可破坏荷载中的最小者 即为极限荷载。 即为极限荷载。 二、试算法 1、依据：试算法是以单值定理为依据的。 、依据：试算法是以单值定理为依据的。 2、步骤：先试算出相应于某一破坏机构的可破坏荷载，而后验算 、步骤：先试算出相应于某一破坏机构的可破坏荷载， 该荷载是否满足屈服条件，若满足，该荷载即为极限荷载。 该荷载是否满足屈服条件，若满足，该荷载即为极限荷载。