第3章 概率统计实例分析及MatlAb求解

其他。
求解程序：
syms x
f1=x/1500^2;
f2=(3000-x)/1500^2;
Ex=int(x*f1,0,1500)+int(x*f2,1500,3000)
运行结果：
Ex =1500
Ex =1/3 例 2-3：绘制 =0.5,1,3,5,10 时 Poisson 分布的概率密度函数与概率分布函 数曲线。
y=[73.66 64.27 69.34 71.37 69.77 68.12 67.27 68.07 62.61]';
a=0.05;
[h,sig,ci]=ttest2(x,y,a,1)
运行结果：
h=1
sig=0.0142
ci =
1.4148
Inf
因此，在显著性水平 0.05 下，可以判断镍合金的硬度有明显提高。
而对于
H 0 ： 225 vs H1 ： 225
程序： %正态总体的方差未知时的均值检验 x=[159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170]; m=225;a=0.05; [h,sig,muci]=ttest(x,m,a,-1) 运行结果： h=0 sig=0.7430 muci =
-Inf 284.7679 由于 sig=0.743，因此更没有充分的理由认为元件的平均寿命小于 225 小时。 例 3-10 某厂铸造车间为提高铸件的耐磨性而试制了一种镍合金铸件以取代 铜合金铸件，为此，从两种铸件中各独立地抽取一个容量分别为 8 和 9 的样本， 测得其硬度（一种耐磨性指标）为： 镍合金 76.43 76.21 73.58 69.69 65.29 70.83 82.75 72.34 铜 合 金 73.66 64.27 69.34 71.37 69.77 68.12 67.27 68.07 62.61
根据专业经验，硬度服从正态分布，且方差保持不变，试在显著性水平 0.05
下判断镍合金的硬度是否有明显提高。 解：
H 0 ： 镍 铜 vs H1 ： 镍 铜
程序：
%正态总体的方差齐但求知时的均值检验
x=[76.43 76.21 73.58 69.69 65.29 70.83 82.75 72.34]';
参数为 a,b 的 beta 分布；
x=binornd(N,p,m,n)
参数为 N,p 的二项分布；
3.1.2 相关实例求解
例 2-4：设总体密度函数
f
(x)


cos 2
x
,
0,
x ,
2
2
其他.
试从该总体中抽取容量为 1000 的简单随机样本。 解 利用 MATLAB 编辑窗口保存以下程序，保存为 ex11.m n=1000; x=zeros(1,n); k=0; while k<n a=rand*pi-pi/2; b=rand/2; if b<(cos(a)/2) k=k+1; x(k)=a; end end hist(x,-pi/2:0.2:pi/2) 保存完成之后，在命令窗口执行 ex11，则 x 被赋值，且可以得到这个容量
图 2 泊松分布概率密度函数图
图 3 泊松分布概率分布函数
3.2 数理统计实例分析及 MATLAB 求解
3.1.1 MATLAB 实现
在 MATLAB 中各种随机数可以认为是独立同分布的，即简单随机样本。
常用分布的随机数产生方法，可用分布英文名称缩写加上 rnd，例如：
x=betarnd(a,b随机矩阵
B=raylrnd(b,n,m)
%生成 rayleigh 的伪随机数
3.1.2 相关实例求解
例 2-1 计算服从二维正态分布的随机变量在指定范围内的累积分布函数值 并绘图。
程序： %二维正态分布的随机变量在指定范围内的累积分布函数图形 mu=[0 0]; sigma=[0.25 0.3;0.3 1];%协方差阵 x=-3:0.1:3;y=-3:0.2:3; [x1,y1]=meshgrid(x,y);%将平面区域网格化取值 f=mvncdf([x1(:) y1(:)],mu,sigma);%计算累积分布函数值 F=reshape(f,numel(y),numel(x));%矩阵重塑 surf(x,y,F); caxis([min(F(:))-0.5*range(F(:)),max(F(:))]);%range(x) 表 示 最 大 值 与 最 小 值 的 差，即极差。 axis([-3 3 -3 3 0 0.5]);
H 0 ： 10 vs H1 ： 10
程序：
%正态总体的方差已知时的均值检验
x1=[9.8 10.4 10.6 9.6 9.7 9.9 10.9 11.1 9.6 10.2];
x2=[10.3 9.6 9.9 11.2 10.6 9.8 10.5 10.1 10.5 9.7];
x=[x1 x2]';
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('Probability Density');
图 1 二维正太分布累积分布函数值图
例 2-2
设
X
的概率密度为
f
(x)

x

1500 2 3000

1500 2
, x
,
0

0 x 1500; 1500 x 3000; ，求 E( X ) 。
例 3-11 q-q 图 程序： %分布拟合检验(q-q 图法) x=normrnd(0,1,100,1);%生成服从正态分布的随机数 y=normrnd(0.5,2,50,1); z=weibrnd(2,0.5,100,1);%生成服从威布尔分布的随机数 subplot(2,2,1)%说明生成子图的位置 qqplot(x);hold on subplot(2,2,2);qqplot(x,y);hold on subplot(2,2,3);qqplot(z);hold on subplot(2,2,4);qqplot(x,z); hold off 运行结果见下图：
m=10;sigma=0.4;a=0.05;
[h,sig,muci]=ztest(x,m,sigma,a,1)
运行结果：
h =1
sig =0.01267365933873
muci =
10.05287981908398
Inf
因此，在 0.05 的水平下，可以认为装配时间的均值不小于 10。
例 3-9 某种电子元件的寿命 X (以小时计)服从正态分布， 和 2 均未知。
代码如下：
x=[0:15]'; y1=[]; y2=[]; lam1=[0.5,1,3,5,10];
for i=1:length(lam1)
y1=[y1,poisspdf(x,lam1(i))]; y2=[y2,poisscdf(x,lam1(i))];
end
plot(x,y1), figure; plot(x,y2)
x=[159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170];
m=225;a=0.05;
[h,sig,muci]=ttest(x,m,a,1)
运行结果：
h=0
sig=0.2570
muci=
198.2321
Inf
由于 sig=0.257，因此没有充分的理由认为元件的平均寿命大于 225 小时。
运行结果： muhatmle =28.6950 sigma2hatmle =0.9185 例 3-7 设两台车床加工同一零件，各加工 8 件，长度的误差为： A：-0.12 -0.80 -0.05 -0.04 -0.01 0.05 0.07 0.21 B：-1.50 -0.80 -0.40 -0.10 0.20 0.61 0.82 1.24 求方差比的置信区间。 解：用 Matlab 计算如下： x=[-0.12,-0.80,-0.05,-0.04,-0.01,0.05,0.07,0.21]; y=[-1.50,-0.80,-0.40,-0.10,0.20,0.61, 0.82,1.24]; v1=var(x); v2=var(y); c1=finv(0.025,7,7); c2=finv(0.975,7,7); a=(v1/v2)/c2; b=(v1/v2)/c1; [a,b] 计算结果为： [0.0229 0.5720] 结论：方差比小于 1 的概率至少达到了 95%，说明车床 A 的精度明显高。 例 3-8 下面列出的是某工厂随机选取的 20 只零部件的装配时间（分）： 9.8 10.4 10.6 9.6 9.7 9.9 10.9 11.1 9.6 10.2 10.3 9.6 9.9 11.2 10.6 9.8 10.5 10.1 10.5 9.7 设装配时间的总体服从正态分布，标准差为 0.4，是否可以认为装配时间的 均值在 0.05 的水平下不小于 10。 解：
现测得 16 只元件的寿命如下： 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170 问是否有理由认为元件的平均寿命大于 225(小时)？ 解：
H 0 ： 225 vs H1 ： 225
程序：
%正态总体的方差未知时的均值检验
图 12 q-q 分布图
结论：上面的 q-q 图中第 1 个子图用 x 的数据绘图，因为服从正态分布，图 中数据点呈直线分布；第 2 个子图用 x 数据和 y 数据（均服从正态分布），数据 点的主体部分呈直线；第 3 个子图用 z 数据绘图，由于它服从威布尔分布，所以 数据点不在一条直线上；第 4 个子图是用 x 数据和 z 数据绘制的，因为它们不是 同分布的，图中数据点不呈直线分布。