第三课时 平行关系

专题3 空间中的平行关系
一、主要知识及主要方法：
1．空间直线:
（1）空间两条直线的位置关系：相交直线； 平行直线； 异面直线。

异面直线的画法常用的有三种： （2）平行直线：线线平行的判定方法
（3）异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。

推理模式：
,,,A B a B a ααα∉∈⊂∉⇒AB 与a 是异面直线。

2．直线和平面
（
1）直线和平面的位置关系：直线在平面内；直线和平面相交；直线和平面平行。

它们的图形分别可表示为： 符号分别可表示为a α⊂，a A α= ，//a α。

（2）线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

推理模式：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒． 线面平行的判定方法 （3）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

推理模式：//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒ ．
3．平面和平面
（1）两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点） （2）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。

推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。

（
（4）两个平面平行的性质
性质1：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面； 性质2：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

（二）典例分析：
【例1】（1）a 、b 、c 是条不重合的直线，αβγ、、为三个不重合的平面，直线均不在平面内，
给出六个命题：
(1)
;;;;_______a c a c c a b a b a b c b c a c a a γαααβαγβαγαγαβαβγγ⎫⎫⎫⎫
⇒⇒⇒⇒⎬⎬⎬⎬⎭⎭⎭⎭
⎫⎫⇒;⇒⎬⎬⎭⎭
∥∥∥∥∥(2)∥；(3)∥(4)∥∥∥∥∥∥∥(5)∥(6)∥其中正确的序号是∥∥
(2)．设有平面α、β和直线m 、n ，则m ∥α的一个充分条件是( ) A.α⊥β且m ⊥β B.α∩β=n 且m ∥n C.m ∥n 且n ∥α D.α∥β且m β 【例2】已知M 、N 、P 是下列正方体各棱的中点，则AB//平面MNP 的图形序号是__________
B
B B
M N
N
M
P
A
A A A B
M
M
N
N
P
P P ①
②
③
④
【训练1】已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )．
A．m∥n，m⊥α⇒n⊥αB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n
C．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β
【例3】(2011·天津改编)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点．求证：PB∥平面ACM.
【训练2】如图，若PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面PCE.
【例4】►如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点．求证：平面MNP∥平面A1C1B；
【训练3】如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，
AC，A
1B
1
，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
【例5】►如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
【训练4】如图，在四棱锥PABCD中，底面是平行四边形，PA⊥平面ABCD，点M、N 分别为BC、PA的中点．在线段PD上是否存在一点E，使NM∥平面ACE？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
空间中的平行关系习题
1．下列命题中真命题的个数为________．
①直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α；
②若直线a 在平面α外，则a ∥α；③若直线a ∥b ，直线b ⊂α，则a ∥α； ④若直线a ∥b ，b ⊂α，那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线． 2．给出下列命题，其中正确的命题是________(填序号)． ①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；
②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面； ③直线m ⊥平面α，直线n ⊥m ，则n ∥α；
④a 、b 是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a 、b 都平行且与a 、b 距离相等． 3．设l 1、l 2是两条直线，α、β是两个平面，A 为一点，有下列四个命题，其中正
确命题的个数是________．
①若l 1⊂α，l 2∩α＝A ，则l 1与l 2必为异面直线； ②若l 1∥α，l 2∥l 1，则l 2∥α；
③若l 1⊂α，l 2⊂β，l 1∥β，l 2∥α，则α∥β； ④若α⊥β，l 1⊂α，则l 1⊥β.
4．在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则下列命题 中，正确的为________(填序号)．
①AC ⊥BD ；②AC ∥截面PQMN ；③AC ＝BD ；④异面直线PM 与BD 所成的角为45°. 5．过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面 ABB 1A 1平行的有
______条．
6. 如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分 别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a
3
，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在
CD 上，则PQ ＝________.
7．已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于
A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于
B 、D 且PA ＝6，A
C ＝9，P
D ＝8，则BD 的长为________．
8.如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、CD 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 上及其内部运动，则M 满足条件 时，有MN ∥平面B 1BDD 1.
9．考察下列三个命题，在“_____”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l 、m 为直线，α、β为平面)，则此条件为__________．
①
⎭
⎬⎫
m ⊂αl ∥m
⇒l ∥α；②
⎭
⎬⎫
l ∥m m ∥α
⇒l ∥α；③
⎭
⎬⎫
l ⊥β
α⊥β ⇒l ∥α. 10．如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，M 、N 分别是BC 和A 1B 1的中点． 求证：MN ∥平面AA 1C 1C .
11．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．
12．两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM =FN ，求证：MN ∥平面BCE 。

13．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中 AB AC ⊥， PA ⊥平面ABCD ，且 PA AB =，点E 是PD 的中点.
求证：（1）AC PB ⊥ （2）//EAC PB 平面
14．如下图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是C 1C 、B 1C 1、C 1D 1的中点， 求证：（1）平面MNP ∥平面A 1BD .（2）AP ⊥MN ；
P
A B C D E
P
A A
C C
1
1
M
15（10．P是△ABC所在平面外一点，A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心。

（1）求证：平面A′B′C′∥平面ABC；
（2）S△A′B′C′∶S△ABC的值。

16．(16分) (2010·济宁一模)如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE＝EB ＝BC＝2，BF⊥平面ACE，且点F在CE上．
(1)求证：AE⊥BE； (2)求三棱锥D—AEC的体积；
(3)设点M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥
平面DAE.。