2010年湖北黄冈中学高三数学《专题二 二次函数》
黄冈中考二次函数的图像性质及应用
热点12∙二次函数的图像性质及应用一、选择题1.（2014黄冈）在ΔABC 中，BC=10，BC 边上的高h=5，点E 在AB 上，过点E 作EF ∥BC ，交AC 于F ，D 为BC 上的一点，连DE 、DF ．设E 到BC 的距离为x ，则ΔDEF 的面积为S 关于x 的函数图象大致为（ ）DB AABCDEF第8题图2.（2011黄冈）已知函数()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞，则使y =k 成立的x 值恰好有三个，则k的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33.（2011黄冈）已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，那么下列判断正确的是（ ）（A ） abc ＞0 （B ）ac b 42-＞0 （C ）2a+b ＞0 （D ）c b a +-24＜04.（2010黄冈）若函数22(2)2x x y x ⎧+=⎨⎩ ≤ （x>2），则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是（）A B．4 C 4 D ．4二、解答题1.（2013黄冈）某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润1y （元）与国内销售数量x （千件）的关系为：若在国外销售，平均每件产品的利润2y （元）与国外的销售数量t （千件）的关系为：（1）用x 的代数式表示t 为：t= ；当0＜x ≤4时，2y 与x 的函数关系式为：2y = ；当4≤x ＜ 时，2y =100；（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润W （千元）与国内的销售数量x （千件）的函数关系式，并指出x 的取值范围；（3）该公司每年国内、国外的销量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？2.（2012黄冈）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400 元，销售单价定为3000 元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10 件时，每件按3000 元销售；若一次购买该种产品超过10 件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10 元，但销售单价均不低于2600 元．(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600 元?(2)设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)3.（2004•黄冈）心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力y 随时间t （分钟）的变化规律有如下关系式：y=（y 值越大表示接受能力越强）（1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中； （2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中能持续多少分钟；（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？4.（2011黄冈）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x 万元，可获得利润()216041100P x =--+（万元）．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获利润()()299294101001601005Q x x =--+-+（万元） ⑴若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？⑵若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？ ⑶根据⑴、⑵，该方案是否具有实施价值？5.（2010黄冈）某同学从家里出发，骑自行车上学时，速度v （米/秒）与时间t （秒）的关系如图a，A（10，5），B（130，5），C（135，0）.（1）求该同学骑自行车上学途中的速度v与时间t的函数关系式；（2）计算该同学从家到学校的路程（提示：在OA和BC段的运动过程中的平均速度分别等于它们中点时刻的速度，路程＝平均速度×时间）；（3）如图b，直线x＝t（0≤t≤135），与图a的图象相交于P、Q，用字母S表示图中阴影部分面积，试求S与t的函数关系式；（4）由（2）（3），直接猜出在t时刻，该同学离开家所超过的路程与此时S的数量关系.图a图b6.（2009黄冈）新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线2y x x=-+-的一部分，且点A，B，C的横坐标分别为4，10，12 52051230（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？3.解：（1）当t=5时，y=195，当t=25时，y=205∴讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟时更集中．（2）当0＜t≤10时，y=﹣t2+24t+100=﹣（t﹣12）2+244，该图的对称轴为t=12，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，所以，当t=10时，y有最大值240当10＜t≤20时，y=240当20＜t≤40时，y=﹣7t+380，y随x的增大而减小，故此时y＜240所以，当t=20时，y有最大值240．所以，讲课开始后10分钟时，学生的注意力最集中，能持续10分钟．（3）当0＜t≤10，令y=﹣t2+24t+100=180，∴t=4当20＜t≤40时，令y=﹣7t+380=180，∴t=28.57所以，老师可以经过适当安排，能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．。
《高三数学二次函数》课件
3 二次函数的单调性
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
4 二次函数的极值
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 0)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递减，求$a$的取值范围。
提高习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 1)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递增，求$a$的取值范围。
04
下一步学习计划
01
深入学习其他类型的函数，如 三角函数、指数函数等，进一 步拓展数学知识面。
02
加强数学练习，通过大量的习பைடு நூலகம்题训练提高自己的解题能力和 数学思维能力。
03
学习数学中的其他重要概念和 定理，如导数、积分等，为后 续的学习打下坚实的基础。
04
参加数学竞赛或课外活动，与 其他同学一起探讨数学问题， 共同进步。
基础习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在$x = 2$处取得最小值，求$a$的取值范围。
基础习题3
湖北省黄冈中学中考数学二次函数和几何综合专题
湖北省黄冈中学中考数学二次函数和几何综合专题一、二次函数压轴题1．探究：已知二次函数y ＝ax 2﹣2x+3经过点A(﹣3，0)． (1)求该函数的表达式；(2)如图所示，点P 是抛物线上在第二象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ，连接AC ，PA ，PC ．①求△ACP 的面积S 关于t 的函数关系式；②求△ACP 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．拓展：在平面直角坐标系中，点M 的坐标为(﹣1，3)，N 的坐标为(3，1)，若抛物线y ＝ax 2﹣2x+3(a ＜0)与线段MN 有两个不同的交点，请直接写出a 的取值范围．2．某班“数学兴趣小组”对函数234y x x =-++的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：x⋯ 5- 4-3- 2-32- 1- 0 13223 45⋯ y ⋯6- 04 62546 4 6 25464m⋯m = ．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）直线y kx b =+经过325,24⎛⎫ ⎪⎝⎭，若关于x 的方程234x x kx b -++=+有4个不相等的实数根，则b 的取值范围为 ．3．在正方形ABCD 中，AB ＝4cm ，AC 为对角线，AC 上有一动点P ，M 是AB 边的中点，连接PM 、PB ，设A 、P 两点间的距离为xcm ，PM ＋PB 长度为ycm .小东根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如表： x/cm 0 1 2 34 5 y/cm6.04.84.56.07.4（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象.（3）结合画出的函数图象，解决问题：PM ＋PB 的长度最小值约为______cm . 4．综合与探究．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2﹣3x +4与x 轴分别交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ．点P 是线段OA 上的一个动点，沿OA 以每秒1个单位长度的速度由点O 向点A 运动，过点P 作DP ⊥x 轴，交抛物线于点D ，交直线AC 于点E ，连接BE ．（1）求直线AC 的表达式；（2）在点P 运动过程中，运动时间为何值时，EC ＝ED ？（3）在点P 运动过程中，△EBP 的周长是否存在最小值？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣8与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ． （1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）试探究在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A 、C 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如果抛物线C 1：2y ax bx c =++与抛物线C 2：2y ax dx e =-++的开口方向相反，顶点相同，我们称抛物线C 2是C 1的“对顶”抛物线．（1）求抛物线247y x x =-+的“对顶”抛物线的表达式；（2）将抛物线247y x x =-+的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线247y x x =-+形成两个交点M 、N ，记平移前后两抛物线的顶点分别为A 、B ，当四边形AMBN 是正方形时，求正方形AMBN 的面积．（3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线C 1与C 2的顶点位于x 轴上，那么系数b 与d ，c 与e 之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系．7．根据我们学习函数的过程与方法，对函数y ＝x 2＋bx ＋2﹣c |x ﹣1|的图像和性质进行探究，已知该函数图像经过（﹣1，﹣2）与（2，1）两点， （1）该函数的解析式为 ，补全下表： x ⋯ ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 ⋯ y ⋯2﹣1 ﹣2 2 1 2 ⋯（2）描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，写出这个函数的一条性质： ．（3）结合你所画的图象与函数y ＝x 的图象，直接写出x 2＋bx ＋2﹣c |x ﹣1|≤x 的解集 ．8．综合与探究如图，已知二次函数()220y ax bx a =++≠的图像与x 轴交于1,0A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线122y x =-+经过B ，C 两点 （1）求二次函数的解析式；（2）点P 是线段 BC 上一个动点，过点P 作x 轴的垂线于点Q ，交抛物线于点D ，当点Q 是线段PD 的中点时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，若点M 是直线BC 上一点，N 是平面内一点，当以P ，D ，M ，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点N 的坐标．9．已知函数()()2110b y a x a x=-++≠，某兴趣小组对其图像与性质进行了探究，请补充完整探究过程．x … －3 －2 －1 12 3 4 5 … y … －6 －2 2－2 －1 －2m385-… （1）请根据给定条件直接写出,,a b m 的值；（2）如图已经画出了该函数的部分图像，请你根据上表中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，补充该函数图像，并写出该函数的一条性质；（3）若()214ba x x x-+≥-，结合图像，直接写出x 的取值范围． 10．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=a x 2+b x+3经过A(1，0) 、B(－3，0)两点，与y 轴交于点C ．直线BC 经过B 、C 两点．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1，请探究在平移的过程中是否存在点 O 1落在抛物线上的情形，若存在，求出点O 1的坐标，若不存在，说明理由；（3）如图2，设抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，连结AC ，请探究在抛物线上是否存在一点F ，使直线EF ∥AC ，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，说明理由．二、中考几何压轴题11．如图l ，在正方形ABCD ABCD 中，8AB =AB=8，点E E 在AC AC 上，且22AE =，22AE =过E 点作EF AC ⊥于点E ，交AB 于点F ，连接CF ，DE ．（问题发现）（1）线段DE 与CF 的数量关系是________，直线DE 与CF 所夹锐角的度数是___________； （拓展探究）（2）当AEF ∆绕点A 顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请写出结论并结合图2给出证明；若不成立，请说明理由； （解决问题）（3）在（2）的条件下，当点E 到直线AD 的距离为2时，请直接写出CF 的长． 12．如图1，在等腰三角形ABC 中，120,,A AB AC ∠==点D E 、分别在边AB AC 、上，,AD AE =连接,BE 点M N P 、、分别为DE BE BC 、、的中点．（1）观察猜想图1中，线段NM NP 、的数量关系是____，MNP ∠的大小为_____； （2）探究证明把ADE 绕点A 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接,MP BD CE 、、判断MNP △的形状，并说明理由； （3）拓展延伸把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若1,3AD AB ==，请求出MNP △面积的最大值． 13．综合与实践：问题情境：在数学课上，以“等腰直角三角形为主体，以点的对称为基础，探究线段间的变化关系”．如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点E 为ACB ∠的角平分线CD 上一动点但不与点C 重合，作点E 关于直线BC 的对称点为F ，连接AE 并延长交CB 延长线于点H ，连接FB 并延长交直线AH 于点G ． 探究实践：（1）勤奋小组的同学发现AE BF =，请写出证明； 探究发现：（2）智慧小组在勤奋小组的基础上继续探究，发现线段FG ，EG 与CE 存在数量关系，请写出他们的发现并证明； 探究拓展：（3）如图2，奇异小组的同学在前两个小组探究的基础上，连接GC ，得到三条线段GE ，GC 与GF 存在一定的数量关系，请直接写出．14．在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝α，点D 为直线BC 上一动点，过点D 作DF ∥AC 交直线AB 于点F ，将AD 绕点D 顺时针旋转α得到ED ，ED 交直线AB 于点O ，连接BE ．（1）问题发现：如图1，α＝90°，点D 在边BC 上，猜想： ①AF 与BE 的数量关系是 ； ②∠ABE ＝ 度． （2）拓展探究：如图2，0°＜α＜90°，点D 在边BC 上，请判断AF 与BE 的数量关系及∠ABE 的度数，并给予证明． （3）解决问题如图3，90°＜α＜180°，点D 在射线BC 上，且BD ＝3CD ，若AB ＝8，请直接写出BE 的长．15．（探究证明）（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AD、BC于点E、F，GH分别交AB、DC于点G、H，求证：EF AB GH AD；（结论应用）（2）如图②，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB＝2，BC＝3．求折痕EF的长；（拓展运用）（3）如图③，将矩形ABCD沿EF折叠．使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG，若AB＝2，BC＝3，EF＝2103，请求BP的长．16．综合与实践数学活动课上，老师让同学们结合下述情境，提出一个数学问题：如图1，四边形ABCD是正方形，四边形BEDF是矩形．探究展示：“兴趣小组”提出的问题是：“如图2，连接CE．求证：AE⊥CE．”并展示了如下的证明方法：证明：如图3，分别连接AC，BD，EF，AF．设AC与BD相交于点O．∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，且AC=BD．又∵四边形BEDF是矩形，∴EF经过点O，∴OE=OF=12EF，且EF=BD．∴OE=OF，OA=OC．∴四边形AECF是平行四边形．（依据1）∵AC=BD，EF=BD，∴AC=EF．∴四边形AECF 是矩形．（依据2） ∴∠CEA =90°， 即AE ⊥CE ． 反思交流：（1）上述证明过程中“依据1”“依据2”分别是什么？ 拓展再探：（2）“创新小组”受到“兴趣小组”的启发，提出的问题是：“如图4，分别延长AE ，FB 交于点P ，求证：EB =PB ．”请你帮助他们写出该问题的证明过程．（3）“智慧小组”提出的问题是：若∠BAP =30°，AE =31-，求正方形ABCD 的面积．请你解决“智慧小组”提出的问题．17．在ABC ∆中，BD AC ⊥于点D ，点Р为射线BD 上任一点（点B 除外）连接AP ，将线段PA 绕点Р顺时针方向旋转α︒，ABC α=∠，得到PE ，连接CE ．（1）（观察发现）如图1，当BA BC =，且60ABC ∠=︒时，BP 与CE 的数量关系是___________，BC 与CE 的位置关系是___________．（2）（猜想证明）如图2，当BA BC =，且90ABC ∠=︒时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）（3）（拓展探究）在（2）的条件下，若8AB =，52AP =，请直接写出CE 的长． 18．如图：两个菱形ABCD 与菱形BEFG 的边AB BE ，在同一条直线上，边长分别为a 和b ，点C 在BG 上，点M 为CG 的中点．（1）观察猜想：如图①，线段BM 与线段AE 的数量关系是______________． （2）拓展探究：如图②，120ABC ∠=︒，将图①中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转至图②位置，其他条件不变，连接BM ，①猜想线段BM 与线段AE 的数量关系，并说明理由． ②求出线段BM 与AE 所成的最小夹角．（3）解决问题：如图③，若将题目中的菱形改为矩形，且3BC EFAB BE==，请直接写出线段BM 与线段AE 的数量关系．19．某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积123,,S S S 之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究：（1）如图2，在Rt ABC △中，BC 为斜边，分别以,,AB AC BC 为直径，向外侧作半圆，则面积123,,S S S 之间的关系式为_____________； 推广验证：（2）如图3，在Rt ABC △中，BC 为斜边，分别以,,AB AC BC 为边向外侧作ABD △，,ACE BCF ，满足123,∠=∠=∠∠=∠=∠D E F ，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由； 拓展应用：（3）如图4，在五边形ABCDE 中，105,90,23,2A E C ABC AB DE ∠=∠=∠=︒∠=︒==，点P 在AE 上，30,2ABP PE ∠=︒=，求五边形ABCDE 的面积．20．已知：如图1所示将一块等腰三角板BMN 放置与正方形ABCD 的B 重合，连接AN 、CM ，E 是AN 的中点，连接BE ．（观察猜想）（1）CM 与BE 的数量关系是________；CM 与BE 的位置关系是________； （探究证明）（2）如图2所示，把三角板BMN 绕点B 逆时针旋转(090)αα<<，其他条件不变，线段CM 与BE 的关系是否仍然成立，并说明理由； （拓展延伸）（3）若旋转角45α=，且2NBE ABE ∠=∠，求BC BN 的值． 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、二次函数压轴题1．探究：（1）223y x x =--+；（2）①S =23922t t =--，②ACP ∆的面积的最大值是278，此时点P 的坐标为315(,)24-，拓展：2a ≤-. 【分析】（1）由待定系数法易求解析式；（2）过点P 作PN AO ⊥于点N ，交AC 于点Q .设点P 的坐标为()2,23t t t --+，由PQC PQA S S S ∆∆=+可得关于t 的二次函数，进而可求最大值.（3）根据抛物线与MN 的位置关系可知当抛物线经过M 点时，a 取最大值.【详解】探究：（1）∵抛物线223y ax x =-+经过点()3,0A -，∴()()203233a =--⨯-+，解得1a =-. ∴抛物线的表达式为223y x x =--+.（2）①过点P 作PN AO ⊥于点N ，交AC 于点Q .设直线AC 的解析式为()0y kx b k =+≠，将()3,0A -、()0,3C 代入y kx b =+，303k b b -+=⎧⎨=⎩，解得：13k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的解析式为3y x =+.∵点P 在抛物线223y x x =--+上，点Q 在直线AC 上，∴点P 的坐标为()2,23t t t --+，点Q 的坐标为(),3t t +，∴()2233P Q PQ y y t t t =-=--+-+ 23t t =--， ∴()21332PQC PQA S S S t t ∆∆=+=--⋅ 23922t t =--. ②∵23922S t t =--， ∴当9323222t =-=-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，2max 33932722228S ⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当32t =-时，2331523224p y ⎛⎫⎛⎫=---⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴ACP ∆的面积的最大值是278，此时点P 的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭. [拓展]：抛物线y=ax 2−2x+3(a<0),当x=1时，y=a-2+3=a+1＜3，故抛物线右边一定与MN 有交点，当x=-1，y=a+2+3=a+5，在M 点或下方时，抛物线左边边一定与MN 有交点，即a+5≤3；∴2a ≤-；【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形面积的计算，极值的确定，关键是确定出抛物线解析式，难点是数形结合确定a 点的求值范围．2．（1）-6；（2）答案见解析；（3）①该函数的图象关于y 轴对称；②该函数的图象有最高点；（4）2544b <<． 【分析】（1）根据对称可得m=-6；（2）用平滑的曲线连接各点即可画出图形；（3）认真观察图象，总结出2条性质即可；（4）画出两函数图象即可得到结论．【详解】（1）由表格可知：图象的对称轴是y 轴，∴m=-6，故答案为：-6； ()2如图所示()3①该函数的图象关于y 轴对称②该函数的图象有最高点；（4）由图象可知：关于x 的方程234x x kx b -++=+有4个不相等的实数根时，即y=kx+b 时，与图象有4个交点，所以，由图象可以得出，当2544b <<时，直线与图象有4个不同的交点． 故答案为：2544b <<．【点睛】本题考查了二次函数与x 轴的交点问题和一元二次方程的根的情况，注意利用数形结合的思想，理解一元二次方程与抛物线的关系是解此题的关键．3．H解析：（1）5.0；（2）见解析；（3）x ＝2时，函数有最小值y ＝4.5【分析】（1）通过作辅助线，应用三角函数可求得HM +HN 的值即为x =2时，y 的值；（2）可在网格图中直接画出函数图象；（3）由函数图象可知函数的最小值．【详解】（1）当点P 运动到点H 时，AH =3，作HN ⊥AB 于点N ．∵在正方形ABCD 中，AB =4cm ，AC 为对角线，AC 上有一动点P ，M 是AB 边的中点，∴∠HAN =45°，∴AN =HN =AH •sin45°=323222⨯=，∴HM 22()HN AN AM =+-，HB 22()HN AB AN =+-，∴HM +HN =222232323232()(2)()(4)2222+-++-=136225122-+-≈4.5168.032+≈2.125+2.834≈5.0．故答案为：5.0；（2）（3）根据函数图象可知，当x =2时，函数有最小值y =4.5．故答案为：4.5．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．4．A解析：（1）直线AC 的表达式为y ＝x +4；（2）运动时间为0或（4EC ＝ED ；（3）3(,0)2P -【分析】（1）由抛物线的解析式中x ，y 分别为0，求出A ，C 的坐标，再利用待定系数法确定直线AC 的解析式；（2）设出运动时间为t 秒，然后用t 表示线段OP ，CE ，AP ，DE 的长度，利用已知列出方程即可求解；（3）利用等量代换求出△EBP 的周长为AB +BE ，由于AB 为定值，BE 最小时，△EBP 的周长最小，根据垂线段最短，确定点E 的位置，解直角三角形求出OP ，点P 坐标可求．【详解】解：（1）∵ 抛物线y ＝﹣x 2﹣3x +4与x 轴分别交于A ，B ，交y 轴于点C ，∴ 当x ＝0时，y ＝4．∴ C （0，4）．当y ＝0时，﹣x 2﹣3x +4＝0，∴ x 1＝﹣4，x 2＝1，∴ A （﹣4，0），B （1，0）．设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ， ∴ -404k b b+=⎧⎨=⎩ 解得：14k b =⎧⎨=⎩∴ 直线AC 的表达式为y ＝x +4．（2）设点P 的运动时间为t 秒，∵点P 以每秒1个单位长度的速度由点O 向点A 运动，∴ OP ＝t ．∴ P （﹣t ，0）．∵ A （﹣4，0），C （0，4），∴ OA ＝OC ＝4．∴ Rt △AOC 为等腰直角三角形．∴ ∠CAO ＝∠ACO ＝45°，AC ＝．∵ DP ⊥x 轴，在Rt △APE 中，∠CAP ＝45°，∴ AP ＝PE ＝4﹣t ，AE AP 4﹣t ）．∴ EC ＝AC ﹣AE．∵ E ，P 的横坐标相同，∴ E （﹣t ，﹣t +4），D （﹣t ，﹣t 2+3t +4）．∴ DE ＝（﹣t 2+3t +4）﹣（﹣t +4）＝﹣t 2+4t ．∵ EC ＝DE ，∴﹣t 2+4t ．解得：t ＝0或t ＝4∴ 当运动时间为0或（4）秒时，EC ＝ED ．（3）存在．P 的坐标为（﹣32，0）． 在Rt △AEP 中，∠OAC ＝45°，∴ AP ＝EP ．∴ △AEB 的周长为EP +BP +BE ＝AP +BP +BE ＝AB +BE ．∵ AB ＝5，∴ 当BE 最小时，△AEB 的周长最小．当BE ⊥AC 时，BE 最小．在Rt △AEB 中，∵∠AEB ＝90°，∠BAC ＝45°，AB ＝5，BE ⊥AC ，∴ PB ＝12AB ＝52． ∴ OP ＝PB ﹣OB ＝32． ∴ P （﹣32，0）． 【点睛】本题考查了二次函数，一次函数的图象和性质，垂线段最短的性质，等腰三角形的性质，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键． 5．A解析：（1）A （﹣2，0），B （4，0），C （0，﹣8）；（2）存在，Q 点坐标为18)Q ，21722(,)77Q ． 【分析】(1)解方程2280x x --=，可求得A 、B 的坐标，令0x =，可求得点C 的坐标；(2)利用勾股定理计算出AC =BC 的解析式为28y x =-，可设Q （m ，2m ﹣8）（0＜m ＜4），分三种情况讨论：当CQ ＝AC 时，当AQ ＝AC 时，当AQ ＝QC 时，然后分别解方程求出m 即可得到对应的Q 点坐标．【详解】(1)当0y =，2280x x --=，解得x 1＝﹣2，x 2＝4，所以(2,0)A -，(4,0)B ，x ＝0时，y ＝﹣8，∴(0,8)C -；(2)设直线BC 的解析式为y kx b =+，把(4,0)B ，(0,8)C -代入解析式得：408k b b +=⎧⎨=-⎩，解得28k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的解析式为28y x =-，设Q （m ，2m ﹣8）（0＜m ＜4），当CQ ＝CA 时，22(288)68m m +-+=，解得，1m =2m =∴Q 8)， 当AQ ＝AC 时，22(2)(28)68m m ++-=，解得：128m 5=（舍去），m 2＝0（舍去）； 当QA ＝QC 时，2222(2)(28)(2)m m m m ++-=+，解得177m =， ∴Q 1722(,)77-．综上所述，满足条件的Q 点坐标为18)Q ，21722(,)77Q -． 【点睛】 本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质，会利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质，会利用勾股定理表示线段之间的关系，会运用分类讨论的思想解决数学问题．6．C解析：（1）241y x x =-+-；（2）2；（3）b d c e=-⎧⎨=-⎩ 【分析】（1）先求出抛物线C 1的顶点坐标，进而得出抛物线C 2的顶点坐标，即可得出结论； （2）设正方形AMBN 的对角线长为2k ，得出B （2，3＋2k ），M （2＋k ，3＋k ），N （2−k ，3＋k ），再用点M （2＋k ，3＋k ）在抛物线y ＝（x −2）2＋3上，建立方程求出k 的值，即可得出结论；（3）先根据抛物线C 1，C 2的顶点相同，得出b ，d 的关系式，再由两抛物线的顶点在x 轴，求出c ，e 的关系，即可得出结论．【详解】解：（1）解：（1）∵y ＝x 2−4x ＋7＝（x −2）2＋3，∴顶点为（2，3），∴其“对顶”抛物线的解析式为y ＝−（x −2）2＋3，即y ＝−x 2＋4x −1；（2）如图，由（1）知，A （2，3），设正方形AMBN 的对角线长为2k ，则点B （2，3＋2k ），M （2＋k ，3＋k ），N （2−k ，3＋k ），∵M （2＋k ，3＋k ）在抛物线y ＝（x −2）2＋3上，∴3＋k ＝（2＋k −2）2＋3，解得k ＝1或k ＝0（舍）；∴正方形AMBN 的面积为12×(2k )2＝2；（3）根据抛物线的顶点坐标公式得，抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为（2b a -，244ac b a -），抛物线C 2：y ＝−ax 2＋dx ＋e 的顶点为（2d a ，244ae d a---）， ∵抛物线C 2是C 1的“对顶”抛物线， ∴22b d a a-=， ∴=-b d ，∵抛物线C 1与C 2的顶点位于x 轴上， ∴224444ac b ae d a a---=-， ∴c e =-，即b d c e =-⎧⎨=-⎩． 【点睛】此题主要考查了抛物线的顶点坐标公式，正方形的性质，理解新定义式解本题的关键． 7．(1) y ＝x 2﹣x +2﹣3|x ﹣1|，补全表格见解析，(2) 函数图像见解析，当x =-1时，函数有最小值，最小值为-2；55-x 55+15--≤x 15-+ 【分析】（1）将点（﹣1，﹣2）与（2，1）代入解析式即可；（2）画出函数图象，观察图象得到一条性质即可（3）根据图象，求出两个函数图象的交点坐标，通过观察可确定解解集．【详解】解：（1）∵该函数图象经过（﹣1，﹣2）与（2，1）两点，∴12224221b c b c -+-=-⎧⎨++-=⎩， ∴13b c =-⎧⎨=⎩， ∴y ＝x 2﹣x +2﹣3|x ﹣1|，故答案为：y ＝x 2﹣x +2﹣3|x ﹣1|；当x =-4时，y =7；当x =0时，y =-1； 补全表格如图， x ⋯ ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 01 2 3 ⋯ y ⋯ 7 2 ﹣1 ﹣2 -1 2 1 2 ⋯（2）函数图像如图所示，当x =-1时，函数有最小值，最小值为-2；（3）当x ≥1时，x 2﹣x +2﹣3x +3=x ，解得，1552x +=，2552x -=，观察图象可知不等式的解集为：552-≤x ≤552+； 当x ＜1时，x 2﹣x +2+3x ﹣3=x ， 解得，3152x -+=，4152x --=，观察图象可知不等式的解集为：152--≤x ≤152-+； ∴不等式x 2+bx +2﹣c |x ﹣1|≤x 的解集为552-≤x ≤552+或152--≤x ≤152-+．【点睛】本题考查二次函数与不等式的关系；掌握描点法画函数图象，利用数形结合解不等式是解题的关键．8．B解析：（1）215222y x x =-+；（2）P （2，1）；（3）4225,1555N ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，422+5,1555N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()0,0N ，1811,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）求出点B ，带入求解即可；（2）设,22t P t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，(),0Q t ，()215,20＜＜422D t t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，根据中点的性质列式计算即可； （3）根据菱形的性质分类讨论即可；【详解】（1）令1202x -+=，解得：4x =， ∴()4,0B ，令0x =，则2y =，∴()0,2C ，把1,0A ，()4,0B 代入()220y ax bx a =++≠中，∴2016420a b a b ++=⎧⎨++=⎩， ∴12a =，52b =-， ∴215222y x x =-+； （2）设,22t P t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，(),0Q t ，()215,20＜＜422D t t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∵Q 为PD 中点，∴2115-2202222t t t ⎛⎫++-+=⨯ ⎪⎝⎭， ∴213402t t -+=， ∴12t =，24t =（舍），∴()2,1P ；（3）①如图，由题意可得：PD 为菱形的边，,PM DN 为菱形的对角线，//,PD MN 2,PD MN DM ===由（2）可得：()2,1P ，()2,1D -，2,PD ∴=设22,1M m m -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,42N m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 由2DM =可得：()221234,2m m ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭ 整理得：()()51820,m m --=解得：1218,2,5m m == 检验：2m =不合题意舍去，取18,5m =1811811,,,.5555M N ⎛⎫⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭如图，PD 为菱形的边， //,PD MN 2,PD MN DN ===同理可得：4225,1555N ⎛- ⎝或452521.N ⎛- ⎝⎭②如图，当PD 为对角线时，由()2,1P ，()2,1D -，()()4,0,0,0,B O可得：,M B 重合，,N O 重合时，四边形PMDN 为菱形，()0,0.N ∴ 综上：4225,1555N ⎛- ⎝，425,1555N ⎛- ⎝，()0,0N ，1811,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，结合菱形的判定与性质、等腰三角形的性质和一元二次方程的求解是解题的关键．9．（1）12a =-，3b =-，174m =-；（2）见详解；（3）x 的取值范围是：-3≤x ＜0或1≤x≤2．【分析】（1）先将（-1，2）和（1，-2）代入函数y=a （x-1）2+b x+1中，列方程组解出可得a 和b 的值，写出函数解析式，计算当x=4时m 的值即可；（2）描点并连线画图，根据图象写出一条性质即可；（3）画y=x-3的图象，根据图象可得结论．【详解】 解：（1）把（-1，2）和（1，-2）代入函数y=a （x-1）2+b x+1中得： 41212a b b -+=⎧⎨+=⎩，解得：123a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴y=213(1)12x x---+（a≠0）， 当x=4时，m=131791244-⨯-+=-； （2）如图所示，性质：当x ＞2时，y 随x 的增大而减小（答案不唯一）；（3）∵a （x -1）2+b x≥x -4， ∴a （x -1）2+b x+1≥x -3， 如图所示，由图象得：x 的取值范围是：-3≤x ＜0或1≤x≤2．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，描点，画函数图象，以及二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，利用了数形结合思想进行分析．10．F解析：（1）223y x x =--+，1x =-；（2）O 1321-+321-+)321--321--3）满足条件的点F 的坐标为F 1(-2，3)，F 2(3，-12)． 【分析】（1）把A （1，0），B （-3，0）代入y=ax 2+bx+3即可求解；（2）先求出直线OO 1的解析式为y x =，再根据223x x x --+=，求解即可或是根据23(23)3x x x +---+=得出x 的值，再根据直线OO 1的解析式为y x =求解；（3）先求出直线EF 解析式为 33y x =--，再根据22333x x x --+=--求解即可．【详解】解：（1）将点A （1, 0），B （-3, 0）代入抛物线解析式y=a x 2+b x+3得：{309330a b a b ++=-+= 解得：{12a b =-=-∴抛物线解析式为 223y x x =--+∴2(1)4y x =++ ∴1x =-（2）∵点C 为223y x x =--+与y 轴的交点∴C （0，3）∵B(－3，0)∴OB ＝OC ∴ ∠CBO=45°∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1∴直线OO 1∥BC ∴ ∠O 1OA=45°∴直线OO 1的解析式为y x =根据题意 得 223x x x --+=整理得 2330x x +-=解得 1x =2x =∴O 1 )或) 解法2 ∵点C 为223y x x =--+与y 轴的交点∴C （0，3）∴OC=3∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1 01C 1=3∴23(23)3x x x +---+=整理得 2330x x +-=解得 1x =2x = ∵B(－3，0)∴OB ＝OC ∴ ∠CBO=45°∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1∴直线OO 1∥BC ∴ ∠O 1OA=45°∴直线OO 1的解析式为y=x∴O 1 )(3)∵抛物线对称轴与x 轴交于点E,则点E 的坐标为E(-1,0),过点C 作CF ∥x 轴根据抛物线的对称性得F 的坐标为F(-2,3)∴AE=CF=2 ∵CF ∥AE ∴四边形CFEA 为平行四边形∴EF ∥CA设直线EF 的解析式为y kx b =+得：{320k b k b =-+=-+ 解得：{33k b =-=- ∴直线EF 解析式为 33y x =--根据题意 得 22333x x x --+=--解得12x =- 23x =满足条件的点F 的坐标为F 1(-2，3)，F 2(3，-12)．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，学会用转化的思想思考问题．二、中考几何压轴题11．（1），；（2）结论仍然成立，证明详见解析；（3）的长为或．【分析】（1）延长DE 交CF 的延长线于点N ，由正方形的性质可得和均为等腰直角三角形，因此，易证，由相似三角形的性质即可得到，由三角形的解析：（1）2CF DE ，45︒；（2）结论仍然成立，证明详见解析；（3）CF 的长为5或413【分析】（1）延长DE 交CF 的延长线于点N ，由正方形的性质可得Rt AEF ∆和Rt ADC ∆均为等腰直角三角形，因此2AF AC AE AD==，易证~FAC EAD ∆∆，由相似三角形的性质即可得到2CF DE ，由三角形的内角和即可得到45CNE ∠=︒；（2）延长DE 交CF 于点G ，由旋转的性质可知Rt AEF ∆和Rt ADC ∆均为等腰直角三角形，因此2AF AC AE AD==∽∆∆FAC EAD ，同（1）易证结论仍成立； （3）由点E 到直线AD 的距离为2，22AE =F 在直线AD 或AB 上，分两种情况讨论：（i ）当点F 在DA 的延长线或BA 延长线上时，由勾股定理可得CF 的长，（ii ）当点F 在AD 或AB 上时，过点E 作AEF ∆的高，由勾股定理可得CF 的长．【详解】解：（1）如图①，延长DE 交CF 的延长线于点N ，∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴45FAE DAC ︒∠=∠=，∵AEF ∆是直角三角形，∴Rt AEF ∆和Rt ADC ∆均为等腰直角三角形， ∴2AF AC AE AD ==， 又∵FAC EAD ∠=∠，∴~FAC EAD ∆∆，∴2==CF AF DE AE ，ADE ACF ∠=∠， ∴2CF DE =；又∵180CAD ADE AED ︒∠+∠+∠=，180CNE CEN ECN ︒∠+∠+∠=，AED CEN ∠=∠， ∴45CNE CAD ∠=∠=︒故答案为：2CF DE =，45︒（2）结论仍然成立．理由如下：如图②，延长DE 交CF 于点G ．∵AC 是正方形ABCD 的对角线，且Rt AEF ∆是由原题中图1的位置旋转得来， ∴45∠=∠=︒FAE DAC ，即Rt AEF ∆和Rt ADC ∆均为等腰直角三角形．∴2AF AC AE AD= 又∵∠=∠+∠FAC FAE EAC ，EAD DAC EAC ∠=∠+∠，∴FAC EAD ∠=∠．∴∽∆∆FAC EAD ．∴2==CF AF DE AE ，ADE ACF ∠=∠． ∴2CF DE =．又∵180∠+∠+∠=︒CAD ADE AHD ，180︒∠+∠+∠=CGD ACG GHC ，∠=∠AHD GHC ， ∴45∠=∠=︒CGD CAD ．∴结论成立．（3）CF 的长为45或413．理由如下：∵点E 到直线AD 的距离为2，22AE =，∴点F 在直线AD 或AB 上分两种情况讨论：（i ）如图③，当点F 在DA 的延长线上时，过点E 作EG ⊥AD 交延长线于点G,∵22AE =,∴4AF =,∴12DF DA AF =+=，在Rt CDF ∆中，由勾股定理得2222812413CF CD DF =+=+=；如图④，当点F 在BA 延长线上时，过点E 作EK ⊥AD 交DA 的延长线于点K ，在等腰Rt AEF ∆中，过点E 作EH ⊥AF 于点H,∵AH=EK=2=12AF ，∴BF=AB+AF=12，∴2222812413CF BC BF ++（ii ）如图⑤，当点F 在AD 上时，过点E 作EI ⊥AD 于点I ，∵AF=4，AD=8，∴4DF AD AF =-=，在Rt CDF ∆中，由勾股定理得22228445CF CD DF =+=+=；如图⑥，当点F 在AB 上时，过点E 作EM ⊥AD 交AD 于点M ，在等腰Rt AEF ∆中，过点E 作EN ⊥AF 于点N ，∵AN=EM=2=12AF ，∴4BF AB AF =-=， ∴22228445CF BC BF ++综上所述，CF 的长为41345【点睛】本题考查相似三角形和图形旋转的性质，属于综合题，需要分类讨论，熟练掌握等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识是解题关键． 12．（1）相等，；（2）是等边三角形，理由见解析；（3）面积的最大值为.【分析】（1）根据＂点分别为的中点＂，可得MNBD ，NPCE ，根据三角形外角和定理，等量代换求出．（2）先求出，得出，根据解析：（1）相等，60；（2）MNP △是等边三角形，理由见解析；（3）MNP △面积的3【分析】（1）根据＂120,,A AB AC ∠==,AD AE =点M N P 、、分别为DE BE BC 、、的中点＂，可得MN //BD ，NP //CE ，根据三角形外角和定理，等量代换求出MNP ∠．（2）先求出ABD ACE △≌△，得出ABD ACE ∠=∠，根据MN //BD ，NP //CE ，和三角形外角和定理，可知MN=PN ，再等量代换求出MNP ∠，即可求解．（3）根据BD AB AD ≤+，可知BD 最大值，继而求出MNP △面积的最大值．【详解】()1由题意知：AB=AC ，AD=AE ，且点M N P 、、分别为DE BE BC 、、的中点，∴BD=CE ，MN //BD ，NP //CE ，MN=12BD ，NP=12EC∴MN=NP又∵MN //BD ，NP //CE ，∠A=120︒，AB=AC ，∴∠MNE=∠DBE ，∠NPB=∠C ，∠ABC=∠C=30根据三角形外角和定理，得∠ENP=∠NBP+∠NPB∵∠MNP=∠MNE+∠ENP ，∠ENP=∠NBP+∠NPB ，∠NPB=∠C ，∠MNE=∠DBE ，∴∠MNP=∠DBE+∠NBP+∠C=∠ABC+∠C =60． ()2MNP 是等边三角形．理由如下：如图，由旋转可得BAD CAE ∠=∠ 在ABD 和ACE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD ACE SAS ∴≌BD CE ABD ACE ，=∠=∠∴．点M N 、分别为DE BE 、的中点，MN ∴是EBD △的中位线，12MN BD ∴=且//MN BD 同理可证12PN CE =且//PN CE ,MN PN MNE DBE NPB ECB ，∴=∠=∠∠=∠MNE DBE ABD ABE ACE ABE ∠=∠=∠+∠=∠+∠ENP EBP NPB EBP ECB ∠=∠+∠=∠+∠MNP MNE ENP ACE ABE EBP ECB ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠60ABC ACB =∠+∠=︒．在MNP △中∵∠MNP=60︒，MN=PNMNP ∴是等边三角形．()3根据题意得:BD AB AD ≤+即4BD ≤，从而2MN ≤MNP △的面积2133224MN MN MN =⋅=． ∴MNP △面积的最大值为3．【点睛】本题主要考查了三角形中点的性质、三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形旋转的相关知识；正确掌握三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形旋转的相关知识是解题的关键．13．（1）见解析；（2），见解析；（3）【分析】（1）连接CF ，证明，即可解决问题；（2）连接EF ，利用（1）中两个三角形全等的性质、四边形内角和及图形中互补的角推导论证∠EGF=90°，再利用勾解析：（1）见解析；（2）2222FC EC EC +=，见解析；（3）2GE GF CG +=【分析】（1）连接CF ，证明ACE BCF ≌△△，即可解决问题； （2）连接EF ，利用（1）中两个三角形全等的性质、四边形内角和及图形中互补的角推导论证∠EGF=90°，再利用勾股定理即可解决问题；（3）证明RT △CNE ≌RT △CMF ，RT △GCN ≌RT △GCM ，即可解决问题．【详解】（1）证明：如图，连接CF ．∵CD 平分ACB ∠，90ACB ∠=︒，∴45ACE BCE ∠=∠=︒．∵E ，F 关于CB 对称，∴45BCF BCE ∠=∠=︒，CE CF =．∴ACE BCF ∠=∠．在ACE △和BCF △中，CA CB ACE BCF CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ACE BCF SAS △≌△．∴AE BF =．（2）解：结论：2222FC EC EC +=．理由如下：连接EF ，CF ．∵ACE BCF ≌△△，∴AEC BFC ∠=∠．∵180AEC CEG ∠+∠=︒，∴180CEG CFG ∠+∠=︒．∴180ECF EGF ∠+∠=︒．∵45ECB BCF ∠=∠=︒，∴90ECF EGF ∠=∠=︒．∴222FG EG EF +=，222EF CE CF =+．∵CE CF =，∴2222FC EG CE +=．（3）如下图，结论2GE GF CG +=．理由如下：连接CG ，CF ，作CM ⊥BF 于点F ，CN ⊥AG 于点N ，∵ACE BCF ≌△△，∴CN=CM ，∵∠CNE=∠CMF=90°，CE=CF ，∴RT △CNE ≌RT △CMF ．∴EN=FM ，∵∠CNG=∠CMG=90°，CG=CG ，∴RT △GCN ≌RT △GCM ，∴GN=GM ，∠CGN=∠CGM=45°，∴2， ∴GE+GF=GN －2．故2CG ．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．14．（1）①AF＝BE，②90°；（2）AF＝BE，∠ABE＝α．理由见解析；（3）BE的长为2或4．【分析】（1）①由等腰直角三角形的判定和性质可得：∠ABC＝45°，由平行线的性质可得∠FDB＝解析：（1）①AF＝BE，②90°；（2）AF＝BE，∠ABE＝α．理由见解析；（3）BE的长为2或4．【分析】（1）①由等腰直角三角形的判定和性质可得：∠ABC＝45°，由平行线的性质可得∠FDB＝∠C＝90°，进而可得由等角对等边可得DF＝DB，由旋转可得：∠ADF＝∠EDB，DA＝DE，继而可知△ADF≌△EDB，继而即可知AF＝BE；②由全等三角形的性质可知∠DAF＝∠E，继而由三角形内角和定理即可求解；（2）由平行线的性质可得∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，由等边对等角可得∠ABC＝∠CAB，进而根据等角对等边可得DB＝DF，再根据全等三角形的判定方法证得△ADF≌△EDB，进而可得求证AF＝BE，∠ABE＝∠FDB＝α；（3）分两种情况考虑：①如图（3）中，当点D在BC上时，②如图（4）中，当点D在BC的延长线上时，由平行线分线段成比例定理可得1==4AF CDAB CB、1==2AF CDAB CB，代入数据求解即可；【详解】（1）问题发现：如图1中，设AB交DE于O．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠C＝90°，∴∠DFB＝∠DBF＝45°，∴DF＝DB，∵∠ADE＝∠FDB＝90°，∴∠ADF＝∠EDB，。
二次函数(一)
二次函数（一）主讲：黄冈中学数学高级教师李平友考点回顾：1、二次函数的概念一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．2、二次函数的图像与性质（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像是一条抛物线，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；（2）抛物线的顶点坐标为；（3）抛物线的对称轴为；（4）当时，二次函数有最小值；当时，二次函数有最大值；3、二次函数一般有三种形式：（1）一般式：；（2）顶点式：y＝a(x－h)2＋k，顶点坐标为（h，k）；（3）交点式：，x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标．解题时，要根据所给的条件，灵活选择其中的一种表达形式．4、了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系．考点精讲精练：1、二次函数y＝－4x2＋2x＋的对称轴是直线__________．解：a＝－4，b＝2，c＝，对称轴直线是．或y＝－4x2＋2x＋＝－4（x－）2＋，所以对称轴直线是．答案：x＝变式练习11、抛物线y＝(x－2)2＋3的对称轴是（）A．直线x＝－3 B．直线x＝3C．直线x＝－2 D．直线x＝2答案：D2、二次函数的顶点坐标是（）A.(2，－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3）答案：A例2、将y＝3x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得图像的函数表达式是_____．解：．答案：y＝3x2＋18x＋25变式练习21、把抛物线y＝3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为（）A．y＝3(x＋3)2－2 B．y＝3(x＋3)2＋2C．y＝3(x－3)2－2 D．y＝3(x－3)2＋2答案：D2、二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则b＝ _____，c＝_____．解：依题意，把函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得的图象．把配方得．则，即 b＝－8，c＝7．答案：－8，7例3、已知二次函数的图象如图所示，则点在第_____象限．解：由图象知a<0，c＞0．又∵，∴b＜0．∴bc＜0，在第三象限．答案：三变式练习3在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2＋bx的图象可能为（）答案：A例4、已知一抛物线与x轴的交点是A（－2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标．解：（1）设这个抛物线的解析式为．由已知，抛物线过A（－2，0），B（1，0），C（2，8）三点，得解这个方程组，得a＝2，b＝2，c＝－4．∴所求抛物线的解析式为．也可以设二次函数解析式为交点式求解．（2）∴该抛物线的顶点坐标为变式练习4在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，－4），且过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．解：（1）设二次函数解析式为，二次函数图象过点B（3，0），，得a＝1．∴二次函数解析式为，即．（2）令y＝0，得，解方程，得，．∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（3，0）和（－1，0）．∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为（4，0）例5、函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个异号的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根答案：C- 返回 -备考模拟一、选择题1、在同一坐标系中，抛物线y＝4x2，y＝x2，y＝－x2的共同特点是（）A．关于y轴对称，开口向上B．关于y轴对称，y随x的增大而增大C．关于y轴对称，y随x的增大而减小D．关于y轴对称，顶点是原点2、把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，则有（）A．b＝3，c＝7 B．b＝－9，c＝－15C．b＝3，c＝3 D．b＝－9，c＝213、把抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线是（）A. B.C. D.4、二次函数的图像与x轴的交点个数是（）A．0 B．1C．2 D．35、已知二次函数的顶点坐标（－1，－3.2）及部分图象(如图)，由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是（）A．－1.3 B．－2.3C．－0.3 D．－3.3二、综合题6、如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么a的值是________．7、用配方法将二次函数化成的形式，那么y ＝________．8、二次函数的对称轴是x＝2，则b＝_______．9、一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当＜0时，函数值随自变量的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是________（只写一个即可）．10、抛物线的顶点为C，已知直线过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为________．隐藏答案答案：6、－17、y＝（x－6）2＋38、9、如等（答案不唯一）10、1三、综合题11、已知二次函数的部分图象如图所示，写出关于x的一元二次方程的解．隐藏答案答案：，12、如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，求在线段AB上离中心M处5米的地方桥的高度．隐藏答案解：以直线AB、MC为坐标轴建立平面直角坐标系，抛物线解析式为，x＝5时，y＝15，即离中心M处5米的地方桥的高度为15米．13、已知二次函数图象的对称轴是，图象经过(1，－6)，且与y轴的交点为(0，).(1)求这个二次函数的解析式；(2)当x为何值时，这个函数的函数值为0?(3)当x在什么范围内变化时，这个函数的函数值随x的增大而增大?隐藏答案解：(1)设抛物线的解析式为，由题意可得，解得，所以(2)或－5(3)14、某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t（秒）符合关系式（0＜t≤2），其中重力加速度g以10米/秒2计算．这种爆竹点燃后以v0＝20米/秒的初速度上升，（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.隐藏答案解：（1）由已知得，，解得当时不合题意，舍去．所以当爆竹点燃后1秒离地15米．（2）由题意得，＝，可知顶点的横坐标，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，爆竹在上升．15、如图，已知二次函数的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离．隐藏答案解：（1）将x＝－1，y＝－1；x＝3，y＝－9分别代入得解得∴二次函数的表达式为．（2）对称轴为x＝2；顶点坐标为（2，－10）．（3）将（m，m）代入，得，解得m1＝－1，m2＝6．∵m＞0，∴不合题意，舍去．∴m＝6．∵点P与点Q关于对称轴对称，∴点Q到x轴的距离为6．-END-。
数学《二次函数》优秀教案
数学《二次函数》优秀教案数学《二次函数》优秀教案（精选7篇）作为一名辛苦耕耘的教育工作者，可能需要进行教案编写工作，教案是实施教学的主要依据，有着至关重要的作用。
教案要怎么写呢？以下是店铺为大家整理的数学《二次函数》优秀教案，仅供参考，欢迎大家阅读。
数学《二次函数》优秀教案篇1教学目标（一）教学知识点1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。
3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h（h是实数）交点的横坐标。
（二）能力训练要求1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神。
2、通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。
3、通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识。
（三）情感与价值观要求1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
2、具有初步的创新精神和实践能力。
教学重点1、体会方程与函数之间的联系。
2、理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根。
3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h（h是实数）交点的横坐标。
教学难点1、探索方程与函数之间的联系的过程。
2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
教学方法讨论探索法。
教具准备投影片二张第一张：（记作§2.8.1A）第二张：（记作§2.8.1B）教学过程Ⅰ、创设问题情境，引入新课[师]我们学习了一元一次方程kx+b=0（k≠0）和一次函数y=kx+b（k≠0）后，讨论了它们之间的关系。
当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解。
黄冈中学数学二次函数知识点总结教学清晰版
新课标初中数学二次函数1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a .3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2ax y = 当0>a 时 开口向上 当0<a 时 开口向下0=x （y 轴） （0,0） k ax y +=20=x （y 轴） (0, k ) ()2h x a y -=h x = (h ,0) ()k h x a y +-=2h x =(h ,k )c bx ax y ++=2ab x 2-= (ab ac a b 4422--，) 11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-=444222122122121一次函数与反比例函数考点一、平面直角坐标系 （3分） 1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
二次函数知识点、考点、典型例题及练习(附解析)
二次函数知识点、考点、典型例题及练习（附解析）一、二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数，叫做，，是常数，0二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
y ax c=+的性质：上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的二、专题与考点专题一：二次函数的图象与性质本专题涉及二次函数概念，二次函数的图象性质，抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主，也有少量的解答题出现.考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-2b a ，顶点坐标是（-2b a，244ac b a-）. 例 1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，． （1）求m 、c 的值；（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=-2ba的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小.例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示，则y ax b =-的图象一定过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、三、四象限考点3.二次函数的平移当k>0（k<0）时，抛物线y=ax 2+k （a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a （x-h ）2（a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向右（或向左）平移|h|个单位得到.例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2 专题练习一 1.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-，下列说法正确的是（ ） A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3） C.开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时，y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0）3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________.4.小明从图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号）图2图1专题复习二：二次函数表达式的确定本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主.考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1 如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为（不要求写出自变量x的取值范围）．考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）；3.若已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）.例2 已知抛物线的图象以A（-1，4）为顶点，且过点B（2，-5），求该抛物线的表达式.例3 已知一抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）.（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标.专项练习二1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数表达式为（）A.y=2a（x-1）B.y=2a（1-x）C.y=a（1-x2）D.y=a（1-x）22.如图2，在平而直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，与y轴交于点C，且AOOC=12，CO=BO，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是．A BC D图1菜园墙图23.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点（0，-2），且x=1时，y=3；x=-1时y=1， 求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，． （1）求此二次函数的关系式； （2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位，使得该图象的顶点在原点．专题三：二次函数与一元二次方程的关系本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根，由图象判断一元二次方程根的情况，由一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点个数等，题型主要填空题、选择题和解答题.考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况. 例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0,a,b,c,为常数）的一个解x 的范围是（ ）Ａ．6 6.17x <<Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x <<考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示，则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________.图1考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中，抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是（ ） A.3B.2C.1D.0专项练习三1.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是________.2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是（ ）A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根． （2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．专题四：利用二次函数解决实际问题：本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型，根据二次函数的最值解决实际问题，能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.解决实际问题的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等.例：某商场将进价2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？专题训练四1.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？2.某旅行社有客房120间，每间客房的日租金为50元，每天都客满.旅社装修后要提高租金，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加5元时，则客房每天出租数就会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？3.一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式；（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．三、典型例题题型 1 二次函数的概念例1（基础）.二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（ ）A ．（-1，8） B.（1，8） C （-1，2） D （1，-4）点拨：本题主要考察二次函数的顶点坐标公式例2.（拓展，2008年武汉市中考题，12）下列命题中正确的是（ ）○1若b 2－4ac ＞0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3 ○2若b 2－4ac=0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。
湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析2：一元二次函数性质及其综合考查
湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析2: —元二次函数性质及其综合考查元二次函数图象与性质： (学生画出函数图象，写出函数性质) 二.高考题热身2X + ax +1_0对于一切X. (0,丄丨成立，则22f(x)=ax +2ax+4(a>0),若 X 1<X 2 , X 1+X 2=0 ,则(A .f(x 1)<f(x 2)B.f(x 1)=f(x 2)C.f(x 1)>f(x 2)D.f(x 1)与 f(x 2)的大小不能确定3.过点(一1, 0)作抛物线y = x 2 • X • 1的切线，则其中一条切线为(A) 2x y 2=0 (B ) 3x-y 3 = 0 (C ) x y1 = 0 (D ) x-y1 = 03.设a>0,心)爭2他七，曲线y=f(x)在点p (x ,,f (x 0))处切线的倾斜角的取值范围为]x_2|£225.不等式组Jog 2(x -1) >1的解集为(2 12x m)(x - 2x 0的四个根组成一个首项为;的等差数列，则m —n =(2ax 2x 0,(a = 0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是:(A) (0, 3);(B) ( 3,2); (C) ( 3,4);(D) (2,4)。
6. 一兀二次方程A. a ::: 0B. a 0C. a ：： —1 D . a 1a 的取值范围是(1•若不等式 A. 0B.C.-ID.-32.已知函数 1B.[0,訂7.已知方程(x 2则点P 到曲线y = f( x)对称轴距离的取值范围是( )b(B) - 1(A) 1(D )4.设b ・0,二次函数y =ax 2・bx a 2 /的图像为下列之一(Cl 0]2a A. 0,2(C ) 一1一5则a 的值为8.已知 A =\x||2x 1| .3] B 二：x|x 2 x 迢,A 「|B =()A. 2 —2 U 1,21B. -3,—2]U 1,；C. ；,-2小1,2D.=,；U1,2]A.：,/] 0,1o] B . _： ：,_2 £「0,11 C . -：1,10] D . [-2,0]1,101-2ax -3在区间[1, 2]上存在反函数的充分必要条件是A. a ：=(-：： ,1]B. a [2, ：：)C. a [1,2] D . a ：=(-：： ,1] 一 [2,：：) 10.已知函数f(x)在X =1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为11.定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),A . f(s in )<f(cos —)B . f(si n1)>f(cos1)6 6 2 仃 2 IT C . f(cos — )<f(sin —) D . f(cos2)>f(sin2)3312 .命题p ：若a 、b € R ，则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件；命题q ：函数y= |x 二1|P 的定义域是(— a, — 1 ] U [3 , +m ).则( Ap 或q ”为假 B p 且q ”为真C . p 真q 假2 213..已知关于x 的方程X — (2 m — 8)x + m — 16 = 0的两个实根 x < X 2满足 X 1 <14.已知 a,b 为常数，若 f (x^x 2 4x 3， f (ax • b) = X 210 x 24，则 5a -b = 2。
2010年湖北黄冈中学高三数学《专题二 二次函数》
解的个数为 ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
[解析] 由 f ( 4) f (0)
( 4 ) b ( 4 ) c c
2
1 2
f ( 2) 2 ( 2 ) b ( 2 ) c 2
2
解之得 : b 4, c 2, 则 x 4 x 2( x 0) f ( x) , ( x 0) 2
2 2
为下列之一, 则a的值为 ( )
1 5 A. 1 B. 1 C. 2
1 5 D. 2
, [解析] b 0, 不是前两个图形 b 从后两个图形看 0, a 0. 2a 故应是第3个图形,因过原点, a 1 0, 结合a 0 a 1.
2
[答案] C
2. 函数f ( x ) ax x 1有极值
3
的充要条件是 ( )
A. a 0 B. a 0 C. a 0 D. a 0
2. 函数f ( x ) ax x 1有极值
3
的充要条件是 ( )
A. a 0 B. a 0 C. a 0 D. a 0
2
由 f ( x ) x得 : x 4 x 2 x
2
x 3 x 2 0 x 1或x 2,
2
即x 0时有两个交点 ; 当x 0时, 有一个交点x 2, 综上 f ( x ) x有三个解.
[例2] (湖南高考题)设f ( x)
x bx c, x 0 , 若 f (4) f (0), x0 2, f (2) 2, 则关于x的方程f ( x) x的
2
2
方程 2 有两个相等的根 , ( 2 4a ) 4a 9a 0 1 解得a 1或a ,由于a 0, 5 1 a , 代入 1 得 : 5 1 2 6 3 f ( x) x x 5 5 5
二次函数专题训练(带答案)
二次函数知识点第一节 二次函数的定义、图像、性质1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A.13-=x yB.c bx ax y ++=2C.1222+-=t t sD.xx y 12+= 【解答】解：A 、y=3x ﹣1是一次函数，故A 错误；B 、y=ax 2+bx+c （a ≠0）是二次函数，故B 错误； C 、s=2t 2﹣2t+1是二次函数，故C 正确；D 、y=x 2+不是二次函数，故D 错误；故选：C ．2.下列函数是二次函数的是（ ） A.12+=x yB.12+-=x yC.22+=x yD.221-=x y 【解答】解：A 、y=2x+1，是一次函数，故此选项错误；B 、y=﹣2x+1，是一次函数，故此选项错误； D 、y=x 2+2是二次函数，故此选项正确；D 、y=x ﹣2，是一次函数，故此选项错误．故选：C ．3.下列函数关系中，是二次函数的是（ ） A.在弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂物体质量x 之间的关系B.当距离一定时，火车行驶的时间t 与速度v 之间的关系C.等边三角形的周长C 与边长a 之间的关系D.圆心角为︒120的扇形面积S 与半径R 之间的关系【解答】解：A 、y=mx+b ，当m ≠0时（m 是常数），是一次函数，错误；B 、t=，当s ≠0时，是反比例函数，错误；C 、C=3a ，是正比例函数，错误；D 、S=πR 2，是二次函数，正确．故选：D ．4.二次函数722-+=x x y 的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ）A.3B.5C.-3和5D.3和-5【解答】解：根据题意，得x 2+2x ﹣7=8，即x 2+2x ﹣15=0，解得x=3或﹣5，故选：D ．5.已知一次函数c x ab y +=的图象如图，则二次函数c bx ax y ++=2在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A. B. C.D.【解答】解：观察函数图象可知：＜0、c ＞0，∴二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴x=﹣＞0，与y 轴的交点在y 轴负正半轴．故选：A ．6.如图，函数122+-=x ax y 和a ax y -=（a 是常数，且0≠a ）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）A. B. C. D.【解答】解：A 、由一次函数y=ax ﹣a 的图象可得：a ＜0，此时二次函数y=ax 2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；B 、由一次函数y=ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y=ax 2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，故选项正确；C 、由一次函数y=ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y=ax 2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x 轴的正半轴相交，故选项错误；D 、由一次函数y=ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y=ax 2﹣2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．故选：B ．7.函数)(k x k y -=与2kx y =，)0(≠=k xky ，在同一坐标系上的图象正确的是（ ）A. B.C. D.【解答】解：一次函数y=k （x ﹣k ）=kx ﹣k 2，∵k ≠0，∴﹣k 2＜0，∴一次函数与y 轴的交点在y 轴负半轴． A 、一次函数图象与y 轴交点在y 轴正半轴，A 不正确；B 、一次函数图象与y 轴交点在y 轴正半轴，B 不正确；C 、一次函数图象与y 轴交点在y 轴负半轴，C 可以；D 、一次函数图象与y 轴交点在y 轴正半轴，D 不正确．故选：C ．8.如图，二次函数bx ax y +=2的图象开口向下，且经过第三象限的点P .若点P 的横坐标为-1，则一次函数b x b a y +-=)(的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：由二次函数的图象可知，a ＜0，b ＜0，当x=﹣1时，y=a ﹣b ＜0， ∴y=（a ﹣b ）x+b 的图象在第二、三、四象限，故选：D ．9.已知二次函数33222+++=a ax ax y （其中x 是自变量），当2≥x 时，y 随x 的增大而增大，且12≤≤-x 时，y 的最大值为9，则a 的值为（ ）A.1或﹣2B.2-或2C.2D.1【解答】解：∵二次函数y=ax 2+2ax+3a 2+3（其中x 是自变量），∴对称轴是直线x=﹣=﹣1，∵当x ≥2时，y 随x 的增大而增大，∴a ＞0，∵﹣2≤x ≤1时，y 的最大值为9，∴x=1时，y=a+2a+3a 2+3=9， ∴3a 2+3a ﹣6=0，∴a=1，或a=﹣2（不合题意舍去）．故选：D ．10.抛物线5)2(32+-=x y 的顶点坐标是（ ）A.（-2，5）B.（-2，-5）C.（2，5）D.（2，-5）【解答】解：抛物线y=3（x ﹣2）2+5的顶点坐标为（2，5），故选：C ．11.关于二次函数1422-+=x x y ，下列说法正确的是（ ）A.图象与y 轴的交点坐标为（0，1）B.图象的对称轴在y 轴的右侧C.当0<x 时，y 的值随x 值的增大而减小D.y 的最小值为-3【解答】解：∵y=2x 2+4x ﹣1=2（x+1）2﹣3，∴当x=0时，y=﹣1，故选项A 错误，该函数的对称轴是直线x=﹣1，故选项B 错误，当x ＜﹣1时，y 随x 的增大而减小，故选项C 错误， 当x=﹣1时，y 取得最小值，此时y=﹣3，故选项D 正确，故选：D ．12.某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA ，O 恰为水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．在过OA 的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y （m）与水平距离x （m）之间的关系式是322++-=x x y ，则下列结论：（1）柱子OA 的高度为3m ；（2）喷出的水流距柱子1m 处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m ；（4）水池的半径至少要3m 才能使喷出的水流不至于落在池外．其中正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4【解答】解：∵y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4，∴当x=0时，y=3，即OA=3m ，故（1）正确， 当x=1时，y 取得最大值，此时y=4，故（2）和（3）正确，当y=0时，x=3或x=﹣1（舍去），故（4）正确，故选：D ． 13.如图，抛物线()02≠++=a c bx ax y 的对称轴为直线1=x ，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①ac b 42-；②方程02=++c bx ax 的两个根是11-=x ,32=x ；③3ca->；④当0>y 时，x 的取值范围是31≤<-x ；⑤当0>x 时，y 随x 增大而增大． 上述五个结论中正确的有 （填序号）【解答】解：∵抛物线与x 轴有2个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，即b 2＞4ac ，所以①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0）， ∴方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1=﹣1，x 2=3，所以②正确；∵x=﹣=1，即b=﹣2a ，而x=﹣1时，y=0，即a ﹣b+c=0，∴a+2a+c=0，∴3a+c=0，即a=﹣，所以③错误；∵抛物线与x 轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，所以④错误； ∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x ＜1时，y 随x 增大而增大，所以⑤错误． 故答案为①②． 14.已知二次函数()()m x m x y ---=22（m 为常数）．（1）求该二次函数图象与x 轴的交点坐标； （2）求该二次函数图象的顶点P 的坐标；（3）如将该函数的图象向左平移3个单位，再向上平移1个单位，得到函数2x y =的图象，直接写出m的值．【解答】解：（1）当y=0时，（x ﹣m ）2﹣2（x ﹣m ）=0，（x ﹣m ）（x ﹣m ﹣2）=0，解得x 1=m ，x 2=m+2，∴该二次函数图象与x 轴的交点坐标为（m ，0），（m+2，0）；（2）∵y=[x ﹣（m+1）]2﹣1，∴该二次函数图象的顶点P 的坐标为（m+1，﹣1）；（3）∵该函数的图象向左平移3个单位，再向上平移1个单位，∴平移的顶点坐标为（m+1﹣3，﹣1+1），即顶点坐标为（m ﹣2，0），∵平移后的抛物线为y=x 2，即平移后的抛物线顶点坐标为（0，0）， ∴m ﹣2=0，∴m=2．第二节 待定系数法、图像与系数关系1.已知二次函数的图象过（0，1），（2，4），（3，10）三点，求这个二次函数的解析式.2.已知二次函数的图象的顶点坐标为（-2，-3），且图象过点（-3，-2）.求此二次函数的解析式.3.已知二次函数c bx ax y ++=2，当4=x 时，3=y ；当1-=x 时，8-=y ；当2=x 时，1=y .求这个二次函数的解析式.4.已知二次函数图象的顶点坐标为（1，-1），且过原点（0，0），求该二次函数的解析式.5.已知一个二次函数的图象与x 轴的两个交点的坐标分别为（-1，0）和（2，0），与y 轴的交点坐标为（0，-2），求这个二次函数的解析式.6.如图所示，已知二次函数c bx x y ++=2过点)0,1(A ，)3,0(-C .（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P 使ABP ∆的面积为10，请直接写出点P 的坐标.7.如图，直线l 过点)0,4(A 和)4,0(B 两点，它与二次函数2ax y =的图象在第一象限内交于点P ，若29=∆AOPS ，求二次函数的解析式.8.抛物线c bx x y ++-=231经过点)0,33(A 和点)3,0(B ，且这个抛物线的对称轴为直线l ，顶点为C ．（1）求抛物线的解析式； （2）连接AB 、AC 、BC ，求△ABC ABC ∆的面积.【解答】解：（1）∵抛物线经过A、B （0，3）∴由上两式解得∴抛物线的解析式为：；（2）由（1）抛物线对称轴为直线x=把x=代入，得y=4则点C 坐标为（，4）设线段AB 所在直线为：y=kx+b 解得AB 解析式为：∵线段AB 所在直线经过点A 、B （0，3）抛物线的对称轴l 于直线AB 交于点D∴设点D 的坐标为D 将点D代入，解得m=2∴点D 坐标为，∴CD=CE ﹣DE=2过点B 作BF ⊥l 于点F ∴BF=OE=∵BF+AE=OE+AE=OA=∴S △ABC =S △BCD +S △ACD =CD •BF+CD •AE∴S △ABC =CD （BF+AE ）=×2×=9.已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，下列结论：①0>abc ；②02>+b a ；③042>-ac b；④0>+-c b a ，其中正确的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4解：①∵抛物线对称轴是y 轴的右侧，∴ab ＜0，∵与y 轴交于负半轴，∴c ＜0，∴abc ＞0，故①正确； ②∵a ＞0，x=﹣＜1，∴﹣b ＜2a ，∴2a+b ＞0，故②正确；③∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，故③正确； ④当x=﹣1时，y ＞0，∴a ﹣b+c ＞0，故④正确．故选：D ． 10.如图，已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：①0>abc ；②c a b >-；③024>++c b a ；④c a ->3；⑤)(b am m b a +>+（1≠m 的实数）．其中正确结论的有（ ）A.①②③B.②③⑤C.②③④D.③④⑤【解答】解：①∵对称轴在y 轴的右侧，∴ab ＜0，由图象可知：c ＞0，∴abc ＜0，故①不正确； ②当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＜0，∴b ﹣a ＞c ，故②正确；③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c ＞0，故③正确； ④∵x=﹣=1，∴b=﹣2a ，∵a ﹣b+c ＜0，∴a+2a+c ＜0，3a ＜﹣c ，故④不正确；⑤当x=1时，y 的值最大．此时，y=a+b+c ，而当x=m 时，y=am 2+bm+c ，所以a+b+c ＞am 2+bm+c （m ≠1），故a+b ＞am 2+bm ，即a+b ＞m （am+b ），故⑤正确．故②③⑤正确．故选：B ．11.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A.0<acB.0<bC.042<-ac bD.0<++c b a【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线交于y 轴的正半轴，∴c ＞0，∴ac ＞0，A 错误； ∵﹣＞0，a ＞0，∴b ＜0，∴B 正确；∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，C 错误；当x=1时，y ＞0，∴a+b+c ＞0，D 错误；故选：B ．12.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，OC OA =，则由抛物线的特征写出如下含有c b a ,,三个字母的等式或不等式：①1442-=-ab ac ；②01=++b ac ；③0>abc ；④0>+-c b a .其中正确的个数是（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个【解答】解：①=﹣1，抛物线顶点纵坐标为﹣1，正确；②ac+b+1=0，设C （0，c ），则OC=|c|，∵OA=OC=|c|，∴A （c ，0）代入抛物线得ac 2+bc+c=0，又c ≠0，∴ac+b+1=0，故正确； ③abc ＞0，从图象中易知a ＞0，b ＜0，c ＜0，故正确；④a ﹣b+c ＞0，当x=﹣1时y=a ﹣b+c ，由图象知（﹣1，a ﹣b+c ）在第二象限，∴a ﹣b+c ＞0，故正确．故选：A ．13.若抛物线c bx x y ++-=2经过点（-2，3），则942--b c 的值是（ ）A.5B.-1C.4D.18【解答】解：∵抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过点（﹣2，3），∴﹣（﹣2）2﹣2b+c=3，整理得，﹣2b+c=7， ∴2c ﹣4b ﹣9=2（c ﹣2b ）﹣9=2×7﹣9=5，故选：A ．14.已知抛物线)0(2>=a ax y 过),2(1y A -、),1(2y B 两点，则下列关系式一定正确的是（ ）A.210y y >> B.120y y >>C.021>>y yD.012>>y y【解答】解：∵抛物线y=ax 2（a ＞0），∴A （﹣2，y 1）关于y 轴对称点的坐标为（2，y 1）． 又∵a ＞0，0＜1＜2，∴y 2＜y 1．故选：C ．15.将抛物线322++=x x y 向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线与直线3=y 的交点坐标是（ ）A.（0，3）或（-2，3）B.（-3，0）或（1，0）C.（3，3）或（-1，3）D.（-3，3）或（1，3）【解答】解：将抛物线y=x 2+2x+3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线为y=x 2+2x当该抛物线与直线y=3相交时，x 2+2x=3解得：x 1=﹣3，x 2=1则交点坐标为：（﹣3，3）（1，3）故选：D ．16.将抛物线2x y =向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（ ）A.5)2(2-+=x yB.5)2(2++=x yC.5)2(2--=x yD.5)2(2+-=x y【解答】解：抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣5．故选：A ．第三节 最值问题、一元二次方程、实际应用1.已知二次函数2)(h x y --=（h 为常数），当自变量x 的值满足52≤≤x 时，与其对应的函数值y 的最大值为-1，则h 的值为（ ） A.3或6B.1或6C.1或3D.4或6【解答】解：当h ＜2时，有﹣（2﹣h ）2=﹣1，解得：h 1=1，h 2=3（舍去）；当2≤h ≤5时，y=﹣（x ﹣h ）2的最大值为0，不符合题意；当h ＞5时，有﹣（5﹣h ）2=﹣1， 解得：h 3=4（舍去），h 4=6．综上所述：h 的值为1或6．故选：B ．2.当1+≤≤a x a 时，函数122+-=x x y 的最小值为1，则a 的值为（ ）A.-1B.2C.0或2D.-1或2【解答】解：当y=1时，有x 2﹣2x+1=1，解得：x 1=0，x 2=2．∵当a ≤x ≤a+1时，函数有最小值1，∴a=2或a+1=0，∴a=2或a=﹣1，故选：D ． 3.函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，那么关于x 的一元二次方程032=-++c bx ax 的跟的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根B.有两个异号的实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根4.在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=221的图像如图所示，关于x的方程m c bx x =++221有实数根，则m 的取值范围是5.某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y （件）与销售单价x （元/件）之间的函数关系式为4404+-=x y ，要获得最大利润，该商品的售价应定为（）A ．60元B ．70元C ．80元D ．90元【解答】解：设销售该商品每月所获总利润为w ， 则w=（x ﹣50）（﹣4x+440） =﹣4x 2+640x ﹣22000 =﹣4（x ﹣80）2+3600，∴当x=80时，w 取得最大值，最大值为3600，即售价为80元/件时，销售该商品所获利润最大，故选：C ．6.竖直向上发射的小球的高度)(m h 关于运动时间)(s t 的函数表达式为bt ath +=2，其图象如图，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（ ） A.第3秒 B.第3.5秒 D.第4.2秒 D.第6.5秒7.如图，ABC ∆是直角三角形，︒=∠90A ，cm AB 8=，cm AC 6=点P 从点A 出发，沿AB 方向以s cm /2的速度向点B 运动；同时点Q 从点A 出发沿AC 方向以s cm /1的速度向点C 运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ 的最大面积是（ ）A.28cm B.216cm C.224cm D.232cm8.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系()02≠++=a c bx ax y ．如图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离是多少？【解答】解：根据题意知，抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），则解得，所以x=﹣==15（m ）．9.已知二次函数c bx x y ++-=2163的图象经过()3,0A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛--29,4B 两点．（1）求c b ,的值． （2）二次函数c bx x y ++-=2163的图象与x 轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．【解答】解：（1）把A （0，3），B （﹣4，﹣）分别代入y=﹣x 2+bx+c ，得，解得；（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y=﹣x 2+x+3．△=（）2﹣4×（﹣）×3=＞0，所以二次函数y=﹣x 2+bx+c 的图象与x 轴有公共点．∵﹣x 2+x+3=0的解为：x 1=﹣2，x 2=8∴公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．10.设二次函数()b a bx ax y +-+=2（a ，b 是常数，0≠a ）．（1）判断该二次函数图象与x 轴的交点的个数，说明理由． （2）若该二次函数图象经过()4,1-A ，()1,0-B ，()1,1C 三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．（3）若0<+b a ，点()m P,2()0>m 在该二次函数图象上，求证：0>a ．【解答】解：（1）设y=0∴0=ax 2+bx ﹣（a+b ）∵△=b 2﹣4•a[﹣（a+b ）]=b 2+4ab+4a 2=（2a+b ）2≥0 ∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根．∴二次函数图象与x 轴的交点的个数有两个或一个（2）当x=1时，y=a+b ﹣（a+b ）=0∴抛物线不经过点C 把点A （﹣1，4），B （0，﹣1）分别代入得解得∴抛物线解析式为y=3x 2﹣2x ﹣1（3）当x=2时m=4a+2b ﹣（a+b ）=3a+b ＞0①∵a+b ＜0∴﹣a ﹣b ＞0② ①②相加得：2a ＞0∴a ＞011.已知二次函数()()312---=m x x y （m 为常数）．（1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点； （2）当m 取什么值时，该函数的图象与y 轴的交点在x 轴的上方？【解答】（1）证明：当y=0时，2（x ﹣1）（x ﹣m ﹣3）=0， 解得：x 1=1，x 2=m+3．当m+3=1，即m=﹣2时，方程有两个相等的实数根； 当m+3≠1，即m ≠﹣2时，方程有两个不相等的实数根． ∴不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点； （2）解：当x=0时，y=2（x ﹣1）（x ﹣m ﹣3）=2m+6， ∴该函数的图象与y 轴交点的纵坐标为2m+6，∴当2m+6＞0，即m ＞﹣3时，该函数的图象与y 轴的交点在x 轴的上方．。
湖北省黄冈中学2010-2011学年高二上学期期末考试(数学文)
湖北省黄冈中学2010年秋季高二数学期末考试（文）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数143ii +-的模是（ ）A ．25B.5 C．5 D ．2252．下列结论正确的是（ ）①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． Ａ．①② Ｂ．①②③ Ｃ．①②④ Ｄ．①②③④3．命题：“对任意的x ∈R ，x3－x2＋1≤0”的否定是 ( ) A.不存在x ∈R ，x3－x2＋1≤0 B.存在x0∈R ，x －x ＋1≤0 C.存在x0∈R ，x －x ＋1＞0D.对任意的x ∈R ，x3－x2＋1＞0 4．若复数z 满足1z z i+=-，则z 在复平面内对应的点的集合构成的图形是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．直线D ．双曲线 5．若a>b,m>0,则下列不等式恒成立的是（ ）A ．22)()(m b m a +>+ B ．a bm a m b <--C.33)()(m b m a ->- D ．bm am >6．若椭圆)0(122>>=+n m n y m x 和双曲线)0(122>>=-b a b y a x 有相同的焦点1F 、2F ，P 是两曲线的一个公共点，则||||21PF PF ⋅的值是（ ）A ．m a -B ．)(21a m -C ．22a m - D ．a m -7．若关于x 的一元二次方程()222390x a x b ---+=中，a 、b 分别是两次投掷骰子所得的点数，则该二次方程有两个正根的概率p 为（ ）A.13B.19C. 118D.1128．已知双曲线22122x y -=的准线过椭圆22214x y b +=的焦点，则直线2y kx =+与椭圆至多有一个交点的充要条件是（ ）A. 11,22k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦B. 11,,22k ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C. 22k ⎡∈-⎢⎣⎦ D. 2,,22k ⎛⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭9．l :1x =为定直线，F 为不在l 上的定点，以F 为焦点，l 为相应的准线的椭圆可画（ ） A ．1个 B ． 2个 C ．1个或2个 D ．无穷多个10．设椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的离心率为e ，右焦点(,0)F c ，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 、2x ，则点12(,)P x x （ ）A ．必在圆221x y +=外B ．必在圆221x y +=上 C ．必在圆221x y +=内 D ．与221x y +=的位置关系和e 有关二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上．11．与双曲线2214y x -=有共同的渐近线，且经过点（2，2）的双曲线的标准方程为 .12．设圆2220x y x +-=上有关于直线20x y c ++=对称的两点，则c 的值是 . 13．如图，半径为10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm 的小圆．现将半径为1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为 .14．若直线ｙ=kx ＋1与曲线x=12+y 有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是 .15．已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝；命题q ：∀x ∈R ，都有x2＋x ＋1>0.给出下列结论：①命题“p ∧q”是真命题；②命题“p ∧非q”是假命题；③命题“非p ∨q”是真命题；④命题“非p ∨非q”是假命题．其中正确的是_______________．（填序号）高二数学期末考试答题卷（文）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分） 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）离心率为22，准线方程为8±=x ；（2）长轴与短轴之和为20，焦距为54.17．（本小题满分12分）已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝cx 为减函数.命题q ：当x ∈[，2]时，函数f(x)＝x ＋＞恒成立.若“p 或q”为真命题，“p 且q”为假命题，求c 的取值范围.18．（本小题满分12分）设,,,(0a b mn ∈+∞，且1=+n m ，b n a m Q nb ma P +=+=,，求证：P Q ≥.19．（本小题满分12分）已知动圆与圆A ：x2＋y2＋6x ＋4＝0和圆B ：x2＋y2—6x —36＝0都外切．（1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2）若直线l 被轨迹C 所截得的线段PQ 的中点坐标为（—20，—16），求直线l 的方程.20．（本小题满分13）如图，F 是椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的一个焦点，A 、B 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为12.点C 在x 轴上，BC BF ⊥，B 、C 、F 三点确定的圆M 恰好与直线1l：30x ++=相切.（1）求椭圆的方程；（2）过点A 的直线2l 与圆M 交于P 、Q 两点，且2MP MQ ⋅=-，求直线2l的方程.21.（本小题满分14分）已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线经过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(P 为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与P 关于直线y=x 对称．（1）求双曲线C 的方程；（2）设直线y=mx+1与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过)0,2(-M 及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围；（3）若Q 是双曲线C 上的任一点，F1、F2为双曲线C 的左，右两个焦点，从F1引21QF F ∠的内角平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程．湖北省黄冈中学2010年秋季高二数学期末考试（文）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1—5 BCCCC 6．A7．【解析】选C. 方程有两正根的充要条件是22122124(3)43602(3)090a b x x a x x b ⎧=-+-≥⎪+=->⎨⎪=->⎩66;12a a b b ==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩ 216618p ∴==⨯8．A 【解析】易得准线方程是2212a x b =±=±=± 所以222241c a b b =-=-= ，即23b =，所以方程是22143x y +=， 联立 2 y kx =+，可得223+(4k +16k)40x x +=，由0∆≤可解得A. 9．D10．A 【解析】12b x x a +=-，12cx x a =-，∴221212()()1x x x x ++=，化简得 22212122(1)x x x x +=-+，又12cx x a =-(1,0)∈-，故选A.11．【答案】221312x y -=12．【答案】：2-13．【答案】8177 提示：几何概型问题，2229(11)77(9)81P πππ⨯-+==. 14．【答案】(1)-15．【解析】因p 为假命题，q 为真命题，故非p 是真命题，非q 是假命题；所以p ∧q 是假命题，p ∧非q 是假命题，非p ∨q 是真命题．答案 ②③16．【解析】(1)2213216x y +=；(2) 2213616x y +=或2213616y x +=.17．【解析】由命题p 知：0＜c ＜1. 由命题q 知：2≤x ＋≤，要使此式恒成立，则2＞，即c ＞. 又由p 或q 为真，p 且q 为假知， p 、q 必有一真一假，当p 为真，q 为假时，c 的取值范围为0＜c ≤. 当p 为假，q 为真时，c ≥1.综上，c 的取值范围为{c|0＜c ≤，或c ≥1}. 18．【解析】22222222(0P Q ma nb m a n b ma m nb n mna mnb mn a b mn -=+-+-=+-=+-=+-=≥（）（1-）（1-）∴P Q ≥.19．【解析】（1）圆A ：（x ＋3）2＋y2=5 ， 圆B ：（x —3）2＋ y2=45设动圆半径为r ，圆心为M ，则由已知得：MA r MB r ⎧=⎪⎨=+⎪⎩∴MB MA -= ∴动圆圆心的轨迹C 是以A ，B 为焦点，实轴长为25的双曲线的左支∴所求的方程是 14522=-y x （x<0）.（2）设l 的方程是y ＋16=k （x ＋20），11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则20221-=+x x ，即x1＋x2= —40……①由⎪⎩⎪⎨⎧=--+=145162022y x k kx y 消去y 得：（4—5k2）x2—10k （20k —16）x —5（20k —16）2—20=0 222100(2016)80(45)0k k k =-+->……②∴x1＋x2=254)1620(10k k k -- ……③由①、③得：254)1620(10k k k --= —40 解得k=1经检验1k =满足②∴所求直线L 的方程为y=x ＋4. 解二：可用点差法20．【解析】（1）(,0)F c -，)B，BF k =∴3BC k =-,∴(3,0)C c故设圆M 的方程为222()4x c y c -+=，又圆M 恰好与直线1l：30x ++=相切，则2c =，解得1c =，∴所求的椭圆方程为22143x y +=；（2）由（1）知(2,0)A -，圆M 的方程为22(1)4x y -+= 依题意可知2l 的斜率存在，设2l：(2)y k x =+，则2MP MQ ⋅=-，又2M P MQ==,∴1cos ,2MP MQ MP MQ MP MQ ⋅<>==-,∴23PMQ π∠=圆心M 到直线2l 的距离112d r ==，∴1=，解得4k =±，故直线2l 的方程是 40y ±-=.21．【解析】（1）设双曲线C 的渐近线方程为y=kx ，则kx-y=0∵该直线与圆1)2(22=-+y x 相切， ∴双曲线C 的两条渐近线方程为y=±x ．故设双曲线C 的方程为12222=-a y a x ．又双曲线C 的一个焦点为 )0,2(∴222=a ，12=a ．∴双曲线C 的方程为122=-y x ． （2）由⎩⎨⎧=-+=1122y x mx y 得022)1(22=---mx x m ．令22)1()(22---=mx x m x f直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在)0,(-∞上有两个不等实根．因此⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--<->∆012012022m m m解得21<<m ．又AB 中点为)11,1(22m m m --，∴直线l 的方程为)2(2212+++-=x m m y ．令x=0，得817)41(2222222+--=++-=m m m b ．∵)2,1(∈m ，∴)1,22(817)41(22+-∈+--m ∴),2()22,(+∞---∞∈ b ．（3）若Q 在双曲线的右支上，则延长2QF 到T ，使||||1QF QT =， 若Q 在双曲线的左支上，则在2QF 上取一点T ，使||||1QFQT =． 根据双曲线的定义2||2=TF ，所以点T 在以)0,2(2F 为圆心，2为半径的圆上，即点T 的轨迹方程是)0(4)2(22≠=+-x y x ① 由于点N 是线段T F 1的中点，设),(y x N ，),(T T y x T ．则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=222T T y y x x ，即⎩⎨⎧=+=y y x x T T 222．代入①并整理得点N 的轨迹方程为122=+y x ．)22(-≠x .。
高中数学-二次函数
二次函数专题专题必要性：高考中的很多题，往往最后都能转化为二次函数、一元二次方程和一元二次不等式问题，因此二次函数贯穿整个高考中，需深度掌握。
基础知识回顾1.给出函数表达式()2f x ax bx c =++，首先需要考虑a 是否等于0，若0a =，则函数不是二次函数. 2.二次函数的三种表现形式1）一般式：2(0)y ax bx c a =++¹2）顶点式：2()(0),)y a x h k a h k =-+¹此时二次函数的顶点坐标为此时二次函数的顶点坐标为((；3）分解式：12()()y a x x x x =-- 其中1x 、2x 是二次函数的与x 轴的两个交点的横坐标，此时二次函数的对称轴为直线122x x x +=. 3.二次函数的图像与性质①开口方向：当0a >，函数开口方向向上；当0a <，函数开口方向向下；，函数开口方向向下； ②对称轴：2bx a=-； ③顶点坐标：（2b a -，244ac b a-）；若图象与x 轴有两个交点，分别为11(,0)M x ，22(,0)M x ，则12M M =12x x -=a D. ④增减性④增减性⑤最值()x R Î：当0a >时，函数有最小值，并且当2b x a =-，min y =244ac b a-；当0a <时，函数有最大值，并且当2bx a =-时，2max 44ac b y a-=；⑥与x 轴的交点个数：当24b ac D =->0时，函数与x 轴有两个不同的交点；D <0时，函数x 轴没有交点；D =0时，函数与x 轴有一个交点. 4.二次函数根的由来——配方法二次函数根的由来——配方法对20(0)ax bx c a ++=¹进行配方，变换为2b c xx++=，由于完全平方是：()2222a ab b a b ++=+即2222()x ax a x a ++=+，所以要变换为22222044b b b cx x a a aa ++-+=，变换的关键点：一次项系数除以2再整体平方.∴222224()244b b c b ac x a a a a -+=-=.从而得到，在240b ac -³时有解，242b b a c x a-±-=；若240b ac -£，此时无解. 5.有关一元二次方程判别式24b ac D =-，联系韦达定理1）D >0有两个不等实根；D =0表示有两个相等实根，D <0表示没有实数根，实际就是()2,0x a p p +=<的情况. 2）a 、c 异号，此方程一定有两个解，且一根为正一根为负. 3）a 、b 异号时，两根相加为正数，表明两根在数轴上的中点大于0. 4）a 、b 同号时，两根相加为负数，表明两根在数轴上的中点小于0. 6.对于2y x =的特点和图象（幂函数的一种）1)开口朝上的抛物线图形，从原点（0,0）开始，1x <时，曲线变化缓慢，比y x =要小（分数或小数相乘，越乘结果越小），当过（1,1）点之后，图象加速上升，越向上越陡峭，斜率随x 的绝对值增大而增加. 2)图象关于y 轴对称. 3)(0,0)是图象的拐点，(,0]-¥上是减函数，(0,)+¥上是增函数. 4)图象与x 轴只有一个交点（0,0）。
湖北省黄冈中学2010年高三数学第二次高考模拟考试 文 人教版
湖北省黄冈中学2010届高三5月第二次模拟考试数学试题（文科）本试卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{|{|31}M x y N x x ===-≤≤，且M 、N 都是全集I 的子集，则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为 （ ）A．{|1}x x ≤B ．{|31}z z -≤≤ C．{|3z z -<≤D．{|1x x <2．设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，且20101-=a ，22008201020082010=-S S ，则公差d=（ ） A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－13．记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，则不同的排法有 （ ） A ．72种 B ．144种 C ．240种 D ．480种4．已知向量,m n 的夹角为6π，且||3m =，||2,n = 则||m n -= （ ）A ．4B ．3C ．2D ．15． 给出下面的3个命题：（1）函数|sin(2|3y x π=+的最小正周期是2π；（2）函数sin()2y x π=-在区间)23,[ππ上单调递减；（3）45π=x 是函数)252sin(π+=x y 的图象的一条对称轴．其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36、若函数f （x ）的导函数34)(2+-='x x x f ，则使得函数f （x ＋1）单调递减的一个充分不必要条件是x ∈ （ ） A ．（0，1） B ．[0，2] C ．（1，3） D ．（2，4）7、某企业2010年初贷款a 万元，年利率为r ，按复利计算，从2010年末开始，每年末偿还一定金额，计划第5年底还清，则每年应偿还的金额数为（ ）万元． （ ）A ．1)1()1(55-++r r aB ．1)1()1(55-++r r arC ．1)1()1(45-++r r ar D ．5)1(r ar+ 8、如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从1按箭头方向可以构成一个“锯齿形”的数列{a n }：1,3,3,4,6,5,10,,记其前n 项和为S n ，则S 15的值为 （ ）A ．172B ．152C ．129D ．1629、已知点P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，I 为21F PF ∆的内心，若2121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=λ成立，则λ的值为 （ ）A ．acB ．c aC ．ab D ．ba 10、如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，则过棱AA 1和BC 的中点P 、Q 的直线被球面截在球内的线段MN 的长为（ ）A ．21)B 2C 3D ．12第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．11．若23(n x x展开式的第6项系数最大，则其常数项为__________．12．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20－80mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车．据《法制晚报》报道，2010年3月15日至3 月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为___________．酒精含量组距0.02 0.0150.01 0.00520 30 40 50 60 70 80 90100 （mg/100m 图113．从集合{}1,2,0,1,2,3--中，随机选出3个数组成子集，使得这3个数中的任何两个数之和不等于1，则取出这样的子集的概率为___________．14．已知实数x ，y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则22x y z xy +=的取值范围是________________．15．设x ，y ，z 是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x z ⊥，且y z ⊥，则x ∥y ”为真命题的是__________（填所正确条件的代号）．①x 为直线，y ，z 为平面 ②x ，y ，z 为平面 ③x ，y 为直线，z 为平面 ④x ，y 为平面，z 为直线 ⑤x ，y ，z 为直线三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且ab b a c -+=222．（Ⅰ）若tan tan tan tan )A B A B -=+⋅，求角B ； （Ⅱ）设(sin ,1)m A =，(3,cos 2)n A =，试求n m ⋅的最大值．17．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）设定义在R 上的函数32()f x ax bx cx =++，当x =f （x，并且函数y=f ′（x ）为偶函数．（Ⅰ）求f （x ）的表达式；（Ⅱ）若函数y=f （x ）的图像的切线斜率为7，求切线的方程．第18题图 P18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，直角△BCD 所在的平面垂直于正△ABC 所在的平面，PA ⊥平面ABC ，DC=BC=2PA ，E 为DB 的中点． （Ⅰ）证明：AE ⊥BC ；（Ⅱ）线段BC 上是否存在一点F 使得PF 与面DBC 所成的角为60°，若存在，试确定点F的位置，若不存在，说明理由．19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）为赢得2010年上海世博会的制高点，某公司最近进行了世博特许产品的市场分析，调查显示，该产品每件成本9元，售价为30元，每天能卖出432件，该公司可以根据情况可变化价格x （－30≤x ≤54）元出售产品；若降低价格，则销售量增加，且每天多卖出的产品件数与商品单价的降低值|x|的平方成正比，已知商品单价降低2元时，每天多卖出24件；若提高价格，则销售减少，减少的件数与提高价格x 成正比，每提价1元则每天少卖8件，且仅在提价销售时每件产品被世博管委会加收1元的管理费．（Ⅰ）试将每星期的销售利润y 表示为价格变化值x 的函数； （Ⅱ）若降价销售，试问如何定价才能使产品销售利润最大？20．（本小题满分13分）（注意：在试题卷上作答无效）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足258,30a S ==且*2120,n n n a a a n N +++-=∈．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设12...,n n S a a a =+++求S n ； （Ⅲ）设**121(),...(),(14)n n n n b n N T b b b n N n a =∈=+++∈-求是否存在最大的整数k ，使得对任意n ∈N*，均有128n kT >成立，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）（注意：在试题卷上作答无效）已知椭圆C 与曲线221(21)12x y m m m +=-<<-+共焦点，点P 在椭圆C 上且满足421=+PF PF ．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线:220l x y ++=与椭圆C 的交点为A ，B ： （i ）求使△PAB 的面积为12的点P 的个数； （ii ）设M 为椭圆上任一点，O 为坐标原点， (,)OM OA OB R λμλμ=+∈，求22μλ+的值．参考答案1—5 CABDC 6—10 ABDAB 11、10 12、4320 13、25 14、10[2,]315、③④ 提示：1．[[3,1]A B ==-，图中阴影表示(){|3I N M x x =-≤<．2．等差数列前n 项和1()2n n n a a S +=，20102008201020081()2201020082S S a a d -=-==． 3．理由：先将4名志愿者排成一列，再将2位老人看成一个整体插到4名志愿者形成的三个空中（除去两端的），然后将2位老人排列，则不同的排法有412432144A C A =种．4．由题意知：2||||1m n m n -=-=． 5．（1）（2）为真；（3）为假．6．由2()430f x x x '=-+≤得[1,3]x ∈为f （x ）的减区间，∴f （x ＋1）的单调递减区间为[0,2]，B 选项是充要条件，A 选项是充分不必要条件，所以选 A7．由分期付款模型建立等式524(1)(1)(1)(1)a r x x r x r x r +=+++++++解出x 即可．8．数列{a n }奇数项构成一阶等差数列，偶数项构成等差数列，19S =(13636)(349)162++++++++=．9．由1212IPF IPF IF F S S S λ∆∆∆=+得12122||||||||2PF PF F F PF c λλ=+=+，又P 是右支上的点，所以12||||2PF PF a =+，即有22ac a cλλ=⇒=． 10．易知OPQ ∆为等腰三角形，||||OP OQ ==，可求得O 到PQ 的距离为d ==，PQ 的直线被球面截在球内的线段的长为=11．二项式的系数为偶数，所以n 的只能取到5，所以10的展开式常数项为3510C =． 12．醉酒驾车的人数为(100.015)288004320⨯⨯=．13．1011223=+=-+=-+，概率为13236()25C p C ==．14．在平面直角坐标系上作出可行域后，原点与可行域内任意一点的连线的斜率即为yx，易求出1[,2]3y x ∈，则225[2,]2x y y x z xy x y +==+∈． 三、解答题16．解：2222221cos (0)223a b c c a b ab C C C ab ππ+-=+-⇒==<<⇒=，（2分） （1）由tan tan tan tan )A B A B -=+⋅33)tan(=-⇒B A 63232πππ=-∴<-<-B A B A ．（4分）又432ππ=∴=+B B A ．（6分） （2）n m ⋅＝3sin cos2A A +＝23172(sin )48A --+ （8分）⇒∈⇒∈]1,0(sin )32,0(A A π n m ⋅的最大值为817．（10分） 17．解：∵2'()32f x ax bx c =++为偶函数，∴ f '（-x ） = f '（x ）,∴3ax 2 -2bx ＋ c= 3ax 2 ＋2bx ＋ c,∴2bx =0对一切x ∈ R 恒成立， ∴ b ＝0，∴f （x ）＝ax 3＋cx ．（2分）又当x =f （x∴('(0f f ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，c ＝－1，∴f （x ）＝23x 3－x ，f ' （x ）＝2x 2－1．（6分）（2）设切点为00(,)x y ，则有2002172x x -=⇒=±，对应103y =±．（9分）所以切线方程为107(2)3y x ±=±，化简得：3273y x =±．（12分）18．证明：（Ⅰ）取BC 的中点O ，连接EO,AO,EO//DC 所以EO ⊥BC因为△ABC 为等边三角形，所以BC ⊥AO ． 所以BC ⊥面AEO,故BC ⊥AE ．（5分）（Ⅱ）方法一：连接PE ，因为面BCD ⊥面ABC ，DC ⊥BC ． 所以DC ⊥面ABC ，而EO //=12D C ．所以EO //=PA ，故四边形APEO 为矩形．（7分）易证PE ⊥面BCD,连接EF,则∠PFE 为PF 与面DBC 所成的角，即∠PFE=60°．（9分）在Rt △PEF 中，因为， 故EF=12BC ，因为BC=DC ，所以EF=12DC ， 又E 为BD 的中点，所以F 为BC 的中点．（12分）方法二：以BC 的中点O 为原点， OA 所在的直线为x 轴，OB 所在的直线为y 轴， OE 所在的直线为z 轴建立空间坐标系，不妨设BC=2，则P ,设(0,,0)F y ，则(,1)PF y =--，（7分） 而平面BCD 的一个法向量(1,0,0)n =，则由32PF n PF n⋅=，（9分） 解得y ＝0，故F 为BC 的中点．（12分） 19．解：（1）当降价|x|时，则多卖产品kx 2， 由已知得：22446kx k k ==⇒=，所以232()(309)(4326)6(21721512)f x x x x x x =+-+=+++ （3分） 当提价x 时，2()(3010)(4328)82728640f x x x x x =+--=-++，（5分）所以3226(21721512)(300)()(054)82728640x x x x f x x x x ⎧+++-⎪=⎨<-++⎪⎩≤≤≤ （6分）（2）当降价销售时，32()6(21721512)f x x x x =+++， 2'()18(1424)18(12)(2)0f x x x x x =++=++=1212,2x x ⇒=-=-，（8分）即f （x ）在x=－12处取得唯一极大值(12)11664f -=，∴max ()11664f x =所以当定价为18元时销售利润最大．（12分）20．解：（１）由*2120,n n n a a a n N ++-+=∈得{a n }是等差数列，设公差为d ，由题意得30244455()(8)30,4,222S a a a a d =+=+=⇒=∴=-，122n a n ∴=-．（3分）（２）由122n a n =-，110a =，当6n >时,0,n a <当6n <时,0,n a > 6n ∴≤时,2121210122 (112)n n n nS a a a a a a n n n +-=+++=+++==-（5分）当6n >时,1212678.........n n n S a a a a a a a a a =+++=+++----2621160n S S n n =-=-+ （7分）故2211(6)1160(6)n n nn S n n n ⎧-⎪=⎨-+>⎪⎩≤（8分）（3）11111()(14)2(1)21n n b n a n n n n ===--++11111111(1)()...()()2223112(1)n nT n n n n n ⎡⎤∴=-+-++-+-=⎢⎥-++⎣⎦（10分）易知2(1)n n T n =+关于n 单调递增的，当n →+∞时，12n T →若对任意的*n N ∈，128n k T >成立，即164n k n >+对任意的*n N ∈成立． *()1n n N n ∈+的最小值是12，1,32,642k k k ∴<∴<的最大值是31．即存在最大整数k=31，使对任意*n N ∈，均有128n kT >成立．（13分）21．解：（Ⅰ）曲线22112x y m m +=-+（21m -<<）化为22121y x m m-=+-， 其焦点为(0,，又∵421=+PF PF ＞12F F =∴点P 满足的曲线C 的方程为椭圆，∵3,42==c a ∴1222=-=c a b∴椭圆C 的标准方程为1422=+y x ．（4分） （Ⅱ）（i ）∵直线:220l x y ++=与椭圆C 的交点为A ，B ，∴()()2,0,0,1--B A ,5=AB若2121==∆d AB S PAB ∴55=d ， ∵原点O 到直线:220l x y ++=的距离是5555252>=． ∴在直线:220l x y ++=的右侧有两个符合条件的P 点．（7分）设直线02:=++'n y x l 与椭圆相切，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=++140222y x n y x 有且只有一个交点．∴044822=-++n nx x 有且只有一个解，由△=0解得22=n （舍负）此时，l ′与l 间距离为515222<-，∴在直线:220l x y ++=的左侧不存在符合条件的P 点． ∴符合条件的点P 有2个．（10分）（ii ）设()y x M ,，则x ，y 满足方程：1422=+y x ，∵ (,)OM OA OB R λμλμ=+∈∴()()()()μ-λ-=-μ+-λ=2,2,00,1,y x ，即：⎩⎨⎧μ-=λ-=2y x ，从而有⎪⎩⎪⎨⎧-=μ-=λ2y x∴142222=+=μ+λy x ．（14分）。
湖北省黄冈中学2010届高三8月月考(数学文).pdf
湖北省黄冈中学2010届高三8月份月考数学试题（文科） 一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.请将各小题中惟一正确的答案的代号 填入答题卡相应的格子中. 1．设集合（ ） A．{2，3}B．{1，4，5}C．{4，5}D．{1，5} 2．满足的集合M的个数是（ ） A．1个B．2个C．3个D．4个 3．集合，从A到B的映射f满足，那么这样的映射f的个数有（ ） A．2个B．3个C．5个D．8个 4．函数的定义域为（ ） A．B． C．D． 5. 已知命题p:;命题q:有意义.则是的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数上是减函数，则a的取值范围是（ ） A．B．C．D． 7．已知函数，若，则等于（ ） A．bB．-bC．D．8．已知命题方程上有解；命题只有一个实数满足不等式 ，若命题“或”是假命题，则的取值范围是（ ） A．B． C． D． 9． 设是定义在R上以2为周期的偶函数，已知时，，则函数在（1，2）上（ ） A．是增函数，且B．是增函数，且 C．是减函数，且D．是减函数，且 10．设函数，区间，集合，则使成立的实数对有（ ） A．1个B．2个C．3个D．无数多个 二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.请将正确答案填在答题卡相应的横线上. 11．设则 . 12．设，函数有最大值，则不等式的解 集为 . 13．已知集合，集合．若，则实数的取值范围是 ． 14．已知是偶函数，当x>0时，，且当恒成立，则的最小值是 . 15．已知是定义在R上的函数,存在反函数,且,若的反函数是,则= ．三解答题本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明或演算步骤12分）设命题：关于的不等式的解集为；命题：函数的定义域是．如果命题和有且仅有一个正确，求的取值范围． 17．（本题满分12分）设函数. （1）求函数的单调区间； （2）若不等式恒成立，求的取值范围. 18．（本题满分12分）已知是定义在上的奇函数，若任意的，且，都有. （1）判断在上的单调性，并证明你的结论； （2）解不等式：.19.(本题满分12分)已知函数. （1）当时，若方程有一根大于1，一根小于1，求的取值范围； （2）当x∈[0,2]时,在x=2时取得最大值,求实数a的取值范围. 20. (本题满分13分) 已知奇函数的定义域是R,且,当0≤x≤ 时,. (1)求证:是周期为2的函数; (2)求函数在区间上的解析式； (3)求函数的值域. 21．（本题满分14分）设，若，求证： （1）； （2）方程在（0，故选B. 2．B．由已知得故选B. 3．B．若，则有1种情况 若，则分别为中的某一个数，故有2种情况，故共有3个 这样的映射. 4．B．，故选B． 5．A．由p得，由q得，则q是p的充分不必要条件，故是的充分不必要条件. 6．D．由得x5，由对数函数及二次函数的单调性知，f(x)的单调递 减区间为，故. 7．B.，则为奇函数，故 ，故选B. 8．B．若p正确，的解为若方程在[-1，1]上有解，只需满足，或即.若q正确，即只有一个实数x满足则有，即a=0或2.若p或q是假命题，则p和q都是假命题，有故a的取值范围是 9． D．是定义在R上以2为周期的偶函数，由时，增函数且>0得函数在（2，3）上也为增函数且>0，而直线x=2为函数的对称轴，则函数在（1，2）上是减函数，且>0，故选D. 10．C． ∵则对于集合N中的函数的定义域为[a, b]又∵，故当时，函数f(x)是增函数.故N=，由得. 11．. ,∴. 12．.设当时，又函数y=f(x)有最大值，所以得,解得 13．．由，．若AB，则 解得． 14．1. 是偶函数，当x>0时，为减函数，为增函数，则当时，当时，则的最小值是1. 15.由得，即，故，， 16．由不等式的解集为得． 由函数的定义域是知恒成立． 故 由命题和有且仅有一个正确得的取值范围是=17．（1），故函数的单增区间是，；函数的减区间是 （2）由（1）知，的最小值是，要恒成立，则须成立，解得， 18．（1）在上是增函数，证明如下： 任取，且，则，于是有，而，故，故在上是增函数 （2）由在上是增函数知： ， 故不等式的解集为． 19.（1）当时，，故抛物线开口向上， 而，则抛物线与轴总有两个交点，要方程有一根大于1，一根小于1，则有 （2）若，即时,则，不在x=2时取得最大值. 若,即时,则≤1,解得a≥. 若,即时,则≥2,解得a≥,与矛盾. 综上可得a的取值范围是a≥.20.（1） ，所以是周期为2的函数. （2）∵当x∈时, , ∴x∈[0,1]时, ∴当x∈时,. （3）由函数是以2为周期的函数，故只需要求出一个周期内的值域即可，由（2）知 ，故在上函数的值域是，故值域为 21．（1）∵所以由条件，消去b得 ；由条件a+b+c=0消去c，得.故 （2）抛物线的对称轴为，由得 即对称轴；而且，所以方程f(x)=0在区间（0，1）内有两个不等的实根. 。
高三数学二次函数
• 例2、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和 一次函数g(x)= －bx,其中a、b、c满
足a>b>c，a+b+c=0(a、b、c∈R).
变：若二次函数f1(x)=a1x2+b1x+c1 和f2(x)=a2x2+b2x+c2，使得f1(x)－ f2(x)在［1,2］上是单调减函数， 且在［1,2］上有最大值5和最小值 3。请写出一组满足上述要求的二 次函数： f1(x)=_________,f2(x)=_______
• 7.已知实数a、b、c，函数 f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b，当
花の诸人，莫非她也有苦衷？她晓得此时の王爷备受打击和煎熬，她真想大声地告诉他：婉然姐姐不是见异思迁之人，姐姐与您是真心相爱、情投意合，姐姐这只是迫不得已 „„这壹侧の水清为咯婉然与王爷两各人操心费神、思前想后，另壹边の婉然在初见到水清の那壹刹那，同样先是为她能与王爷修成正果而高兴，继而又担心这样の结果，是否 是出自于王爷の真心，还是水清被迫就范の结果？婉然の担心绝非是杞人忧天，因为她深深晓得，水清の眼光有多高，水清对心爱之人の要求又有多么高。虽然王爷是婉然今生 今世见过の最令她心动の男子，可是水清与他相处咯五年の时间都没能够相互倾心爱慕，才这么短短の三、四各月の时间里，他们两人の关系怎么可能取得如此实质性の进展？ 因此婉然也对水清の处境分外地担忧，她由衷地希望这是王爷是发自内心地真心喜欢水清の结果，而不是因为别の啥啊事情而让水清成为牺牲品。为水清和王爷两各人忧心忡忡 の婉然是多么希望能从凝儿の口中晓得事情の真相，好让她真正地放下心来。可是宴客厅里不只她们姐妹两人，这里还有排字琦，淑清、惜月们，还有穆哲、塔娜、完琦们，这 里根本就不是姐妹两人能够互诉衷肠の地方，她们纵有好些疑问、迷惑、不解，全都要统统地咽进肚子里，因为她们不想成为其它诸人们茶余饭后の谈资 ，更不想成为众人讥讽 耻笑の话柄。虽然她们各自の心中有着不同の担忧、不同の牵挂，但是有壹点却是共同の，那就是她们确实是真心实意地为对方の现状感到万分庆幸，继而长长地舒咯壹口气， 不管原因如何，对于当前の结果她们都壹厢情愿是认为：妹妹（姐姐）与王爷（二十三叔）是否真心相爱并不重要，最重要の是能够有咯身孕，将来再生各壹儿半女，下半辈子 总算是有咯依靠，哪怕生の只是小格格，也总比壹各人凄凄苦苦地过壹辈子要好上不知千百倍。第壹卷 第470章 断念好不容易，终于挨到咯晚膳即将结束の时刻，对于就要结 束の这场各自心怀异胎の晚膳，众人の心中都是欢喜不已。反正也是话不投机半句多の亲戚，膳后就意味着告辞时间。福晋这壹晚上の心情都是欣喜异常，她の全部心思都集中 在如何巩固既有の成果上面：婉然有咯身子好，总算是彻底断咯爷の念想，将来还能太太平平地过日子，幸亏天仙妹妹今天参加咯宴席，也算是能够让婉然清醒地认清情势。于 是万分庆幸の排字琦在这分别时刻，不失时机地主动走上前去拉着婉然の手，亲亲热热地说道：“小弟妹，刚才四嫂说の话，你可是要记得呢。以后再要是有咯身子啥啊の大喜 事，可是要早点儿来报喜呢，这可不是四嫂揪着你の错处不放，而是四嫂们想早早地替你高兴呢。有咯身子好啊，早点儿给二十三叔生各小小格，这小两口の日子过得和和美美 の，四嫂们看在眼里，喜在心窝子里！这吃食啊，走路啊啥啊の，可是得好好地惊着十二万分の心，万不可出咯半点儿差池。”“多谢四嫂，您の教诲，弟妹都醒得。其实，也 都不碍事呢，弟妹の身子也没有那么娇气。”婉然只当排字琦那番话不过是客套而已，因此也很客气地回复咯她。但是排字琦の重点可不是在这里，这只是壹各开场白而已，她 の好戏还在后头呢，岂能这么白白地就放过咯婉然？于是她继续说道：“怎么不碍事？昨天你四哥还特意叮嘱我，让我问问你小四嫂能否参加今天の宴席。你四哥可真是贴心， 生怕她在宴席上有啥啊身子不舒服の，那各关心真是让四嫂羡慕呢。另外你四哥还特意吩咐我，每日里不但要炖咯补品，更是连请安这两步路都怕她有闪失而给免咯呢。你瞧瞧， 就是在府里走这么两步路，你四哥都不放心她，你可是大老远地从贝子府里坐咯马车过来，若是换咯你小四嫂，你四哥还不得紧张坏咯？不过呢，四嫂真是打心眼儿里替你们高 兴，真不愧是姐妹俩，连生小小格都是前后脚。”排字琦这番话确实是别有用心才说出来の，但是她这么做，完全是为咯王爷。婉然与二十三小格修成正果已经是不争の事实， 王爷再有好些不甘不愿，也只能是而且是必须要认命。而且她也是万分感激二十三小格今天の到访，最少让王爷见到咯婉然の现状，晓得他们夫妻两人生活美满幸福，也算是彻 底地断咯他这辈子の念想，实在是再好不过の事情。但是光断咯王爷の念想还不够，排字琦还要断咯婉然の念想。让婉然好好看看王爷对天仙妹妹有多么の“宠爱”吧，又是送 补品养身子，又是要她这各嫡福晋亲自关心，连出席各家宴都紧张得不行，不晓得二十三小格是如何对待有咯身孕の婉然，反正她们王府里の这些女眷们，还从来没见识过王爷 对哪各女眷这么操碎咯心呢。第壹卷 第471章 表演不要说排字琦、淑清、春枝这些王府里の老人，就是三年前才刚刚生产の惜月和韵音这两各新人，她们生元寿和天申小格の 时候也是头壹胎，也是没有经验，也是新手额娘，可是谁也没有见识过王爷这么兴师动众、极尽夸张の恩宠。既然连头壹回都没有享受到这种待遇，以后就更不可能再有啥啊奢 望咯。不过，假设她们晓得，这是她们这壹辈子唯壹の壹次怀胎生子，就更会伤心不已，当然这些全都是后话。排字琦当然最清楚王爷与水清の实际情况如何，但是为咯从根本 上断咯婉然の念想，即使冒着被王爷责罚の风险，她也是铁咯心地壹定要这么做！她完全是为咯他，为咯整各王府。现在王爷深陷感情の泥潭难以自拔，排字琦
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2
方程 2 有两个相等的根 , ( 2 4a ) 4a 9a 0 1 解得a 1或a ,由于a 0, 5 1 a , 代入 1 得 : 5 1 2 6 3 f ( x) x x 5 5 5
2
( 2)由f ( x ) ax 2(1 2a ) x 3a
2
由 f ( x ) x得 : x 4 x 2 x
2Байду номын сангаас
x 3 x 2 0 x 1或x 2,
2
即x 0时有两个交点 ; 当x 0时, 有一个交点x 2, 综上 f ( x ) x有三个解.
[例2] (湖南高考题)设f ( x)
x bx c, x 0 , 若 f (4) f (0), x0 2, f (2) 2, 则关于x的方程f ( x) x的
3 1 3 2 2 1 2 2
即( x1 x 2 )[( x1 x 2 ) 3 x1 x 2 ] (1 a )[( x1
2 2
x 2 ) 2 x1 x 2 ] a( x1 x 2 ) 0, 又由(1)知：
2 x1 x 2 3 (1 a ) 代入前面不等式 , a x1 x 2 3 2 两边除以(1 a ), 并化简得2a 5a 2 0 1 解不等式得: a 2或a ( 舍 ). 2 因此, 当a 2时, 不等式f ( x1 ) f ( x 2 ) 0成立.
2
[解析]
设方程x f [ g ( x )] 0
有实数解x0 , 则x0 f [ g ( x0 )], 于是g ( x0 ) g{ f [ g ( x0 )]}, 即方程x g[ f ( x )]有实数解x g ( x0 ). g[ f ( x )] f [ g( x )],
当x1 x x 2时, f ' ( x ) 0; 当x x2时, f ' ( x ) 0, 因此x1是极大值点, x2是极小值点.
( 2) 因f ( x1 ) f ( x 2 ) 0故得不等式 x x (1 a )( x x ) a( x1 x 2 ) 0,
[解析] y ( x a ) a ,
2 2
对称轴为x a ,由于 ymax a , 故有0 a 1,
2
1 a 0.
[解析] y ( x a ) a ,
2 2
对称轴为x a ,由于 ymax a , 故有0 a 1,
1 x1、x 2 , 则x1 x 2 . a x1、x 2异号, a 0, 由a 1 a 0, 但a 0 a 1, 故选C.
[答案] C
2. 函数f ( x ) ax x 1有极值
3
的充要条件是 ( )
A. a 0 B. a 0 C. a 0 D. a 0
2 2
[链接高考]
[链接高考] [例1] (全国高考题)设b 0,
二次函数y ax bx a 1的图象
2 2
为下列之一, 则a的值为 ( )
1 5 A. 1 B. 1 C. 2
1 5 D. 2
, [解析] b 0, 不是前两个图形 b 从后两个图形看 0, a 0. 2a 故应是第3个图形,因过原点, a 1 0, 结合a 0 a 1.
2. 函数f ( x ) ax x 1有极值
3
的充要条件是 ( )
A. a 0 B. a 0 C. a 0 D. a 0
[解] 由f ' ( x ) 3ax 1 0
2
1 即3ax 1 0(a 0) x 0 3a a 0, 故 f ( x )有极值的充要条件为 a 0, 故选D.
2
解的个数为 ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
[例3]
(2006年浙江高考题)若f ( x)和
g ( x)都是定义在实数集R上的函数, 且 方程x f [ g ( x)] 0有实数解, 则g[ f ( x)] 不可能是 ( )
1 A. x x 5 1 2 C. x 5
2
1 B. x x 5 1 2 D. x 5
[解析] (1) f ( x ) 2 x 0的解集
为(1,3), f ( x ) 2 x a ( x 1)( x 3), 且a 0, 因而f ( x ) a( x 1)( x 3) 2 x ax ( 2 4a ) x 3a
2
1
由方程f ( x ) 6a 0得： ax ( 2 4a ) x 9a 0
2010年湖北黄冈中学高三数学
专题二 二次函数、 二 次方程与二次不等式
第一课时：
二次函数及其应用
第一课时：
二次函数及其应用
[课前引导]
第一课时：
二次函数及其应用
[课前引导]
1. 一元二次方程 2 x 1 0 ax
2
(a 0)有一个正实数根和一个 负实数 根的充分不必要条件是( )
2
1 2a 2 a 4a 1 a( x ) 及a 0 a a 2 a 4a 1 可得：f ( x )的最大值为 . a 2 a 4a 1 0 由 解得 : a a 0
2
a 2 3或 2 3 a 0, 故当f ( x )的最大值为正数时 , 实数a的取值范围是: ( ,2 3 ) ( 2 3 ,0).
2
不妨设x1 x 2 ,由f ' ( x ) 3( x x1 )( x x 2 ) 可判别f ' ( x )的符号如下： 当x x1时, f ' ( x ) 0;
当x1 x x 2时, f ' ( x ) 0; 当x x2时, f ' ( x ) 0, 因此x1是极大值点, x2是极小值点.
2
b 2 2 0 1, 即b 4a 2a 4ac b 4a , 即a 0
2 2
又a N *, 且c 1, a的最小值为 . 2
[链接高考]
[链接高考] [例1] (重庆高考题)若动点
x y ( x, y )在曲线 2 1(b 0)上变化, 4 b 2 则x 2 y的最大值为 ( ) 2 2 b b 4 ( 0 b 4) 4 ( 0 b 2) A. 4 B. 4 2b 2b ( b 4) ( b 2) 2 b C. 4 D. 2b 4
2
, [解析] b 0, 不是前两个图形 b 从后两个图形看 0, a 0. 2a 故应是第3个图形,因过原点, a 1 0, 结合a 0 a 1.
2
[答案]
B
[例2] (2007年湖南高考题)设f ( x)
x bx c, x 0 , 若 f (4) f (0), x0 2, f (2) 2, 则关于x的方程f ( x) x的
第二课时：
三个“二次”的联系与应用
第二课时：
三个“二次”的联系与应用
[课前引导]
第二课时：
三个“二次”的联系与应用
[课前引导]
1. 函数y x 2ax(0 x 1)的
2
最大值是a , 则a的取值范围是 ( )
2
A. [0,1] B. [0,2] C. [2,0] D. [1,0]
2
1 a 0.
[答案] D
2. 二次函数f ( x ) ax bx c ,
2
a N *, c 1, a b c 1, 方程ax
2
bx c 0有两个小于1的不等正根, 则a的最小值 ( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
[解析]
b 4ac 0 f ( 0) c 0 由题意有 f (1) a b c 0 b 0 1 2a
2
(1) 求函数g ( x)的解析式； (2) 解不等式g ( x) f ( x) x 1 ; (3) 若h( x) g ( x) f ( x) 1在 [1,1]上是增函数, 求实数的取值范围.
[解析] (1) 设函数y f ( x )的图象上任
一点Q( x0 , y0 )关于原点的对称点 ( x , y ) P x0 x 2 0 x0 x 则 , 即 . y0 y 0 y0 y 2 点Q( x0 , y0 )在函数y f ( x )的图象上, y x 2 x , 即y x 2 x ,
2
解的个数为 ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
[解析] 由 f ( 4) f (0)
( 4) b ( 4) c c
2
1 2
f ( 2 ) 2 ( 2 ) b ( 2 ) c 2
2
解之得 : b 4, c 2, 则 x 4 x 2( x 0) f ( x) , ( x 0) 2
个不同的极值点x1、x2 ; (2) 若不等式f ( x1 ) f ( x2 ) 0成 立, 求a的取值范围.
[解析] (1) f ' ( x ) 3 x 2(1 a ) x a ,
2
令f ' ( x ) 0得方程3 x 2(1 a ) x a 0 1 2 3 2 由 4(a a 1) 4[( a ) ] 0, 2 4 故方程有两个不同的实 x1、x 2 . 数