高二小高考后数学一轮复习学案平面向量的数量积

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高考数学一轮复习讲义平面向量数量积

变式训练 1
(1)若向量 a 的方向是正南方向，向量 b 的方向是正东方向，且|a|
＝|b|＝1，则(－3a)·(a＋b)＝______.
(1)如图所示，由已知，作O→A＝a， O→B＝b，O→A、O→B的方向分别是正南、正东方向，且|a|＝|b|＝1，则O→C＝－3a 的方向是正北方向，|O→C|＝|－3a|＝3|a|＝3，O→D＝O→A＋O→B＝ a＋b 的方向是东南方向，|a＋b|＝ 2(四边形 OADB 是正方形)，且O→C与O→D的夹角是∠COD＝135°，所以(－3a)·(a＋b)＝3× 2 ×cos 135°＝3 2×－ 22＝－3.
探究提高
方法一的难点是如何利用条件建立|c|的表达式，突破这一难点的方法就是结合条件利用向量的数量积将|c|用|a＋b|cos θ＝ 2cos θ 来表示即可．方法二的难点是如何建立 c 坐标的关系式，要突破这一难点就要先设向量 a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，再由条件建立 c 的坐标的关系式x－122＋y－122＝12即可．方法三的难点是对向量几何意义的挖掘，突破这一难点，要由条件得出向量 c 是向量 a，b，a－c，b－c 构成的圆内接四边形的对角线．
答案 (1)－3 (2) 3
向量的夹角与向量的模
例 2 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61， (1)求 a 与 b 的夹角 θ； (2)求|a＋b|； (3)若A→B＝a，B→C＝b，求△ABC 的面积．
运用数量积的定义和|a|＝ a·a. 解 (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61， ∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. 又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6. ∴cos θ＝|aa|·|bb|＝4－×63＝－12.

2022届高三数学一轮复习-平面向量的数量积教案

平面向量的数量积一、教学目标掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、的问题；掌握向量垂直的条件。

二、教学的重点和难点教学重点：平面向量的数量积定义。

教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用。

三、教学过程复习导入：向量的概念及线性运算。

新课讲授：1.平面向量的数量积定义:已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角为θ,则数量 |a||b|cos θ 叫作a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即a ·b=|a||b|cos θ.规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0.投影：|a |cos θ叫作向量a 在向量b 方向上的投影,|b |cos θ叫作向量b 在向量a 方向上的投影几何意义:数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 方向上的投影|b|cos θ(θ为向量a 与b 的夹角)的乘积.2..向量的夹角定义：已知两个非零向量 a 和 b ，作 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，则 ∠AOB =θ(0∘≤θ≤180∘) 叫作a 与b 的夹角，记作 ⟨a,b⟩ .【注意】向量a ,b 的夹角为锐角⇔a ·b>0且a ,b 不共线;向量a ,b 的夹角为钝角⇔a ·b<0且a ,b 不共线.3. 平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，θ为a 与b 的夹角，则.(1)a ⊥b ⇔ a•b ＝0.(2)当a 与b 同向时，a •b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a •b ＝－|a||b|.特别地，a •a ＝|a|2 或|a|＝a•a .4.向量数量积的运算律(1)a ·b=b ·a; （交换律）.(2)(λa)·b=λ(a ·b)=a ·(λb); （数乘结合律）.(3)(a+b)·c=a ·c+b ·c. （分配律）注意：向量的数量积运算不满足乘法结合律考点一平面向量数量积的运算例1: [2019年天津卷] 在四边形 ABCD 中， AD//BC ， AB =2√3 ， AD =5 ， ∠A =30∘ ，点E 在线段CB 的延长线上，且 AE =BE ，则 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______.[解析] 如图， AD//BC ，且 ∠DAB =30∘ ，∴∠ABE =30∘ .又 AE =BE,∴∠EAB =30∘ ， ∴∠E =120∘ ，∴ 在 △AEB 中， AE =BE =2 ，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−BA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE⃗⃗⃗⃗⃗ =−12+2√3×2×cos30∘+5×2√3×cos30∘+5×2×cos180∘ =-12+6+15-10=-1.变式1：(2019·上饶模拟)设D ，E 为正三角形ABC 中BC 边上的两个三等分点，且BC ＝2，则AD →·AE →等于( )A.49B.89C.269D.263[解析] 如图，|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,⟨AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=60∘ ∵D,E 是边BC 的两个三等分点，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =29|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+59AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +29|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 =29×4+59×2×2×12+29×4=269 .考点二平面向量数量积的性质及其应用考向1 平面向量的模例2 如图，在 △ABC 中， O 为 BC 的中点，若 AB =1 ， AC =3 ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 60∘ ，则 |OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |= ___________.[解析] AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅ cos60∘=1×3×12=32 ，又 AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ) ，所以 AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2) ，即 AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=14×(1+3+9)=134 ，所以 |OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√132 .变式2： [2020年全国Ⅰ卷] 设a ，b 为单位向量，且 |a +b|=1 ，则 |a −b|= _________.四、小结：1平面向量数量积的运算2平面向量数量积的性质及其应用（求模长）五、作业大本P122-123。

高三数学一轮复习学案5.3平面向量的数量积

5.3平面向量的数量积考试要求1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.了解用平面向量的数量积处理有关长度、角度、垂直问题,掌握向量垂直的条件. 基础知识1.向量,的夹角：已知两个非零向量,，过O 点作___=OA ，__=OB 则∠AOB=θ叫做向量b a ,的____.θ的范围_____________. 当且仅当两个非零向量b a ,同方向时，θ=___，当且仅当b a ,反方向时θ=___，同时0 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。

2.与垂直；如果b a ,的夹角为____则称与垂直，记作_____.3.数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，a ⋅b =__________________(0)θπ≤≤,规定⋅=0注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量. 4.在方向上的投影：R OP ∈==(θ（注意OP 是射影）所以⋅的几何意义：⋅等于的长度与在方向上的投影的乘积.5.平面向量数量积的性质设,是两个非零向量，是单位向量，于是有：①θcos e a a e =⋅=⋅ ②___________⇔⊥b a ③当与同向时，_________=⋅b a ；当与反向时，__________=⋅b a ，特别地，__________==⋅。

④_______________cos =θ6.平面向量数量积的运算律 ①交换律成立：_________=⋅b a ②对实数的结合律成立：()()()R ∈⋅==⋅λλλ_______ ③分配律成立：()________________=⋅±c b a ()±⋅=特别注意：（1）结合律不成立：()()⋅⋅≠⋅⋅；（2）消去律不成立⋅=⋅不能得到⋅=c b （3）b a ⋅=0不能得到a =0或b =0④乘法公式：()()____________b a b a -==-⋅+； ()______________________2=±2b a +⋅±=； 7.平面向量数量积的坐标表示① 若=(x 1,y 1),=(x 2,y 2)则⋅=_________________② 若=(x ,y ),则||2=.__________=③ 若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),__________________________= ④ 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)则___________________⇔⊥b ab a //_________________________________⑤ 若=(x 1,y 1),=(x 2,y 2)则______________________cos =θ基础练习1．下列各命题：（1）00=⋅；（2）0=⋅；（3）若⋅=⋅≠,0，则c b =；（4）若c a b a ⋅=⋅，则c b ≠当且仅当0=a 时成立；（5）)()(⋅⋅=⋅⋅对任意,,向量都成立；（6）对任意向量，有2a =.其中正确的有______________________.2．已知2,5,(1)||a b a b ==若;则________=⋅b a (2) a b ⊥;则________=⋅b a(3) a b 与的夹角为030,则________=⋅ 3．已知0000(cos23,cos67),(cos68,cos22)a b ==则________=⋅4．若1,2,a b c a b ===+,且c a ⊥,则向量a 与向量b 的夹角为 ( )A. 030B. 060C. 0120D. 0150 典型例题：例1．已知向量,a b 满足6,4a b ==,且a b 与的夹角为060,求3a b a b +-和例2．已知向量(sin ,1),(1,cos ),22a b ππθθθ==-<<.（1）若,a b θ⊥求 ; (2)求a b +的最大值例3．已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==,且,a b 满足3ka b a kb +=-,k R +∈(1)求证()()a b a b +⊥- ; (2)将a 与b 的数量积表示为关于k 的函数()f k ;(3)求函数()f k 的最小值及取得最小值时向量a 与向量b 的夹角θ随堂练习：1.已知(1,2),(4,2)a b =-=,)a a b -与(夹角为θ,则cos θ= .2.已知2,3,7a b a b ==-=,向量a 与向量b 的夹角夹角为θ，则θ3.已知向量(2,2),(5,)a b k =-=,若a b +不超过5,则k 的取值范围 ( )A. [4,6]-B. [6,4]-C. [6,2]-D. [2,6]-4.已知a b 与的夹角为0120,3a =,13a b += ,则b 等于( )A. 5B. 4C. 3D. 1。

高三数学一轮复习精品学案3：§5.3平面向量的数量积

§5.3平面向量的数量积基础梳理1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量ɑ和b ，它们的夹角为θ，则数量叫做ɑ与b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为．(2)几何意义：数量积ɑ·b 等于ɑ的长度|ɑ|与b 在ɑ的方向上的投影的乘积．2．平面向量数量积的运算律(1)交换律：ɑ·b ＝b ·ɑ；(2)数乘结合律：(λɑ)·b ＝；(3)分配律：ɑ·(b ＋c )＝．3．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量ɑ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈ɑ，b 〉．学情自侧1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由ɑ·b ＝0，可得ɑ＝0或b ＝0.( )(2)由ɑ·b ＝ɑ·c 及ɑ≠0不能推出b ＝c .( )(3)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 为矩形．( )(4)若ɑ·b ＞0，则ɑ与b 的夹角为锐角；若ɑ·b ＜0，则ɑ和b 的夹角为钝角．( )2．已知菱形ABCD 的边长为ɑ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( )A ．－32ɑ2B ．－34ɑ2 C.34ɑ2 D.32ɑ2 3．已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量ɑ＝3e 1－2e 2，则|ɑ|＝________． 4．已知点A (－1，1)、B (0，3)、C (3，4)，则向量AB →在AC →方向上的投影为________．5．设向量ɑ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(ɑ＋λb )⊥(ɑ－λb )，则实数λ＝________．方法总结一个条件两个非零向量垂直的充要条件：ɑ⊥b ⇔ɑ·b ＝0.一种方法利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．两个探究1．若ɑ·b ＞0，能否说明ɑ和b 的夹角为锐角？(不能)2．若ɑ·b ＜0，能否说明ɑ和b 的夹角为钝角？(不能)三个防范1．数量积运算不满足消去律，若向量ɑ，b ，c 满足ɑ·b ＝ɑ·c (ɑ≠0)，则不一定有b ＝c .2．数量积运算不满足结合律，即(ɑ·b )c ≠ɑ(b ·c )，这是由于(ɑ·b )c 表示一个与c 共线的向量，ɑ(b ·c )表示一个与ɑ共线的向量，而ɑ与c 不一定共线．3．理解向量夹角的概念，比如正三角形ABC 中，AB →与BC →的夹角应为120°，而不是60°.课堂训练一、选择题1．设向量ɑ，b 满足|ɑ＋b |＝10，|ɑ－b |＝6，则ɑ·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．52．已知ɑ＝(3，－2)，b ＝(1，0)，向量λɑ＋b 与ɑ－2b 垂直，则实数λ的值为( )A ．－16 B.16 C ．－17 D.173．若平面向量ɑ＝(－1，2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为( )A ．(3，－6)B ．(－3，6)C ．(6，－3)D ．(－6，3)4．设x ∈R ，向量ɑ＝(x ，1)，b ＝(1，－2)，且ɑ⊥b ，则|ɑ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5 D ．105．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量ɑ，b 满足AB →＝2ɑ，AC →＝2ɑ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．ɑ⊥bC ．ɑ·b ＝1D ．(4ɑ＋b )⊥BC →6．已知向量ɑ是与单位向量b 夹角为60°的任意向量，则对任意的正实数t ，|tɑ－b |的最小值是( )A ．0 B.12 C.32D ．1 二、填空题7．已知向量OA →⊥AB →，OA →＝3，则OA →·OB →＝________．8．已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________． 9．若非零向量ɑ，b 满足|ɑ|＝3|b |＝|ɑ＋2b |，则ɑ与b 夹角的余弦值为________．三、解答题10．已知|ɑ|＝4，|b |＝3，(2ɑ－3b )·(2ɑ＋b )＝61.(1)求ɑ与b 的夹角θ；(2)求|ɑ＋b |和|ɑ－b |.11．设向量ɑ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)若|ɑ|＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝ɑ·b ，求f (x )的最大值．——★ 参考答案 ★——基础梳理1． (1) |ɑ||b |cos θ 0(2) |b |cos θ2． (2) λ(ɑ·b )＝ɑ·(λb )(3) ɑ·b ＋ɑ·c学情自侧1．(1)× (2)√ (3)× (4)×『解析』由数量积的定义，(2)显然正确．在(1)中，若ɑ≠0，b ≠0时，应有ɑ⊥b ，(1)错．在(3)中，四边形ABCD 为菱形，(3)不正确．在(4)中，若〈ɑ，b 〉＝0，有ɑ·b ＞0；若〈ɑ，b 〉＝π，有ɑ·b ＜0，(4)错．2．D『解析』由条件得BD →·CD →＝BD →·BA →＝3ɑ·ɑcos 30°＝32ɑ2. 3．3『解析』由题意知|ɑ|2＝ɑ2＝(3e 1－2e 2)2＝9e 21＋4e 22－12e 1·e 2＝9＋4－12×13＝9.故|ɑ|＝3. 4．2『解析』∵AB →＝(0，3)－(－1，1)＝(1，2)，AC →＝(3，4)－(－1，1)＝(4，3)，∴AB →在AC →方向上的投影为AB →·AC →|AC →|＝1×4＋2×342＋32＝2. 5．±3『解析』|ɑ|＝32，|b |＝2，因为(ɑ＋λb )⊥(ɑ－λb )，所以(ɑ＋λb )· (ɑ－λb )＝|ɑ|2－λ2|b |2＝18－2λ2＝0.故λ＝±3.课堂训练一、选择题1．A『解析』|ɑ＋b |2＝(ɑ＋b )2＝ɑ2＋2ɑ·b ＋b 2＝10，|ɑ－b |2＝(ɑ－b )2＝ɑ2－2ɑ·b ＋b 2＝6，将上面两式左右两边分别相减，得4ɑ·b ＝4，∴ɑ·b ＝1.2．C『解析』向量λɑ＋b 与ɑ－2b 垂直，则(λɑ＋b )·(ɑ－2b )＝0，又因为ɑ＝(3，－2)，b ＝(1，0)，故(3λ＋1，－2λ)·(1，－2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－17. 3．A『解析』由题意设b ＝λɑ＝(－λ，2λ)(λ＜0)且|b |＝35，则λ2＋4λ2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)．4．B『解析』∵ɑ⊥b ，∴ɑ·b ＝0，∴x ＝2，∴ɑ＝(2，1)，∴ɑ2＝5，b 2＝5，|ɑ＋b |＝（ɑ＋b ）2＝ɑ2＋2ɑ·b ＋b 2＝5＋5＝10.5．D『解析』在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2ɑ＋b －2ɑ＝b ，得|b |＝2.又|ɑ|＝1，所以ɑ·b ＝|ɑ||b |cos 120°＝－1，所以(4ɑ＋b )·BC →＝(4ɑ＋b )·b ＝4ɑ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0.所以(4ɑ＋b )⊥BC →.6．C『解析』∵ɑ·b ＝|ɑ||b |cos 60°＝12|ɑ|， ∴|tɑ－b |＝t 2ɑ2－2tɑ·b ＋b 2＝t 2ɑ2－t|ɑ|＋1，设x ＝t |ɑ|，x ＞0，∴|tɑ－b |＝x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34＝32. 故|tɑ－b |的最小值为32. 二、填空题7．9『解析』因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝OA →·(OB →－OA →)＝OA →·OB →－OA →2＝0，所以OA →·OB →＝OA →2＝|OA →|2＝9.8．233『解析』∵e 1·e 2＝12， ∴|e 1||e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝12，∴〈e 1，e 2〉＝60°. 又∵b ·e 1＝b ·e 2＝1＞0，∴〈b ，e 1〉＝〈b ，e 2〉＝30°. 由b ，e 1＝1，得|b ||e 1|cos 30°＝1，∴|b |＝132＝233. 9．－13『解析』由|ɑ|＝|ɑ＋2b |，得|ɑ|2＝(ɑ＋2b )2＝|ɑ|2＋4|b |2＋4ɑ·b ，所以ɑ·b ＝－|b |2.又|ɑ|＝3|b |，所以cos 〈ɑ，b 〉＝ɑ·b |ɑ||b|＝－|b|23|b|2＝－13. 三、解答题10．解：(1)由(2ɑ－3b )·(2ɑ＋b )＝61，解得ɑ·b ＝－6.∴cos θ＝ɑ·b |ɑ||b|＝－64×3＝－12. 又0≤θ≤π，∴θ＝2π3. (2)|ɑ＋b |2＝ɑ2＋2ɑ·b ＋b 2＝13， ∴|ɑ＋b |＝13，|ɑ－b |2＝ɑ2－2ɑ·b ＋b 2＝37. ∴|ɑ－b |＝37.11．解：(1)由|ɑ|2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|ɑ|＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6. (2)f (x )＝ɑ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为32.。

高考数学第一轮复习第35课时—平面向量的数量积(学案)

五．课后作业：
1．已知向量 a (cos , sin ) ,向量 b ( 3, 1) 则 | 2a b | 的最大值，最小值分（
）
( A) 4 2 ,0
( B) 4, 4 2
(C ) 16， 0
( D ) 4，0
2．平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知两点 A(3,1) ， B ( 1,3) ，若点 C 满足

11．已知向量 a
3 (cos
x,sin
3
x)
，
b
x (cos ,
sin
x )
，
2
2
2
2
（ 1）当 x [0, ] ，求 a b,| a b | ； 2
）
(A) 1 2
(B) 2 2
(C ) 3 2
(D) 1
4．在 ABC 中，AB AC 0， ABC 的面积是 15 ，若 | AB | 3 ，| AC | 5 ，则 BAC ( ) 4
( A) 6
(B) 2 3
(C) 3 4
(D) 5 6
5．已知 O 为原点，点 A, B 的坐标分别为 A(a,0) ， B(0, a) ，其中常数 a 0 ，点 P 在线
例 3．设两个向量 e1 、e2 ，满足 | e1 | 2 ，| e2 | 1 ，e1 、e2 的夹角为 60°，若向量 2te1 7e2 与向量 e1 te2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围 .
小结：
例 4．如图，在 Rt△ ABC 中，已知 BC= a，若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点，问 PQ与BC 的夹角取何值时 BP CQ 的值最大？并求出这个最大值。
3 (B)
23
(C ) 2

平面向量的数量积学案

平面向量的数量积学案一、学案背景平面向量的数量积是数学中的一个重要概念，通过数量积可以研究向量之间的夹角关系、向量的投影以及向量的模长等问题。

掌握了平面向量的数量积的性质和应用，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。

二、学习目标1. 了解平面向量的数量积的定义。

2. 掌握平面向量的数量积的计算方法和性质。

3. 理解平面向量的数量积与向量的夹角、投影和模长之间的关系。

4. 能够应用平面向量的数量积解决实际问题。

三、学习内容1. 平面向量的数量积的定义：平面向量a = (x1, y1) 和 b = (x2, y2) 的数量积（又称点积、内积）定义为 a · b = x1 * x2 + y1 * y2。

2. 平面向量的数量积的性质：a. a · b = b · a（数量积的交换律）。

b. a · (b + c) = a · b + a · c（数量积的分配律）。

c. k(a · b) = (ka) · b = a · (kb) = k(a · b)（数量积的结合律，其中k为实数）。

3. 平面向量的数量积与向量的夹角的关系：a. 如果 a · b = 0，则向量a和b垂直（夹角为90°）。

b. 如果 a · b > 0，则向量a和b夹角锐角。

c. 如果 a · b < 0，则向量a和b夹角钝角。

4. 平面向量的数量积与向量的投影的关系：a. 向量a在向量b上的投影p的长度为 |p| = |a| * cosθ，其中θ为a和b的夹角。

b. a · b = |a| * |b| * cosθ。

5. 平面向量的数量积与向量的模长的关系：a. a · a = |a|^2，其中|a|表示向量a的模长。

b. |a| = √(a · a)。

四、学习方法1. 技巧讲解与练习：通过教师的讲解，学习平面向量的数量积的定义、计算方法和性质。

高三高考一轮复习优秀导学案：平面向量的数量积及应用

平面向量的数量积及应用（导学案）一、知识梳理：(请同学们阅读必修四) 1. 平面向量的夹角及表示:(1).平面向量的夹角的定义 (2).范围: 表示方法:当夹角为0或时,则称a 与b ,记作: ; 当夹角为9时,则称a 与b ,记作: ; 2.向量的数量积定义:3.数量积几何意义与投影的概念:4.数量积的性质:设a 与b 是非零向量,e 是单位向量,是a 与e 的夹角,则 ① = ；②a b 时，a b ③同向量，④反向量，⑤| =特别地：=++2a b=+-2a b (a+b) (a-b)=-⑥数量积的运算律: 交换律：；结合律：；分配律：⑦数量积的坐标运算：； ⑧两向量垂直叛定：； ⑨两向量夹角公式：；⑩向量的模及两点间的距离：；二、题型探究探究一：平面向量的数量积运算例1：已知|a |=5，|b |=4，a 与b 的夹角为12，求： ○1○2○3- ； ○4（2a-b ）（a+3b ）探究二、数量积的综合应用例2：已知向量a 和b 的夹角是120°，且2||=a ，5||=b ，则a b a⋅-)2(=例3：已知平面上三个向量a 、b 、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，（1）求证：)(b a-⊥c ；（2）若1||>++c b a k)(R k ∈，求k 的取值范围.例4：已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2）（1）若|c |52=，且a c //，求c 的坐标；（2）若|b |=,25且b a 2+与b a -2垂直，求a 与b 的夹角θ. 三、方法提升运用向是的数量积可以解决有关长度、角度等问题，也可以解决有关向量位置关系问题。

四、课时训练：1．已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（）()A 0,24 ()B 24,4 ()C 16，0 ()D 4，02．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ，)3,1(-B ，若点C 满足OB OA OC βα+=，其中R ∈βα,，且1=+βα，则点C 的轨迹方程为：（）()A 01123=--y x ()B 5)2()1(22=-+-y x ()C 02=-y x ()D 052=-+y x3．已知向量)75sin ,75(cos =a ，)15sin ,15(cos=b ，那么||b a -的值是（）()A 21 ()B 22 ()C 23 ()D 14．在ABC ∆中，0<⋅AC AB ，ABC ∆的面积是415，若3||=AB ，5||=AC ，则BAC ∠=( )()A 6π()B 32π ()C 43π ()D 65π5．已知O 为原点，点,A B 的坐标分别为)0,(a A ，),0(a B ，其中常数0>a ，点P 在线段AB 上，且有AB t AP =)10(≤≤t ，则OP OA ⋅的最大值为（）()A a ()B a 2 ()C a 3 ()D 2a6．设12,F F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且120PF PF ⋅=，则||||21PF PF ⋅的值等于（）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 87.设,,a b c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ①()()0a b c c a b ⋅-⋅=； ② ||||||a b a b -<-③()()b c a c a b ⋅-⋅不与c 垂直 ④22(32)(32)9||4||a b a b a b +⋅-=-中，是真命题的有 ( )（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）②④8．设,,,O A B C 为平面上四个点，a OA =，b OB =，c OC =，且0=++c b a ，c b b a ⋅=⋅=a c ⋅1-=，则||||||c b a++＝___________________。

高三一轮复习平面向量的数量积教案

教学内容平面向量的数量积与平面向量应用举例1．平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos θ，规定0·a＝0.2．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21夹角cos θ＝a·b|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤(x21＋y21)(x22＋y22)1．若a，b，c是实数，则ab＝ac⇒b＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c，若满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．2．数量积运算不适合结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等．[试一试]1．(2014·苏锡常镇一调)已知两个单位向量e1，e2的夹角为120°，若向量a＝e1＋2e2，b＝4e1，则a·b＝________.2．(2013·镇江期末)在菱形ABCD中，AB＝23，B＝2π3，BC＝3BE，DA＝3DF，则EF·AC＝________.1．明确两个结论：(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a 与b 的夹角为钝角，则有a ·b <0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)． 2．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧． [练一练]1．已知向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为________．2．(2013·南通三模)已知向量a 与b 的夹角为60°，且|a |＝1，|b |＝2，那么(a ＋b )2的值为________．考点一平面向量的数量积的运算1.(2014·南通、泰州、扬州一调)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ＝(1,2)，a －12b ＝(3,1)，则a ·b ＝________.2．已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6.则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为________．3.(2012·江苏高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB ·AF ＝2，则AE ·BF 的值是________．4．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ·AC ＝－1，则|BC |的最小值是________．[类题通法]向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos a ，b ．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解.考点二平面向量数量积的性质平面向量数量积的性质是高考的重点，归纳起来常见的命题角度有：(1)平面向量的模； (2)平面向量的夹角； (3)平面向量的垂直．角度一平面向量的模1．(2014·南京一模)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3.以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．角度二平面向量的夹角2．(1)(2013·盐城二模)已知向量a 的模为2，向量e 为单位向量，e ⊥(a －e )，则向量a 与e 的夹角大小为________．(2)(2014·苏北四市一调)设a，b，c是单位向量，且a＝b＋c，则向量a，b的夹角等于________．角度三平面向量的垂直3．(1)(2013·盐城二模)已知向量a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，且向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为________．(2)在直角三角形ABC中，已知AB＝(2,3)，AC＝(1，k)，则k的值为________．[类题通法]1．求两非零向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．2．利用数量积求解长度问题的处理方法(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a.(2)|a±b|＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.(3)若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.考点三平面向量与三角函数的综合[典例](2013·江苏高考)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.(1)若|a－b|＝2，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．[类题通法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等． [针对训练]已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．[课堂练通考点]1．(2011·江苏高考)已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2.若a·b ＝0，则实数k 的值为________．2．在△ABC 中，若AB ·AC ＝AB ·CB ＝2，则边AB 的长等于________．3．已知向量a ＝(－2,2)，b ＝(5，k )．若|a ＋b |不超过5，则实数k 的取值范围是________．4．(2013·淮安二模)在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，BD ⊥AC ，D 为垂足，则BD ·BC ―→的值为________．AO·BC＝________.AB＋AC|＝|BC|，则BA·BC|BC|＝________.3．在平面直角坐标系中，OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在x轴上取一点AP·BP有最小值，则4．在直角三角形使BD＝2DA，那么CD·CA＝________.的中点，点E在线段AB上运动，则EC―→·EM．已知向量a＝MN的模为(2013·山东高考AB与AC的夹角为AB|＝3，AC|＝2.若AP＝λABA的大小；AB＝p m，AC＝q n(pBM＝2MA，则CM·CB＝sin C的最大值为________．OC＋OD|的最小值；AB上运动时，求CE·DE的取值范围．。

高三数学一轮复习平面向量的数量积及应用教案

命题走向
本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。
平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。
预测2017年高考：
（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目。
法二： · ＝ ·( ＋ )
＝ ·( ＋＋ )
＝2 · ＋ ·
＝2| |·| |·cos ，
＝2×| |·| |·
＝2×| |2＝2×32＝18.
(1)C (2) 18
由题悟法
平面向量数量积问题的类型及求法
(1)已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|·cosθ求解；
(2)已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．
以题试法
2．(1)设向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，则a⊥(a－b)的一个充分不必要条件是( )
A．x＝0或2 B．x＝2
C．x＝1 D．x＝±2
(2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，向量d如图所示，则( )
A．存在λ>0，使得向量c与向量d垂直
B．存在λ>0，使得向量c与向量d夹角为60°
2．向量的应用
（1）向量在几何中的应用；
（2）向量在物理中的应用。
二．典例分析
(1)若向量a＝(1, 1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝( )
A．6B．5
C．4D．3
(2) (2012·湖南高考)如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则 · ＝________.

高三数学一轮复习精品教案3：5.3 平面向量的数量积教学设计

第3课时平面向量的数量积及应用1．理解平面向量数量积的含义及物理意义； 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系．『梳理自测』一、平面向量的数量积1．已知向量a 和向量b 的夹角为135°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a ·b ＝________．2．已知a ＝(2，3)，b ＝(－4，7)，则a 在b 方向上的投影为________．『答案』1.－32 2.655◆以上题目主要考查了以下内容：(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |c os_θ叫作a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |c os_θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. (2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |c os_θ的乘积．二、平面向量数量积的坐标表示、性质及运算律 1．已知下列各式： ①|a |2＝a 2； ②a·b |a |2＝b a ； ③(a ·b )2＝a 2b 2；④(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2，其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．设向量a ＝(1，0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a ∥bD ．a －b 与b 垂直 3．已知a ＝(1，－3)，b ＝(4，6)，c ＝(2，3)，则(b ·c )a 等于( )A ．(26，－78)B ．(－28，－42)C ．－52D ．－78 4．已知|a |＝2，|b |＝4且a ⊥(a －b )，则a 与b 的夹角是________．『答案』1.B 2.D 3.A 4.π3◆以上题目主要考查了以下内容： (1)向量数量积的坐标运算设OA →＝a ＝(x 1，y 1)，OB →＝b ＝(x 2，y 2)，它们的夹角为θ，则 ①a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；②|a |＝x 21＋y 21；③|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2； ④c os θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22；⑤a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (2)数量积的性质①设e 是单位向量，且e 与a 的夹角为θ，则e ·a ＝a ·e ＝|a |c os θ；②当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |.特别地，a ·a ＝a 2或|a |＝a 2； ③a ⊥b ⇔a ·b ＝0；④c os θ＝a·b|a ||b |(θ为a 与b 的夹角)；⑤a ·b ≤|a ||b |. (3)数量积的运算律 ①a ·b ＝b ·a ；②(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a (λb )； ③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ．『指点迷津』1．两个结论(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角，则有a ·b ＞0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a 与b 的夹角为钝角，则有a ·b ＜0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)． 2．三个因素a ·b 是一个确定的实数，与|a |，|b |，c os 〈a ，b 〉有关． 3．五个区别(1)若a 、b 为实数，且a ·b ＝0，则有a ＝0或b ＝0，但a ·b ＝0却不能得出a ＝0或b ＝0. (2)若a 、b 、c ∈R ，且a ≠0，则由ab ＝ac 可得b ＝c ，但由a ·b ＝a ·c 及a ≠0，却不能推出b ＝c .(3)若a 、b 、c ∈R ，则a (bc )＝(ab )c (结合律)成立，但对于向量a 、b 、c ，而(a ·b )·c 与a ·(b ·c )一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的．(4)若a 、b ∈R ，则|a ·b |＝|a |·|b |，但对于向量a 、b ，却有|a ·b |≤|a ||b |，等号当且仅当a ∥b 时成立．(5)向量的夹角与三角形内角区别比如正三角形ABC 中，〈AB →，BC →〉应为120°，而不是60°.考向一平面向量数量积的运算(1)(2014·荆州市高三质检)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝4，若点P 为△ABC 的外心，则AP →·BC →的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)(2014·石家庄市高三质检)在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为BC 的中点，若F 为该矩形内(含边界)任意一点，则AE →·AF →的最大值为________．『审题视点』 (1)因AB 、AC 已知，故把BC →写为BC →＝AC →－AB →，利用AP ＝BP ＝CP 和数量积定义化简．(2)建立坐标系，设F (x ，y )，用坐标计算AE →·AF →.『典例精讲』 (1)∵BC →＝AC →－AB →，∴AP →·BC →＝AP →·AC →－AP →·AB →.又c os ∠BAP ＝AB 2＋AP 2－BP 22·AB ·AP ＝AB 22·AB ·AP ，∴AB →·AP →＝AB 22，同理AC →·AP →＝AC 22，∴AP →·BC →＝AC 22－AB 22＝162－42＝6.(2)以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则E (2，12)，设F (x ，y )，则⎩⎨⎧0≤x ≤20≤y ≤1，AE →·AF →＝2x ＋12y ，令z ＝2x ＋12y ，当z ＝2x ＋12y 过点(2，1)时，AE →·AF →取最大值92.『答案』 (1)C (2)92『类题通法』 (1)已知向量a 、b 的模及夹角θ，利用公式a ·b ＝|a ||b |c os θ求解； (2)已知向量a 、b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解．1．(1)(2014·南昌市高三模拟)已知向量e 1＝(c os π4，sin π6)，e 2＝(2sin π4，4c os π3)，则e 1·e 2＝________．『解析』由向量数量积公式得e 1·e 2＝c os π4×2sin π4＋sin π6×4c os π3＝22×2＋12×2＝2.『答案』2(2)(2014·昆明市高三调研)已知向量a ，b 的夹角为120°，且|a |＝1，|b |＝2，则向量a －b 在向量a ＋b 方向上的投影是________．『解析』依题意得(a －b )·(a ＋b )＝a 2－b 2＝－3，(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝3，即|a ＋b |＝3，向量a －b 在向量a ＋b 方向上的投影是（a －b ）·（a ＋b ）|a ＋b |＝－33＝－ 3.『答案』－3考向二利用数量积求向量夹角和模(1)(2014·温州市高三质检)在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( )A.2 B ．2 C. 6 D ．6(2)(2014·安徽省“江南十校”联考)已知e 1，e 2是两个单位向量，其夹角为θ，若向量m ＝2e 1＋3e 2，则|m |＝1的充要条件是( )A ．θ＝πB ．θ＝π2C ．θ＝π3D ．θ＝2π3『审题视点』 (1)BC →＝AC →－AB →，先求|BC →|2的最小值． (2)利用m 2＝1，求e 1·e 2便得θ.『典例精讲』 (1)∵AB →·AC →＝－1，∴|AB →|·|AC →|c os 120°＝－1，即|AB →|·|AC →|＝2， ∴|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝AC →2－2AB →·AC →＋AB →2≥2|AB →|·|AC →|－2AB →·AC →＝6，∴|BC →|min ＝ 6.(2)由|m |＝1，得m 2＝1，即(2e 1＋3e 2)2＝1.展开得，4e 21＋9e 22＋12e 1·e 2＝1，即4＋9＋12c os θ＝1，所以c os θ＝－1.又θ∈『0，π』，∴θ＝π. 『答案』 (1)C (2)A『类题通法』 (1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a |＝a·a 要引起足够重视，是求模常用的公式．(2)利用向量数量积的定义，知c os θ＝a·b |a ||b |，其中两向量夹角的范围为0°≤θ≤180°，求解时应求出三个量：a ·b ，|a |，|b |或者找出这三个量之间的关系．2．(1)(2014·石家庄高三质检)已知向量a 、b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝( )A ．3 2B ．2 2 C. 2 D ．1『解析』选A.因为a 、b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，所以4a 2－4a ·b ＋b 2＝10，即|b |2－22|b |－6＝0，解得|b |＝32或|b |＝－2(舍)，故选A.(2)(2014·武汉市高三调研)已知向量a ，b ，满足|a |＝3，|b |＝23，且a ⊥(a ＋b )，则a 与b 的夹角为( )A.π2B.2π3C.3π4D.5π6『解析』选D.a ⊥(a ＋b )⇒a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝|a |2＋|a |·|b |c os 〈a ，b 〉＝0，故c os 〈a ，b 〉＝－963＝－32，故所求夹角为5π6.考向三数量积的综合应用(1)已知向量a ，b 是夹角为60°的两个单位向量，向量a ＋λb (λ∈R)与向量a －2b 垂直，则实数λ的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．0(2)(2014·郑州市质检)在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形『审题视点』 (1)利用(a ＋λb )·(a －2b )＝0待定λ. (2)利用向量运算规律化简条件得出CA →·CB →＝0.『典例精讲』 (1)由题意可知a ·b ＝|a ||b |c os 60°＝12，而(a ＋λb )⊥(a －2b )，故(a ＋λb )·(a －2b )＝0，即a 2＋λa ·b －2a ·b －2λb 2＝0，从而可得1＋λ2－1－2λ＝0，即λ＝0.(2)依题意得AB →2＝AB →·(AC →＋CB →)＋CA →·CB →＝AB →2＋CA →·CB →，所以CA →·CB →＝0，CA →⊥CB →，△ABC 是直角三角形，故选D. 『答案』 (1)D (2)D『类题通法』 (1)若a ，b 为非零向量，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0；若非零向量a ＝(x 1，y )，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径．(3)向量垂直问题体现了“形”与“数”的相互转化，可用来解决几何中的线线垂直问题．3．(1)(2014·荆州市高三质检)已知向量a 与b 的夹角是2π3，且|a |＝1，|b |＝4，若(2a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________．『解析』若a ⊥(2a ＋λb )，则a ·(2a ＋λb )＝0，即2|a |2＋λ·|a ||b |·c os 2π3＝0，∴2＋λ×1×4×(－12)＝0，∴λ＝1. 『答案』1(2)(2014·厦门质检)已知点O ，N ，P 在△ABC 所在的平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心『解析』选C .因为|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，所以点O 到三角形的三个顶点的距离相等，所以O 为三角形ABC 的外心；由NA →＋NB →＋NC →＝0，得NA →＋NB →＝－NC →＝CN →，由中线的性质可知点N 在三角形AB 边的中线上，同理可得点N 在其他边的中线上，所以点N 为三角形ABC 的重心；由PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，得PA →·PB →－PB →·PC →＝PB →·CA →＝0，则点P 在AC 边的垂线上，同理可得点P 在其他边的垂线上，所以点P 为三角形ABC 的垂心．数量积的正负与向量夹角关系不清(2014·江西省七校联考)已知a ＝(3，2)，b ＝(2，－1)，若向量λa ＋b 与a ＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．『正解』依题意，(λa ＋b )·(a ＋λb )＝λa 2＋λb 2＋(λ2＋1)a ·b ＞0，即4λ2＋18λ＋4＞0，由此解得λ＞－9＋654或λ＜－9－654.注意到当λa ＋b 与a ＋λb 同向共线时，λ＝1，(λa ＋b )·(a ＋λb )＞0.因此，所求的实数λ的取值范围是λ＞－9＋654或λ＜－9－654且λ≠1.『答案』 λ＞－9＋654或λ＜－9－654且λ≠1『易错点』此题易忽略λ＝1时，有λa ＋b 与a ＋λb 同向．『警示』向量数量积正负与向量夹角是钝角、锐角不等价，如：m·n ＞0时，其〈m ，n 〉可为锐角，也可为0，m·n ＜0，其〈m ，n 〉可为钝角，也可为π.此类题要考虑m 与n 共线情况．1．(2012·高考重庆卷)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A.5B.10 C ．2 5 D ．10『解析』选B.由a ⊥c 得，a ·c ＝2x －4＝0，解得x ＝2.由b ∥c 得12＝y－4，解得y ＝－2，所以a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，a ＋b ＝(3，－1)，|a ＋b |＝10，故选B.2．(2013·高考湖北卷)已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152 C ．－322 D ．－3152『解析』选A.首先求出AB →，CD →的坐标，然后根据投影的定义进行计算．由已知得AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，因此AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.3．(2013·高考全国新课标卷)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________．『解析』直接利用平面向量的数量积运算求解． |a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°.∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )b 2＝t ×1×1×12＋(1－t )×1＝t 2＋1－t ＝1－t2.∵b ·c ＝0，∴1－t2＝0，∴t ＝2.『答案』24．(2013·高考山东卷)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．『解析』把BC →转化为AC →－AB →，再通过AP →·BC →＝0求解． ∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝0.又AP →＝λAB →＋AC →，BC →＝AC →－AB →， ∴(λAB →＋AC →)(AC →－AB →)＝0，即(λ－1)AC →·AB →－λAB →2＋AC →2＝0，∴(λ－1)|AC →||AB →|c os 120°－9λ＋4＝0.∴(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－9λ＋4＝0.解得λ＝712. 『答案』712。

2019-2020学年高中数学一轮复习《13平面向量的数量积》教学案.doc

2019-2020学年高中数学一轮复习《13平面向量的数量积》教学案【考点及要求】：1.熟练掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的几个重要性质及数量积运算规律解决有关问题.【基础知识】：1.两个非零向量与，它们的夹角是θ，则有⋅＝___________ ，其中夹角θ的取值范围是________.规定a ⋅0＝___________；向量的数量积的结果是一个________.2.平面向量数量积的坐标表示：已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则b a ⋅＝_____________；记与的夹角为θ，则cos θ＝_______________.=_________.3.两向量垂直的坐标表示：设＝(x 1，y 1)，＝(x 2，y 2)，则⊥⇔___________.【基本训练】：1.已知向量和的夹角为 3032==，则_________=⋅2.已知a =(2,-1), b =(3,-2)，求)2()3(b a b a -⋅-_____________==_________.3.已知向量=(2,1), =(3,λ))0(>λ,若⊥-)2(，则_________=λ.4.若＝（3，1），＝)2,32(-，则,的夹角为_________.5.若＝（-2，1），＝(1,-λ)，与的夹角为钝角，则λ的取值范围为_________.【典型例题讲练】例1.已知：),0(),sin ,(cos ),5,0(),0,5(πααα∈C B A 若⊥，求α2sin .练习.已知向量=)3,(sin θ, =(θcos ,1)，)2,2(ππθ-∈. (1)若,⊥求θ；(2)+的最大值.例2.已知：)23,2(),sin ,(cos ),3,0(),0,3(ππααα∈C B A(1)=，求角α的值； (2)若1-=⋅，求αααtan 12sin sin 22++.练习.若,的夹角为 120,31==求-5【课堂小结】【课堂检测】1.已知向量a =)2,1(, b =(3,2-)，若向量c 满足)(,//)(b a c b a c +⊥+，则c =____2.已知向量=)1,(sin x , =(21,cos -x )，当⊥+的值.。

高二数学教案《平面向量的数量积》

【导语】直⾯⾼⼆的挑战，认清⾼⼆的⾃⼰，明确⾼⼆的⽬标，意义重⼤。

因为，⾼⼆的这个岔路⼝，分出的是渐⾏渐远的两条路，指向的是⼈⽣意义上的两个截然相反的阶段性终端。

⽆忧考⾼⼆频道为正在奋⽃的你整理了《⾼⼆数学教案《平⾯向量的数量积》》希望你喜欢！教案【⼀】教学准备教学⽬标 1.掌握平⾯向量的数量积及其⼏何意义; 2.掌握平⾯向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解⽤平⾯向量的数量积可以处理垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重难点教学重点：平⾯向量的数量积定义教学难点：平⾯向量数量积的定义及运算律的理解和平⾯向量数量积的应⽤教学过程 1.平⾯向量数量积(内积)的定义：已知两个⾮零向量a与b，它们的夹⾓是θ，则数量|a||b|cosq叫a与b的数量积，记作a×b，即有a×b=|a||b|cosq，(0≤θ≤π). 并规定0向量与任何向量的数量积为0. ×探究：1、向量数量积是⼀个向量还是⼀个数量?它的符号什么时候为正?什么时候为负? 2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别? (1)两个向量的数量积是⼀个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积，写成a×b;今后要学到两个向量的外积a×b，⽽a×b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能⽤“×”代替. (3)在实数中，若a?0，且a×b=0，则b=0;但是在数量积中，若a?0，且a×b=0，不能推出b=0.因为其中cosq有可能为0. 教案【⼆】教学准备教学⽬标 1.掌握平⾯向量的数量积及其⼏何意义; 2.掌握平⾯向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解⽤平⾯向量的数量积可以处理有关长度、⾓度和垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重难点教学重点：平⾯向量的数量积定义教学难点：平⾯向量数量积的定义及运算律的理解和平⾯向量数量积的应⽤教学⼯具投影仪教学过程⼀、复习引⼊： 1.向量共线定理向量与⾮零向量共线的充要条件是：有且只有⼀个⾮零实数λ，使=λ 五，课堂⼩结 (1)请学⽣回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想⽅法有那些? (2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明⽩的地⽅，请向⽼师提出。

高三数学一轮复习优质教案5：5.3 平面向量的数量积教学设计

5.3 平面向量的数量积『课前考点引领』考情分析考点新知①理解平面向量数量积的含义及其物理意义.②掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；能利用数量积表示两个向量夹角的余弦，会用数量积判断两个非零向量是否垂直．①平面向量的数量积及其几何意义，数量积的性质及运算律，数量积的坐标表示.②了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题.知识清单1. 向量数量积的定义(1) 向量a与b的夹角(2) 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，并规定零向量与任一向量的数量积为0.2. 向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ是a与b的夹角，则(1) e·a＝a·e.(2) a⊥b a·b＝．(3) 当a与b同向时，a·b＝；当a与b反向时，a·b＝；特殊的，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.(4) cosθ＝a·b|a||b|.(5) |a·b|≤|a|·|b|.3. 向量数量积的运算律(1) 交换律：a·b＝b·a.(2) 分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(3) 数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．4. 平面向量数量积的坐标表示(1) 若非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.故a ⊥b x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2) 设a ＝(x ，y )，则|a |＝．(3) 若向量a ＝(x 1，y 1)与向量b ＝(x 2，y 2)的夹角为θ，则有cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 『课中技巧点拨』题型精选题型1 向量平行与垂直的充分条件例1 已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R .(1) 若a ⊥b ，求x 的值；(2) 若a ∥b ，求|a －b|的值．变式训练已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，x ＝a ＋(t 2＋1)b ，y ＝－k a ＋1tb ，m ∈R ，k 、t 为正实数．(1) 若a ∥b ，求m 的值；(2) 若a ⊥b ，求m 的值；(3) 当m ＝1时，若x ⊥y ，求k 的最小值．题型2 向量的夹角与向量的模例2 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.(1) 求a 与b 的夹角θ；(2) 求|a ＋b|；(3) 若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．备选变式（教师专享）已知非零向量a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0 ，向量a 、b 的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a 与c 的夹角为________．题型3 平面向量与三角函数的交汇例3 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(2a ＋c )·BC →·BA →＋c CA →·CB→＝0.(1) 求角B 的大小；(2) 若b ＝23，试求AB →·CB →的最小值．备选变式（教师专享）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79. (1) 求a ，c 的值；(2) 求sin(A －B )的值．例4 已知向量a ＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b ＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ、θ∈R .(1) 求|a|2＋|b|2的值；(2) 若a ⊥b ，求θ；(3) 若θ＝π20，求证：a ∥b.备选变式（教师专享）已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cosx ，－12，b ＝(3sin x ，cos2x )，x ∈R , 设函数f (x )＝a·b .(1) 求f (x )的最小正周期.(2) 求f (x ) 在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．答题模板探讨两个向量的夹角为钝角或锐角时，首先要理解和把握其充要条件．『示例』 (本题模拟高考评分标准，满分14分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．学生错解：解： ∵ e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·cos60°＝2×1×12＝1， ∴ (2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋7t e 22＋(2t 2＋7)e 1·e 2＝8t ＋7t ＋2t 2＋7＝2t 2＋15t ＋7.因为向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋te 2的夹角为钝角，所以(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)<0，即2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12. 审题引导：当(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)<0时，其夹角一定为钝角吗？规范解答：解： ∵ e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·cos60°＝2×1×12＝1，(2分) ∴ (2t e 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)＝2t e 21＋7t e 22＋(2t 2＋7)e 1·e 2＝8t ＋7t ＋2t 2＋7＝2t 2＋15t ＋7.(4分)因为向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，所以(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，即2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12.(9分) 当向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2反向时，设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，λt ＝72t 2＝7t ＝－142或t ＝142(舍)．(12分)故t 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎫－142，－12.(14分) 错因分析：向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，可得(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，但由(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，并不能推出向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角．如t ＝－142时，(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为π，所以(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0仅是向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角的必要条件，而不是充分条件．探讨两个向量的夹角为钝角或锐角时，首先要理解和把握其充要条件．『疑难指津』 1. 在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|＝a·a 要引起足够重视，是求距离常用的公式．2. 已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值．在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算．3. 应用向量运算将问题转化为与代数函数有关的问题，其中转化是关键．4. 向量与三角的交汇是高考最常见的题型之一，其中用向量运算进行转化，化归三角函数问题或三角恒等变形等问题是常规的解题思路和基本方法．答案知识清单1.(2) |a ||b |cos θ2. (2) 0 (3) |a||b| －|a||b| 4. (2)x 2＋y 2．例1解：(1) 若a ⊥b ，则a·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2) 若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1，0)，b ＝(3，0)，a －b ＝(－2，0)，∴ |a －b|＝（－2）2＋02＝2；当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1，2)，a －b ＝(2，－4)，∴ |a －b|＝22＋（－4）2＝2 5.综上，可知|a －b|＝2或2 5.变式训练解：(1) 因为a ∥b ，所以1·m －2·(－2)＝0，解得m ＝－4.(2) 因为a ⊥b ，所以a·b ＝0，所以1·(－2)＋2m ＝0，解得m ＝1.(3) 当m ＝1时，a ·b ＝0.因为x ⊥y ，所以x·y ＝0.则x·y ＝－k a 2＋⎣⎡⎦⎤1t －k （t 2＋1）a ·b ＋(t ＋1t)b 2＝0. 因为t ＞0，所以k ＝t ＋1t≥2，当t ＝1时取等号，即k 的最小值为2.例2解：(1) ∵ (2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴ 4|a |2－4a·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，∴ 64－4a·b －27＝61，∴ a·b ＝－6.∴ cos θ＝a·b |a||b |＝－64×3＝－12. 又0≤θ≤π，∴ θ＝2π3. (2) 可先平方转化为向量的数量积．|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴ |a ＋b |＝13.(3) ∵ AB →与BC →的夹角θ＝2π3， ∴ ∠ABC ＝π－2π3＝π3. 又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴ S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3. 备选变式（教师专享）『答案』90°『解析』由题意，得c ＝－a －b ，a ·c ＝－a 2－a·b ＝－|a|2－|a||b|cos120°＝－|a|2＋12|a||b|＝－|a|2＋12|a|·2|a|＝－|a|2＋|a|2＝0，所以a ⊥c ，即a 与c 的夹角为90°. 例3解：(1) 因为(2a ＋c )BC →·BA →＋c CA →·CB →＝0，所以(2a ＋c )ac cos B ＋abc cos C ＝0，即(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，所以(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0，即2sin A cos B ＋sin(B ＋C )＝0.因为sin(B ＋C )＝sin A ≠0，所以cos B ＝－12，所以B ＝2π3. (2) 因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3，所以12＝a 2＋c 2＋ac ≥3ac ，即ac ≤4，所以AB →·CB →＝ac cos 2π3＝－12ac ≥－2，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立，所以AB →·CB →的最小值为－2.备选变式（教师专享）解：(1) 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3. (2) 在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429，由正弦定理得sin A ＝asinB b ＝223，因为a ＝c ，所以A 为锐角，所以cos A ＝1－sin 2A ＝13，因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227. 例4(1) 解：∵ |a |＝cos 2λθ＋cos 2（10－λ）θ，|b |＝sin 2（10－λ）θ＋sin 2λθ，∴ |a |2＋|b |2＝2.(2) 解：∵ a ⊥b ，∴ cos λθ·sin(10－λ)θ＋cos(10－λ)θ·sin λθ＝0，∴ sin 『(10－λ)θ＋λθ』＝0，∴ sin10θ＝0，∴ 10θ＝kπ，k ∈Z ，∴ θ＝kπ10，k ∈Z . (3) 证明：∵ θ＝π20， cos λθ·sin λθ－cos(10－λ)θ·sin 『(10－λ)θ』＝cos λπ20·sin λπ20－cos ⎝⎛⎭⎫π2－λπ20·sin ⎝⎛⎭⎫π2－λπ20 ＝cos λπ20·sin λπ20－sin λπ20·cos λπ20＝0，∴ a ∥b . 备选变式（教师专享）解：(1) f (x )＝a·b ＝cos x ·3sin x －12cos2x ＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.最小正周期T ＝2π2＝π. 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，最小正周期为π. (2) 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，由标准函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的图象知， f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫－π6，f ⎝⎛⎭⎫π2＝⎣⎡⎦⎤－12，1. 所以，f (x ) 在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12.。

高三数学第一轮复习第35课时—平面向量的数量积教案

解：，，
∴
∴
设
∴ 时，与的夹角为，
∴ 的取值范围是。
例4．如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问
的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.
解法一：
故当，即（与方向相同）时，最大，其最大值为0。
解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.
∴
∴
（2）∵ ，即
也就是
∵ ，∴
所以或．
例2．已知：、、是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2）
（1）若| | ，且，求的坐标；
（2）若| |= 且与垂直，求与的夹角 .
解：（1）设，由和可得：
∴ 或
∴ ，或
（2）即
∴ ，所以
∴ ∵
∴ .
例3．设两个向量、，满足，，、的夹角为60°，若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围.
1
4．在中，，的面积是，若，，则 ( )
5．已知为原点，点的坐标分别为，，其中常数，点在线段上，且有，则的最大值为（）
6．设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，则的值等于（）
2 4 8
7.设是任意的非零平面向量，且相互不共线，则
① ；②
③ 不与垂直④
中，是真命题的有( )
6．设向量满足，则。
7．已知向量的方向相同，且，则 _______。
8．已知向量和的夹角是120°，且，，则 =。
（四）例题分析：
例1．已知平面上三个向量、、的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，

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31 平面向量的数量积
一、基础训练
1．（1）已知||2,||1a b ==，a 与b 的夹角为120︒
，则a b ⋅= ．
（2）已知(1,2)a =，(1,1)b =-，则a b ⋅= ．
2．已知a ，b 是两个非零向量：
（1）若222()a b a b +=+，则a 与b 的夹角大小为；（2）若||||||a b a b ==-，则a 与b 的夹角的大小为；
（3）若||||||a b a b ==+，则a 与b 的夹角的大小为．
3．设(1,2)a =-，(3,4)b =-，(3,2)c =，则(2)a b c +⋅= ．
4．已知向量a ，b 满足||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为60︒，则||a b -= ．
5．已知向量(1,2)a =，(2,4)b =--，||5c =，若5()2
a b c +⋅=
，则a 与c 的夹角大小为．
6．如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥，3BC BD =，||1AD =，则AC AD ⋅= ． B
C
7．已知(4,3)a =，(1,2)b =-，m a b λ=-，2n a b =+，则当λ= 时，m n ⊥；当λ= 时，m //n ．
8．（2011辽宁卷）若,,a b c 均为单位向量，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则||a b c +-的最大值为．
二、例题精讲
例1．已知向量(sin ,1)a θ=，(1,cos )b θ=，22π
π
θ-<<．
（1）若a b ⊥，求θ的值；（2）求||a b +的最大值．
例2．已知a ，b 都是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求a 与b 的夹角的大小．
例3．已知向量1OP ，2OP
，3OP 满足1230OP OP OP ++=，123||||||1OP OP OP ===，求证：123PP P ∆是正三角形．
例4．如图，正方形ABCD 的边长为2，内切圆为圆O ，点P 是圆O 上的任意一点．
（1）求||PA PB PC PD +++的值；
（2）求证：()()PA PB PC PD +⊥+．
三、巩固练习 1．若向量a ，b 满足||2a =，||1b =， ()1a a b ⋅+=，则向量,a b 的夹角大小为． 2．已知向量(3,1)a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ⋅=，则b = ．
3．在ABC ∆中，点,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且2a c ==，2AB BC ⋅=-，b = ．
4．平面上,,O A B 三点不共线，设OA a =，OB b =，则ABC ∆的面积等于．
四、要点回顾
1．理解平面数量积的含义，掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；能利用数量积表示两个向量夹角的余弦，会用数量积判断两个非零向量是否垂直．
2．向量的数量积的结果是一个数量，而不是向量；物理学中的“功”可看作是向量的数量积的原型．
3．应当注意：（1）向量的数量积a b ⋅中的符号“⋅”既不可省略，也不能写成“⨯”；（2）研究向量的夹角应注意“共起点”；（3）由于两个共线向量有方向相同或方向相反两种情况，故它们的夹角为0︒或180︒
；（4）向量数量积满足“交换律”、“分配率”，但不满足“结合律”．
平面向量的数量级作业
1．在Rt ABC ∆中，90C ︒∠=，4AC =，则AB AC ⋅= ． 2．若向量a 与b 不共线，0a b ⋅≠，且a a c a b a b ⎛⎫⋅=- ⎪ ⎪⋅⎝⎭
，则向量a 与c 的夹角的大小为．
3．已知向量(3,1)a =，(1,3)b =，(,2)c k =，若()a c b -⊥，则k = ．
4．在边长为1的等边ABC ∆中，设BC a =，CA b =，AB c =，则ab bc ca ⋅+⋅+⋅= ．
5．在平行四边形ABCD 中，已知2AB =，1AD =，60BAD ︒∠=，E 为CD 的中点，则
AE BD ⋅= ． 6．在ABC ∆中，2C π
=，1AC =，2BC =，则()2(1)f C A C B λλλ=+-的最小值是．
7．设向量(sin ,cos )a x x =，(cos ,cos )b x x =，x R ∈，函数()()f x a a b =⋅+．求函数()f x 的最大值与最小正周期．
8．已知(1,0)A ，(0,1)B ，(2sin ,cos )C θθ，O 为坐标原点．
（1）若AC BC =，求tan θ的值；（2）若(2)1OA OB OC +⋅=，求sin 2θ的值．
9．平面内有四点,,,O A B C ，记O A a =，OB b =，OC c =，若0a b c ++=，且
1a b b c c a ⋅=⋅=⋅=-，试判断ABC ∆的形状，并求其面积．
10．如图，点A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，AOP θ∠=（0θπ<<），O Q O A O P =+，四边形OAQP 的面积为S ．
（1）OA OQ S ⋅+的最大值及此时θ的值0θ；
（2）设点34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，AOB α∠=，在（1）的条件下求()0tan αθ+．。