直线与双曲线地相交弦问答

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直线与双曲线的相交弦问题
直线与双曲线相交的弦长公式
①2
2
1212()()AB x x y y =-+-（两点之间的距离） ②]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+= ③221121222
111(1)[()4]AB y y y y y y k
k
=+-=+⋅+-一、已知双曲线方程和直线方程求弦长
例1、 过双曲线1322
=-y x 的左焦点1F ，作倾斜角为6
π
的弦AB ，求AB ；⑵AB F 2∆的面积（2F 为双曲线的右焦点）。

1、求直线1y x =+被双曲线2
2
14
y x -=截得的弦长；
2、过双曲线1449162
2=-y x 的右焦点作倾斜角为
3
π
的弦AB ，求弦长AB ；
3、已知斜率为2的直线L 被双曲线22
154
x y -=截得的弦长为52，求直线L 的方程；
4、过双曲线12
2=-y x 的左焦点2F ，作倾斜角为
3
π
的直线与双曲线相交于B A ,两点，求： （1）弦长AB
（2）△AB F 1∆的周长（2F 为双曲线的右焦点）
二、已知弦长求双曲线方程
5、 已知焦点在x 轴上的双曲线上一点P ，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线2-=x y 被双曲线截得的弦长为220，求此双曲线的标准方程．
6、已知倾斜角为4
π的直线l 被双曲线6042
2=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程．
例2、 已知双曲线方程为332
2
=-y x ，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程．
解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k 值对判别式△>0进行验证即可． 例3、 双曲线方程为332
2
=-y x .
问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由．
7、已知中心在原点，顶点12,A A 在x 轴上，离心率为
21
3
的双曲线经过点(6,6)P
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点,M N ，问是否存在直线l 使G 平分线段MN 。

试证明你的结论。

题型三：
9、设双曲线()01:2
22>=-a y a
x C 与直线1:=+y x l 相交于不同的点A 、B.
⑴求双曲线C 的离心率e 的取值范围；
⑵设直线l 与y 轴的交点为P ，且PB PA 12
5
=
，求a 的值。

解：(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2
a
2－y 2＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0 ① 由题设条件知，
⎩⎪⎨⎪⎧
1－a 2≠04a 4＋8a 21－a 2>0
，解得0<a<2且a ≠1， 又双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝
1
a 2
＋1，
∵0<a<2且a ≠1，∴e>62
且e ≠ 2.
(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(0,1)． ∵PA →＝512PB →， ∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．∴x 1＝5
12x 2，
∵x 1、x 2是方程①的两根，且1－a 2≠0， ∴1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 2
1－a 2， 消去x 2得，－2a 2
1－a 2＝28960， ∵a>0，∴a ＝1713.
10. 已知双曲线的焦点为()0,1c F -，()0,2c F ，过2F 且斜率为5
3
的直线交双曲线于P 、Q 两点，若OQ OP ⊥ (其中O 为原点），4=PQ ，求双曲线方程。

11. 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分
别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB u u u r u u u r u u u r 、
、成等差数列，且BF u u u r 与FA uu u r
同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
解：（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+ 由勾股定理可得：2
2
2
()()m d m m d -+=+
得：14d m =
，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23
AB AOB AOF OA ∠=∠== 由倍角公式∴2
2
431b a b a =⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，解得12b a =,则离心率52e =． （Ⅱ）过F 直线方程为()a
y x c b
=--,与双曲线方程22221x y a b -=联立，将2a b =，5c b =代入，
化简有2215852104x x b b -+= 2
22121212411()4a a x x x x x x b b ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎡⎤=+-=++-⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
将数值代入，有2
232528454155b b ⎡⎤
⎛⎫⎢⎥=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭
⎣⎦
, 解得3b = 故所求的双曲线方程为221369x y -=。

12、已知双曲线x 2a 2－
y 2
b 2
＝1(b >a >0)，O 为坐标原点，离心率e ＝2，点M (5，3)在双曲线上． (1) 求双曲线的方程；(2) 若直线l 与双曲线交于P ，Q 两点，且0=⋅OQ OP .求
1
|OP |2＋1
|OQ |2的值． 解： (1)∵e ＝2，∴c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝3a 2，双曲线方程为x 2
a 2
－
y 2
3a 2
＝1，即3x 2－y 2＝3a 2.
∵点M (
5，
3)在双曲线上，∴15－3＝3a 2.∴a 2＝4.
∴所求双曲线的方程为x 24－y 2
12
＝1.
(2)设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0)，联立x 24－y 2
12
＝1，得
2
2
222123123x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩
∴|OP |2＝x 2＋y 2＝12k 2＋13－k 2. 则OQ 的方程为y ＝－1k
x ， 同理有|OQ |2＝22
112113k k
⎛
⎫+ ⎪⎝⎭-＝12k 2＋1
3k 2－1， ∴1|OP |2＋1|OQ |2＝3－k 2＋3k 2－112k 2＋1＝
2＋2k 212k 2＋1＝16
. 13．(2012上海)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.
(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积； (2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ ；
(3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．
解：(1)双曲线C 1：
22112
x y -=，左顶点A 22⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，渐近线方程为：y ＝±2x . 过点A 与渐近线y ＝
2x 平行的直线方程为222y x =
+⎭，即y ＝2x ＋1. 解方程组221
y x y x ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，得2
412
y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∴所求三角形的面积为S ＝12|OA ||y |＝28
.
(2)证明：设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b ，∵直线PQ 与已知圆相切，∴
|b |2
＝1，即b 2＝2.
由2221y x b x y =+⎧⎨-=⎩得x 2－2bx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则122
1221x x b x x b
+=⎧⎨=--⎩ 又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )，
∴OP OQ ⋅u u u r u u u r
＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. 故OP ⊥
OQ .
(3)证明：当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |＝2
2，则O 到直线MN 的距离为3
3.
当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx (显然2
k >
)， 则直线OM 的方程为y ＝－1k x . 由2241y kx x y =⎧⎨+=⎩得2
2
222144x k k
y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
∴|ON |2＝1＋k 24＋k 2.同理|OM |2＝1＋k 2
2k 2－1
. 设O 到直线MN 的距离为d . ∵(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2， ∴1
d 2＝1
|OM |2＋1
|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝3
3
.
综上，O 到直线MN 的距离是定值．
五、能力提升
1．若不论k 为何值，直线y=k(x-2)+b 与双曲线12
2
=-y x 总有公共点，则b 的取值范围是（ ）
(A) ()
3,3- (B)]3,3[- (C) ()2,2- (D) []2,2-
2．过双曲线12
2
2
=-y x 的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线l 有（ ） (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
3．过点⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--a b P ,1的直线l 与双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 有且仅有一个公共点，且这个公共点恰
是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于（ ）
(A)2 (B)4 (C) 1或2 (D) 2或4
4. 已知双曲线()0,0122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为ο45的直线与双曲线的右支
有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
(A) (1，2] (B)（1，2) (C) [2，+∞) (D) (2，+∞)
6．直线2:+=kx y l 与双曲线6:2
2
=-y x C 的右支交于不同两点，则k 的取值范围是 ．
7. 已知倾斜角为
4
π的直线l 被双曲线6042
2=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程．
8. 设直线13:-=x y l 与双曲线于()0,0122
22>>=-b a b
y a x 相交于A 、B 两点，且弦AB 中点的横坐标
为
2
1． (1)求22
b
a 的值；(2)求双曲线离心率．
9. 已知双曲线()0,0122
22>>=-b a b
y a x 的离心率21+>e ，左、右焦点分别为1F 、2F ，左准线为l ，
能否在双曲线的左支上找到一点P ，使得1PF 是P 到l 的距离d 与2PF 的等比中项？。