型极限的求法
各种求极限方法
=
lim e 1 x2
çæ è
1 x
sin
x
-1÷ö ø
=
sin x - x 2
2
x
ö
÷
x -1ø
=
é
lim
x® +¥
êêêëççèæ1
+
x -1
1
x -1 2
÷÷øö
2
çæ1 + è
2
1ù
x
2 -
1
÷ö ø
2
ú ú úû
=
e2
例
6：(1) lim çæ1 x ® +¥ è
1 x2
x
ö ÷
；(2)已知
lim
æ ç
ø
x ® +¥ è
x + 2a ö x ÷
x-a ø
= 8 ，求 a 。
,
x®0
x2
(a >0).
【解】 a x = e xln a = 1 + x ln a + x 2 ln 2 a + o( x 2 ) , 2
a -x = 1 - x ln a + x 2 ln 2 a + o( x 2 ) ; 2
a x + a -x - 2 = x 2 ln 2 a + o( x 2 ).
x ®1
x -1
x®1
2．分子分母同除求极限
例
2：求极限
lim
x®¥
x3 - x2 3x3 +1
【说明】 ¥ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 ¥
【解】 lim
x3
- x2
高数中求极限的16种方法
高数中求极限的16种方法——好东西首先对极限的总结如下:极限的保号性很重要，就是说在一定区间内，函数的正负与极限一致一、极限分为一般极限，还有数列极限，（区别在于数列极限发散，是一般极限的一种）二、求极限的方法如下：1 .等价无穷小的转化，（一般只能在乘除时候使用，在加减时候用必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。
全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）2.罗比达法则（大题目有时候会有暗示,要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提，必须是 X趋近而不是N趋近！所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！必须是函数的导数要存在！必须是 0比0 无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0注意：罗比达法则分为3种情况0比0，无穷比无穷的时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成1中的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方;对于（指数幂数）方程,方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了,（这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）3.泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特别注意！！！！）E的x展开，sina 展开，cos 展开，ln1+x展开，对题目简化有很好帮助4.面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则，最大项除分子分母！！！！！！！！！！！5.无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6.夹逼定理（主要对付数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
极限的六种求法
极限的六种求法1、代入法作者：教资备考群（865061525）之管理员，—━☆知浅づ如果自变量所趋近的值，能使函数有意义，就可以直接代入函数表达式中。
注：能使函数有意义，就是这个自变量在函数的定义域内。
【例】limx→2 x2x3 + 1− 2x + 3=( )。
2解：x2 − 2x + 3 = （x − 1）+ 2 ≥ 2 ≠ 0可见该函数的定义域是x3 + 1 R，所以可以直接将8 + 1x = 2 代入x3 + 1 。
x2 − 2x + 3limx→2 x2− 2x + 3 = limx→24 − 4 + 3= 3。
2、约公因子法如果自变量所趋近的值，使得函数没有意义。
可以考虑约公因子，将其约去。
因此经常运用因式分解。
【例】limx→3x2−x− 6x−3=( ) 。
解：这里发现，该函数的定义域为{x|x ≠ 3}。
如果x → 3，会使得函数没有意义。
因此考虑约公因子。
lim x→3x2−x−6x− 3= limx→3(x− 3)（x + 2）x− 3= lim(x + 2) = 5。
x→30 ⎩ x x x3、最高次幂法当函数是分式形式，且分子、分母都是多项式时，可以使用最高次幂法求极限。
它的原理，就是分子分母同时除以自变量的最高次幂。
这样自变量趋近于无穷大时， 那些比最高次幂低的项，直接就变为 0 了。
最高次幂法也俗称抓大头。
a⎧ ，n = m ， a x m + a x m−1 + ⋯ + a⎪b 0lim 0 1 m = x→∞ b 0x n + b 1x n−1 + ⋯ + b n ⎨0，n > m ， ⎪∞，n < m 。
【 例 】10x 4 + 6x 3 − x 2 + 3( ) 。
1 limx→∞2x 4 − x 2 − 9x=首先，观察到函数是个分式的形式。
其次，分子跟分母的最高次幂都是 4；最后，求极限直接用最高次幂法，原式 = 10= 5。
2那么，不妨拿这个例子，验证一下最高次幂法的原理。
极限的求法总结
8.分子（母）有理化求极限
【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
例 求极限 lim ( x2 + 3 − x2 +1) x→+
lim (
x→+
x2 + 3 −
x2 +1) = lim ( x2 + 3 − x2 +1)( x2 + 3 +
x→+
x2 + 3 + x2 +1
= lim
− −
1) 1)
= lim x + 1 = 1 . x→1 x + 3 2
(消去零因子法)
4.无穷小因子分出法求极限
例
求
lim
x→
2x3 7x3
+ +
3x2 4x2
+ −
5 1
.
解
x
→
时,
分子,分母的极限都是无穷大.(
型
)
先用x3去除分子分母,分出无穷小,再求极限.
35
lim
x→
2x3 7x3
+ +
练习4
lim
x→
(2x
+1)4 (x −1)78 (x +1)82
=
lim
x→
x4
(2
+
1 x
)4
x 78
(1 −
x82
(1 +
)1 82
x
1 x
)78
= 24
= 16
5.先变形再求极限
(利用求和化简，拆项技巧，合并化简等)
例
求
1
lim(
函数极限的十种求法
函数极限的十种求法设 f （x ）=xsin 1/x + a,x<0，b+1,x=0，x^2-1,x<0，试求： 当a ，b 为何值时，f （x ）在x=0处的极限存在？ 当a ，b 为何值时，f （x ）在x=0处连续？ 注：f （x ）=xsin 1/x +a, x< 0 b+1, x=0 X^2-1, x>0 解：f(0)＝b+1左极限：lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0-) (xsin(1/x)＋a)＝0+a ＝a 左极限：lim(x→0+) f(x)＝lim(x→0+) (x^2-1)＝0-1＝-1f(x)在x ＝0处连续，则lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0+) f(x)＝f(0)， 所以a ＝-1＝b+1， 所以a ＝-1，b ＝-27.利用等价无穷小量代换求极限例 8 求极限30tan sin lim sin x x xx→-． 解 由于()s i n t a ns i n 1c os c o s xx x x x-=-，而 ()sin ~0x x x →，()21cos ~02x x x -→，()33sin ~0x x x →故有23300tan sin 112lim lim sin cos 2x x x x x x x x x →→⋅-=⋅=． 注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代，如在例题中，若因有()t a n ~0x x x →，()s i n ~0x x x →，而推出 3300tan sin limlim 0sin sin x x x x x xx x→→--==， 则得到的式错误的结果．附 常见等价无穷小量()sin ~0x x x →，()tan ~0x x x →，()21cos ~02x x x -→，()arcsin ~0x x x →，()arctan ~0x x x →，()1~0x e x x -→， ()()ln 1~0x x x +→，()()11~0x x x αα+-⋅→． 8 利用洛比达法则求极限洛比达法则一般被用来求00型不定式极限及∞∞型不定式极限．用此种方法求极限要求在点0x 的空心领域()00U x 内两者都可导，且作分母的函数的导数不为零．例1 求极限21cos limtan x xxπ→+．解 由于()2l i m 1c o s l i m t a n 0x x x x ππ→→+==，且有()1cos 'sin x x +=-，()22tan '2tan sec 0x x x =≠，由洛比达法则可得21cos lim tan x xxπ→+2s i nl i m 2t a n s e cx x x x π→-=3cos lim 2x x π→⎛⎫=- ⎪⎝⎭12=． 8.利用定义求极限1．()()()000'limx x f x f x f x x x →-=-，2．()()()0000'limh f x h f x f x h→+-=．其中h 是无穷小，可以是()0x x x x ∆∆=-，x ∆的函数或其他表达式．例1 求极限2222x x p p x q q→+-+-()0,0p q >>．分析 此题是0x →时00型未定式，在没有学习导数概念之前，常用的方法是消去分母中的零因子，针对本题的特征，对分母分子同时进行有理化便可求解．但在学习了导数的定义式之后，我们也可直接运用导数的定义式来求解．解 令()f x =()g x =则x → ()()()()000lim00x f x f x g x g x →--=--()()'0'0f g =p q=．9. 利用归结原则求极限归结原则设f 在()00;'U x δ内有定义，()0lim x x f x →存在的充要条件是：对任何含于()00;'U x δ且以0x 为极限的数列{}n x ，极限()lim n n f x →∞都存在且相等．例1求极限211lim 1nn n n →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭．分析 利用复合函数求极限，令()21211x x x u x x ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()1x v x x+=求解． 解 令()21211x x x u x x ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()1x v x x+=则有 ()lim n u x e →+∞=；()lim 1n v x →+∞=，由幂指函数求极限公式得()()211lim 1lim xv x x x u x e x x →+∞→+∞⎛⎫++== ⎪⎝⎭， 故由归结原则得221111lim 1lim 1n xn x e n n x x →∞→+∞⎛⎫⎛⎫++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 注 1 归结原则的意义在于把函数归结为数列极限问题来处理，对于0x x +→，0x x -→，x →+∞和x →-∞这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式．注 2 若可找到一个以0x 为极限的数列{}n x ，使()lim n n f x →∞不存在，或找到两个都以0x 为极限的数列{}'n x 与{}''n x ，使()'lim n n f x →∞与()"lim n n f x →∞都存在而不相等，则()0lim x x f x →不存在10.利用泰勒公式求极限在此种求极限的方法中，用得较多的是泰勒公式在00x =时的特殊形式，即麦 克劳林公式．也可称为带有佩亚诺余项的麦克劳林公式()()()()()()()2"000'02!!n nn f f f x f f x x x x n ο=+++⋯⋯++．例1 求极限2240cos limx x x e x -→-．解 由于极限式的分母为4x ，我们用麦克劳林公式表示极限的分子，取4n =：()245cos 1224x x x x ο=-++，()22452128x x x ex ο-=-++，()2452cos 12x x x ex ο--=-+．因而求得()24524400cos 112limlim 12x x x x x x ex x ο-→→-+-==-．利用此种方法求极限时，必须先求函数的麦克劳林公式，选取恰当的n ． 2.10用导数的定义求极限常用的导数定义式,设函数()y f x =在点0x 处可导，则下列式子成立： 1．()()()00'limx x f x f x f x x x →-=-，2．()()()0000'limh f x h f x f x h→+-=．其中h 是无穷小，可以是()0x x x x ∆∆=-，x ∆的函数或其他表达式．例１证明()()211lim 212x x x x →-=--．分析 当1x ≠时，10x -≠，故()()211122x x x x x-+=---，于是有 ()()23111332212222x x x x x x x x x --+--=-==-----， 取112δ=，当101x δ<-<时1322x <<，故有122x ->，从而有()()21212x x x ----61x <-，取26εδ=即可．证明 对于0ε∀>，取1m i n ,26εδ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，于是当01x δ<-<时，有 ()()2126112x x x x ε--<-<--，由定义知()()211lim 212x x x x →-=--成立．注 函数()f x 在点0x 处是否有极限，与函数()f x 在点0x 处是否有定义无关．。
求极限的几种方法
一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明:1223lim 22=-+-→x x x x 证: 由244122322-+-=--+-x x x x x x()2222-=--=x x x0>∀ε取εδ= 则当δ<-<20x 时,就有ε<--+-12232x x x由函数极限δε-定义有:1223lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质若A x f x x =→)(lim 0B x g x x =→)(lim 0(I)[]=±→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0(II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ⋅=⋅=⋅→→→)(lim )(lim )()(lim 0(III)若 B ≠0 则：BAx g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 000（IV ）cA x f c x f c x x x x =⋅=⋅→→)(lim )(lim 0（c 为常数）上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,,例：求 453lim 22+++→x x x x解: 453lim 22+++→x x x x =254252322=++⋅+3、约去零因式（此法适用于型时0,0x x →例: 求121672016lim 23232+++----→x x x x x x x解:原式=()())12102(65)2062(103lim2232232+++++--+---→x x x x xx x x x x x=)65)(2()103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x=)65()103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x=2lim-→x 735-=+-x x4、通分法（适用于∞-∞型） 例: 求 )2144(lim 22xx x ---→解: 原式=)2()2()2(4lim2x x x x -⋅++-→=)2)(2()2(lim2x x x x -+-→=4121lim2=+→x x5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质） 设函数f(x)、g(x) 满足：（I ）0)(lim 0=→x f x x(II)M x g ≤)( (M 为正整数)则：0)()(lim 0=→x f x g x x例: 求 xx x 1sinlim⋅→ 解: 由 0lim=→x x 而 11sin≤x故 原式 =01sinlim=⋅→xx x6、利用无穷小量与无穷大量的关系。
极限的求法及常见方法
极限的求法及常见方法极限是微积分中的一个非常重要的概念，其广泛应用于各个领域中的数学问题，尤其在工程、物理等实际应用中，称为数学分析的基础。
求解极限的方法非常多样化，主要包括分析法、夹逼法、洛必达法、泰勒展开法等多种常见方法。
1.分析法分析法是极限求解的最常用方法之一。
常用于求有理函数和无理函数的极限。
具体方法为，将被求极限的式子分子分母进行化简，提取出其中与自变量有关的项，将无穷小量相互抵消，直到式子可以直接代入极限值求解。
例如，对于求极限lim x→0 (sin x)/x，我们可以通过分析法将其中的分母x与sin x配合得到：lim x→0 (sin x/x)×(1/1) = 1×1 = 1。
2.夹逼法夹逼法是求解极限非常常用的方法之一，适用于取值范围狭窄的函数里面，例如正弦函数和余弦函数等。
具体方法为，找到与待求极限函数类似的两个函数，一个比待求极限函数大，一个比它小，然后用这两个函数的极限值夹逼待求极限函数。
例如，对于求极限lim x→0 x sin (1/x)，我们设f(x)=x，g(x)=-x，则g(x)≤x sin (1/x) ≤ f(x)，取极限得到：lim x→0 g(x)=-0，lim x→0 f(x)=0，由夹逼定理可得lim x→0 x sin (1/x)=0。
3.洛必达法洛必达法是一种比较简单的求解极限的方法，主要适用于涉及两个函数除法的情况。
其基本思想是在求解极限时，将分子和分母同时对自变量求导数，然后再求导数代入极限求解。
例如，对于求极限lim x→0 (sin x/x)，我们将分子和分母的导数直接代入：lim x→0 (cos x/1) = 1。
4.泰勒展开法泰勒展开法是一种比较高级的求解极限的方法，适用于一些复杂函数的极限求解。
其基本思想是通过泰勒公式将函数在某点带入到无穷阶导数公式中，得到一个无穷级数，然后通过级数求和计算待求极限值。
例如，对于求极限lim x→0 (e^x-1)/x，我们可以使用泰勒展开公式展开得到：lim x→0 [1+x/2!+x^2/3!+......]/x，将分子分母都除以x，得到lim x→0 [1/2!+x/3!+.....]，代入x=0，得到极限值为1/2。
关于极限的若干种计算方法
关于极限的若干种计算方法本文将极限的几种计算方法介绍如下： 一 代入求值法：这种方法只适用于在0x 点连续的函数求极限。
例1、计算3121lim 1x x x x →-+-解：321()11x x F x x x -+==+ 在处有定义且连续,331212111lim 1111x x x x →-+⨯-+∴==++ 例2、计算：22ln lim sin x x x x → 2222l n 2l n 24l n:l i m s i n s i n 2s i n 2x x x x →==解 二 倒数法：这种方法是利用无穷小量与无穷大量的关系来处理的。
例3、2232lim 531n n n n n →∞-++-解：因为分子分母的极限均不存在，故不能运用商的极限运算法则，可先将分子分母分别除以2n ，然后取极限。
于是2222123323lim lim 3153155n n n n n n n n n n→∞→∞-+-+==+-+- 例4、求2143lim 54x x x x →--+解：因为分母极限为零，分子极限不为零，故先考虑1()f x 的极限。
因为 21540l i m 0431x x x x →-+==-所以 2143lim54x x x x →-=∞-+（无穷小量的倒数是无穷大量。
） 例5、计算111lim[]1335(21)(21)n n n →∞+++⋅⋅-+解：由于极限的运算法则不适用于无限和的情形，故本题宜先求和，再求极限。
因为1111()(21)(21)22121k k k k =--+-+所以 111lim[]1335(21)(21)n n n →∞+++⋅⋅-+111111111lim[()()()]21323522121111lim[]22(21)2n n n n n →∞→∞=-+-++--+=-=+利用倒数法可得如下结论：111001011()lim 0()(,,00)()m m m n n x n n a m n b a x a x a x a m n m n a b b x b x b x b m n ---→∞-⎧=⎪⎪+++⎪=<≠≠⎨++++⎪∞>⎪⎪⎩m 0为自然数 三 化积约分法：有些函数()f x 在0x x =处无定义，这时不能用代入求值法求极限，但当0x x =时,()f x 的极限存在与否与()f x 在点0x 处是否有定义无关，所以常将()f x 先作适当变形，如分解因式约去极限为零的分母等，转化为在0x x =处有定义的新函数()g x ，再用代入求值法。
求极限方法总结
求极限方法总结一，求极限的方法横向总结：1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1〕根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方〔有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上〕2〕分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式〔常用到2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。
3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。
4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。
6运用重要极限求极限〔基本〕。
7乘除法中用等价无穷小量求极限。
8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。
9常数比0型求极限：先求倒数的极限。
10根号套根号型：约分，注意别约错了。
11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos 二，求极限的方法纵向总结：1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出〔x-常数〕的形式，然后约分〔因为x不等于该常数所以可以约分〕最后将该常数带入其他式子。
2未知数趋近于0或无穷：1〕将x放在相同的位置2〕用无穷小量与有界变量的乘积3〕2个重要极限4〕分式解法〔上述〕求极限方法总结 400字部分规律小结1 带根式的分式或简单根式加减法求极限：a根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方〔有分式又同时出现未知数的不同次幂∶将未知数全部化到分子或分母的位置上〕b分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式 2 分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。
3 等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。
4 分母是乘积分子是相同常数的 n 项的和求极限：列项求和。
5 分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。
求极限的几种方法
一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明:1223lim 22=-+-→x x x x 证: 由244122322-+-=--+-x x x x x x()2222-=--=x x x0>∀ε取εδ= 则当δ<-<20x 时,就有ε<--+-12232x x x由函数极限δε-定义有:1223lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质若A x f x x =→)(lim 0B x g x x =→)(lim 0(I)[]=±→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0(II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ⋅=⋅=⋅→→→)(lim )(lim )()(lim 0(III)若 B ≠0 则：BAx g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 000（IV ）cA x f c x f c x x x x =⋅=⋅→→)(lim )(lim 0（c 为常数）上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,,例：求 453lim 22+++→x x x x解: 453lim 22+++→x x x x =254252322=++⋅+3、约去零因式（此法适用于型时0,0x x →例: 求121672016lim 23232+++----→x x x x x x x解:原式=()())12102(65)2062(103lim2232232+++++--+---→x x x x xx x x x x x=)65)(2()103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x=)65()103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x=2lim-→x 735-=+-x x4、通分法（适用于∞-∞型） 例: 求 )2144(lim 22xx x ---→解: 原式=)2()2()2(4lim2x x x x -⋅++-→=)2)(2()2(lim2x x x x -+-→=4121lim2=+→x x5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质） 设函数f(x)、g(x) 满足：（I ）0)(lim 0=→x f x x(II)M x g ≤)( (M 为正整数)则：0)()(lim 0=→x f x g x x例: 求 xx x 1sinlim⋅→ 解: 由 0lim=→x x 而 11sin≤x故 原式 =01sinlim=⋅→xx x6、利用无穷小量与无穷大量的关系。
求极限的几种类型与方法
求极限的几种类型与方法极限是数学中一个重要的概念，广泛应用于微积分和数学分析等数学分支中。
在求解极限问题时，通常会遇到不同类型的极限，下面列举并介绍几种常见的极限类型与求解方法。
一、无穷大与无穷小型极限1.无穷大型极限：当自变量趋于一些特定值时，函数的极限趋于正无穷或负无穷。
这种极限常见于多项式函数与指数函数等表达式中。
计算这类极限时，可以使用夹逼定理、变量代换、分子分母同除等方法。
2.无穷小型极限：当自变量趋于一些特定值时，函数的极限趋近于零。
这种极限常见于分式函数、三角函数等表达式中。
求解这类极限时，可以利用泰勒级数展开、洛必达法则、洛必达法则的推广、用无穷小代换等方法。
二、复合函数型极限当极限问题中的函数是一个复合函数时，计算极限需要利用复合函数的性质来进行求解。
常见的复合函数型极限有复合函数无穷小相加的情况、复合函数的区间收敛以及复合函数的极限存在性问题等。
在求解这类极限时，可以运用函数的性质、夹逼准则等方法。
三、无穷级数与数列型极限1.无穷级数的极限：当求解无穷级数的和时，常常需要计算其部分和的极限。
这类极限的求解方法有递推法、数列极限法、求和运算法等。
2.数列的极限：数列的极限是数学分析中的一个基础概念。
求解数列的极限需要运用极限的定义及数列性质。
常见的数列极限包括单调有界数列的极限、递推数列的极限等。
四、多重极限当函数中存在多个自变量且自变量的取值不止一个时，就需要考虑多重极限的问题。
常见的多重极限包括二重极限与累次极限。
在求解多重极限时，可以利用多重极限的定义、运用极限的性质等方法进行计算。
五、特殊函数的极限特殊函数是指具有特定性质与定义的函数，如指数函数、对数函数、三角函数、双曲函数等。
在计算这类函数的极限时，可以运用特殊函数的性质、泰勒级数展开、洛必达法则等方法。
六、级数极限级数是由数列的和组成的数列，计算级数的极限是数学分析中的重要内容之一、常见的级数极限有：常数项级数的判断条件、幂级数的收敛域、傅里叶级数的收敛性等。
高等数学求极限的各种方法
求极限的各种方法1.约去零因子求极限例1:求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x 无限接近,但1≠x ,所以1-x 这一零因子可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2.分子分母同除求极限例2:求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
【解】3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方;(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a n nm m m m n n n n x 0lim 011011ΛΛ 3.分子(母)有理化求极限例3:求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分子或分母有理化求极限,就是通过有理化化去无理式。
【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4:求极限3sin 1tan 1limxxx x +-+→【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan limsin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外,及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．就是解题的关键 4.应用两个重要极限求极限两个重要极限就是1sin lim 0=→xxx 与e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ,第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。
高等数学求极限的各种方法
⾼等数学求极限的各种⽅法求极限的各种⽅法1.约去零因⼦求极限例1:求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x ⽆限接近,但1≠x ,所以1-x 这⼀零因⼦可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2.分⼦分母同除求极限例2:求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分⼦分母都以多项式给出的极限,可通过分⼦分母同除来求。
【解】3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) ⼀般分⼦分母同除x 的最⾼次⽅;(2)=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a n nm m m m n n n n x 0lim 011011ΛΛ 3.分⼦(母)有理化求极限例3:求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分⼦或分母有理化求极限,就是通过有理化化去⽆理式。
【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4:求极限3sin 1tan 1limxxx x +-+→【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan limsin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使⽤分⼦有理化⽅法外,及时分离极限式中的⾮零因⼦．．．．．．．．．．．就是解题的关键 4.应⽤两个重要极限求极限两个重要极限就是1sin lim 0=→xxx 与e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ,第⼀个重要极限过于简单且可通过等价⽆穷⼩来实现。
求极限的方法与技巧
求极限的方法与技巧求极限是微积分中的基本问题，它在解决实际问题中起着关键作用。
在高等数学中，求极限的方法有多种。
下面将介绍一些常见的求极限的方法与技巧。
一、代入法：当极限中存在一些点，可以通过直接将该点代入函数中来求得极限。
二、化简法：当题目给出的函数比较复杂时，可以通过化简来求极限。
比如，利用封闭函数性质、基本运算法则等进行化简。
三、夹逼法：夹逼法也叫夹定理法，是一种常用的求极限方法。
其基本思想是给出两个函数，找到一个中间函数，使得中间函数的极限等于极限所求的值。
通过夹定理可得：若函数f(x)、g(x)、h(x)满足f(x)≤g(x)≤h(x)，当x趋于其中一值a时，f(x)和h(x)的极限都等于L，则g(x)的极限也等于L。
四、间断分解法：当函数在其中一点存在间断时，可以将函数分解开来，单独求解每一段函数的极限，然后再进行综合得出最后的极限。
五、无穷小量替换法：当给出的函数极限不好求解时，可以通过将其替换为一个相等的无穷小量来简化计算。
比如，将极限中的分子或分母替换为无穷小量，或者将函数替换为等价的无穷小量。
六、洛必达法则：洛必达法则是求解一些形如$\displaystyle\frac{0}{0}$ 或$\displaystyle\frac{\pm\infty }{\pm\infty }$型极限的常用方法。
其基本思想是将函数的极限转化为分数的形式，然后对分子和分母同时求导，最后将得到的导数值带入原函数中。
如果在求导之后依然得到一个$\displaystyle\frac{0}{0}$形式的极限，可以继续应用洛必达法则，直到得到非$\displaystyle\frac{0}{0}$形式的极限。
七、级数展开法：对于一些无穷级数的极限求解，可以通过级数展开来计算。
例如，利用泰勒级数展开，将函数展开成无穷级数的形式，然后利用级数的性质进行计算。
八、极限换元法：有时候对于一些较为复杂的函数，可以通过对变量进行换元简化问题。
高等数学极限运算法则与性质
2.设 f(x)Q P((x x)),且 Q (x0)0, 则有
limP(x)
limf(x) xx0
xx0
limQ(x)
xx0
P(x0) Q ( x0 )
f(x0).
若Q(x0)0, 则商的法则不 . 能应用
5
首页
上页
返回
下页
结束
铃
例2 求lxim 1x2x22x13.
解 x1时,分子 ,分母的极限. 都 ( 0是 型 )零 0
2
首页
上页
返回
下页
结束
铃
推论1 如l果 im f(x)存,在 而 c为常 ,则 数 lim cf([x)]clim f(x).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如果 lim f(x)存,在 而 n是正整 ,则数 limf([x)n ][lim f(x)n ].
3
首页
上页
返回
下页
结束
铃
二、求极限方法举例
例1 求lx im 2x2x33x15.
解 li(m x23x5)lim x2li3 m xli5 m
x 2
x 2
x 2
x 2
(lix m )23lix m li5 m
x 2
x 2 x 2
2232530,
lxim 2 x2x33x15
lim(
x2
lim(x2
x3 1) 3x
5)
23 1 3
7 3
先用 x3去除分子,再 分求 母极 . 限
35
lx im 27xx33
3x2 4x2
5lim2xx3
1
x 4 1 7xx3
2 7
.
∞^0型极限求法
在数学中，形如“∞^0”的表达式被认为是一个不定型，因为无穷大的量的任何次幂理论上都是无穷大，而任何数的零次幂都是1。
当遇到这种不定型时，我们不能直接得出结论，而需要通过其他数学工具来分析和求解。
通常处理这种不定型极限的方法是对原函数进行变形，使其能够应用洛必达法则（L'Hôpital's Rule）或者其他极限运算规则。
洛必达法则适用于"0/0"或"∞/∞"类型的不定型极限，所以我们首先要将原始的不定型转换为这两种形式之一。
考虑一个一般的形式 f(x)^g(x)，当x→a 时趋向于"∞^0" 类型的不定型，我们可以通过以下步骤来求解：1. 取对数转换：由于对数函数是单调函数，原极限存在等价于对数之后的极限存在。
我们取对数将乘幂形式转换为乘法形式：\[ L = \lim_{x \to a} \left(f(x)\right)^{g(x)} \]我们定义 L 的对数为：\[ \ln(L) = \lim_{x \to a} g(x) \cdot \ln(f(x)) \]2. 应用洛必达法则：现在我们有一个不定型的乘法形式"0·∞"，我们可以通过洛必达法则转换为可解的形式。
为此，我们需要将其转换为 "0/0" 或"∞/∞" 的形式。
假设我们转换为 "0/0" 的形式：\[ \ln(L) = \lim_{x \to a} \frac{\ln(f(x))}{1/g(x)} \]如果这个极限符合洛必达法则的条件（即分子和分母同时趋向于0或者无穷大），我们可以对分子和分母分别求导数，然后再计算极限。
3. 求导并计算极限：对分子和分母分别求导数，并计算x→a 时的极限。
如果求导数后的极限可以直接计算，那么就得到了 ln(L) 的值。
4. 求原极限：由于我们最初取了对数，所以最后我们需要通过指数函数将结果转换回原来的形式，即：\[ L = e^{\ln(L)} \]举个例子，假设我们要计算如下极限：\[ \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x \]这个极限在数学上是著名的自然对数的底 e 的定义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
型极限的求法
作者：林美娟
来源：《科技资讯》2016年第23期
摘要：型极限是微积分学中最为常见的极限，是待定型极限，不能直接用极限的四则运算法则求出.根据函数的结构特征，可以用以下方法简捷地求出型极限：利用有理化或约分把待定型极限转化为确定型的极限来求；将所求极限看成函数在某点的导数，然后利用导数的定义求得；利用无穷小量的等价替换或洛必达法则简化计算过程后求得.
关键词：型极限无穷小量计算
中图分类号：O17 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2016）08（b）-0000-00
函数的极限可以分为两大类：待定型和确定型. 型极限是指分子、分母均为无穷小量的函数的极限，是待定型极限，不能直接用四则运算法则来计算.这类极限的计算贯穿于微积分学的教学过程之中，如何简捷地求出这类极限是每个师生所关心的问题.对于这种类型的极限，可以根据函数的结构来选用计算方法.常用的计算方法有下面四种.
1.利用有理化或约分转化极限类型
函数极限的四则运算法则给出了求函数极限最基本的方法，而型极限是不具备函数极限四则运算法则要求的，不能直接利用函数极限的四则运算法则来计算.对于函数是有理函数的型极限可以将分子或分母因式分解后约去零因式，然后转化为可以用函数极限的四则运算法则计算的极限.对于极限是型的无理函数可以将分母或分子有理化后约去零因式再用函数极限的四则运算法则计算其极限.
2.利用导数的定义揭示极限意义
函数在某点的导数其实就是当自变数的改变量趋向于零时，相应函数的改变量与自变数改变量之比的极限，显然是一个型极限.可见，有的型极也可以看成或转化为函数在某点的导数，然后利用导数的定义来求.
3.利用无穷小量的等价替换优化计算
型极限的函数的分子、分母都是无穷小量，对于较为复杂的无穷小量用与其等价且简单的无穷小量去替换，可以优化计算过程.
常用的等价无穷小量有：当时，～，～，～，～，～，～，～，～， -1～ .
在替换的时候必须保证替换后的分子和分母与原来的分子分母等价，不能只考虑局部等价，要求整体等价.
4.利用洛必达法则简化计算
洛必达法则是计算待定型极限的有力武器.对于符合洛必达法则条件的型极限可以用洛必达法则计算.如果应用洛必达法则后得到的极限还是型，只要仍满足洛必达法则的条件，那么可以继续使用洛必达法则.
在求型极限的过程中，要尽可能地将函数的分子分母化为几个因式之积的形式，可以约分的先约分，极限不为零的因式直接求出，这样可以化简函数的形式.同时还要灵活、综合地运用相关方法来优化计算过程.例如，在求极限时，先用洛必达法则可得到，还是型极限.如果不化简，再用洛必达法则计算，函数会变得比较复杂.这时，可以先求出的极限值，这样就可以得到，从而使函数得以简化.最后可用无穷小量等价替换求得极限.
参考文献
[1]刘玉琏.数学分析讲义（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2008，4.
[2]费定晖等.数学分析习题集题解[M].山东：山东科学技术出版社，1980，2.
[3]刘智斌等.一类待定型极限的求法[J].数学学习与研究，2015，05：88—89.。