因式分解讲义6

龙文教育学科教师辅导讲义
因式分解
知识点梳理
1、 定义：一般的，把一个多项式化成几个因式的积的形式，叫做因式分解，优势我们也把这个过程叫做分解因式
2、 因式分解与整式乘法的关系：因式分解和整式乘法有互逆的关系，如果把整式的乘法看做一个过程，那么因式分解就是他的逆过程，因此，可以用整式的乘法来检验因式分解的正确性
3、 因式分解的方法
A ：提取公因式法：m a m b m c m a b c ++=++()
B ：运用公式法：
平方差公式：a b a b a b 22
-=+-()()
完全平方公式：a ab b a b 2222±+=±()
C ：分组分解法：适用类型：多项式是四项
分组目的：分组后能提取公因式或套用公式
应用：
化简计算
整除问题
专题一：二项式的因式分解
二次项若果能因式分解（有些二次项不能因式分解，如x+y ，x 2+1，）一般用到三种方法：1）提取公因式法
2）平方差公式 3）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式，运用平方差公式a b a b a b 22-=+-()() 分解因式
Xy 3-4xy m 2(x-y)+n 2(y-x)
专题2：三项式的因式分解
如果一个二次三项式能因式分解，一般用到下面三种方法
1）提取公因式法 2）完全平方公式法 3）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式，对于一个三项式，要先观察三项式中是否有公因式，然后再看三项式是不是完全平方公式，即满足a ab b a b 2222±+=±() 把下列各式分解因式
（x+2）(x-2)-3x+10 (x-y)2-10(x-y)+25 -3x 2+6xy-3y 2
专题三：整体思想
有时我们要计算出一个式子中未知数的值比较困难，但已知他们整体组合的值，这时通常采用整体代入方法，也就是将所求的代数式转化成含已知条件的式子，这样计算简便快捷
已知：a+b=1，ab=163
，求代数式a 3b-2a 2b2+ab 3的值
已知1+a+a 2=0，求a 1980+a 1981+a 1982+……+a 2012的值
专题四 换元思想
分解因式（x 2+y 2）(x 2-2xy+y 2)+x 2y 2
专题五：利用因式分解进行计算
在一些数字运算题或代数式的求值运算中，可以把某些数字看做是字母，利用因式分解的方法简化计算，或者把 代数式因式分解后代入求值，这样会简化解题过程。

计算：
201320122201232010-20122220123-+⨯-
已知a(a-1)-(a2-b)=-2，求1/2(a2+b2)-ab 的值
专题六：数的整除问题
对于任意自然数n，(n+7)2-（n-5）2是否能被24整除
专题七：因式分解的几种特殊方法
有一部分不能直接因式分解的多项式，可以用一些特殊方法来因式分解，比如添项法，分组分解法等
分解因式：X4+4
先阅读下面材料，再因式分解
要把多项式am+an+bm+bn因式分解，可以先把它的前两项分成一组，提取公因式a；再把它的后两项分成一组，并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n).这时，由于a(m+n)与b(m+n)又有公因式m+n,于是可提出公因式
m+n，得(m+n)(a+b).因此，有
am+an+bm+bn
=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n）+b(m+n)
=(m+n)(a+b)
这种因式分解的方法叫做分组分解法。

如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式;
请用材料中给出的方法分解因式:
(1）a2-ab+ac-bc
(2)m2+5n-mn-5m
课堂练习：
一、填空：（30分）
1、若16)3(22
+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。

2、2
2)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 6
12的公因式是＿ 4、若n m y x -=))()((4
222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。

5、在多项式4
224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其结果是 _____________________。

6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。

7、_____))(2(2(_____)2
++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x
9、若25)(162
++-M b a 是完全平方式M=________。

10、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 11、若2
29y k x ++是完全平方式，则k=_______。

12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。

13、若)15)(1(152
-+=--x x ax x 则a =_____。

14、若6,42
2=+=+y x y x 则=xy ___。

15、方程042=+x x ，的解是________。

二、选择题：（10分）
1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ）
A 、－a 、
B 、))((b x x a a ---
C 、)(x a a -
D 、)(a x a --
2、若2
2)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6，B 、m=2，k=12，C 、m=—4，k=—12、D m=4，k=12、
3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公 式分解因式的有（ ）
A 、1个，
B 、2个，
C 、3个，
D 、4个
4、计算)1011)(911()311)(211(2232----
的值是（ ） A 、21
B 、2011.,101
.,201D C
三、分解因式：（30分）
1 、234352x x x --
2 、 2633x x -
3 、 22)2(4)2(25x y y x --- 4、22414y xy x +--
5、x x -5
6、13-x
7、2ax a b ax bx bx -++--2 8、811824+-x x
9 、24369y x - 10、24)4)(3)(2)(1(-++++x x x x
四、代数式求值（15分）
1、 已知312=
-y x ，2=xy ，求 4
3342y x y x -的值。

2、 若x 、y 互为相反数，且4)1()2(22=+-+y x ，求x 、y 的值
3、 已知2=+b a ，求)(8)(22222b a b a +--的值
五、计算： （15）
（1） 0.7566.243
66.3⨯-⨯
（2） 200020012121⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-
（3）2244222568562⨯+⨯⨯+⨯
六、试说明：（8分）
1、对于任意自然数n ，2
2)5()7(--+n n 都能被动24整除。

2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积。

七、利用分解因式计算（8分）
1、一种光盘的外D=11.9厘米，内径的d=3.7厘米，求光盘的面积。

（结果保留两位有效数字）
2、正方形1的周长比正方形2的周长长96厘米，其面积相差960平方厘米求这两个正方形的边长。

八、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进行了描述： 甲：这是一个三次四项式
乙：三次项系数为1，常数项为1。

丙：这个多项式前三项有公因式
丁：这个多项式分解因式时要用到公式法
若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式，并将它分解因式。

（4分）。