【浙江版】2013版高中全程复习方略数学理课时提能训练：7.8立体几何中的向量方法(人教A版·数学理)

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课时提能演练(四十七)(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.已知直线l 1的方向向量是a ＝(2,4，x)，直线l 2的方向向量是b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ·b ＝0，则x ＋y 的值是( ) (A)－3或1 (B)3或－1 (C)－3 (D)12.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1中点，则直线CE 垂直于( )(A)AC (B)BD (C)A 1D (D)A 1A3.(易错题)如图，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB＝90°，F 、G 分别是线段AE 、BC 的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为( )(A)36 (B)－36 (C)33 (D)－334.(2012·金华模拟)正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都为2，E ，F ，G 为AB ，AA 1，A 1C 1的中点，则B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为( )(A)35 (B)56 (C)3310 (D)36105.(2012·晋城模拟)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )(A)相交 (B)平行 (C)垂直 (D)不能确定6.如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，沿对角线BD 将△ABD 折起，使A 点在平面BCD 内的射影O 落在BC 边上，若二面角C －AB －D 的大小为θ，则sin θ的值等于( )(A)34 (B)74 (C)377 (D)45二、填空题(每小题6分，共18分)7.(易错题)已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1, 1)，则两平面所成的二面角的大小为 .8.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则点O 到平面ABC 1D 1的距离为 .9.正四棱锥S －ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 所成的角是 . 三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012·温州模拟)已知四棱锥P —ABCD 的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝1，AB ＝2，M 是PB 的中点.(1)证明：平面PAD⊥平面PCD；(2)求AC与PB所成的角的余弦值；(3)求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值.11.(2012·衢州模拟)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF ＝1.(1)求证：BC⊥平面ACFE；(2)点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ(θ≤90°)，试求cosθ的取值范围.【探究创新】(16分)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a，△PAD为等边三角形，又平面PAD⊥平面ABCD.(1)若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求a的取值范围；(2)当边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A－PD－Q的余弦值.答案解析1.【解析】选A.由题意知|a|＝22＋42＋x2＝6，得x＝〒4.由a〃b＝4＋4y＋2x＝0得x＝－2y－2，当x＝4时，y＝－3，≨x＋y＝1；当x＝－4时，y＝1，≨x＋y＝－3，综上x＋y＝－3或1.2.【解题指南】合理建立坐标系，分别求出选项中的线段对应的向量，即可求得结果.【解析】选B.以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(0,0,0)，C(1,1,0)，B(1,0,0)， D(0,1,0)，A 1(0,0,1)，E(12，12，1)，≨CE ＝(－12，－12，1)，AC ＝(1,1,0)，BD＝(－1,1,0)， 1A D ＝(0,1，－1)，1A A＝(0,0，－1)，显然CE BD ＝12－12＋0＝0，≨CE ⊥BD，即CE ⊥BD.3.【解析】选A.如图，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，F 、G 分别是线段AE 、BC 的中点.以C 为原点建立空间直角坐标系Cxyz ，A(0,2,0)，B(2,0,0)，D(0,0,2)，G(1,0,0)，F(0,2,1)，AD＝(0，－2,2)，GF ＝(－1,2,1)， ≨|AD |＝22，|GF |＝6，AD〃GF ＝－2， ≨cos 〈AD ，GF 〉＝AD GF|AD ||GF |＝－36.≨直线AD 与GF 所成角的余弦值为36. 【误区警示】本题容易忽视异面直线所成角的范围而误选B. 【变式备选】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱A 1B 1上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角是( )(A)π6 (B)π4 (C)π3 (D)π2【解析】选D.建立坐标系，通过向量的坐标运算可知AM ⊥OP 总成立，即AM 与OP 所成的角为π2.4.【解析】选A.如图，取A 1B 1的中点E 1，建立如图所示空间直角坐标系Exyz.则E(0,0,0)，F(－1,0,1)，B 1(1,0,2)，A 1(－1,0,2)， C 1(0，3，2)，G(－12，32，2).≨1B F＝(－2,0，－1)，设平面GEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，由EF x z 01FG x z 02⎧=-+=⎪⎨=++=⎪⎩n n，得⎩⎪⎨⎪⎧z ＝x y ＝－3x ，令x ＝1，则n ＝(1，－3，1)， 设B 1F 与平面GEF 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，1B F 〉|＝11|n B F ||n ||B F |＝35. 5.【解题指南】建立坐标系，判断MN与平面BB 1C 1C 的法向量的关系.【解析】选B.分别以C 1B 1，C 1D 1，C 1C 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系.≧A 1M ＝AN ＝23a ，≨M(a ，23a ，a 3)，N(23a ，23a ，a).≨MN ＝(－a 3，0，23a).又C 1(0,0,0)，D 1(0，a,0)，≨11C D＝(0，a,0).≨MN 〃11C D ＝0.≨MN ⊥11C D. ≧11C D是平面BB 1C 1C 的一个法向量，且MN 平面BB 1C 1C ， ≨MN ∥平面BB 1C 1C.6.【解析】选A.由题意可求得BO ＝94，OC ＝74，AO ＝347，建立空间直角坐标系如图，则 C(74，0,0)，B(－94，0,0)，A(0,0，347)，D(74，3,0)，BD ＝(4,3,0)，BA ＝(94，0，347) 设m ＝(x ，y ，z)是平面ABD 的一个法向量. 则⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝094x ＋347z ＝0，取z ＝－37，x ＝7，y ＝－283.则m ＝(7，－283，－37). 又CD＝(0,3,0)是平面ABC 的一个法向量. ≨cos 〈m ，CD 〉＝CD|||CD |m m＝－283〓1673＝－74.sin θ＝1－(－74)2＝34.【方法技巧】求二面角的策略(1)法向量法，其步骤是：①建系，②分别求构成二面角的两个半平面的法向量，③求法向量夹角的余弦值，④根据题意确定二面角的余弦值或其大小.(2)平面角法，该法就是首先利用二面角的定义，找出二面角的平面角，然后用向量法或解三角形法求其余弦值.7.【解析】cos 〈m ，n 〉＝m nm n ＝22，≨〈m ，n 〉＝π4，≨两平面所成二面角的大小为π4或3π4.答案：π4或3π4【误区警示】本题容易认为两平面所成角只有π4，而忽视3π4.8.【解析】以D 为原点，DA 、DC 、DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，D 1(0,0,1)，C 1(0,1,1)，O(12，12，1)，设平面ABC 1D 1的法向量n ＝(x ，y ，z)，由1AB y 0AD x z 0⎧==⎪⎨=-+=⎪⎩n n， 得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x ＝z ，令x ＝1，得n ＝(1,0,1)，又1OD ＝(－12，－12，0)，≨O 到平面ABC 1D 1的距离d ＝1|OD |||n n＝122＝24.答案：249.【解析】如图，以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz. 设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A(a,0,0)，B(0，a,0)， C(－a,0,0)，P(0，－a 2，a2)，则CA ＝(2a,0,0)，AP ＝(－a ，－a 2，a 2)，CB＝(a ，a,0)，设平面PAC的一个法向量为n ，可取n ＝(0,1,1)，则cos 〈CB ，n 〉＝CB CB nn＝a 2a 2〃2＝12， ≨〈CB，n 〉＝60°，≨直线BC 与平面PAC 所成的角为90°－60°＝30°. 答案：30°10.【解析】以A 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(1,1,0)，D(1,0,0)，P(0,0,1)，M(0,1，12). (1)因为AP＝(0,0,1)，DC ＝(0,1,0)，故AP〃DC ＝0，所以AP ⊥DC.由题设知AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥平面PAD ，又DC 在平面PCD 内，故平面PAD ⊥平面PCD.(2)因为AC ＝(1,1,0)，PB＝(0,2，－1)， 故|AC |＝2，|PB |＝5，AC 〃PB＝2， 所以cos 〈AC ，PB 〉＝AC PB|AC ||PB |＝105.(3)在MC 上取一点N(x ，y ，z)，则存在λ∈R ，使NC ＝λMC，NC ＝(1－x,1－y ，－z)，MC ＝(1,0，－12)，≨x ＝1－λ，y ＝1，z ＝12λ.要使AN ⊥MC ，只需AN 〃MC ＝0，即x －12z ＝0，解得λ＝45，可知当λ＝45时，N 点坐标为(15，1，25)，能使AN 〃MC ＝0，此时，AN ＝(15，1，25)，BN ＝(15，－1，25)，有BN 〃MC＝0，由AN 〃MC ＝0，BN 〃MC＝0得AN ⊥MC ，BN ⊥MC ，所以∠ANB 为所求二面角的平面角.≧|AN |＝305，|BN |＝305，AN 〃BN ＝－45，≨cos 〈AN ，BN 〉＝AN BN|AN ||BN |＝－23.【变式备选】(2012〃吉林模拟)如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥底面ABCD ，E 、F 分别为棱BC、AD 的中点.(1)若PD ＝1，求异面直线PB 与DE 所成角的余弦值.(2)若二面角P －BF －C 的余弦值为66，求四棱锥P －ABCD 的体积.【解析】(1)E ，F 分别为棱BC ，AD 的中点，ABCD 是边长为2的正方形⇒DF ∥BE 且DF ＝BE ⇒DFBE 为平行四边形⇒DE ∥BF ⇒∠PBF 等于PB 与DE 所成的角.△PBF 中，BF ＝5，PF ＝2，PB ＝3⇒cos ∠PBF ＝255 异面直线PB 和DE 所成角的余弦值为255. (2)以D 为原点，直线DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设PD ＝a ，可得如下点的坐标：P(0，0，a)，F(1,0,0)，B(2,2,0)，则有：PF ＝(1,0，－a)，FB＝(1,2,0)，因为PD ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为m ＝(0,0,1)，设平面PFB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，则可得PF 0FB 0⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即⎩⎪⎨⎪⎧x －az ＝0x ＋2y ＝0，令x ＝1，得z ＝1a ，y ＝－12，所以n ＝(1，－12，1a ).已知二面角P －BF－C 的余弦值为66，所以得：cos 〈m ，n 〉＝m 〃n|m||n|＝1a54＋1a 2＝66，解得a ＝2. 因为PD 是四棱锥P －ABCD 的高，所以，其体积为V P－ABCD ＝13〓2〓4＝83.11.【解析】(1)在梯形ABCD 中， ≧AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1， ∠ABC ＝60°，≨AB ＝2，≨AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB 〃BC 〃cos60°＝3， ≨AB 2＝AC 2＋BC 2，≨BC ⊥AC ， ≧平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ∩平面ABCD ＝AC ，BC ⊂平面ABCD ， ≨BC ⊥平面ACFE.(2)由(1)可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令FM ＝λ(0≤λ≤3)，则C(0,0,0)，A(3，0,0)，B(0,1,0)，M(λ，0,1).≨AB ＝(－3，1,0)，BM＝(λ，－1,1).设n 1＝(x ，y ，z)为平面MAB 的一个法向量.由11AB 0BM 0⎧=⎪⎨=⎪⎩n n得⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝0λx －y ＋z ＝0，取x ＝1，则n 1＝(1，3，3－λ)， ≧n 2＝(1,0,0)是平面FCB 的一个法向量，≨cos θ＝1212n n n n ＝11＋3＋(3－λ)2〓1＝1(λ－3)2＋4，≧0≤λ≤3，≨当λ＝0时，cos θ有最小值77，当λ＝3时，cos θ有最大值12.≨cos θ∈[77，12].【探究创新】【解析】(1)取AD 中点O ，连接PO，则PO ⊥AD. ≧平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，≨PO ⊥平面ABCD.建立如图的空间直角坐标系， 则P(0,0，32a)，D(a2，0,0).设Q(t,2,0)，则PQ ＝(t,2，－32a)，DQ ＝(t －a2，2,0).≧PQ ⊥QD ，≨PQ 〃DQ ＝t(t －a2)＋4＝0.≨a ＝2(t ＋4t )，≧a>0，≨t>0，≨2(t ＋4t )≥8，等号成立当且仅当t ＝2. 故a 的取值范围为[8，＋≦).(2)由(1)知，当t ＝2，a ＝8时，边BC 上存在唯一点Q ，使PQ ⊥QD. 此时Q(2,2,0)，D(4,0,0)，P(0,0,43). 设n ＝(x ，y ，z)是平面PQD 的法向量，PQ ＝(2,2，－43)，DQ＝(－2,2,0).由PQ 2x 2y 0DQ 2x 2y 0⎧=+-=⎪⎨=-+=⎪⎩n n 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y －43z ＝0－2x ＋2y ＝0令x ＝y ＝3，则n ＝(3,3，3)是平面PQD 的一个法向量.而AB＝(0,2,0)是平面PAD 的一个法向量，设二面角A －PD －Q 为θ，由cos θ＝|cos 〈AB ，n 〉|＝217.≨二面角A －PD －Q 的余弦值为217.。