【数学】2014-2015年吉林省长春外国语学校高三(上)期中数学试卷与答案(理科)

2014-2015学年吉林省长春外国语学校高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题四个选项中，只有一项正确.1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|1≤2x＜4}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{1，2]2．（5分）“a=0”是“f（x）=为奇函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）命题p：∀x∈R，log2x＞0，命题q：∃x0∈R，2x0＜0，则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧q D．p∨（￢q）4．（5分）下列函数中，既是奇函数又是区间（0，+∞）上的增函数的是（）A．B．y=x﹣1C．y=x3 D．y=2x5．（5分）已知a=30.5，b=log3，c=log32，则（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞a＞c6．（5分）若a，b，c成等比数列，则函数y=ax2+bx+c的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．以上都不对7．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（）]=（）A．B．2 C．4 D．88．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，3） B．（0，3]C．（3，+∞）D．[3，+∞）9．（5分）设随机变量ξ～B（n，p），且E（ξ）=1.6，D（ξ）=1.28，则（）A．n=8，p=0.2 B．n=4，p=0.4 C．n=5，p=0.32 D．n=7，p=0.4510．（5分）函数y=4x+2x+1+1的值域为（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣∞，+∞）11．（5分）若f（x）为定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=x2+1，则当x∈[3，5]时，f（x）=（）A．（x+3）2+1 B．（x﹣3）2+1 C．（x﹣4）2+1 D．（x﹣5）2+112．（5分）已知函数f（x）=|x2﹣4x+3|，若方程[f（x）]2+bf（x）+c=0恰有七个不相同的实根，则实数b的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，﹣1）C．（0，1） D．（0，2）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的指定位置.13．（5分）袋中有三个白球，两个黑球，现每次摸出一个球，不放回的摸取两次，则在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率为．14．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，4），若p（ξ＞4）=a，则p（﹣2≤ξ≤4）=．15．（5分）直线ρcosθ﹣ρsinθ+a=0与圆（θ为参数）有公共点，则实数a的取值范围是．16．（5分）函数f（x）=的零点个数为．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，S n是数列{b n}的前n项和，求证：S n＜．18．（12分）某网站针对2014年中国好声音歌手A，B，C三人进行网上投票，结果如下（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值；（2）若在参加活动的20岁以下的人中，用分层抽样的方法抽取7人作为一个总体，从这7人中任意抽取3人，用随机变量X表示抽取出3人中支持B的人数，写出X的分布列并计算E（X），D（X）．19．（12分）如图，在几何体ABCD﹣A1D1C1中，四边形ABCD，A1ADD1，DCC1D1均为边长为1的正方形．（1）求证：BD1⊥A1C1．（2）求二面角D1﹣A1C1﹣B的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且短轴长为2，F1，F2是椭圆的左右两个焦点，若直线l过F2，且倾斜角为45°，交椭圆于A，B 两点．（1）求椭圆C的标准方程．（2）求△ABF1的周长与面积．21．（12分）已知函数f（x）=ax2+2x﹣lnx．（1）当a=0时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间[，2]上是增函数，求实数a的取值范围．22．（10分）已知曲线C的极坐标方程ρ=2sinθ，直线l的参数方程（t为参数），以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；（1）求曲线C与直线l的直角坐标方程．（2）若M、N分别为曲线C与直线l上的两个动点，求|MN|的最小值．2014-2015学年吉林省长春外国语学校高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题四个选项中，只有一项正确.1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|1≤2x＜4}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{1，2]【解答】解：∵集合B={x|1≤2x＜4}，∴B={x|0≤x＜2}，∵集合A={﹣1，0，1，2}，∴A∩B={0，1}．故选：C．2．（5分）“a=0”是“f（x）=为奇函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：（1）f（x）的定义域为{x|x≠±1}，若a=0，f（x）=；∴f（﹣x）=；∴f（x）是奇函数；a=0是f（x）=为奇函数的充分条件；（2）若f（x）=是奇函数，则：f（﹣x）==；∴a=﹣a；∴a=0；∴“a=0”是“f（x）=为奇函数”的必要条件；综合（1）（2）得“a=0“是“f（x）=为奇函数“的充要条件．故选：C．3．（5分）命题p：∀x∈R，log2x＞0，命题q：∃x0∈R，2x0＜0，则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧q D．p∨（￢q）【解答】解：命题p：∀x∈R，log2x＞0，是假命题；￢p是真命题；命题q：∃x0∈R，2x0＜0，是假命题；￢q是真命题；所以p∨q是假命题；p∧q是假命题；（￢p）∧q是假命题；p∨（￢q）是真命题．故选：D．4．（5分）下列函数中，既是奇函数又是区间（0，+∞）上的增函数的是（）A．B．y=x﹣1C．y=x3 D．y=2x【解答】解：定义域为[0，+∞），不关于原点对称，不具有奇偶性；y=x﹣1为（0，+∞）上减函数；对于y=2x，是指数函数，不具有奇偶性；y=x3是幂函数，指数大于零为增函数；又f（﹣x）=f（x）所以是奇函数．故选：C．5．（5分）已知a=30.5，b=log3，c=log32，则（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞a＞c【解答】解：∵a=30.5＞1，b=log3＜0，0＜c=log32＜1，∴a＞c＞b．故选：A．6．（5分）若a，b，c成等比数列，则函数y=ax2+bx+c的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．以上都不对【解答】解：因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac＞0，则方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2﹣4ac=﹣3ac＜0，所以此方程没有实数根，即函数y=ax2+bx+c的零点个数为0个，故选：A．7．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（）]=（）A．B．2 C．4 D．8【解答】解：由题意可得：函数f（x）=，所以f（）=log2=﹣1∴f（﹣1）=2﹣1=，故选：A．8．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，3） B．（0，3]C．（3，+∞）D．[3，+∞）【解答】解：由于函数f（x）=，可得log3x﹣1＞0，即log3x＞log33，解得x，故选：C．9．（5分）设随机变量ξ～B（n，p），且E（ξ）=1.6，D（ξ）=1.28，则（）A．n=8，p=0.2 B．n=4，p=0.4 C．n=5，p=0.32 D．n=7，p=0.45【解答】解：∵随机变量ξ～B（n，p），E（ξ）=1.6，D（ξ）=1.28，∴np=1.6，①np（1﹣p）=1.28 ②把①代入②得1﹣p==0.8，∴p=0.2∵np=1.6∴n=8，故选：A．10．（5分）函数y=4x+2x+1+1的值域为（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣∞，+∞）【解答】解：令t=2x＞0，可得y=t2+2t+1=（t+1）2，根据t+1∈（1，+∞），可得（t+1）2＞1，即y＞1，故选：B．11．（5分）若f（x）为定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=x2+1，则当x∈[3，5]时，f（x）=（）A．（x+3）2+1 B．（x﹣3）2+1 C．（x﹣4）2+1 D．（x﹣5）2+1【解答】解：由题意知，函数y=f（x）是周期为2的周期函数，且是偶函数，∴f（x）=f（﹣x）∵当x∈[0，1]时，f（x）=x2+1，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=f（﹣x）=（﹣x）2+1）=x2+1，∴当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2+1，当x∈[3，5]时，x﹣4∈[﹣1，1]∴f（x）=f（x﹣4）=（x﹣4）2+1，故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=|x2﹣4x+3|，若方程[f（x）]2+bf（x）+c=0恰有七个不相同的实根，则实数b的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，﹣1）C．（0，1） D．（0，2）【解答】解：f（1）=f（3）=0，f（2）=1，f（x）≥0，∵若方程[f（x）]2+bf（x）+c=0恰有七个不相同的实根，∴t2+bt+c=0，其中一个根为1，另一个根在（0，1）内，∴g（t）=t2+bt+c，g（1）=1+b+c=0，g（﹣）＜0，0＜1，g（0）=c＞0方程[f（x）]2+bf（x）+c=0恰有七个不相同的实根∴c=﹣1﹣b＞0，b≠﹣2，﹣2＜b＜0，即b的范围为：（﹣2，﹣1）故选：B．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的指定位置.13．（5分）袋中有三个白球，两个黑球，现每次摸出一个球，不放回的摸取两次，则在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率为．【解答】解：记事件A为“第一次取到黑球”，事件B为“第二次取到白球”，则事件AB为“第一次取到黑球、第二次取到白球”，依题意知P（A）=，P（AB）=×，∴在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率是P（B|A）=．故答案为：．14．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，4），若p（ξ＞4）=a，则p（﹣2≤ξ≤4）=1﹣2a．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（1，σ2），∴μ=1，∵p（ξ＞4）=a，∴p（﹣2≤ξ≤4）=1﹣2a．故答案为：1﹣2a．15．（5分）直线ρcosθ﹣ρsinθ+a=0与圆（θ为参数）有公共点，则实数a的取值范围是[3﹣3，3+3] ．【解答】解：直线ρcosθ﹣ρsinθ+a=0，即x﹣y+a=0，圆（θ为参数）化为直角坐标方程为（x+1）2+（y﹣2）2=9，表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于3的圆．由直线和圆相交可得圆心到直线的距离小于或等于半径，即≤3，求得3﹣3a≤3+3，故答案为：．16．（5分）函数f（x）=的零点个数为2．【解答】解：令f（x）=0，得到解得x=﹣1；和，令y=2﹣x和y=lnx，在同一个坐标系中画出它们的图象，观察交点个数，如图函数y=2﹣x和y=lnx，x＞0时，在同一个坐标系中交点个数是1个，所以函数f （x）的零点在x＜0时的零点有一个，在x＞0时零点有一个，所以f（x）的零点个数为2；故答案为：2．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，S n是数列{b n}的前n项和，求证：S n＜．【解答】解：（1）设数列{a n}公差为d，且d≠0，∵a1，a2，a5成等比数列，a1=1∴（1+d）2=1×（1+4d）解得d=2，∴a n=2n﹣1．（2）b n===（﹣）∴S n=b1+b2+…+b n=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=（1﹣）＜18．（12分）某网站针对2014年中国好声音歌手A，B，C三人进行网上投票，结果如下（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值；（2）若在参加活动的20岁以下的人中，用分层抽样的方法抽取7人作为一个总体，从这7人中任意抽取3人，用随机变量X表示抽取出3人中支持B的人数，写出X的分布列并计算E（X），D（X）．【解答】解：（1）∵利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持A方案”的人中抽取了6人，∴，解得n=40，（2）X=0，1，2∴E（X）=1×+2×=，D（X）==．19．（12分）如图，在几何体ABCD﹣A1D1C1中，四边形ABCD，A1ADD1，DCC1D1均为边长为1的正方形．（1）求证：BD1⊥A1C1．（2）求二面角D1﹣A1C1﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：连结AC、BD交于O，在几何体ABCD﹣A1D1C1中，四边形ABCD，A1ADD1，DCC1D1均为边长为1的正方形．A1D1∥AD D1C1∥DC∠ADC和∠A1D1C1方向相同所以：平面ACD∥平面A1D1C1AA1∥CC1且AA1=CC1四边形A1ACC1是平行四边形由四边形ABCD是正方形得到：AC⊥BD所以：BD⊥A1C1DD1⊥A1C1所以：A1C1⊥平面BDD1BD1⊥A1C1（2）解：取A1C1的中点E，根据A1D1=C1D1根据正方形的性质：A1B=BC1BE⊥A1C1所以：∠D1EB是二面角D1﹣A1C1﹣B的平面角所以：求出：，，在△BD1E中，利用余弦定理：=所以：二面角D1﹣A1C1﹣B的余弦值20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且短轴长为2，F1，F2是椭圆的左右两个焦点，若直线l过F2，且倾斜角为45°，交椭圆于A，B 两点．（1）求椭圆C的标准方程．（2）求△ABF1的周长与面积．【解答】解：（1）∵离心率为，且短轴长为2，∴，解得：，∴椭圆C的标准方程为；（2）设△ABF1的周长为l，则l=|AB|+||BF1|+|AF1|=|AF2|+|BF2|+|BF1|+|AF1|=4a=8，F2（1，0），又∵倾斜角为45°，∴l的方程为：x﹣y﹣1=0，∴，消x得7y2+6y﹣9=0，∴，∴=，∴设△ABF1的面积为S，∴S=．∴△ABF1的周长与面积分别为8；．21．（12分）已知函数f（x）=ax2+2x﹣lnx．（1）当a=0时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间[，2]上是增函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞）∵当a=0时，f（x）=2x﹣lnx，则∴x，f'（x），f（x）的变化情况如下表∴当时，f（x）的极小值为1+ln2，函数无极大值．（2）由已知，得若a=0，由f'（x）＞0得，显然不合题意若a≠0∵函数f（x）区间是增函数∴f'（x）≥0对恒成立，即不等式ax2+2x﹣1≥0对恒成立即恒成立故而当，函数，∴实数a的取值范围为a≥3．22．（10分）已知曲线C 的极坐标方程ρ=2sinθ，直线l 的参数方程（t为参数），以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系； （1）求曲线C 与直线l 的直角坐标方程．（2）若M 、N 分别为曲线C 与直线l 上的两个动点，求|MN |的最小值．【解答】解：（1）直线l 的参数方程（t 为参数），化为普通方程为：x ﹣y ﹣3=0；曲线C 的极坐标方程ρ=2sinθ，化为直角坐标方程为：x 2+y 2=2y ， 即圆C ：x 2+（y ﹣1）2=1．（2）圆C 的圆心为（0，1），半径r=1，圆心到直线的距离d==2，则d ＞r ，直线和圆相离， 则|MN |的最小值为．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xxx x(q)0x则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。