16三大抽样分布
三大抽样分布(1)概率论与数理统计习题 概率论与数理统计)
x2 x2
~ F (1,1)
4. 正态总体的样本均值与样本方差的分布
正态总体 N ( , 2 ) 的样本均值和样本方差
有以下两个重要定理.
定理一
设 X1, X 2, , X n 是来自正态总体N (, 2 )
的样本, X 是样本均值, 则有
(1) X ~ N (, 2 / n).即 X ~ N (0,1)
样本, X , S 2 分别是样本均值和样本方差, 则有
X ~ t(n 1).
S/ n
证明
因为 X ~ N (0,1), / n
(n 1)S 2
2
~ 2(n 1),
且两者独立, 由 t 分布的定义知
X (n 1)S 2 ~ t(n 1). / n 2(n 1)
n
2
πn
1
n 2
1
t2 n
n1 2
,
t
t 分布的概率密度曲线如图
显然图形是关于
t 0对称的.
当 n 充分大时, 其
图形类似于标准正
态变量概率密度的
图形. 因为lim h(t)
1
t2
e 2,
n
2π
所以当 n 足够大时 t 分布近似于 N (0,1) 分布,
1,
因为 1 F
~ F (n2 , n1 ),
所以
P
1 F
F1
(n2
,
n1
)
1
,
比较后得
F1
(n2 ,
统计学 第三章抽样与抽样分布
=10
= 50 X
总体分布
n= 4
x 5
n =16
x 2.5
x 50
X
抽样分布
从非正态总体中抽样
结论：
从非正态中体中抽样，所形成 的抽样分布最终也是趋近于正态分 布的。只是样本容量需要更大些。
总结：中心极限定理
设从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽 取容量为n的样本，当n充分大时（超过30），样本 均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的
总体
样本
参数
统计量
总体与样本的指标表示法
总体参数
样本统计量
(Parameter) (Sample Statistic)
容量 平均数 比例 方差 标准差
N
n
X
x
p
2
s2
s
小练习
某药品制造商感兴趣的是用该公司开发的某 种新药能控制高血压人群血压的比例。进行了一 项包含5000个高血压病人个体的研究。他发现用 这种药后80%的个体，他们的高血压能够被控制。 假定这5000个个体在高血压人群中具有代表性的 话，回答下列问题： 1、总体是什么？ 2、样本是什么？ 3、识别所关心的参数 4、识别此统计量并给出它的值 5、我们知道这个参数的值么？
正态分布
一个任意分 布的总体
x
n
当样本容量足够 大时(n 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
x
X
总体分布
正态分布
非正态分布
大样本 小样本 大样本 小样本
正态分布
正态分布
非正态分布
三 中心极限定理的应用
中心极限定理(Central Limit theorem) 不论总体服从何种分布，从中抽取
三大抽样分布
三大抽样分布众所周知，在概率论中有二项分布、正态分布、泊松分布着三大分布，而统计学中也有三大抽样分布，分别是x2分布、t布和F分布。
这三大抽样分布的发现正好是现代统计学的形成时期，对于以参数统计推断为主要内容的现代统计学理论的形成有着重要意义。
X2分布的发现来源于Kad Pears0n创立X2拟合优度理论的过程，而t分布的发现来源于Gosset小样本理论的创立过程，F分布则是来源于Fisher创立方差分析理论的过程。
三大抽样分布的研究意义c．R．Rao曾经说过“在终极的分析中，一切知识都是历史，在抽象的意义下，一切科学都是数学，在理性的基础上，所有的判断都是统计学。
”这句话一语道破统计学的重要性。
三大抽样分布在统计学理论中占据着重要地位，由此可见，研究三大抽样分布对于科学研究有着重要意义。
在实际工作中，统计工作者对于三大抽样分布的研究必不可少，通过研究三大抽样分布的产生、发展和完善，能够充分了解三大抽样分布理论的重要性。
具体到统计学三大分布，对于三大分布理论的研究，能够在充分吸收前人研究成果的基础上不断进行理论创新，从而推动科学技术的进步。
纵观所有的科技进步，无一不是在充分研究前人成果的基础上发展而来的研究统计学三大抽样分布，对于我国社会经济发展有着重要的推动作用。
三大抽样分布产生于19世纪末20世纪初，在统计学的发展过程中，每一次新的分析统计数据概率模型的发现，统计学理论都会发生一次重大飞跃。
为此，要想研究三大抽样分布，就应该对其发展过程进行研究。
统计量是样本的函数，是随机变量，有其概率分布，统计量的分布称为抽样分布。
X2分布x2的早期发展由于受到中心极限定理和正态误差理论的影响，正态分布一直在统计学中占据重要地位。
在很多数学家和哲学家心目中，正态分布是唯一可用的分析和解释统计数据的方法。
但是随着时代的发展，一些学者开始对正态性提出了质疑，随后，在多位科学家的试验验证下，正态分布与实际数据拟合不好的情况日渐凸显出来，科学家纷纷开始研究比正态分布范围更广的分布类型，波那个人产生了偏态分布，其中，x2就是最早的偏态分布最早引入偏态分布的是JamesClerk Maxwel，他在研究气体分子运动的过程中引入了X2分布。
三大抽样分布知识点一览
三大抽样分布知识点一览抽样分布的概念抽样分布：从已知的总体中以一定的样本容量进行随机抽样，由样本的统计数所对应的概率分布称为抽样分布。
抽样分布是统计推断的理论基础。
如果从容量为N的有限总体抽样，若每次抽取容量为n的样本，那么一共可以得到N取n的组合个样本(所有可能的样本个数)。
抽样所得到的每一个样本可以计算一个平均数，全部可能的样本都被抽取后可以得到许多平均数。
如果将抽样所得到的所有可能的样本平均数集合起来便构成一个新的总体，平均数就成为这个新总体的变量。
由平均数构成的新总体的分布，称为平均数的抽样分布。
随机样本的任何一种统计数都可以是一个变量，这种变量的分布称为统计数的抽样分布。
三大抽样分布1. 卡方分布χ2(n)定义：若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn,均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution）。
2. t分布定义：设X1服从标准正态分布N(0,1)，X2服从自由度为n的χ2分布，且X1、X2相互独立，则称变量t=X1(X2/n)1/2所服从的分布为自由度为n的t分布。
3. F分布定义:设X1服从自由度为m的χ2分布，X2服从自由度为n的χ2分布，且X1、X2相互独立，则称变量F=(X1/m)/(X2/n)所服从的分布为F分布，其中第一自由度为m，第二自由度为n。
与正态分布一同构成数理统计中的四大分布。
由标准正态总体样本的适当组合构成的统计量形成数理统计中的其他三大基础分布。
所以，数理统计中总是以正态总体作为研究对象展开。
在数理统计中，"总体"、"抽样"、"样本"是三个基本概念,分位点是"小概率事件"发生的临界点，置信区间是参数估计和假设检验的核心计算问题。
抽样 分布定理
这两个样本的样本方差,则有
2 S12 1 1、 2 2 ~ F ( n1 1, n2 1) S2 2 X Y ( 1 2 ) 2、 ~ t ( n1 n2 2) 2 2 ( n1 1) S1 ( n2 1) S2 1 1 n1 n2 2 n1 n2
则服从自由度为 n-1 的 t 分布的随机变量是
( A)t X S1 / n 1
( B)t X S2 / n 1
．
( D)t X S4 / n
(C )t
X S3 / n
定理 6.2 (两总体样本均值差、样本方差比的分布) 且X与Y独立, 设X ~ N ( 1, 2 )，Y ~ N ( 2 , 2 )， X1,X2,…, X n是来自X的样本,Y1,Y2,…,Yn 是取自Y的样本, 1 2 X和Y 分别是这两个样本的 样本均值， 2和S 2 分别是 S
几个重要的抽样分布定理
设总体X的均值为，方差为 2，X 1 , X 2 ,, X n 是 来自总体的一个样本，则样本均值X和样本方差S 2有
E( X ) , D( X ) 2 n ,
E( S 2 ) 2
样本均值的分布 设 X1, X2, …, Xn 是来自正态总体 的样本，
2 2
1 故C . 3
小结
在这一节中我们学习了抽样分布定理. 要 求大家熟练地掌握它们 .
常用的统计量 样本平均值
1 n X Xi n i 1
样本方差
样本标准差 样本k阶原点矩 样本k阶中心矩
1 n S2 ( X i X )2 n 1 i 1
1 n 2 S ( Xi X ) n 1 i 1
2 1 2 2 2 1 2 2
第3章 抽样分布
样本方差s2
s2取值的概率
0.0 0.5
4/16 6/16
2
4.5
39
4/16
2/16
0.00 0.0 0.5 s的取值 2.0 4.5
(用Excel计算2分布的概率)
1. 利用Excel提供的CHIDIST统计函数，计算2分布 右单尾的概率值
2. 语法为 CHIDIST(x,df) ，其中 df 为自由度， x 是随 机变量的取值 3. 给定自由度和统计量取值的右尾概率，也可以利 用“插入函数”命令来实现 4. 计算自由度为8，统计量的取值大于10的概率
σ2 =1.25
23
x 2.5
x2 0.625
样本均值的抽样分布
当总体服从正态分布N(μ,σ2)时，来自该总体的所有 容量为n的样本的均值x也服从正态分布，x 的数 学期望为μ，方差为σ2/n。即x～N(μ,σ2/n)
=10
n=4 x 5 n =16 x 2.5
37
2分布
(图示)
选择容量为n 的 不同容量样本的抽样分布
n=1 n=4 n=10
总体
简单随机样本
计算样本方差s2
计算卡方值
n=20
2 = (n-1)s2/σ2
计算出所有的
2
2值
38
2分布
(例题的图示)
16个样本方差的分布
s取值的概率
0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05
13
三种不同性质的分布
1 2 3
14
总体分布 样本分布 抽样分布
总体分布
(population distribution)
§5.4三大抽样分布
所以 Y ( y1 ,, yn )T 的各分量相互独立.
n 1 由于 x y1 , ( n 1) s 2 yi2 . x与s 2相互独立. n i 2
1 n 1 21 1 A 3 2 1 n( n 1)
n
( n 1) s 2 yi2，
i2
yi N (0, ), i 2,3, , n.
2
y2 ,, yn相互独立.
( n 1)
2
yi 2 s ~ (n 1). i 2
n
2
2
15
定理2：设( X 1 , X 2 ,, X n )是来自正态总体N ( , )的
1 n 1 21 1 3 2 1 n( n 1)
1 n 0
1 3 2 1 n( n 1)
0 0 1 n( n 1) 1 n
14
(3)
( n 1)
2
s 2 ~ 2 ( n 1).
2 i 1 2 i 2 1 2 2 n 2 n
服从自由度为n的 2分布， 记作 2 ~ 2 (n) . 注：服从 2分布的随机变量取值非负，其密度函数为 n x 1 1 x2 e 2 , x 0 n 2 n 2 ( x; n) 2 ( ) Γ ( s ) x s1e x dx , s 0, 2 0 0, x0
4
n=4
2 分布的性质：
n=6 n=10
1、随n的增大，其偏度越来越小。
2、 2分布表——P425 附表三
2
即是分布函数数值表.
2
n 1 3、 分布是Ga分布的特例，即有 ( n) Ga( , ) . 2 2 4、 2分布具有可加性：
三大抽样分布的理解与具体性质
数学学习与研究 2019. 12
பைடு நூலகம்
( ) 还有一个实用的结论，Γ
1 2
= 槡π．
若 X ～ Γ（ α，β） ，我 们 可 以 计 算 出 它 的 矩 母 函 数 为
MX （ t） = （ 1 － βt） －α ，下面的分布就与这个矩母函数有关． 三、三大分布的性质
（ 一） 卡方分布
1． 定义
如果 Z ～ N（ 0，1） ，且 X = Z2 ，我们就说 X 服从自由度为
1 的卡方分布，记作 X ～ χ21 ． 证明如下：
FX （ x） = P（ X ≤ x） = P（ Z2 ≤ x） = P（ － 槡x ≤ Z ≤槡x） ，
FX （ x） = FZ （ 槡x） － FZ （ － 槡x） ，
求导可得，fX （ x） =
1
1
x－
1 2
e
－
x 2
，
2 2 槡π
( ) 或者 fX（ x）
二、预备知识
如果一个随机变量 X 服从形状参数为 α，尺度参数为 β
的伽马分布，我们记 X ～ Γ（ α，β） ，那么其概率密度函数为
f（ x）
=
x
α
－1
e
－
x β
βαΓ（ α）
，α，β
＞
0，x ≥ 0，则 E（
X）
= αβ，Var（ X）
=
∫∞
αβ2 ，其中 Γ（ α） 为伽马函数，且 Γ（ α） = xα－1 e －x dx，另外 0
交流平台
JIAOLIU PINGTAI
143
三大抽样分布的理解与具体性质
◎蔡则元 （ 甘肃省兰州市榆中县兰州大学榆中校区，甘肃 兰州 730107）
三大抽样分布
F(n1, n2)为F(n1, n2)的上侧分位点；
1 注： F1 (n1 , n2 ) F (n2 , n1 )
F (n1 , n2 )
若X 1 , Y1 ,
, X n1 来自正态总体X, X ~ N ( 1 , 12 ),
2 , Yn2 来自正态总体Y, Y ~ N ( 2 , 2 ), 且两样本独立.
当
2 ( n)
2.t 分布
关于t分布的早期理论工作，是英国统计学家威廉· 西利· 戈塞 特（Willam Sealy Gosset）在1990年进行的。 t分布是小样本分布，小样本一般是指n＜30。t分布适用于 当总体标准差未知时用样本标准差s代替总体标准差σ，由
样本平均数推断总体平均数及两个小样本之间差异的显著性
χ2 分布是海尔墨特（Hermert）和卡· 皮尔生（K· Pearson） 分别于1875年和1890年导出的。它主要适用于对拟合优度检 验和独立性检验，以及对总体方差的估计和检验。 χ2 分布是一种抽样分布。当我们对正态随机变量随机地重 复抽取个数值，将每一个值变换成标准正态变量，并对这个 新的变量分别取平方再求和之后，就得到一个服从χ2分布的 变量，即
F分布的主要性质有： ①F分布是一种非对称的分布，呈右偏态； ② F分布两个自由度：n1-1和n2-1，相应的分布记作F(n1-1,n2-
1)。通常n1-1称为分子自由度， n2-1称为分母自由度。
③随n1,n2的不断增大，F分布的右偏程度逐渐减弱，但不会趋向 正态；
④具有倒数性质即若X～F(n1,n2)，则1/X～F(n1,n2)；
(4) t 分布是一个分布族，对于不同的样本容量对应不同的 分布，且均值都为0；随着自由度的增大，分布也逐渐趋 于标准正态分布。
三大抽样分布
U ~ 2(n1 ),
F ( n2 , n1 )
V
~
2 (n2 ) , 使F
U / n1 V / n2
(2) 若 t ~ t(n), 则 t 2 ~ F (1, n) (P130-习8)
简证: t : t(n) X : N (0,1), Y : 2(n),使t X
Y /n t 2 X 2 , X 2 : 2(1), Y : 2(n), F分布定义
第四节 抽样分布（重点）
主要内容（2学时）
一、卡方分布( 2分布)。
二、t分布。 三、F分布。 四、正态总体的样本均值、样本方差的分布。
说明： 统计量是样本的函数，是随机变量，有其概率
分布，统计量的分布称为抽样分布.
要求： 了解 2 分布、t 分布、F 分布的定义，及来自
正态总体X的样本均值的分布等常见统计量的分布。
(50)
:
n 50 45
z0.05 1.645
2 0.05
(50)
1 2
(z0.05
2 * 50
1)
1 2
(1.645
99) 67.221
(2) P( X A) 1 0.025 0.975
A
2 0.975
(6)
1.237
例2 设X1 , X 2 , ..., X10为总体N (0, 0.32 )的一个样本,
会查 2 分布、t 分布、F 分布的上分位数。
一、卡方分布（ 2 分布 ）
1、定义（重点）
设 X1 , X 2 , L , Xn 是来自标准正态总体 N (0 , 1)
的一 个样本，令 2
X 12
X
2 2
L
X
2 n
常用的三种抽样分布
常用的三种抽样分布
概述
在统计学中，抽样分布是指从总体中抽取一定数量的样本，并计算样本统计量的分布。
根据中心极限定理，当样本数足够大时，样本的均值和标准差会呈正态分布。
然而，并非所有的抽样分布都符合正态分布。
本文将介绍统计学中常用的三种抽样分布，包括正态分布、t分布和χ²（卡方）分布。
1. 正态分布（Normal Distribution）
正态分布是最常见的一种抽样分布，也被称为高斯分布。
它具有以下特点： - 均值为μ，标准差为σ； - 对称分布，其曲线呈钟型，两侧尾部逐渐下降； - 总体分布和抽样分布均为正态分布； - 标准正态分布
的均值为 0，标准差为 1。
可以通过标准化计算将任意正态分布转换为标准正态分布。
正态分布在实际应用中非常重要，尤其是在假设检验和置信区间计算中的应用广泛。
2. t分布（Student’s t-Distribution）
t分布是由英国统计学家William Sealy Gosset（也被称为。
抽样分布及其上分位数
例4 对Z ~ N (0,1),Tn ~ t(n)，有
P( Z z /2 ) , P( Z z /2 ) 1 ,
P( Tn t /2(n)) , P( Tn t /2(n)) 1
证明： P( Z z / 2 ) P(Z z / 2 ) P(Z z / 2 )
对标准正态密度函数( x)有
sup pn( x) ( x) 0.0041
x
特别,当n 时, 有
lim
n
pn
u
1
u2
e 2 (u)
2
概率论与数理统计
t分布的性质
定理3.5: 如果Z～N(0,1) , ~ 2(n), 且Z与 相互独立，则有
Z ~ t(n)
n
概率论与数理统计
定理 3.6
如果X1,X2,…,Xn是来自正态总体 N (, 2 )
的样本, Xn和S 2分别为样本均值和样本方差,
则有
Xn ~ t(n 1)
Sn
概率论与数理统计
证明：由定理3.4
Z
Xn / n
~
N (0,1),
(n 1)S 2
2
~
2(n 1).
且它们独立. 则由定理3.5得到
Z
Xn
/(n 1) / n
F分布的性质
定理3.7:如果 ~ 2(n), ~ 2(m),和独立，则 F n ~ F (n, m) m 1 m ~ F (m, n) F n
概率论与数理统计
设X1, X2 , , Xn是来自总体X的样本， Y1,Y2 , ,Ym是来自总体Y的样本. 如果总体X 和总体Y 独立，则来自这 两个总体的样本也相互独立.于是
/2 /2
P( Z z / 2 ) 1 P( Z z / 2 ) 1 ,
16几个常用的抽样分布与抽样分布定理
(s
0),
(s 1)
s (s) ,(12)
3
3．性质：
1）期望与方差
提示： 2
X
2 1
X
2 n
若 2 ~ 2(n)，则 E( 2)= n，D( 2)=2n
证明： 因为Xi～N(0, 1)
所以
E
(
X
2 i
)
D( Xi
) [E( Xi
)]2
1 0 1
D(
X
2 i
)
E
(
X
4 i
)
[
2 1
/
2 2
~
F (n1
1, n2
1)
29
定理2结论(3)
假定
2 1
2 2
2,
就有
t T ( X Y ) (1 2 ) ~ S 1 n1 1 n2
(n1 n2 2)
其中
S2
(n11)S12 (n2 1)S22 n1 n 2 2
即
( X Y ) (1 2 )
13
Ｔ 的概率密度为
(s) xs1e x d x (s 0),
0
f (t)
( n 1) 2
(1
t2
)
n1
2,
(12)
t
n ( n) n
2
14
2．基本性质：
(1) f ( t ) 关于 t = 0(纵轴)对称。
(2) f ( t ) 的极限为 N(0, 1) 的密度函数，即
lim f (t) (t)
标准化
定理1：设总体 X ~ N ( , 2 ) ，X1, X2,…, Xn 是
来自总体 X 的样本，
三大抽样分布课件
n4 n6
n10
n4 n6
n10
n20
当随机变量 2 ～ 2 (n) 时，对给定的 (01)，称满足
P (21 2 (n))1
的
2 1
(n)是自由度为n的卡方分布的
1－
分位数.
1 2 － 0.0 （ 5 1） 0 0 2 ＝ .9 （ 5 1） 01.＝ 3 81
2 (10)
5.4.2 F分布
y2 n
n1
) 2,
2
y .
这就是自由度为ｎ的ｔ分布的密度函数。
ｔ分布的密度函数的图象是一个关于纵轴对称的分布 与标准正态分布的密度函数形状类似，只是峰比标准正态
分布低一些，尾部的概率比标准正态分布的大一些。
N(0,1)
t(4)
t (1)
●自由度为1的ｔ分布就是标准柯西分布，它的均值不存在； ●ｎ>1时,ｔ分布的数学期望存在且为0。 ●ｎ<1时,ｔ分布的方差存在，且为ｎ/(ｎ-2)； ●当自由度较大比如 n30时，ｔ分布可以用Ｎ(0,1)分布近似 (见下页图)
•
m n
2 2
）
m
mnm2
2 n
mn
ym211
m
mn
y 2
n
2 2
这就是自由度为m与n的F分布的密度函数。
n40 n10
n4 n 1
若 F~F(m,n)对 , 给定 (0的 1)称 , 满足
PFF1m,n1
的 F1(m,n)是自由 m与 度 n的 F分 为布 1的 分位 .
F(4,10)
P(0ty)P(0ty)P(yt0) P(0ty)1P(t2y2) 2
由于 t2 XX2212/n~F(1,n)
三大抽样分布(F、t、X2)
(三)三大抽样分布(l)t分布首先，我们应把注意力放在服从t分布的t变量的构造上。
设百，叼，…，凝是来自正态总体您)的一个样本.则有：对样本均值x施行标准化变换，则有：公=与=向〜)〜秋o,D当用样本标准差S代替上式中的总体标准差b，则上式U变量改为t变量，标准正态分布N①，1)也随之改为''自由度为n-1的t分布” .记为.即：――G-〃) -.［修一V尾部概率产(x>3) =0.00155. F(r >3) >0,02自由度为n-1的t分布的概率密度函数与标准正态分布N(0, 1)的概率密度函数的图形大致类似，均为对称分布，但它的峰比N(0, 1)的峰略低一些，而两侧尾部要比N①，1)的两侧尾部略粗一点，参见图1.3-8。
当自由度超过3。
后，两者区别已很小，这时可用N9, 1)代替1号-1)・(2) /分布设百，叼，…，演是来自正态总体从(人〃)的一个样本，则其样本方差一的n-l倍(也即离差M平方和2：(々- 3)2除以总体方差的分布是自由度为n-1的Z?分布，记为才 2 (% 一1),即：2-1♦一？S - = £ - 2)2 / /〜F 伽-1)自由度为n-1的1？分布的概率密度函数在正半轴上呈偏态分布，参见图1.3-9o（3）F 分布设有两个独立的正态总体N （〃i ，/）和4），它们的方差相等。
又设x P 叼，…，/是来自N （〃i ，〃）的一个样本；Xp -一，是来自》（外，〃）的一个样 本 > 两个样本相互独立。
它f 门的样本方差比的分布是自由度为n-1和的F 分布：其中n-1称为分子自由度或第1自由度；m-1称为分母自由度或第2自由度■ F 分布的概率密度函数在正半轴上呈偏态分布，参见图l.3-10o阳131。
尸储加-1）的IK 率密度函数 n-X _次（演-五）2 1 2-1〜F （力一 L W-1）。
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16 三大抽样分布
一.来自正态总体的几个常用统计量的分布
(一) 2分布
1. 定义及概率密度
X1,X2,…Xn 是来自总体N(0,1)的样本,则称统计量
2
X
2 1
X
2 2
X
2 n
服从自由度为n的2分布. 记为2 ～ 2(n).
2 分布是由正态分布派生出来的一种分布.
2 2
X4
6 2
X 5 )2
~
2 (2)
dx
12
n3
1
2n
4. 上分位点
2
对于给定的 (0 1)，称满足条件：
P{ 2 2 (n)}
的点2 (n)为 2(n)分布的上分位点。
当n充分大时，2 (n)
1 2 (z
2n 1)2
z 是标准正态分布的上分位点。
例1：设总体X N , 2 , , 2 已知。 X1, X 2, , X n 是取自总体X的样本
2分布的密度函数为
f (x,n)
2n
1 2 (n
n
x
1
x2 e 2
2)
0
其中伽玛函数( x) 通过积分
x0 x0
( x) ett x1dt, x 0 0
来定义. ( x 1) x( x)
(n 1) n!
(1)
2
2分布的 密度函数 的图形如 右图.
2. 2分布的可加性
(1) 设X1, X 2 ,, X n 相互独立, 都服从正态分布
N (, 2 ), 则
2
1
2
n
(Xi
i 1
)2
~
2 n
(2) 设
X1
~
2 n1
,
X
2
~
2 n2
,
且X1,X2相互
独立，则
X1
X2
~
2 n1 n2
3. 期望和方差
E( 2 ) n, D( 2 ) 2n
E(
2)
E
(
X
2 1
X
求(1)统计量
2
1
2
n
(Xi )2
i 1
的分布；
（2）设n=5,若a(X1 X 2 )2 b(2 X3 X 4 X5 )2 ~ 2 (k),
则a,b,k各为多少？
解：(1)作变换
Yi
Xi
i 1, 2,
,n
显然Y1,Y2, ,Yn相互独立，且Yi N 0,1 i 1, 2, , n
于是
2
n i 1
(
X
i
)2
n
Yi 2
i 1
2
n
1
a 2 2 ,
1
b 6 2 ,
k 2.
(2)
X1
X2
~
N
(0,
2
2
),
(
X
1X
2 2
2
)2
~
2 (1)
2X3
X4
X5
~
N (0, 6 2 ), (2 X3
X4
6 2
X 5 )2
~
2 (1)
X1
X
2与2X
3
X
4
X
相互独立，
5
故 (X1 X2)2 ＋(2X3
2 2
X
2 n
)
E
(
X
2 1
)
E
(
X
2 2
)
E
(
X
2 n
)
nE
(
X
2 i
)
n{ D(
Xi
)
[E(
X
i
)]2
}
n(1 02 ) n
D(
2)
D(
X
2 1
X
2 2
X
2 n
)
D(
X
2 1
)
D(
X
2 2
)
D(
X
2 n
)
nD (
X
2 i
)
n{ E (
X4 i)[E(X2 i
)]2
}
n
x4
1
2
e
x2 2