2020届江苏省泰州市高三上学期期末考试数学试题word版含解析

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2025届江苏省泰州市泰兴市长生中学八年级数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析

2025届江苏省泰州市泰兴市长生中学八年级数学第一学期期末复习检测模拟试题复习检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．一次函数23y x =- 的图象不经过的象限是（） A ．一B ．二C ．三D ．四2．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，∠BAD=35°，则∠C 的度数为（）A ．35°B ．45°C ．55°D ．60°3．如图，ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB = 5，点 D 是边BC 上一点，若沿将ACD 翻折，点C 刚好落在边上点E 处，则BD 等于（）A ．2B ．52C ．3D ．1034．当分式有意义时，x 的取值范围是（）5．已知：如图在△ABC ，△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论：①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④∠BAE ＋∠DAC ＝180°．其中结论正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．46．有大小不同的两个正方形按图1、图2的方式摆放．若图1中阴影部分的面积20，图2中阴影部分的面积是14，则大正方形的边长是( )A ．6B ．7C ．8D ．97．若x 2﹣2（k ﹣1）x+9是完全平方式，则k 的值为（） A ．±1B ．±3C ．﹣1或3D ．4或﹣28．已知，如图，在△ABC 中，∠CAD=∠EAD ，∠ADC=∠ADE ，CB=5cm ，BD=3cm ，则ED 的长为（）A ．2cmB ．3cmC ．5cmD ．8cm9．如果分式33x -有意义，则x 的取值范围是（） A ．x ＞3 B ．x≠3C ．x ＜3D ．x ＞010．要使分式 3xx - 有意义的x 的取值范围是（） A ．x ＞3B ．x ≠3C ．x ＜3D ．x=3二、填空题(每小题3分,共24分)11．若(42)(3)x m x -+的乘积中不含x 的一次项，则常数m =_________．12．如图，ABC 中，6AB AC ==，12ABC S =△，BD CD =，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，则CF EF +的最小值为______．13．若5mn =，222339m mn n m n +-=+，且3m n ≠-,则22m n +=__________． 14．如图，在ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，交AB 于点E ．若33DBC ∠=︒，A ∠的度数为________．15．在一次对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解3(x +2)(x +8)；乙同学因看错了常数项而将其分解为3(x +7)(x +1)，则将此多项式进行正确的因式分解为____．16．写出点M （﹣2，3）关于x 轴对称的点N 的坐标_____．17．科学家测出某微生物长度为1．111145米，将1．111145用科学记数法表示为______． 18．如图，点D 、E 分别是BC 、AC 的中点，若4ABC S ∆=，则ADE S ∆=_____．三、解答题(共66分)19．（10分）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，慢车的速度是快车速度的12，两车同时出发．设慢车行驶的时间为x （h ），两车之间的距离为y （km ），图中的折线表示y 与x 之间的函数关系．根据图象解决以下问题：（1）甲、乙两地之间的距离为 km ；D 点的坐标为；（2）求线段BC 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）若第二列快车从乙地出发驶往甲地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢20．（6分）解不等式3(2)2x x +>，并把解集在数轴上表示出来.21．（6分）某校要从甲、乙两名同学中挑选一人参加创新能力大赛，在最近的五次选拔测试中，他俩的成绩分别如下表，请根据表中数据解答下列问题：第1 次第2 次第3 次第4 次第5次平均分众数中位数方差甲60分 75分 100分 90分 75分 80分75分 75分 190乙70分90分100分80分80分80分80分（1）把表格补充完整：（2）在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是多少；若将 80 分以上（含 80 分）的成绩视为优秀，则甲、乙两名同学在这五次测试中的优秀率分别是多少；（3）历届比赛表明，成绩达到80分以上（含 80分）就很可能获奖，成绩达到 90分以上（含90分）就很可能获得一等奖，那么你认为选谁参加比赛比较合适？说明你的理由．22．（8分）为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买，两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买型号的污水处理设备的台数与用75万元购买型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：污水处理设备型型价格（万元/台）月处理污水量（吨/台） 220180 （1）求的值；（2）由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过156万元，问有多23．（8分）先化简：26109111x xxx x+-⎛⎫+-÷⎪++⎝⎭，然后在-3，-1，1，3中选择一个合适的数，作为x的值代入求值.24．（8分）在△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，且AD＝AB，若∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）求证：BE＝AF．25．（10分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标．（2）将△ABC向右平移6个单位，画出平移后的△A2B2C2；（3）观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴．26．（10分）已知：点C为∠AOB内一点．（1）在OA上求作点D，在OB上求作点E，使△CDE的周长最小，请画出图形；（不写做法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若∠AOB＝30°，OC＝10，求△CDE周长的最小值．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分) 1、B【分析】根据一次函数中k 与b 的符合判断即可得到答案. 【详解】∵k=2>0，b=-3<0，∴一次函数23y x =- 的图象经过第一、三、四象限，故选：B. 【点睛】此题考查一次函数的性质，熟记性质定理即可正确解题. 2、C【解析】试题分析：根据等腰三角形的三线合一的性质可直接得到AD 平分∠BAC ，AD ⊥BC ，因此∠DAC=∠BAD=35°，∠ADC=90°，从而可求得∠C=55°. 故选C考点：等腰三角形三线合一 3、B【分析】根据勾股定理，求出BC 的长度，设 BD=x ，则DC= 4-x ，由折叠可知：DE= 4-x ，BE=1，在 Rt BDE 中，222BD =BE DE +，根据勾股定理即可求出x 的值，即BD 的长度．【详解】∵∠C= 90°，AC=3，AB=5∴BC=，设BD=x ，则DC= 4-x ，由折叠可知： DE=DC=4-x ，AE=AC=3，∠AED= ∠C=90°， ∴ BE= AB -AE = 1．在 Rt BDE 中，222BD =BE DE +，即：222x =2(4-x)+，解得：x=52， 5故选：B ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理，解题的关键在于写出直角三角形BDE 三边的关系式，即可求出答案． 4、C【解析】试题分析：根据分式有意义的条件可得：x-2≠0，所以可得：x≠2. 故应选C.考点：分式的意义. 5、D【分析】①由AB=AC ，AD=AE ，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS 得出△ABD ≌△ACE ，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE ；②由△ABD ≌△ACE 得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD 垂直于CE ；③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°；④由题意，∠BAE ＋∠DAC=360°-∠BAC-∠DAE=180°．【详解】解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ，即∠BAD=∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△CAE(SAS)， ∴BD=CE ，本选项正确； ②∵△BAD ≌△CAE ， ∴∠ABD=∠ACE ， ∵∠ABD+∠DBC=45°， ∴∠ACE+∠DBC=45°，∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，则BD ⊥CE ，本选项正确； ③∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠ABD+∠DBC=45°， ∵∠ABD=∠ACE∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；④由题意，∠BAE ＋∠DAC=360°-∠BAC-∠DAE=360°-90°-90°=180°，本选项正确；故选D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 6、B【分析】添加如解题中的辅助线，设大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b ，然后根据图1中阴影部分的面积等于长方形的面积减去空白部分的面积和图2中阴影部分的面积等于底乘高除以2，列出方程，即可求出b 、a 的值．【详解】解：添加如图所示的辅助线设大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b由图1可知S 阴影=()()()22122a a ab a b a b b +-+---=20① 由图2可知S 阴影=1142ab =② 整理①，得：2202b ab -=整理②，得28ab =∴228202b -=∴216b =b=4或-4（不符合实际，故舍去）把b=4代入②中，解得：a=7 故选B ．此题考查的是根据阴影部分的面积求正方形的边长，掌握用整式表示出阴影部分的面积和方程思想是解决此题的关键． 7、D【解析】试题解析：∵x 2-2（k -1）x +9是完全平方式， ∴k -1=±3，解得：k =4或-2，故选D 8、A【解析】根据ASA 得到△ACD ≌△AED,再利用全等三角形的性质得到DE=CD 即可求出.【详解】解：∵∠CAD=∠EAD ，AD=AD, ∠ADC=∠ADE ， ∴△ACD ≌△AED ， ∴DE=CD=BC-BD=5-3=2，故选A. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质, 主要考查学生运用定理和性质进行推理的能力，题目比较好，难度适中． 9、B【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，从而得到x ﹣2≠1．【详解】∵分式33x -有意义， ∴x ﹣2≠1．解得：x≠2．故选：B 【点睛】本题主要考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义时，分式的分母不为零是解题的关键． 10、B【分析】根据分式的分母不为0可得关于x 的不等式，解不等式即得答案．【详解】解：根据题意，得：30x -≠，解得：3x ≠．故选：B ．本题考查了分式有意义的条件，属于应知应会题型，熟练掌握基本知识是解题关键．二、填空题(每小题3分,共24分) 11、1【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而得出一次项系数为0，求解即可．【详解】∵(42)(3)x m x -+的乘积中不含x 的一次项， ∴(42)(3)x m x -+=24(122)6x m x m +--中1220m -= ∴6m = 故答案为：1．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，解答本题的关键在于正确去括号并计算． 12、4【分析】作BE ⊥AC 垂足为E ，交AD 于F ，此时CF+EF 最小，利用面积法即可求得答案．【详解】作BE ⊥AC 垂足为E ，交AD 于F ，∵AB=AC ，BD=DC ， ∴AD ⊥BC ， ∴FB=FC ， ∴CF+EF=BF+EF ，∵线段BE 是垂线段，根据垂线段最短， ∴点E 、点F 就是所找的点；∵12ABCSAC BE =， ∴221246ABC S BE AC ⨯===， ∴CF+EF 的最小值4BE ==．故答案为：4．本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、垂线段最短等知识，掌握应用面积法求高是解决这个问题的关键．13、1【分析】根据2223(3)()m mn n m n m n +-=+-=3m+9n 求出m-n=3,再根据完全平方公式即可求解．【详解】∵2223(3)()m mn n m n m n +-=+-=3m+9n=3（m+3n ）又3m n ≠-∴m-n=3∴22m n +=（m-n ）2+2mn=9+10=1故答案为：1．【点睛】此题主要考查因式分解的应用，解题的关键是因式分解的方法及完全平方公式的应用．14、38°【分析】设∠A 的度数为x ，根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DA ，用x 表示出∠ABC 、∠C 的度数，根据三角形内角和定理列式计算即可．【详解】解：设∠A 的度数为x ，∵MN 是AB 的垂直平分线，∴DB=DA ，∴∠DBA=∠A=x ，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C=33°+x ， ∴33°+x+33°+x+x=180°，解得x=38°．故答案为：38°．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．15、23(4)x + 【分析】分别将3(x +2)(x +8)和3(x +7)(x +1)展开，然后取3(x +2)(x +8)展开后的二次项和常数项，取3(x +7)(x +1)展开后的一次项，最后因式分解即可．【详解】解：3(x +2)(x +8)=3x 2+30x+483(x +7)(x +1)= 3x 2+24x+21由题意可知：原二次三项式为3x 2+24x+483x 2+24x+48=3（x 2+8x+16）=23(4)x +故答案为：23(4)x +．【点睛】此题考查的是整式的乘法和因式分解，掌握多项式乘多项式法则、提取公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键．16、（-2，-3）【解析】解：根据平面直角坐标系内关于x 轴对称，纵坐标互为相反数，横坐标不变，∴点M （-2，3）关于y 轴的对称点为（-2，-3）．17、54.510-⨯【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的1的个数所决定．【详解】解：50000045 4.510-=⨯．，故答案为：54.510-⨯．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中110a ≤<，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的1的个数所决定．18、1【分析】根据中线的性质即可求解．【详解】∵点D 、E 分别是BC 、AC 的中点，∴AD 是△ABC 的中线， ∴122ADC ABC S S ∆∆== ∴DE 是△ADC 的中线， ∴112D E C AD A S S ∆∆== 故答案为：1．【点睛】此题主要考查中线的性质，解题的关键是熟知中线平分三角形的面积．三、解答题(共66分)19、（1）1200，D （11，1200）；（2）y =240x -1200（1≤x ≤7.1）；（3）2.71小时．【解析】（1）由题意直接根据图象即可得出答案；（2）设慢车速度为a 千米/小时，快车速度为2a 千米/小时，根据题意建立方程并求解，再设BC 的表达式为y=kx+b ，利用待定系数法即可求出BC 的表达式，注意写出自变量x 的取值范围；（3）根据题意分别求出慢车行驶了1.1小时被第二辆快车追上，此时慢车行驶的路程以及第二辆快车行驶的路程也是440千米，第二辆快车追上慢车所需时间从而进行分析.【详解】解：（1）根据图象可知甲、乙两地之间的距离为1200km ，D 的坐标为（11，1200）；（2）设慢车速度为a 千米/小时，快车速度为2a 千米/小时，根据题意得：1（a+2a ）=1200解得：a=80， 2a=160，因此慢车速度为80千米/小时，快车速度为160千米/小时．1200÷160=7.1快车7.1小时到达乙地．此时慢车与快车的距离为：7.1×80=600，C 点坐标为（7.1，600）设BC 的表达式为y=kx+b ，那么507.5600k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得2401200k b =⎧⎨=-⎩， ∴BC 的表达式为：y=240x-1200（1≤x≤7.1）；（3）根据题意：慢车行驶了1.1小时被第二辆快车追上，此时慢车行驶的路程80×1.1=440，第二辆快车行驶的路程也是440千米，第二辆快车追上慢车所需时间为：440÷160=2.71，1．1-2.71=2.71由于第一辆快车与慢车同时出发，所以第二辆快车比第一辆快车晚出发2.71小时．【点睛】本题考查一次函数的应用，解此题的关键是能根据题意得出关系式，即把实际问题转化成数学式子来表示出来，题目综合比较强，有一定难度．20、x>-6，见详解.【分析】通过去括号，移项，合并同类项，求出解集，然后在数轴上把解表示出来即可.【详解】3(2)2x x +>去括号：632x x +>，移项：236x x -+>-，合并同类项：6x >-，数轴上表示解集如图：【点睛】本题主要考查一元一次不等式的解法，掌握解一元一次不等式的基本步骤，是解题的关键.21、（1）84,104；（2）乙；40%，80%；（3）我认为选乙参加比较合适.【解析】（1）根据乙五次成绩,先求平均数,再求方差即可,（2）方差小代表成绩稳定；优秀率表示超过80分次数的多少,次数越多越优秀, （3）选择成绩高且稳定的人去参加即可.【详解】（1）x 乙= =84，S2 乙= [（70-84）2+（90-84）2+（100-84）2+（80-84）2+（80-84）2]=104（2）∵甲的方差＞乙的方差 ∴成绩比较稳定的同学是乙，甲的优秀率= ×100%=40% 乙的优秀率= ×100%=80% （3）我认为选乙参加比较合适，因为乙的成绩平均分和优秀率都比甲高，且比甲稳定，因此选乙参加比赛比较合适．【点睛】本题考查了简单的数据分析,包括求平均数,方差,优秀率,属于简单题,熟悉计算方法和理解现实含义是解题关键.22、（1）；（2）有3种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为1880吨．【解析】（1）根据90万元购买A 型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B 型号的污水处理设备的台数相同，列出m 的分式方程，求出m 的值即可；（2）设买A 型污水处理设备x 台，B 型则（10-x ）台，根据题意列出x 的一元一次不等式，求出x 的取值范围，进而得出方案的个数，并求出最大值．【详解】（1）由90万元购买型号的污水处理设备的台数与用75万元购买型号的污水处理设备的台数相同，即可得：，解得，经检验是原方程的解，即，（2）设买型污水处理设备台，型则台，根据题意得：，解得，由于是整数，则有3种方案，当时，，月处理污水量为1800吨，当时，，月处理污水量为吨，当时，，月处理污水量为吨，答：有3种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为1880吨．【点睛】本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．23、33x x +-，-2 【分析】先计算括号内的，再将除法转化成乘法，然后从-3，-1，1，3中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．.【详解】解：原式=()()()()1161011133x x x x x x x x +-⎡⎤+++⨯⎢⎥+++-⎣⎦=()()261011133x x x x x x ⎛⎫++-+⨯ ⎪++-⎝⎭ =()()()231133x x x x x ++⨯++- =33x x +- 将x=1代入，原式=-2.【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．24、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）连接BD ，根据角平分线的性质可得∠BAD ＝60°，又因为AD ＝AB ，即可证△ABD 是等边三角形；（2）由△ABD 是等边三角形，得出BD ＝AD ，∠ABD ＝∠ADB ＝60°，证出∠BDE ＝∠ADF ，由ASA 证明△BDE ≌△ADF ，得出BE ＝AF.【详解】（1）证明：连接BD ，∵∠BAC ＝120°，AD 平分∠BAC ∴∠BAD ＝∠DAC ＝12×120°＝60°， ∵AD ＝AB ，∴△ABD 是等边三角形；（2）证明：∵△ABD 是等边三角形，∴∠ABD ＝∠ADB ＝60°，BD ＝AD ， ∵∠DAC ＝12∠BAC ＝60°， ∴∠DBE ＝∠DAF ，∵∠EDF ＝60°， ∴∠BDE ＝∠ADF ，在△BDE 与△ADF 中，DBE DAF BD ADBDE ADF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△BDE ≌△ADF （ASA ），∴BE ＝AF ．【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，掌握数形结合的思想是解题的关键.25、（1）图详见解析，A 1、B 1、C 1的坐标分别为（0，4）、（2，2），（1，1）；（2）详见解析；（3）△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2关于直线x ＝3对称．【分析】（1）利用关于y 轴对称的点的坐标特征写出A 1、B 1、C 1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）利用点利用的坐标规律写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到△A2B2C2；（3）利用对称轴的对应可判断△A1B1C1和△A2B2C2关于直线x＝3对称．【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，A1、B1、C1的坐标分别为（0，4）、（2，2），（1，1）；（2）如图，△A2B2C2为所作；（3）△A1B1C1和△A2B2C2关于直线x＝3对称，如图．【点睛】本题考查轴画轴对称图形,关键在于熟记轴对称的基础知识,理解题意.26、（1）见解析；（2）△CDE周长的最小值为1．【分析】（1）分别作C点关于OA、OB的对称点M、N，然后连接MN分别交OA、OB于D、E，利用两点之间线段最短可判断此时△CDE的周长最小；（2）利用对称的性质得到OM=OC=1，∠MOA=∠COA，ON=OC=1，∠NOB=∠COB，则△DCE的周长为MN，再证明△OMN为等边三角形，从而得到MN=OM=1，所以△CDE周长的最小值为1．【详解】（1）如图，△CDE为所作；（2）∵点M与点C关于OA对称，∴OM=OC=1，∠MOA=∠COA，DM=DC．∵点N与点C关于OB对称，∴ON=OC=1，∠NOB=∠COB，EC=EN，∴△DCE的周长为CD+CE+DE=DM+DE+EN=MN，∴此时△DCE的周长最小．∵∠MOA+∠NOB=∠COA+∠COB=∠AOB=30°，∴∠MON=30°+30°=60°，∴△OMN为等边三角形，∴MN=OM=1，∴△CDE周长的最小值为1．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了最短路径问题．。

江苏省泰州市2020届高三数学上学期期末考试试卷

2019-2020学年度第一学期期末考试数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积V ＝Sh ，锥体的体积V ＝13Sh一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. 函数f(x)＝sin 2x 的最小正周期为________．2. 已知集合A ＝{4，a 2}，B ＝{－1，16}，若A ∩B ≠∅，则实数a ＝________． 3. 复数z 满足z i ＝4＋3i (i 是虚数单位)，则|z|＝________． 4. 函数y ＝1－x 2的定义域是________．5. 从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为________．6. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T 的值是________．7. 已知数列{a n }满足log 2a n ＋1－log 2a n ＝1，则a 5＋a 3a 3＋a 1＝________．8. 若抛物线y 2＝2px(p>0)的准线与双曲线x 2－y 2＝1的一条准线重合，则p ＝________． 9. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，M 为棱AA 1的中点，记三棱锥A 1MBC 的体积为V 1，四棱锥A 1BB 1C 1C 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．10. 已知函数f(x)＝2x 4＋4x 2，若f(a ＋3)>f(a －1)，则实数a 的取值范围为________． 11. 在平面直角坐标系xOy 中，过圆C 1：(x －k)2＋(y ＋k －4)2＝1上任一点P 作圆C 2：x 2＋y 2＝1的一条切线，切点为Q ，则当线段PQ 的长最小时，k ＝________．12. 已知P 为平行四边形ABCD 所在平面上任一点，且满足PA →＋PB →＋2PD →＝0，λPA →＋μPB→＋PC →＝0，则λμ＝________．13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ＋2a ，x ≥a ，x 3＋3x －4a ，x<a ，若存在x 0＜0，使得f(x 0)＝0，则实数a 的取值范围是________．14. 在△ABC 中，已知sin A sin B sin (C －θ)＝λsin 2C ，其中tan θ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，若1tan A ＋1tan B ＋2tan C为定值，则实数λ＝________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分) 已知向量a ＝(sin x ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos x ，其中x ∈(0，π)． (1) 若a ∥b ，求x 的值；(2) 若tan x ＝－2，求|a ＋b |的值．16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，O 为对角线BD 的中点，E ，F 分别为棱PC ，PD 的中点，已知PA ⊥AB ，PA ⊥AD.求证：(1) 直线PB∥平面OEF；(2) 平面OEF⊥平面ABCD.如图，三个小区分别位于扇形OAB 的三个顶点上，Q 是弧AB 的中点，现欲在线段OQ 上找一处开挖工作坑P(不与点O ，Q 重合)，为小区铺设三条地下电缆管线PO ，PA ，PB ，已知OA ＝2千米，∠AOB ＝π3，记∠APQ ＝θ rad ，地下电缆管线的总长度为y 千米．(1) 将y 表示成θ的函数，并写出θ的范围；(2) 请确定工作坑P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左顶点为A ，B 是椭圆C上异于左、右顶点的任意一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设点Q 的横坐标为x 0，求x 0的取值范围．设A ，B 为函数y ＝f(x)图象上相异两点，且点A ，B 的横坐标互为倒数，过点A ，B 分别作函数y ＝f(x)的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数f(x)的“优点”．(1) 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，0<x<1，ax 2， x>1不存在“优点”，求实数a 的值；(2) 求函数f(x)＝x 2的“优点”的横坐标的取值范围； (3) 求证：函数f(x)＝ln x 的“优点”一定落在第一象限．已知首项不为0的数列{a n}的前n项和为S n，2a1＋a2＝a3，且对任意的n∈N，n≥2都有2nS n＋1－(2n＋5)S n＋S n－1＝ra1.(1) 若a2＝3a1，求r的值；(2) 数列{a n}能否是等比数列？说明理由；(3) 当r＝1时，求证：数列{a n}是等差数列．2018～2019学年度第一学期期末考试数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－t ，y ＝12＋t(t 为参数)，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．C. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)设正数a ，b ，c 满足3a ＋2b ＋c ＝1，求1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c 的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝3，AB＝1.(1) 求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2) 求平面A1BC与平面AC1D所成二面角的正弦值．23. (本小题满分10分)已知函数f(x)＝1－|2x－1|，0≤x≤1，设f n(x)＝f n－1(f1(x))，其中f1(x)＝f(x)，方程f n(x)＝0和方程f n(x)＝1根的个数分别为g n(0)，g n(1)．(1) 求g2(1)的值；(2) 证明：g n(0)＝g n(1)＋1.2018～2019学年度第一学期期末考试数学参考答案1. π2. ±43. 54. [－1，1]5. 15 6. 87. 4 8. 2 9. 14 10. (－1，＋∞) 11. 212. －34 13. [－1，0) 14. 51015. (1) 因为a∥b ，所以sin x cos x ＝12，即sin 2x ＝1.因为x ∈(0，π)，所以x ＝π4. (2) 因为tan x ＝sin xcos x ＝－2，所以sin x ＝－2cos x .因为a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋12，1＋cos x ，所以|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋122＋（1＋cos x ）2＝94＋sin x ＋2cos x ＝32.16. (1) O 为BD 的中点，F 为PD 的中点，所以PB∥FO.因为PB ⊄平面OEF ，FO ⊂平面OEF ，所以PB∥平面OEF.(2) 连结AC ，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AC 与BD 交于点O ，O 为AC 的中点．因为E 为PC 的中点，所以PA∥OE.因为PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA⊥平面ABCD ，所以OE⊥平面ABCD. 因为OE ⊂平面OEF ，所以平面OEF⊥平面ABCD.17. (1) 因为Q 为弧AB 的中点，由对称性，知PA ＝PB ，∠AOP＝∠BOP＝π6，又∠APO＝π－θ，∠OAP＝θ－π6，由正弦定理，得PA sinπ6＝OAsin （π－θ）＝OPsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6，又OA ＝2，所以PA ＝1sin θ，OP ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6sin θ，所以y ＝PA ＋PB ＋OP ＝2PA ＋OP ＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6sin θ＝3sin θ－cos θ＋2sin θ，因为∠APQ＞∠AOP，所以θ>π6，∠OAQ＝∠OQA＝12(π－π6)＝5π12，所以θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π12. (2) 令f(θ)＝3sin θ－cos θ＋2sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π12，f′(θ)＝1－2cos θsin 2θ＝0，得θ＝π3， f(θ)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上单调递减，在区间(π3，5π12)上单调递增，所以当θ＝π3，即OP ＝233千米时，f(θ)有唯一的极小值，即是最小值，则f(θ)min＝2 3.答：当工作坑P 与O 的距离为233千米时，地下电缆管线的总长度最小．18. (1) 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，a ＋a 2c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1.(2) 由(1)知，A(－2，0)，设AB ：x ＝my －2，m≠0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，3x 2＋4y 2＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6m 2－83m 2＋4，y ＝12m3m 2＋4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝0，即B(6m 2－83m 2＋4，12m 3m 2＋4)，则P(－83m 2＋4，6m3m 2＋4)，所以k OP ＝－3m 4，OP ：y ＝－3m 4x.因为AB⊥BQ，所以k BQ ＝－m ，所以直线BQ 的方程为BQ ：y ＝－mx ＋6m 3＋4m3m 2＋4，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3m 4x ，y ＝－mx ＋6m 3＋4m3m 2＋4，得x 0＝8（3m 2＋2）3m 2＋4＝8－163m 2＋4∈(4，8)．19. (1) 由题意可知，f′(x)＝f′⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 对x∈(0，1)∪(1，＋∞)恒成立，不妨取x∈(0，1)，则f′(x)＝1x ＝2a x ＝f′⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 恒成立，即a ＝12，经验证，a ＝12符合题意．(2) 设A(t ，t 2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，1t 2(t ≠0且t≠±1)，因为f′(x)＝2x ，所以A ，B 两点处的切线方程分别为y ＝2tx －t 2，y ＝2t x －1t 2，令2tx －t 2＝2t x －1t 2，解得x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所以“优点”的横坐标取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(3) 设A(t ，ln t)，b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，－ln t ，t∈(0，1)，因为f′(x)＝1x，所以A ，B 两点处的切线方程分别为y ＝1t x ＋ln t －1，y ＝tx －ln t －1，令1t x ＋ln t －1＝tx －ln t －1，解得x ＝2ln tt －1t>0，所以y ＝1t ·2ln t t －1t ＋ln t －1＝t 2＋1t 2－1(ln t －t 2－1t 2＋1)，设h(m)＝ln m －m 2－1m 2＋1，m∈(0，1)，则h′(m)＝（m 2－1）2m （m 2＋1）2>0，所以h(m)单调递增，所以h(m)<h(1)＝0，即ln t －t 2－1t 2＋1<0.因为t 2＋1t 2－1<0，所以y ＝1t ·2ln tt －1t＋ln t －1>0，所以“优点”的横坐标和纵坐标均为正数，在第一象限．20. (1)令n ＝2，得4S 3－9S 2＋S 1＝ra 1，即4(a 3＋a 2＋a 1)－9(a 2＋a 1)＋a 1＝ra 1，化简，得4a 3－5a 2－4a 1＝ra 1. 因为2a 1＋a 2＝a 3，a 2＝3a 1，所以4×5a 1－5×3a 1－4a 1＝ra 1，解得r ＝1.(2) 假设数列{a n }是等比数列，公比为q ，则由2a 1＋a 2＝a 3得2a 1＋a 1q ＝a 1q 2，且a 1≠0，解得q ＝2或q ＝－1，由2nS n ＋1－(2n ＋5)S n ＋S n －1＝ra 1，得4S n ＝2na n ＋1－a n －ra 1(n≥2)，所以4S n －1＝2(n －1)a n －a n －1－ra 1(n≥3)，两式相减，整理得2na n ＋1＋a n －1＝(2n ＋3)a n ，两边同除以a n －1，可得2n(q 2－q)＝3q －1. 因为q ＝2或－1，所以q 2－q≠0，所以上式不可能对任意n≥3恒成立，故数列{a n }不可能是等比数列． (3) r ＝1时，令n ＝2，整理得－4a 1－5a 2＋4a 3＝a 1，又由2a 1＋a 2＝a 3可知a 2＝3a 1，a 3＝5a 1，令n ＝3，可得6S 4－11S 3＋S 2＝a 1，解得a 4＝7a 1，由(2)可知4S n ＝2na n ＋1－a n －a 1(n≥2)，所以4S n －1＝2(n －1)a n －a n －1－a 1(n≥3)，两式相减，整理得2na n ＋1＋a n －1＝(2n ＋3)a n (n≥3)，所以2(n －1)a n ＋a n －2＝(2n ＋1)a n －1(n≥4)，两式相减，可得2n[(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)]＝(a n －a n －1)－(a n －1－a n －2)(n≥4)．因为(a 4－a 3)－(a 3－a 2)＝0，所以(a n －a n －1)－(a n －1－a n －2)＝0(n≥4)，即a n －a n －1＝a n －1－a n －2(n≥4)，又因为a 3－a 2＝a 2－a 1＝2a 1，所以数列{a n }是以a 1为首项，2a 1为公差的等差数列．21. A. 将λ＝－2代入⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1－2－52λ－x＝λ2－(x －1)λ－(x ＋5)＝0，得x ＝3，B. 由题意得曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－t ，y ＝12＋t代入(x ＋1)2＋y 2＝4得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋t 2＝4，即4t 2－4t －3＝0，解得t 1＝－12，t 2＝32，则AB ＝2|t 1－t 2|＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－32＝2 2.C. 因为3a ＋2b ＋c ＝1，所以1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c＝(2a ＋a ＋b ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c ≥(2a ×1a＋a ＋b ×1a ＋b ＋b ＋c ×1b ＋c)2＝(2＋1＋1)2＝6＋42，当且仅当1a2a＝1a ＋ba ＋b ＝1b ＋cb ＋c时，等号成立，所以1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c的最小值为6＋4 2.22. (1) 以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，则A 1(0，0，3)，B(1，0，0)，C 1(1，1，3)，所以BA 1→＝(－1，0，3)，AC 1→＝(1，1，3)，所以cos 〈BA 1→，AC 1→〉＝－1＋910×11＝411055.(2) 由题意得C(1，1，0)，D(0，1，0)，所以A 1B →＝(1，0，－3)，A 1C →＝(1，1，－3)，AC 1→＝(1，1，3)，AD →＝(0，1，0)，设平面A 1BC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧A 1B →·n 1＝0，A 1C →·n 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1－3z 1＝0，x 1＋y 1－3z 1＝0，令z 1＝1，则n 1＝(3，0，1)．设平面AC 1D 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧AC 1→·n 2＝0，AD →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋3z 2＝0，y 2＝0，令z 2＝1，则n 2＝(－3，0，1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－9＋110×10＝－45，所以平面A 1BC 与平面AC 1D 所成二面角的正弦值为35.23. (1) 当n ＝2时，f 2(x)＝f 1(1－|2x －1|)＝f(1－|2x －1|)＝1－|2(1－|2x －1|)－1|＝1，所以2(1－|2x －1|)＝1，所以1－|2x －1|＝12，所以2x －1＝±12，所以x ＝14或x ＝34，所以g 2(1)＝2.(2) 因为f(0)＝f(1)＝0，所以f n (0)＝f n (1)＝0.因为f 1(x)＝1－|2x －1|∈[0，1]，当x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f 1(x)单调递增，且f 1(x)∈(0，1]，当x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，f 1(x)单调递减，且f 1(x)∈[0，1)．下面用数学归纳法证明：方程f n (x)＝0(x∈(0，1])、方程f n (x)＝1(x∈(0，1])、方程f n (x)＝0(x∈[0，1))、方程f n (x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为g n (1)．(ⅰ) 当n ＝1时，方程f 1(x)＝0(x∈(0，1])、方程f 1(x)＝1(x∈(0，1])、方程f 1(x)＝0(x∈[0，1))、方程f 1(x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为1，上述命题成立．(ⅱ) 假设n ＝k 时，方程f k (x)＝0(x∈(0，1])、方程f k (x)＝1(x∈(0，1])、方程f k (x)＝0(x∈[0，1))、方程f k (x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为g k (1)，则当n ＝k ＋1时，有f k ＋1(x)＝f k (f 1(x))．当x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f 1(x)∈(0，1]，方程f k ＋1(x)＝0的根的个数为g k (1)．当x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，f 1(x)∈[0，1)，方程f k ＋1(x)＝0的根的个数也为g k (1)．所以方程f k ＋1(x)＝0(x∈(0，1])的根的个数为g k ＋1(0)＝2g k (1)，同理可证：方程f k ＋1(x)＝1(x∈(0，1])、方程f k ＋1(x)＝0(x∈[0，1))、方程f k ＋1(x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为2g k (1)，由(ⅰ)(ⅱ)可知，命题成立，又因为f n (0)＝f n (1)＝0，所以g n (0)＝g n (1)＋1.。

2020届江苏省南通市、泰州市高三上学期期末联考数学试题(解析版)

2020届江苏省南通市、泰州市高三上学期期末联考数学试题一、填空题1．已知集合A ＝{-1，0，2}，B ＝{-1，1，2}，则A ∩B =________. 【答案】{}1,2-【解析】根据交集的定义求解即可【详解】由题,{}1,2A B ⋂=-, 故答案为：{}1,2- 【点睛】本题考查交集的运算,属于基础题2．已知复数z 满足(1+ i ) z ＝2i ，其中i 是虚数单位，则z 的模为_______.【解析】利用复数的除法法则可得1z i =+,进而求得模即可【详解】由题,()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-,所以z ==【点睛】本题考查复数的模,考查复数除法法则的应用,属于基础题3．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值为_______. 【答案】40【解析】根据平均数的公式计算即可【详解】由题,则平均值为()13535413851405⨯++++=, 故答案为：40 【点睛】本题考查求平均数,考查运算能力,属于基础题 4．根据如图所示的伪代码，输出的a 的值为_______.【答案】11【解析】根据已知中的语句可知,该程序的功能是循环计算a ,i 并输出满足条件的a 的值,模拟程序的运行过程,即可得答案【详解】当1a =时,14i =≤,则112a =+=,1124i =+=≤, 则224a =+=,2134i =+=≤, 则437a =+=,3144i =+=≤, 则7411a =+=,415i i =+=>, 所以输出11a =, 故答案为：11 【点睛】本题考查循环结构和算法语句,当程序的运行次数不多时,采用模拟程序运行结果的办法进行解答即可5．已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 2，a 4成等比数列，则1a d的值为_____. 【答案】1【解析】由等比中项可得2214a a a =⋅,再根据等差数列{}n a 可得()()21113a d a a d +=+,即可求得1a 与d 的关系【详解】由0d ≠的等差数列{}n a ,因为124,,a a a 成等比数列,则2214a a a =⋅,即()()21113a d a a d +=+,可得1a d =,则11a d=, 故答案为：1 【点睛】本题考查等差数列定义的应用,考查等比中项的应用,属于基础题6．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为______. 【答案】38【解析】先求得正面向上的概率,再求得恰好出现2次正面向上的概率即可【详解】设“正面向上”为事件A ,则()12P A =,则()11122P A =-=, 所以恰好出现2次正面向上的概率为223113228P C ⎛⎫⎛⎫=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故答案为：38【点睛】本题考查独立重复试验求概率,属于基础题7．在正三棱柱ABC - A 1B 1C 1 中，AA 1＝AB ＝2 ，则三枝锥A 1 - BB 1C 1 的体积为______.【解析】根据正三棱柱的性质可得各棱长均为2,则111111A BB C B A B C V V --=,进而求解即可【详解】因为正三棱柱111ABC A B C -,则1BB ⊥底面111A B C ,111A B C △是等边三角形又因为12AA AB ==,则三棱柱各棱长均为2,则1111112112sin 602323A BB C B A B C V V --⎛⎫==⨯⨯⨯︒⨯=⎪⎝⎭【点睛】本题考查三棱锥的体积的计算,考查正三棱柱的性质应用,考查转化思想 8．已如函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭.若当x ＝6π时，函数f (x )取得最大值，则ω的最小值为______.【答案】5 【解析】根据当6x π=能取到最大值可得()2632k k Z πππωπ-=+∈,则()512k k Z ω=+∈,由0>ω,对k 赋值,即可求解【详解】由题,()2632k k Z πππωπ-=+∈,即()512k k Z ω=+∈,因为0>ω,则当0k =时,5ω=, 故答案为：5 【点睛】本题考查正弦型函数对称性的应用,属于基础题9．已知函数f (x )＝(m -2)x 2+(m -8)x (m ∈R )是奇函数.若对于任意的x ∈R ，关于x 的不等式f (x 2+1)<f (a )恒成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】1a <【解析】先由奇函数可得2m =,代回解析式则可判断函数单调递减,进而可将()()21f x f a +<恒成立转化为21x a +>恒成立,从而求解即可【详解】因为()f x 是奇函数, 所以()()()()()()()2222828220f x f x m x m x m x m x m x -+=---+-+-=-=,则2m =, 所以()6f x x =-,所以()f x 在R 上单调递减,因为()()21f x f a +<恒成立,所以21x a +>恒成立,则()2min11a x <+=,故答案为：1a < 【点睛】本题考查已知函数奇偶性求参数,考查利用函数单调性解不等式恒成立问题10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 分别在双曲线C : x 2-y 2＝1的两条渐近线上，且双曲线C 经过线段AB 的中点.若点 A 的横坐标为2，则点B 的横坐标为______. 【答案】12【解析】先得到渐近线方程为y x =±,则可设A 为()2,2-,(),B x x ,AB 的中点为22,22x x +-+⎛⎫⎪⎝⎭,再将中点坐标代入双曲线C 中,解得x 即为所求【详解】由题,双曲线C 的渐近线方程为：y x =±,因为点A 的横坐标为2,则设A 为()2,2-,(),B x x ,则AB 的中点为22,22x x +-+⎛⎫⎪⎝⎭, 所以2222122x x +-+⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得12x =, 则点B 的横坐标为12, 故答案为：12【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的应用,考查中点公式的应用11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为lgE ＝4.8 +1.5M . 2008年5月汶川发生里氏8.0 级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的______倍. 【答案】1000【解析】由题意分别求得6M =和8时的能量E ,进而求得能量的比【详解】由题,当8M =时,lg 4.8 1.58E =+⨯,则16.810E =；当6M =时,lg 4.8 1.5613.8E =+⨯=,则13.810E =,所以16.8313.81010100010==,故答案为：1000 【点睛】本题考查对数的运算性质的应用,考查阅读分析能力12．已知△ABC 的面积3，且AB ＝AC .若2CD DA =u u u r u u u r,则BD 的最小值为______.【答案】3【解析】由题可设AD x =,则3AB AC x ==,利用余弦定理可得222222cos 106cos BD AB AD AB AD A x x A =+-⋅⋅=-⋅,再根据三角形面积公式可得11sin 33sin 322S AB AC A x x A =⋅⋅=⋅⋅⋅=,则22sin 3A x =,进而cos A =则2BD 为关于x 的函数,利用换元法和导函数求得最值即可【详解】由题,设AD x =,则3AB AC x ==, 所以()22222222cos 323cos 106cos BD AB AD AB AD A x x x x A x x A=+-⋅⋅=+-⋅⋅⋅=-⋅, 因为11sin 33sin 322S AB AC A x x A =⋅⋅=⋅⋅⋅=,所以(]22sin 0,13A x=∈,因为大边对大角,所以令A 为锐角,则cos A =所以222210610BD x x x =-=-设223t x t ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭,则()10f t t =-所以()10f t '=令()0f t '=,则56t =,则()f t 在25,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减,在5,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,所以()min551610663f t f ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭,所以min BD ==,【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形,考查利用导函数求最值,考查运算能力 13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1 : x 2 + y 2＝8与圆C 2 : x 2+y 2+2x +y -a ＝0相交于A ，B 两点.若圆C 1上存在点P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为______.【答案】{8,8-+【解析】先求得直线AB 为：280x y a ++-=,再分别讨论90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒和90APB ∠=︒的情况,根据几何性质求解即可【详解】由题,则直线AB 为：280x y a ++-=,当90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒时,设1C 到AB 的距离为d , 因为ABP △等腰直角三角形, 所以12d AB =,即d =所以2d =,2d ==,解得8a =±当90APB ∠=︒时,AB 经过圆心1C ,则80a -=,即8a =,故答案为：{8,8-+ 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的应用,考查点到直线距离公式的应用,考查分类讨论思想和数形结合思想14．已知函数11,0(),01x x f x x x x ⎧--≥⎪=⎨<⎪-⎩，若关于x 的方程f 2(x )+2af (x )+1-a 2＝0有五个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是___.【答案】(1,1-【解析】画出图像,令()t f x =,由5个不相等的实根可得()10,1t ∈,()21,t ∈+∞,则可列出不得关系,进而求得参数范围即可【详解】由题,画出()f x 的图像,设()t f x =,则方程22210t at a ++-=有5个不相等的实根, 由图可得,()10,1t ∈,()21,t ∈+∞,所以22101210a a a ⎧->⎪⎨++-<⎪⎩,解得113a -<<-, 故答案为：()1,13-- 【点睛】本题考查已知零点个数求参问题,考查数形结合思想二、解答题15．如图，在三棱锥P - ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PC ⊥ AB ，D ，E 分别为BC ，AC 的中点.求证:(1) AB / /平面PDE ; (2)平面PAB ⊥平面PAC .【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）根据中位线的性质可得//AB DE ,进而得证；（2）先证得AB ⊥平面PAC ,进而得证【详解】证明：（1）,D E Q 分别为,BC AC 的中点,//AB DE ∴,DE ⊂Q 平面PDE ,AB ⊄平面PDE ,//AB ∴平面PDE（2）PA ⊥Q 平面ABC ,AB Ì平面ABC ,PA AB ∴⊥,PC AB ⊥Q ,PA PC P =I ,,PA PC ⊂平面PAC , AB ∴⊥平面PAC ,∴平面PAB ⊥平面PAC【点睛】本题考查线面平行的证明,考查面面垂直的证明,考查推理论证能力 16．在△ABC 中，已知AC ＝4，BC ＝3，cosB ＝－14. (1)求sin A 的值；(2)求BA BC u u u r u u u rg 的值.【答案】（1；（2）32-【解析】（1）先求得sin B =再根据正弦定理求得sin A 即可；（2）根据余弦定理解得2AB =,再由数量积的定义求解即可【详解】（1）1cos 4B =-Q ,sin 4B ∴=,根据正弦定理可得,sin sin BC ACA B=,即3sin A =,sin A ∴=（2）根据余弦定理可得,2222cos AC AB BC AB AC B =+-⋅⋅, 即2223432AB AB =++,解得2AB =,13cos2342BA BC BA BC B ⎛⎫∴⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r【点睛】本题考查利用正弦定理求角,考查向量的数量积运算,考查运算能力17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为4，两条准线间的距离为8，A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)已知图中四边形ABCD 是矩形，且BC ＝4，点M ，N 分别在边BC ，CD 上，AM 与BN 相交于第一象限内的点P .①若M ，N 分别是BC ，CD 的中点，证明:点P 在椭圆E 上；②若点P 在椭圆E 上，证明:BMCN为定值，并求出该定值. 【答案】(1) 22184x y +=；(2)①证明见解析；②证明见解析【解析】（1）由22428c a c=⎧⎪⎨=⎪⎩求得,a c ,进而求得椭圆的方程；（2）①分别求得M ,N 坐标,再求得直线AM 与直线BN 方程,即可求得交点坐标,进而得证；②分别设直线AP 的方程为(()11220y k x k =+>,直线BP 的方程为(()22220y k x k =-<,求得点M ,N 坐标,则12222M N y BM k CN x ==-,利用斜率公式求证即可【详解】（1）由题,22428c ac=⎧⎪⎨=⎪⎩,则222c a =⎧⎪⎨=⎪⎩,所以2224b a c =-=,所以椭圆E 的标准方程为：22184x y +=（2）证明：①由（1）可得()A -,()B , 因为4BC =,且四边形ABCD 是矩形,所以()4C,()4D -, 因为点,M N 分别是,BC CD 的中点,所以()M ,()0,4N , 则直线AM20y -=-,即0x -+=, 直线BN404y -=-,即20x -=,所以020x x ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩,解得585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即85P ⎫⎪⎪⎝⎭因为2285+=184⎛⎫ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以点P 在椭圆E 上②设直线AP的方程为(()110y k x k =+>,令x =得1M y =, 设直线BP的方程为(()220y k x k=-<,令4y =,得24N x k -=, 12BMk CN ∴==, 设()00,P x y ()000,0x y >>,则2200184x y +=,()22001222001812882x y k k x x -∴====---,22BM CN ∴=【点睛】本题考查由几何性质求椭圆的方程,考查椭圆的定值问题,考查运算能力与推理证明能力 18．在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a 的正三角形ABC 绕其中心O 逆时针旋转θ到三角形A 1B 1C 1，且20,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.顺次连结A ，A 1，B ，B 1，C ，C 1，A ，得到六边形徽标AA 1BB 1CC 1 .(1)当θ＝6π时，求六边形徽标的面积； (2)求六边形徽标的周长的最大值. 【答案】(1)234a ；(2) 3a 【解析】（1）连接OB ,则123AOB πθ∠=-,由等边三角形ABC 的边长为a ,可得33OA OB a ==,再利用三角形面积公式求解即可；（2）根据三角形的对称性可得1232sinsin 232AA OA a θθ==,123312sin sin 32222A B OB πθθθ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,则周长为关于θ的函数,进而求得最值即可【详解】（1）Q 等边三角形ABC 的边长为a ,3OA OB a ∴==, 连接OB ,123AOB πθ∴∠=-, 2123sin sin 236S OA ππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=⨯+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, ∴当6πθ=时,六边形徽标的面积为234S a =（2）在1AOA V 中,12sinsin 232AA OA a θθ==, 在1BOA V 中,112sin sin 32222A B OB πθθθ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 设周长为()f q ,则()()113sin 23f AA A B θπθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,20,3θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 当且仅当232θππ+=,即3πθ=时,()max fθ=【点睛】本题考查三角形面积的应用,考查正弦型函数的最值问题,考查三角函数在几何中的应用,考查数形结合思想19．已知数列{a n }满足：a 1＝1，且当n ≥2时，11(1)()2nn n a a R λλ---=+∈（1）若λ＝1，证明数列{a 2n -1}是等差数列；（2）若λ＝2.①设223n n b a =+，求数列{bn }的通项公式；②设2113ni n i Cn a n ==⋅∑，证明：对于任意的p ，m ∈ N ，当p > m ，都有p C ≥ C m . 【答案】（1）证明见解析；（2）①243nn b =⋅；②证明见解析【解析】（1）分别可得()2+12+1221112n n n n a a a --=+=+,()222121112nn n n a a a ----=+=,二者求和可得21211n n a a +--=,进而得证；（2）①分别可得()2222212111222n n n n a a a ++++--=+=,()212122112212n n n n a a a ++--=+=+,二者整理可得22242n n a a +=+,即可证明{}n b 是首项为83,公比为4的等比数列,进而求得通项公式；②先求得{}2n a 与{}21n a -的通项公式,则()()213212421ni n n i a aa a a a a -==+++++++∑L L ()4413nn =--,则1111444343333n n n n n n C n n n +++⎛⎫--=--= ⎪⋅⋅⎝⎭,进而利用数列的单调性证明即可【详解】（1）证明：当1λ=时,()1112nn n a a ---=+, ()2+12+1221112n n n n a a a --∴=+=+①，()222121112n n n n a a a ----=+=②,则①+②得21211n n a a +--=, 当1n =时,11a =,{}21n a -∴是首项为1,公差为1的等差数列（2）①当2λ=时,()11122nn n a a ---=+,当2n =时,()22111222a a --=+=, ()2222212111222n n n n a a a ++++--∴=+=①,()212122112212n n n n a a a ++--=+=+②,①+②2⨯得22242n n a a +=+,22222433n n a a +⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭,即14n n b b +=, 122282333b a =+=+=Q ,{}n b \是首项为83,公比为4的等比数列, 1824433n n n b -∴=⋅=⋅②由（2）①知()22413nn a =-,同理由212221212n n n n a a a a +-=+⎧⎨=⎩可得212141n n a a +-=+,212111433n n a a +-⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭, 当1n =时,11141333a +=+=, 2113n a -⎧⎫∴+⎨⎬⎩⎭是首项为43,公比为4的等比数列,12114144333n n n a --∴+=⋅=⋅,()211413n n a -∴=-()()213212421ni n n i a a a a a a a -=∴=+++++++∑L L()()()()()481414248433414141143143993n n n n n n n n n--=-+-=-+--=----, 1111444343333n n n n n n C n n n +++⎛⎫--∴=--= ⎪⋅⋅⎝⎭,()()211214314434133n n n n n n n n C C n n +++++-+----=-+⋅⋅ ()()()()21243143143413n n n n n n n n n +++⎡⎤-+--+--⎣⎦=+⋅()()122346681213n n n n n n n n ++-++++=+⋅()()122346141213n n n n n n n ++-⋅+++=+当1n =时,21321661412023C C -⨯+++-==⨯；当2n =时,213642428120233C C -+++-==⨯⨯；当3n ≥时,10n n C C +->,∴对于一切n *∈N ,都有1n n C C +≥,故对任意,p m N *∈,当p m >时,p m C C ≥【点睛】本题考查等差数列的证明,考查等比数列通项公式的应用,考查等比数列求和公式的应用,考查运算能力与推理论证能力20．设函数1()(x f x ax a e a R x ⎛⎫=--∈⎪⎝⎭，其中e 为自然对数的底数. （1）当a ＝0时，求函数f (x )的单调减区间；（2）已知函数f (x )的导函数f '(x )有三个零点x 1，x 2，x 3(x 1 < x 2 < x 3).①求a 的取值范围；②若m 1，m 2(m 1 < m 2)是函数f (x )的两个零点，证明：x 1<m 1<x 1 +1. 【答案】（1）(1,)+∞；（2）①40,27⎛⎫⎪⎝⎭②证明见解析【解析】（1）当0a =时,()xe f x x =-,令()0f x ¢<,即可求得单调减区间；（2）①()()321x e f x ax x x'=-+,令()31g x ax x =-+,将()f x ¢有三个零点转化为()g x 有三个零点,对()g x 求导,可得()g x 的单调性,进而得到a 的范围；②将()f x 有两个零点转化为方程210ax ax --=有两个零点,则可得2111am am =+,2111a m m =-,进而得到()10g m >,()110g m -<,从而得证【详解】（1）当0a =时,()xe f x x =-, ()()21x e x f x x--'∴=, 令()0f x ¢<,可得1x >,()f x \的单调减区间为(1,)+∞（2）①由题,()()332221111x xx ax x e f x e ax e ax x x x x x⎛⎫-+⎛⎫'=-+==-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0x ≠, 0x e >Q ,20x >,设()31g x ax x =-+,123,,x x x ∴是()g x 的三个零点,()231g x ax '∴=-,当0a ≤时,()0g x ¢<,则()g x 单调递减,不符合条件；当0a >时,令()0g x ¢=,则x =()g x ∴在,⎛-∞ ⎝,⎫+∞⎪⎪⎭单调递增,在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,⎛ ⎝单调递减, ()010g =>Q,0g ∴<,即310a <, ∴427a <,40,27a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭②12,m m Q 是()f x 的两个零点,令()0f x =,则方程210ax ax --=的两根分别为12,m m ,1210m m ∴=-<,12m m <Q ,10m ∴<,21110am am ∴--=,即2111am am =+,2111a m m =-,由①()()3221111111111111110g m am m am m m am m m am =-+=⋅-+=+-+=+>Q ,11m x ∴>,又()()()33111112111111111120g m a m m m m m m m -=--++=--+=<-Q , 111m x ∴-<,即111m x <+,故1111x m x <<+ 【点睛】本题考查利用导函数求函数单调区间,考查已知零点个数求参数问题,考查利用导函数处理零点问题,考查运算能力。

江苏省南通市、泰州市2020届高三上学期期末联考数学学科参考答案)

南通市2020届高三第一次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合，，则▲.【答案】2．已知复数满足，其中是虚数单位，则的模为▲.【答案】3．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为，则这5名党员教师学习积分的平均值为▲.【答案】40 a←1 i←14．根据如图所示的伪代码，输出的a的值为▲．While i≤4【答案】11a←a+i i←i+1 End While5．已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，Print a 则的值为▲．（第4题）【答案】16．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为▲.【答案】7．在正三棱柱中，，则三棱锥的体积为▲.【答案】8．已知函数．若当时，函数取得最大值，则的最小值为▲.【答案】59．已知函数是奇函数．若对于任意的，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是▲．【答案】10．在平面直角坐标系中，已知点A，B分别在双曲线的两条渐近线上，且双曲线经过线段AB的中点．若点的横坐标为2，则点的横坐标为▲．【答案】11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的▲倍．【答案】100012．已知△ABC的面积为3，且．若，则的最小值为▲．【答案】13．在平面直角坐标系中，已知圆与圆相交于A，B两点．若圆上存在点，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数的值组成的集合为▲.【答案】14．已知函数若关于的方程有五个不相等的实数根，则实数的取值范围是▲.【答案】二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，平面，，分别为的中点．求证：（1）AB∥平面；（2）平面平面．【证】（1）在中，因为分别为的中点，所以AB∥DE．……3分又因为平面，平面，所以AB∥平面．……6分（2）因为平面，平面，所以．……8分又因为，平面，，所以平面．……11分因为平面，所以平面平面．……14分16．（本小题满分14分）在△ABC中，已知，，．（1）求的值；（2）求的值．【解】（1）在△ABC中，因为，，由，得．……2分又，，由正弦定理，得，……4分所以．……6分（2）（方法一）由余弦定理，得，……8分即，解得或（舍去）．……11分所以．……14分（方法二）在△ABC中，由条件得，所以，所以．所以．……8分所以．……10分由正弦定理，得，所以．……12分所以．……14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，两条准线间的距离为，分别为椭圆的左、右顶点．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知图中四边形是矩形，且，点分别在边上，与相交于第一象限内的点．①若分别是的中点，证明：点在椭圆上；②若点在椭圆上，证明：为定值，并求出该定值．【解】（1）设椭圆的焦距为，则由题意，得解得所以．所以椭圆的标准方程为．……3分（2）①由已知，得，，，．直线的方程为，直线的方程为．联立解得即．……6分因为，所以点在椭圆上．……8分②（解法一）设，，则，．直线的方程为，令，得．……10分直线的方程为，令，得．……12分所以．……14分（解法二）设直线的方程为，令，得．设直线的方程为，令，得．……10分而．……12分设，，则，所以，所以．……14分18．（本小题满分16分）在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为的正三角形绕其中心逆时针旋转到三角形，且．顺次连结，得到O 六边形徽标．（1）当时，求六边形徽标的面积；（第18题）（2）求六边形徽标的周长的最大值．【解】连结．在正三角形中，，，，．……2分当正三角形绕中心逆时针旋转到正三角形位置时，有，，，所以≌≌，≌≌，所以，．……4分（1）当时，设六边形徽标的面积为，则……6分．答：当时，六边形徽标的面积为．……9分（2）设六边形徽标的周长为，则……11分，．……13分所以当，即时，取最大值．答：六边形徽标的周长的最大值为．……16分19．（本小题满分16分）已知数列满足：，且当时，．（1）若，证明：数列是等差数列；（2）若．①设，求数列的通项公式；②设，证明：对于任意的，当时，都有．【解】（1）时，由，得……2分所以，即（常数），所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．……4分（2）时，，时，．①时，所以．……6分所以．又，所以．……8分又，所以（常数）．所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以数列的通项公式为．……10分②由①知，，．所以，所以．……12分所以．……14分当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以．所以若，则．……16分20．（本小题满分16分）设函数，其中为自然对数的底数．（1）当时，求函数的单调减区间；（2）已知函数的导函数有三个零点，，．①求的取值范围；②若，是函数的两个零点，证明：．【解】（1）时，，其定义域为，．令，得，所以函数的单调减区间为．……3分（2）①，设，则导函数有三个零点，即函数有三个非零的零点．又，若，则，所以在上是减函数，至多有1个零点，不符合题意，所以．……5分令，．列表如下：极大值极小值所以即解得．……8分又，所以在上有且只有1个非零的零点．因为当时，，，，且，又函数的图象是连续不间断的，所以在和上各有且只有1个非零的零点．所以实数的取值范围是．……10分②（证法一）由，得设，且，所以．又因为，所以．所以或时，；时，．由①知，．因为，所以，，所以，．……14分所以成立．……16分（证法二）依题设知：，由①知，设，由①知，所以，在上单调递减．……12分又由，得：，即，所以，又，故，．于是（Ⅰ），即，又，，所以；……14分（Ⅱ），即，又，，故，又，所以，即．所以，得证．……16分21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知，向量是矩阵的属于特征值3的一个特征向量．（1）求矩阵；（2）若点在矩阵对应的变换作用下得到点，求点的坐标．【解】（1）因为向量是矩阵的属于特征值3的一个特征向量，所以，即，所以解得所以．……5分（2）设，则，所以解得所以点的坐标为．……10分B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程（t为参数），椭圆C的参数方程为(为参数)．求椭圆C上的点到直线的距离的最大值．【解】（方法一）直线的普通方程为．……2分设，则点到直线的距离．……8分当，即（）时，．……10分（方法二）直线的普通方程为．椭圆C的普通方程为．……4分设与直线平行的直线方程为，由消，得．令，得．……8分所以直线与椭圆相切．当时，点到直线的距离最大，．……10分C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知都是正实数，且．证明：（1）；（2）．【证】（1）因为都是正实数，所以．又因为，所以，即，得证．……4分（2）因为都是正实数，所以，①，②．③……6分由①+②+③，得，所以，又因为，所以，得证．……10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)如图，在直四棱柱中，，，．（1）求二面角的余弦值；（2）若点为棱的中点，点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的长．【解】在直四棱柱中，（第22题）因为平面，，平面，所以，．又，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．由，得，．……2分（1），，设平面的一个法向量，则即不妨取，则，，所以．……4分因为平面，所以平面的一个法向量为．设二面角的平面角的大小为，根据图形可知，．所以二面角的余弦值为．……6分（2）设，则．又为的中点，则，，．设平面的一个法向量，由得取，则，，所以．……8分设直线与平面所成角的大小为，则，所以或（舍去）.所以.……10分23．(本小题满分10分)一只口袋装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1只.现从口袋中先后有放回地取球次，且每次取1只球.（1）当时，求恰好取到3次红球的概率；（2）随机变量表示次取球中取到红球的次数，随机变量求的数学期望（用表示）.【解】（1）当时，从装有5只小球的口袋中有放回的取球6次，共有个基本事件.记“恰好取到3次红球”为事件，事件包含基本事件有个.因为上述个基本事件发生的可能性相同，故.答：当时，恰好取到3次红球的概率为.……3分（2）由题意知，随机变量的所有可能取值为.则...……5分所以.……7分令，，则，.，所以.所以.答：的数学期望为.……10分。

江苏省泰州市2020-2021学年高二上学期期末调研测试数学试题(word版,含答案)

2020~2021学年度第一学期期末调研测试高二数学试题(考试时间:120分钟;总分:150分)一､单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的｡1.已知命题:,10,xp x R e x ∃∈--≤则命题p 的否定为().,10x A x R e x ∀∈--> B.∀x ∉,10xR e x -->.,10x C x R e x ∀∈--≥.,10x D x R e x ∃∈-->2.已知等差数列{}n a 前10项的和是310,前20项的和是1220,则数列{}n a 的通项公式为().62n A a n =+ .62n B a n =- .42n C a n =+ .42n D a n =-3.在空间四边形OABC 中,,,,OA a OB b OC c ===且2,AM MB =则MC =()12.33A a b c --+21.33B a b c --+12.33C a b c +-21.33D a b c +- 4.2020年北京时间11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射｡嫦娥五号是我国探月工程“绕､落､回”三步走的收官之战,经历发射入轨､地月转移､近月制动､环月飞行､着陆下降､月面工作､月面上升､交会对接与样品转移､环月等待､月地转移､再入回收等11个关键阶段｡在经过交会对接与样品转移阶段后,若嫦娥五号返回器在近月点(离月面最近的点)约为200公里,远月点(离月面最远的点)约为8600公里,以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作,月球半径约为1740公里,则此椭圆轨道的离心率约为()A.0.32B.0.48C.0.68D.0.825.如果向量()()(2,1,3),1,4,2,1,1,a b c m =-=-=-共面,则实数m 的值是(-) A.-1B.1C.-5D.56.设抛物线28y x =的焦点为F,过点M(1,0)的直线与抛物线相交于A,B 两点,若|BF|=4,则|AF|=()7.2A B.3.7C5.2D 7.已知正项等比数列{}n a 的公比为q,前n 项和为,n S 则"q>1"是“46520S S S +->”的()条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要D.既不充分也不必要8.若0<x<y<z 且xyz=1,则下列关系式不一定成立的是(() A.lgy+lgz>0.224y z B +> 2.2C x z +>2.2D x z +>二､多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分｡9.已知双曲线C:221,84x y -=则下列说法正确的是() A.渐近线方程为2y x = B.焦点坐标为(23,0)± C.顶点坐标为(2,0)±D.实轴长为2210.设a,b,c ∈R,则下列结论正确的有() A.若a<b,c<0,则ac>bc1.2B a a+≥ C.若a<b<0,则11a b>222.()22a b a b D ++≤11.任取一个正整数m,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想")｡如取正整数m=3,根据上述运算法则得出3→10→5→16→8→4→2→1,共需经过7个步骤首次变成1(简称为7步“雹程”)｡则下列叙述正确的是()A.当m=12时,经过9步雹程变成1B.当*2()km k N =∈时,经过k 步雹程变成1 C.当m 越大时,首次变成1需要的雹程数越大D.若m 需经过5步雹程首次变成1,则m 所有可能的取值集合为{5,32}12.已知过抛物线24y x =焦点F 的直线l 与抛物线交于A, B 两点,直线AM ⊥l 交x 轴于点M,直线BN ⊥l 交x 轴于点N,则下列结论正确的有(深) A.|AF|+|BF|=|AF|·|BF| B.|MF|+|NF|=|MF|·|NF| C.|AF|·|BF|的最小值为4D.|MF|·|NF|的最小值为16三､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡13.已知直三棱柱111ABC A B C -中,1,,AB AC AB AC AA ⊥==点E,F 分别为111,AA A C 的中点,则直线BE 和CF 所成角的余弦值为____.14.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左,右焦点分别为12,,F F 若椭圆上存在一点P 使得12||2||,PF PF =则该椭圆离心率的取值范围是___.15.如图甲是第七届国际数学教育大会(ICME-7)的会徽｡它的主题图案是由一连串如图乙所示的直角三角形演化而成的｡设其中的第一个直角三角形12OA A 是等腰三角形,且1122334781OA A A A A A A A A ======,它可以形成近似的等角螺线,记1238,,,,OA OA OA OA 的长度组成数列*{}(,18)n a n N n ∈≤≤,且11,n n n b a a +=+则n a =___(n ∈N *,1≤n ≤8),数列{}n b 的前7项和为___.16.已知正实数a,b 满足a+2b=1,则11a ba b+--的最小值为___. 四､解答题:本题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡ 17.(本题满分10分)已知命题p:实数t 满足227120(0)at a a t -+<<,命题q:实数t 满足曲线221259x y t t+=++为椭圆｡ (1)若q 为真,求实数t 的取值范围;(2)若p 是q 的充分条件,求实数a 的取值范围｡18.(本题满分12分)在2,n an n b a =⋅①|10|,n n b a =-②21n n n b a a +=③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并完成问题的解答｡问题:已知数列{}n a 是各项均为正数的等差数列,22,a =且1481,,a a a +成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)记______，求数列{}n b 的前n 项和.n S注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分｡19.(本题满分12分)已知点P(x,y)到定点F的距离与它到定直线:l y 点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)设点Q(m,0)(m>1),若|PQ|求实数m的值｡20.(本题满分12分)2020年11月23日,贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列,这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫,这也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽,全国脱贫攻坚目标任务已经完成,在脱贫攻坚过程中,某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后,为他家量身定制了脱贫计划,政府无息贷款10万元给该农户种养羊,每万元可创造利润0.15万元,若进行技术指导,养羊的投资减少了x(x>0)万元,且每万元创造的利润变为原来的(1+0.25x)倍｡现将养羊少投资的x万元全部投资网店,进行农产品销售,则每万元创造的利润为0.15(a-0.875x)万元,其中a>0.(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润,求x的取值范围;(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润,求a的最大值｡21.(本题满分12分)如图,已知在四棱锥P- ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为直角梯形,AD=2AB= 2BC=2,PA=1,∠ABC=90°.(1)求直线PB与平面PCD所,成角的正弦值;(2)在线段PB 上是否存在点E,使得二面角E-AC-P 的余弦值33？若存在,指出点E 的位置;若不存在,说明理由.22.(本题满分12分)已知A,B 分别是双曲线E ：2214y x -=的左,右顶点,直线l (不与坐标轴垂直)过点N(2,0),且与双曲线E 交于C,D 两点.(1)若3,CN ND =求直线l 的方程;(2)若直线AC 与BD 相交于点P ,求证:点P 在定直线上.2020-2021学年度第一学期期末考试高二数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．13．2514．1[,1)315，11612四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：(1)因为q为真，所以25090259ttt t+>⎧⎪+>⎨⎪+≠+⎩，解得9t>-；……………………4分（2）命题p：由227120t at a-+<得(3)(4)0t a t a--<，因为0a<，所以43a t a<<，设{}|43A t a t a=<<，{}|9B t t=>-，因为p是q的充分条件，所以集合A是集合B的子集，故有49a≥-，解得094a-≤<．……………………10分18．解：（1）因为1481,,a a a+成等比数列，所以2418(1)a a a=+设等差数列{}n a的公差为d，则有2111(3)(1)(7)a d a a d+=++①又22a=，所以12a d+=②联立①②解得111ad=⎧⎨=⎩所以n a n=……………………6分（2）选①，则2nnb n=⋅231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯ (1) 23121222(1)22n n n S n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ (2)(1)-(2)得23122222n n n S n +-=++++-⨯化简得1(1)22n n S n +=-⋅+ ……………………12分选②，则10n b n =-当10n ≤时，10n b n =-，(19)2n n n S -= 当10n >时，219180(9810)[12(10)]2n n n S n -+=++++++++-=综上2(19),10219180,102n n n n S n n n -⎧≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩ ……………………12分选③，则1111()(2)22n b n n n n ==-++1111111111111[()()()()()()]213243546112n S n n n n =-+-+-+-++-+--++ 21111135()212124(1)(2)n nnS n n n n +=+--=++++ ……………………12分19．解：（1|y = 化简得2213y x +=，∴曲线E 的方程为2213y x +=． (6)分（2）PQ ==11)PQ x =-≤≤ ①当12m-<-，即2m >时，min 1PQ m =+=1m =（舍）②当12m -≥-，即12m <≤时，2min 3362PQ m =+=，解得2m = 综上实数m 的值为2． ……………………12分20．解:（1）由题意，得()()0.1510.25100.1510x x +-≥⨯，整理得260x x -≤，解得06x ≤≤，又0x >，故06x <≤．………………5分（2）由题意知网店销售的利润为()0.150.875a x x -万元，技术指导后，养羊的利润为()()0.1510.2510x x +-万元，则()()()0.150.8750.1510.2510a x x x x -≤+-恒成立，又010x <<，∴5101.58x a x≤++恒成立，又51058x x+≥，当且仅当4x =时等号成立， ∴0 6.5a <≤，即a 的最大值为5.6．答：（1）x 的取值范围为06x <≤；（2）a 的最大值为5.6．………………12分21．解：（1）以{},,AB AD AP 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(0,0,1)A B D C P(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1)CP CD PB =--=-=-不妨设平面PCD 的法向量(,,)m x y z =则有00m CP m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z x y --+=⎧⎨-+=⎩，取(1,1,2)m =设直线PB 与平面PCD 所成的角为α，则3sin cos ,m PB m PB m PB⋅=<>==⋅α 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为36………………6分（2）假设线段PB 上存在点E ，使得二面角E AC P --的余弦值33设,[0,1]PE PB =∈λλ，则(,0,1)E -λλ 从而(,0,1),(1,1,0),(0,0,1)AE AC AP =-==λλ 设平面ACE 的法向量1111(,,)n x y z =则有1100AE AC n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111(1)00x z x y +-=⎧⎨+=⎩λλ，取1(1,1,)n =--λλλ设平面PAC 的法向量2222(,,)n x y z =则有2200AP A n C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22200z x y =⎧⎨+=⎩，取2(1,1,0)n =-121212cos ,2n n n n n n ⋅<>===⋅ 解之得23=λ或2=λ（舍）故存在点E 满足条件，E 为PB 上靠近点B 的三等分点． ………………12分 22．解：设直线l 的方程为2+=my x ，设()()2211,,,y x D y x C ，把直线l 与双曲线E 联立方程组，⎪⎩⎪⎨⎧=-+=14222y x my x ，可得()012161422=++-my y m ，则1412,1416221221-=--=+m y y m m y y ， ………………3分 (1)()()2211,2,,2y x y x -=--=,由3=，可得213y y -=，即14822-=m m y ①，14123222-=-m y ②, 把①式代入②式,可得14121483222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--m m m ，解得2012=m ，105±=m ，即直线l 的方程为05452=--y x 或05452=-+y x ． ………………7分 (2)直线AC 的方程为()1111++=x x y y ，直线BD 的方程为()1122--=x x y y ，直线AC 与BD 的交点为P ,故()1111++x x y ()1122--=x x y ，即()1311++x my y ()1122-+=x my y ，进而得到121221311y y my y y my x x ++=-+，又()212143y y y y +-=，故()()339343343112121121221-=-+-=++-++-=-+y y y y y y y y y y x x ，解得21=x 故点P 在定直线21=x 上． ………………12分。

江苏省2020届高三上学期考试数学试卷及答案.doc

高三数学11月考.1数学Ⅰ试题一、填空题（每小题5分，计70分）1．已知集合2{1,1,2,3},{|,3},A B x x R x =-=∈<则AB =．2.设幂函数αkx x f =)(的图像经过点），（24，则=+αk ．3.已知复数2i 12++=i z （i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为. 4. 若双曲线1422=+-my m x 的虚轴长为2，则实数m 的值为________． 5. 已知,x y R ∈,则“1a =”是直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行的条件（从“充分不必要"、“必要不充分”、“充分必耍”、“既不充分也不必要“中选择恰当的一个填空）.6. 已知实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x ，则25+++x y x 的取值范围是__________．7..若5cos 26sin 0,,42ππαααπ⎛⎫⎛⎫++=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin2α= ． 8.设函数()2x xf x e e x -=--，则不等式0)3()12(2≤++x f x f 的解集为.9.已知直线l 与曲线()sin f x x =切于点(,sin )(0)2A πααα<<,且直线l 与函数()y f x =的图象交于点(,sin )B ββ.若αβπ-=，则tan α的值为. 10.如图，在圆O ：224x y +=上取一点(1)A ，E F ，为y 轴上的两点，且AE AF =，延长AE ，AF 分别与圆交于点M N ，，则直线MN 的斜率为．11.若直线04:=-+a y ax l 上存在相距为2的两个动点B A ,，圆1:22=+y x O 上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形（C 为直角顶点），则实数a 的取值范围为.（第10题）12.在四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝2，DC →＝13AB →，AC 与BD 相交于点O ，E 是BD 的中点，AO →·AE →＝8，则AC →·BD →＝________．13.若x ，y 均为正实数，则221(2)x y x y+++的最小值为_______.14.给出函数4)(,)(22-+-=+-=x mx x h bx x x g ，这里R x m b ∈,,，若不等式)(01)(R x b x g ∈≤++恒成立，4)(+x h 为奇函数，且函数⎩⎨⎧>≤=t x x h tx x g x f ),(),()(恰有两个零点，则实数t 的取值范围为________________．二、解答题（共6道题，计90分） 15、（本小题满分14分）如图，已知A 、B 、C 、D 四点共面，且CD =1，BC =2，AB =4，︒=∠120ABC ，772cos =∠BDC . （1）求DBC ∠sin ;（2）求AD.16.（本小题满分14分）已知圆)40(04222222≤<=-+-++a a a ay ax y x 的圆心为C ，直线m x y l +=:.（1）若4=m ，求直线l 被圆C 所截得弦长的最大值；（2）若直线l 是圆心下方的切线，当a 在(]0,4的变化时，求m 的取值范围．17. （本小题满分14分）江苏省第十九届运动会在扬州举行，为此，扬州某礼品公司推出一系列纪念品，其中一个工艺品需要设计成如图所示的一个结构(该图为轴对称图形)，其中ABC ∆的支撑杆CD AB ,由长为3的材料弯折而成，AB 边的长为t 2，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,1t (BC AC ,另外用彩色线连结，此处不计)；支撑杆曲线AOB拟从以下两种曲线中选择一种：曲线1C 是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中，其表达式为x y cos 1-=)，此时记结构的最低点O 到点C 的距离为)(1t h ；曲线2C 是一段抛物线，其焦点到准线的距离为98，此时记结构的最低点O 到点C 的距离为)(2t h ．（1）求函数)(1t h ，)(2t h 的表达式；（2）要使得点O 到点C 的距离最大，应选用哪一种曲线？此时最大值是多少？18. （本小题满分16分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，右准线为l ，l 与x 轴相交于点T ，且F 是AT 的中点．（1）求椭圆的离心率；（2）过点T 的直线与椭圆相交于,M N 两点，,M N 都在x 轴上方，并且M 在,N T 之间，且2NF MF =．①记,NFM NFA ∆∆的面积分别为12,S S ，求12S S ； ②若原点O 到直线TMN，求椭圆方程．19. (本小题满分16分）若函数)(x f y =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使1)()(21=x f x f 成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数x x g sin )(=是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数12)(-=x x f 在定义域[m, n](m>0)上为“依赖函数”，求mn 的取值范围：（3）己知函数)34()()(2≥-=a a x x h 在定义域]4,34[上为“依赖函数”，若存在实数]4,34[∈x ，使得对任意的R t ∈,不等式4)()(2+-+-≥x t s t x h 都成立，求实数s 的最大值.20．（本小题满分16分）已知函数21()2ln 2f x x x ax a =+-∈，R ．（1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由．数学Ⅱ(附加题)1、已知二阶矩阵A 有特征值4=-λ，其对应的一个特征向量为14-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，并且矩阵A 对应的变换将点（1，2）变换成点（8，4），求矩阵A ．2、在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin )ρθθ=设点P 是曲线22:19y C x +=上的动点，求P 到直线l 距离的最大值.3、现有一款智能学习APP ，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP 积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示．（1）现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；（2）现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．4、数列满足且.（1）用数学归纳法证明：；（2）已知不等式对成立，证明：（其中无理数）.高三数学月考.1 试题Ⅰ一、填空题（每小题5分，计70分） 1.{1,1}- 2.233.i -1 4.3=m 5.充分必耍6.[2，3]7.1-8.⎥⎦⎤⎢⎣⎡21-1-，9.2π10.解析：.由题意，取(0,2)M,3kAM=,因为AE AF=，所以3kAN=-，过原点所以1)N-，所以kMN=11.⎥⎦⎤⎢⎣⎡3333-，12. －323解析：由DC→＝13AB→得DC∥AB，且DC＝2，则△AOB∽△COD，所以AO→＝34AC→＝34⎝⎛⎭⎪⎫AD→＋13AB→＝34AD→＋14AB→.因为E是BD的中点，所以AE→＝12AD→＋12AB→，所以AO→·AE→＝⎝⎛⎭⎪⎫34AD→＋14AB→·⎝⎛⎭⎪⎫12AD→＋12AB→＝38|AD→|2＋18 |AB→|2＋12AD→·AB→＝32＋92＋12AD→·AB→＝8，所以AD→·AB→＝4，所以AC→·BD→＝⎝⎛⎭⎪⎫AD→＋13AB→·(AD→－AB→)＝|AD→|2－13|AB→|2－23AD→·AB→＝4－13×36－23×4＝－323.13.解析：()()2222211122x ty t yx yx y xy y++-+++=≥++()01t<<12=，即15t=时()2212x yx y+++5=14.[－2，0)∪[4，＋∞)二、解答题（共6道题，计90分）15、16. 解析：（1）已知圆的标准方程是（x ＋a ）2＋（y －a ）2＝4a （0＜a ≤4），则圆心C 的坐标是（－a ，a ），半径为. 直线l 的方程化为：x －y ＋4＝0.则圆心C 到直线l |2－a |.设直线l 被圆C 所截得弦长为L ，由圆、圆心距和圆的半径之间关系是：L ＝＝＝.∵0＜a ≤4，∴当a ＝3时，L 的最大值为（2）因为直线l 与圆C ＝，即|m －2a |＝又点C 在直线l 的上方，∴a ＞－a ＋m ，即2a ＞m .∴2a －m ＝m ＝)21－1.∵0＜a ≤4，∴0.∴m ∈1,8⎡--⎣17. 解析： (1)对于曲线C 1，因为曲线AOB 的表达式为y ＝1－cos x ，所以点B 的坐标为(t ，1－cos t)，所以点O 到AB 的距离为1－cos t. 因为DC ＝3－2t ，所以h 1(t)＝(3－2t)＋(1－cos t)＝－2t －cos t ＋4⎝⎛⎭⎪⎫1≤t≤32；对于曲线C 2，设C 2：x 2＝2py ，由题意得p ＝98，故抛物线的方程为x 2＝94y ，即y ＝49x 2，所以点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，49t 2，所以点O 到AB 的距离为49t 2.因为DC ＝3－2t ，所以h 2(t)＝49t 2－2t ＋3⎝⎛⎭⎪⎫1≤t≤32. (2)因为h′1(t)＝－2＋sin t<0，所以h 1(t)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上单调递减，所以当t ＝1时，h 1(t)取得最大值2－cos 1.因为h 2(t)＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫t －942＋34，1≤t≤32，所以当t ＝1时，h 2(t)取得最大值为139.因为2－cos 1≈1.46＞139，所以选用曲线C 1，且当t ＝1时，点O 到点C 的距离最大，最大值为2－cos 1.18.（1）因为F 是AT 的中点，所以22a a c c-+=，即(2)()0a c a c -+=，又a 、0c >，所以2a c =，所以12c e a ==；（2）①过,M N 作直线l 的垂线，垂足分别为11,M N ，则11NF MFe NN MM ==，又2N F M F =，故112NN MM =，故M 是NT 的中点，∴12MNF TNF S S ∆∆=，又F 是AT 中点，∴ANF TNF S S ∆∆=，∴1212S S =； ②解法一：设(,0)F c ，则椭圆方程为2222143x y c c+=，由①知M 是,N T 的中点，不妨设00(,)M x y ，则00(24,2)N x c y -，又,M N 都在椭圆上，即有⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(24)4143x y c cx c y c c +=-+=即⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(2)1434x y c c x c y c c +=-+=，两式相减得220022(2)3444x x c c c --=，解得074x c =，可得0y =，故直线MN的斜率为8744k c c ==-，直线MN的方程为4)y x c =-60y +-= 原点O 到直线TMN的距离为d ==，41=，解得c=2212015x y+=．解法二：设(,0)F c，则椭圆方程为2222143x yc c+=，由①知M是,N T的中点，故1224x x c-=，直线MN的斜率显然存在，不妨设为k，故其方程为(4)y k x c=-，与椭圆联立，并消去y得：22222(4)143x k x cc c-+=，整理得222222(43)3264120k x ck x k c c+-+-=，（*）设11(,)M x y，22(,)N x y，依题意⎧⎪⎨⎪⎩21222221223243641243ckx xkk c cx xk+=+-=+由⎧⎨⎩212212324324ckx xkx x c+=+-=解得⎧⎨⎩2122221644316443ck cxkck cxk+=+-=+所以222222221641646412434343ck c ck c k c ck k k+--⨯=+++，解之得2536k=，即6k=-．直线MN的方程为4)y x c=-60y+-=原点O到直线TMN的距离为d==，41=，解得c=2212015x y+=．19．解：(1) 对于函数()sing x x=的定义域R内存在16xπ=，则2()2g x=2x无解故()sing x x=不是“依赖函数”；…3分(2) 因为1()2xf x-=在[m，n]递增，故f(m)f(n)=1，即11221,2m n m n--=+=……5分由n>m>0，故20n m m=->>，得0<m<1，从而(2)mn m m =-在()0,1m ∈上单调递增，故()0,1mn ∈，……7分 (3)①若443a ≤<，故()()2f x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值0，此时不存在2x，舍去；9分 ②若4a ≥故()()2f x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而()4413f f ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，解得1a = (舍)或133a =……11分从而，存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t∈R，有不等式()221343x t s t x ⎛⎫-≥-+-+ ⎪⎝⎭都成立，即2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，由22261334039x x s x ⎡⎤⎛⎫∆=--++≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，……13分得2532926433s x x ⎛⎫+≤ ⎪+⎝⎭，由4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，又53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，故当43x =时，max 532145393x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，……15分从而，解得，综上，故实数s 的最大值为4112．……16分 20.（1）当3a =时，函数21()2ln 32f x x x x =+-的定义域为()0+∞，．则2232()3x x f x x x x-+'=+-=，令()f x '0=得，1x =或2x =．………………………………………………………2分列表：所以函数()f x 的极大值为5(1)2f =-；极小值为(2)2ln 24f =-．………………4分（2）依题意，切线方程为0000()()()(0)y f x x x f x x '=-+>，从而0000()()()()(0)g x f x x x f x x '=-+>，记()()()p x f x g x =-，则000()()()()()p x f x f x f x x x '=---在()0+∞，上为单调增函数，所以0()()()0p x f x f x '''=-≥在()0+∞，上恒成立，即0022()0p x x x x x '=-+-≥在()0+∞，上恒成立．…………………………………8分法一：变形得()002()0x x x x --≥在()0+∞，上恒成立，所以002x x =，又00x >，所以0x =分法二：变形得0022x x x x ++≥在()0+∞，上恒成立，因为2x x+≥x =，所以002x x +，从而(200x ≤，所以0x =分（3）假设存在一条直线与函数()f x 的图象有两个不同的切点111()T x y ，，222()T x y ，，不妨120x x <<，则1T 处切线1l 的方程为：111()()()y f x f x x x '-=-，2T 处切线2l 的方程为：222()()()y f x f x x x '-=-．因为1l ，2l 为同一直线，所以12111222()()()()()().f x f x f x x f x f x x f x ''=⎧⎨''-=-⎩，……………………12分即()()11212221111122222122212122ln 2ln .22x a x a x x x x ax x x a x x ax x x a x x ⎧+-=+-⎪⎪⎨⎪+--+-=+--+-⎪⎩，整理得，122211222112ln 2ln .22x x x x x x =⎧⎪⎨-=-⎪⎩，………………………………………………14分消去2x 得，22112122ln022x x x +-=．① 令212x t =，由120x x <<与122x x =，得(01)t ∈，，记1()2ln p t t t t =+-，则222(1)21()10t p t t t t -'=--=-<，所以()p t 为(01)，上的单调减函数，所以()(1)0p t p >=．从而①式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数()f x 的图象有两个不同的切点．……………………………………………………………………………16分附加题1、【解析】设所求二阶矩阵a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A . 因为A 有特征值4λ=-，其对应的一个特征向量为14-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，所以4=-Ae e ，且1824⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A ，所以444162824a b c d a b c d -+=⎧⎪-+=-⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得4282a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎩.所以4282⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A . 2、【解析】易得直线0l y +-=，设点(cos ,3sin )P αα， ∴P 到直线l的距离|3sin |22d αα--==≤=当且仅当ππ2π62k α+=-，即22ππ()3k k α=-∈Z 时取“=”，所以P 到直线l距离的最大值为3、【解析】（1）由题意，获得的积分不低于9分的情形有：因为两类学习互不影响，所以概率111111115926223229P =⨯+⨯+⨯+⨯=，所以每日学习积分不低于9分的概率为59．（2）由题意可知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3．由（1）知每个人积分不低于9分的概率为59．则()3464=0=9729P ⎛⎫= ⎪⎝⎭ξ；()2135424080=1=C =99729243P ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ξ； ()22354300100=2=C =99729243P ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξ；()35125=3=9729P ⎛⎫=⎪⎝⎭ξ．所以，随机变量ξ的概率分布列为所以6401237297297297293E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ．所以，随机变量ξ的数学期望为53．4、【解析】（1）①当时，，不等式成立.②假设当时不等式成立，即，那么.这就是说，当时不等式成立.根据①，②可知：对所有成立.（2）当时，由递推公式及（1）的结论有，两边取对数并利用已知不等式得，故，求和可得.由（1）知，，故有，而均小于，故对任意正整数，有.。

江苏省南通泰州市 2019 -2020 学年度第一学期期末考试试卷高三数学

8.
已知函数
f
(x)
=
sin
( ω
x
−
π
) (ω
> 0)，若当 x =
π
时，函数
f (x) 取得最大值，则 ω
的最小值为
.
3
6
9. 已知函数 f (x) = (m − 2)x2 + (m − 8)x(m ∈ R) 是奇函数，若对于任意的 x ∈ R，关于 x 的不等式 f (x2 + 1) < f (a)
E(单位: 焦耳) 与地震里氏震级 M 之间的关系为 lg E = 4.8 + 1.5M.2008 年 5 月汶川发生里氏 8.0 级地震, 它释
放出来的能量是 2019 年 6 月四川长宁发生里氏 6.0 级地震释放出来能量的
倍.
12.
已知
△ABC
的面积为
3， CD
=
2D# A»，则
如图，在三棱锥 P − ABC 中，PA⊥ 平面 ABC，PC⊥AB，D, E 为 BC, AC 的
P
中点.
(1) AB 平面 PDE；
(2) 平面 PAB⊥ 平面 PAC.
A
E
C
D B
2020 届高考研究系列试卷第 1 页 (共 4 页)
16. (本小题满分 14 分)
在 △ABC 中，已知 AC = 4，BC = 3，cos B = − 1 . 4
绝密 ⋆ 启用前
江苏省南通、泰州市 2019 ∼ 2020 学年度第一学期期末考试试卷
高三数学
一. 填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分)
1. 已知集合 A = {−1, 0, 2}，B = {−1, 1, 2}，则 A ∩ B =

2020年江苏省泰州市高考数学三模试卷 (含答案解析)

2020年江苏省泰州市高考数学三模试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合U ={1,2，3，4，5，6}，A ={2,4，6}，求∁U A = ______ ．2. 已知复数z =2+i x−i 为纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数x 的值为______ ．3. 运行如图所示的算法流程图，若输出的y 值的范围是[0,10]，则输入的x 值的范围是________．4. 一组数据1，2，3，4，a 的平均数为2，则该组数据的方差等于 ______．5. 从装有质地均匀大小相同的3个白球、2个红球的袋中随机取出2个小球，则取出的小球是同色球的概率是__________．6. 已知f(x)为偶函数，若当x ≥0时，f(x)={cosπx,x ∈[0,12],2x −1,x ∈(12,+∞),则不等式f(x −1)≤12的解集为______________．7. 设等比数列{a n }的前n 项和为S ，若27a 3−a 4=0，则S4S 5= ______ ． 8. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 24−y 29=1的一条准线与两条渐近线所围成的面积为______．9. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的几何体的体积为________．10. 若α∈(0,π2)，且sin2α−2cos2α=2，则tanα=___________．11. 在△ABC 中，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数λ+μ的值为______． 12. 如图，在湖面BM 上高为10m 的A 处测得天空中一朵云C 的仰角为30゜，测得云C 在湖中之影D 的俯角为45゜，则云C 距湖面BM 的高度CM 为________m ．13. 若函数f(x)=ax 2+20x +14(a >0)对任意实数t ，在闭区间[t −1,t +1]上总存在两实数x 1,x 2，使得|f(x 1)−f(x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________．14. 四边形ABCD 中，AC ⊥BD 且AC =2，BD =3，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15. 在△ABC 中，已知sin A ：sin B ：sin C =4：5：6，且a +b +c =30，求a ．16. 如图，在四棱锥S −ABCD 中，侧棱均相等，底面ABCD 为平行四边形，AC ，BD 的交点为O ．(1)求证：AD//平面SBC ；(2)求证：SO ⊥底面ABCD ．17. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦距为2√3，且过点(1,√32)． (1)求椭圆E 的方程；(2)过点P(1,0)的直线l 交E 于M 、N 两点，O 为坐标原点，△MON 的面积为√74，求直线l 的方程．18.某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域(区域I)设计成半径为1km的扇形EAF，中心角∠EAF=θ(π4<θ<π2).为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区(区域II)和休闲区(区域III)，并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形ABCD，其中点E，F分别在边BC和CD上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元．(1)要使观赏区的年收入不低于5万元，求θ的最大值；(2)试问：当θ为多少时，年总收入最大？19.已知：a1=43,a n+1=23−a n．(1)求证：{2−a na n−1}是等比数列；(2)证明：a1a2…a n<2．20.已知函数f(x)=(ax−1)e x，a∈R，e是自然对数底数．(Ⅰ)当a=1时，求函数f(x)的极值；(Ⅱ)若函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：{1,3，5}解析：解：集合U ={1,2，3，4，5，6}，A ={2,4，6}，所以∁U A ={1,3，5}．故答案为：{1,3，5}．根据补集的定义写出答案即可．本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题目．2.答案：12解析：解：由复数z =2+i x−i =(2+i)(x+i)(x−i)(x+i)=(2x−1)+(2+x)i x 2+1为纯虚数，得{2x −1=02+x ≠0，解得x =12．故答案为12．利用复数的除法运算把给出的复数化简为a +bi(a,b ∈R)的形式，由实部等于0且虚部不等于0列式求解x 的值．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题． 3.答案：[−7,9]解析：【分析】本题考查程序框图，条件结构．按照程序框图进行分析运算，属于基础题．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数．原问题转化为已知函数值y 的范围求出相应的x 的范围．【解答】解：该程序的作用是计算分段函数y ={3−x,x <−1x 2,−1≤x ≤1x +1,x >1，当y =0，解得x =−7，当y =10，解得x =9，则输入的x 值的范围是：[−7,9]．故答案为[−7,9]．4.答案：2解析：【分析】本题考查平均数与方差，利用定义求解即可．【解答】解：1+2+3+4+a5=2,a=0，所以方差为15[(1−2)2+(2−2)2+(3−2)2+(4−2)2+(0−2)2]=2，故答案为2．5.答案：25解析：【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，属于基础题．基本事件总数n=C52=10，取出的小球是同色球包含的基本事件的个数m=C32+C22=4，由此能求出取出的小球是同色球的概率．【解答】解：从装有质地均匀大小相同的3个白球、2个红球的袋中随机取出2个小球，基本事件总数n=C52=10，取出的小球是同色球包含的基本事件的个数m=C32+C22=4，∴取出的小球是同色球的概率是p=mn =410=25．故答案为：25．6.答案：[14,23]∪[43,74]解析：【分析】本题考查函数性质及函数图象的应用．利用f(x)为偶函数，作出函数f(x)的图象，数形结合可得结果．【解答】解：f(x)为偶函数，作出函数f(x)的图象，令f(x)=12，解得x=±34或±13，因为f(x−1)≤12，则有−34≤x−1≤−13或−13≤x−1≤34，所以不等式f(x−1)≤12的解集为[14,23]∪[43,74]．故答案为[14,23]∪[43,74]．7.答案：26572719453解析：解：设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，由27a3−a4=0，得27a3−a3q=0，即q=27，∴S4S5=a1(1−q4)1−qa1(1−q5)1−q=1−q41−q5=1−2741−275=26572719453．故答案为：26572719453．设出等比数列的首项和公比，由已知求出公比，代入等比数列的前n项和得答案．本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．8.答案：2413解析：【分析】本题考查双曲线方程的应用，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．求出双曲线的渐近线方程，求出准线方程，求出三角形的顶点的坐标，然后求解面积．解：双曲线C：双曲线x24−y29=1中a=2，b=3，c=√13，则双曲线x24−y29=1的一条准线方程为x=a2c=4√13，双曲线的渐近线方程为：y=±32x，可得准线方程与双曲线C的两条渐近线所围成的三角形的顶点的坐标(4√13,6√13)，(4√13,−6√13)，则三角形的面积为12×4√13×2×6√13=2413．故答案为：24139.答案：4√23π解析：【分析】本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力，是基础题．画出满足条件的几何体，根据圆锥的体积公式直接计算即可得到答案．【解答】解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．这是两个底面半径和高均为√2的圆锥，故．故答案为4√23π．10.答案：2解析：【分析】本题考查二倍角公式及同角三角函数基本关系，属于基础题，由题意得2sinαcosα=4cos2α，左右同除2cos2α即可得答案．解：由题意得sin2α=2(1+cos2α)=4cos 2α.即2sinαcosα=4cos 2α ，又0<α<π2 ，左右同除2cos 2α≠0，∴tanα=2 ． 11.答案：1解析：解：∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λ=13，μ=23， ∴λ+μ=1，故答案为：1．根据向量的运算求出λ，μ的值，代入计算即可．本题考查了向量的线性运算，是一道基础题． 12.答案：10(2+√3)解析：【分析】本题主要考查解三角形的实际应用，考查了学生代入计算能力，比较基础．【解答】解：在ΔACE 中，tan30°=CE AE =CM−10AE , 所以AE =CM−10tan30°(m)．在ΔAED 中，tan45°=DE AE =CM+10AE , 所以AE =CM+10tan45°(m), 所以CM−10tan30°=CM+10tan45°,解得：CM =√3+1√3−1=10(2+√3). 故答案为10(2+√3)．13.答案：8解析：【分析】本题考查了利用函数的最值研究恒成立问题的思路，同时结合函数图象分析问题是关键．结合二次函数的图象可知，当且仅当区间[t −1,t +1]的中点是对称轴时，只要满足[t −1,t +1]上总存在两实数x 1，x 2，使得|f(x 1)−f(x 2)|≥8成立，则对其它任何情况必成立．【解答】解：因为a >0，所以二次函数f(x)=ax 2+20x +14的图象开口向上．在闭区间[t −1,t +1]上总存在两实数x 1，x 2，使得|f(x 1)−f(x 2)|≥8成立，只需t =−10a 时f(t +1)−f(t)≥8，即a(t +1)2+20(t +1)+14−(at 2+20t +14)≥8，即2at +a +20≥8，将t =−10a 代入得a ≥8．所以a 的最小值为8．故答案为8．14.答案：−134解析：解：设AC 与BD 交点为O ，以O 为原点，AC ，BD为坐标轴建立平面直角坐标系，设C(a,0)，D(0,b)，则A(a −2,0)，B(0,b −3)，∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−a,b −3)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,b)． ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a(a −2)+b(b −3)=(a −1)2+(b −32)2−134． ∴当a =1，b =32时，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值−134．故答案为：−134．通过建立坐标系，设C(a,0)，D(0,b)，利用数量积的坐标运算得出数量积关于a，b的函数，求出函数的最小值．本题考查平面向量数量积的运算，涉及向量的坐标运算和向量的模的计算以及向量的夹角公式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．15.答案：解：∵sin A：sin B：sin C=4：5：6，由正弦定理可得：a：b：c=4：5：6，又∵a+b+c=30，∴a=30×44+5+6=8．解析：由sin A：sin B：sin C=4：5：6，利用正弦定理可得：a：b：c=4：5：6，即可得出．本题考查了正弦定理的应用，属于基础题．16.答案：(本小题满分12分)证明：(1)∵底面ABCD为平行四边形，∴AD//BC，…(2分)∵AD⊄平面SBC，BC⊂平面SBC，…(4分)∴AD//平面SBC.…(6分)(2)∵底面ABCD为平行四边形，∴O是AC的中点，∵SA=SC，∴SO⊥AC，…(8分)同理，O是BD的中点，SB=SD，∴SO⊥BD，…(9分)∵AC，BD是平面ABCD内的两条相交直线，…(11分)∴SO⊥底面ABCD.…(12分)解析：(1)推导出AD//BC，由此能证明AD//平面SBC．(2)推导出SO⊥AC，SO⊥BD，由此能证明SO⊥底面ABCD．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．17.答案：解：(1)由已知得{1a2+34b2=1c2=a2−b2=3，解得{a2=4b2=1，∴椭圆E的方程为x24+y2=1．(2)设M(x1,y1)、N(x2,y2)，由题知直线l的斜率不可能是0，设l：x=my+1，联立{x24+y2=1x=my+1，消去x得(4+m2)y2+2my−3=0，∴y1+y2=−2m4+m2，y1y2=−34+m2，S△MON=12|OP||y1−y2|=12√(y1+y2)2−4y1y2=2√m 2+34+m 2=√74，解得m =±2，∴直线l 的方程为x −2y −1=0或x +2y −1=0．解析：(1)利用已知条件求出a ，b ，然后求解椭圆E 的方程；(2)设出MN 的坐标，通过直线与椭圆方程联立，利用韦达定理转化求解过三角形MON 的面积为√74，即可得到结果．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．18.答案：解：(1)∵AF =AE =1，AD =AB ，∠D =∠B =π2，∴△ADF≌△ABE ．∴∠DAF =∠BAE =12(π2−θ)．观赏区的面积为：S II =2×12DF ⋅AD =sin∠DAF ⋅cos∠DAF =12sin2∠DAF =12sin(π2−θ)=12cosθ，要使观赏区的年收入不低于5万元，则要求S II ≥520=14，即cosθ≥12，又，可得：π4<θ≤π3，即θ的最大值为π3．(2)种植区的面积为S I =12⋅AF ⋅AE ⋅θ=12θ，正方形的面积为S =AD 2=cos 2∠DAF =1+cos2∠DAF2=1+sinθ2．该年总收入为W(θ)万元，则W(θ)=10S I +20(S −S I )=5θ+20(1+sinθ2−12θ)=10+10sinθ−5θ．其中，π4<θ<π2，W′(θ)=10cosθ−5．当π4<θ≤π3时，W′(θ)>0，W(θ)递增；当π3<θ<π2时，W′(θ)<0，W(θ)递减． ∴θ=π3时，W(θ)取得最大值，此时年总收入最大．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性、三角形面积、倍角公式、三角形全等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)由已知可得△ADF≌△ABE.∠DAF =∠BAE =12(π2−θ).观赏区的面积为：S II =2×12DF ⋅AD ，要使观赏区的年收入不低于5万元，则要求S II ≥520=14，，即可得出．(2)种植区的面积为S I =12⋅AF ⋅AE ⋅θ=12θ，正方形的面积为S =AD 2=cos 2∠DAF =1+sinθ2.该年总收入为W(θ)万元，W(θ)=10S I +20(S −S I )=10+10sinθ−5θ.利用导数研究其单调性即可得出．19.答案：证明：(1)因为2−a n+1an+1−1=4−2a n 3−a n a n −13−a n=2·2−a nan −1，所以{2−a nan−1}是以2−a 1a 1−1=2为首项，2为公比的等比数列；(2)由(1)知a n =2n +22n +1=2(2n−1+1)2n +1，所以a 1a 2···a n =2(20+1)21+1·2(21+1)22+1·2(22+1)23+1···2(2n−1+1)2n +1=2n+12n +1=2(1−12n +1)<2．解析：本题考查等比数列的证明以及等比数列的通项公式，数列与不等式相结合，题目常规． (1)求得2−a n+1an+1−1=2·2−a na n −1是证明的关键；(2)由(1)的结论可知a n =2(2n−1+1)2n +1，故a 1a 2···a n =2(1−12n +1)<2，问题得证．20.答案：解：(Ⅰ)因为f′(x)=(ax +a −1)e x ，所以当a =1时，f′(x)=xe x ，令f′(x)=0，解得x =0，所以f(x)，f′(x)的变化情况如下表：(Ⅱ)因为f(x)=(ax +a −1)e x ，函数f(x)在区间(0,1)上是单调递增函数，所以f′(x)≥0对x ∈(0,1)恒成立，又e x >0，所以只要ax +a −1≥0对x ∈(0,1)恒成立，要使ax +a −1≥0对x ∈(0,1)恒成立，因为x >0，所以a ≥1x+1对x ∈(0,1)恒成立，因为函数g(x)=1x+1在(0,1)上单调递减，只要a ≥g(0)=10+1=1，所以a 的取值范围是[1,+∞)．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题． (Ⅰ)求出函数f(x)的导数，解关于导函数的不等式，求出函数f(x)的单调区间，从而求出f(x)的极值即可；(Ⅱ)问题转化为只要ax +a −1≥0对x ∈(0,1)恒成立，分离参数得到a ≥1x+1对x ∈(0,1]恒成立，根据函数的单调性求出a 的范围即可．。

【高三】江苏省泰州市届高三上学期期末考试数学试卷(WORD版,有答案)

【高三】江苏省泰州市届高三上学期期末考试数学试卷（WORD版，有答案）试卷说明：泰州市～201学年度第学期期末考高数学试题 (考试时间：120分钟总分160分) 注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题上．）1．已知集，，则▲ ．2．复数是实数，是虚数单位），则的值为▲ ．3．函数的定义域为4．为了解某地区的中小学生视力情况从该地区的中小学生中抽取学生进行调查该地区小学初中高中三个学段学生，，，则从初中抽取的学生人数为▲ ．5．算法流程图图，输出的结果是6．中，，若，则的值为▲ ．7．将一颗骰子先后抛掷次，观察向上的点数．则点数同的概率是．如图，在正三棱柱中，为棱的中点．若，，则棱的体积为9．的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为▲ ．10．（都是实数）．则下列叙述中，正确的序号是▲ ．（请把所有叙述正确的序号都填上）①对任意实数，函数在上是单调函数；②存在实数，函数在上不是单调函数；③对任意实数，函数的图像都是中心对称图形；④存在实数，使得函数的图像不是中心对称图形．11．中，若，N*则，仿此类比，可得到等比数列中的一个正确命题：若，N*，则▲ ．12．的前项和为，若，且，则的两点绕定点顺时针方向旋转角后，分别到两点，则的值为▲ ．14．与函数在区间上都有零点，则的最小值为▲ ．二、解答题：（6小题，90分．，．）（本题满分14分）.（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）若，求的值.16．（本题满分14分）中，为正三角形，.（1）求证：；（2）若，分别为线段的中点，求证：平面平面.17．（本题满分1分）：和圆：，分别是椭圆的左、右两焦点，过且倾斜角为的动直线交椭圆于两点，交圆于两点（如图所示，点在轴上方）．当时，弦的长为．（1）求圆与椭圆的方程；（2）若点是椭圆上一点，求当成等差数列时，面积的最大值.18．（本题满分1分）是，的固定装置，AB上可滑动的点C使垂直于底面（不与重合），且可伸缩（当CD伸缩时，装置ABD随之绕D在同一平面内旋转），利用该运输装置可以将货物从地面处沿运送至处，货物从处至处运行速度为，从处至处运行速度为．为了使运送货物的时间最短，需在运送前调整运输装置中的大小. （1）当变化时，试将货物运行的时间表示成的函数（用含有和的式子）；（2）当最小时，点应设计在的什么位置？19．（本题满分1分）（其中是非零常数，是自然对数的底），记（，N*）（1）求使满足对任意实数，都有的最小整数的值（，N*）；（2）设函数，若对，N*，都存在极值点，求证：点（，N*）在一定直线上，并求出该直线方程；（注：若函数在处取得极值，则称为函数的极值点.和实数，使且对于N*，至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的和，若不存在，说明理由．20．（本题满分1分）是公差不为零的等差数列，数列是等比数列．（1）若（n∈N*），求证：为等比数列；（2）设（n∈N*），其中是公差为2的整数项数列，，若，且当时，是递减数列，求数列的通项公式；（3）若数列使得是等比数列，数列的前项和为，且数列满足：对任意，N*,或者恒成立或者存在正常数，使恒成立，求证：数列为等差数列．～201学年度第学期期末考如图，是是上不同于的两点，过作的切线与的延长线相交于点，与相交于点，．（1）求证：；（2）求证：是的角平分线．B．（本小题满分10分，矩阵与变换）已知矩阵的一个特征根为，它对应的一个特征向量为．（1）求与的值；（2）求．C．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）己知在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以轴为极轴，为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆是以点为圆心，且过点的圆．（1）求圆及圆在平面直角坐标系下的直角坐标方程；（2）求圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值．D．（本小题满分10分，不等式选讲）已知：，．(1)求证：；(2)求证：．［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分) 己知直线与抛物线相交于两点，且）为轴上任意一点，连并延长抛物线相交于．（1）设斜率为，求证：为定值（2）设与轴交于，令，若等比数列，求的值．如图在三棱柱中，底面为，，顶点在底面内的射影是点，且，点是面一点．（1）若是重心，求与面所成角；是否存在点，使且平面，若存在，求的长度，若不存在，说明理由．一、填空题1．； 2．； 3．； 4．； 5．； 6．； 7．； 8．； 9．； 10．①③； 11．；12．； 13．； 14．. 二、解答题15.（1），………………2分增区间为；………………6分（2）即，所以，………………10分或. ………14分16.（1）取BD的中点O，连结EO，CO，∵△ABC为正三角形，且CD=CB∴CO⊥BD，EO⊥BD ………………4分又，∴BD⊥平面EOC，∵平面∴BD⊥EC. ………………7分（2）∵N是AB中点，为正三角形，∴DN⊥AB，∵BC⊥AB，∴DN//BC，∵BC平面BCE DN平面BCE，∴BC//平面BCE，………………10分∵M为AE中点，N为AB中点∴MN//BE，∵MN平面BCE，BE平面BCE，∴MN//平面BCE，………………12分∵MNDN=N，∴平面MND//平面BCE. ..................14分17.解：（1）取PQ的中点D，连OD，OP由，知椭圆C的方程为：，，..................4分（2）设，，..................6分的长成等差数列，设，由得，..................分，，. ..................1分易求得椭圆上一点到直线的距离的最大值是，所以的面积的最大值是...................15分18.解：（1）在中，..................4分，则，... ......8分（2）..................10分令，则..................12分令得，设，则时，；时时有最小值，此时. ..................14分答：当时货物运行时间最短. (15)分19．（1），，，，，，，. ………………4分（2）①………………6分存在极值点② ………………8分在直线上. ………………9分（3）无解，………………10分①当时，而当时，单调减，且在上增，上减，恒成立.单调减，而在上在上增，上减，，又在上单调减综上所述，存在，满足条件. ………………13分②当时，，即或2当时（舍）当时单调减，且时，在上增，上减，而使得在上，，在上，在，在上减，在上增，在上减（舍）综上①②所述：存在，满足条件. ………………16分20.（1）证明：，设公差为且，公比为，=常数，为等比数列………3分（2）由题意得：对恒成立且对恒成立，…5分对恒成立………… ……7分对恒成立………… ……9分而或或. ………… ……10分（3）证明：设不妨设，，即.………… ……13分若，满足，若，则对任给正数M，则取内的正整数时，，与矛盾.若，则对任给正数T=，则取内的正整数时=与矛盾.，而是等差数列，设公差为，为定值，为等差数列.………… ……16分附加题参考答案21.A．证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°而BN=BM△BNM为等腰三角形BD为∠NBM的角平分线∠DBC=∠DBM………………5分（2）BM是⊙O的切线，AM是∠CAB的角平分线………………10分21.B.解：（1）由题意得：……5分（2）设即………………10分21.C.解：（1）⊙M：，对应直角坐系下的点为对应直角坐系下的点为，∴⊙N：……5分（2）PQ=MN-3=………………10分21.D.证明：，而，当且仅当时取“=”. ………………5分（2）柯西不等式，由（1）知，当且仅当时取“=”.………………10分22.解：（1），，设A1，B1，，同理：…5分（2）A1B1：，构成的等比数列，∴而.………………10分23.解：如图以CB、CA分别为x，y轴，过C作直线Cz//BC1，以Cz为z轴（1）T是△ABC1重心设面ABC1的法向量为取法向量设TA1与面ABC1所成角为………………5分（2）T在面ABC1内，，即.由得①设面CAA1C1法向量为取设面TA1C1法向量为取，由平面平面得②由①②解得存在点T，TC=.………10分每天发布最有价值的高考资源每天发布最有价值的高考资源 13 1 每天发布最有价值的高考资源开始第5题是输出S否n←1，S←0n≤3S←2S+1n←n+1结束第8题NMMBQOF1F2xAPDyl江苏省泰州市届高三上学期期末考试数学试卷（WORD版，有答案）感谢您的阅读，祝您生活愉快。

【高三】江苏省泰州市届高三上学期期末考试数学试卷(WORD版,有答案)

【高三】江苏省泰州市届高三上学期期末考试数学试卷（WORD版，有答案）试卷说明：注：所有问题的答案都写在答题纸上，试卷上的答案无效。

填空：（这个主要问题有14个小问题，每个小问题有5个点，总共70个点。

请把答案对应的答案填入答题纸上的空白问题。

）1.已知集合，然后▲. 2.复数是实数和虚数单位），那么▲. 3.函数的定义字段为4。

为了了解某一地区中小学生的视力情况，从该地区的中小学生中选取学生进行调查，该地区的中小学生人数为▲. 5.算法流程图，输出结果为6，如果为，则值为▲. 7.一个接一个地掷骰子，观察向上的点。

那么相同点的概率是。

如图所示，在正三角棱镜中，它是边缘的中点。

如果为，则边的体积为9。

边的右焦点是圆的中心，与双曲线渐近线相切的圆的方程是▲. 10.（都是实数）。

在下面的描述中，正确的序列号是▲. （请填写所有正确的序号。

）① 对于任何实数，函数都是单调函数；② 有实数，函数在平面上不是单调的；③ 对于任何实数，函数的图像都是中心对称图；④ 有实数，所以函数的图像不是中心对称的图形。

如果，n*，那么通过模仿这个类比，我们可以在比例数序列中得到一个正确的命题：如果，n*，那么▲. 12.是，如果，和，在▲ 绕固定点顺时针旋转，分别到达两点，数值为▲. 14.和函数在区间内都有零点，最小值为▲. 2.回答问题：（6个小问题，90分，）（这个问题的满分是14分）（1）找出函数的最小正周期和单调递增区间；（2）如果是的话，它的价值是多少。

16.（本题满分14分），为等边三角形（1）验证：；（2）如果分别是线段的中点，则验证：平面。

17.（满分1分）：和圆圈：，分别是椭圆的左焦点和右焦点。

移动的直线穿过并以一定的倾角与椭圆在两点处相交，与圆在两点处相交（如图所示，该点位于轴上方）。

那时，和弦的长度是。

（1）求出圆和椭圆的方程；（2）如果点是椭圆上的一个点，当它被视为等差序列时，求出面积的最大值。

江苏省泰州市口岸中学2020年高三数学理上学期期末试题含解析

江苏省泰州市口岸中学2020年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数中既是奇函数，又在区间[－1，1]上单调递减的函数是A．B．C． D．参考答案：D2. 已知平面内有一点及一个，若，则点在内部点在线段上点在线段上点在线段上参考答案：D略3. 在△ABC中，AC=7，∠B=,△ABC的面积S=，则AB=A、5 或3B、 5C、 3D、5或6参考答案：A略4. 如果椭圆的离心率为，那么双曲线的离心率为（）A． B． C． D．2参考答案：A略5. 函数的反函数是（）A． B． C． D．参考答案：C当时，∵，∴，且；当时，∵，∴，且．故反函数为6. 一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．参考答案：D7. 函数周期为，其图像的一条对称轴是，则此函数的解析式可以是（）A．B．C．D．参考答案：A略8. 在平行四边形中，,连接、相交于点，若,则实数与的乘积为（）A． B． C．D．参考答案：B9. 函数＋bx的图象在点A（l，f(1））处的切线与直线3x - y＋2＝0平行，若数列｛｝的前n项和为Sn，则S2015＝（）A、1B、C、D、参考答案：D【知识点】数列的求和；二次函数的性质．B5 D4解析：f′（x）=2x+b，由直线3x﹣y+2=0可知其斜率为3，根据题意，有f′（1）=2+b=3，即b=1，所以f（x）=x2+x，从而数列{}的通项为，所以S2015==，故选：D．【思路点拨】由f′（1）与直线斜率相等可得f（x）的解析式，从而可得数列{}的通项公式，计算可得答案．10. 设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，是f(x)的导函数，当时，0＜f(x)＜1；当x∈（0，π）且x≠时，，则函数y=f(x)-sinx 在[-2π，2π] 上的零点个数为A .2B .4 C.5 D. 8参考答案：Ｂ由当x∈（0，π）且x≠时，，知又时，0＜f(x)＜1，在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出和草图像如下，由图知y=f(x)-sinx在[-2π，2π] 上的零点个数为4个.【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在数列{a n}中，若a1 = 1，a n+1 = a n +2 （n≥1），则该数列的通项a n = ____________．参考答案：2n-112. 如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为__________.参考答案：试题分析：设，则由相交弦定理得，，又，所以，因为是直径，则，，在圆中，则，即，解得13. 我国古代数学家赵爽利用“勾股圈方图”巧妙的证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”．他是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角记为θ，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则=．参考答案：【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】根据四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形θ对应的边为x ，另一边为y ．可得2xy+1=25，x 2+y 2=25，从而解得x ，y 的值，sinθ=【解答】解：由题意，设直角三角形θ对应的边为x ，另一边为y ．可得2xy+1=25，x 2+y 2=25，解得x=3，y=4，则sinθ==， ∵锐角记为θ，那么：令=M ＞0．则1+sinθ=M 2，∴M 2=， ∴M=，即=故答案为：．【点评】本题考查三角恒等变换及化简求值，半角公式的灵活运用，是中档题．14. 一个几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是 cm 3；参考答案：略15. 若关于，的不等式组（为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则的值为 .参考答案：先做出不等式对应的区域如图。

2020年江苏省泰州市泰兴第四高级中学高三数学文上学期期末试题含解析

2020年江苏省泰州市泰兴第四高级中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在中，角A，B，C的对边分别为若，则角B的值为A. B. C. D.参考答案：由得.2. 定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数．若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sin x，则f（）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．参考答案：D3. 已知P为直线2x＋y—5＝0上的动点，过点P作圆C：(x—1)2＋(y＋2)2＝2的一条切线，切点为Q，则△PCQ面积的最小值是( )A. B. C.3 D.6参考答案：A 4. 三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．2B．4C．D．16参考答案：B【考点】简单空间图形的三视图．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=4，△ABC中AC=4，AC 边上的高为2，进而根据勾股定理得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中AC=4，AC边上的高为2，故BC=4，在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=4，故选B【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．5. 已知点．若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为型曲线．给定下列三条曲线：① ；② ；③ ．其中，型曲线的个数是（）A．B．C．D．参考答案：C6. 定义在R上的函数f(x)满足f(x-3)＝f(-x-3)，且当x≤-3时，f(x)＝ln(-x)．若对任意x∈R，不等式f(sinx-t)＞f(3sinx-1)恒成立，则实数t的取值范围是A．t＜-3或t＞9 B．t＜-1或t＞9 C． -3＜t＜9 D．t＜1或t＞9参考答案：B7. 已知角θ的终边过点（2sin2﹣1，a），若sinθ=2sin cos，则实数a等于（）A．﹣B．﹣C．±D．±参考答案：B【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用二倍角公式化简，再利用正弦函数的定义，建立方程，即可得出结论．【解答】解：2sin2﹣1=﹣cos=﹣，2sin cos=﹣，∵角θ的终边过点（2sin2﹣1，a），sinθ=2sin cos，∴=﹣，∴a=﹣，故选B．【点评】本题考查正弦函数的定义，考查二倍角公式，属于中档题．8. 已知函数f（x）=ax2+bx+1，其中a∈{2，4}，b∈{1，3}，从f（x）中随机抽取1个，则它在（﹣∞，﹣1]上是减函数的概率为（）A．B．C．D．0参考答案：B【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；函数单调性的判断与证明．【分析】写出所有基本事件（a，b）的取法，求出满足f（x）在区间（﹣∞，﹣1]上是减函数的（a，b）的个数，然后利用古典概型概率计算公式求得概率；【解答】解：函数f（x）=ax2+bx+1，其中a∈{2，4}，b∈{1，3}，从f（x）中随机抽取1个，基本事件总数n=2×2=4，即f（x）共有四种等可能基本事件，分别为（a，b）取（2，1）（2，3）（4，1）（4，3），记事件A为“f（x）在区间（﹣∞，﹣1]上是减函数”，由条件知f（x）开口一定向上，对称轴为x=﹣，事件A共有三种（2，1）（4，1）（4，3）等可能基本事件，则P（A）=．∴f（x）在区间（﹣∞，﹣1]上是减函数的概率为．故选：B．9. 已知x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值是A. B. C. D.参考答案：B10. 数列{a n}是各项均为正数的等比数列，数列{b n}是等差数列，且，则（）A. B.C. D.参考答案：B分析：先根据等比数列、等差数列的通项公式表示出、，然后表示出和，然后二者作差比较即可．详解：∵a n=a1q n﹣1，b n=b1+（n﹣1）d，∵，∴a1q4=b1+5d，=a1q2+a1q6=2（b1+5d）=2b6=2a5﹣2a5= a1q2+a1q6﹣2a1q4 =a1q2（q2﹣1）2≥0所以≥故选：B．点睛：本题主要考查了等比数列的性质．比较两数大小一般采取做差的方法．属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知等比数列的前项和，若，则数列的公比为．参考答案：4设等比数列的公比为，显然，则，解得.12. 函数则的解集为________。

江苏省泰州市2020-2021学年高三上学期期末数学试题(含答案)

2020~2021学年度第一学期期末调研测试高三数学试题一、选择题：（本题共8小题，小題5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，请将答案填涂在答题卡相应区域）1．若集合{}240A x x =-<∣，{lg 0}B xx =<∣，则A B =（）A ．(2,1)-B ．(2,2)-C ．(0,1)D ．(0,2)2．设x ∈R ，则“||1x <”是“31x <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若复数2z i =-，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是（）A ．z 的虚部为i -B ．||5z =C ．2z i =--D ．234z i =-4．人的血压在不断地变化，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的度数就是收缩压和舒张压，度数120/80mmHg 为标准值．设甲某的血压满足函数式()10224sin(160)p t t π=+，其中()p t 为血压（单位：mmHg ），t 为时间（单位：min ），对于甲某而言，下列说法正确的是（）A ．收缩压和舒张压均高于相应的标准值B ．收缩压和舒张压均低于相应的标准值C ．收缩压高于标准值、舒张压低于标准值D ．收缩压低于标准值、舒张压高于标准值5．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径意思是：球的体积V 乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d ，由此我们可以推测当时球的表面积S 计算公式为（） A ．2278S d =B ．2272S d =C ．292S d =D ．21114S d =6．已知向量(1,2)AB =，(cos ,sin )AC θθ=，则ABC 面积的最大值为（）A B ．12C D ．17．已知0.1log 5x =，7log y = ）A ．0x y xy +<<B ．0xy x y <+<C ．0x y xy +<<D ．0xy x y <<+8．已知定义在R上的奇函数()f x 满足()(6)f x f x =-，且当03x ≤<时，21),01()2(2),13a x x f x x x ++≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩，其中a 为常数，则(2019)(2020)(2021)f f f ++的值为（） A ．2B ．2-C ．12D ．12-二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．）9．已知抛物线2:4x y Γ=的焦点为F ，过F 与y 轴垂直的直线交抛物线Γ于点M ，N ，则下列说法正确的有（）A ．点F 坐标为(1,0)B ．抛物线Γ的准线方程为1y =-C ．线段MN 长为4D ．直线2y x =-与抛物线Γ相切10．已知函数()sin(cos )f x x =，则下列关于该函数性质说法正确的有（）A ．()f x 的一个周期是2πB ．()f x 的值域是[1,1]-C ．()f x 的图象关于点(,0)π对称D ．()f x 在区间(0,)π上单调递减11．引入平面向量之间的一种新运算“⊗”如下：对任意的向量()11,m x y =，()22,n x y =，规定1212m n x x y y ⊗=-，则对于任意的向量a ，b ，c ，下列说法正确的有（）A ．a b b a ⊗=⊗B ．()()a b a b λλ⊗=⊗C ．()()a b c a b c ⋅⊗=⊗⋅D ．||||||a b a b ⋅≥⊗12．已知()20122221nn n n n n n x xT T x T x T x ++=+++⋯+，*n ∈N ，其中i n T 为()21nx x ++展开式中i x 项系数，0,1,2,,2i n =⋅⋅⋅，则下列说法正确的有（） A ．1477iiT T -=，0,1,2,,14i =⋅⋅⋅B ．233778T T T +=C ．1467123ii i i T===∑∑D ．77T 是07T ，17T ，27T ，…，147T 是最大值三、填空题：（本题共4小题，毎题5分，共20分，第16题第空2分第〓空3分，请将答案填写在笞题卡相应的位置上）13．函数()e xf x x =+（其中e 为自然对数的底数）的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为________． 14．党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育为了响应报告精神，某师范大学5名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作．若将这5名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人最多分配2人，则分配方案的总数为________．15．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:17y x Γ-=的两个焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心，12F F 长为半径的圆与双曲线Γ的一条渐近线交于M ，N 两点，若OM ON ≥，则OMON的值为________． 16．已知随机变量X 有三个不同的取值，分别是0，1，x ，其中(0,1)x ∈，又1(0)2P X ==，1(1)4P X ==，则当x =________时，随机变量X 的方差的最小值为________．四、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本题满分10分）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 已知cos a C ，cos b B ，cos c A 成等差．（1）求角B 的大小；（2）若4cos 5A =，求sin C 的值． 18．（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为(1)2n n n S -=，各项均为正数的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，________，且34b =．在①23T =；②37T =；③4322b b b -=这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n A ，求证：2n A <．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 19．（本题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -12A A =，点1A 在下底面上的射影是ABC 的中心O ．（1）求证：平面1A AO ⊥平面1BCC B ；（2）求二面角1C AB C --的余弦值． 20．（本题满分12分）2020年是脱贫攻坚的收官之年，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利，为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础在产业扶贫政策的大力支持下，西部某县新建了甲、乙两家玩具加工厂，加工同一型号的玩具质监部门随机抽检了两个厂的各100件玩具，在抽取中的200件玩具中，根据检测结果将它们分成“A ”、“B ”、“C ”三个等级，A 、B 等级都是合格品，C 等级是次品，统计结果如下表所示：（表一）（表二）在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从安全起见，所有的次品必须由原厂家自行销．（1）请根据所提供的数据，完成上面的2×2列联表（表二），并判断是否有95%的把握认为产品的合格率与厂家有关？（2）每件玩具的生产成本为30元，A 、B 等级产品的出厂单价分别为60元、40元.另外已知每件次品的销毁费用为4元.若甲厂抽检的玩具中有10件为A 等级，用样本的频率估计概率，试判断甲、乙两厂能否都能盈利，并说明理由．附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．21．（本题满分12分）已知函数3211()232f x x ax x =--的两个极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值）分别为1x 、2x ，且12x x <．（1）证明：函数()f x 有三个零点；（2）当[,)x m ∈+∞时，对任意的实数a ，()2f x 总是函数()f x 的最小值，求整数m 的最小值． 22．（本题满分12分）如图，已知椭圆22:142x y Γ+=，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴上，C ，D 在椭圆Γ上，点D 在第一象限.CB 的延长线交椭圆Γ于点E ，直线AE 与椭圆Γ、y 轴分别交于点F 、G ，直线CG 交椭圆Γ于点H ，DA 的延长线交FH 于点M ．（1）设直线AE 、CG 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k 为定值；（2）求直线FH 的斜率k 的最小值；（3）证明：动点M 在一个定曲线上运动．参考答案与解析1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】B 9．【答案】BC 10．【答案】AD 11．【答案】ABD 12．【答案】ACD 13．【答案】21y x =+14．【答案】9015．【答案】32 16．【答案】13；1617．解：法一：（1）cos ,a C ∴，cos b B ，cos c A 成等差数列，2cos cos cos b B a C c A ∴=+，由正弦定理，2sin cos sin cos sin cos sin()B B A C C A A C =+=+，ABC 中，A B C π++=，()sin()sin S A C B B π∴-+=-=，2sin cos sin B B B ∴=，1cos 2B ∴=，又(0,)B π∈，3B π∴=．（2）4cos 5A =． (0,)A π∈，sin 0A ∴>，3sin 5A ∴==，sin sin()sin cos sin cos C A B A B B A ∴=+=+3143525210+=⨯+⨯=．法二：（1）cos cos 2cos a C c A b B +=，sin cos sin cos 2sin cos sin()2sin cos A C C A B B A C B B ∴+=⇒+=，1cos 2B =，3B π=．（2）4cos 5A =，3sin 5A ∴=，314sin sin 3525C A π⎛⎫∴=+=⨯+=⎪⎝⎭． 18．解：（1）1n =，110a S ==，2n ≥时，11n n n a S S n -=-=-， 1n =时也成立，1n a n ∴=-，若选①，23T =，设{}n b 的公比为q ，0q >，112134b b q b q +=⎧∴⎨=⎩，112b q =⎧∴⎨=⎩，12n n b -=．若选②，则2333T T b =-=，下同①，若选③，则844q q-=，则2q =，下同①， 1n a n ∴=-，12n n b -=．（2）1111(1)22n n n n a n n b ---⎛⎫==- ⎪⎝⎭．22111111012(2)(1)22222n n n A n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⨯+⋯+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭④，211111101(2)(1)22222n nn A n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋯+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⑤，-④⑤2111111(1)22222n nn A n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11112211(1)12212n n n A n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-- ⎪⎝⎭-，11111(1)222n nn A n -⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2111112(1)2(1)2222n n n n A n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=-+< ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．19．解：（1）证明：A 在下底面上的射影是ABC 的中心O ，1A O ∴⊥底面ABC ，1AO BC ∴⊥， O 为ABC 的中心，AO BC ∴⊥，1AO AO O =，BC ∴⊥平面1A AO ，BC ⊂平面11BCC B ，∴平面1A AO ⊥平面11BCC B ．（2）取AB 中点E ，连接OE ，如图建立空间直角坐标系，1,22A ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭，1,022B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(1,0,0)C -，1A ，13,22C ⎛∴- ⎝，1(2,C A =，(0,AB =，设平面1C AB 的一个法向量为1(,,)n x y z =，11111020(3,0,2)00n C A x n n AB ⎧⎧⋅==⎪⎪∴⇒⇒=⎨⋅==⎪⎩，且平面ABC 的一个法向量2(0,0,1)n =，设二面角1C AB C --平面角为θ，1n ，2n 所成角为ϕ，显然θ为锐角，1212cos |cos |77n n n n θϕ⋅∴====⋅．20．解：（1）2×2列联表如下22200(75352565) 2.38 3.84110010014060K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯，∴没有95%的把握认为产品的合格率与厂家有关．（2）甲厂10件A 等级，65件B 等级，25件次品，对于甲厂，单件产品利润X 的可能取值为30，10，34-． X 的分布列如下： 1131()3010341010204E X ∴=⨯+⨯-⨯=>， ∴甲厂能盈利，对于乙厂有10件A 等级，55件B 等级，35件次品，对于乙厂，单位产品利润Y 的可能取值为30，10，34-， Y 分布列如下：111717()30103401020205E Y ∴=⨯+⨯-⨯=-<，乙不能盈利． 21．解：（1）211()232f x x x ax ⎛⎫=--⎪⎝⎭．易知(0)0f =，而对于方程2112032x ax --=，有28043a ∆=+>有两个不同根且不为0，所以可知()f x 有3个零点．（2）2()2f x x ax '=--，依题意有()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞，在()12,x x ，又()2f x 总是()f x 的最小值，则可知()2()f m f x ≥，即有()()()()222222211()2032f m f x m x m mx x a m x ⎡⎤-=-++-+-≥⎢⎥⎣⎦，所以()()22222221122032m mx x x m x x ⎛⎫++--+-≤ ⎪⎝⎭，即22222106323x m m m m x x ⎛⎫-+-++-≤ ⎪⎝⎭，即2222210663x mx m m x --++-=，又当2m =-时，()222222221112136336x x x x x ⎡⎤-+-+=--+-⎢⎥⎣⎦，则当204x <≤时，0LHS <成立，当24x >时，显然有22222222211132206336x x x x x x ⎛⎫-+-+=---+< ⎪⎝⎭成立，又当3m =-时，取22x =时，有22223520626x x x -+-+=>，不成立，故可知min 2m =-．法二：（1）2()20f x x ax =--='有两个不等的实根1x ，2x ，120x x <<，()21()23126f x x x ax =--，令()0f x =得0x =或223120x ax --=， 323120x ax --=有两个不等的非零实根，∴函数()f x 有三个零点.（2）易知()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上分别单调递增，在()12,x x 上单调递减，令()323222221111()223232f x f x x ax x x ax x =⇒--=-- ()()22222222323120x x x x a x x ax ⎡⎤⇒-+-+--=⎣⎦，()2222222323120x x a x x ax +-+--=有一根为2x ，另一根为3x ，223234x a x x -∴+=-，23364a x x -∴=， ()22222223223263644x x ax x x x x ---== 222223633442x x x x ⎛⎫--==-+ ⎪⎝⎭≤-=2m ∴≥-，m Z ∈， 2m ∴≥-，∴整数m 的最小值为2-．22．解：（1）由对称性，设(,0)A t ，(,0)B t -，()0,E t y --，()0,C t y - 则0:()2y AE y x t t =-，得00,2y G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故012y k t =，0232y k t=-，则1213k k =-，（2）由02:2y CG y k x =-，联立()202220220221224022240y y k x y k x k y x x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨⎪+-=⎩，则(()22002022224422,21212y y k y H t k t k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪- ⎪-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭，又01:2y AE y k x =-，联立()202210110221224022240y y k x y k x k y x x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨⎪+-=⎩，则(()22001022114422,21212y y k y F t k t k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪- ⎪-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以122221211221212121611421212k k k k k k k k k -+++==≥-++，得16k =取等．（3）易知()()2200120122111442162:421212y y k y k FH y x k t k t k ⎛⎫⎛⎫- ⎪- ⎪+⎝⎭=++- ⎪+-+ ⎪ ⎪⎝⎭， ()()2200120122111442162421212M y y k y k y t k t k t k ⎛⎫⎛⎫- ⎪- ⎪+⎝⎭=++- ⎪+-+ ⎪ ⎪⎝⎭ 20201114162424y y k t k k t -+=-+22211111162444k k t t k t k k t+-=-+ 2222200110444422t y y t k t k t y +-+-===-．所以()222142M M y x -+=，即M 在曲线22214x y +=上．。

江苏省泰州市济川中学2020年高三数学理上学期期末试卷含解析

江苏省泰州市济川中学2020年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知某程序框图如图所示，则输出的i的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10参考答案：C解：第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，，此时退出循环，输出，故选C ．2. 若复数满足，则的虚部为（）A．B．C．D．参考答案：B略3. 已知直线与直线m是异面直线，直线在平面α内，在过直线m所作的所有平面中，下列结论正确的是（）A．一定存在与平行的平面，也一定存在与α平行的平面B．一定存在与平行的平面，也一定存在与α垂直的平面C．一定存在与垂直的平面，也一定存在与α平行的平面D．一定存在与垂直的平面，也一定存在与α垂直的平面参考答案：B略4. 已知函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能是（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】根据图像得到函数为偶函数，而且时，，通过排除法排除掉A、B选项，然后通过判断时，的值，排除D选项，从而得到答案.【详解】函数的图象如图所示，函数是偶函数，时，函数值为0．是偶函数，但是，是奇函数，不满足题意．是偶函数，满足题意；是偶函数，，时，，不满足题意．故选C项．【点睛】本题考查函数图像的性质，函数的奇偶性，零点和值域，属于简单题.5. 设函数，若曲线上存在（x0，y0），使得f（f（y0））=y0成立，则实数m的取值范围为（）A．[0，e2﹣e+1] B．[0，e2+e﹣1] C．[0，e2+e+1] D．[0，e2﹣e﹣1]参考答案：D【考点】KE：曲线与方程．【分析】求出y0的范围，证明f（y0）=y0，得出f（x）=x在[1，e]上有解，再分离参数，利用函数单调性求出m的范围．【解答】解：∵﹣1≤cosx≤1，∴的最大值为e，最小值为1，∴1≤y0≤e，显然f（x）=是增函数，（1）若f（y0）＞y0，则f（f（y0））＞f（y0）＞y0，与f（f（y0））=y0矛盾；（2）若f（y0）＜y0，则f（f（y0））＜f（y0）＜y0，与f（f（y0））=y0矛盾；∴f（y0）=y0，∴y0为方程f（x）=x的解，即方程f（x）=x在[1，e]上有解，由f（x）=x得m=x2﹣x﹣lnx，令g（x）=x2﹣x﹣lnx，x∈[1，e]，则g′（x）=2x﹣1﹣==，∴当x∈[1，e]时，g′（x）≥0，∴g（x）在[1，e]上单调递增，∴g min（x）=g（1）=0，g max（x）=g（e）=e2﹣e﹣1，∴0≤m≤e2﹣e﹣1．故选D．【点评】本题考查了函数零点与函数单调性的关系，函数单调性的判断与最值计算，属于中档题．6. 函数的大致图象是（）参考答案：C函数是奇函数，图像关于原点对称，故排除AB当x=2时，，故排除D故选C7. 设是两个实数，则“中至少有一个数大于1”是“”成立的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件参考答案：D8. 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，右图是据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个监测点统计的数据（单位：毫克／每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是A．甲 B．乙C ．甲乙相等D ．无法确定参考答案：A9. 某市共有400所学校，现要用系统抽样的方法抽取20所学校作为样本，调查学生课外阅读的情况．把这400所学校编上1～400的号码，再从1～20中随机抽取一个号码，如果此时抽得的号码是6，则在编号为21到40的学校中，应抽取的学校的编号为 A ．25 B ．26 C ．27 D ．以上都不是参考答案：B 略10. 某程序框图如图1所示，若该程序运行后输出的值是,则（）参考答案：A 略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数f （x ）=（2x +2﹣x ）ln （x+）为奇函数，则a= ．参考答案：1【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据定义域含原点的奇函数的图象过原点，求得a 的值．【解答】解：∵函数f （x ）=（2x +2﹣x ）ln （x+）为奇函数，且y=2x +2﹣x 为偶函数，∴y=ln（x+）为奇函数，再根据它的图象过原点，可得0=ln，∴a=1，故答案为：1．12. 设,若恒成立,则的最大值为参考答案：813. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足，，则S n =________；参考答案：或n【分析】根据和q=1两种情况求的值。

江苏省泰州市西城中学2020-2021学年高三数学理上学期期末试题含解析

江苏省泰州市西城中学2020-2021学年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 关于的方程（其中是自然对数的底数）的有三个不同实根，则的取值范围是A. {-2，0，2}B. （1，+∞）C. {|}D. {|> }参考答案：C2. 设i为虚数单位，复数等于A. B. C. D.参考答案：A略3. 已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且，其中O为坐标原点，则实数a的值为A．2 B．±2 C．－2 D．参考答案：B4. 已知函数，给出下列四个命题：①若则; ②的最小正周期是2;③f（x）在区间[—]上是增函数；④f（x）的图象关于直线对称，其中正确的命题是（）A．①②④ B．①③ C．②③ D．③④参考答案：D5. 从1，3，5三个数中选两个数字，从0，2两个数中选一个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）A．6 B．12 C．18 D．24参考答案：C6. 设函数的图像关于直线对称,它的周期是,则（）A．的图象过点B．的一个对称中心是C．在上是减函数D．将的图象向右平移个单位得到函数的图象参考答案：B7. 已知向量，其中，且，则向量与的夹角是（）A． B. C. D.参考答案：【知识点】向量的定义F1B，，即，，，所以，故选B.【思路点拨】，，即，即可求.8. 如图，函数的图象为折线，设，则函数的图象为（）参考答案：A略9. 已知、、为非零的平面向量．甲：，乙：，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件参考答案：答案：B10. 设a∈[0,10]，则函数g(x)＝在区间(0，＋∞)内为增函数的概率为__________．参考答案：略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设不等式组，其中a>0 ,若z=2x+y的最小值为，则a=.参考答案：画出可行域如图所示，目标函数可变为，平移可知在取得最小值，代入可得，所以.12. 若x，y满足，则的取值范围是．参考答案：[，6]【考点】简单线性规划．【分析】先画出约束条件的可行域，然后分析的几何意义，结合图象，用数形结合的思想，即可求解．【解答】解：满足约束条件的可行域，如下图所示：又∵表示的是可行域内一点与原点连线的斜率当x=，y=时，有最小值；当x=1，y=6时，有最大值6故答案为：[，6]13. 已知sinθ﹣2cosθ=，则tan（θ十）的值为．参考答案：【考点】两角和与差的正切函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得tanθ的值，再利用两角和的正切公式求得tan（θ十）的值．【解答】解：∵sinθ﹣2cosθ=，∴平方可得 1+3cos2θ﹣4sinθcosθ=5，即=4，即=4，求得tanθ=﹣则tan（θ十）===，故答案为：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式，属于基础题．14. 设是第二象限的角，若，则________．参考答案：15. 我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系，如3|12表示3整除12．试类比课本中不等关系的基本性质，写出整除关系的两个性质．①_____________________；②_______________________．参考答案：①；②；③；④由类比可知整除关系的两个性，为①；②；③；④。

江苏省泰州市高级中学2020年高一数学文上学期期末试题含解析

江苏省泰州市高级中学2020年高一数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设是等差数列的前n项和，若（）A． B． C． D．参考答案：A 解析：2. 关于函数f（x）=x3﹣x的奇偶性，正确的说法是（）A．f（x）是奇函数但不是偶函数B．f（x）是偶函数但不是奇函数C．f（x）是奇函数又是偶函数D．f（x）既不是奇函数也不是偶函数参考答案：A【考点】函数奇偶性的判断．【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：∵f（x）=x3﹣x，∴f（﹣x）=﹣x3+x=﹣（x3﹣x）=﹣f（x），则函数f（x）是奇函数但不是偶函数，故选：A【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．3. 函数满足，且，，则下列等式不成立的是（▲）A B C D参考答案：B略4. 函数在上为减函数，则实数的取值范围是( ▲ )A．B. C．D．参考答案：B略5. 设曲线C1：y = log 2x按向量= ( 1，– 2 )平移后得到曲线C2，则与C2关于直线x + y = 0对称的曲线C3的方程为（）（A）y = 2 x + 2 + 1 （B）y = – 2 x + 2 – 1 （C）y = – 2 2 –x– 1 （D）y = 2 2 –x– 1参考答案：C6. 在△ABC 中，已知a=2，b=2，A=30°，则B=（）A．60°或120°B．30°或150°C．60°D．30°参考答案：A【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知结合正弦定理可得sinB=，结合范围B∈（30°，180°），可求B的值．【解答】解：∵a=2，b=2，A=30°，∴由正弦定理可得sinB===，又∵B∈（30°，180°），∴B=60°或120°．故选：A．7. 下列命题正确的个数为（）①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】平面的基本性质及推论．【分析】根据平面的基本性质及推论（公理1，2，3及推论），逐一分析四个命题的真假，可得答案．【解答】解：根据公理2，经过不共线三点确定一个平面，可得①错误；根据公理2的推论，两个平行直线确定一个平面，结合梯形两底边平行，可得②梯形可以确定一个平面，正确；两两相交的三条直线且不共面可以确定三个平面，故③正确；如果两个平面有三个共线公共点，则这两个平面重合或相交，故④错误．则命题正确的个数为2个，故选：C．【点评】本题考查的知识点是平面的基本性质及推论，熟练掌握并真正理解平面的基本性质及推论是解答的关键．8. （5分）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y﹣1=0相切于点B（2，1），则圆C的方程是（）A．（x﹣5）2+y2=2 B．（x﹣3）2+y2=4 C．（x﹣5）2+y2=4 D．（x﹣3）2+y2=2参考答案：考点：圆的标准方程．专题：计算题；直线与圆．分析：求出直线x﹣y﹣1=0的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出过点B的直径所在直线方程的斜率，求出此直线方程，根据直线方程设出圆心C坐标，根据|AC|=|BC|，利用两点间的距离公式列出方程，求出方程的解确定出C坐标，进而确定出半径，写出圆的方程即可．解答：∵直线x﹣y﹣1=0的斜率为1，∴过点B直径所在直线方程斜率为﹣1，∵B（2，1），∴此直线方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+y﹣3=0，设圆心C坐标为（a，3﹣a），∵|AC|=|BC|，即=，解得：a=3，∴圆心C坐标为（3，0），半径为，则圆C方程为（x﹣3）2+y2=2．故选：D．点评：此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：两点间的距离公式，两直线垂直时斜率满足的关系，求出圆心坐标与半径是解本题的关键．9. 已知是第三象限角，那么是（）A．第一或第二象限角B．第三或第四象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角参考答案：D略10. 已知两点A（2，1），B（3，3），则直线AB的斜率为（）A.2B.C.D.参考答案：A考点：直线的斜率二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 执行如下图所示的程序框图，若输入的m=1734,n=816,则输出的m的值为参考答案：10212. 已知幂函数，若，则的取值范围是参考答案：(3,4)13. 如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是．（1）A′C⊥BD；（2）∠BA′C=90°；（3）CA′与平面A′BD所成的角为30°；（4）四面体A′﹣BCD的体积为．参考答案：（2）（4）考点：平面与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：根据题意，依次分析命题：对于（1），可利用反证法说明真假；对于（2），△BA'D为等腰Rt△，CD⊥平面A'BD，得BA'⊥平面A'CD，根据线面垂直可知∠BA′C=90°；对于（3）由CA'与平面A'BD所成的角为∠CA'D=45°知真假；对于（4），利用等体积法求出所求体积进行判定即可，综合可得答案．解答：解：∵四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，平面A'BD⊥平面BCD，则由A′D与BD不垂直，BD⊥CD，故BD与平面A′CD不垂直，则BD仅于平面A′CD与CD 平行的直线垂直，故（1）不正确；由题设知：△BA'D为等腰Rt△，CD⊥平面A'BD，得BA'⊥平面A'CD，于是（2）正确；由BD⊥CD，平面A′BD⊥平面BCD，易得CD⊥平面A′BD，∴CD⊥A′B，CD⊥A′D，∵A′D=CD，∴△A′CD为等腰直角三角形，∴∠A′DC=45°，则CA′与平面A′BD所成的角为45°，知（3）不正确；V A′﹣BCD=V C﹣A′BD=，故（4）正确．故答案为：（2）（4）．点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及三棱锥的体积的计算，同时考查了空间想象能力，论证推理能力，解题的关键是须对每一个进行逐一判定．14. 已知函数（且），若，则实数的取值范围是 .参考答案：15. 若函数，则的定义域是_______ ．参考答案：16. (14) 在中，，则的值是______.参考答案：略17. 已知命题：“在等差数列中，若则为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为参考答案：18三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020-2021学年江苏省泰州市罡杨中学高三数学理上学期期末试题含解析

2020-2021学年江苏省泰州市罡杨中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A. 8 B . 4 C. 1 D .参考答案：B2. 已知满足：，，则BC的长（）A.2B.1C.1或2 D.无解参考答案：C略3. “”是“关于x的实系数方程有虚数根”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：B【分析】先求出关于x的实系数方程有虚数根的充要条件为：，即，再由“”与“”的关系得解．【详解】解：关于x的实系数方程有虚数根的充要条件为：，即，又“”不能推出“”，“”能推出“”，即“”是“关于x的实系数方程有虚数根”的必要不充分条件，故选B．【点睛】本题考查了充分条件、必要条件、充要条件及简易逻辑知识，属简单题4. 若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（mod m），例如10=2（mod 4），下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的i等于（）A．4 B．8 C．16 D．32参考答案：C【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=11，i=1i=2，n=13不满足条件“n=2（mod 3）“，i=4，n=17，满足条件“n=2（mod 3）“，不满足条件“n=1（mod 5）“，i=8，n=25，不满足条件“n=2（mod 3）“，i=16，n=41，满足条件“n=2（mod 3）“，满足条件“n=1（mod 5）”，退出循环，输出i的值为16．故选：C．5. 在边长为2的等边三角形ABC中，若，则（）A．2 B． C. D．4参考答案：B∵边长为2的等边三角形中，，∴，.故选：B6. 已知，由不等式可以推出结论：=（）A．2n B．3nC．n2 D．参考答案：D略7. 已知集合，集合，则A. B. C. D.参考答案：B8. 已知集合，，则( )A．B．C．D．参考答案：B9. 复数的共轭复数A． B． C． D．参考答案：D10. 下列大小关系正确的是( )A. B.C. D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若复数，(i为虚数单位)，则＝。

江苏省泰州市姜堰罗塘高级中学2020年高三数学文上学期期末试题含解析

江苏省泰州市姜堰罗塘高级中学2020年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，则（A）（B ）（C）（D）参考答案：A，，，所以，选A.【答案】略2. 已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）+c=0（b，c∈R）有8个不同的实数根，则由点（b，c）确定的平面区域的面积为( ) A．B．C．D．参考答案：A考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：题中原方程f2（x）﹣bf（x）+c=0有8个不同实数解，即要求对应于f（x）=某个常数K，有2个不同的K，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x与之对应，就出现了8个不同实数解，故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，只有满足条件的K在开区间（0，1）时符合题意．再根据一元二次方程根的分布理论可以得出答案．解答：解：根据题意作出f（x）的简图：由图象可得当f（x）∈（0，1]时，有四个不同的x与f（x）对应．再结合题中“方程f2（x）﹣bf（x）+c=0有8个不同实数解”，可以分解为形如关于k的方程k2﹣bk+c=0有两个不同的实数根K1、K2，且K1和K2均为大于0且小于等于1的实数．列式如下：，化简得，此不等式组表示的区域如图：则图中阴影部分的面积即为答案，由定积分的知识得S=﹣×1×1=故选：A点评：本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，同时考查定积分等知识，较为综合；采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解．3. 若函数是偶函数,则( ).A．B．C．D．参考答案：C4. 已知是函数的两个零点，则A. B. C. D.参考答案：A略5. 函数的图象大致为A．B．C．D．参考答案：A6. 若cosα=﹣，且α∈（π，），则tanα=( )A．﹣B．C．D．﹣参考答案：B【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】转化思想；三角函数的求值．【分析】利用同角三角函数基本关系式即可得出．【解答】解：∵cosα=﹣，且α∈（π，），∴sinα=﹣=﹣，∴=．故选：B．【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7. 已知全集，那么集合（）A．B． C． D．参考答案：B略8. 已知a，b，c为△ABC的三个角A，B，C所对的边，若3bcosC=c（1﹣3cosB），sinC：sinA=（）A．2：3 B．4：3 C．3：1 D．3：2参考答案：C【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由3bcosC=c（1﹣3cosB）．利用正弦定理可得3sinBcosC=sinC（1﹣3cosB），化简整理即可得出．【解答】解：由正弦定理，设，∵3bcosC=c（1﹣3cosB）．∴3sinBcosC=sinC（1﹣3cosB），化简可得 sinC=3sin（B+C）又A+B+C=π，∴sinC=3sinA，∴因此sinC：sinA=3：1．故选：C．9. 设函数,则方程的实数解的个数为( )A.1B.2C. 3D.4参考答案：C10. 已知f（x）为R上的可导函数，且对?x∈R，f（x）＞f′（x），则有（）A．e2015f（﹣2015）＜f（0），f（2015）＞e2015f（0）B．e2015f（﹣2015）＜f（0），f（2015）＜e2015f（0）C．e2015f（﹣2015）＞f（0），f（2015）＞e2015f（0）D．e2015f（﹣2015）＞f（0），f（2015）＜e2015f（0）参考答案：D考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：根据条件，构造函数构造函数g（x）=e﹣x f（x），判断函数的单调性即可得到结论．解答：解：构造函数g（x）=e﹣x f（x），则g′（x）=[e﹣x f（x）]′=﹣e﹣x f（x）+e﹣x f′（x）=e﹣x[﹣f（x）+f′（x）]＜0则g（x）单调递减，则g（﹣2015）＞g（0），即e2015f（﹣2015）＞f（0），g（2015）＜g（0），即e﹣2015f（2015）＜f（0），即f（2015）＜e2015f（0）故选：D．点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据条件构造函数g（x）=e﹣x f（x），利用导数判断函数的单调性是解决本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是．参考答案：略12. 函数的图象恒过定点A,若点A在直线上,其中,则的最小值为_______.参考答案：13. 观察下列各式：；；；；；……则依次类推可得 .参考答案：略14. 函数f（x）=在x=4处的切线方程．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】求出函数f（x）在点x=4处的导数，也就是切线的斜率，求出切点的坐标，再利用点斜式求出切线方程即可．【解答】解：∵f（x）=，∴f′（x）=，∴x=4时，f′（4）=，∵f（4）=2，∴函数f（x）=在x=4处的切线方程为y﹣2=（x﹣4），即．故答案为：．【点评】本题主要考查了导数的几何意义：导数在一点处的导数值即为该点处切线的斜率的应用，属于基础试题．15. 已知函数，则关于的不等式的解集为______________参考答案：略16. 函数的单调递增区间是;参考答案：17. 手表的表面在一平面上，整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上，从整点i到整点（i+1）的向量记作，则= ．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】把圆分成12份，每一份所对应的圆心角是30度，用余弦定理计算出每个向量的模的平方都是，而所求向量的夹角都是30度，求出其中一个数量积，乘以12个即得可到结果．【解答】解：∵整点把圆分成12份，∴每一份所对应的圆心角是30度，连接相邻的两点组成等腰三角形底边平方为，每对向量的夹角为30°，∴每对向量的数量积为cos30°=，∴最后结果为12×=6﹣9，故答案为：6﹣9．【点评】本题是向量数量积的运算，条件中没有直接给出两个向量的模和两向量的夹角，只是题目所要的向量要应用圆的性质来运算，把向量的数量积同解析几何问题结合在一起．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

江苏省泰州市靖江高级中学2024-2025学年高三上学期9月月考物理试题(含解析)

2024-2025年度第一学期高三年级第一次阶段考试物理学科试卷（时间：75分钟分值：100分请将答案写到答题卷上）一、单选题（共11题，每题4分，共44分。

每小题只有一个选项最符合题意。

）1.用两根轻绳连接两个球A 和B ，其中一根绳的另一端固定在一个竖直转轴上，如图所示，当两球随转轴一起匀速转动时两球所处的位置可能是图中的哪一个（）A. B. C. D.2.如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A 和B 紧贴着内壁分别在图中所示的水平面做匀速圆周运动，则下列物理量中A 球比B 球大的是（）A.线速度B.角速度C.向心加速度D.筒壁的支持力3.如图所示，质量为m 的小球以初速度从倾角的斜面顶端水平抛出，不计空气阻力，当小球落在斜面上时重力的瞬时功率为（）A. B. C. D.4.如图所示是我国发射的某卫星的飞行轨迹图的一部分。

该卫星在发射过程中经过四次变轨进入同步轨道.0v θ0tan mgv θ02tan mgv θ0tan 2mgv θ02tan 2mgv θ第四次变轨示意过程如图所示。

卫星先沿椭圆轨道I 飞行，后在远地点P 处实现变轨，进入同步轨道II.对该卫星的运动下列说法正确的是（）A.在椭圆轨道I 上运行一周的时间小于24小时B.在轨道I 上经过P 点时的速度比在轨道II 经过P 点时的速度大C.在轨道I 和轨道II 上经过P 点时的加速度不同D.在轨道II 上的机械能比在轨道I 上的机械能小5.如图所示，足够长的传送带与水平面夹角为，以速度匀速向下运动。

在传送带的上端轻轻放上一个质量为m 的小木块，小木块与传送带间的动摩擦因数，则图中能客观地反映小木块的速度随时间变化关系的是（）A. B. C. D.6.如图所示.质量为M 、半径为R 的半圆柱形物体A 放置在水平地面上，用一端连接在圆柱最高点P 处的细绳拉住一个质量为m 、半径为r 的光滑球B ，细绳恰好水平且系统静止，则下列判断错误的是（）A.A 对地面的压力大小为B.地面对A 没有摩擦力的作用C.B 对A的压力大小为 D.细线对小球的拉力大小为7.将质量为1kg 的物体从地面竖直向上抛出，一段时间后物体又落回抛出点。

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2020届江苏省泰州市高三上学期期末考试数学试题一、填空题1．函数()sin2的最小正周期为．f x x2．已知集合A＝｛4，｝，B＝｛－1，16｝，若A∩B，则＝__.3．复数z满足（i是虚数单位），则｜z｜＝__.4．函数的定义域是__.5．从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为___.6．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值是__.7．已知数列｛｝满足＝1，则＝__.8．若抛物线的准线与双曲线＝1的一条准线重合，则p＝__.9．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点M为棱AA1的中点，记三棱锥A1－MBC的体积为V1，四棱锥A1－BB1C1C的体积为V2，则的值是__.10．已知函数，若，则实数的取值范围为__.11．在平面直角坐标系xoy中，过圆C1：＝1上任一点P作圆C2：＝1的一条切线，切点为Q，则当线段PQ长最小时，k＝__.12．已知点P为平行四边形ABCD所在平面上任一点，且满足，，则＝__.13．已知函数，若存在＜0，使得＝0，则实数的取值范围是__.14．在△ABC中，已知，其中，若为定值，则实数＝__.二、解答题15．已知向量，，其中。

（1）若，求x的值；（2）若，求｜｜的值。

16．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点O为对角线BD的中点，点E，F分别为棱PC，PD的中点，已知PA⊥AB，PA⊥AD。

（1）求证：直线PB∥平面OEF；（2）求证：平面OEF⊥平面ABCD。

17．如图，三个校区分别位于扇形OAB的三个顶点上，点Q是弧AB的中点，现欲在线段OQ 上找一处开挖工作坑P（不与点O，Q重合），为小区铺设三条地下电缆管线PO，PA，PB，已知OA＝2千米，∠AOB＝，记∠APQ＝θrad，地下电缆管线的总长度为y千米。

（1）将y表示成θ的函数，并写出θ的范围；（2）请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小。

18．如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：的左顶点为A，点B是椭圆C上异于左、右顶点的任一点，P是AB的中点，过点B且与AB垂直的直线与直线OP交于点Q，已知椭圆C的离心率为，点A到右准线的距离为6。

（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点Q的横坐标为，求的取值范围。

19．设A ，B 为函数y ＝f （x ）图象上相异两点，且点A ，B 的横坐标互为倒数，过点A ，B 分别做函数y ＝f （x ）的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数f （x ）的“优点”。

（1）若函数不存在“优点”，求实数的值；（2）求函数的“优点”的横坐标的取值范围；（3）求证：函数的“优点”一定落在第一象限。

20．已知数列｛｝的前n 项和为Sn ，，且对任意的n ∈N ，n ≥2都有。

（1）若0，，求r 的值；（2）数列｛｝能否是等比数列？说明理由；（3）当r ＝1时，求证：数列｛｝是等差数列。

2020届江苏省泰州市高三上学期期末考试数学试题参考答案一、填空题1．函数()sin 2f x x =的最小正周期为．【答案】π【解析】试题分析：()()sin f x A x ωϕ=+的周期为222T T πππω=∴==【考点】三角函数周期2．已知集合A＝｛4，｝，B＝｛－1，16｝，若A∩B，则＝__.【答案】±4【解析】根据集合A＝｛4，｝，B＝｛－1，16｝，若A∩B，从而得到，得到结果.【详解】因为A∩B，可知，解得，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关集合元素的特征，注意交集非空的条件，得到参数所满足的关系，属于简单题目.3．复数z满足（i是虚数单位），则｜z｜＝__.【答案】5【解析】首先根据复数的运算法则，得到，之后利用复数模的公式求得结果. 【详解】因为，所以，所以，故答案是：5.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的模，属于简单题目.4．函数的定义域是__.【答案】［－1,1］【解析】令被开方式大于等于零，解不等式求出函数的定义域.【详解】要使函数有意义，需要满足，解得，所以函数的定义域是，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关函数的定义域的求解问题，属于简单题目.5．从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为___.【答案】【解析】根据题意，列举从5个数中一次随机取两个数的情况，可得其情况数目与取出两个数的和为6的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案.【详解】根据题意，从5个数中一次随机取两个数，其情况有：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5），共10种情况，其中这两个数的和为6的有：（1,5），（2,4），共2种，则取出两个数的和为6的概率为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关古典概型的概率求解问题，在解题的过程中，注意该类问题的求解步骤，首先需要将所有的基本事件写出，之后找出满足条件的基本事件，最后应用概率公式求解即可. 6．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值是__.【答案】8【解析】首先拟执行该程序，最后求得结果.【详解】第一步：；第二步：，推出循环；此时.【点睛】该题考查的是有关程序运行后对应的输出值的问题，在解题的过程中，注意对语句的正确理解.7．已知数列｛｝满足＝1，则＝__.【答案】4【解析】首先根据对数的运算法则，可求得，从而可以断定数列是以2为公比的等比数列，从而求得，得到结果.【详解】由，可得，所以，所以数列是以2为公比的等比数列，所以，故答案是：4.【点睛】该题考查的是有关等比数列的性质的问题，涉及到的知识点有对数的运算性质，等比数列的定义和性质，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.8．若抛物线的准线与双曲线＝1的一条准线重合，则p＝__.【答案】【解析】求出抛物线的准线方程，双曲线的左准线方程，建立关系，即可求出p的值.【详解】抛物线的准线为：，双曲线的左准线为：，由题意可知，解得，故答案是.【点睛】该题所考查的是有关抛物线与双曲线的几何性质的问题，属于简单题目.9．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点M为棱AA1的中点，记三棱锥A1－MBC的体积为V1，四棱锥A1－BB1C1C的体积为V2，则的值是__.【答案】【解析】首先设出该棱柱的底面积和高，之后根据椎体的体积公式求得和的值，进而求得其比值，得到结果.【详解】设的面积为，三棱柱的高为，则，，所以，故答案是.【点睛】该题考查的是有关椎体的体积的问题，熟记公式是正确解题的关键.10．已知函数，若，则实数的取值范围为__.【答案】【解析】首先根据题中所给的函数解析式，确定出函数是偶函数，再利用导数得出其在当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，利用函数值的大小，得出自变量所满足的条件，最后求得结果.【详解】函数为偶函数，因为，所以当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，由得，即，解得故答案是：.【点睛】该题考查的是根据函数值的大小求解不等式的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有偶函数的特征，利用导数研究函数的单调性，根据图象，结合函数值的大小，确定自变量的大小的问题，属于中档题目.11．在平面直角坐标系xoy中，过圆C1：＝1上任一点P作圆C2：＝1的一条切线，切点为Q，则当线段PQ长最小时，k＝__.【答案】2【解析】首先画出相应的图形，根据切线的性质，得到对应的垂直关系，利用勾股定理得到线段之间的关系，从而将问题转化，再应用圆上的点到定点的距离的最小值在什么位置取得，从而求得结果.【详解】如图，因为PQ为切线，所以，由勾股定理，得，要使最小，则需最小，显然当点P为与的交点时，最小，此时，，所以当最小时，就最小，，当时，最小最小，得到最小，故答案是：2.【点睛】该题考查的是有关直线与圆的位置关系，切线长的求法，勾股定理，两点间距离公式，二次函数的最值，以及数形结合的思想.12．已知点P为平行四边形ABCD所在平面上任一点，且满足，，则＝__.【答案】－【解析】首先利用向量的运算法则，将向量进行代换，最后求得对应的的值，从而求得结果.【详解】如下图，因为，所以，即，即，所以，即，所以，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的问题，涉及到的知识点有平面向量的运算法则，属于简单题目.13．已知函数，若存在＜0，使得＝0，则实数的取值范围是__.【答案】［－1,0）【解析】首先将函数值等于零，转化为两曲线在在处有交点，结合函数的图象，从而得到最后的结果，求得参数的取值范围.【详解】当时，如果，，相当于函数在处有交点，由图象可知，显然不符；如果，，相当于函数在处有交点，由图像可知，显然不符；当时，如果，，相当于函数在处有交点，如下图，两图象相切时，，，切点为，代入，得，所以，当时，在且处有交点，即存在，使得；如果且时，，相当于函数在处有交点，即处有交点，因，下图中，两图象交点的横坐标是大于的，所以，在处，两图象没有交点；综上，可知：.【点睛】该题考查的是有关根据函数零点的范围求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意分段函数要分段来处理，再者就是要熟练应用数形结合.14．在△ABC中，已知，其中，若为定值，则实数＝__.【答案】【解析】首先根据，求得，根据题中所给的条件，得到，再结合题中所给的条件为定值，设其为k，从而整理得出恒成立，从而求得结果.【详解】由，得：，由，得：，即，（k为定值），即，即恒成立，所以，，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关根据条件求参数的值的问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，两角差的正弦公式，三角形的内角和，诱导公式，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.二、解答题15．已知向量，，其中。

（1）若，求x的值；（2）若，求｜｜的值。

【答案】（1）（2）【解析】（1）利用向量共线的条件，可得结论；（2）利用同角三角函数关系式，结合题中所给的正切值，得到，再利用向量的模的公式，结合所求得的结论，得到结果.【详解】（1）因为，所以，，即，因为，所以，；（2）因为＝＝－2，所以，，，＝＝【点睛】该题考查的是向量的有关问题，涉及到的知识点有两向量共线坐标所满足的条件，正弦倍角公式，已知三角函数值求角，向量的模，属于简单题目.16．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点O为对角线BD的中点，点E，F 分别为棱PC，PD的中点，已知PA⊥AB，PA⊥AD。

（1）求证：直线PB∥平面OEF；（2）求证：平面OEF⊥平面ABCD。

【答案】详见解析【解析】（1）根据O为PB中点，F为PD中点，所以，PB∥FO，之后应用线面垂直的判定定理证得结果；（2）根据题意，得到PA∥OE，结合题中所给的条件因为PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，可得PA⊥平面ABCD，从而得到OE⊥平面ABCD，根据面面垂直的判定定理证得结果.【详解】（1）O为PB中点，F为PD中点，所以，PB∥FO而PB平面OEF，FO平面OEF，∴PB∥平面OEF。

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