(华师大)相交线(2)垂直
七年级数学上册 5.1 相交线 2《垂线》教案1 (新版)华东师大版-(新版)华东师大版初中七年级上
A
三、巩固训练：
体育课上是怎样测量跳远成绩的？你知道其中的原因吗？
做一做：如图，小海龟位于图中点A处，按下述口令移动：向上前进3格；向右转90°，前进5格；向左转90°，前进3格；向左转90°，前进6格；向右转90°，后退6格；最后向右转90°，前进1格。
用粗线将小海龟经过的路线描出来，看一看是什么图形。
四、知识小结：
从本节课的学习中，我们应该懂得垂线的含义，并能根据定义画出适合题意的垂线，明白：过一点作一已知直线的垂线有且只有一条，能够通过作垂线求得点到直线的距离。
五、家庭作业：165页练习1、2、3
六、每日预题：
1、你知道你什么叫做“三线八角”吗？
2、在“三线八角”中有哪一些角？
七、教学反馈：
“做一做”中的旋转是一个重点与难点。
“三线八角”可先做简要的说明。
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华师大版七上4.7《相交线》(垂线)word说课稿
4.7《相交线中的垂线》的说课稿各位老师：你们好！我说课的内容是：义务教育新课标数学七年级上册第四章教研活动：”相交线中垂线”。
下面我将从以下四个方面对本课时的内容进行说明。
—教材分析1．地位和作用垂线―这一活动内容是在学生学完角的基础上进行的，是让学生在充分理解角是有公共端点的两条相交的射线感性认识的条件下，来体会相交中的垂线及“三线八角”，它是本章的重点，又是空间与图形领域的基础知识，学习它会为后面的平行线的定义和性质、三角形、四边形等知识打下坚实的基石。
同时，本节的学习将为加深“角与线”的认识，建立空间观念，发展思维有好处。
并能让学生在活动的过程中，交流分享探索的成果，体验成功的乐趣，提高运用数学的能力。
2．教学重难点重点：垂直的概念以及两个性质。
难点；垂线段最短的理解，及如何借助其性质在生活的运用。
二教学目标知识与技能：了解垂线的定义和性质，从而学会辨别角，及掌握角在生活中的运用。
教学思考：通过观察、思考、探索等活动，让学生了解其性质和构成的角的特征，培养学生“转化”的数学思想，培养学生动手、分析、解决实际问题的能力解决问题:在生动有趣的情景中，通过画、折等活动，体验认识两直线互相垂直；通过借助量角器、方格纸、三角板画垂线，进一步丰富操作经验；通过参与探索“三角”特征的活动，积累数学活动经验。
情感态度：感受数学与生活的紧密联系，体会数学的价值，激发学生学习数学的兴趣，培养敢想、敢说、敢解决实际问题的学习习惯。
通过学生体验，猜想并给结论，让学生体会数学充满着探索与创造，培养学生团结协作，勇于创新的精神。
通过转化数学思想方法的作用，让学生认识事物之间是普遍联系，相互转化的辨证唯物主义思想。
三教学方法1．采用指导探究法进行教学，主要通过两个师生的双边活动，①动—教师指出要点，学生分组合作，共同探索。
②导—知识对比，合理引导等方式突出学生的主体地位，让教师成为学生学习的组织者、引导者、合作者，让学生亲自动手、动脑、动口，参与教学活动，经历问题的发生，发展和解决过程，在解决过程中完成教学目标。
新华师大版七年级上册初中数学 5-1-2 垂线 教学课件
新课讲解
知识点2 垂线的画法
1.试一试： 经过直线AB外一点P，按图所示的两种方法， 画出垂直于直线AB的直线.这样的垂线能画多少条呢？
如图,你能经过直线AB上一点P，画出垂直于直线AB
的直线吗？这样的垂线能画多少条呢？
新课讲解
2.垂线的画法 经过一点(已知直线上或直线外)，画已知直线的垂线， 步骤如下：
新课讲解
解：因为OE⊥CD，所以∠DOE＝90°(垂直定义)． 因为∠BOE＝50°， 所以∠AOC＝∠BOD＝∠DOE－∠BOE＝
90°－50°＝40°.
因为OD平分∠BOF， 所以∠BOF＝2∠BOD＝80°. 所以∠EOF＝∠BOF＋∠BOE＝80°＋50°＝130°， ∠AOF＝∠AOB－∠BOF＝180°－80°＝100°.
新课讲解
例2 如图，直线AB，CD相交于点O，过O点画射线OE， OF，使OE⊥CD，OD平分∠BOF. 如果∠BOE＝ 50°，求∠AOC，∠EOF和∠AOF的度数．
导引：根据∠AOC与∠BOD是对顶角， 且∠BOD与∠BOE互余，即可 求出∠AOC的度数；根据OD平 分∠BOF，∠EOF＝∠BOE＋2∠BOD即可求出 ∠EOF的度数；根据∠AOF与∠BOF互补可求得 ∠AOF的度数．
新课讲解
解：射线OE，OF互相垂直．理由如下： 因为CO⊥AB，所以∠AOC＝90°. 又因为∠AOE＝∠COF， 所以∠AOE＋∠COE＝∠COF＋∠COE， 即∠AOC＝∠EOF＝90°. 所以OE与OF互相垂直(垂直定义)．
新课讲解
归纳
判断两直线(线段、射线所在直线)互相垂直，主要 依据是垂直定义，只要说明两条相交直线所构成的四 个角中有一个角是直角即可．
新课讲解
华东师大初中七年级上册数学相交线,垂线(提高)知识讲解
相交线，垂线（提高）知识讲解1.了解两直线相交所成的角的位置和数量关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.【要点梳理】要点一、邻补角与对顶角1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．要点诠释：(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.2.对顶角及性质：（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．（2）性质：对顶角相等．要点诠释：(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边与另一角两边的互为反向延长线.【高清课堂：相交线两条直线垂直】要点二、垂线1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．要点诠释：⊥；(1)记法：直线a与b垂直，记作：a b直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：∠=°判定AOC90CD⊥AB．性质2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．要点诠释：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点诠释：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．要点诠释：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典型例题】类型一、邻补角与对顶角1．（2015•梧州）如图，已知直线AB与CD交于点O，ON平分∠DOB，若∠BOC=110°，则∠AON的度数为度．【答案】145． 【解析】解：∵∠BOC=110°， ∴∠BOD=70°，∵ON 为∠BOD 平分线， ∴∠BON=∠DON=35°， ∵∠BOC=∠AOD=110°，∴∠AON=∠AOD+∠DON=145°.【总结升华】此题考查了对顶角、邻补角，以及角平分线定义，熟练掌握定义及性质是解本题的关键．2.如图所示，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠COE ，∠2:∠1＝4:l ，求AOF ∠．【思路点拨】∠AOF ＝∠AOC ＋∠COF ，∠AOC 与∠BOD 为对顶角，∠1与∠COE 为邻补角，∠2与∠BOD 为邻补角，可设∠1＝x ，则∠2＝4x ，列方程可得∠l 的度数，问题可解． 【答案与解析】解：设∠1＝x ，则∠2＝4x ．∵ OE 平分∠BOD ，∴ ∠BOD ＝2∠1＝2x ．∵ ∠2＋∠BOD ＝180°，即4x ＋2x ＝180°，∴ x ＝30°． ∵ ∠DOE ＋∠COE ＝180°，∴ ∠COE ＝150°． 又 ∵OF 平分∠COE ， ∴∠COF ＝12∠COE ＝75°． ∵∠AOC ＝∠BOD ＝60°， ∴∠AOF ＝∠AOC ＋∠COF ＝60°+75°＝135°．【总结升华】涉及有比值的题设条件，如a:b ＝m:n ，在解题时设a mx =，b nx =，这是常用的用方程思想解题的方法． 举一反三：【变式】已知α的补角是一个锐角，有3人在计算25α时的答案分别是32°、87°、58°，其中只有一个答案是正确的，求α的度数． 【答案】解法1：∵ α的补角是一个锐角，∴ α是一个钝角，即90°＜α＜180°，∴ 236725α<<°°． 由已知三人计算出的答案分别为32°、87°、58°，可知2585α=°．∴ 145α=°．解法2：由题意可知α是一个钝角，即90180α<<°°．如果2325α=°，那么80α=°，不满足90180α<<°°；如果2875α=°，那么217.5α=°，不满足90180α<<°°；如果2585α=°，那么145α=°，满足90180α<<°°，所以此人计算的答案正确．所以145α=°．小结：在处理数学问题中的误选答案问题时，常采用验算法，如本题的解法2：先利用假设求出相应的α的度数，再验证是否正确．3.（1）如图（1），已知直线a 、b 相交于点 O ，则（1）图中共有几对对顶角？ 几对邻补角？ （2）如图（2），已知直线a 、b 、c 、d 是经过点O 的四条直线，则图（2）中共有几对对顶角（不含平角）？ 几对邻补角？【答案与解析】解：（1）2对对顶角，4对邻补角． （2）将图（2）拆分为下图：通过观察图形．不难发现a 、b 、c 、d 四条直线两两相交，最多有6个交点，而由（1）知：每个交点处有两对对顶角，有四对邻补角，对顶角的对数：2612⨯=（对）；邻补角的对数:4624⨯=(对) ． 答：图中共有12对对顶角，24对邻补角．【总结升华】本例分析问题的方法是通过直线的移动，将直线相交于一点转化为直线两两相交．这样移动，可将抽象的问题直观化．因为n 条直线两两相交，最多有(1)2n n -个交点．每个交点处有两组对顶角，故n 条直线相交于一点共有n(n-1)对对顶角，2n(n-1)对邻补角． 举一反三：【变式】若有180条直线相交于一点，则可形成________对对顶角（不含平角）． 【答案】32220类型二、垂线4．下列语句：①两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直.②一条直线的垂线有无数条.③空间内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直.其中正确的是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.【答案】①②【解析】解此题必须严格按照垂线的定义“两条直线相交成直角”及垂线的性质“过平面内任意一点，即过直线上或直线外任意一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直”来作判断.①正确；②正确，过任意一点都可以作；对于③只有在“同一平面内”才成立，因为空间内，当这点在直线上时，过这点并非只有一条直线与已知直线垂直，故③错误；④错误，必须是两个邻角相等，如下图：【总结升华】应用垂线的定义及垂线的性质时要把握其中的本质要求：①关于垂线的定义：要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直；②关于垂线的性质：平面内，过任意一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，这条性质说明了已知直线的垂线的“存在性”和“唯一性”，尤其值得注意的是性质中的“任意一点”可能在这条已知直线上，也可能在这条已知直线外.举一反三：【变式】在铁路旁有一城镇，现打算从城镇修一条和铁路垂直的道路，这种方案是唯一的，是因为( )A．经过两点有且只有一条直线B．两点之问的所有连线中，线段最短C．在同一平面内，两直线同时垂直同一条直线，则这两直线也互相垂直．D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D 提示：注意区分直线性质与垂线性质5.（2016春•达州校级期中）如图所示，OA⊥OB，OC⊥OE，OD为∠BOC的平分线，∠BOE=20°，求∠DOE的度数．【思路点拨】首先根据垂直定义以及角平分线的定义得出∠BOD的度数，进而得出∠DOE的度数．【答案与解析】解：∵OC⊥OE，∴∠COE=90°，∵∠BOE=20°，∴∠COB=90°+20°=110°，∵OD为∠BOC的平分线，∴∠BOD=55°，∴∠DOE=55°﹣20°=35°．【总结升华】此题主要考查了角平分线的定义以及垂直定义，正确求出∠COB的度数是解题关键．【高清课堂：相交线403101 例4变式（1）】举一反三：【变式】如图，若OM平分∠AOB，且OM ⊥ON，求证：ON平分∠BOC.【答案】解：如图，∵OM平分∠AOB ∴∠1=∠2又∵OM ⊥ON ∴∠3=90°－∠2由图可得：∠4=180°－2∠2－∠3=180°－2∠2 －（90°－∠2）=90°－∠2∴∠3=∠4∴ ON平分∠BOC6.如图所示，一辆汽车在直线形公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路两侧的村庄．(1)设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置(保留作图痕迹)．(2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M越来越远?(分别用文字表述你的结论，不必说明)【思路点拨】根据垂线段最短，要画出P、Q两点的位置，就是分别过点M、N画直线AB的垂线段，垂足即为点P、Q的位置，把汽车看作一个点(它是一个动点)，汽车与点M的距离，汽车与点N的距离就是两点间的距离．【答案与解析】解：(1)过点M作MP⊥AB，垂足为P，过点N作NQ⊥AB，垂足为Q，点P、Q就是要画的两点，如图所示．(2)当汽车从A向B行驶时，在AP这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ这段路上，离村庄M越来越远，离村庄N越来越近．【总结升华】利用垂线段最短解决实际问题是常用的一种方法．举一反三：【变式1】如图所示，过A点作AD⊥BC，垂足为D点．【答案】解：如图所示【变式2】（2015春•济源期末）点P为直线l外一点，点A、B、C为直线上三点，PA=2cm，PB=3cm，PC=4cm，则点P到直线l的距离为（）A．等于2cm B．小于2cm C．大于2cm D．不大于2cm【答案】D。
华师大版七年级数学课件5.1.2 垂线
第2课时 垂线
问题情境、学生观察
C
C
A
O
BA
B O
D
“直线AB、CD相交于点O” D
将图中的直线CD绕点O旋转成右图，当所 构成的四个角中有一个为直角时，其他三个角 也都是直角，此时称直线AB、CD互相垂直，记作
AB⊥CD，交点O叫垂足.
问题情境、学生观察
生活中垂直的图形
十字路口的两条道路
问题情境、学生观察 生活中垂直的图形
数学理论
垂线的两种画法
学生探究 ຫໍສະໝຸດ 下列两个图中，分别过点A作l的垂线， 您能作出来吗？每个图中您能作几条？
从中，您得到了什么结论？不妨说 说看！
数学理论
．
P A
BA
．B
P
结论：在同一平面内，经过直线
外或直线上一点，有且只有一条直 线与已知直线垂直
数学理论
如图，∠ABD=90°，则
（1）度量线段PA、PB、PC长， 比较它们的大小． PA ＞ PC ＞ PB
（2）最短的线段是什么？（线段AB）
数学理论
点到直线的距离
如图，过点A作l的垂线，垂足为B点． 线段AB的长度叫做点A到直线l的距离．
A．
B． l
联系实际
我们如何测立定量跳远的成绩？
D
E
12
A
C
B
数学运用
例3 在跳远时，怎样才不会吃亏？如图所示，小张、 小林、小明在跳远时都在A点起跳，小张斜着跳到 点B，小林沿直线跳到点C，小明斜着跳到点D，且 AB=AC=AD ，你能判断谁跳得远？为什么？
l
B
A
C
D
数学运用
例1 如图，已知直线AB以及直线AB外一点P．按下 述要求画图并填空： （1）过点P作PC⊥AB，垂足为点C； （2）P,C两点间的距离是线段_______的长度； （3）点P到直线AB的距离是线段________的长度；
华师版七年级数学上册(HS)导学案 第五章 相交线 垂线
2.垂线学习目标：1.理解垂线的概念及画法；2.理解垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用解决问题(重点、难点).自主学习一、知识链接1.两点间的距离如何测量呢？2.两条直线相交会形成几个角？这些角之间有何数量关系？二、新知预习（预习课本P162-164）完成下列各题：1.垂直的有关概念：当两条直线相交所构成的四个角中有一个角为时，其他三个角也为直角，此时，这两条直线互相垂直，把它们的交点叫做，其中一条直线叫做另一条直线的 .2.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线 .3.从直线外一点到这条直线的的长度，叫做点到直线的距离.练习：如图，（1）图中互相垂直的两条直线为，垂足为；（写一组即可）（2）点B到直线AD的距离为；（3）点A到直线BC的距离为 .合作探究一、要点探究探究点1：垂线的概念问题1:两条直线如何才算垂直呢？两条直线互相垂直，四个角的大小各如何呢？问题2:试着借助下图写出问题1的推理过程.已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC=90°，说明∠AOD、∠BOD、∠BOC均为直角.【要点归纳】1.垂线的定义：当两条直线AB和CD所构成的四个角中，如果有一个角是直角，其他三个角也都为直角，此时，这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线.2.垂直用符号“⊥”来表示，读作“垂直于”.如“直线AB垂直于直线CD”，就记作“AB⊥CD”.3.交点O叫做垂足.4.垂直是相交的特殊情况.如图，若直线m、n相交于点O，∠1＝90°，则直线m、n的位置关系是________ ；(2)若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，则∠BOD =______°.如图，直线AB、CD交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝116°，求∠AOD的度数．探究点2：垂线的画法及基本事实问题3 （1）画已知直线l的垂线能画几条?(2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能画几条?(3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能画几条?【要点归纳】垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.注意：（1）“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；（2）“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.探究点3：点到直线的距离问题4 如图，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段.（1）线段AB, AC, AD , AE谁最短？（2）你能用一句话表示这个结论吗？【要点归纳】（1）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短.简单说成：垂线段最短.（2）线段AD的长度叫做点A到直线l的距离.在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.垂直；(2)垂线段最短.点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离当堂检测1.过点P向线段AB所在直线画垂线，画图正确的是（）A． B． C．D．2.如图，已知AB⊥CD，垂足为O，且直线AB与EF相交于点O,则图中∠1与∠2的关系是（）A．∠1+∠2＝180°B．∠1+∠2＝90°C．∠1＝∠2D．无法确定3.点P为直线l外一点，点A，B，C为直线l上三点，PA=3cm，PB=4cm，PC=5cm，则点P到直线l的距离（）A．等于4cm B．等于3cm C．小于3cm D．不大于3cm4.两条直线相交所成的四个角分别满足下列条件之一，其中不能判定这两条直线垂直的条件是（）A．两对对顶角分别相等B．有一对对顶角互补C．有两个角是直角D．有三个角相等5.如图，要从小河a引水到村庄A，设计人员设计了一条最佳路线如图所示，其设计的依据是．第5题图第6题图第7题图6．如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于点E．若∠AED＝145°，则∠CEF＝°．7．如图，CB⊥AB，∠CBA与∠CBD的度数比是5：1，则∠DBA＝．8．如图，AO⊥FD，OD为∠BOC的平分线，OE为射线OB的反向延长线．若∠AOB＝40°，求∠EOF、∠COE的度数．参考答案自主学习二、新知预习1.直角垂足垂线2.垂直3.垂线段练习：1.（1）BC、AD D （2）线段BD （3）线段AD合作探究一、要点探究探究点1：垂线的概念问题2 解：因为∠AOC=90°，所以∠BOD=90°，∠AOD=∠BOC=180°-∠AOC=90°.（1）m⊥n （2）90解：∵EO⊥AB，∴∠AOE＝90°．∵∠EOC＝116°，∴∠AOC＝∠EOC﹣∠AOE=116°﹣90°＝26°，则∠AOD＝180°﹣∠AOC＝154°．解：过农田P处作河流的垂线，垂足为点O，则沿着线段OP挖掘能使渠道最短，画图略.当堂检测1．C 2．B 3．D 4．A 5．垂线段最短 6．55 7．72°8．解：∵AO⊥OD且∠AOB＝40°，∴∠BOD＝90°﹣40°＝50°.∴∠EOF ＝50°．又∵OD平分∠BOC，∴∠DOC＝∠BOD＝50°．∴∠COE＝180°﹣∠EOF -∠DOC=180°﹣50°﹣50°＝80°．。
华师版七年级数学上册第4章 相交线和平行线小结与复习
知识回顾
4. 同位角、同旁内角、内错角
角的 名称
位置特征
基本 结构 图形 特征
相同点
共同特征
同位 截线:同侧 1 角 被截线:同旁 2
同旁 截线:同侧 内角 被截线:之间
内错 截线:两侧 角 被截线:之间
12
F 都在截 线同侧 都没有公
U 都在 共顶点
被截线 Z 之间
知识回顾
5. 平行线 在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.
第4章 相交线和平行线
华东师大版
知识梳理
两条 直线 相交
相 交 线
邻补角
邻补角互补
对顶角
对顶角相等
基本事实：同一平面内，过一点有且只有一 条直线与已知直线垂直
垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线 垂 线 垂线段的性质：垂线段最短
点到直线的距离：从直线外一点到这 条直线的垂线段的长度
两条直线被第 三条直线所截
∴ ∠DOG＝∠DOF－∠FOG＝90°－35°＝55°.
能力提升
2.如图，AD 为三角形 ABC 的高，能表示点到直线
（线段）的距离的线段B有( A )到 BC 的距离 A
A. 2条
B. 3条
C. 4条
D. 5条
B
B 到 AD 的距离
DC
C 到 AD 的距离
能力提升
3. 如图，直线 AB，CD 被两条直线所截，若∠1=64°，
2. 如图，已知∠DAC=∠ACB，∠D+∠DFE=180°，
求证：EF//BC.
DF C
证明：∵∠DAC= ∠ACB (已知)，
∴ AD//BC(内错角相等，两直线平行). ∵ ∠D+∠DFE=180°(已知)，
华师大数学七年级上册第五章第1节《垂线》课件
2.如图，点O在直线AB上，且OC⊥OD，若∠COA=36°，则∠DOB的大小为 () A．36° B．54° C．64° D．72°
【解析】选B.因为OC⊥OD，所以∠COD=90°， 又因为∠AOB=180°， 所以∠DOB=∠AOB－∠COD－∠COA=180°－ 90°－36°=54°.
3.如图所示，直线AB⊥CD，垂足为O，射线OP在∠AOD的内部，且 ∠POA=4∠POD，则∠COP︰∠BOP的值为（ ）
C
A.3︰2 C.9︰1
A B. 4︰1
B O
D. 5︰3P D
【解析】选A.因为AB⊥CD，所以∠AOD=90°，又因为∠POA=4∠POD， 所以∠POA+∠POD=4∠POD+∠POD = ∠AOD= 90°，所以∠POD =18°， ∠POA=4×18°=72°， 所以∠COP=∠COA+∠POA=90°+72°=162°， ∠BOP=∠BOD+∠POD=90°+18°=108°. 所以∠COP︰∠BOP=162°︰108°= 3︰2.
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
B
C
C
A
O （1）
BO⊥OD(或AO⊥OC)
DA
D
B
（2）
AC⊥BC(或CD⊥AB)
1.如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，
已知OE⊥AB，∠BOD=45°，则∠COE的度数是( )
E
A.125°
B.135°
D
C.145°
D.155°
A
O
B
C
【解析】选B.因为OE⊥AB，所以∠BOE=90°，又因为∠BOD=45°，所以 ∠EOD=45°，因为∠COD=180°，所以∠COE=∠COD－ ∠ EOD=180°－ 45°=135°.
七年级 华师大版 5.1.2 相交线 垂线
小常识
立定跳远中，体育老师是如何测量 运动员的成绩的？你能解释吗？
体育老师实际上测量 的是点到直线的距离
起 跳 线
落脚点
学到了什么?
1、垂线的定义及表示方法
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角 时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条 直线的垂线，它们的交点叫垂足。
2、垂线的画法
一、靠（线）；二、过（点）；三、画 （线）
a
b O
从垂直的定义可知， 判断两条直线互相垂直的关键： 只要找到两条直线相交时四个交角中 一个角是直角。
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角 中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂 直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它 们的交点叫垂足。 a 2.垂直的表示： α b 用“⊥”和直线字母表示垂直
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到 直线的距离。
如图，线段PA的长度是点P到直线m的距离。
1、如图，点A处是一座小屋，BC是 一条公路，一人在O处。 A
（1）此人到小屋去，怎样走最近？ 小屋 为什么？ 两点之间，线段最短 （2）此人要到公路去，怎样走最 近？为什么？垂线段最短
．
O
B
公路
C
A
则所画直线AB是过点 A的直线L的垂线.
B
L
1靠（线）:把三角板的一直角边靠在直线上; 2过（点）:三角板的另一条直角边过已知点; 3画（线）:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
总结：
根据以上的操作，你能得出什么结论？ 垂线的第一性质：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
注意： （1）“过一点”中的点，可以在已知直线上， 也可以在已知直线外。 （2）“有且只有”中，“有”指存在，“只 有”指唯一性。
华师大版七上4.7《相交线》(垂线)word教案1
4.7.1 垂线教材分析《4.71垂线》选自义务教育课程标准实验教材《数学》（华东师大版）七年级（上）第四章相交线。
垂线是平面几何所要研究的基本内容之一，也是第四章的主要内容。
本节课是在学习了点、线、角的基础上，继续认识线线之间的相交关系，主要是学习垂线的概念、画法和性质等基础知识，学好这一节内容，为进一步学习空间的垂直关系、三角形的高线、四边形、圆等知识打下良好的基础。
其中垂线段最短这一性质在实际中很大的用途，可运用到求物体间的最短距离等方面中。
在学习本节的过程中，使学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程，也蕴含着从一般到特殊的认识规律，对培养学生的思维能力具有重要的作用。
学生分析学生通过点、线、角等几何知识学习，已初步具有一些几何的思维能力，对于通过画一画、量一量、想一想、做一做等参与方式来探究知识很感兴趣，也不同程度地享受到了数学知识来源于实践操作的成功体验，从而愿意在教师的指导下主动与同学探索、发现、归纳数学知识。
设计理念针对教材内容和学生实际，通过学生熟知的生活实例从而引入课题，激发学生的探索欲望，采用探索式学习的教学模式，以培养学生的探索能力和创新精神为重心，以师生互动为特点，以相互活动为依托，在全方位培养学生能力的思想指导下，通过学生自己动手，又借助于多媒体的直观演示等，从直观的感性认识发现抽象的概念，使学生体验探索与创造的乐趣，学会与他人合作、与人交流。
在教学中采取让学生动手实践、大胆猜测的方式，并借助于几何画板的演示，证实学生探索出来的结论。
在探索垂线的性质时，采取小组学习的形式，以增强学生的合作互助，符合新课程标准的理念。
教学目标一、知识和技能目标1.在生动有趣的情境中，通过画、量、折等活动，进一步丰富学生对两条直线互相垂直的认识，掌握有关的符合表示。
2.理解垂直的概念；通过操作活动，探索有关垂直的性质并学会简单的运用。
3.会借助三角尺、量角器、方格纸画垂线。
二、过程与方法目标1.在探索垂线性质的过程中，培养学生观察理解能力、分析归纳的能力、几何语言能力、画图能力、抽象思维能力。
初中七年级数学上册5.1相交线第2课时垂线课件新版华东师大版
7. 如图是小亮同学在体育课上跳远后留下的脚 印，他的跳远成绩是线段__B_N___的长度．
第 7 题图
知识点 垂线段的基本事实 8. 如图，有三条公路，其中 AC 与 AB 互相垂直， 小华与小强分别从 A 地、B 地沿 AC、BC 同时出发， 骑车去 C 城，若他们同时到达，则下列判断正确的是 (A)
1. (2017·北京)如图所示，点 P 到直线 l 的距离 是( B )
A．线段 PA 的长度 B．线段 PB 的长度 C．线段 PC 的长度 D．线段 PD 的长度
2. 点 P 为直线 l 外一点，点 A、B、C 为 l 上三点，
PA＝3 cm，PB＝4 cm，PC＝5 cm，则点 P 到直线 l
如图所示，平原上有 A、B、C、D 四个村庄在河 的同侧，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一 个蓄水池．
(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池 H 点的 位置，使它与四个村庄的距离之和最小；
①PA、PB、PC 三条线段中，PB 最短；②线段 PB 的长是点 P 到直线 l 的距离；③线段 AB 的长是点 A 到 PB 的距离；④线段 AC 的长是点 A 到点 C 的距离．
A．1 个 C．3 个
第 3 题图 B．2 个 D．4 个
4. 在平面内，画线段 AB 的垂线有_无__数___条，过 线段 AB 的中点 P 画线段 AB 的垂线有_一__条．
解：(1)因为 A、O、B，在一条直线上，所以∠AOD ＋∠DOB＝180°.又因为∠AOD∶∠DOB＝3∶1，所 以∠BOD＝14×180°＝45°.因为 OD 平分∠COB，所 以∠DOC＝∠BOD＝45°.
(2) 因 为 ∠DOC ＋ ∠BOD ＝ ∠BOC ， 且 ∠DOC ＝ ∠BOD＝45°，所以∠BOC＝90°，根据垂直的定义 得 AB⊥OC.
华师版八年级上册数学第5章 相交线与平行线 垂 线
答案显示
1．经过直线上一点能画________条直1线与已知直线垂直，过直线外一点 能画________条直线与已知直线垂直． 1
2．从直线外一点到这条直线的___________垂__线_，段叫的做长点度到直线的距离．
1．【2021·长春德惠期末】如图，OA⊥OB，若∠1＝55°16′，则∠2的
解：如图②③.
(4)由上述三种情形可以得到一个结论：如果一个角的两边分别和另一个角 的两边垂直，那么这两个角_______________ .
相等或互补
C
ABCD
6．如图，分别过点P作线段MN的垂线． 解：如图所示．
7．下列说法正确的有( ) C ①平面内过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；②平面内过直线外
一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③平面内过一点可以画一条直线 垂直于已知直线；④平面内有且只有一条直线垂直于已知直线． A．1个B．2个C．3个D．4个
华师版七年级上
第5章 相交线与平行线
5.1 相交线 2．垂 线
新知笔记 1 1；1 2 垂线段的长度
提示：点击 进入习题
1D 2C 3C 4 138°
5C
答案显示
6 见习题 7C 8C 9C 10 A
11 C 12 D 13 33° 14 见习题 15 见习题
答案显示
16 见习题 17 见习题
A．∠AOD＝∠BOC
C
B．∠AOE＋∠BOD＝90°
C．∠AOC＝∠AOE
D．∠AOD＋∠BOD＝180°
4．【2021·长春绿园区期末】如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O ，且∠COE＝48°，则∠AOD的度数为________．
138°
度华师大版七年级数学上册课件相交线
A
思考:过直线上一点以及直线
外一点作已知直线的垂线, 能作几条?
垂线的性质
在同一平面，经过直线 外或直线上一点，有且只有 一条直线与已知直线垂直。
在如图所示的各个三角形中，分别画出 AB边上的高，并量出三角形顶点C到直 线AB的距离。
过直线外一点向已知直线作垂线时, 这一点与垂足之间的线段叫做垂线段.
• 2.直线m外一点P,它到直线m上点A,B,C的 距离分别是6cm,3cm,5cm,则点P到直线的 距离为( )
• A.不大于3cm B 3cm
• C. 5cm
D. 6cm
3. 直线AC⊥BC,CD⊥AB,垂足分 别为C点,D点.已知∠A=30°则 ∠DCB为多少度?
C
A
D
B
再见
C
OD
直线互相垂直。
B
2.垂直用符号 “⊥”来表示，读作“垂直于”。
如“直线AB垂直于直线CD”，就记作 “AB⊥CD”。
3.交点O叫做垂足
垂线的定义有以下两层含义：
A
C
1
D
A
D
1
B 1、∵AB⊥CD（已知）
∴∠1=90 ° （垂线的定义）
C
B
2、∵∠1=90°（已知）
∴AB⊥CD（垂线的定义）
试一试： 过直线外一点作已知直线的垂线.
华东师大版七年级（上册）
§4.7
（第1课时)
——垂线
C
A
O
B
D
直线AB与CD相交，只有一个交点，可以 说成：“直线AB，CD相交于点O。”
若将直线CD绕O旋转，当所构成的四个角中， 有一个为直角时，其他三个角都为什么角？
垂线的形成演示
2022年华师版七上《相交线2》立体课件
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，
AB⊥CD，垂足为O. 符号语言：
A
D
①判定：∵∠AOD=90°（已知）
∴AB⊥CD（垂直的定义）
O
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为
O，那么，∠AOD=90°.
C
B
②性质：∵ AB⊥CD （已知）
∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
这些代数式有什么特点？ 多项式: 几个单项式相加 组成的代数式
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，
不含字母的项叫做常数项，
次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。
注意：多项式的每一项都包括它前面的符号
例：a2 +3a-2的项有 a2,3a,-2, 常数项是-2 ，
次数最高的项 a 2 ，这个多项式的次数是 2 ；
2 属于多项式的有： 2x y, 2a b
3
2.下列多项式各由哪些项组成？各是几次多项式？
( 1 ) 3 x 7 ; ( 2 ) x 2 3 x 4 ; ( 3 ) a b a 2 1 . (4) 6x2 ab3 3
7
例3：一个花坛的形状如图，它的两端是半
径相等的半圆，求 :
a
（1）花坛的周长L
t
1、列出表示下列各题结果的代数式，并指出这些代数式 是单项式还是多项式： （1）一场赛车比赛的门票的价格是每张50元，共售出了 n张。总收入为多少元？ （2）某城市预计明年固体污染50物n 排，放单的项增式长率为-11.2%。 设今年该市固体污染物排放总量为x万吨，那么预计明年 该市固体污染物的排放总量为多少？
____9_0_°___；
（3）如图，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1:5，那么
华师大版七年级上册数学练习课件-第5章 相交线与平行线-5.1 2垂线
▪ A．1
B．2
▪ C．3
D．4
12
▪ 11．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF 平分∠AOE，∠BOD＝15°3C0′，则下列结论中不正确的是
()
▪ A．∠AOF＝45°
▪ B．∠BOD＝∠AOC
▪ C．∠BOD的余角等于75°30′
▪ D．∠AOD与∠BOD互为补角 ▪ 12．如图，直线AB、CD相C交于点O，射线OM平分∠AOC，
第5章 相交线与平行线
5.1 相交线
2 垂 线(第二课时)
名师点睛
▪ 知识点1 垂线的概念 ▪ 当两条直线AB、CD所构成的四个角中有一个为直角时，其
他三个角也都成为直角，此时，直线AB、CD互相垂直，记 作“AB⊥CD”，它们的交点叫做垂足．我们把其中的一条 直线叫做另一条直线的垂线．
2
▪ 知识点2 垂线的画法 ▪ 经过一点(已知直线上或直线外)，画已知直线的垂线，步骤
▪ A．A处 ▪ B．B处 ▪ C．C处 ▪ D．D处
互相垂直
▪ 5．如图，点A、B、C在一条直线上，已知∠1＝53°，∠2＝ 37°，则CD与CE的位置关系是____________.
7
▪ 6．如图，已知AC⊥B60C，CD⊥AB于点D，AC＝5 cm，BC ＝12 cm，AB＝13 cm13，那么点C到AB的距离是_________ cm.
∠COE＝70°，所以∠BOE＝70°，所以∠BOE＝∠COE，所以OE平分∠BOC.
17
思维训练
▪ 17．如图所示，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶， C、D分别是位于公路AB两侧的村庄．
▪ (1)该汽车行驶到公路AB上的某一位置C′时距离村庄C最近， 行驶到D′位置时，距离村庄D最近，请在公路AB上作出C′、 D′的位置(保留作图痕迹)；
初二数学：上册51相交线2垂线教案2华东师大版
5.1相交线垂线教学目标：1、理解垂线的概念，知道过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。
2、通过画、折等直观感知和操作确认等实践活动，初步体验变换思想，建立符号感，培养语言归纳和表达的能力。
3、学生在充分经历观察、操作、推理、验证、交流等活动中，获得成功的体验，调动主动学习的积极性，感受数学学习的乐趣。
在操作活动中，培养学生的合作精神、探索精神，在独立思考的同时能够认同他人。
教学重点、难点：重点是通过动手画垂直的两条直线，探索有关垂线的一些性质。
难点是过直线上（外）的一点作已知直线的垂线。
教学过程：一、创设情境引入课题（用多媒体）播放奥运会十米跳台比赛的一段录像，最后把画面定格在三位跳水运动员入水前的精彩瞬间，学生在欣赏的同时，教师提出问题：如果用一条水平直线a表示水面，你能用另一条直线b画出不同选手入水的示意图吗？如图（1），直线a与直线b的位置关系就是我们今天要学习的内容——垂线。
【借助于多媒体，使学生先得到直观的感性认识，培养学生从感性到理性的认知方式。
】小学学段我们接触过垂线，在日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，请同学举出例子。
如国旗的长边与宽边，十字路口的两条道路，作文本的横线与竖线，铅垂线和水平线等，都是互相垂直的。
【体现教学活动建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上，同时注重所学知识与现实生活的联系。
】二、师生互动，课堂探究（一）提出问题，导入新知垂直是相交的一种特殊情况。
两条直线互相垂直有什么特点呢？我们来看模型。
（出示相交模型）这两根木条钉上钉子后，就可看成是两条直线AB 、CD 相交于O 点，固定AB 不动，绕O 点逆时针旋转CD ，观察∠α是如何变化的(教师提示注意观察：当∠α成直角时，其余各角的情况)？发现∠α由锐角逐渐变为钝角，当转动到成直角时，就说这两根木条互相垂直，即AB 与CD 垂直，CD 与AB 垂直。
从刚才的演示得出：两条直线相交成直角，就说明两条直线互相垂直。
七年级数学相交线华东师大版知识精讲
七年级数学相交线华东师大版【本讲教育信息】一、教学内容：相交线二、知识要点1. 知识点概要（1）丰富对两条直线互相垂直的认识，掌握有关的符号表示．（2）借助三角尺，量角器、方格纸画垂线，探索有关垂直的一些性质．（3）认识两角是同位角、内错角、同旁内角，并能区别出它们是哪两条直线被哪一条直线所截而得的．（4）能用一些简单的数学语言叙述图形的某些位置关系．2. 重点难点（1）重点：借助三角尺，量角器、方格纸画垂线，探索有关垂直的一些性质．认识两角是同位角、内错角、同旁内角．（2）难点：画垂线，能用一些简单的数学语言叙述图形的某些位置关系．三、考点分析（一）垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就叫做这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．用符号“⊥”表示，如图1，直线AB与直线CD垂直，记作“AB⊥CD于O”或“CD⊥AB于O”，在图中加注“┒”符号表示两条直线垂直．由此可知：如果∠AOC＝90°，那么AB⊥CD．反过来，如果AB⊥CD，那么∠AOC＝90°．两条线段垂直、两条射线垂直，都是指它们所在的直线垂直．（二）垂线的画法：画一条直线的垂线，通常是经过一点作已知直线的垂线，这一点可能在已知直线外，也可能在已知直线上．用量角器时，往往以已知直线为始边，作一个90°的角，用三角板时，通常有下列三步：一靠，用三角板的一直角边靠在已知直线上；二过，移动三角板让另一直角边过已知点；三画，沿三角板过已知点的边画直线．画一条线段或射线的垂线就是画它们所在直线的垂线，至于过一点画线段的垂线，其垂足可以在线段上，也可以在线段的延长线上．（三）垂线的性质（1）在同一平面内，过任意一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．如图2，设点P是直线l外一点，PA、PB、PC、PO都和直线l相交，其中PO⊥l，垂足为O，则线段PO就叫做点P到直线l的垂线段，可见直线外一点到这条直线的垂线只有一条，其余的PA、PB、PC、…都是斜线，斜线有无数条．在线段PA、PB、PC、PO中，垂线段PO最短．垂线段PO的长度也是点P到直线l的距离．（四）垂线性质的应用性质（1）被建筑工人用来检验所砌墙面与地面是否垂直，如图3所示：因为铅垂线和水平线是垂直的，如果铅垂线的尺面与墙面能够重合在一起，就说明墙面和地平面是垂直的．性质（2）常被裁判员用来测量运动员的跳远成绩，或在某点与某直线间铺设最短的管道，行驶最短的路程．（五）同位角、内错角、同旁内角的概念如图4，直线a 、b 被第三条直线l 所截，构成八个角，简称“三线八角”．（1）同位角顾名思义，位置相同的两个角．它们除了顶点不同外，两角所在的方位相同：（1）同在第三条直线的同侧；（2）同在另两条直线的同方；其特征是：两角三线呈“Ｆ”字形．图4中的同位角有：1∠与5∠，2∠与6∠，3∠与7,4∠∠与8∠．（2）内错角内，指的是两条直线所夹图形的内部，错，交错、错开．合起来就是指位于两条直线的内部，且被第三条直线错开（即在第三条直线的两侧）的两个角．其特征是：两角三线呈“Ｚ”字形．图4中的内错角有3∠与5∠，4∠与6∠．（3）同旁内角两角都在两条直线的内部（这一点与内错角相同），且都在第三条直线的同侧（这与内错角不同，但与同位角相同）．其特征是：两角三线呈“Ｕ”字形．图4中的同旁内角有4∠与5∠，3∠与6∠．（六）注意事项（1）点到直线的距离、垂线、垂线段、两点间距离的这些概念相近而又相异，主要表现在：①垂线与垂线段的区别是：垂线是一条直线，不可度量长度，垂线段是一条线段，可以度量长度；联系在于都具有垂直于已知直线的共同特性．②两点间的距离与点到直线的距离的区别是：两点之间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间，联系在于都是线段的长度，点到直线的距离是特殊的两点（即已知点与垂足）间的距离，同时都是由“最短”的特性引入的．③线段与距离的区别是：距离是线段的长度，是一个量；线段则是一种图形，它们之间是不能等同的．（2）同位角、内错角和同旁内角是“三线八角”中的主角，这三类角具有如下共同点：都是指两个角的位置关系；都是由三条直线相交构成的，其中有一条是公共的“边”，我们称它为“第三条直线”；都没有公共的顶点．【典型例题】例1. 如图5，已知AB CD ，相交于点O ，OE AB ⊥，28EOC ∠=， 则∠COB ＝度．解析：OE AB ⊥，∠BOE ＝90°，∠COB ＝∠EOB －∠COE ＝90°－28°＝62°．例2. （2008，资阳市）如图6，CA ⊥BE 于A ，AD ⊥BF 于D ，下列说法正确的是（ ）．A. ∠α的余角只有∠BB. ∠α的邻补角是∠DACC. ∠ACF 是∠α的余角D. ∠α与∠ACF 互补分析：由CA ⊥BE 于A ，AD ⊥BF 于D ，可得∠ADB ＝∠CAE ＝∠BAC ＝90°，则∠α的余角有∠B 、∠CAD ，∠α＝∠ACB ，∠α与∠DAE 互为邻补角，∠ACB 与∠ACF 互为邻补角．则∠α与∠ACF 互补．答案选D ．例3. 如图7，已知直线a 、b 的位置，用语言叙述你得到的结论．分析：从图上可以清楚地看清两线之间的关系，考查这一题的关键不在于识图，而在于说图，而说图中尤其要注意的就是垂线与垂直这两个概念的区别．解：从图形我们得到：（1）两条直线相交成直角；（2）a、b两条直线互相垂直，即a⊥b；（3）直线a是直线b的垂线（或直线b是直线a的垂线）．例4. 如图8，∠1的内错角是，它们是直线被直线所截得的．分析：根据内错角的概念：在两条直线的内部，且被第三条直线错开（即在第三条直线的两侧）的两个角．可以找到∠AEC和∠B都是∠1的内错角，再根据三线中的公共线是截线，即可找出直线AB是截线，则其余直线是被截线．解：∠AEC和∠B，DF、DC（DF、BC）、AB．OD ，D是垂足，连结OB，下列说法中：例5. 已知，如图9，BC①线段OB是O、B两点的距离；②线段OB的长度是O、B两点的距离；③线段OD是O点到直线BC的距离；④线段OD的长度是O点到直线BC的距离．其中正确的个数有（）A. 1B. 2C. 3D. 4解析：两点间的距离是指连结两点的线段的长度，而不是线段；点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度，而不是垂线段．由此可知②、④是正确的．答案选B．例6.指出图10中所标名称中互相垂直的线段（图中的每一个小方格都是正方形）．分析：图中标有名称的有四条线段，其中有些线段是可以一下子就可以看出它们不互相垂直的，比如AB与HG，也有些看上去好像垂直的，如CD与EF，甚至是CD与AB．这就需要我们认真的度量与观察．解：通过度量或观察知CD⊥EF．例7. 如图11，图中的同位角共有（）．A. 6对B. 8对C. 10对D. 12对解析：两条直线被第三条直线所截，同位角有四对，图中有三组两条直线被第三条直线所截，均共有同位角4×3＝12对．如图12所示，答案选D．例8. 如图13，一个人从A地到河边某处挑水，问这人沿着什么方向走路最近？画图说明为什么．分析：A地到河边的路径相当于点到直线的连线，其中最短的路径是点A到河边的距离．解：过点A向河岸作垂线，交河岸于点D，如图14，则沿着AD方向走最近．理由是“垂线段最短”．例9.如图15，下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角．其中正确的是（）．A. ①、②、③B. ①、②、④C. ②、③、④D. ①、②、③、④分析：可将涉及的一对角从整个图形中分离出来，单独观察．如图16，这样可排除图中其它线的干扰，便于确定两角的相对位置．易知①、②、③正确．答案选A．例10. 如图17，点P是∠AOB内一点．（1）作PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D；（2）量出PC、PD的长（精确到1mm）；（3）点P到OA、OB的距离中，点P离谁最近？（4）量出∠CPD的度数；（5）∠AOB与∠CPD有什么数量关系？（6）由此可得到什么规律？分析：先动手画出点P到OA、OB的垂线段．然后再用刻度尺和量角器来测量，并进行比较．解：（1）如图18所示；（2）PC＝0.9㎝，PD＝0.5㎝；（3）点P离OB最近；（4）140°；（5）∠AOB＋∠CPD＝180°；（6）在一个角内任取一点，作两边的垂线，则两垂线与这个点的夹角加上这个角的度数和为180°．例11. 一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的两个学校，如图19．（1）汽车在公路行驶时，会对两个学校教学都造成影响，当汽车行驶到何处时，分别对两个学校影响最大？在图上标出来．（2）当汽车从A向B行驶时，在哪一段上对两个学校影响越来越大？越来越小？对M 学校的影响逐渐减小，而对N学校影响逐渐增大？分析：根据生活经验可知，汽车与学校距离越近，对学校的影响越大，距离学校越远，对学校的影响越小．在汽车行驶的过程中，当汽车位于学校与路垂直的位置时，与学校的距离最近．其影响最大．解：（1）如图20，作MC⊥AB于C，ND⊥AB于D，根据“垂直的线段最短”，所以在C处对M学校的影响最大，在D处对学校N的影响最大．（2）由A向C行驶，对两个学校影响逐渐增大，由D向B行驶时，对两个学校的影响逐渐减小，由C向D行驶时，对M学校的影响减小，对N学校的影响增大．例12. 如图21，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°，求∠BOE和∠AOC的度数．分析：由垂直定义可知∠BOF，∠DOE均为90°，可先求∠BOD，再求∠BOE，利用“对顶角相等”这条性质可得∠AOC与∠BOD相等．解：因为OE⊥CD，OF⊥AB，所以∠BOF＝∠DOE＝90°，所以∠BOD＝90°－65°＝25°，所以∠BOE＝90°－25°＝65°，所以∠AOC＝∠BOD＝25°（对顶角相等）．五、本讲数学思想方法的学习1. 将数与形有机结合，可以快速解决与图形有关的数量关系问题．本章节中通过图形的位置关系，可以寻找角与角之间的数量关系．2. 当题目所给条件不明确时，根据条件呈现的所有情况进行分类，可以达到解题的目的；在理解三线夹角位置关系时，我们同样也需要应用分类的数学思想．3. 运用方程来解决几何中的问题，是解决与几何图形有关的计算问题的常用手段．4. 学会触类旁通．长期坚持一题多解、一题多变的探索，不仅可以训练同学们思维的灵活性，而且对锻炼同学们良好的思维品质，培养创新意识和提高探索能力大有裨益．课本中的例题、习题都具有基础性、典型性、可变性和延伸性等特点．在学习数学的过程中，要注重对例、习题的研究和探索，从而达到由此及彼、触类旁通的效果．5. 要学会从复杂图形中分拆基本图形．当图形较复杂时，常给识别同位角、内错角、同旁内角带来困难，为了克服多条直线的干扰，准确地识别，我们可以将复杂图形分拆成基本图形，从而排除与之无关的线，来判断相应的两角的位置关系．【模拟试题】（答题时间：90分钟）一、细心选一选（每题2分，共20分）1. 下列正确的是（）A. 把一个角的一边反向延长，可得到这个角的邻补角B. 平面内两条不平行的线段．．必相交C. 如果直线a⊥b，b⊥c，那么a⊥cD. 对顶角相等，但不互补；邻补角互补，但不相等2. 如图1，直线AB、CD、EF相交于点O，则图中有（）对对顶角．A. 2B. 4C. 6D. 83. 如图2，∠1＝15º，∠AOC＝90º，点B、O、D在同一直线上，则∠2的度数为（）A. 75ºB. 15ºC. 105ºD. 165º4. 如图3，∠AOC和∠BOD都是直角，如果∠AOB ＝150º，那么∠COD等于（）A. 30ºB. 40ºC. 50ºD. 60º5. 如图4，∠C＝90°，则正确的是（）A. 线段CB的长度是表示点C到点B的距离B. 线段AC是点A到直线BC的距离C. 在AB、BC、CA中AC最长D. 线段CB的长是点C到AB的距离6. 将一X长方形纸如图所示对折三次，则产生的折痕与折痕间的位置关系有（）A. 平行B. 垂直C. 平行或垂直D. 无法确定*7. 在下图中，∠1与∠2是同位角的有（）A. ②B. ①③C. ②③D. ②④12①12②12③12④*8. 下列说法正确的是（）A. 两点之间的距离是两点间的线段B. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线相交C. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D. 与同一条直线垂直的两条直线也垂直.*9. 图中直线PQ、射线AB、线段MN能相交的是（）.**10. 下列说法正确的有（）①两条直线相交，有公共顶点而没有公共边的两个角是对顶角；②如果两条线段没有交点，那么这两条线段所在直线也没有交点；③邻补角的两条角平分线构成一个直角；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、仔细填一填：（每题2分，共20分）11. 如图，要将角钢（图①）弯成145（图②）的钢架，在角钢上截去的缺口（图①中的虚线）应为度．12. 如图1，AC是点A到直线BC的垂线段，则点B到AC的距离是线段的长．13. 如图2，OA⊥OB，OC⊥OD，∠AOD＝146°，则∠BOC＝度．*14. 如图3，直线AB、CD相交于点O，∠1＝∠2．则∠1的对顶角是_____，∠4的邻补角是______．∠2的补角是_________．15. 如图4，直线AB和CD相交于点O，OE是∠DOB的平分线，若∠AOC＝76°，则∠EOB＝_______．16. 如图5，OA⊥OB，OC⊥OD．若∠AOD＝144°，则∠BOC＝______．*17. 在下述四个说法中：○1相等的两个角是对顶角，○2有公共顶点的两个角是对顶角，○3一条直线只有一条垂线，○4过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线．正确的个数是__________个．*18. 如图6，OA⊥OB，OC⊥OD，垂足均为O．则∠BOC＋∠AOD等于________．19. 如图7，OA⊥OB，∠BOC＝30°，OD平分∠AOC，则∠BOD＝．20. 如图8，OA⊥OB，直线CD过点O，且∠AOC＝50°，则∠DOB＝°．三、认真画一画：（每题10分，共20分）21. 如图，方格中有一个∠ ．（1）画出∠a的一个余角∠β；（2）画出∠a的两个补角；（3）∠a的两个补角相等吗？说明你的理由．22. 如图，已知∠AOB，完成下列各题：（1）画∠AOB的平分线OC．（2）在OC上任取两点P、Q（与点O不重合），分别过P、Q画PD⊥OA，PE⊥OB，QF⊥OA，QG⊥OB，垂足分别为点D、E、F、G．（3）度量线段PE、PD、QF、QG的长，则PD____PE、QF____QG（填“＞”、“＜”或“＝”）．（4）从上面的实践，你发现了什么？请用简洁的语句将你的发现的结论反映出来．___________________________________．四、努力解一解：（每题10分，共40分）23. 如图，OA⊥OB，CO⊥DO．（1）∠AOC与∠BOD是否相等？说明理由？（2）若∠AOD＝52°，求∠BOC的度数．*24. 如图，AOB为一条直线，∠1＋∠2＝90º，∠COD是直角．（1）请写出图中相等的角，并说明理由；（2）请分别写出图中互余的角和互补的角．*25. 如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OP 是∠BOC 的平分线，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ．如果∠AOD ＝40°．那么： （1）根据，可得∠BOC ＝度．（2）因为OP 是∠BOC 的平分线，所以∠C OP ＝21∠＝． （3）求∠BOF 的度数．O P FEDCBA**26. 如图，已知∠AOB 是直角，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC ． （1）求∠EOF 的度数；（2）如果∠AOC ＋∠EOF ＝156º．则∠BOC 是多少度？试题答案一、细心选一选：1. A （提示：两直线互相垂直时，对顶角相等且互补，邻补角互补且相等）2. C3. C4. A5. A6. C7. C8. C9. D 10. C二、仔细填一填：11. 35° 12. BC 13. 34°14.∠3，∠1与∠3，∠BOE 或∠4．（提示：注意补角和邻补角的区别，前者只要求满足数量关系，即两角和为180°，而后者既要求满足数量关系又要求满足位置关系，即互补相15. 38°16. 36°17. 118. 180°（提示：延长BO到E，因为OA⊥OB，所以OA⊥OE.又OC⊥OD，所以∠AOC ＋∠COE＝∠AOC＋∠AOD＝90°．由同角的余角相等知：∠COE＝∠AOD．∴∠BOC＋∠AOD＝∠BOC＋∠COE＝180°．）19. 30°20. 140°三、认真画一画：21. 如图所示：（1）∠a的一个余角为∠β；（2）∠a的两个补角是∠COD、∠AOB；（3）∠COD＝∠AOB，因为∠COD＋∠a＝180°，∠AOB＋∠a＝180°，所以∠COD＝∠AOB．即同角的补角相等．22.（1）（2）如图所示：（3）PD＝PE、QF＝QG（4）角平分线上的点到角的两边的距离相等．四、努力解一解：23. （1）∠AOC＝∠BOD，因为OA⊥OB，CO⊥DO，所以∠AOB＝∠COD＝90°，则∠AOB＋∠AOD ＝∠COD ＋∠AOD，即∠AOC＝∠BOD．（2）∠BOC＝1周角－∠BOA－∠AOD－∠DOC＝360°－90°－90°－52°＝24. （1） ①∠AOC ＝∠1，理由是：因为∠COD 是直角，所以∠COD ＝90 º，所以∠AOC ＋∠2＝180º－90º＝90º，又因为∠1＋∠2＝90º，所以∠AOC ＝∠1． ②∠EOB ＝∠COB ，理由是：∠EOB 与∠COB 分别是∠1、∠AOC 的补角，又∠AOC ＝∠1，根据等角的补角相等，可得∠EOB ＝∠COB ．（2）互余的角有∠1与∠2，∠AOC 与∠2，互补的角有∠1与∠EOB ，∠AOC 与∠COB ，∠2与∠AOD ，∠AOC 与∠EOB ，∠1与∠COB ．25. （1）对顶角相等，40º，（2） ∠COB 20º，（3） 因为OF ⊥CD ，所以 ∠DOF ＝90º，∠BOF ＝∠AOB －∠AOD －∠DOF ＝180º－90º－40º＝50º． 26. （1）∠EOF ＝∠EOC －∠COF ＝21∠AOC －21∠BOC ＝21（∠AOC －∠BOC ）＝21∠AOB ＝21×90º＝45º． （2）由（1）知，∠EOF ＝21∠AOB ．因为∠AOC ＋∠EOF ＝156º，所以∠AOB ＋∠BOC ＋21∠AOB ＝156 º又∠AOB ＝90º，则90º＋∠BOC ＋21×90º＝156º，所以∠BOC＝21º．。
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m
互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。
（如图中的O点）。
检测巩固
4、如图，AB、CD相交于点O，OE为射线，若 ∠1＝35°，∠2＝55°，则OE AB。
自学质疑
1.两条直线互相垂直的定义？ 垂直的书写？ 什么是垂足？ 2.画一画 （1）利用三角尺作出已知直线的垂线； （2）过直线外一点作已知直线的垂线； （3）过直线上一点作已知直线的垂线。 3.想一想 直线外一点到直线上各点的连线中 最短。 4. 描述距离：点到点的距离？点到直线的距离？ 5. 试一试 作出钝角三角形三个顶点到三边的垂线。
检测巩固 考点一、垂线、垂线段 例1、如图，按要求画图。 （1）连接AC,作点B到AC的距离BF； （2）作点A到DC的距离AE。
评价提升
过AB上一点B，与AB垂直的 直线有哪些？
H
G
F
E
D A B
C
评价提升
H G
E
F
· A ·
A
l l
D A B
C
比 较
性质：平面内，过一点能且只能作一条直 线与已知直线垂直。 经过直线外一点能且只能画一条直线与 这条直线平行。
展示分享 1、过直线l上一点A作直线的垂线，你能作 出多少条？ 2、过直线l外一点A作直线的垂线，你能作 1、靠 2、过 3、画 出多少条？
·
A
l
过一点能且只能作一条直线与已 知直线垂直。
动手作垂线 展示分享 2、利用方格纸可以作出互相垂直的两条 直线；
A C B G F
D E m l H
n
q
自学质疑
检测巩固 1、如下图，与棱AB相交且有垂直关系的棱有 （ ）条 A、1 B、2 C、3 D、4
垂直定义； 垂线的多种画法； 垂直的表示方法；
垂直的基本性质；
垂线段以及点到直线的距离。
A A
认真判别
1、经过一点有且只有一条直线与已知直线 平行； ( ×) 2、 平面内，经过一点有且只有一条直线 与已知直线垂直; ( √ ) 3、直线外一点与直线上各点连接的所有线 段中,垂线段最短； ( √ ) 4、两点间的线段，叫做这两点之间的距离； ( ) × 5、过直线外一点A向直线l 所作的垂线段叫 做A点到直线l 的距离； ( ×)
•4.1
相交线
（ 2）
一、知识回顾
同一平面上的两条直线有哪些位置关系?
a a b
b
平行
相交
a b
相交
a
b
a b
相交
相交
a
b
a b
相交
相交
a
b a b
相交 相交
a
b a b
相交 相交
a
b a b
相交 相交
a
b a b
相交 相交
a
b a b
相交 相交
a
b a b
相交 相交
自学质疑 讨论领悟
展示分享
A
B
C
O D
l
比 较
垂线段AO 的长度，称为点A到直 线l的距离。 两点之间线段的长度，叫做这两 点之间的距离。
检测巩固 【跟进训练】 BAC 90 ,AD⊥BC,垂足为D，则下列 1、如图， 说法正确的个数为（ ） ①AB与AC互相垂直；②AD与AC互相垂直；③ 点C到AB的垂线段是AB；④点A到BC的距离是 线段AD；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离； ⑥线段AB是点B到AC的距离。 A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
D
有一户人家，父女二人在同一 个学校工作和学习，如图所示， 这两个人从家走到学校，各有 自己的习惯路线，父亲喜欢尽 量少拐弯；女儿却喜欢一路穿 街走巷，不放弃每次拐弯的机 会，图中每一条路都是沿着南 北或东西方向。 1）在图中各找出一组平行线， 垂线，并用符号表示； 2）父亲和女儿谁走的路短一些 ？
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两条直线互相垂直的定义 如果两条直线相交成直角， 那么这两条直线互相垂直.
l m
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垂直的表示法
直线AB与直线CD垂直， 记作：AB⊥CD （或CD⊥AB） 读作“AB垂直于CD”；
A C
l
B
如果用l、m表示这两条直线， 那么直线l与直线m垂直， 可记作：l⊥m （或m ⊥ l ）
O
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动手作垂线
1、利用三角尺作出两条互相垂直的直线。
用三角尺可以这样画
靠
画
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动手画垂线
1、利用三角尺作出两条互相垂直的直线。
用三角尺可以这样画
靠
画
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动手画垂线
1、利用三角尺作出两条互相垂直的直线。
用三角尺可以这样画
靠
画
展示分享 1、过直线l上一点A作直线的垂线，你能作 出多少条？ 2、过直线l外一点A作直线的垂线，你能作 1、靠 2、过 3、画 出多少条？
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A
比 较
直线外一点与直线上各点连接的所 有线段中，垂线段最短。这一性质 可以简单叙述为：垂线段最短。 两点之间的所有连线中，线段最短。
B
C
O D
l
自学质疑
1.两条直线互相垂直的定义？ 垂直的书写？ 什么是垂足？ 2.画一画 （1）利用三角尺作出已知直线的垂线； （2）过直线外一点作已知直线的垂线； （3）过直线上一点作已知直线的垂线。 3.想一想 直线外一点到直线上各点的连线中 最短。 4. 描述距离：点到点的距离？点到直线的距离？ 5. 试一试 作出钝角三角形三个顶点到三边的垂线。
检测巩固
3、如图，OD⊥BC，垂足为D，BD＝6㎝，OD ＝8㎝，OB＝10㎝，那么点B到OD的距离是 ， 点O到BC的距离是 ，点O到点B之间的距 离是 。
自学质疑
1.两条直线互相垂直的定义？ 垂直的书写？ 什么是垂足？ 2.画一画 （1）利用三角尺作出已知直线的垂线； （2）过直线外一点作已知直线的垂线； （3）过直线上一点作已知直线的垂线。 3.想一想 直线外一点到直线上各点的连线中 最短。 4. 描述距离：点到点的距离？点到直线的距离？ 5. 试一试 作出钝角直的书写？ 什么是垂足？ 2.画一画 （1）利用三角尺作出已知直线的垂线； （2）过直线外一点作已知直线的垂线； （3）过直线上一点作已知直线的垂线。 3.想一想 直线外一点到直线上各点的连线中 最短。 4. 描述距离：点到点的距离？点到直线的距离？ 5. 试一试 作出钝角三角形三个顶点到三边的垂线。
检测巩固 2、如上图，△ABC中，∠C=90°,AC=3,点P是 边BC上的动点，则AP的长不可能是（ ） A、2.5 B、3 C、4 D、5
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A
O
l
设点A是直线l外一点，过点A画AO⊥l， 垂足为点O，线段AO叫做点A到直线l的垂
线段。
讨论领悟
A
B
C
O D
l
请你观察比较: 垂线段AO与线段 AB,AC,AD 哪一条最短?
1.两条直线互相垂直的定义？ 垂直的书写？ 什么是垂足？ 什么是垂足？ 2.画一画 （1）利用三角尺作出已知直线的垂线； （2）过直线外一点作已知直线的垂线； （3）过直线上一点作已知直线的垂线。 3.想一想 直线外一点到直线上各点的连线中 最短。 4. 描述距离：点到点的距离？点到直线的距离？ 5. 试一试 作出钝角三角形三个顶点到三边的垂线。
想一想
在体育比赛中，小明同学从起跳线跃起， 落在沙坑里，如图，如何测量他的跳远成 绩？请你画出示意图，并说明理由。
C
A B
D
E
练习： A 要把水渠中的水引到 水池C，在渠岸AB的 什么地方开沟，才能 使沟最短？画出图来， 并说明根据什么道理?
D
C
在D点处开沟，依据是垂线段最短。
B
一、1、过直线外一点A和直线e上一点B可画 × 一条直线与e垂直； （ ） 2、过任何一点均可作一条直线的垂线；（√ ） ×） 3、一条直线只有一条垂线； （ 4、过射线的端点与射线垂直的直线可能有， 也可能没有； （× ） 二、如图，AC⊥BC，CD⊥AB图中线 C 段 CD 的长表示C到AB的距离，线 段 AC 的长表示A到BC的距离。A B