3-7扭转的刚度条件
扭转刚度(材料力学)
最大切应力：
max
T Wt
扭转截面系数
单位长度扭转角：
j T
GIt 相当极惯性矩
短边中点的切应力： max
其中 Wt b3 It b4
、、 ——与 m h 相关的因数 b
对于B的扭转角jCB。
M2 Ⅰ
M1
Ⅱ
M3
d
B
lAB
A
lAC
C
解： 1）求扭矩 BA段 AC段
T1 955N m T2 637N m
M2 Ⅰ
M1
Ⅱ
M3
d
B
lAB
A
lAC
C
2）求扭转角
j AB
T1l AB GIp
955103 300 80103 π 704
1.52103 rad
32
jCA
变模量G=80GPa 。轴的横截面上最大扭矩为Tmax=
9.56 kN•m ，轴的许可单位长度扭转角[j' ]=0.3 /m 。
试选择轴的直径。
解：1、按强度条件确定外直径D
max
Tmax Wp
Tmax
πD3 1 4
[ ]
16
D 3
π
16Tmax
1 4 [
]
3
16 9.56 106 π 1 0.54 40
等直非圆杆自由扭转时的应力和变形
Ⅰ、等直非圆形截面杆扭转时的变形特点
横向线变 横截面发生翘曲
成曲线
不再保持为平面
平面假设不再 成立，可能产 生附加正应力
非圆杆两种类型的扭转
1、等直杆两端受外力偶作用，端面可自由翘曲时 ——自由扭转(纯扭转) 此时相邻两横截面的翘曲程度完全相同，无附加 正应力产生
材料力学第3章扭转
τ ρ = Gγ ρ
=G
ρdϕ
dx
22
C)静力平衡关系 C)静力平衡关系
T = ∫ A dA ⋅ τ ρ ⋅ ρ
2 dϕ = ∫ A Gρ dA dx
τ ρ = Gγ ρ
=G
dA
ρdϕ
dx
ρ
O
=G
dϕ ∫ A ρ 2dA dx
令
dϕ T = GI p dx
dϕ T = dx GIp
I p = ∫ A ρ 2dA
由公式
Pk/n
11
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (2)计算扭矩
(3) 扭矩图
12
§3-3、纯剪切
1、薄壁圆筒扭转：壁厚 、薄壁圆筒扭转：
t≤
1 r0 10
为平均半径） （r0：为平均半径）
A）观察实验： ）观察实验：
实验前： 实验前： ①绘纵向线，圆周线； 绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。 。
16
纯剪切的概念： 纯剪切的概念：
当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 就称为纯剪切。 就称为纯剪切。
3、剪应变与扭转角
设轴长为L，半径为R 设轴长为L 半径为R Φ称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 且的剪应变 γ Φ的关系如下： 与 的关系如下：
∑ mz = 0
a dy
γ τ´
dx
τ´
b
τ ⋅ t ⋅ dxdy = τ ′ ⋅ t ⋅ dxdy
故
τ
c z
τ
d t
τ =τ′
上式称为剪应力互等定理。 上式称为剪应力互等定理。 为剪应力互等定理
材料力学答案03
T2 = M B + M C = 764 N ⋅ m Tmax = 764 N ⋅ m
其绝对值比第（1）种情况小，即对轴的受力有利。 3-3 试绘出图示截面上切应力的分布图，其中 T 为截面的扭矩。
(a1)
(b1)
(c1)
3-4 图示圆截面轴， AB 与 BC 段的直径分别为 d1 与 d 2 ，且 d1 = 4d 2 / 3 。求轴内的 最大扭转切应力。
ϕ = ∫ dϕ = ∫
l l
T (x ) dx GI p ( x )
上式适用于等截面圆轴和截面变化不大的圆锥截面轴。对等截面圆轴，若在长 l 的两横截面 间的扭矩 T 为常量，则
ϕ=
圆轴扭转的刚度条件为
Tl GI p
⎟ ≤ [θ ] θ max = ⎜ ⎜ GI ⎟ ⎝ p ⎠ max
⎛ T ⎞
对于等截面圆轴为 或
28
答 同一变速箱中的高速轴与低速轴指相对转速高低，其传递的功率相同（不计功率损 耗） ，啮合处线速度相同。要啮合处产生相同的线速度，则高速轴的啮合半径就较小；又因 为啮合处相互作用力相同，该作用力对啮合半径就较小的高速轴线产生的外力偶矩就较小， 从而在高速轴中产生的扭矩较小，故高速轴可做得较细。 3-12 图示轴 A 和套筒 B 牢固地结合在一起，两者切变模量分别为 G A 和 G B ，两端受扭 转力偶矩，为使轴和套筒承受的扭转相同而必须满足的条件是什么？
(
)
16 × 500 = 194 MPa ⎡ ⎛ 40 ⎞ 4 ⎤ 3 −9 π × 42 × 10 × ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎝ 42 ⎠ ⎦ ⎥ ⎣
（2）若考虑薄壁 ，可求其平均扭转切应力
τ=
Me = 2 πR 2δ
扭转强度及刚度条件
扭转强度及刚度条件强度和刚度是材料力学中常用的两个概念，它们对于材料的性能和应用具有重要的影响。
本文将以扭转强度及刚度条件为主题，对其进行深入探讨。
我们需要明确强度和刚度的定义。
强度是指材料在受到外力作用下抵抗破坏的能力，可以用材料的抗拉、抗压、抗弯等性能指标来衡量。
而刚度则是指材料在受到外力作用下的变形程度，是材料对力的响应能力的度量。
在扭转过程中，材料的强度和刚度也是十分重要的。
扭转强度是指材料在扭转加载下抵抗破坏的能力，可以用材料的扭转极限应力来衡量。
扭转刚度则是指材料在扭转加载下的变形程度，可以用材料的扭转刚度系数来表示。
对于金属材料而言，其扭转强度与抗拉强度有一定的关联。
一般来说，抗拉强度越高的材料，其扭转强度也会相应提高。
这是因为扭转加载时，材料内部会产生切应力，而切应力是由剪应力和正应力组成的。
而剪应力对材料的影响较大，因此抗拉强度高的材料，其扭转强度也会相对较高。
材料的组织结构和晶界的性质也会对扭转强度和刚度产生影响。
晶界是材料中相邻晶粒之间的界面，其性质与晶粒内部有所不同。
晶界的存在会导致材料的强度和刚度降低，因为晶界是材料中比较脆弱的部分，容易发生破坏。
因此，在材料的制备过程中，需要尽量减少晶界的存在，以提高材料的扭转强度和刚度。
材料的加工工艺也会对扭转强度和刚度产生影响。
常见的加工工艺包括热处理、冷加工等。
热处理可以改变材料的晶粒大小和晶粒排列方式，从而影响材料的强度和刚度。
冷加工则可以通过加工硬化的方式提高材料的强度和刚度。
因此，在材料的加工过程中，需要选择适当的工艺参数，以提高材料的扭转强度和刚度。
扭转强度和刚度是材料力学中重要的概念，对于材料的性能和应用具有重要的影响。
在材料的设计和选择过程中，需要考虑材料的扭转强度和刚度条件，以满足实际的使用要求。
通过合理的材料选择、优化的加工工艺等手段，可以提高材料的扭转强度和刚度，从而提高材料的使用性能。
扭转试验资料
扭转试验
在科学研究和工程实践中，扭转试验是一种常见的实验手段。
通过扭转试验，
我们可以探究物体在受到扭转力作用下的变形行为以及力学性能。
这一实验通常用于材料测试、结构设计和产品研发等领域，对于了解材料的扭转特性和确定其工程应用具有重要意义。
1. 扭转试验的原理
扭转试验是一种可以测量材料或结构在受到扭转作用时的性能的实验方法。
在
扭转试验中，通常会施加一个扭矩在样品上，通过测量变形和力的关系来确定材料的刚度、极限扭转应力等参数。
这对于评估材料在扭转载荷下的表现以及在设计新产品时的使用情况非常重要。
2. 扭转试验方法
扭转试验的方法可以有多种，常见的包括加速振动试验、粘结试验、扭转-弯曲耦合试验等。
不同的试验方法适用于不同的材料和应用场景。
在进行扭转试验时，需要注意样品的准备和夹持方法，以确保测试数据的准确性和可靠性。
3. 扭转试验应用
扭转试验在材料科学、工程设计和产品研发中有着广泛的应用。
通过扭转试验，我们可以了解材料在扭转载荷下的性能特点，为产品的设计和性能优化提供依据。
同时，在材料研究和新材料开发方面，扭转试验也扮演着重要角色，有助于评估材料的性能和可靠性。
4. 结语
扭转试验作为一种常见的实验手段，在科学研究和工程实践中发挥着重要作用。
通过这一试验方法，我们可以深入了解材料在扭转载荷下的性能表现，为材料研究、产品设计和工程应用提供关键支持。
希望本文能够帮助读者更好地了解扭转试验及其在实践中的应用意义。
7-3圆轴扭转时的应力及强度条件
圆轴扭转时的应力及强 度条件
一、圆轴扭转时的应力
1、扭转变形 平面假设：圆周扭转变形后各个横截面仍为平 面，而且其大小、形状以及相邻两截面之间的 距离保持不变，横截面半径仍为直线。
推断结论：
横截面上各点无轴向变形，故 横截面上没有正应力。
横截面绕轴线发生了旋转式的 相对错动，故横截面上有剪应 力存在。 各横截面半径不变，所以剪应 力方向与截面径向垂直
解：传动轴的外力偶矩为：
P 80 M 9549 9549 1317.1N.m n 580
工作切应力的最大值：
3 T M 1317 . 1 10 3 39.58MPa [ ] 50MPa m ax 3 W p 0 . 2 d 0 . 2 55
强度足够！
带入数据后得：τ max＝50.33MPa<[τ ]＝60MPa;强度足够 2、设计实心轴直径D1（两轴的最大工作切应力相等) 3、两轴重量比 T T 2 G A L D m ax ；即 实心轴 1 1 3 2 W 0 .2D P G空心轴 A2 L D d 2 6 T 1 . 5 10 D3 3 53 .03 mm 532 0 .2 m ax 0.250 .3 2 3.21 2 90 85
6 T 5 10 AB 48 . 83 MPa AB max 3 W . 2 80 AB 0
6 T 1 . 8 10 BC 72 MPa BC max 3 W . 2 50 BC 0
二、圆轴扭转的强度条件
1、圆轴扭转的强度条件
纯扭圆轴横截面切应力分布
d1
A
解： 1.外力
C
M e2
d2
圆轴的扭转变形与刚度条件
第五节圆轴的扭转变形与刚度条件一、圆周的扭转变形圆轴受扭转时，除了考虑强度条件外，有时还要满足刚度条件。
例如机床的主轴，若扭转变形太大，就会引起剧烈的振动，影响加工工件的质量。
因此还需对轴的扭转变形有所限制。
轴受扭转作用时所产生的变形，是用两横截面之间的相对扭转角ϕ表示的，如下图所示。
由于γ角与ϕ角对应同一段弧长，故有ϕ·R = γ·l (a)式中的R是轴的半径，由剪切虎克定律，τ=G·γ，所以可得ϕ=τ·l/ (G·γ)(b)式中τ=M·R/ Jρ，代入(b)得：ϕ=M·l/ (G·Jρ)(1-46)公式(1-46)是截面A、B之间的相对扭转角计算公式，ϕ的单位是rad。
两截面间的相对扭转角与两截面间的距离l成正比，为了便于比较，工程上一般都用单位轴长上的扭转角θ表示扭转变形的大小：θ=ϕ/ l=M/ (G·Jρ)(1-47)θ的单位是rad/m。
如果扭矩的单位是N·m，G的单位MP a，Jρ的单位m4。
但是工程实际中规定的许用单位扭转角[θ]是以°/m 为单位的，则公式(1-47)可改写为：(1-48)式中G·Jρ称为轴的抗扭刚度，取决于轴的材料与截面的形状与尺寸。
轴的G·Jρ值越大，则扭转角θ越小，表明抗扭转变形的能力越强。
二、扭转的刚度条件圆轴受扭转时如果变形过大，就会影响轴的正常工作。
轴的扭转变形用许用扭转角[θ]来加以限制，其单位为°/m，其数值的大小根据载荷性质、工作条件等确定。
在一般传动和搅拌轴的计算中，可选取[θ]=0.5°/m～10°/m。
由此得出轴的扭转刚度条件：θ=M/ (G·Jρ)·(180/ π)≤[θ](1-49)圆轴设计时，一般要求既满足强度条件(1-45)，又要满足刚度条件(1-49)。
材料力学-第三章
21
第三章 扭转
3.5 圆轴扭转强度计算
22
扭转失效与扭转极限应力
扭转屈服应力：s 扭转强度极限：b 扭转强度极限：b 扭转屈服应力（s ）和扭转强度极限（b ），统 称为材料的扭转极限应力u。
23
圆轴扭转强度条件
材料的扭转许用应力为：
u
n
n为安全系数。
强度条件为：
max
（2) 若将轮1与轮2的位置对调，试求轴内的最大扭矩。
（3) 若将轮1与轮3的位置对调，试求轴内的最大扭矩。
33
提高圆轴扭转时强度和刚度的措施
• 提高轴的转速 • 合理布局主动轮和被动轮的位置 • 采用空心轴 • 选用优质材料，提高剪切模量
34
例3-8：图示圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向载荷F作用。 所谓密圈螺旋弹簧，是指螺旋升角α很小（例如小于5º ）的 弹簧。设弹簧的平均直径D，弹簧丝的直径d，试分析弹簧 丝横截面上的应力并建立相应的强度条件。
第三章 扭转
3.1 扭转的概念
1
扭转的概念
以横截面绕轴 线作相对旋转为 主要特征的变形 形式，称为扭转。
2
受力特点： 变形特点：
受到垂直于构件轴线的外力偶 矩的作用。
构件的轴线保持不变，各横截面绕 轴线相对转动 截面间绕轴线的相对角位移，称为扭转角
使杆发生扭转变形的外力偶，称为扭力偶，其矩 称为扭力偶矩。 凡是以扭转为主要变形的直杆，称为轴。
公式的适用条件：以平面假设为基础；适用胡克定律。
18
圆轴截面的极惯性矩和抗扭截面模量
IP
d4
32
WP
d3
16
19
空心圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量
材料力学第四章 扭转
扭转轴的内力偶矩称为扭矩
3、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到
m
m
x
m
Mn
MX 0 Mnm0
Mn m
8
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
4 扭矩的符号规定—右手螺旋法则
mI
扭
矩
符 号 规
Mn I
离M开n截 面
定 ：
mI
I
m
Mn
I
I
m
Mn
Mn I
指向M 截n 面
I
右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的
m
转速：n (转/分)
1分钟输入功： 1分钟m 作功：
W W '
W 6 N 0 10 60 0 N 0 000
W m m 2 n 1 2 nm
m955N0 Nm 单位
n
7
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
2、扭矩的概念
扭转变形的杆往往称之为扭转轴
Mn
Mn
(r )
A
B
(r )
C
C
D d
D
b
x
d
d
d
dx
d
dx
dx
d
称为单位长度相对扭转角
dx
对于同一截面，
d 常量 dx
上式表明：圆轴扭转时，其横截面上任意点处的剪应变与该点至截 面中心之间的距离成正比。上式即为圆轴扭转时的变形协调方程。
32
§3-4 等值圆杆扭转时的应力强度条件
dAsin
d d A cA s o i s d n sA i c n o 0
结构力学第三章-扭转.
对于空心圆截面：
d
I p A 2 dA 2 d
2 D 2 d 2
d
O D
4 4 (D d ) 32 D4 4 (1 ) 32
d ( ) D
④ 应力分布
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，
代入物理关系式
d T dx GI p
d 得： G dx
T Ip
T Ip
— 横截面上距圆心为 处任一点切应力计算公式。
4. 公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
第三章
§3–1 概述
扭 转
§3–2 薄壁圆筒的扭转
§3–3 传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
§3–4 等直圆杆扭转时的应力 ·强度条件
§3–5 等直圆杆扭转时的变形 ·刚度条件
§3–6 等直圆杆扭转时的应变能
§3–7 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形
§ 3–1
概 述
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、
石油钻机中的钻杆等。
扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。 B
A
O
A
O B
m
m
工 程 实 例
§ 3–2
薄壁圆筒的扭转
略
扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。
切应变（）：直角的改变量。
剪切胡克定律： T=m
剪切胡克定律： 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ ≤τp)， 剪应力与剪应变成正比关系。
材料力学 第 三 章 扭转
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1）∵ε = 0∴σ = 0
（2）∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
切应变的变化规律：
D’
取楔形体
O1O2ABCD 为 研究对象
γ ≈ tgγ = DD' = Rdϕ
dx dx
微段扭转
变形 dϕ
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd′ = ρ ⋅ dϕ
dx dx
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
dϕ / dx－扭转角变化率
圆轴横截面上任一点的切应变γρ
与该点到圆心的距离ρ成正比。
（二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 τ max ≤ τ P
τ max
=
T
2π r 2t
=
180 ×103
2π × 0.132× 0.03
= 56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
τ max
=
π D3
T
(1−α 4 )
16
=
180 ×103
π×
0.293
⎡ ⎢1 −
⎜⎛
230
⎟⎞
4
⎤ ⎥
16 ⎢⎣ ⎝ 290 ⎠ ⎥⎦
= 62.2MPa
思考题
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的 切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。 关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、 （C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正 确的。
材料力学扭转变形
非圆截面杆扭转的研究方法：弹性力学的方法研究
非圆截面杆扭转的分类： 1、自由扭转（纯扭转）， 2、约束扭转。
自由扭转：各横截面翘曲程度不受任何约束（可自由凹凸）， 任意两相邻截面翘曲程度相同。
约束扭转：由于约束条件或受力限制，造成杆各横截面翘 曲程度不同。
矩形截面杆自由扭转时应力分布特点
1 2 0
§3-5 扭转变形和刚度计算
1、扭转变形：（相对扭转角）
d T 扭转变形与内力计算式
dx GI P
d T dx
GI P
T dx
L GI P
扭矩不变的等直轴
Tl
GI p
各段扭矩为不同值的阶梯轴
Tili
扭转角单位：弧度（rad）
d T
dx GI P
d
dx
2
T2 GIp
因 T1 T2
故
max
d
dx max
1
T1 GIp
max
180 N m
180
(80 109 Pa)(3.0 105 10-12 m4 ) π
0.43 () / m [ ]
轴的刚度足够
例2 传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率P1=400kW， 从动轮B，C 分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。已知 [τ]=70MPa， [ ]=1º/m ，G=80GPa。
试求：两者的最大扭转切应力与扭转变形，并进行比较。
解：1)圆截面 circular
d
a
c max
16T
d 3
,
c
32Tl
第三章 扭转
三、剪切胡克定律
d a
p
d c a b
q
Me
c d’ b
Me
q q
γ
a’ d’ c’
p p
c’ b’
Me
a’ b’
Me
p
q
:直角的改变量 切应变 γ :直角的改变量
φ
圆筒两端面的相对扭转角
p
d’ c’ a’ b’
q
γ
r ϕ = l
对于线弹性材料, 对于线弹性材料, 或者对于
φ
τ
≤τ p 时,有
d’
§3-2 薄壁圆筒的扭转
一、薄壁圆筒的扭转应力 二、切应力互等定理 三、剪切胡克定律
一、薄壁圆筒的扭转应力
1、变形观察 2、横截面上扭转应力分布规律的分析 3、扭转应力的大小
1、变形观察
p q
a b
（1）圆周线不变 大小、 （大小、间距都 Me 不变）。 不变）。 纵向线倾斜， （2）纵向线倾斜， 倾斜角相同。 倾斜角相同。 （3）表面矩形变 成平行四边形。 成平行四边形。 Me
T =−M −M +M 3 2 3 1 = 6.37kN⋅ m
4.78
6.37
9.56
M =15.9 kN⋅m 1
M =4.78 kN⋅m 2
M1 2
B
1
2 M 3
M 1
A
3
M 4
D
M =4.78 kN⋅m 3
C
2 2
3 3
M4 =6.37 kN⋅m
M 2
B
1
M 3
C
M 4
A
M 1
D
3
1
2
若将主动轮A和从动轮 调换 若将主动轮 和从动轮D调换， 和从动轮 调换， 求轴的扭矩图。 求轴的扭矩图。
材料力学（扭转）
τ
dy
τ
τ´
c
t
z
dx d
3 剪切胡克定律
τ =τ′
当τ ≤τp ，切应力与切应变成正比关系
τ = G ⋅γ
剪切弹性模量
26
§3–4 等直圆杆扭转时的应力和变形
一 等直圆杆横截面应力
①变形几何方面 ②物理关系方面 ③静力学方面
27
无数薄壁圆筒
表
里
28
等直圆杆扭转实验观察： 1. 平截面假设； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍平行。
P P
二 受力特点 构件两端受到两个在垂直于轴线 平面内的力偶作用，两力偶大小 相等，转向相反。
3
三 变形特点 各横截面绕轴线发生相对转动 即：任意两截面间有相对的角位移 — 扭转角
扭转角（ϕAB）：B截面绕轴线相对A截面转动的角位移。 切应变（γ）：直角的改变量。
ϕAB
A
O B
A
γ
O
B
M
M
4
四轴 工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。
γ =ϕ⋅RL
l
2 剪切胡克定律
τT
当τ ≤τp ，切应力与切应变成正比关系
τ = G ⋅γ
剪切弹性模量 Pa
ϕγ
21
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个 常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系
G= E
2(1 + ν )
22
一 受力特点 构件两端受到两个在垂直于轴线平面内的力偶作用，两力偶 大小相等，转向相反。
24
三 薄壁圆筒的扭转 1 实验结论 ① 无轴向正应力 ② 无径向正应力 ③ 切应力环向均布 ④ 切应力径向均布
材料力学课件(路桥)第4章扭转
强度条件的工程意义
满足强度条件是保证路桥工程安全性和 稳定性的基础。
通过满足强度条件，可以防止桥梁结构 在承受外力矩和扭矩时发生破坏或过度
变形。
在路桥工程的设计、施工和运营过程中 ，需要定期进行检测和维护，以确保结
扭矩的量纲
扭矩的量纲是力和长度（L）的乘积，表示为ML^2。
量纲是描述物理量本质属性的方式，通过量纲可以判断物理量的性质和相互关系 。
03
扭转的应力分析
切应力与剪切应变的关系
切应力与剪切应变的关系是线 性的，即剪切应变与切应力成 正比。
在剪切弹性范围内，切应力与 剪切应变之间的关系可以用剪 切弹性模量来描述。
扭转过程中，杆件上各点的角位移和 剪切变形程度不同，导致杆件横截面 绕其自身轴线发生转动。
扭转的物理现象
01
杆件在扭转时，横截面上的正应 力分布不均匀，呈现出剪切变形 的特点。
02
杆件上各点的剪切变形程度与该 点到轴线的距离成正比，导致横 截面上的切向力分布不均匀。
扭转的分类
根据杆件上所受外力矩的方向， 扭转可分为左旋和右旋两种类型
构的强度和稳定性。
05
扭转的刚度条件
刚度条件的定义
刚度条件是指在材料力学中，杆件在受到扭矩作用时，其横 截面上的剪切应力和剪切变形之间的关系。
刚度条件是材料力学中一个重要的基本概念，它描述了杆件 在扭矩作用下抵抗变形的能力。
刚度条件的计算方法
根据材料力学的基本理论，刚度条件可以通过杆件的剪切 弹性模量和剪切应变来计算。
材料力学课件(路桥)第4章 扭转
目录 CONTENTS
扭转刚度设计准则公式
扭转刚度设计准则公式扭转刚度是用来描述一个结构在受到扭转力矩作用时的抗扭能力。
在工程设计中，扭转刚度是一个非常重要的设计参数。
合理的扭转刚度设计可以保证结构在受到扭转力矩时不会发生过度变形，从而保证结构的安全性和稳定性。
1.扭转刚度设计准则公式一：T=kθ这个公式表示了扭转力矩T与结构的扭转角度θ之间的关系，其中k为扭转刚度系数。
通过这个公式可以计算出扭转力矩对结构产生的扭转变形。
2.扭转刚度设计准则公式二：GJ=kL这个公式表示了结构的扭转刚度GJ与结构长度L之间的关系，其中k为扭转刚度系数。
通过这个公式可以计算出结构的扭转刚度，从而得出结构的稳定性。
3.扭转刚度设计准则原则一：增加结构的截面尺寸结构的截面尺寸是影响扭转刚度的重要因素之一、增加结构的截面尺寸可以增加结构的扭转刚度，从而提高结构的稳定性和抗扭能力。
4.扭转刚度设计准则原则二：改变结构的截面形状结构的截面形状也是影响扭转刚度的重要因素之一、合理选择截面形状可以使结构的扭转刚度更高，从而增强结构的稳定性和抗扭能力。
5.扭转刚度设计准则原则三：加强结构的连接方式结构的连接方式也会对扭转刚度产生影响。
合理设计和加强结构的连接方式可以提高结构的扭转刚度，从而增强结构的稳定性和抗扭能力。
6.扭转刚度设计准则原则四：减小结构的长度结构的长度也是影响扭转刚度的一个关键因素。
减小结构的长度可以增加结构的扭转刚度，从而提高结构的稳定性和抗扭能力。
综上所述，扭转刚度设计准则是指在工程设计中，根据扭转力矩对结构的影响，采取合理的设计参数和原则，从而保证结构在受到扭转力矩时的稳定性和安全性。
合理的扭转刚度设计可以通过公式计算和参数选择，最终得到符合设计要求的结构。
材料力学扭转刚度知识点总结
材料力学扭转刚度知识点总结材料力学是力学的一个重要分支，主要研究材料的物理性质和机械行为。
扭转刚度是材料力学中的一个重要概念，用来描述材料对扭转加载的响应。
本文将对材料力学扭转刚度的相关知识点进行总结。
一、扭转刚度的定义扭转刚度是指材料在扭转加载下对外部力矩的抵抗能力。
扭转刚度直接与材料的几何形状、材料的性质以及加载方式有关。
二、扭转刚度的计算方法在计算扭转刚度时，需要考虑两个主要参数：扭转角度和转矩。
扭转角度是指材料在加载时发生的旋转变形，常用弧度来表示。
转矩是施加在材料上的力矩，用来产生扭转变形。
计算扭转刚度的方法有多种，常用的方法包括静态法、动态法和半经验法。
静态法是将扭转过程建模为刚性体的旋转问题，并应用牛顿第二定律进行分析。
动态法则是通过测量材料在一定频率下的振动响应来计算扭转刚度。
半经验法是将理论分析与试验数据相结合进行计算，通常用于复杂加载条件下的扭转刚度计算。
三、影响扭转刚度的因素1. 几何形状：扭转刚度与材料的几何形状密切相关。
例如，圆形截面材料相对于矩形截面材料来说，具有更高的扭转刚度。
2. 材料的性质：不同材料具有不同的扭转刚度。
例如，钢材相对于铝材来说，由于其高强度和高刚度，具有较高的扭转刚度。
3. 载荷方式：不同的加载方式会对扭转刚度产生不同的影响。
例如，纯扭转加载方式下的扭转刚度与剪切加载方式下的扭转刚度不同。
4. 温度：温度对材料的性能有很大影响，进而会影响材料的扭转刚度。
四、应用领域扭转刚度的概念在工程领域有广泛应用。
例如，在建筑结构设计中，需要考虑材料的扭转刚度来保证结构的稳定性和安全性。
同时，在机械工程中，考虑到机械零件的扭转刚度可以帮助设计出更耐用和可靠的机械设备。
另外，扭转刚度还在材料疲劳寿命、材料可塑性等方面具有重要作用。
对于疲劳寿命的预测和控制，了解材料的扭转刚度是至关重要的。
结论材料力学扭转刚度是材料力学中的重要内容，它描述了材料在扭转加载下的变形行为。
扭转强度及刚度条件
扭转强度及刚度条件扭转强度和刚度是材料力学中两个重要的力学性能指标，它们对于材料的使用范围和工程应用具有重要意义。
本文将从扭转强度和刚度的定义、影响因素以及测试方法等方面展开讨论，以期对读者加深对这两个概念的理解和应用。
一、扭转强度的定义和影响因素扭转强度是指材料在受到扭转力作用下的抗力，即扭转破坏前所能承受的最大扭转力。
扭转强度的大小与材料的化学成分、组织结构以及冷加工程度等因素密切相关。
一般来说，材料的强度越高，其扭转强度也会相应增加。
此外，晶粒细化、晶界强化等因素也会提高材料的扭转强度。
二、扭转刚度的定义和影响因素扭转刚度是指材料在受到扭转力作用下的变形能力，即材料在扭转过程中的刚性程度。
扭转刚度的大小与材料的弹性模量、几何形状以及外力作用方式等因素相关。
一般来说，材料的弹性模量越大，其扭转刚度也会相应增加。
此外，材料的几何形状也会影响扭转刚度，例如材料的截面形状、长度等。
三、扭转强度和刚度的测试方法为了准确测量材料的扭转强度和刚度，科学家们开发了多种测试方法。
其中，常用的方法包括扭转试验和扭转挠度测量。
扭转试验是通过施加扭转力来测试材料的扭转强度和刚度。
在试验中，先将试样固定在夹具上，然后通过扭转力矩施加扭转载荷。
根据试样的尺寸和形状，可以计算出材料的扭转强度和刚度。
扭转挠度测量是通过测量材料在受到扭转力作用下的变形程度来确定其扭转刚度。
在测试中，首先测量试样的初始长度和直径，然后施加扭转力，测量试样的变形量，最后计算出材料的扭转刚度。
四、扭转强度和刚度的应用扭转强度和刚度是材料设计和工程应用中的重要参数。
在机械工程中，扭转强度和刚度是设计和选择传动轴、转子等部件的基础。
在航空航天工程中，扭转强度和刚度是评估材料耐久性和可靠性的关键指标。
此外，在汽车制造、建筑工程、电子设备等领域，扭转强度和刚度也都扮演着重要的角色。
总结起来，扭转强度和刚度作为材料力学性能的重要指标，对于材料的使用范围和工程应用具有重要意义。
圆轴扭转的刚度条件
MB
B
Mb MA ab
Ma MB ab
返回
[ ]
T GI p
Tl /l l GI p
轴的刚度条件为
T [ ] GI p
返回
计算轴的总扭转角
MA A MA T 解∶ A
AB
BC
76.4l GI p
MB B MB
76.4Nm
MA=76.4Nm MC MB=191Nm C MC MC=300Nm Ip=2105mm4 AB=BC=2m G=80GPa x C
AC AB BC
114.6Nm
B
114.6 l 76.4 114 .6 2 1.43 10 2 rad AC GI p 80 2 10 2
GI p 80 109 2 105 1012
继续
用刚度条件设计传动轴的直径
A M
M
B
M=200kNm G=80GPa []=0.3o 设计轴径d。
解∶
T 32T GI p G d 4
d 4
32T 180 G [ ]
32 200 103 80 109 d 4
180
3 32 200 10 180 4 80 109 3.14 0.3 3.14 148 mm
o
dA
A l
B T
T Ip
d T dx p GI p l
d
扭转角的正负与扭矩正负相同。 GI p 截面抗扭刚度，简称抗扭刚度。
返回
轴的刚度条件
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TL GI P
当等直圆杆有两个以上的外力偶作用时，需要先画出扭矩图，然后 分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总变形。
Ti Li i GI P i
T GI P
例题
3.7
如图所示阶梯轴。外力偶矩M1＝0.8KN· m， M2＝ 2.3KN· m， M3＝1.5KN· m，AB段的直径d1＝4cm，BC段 的直径d2＝7cm。已知材料的剪切弹性模量G＝80GPa， 试计算φAB和φAC。 4
空心圆截面杆的切应力
D
d
空心圆截面
max
T Wt
I 2 3 d D 4 d 4 32 d
D 2
D 3
16
2
d D
I
D
4
32
1
4
Wt
1
4
圆轴扭转斜面上的应力 为什么研究斜截面应力？ ☆ ☆ 逻辑上，正截面——斜截面 实际上，见下面的实验结果，原因？
A0 ( A0 sin ) cos ( A0 cos ) sin 0
A0 ( A0 sin ) sin ( A0 cos ) cos 0 2 2 (cos sin ) cos 2
2 sin cos sin 2
90 0 , 90 max
在- 45的斜截面上, 有最大拉应力 ——可解释破坏现象。
拉应力是脆性材料破坏的主要原因
等直圆杆扭转时的变形.刚度条件
d T dx GI P
T dx d 0 GI P l
l
当等直圆杆仅在两端受一对外力偶作用时
T (x)
AB
l
例题
3.10
一内径为d、外径为D=2d的空心圆管与一直径为d的实 心圆杆结合成一组合圆轴，共同承受转矩Me。圆管与圆 杆的材料不同，其切变模量分别为G1和G2，且G1=G2/2， 假设两杆扭转变形时无相对转动，且均处于线弹性范围。 试问两杆横截面上的最大切应力之比τ1/τ2为多大？并画 出沿半径方向的切应力变化规律。
因两杆扭转变形时无相对转动
Me
1 2
2
1
T1 L T 2L G1 I P1 G2 I P 2
T1 G 1I P1 T2 G2 I P 2
d
D
D T1 2 TI D 1 I P1 1 P2 T2 I P1 d 2 T d 2 2 G I P2 1 2 1 G2
扭转轴的破坏（想一想：为什么这样？）
途径：1、仿正截面过程；2、用正截面推导斜截面应力
切应力方向规定 —— 使单元体
顺时针转动的切应力为正
y’
0
x’
方位角方向规定 ——以 x 轴为起点
逆时针转到斜面外法线的角为正
x
A
为计算斜面上应力
,
列出 和 两个方向的平衡方程：
max
M
A
A
50 4 603 1 60 17.7MPa 16
WP
l
AB
T x dx 0 GI P x T T x Mx x B L x 32 390 40 T T B l l l dx 80 109 60 4 50 4 10 12 2 GI P 2 0 GI P 0.148rad
26.7MPa
1.8kN.m
T 单位长度扭转角 GI
该轴满足强度条件 3、校核刚度条件
max
1.995 / m
Tmax 0.7 10 3 32 180 GI 80 10 9 40 4 10 1 2
该轴满足刚度条件
例题
3.8
M2
图示一空心传动轴，轮1为主动轮，力偶矩M1＝9KN· m，轮2、轮3、 轮4为从动轮,力偶矩分别为M2＝4KN· m，M3＝3.5KN· m，M4＝ 1.5KN· m。已知空心轴内外径之比d/D＝1/2，试设计此轴的外径D，并 求出全轴两端的相对扭转角φ24。G＝80GPa，［τ］＝60MPa。
d1
M1
M2
d2
M3
I P1 I P2
d1
A
0.8kN· m
0.8m
B
1.0m
C
32 d 2 4 236cm 4 32
25.1cm 4
AB
BC
T1 L1 0.0318rad GI P1 T2 L2 0.0079rad GI P 2
1.5kN· m
AC AB BC 0.0318rad 0.0079rad 0.0239rad
TA d1 ATc d2Fra bibliotekTD D
1、作扭矩图
2、校核强度
1max
B C 0.5m 0.3m
0.7kN.m
1m
55.7MPa
2 max
T1 0.7 10 3 16 Wt1 40 3 10 9 T2 1.8 10 3 16 Wt 2 70 3 10 9
d
讨论：薄壁圆筒扭转切应力公式的计算误差。
若圆筒的平均半径R0，壁厚δ，则内径d=2R0-δ，外径D=2R0+δ。
则I
D 4
32 32 32 2 (8 R0 2 2 ) 4 R0 2 略去δ的二次方以上项得 32 3 2R0 I 2 相应的抗扭截面模量 Wt 2R0 R0 2
2
1
例题
3.11
圆杆:
一圆形截面杆和矩形截面杆受到相同扭矩T=400Nm作 用，圆杆直径d=40mm，矩形截面为60mm×20mm，试 比较这两种杆的最大切应力和截面面积。
max
T 16T 16 400 103 3 31.9MPa 3 WP d 40
A
d 2
4 2 R0 1 2R 0
Wt的精确值：
1
4
D 4 d 4
D 2 d 2 D 2 d 2
Wt
2 R0 3
16
则 max
T T 2 R0 T 2 2 薄壁圆筒 Wt R0 4 R0 2 2Ro 1 max 误差 100 % 100 % 2R0 1 max R0 若 , 则 0.05 4.5% 在工程范围内满足精度要求 10
例题
3.9
已知钻探机杆的外径D=60mm，内径d=50mm，功率P=7.35kW， 转速n=180r/min，钻杆入土深度L=40m，G=80GPa，[τ]=40MPa。 设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：（1）单位长度上土 壤对钻杆的阻力矩M；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3） 求A、B两截面相对扭转角。 单位长度阻力矩 M T 390 Nm 9.75 Nm m L 40m 3 P 390 Nm T 9.55 10 T 390 103 T n
A bh 1200mm2
刚度条件
d T dx GI
0
m
Tmax 180 GI P
0
例题
3.12
图示阶梯形杆，AB段直径d1=40mm,BD段直径d2=70mm， 外力矩TA=0.7KN.m， TC=1.1KN.m， TD=1.8KN.m。容 许切应力［τ］＝60MPa，扭转角［θ］＝2°/m, G＝80GPa. 试校核该轴的强度和刚度。
M1
M3
M4
D
WP
3
Tmax
4
16
500 500 500
D3 3
1 T 16
Tmax
1 4
max
76.7mm
4kN
D 78mm d 39mm T21L 21 0.00734rad GI P 1.5kN 5kN T13 L 13 0.00917rad D 3 GI P 1 4 WP 16 T34 L 24 21 13 34 0.00458rad 34 GI 0.00275rad P
例题
3.13
某传动轴 ，截面上最大的扭矩为T=1.6KN.m。容许切应 力［τ］＝50MPa，扭转角［θ］＝1°/m, G＝80GPa.试按强 度条件和刚度条件分别选择实心圆轴及空心圆轴 （α=0.8）的截面尺寸，并比较其重量。
T 16T 16 1.6 10 3 d0 3 实心轴 max 54 .6 10 3 m 3 Wt d 0 50 10 6 T 16T 161.6 103 空心轴 3 max 3 4 D Wt D 1 1 0.84 50106
4
1260mm2
矩形杆:
h 3 b
0.267
矩形面积与圆形面积相 近.但最大应力却增大了一 倍,且 h/b之值越大，切应 力也越大，因此工程中应尽 量避免使用矩形截面杆作扭 转杆件。
max
T 400 103 62.4MPa 2 2 b h 0.267 20 60
解：1、按强度条件确定实心轴直径d0和空心轴内外径d和D
d D 0.8 65.1 52.1mm
65.110 3 m
2、按刚度条件确定实心轴直径d0和空心轴内外径d和D 实心轴 max Tmax 180