谈谈斯坦纳——雷姆斯定理

谈谈斯坦纳——雷姆斯定理
1840年，雷姆斯(C.L ehmus)向著名几何大师瑞士人斯坦纳(J.Steiner)提出了一个看起来十分简单的几何问题，要求给以证明．问题是：
命题三角形两个底角平分线相等便是等腰三角形．
斯氏答应研究它，但他直到1844年才发表定理的征明．后来该命题就以斯坦纳—雷姆斯定理而闻名于世．150多年来，经常有论述它的文章发表．笔者见过斯—雷定理的证明30余种，比较而言，觉得还是以斯氏原证为佳．问题在△ABC中，∠B、∠C的平分线分别为BD，CE，且BD=CE．求证：AB＝AC．
斯坦纳原证如图1，假设AB＞AC．
则∠B＜∠C，从而∠BEC＞∠BDC(1)
在△BCE与△CBD中，
∵BD=CE，
BC公共，∠BCE＞∠CBD，
∴BE＞CD．
作平行四边形BDCF，连接EF．
∵BE＞CD=BF．∴∠1＜∠2．
∵CE=BD=CF．∴∠3=∠4．
∴∠BEC＜∠BFC=∠BDC (2)
(1)与(2)矛盾．∴AB≯AC．
同理AC≯AB．故AB=AC．
之所以说斯氏原证好，是因为它不仅简洁优美，而且另一些证明三角形等腰的问题也可仿照斯氏原证证明．请同学们看以下三例．
例1 如图2，在△ABC中，AT⊥BC于T，垂足T在BC上，H为垂心，P
为HT上任意一点，将BP交AC于D，CP交AB于E，且BD=CE．求证：AB=AC．
证明：假设AB＞AC，则BT＞CT，BP＞CP，∠5＞∠6．在△BCE与△CBD 中，
又因CD=BD，BC公共，
∴BE＞CD．
设CH⊥AB于I，BH⊥AC于K．
在Rt△CIE与Rt△BKD中，
∵CE=BD，由AB＞AC，知CI＜BK，
∴∠8＜∠7．
∴∠BEC＞∠BDC (1)
作平行四边形BDCF，连接EF，
∵BE＞CD=BF，∴∠1＜∠2．
∵CE=BD=CF，∴∠3=∠4．
∴∠BEC＜∠BFC=∠BDC(2)
(l)与( 2)矛盾．∴AB≯AC．
同理AC≯AB．故AB=AC．
例2 在△ABC中，点M，N分别在AB，AC上，AM=AN．D，E分别为NC，MB的中点，且BD=CE．求证：AB=AC．
证明：如图3，假设AB ＞AC ，则BE ＞CD ，AE ＞AD ．
∵6
sin sin sin 5sin ∠=∠=∠=∠AD A BD A CE AE ∴sin ∠5＞sin ∠6．
但0°＜∠6＜90°，
0°＜∠5＜180°，
∴∠5＞∠6．从而∠BEC ＞∠BDC (1)
作平行四边形BDCF ，连接EF ．
∵BE ＞CD =BF ，∴∠1＜∠2
∵CE =BD =CF ，∴∠3=∠4．
∴∠BEC ＜∠BFC =∠BDC ．(2)
(1)与(2)矛盾．
∵AB ≯AC ．
同理AC ≯AB ．故AB =AC ．
例3 在△ABC 中，点M ，N 分别在AB ，AC 上，BM =CN ．点D ，E 分别在AN ，AM 上，且DE ∥MN ，BD =CE ．求证：AB =AC ．
证明：如图4，假设AB ＞AC ，则AM ＞AN ．
又DE ∥MN ，
∴AE ＞AD ，
EM ＞DN ，BE ＞CD ．
又6
sin sin sin 5sin ∠=∠=∠=∠AD A BD A CE AE ∴sin ∠5＞sin ∠6
但0°＜∠6＜ 90°．
0°＜∠5＜180°，
∴∠5＞∠6．从而
∠BEC ＞∠BDC ．(1)
作平行四边形BDCF ，连接EF ．
∵BE ＞CD =BF ，
∴∠1＜∠2．
∵ CE =BD =CF ，
∴∠3=∠4．
∴∠BEC ＜∠BFC =∠BDC ．(2)
(1)与(2)矛盾．∴AB ≯AC ．
同理AC ≯AB ．故AB =AC ．
下面是斯—雷定理的两个推广，也可仿照斯氏原证证明．留给同学们作为练习．
1．在△ABC 中，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，若BD =CE ，且
B C E A C E C B D A B D ∠∠=∠∠，则AB =AC ．
2．在△ABC 中，D ，E 分别是AC ，AB 上的点．BD 与CE 相交于P ，若 BD =CE ，且
PC PB AC AB =，则AB =AC ．。