湖南省中考数学总复习第六单元圆课时27正多边形与圆、弧长、扇形、圆锥的有关计算课件

2中考复习：圆弧,圆锥,扇形相关计算

中考复习:圆弧，圆锥，扇形相关计算一．基本公式：1.弧长的计算：半径为R,圆心角为n°的弧长公式为：180n Rl π= 2扇形的面积:①如果扇形的半径为R,圆心角为n ︒，那么扇形面积的计算公式为:2360n R S π=扇形. ②如果扇形所对的弧长为l ，扇形的半径为R ，那么扇形面积的计算公式为：12S lR =扇形。

3。

圆锥的侧面积和全面积①沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线长，如图24。

4—3所示，若圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r , 那么这个扇形的半径为l ，扇形的弧长为2r π，因此圆锥的侧面积S =侧122r l rl ππ⨯⋅=. ②圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积：所以()2S S S .rl r r l r πππ=+=+=+侧全底4。

多边形的有关计算:设正多边形的边数为n ，边长为n a ，半径为n R ，边心距为n r ,中心角为α，周长为n P ,面积为n S ，则求：中心角00360180;2sin n a R n n α==边长；边心距nR r n 0180cos =，周长n n na P =，面积n n n P r S ⋅=21二．常见习题分类： (1）。

基本公式的应用和推广方法：一般情况下，先看问题，列出相关公式。

然后将已知条件中的量带入公式中,未知量即可求出。

例如弧长公式，l ，R,n 三个未知量，知道其中两个,另一个即可求出. 例题：①半径为1的圆的周长等于060的圆心角所对的弧长，则该弧所在圆的半径是__________。

②弧长为24,cm π半径为180cm 的弧所对的圆心角的度数为__________。

图③如果一条弧的弧长等于l ，它的圆心角等于0,n 那么它的半径R =______，如果圆心角增加01,那么它的弧长增加_________。

④秋千拉绳长3米，静止时踩板离地面0.5米，其小朋友荡该秋千时，秋千在最高处踩板离地面2米（左右对称），则该秋千所汤过的圆弧长为（） A 。

2015届湘教版中考数学复习课件(第27课时_与圆有关的计算)

命题角度： 1.已知圆心角和半径求弧长； 2.利用转化思想求弧长．
例1 [2013· 扬州] 如图27－1，在扇形 OAB中，∠AOB＝110°，半径OA＝18，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰︵好落在 AB 上的点D处，折痕交OA于点C，︵ 5π ．则AD的长为_______
考点聚焦归类探究回归教材
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第27课时┃ 与圆有关的计算
考点2 扇形的面积公式
nπ r2 (1)S扇形＝ (n°是圆心角度数，r是扇形的半径)． 360 扇形面积 (2)S扇形＝1lr(l是扇形的弧长，r是扇形的半径) 2 弓形面积 S弓形＝S扇形±S△
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第27课时┃ 与圆有关的计算
命题角度： 1. 已知扇形的半径和圆心角，求扇形的面积； 2. 已知扇形的弧长和半径，求扇形的面积．
例2 [2012· 岳阳] 如图27－2所示，在⊙O ︵︵中， AD ＝ AC ，弦AB与弦AC交于点A，弦CD 与弦AB交于点F，连接BC. (1)求证：AC2＝AB· AF； (2)若⊙O的半径长为2 cm，∠B＝60°，求图中阴影部分的面积．
第27课时┃ 与圆有关的计算
解析
如图，连接OD.
根据折叠的性质知，OB＝DB. 又∵OD＝OB， ∴OD＝OB＝DB，即△ODB是等边三角形， ∴∠DOB＝60°. ∵∠AOB＝110°， ∴∠AOD＝∠AOB－∠DOB＝50°，︵ 50³π ³18 ∴AD的长为＝5π . 180
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考点3
正多边形和圆
正多边形和圆的关系非常密切，将一个圆n(n≥3) 等分，依次连接各等分点所得的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆．正

精选-中考数学总复习第六单元圆第27课时与圆有关的计算课件湘教版

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课前双基巩固
4.[九下 P81 练习第 3 题改编] 如图 27-3,从一个直径是 2 的
圆形铁皮中剪下一个圆心角为 90°的扇形 ABC,则这个扇形
的面积为
.
图27-3
[答案] 12π [解析] 连接 BC,∵∠A=90°,
∴BC 为直径,即 BC 过圆心 O.
由勾股定理求得 AB=AC= 2,
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对点演练
题组一教材题 1.[九下 P77 动脑筋改编] 某城市摩天轮的半径为 15 m,如图 27-1 所示,点 A,B 为圆轮上两点,若圆心角∠AOB
=120°,则��的长是( C ) A.20π m B.15π m C.10π m D.5π m
接圆,若∠ABC=25°,则劣弧 AC 的长为 ( )
A.2356��
B.12356��
C.2158��
D.53��6��
[答案] C [解析] 因为∠ABC=25°,所以劣弧 AC 所对应的圆心角∠AOC=50°,故劣弧 AC 的长为35600 ×2π×5=2158π .
图 27-1
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2.[九下 P80 练习第 2 题改编] 如图 27-2,☉A,☉B,☉C 两两不相交,且半径都是 1 cm,则图中的三个扇形(即阴影部分)的面积之和为 ( B )
图27-2
A.1π
4
cm2
B.1π
2
cm2
C.π cm2
D.2π cm2
3.[九下 P85 练习第 1 题改编] 若☉O 的半径为 2 cm,则它的内接正六边形的边长为 2 cm .

正多边形与圆及弧长与扇形面积的计算【知识点清单】中考数学一轮复习精讲+热考题型(全国通用)

B A O 专题27 正多边形与圆及弧长与扇形面积计算【知识要点】正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形。

正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。

正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。

正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

【解题思路】1.正边形半径、边心距和12边长构成直角三角形。

2.已知其中两个值，第三个值可以借助勾股定理求解。

正多边形的对称性：1）正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。

2）一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形．对称中心就是这个正多边的中心。

【小结】正n 变形的内角为(n−2)×180°n ，外角为3600n ，中心角为3600n 内角和为（ n-2 ）×180°。

【扩展】正多边形常见边心距与边长的比值第一种正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形，在Rt △BOD 中，OD:BD:OB=1: √3 : 2 (图一) 变式正三角形内切圆与外切圆半径比为1:2 （图二）第二种正方形在⊙O 中四边形是正方形，在Rt △OAE 中，OE:AE:OE=1:1: √2 (图三) 变式正方形内切圆与外切圆半径比为1: √2 （图四）第三种正六变形在⊙O 中六边形是正六边形，在Rt △OAB ，AB:OB:OA=1: √3 : 2 (图五)图一图二图三图四图五设的半径为R ，圆心角所对弧长为l ，弧长公式：l=nπR180（弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）扇形面积公式：圆锥的侧面积公式：122S l r rlππ==(其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径)母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。

人教版初中数学中考讲本第六单元圆第27讲与圆有关的计算

先锋图书
第六单元圆
第27讲与圆有关的计算
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考点梳理
典例研究
考点一正多边形和圆 1.（2022·成都）如图，正六边形ABCDEF内接于☉O.若☉O的周长等于6π，则正
六边形的边长为（ C ）
C.3
第1题图
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考点梳理
典例研究
2.（2022·雅安）如图，已知☉O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（ C ）
⁠
9.（2022·宿迁）用半径为6 cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是 2 cm.
⁠
【要点提炼】（1）圆锥的侧面展开图是扇形 . ⁠
（2）圆锥底面圆的周长等于其侧面展开图扇形的弧长 . ⁠
（3）圆锥的母线长等于其侧面展开图扇形的半径 . ⁠
（4）圆锥的全面积等于侧面积与底面积的和.
做正多边形的半径.
（3）一个正多边形每一边所对的圆心角叫做这个正多边形的中心角，中心到正
多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
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考点梳理
考点二弧长和扇形面积的计算
典例研究
A.20π m C.40π m
C B.30π m D.50π m
第4题图
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考点梳理
典例研究
5.（2022·潜江）一个扇形的弧长是10π cm，其圆心角是150°，此扇形的面积为（ B ）
A.30π cm2 C.120π cm2
B.60π cm2 D.180π cm2
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中考数学复习指导《正多边形与圆》知识点归纳

中考数学复习指导《正多边形与圆》知识点归纳一、正多边形的定义正多边形是指所有边相等，所有角相等的多边形。

我们以正n边形来进行讨论，其中n表示边的个数。

二、正多边形的性质1.角的个数：正n边形有n个内角和n个外角。

2.外角和：正n边形的外角和为360°。

3.内角和：正n边形的内角和为(2n-4)×90°。

4.中心角和：正n边形的中心角和为360°。

5. 半径和边长之间的关系：正n边形的边长为a，半径为R，则有R=a/(2×sin(π/n))。

三、正多边形的对称性正n边形有n条对称轴，每条对称轴都把正多边形分成两个对称的部分。

四、圆的性质1.圆心角：圆心角是圆的半径所对应的圆弧所夹的角。

圆心角的大小等于其对应的圆弧的度数。

2.弧长：圆心角对应的圆弧的长度称为弧长。

如果圆的半径为R，圆心角的大小为θ，那么圆弧的长度S=R×θ。

3.弦长：弦是圆上的两点之间的线段，弦长可以通过两角的正弦来计算。

4.弦割定理：圆上的一弦分割出的弧长等于该圆的半径与该弦分割出的小弧的两圆心角的和。

即S=S1+S2=R×θ1+R×θ25.弧度制：弧度制是一种角度的度量方式，将角度定义为弧长与半径的比值：角度=弧长/半径。

单位为弧度。

6.周长和面积：圆的周长等于2πR，面积等于πR²。

五、圆与正多边形的关系1.正多边形逼近圆：正多边形的边数越多，逼近的程度越高，其内接圆越接近于外接圆。

2.正多边形的周长与圆的周长：正n边形的周长与内接圆的周长之比约为n/2π。

3. 正多边形的面积与圆的面积：正n边形的面积与内接圆的面积之比约为(1/2•n•sin(2π/n))/π）。

以上就是《正多边形与圆》的一些重要知识点的归纳。

在复习时，可以通过理论学习、练习习题以及解决实际问题的应用题来巩固和提升自己的理解能力。

加油！。

苏教版数学中考复习：正多边形与圆、弧长与扇形的面积、圆锥的侧面积与全面积课件

C B
例8、已知：在RtΔABC,
∠C=90°, AB=13 cm, BC=5 cm
求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。解：过C点作 CD AB ，垂足为 D点
AC BC 5 12 60 所以 CD AB 13 13
A
60 120 底面周长为 2 13 13
6.将一个正五边形绕它的中心旋转,至少要旋转 72 _______度,才能与原来的图形位置重合. 7.两个正三角形的内切圆的半径分别为12和18, 2﹕3 4﹕9 则它们的周长之比为______,面积之比为____。
知识回顾
一、圆的周长公式
C=2πr
S= π r2 二、圆的面积公式
n nr 三、弧长的计算公式 l 2r 360 180
4 . 3
4 2、已知扇形面积为 3 ，圆心角为120°，则
2 这个扇形的半径R=____．
4 3、已知半径为2cm的扇形，其弧长为 3 ， 4 3 则这个扇形的面积，S =______
扇
4. (2006,武汉)如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外离,它们的半径都是1,顺次连接四个圆心得到四边形ABCD,则图形中四个扇形(空白部分)的面积之和是___________.
小结:此类问题可直接运用公式,但是扇形中的弧长与母线、半径之间的关系一定要清晰，不能混淆.
.9cm
例6：如图所示的扇形中，半径R=10，圆心角θ=144°用这个扇形围成一个圆锥的侧面.
(1)求这个圆锥的底面半径r;
(2)求这个圆锥的高.
A
C O
r
B
nR 分析:此题把公式 180 2r进行灵活运用，n、 R、r中知道两个就能求出另外一个。

初中数学中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算--知识讲解(基础)

中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算—知识讲解（基础）【考纲要求】1．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；2．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【考点梳理】考点一、正多边形和圆1、正多边形的有关概念：(1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径）(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.2、正多边形与圆的关系：(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3、正多边形性质：(1)任何正多边形都有一个外接圆.(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.要点诠释：（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是360n；所以正n边形的中心角等于它的外角.（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.考点二、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、正多边形有关计算1．（2015•镇江）图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于．【思路点拨】（1）作AE的垂直平分线交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分线，分别交⊙O于H，F，反向延长 FO，HO，分别交⊙O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求；（2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得∠AOD=3=135°得到的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，根据圆的周长的公式即可求得结论．【答案与解析】（1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求，（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠AOD=3=135°，∵OA=5，∴的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，∴2πR=，∴R=，即这个圆锥底面圆的半径为．故答案为：．【总结升华】本题考查了尺规作图，圆内接八边形的性质，弧长的计算，圆的周长公式的应用，会求八边形的内角的度数是解题的关键．举一反三：【变式1】如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图，则其最高点与地面的距离是______米．【答案】31+.解析：如图，以三个圆心为顶点等边三角形O1O2O3的高O1C＝3，所以AB＝AO1+O1C+BC＝1313122++=+．【高清课堂：正多边形与圆的有关证明与计算自主学习4】【变式2】同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比是__________.32：：【高清课堂：正多边形与圆的有关证明与计算自主学习2】【变式3】（2015•广西自主招生）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为2，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（）A．5：4 B．5：2 C．：2 D．：【答案】A.【解析】解：如图1，连接OD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=2，∵∠AOB=45°，∴OB=AB=2，由勾股定理得：OD==2，∴扇形的面积是=π；如图2，连接MB、MC，∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，∴∠BMC=90°，MB=MC，∴∠MCB=∠MBC=45°，∵BC=2，∴MC=MB=，∴⊙M的面积是π×（）2=2π，∴扇形和圆形纸板的面积比是π÷（2π）=．故选：A．类型二、正多边形与圆有关面积的计算2．(1)如图(a)，扇形OAB 的圆心角为90°，分别以OA ，OB 为直径在扇形内作半圆，P 和Q分别表示阴影部分的面积，那么P 和Q 的大小关系是( )．A ．P ＝QB ．P ＞QC ．P ＜QD ．无法确定(2)如图(b)，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝3，以BC 为直径的半圆与斜边AB 交于点D ，则图中阴影部分的面积是________．(3)如图(c)，△AOB 中，OA ＝3cm ，OB ＝1cm ，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°到△A ′OB ′，求AB 扫过的区域(图中阴影部分)的面积．(结果保留π)【思路点拨】直接使用公式计算阴影部分面积比较困难时，可采用和差法、转化法、方程法等，有时也需要运用变换的观点来解决问题．【答案与解析】解：(1)阴影部分的面积直接求出十分困难，可利用几个图形面积的和差进行计算：2OAB OCA P S S Q =-+扇形半圆2211()42R R Q Q ππ=-+=； (2)(转化法“凑整”)利用BmD CnD S S =弓形弓形，则阴影部分的面积可转化为△ACD 的面积，等于△ABC 面积的一半，答案为94； (3)(旋转法)将图形ABM 绕点O 逆时针旋转到A ′B ′M ′位置，则A OA MOM S S S ''=-阴影扇形扇形2211244OA OM πππ=-=．【总结升华】求阴影面积的几种常用方 (1)公式法；(2)割补法；（3）旋转法；(4)拼凑法；(5)等积变形法；(6)构造方程法．举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ＝8，BC ＝12，分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是( )A ．64π127-B ．16π32-C ．16π247-D ．16π127-【答案】解：如图，由AB ，AC 为直径可得AD ⊥BC ，则BD ＝DC ＝6．在Rt △ABD 中，228627AD =-=，∴ 211246271612722S ππ⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯=-⎪⎝⎭阴影．答案选D.3．如图所示，A 是半径为2的⊙O 外一点，OA ＝4，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，弦BC ∥OA ，连AC ，求阴影部分的面积．【思路点拨】图中的阴影是不规则图形，不易直接求出，如果连接OB 、OC ，由BC ∥OA ，根据同底等高的三角形面积相等，于是所求阴影可化为扇形OBC 去求解．【答案与解析】解：如图所示，连OB 、OC∵ BC ∥OA ．∴ △OBC 和△ABC 同底等高，∴ S △ABC ＝S △OBC ，∴∵ AB 为⊙O 的切线，∴ OB ⊥AB ．∵ OA ＝4，OB ＝2，∴ ∠AOB ＝60°．∵ BC ∥OA ，∴ ∠AOB ＝∠OBC ＝60°．∵ OB ＝OC ，∴ △OBC 为正三角形．∴ ∠COB ＝60°，∴ 260223603OBC S S ππ⨯===阴影扇形．【总结升华】通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中①可根据平移、旋转或轴对称等图形变换；②可根据同底（等底）同高（等高）的三角形面积相等进行转化．举一反三：【变式】如图所示，半圆的直径AB ＝10，P 为AB 上一点，点C ，D 为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于________．【答案】解：连接OC 、OD 、CD ．∵ C 、D 为半圆的三等分点，∴ ∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝180603=°°．又∵ OC ＝OD ，∴ ∠OCD ＝∠ODC ＝60°，∴ DC ∥AB ，∴ PCD OCD S S =△△，∴ 2605253606S S ππ===g g 阴影扇形OCD ．4．（2015秋•江都市期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆与对角线AC 交于点E．（1）求弧BE所对的圆心角的度数．（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【思路点拨】（1）连接OE，由条件可求得∠EAB=45°，利用圆周角定理可知弧BE所对的圆心角∠EOB=2∠EAB=90°；（2）利用条件可求得扇形AOE的面积，进一步求得弓形的面积，利用Rt△ADC的面积减去弓的面积可求得阴影部分的面积．【答案与解析】解：（1）连接OE，∵四边形ABCD为正方形，∴∠EAB=45°，∴∠EOB=2∠EAB=90°；（2）由（1）∠EOB=90°，且AB=4，则OA=2，∴S扇形AOE==π，S△AOE=OA2=2，∴S弓形=S扇形AOE﹣S△AOE=π﹣2，又∵S△ACD=AD•CD=×4×4=8，∴S阴影=8﹣（π﹣2）=10﹣π．【总结升华】本题主要考查扇形面积的计算和正方形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键，注意弓形面积的计算方法．»AB）对应5．将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器圆弧（的中心角（∠AOB）为120°，AO的长为4cm，求图中阴影部分的面积.【思路点拨】看是否由“规则的”三角形、四边形、圆、扇形、弓形等可求面积的图形，经过怎样的拼凑、割补、叠合而成，这是解决这类题的关键．【答案与解析】阴影部分的面积可看成是由一个扇形AOB 和一个Rt △BOC 组成，其中扇形AOB 的中心角是120°，AO 的长为4，Rt △BOC 中，OB ＝OA ＝4，∠BOC ＝60°，∴ 可求得BC 长和OC 长，从而可求得面积，阴影部分面积＝扇形AOB 面积+△BOC 面积＝21623cm 3π⎛⎫+ ⎪⎝⎭．【总结升华】本题是求简单组合图形的面积问题，解答时，常常是寻找这些“不规则的图形”是由哪些“可求面积的、规则的图形”组合而成.举一反三：【变式】如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，2AD =．以AD 的长为半径的⊙A 交BC 于点E ，则图中阴影部分的面积为________．【答案】1224π--. 解析：连接AE ，易证AB ＝BE ＝1，∠BAE ＝45°，所以∠EAD ＝45°，所以21112(2)22824ABE ABCD DAE S S S S ππ=--=--=--△阴影矩形扇形．6．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，连接AC ，过点O 作AC 的垂线交AC 于点D ，交⊙O 于点E ．已知AB ﹦8，∠P=30°．（1）求线段PC 的长；（2）求阴影部分的面积．【思路点拨】（1）连接OC，由PC为圆O的切线，根据切线的性质得到OC与PC垂直，可得三角形OCP为直角三角形，同时由直径AB的长求出半径OC的长，根据锐角三角函数定义得到tanP为∠P的对边OC与邻边PC的比值，根据∠P的度数，利用特殊角的三角函数值求出tanP的值，由tanP及OC的值，可得出PC 的长；（2）由直角三角形中∠P的度数，根据直角三角形的两个锐角互余求出∠AOC的度数，进而得出∠BOC的度数，由OD与BC垂直，且OC=OB，利用等腰三角形的三线合一得到OD为∠BOC的平分线，可求出∠COD度数为60°，再根据直角三角形中两锐角互余求出∠OCD度数为30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边OC的长求出OD的长，先由∠COD的度数及半径OC的长，利用扇形的面积公式求出扇形COE的面积，再由OD与CD的长，利用直角三角形两直角边乘积的一半求出直角三角形COD 的面积，用扇形COE的面积减去三角形COD的面积，即可求出阴影部分的面积．【答案与解析】解：（1）连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∵AB=8，∴OC=12AB=4，又在直角三角形OCP中，∠P=30°，∴tanP=tan30°=OCPC，即PC=433=43；（2）∵∠OCP=90°，∠P=30°，∴∠COP=60°，∴∠AOC=120°，又AC⊥OE，OA=OC，∴OD为∠AOC的平分线，∴∠COE=12∠AOC=60°，又半径OC=4，∴S扇形OCE=26048=3603ππ⨯，在Rt△OCD中，∠COD=60°，∴∠OCD=30°，∴OD=12OC=2，根据勾股定理得：CD=22OC-OD=23，【总结升华】此题考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，以及扇形的面积公式，遇到已知切线的类型题时，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得出垂直，利用直角三角形的性质来解决问题．。

数字中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算--知识讲解(基础)

中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算—知识讲解（基础）【考纲要求】1．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；2．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【考点梳理】考点一、正多边形和圆1、正多边形的有关概念：(1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径）(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.2、正多边形与圆的关系：(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3、正多边形性质：(1)任何正多边形都有一个外接圆.(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.要点诠释：（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是360n；所以正n边形的中心角等于它的外角.（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.考点二、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、正多边形有关计算1．（2015•镇江）图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于．【思路点拨】（1）作AE的垂直平分线交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分线，分别交⊙O于H，F，反向延长 FO，HO，分别交⊙O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求；（2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得∠AOD=3=135°得到的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，根据圆的周长的公式即可求得结论．【答案与解析】（1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求，（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠AOD=3=135°，∵OA=5，∴的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，∴2πR=，∴R=，即这个圆锥底面圆的半径为．故答案为：．【总结升华】本题考查了尺规作图，圆内接八边形的性质，弧长的计算，圆的周长公式的应用，会求八边形的内角的度数是解题的关键．举一反三：【变式1】如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图，则其最高点与地面的距离是______米．【答案】31+.解析：如图，以三个圆心为顶点等边三角形O1O2O3的高O1C＝3，所以AB＝AO1+O1C+BC＝1313122++=+．【高清课堂：正多边形与圆的有关证明与计算自主学习4】【变式2】同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比是__________.32：：【高清课堂：正多边形与圆的有关证明与计算自主学习2】【变式3】（2015•广西自主招生）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为2，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（）A．5：4 B．5：2 C．：2 D．：【答案】A.【解析】解：如图1，连接OD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=2，∵∠AOB=45°，∴OB=AB=2，由勾股定理得：OD==2，∴扇形的面积是=π；如图2，连接MB、MC，∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，∴∠BMC=90°，MB=MC，∴∠MCB=∠MBC=45°，∵BC=2，∴MC=MB=，∴⊙M的面积是π×（）2=2π，∴扇形和圆形纸板的面积比是π÷（2π）=．故选：A．类型二、正多边形与圆有关面积的计算2．(1)如图(a)，扇形OAB 的圆心角为90°，分别以OA ，OB 为直径在扇形内作半圆，P 和Q分别表示阴影部分的面积，那么P 和Q 的大小关系是( )．A ．P ＝QB ．P ＞QC ．P ＜QD ．无法确定(2)如图(b)，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝3，以BC 为直径的半圆与斜边AB 交于点D ，则图中阴影部分的面积是________．(3)如图(c)，△AOB 中，OA ＝3cm ，OB ＝1cm ，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°到△A ′OB ′，求AB 扫过的区域(图中阴影部分)的面积．(结果保留π)【思路点拨】直接使用公式计算阴影部分面积比较困难时，可采用和差法、转化法、方程法等，有时也需要运用变换的观点来解决问题．【答案与解析】解：(1)阴影部分的面积直接求出十分困难，可利用几个图形面积的和差进行计算：2OAB OCA P S S Q =-+扇形半圆2211()42R R Q Q ππ=-+=； (2)(转化法“凑整”)利用BmD CnD S S =弓形弓形，则阴影部分的面积可转化为△ACD 的面积，等于△ABC 面积的一半，答案为94； (3)(旋转法)将图形ABM 绕点O 逆时针旋转到A ′B ′M ′位置，则A OA MOM S S S ''=-阴影扇形扇形2211244OA OM πππ=-=．【总结升华】求阴影面积的几种常用方 (1)公式法；(2)割补法；（3）旋转法；(4)拼凑法；(5)等积变形法；(6)构造方程法．举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ＝8，BC ＝12，分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是( )A ．64π127-B ．16π32-C ．16π247-D ．16π127-【答案】解：如图，由AB ，AC 为直径可得AD ⊥BC ，则BD ＝DC ＝6．在Rt △ABD 中，228627AD =-=，∴ 211246271612722S ππ⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯=-⎪⎝⎭阴影．答案选D.3．如图所示，A 是半径为2的⊙O 外一点，OA ＝4，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，弦BC ∥OA ，连AC ，求阴影部分的面积．【思路点拨】图中的阴影是不规则图形，不易直接求出，如果连接OB 、OC ，由BC ∥OA ，根据同底等高的三角形面积相等，于是所求阴影可化为扇形OBC 去求解．【答案与解析】解：如图所示，连OB 、OC∵ BC ∥OA ．∴ △OBC 和△ABC 同底等高，∴ S △ABC ＝S △OBC ，∴∵ AB 为⊙O 的切线，∴ OB ⊥AB ．∵ OA ＝4，OB ＝2，∴ ∠AOB ＝60°．∵ BC ∥OA ，∴ ∠AOB ＝∠OBC ＝60°．∵ OB ＝OC ，∴ △OBC 为正三角形．∴ ∠COB ＝60°，∴ 260223603OBC S S ππ⨯===阴影扇形．【总结升华】通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中①可根据平移、旋转或轴对称等图形变换；②可根据同底（等底）同高（等高）的三角形面积相等进行转化．举一反三：【变式】如图所示，半圆的直径AB ＝10，P 为AB 上一点，点C ，D 为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于________．【答案】解：连接OC 、OD 、CD ．∵ C 、D 为半圆的三等分点，∴ ∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝180603=°°．又∵ OC ＝OD ，∴ ∠OCD ＝∠ODC ＝60°，∴ DC ∥AB ，∴ PCD OCD S S =△△，∴ 2605253606S S ππ===g g 阴影扇形OCD ．4．（2015秋•江都市期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆与对角线AC 交于点E．（1）求弧BE所对的圆心角的度数．（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【思路点拨】（1）连接OE，由条件可求得∠EAB=45°，利用圆周角定理可知弧BE所对的圆心角∠EOB=2∠EAB=90°；（2）利用条件可求得扇形AOE的面积，进一步求得弓形的面积，利用Rt△ADC的面积减去弓的面积可求得阴影部分的面积．【答案与解析】解：（1）连接OE，∵四边形ABCD为正方形，∴∠EAB=45°，∴∠EOB=2∠EAB=90°；（2）由（1）∠EOB=90°，且AB=4，则OA=2，∴S扇形AOE==π，S△AOE=OA2=2，∴S弓形=S扇形AOE﹣S△AOE=π﹣2，又∵S△ACD=AD•CD=×4×4=8，∴S阴影=8﹣（π﹣2）=10﹣π．【总结升华】本题主要考查扇形面积的计算和正方形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键，注意弓形面积的计算方法．»AB）对应5．将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器圆弧（的中心角（∠AOB）为120°，AO的长为4cm，求图中阴影部分的面积.【思路点拨】看是否由“规则的”三角形、四边形、圆、扇形、弓形等可求面积的图形，经过怎样的拼凑、割补、叠合而成，这是解决这类题的关键．【答案与解析】阴影部分的面积可看成是由一个扇形AOB 和一个Rt △BOC 组成，其中扇形AOB 的中心角是120°，AO 的长为4，Rt △BOC 中，OB ＝OA ＝4，∠BOC ＝60°，∴ 可求得BC 长和OC 长，从而可求得面积，阴影部分面积＝扇形AOB 面积+△BOC 面积＝21623cm 3π⎛⎫+ ⎪⎝⎭．【总结升华】本题是求简单组合图形的面积问题，解答时，常常是寻找这些“不规则的图形”是由哪些“可求面积的、规则的图形”组合而成.举一反三：【变式】如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，2AD =．以AD 的长为半径的⊙A 交BC 于点E ，则图中阴影部分的面积为________．【答案】1224π--. 解析：连接AE ，易证AB ＝BE ＝1，∠BAE ＝45°，所以∠EAD ＝45°，所以21112(2)22824ABE ABCD DAE S S S S ππ=--=--=--△阴影矩形扇形．6．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，连接AC ，过点O 作AC 的垂线交AC 于点D ，交⊙O 于点E ．已知AB ﹦8，∠P=30°．（1）求线段PC 的长；（2）求阴影部分的面积．【思路点拨】（1）连接OC，由PC为圆O的切线，根据切线的性质得到OC与PC垂直，可得三角形OCP为直角三角形，同时由直径AB的长求出半径OC的长，根据锐角三角函数定义得到tanP为∠P的对边OC与邻边PC的比值，根据∠P的度数，利用特殊角的三角函数值求出tanP的值，由tanP及OC的值，可得出PC 的长；（2）由直角三角形中∠P的度数，根据直角三角形的两个锐角互余求出∠AOC的度数，进而得出∠BOC的度数，由OD与BC垂直，且OC=OB，利用等腰三角形的三线合一得到OD为∠BOC的平分线，可求出∠COD度数为60°，再根据直角三角形中两锐角互余求出∠OCD度数为30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边OC的长求出OD的长，先由∠COD的度数及半径OC的长，利用扇形的面积公式求出扇形COE的面积，再由OD与CD的长，利用直角三角形两直角边乘积的一半求出直角三角形COD 的面积，用扇形COE的面积减去三角形COD的面积，即可求出阴影部分的面积．【答案与解析】解：（1）连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∵AB=8，∴OC=12AB=4，又在直角三角形OCP中，∠P=30°，∴tanP=tan30°=OCPC，即PC=433=43；（2）∵∠OCP=90°，∠P=30°，∴∠COP=60°，∴∠AOC=120°，又AC⊥OE，OA=OC，∴OD为∠AOC的平分线，∴∠COE=12∠AOC=60°，又半径OC=4，∴S扇形OCE=26048=3603ππ⨯，在Rt△OCD中，∠COD=60°，∴∠OCD=30°，∴OD=12OC=2，根据勾股定理得：CD=22OC-OD=23，【总结升华】此题考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，以及扇形的面积公式，遇到已知切线的类型题时，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得出垂直，利用直角三角形的性质来解决问题．。

初三中考正多边形和圆、弧长和扇形面积专项复习(完整资料).doc

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弧长、扇形和圆锥(2015新湘教版中考复习)

弧长、扇形和圆锥（2015新湘教版中考复习）一、复习目标1、会计算圆的弧长和扇形的面积；2、会计算圆锥的侧面积和全面积；二、复习重点和难点复习重点：熟练运用弧长的计算公式，扇形的面积计算公式和圆锥的侧面积计算公式解决有关问题。

复习难点：将阴影图形看成一些基本图形覆盖而成的重叠部分用整体和差法求解。

三、复习过程（一）知识梳理1.弧长公式：180n R l π=(n 为圆心角的度数，R 为圆半径)2、扇形的面积公式S=213602n R lR π=(n 为圆心角的度数,R 为圆的半径）．3、圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长就是圆锥的底面圆的周长，扇形的半径就是圆锥的母线长。

4、圆锥的侧面积S=πRl ,(l 为母线长，r 为底面圆的半径),圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积．（二）典例精析1、在半径为3的⊙O 中，弦AB=3，则弧AB 的长为点拨：由弦AB 和圆的两条半径组成一个等边三角形，得出弧AB 所对的圆心角为60°，再由弧长计算公式即可求得弧AB 的长。

图12、已知扇形的圆心角为120°，弧长为10π㎝，则这个扇形的半径为___cm方法总结：利用弧长计算公式就可以求得。

3、如果圆锥的高为8cm ，母线长为10cm ，则它的侧面展开图的面积为_____方法总结：圆锥的高、底面圆的半径和母线组成一个直角三角形，据已知条件可求得圆锥底面圆的半径为6cm ，然后根据圆锥侧面积公式即可求出。

4、如图1，圆心角都是90°的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，OA ＝3，OC ＝1，分别连结AC 、BD ，则图中阴影部分的面积为（ C ） A. 12π B. π C. 2π D. 4π 点拨：阴影部分的面积就是圆心角为90°，半径分别为3、1的两个扇形的面积之差。

5、如图2，圆锥的母线长为5cm ，高线长为4cm ，则圆锥的底面积是（）A ． 3πcm ZB ．9πcm ZC ．16πcm ZD ．25πcm Z6、如图3,把直角△ABC 的斜边AC 放在定直线l 上，按顺时针的方向在直线l 上转动两次，使它转到△A 2B 2C 2的位置，设AB=3，BC=1，则顶点A 运动到点A 2的位置时，点A 所经过的路线为( B )A 、（1225 +23）πB 、（34 +23）πC 、2πD 、3π 图2 A A A 2B C C B 图3 l方法点拨：A 点所经过的弧长有两段，①以C 为圆心，CA 长为半径，∠ACA 1为圆心角的弧长；②以B 1为圆心，AB 长为半径，∠A 1B 1A 2为圆心角的弧长．分别求出两端弧长，然后相加即可得到所求的结论．7、如图4，⊙A ，⊙B ，⊙C 两两不相交，且它们的半径都是2cm ，图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和是多少？方法点拨：三个小扇形的圆心角分别是∠A、∠B、∠C，半径全等于2cm 而△ABC 中∠A＋∠B＋∠C＝180度，所以如果将三个小扇形拼到一起，正好构成一个半径是2cm 的半圆。

湖南省中考数学第一部分教材知识梳理第六单元圆

第六单元圆第22课时与圆有关的位置关系湖南3年中考（2014～2016）命题点1 点与圆、直线与圆的位置关系1．（2015湘西州15题4分）⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离OA＝3 cm，则点A 与圆O的位置关系为（）A．点A在圆上B．点A在圆内C．点A在圆外D．无法确定2．（2016湘西州18题4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以点C为圆心，以2.5 cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（）第3题图A．相交B．相切C．相离D．不能确定3．（2015张家界2题3分）如图，∠O＝30°，C为OB上一点，且OC＝6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．以上三种情况均有可能4．（2014益阳8题4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）A．1 B．1或5C．3 D．5第4题图第5题图5．（2016永州20题4分）如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O 到水平直线l 的距离为d ，即OM ＝d ．我们把圆上到直线l 的距离等于1的点的个数记为m ．如d ＝0时，l 为经过圆心O 的一条直线，此时圆上有四个到直线l 的距离等于1的点，即m ＝4．由此可知：（1）当d ＝3时，m ＝________；（2）当m ＝2时，d 的取值范围是________．命题点2 切线的相关证明与计算6．（2016邵阳9题3分）如图所示，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 外一点，CA ，CD 是⊙O 的切线，A ，D 为切点，连接BD ，AD ，若∠ACD ＝30°，则∠DBA 的大小是（） A ．15° B ．30° C ．60°D ．75°第6题图第7题图7．（2015岳阳8题3分）如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过点C 作CF ∥AB ，在CF 上取一点E ，使DE ＝CD ，连接AE ．对于下列结论：①AD ＝DC ；②△CBA ∽△CDE ；③BD ︵＝AD ︵；④AE 为⊙O 的切线，一定正确的结论．．．．．．．全部包含其中的选项是（） A ．①② B ．①②③ C ．①④D ．①②④8．（2016株洲16题3分）如图，△ABC 的内切圆的三个切点分别为D 、E 、F ，∠A ＝75°，∠B ＝45°．则圆心角∠EOF ＝________度．第8题图9．（2016益阳13题5分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB 的延长线交于P点，若∠P＝40°，则∠D的度数为________．第9题图10．（2015怀化21题8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．（1）求证：△ABC∽△CBD；（2）求证：直线DE是⊙O的切线．第10题图11．（2016张家界22题6分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且AC平分∠BAD．（1）求证：直线MN是⊙O的切线；（2）若AD＝4，AC＝5，求⊙O的直径．第11题图12．（2015衡阳26题8分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C 作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．第12题图13．（2016郴州23题8分）如图，OA，OD是⊙O半径，过A作⊙O的切线，交∠AOD的平分线于点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）如果D 点是BC 的中点，⊙O 的半径为3 cm ，求DE ︵的长度．（结果保留π）第13题图14．（2014长沙24题9分）如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点恰好为BC 的中点D ，过点D 作⊙O 的切线交AC 于点E ．（1）求证：DE ⊥AC ；（2）若AB ＝3DE ，求tan∠ACB 的值．第14题图15．（2016娄底25题10分）如图，在Rt△ABC 与Rt△OCD 中，∠ACB ＝∠DCO ＝90°，O 为AB 的中点．（1）求证：∠B ＝∠ACD ；（2）已知点E 在AB 上，且BC 2＝AB ·BE ．（i ）若tan∠ACD ＝34，BC ＝10，求CE 的长；（ii ）试判定CD 与以A 为圆心，AE 为半径的⊙A 的位置关系，并说明理由．第15题图答案1．B 【解析】因为点A 到圆心O 的距离小于圆的半径，所以点A 在圆O 的内部． 2．A 【解析】如解图，在Rt△ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，由勾股定理得AB ＝5．过C 作CD ⊥AB 于D ，则S △ABC ＝12AC ×BC ＝12AB ×CD ，解得CD ＝2.4<2.5，∴直线AB 与⊙C 相交．第2题解图3．C 【解析】在Rt△OCD 中，OC ＝6，∠DOC ＝30°，∴CD ＝12OC ＝3，∵⊙C 的半径为3，∴⊙C 与OA 相切．4．B 【解析】∵⊙P 的半径为2，圆心P 的坐标为(－3，0)，当⊙P 沿x 轴正方向平移相切于y 轴左侧时，只需平移1个单位长度；当⊙P 沿x 轴正方向平移相切于y 轴右侧时需要平移5个单位长度．故选B ．5．（1）1；（2）1<d <3 【解析】（1）当d ＝3时，即OM ＝3时，M 点在⊙O 外，∵⊙O 的半径为2，则此时只有OM 与⊙O 的交点到直线l 的距离为1，故m ＝1；（2）由题意可知，当01d ≤时，m ＝4，当d ＝1时，m ＝3；当1<d <3时，m ＝2；当d ＝3时，m ＝1；当d >3时，m ＝0．故答案为：1<d <3．6．D 【解析】如解图，连接OD ，∵CA ，CD 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AC ，OD ⊥CD ，∴∠OAC ＝∠ODC ＝90°，∵∠ACD ＝30°，∴∠AOD ＝360°－∠C －∠OAC －∠ODC ＝150°，∴∠DBA ＝12∠AOD ＝75°．第6题解图7．D 【解析】序号逐个分析正误①∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵在△ABC 中，AB ＝BC ，∴AD ＝DC√ ②∵CF ∥AB ，∴∠DCE =∠BAC ，∵AB =BC ，DC =DE ，∴∠ACB =∠BAC =∠DCE =∠DEC ，∴△CBA ∽△CDE√③如解图，连接OD，当且仅当∠BOD=90°时，点D是AB︵的中点，∴BD︵＝AD︵不一定正确第7题解图×④在△ACE中，AD＝CD，DE＝CD，∴△ACE是直角三角形，且∠AEC＝90°，∵AB∥CE，∴AB⊥AE，∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线√8．120【解析】根据题意，得OE⊥BC，OF⊥AC，∵∠A＝75°，∠B＝45°，∴∠C＝180°－75°－45°＝60°，在四边形OEC F中，∠EOF＝360°－60°－90°－90°＝120°．9．115°【解析】如解图，连接OC，∵CP为⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠COP＝∠90°－∠P＝90°－40°＝50°，在△OBC中，∵OB＝OC，∴∠ABC＝180°－50°2＝65°，∴∠D ＝180°－65°＝115°．第9题解图10．证明：（1）∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°＝∠ACB，又∵∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBD；………………………………………………………（3分）第10题解图（2）如解图，连接OD ，∵OD ＝OC ，∴∠ODC ＝∠OCD ，∵E 为BC 中点，∠BDC ＝90°， ∴ED ＝EC ， ∴∠EDC ＝∠ECD ，又∵∠OCD ＋∠ECD ＝90°， ∴∠EDC ＋∠ODC ＝90°，即∠EDO ＝90°， ∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 为⊙O 的切线．……………………………………………………（8分） 11．（1）证明：如解图，连接OC ．第11题解图∵OA ＝OC ， ∴∠OAC ＝∠OCA ， ∵AC 平分∠OAD ， ∴∠DAC ＝∠BAC ， ∴∠DAC ＝∠ACO ， ∴AD ∥OC ， ∵AD ⊥MN ， ∴OC ⊥MN ，∵点C 是⊙O 上一点，∴MN 是⊙O 的切线；……………………………………………………（3分）（2）解：在Rt△ADC 中，AD ＝4，AC ＝5，由勾股定理，得2222543DC AC AD -=-=．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°＝∠ADC ，又∵∠DAC ＝∠CAB ， ∴△ADC ∽△ACB ， ∴AD AC ＝AC AB，即455AB，解得AB ＝254，∴⊙O 的直径为254．………………………………………………………（6分）12．（1）证明：如解图，连接BD ．第12题解图∵C 、D 是半圆的三等分点， ∴C 是BD ︵的中点，∴OC ⊥BD ，………………………………………………………………（1分） ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BD ， ∴OC ∥AD ， ∵AE ⊥CE ， ∴OC ⊥CE ，又∵OC 是⊙O 的半径，∴EC 是⊙O 的切线；……………………………………………………（4分）（2）解：四边形AOCD 是菱形．理由如下：如解图，连接OD ， ∵C 、D 是半圆的三等分点，∴∠AOD ＝∠DOC ＝∠BOC ＝60°，AD ＝CD ．………………………（5分） ∵OD ＝OA ，∴△AOD 是等边三角形，∴AD ＝OA ，∴AD ＝CD ＝OC ＝OA ，∴四边形AOCD 是菱形．…………………………………………………（8分）13．（1）证明：∵CA 切⊙O 于点A ，∴∠CAO ＝90°．∵OC 平分∠AOD ，∴∠AOC ＝∠DOC ，在△AOC 和△DOC 中，OA ODAOC DOC OC OC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△DOC （SAS ），……………………………………………（3分） ∴∠CDO ＝∠CAO ＝90°，∵OD 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线；……………………………………………………（4分）（2）解：由（1）知：OD ⊥BC ，又∵D 是BC 的中点，∴OD 是BC 的垂直平分线，∴OC ＝OB ，（6分）∴∠BOD ＝∠DOC ＝∠COA ，∴∠DOE ＝60°，∴DE ︵的长度为603cm 180⨯=ππ．…………………………………………（8分）14．（1）证明：如解图，连接OD ，∵DE 是⊙O 的切线，∴OD ⊥DE ，………………………………………………………………（2分）又∵点O 是AB 的中点，点D 是BC 的中点，∴OD ∥AC ，第14题解图∴DE ⊥AC ；………………………………………………………………（4分）（2）解：如解图，连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°，又∵D 是BC 的中点，∴BD ＝DC ，在Rt△ADB 和Rt△ADC 中，BD DCADB ADC AD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴Rt△ADB ≌Rt△ADC （SAS ），∴AC ＝AB ＝3DE ，………………………………………………………（5分） ∵DE ⊥AC ，∴∠DEC ＝∠DEA ＝90°，∴∠CAD ＋∠C ＝∠EDC ＋∠C ＝90°，∴∠CAD ＝∠EDC ，∴△ADE ∽△DCE ， ∴DE AE ＝EC DE ，即DE 2＝AE ·EC ，…………………………………………（6分）设DE ＝nEC ，∵AC ＝3DE ，∴AC ＝3n EC ，∴AE ＝AC －EC ＝(3n －1)EC ，∴(nEC )2＝(3n －1)EC·EC ，化简得n 2－3n ＋1＝0．解得2(3)(3)411352n --±--⨯⨯±==，又∵3＋52与3－52都是正数，∴均符合题意．又∵在Rt△DEC 中，tan∠ACB ＝DEEC ＝n ，∴tan∠ACB ＝n ＝3±52．…………………………………………………（9分）15．（1）证明：∵点O 为直角三角形斜边AB 上的中点，∴OC ＝OB ，………………………………………………………………（1分） ∴∠B ＝∠BCO ，∵∠ACB ＝∠DCO ＝90°，即∠ACO ＋∠BCO ＝∠ACO ＋∠ACD ，∴∠BCO ＝∠ACD ，∴∠B ＝∠ACD ；…………………………………………………………（3分）（2）解：（i ）∵BC 2＝AB ·BE ，即BC BA ＝BEBC ，又∵∠B ＝∠B ，∴△BCA ∽△BEC ，………………………………………………………（5分） ∴∠BEC ＝∠BCA ＝90°，∵tan∠ACD ＝34，又由（1）知∠B ＝∠ACD ，∴tan∠B ＝34，即CE EB ＝34，设CE ＝3x ，EB ＝4x ，∵CE 2＋EB 2＝BC 2，∴(3x )2＋(4x )2＝102，……………………………………………………（6分）∴x ＝2，∴CE ＝6；…………………………………………………………………（7分）（ii ）CD 与⊙A 的位置关系为相切．理由如下：第15题解图如解图，过A作AF⊥DC，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＋∠BCE＝90°，∵∠BEC＝90°，∴∠B＋∠BCE＝90°，∴∠B＝∠ACE，又∵∠B＝∠ACD．∴∠ACE＝∠ACD．又∵AF⊥DC，AE⊥EC，∴AE＝AF，∴⊙A与CD相切．……………………………………………………（10分）。

中考数学总复习第六单元圆课时27 正多边形与圆、弧长、扇形、圆锥的有关计算课件

图27-5
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7. 我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”,认为当圆内接正多边形的边数无限增加时,周长就越接近
圆周长,由此求得了圆周率 π 的近似值. 设半径为 r 的圆内接正 n 边形的周长为 L,圆的直径为 d. 如图 27-6,

6

2

∵DE⊥AE,∴OD⊥EF.∴EF是☉O的切线.
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2. [2018·衡阳] 如图 27-2,☉O 是△ABC 的外接圆,AB 为直径,∠BAC 的平分线交☉O 于点 D,过点 D 作 DE
⊥AC 分别交 AC,AB 的延长线于点 E,F.
(2)若 AC=4,CE=2,求的长度(结果保留 π).
弧长的计算
例 1 [2018·绍兴] 如图 27-7,公园内有一个半径为 20 米的圆形草坪,A,B 是圆上的点,O 为圆心,∠AOB=120°,
从 A 到 B 只有路,一部分市民为走“捷径”,踩坏了花草,走出了一条小路 AB. 通过计算可知,这些市民其
实仅仅少走了
步(假设 1 步为 0. 5 米,结果保留整数)(参考数据: 3≈1. 732,π 取 3. 142).
考点三正多边形与圆
正多边形和圆的关系非常(fēicháng)密切,将一个圆n(n≥3,且n为整数)等分,依次连接各等分点所得的多边形叫做这个圆的内接
正n边形,这个圆是这个正多边形的外接圆. 正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的
中心(zhōngxīn)
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