人教A版高中数学选修1-1同步检测第3章33-331函数的单调性与导数.docx

合集下载

2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1同步试题：3.3.1函数的单调性与导数课时

3.3.1函数的单调性与导数一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数cos y x x =+在(,)-∞+∞内是 A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增【答案】A【解析】因为1sin 0y x '=-≥恒成立，所以函数cos y x x =+在(,)-∞+∞内是增函数，故选A ．2．已知函数()y f x =的图象如图所示，则函数()y f x '=的图象可能是【答案】B3．定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数为()y f x '=，且满足()()f x f x '>，(0)2f =，则不等式()2e x f x <的解集为A ．(,0)-∞B ．(,2)-∞C ．(0,)+∞D ．(2,)+∞【答案】C【解析】，()F x 在R 上单调递减，又()2e x f x <等价于4．若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是A ．(,2]-∞-B ．(,1]-∞-C ．[2,)+∞D ．[1,)+∞【答案】D，因为函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞上单调递增，所以()0f x '≥在区间(1,)+∞在区间(1,)+∞上单调递减，所以1≥k ，故实数k 的取值范围是[1,)+∞．故选D ． 5在(0,2)上不单调，则a 的取值范围是A ．01a << BC D ．1a >【答案】D6．设()sin f x x x =-，则()f x A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数【答案】B【解析】因为()sin()(sin )()f x x x x x f x -=---=--=-，所以()f x 是奇函数．又()1cos 0f x x '=-≥，所以()f x 单调递增，故()f x 既是奇函数又是增函数．故选B ． 7．已知函数()y f x =为定义在实数集R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时，'()()xf x f x <-（其中'()f x 是()f x 的导函数），若，(lg 3)(lg 3)b f =，A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】A【解析】因为()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，则不等式'()()xf x f x <-为'()()xf x f x <-，即'()()0xf x f x +<．设()()g x xf x =，则()g x 是偶函数，又'()'()()0g x xf x f x =+<，所以()g x 是(,0)-∞上的减函数，是(0,)+∞上的增函数，，，又，所以，即c a b >>．故选A ．8．（2016新课标全国I 在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是A ．[1,1]-BCD 【答案】C二、填空题：请将答案填在题中横线上．9．函数2()2ln f x x x =-，(0,)x ∈+∞的单调递减区间为______________．【解析】且(0,)x ∈+∞，10．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()1f x '<，若(1)()12f m f m m -->-，则实数m 的取值范围是______________．【解析】令()()F x f x x =-，则()()10F x f x ''=-<，故函数()()F x f x x =-在R 上单调递减，又由题设知(1)()12f m f m m -->-，则)()1(m F m F >-，故m m <-1，即．故实数m 的取值范围是11．已知函数()y f x =是R 上的可导函数，当0x ≠______________．【答案】1三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．已知1x >，证明：【答案】证明见解析．∵1x >，∴()0f x '>，在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)ln111f x f >=+=．13．已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++，试讨论()f x 的单调性．【答案】见解析．，0x >．当0a ≤时，易知()f x 在(0,1)上为减函数，在[1,)+∞上为增函数；当02a <<时，()f x 在上为减函数，在(1,)+∞上为增函数；当2a =时，()f x 在(0,)+∞上为增函数；当2a >时，()f x 在(0,1)上为增函数，在14 （1）求函数()g x 的单调区间；（2）若函数()f x 在(1,)+∞上是减函数，求实数a 的最小值．【答案】（1）函数)(x g 的单调递增区间是),e (+∞，单调递减区间是)e ,1(),1,0(；（2）（2）因为()f x 在(1,)+∞上为减函数，且在(1,)+∞上恒成立．所以当(1,)x ∈+∞时，max ()0f x '≤．a 15．（2016新课标全国I 文）已知函数2()(2)e (1)x f x x a x =-+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(0,)+∞．【解析】（1）()(1)e 2(1)(1)(e 2)x x f 'x a x x a x =-+-=-+，（i ）设0a ≥，则当(,1)x ∈-∞时，()0f 'x <；当(1,)x ∈+∞时，()0f 'x >．所以()f x 在(1),-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．（ii ）设0a <，由()0f 'x =得1x =或(ln 2)x a =-．，则()(1)(e e)x f 'x x =--，所以()f x 在R 上单调递增．，则ln 21()a -<，故当(,ln(2))(1,)x a ∈-∞-+∞时，()0f 'x >；当(ln(2),1)x a ∈-时，()0f 'x <，所以()f x 在(,ln(2)),(1,)a -∞-+∞上单调递增，在(ln(2),1)a -上单调递减．，则ln 21()a ->，故当(,1)(ln(2),)x a ∈-∞-+∞时，()0f 'x >，当(1,ln(2))x a ∈-时，()0f 'x <，所以()f x 在(,1),(ln(2),)a -∞-+∞上单调递增，在ln((1,)2)a -上单调递减．（2）（i ）设0a >，则由（1）知，()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．，所以()f x 有两个零点．（ii ）设a =0，则()(2)e x f x x =-，所以()f x 只有一个零点．（iii ）设a 1）知，()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时，，故()f x 不存在两个零点；1）知，()f x 在(ln(1,2))a -上单调递减，在()n(),l 2a -+∞上单调递增．又当1x ≤时()0f x <，故()f x 不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0,)+∞．【名师点睛】本题第（1）问是用导数研究函数的单调性，对含有参数的函数单调性的确定，通常要根据参数进行分类讨论，要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第（2）问是求参数的取值范围，由于这类问题常涉及导数、函数、不等式等知识，越来越受到高考命题者的青睐，解决此类问题的思路是构造适当的函数，利用导数研究函数的单调性破解．。

2019-2020学年同步人教A版高中数学选修1-1课件：3.3 3.3.1 函数的单调性与导数

1．函数的单调性与导数符号的关系 (1)单调递增在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)＞0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内_单__调__递__增___． (2)单调递减在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)＜0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内_单__调__递__减___．
第四页，编辑于星期六：二十三点四十八分。
第十九页，编辑于星期六：二十三点四十八分。
求函数 f(x)的单调区间的一般步骤 (1)确定函数 f(x)的定义域． (2)求导数 f′(x)． (3)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f′(x)>0 和 f′(x)<0. (4)根据(3)的结果确定函数 f(x)的单调区间．
第二十页，编辑于星期六：二十三点四十八分。
a＝－2，x＝－1 时，等号成立，故函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
第十五页，编辑于星期六：二十三点四十八分。
(2)当 a＜－2 时，Δ＞0，g(x)＝0 的两根都小于 0，g(x)在(0，
＋∞)上单调递增，且 g(x)＞1，f′(x)＞0，故函数 f(x)在(0，＋
∞)上单调递增．
(3)当 a＞2 时，Δ＞0，g(x)＝0 的两根为 x1＝a－ 2a2－4，x2
第十二页，编辑于星期六：二十三点四十八分。
若 a＜0，则当 x∈0，－21a时，f′(x)＞0；当 x∈－21a，＋∞时，f′(x)＜0，故 f(x)在0，－21a上单调递增，在－21a，＋∞上单调递减．
第十三页，编辑于星期六：二十三点四十八分。
利用导数证明或判断函数单调性的思路
第十四页，编辑于星期六：二十三点四十八分。
第十七页，编辑于星期六：二十三点四十八分。

人教A版高中数学选修1-1 3-3-1 函数的单调性与导数学习要点精品

函数的单调性与导数---------学习要点一、函数的单调性与导数的关系（1）一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内；如果()0f x '<，那么函数 ()y f x =在这个区间内 .若 ()f x 在区间(),a b 上是增函数,则()f x ' 0在(),a b 上恒成立；若()f x 在区间(),a b 上为减函数则()f x ' 0在(),a b 上恒成立,但等号不恒成立.（2）求可导函数的单调区间的一般步骤和方法： ①确定函数()f x 的；②计算导数'()f x ，令'()f x = ，解此方程，求出它们在定义域区间内的一切实根； ③把函数()f x 的间断点（即f (x )的无定义的点）的横坐标和上面的各实根按的顺序排列起来，然后用这些点把()f x 的定义域分成若干个小区间；④确定'()f x 在各个开区间内的，根据'()f x 的符号判定函数()f x 在每个相应小区间的增减性. 二、学习引领1.)(x f 在某个区间上单调递增（或递减）的充分条件利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义更方便，但应注意0)(>'x f （或0)(<'x f ）,仅是)(x f 在某个区间上递增（或递减）的充分条件,不得误用.2. )(x f 在某个区间上单调递增（或递减）的充要条件若)(x f 在区间（a ,b ）内可导,则函数)(x f 在（a ,b ）上递增（或递减）的充要条件是:'()0('()0)f x f x ≥≤或，x (,)a b ∈恒成立，且)(x f '在（a ,b ）的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，函数)(x f 在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x 0处有0)(0='x f ,甚至可以在无穷多个点处0)(0='x f ,只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间.3.充要条件的具体应用在已知函数)(x f 是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令'()0('()0)f x f x ≥≤或恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使)(x f '恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若)(x f '不恒为0，则由'()0('()0)f x f x ≥≤或，x (,)a b ∈恒成立,解得的范围即为所求.要点1：利用导数求单调区间例1、已知函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=，其中1>a .求)(x f 的单调区间. 解：函数的定义域为),1(+∞-.导函数为)11(111)(a xx x ax x f -+=+--='. 令()0f x '=，得10x =，或211x a=-.当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(1,0)a -；单调减区间是(1,1)a--和(0,)+∞. 规律总结：依据求单调区间的基本步骤求解,是解决该类问题的主要思路.首先要保证导函数的正确性,然后依据方程的具体情形确定方程的根,即可疑极值点.在含有字母时,要注意字母取值范围的影响,必要时进行分类讨论.列表时,注意在函数的定义域内进行分段. 要点2：讨论函数的单调性例2、设k ∈R ，函数111()1x x f x x ⎧<⎪-=⎨⎪⎩，≥，()()F x f x kx =-，x ∈R ，试讨论函数()F x 的单调性．解:由已知得:1,1,1()(),1,kx x xF x f x kx kx x ⎧-<⎪-=-=⎨⎪≥⎩求导得 :21,1,(1)'(),1,k x x F x k x ⎧-<⎪-⎪=⎨⎪≥⎪⎩.对于=')(x F 21(1)(1)k x x -<-，当0k ≤时，0)(>'x F 函数()F x 在(,1)-∞上是增函数；当0k >时，解不等式0)(<'x F 得kx 11->,函数()F x 在(,1-∞-上是减函数，在(1上是增函数. 对于=')(x F (1)k x -≥，当0k ≥时，函数()F x 在[)1,+∞上是减函数；当0k <时，解不等式0)(<'x F 得2411k x +>,所以函数()F x 在211,14k ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上是减函数，在211,4k ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭上是增函数. 规律总结：通过导数,可以讨论一些简单非基本初等函数的单调性,这正是导数的重要应用之一.其关键是解不等式,往往需要进行分类讨论.对于分段函数的单调性,需要在每一段上分别进行讨论.要点3：证明或判断不等关系例3、已知0x >，求证1xe x >+.解：设函数()(1)x f x e x =-+,所以()1x f x e '=-.当0x >时， 01x e e >=，()10x f x e '∴=->故()f x 在[0,)+∞递增，∴当0x >时，()(0)f x f >,又0(0)(10)0f e =-+=，()0f x ∴>，即(1)0xe x -+>，故1xe x >+.规律总结:若要证的不等式两边是两类不同的基本初等函数，往往构造简单函数，借助于导数,研究函数的单调性,再判断一些特殊值的符号,以实现证明不等式的目标.。

高中数学人教A版选修1-1习题：第三章3.3-3.3.1函数的单调性与导数 Word版含答案

第三章导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.1 函数的单调性与导数A 级基础巩固一、选择题1．函数y ＝12x 2－ln x 的单调减区间是( )A ．(0，1)B ．(0，1)∪(－∞，－1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，＋∞)解析：因为y ＝12x 2－ln x 的定义域为 (0，＋∞)，所以 y ′＝x －1x ，令y ′＜0，即x －1x＜0，解得：0＜x ＜1或x ＜－1. 又因为x ＞0，所以 0＜x ＜1. 答案：A2．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x e 2C ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x解析：显然y ＝sin x 在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A ；对于函数y ＝x e 2，因e 2为大于零的常数，不用求导就知y ＝x e 2在(0，＋∞)内为增函数；对于C ，y ′＝3x 2－1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33，故函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33上为减函数；对于D ，y ′＝1x －1(x ＞0)．故函数在(1，＋∞)上为减函数，在(0，1)上为增函数．答案：B3．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b ＜0时，f (x )是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．常数D ．既不是增函数也不是减函数解析：求函数的导函数f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，导函数对应方程f ′(x )＝0的Δ＝4(a 2－3b )＜0，所以f ′(x )＞0恒成立，故f (x )是增函数．答案：A4．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能为( )A BC D解析：由题图找出函数f (x )的增(减)区间，则其导函数f ′(x )在相应区间上的函数值为正(负)，即导函数在相应区间上的图象在x 轴的上(下)方，易知D 正确．答案：D5．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：依题意得f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥1x在(1，＋∞)上恒成立，因为x >1，所以0<1x<1，所以k ≥1，故选D. 答案：D 二、填空题6．函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为________．解析：令f ′(x )＝1－2cos x ＞0，得cos x ＜12，又x ∈(0，π)，所以 π3＜x ＜π.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π7．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则f (2)，f (3)，f (e)按从小到大排列应为________ .解析：因为在定义域(0，＋∞)上f ′(x )＝12x＋1x＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以有f (2)＜f (e)＜f (3)．答案：f (2)＜f (e)＜f (3)8．函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调递增函数，则m 的取值范围为________．解析：因为f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由题意可知f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以Δ＝4－12m ≤0，即m ≥13.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ 三、解答题9．证明：函数f (x )＝ln x x在区间(0，2)内是增函数．证明：f ′(x )＝1x·x －ln xx2＝1－ln x x2. 因为0＜x ＜2，所以ln x ＜ln 2＜1，故1－ln x ＞0. 所以f ′(x )＝1－ln xx2＞0. 根据导数与函数单调性的关系，得函数f (x )＝ln xx在区间(0，2)内是增函数．10．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0，2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．解：(1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0，2)，知d ＝2，所以 f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c . 由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，如－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.所以 ⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0，解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.(2)f ′(x )＝3x 2－6x －3，令f ′(x )＞0，得x ＜1－2或x ＞1＋2；令f ′(x )＜0，得1－2＜x ＜1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)，(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2)．B 级能力提升1．设f (x )，g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )＞g ′(x )，则当a ＜x ＜b 时，有( ) A ．f (x )＞g (x ) B ．f (x )＜g (x )C ．f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )＞g (x )＋f (b )解析：因为f ′(x )－g ′(x )＞0，所以 ()f （x ）－g （x ）′＞0，所以 f (x )－g (x )在[a ，b ]上是增函数，所以当a ＜x ＜b 时f (x )－g (x )＞f (a )－g (a )，所以 f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )．答案：C2．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1，2)，则b ＝________，c ＝________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1＜x ＜2是不等式f ′(x )＜0的解，即－1，2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根，把－1，2分别代入方程，联立解得b ＝－32，c ＝－6.答案：－32－63．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝3ax 2＋6x －1.由已知得f ′(x )≤0在R 上恒成立，即3ax 2＋6x －1≤0在R 上恒成立，当a ≥0时，不满足题意，所以a <0且Δ＝36＋12a ≤0⇔a ≤－3.当a ＝－3时，f (x )＝－3x 3＋3x 2－x ＋1＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －133＋89，由函数y ＝－x 3在R 上的单调性可知当a ＝－3时，f (x )在R 上是减函数．综上，a 的取值范围是(－∞，－3]．。

人教A版数学选修1-1第三章.3.1《函数的单调性与导数》测试

例1 已知导函数'()
f x的下列信息：
当14
x
<<时，'()0
f x>；当4
x>，或1
x<时，'()0
f x<；
当4
x=
，或1
x=时，'()0
f x=，试画出函数)
(x
f图象的大致形状。

设计意图此题是开放性题目，答案不惟一，可以体现思维的创新性。

例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．
（1）3
()3
f x x x
=+；（2）2
()23
f x x x
=--设计意图让学生用两种方法解题是为了使其深刻体会导数法的优越性。

为了对结论提供直观支持，用几何画板画出图象（下图）验证。

设计意图锻炼利用信息技术研究问题的能力，渗透数形结合思想。

（3）()sin(0,)
f x x x xπ
=-∈；（4）32
()23241
f x x x x
=+-+用几何画板画出图象（下图）验证结论。

设计意图整个过程学生自主完成，教师适时指导，体现了学生的主体地位。

2021年数学人教A版选修1-1优化练习：3.3 3.3.1 函数的单调性与导数 Word版含解析

[课时作业][A 组根底稳固]1．e 为自然对数的底数 ,函数y ＝x e x 的单调递增区间是( )A ．[－1 ,＋∞)B ．(－∞ ,－1]C ．[1 ,＋∞)D ．(－∞ ,1]解析：∵y ′＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1) ,由y ′≥0 ,∴x ≥－1 ,故递增区间为[－1 ,＋∞)．答案：A2．假设f (x )＝ln x x,e<a <b ,那么( ) A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )f (b )>1解析：f ′(x )＝1－ln x x 2,当x >e 时 ,f ′(x )<0 ,那么f (x )在(e ,＋∞)上为减函数 ,f (a )>f (b )．答案：A3．假设函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0,1)内单调递减 ,那么实数a 的取值范围是( )A ．a ≥1B ．a ＝1C ．a ≤1D ．0<a <1解析：∵f ′(x )＝3x 2－2ax －1 ,又f (x )在(0,1)内单调递减 ,∴不等式3x 2－2ax －1<0在 (0,1)内恒成立 ,∴f ′(0)≤0 ,且f ′(1)≤0 ,∴a ≥1.答案：Af ′(x )是函数f (x )的导函数 ,y ＝f ′(x )的图象如下图 ,那么y ＝f (x )的图象可能是( )解析：由y ＝f ′(x )的图象可知 ,当x <0或x >2时 ,f ′(x )>0；当0<x <2时 ,f ′(x )<0 , ∴函数y ＝f (x )在(－∞ ,0)和(2 ,＋∞)上为增函数 ,在(0,2)上为减函数．答案：C5．(2021·（高|考）全国卷Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数 ,f (－1)＝0 ,当x ＞0时 ,xf ′(x )－f (x )＜0 ,那么使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞ ,－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1 ,＋∞)C ．(－∞ ,－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1 ,＋∞)解析：设y ＝g (x )＝f (x )x (x ≠0) ,那么g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2,当x ＞0时 ,xf ′(x )－f (x )＜0 ,∴g ′(x )＜0 ,∴g (x )在(0 ,＋∞)上为减函数 ,且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0.∵f (x )为奇函数 ,∴g (x )为偶函数 ,∴g (x )的图象的示意图如下图．当x ＞0 ,g (x )＞0时 ,f (x )＞0,0＜x ＜1 ,当x ＜0 ,g (x )＜0时 ,f (x )＞0 ,x ＜－1 ,∴使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞ ,－1)∪(0,1) ,应选A.答案：A6．函数g (x )＝－x 3＋2x 2＋mx ＋5在(－∞ ,＋∞)内单调递减 ,那么实数m 的范围是________．解析：由g ′(x )＝－3x 2＋4x ＋m ≤0对x ∈R 恒成立．∴Δ＝16＋4×3m ≤0 ,∴m ≤－43. 答案：(－∞ ,－43] 7．函数f (x )＝x －2sin x 在(0 ,π)上的单调递增区间为________．解析：令f ′(x )＝1－2cos x >0 ,那么cos x <12 ,又x ∈(0 ,π) ,解得π3<x <π ,所以函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3 π. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3 π 8．假设函数f (x )＝(mx －1)e x 在(0 ,＋∞)上单调递增 ,那么实数m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝(mx －1)′e x ＋(mx －1)·(e x )′＝m e x ＋(mx －1)e x ＝e x (mx ＋m －1)．由于f (x )在(0 ,＋∞)上单调递增 ,∴f ′(x )≥0 ,即mx ＋m －1≥0对x ∈(0 ,＋∞)恒成立 ,亦即m ≥1x ＋1对x ∈(0 ,＋∞)恒成立 ,又当x ∈(0 ,＋∞)时 ,1x ＋1＜1 ,故m ≥1. 答案：[1 ,＋∞)9．判断函数f (x )＝ln x x－1在(0 ,e)及(e ,＋∞)上的单调性．解析：f ′(x )＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. 当x ∈(0 ,e)时 ,ln x <ln e ＝1,1－ln x >0 ,x 2>0 ,∴f ′(x )>0 ,f (x )为增函数．当x ∈(e ,＋∞)时 ,ln x >ln e ＝1,1－ln x <0 ,x 2>0 ,∴f ′(x )<0 ,f (x )为减函数．10．函数f (x )＝(x 2－ax )e x (x ∈R ) ,a 为实数．(1)当a ＝0时 ,求函数f (x )的单调增区间；(2)假设f (x )在闭区间[－1,1]上为减函数 ,求a 的取值范围．解析：(1)当a ＝0时 ,f (x )＝x 2e x ,f ′(x )＝2x e x ＋x 2e x ＝(x 2＋2x )e x ,由f ′(x )>0⇒x >0或x <－2 ,故f (x )的单调增区间为(0 ,＋∞)和(－∞ ,－2)．(2)由f (x )＝(x 2－ax )e x ,x ∈R⇒f ′(x )＝(2x －a )e x ＋(x 2－ax )e x ＝[x 2＋(2－a )x －a ]e x .记g (x )＝x 2＋(2－a )x －a ,依题意 ,x ∈[－1,1]时 ,g (x )≤0恒成立 ,结合g (x )的图象特征得⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝3－2a ≤0g (－1)＝－1≤0 即a ≥32 ,所以a 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32 ＋∞.[B 组能力提升]1．函数f (x )＝x ＋ln x ,那么有( )A ．f (2)<f (e)<f (3)B ．f (e)<f (2)<f (3)C ．f (3)<f (e)<f (2)D ．f (e)<f (3)<f (2)解析：因为在定义域(0 ,＋∞)上f ′(x )＝12x ＋1x >0 ,所以f (x )在(0 ,＋∞)上是增函数 ,所以有f (2)<f (e)<f (3)．答案：A2．函数f (x ) ,g (x )在区间[a ,b ]上均有f ′(x )<g ′(x ) ,那么以下关系式中正确的选项是( )A ．f (x )＋f (b )≥g (x )＋g (b )B ．f (x )－f (b )≥g (x )－g (b )C ．f (x )≥g (x )D ．f (a )－f (b )≥g (b )－g (a )解析：据题意 ,由f ′(x )<g ′(x )得f ′(x )－g ′(x )<0 ,故F (x )＝f (x )－g (x )在[a ,b ]上为减函数 ,由单调性知识知 ,必有F (x )≥F (b ) ,即f (x )－g (x )≥f (b )－g (b ) ,移项整理得：f (x )－f (b )≥g (x )－g (b )．答案：B3．如果函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1 ,k ＋1)上不是单调函数 ,那么实数k 的取值范围是________．解析：显然函数f (x )的定义域为(0 ,＋∞) ,y ′＝4x －1x ＝4x 2－1x , 由y ′>0 ,得函数f (x )的单调递增区间为(12,＋∞)；由y ′<0 ,得函数f (x )的单调递减区间为(0 ,12) , 由于函数在区间(k －1 ,k ＋1)上不是单调函数 ,所以⎩⎨⎧ k －1<12<k ＋1k －1≥0解得：1≤k <32. 答案：1≤k <324．f (x )是偶函数 ,当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π2时 ,f (x )＝x sin x ,假设a ＝f (cos 1) ,b ＝f (cos 2) ,c ＝f (cos 3) ,那么a ,b ,c 的大小关系为________．解析：由于函数为偶函数 ,故b ＝f (cos 2)＝f (－cos 2) ,c ＝f (cos 3)＝f (－cos 3) ,由于x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π2 ,f ′(x )＝sin x ＋x cos x ≥0 ,即函数在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π2上为增函数 ,据单位圆中三角函数线易得0＜－cos 2＜cos 1＜－cos 3＜π2,根据函数单调性可得f (－cos 2)＜f (cos 1)＜f (－cos 3)．答案：b ＜a ＜c5．(2021·（高|考）全国Ⅰ卷节选)函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2.讨论f (x )的单调性．解析：f ′(x )＝(x －1)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a )．(i)设a ≥0 ,那么当x ∈(－∞ ,1)时 ,f ′(x )＜0；当x ∈(1 ,＋∞)时 ,f ′(x )＞0.所以f (x )在(－∞ ,1)单调递减 ,在(1 ,＋∞)单调递增．(ii)设a ＜0 ,由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．①假设a ＝－e 2,那么f ′(x )＝(x －1)(e x －e) , 所以f (x )在(－∞ ,＋∞)单调递增．②假设a ＞－e 2,那么ln(－2a )＜1 , 故当x ∈(－∞ ,ln(－2a ))∪(1 ,＋∞)时 ,f ′(x )＞0；当x ∈(ln(－2a ) ,1)时 ,f ′(x )＜0 ,所以f (x )在(－∞ ,ln(－2a )) ,(1 ,＋∞)单调递增 ,在(ln(－2a ) ,1)单调递减．③假设a ＜－e 2,那么ln(－2a )＞1 , 故当x ∈(－∞ ,1)∪(ln(－2a ) ,＋∞)时 ,f ′(x )＞0；当x ∈(1 ,ln(－2a ))时 ,f ′(x )＜0 ,所以f (x )在(－∞ ,1) ,(ln(－2a ) ,＋∞)单调递增 ,在(1 ,ln(－2a ))单调递减．6．函数f (x )＝－2x ln x ＋x 2－2ax ＋a 2 ,其中a ＞0.(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性；(2)证明：存在a∈(0,1) ,使得f(x)≥0恒成立,且f(x)＝0在区间(1 ,＋∞)内有唯一解．解析：(1)由,函数的定义域为(0 ,＋∞) ,所以g(x)＝f′(x)＝2(x－1－ln x－a)所以g′(x)＝2－2x ＝2(x－1)x,当x∈(0,1)时,g′(x)＜0 ,g(x)单调递减；当x∈(1 ,＋∞)时,g′(x)＞0 ,g(x)单调递增．(2)证明：由f′(x)＝2(x－1－ln x－a)＝0 ,解得a＝x－1－ln x.令φ(x)＝－2x ln x＋x2－2x(x－1－ln x)＋(x－1－ln x)2＝(1＋ln x)2－2x ln x ,那么φ(1)＝1＞0 ,φ(e)＝2(2－e)＜0.于是,存在x0∈(1 ,e) ,使得φ(x0)＝0 ,令a0＝x0－1－ln x0＝u(x0) ,其中u(x)＝x－1－ln x(x≥1) ,由u′(x)＝1－1x≥0知,函数u(x)在区间(1 ,＋∞)上单调递增．故0＝u(1)＜a0＝u(x0)＜u(e)＝e－2＜1 ,即a0∈(0,1) ,当a＝a0时,有f′(x0)＝0 ,f(x0)＝φ(x0)＝0 ,再由(1)知,f′(x)在区间(1 ,＋∞)上单调递增,当x∈(1 ,x0)时,f′(x)＜0 ,从而f(x)＞f(x0)＝0 ,当x∈(x0 ,＋∞)时,f′(x)＞0 ,从而f(x)＞f(x0)＝0 ,又当x∈(0,1]时,f(x)＝(x－a0)2－2x ln x＞0 ,故x∈(0 ,＋∞)时,f(x)≥0.综上所述,存在a∈(0,1) ,使得f(x)≥0恒成立,且f(x)＝0在区间(1 ,＋∞)内有唯一解．。

高中数学人教A版选修1-1第3章3-3-1函数的单调性与导数课时测试及解析

高中数学人教A版选修1-1 第三章导数及其应用3.3.1 函数的单调性与导数课时测试（1）1.函数y=xlnx ( )A.在(0,5)上是单调递增函数B.在(0,5)上是单调递减函数C.在上是单调递减函数,在上是单调递增函数D.在上是单调递增函数,在上是单调递减函数【解析】选C.y′=lnx+1,令y′>0,即lnx>-1,解得x>,易知y=xlnx在上是单调递增函数,在上是单调递减函数.2.已知函数f(x)=+lnx,则有( )A.f(2)<f(e)<f(3)B.f(e)<f(2)<f(3)C. f(3)<f(e)<f(2)D.f(e)<f(3)<f(2)【解析】选A.f′(x)=+>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.所以f(2)<f(e)<f(3).3.下列区间中,使函数y=x·cosx-sinx为增函数的区间是( )A. B.(π,2π)C. D.(2π,3π)【解析】选B.f′(x)=cosx-xsinx-cosx=-x·sinx,当x∈(π,2π)时,f′(x)>0.4.函数y=a+x+的单调递增区间为.【解析】函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),y′=1-=,由y′>0得x>2或x<-2,所以函数的单调递增区间为(-∞,-2),(2,+∞).答案:(-∞,-2),(2,+∞)5.若函数y=x3-ax2+4在(0,2)上单调递减,则实数a的取值范围为.【解析】y′=3x2-2ax≤0在(0,2)上恒成立,即a≥=x在x∈(0,2)上恒成立,所以a∈[3,+∞).答案:[3,+∞)6.求函数f(x)=(x-k)e x的单调区间.【解析】f′(x)=(x-k+1) e x.令f′(x)=0,得x=k-1.当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:x (-∞,k-1) k-1 (k-1,+∞)f′(x) - 0 +f(x) ↘-e k-1↗所以f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞).课时测试（2）一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·重庆高二检测)函数f(x)=x2-lnx的单调递减区间为( )A.(-1,1)B.(-∞,1)C.(0,1)D.(1,+∞)【解析】选C.函数f(x)=x2-lnx的定义域是(0,+∞),f′(x)=x-,令f′(x)<0,即x-<0,解得0<x<1.【补偿训练】函数f(x)=xlnx的单调递增区间是( )A.(0,1)B.(1,+∞)C. D.【解析】选D.因为f(x)=xlnx(x>0),所以f′(x)=lnx+1,令f′(x)>0,得lnx+1>0,即x>, 所以函数f(x)的单调递增区间是.2.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是( )A.y=sinxB.y=xe2C.y=x3-xD.y=lnx-x【解析】选B.对于A,y=sinx在(0,+∞)内有增有减,对于B,y′=(xe2)′=e2>0,故y=xe2在(0,+∞)内是增函数;对于C,y′=3x2-1=3,当x∈时,y′<0;故y=x3-x在上是减函数,对于D,y′=-1=,当x∈(1,+∞)时,y′<0,故y=lnx-x在(1,+∞)上是减函数.3.(2016·临沂高二检测)已知函数y=f(x)的图象是如图四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则该函数的图象是( )【解析】选B.由函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象知f(x)的图象是上升的,且先由“平缓”变“陡峭”,再由“陡峭”变“平缓”.观察图象可得B正确.4.若f(x)=,e<a<b,则( )A.f(a)>f(b)B.f(a)=f(b)C.f(a)<f(b)D.f(a)f(b)>1【解题指南】先判断f(x)的单调性,再比较f(a)与f(b)的大小.【解析】选A.因为f′(x)==.当x∈(e,+∞)时,1-lnx<0,所以f′(x)<0,所以f(x)在(e,+∞)内为单调递减函数.故f(a)>f(b).5.(2016·烟台高二检测)若a>0,且f(x)=x3-ax在 B.(-1,1]C.(-1,1)D.上是单调函数,求a的取值范围.【解析】f′(x)=(2x-2a)e x+(x2-2ax)e x=e x.令f′(x)=0,即x2+2(1-a)x-2a=0.解得x1=a-1-,x2=a-1+,其中x1<x2.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况见下表:x (-∞,x1) x1(x1,x2) x2(x2,+∞) f′(x) + 0 - 0 +f(x) ↗↘↗因为a≥0,所以x1<-1,x2≥0,f(x)在(x1,x2)上单调递减.由此可得f(x)在上是单调函数的充要条件为x2≥1,即a-1+≥1,解得a≥.故所求a的取值范围为.10.(2016·青岛高二检测)已知函数y=f(x)=x3+bx2+cx+d的图象经过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0.(1)求函数y=f(x)的解析式.(2)求函数y=f(x)的单调区间.【解析】(1)由y=f(x)的图象经过点P(0,2),知d=2,所以f(x)=x3+bx2+cx+2,f′(x)=3x2+2bx+c.由在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0,知-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1,f′(-1)=6.所以即解得b=c=-3.故所求的解析式是y=f(x)=x3-3x2-3x+2.(2)f′(x)=3x2-6x-3.令f′(x)>0,得x<1-或x>1+;令f′(x)<0,得1-<x<1+.故f(x)=x3-3x2-3x+2的单调递增区间为(-∞,1-)和(1+,+∞),单调递减区间为(1-,1+).一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且当x>0时,有f′(x)>0,g′(x)>0,则当x<0时,有( )A.f′(x)>0,g′(x)>0B.f′(x)>0,g′(x)<0C.f′(x)<0,g′(x)>0D.f′(x)<0,g′(x)<0【解析】选B.由题知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,根据奇偶函数图象特点知,当x<0时,f(x)的单调性与x>0时相同,g(x)的单调性与x>0时恰好相反.因此,当x<0时,有f′(x)>0,g′(x)<0.2.(2016·南昌高二检测)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )A.(-3,0)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3)【解析】选D.因为′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x),所以当x<0时,′>0,所以f(x)·g(x)在(-∞,0)上是增函数,又g(-3)=0,所以f(-3)g(-3)=0.所以当x∈(-∞,-3)时,f(x)g(x)<0;当x∈(-3,0)时,f(x)g(x)>0.又因为f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以f(x)g(x)在R上是奇函数,其图象关于原点对称.所以当x∈(0,3)时,f(x)g(x)<0.综上,选D.【补偿训练】(2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)【解析】选A.记函数g(x)=,则g′(x)=,因为当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,故当x>0时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减;又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数,故函数g(x)是偶函数,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,且g(-1)=g(1)=0.当0<x<1时,g(x)>0,则f(x)>0;当x<-1时,g(x)<0,则f(x)>0,综上所述,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪ (0,1).二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·泰安模拟)如果函数f(x)=2x2-lnx在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,那么实数k的取值范围是.【解析】显然函数f(x)的定义域为(0,+∞),y′=4x-=.由y′>0,得函数f(x)的单调递增区间为;由y′<0,得函数f(x)的单调递减区间为,由于函数在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,所以解得1≤k<.答案:4.(2016·盐城高二检测)若函数f(x)=(mx-1)e x在(0,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是.【解析】因为f′(x)=(mx+m-1)e x,由题意得f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,令g(x)=mx+m-1,则,解得m≥1.答案:,令f′(x)=0,得x1=1,x2=a-1.因为f(x)在(1,4)内为减函数,所以当x∈(1,4)时,f′(x)≤0;因为f(x)在(6,+∞)内为增函数,所以当x∈(6,+∞)时,f′(x)≥0.所以4≤a-1≤6,解得5≤a≤7.所以实数a的取值范围为.方法二:f′(x)=x2-ax+a-1.因为f(x)在(1,4)内为减函数,所以当x∈(1,4)时,f′(x)≤0;因为f(x)在(6,+∞)内为增函数,所以当x∈(6,+∞)时,f′(x)≥0.所以即解得5≤a≤7.所以实数a的取值范围为.6.(2015·驻马店高二检测)已知函数f(x)=(ax2+x-1)e x,其中e是自然对数的底数,a∈R.(1)若a=1,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.(2)若a=-1,求f(x)的单调区间.【解析】(1)因为f(x)=(x2+x-1)e x,所以f′(x)=(2x+1)e x+(x2+x-1)e x=(x2+3x)e x,所以曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为k=f′(1)=4e.又因为f(1)=e,所以所求切线方程为y-e=4e(x-1),即4ex-y-3e=0.(2)f(x)=(-x2+x-1)e x,因为f′(x)=-x(x+1)e x,令f′(x)<0,得x<-1或x>0,f′(x)>0得-1<x<0.所以f(x)的减区间为(-∞,-1),(0,+∞),增区间为(-1,0).课时测试（3）(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数f(x)=x+lnx在(0,6)上是( )A.单调增函数B.单调减函数C.在上是减函数,在上是增函数D.在上是增函数,在上是减函数【解析】选A.因为f′(x)=1+>0,所以函数在(0,6)上是单调增函数.2.(2014·新课标全国卷Ⅱ)若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.4.函数f(x)=-,则f(a)与f(b)(a<b<1)的大小关系为________________.【解析】f′(x)=′==.当x<1时,f′(x)<0,所以f(x)为减函数,因为a<b<1,所以f(a)>f(b).答案:f(a)>f(b)三、解答题(每小题10分,共20分)5.讨论函数f(x)=(-1<x<1,b≠0)的单调性.【解题指南】先求函数的定义域,然后判断函数的奇偶性,再判定函数在x∈(0,1)上的单调性,最后得出在-1<x<1上的单调性.【解析】f(x)的定义域为(-1,1),函数f(x)是奇函数,只需讨论函数在(0,1)上的单调性.因为f′(x)=b·=-,当0<x<1时,x2+1>0,(x2-1)2>0,所以-<0.所以当b>0时,f′(x)<0.所以函数f(x)在(0,1)上是减函数;当b<0时,f′(x)>0,所以函数f(x)在(0,1)上是增函数;又函数f(x)是奇函数,而奇函数的图象关于原点对称,从而可知:当b>0时,f(x)在(-1,1)上是减函数;当b<0时,f(x)在(-1,1)上是增函数.6.(2015·威海高二检测)若函数f(x)=x3-ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内单调递减,在(6,+∞)上单调递增,试求a的取值范围.【解析】f′(x)=x2-ax+a-1.因为f(x)在(1,4)内单调递减,所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立,即a(x-1)≥x2-1在(1,4)上恒成立,所以a≥x+1.因为2<x+1<5,所以当a≥5时,f′(x)≤0在(1,4)上恒成立.又因为f(x)在(6,+∞)上单调递增,所以f′(x)≥0在(6,+∞)上恒成立,所以a≤x+1.因为x+1>7,所以当a≤7时,f′(x)≥0在(6,+∞)上恒成立.综上知5≤a≤7.【一题多解】本题还可以用以下方法解决:如图所示,f′(x)=(x-1).因为在(1,4)内f′(x)≤0,在(6,+∞)内f′(x)≥0,且f′(x)=0有一根为1,所以另一根在上.所以即所以5≤a≤7.【补偿训练】已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围.(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由已知,得f′(x)=3x2-a.因为f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,所以f′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即a≤3x2对x∈(-∞,+∞)恒成立.因为3x2≥0,所以只需a≤0.(2)假设f′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,则a≥3x2在x∈(-1,1)时恒成立.因为-1<x<1,所以3x2<3,所以只需a≥3.故存在实数a≥3,使f(x)在(-1,1)上单调递减.。

高中数学人教A版选修1-1 第三章导数及其应用学业分层测评15 Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0 B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3 C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x ＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x 【解析】 ∵y ＝sin x ＋cos x ，∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x ．故选D. 【答案】 D2．函数y ＝(x ＋1)(x －1)的导数等于( ) A ．1 B ．－12xC.12xD ．－14x【解析】因为y ＝(x ＋1)(x －1)＝x －1，所以y ′＝x ′－1′＝1.【答案】 A3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2【解析】 ∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2，∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.故选A. 【答案】 A4．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.12【解析】因为y ′＝x 2－3x ，所以由导数的几何意义可知，x 2－3x ＝12，解得x ＝3(x ＝－2不合题意，舍去)．【答案】 A5．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．不确定【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝⎛⎭⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线．故选B. 【答案】 B 二、填空题6．已知f (x )＝52x 2，g (x )＝x 3，若f ′(x )－g ′(x )＝－2，则x ＝________.【解析】因为f ′(x )＝5x ，g ′(x )＝3x 2，所以5x －3x 2＝－2，解得x 1＝－13，x 2＝2.【答案】－13或27．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________.【解析】 ∵y ＝x －12 ，∴y ′＝－12x －32 ，∴曲线在点(a ，a －12)处的切线斜率k ＝－12a －32 ，∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )．令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a .∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12·3a ·32 a －12 ＝94a 12 ＝18，∴a ＝64. 【答案】 648．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．【解析】 ∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22＋22，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1.∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1.【答案】 1 三、解答题9．求下列函数的导数： (1)y ＝(x ＋1)2(x －1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝e x ＋1e x －1.【解】 (1)法一：y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′＝2(x ＋1)(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1.法二：y ＝(x 2＋2x ＋1)(x －1)＝x 3＋x 2－x －1， y ′＝(x 3＋x 2－x －1)′＝3x 2＋2x －1.(2)y ′＝(x 2sin x )′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (3)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.10．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．【解】因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又f ′(1)＝2a ，所以3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，又f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.所以f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为：y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.[能力提升]1．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A. 1e B ．－1e C ．－eD ．e【解析】y ′＝e x，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，y 0＝e x 0，k ＝e x 0，∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.故选D. 【答案】 D2．若f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 016(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x【解析】因为f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ，所以循环周期为4，因此f 2 016(x )＝f 4(x )＝sin x .【答案】 A3．已知f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋6，则f ′(0)＝________.【解析】因为f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋6，所以f ′(x )＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋x (x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋x (x ＋1)(x ＋3)(x ＋4)·(x ＋5)＋x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋4)(x ＋5)＋x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋5)＋x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)，所以f ′(0)＝1×2×3×4×5＝120.【答案】 1204．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)求证：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值.【解】 (1)7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设点P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2可知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程为：y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x0·|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。

2019-2020学年数学人教A版选修1-1同步检测：3.3.1函数的单调性与导数

3．3.1 函数的单调性与导数填一填1.函数的单调性与其导函数的关系：在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减；如果恒有f ′(x )＝0，那么函数f (x )在这个区间内为常函数．2．一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”；反之，函数的图象就比较“平缓”.判一判1.可导函数f (x )在(a 解析：如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但x ＝0时f ′(x )＝0，故错误． 2．函数f (x )＝ax 2－b 在区间(－∞，0)内是减函数，则a >0且b ∈R .(√)解析：f ′(x )＝2ax ，当x <0时，由f ′(x )＝2ax <0，得a >0，∴a >0，b ∈R .故正确． 3．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是(－∞，2)．(×)解析：f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2.增区间为(2，＋∞)，故错误．4．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，32.(×) 解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，y ′＝4x －1x ＝4x 2－1x.由y ′>0得f (x )的增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞；由y ′<0得f (x )的减区间为⎝⎛⎭⎫0，12，由于函数在(k －1，k ＋1)上不单调，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0，解得1≤k <32.故错误.想一想1.提示：(1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)确定f (x )的单调区间．注意：在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集R 可以省略不写．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点．2．函数的单调性与导函数的关系是什么？提示：注意：在某个区间内，f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件．函数f (x )在(a ，b )内单调递增(减)的充要条件是f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在(a ，b )内恒成立，且f ′(x )在(a ，b )的任意子区间内都不恒等于0.3．常见的函数值变化快慢与导数的关系有哪些？提示：对于①，函数值增加得越来越快，f ′(x )>0且越来越大；对于②，函数值增加得越来越慢，f ′(x )>0且越来越小；对于③，函数值减少得越来越快，f ′(x )<0且越来越小，绝对值越来越大；对于④，函数值减少得越来越慢，f ′(x )<0且越来越大，绝对值越来越小．思考感悟：练一练1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件．故选A.答案：A 2．设函数y ＝f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )可能为( )解析：已知函数的图象，结合函数的单调性可知，在y 轴左侧为增函数，导数恒大于等于零，排除A 、C ，然后在y 轴右侧，函数先增后减再增，导数值先正后负再正，故可知排除B 项，满足题意的为D 项．答案：D3．函数y ＝x 2－4ln x 的单调递减区间是________．解析：y ′＝2x －4x ＝2(x ＋2)(x －2)x(x >0)，令y ′≤0，解得0<x ≤2，∴函数y ＝x 2－4ln x 的单调递减区间是(0，2]．答案：(0，2]4．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf ′(x )>0的解集为________．解析：当x >0时，xf ′(x )>0⇒f ′(x )>0，观察函数f (x )在(0，＋∞)上的图象，可得f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12，(2，＋∞)上单调递增，即当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x <0时，xf ′(x )>0⇒f ′(x )<0，观察函数f (x )在(－∞，0)上的图象，可得f (x )在(－∞，0)上单调递增，即当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0无解．综上，不等式xf ′(x )>0的解集为⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)知识点一求函数的单调区间1.函数f (A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，0)D ．(0,2)解析：f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)<0，解得0<x <2. 答案：D2．函数f (x )＝x1－x的单调递增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)，(1，＋∞)D ．(－∞，－1)，(1，＋∞)解析：∵f ′(x )＝x ′(1－x )－x (1－x )′(1－x )2＝1－x ＋x (1－x )2＝1(1－x )2>0，又x ≠1.∴f (x )的单调递增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)．答案：C3．已知函数y ＝x ·f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )解析：当x >0时，y ＝x ·f ′(x )在[0，b ]上的函数值非负⇒在[0，b ]上f ′(x )≥0，故函数f (x )在[0，b ]上单调递增；当x <0时，y ＝x ·f ′(x )在(－∞，0]上的函数值非负⇒在(－∞，0]上f ′(x )≤0，故f (x )在(－∞，0]上单调递减，观察各选项可知选D.答案：D4．求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝2x 3－3x ；(2)f (x )＝x 2－ln x . 解析：(1)由题意得f ′(x )＝6x 2－3.令f ′(x )＝6x 2－3>0，解得x <－22或x >22.当x ∈⎛⎫－∞，－2时，函数为增函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫22，＋∞时，函数也为增函数．令f ′(x )＝6x 2－3<0，解得－22<x <22. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－22，22时，函数为减函数．故函数f (x )＝2x 3－3x 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－22和⎝⎛⎭⎫22，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－22，22.(2)函数f (x )＝x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝2x －1x ＝(2x －1)(2x ＋1)x.令f ′(x )>0，解得x >22；令f ′(x )<0，解得0<x <22.故函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫22，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，22.5．已知函数f (x )＝x －2x－ln x 的导函数为f ′(x )．(1)解不等式f ′(x )<2；(2)求函数g (x )＝f (x )－4x 的单调区间．解析：(1)由题可得f ′(x )＝1＋2x 2－1x(x >0)，所以f ′(x )<2即2x 2－1x－1<0(x >0)，即x 2＋x －2>0(x >0)，解得x >1，所以不等式f ′(x )<2的解集为(1，＋∞)．(2)由题可得g (x )＝f (x )－4x ＝－3x －2x－ln x ，所以g ′(x )＝－3＋2x 2－1x ＝－3x 2－x ＋2x 2＝－(x ＋1)(3x －2)x 2，所以当0<x <23时，g ′(x )>0；当x >23时，g ′(x )<0，所以函数g (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫0，23，单调减区间为⎝⎛⎭⎫23，＋∞. 知识点二已知函数单调性求参数的值6.围是( )A ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)B ．[－3，3]C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3，3)解析：由题意得f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，且仅在有限个点上f ′(x )＝0，则有Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.答案：B 7．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,2)，则b ＝________，c ＝________. 解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1<x <2是不等式f ′(x )<0的解，即－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根，因此b ＝－32，c ＝－6.答案：－32－68．已知f (x )＝2ax －1x2，若f (x )在x ∈(0,1]上是增函数，则a 的取值范围为________．解析：由已知得f ′(x )＝2a ＋2x3.∵f (x )在(0,1]上单调递增，∴f ′(x )≥0，即a ≥－1x3在x ∈(0,1]上恒成立．而g (x )＝－1x3在(0,1]上单调递增，∴g (x )max ＝g (1)＝－1，∴a ≥－1.(经检验等号成立) 答案：[－1，＋∞)基础达标1.若在区间(a ，b )内，f ′( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )＝0D ．不能确定解析：因为f (x )在(a ，b )上为增函数，∴f (x )>f (a )≥0.故选A. 答案：A2．函数y ＝－x ＋sin x 在R 上( ) A ．单调递增 B ．单调递减 C ．先增后减 D ．先减后增解析：因为y ′＝－1＋cos x ≤0恒成立，所以函数y ＝－x ＋sin x 在R 上单调递减，故选B.答案：B3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x e xC ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x 解析：A 项中，y ′＝cos x ，当x >0时，y ′的符号不确定；B 项中，y ′＝e x ＋x e x ＝(x ＋1)e x ，当x >0时，y ′>0，故在(0，＋∞)内为增函数；C 项中，y ′＝3x 2－1，当x >0时，y ′>－1；D 项中，y ′＝1x－1，当x >0时，y ′>－1.答案：B4．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．不确定解析：f ′(x )＝2－cos x ，∵cos x ≤1，∴f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．答案：A5．已知函数f (x )＝13ax 3－x 2＋5(a >0)在(0,2)上不单调，则a 的取值范围是( )A ．0<a <1B ．0<a <12C.12<a <1 D ．a >1 解析：由f (x )＝13ax 3－x 2＋5(a >0)，得f ′(x )＝ax 2－2x .因为函数f (x )在(0,2)上不单调，所以f ′(x )在(0,2)上存在零点，而a >0，所以0<2a<2，解得a >1.故选D.答案：D6．定义在R 上的函数f (x )，若(x －1)·f ′(x )<0，则下列各项正确的是( ) A ．f (0)＋f (2)>2f (1) B ．f (0)＋f (2)＝2f (1) C ．f (0)＋f (2)<2f (1)D ．f (0)＋f (2)与2f (1)大小不定解析：当x >1时，f ′(x )<0，f (x )是减函数， ∴f (1)>f (2)．当x <1时，f ′(x )>0，f (x )是增函数， ∴f (0)<f (1)．因此f (0)＋f (2)<2f (1)．答案：C7．函数y ＝ax －ln x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内单调递增，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]∪[2，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，2]解析：∵y ′＝a －1x，函数y ＝ax －ln x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内单调递增， ∴在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上y ′≥0，即a －1x ≥0， ∴a ≥1x .由x >12得1x <2，要使a ≥1x恒成立，只需a ≥2.答案：C 二、填空题8．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调递减区间是________．解析：∵f ′(x )＝3x 2－30x －33 ＝3(x ＋1)(x －11)．由f ′(x )<0，得－1<x <11，∴f (x )的单调递减区间为(－1,11)．答案：(－1,11)9．已知f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，则a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝3ax 2＋6x －1≤0恒成立 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a <0Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <036＋12a ≤0，∴a ≤－3. 答案：(－∞，－3]10．使y ＝sin x ＋ax 在R 上是增函数的a 的取值范围为________．解析：需满足f ′(x )＝cos x ＋a ≥0恒成立，∴a ≥－cos x ，又－1≤cos x ≤1，∴a ≥1. 答案：[1，＋∞)11．函数f (x )＝ln x －12x 2＋x 的单调递增区间为________．解析：由f (x )＝ln x －12x 2＋x ，得f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，且x ∈(0，＋∞)，令f ′(x )>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0－x 2＋x ＋1>0，则0<x <1＋52.故函数f (x )＝ln x －12x 2＋x 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52.答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52 12．已知定义在R 上的可导函数f (x )满足f ′(x )<1，若f (1－m )－f (m )>1－2m ，则实数m 的取值范围是________．解析：令F (x )＝f (x )－x ，则F ′(x )＝f ′(x )－1<0，故函数F (x )＝f (x )－x 在R 上单调递减，又由题设知f (1－m )－f (m )>1－2m ，恒等变形为f ()1－m －f (m )>()1－m －m ，则F (1－m )>F (m )，故1－m <m ，即m >12.故实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 三、解答题13．求函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调区间．解析：由题设知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x，由f ′(x )>0，得x >12，由f ′(x )<0，得0<x <12，∴函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，12. 14．(1)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1,2]，求b ，c 的值． (2)设f (x )＝ax 3＋x 恰好有三个单调区间，求实数a 的取值范围．解析：(1)∵函数f (x )的导函数f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题设知－1<x <2是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集． ∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个实根，∴－1＋2＝－23b ，(－1)×2＝c3，即b ＝－32，c ＝－6.(2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，且f (x )有三个单调区间， ∴方程f ′(x )＝3ax 2＋1＝0有两个不等的实根， ∴Δ＝02－4×1×3a >0，∴a <0. ∴a 的取值范围为(－∞能力提升15.判断函数f (x )＝(a ＋解析：由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ③当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a ＋12a，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0.故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减．当a ≤－1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－1<a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减．16．已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解析：(1)由已知，得f ′(x )＝3x 2－a .因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，所以3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即 a ≤3x 2对x ∈(－∞，＋∞)恒成立．因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )在实数集R 上单调递增，所以a ≤0. (2)假设f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，则a ≥3x 2在x ∈(－1,1)时恒成立．因为－1<x <1，所以3x 2<3，所以只需a ≥3.当a ＝3时，在x ∈(－1,1)上，f ′(x )＝3(x 2－1)<0，即f (x )在(－1,1)上为减函数，所以a ≥3.故存在实数a ≥3，使f (x )在(－1,1)上单调递减．。

高中数学人教A版选修1-1 3.3.1 函数的单调性与导数

间是
0,
5 3
.
(2)函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f'(x)=4-��1��2.
令 f'(x)>0,即 4-��1��2>0,解得 x>12或 x<-12;
令 f'(x)<0,即 4-��1��2<0,解得-12<x<12,且 x≠0.
所以函数 f(x)的单调递增区间是
-∞,-
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 2 求下列函数的单调区间: ((12))ff((xx))==l��n��2��+��; 4; (3)f(x)=ex-x.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)函数定义域为(0,+∞),f'(x)=1-��l2n��. 令 f'(x)>0,即 1-ln x>0,解得 0<x<e; 令 f'(x)<0,即 1-ln x<0,解得 x>e. 所以函数的单调递增区间是(0,e),递减区间是(e,+∞). (2)函数定义域为 R, f'(x)=(��)'·(��2(+��24+)-4��)·2(��2+4)' = (��42-+��42)2. 令 f'(x)>0,即 4-x2>0,解得-2<x<2; 令 f'(x)<0,即 4-x2<0,解得 x<-2 或 x>2; 所以函数的单调递增区间是(-2,2),递减区间是(-∞,-2)和(2,+∞). (3)函数定义域为 R,f'(x)=ex-1. 令 f'(x)>0,即 ex-1>0,解得 x>0; 令 f'(x)<0,即 ex-1<0,解得 x<0; 所以函数的单调递增区间是(0,+∞),递减区间是(-∞,0).

人教A版高中数学选修一3.3.1函数的单调性与导数

知能巩固提升(二十二)/课后巩固作业(二十二)（时间：30分钟满分：50分）一、选择题（每小题4分，共16分）1.下列函数中，在区间(-1,1)上是减函数的是( )(D)y=sinx(A)y=2-3x2 (B)y=lnx (C)y=1x22.(2012·德州高二检测)f(x)是定义在（0，+∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)-f(x)≤0,对任意正数a,b，若a＜b,则必有( )(A)af(b)≤bf(a) (B)bf(a)≤af(b)(C)af(a)≤f(b) (D)bf(b)≤f(a)3.(易错题）已知函数f(x)=x3-ax-1，若f(x)在(-1,1)上单调递减，则a的取值范围为（）（A）a≥3 （B）a＞3（C）a≤3 （D）a＜34.(2011·山东高考）函数y=x2-2sinx 的图象大致是( )二、填空题（每小题4分，共8分）5.(2012·惠州高二检测）函数f(x)=xlnx 的单调减区间为__________.6.已知函数f(x)=ax 1x 2++在(-2,+∞)上单调递减，则a 的取值范围是_______. 三、解答题（每小题8分，共16分）7.已知函数f(x)=x 3-ax-1,（1）是否存在a,使f(x)的单调减区间是(-1,1)；（2）若f(x)在R 上是增函数，求a 的取值范围.8.（2011·浙江高考）设函数f(x)=a 2lnx-x 2+ax(a ＞0).（1）求f(x)的单调区间；（2）求所有的实数a ，使e-1≤f(x)≤e 2对x ∈［1,e ］恒成立．【挑战能力】（10分）已知a ＞0，函数f(x)=13 a 2x 3-ax 2+23，判断函数f(x)在［-1,1］上的单调性.答案解析1.【解析】选C.对于函数y=1x 2-，其导数y ′=()21x 2--＜0,且函数在区间(-1,1)上有意义，所以函数y=1x 2-在区间(-1,1)上是减函数，其余选项都不符合要求.2.【解析】选A.构造函数g(x)=()f x x , 则g ′(x)=()()2xf x f x x '-≤0,若g(x)=()f x x 不是常数函数，故g(x)=()f x x在(0,+∞)上递减,因0＜a ＜b,所以g(a)＞g(b),即()()f a f b a b ＞,即af(b)＜bf(a),若g(x)=f(x)x 是常数函数，则g ′(x)=0恒成立，故g(a)=g(b),即()()f a f b a b =,即af(b)=bf(a),综上af(b)≤bf(a).3.【解析】选A.∵f ′(x)=3x 2-a,又f(x)在(-1,1)上单调递减,∴f ′(x)≤0在(-1,1)上恒成立,即3x 2-a ≤0在(-1,1)上恒成立．∴a ≥3x 2在(-1,1)上恒成立,又0≤3x 2＜3,∴a ≥3,经验证当a=3时,f(x)在(-1,1)上单调递减．【变式训练】函数y=ax 3-x 在R 上是减函数，则( )（A ）a ≥13 （B ）a=1 （C ）a=2 （D ）a ≤0【解析】选D.因为y ′=3ax 2-1，函数y=ax 3-x 在(-∞,+∞)上是减函数，所以y ′=3ax 2-1≤0恒成立，当x=0时，3ax 2≤1恒成立，此时a ∈R ；当x ≠0时，若21a 3x ≤恒成立，则a ≤0.综上可得a ≤0.4.【解题指南】求出函数的导函数y ′，分别解y ′＞0和y ′＜0，结合余弦函数的图象可以解决.【解析】选C.因为y ′=12-2cosx,所以令y ′=12-2cosx>0,得cosx<14,此时原函数是增函数;令y ′=12-2cosx<0,得cosx>14,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得C 正确.5.【解析】函数f(x)定义域为(0,+∞),f ′(x)=lnx+1.解f ′(x)＜0得x ＜1e ,又x ＞0,∴f(x)的减区间为(0,1e ).答案：(0,1e )6.【解题指南】已知函数的单调性求参数的取值范围，可转化为f ′(x)≤0恒成立问题，求a 的取值范围.注意端点值的验证.【解析】∵f ′(x)=()22a 1x 2-+且函数f(x)在(-2,+∞)上单调递减，∴f ′(x)≤0在(-2,+∞)上恒成立.∴a ≤12.当a=12时，f ′(x)=0恒成立,不合题意，应舍去. ∴a ＜12. 答案：a ＜12 7.【解析】f ′(x)=3x 2-a ，（1）∵f(x)的单调减区间是(-1,1),∴-1＜x ＜1是f ′(x)＜0的解，∴x=±1是方程3x2-a=0的两根，所以a=3.(2)∵f(x)在R上是增函数，∴f′(x)=3x2-a≥0对x∈R恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立.∵y=3x2在R上的最小值为0.∴a≤0.8.【解析】（1）∵f(x)=a2lnx-x2+ax，其中x＞0,∴f′(x)=()()2x a2x aa2x ax x-+-+=-,由于a＞0，∴f(x)的增区间为(0,a)，减区间(a,+∞). （2）由题意得，f(1)=a-1≥e-1,即a≥e,由（1）知f(x)在［1,e］上单调递增，要使e-1≤f(x)≤e2对x∈［1,e］恒成立，只要()()222f1a1e1f e a e ae e=-≥-⎧⎪⎨=-+≤⎪⎩，解得a=e.【方法技巧】由函数的单调性求参数的取值范围常用方法（1）求出函数的单调区间，使所给的区间是函数某个单调区间的子区间，转化到已知单调性求参数的取值范围；（2）从f′(x)＞0或f′(x)＜0恒成立入手，再补充端点值；（3）转化为f′(x)＞0或f′(x)＜0在给定的区间上恒成立，进一步转化为求函数在给定区间上的最值.注意验证端点值是否符合题意. 【挑战能力】【解析】f′(x)=a2x2-2ax=ax(ax-2),令f′(x)=0得x1=0,x2=2a＞0,①当2a ≥1即0＜a≤2时，y=f′(x)的草图如图①所示:在-1＜x＜0时,f′(x)＞0，f(x)递增；在0＜x＜1时,f′(x)＜0,f(x)递减.②当0＜2a＜1即a＞2时，y=f′(x)的草图如图②所示:在-1＜x＜0及2a＜x＜1时,f′(x)＞0,f(x)递增；在0＜x＜2a时,f′(x)＜0,f(x)递减.综上所述：当0＜a≤2时，增区间为（-1，0），减区间为（0，1）;当a＞2时，增区间为(-1,0),(2a ,1),减区间为(0, 2a).【误区警示】此题易忽略不讨论2a与1的大小，单纯地认为只有第②种情况.。

高中数学人教新课标A版选修1-1(文科)第三章3.3.1 函数的单调性与导数同步练习A卷

高中数学人教新课标A版选修1-1（文科）第三章3.3.1 函数的单调性与导数同步练习A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共26分)1. （2分）已知为定义在上的可导函数，且对于任意恒成立，则（）A . ，B . ，C . ，D . ，2. （2分）已知函数，若在区间上单调递减，则的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分）函数的导函数是（）A .B .C .D .4. （2分）定义域为R的函数f(x)对任意x都有f(x)=f(4-x)，且其导函数f'(x)满足(x-2)f'（x)>0，则当2<a<4时，有（）A . f(2a)<f(2)<f(log2a)B . f(2)<f(2a)<f(log2a)C . f(2)<f(log2a)<f(2a)D . f(log2a)<f(2a)<f(2)5. （2分） (2018高三上·西安期中) 已知函数，若函数的图象与直线有四个不同的公共点，则实数a的取值范围为A .B .C .D .6. （2分）已知f（x）=x2+sin，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（）A .B .C .D .7. （2分）已知函数f（x）=|x﹣1|﹣1，且关于x方程f2（x）+af（x）﹣2=0有且只有三个实数根，则实数a的值为（）A . 1B . -1C . 0D . 28. （2分） (2018高二上·阜城月考) 定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，则的大小关系为（）A .B .C .D .9. （10分）(2016·新课标Ⅰ卷理)（1）讨论函数的单调性，并证明当>0时，（2）证明：当时，函数有最小值.设g（x）的最小值为，求函数的值域.二、填空题 (共2题；共2分)10. （1分） (2018高二上·灌南月考) 函数在上单调递增，则实数的取值范围为________11. （1分） (2017高二·卢龙期末) 函数y=x﹣lnx的单调递减区间是________．三、解答题 (共3题；共17分)12. （2分） (2019高三上·烟台期中) 已知函数，对于任意的，存在，使，则实数的取值范围为________；若不等式有且仅有一个整数解，则实数的取值范围为________.13. （10分） (2016高二下·抚州期中) 设函数f（x）=﹣ x3+x2+（m2﹣1）x，（x∈R），其中m＞0．（1）当m=1时，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率；（2）求函数的单调区间与极值．14. （5分） (2019高二下·哈尔滨月考) 已知曲线 .(Ⅰ) 求曲线在处的切线方程；(Ⅱ) 求曲线过原点的切线方程.参考答案一、单选题 (共9题；共26分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、9-2、二、填空题 (共2题；共2分) 10-1、11-1、三、解答题 (共3题；共17分) 12-1、13-1、13-2、14-1、。

2019-2020学年高二数学人教A版选修1-1训练：3.3.1 函数的单调性与导数 Word版含解析

3.3.1　函数的单调性与导数课时过关·能力提升一、基础巩固1.已知函数y=f (x )的图象如图所示,则导函数y=f'(x )的图象可能是( )y=f (x )的图象可知,在区间(-∞,0)和(0,+∞)内,函数f (x )均为减函数,故在区间(-∞,0)和(0,+∞)内,f'(x )均小于0,故选D .2.函数f (x )=-x 3+x 在(1,+∞)内为( )A.减函数B.增函数C.常数函数D.不能确定x ∈(1,+∞)时,f'(x )=-3x 2+1<0,故f (x )在(1,+∞)内为减函数.3.已知函数f (x )=ax 3-x 在R 上为减函数,则( )A.a ≤0B.a<1C.a<2D.a ≤13(x )=3ax 2-1.∵f (x )在R 上为减函数,∴f'(x )≤0在R 上恒成立.∴a ≤0.经检验a=0符合题意.故选A .4.函数f (x )=x (1-x )2的单调递增区间是( )A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(-1,1)D.(-∞,1)∪(1,+∞)f (x )(-∞,1)∪(1,+∞),=x (1-x )2的定义域为f'(x )=[x(1-x )2]'=(1-x )2-x ·(1-2x +x 2)'(1-x )4=(1-x )2+2x (1-x )(1-x )4=1+x(1-x )3.令f'(x )=0,1+x=0,x=-1.则1+x(1-x )3=0,即当x ∈(-∞,-1)时,f'(x )=1+x(1-x )3<0;当x ∈(-1,1)时,f'(x )=1+x (1-x )3>0;当x ∈(1,+∞)时,f'(x )=1+x (1-x )3<0.故函数f (x )(-1,1).=x (1-x )2的单调递增区间是5.若函数y=f (x )在R 上可导,且满足不等式xf'(x )>-f (x )恒成立,常数a ,b 满足a<b ,则下列不等式一定成立的是( )A.af (b )>bf (a )B.af (a )>bf (b )<bf (b ) D.af (b )<bf (a )6.函数f (x )=x 3-15x 2-33x+6的单调递减区间是 .(x )=3x 2-30x-33=3(x-11)(x+1),由(x-11)(x+1)<0,得单调递减区间为(-1,11).-1,11)7.函数y=(3-x 2)e x 的单调递增区间是 .2x e x +(3-x 2)e x =(-x 2-2x+3)e x ,令(-x 2-2x+3)e x >0,由e x >0,可得-x 2-2x+3>0,解得-3<x<1,所以函数的单调递增区间是(-3,1).-3,1)8.已知函数f (x )=2ax-sin x 在其定义域上是增函数,则实数a 的取值范围是 .(x )=2a-cos x.∵f (x )在其定义域上是增函数,∴f'(x )≥0恒成立,即2a-cos x ≥0,∴a ≥cos x 2.∵cos x 2≤12,∴a ≥12.[12,+∞)9.已知函数f (x )=ax ‒ax ‒2ln x ,若函数f (x )在其定义域内为增函数,求a 的取值范围.(x )=a +a x 2‒2x .∵f (x )在其定义域(0,+∞)内为增函数,∴当x ∈(0,+∞)时,f'(x )≥0恒成立.∴a ≥0,∴a ≥+a x 2‒2x 2x x 2+1.∵x>0,≥1.∴2x x 2+1=2x +1x ≤22=1.∴a 10.已知函数f (x )=(x 2-ax )e x ,a ∈R .(1)当a=0时,求函数f (x )的单调递增区间;(2)若f (x )在闭区间[-1,1]上为减函数,求a 的取值范围.当a=0时,f (x )=x 2e x ,f'(x )=2x e x +x 2e x =(x 2+2x )e x .由f'(x )>0,解得x>0或x<-2.故f (x )的单调递增区间为(0,+∞)和(-∞,-2).(2)由f (x )=(x 2-ax )e x ,x ∈R ,可知f'(x )=(2x-a )e x +(x 2-ax )e x =[x 2+(2-a )x-a ]e x .记g (x )=x 2+(2-a )x-a ,依题意,当x ∈[-1,1]时,g (x )≤0恒成立,结合g (x )的图象特征得{g (1)=3-2a ≤0,g (-1)=-1≤0,即a ≥a 的取值范围32,所以是[32,+∞).二、能力提升1.若函数y=x 3-ax 2+4在(0,2)内单调递减,则实数a 的取值范围为( )A.a ≥3B.a=3C.a ≤3D.0<a<33x 2-2ax ≤0在(0,2)内恒成立,即3x 2≤2ax ,a ≥a ≥3.3x 22x =3x 2,所以2.已知定义在R 上的函数f (x ),其导函数f'(x )的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是( )A.f (b )>f (c )>f (d )B.f (b )>f (a )>f (e )(b )>f (a ) D.f (c )>f (e )>f (d )x ∈(-∞,c )时,f'(x )>0;当x ∈(c ,e)时,f'(x )<0;当x ∈(e,+∞)时,f'(x )>0.因此,函数f (x )在(-∞,c )内是增函数,在(c ,e)内是减函数,在(e,+∞)内是增函数.又a<b<c ,所以f (c )>f (b )>f (a ).3.已知函数f (x )的定义域为R ,f (-1)=2,对任意x ∈R ,f'(x )>2,则f (x )>2x+4的解集为( )A.(-1,1)B.(-1,+∞)1) D.(-∞,+∞)f (x )>2x+4,得f (x )-2x>4.令g (x )=f (x )-2x ,则g'(x )=f'(x )-2>0,∴g (x )在R 上为增函数,又g (-1)=f (-1)+2=4,即g (x )>g (-1),∴x>-1,故选B .4.若函数y=‒43x 3+bx 有三个单调区间,则b 的取值范围是________________________.y=,则其导数y'=-4x 2+b=0有两个不相等的实根,‒43x 3+bx 有三个单调区间所以Δ=16b>0,即b>0.+∞)5.对于R 上可导的任意函数,若满足(x-1)f'(x )≥0,则f (0)+f (2)与2f (1)的大小关系是 .(x-1)f'(x )≥0,∴当x>1时,f'(x )≥0,∴f (2)≥f (1);当x<1时,f'(x )≤0,∴f (0)≥f (1).∴f (0)+f (2)≥2f (1).(0)+f (2)≥2f (1)★6.若函数f (x )=mx 2+ln x-2x 在定义域内是增函数,则实数m 的取值范围是 .(x )=2mx f (x )在其定义域(0,+∞)内为增函数,所以2mx ≥0+1x ‒2,因为函数+1x ‒2在(0,+∞)内恒成立,即2m ≥(0,+∞)内恒成立.‒1x 2+2x 在由于函数φ(x )=≤1,故只要2m ≥1即可,即m ≥‒1x 2+2x =‒(1x -1)2+112.[12,+∞)7.已知函数f (x )=x cos x-sin x ,x ∈(0,π).(1)判断函数f (x )的单调性;(2)判断函数g (x )∈(0,π)的单调性.=sin xx ,xf'(x )=cos x+(-x sin x )-cos x=-x sin x.∵x ∈(0,π),∴sin x>0,∴f'(x )<0,∴f (x )在(0,π)内是减函数.(2)由(1)知,当x ∈(0,π)时,f (x )<f (0)=0.∴g'(x )=x cos x -sin xx 2<0.∴g (x )在(0,π)内是减函数.★8.设f (x )=x (e x -1)-ax 2.(1)若a =12,求f (x )的单调区间;(2)若当x ≥0时,f (x )≥0,求a 的取值范围.当a ,f (x )=x (e x -1)=12时‒12x 2,f '(x )=e x ‒1+x e x ‒x =(e x ‒1)(x +1).当x ∈(-∞,-1)时,f'(x )>0;当x ∈(-1,0)时,f'(x )<0;当x ∈(0,+∞)时,f'(x )>0.故f (x )在(-∞,-1),(0,+∞)内单调递增,在(-1,0)内单调递减.(2)f (x )=x (e x -1-ax ),令g (x )=e x -1-ax ,则g'(x )=e x -a.若a ≤1,则当x ∈(0,+∞)时,g'(x )>0,g (x )为增函数,而g (0)=0,从而当x ≥0时,g (x )≥0,即f (x )≥0.若a>1,则当x∈(0,ln a)时,g'(x)<0,g(x)为减函数,而g(0)=0,从而当x∈(0,ln a)时,g(x)<0,即f(x)<0,不符合题意.综上可得,a的取值范围是(-∞,1].。

人教A版高中数学选修一高中选修1-1《§3.3.1函数的单调性与导数》测试题(文科)

（2）幂函数：1)'(-=n n nx x (Q n ∈)（3）三角函数：（4）对数函数的导数:1(ln ).x x '=1(log ).ln a x x a '= （5）指数函数的导数:().x x e e '=()ln (0,1).x x a a a a a '=>≠2、函数的单调性与其导数的正负有如下关系在某个区间(a ,b )内,如果________,那么函数()y f x =在这个区间内单调递增;如果()0f x '<,那么函数()y f x =在这个区间内单调________.如果恒有'()0f x =，则()f x 是________。

例题：利用单调性求单调区间1．判断下列函数的单调性,并求出单调区间:32(1) ()3; (2) ()23;f x x x f x x x =+=--(3) ()sin ,(0,); f x x x x π=-∈32(4) ()2324 1.f x x x x =+-+2：利用单调性判断函数图象如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器(sin )cos x x '=(cos )sin x x'=-中,请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象.一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.如图,函数()y f x =在(0,)b 或(,0)a 内的图象“陡峭”,在(,)b +∞或(,)a -∞内的图象平缓.检测题1判断下列函数的单调性,并求出单调区间:332(3) ()3; (4) ().f x x x f x x x x =-=--2.函数()y f x =的图象如图所示,试画出导函数'()y f x =图象的大致形状。

高二人教A版数学选修1-1同步练习3-3-1函数的单调性与导数-Word版含答案

3.3.1 函数的单一性与导数一、选择题1．设 f(x)＝ ax 3＋ bx 2＋ cx ＋d( a ＞ 0)，则 f(x) 为增函数的一个充足条件是 ( )A ． b 2－ 4ac ＞ 0B ． b ＞ 0， c ＞ 0C ．b ＝ 0， c ＞ 0D ． b 2－ 3ac ＞ 0[答案 ]C2．函数 f(x)＝ 2x 2－ lnx 的单一递加区间是 ()12A ．(0， 2)B ．(0， 4 )C ．( 1，＋∞ )D ． (－ 1，0)及(0，1)22 2[答案 ] C[分析 ]函数 f(x)的定义域为 (0，＋ ∞) ，11f ′ (x)＝4x － x ，令 f ′ (x)>0 ，得 x>2， ∴ 函数 f(x)在 1，＋ ∞ 上单一递加．23． (2009 ·东文，广 8)函数 f(x)＝ (x － 3)e x的单一递加区间是 ()A ． (－∞， 2)B ． (0,3)C ．(1,4)D ． (2，＋∞ )[答案 ] D[分析 ]考察导数的简单应用．f ′ (x)＝( x － 3)′e x ＋ (x － 3)(e x )′ ＝ (x － 2)e x ，令 f ′ (x)>0 ，解得 x>2，应选 D.4．函数 y ＝ xsinx ＋ cosx ， x ∈ (－ π，π)的单一增区间是()A. － π，－ π和 0， π22π 和 0， πB.－，022C. － π，－ π 和 π2 ， π2 π 和 πD.－，0， π2 2 [答案 ]A[分析 ]y ′ ＝ xcosx ，当－ π<x<－ π2时，cosx<0，∴y′＝ xcosx>0，π当－2<x<0 时， cosx>0，∴ y′＝ xcosx<0.π当 0<x<2时， cosx>0 ，∴ y′＝ xcosx>0.5．函数 f(x)＝ ax3－ x在 R 上为减函数，则 ()A ． a≤ 0B． a<11C．a<2D． a≤3[答案 ]A[分析 ]f′ (x)＝ 3ax2－ 1≤ 0 恒建立，即 a≤ 0.6．已知 a>0 ，函数 f(x)＝－ x3＋ ax 在[1，＋∞ )上是单一减函数，则 a 的最大值为 ()A ． 1B． 2C．3D． 4[答案 ]C[分析 ]f′ (x)＝－ 3x2＋ a≤ 0，∴ a≤ 3x2.∴a≤ 3.7．设 f(x)在 (a， b)内可导，则f′ (x)<0 是 f(x) 在(a，b)上单一递减的()A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件[答案 ]A8．若函数 y＝ x2－ 2bx＋ 6 在 (2,8)内是增函数，则 ()A ． b≤ 2B． b＜ 2C．b≥ 2D． b＞ 2[答案 ]A[分析 ]函数 y＝ x2－ 2bx＋6的对称轴为 x＝ b，要使函数在 (2,8)内是增函数，应有 b≤ 2建立．9． (2009·南文，湖7) 若函数y＝ f(x)的导函数在区间．．．[a， b]上是增函数，则函数y＝ f( x)在区间[a， b] 上的图象可能是()[答案]A[分析 ]考察导函数的基本观点及导数的几何意义．∵导函数 f′ (x)是增函数，∴ 切线的斜率跟着切点横坐标的增大，渐渐增大，应选 A.[评论 ] B 图中切线斜率渐渐减小， C 图中f′ (x)为常数， D 图中切线斜领先增大后减小．f(x)在定义域内可导，y＝ f(x)的图象如下图，则导函数y＝ f ′(x)的图象可10．设函数能为()[答案] D[分析 ]函数y＝ f(x)在区间 ( －∞， 0)上单一增，则导函数y＝ f′ (x)在区间 (－∞， 0)上函数值为正，清除 A 、C，原函数 y＝ f(x)在区间 (0，＋∞ )上先增，再减，最后再增，其导函数 y＝ f ′(x)在区间 (0，＋∞ )上函数值先正，再负，再正，清除B，应选 D.二、填空题11．函数 y＝ x3－x2－ x 的单一递加区间为 ________．1[答案 ](－∞，－3)， (1，＋∞ )[分析 ]∵ y′ ＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)，1∴由 y′>0 得， x>1 或 x<－3.12．若函数y＝ x3－ ax2＋4 在 (0,2)内单一递减，则实数 a 的取值范围是 ____________ ．[答案 ] [3，＋∞ )[分析 ] y′＝ 3x2－ 2ax，由题意知3x2－ 2ax≤ 0 在区间 (0,2)内恒建立，3即 a≥2x 在区间 (0,2)上恒建立，∴a≥ 3.13．若函数f(x)＝x3＋ x2＋mx＋1 是 R 上的单一函数，则m 的取值范围是 ________．1[答案 ]m≥3[分析 ]因为f(x)＝x3＋x2＋mx＋1在R上单一，因此 f ′(x)＝ 3x2＋ 2x＋ m，由题意可知1f(x)在 R 上只好递加，∴＝4－12m≤ 0.∴ m≥ 3.14．若函数 y＝－4x3＋ ax 有三个单一区间，则 a 的取值范围 ________．3[答案 ]a>0[分析 ]y′＝－ 4x 243＋ ax 有三个单一区间，则方程－2＋ a，若 y＝－3x4x＋ a＝ 0应有两个不等实根，故a>0.三、解答题bx15．议论函数f(x)＝x2－1(－ 1＜ x＜1， b≠ 0)的单一性．bx[分析 ]∵ f(x)＝(－ 1<x<1，b≠ 0)x2－ 1(bx) ′(x2－ 1)－ bx( x2－ 1)′∴ f′ (x)＝( x2－ 1)2bx2－ b－2bx2－ b(1＋ x2)＝＝(x2－ 1)2(x2－ 1)2∵ － 1<x<1，∴ 1－ x2 >0， (x2－ 1)2 >0，①当 b>0 时， f′ (x)<0 ，∴函数 f(x)在 (－ 1,1)上单一递减．②当 b<0 时， f′ (x)>0 ，∴函数 f(x)在 (－ 1,1)上单一递加．16．已知曲线y＝x3＋ 3x2＋6x－ 10，点 P(x， y)在该曲线上挪动，在P 点处的切线设为l.(1)求证：此函数在R 上单一递加；(2)求 l 的斜率的范围．[分析 ](1)证明： y′＝ 3x2＋ 6x＋ 6＝ 3(x2＋ 2x＋1) ＋3＝ 3(x＋ 1)2＋ 3>0 恒建立，∴此函数在 R 上递加．(2)解：由 (1) 知 f′ (x)＝ 3(x＋ 1)2＋ 3≥ 3，∴ l 的斜率的范围是k≥ 3.17．已知向量a＝( x2，x＋1)，b＝ (1－ x，t)，若函数 f(x)＝ a·b 在区间 (－ 1,1)上是增函数，求 t 的取值范围．[分析 ]f( x)＝ a·b＝ x2(1－x)＋ t(x＋ 1)＝－ x3＋x2＋tx＋tf′ (x)＝－ 3x2＋ 2x＋ t∵函数 f(x)在 (－ 1,1)上是增函数∴f′ (x)≥ 0 对 x∈ (－ 1,1)恒建立∴－ 3x2＋ 2x＋ t≥ 0 在 (－ 1,1)上恒建立即 t≥ 3x2－ 2x 在(－1,1)上恒建立令 g(x)＝ 3x2－ 2，x∈(－ 1,1)∴ g(x)∈ (－1， 5)3故要使 t ≥3x2－ 2x 在区间 ( －1,1)上恒建立，只要t≥ 5即：所求 t 的取值范围为： t≥ 518．设函数 f(x)＝( ax2－ bx) e x(e 为自然对数的底数)的图象与直线ex＋ y＝ 0 相切于点 A，且点 A 的横坐标为 1.(1)求 a， b 的值；(2)求函数 f(x)的单一区间，并指出在每个区间上的增减性．x x[分析 ] (1)f′ (x)＝ (2ax－b)e＋ (ax2－ bx) ·e＝ [ax2＋ (2a－ b)x－ b]e x，因为 f(x)的图象与直线ex＋y＝ 0 相切于点 A，点 A 的横坐标为1，则 A(1，－ e)，因此f(1)＝－ ef′ (1)＝－ e 即(a－ b)e＝－ e(3a－ 2b)e＝－ e，解得a＝ 1， b＝2.(2)由 a＝ 1， b＝ 2 得 f(x)＝ (x2－2x)e x，定义域为 (－∞，＋∞ )．f′ (x)＝( x2－ 2)e x＝ (x－ 2)(x＋2)e x，令 f′ (x)>0 ，解得 x<－ 2或 x> 2.令 f′ (x)<0 ，解得－ 2< x< 2.故函数 f(x)在区间 (－∞，－2) 和( 2，＋∞ )上分别单一递加，在区间(－2，2)上单调递减．。