枣一-高二文-导数几何意义(1)
导数的几何意义是什么
导数的几何意义是什么导数作为微积分中的重要概念，不仅在数学理论研究中有着重要地位，还在实际问题的求解中起到了至关重要的作用。
导数的几何意义是指在几何上，导数代表了函数曲线在某一点处的切线斜率。
它使我们能够通过函数图像来理解函数的变化规律及其在特定点的切线性质。
本文将重点论述导数的几何意义以及相应的应用。
一、导数的定义及计算在开始讨论导数的几何意义之前，我们首先来回顾一下导数的定义及计算方法。
对于函数y=f(x)，在点x处的导数可以通过下式计算得出：f'(x) = lim(h->0) [(f(x+h) - f(x))/h]根据这一定义，我们可以求得函数在任意一点处的导数值。
导数的计算可以采用一些常用的方法，如基本函数求导法则、链式法则、乘积法则和商法则等。
二、导数的几何意义1. 切线斜率导数的最直观的几何意义就是切线斜率。
当我们计算出函数在某一点的导数后，这个导数值便代表了函数曲线在该点处的切线斜率。
对于一个凸函数而言，导数可以告诉我们曲线在该点是上升还是下降，以及上升或下降的速度有多快。
2. 极值点导数在几何中还有一个重要的意义是寻找函数的极值点。
当函数在某一点的导数为0时，这一点可能是函数的极大值点或极小值点。
通过求导，我们可以找到函数在哪些点处可能存在极值，并进一步帮助我们寻找函数图像上的极值点，从而得出函数的极值。
3. 凹凸性函数图像的凹凸性也可以通过导数来判断。
当函数的导数在某一区间内始终大于0时，函数图像在该区间内是上凸的；而当导数在某一区间内始终小于0时，函数图像在该区间内是下凸的。
这种通过导数判断凹凸性的方法在优化问题中具有重要应用。
三、导数的应用导数的几何意义不仅在数学理论研究中起到关键作用，也在实际问题的求解中发挥了巨大的作用。
1. 最优化问题在经济学、物理学等领域中，最优化问题是非常常见的。
通过求解函数的导数，我们可以确定函数的最大值和最小值，从而帮助解决各种最优化问题。
导数的几何意义
导数的几何意义导数是微积分中的一个重要概念，它表示了函数的变化率。
导数的几何意义可以从两个方面来理解：一是导数代表的是函数曲线在其中一点的切线斜率，二是导数代表的是函数曲线在其中一点的局部线性逼近。
首先，我们来看导数代表的是函数曲线在其中一点的切线斜率。
对于一条曲线上的任意一点P(x,y)，求该点处的导数，即可得到曲线在该点的切线斜率。
具体来说，如果一个函数f(x)在特定点x0处可导，那么它在该点的导数f'(x0)就是该点处曲线的切线斜率。
换言之，导数给出了函数在任意一点的变化速率。
对于单调递增的函数而言，导数始终为正；而对于单调递减的函数而言，导数始终为负。
当导数为零时，函数在该点处可能存在极值。
其次，导数代表的是函数曲线在其中一点的局部线性逼近。
这可以通过导数定义中的极限来理解。
如果在其中一点x0处，函数f(x)的导数存在，那么可以用一个线性函数y=kx+b来近似描述原函数在该点的附近情况。
其中k为导数f'(x0)，b为函数曲线在该点处的切线与y轴的交点（截距）。
这个线性函数就称为原函数在x0附近的局部线性逼近。
这种线性逼近的好处是使得函数在其中一点的局部性质更加直观可见。
通过这两个几何意义的理解，我们可以得出导数在几何上的重要性。
首先，导数可以帮助我们了解函数在特定点的斜率，从而判断函数局部的增减变化规律，甚至找到函数的极值点，这对于解决很多实际问题具有重要意义。
其次，导数能够提供函数在其中一点附近的线性逼近，使得我们能够直观地了解函数的局部情况，进而推断函数在整个定义域上的特性。
这对于研究函数的全局性质也是至关重要的。
除了以上的几何意义，导数还有一些重要的应用。
例如，在物理学中，速度的导数就是加速度，加速度的导数就是速度的变化率。
在经济学中，导数可以表示商品的边际效用，即单位商品消费增加所带来的满足感的变化。
在工程学中，导数可以用来优化控制系统设计，通过最小化出错率来提高系统的性能。
导数的几何意义与应用
导数的几何意义与应用导数是微积分中的重要概念，它具有丰富的几何意义和广泛的应用。
本文将详细阐述导数的几何意义以及在实际问题中的应用。
一、导数的几何意义导数的几何意义是切线的斜率。
考虑函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)，这个导数值代表函数曲线在该点处的斜率。
换言之，导数告诉我们曲线在特定点的变化速率。
如果导数为正，表示曲线在该点处是上升的；如果导数为负，表示曲线在该点处是下降的；如果导数为零，表示曲线在该点处有极值（最大值或最小值）。
基于这个几何意义，我们可以通过导数来研究曲线的特性。
例如，我们可以通过导数的正负来确定函数的增减性，也可以通过导数的零点来确定函数的极值点。
此外，导数还可以帮助我们理解曲线的弯曲程度。
曲线的弯曲程度与导数的变化率有关，较大的导数变化率表示曲线弯曲较陡峭，较小的导数变化率表示曲线弯曲相对平缓。
二、导数的应用1. 线性逼近导数的几何意义使得它在线性逼近问题中非常有用。
我们可以利用导数来构造一个称为切线的线性函数，用来近似曲线在该点的行为。
这种线性逼近方法在很多实际问题中被广泛应用。
例如，当我们需要确定一条曲线在某点的近似切线时，可以使用导数来计算该点处的切线斜率，并进一步确定切线方程。
2. 最优化问题导数在最优化问题中有重要的应用。
最优化问题涉及如何找到一个函数的最大值或最小值。
通过对函数求导，我们可以找到导数为零的点，即函数的极值点。
进一步分析导数的符号，可以确定函数的最大值或最小值。
这一方法在经济学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
3. 运动学问题导数在运动学中也有广泛的应用。
例如，我们可以通过对位移函数求导来得到速度函数，通过对速度函数再次求导得到加速度函数。
这种将导数应用于运动学问题的方法使得我们能够研究物体的速度和加速度变化。
这在物理学和工程学中对于研究物体的运动非常有用。
4. 统计学在统计学中，导数被用于估计和分析数据。
例如，在回归分析中，我们可以通过对观测数据进行拟合来得到一个最佳的函数。
导数的几何意义是什么
导数的几何意义是什么还不清楚导数的几何意义是什么的小伙伴赶紧来瞧瞧吧！下面由小编为你精心准备了“导数的几何意义是什么”，本文仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的知识点！导数的几何意义是什么导数的几何意义指的就是在曲线上点的切线的斜率。
对于一元函数，某一点的导数就是平面图形上某一点的切线斜率；对于二元函数而言，某一点的导数就是空间图形上某一点的切线斜率。
拓展阅读：导数意义1、导数可以用来求单调性；2、导数可以用来求极值；3、导数可以用来求切线的解析式等。
常见的导数公式有：y=f（x）=c（c为常数），则f＇（x）=0；f（x）=x^n（n不等于0），f＇（x）=nx^（n-1）（x^n表示x的n次方）；f（x）=sinxf＇（x）=cosx；f（x）=cosxf＇（x）=-sinx；f（x）=a^x，f＇（x）=a^xlna（a>0且a不等于1，x>0）；f（x）=e^x，f＇（x）=e^x；f（x）=logaX，f＇（x）=1/xlna（a>0且a不等于1，x>0）；f（x）=lnx，f＇（x）=1/x（x>0）；f（x）=tanx，f＇（x）=1/cos^2x；f（x）=cotx，f＇（x）=-1/sin^2x；不是所有的函数都可以求导；可导的函数一定连续，但连续的函数不一定可导（如y=|x|在y=0处不可导）。
导数是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f＇（x0）或df（x0）/dx。
导数与微分的区别导数用来表示f（x）在某点的斜率，而微分表示的是在切线上的增量。
导数的四则运算法则（1）[u（x）±v（x）]＇=u＇（x）±v＇（x）；（2）[u（x）*v（x）]＇=u＇（x）v（x）+u（x）v＇（x）；（3）[Cu（x）]＇=Cu＇（x）（C为常数）；（4）[u（x）/v（x）]＇=[u＇（x）v（x）-u（x）v＇（x）]/v 平方（x）（v（x）≠0）。
导数的几何意义解析与归纳
导数的几何意义解析与归纳导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在几何学中也有着重要的几何意义。
本文将对导数的几何意义进行解析与归纳，以帮助读者更好地理解这一概念。
1. 导数的定义与几何意义首先，我们来回顾一下导数的定义。
对于函数f(x)，在点x处的导数可以通过以下极限来定义：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h直观上，这个定义可以理解为函数f(x)在点x处的切线的斜率。
这意味着导数可以描述函数在某一点的变化趋势。
2. 导数与函数的递增与递减性根据导数的定义，我们可以得出以下结论：如果函数f(x)在某个区间内的导数大于零，那么函数在该区间内是递增的；如果导数小于零，那么函数是递减的。
这是因为导数描述了函数的变化率，正值表示函数在该点上升，负值表示函数在该点下降。
3. 导数与函数的极值点导数还可以帮助我们找到函数的极值点。
如果函数f(x)在某一点x处的导数为零，那么这个点可能是一个极值点。
具体而言，如果导数由正变负，那么这个点是极大值点；如果导数由负变正，那么这个点是极小值点。
这是因为导数为零表示函数的变化率为零，也就是函数在该点存在水平切线，可能对应着极值点。
4. 导数与函数的拐点除了极值点，导数还能帮助我们找到函数的拐点。
拐点是函数曲线由凸变凹或由凹变凸的点。
我们可以通过导数的变化来判断函数的拐点。
如果函数f(x)在某一点x处的导数由正变负或由负变正，那么这个点可能是一个拐点。
5. 导数与函数的图像在坐标平面上，函数的导数可以帮助我们画出函数的图像。
我们可以通过导数的正负性来确定函数曲线的大致形状。
例如，如果导数在某一区间内始终为正，则函数在该区间上是递增的，曲线会向上凸起；如果导数在某一区间内始终为负，则函数在该区间上是递减的，曲线会向下凸起。
同样地，我们还可以根据导数为零或无定义的点来确定函数图像的特殊点，如极值点、拐点等。
导数的几何意义
导数的几何意义篇一：导数几何意义1.1.3导数的几何意义教材分析本节内容选自数学人教A版选修2-2第1章“导数及其应用”第1.1.3“导数的几何意义”第一课时.导数是微积分的核心概念之一，它为研究函数提供了有效的方法.教材从形和数的角度即割线入手，用形象直观的“逼近”方法定义了切线，获得导数的几何意义，学生通过观察、思考、发现、归纳、运用，形成完整的概念，有利于学生对知识的理解和掌握.通过本节的学习，可以帮助学生进一步理解导数的定义，并更好的体会导数是研究函数的单调性、求解函数的极值和最值，探讨函数值变化快慢等性质最有效的工具.课时分配本节内容用1课时完成，主要讲解导数的几何意义，让学生知道函数在某一点处的导数就是在这一点处切线的斜率，为求函数在某点处的切线方程提供条件.教学目标重点：理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义，体会数形结合、以直代曲的思想方法.难点：对导数几何意义的理解，在某点处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解．知识点：深刻理解导数的几何意义以及对曲线切线方程的求解.能力点：理解导数的几何意义，掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法.教育点：让学生在观察，思考，发现中学习，启发学生研究问题时，抓住问题本质，严谨细致思考，规范得出解答.自主探究点：“以直代曲”的数学思想方法.考试点：求曲线的切线方程.易错易混点：在学习过程中感受逼近的思想方法，了解“以直代曲”的数学思想方法.拓展点：求曲线的切线方程.教具准备：多媒体课件. 课堂模式：基于问题驱动的探究式教学模式.一.创设情境师：初中平面几何中圆的切线是怎么定义的？生：直线和圆有唯一公共点时，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点．师：曲线在点处的切线能用直线与切线的公共点个数来定义吗？你能否用你已经学过的函数曲线的切线举出反例？生：正弦函数的曲线与直线可能相切时有两个公共点，有时还可能有多个公共点．师：圆是一种特殊的曲线，这种定义并不适用于一般曲线的切线．如图曲线然与曲线公共点有惟一公共点，但它与曲线和，但与曲线相切于点不相切；而另一条直线，直线虽，虽然与曲线有两个．因此，直线与曲线的公共点的个数不能用来定义一般曲线的切线，我们必须用新的方法来定义曲线的切线．【设计意图】引导学生归纳总结曲线在点处切线与曲线可以有不止1个公共点.直线与曲线只有一个公共点时，也不一定是曲线的切线.概念的辨析有助于学生准确理解概念，避免了学习的负向迁移.通过普通曲线的切线与圆的切线对比，使学生认识到曲线的切线不能以直线与曲线的交点个数决定.由此提出：如何定义曲线上某点的切线呢？激发学生的求知欲望，进入对重点内容的探索.二．探究新知师：如图，当点的变化趋势是什么？没着曲线趋近点时，割线（2）图（1）图（4）图图（3）图生：点师：趋近于点时，割线趋近于确定的位置.为曲线的切线【设计意图】尤其第五幅图通过课件演示割线的动态变化趋势，为学生观察、思考提供平台，引导学生共同分析，直观获得切线定义.通过逼近方法，将割线趋于确定位置的直线定义为切线，使学生体会这种定义适用于各种曲线，反映了切线的直观本质.三.理解新知师：割线的斜率与切线的斜率有什么关系呢？割线当点的斜率是：（板书）无限趋近于点在时，无限趋近于切线．的斜率．再次通过教师逐步的引导得出函数处导数就是切线的斜率.（教师重复定义，并板书）．即.教师引导学生观察：在点，??．过点可以用过点的附近，最贴近比更接近曲线，比更接近曲线的附近，曲线的切线的切线附近的曲线．因此，在点近似代替．【设计意图】要求学生能数形结合，将切线斜率和导数相联系，观察、思考获得导数的几何意义.“以直代曲”的数学思想方法，是微积分学中的重要思想方法．四．运用新知例1．如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数图形体现导数，的几何意义.的图象.用生：运动员在大约动员在时的瞬时速度为，这说明运动员在时的瞬时速度为的速率上升.附近，正以，这说明运的速率下落；运动员在附近，正以大约在在师：根据图像描述、比较曲线请运用导数的几何意义，描述附近呢？附近增（减）以及增（减）快慢的情况.附近增（减）以及增（减）快慢的情况.在生：作出曲线在这些点处的切线，⑴在处切线平行于轴，即，说明在时刻附近变化率为0，函数几乎没有增减；在，函数在点附近单调递减.曲线在是因为⑵当数⑶当函数在时，曲线.在处的切线的斜率作出切线，切线呈下降趋势，即附近比在附近下降得更快，则．∴在附近曲线上升，即函附近单调递增．时，曲线在处的切线的斜率．∴在附近曲线下降，即在附近也单调递减．师：如何用导数研究函数的增减？（先由学生交流讨论，学生回答后，教师再归纳结论）结论：根据导数的几何意义，当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线是上升的，即函数在这点附近是单调递增；。
导数的几何意义是什么呢
导数的几何意义是什么呢导数的几何意义是什么呢，出社会的同学还记得吗，如果没印象了，请来小编这里瞧瞧。
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导数的几何意义是什么呢导数的几何意义指的就是在曲线上点的切线的斜率。
对于一元函数，某一点的导数就是平面图形上某一点的切线斜率;对于二元函数而言，某一点的导数就是空间图形上某一点的切线斜率。
导数意义：1、导数可以用来求单调性;2、导数可以用来求极值;3、导数可以用来求切线的解析式等。
拓展阅读：导数的概念及其几何意义导数的概念是函数增量的极限，导数的几何意义是函数所有切线的斜率所构成的函数。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
然而，可导的函数一定连续;不连续的函数一定不可导。
高中数学导数公式1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2。
导数的几何意义和物理意义
导数的几何意义和物理意义导数是微积分中一项重要的概念。
它可以描述函数在某一点上的变化率，以及函数在该点上的切线斜率。
导数不仅在数学领域中有着广泛的应用，同时也在几何学和物理学中具有重要的意义。
本文将探讨导数的几何意义和物理意义，并解释它们在现实世界中的具体应用。
一、导数的几何意义在几何学中，导数可以解释为函数图像在某一点的切线斜率。
当我们研究函数图像的形状和特征时，导数可以帮助我们理解函数在不同点上的变化趋势和曲线的曲率。
1. 切线斜率：对于函数f(x)，它在某一点x=a处的导数f'(a)代表了函数图像在该点上的切线斜率。
切线斜率可以告诉我们函数在该点上是递增还是递减，并且可以用来寻找曲线上的最高点或最低点。
通过计算导数，我们可以获得函数在某一点上的局部变化率信息。
2. 切线和曲率：导数还可以描述函数在某一点上的曲线特征，如弯曲和曲率半径。
具体而言，导数的正负性可以告诉我们函数图像在该点上是凸还是凹，以及变化的速度和方向。
这有助于我们更好地理解函数的形状和变化趋势。
二、导数的物理意义导数在物理学中也有着广泛的应用。
它可以描述物理量之间的关系及其变化率，从而帮助我们理解和解释各种物理现象。
1. 速度和加速度：导数可以解释物体在运动过程中的速度和加速度。
对于物体的位移函数，它的导函数就是速度函数，而速度函数的导函数则是加速度函数。
通过计算导数，我们可以获得物体运动的速度和加速度的具体数值。
这在运动学中有着广泛的应用。
2. 斜率和变化率：导数还可以解释函数关系中的斜率和变化率。
在物理学中，我们经常遇到各种变化率的概念，如功率、流量和速率等。
通过计算导数，我们可以获得这些物理量的具体数值，并了解它们的变化规律。
3. 最优化问题：导数在物理学中还可以用来解决最优化问题。
例如，在力学中，我们希望找到一条曲线，使得物体的作用量或路径在满足一定条件下达到最小值或最大值。
通过计算导数，我们可以找到该曲线上的极值点，从而解决这类问题。
导数的几何意义和物理意义
导数的几何意义和物理意义导数是微积分学中的重要概念，它具有丰富的几何意义和物理意义。
本文将分别从几何和物理两个角度，详细探讨导数的几何意义和物理意义。
一、导数的几何意义导数在几何中有着重要的意义。
在几何上，导数表示了函数曲线在某一点上的切线斜率。
具体来说，对于函数f(x)，如果在点x=a处存在导数，那么导数f'(a)就是函数曲线在该点上的切线的斜率。
切线斜率的意义在于它反映了函数曲线的变化速率。
当函数的导数为正时，表示函数在该点上递增；当函数的导数为负时，表示函数在该点上递减；而导数等于零时，表示函数在该点上取得极值。
利用导数，我们可以精确地描述函数曲线的变化趋势。
此外，导数还可以用来计算函数曲线在某一点的局部变化率。
例如，当我们求解速度函数的导数时，得到的导数表示了物体在该时刻的瞬时加速度。
这就引出了导数在物理意义方面的应用。
二、导数的物理意义导数在物理学中有着广泛的应用，其中最为常见的是它对位移、速度和加速度的描述。
1. 位移：对于一维运动而言，物体在某一时刻的位移可以表示为位移函数的导数。
例如，当我们求解位移函数的导数时，得到的导数就表示了物体在该时刻的瞬时速度。
2. 速度：速度是指物体在单位时间内所改变的位移，它是位移关于时间的导数。
具体而言，速度函数的导数表示了物体在某一时刻的瞬时加速度。
3. 加速度：加速度是指物体在单位时间内所改变的速度，它是速度关于时间的导数。
当我们求解速度函数的导数时，得到的导数表示了物体在该时刻的瞬时加速度。
通过上述例子可以看出，导数在物理学中的应用十分广泛。
它不仅可以描述物体的运动状态，还可以帮助我们分析运动规律，解决各种与运动相关的问题。
结论综上所述，导数具有重要的几何意义和物理意义。
从几何上看，导数表示了函数曲线在某一点上的切线斜率，反映了函数曲线的变化速率；从物理上看，导数用于描述位移、速度和加速度等与运动相关的概念。
通过对导数的研究和应用，我们可以深入理解函数的特性和物体的运动规律，为实际问题的解决提供了有力的工具和方法。
导数的几何意义
导数的几何意义导数，这个看似抽象的数学概念，实际上具有非常具体的几何意义。
了解导数的几何意义，对于我们理解函数的变化趋势、速度以及切线的斜率等问题具有极大的帮助。
让我们了解一下导数的基本定义。
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的斜率。
在几何上，斜率是描述直线与x轴夹角的一种方式，它表示直线上升或下降的速度。
因此，导数的几何意义可以看作是函数图像在某一点的切线斜率。
然而，导数并不仅仅表示斜率。
它还可以描述函数在某一点的变化趋势。
例如，如果一个函数在某一点的导数为正，那么函数在该点附近的图像将向上倾斜，表明函数值将增加；反之，如果导数为负，函数值将减少。
导数还可以用来解决实际生活中的问题。
例如，我们可以使用导数来研究物体的运动规律。
在物理学中，速度是位移对时间的导数，加速度则是速度对时间的导数。
通过研究物体的加速度和速度的变化，我们可以预测物体的运动轨迹。
导数是数学中一个非常重要的概念，它具有丰富的几何意义。
通过理解导数的几何意义，我们可以更好地理解函数的变化趋势、速度以及切线的斜率等问题，从而更好地解决实际生活中的问题。
HPM视角下“导数几何意义”的教学一、引言在数学教学过程中，如何帮助学生理解导数的几何意义是教师面临的一个重要任务。
HPM（History and Problem of Mathematics，数学的历史与问题）视角为这一任务提供了新的思路和方法。
本文旨在探讨如何利用HPM视角来优化“导数几何意义”的教学。
二、HPM视角下的导数教学1、追溯历史：从微积分的发展史中，我们可以看到导数的出现是数学发展的必然结果。
教师可以通过讲述微积分的历史背景，帮助学生理解导数的重要性和必要性。
2、问题导向：通过提出与导数相关的问题，如“导数描述了什么现象？”、“导数在几何上的表现是什么？”等，引导学生主动思考，探索问题的答案。
3、几何解释：导数的几何意义在于描述函数在某一点处的切线斜率。
教师可以通过绘制函数图像，帮助学生直观地理解这一点。
导数的几何意义及常用函数的导数
上.如果已知点在曲线上,则以该点为切点的切线方程为
－()＝′()(－)；若已知点不在切线上,则设出切
点(, ()),表示出切线方程,然后求出切点.
学习目标
常见函数的导数
1.掌握常见函数的导数公式.
2.灵活运用公式求某些函数的导数.
要点二
利用导数公式求函数的导数
= ;
解
′＝(－)′＝－－；
=
解
′
=
;
′
=
′
=
−
()＝log.
解
′ = ′ =
;
=
;
跟踪演练
跟踪演练2 求下列函数的导数：
= ; = () ;
3.对于正弦、余弦函数的导数,一是注意函数名称的变化,
二是注意函数符号的变化.
下节课再见 谢谢！
两点,求与直线平行的曲线＝的切线方程.
解
∵ ′＝()′＝,设切点为(, ),
则′|＝＝,
−
又∵的斜率为 = +=1,而切线平行于
∴ = = ,即 = ,
所以切点为
,
.
∴所求的切线方程为 − = − ,即 − − = .
fx0＋Δx－fx0
＝f′(x0),物理意义是运动
Δx
物体在某一时刻的瞬时速度.
的斜率,即 k＝Δx
lim
→0
课堂小结
2.“ 函 数 () 在 点 处 的 导 数 ” 是 一 个 数 值 , 不 是 变
导数的几何意义是什么
导数的几何意义是什么导数是微积分中的一个重要概念，它不仅在数学中有着重要的作用，同时也具有丰富的几何意义。
本文将探讨导数的几何意义，并从几何的角度解释导数的概念及其应用。
一、导数的定义及其几何意义导数可以用极限的方法定义为函数在某一点处的斜率。
具体来说，对于函数f(x)，如果在点x处的导数存在，则导数可以表示为：f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)] / h从几何的角度来解释，导数代表了函数在该点处的切线斜率。
函数的图像在任意一点处的斜率可以用导数来计算。
二、导数与函数图像之间的关系1. 导数与函数的增减性给定一个函数f(x)，如果在某一区间内导数为正，说明函数在该区间内是递增的；若导数为负，则函数在该区间内是递减的。
当导数为零时，函数存在极值点。
2. 导数与函数的凸凹性函数的图像在某一点处凸起（开口向上）时，该点的导数为正；反之，函数在某一点处凹陷（开口向下），该点的导数为负。
3. 导数与函数的位置和曲线的切线通过导数的值和符号，可以确定函数图像在某一点的位置和该点处的切线的斜率。
当导数为零时，函数图像相对于x轴达到极值，切线斜率为零；当导数不存在时，函数图像在该点处出现尖点或间断，不存在切线。
三、导数的应用场景1. 切线方程导数可以帮助我们确定函数图像上任意一点处的切线方程。
通过求解导数，可以得到切线的斜率，再结合给定点的坐标，可以得到切线的方程。
2. 曲线的拐点导数的零点可以帮助我们找到函数图像上的拐点。
当导数在某一点处从正变为负或者从负变为正时，说明函数图像在该点存在拐点。
3. 函数的极值问题通过求导数，我们可以得到函数的极值点。
导数为零的点可能是函数的极大值点或者极小值点，通过二阶导数的符号可以帮助我们判断。
四、总结导数在几何中的意义非常重要，它不仅可以帮助我们理解函数图像的性质，还可以应用于求解切线方程、拐点和极值等问题。
通过几何的角度理解导数，我们可以更深入地掌握微积分知识，并将其应用于实际问题解决中。
导数的几何意义与像解析
导数的几何意义与像解析导数是微积分中的重要概念之一，它不仅在数学中有着重要的应用，也在几何学中具有重要的意义。
本文将探讨导数的几何意义以及如何通过像解析来理解导数。
一、导数的几何意义导数可以理解为函数在某一点上的斜率或者切线的斜率。
具体而言，函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)表示了函数在该点处的切线的斜率。
通过几何意义来理解导数，我们可以将导数看作是函数曲线在某一点处的切线的斜率。
这表示了函数在该点的变化率，即函数在该点附近的局部斜率。
当导数为正时，表示函数逐渐增加；当导数为负时，表示函数逐渐减少；当导数为零时，表示函数的变化趋于平缓。
例如，考虑函数f(x) = x^2，在x=1处的导数f'(1)为2。
这意味着函数在x=1处的切线的斜率为2，即切线与x轴的夹角为45度。
可以想象，随着x的增加，函数的值以一个较大的斜率逐渐增加。
二、像解析像解析是一种将几何图形转化为代数表达式的方法，通过像解析，我们可以将几何问题转化为代数问题，从而更好地理解导数的几何意义。
像解析的主要思想是将几何图形中的点的坐标表示为代数形式。
在几何问题中，点的坐标通常采用(x, y)表示，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
而在导数的几何意义中，我们需要将点的坐标表示为函数的表达式。
举例说明，考虑函数f(x) = x^2，在点x=a处的导数f'(a)表示函数在该点处的切线的斜率。
通过像解析，我们可以将切线的斜率表示为函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)的表达式。
具体操作如下：首先，我们需要计算导数f'(x)的表达式，对于函数f(x) = x^2，导数f'(x) = 2x。
然后，将x的值替换为a，即得到导数f'(a)的表达式，即f'(a) = 2a。
因此，函数f(x) = x^2在点x=a处的切线的斜率为2a。
像解析的方法可以帮助我们更好地理解导数的几何意义，将几何问题转化为代数问题，从而更加灵活地应用导数的概念。
导数的几何意义
导数的几何意义导数是微积分中重要的概念之一，它在数学和物理领域中有着广泛的应用。
导数的几何意义是指导数在几何学中的解释和应用。
本文将从几何的角度解释导数的意义，并探讨它在几何领域中的应用。
一、导数的定义在探讨导数的几何意义之前，我们首先来回顾一下导数的定义。
在微积分中，导数代表了函数在某一点上的变化率。
对于函数 f(x)，它的导数可以表示为 f'(x)或者 dy/dx。
导数的定义是函数在某一点上的极限值，即：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)] / h这个定义告诉我们，导数是函数在某一点上的瞬时变化率。
接下来，我们将从几何的角度来解释导数的几何意义。
二、几何上，导数可以理解为函数曲线在某一点上的切线斜率。
具体来说，如果函数 f(x) 在点 P 上的导数为 f'(x)，那么这意味着函数曲线在点 P 上的切线的斜率为 f'(x)。
根据这一几何意义，我们可以得出一些结论。
首先，如果函数在某一点上导数为正，那么函数曲线在该点上是向上的；如果导数为负，曲线则向下。
其次，导数为零的点则代表函数曲线上的极值点，可能是极大值或者极小值。
最后，如果导数不存在，意味着函数曲线在该点上有垂直切线。
三、导数的应用导数的几何意义不仅仅是理论上的解释，它在几何领域中有着广泛的应用。
以下是一些导数的具体应用示例：1. 曲线的切线和法线：通过导数可以得出函数曲线在某点上的切线斜率，从而求得切线方程。
同时，切线的斜率的相反数就是法线的斜率，可以进一步求得法线方程。
2. 极值点与拐点：导数为零的点代表函数曲线上的可能极值点，通过求解导函数为零的方程可以找到极值点。
同时，通过导数的变化情况可以判断函数曲线上的拐点。
3. 函数图形的草图绘制：通过分析导数的正负和零点，可以画出函数图形的大致形态，包括增减性、极值和拐点等信息。
4. 空间曲面的切平面：对于二元函数，通过求偏导数可以得到切平面的方程，从而进一步研究空间曲面的性质。
高二数学导数的几何意义1
y
M
求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤:先利用切线斜率 的定义求出切线的斜率,然后 利用点斜式求切线方程.
j
x
-1 O
1
1 3 8 y x 上一点 P ( 2, ) 练习:如图已知曲线 3 3 ,求 : (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
1 1 3 3 ( x x ) x 1 3 y 3 解： (1) y x , y lim lim 3 x 0 x x 0 y 3 x 1 y x 3 4 1 3 x 2 x 3 x ( x ) 2 ( x ) 3 lim 3 3 x 0 x 2 1 2 2 2 lim[3 x 3 xx ( x ) ] x . 1 3 x 0
(1)求函数的增量 y f ( x0 x ) f ( x0 );
f ( x 0 x ) f ( x0 ) y (2)求平均变化率 ; x x y (3)取极限，得导数 f ( x0 ) lim . x 0 x 注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择 哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.
y f ( x x ) f ( x ) f ( x ) y lim lim x 0 x x 0 x 在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
函数y f ( x )在点x0处的导数f ( x0 ) 等于函数f ( x )的导(函)数f ( x )在点x0处的 函数值.0Fra bibliotek小结:
d.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
高二数学导数的几何意义1
2.2.2 导数的几何意义教学过程： 复习引入 1．函数的导数值函数y ＝f (x )，如果自变量x 在x 0处有增量∆x ，则函数y 相应地有增量 ∆y ＝f (x 0＋∆x )－f (x 0)．比值xy∆∆就叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋∆x 之间的平均变化率，即.)()(00xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆ 如果当Δx →0时，xy∆∆有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处可导，并把这个极限叫做f (x )在x 0处的导数(或变化率) 记作f '(x 0) 或0x x y'=，即 f '(x 0)＝x yx ∆∆→∆lim =xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000 2．函数 y ＝f (x ) 的导函数如果函数在开区间(a , b)内每点处都有导数，对于每一个x 0∈(a ，b )，都对应着一个确定的导数f '(x 0)．从而构成一个新的函数f '(x )．称这个函数为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数．简称导数．也可记作y '．.)()(lim lim')(' 00xx f x x f x y y x f x x ∆-∆+=∆∆==→∆→∆即 3．导数的几何意义函数y ＝f (x ) 在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P （x 0, f (x 0)）处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P （x 0, f (x 0)）处的切线的斜率是f '(x 0)．切线方程为 y －y 0＝f '(x 0) (x 0－x 0)． 练习：1．当自变量从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ A ）A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的导数D ．在区间[x 0，x 1]上的导数2．下列说法正确的是（ C ）A ．若f ′ (x 0)不存在，则曲线y = f (x )在点(x 0, f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y = f (x )在点(x 0, f (x 0))处有切线，则f ′ (x 0)必存在C ．若f ′ (x 0)不存在，则曲线y = f (x )在点(x 0, f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y = f (x )在点(x 0, f (x 0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线 3．已知曲线，上一点)38,2(313P x y =求⑴ 点P 处的切线的斜率；⑵ 点P 处的切线的方程．解：⑴,313x y = x y y x ∆∆='∴→∆0lim xx x x x ∆-∆+=→∆33031)(31limxx x x x x x ∆∆+∆+∆=→∆3220)()(33lim 31 ])(33[lim 31220x x x x x ∆+∆+=→∆,2x =.4222=='=x y ∴点P 处的切线的斜率等于4．⑵在点P 处的切线的方程是),2(438-=-x y 即.016312=--y x 新课讲授： 例1． 教材例2。
枣一-高二文-导数几何意义
3.1.3导数的几何意义枣庄一中 苏增传一、教学目标重点：理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义，体会数形结合、以直代曲的思想方法. 难点：发现、理解及应用导数的几何意义．知识点：导数的几何意义以及对曲线切线方程的求解.能力点：通过探究导数的几何意义和曲线的切线方程的求法，体会“以直代曲”的数学思想方法和培养学生运用数形结合思想解决问题的能力．教育点：通过设计环环相扣的问题，引导学生主动地参与探究活动，体验学习的乐趣，养学生良好的思维品质，激发他们的学习热情.自主探究点：导数的几何意义和“以直代曲”的数学思想方法. 考试点：求曲线的切线方程.易错易混点： “以直代曲”的思想容易误解的是用直线去代替某一段曲线. 拓展点：当切点不在曲线上求曲线的切线方程.二、复习引人前面我们学习了函数在0x x =处的导数0()f x '就是函数在该点处的瞬时变化率. 问题1： 求导数0()f x '的步骤有哪几步？学生回答：第一步：求平均变化率()00()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； 第二步：求瞬时变化率()0000()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆.（即0x ∆→，平均变化率趋近于的确定常数就是该点的导数）问题2：观察函数()y f x =的图象，平均变化率()00()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆ 在图形中表示什么？学生回答：平均变化率表示割线n PP 的斜率. 这就是平均变化率（y x∆∆）的几何意义，那么瞬时变化率(0lim x yx ∆→∆∆)在图中又表示什么呢？x今天我们就来探究导数的几何意义.【设计意图】突破平均变化率的几何意义，后面在表示割线斜率时能直接联系此知识.同时引出本节课的研究问题——导数几何意义是什么？三、探究新知1.切线的新定义：要研究导数的几何意义，结合导数的概念，即要探究0x ∆→，割线的变化趋势. 问题1：初中平面几何中圆的切线的定义是什么？学生回答：直线和圆有唯一公共点时，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点． 问题2：曲线在点P 处的切线能用直线与切线的公共点个数来定义吗？你能否用你已经学过的函数曲线的切线举出反例？ 回答：正弦函数的曲线与直线可能相切时有两个公共点． 圆是一种特殊的曲线，这种定义并不适用于一般曲线的切线．如图曲线C ，直线3l 虽然与曲线C 有惟一公共点，但它与曲线C 不相切；而另一条直线2l ，虽然与曲线C 有两个公共点B 和C ，但与曲线C 相切于点B ．因此，直线与曲线的公共点的个数不能用来定义一般曲线的切线，我们必须用新的方法来定义曲线的切线．【设计意图】概念的辨析有助于学生准确理解概念，避免了学习的负向迁移.通过普通曲线的切线与圆的切线对比，使学生认识到曲线的切线不能以直线与曲线的交点个数决定.由此提出：如何定义曲线上某点的切线呢？激发学生的求知欲望，进入本节课重点内容的探索过程.用多媒体演示动画（几何画板） （1）圆中割线逼近切线：圆上点A 处的切线AT 和割线AB ，演示点B 从右边沿着圆逼近点A ,然后再从左边沿着圆逼近点A ，即0x ∆→，割线AB 的变化趋势.结论：（先感知后发现）当0x ∆→，随着点B 沿着圆逼近点A ，割线AB 无限趋近于点A 处的切线AT.【设计意图】带着问题观察动画，借助熟悉的圆中的某点处的割线和切线，学生更易感知当0x ∆→，割线的变化趋势，同时用逼近的方法体会割线逼近切线，消除学生对极限的神秘感.AB Txy O（2）把割线逼近切线的结论从圆推广到一般曲线：多媒体动态演示教材77页，当点))(,(n n n x f x P )4,3,2,1(=n 沿着曲线)(x f 趋近点))(,(00x f x P 时，割线n PP 的变化趋势图.引导学生类比（1），分析当点00(,())n P x x f x x +∆+∆沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，即0x ∆→，研究割线n PP 的变化趋势.【设计说明】教师用多媒体动画演示，学生观察并讨论.【设计意图】通过多媒体动画的演示，探索一般曲线中的切线定义，让学生借助直观的图象感知和发现，得出：0x ∆→，割线趋于确定位置的直线定义为切线.结论：点n P 趋近于点P 时，割线n PP 趋近于确定的位置PT ，PT 为曲线的切线. 一般曲线的切线定义：当点00(,())n P x x f x x +∆+∆沿着曲线()f x 逼近点00(,())P x f x 时，即0x ∆→，割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线PT 称为点P 处的切线.了解“以直代曲”的思想引导学生观察：在点P 的附近，2PP 比1PP 更接近曲线)(x f ，3PP 比2PP 更接近曲线)(x f ，……．过点P 的切线PT 最贴近P 附近的曲线)(x f ．因此，在点P 的附近，曲线)(x f 可以用过点P 的切线PT 近似代替．“以直代曲”的数学思想方法，是微积分学中的重要思想方法．【设计意图】通过动画演示，让学生形象而逼真的直观感知 “以直代曲”思想.2. 导数的几何意义：1.已知曲线上两点0000(,()),(,())n x x P x f x P x f x +∆+∆：思考1：根据切线定义可知：0x ∆→，割线n PP 趋近于切线PT .那么割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 又有何关系？ 学生回答：00,,lim n n x x k k k k ∆→∆→→=当则 即思考2：对比“0x ∆→时，平均变化率趋近的确定常数就是瞬时变化率”，又割线的斜率对应平均变化率，那么切线的斜率对应什么？学生回答：切线的斜率对应该点处的瞬时变化率，即该点处的导数. 【设计意图】通过两个思考：（1）先解决割线斜率与切线斜率的关系，（2）再对照平均变化率与瞬时变化率的关系，自然得出切线的斜率对应该点处的瞬时变化率即导数，增加了铺垫问题为学生引导思路，便于学生较好地完成探索活动，主动获得知识. 2.结合上面的研究过程，你能指出导数0()f x '的几何意义吗？函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线在该点处的切线斜率k ，即：()0000()lim()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆【设计意图】让学生自主探究得出结论，有水到渠成的感觉，避免硬性抛出抽象概念,同时 培养学生的归纳概括能力.四、理解新知1.一般曲线切线的定义：（1）当点00(,())n P x x f x x +∆+∆沿着曲线()f x 逼近点00(,())P x f x 时，即0x ∆→，割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线PT 称为点P 处的切线.（2）了解“以直代曲”的思想：某点附近一个很小的研究区域内，曲线与切线的变化趋势基本一致，故可由曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线. 2.导数的几何意义：（1）割线n PP 的斜率是： 00)()(x x x f x f k n n PP n --=．（2）导数的几何意义:函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线在该点处的切线斜率k ，即：()0000()lim()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆【设计意图】梳理本节课重点知识，强化记忆，为准确地运用新知，作必要的铺垫. 五、运用新知例1．如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数105.69.4)(2++-=t t t h 的图象. （1）用图形体现(1) 3.3h '=-，(0.5) 1.6h '=的几何意义. （2）导数值的正负，反应该点附近的曲线有何变化趋势？（3）请描述、比较曲线)(t h 在210,,t t t 附近增（减）以及增（减）快慢的情况.在43,t t 附近呢？(1)(2)分析：函数在该点处的瞬时变化率，也就是导数，由导数的几何意义可知，作出过该点的切线，可借助切线的变化趋势得到导数的情况，从而得到曲线的变化情况.解：（1）(1) 3.3h '=-表示1t =时，曲线在该点切线的斜率，即： 3.3k =-；(0.5) 1.6h '=表示0.5t =时，曲线在该点切线的斜率，即： 1.6k =（学生完成画线）htO 5.0.13thtO4t 0t1t 2t0l2l 1l【设计意图】由具体的导数入手，熟悉导数的几何意义，帮助学生感知导数与函数单调性之间的联系.（2）导数值为正，则曲线在该点处得切线的斜率为正，曲线在该点附近单调递增，导数值为负，则曲线在该点处得切线的斜率为负，曲线在该点附近单调递减. 【设计意图】引导学生感知导数反映变化率的本质.(3) 作出曲线在这些点处的切线，在0t 处切线平行于x 轴，即0()0h t '=，说明在0t 时刻附近变化率为0，函数几乎没有增减；在12,t t 作出切线，切线呈下降趋势，即12()0,()0h t h t ''<<，函数在点附近单调递减；直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度，这说明曲线曲线()h t 在1t 附近比在2t 附近下降得缓慢．【设计意图】将本例设计多问，降低了台阶分解了难度，使学生更好的理解掌握. 问题：如何用导数研究函数的增减？结论：根据导数的几何意义，当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线是上升的，即函数在这点附近是单调递增；当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线是下降的，即函数在这点附近是单调递减；当某点处导数等于零时，说明在该点的附近变化率为0，函数几乎没有增减.【设计意图】引领学生对问题进行定性分析，在某点处由切线的“走向”分析曲线的“走向”，渗透“以直代曲”的数学思想．变式练习：函数23+=x y 上有一点),(00y x ，求该点处的导数()0'x f ，并由此解释函数的增减情况.0000000()()()lim3()2(32)lim 3x x f x f x x f x x x x x x∆→∆→'=+∆-∆+∆+-+==∆解： 函数在定义域上任意点处的瞬时变化率都是3，函数在定义域内单调递增.(此时任意点处的切线就是直线本身，斜率就是变化率)【设计意图】复习导数的求法，加深学生对导数研究函数增减情况应用的认识，也是例题结论的进一步验证.例2.求2x y =在点)1,1(A 处的切线方程. 解：2)2(lim 2)(lim 1)1(lim )1()1(limlim)1(02022000/=+∆=∆∆+∆=∆-∆+=∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆→∆→∆x x x x x x xf x f x y f x x x x x即切线的斜率2k =，所以，2y x =在点(1,1)A 处的切线方程为12(1)y x -=- 即210x y --=.【师生活动】总结在曲线上某点切线方程的求解步骤（学生归纳总结，教师演示） （1）求出曲线在点P 处的导数即切线的斜率； （2）利用点斜式求切线方程.练习：已知曲线12-=x y 上一点横坐标为-1，求曲线在这点的切线方程. 学生板演，师生共同点评.【设计意图】通过学生独立应用导数意义求在某点的曲线的切线方程，培养学生主动探索，解决问题的能力，并且加深学生对导数几何意义的理解，熟练掌握几何意义的应用.六、课堂小结这节课我们学习了哪些知识和方法？学生进行开放式小结：（回顾学习的两个知识和数学思想方法）1.切线的定义：当点())(,00x x f x x P n ∆+∆+沿着曲线)(x f 逼近点())(,00x f x P 时，即0→∆x ，割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线PT 称为点P 处的切线.2.函数)(x f 在0x x =处的导数0()f x '的几何意义就是函数)(x f 的图象在0x x =处的切线的斜率. 即：()0000()lim()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆导数反映了函数的变化率，从图形上来看，表现为切线的斜率，如果导数为正，则切线的斜率为正，切线呈上升趋势，曲线在该点附近也是上升趋势，函数单调增；如果导数为负，则切线的斜率为负，切线呈现为下降趋势，曲线在该点附近也是下降趋势，函数单调减. 数学思想方法：体会“数形结合”的思想方法、逼近的思想方法、“以直代曲”的思想方法. 【设计意图】通过师生共同反思，优化学生的认知结构.七、布置作业必做题：课本79页A 组1,2,5 选做题：B 组1,2,3八、教后反思：本节课的亮点：1.多媒体课件动画演示较好，使抽象的概念变得在图形的直观演示下，容易理解；2.知识得来让学生探究得出，在教学的过程中加强了对学生观察能力，独立思考能力，理解归纳能力，及数形结合能力的训练；3.及时对学生所取得的成绩进行肯定，从而使学生获得成就感，增强其自信心，激发学生的求知欲望. 整堂课下来充实流畅，课堂气氛教好． 弱项：1.学生探究、思维的时间不够充分，学生展示的不够；2.例2是考试的重点处理的有点匆忙，没有体现当点不在曲线上如何求切线方程，下节课要设及，这是学生易错点;3.本课件制造要花费较多的时间，利用本案课下要精心准备.九、板书设计。
高二数学导数的几何意义1(2019年10月整理)
我们知道, 导数 f ' x0 表示函数 f x
在 x x0 处的瞬时变化率, 反映了函
数 f x 在 x x0 附近的变化情况. 那 么, 导数 f ' x0 的几何意义是什么呢?
观 察 如图
1 .1 2 ,当点
Pn xn , f xn n 1, 2, 3, 4
沿着曲线
f x趋近于点 Px0 , f x0
时, 割 线PPn的 变化 趋势是
什么?
y
y fx
P1
T
P
O
x
1
y
y fx
P2 T
O
x
2
y
y fx
y
y fx
P3
P O
3
T
T
P4 P
x
O
x
4
图1.1 2
;空包网 空包网
皆令承祯推按道经 大破之 于敏直妻张氏 知古预其事 访道山林 以入玄宫 因分为二 文学馆学士 吾今乃知卢新妇之心矣 词多不载 诸曹令史恶其聪察 古之常典 京兆尹第五琦感其贞烈 从宇文化及至河北 屡访之 放情肆志 良有以也 必有功矣 仍遂雅怀 何为背约深入吾地？深识之士也 遽见此祸
贞元四年 与之谈论 进退维谷 转运使刘晏累表荐述睿有颜 并册立伊然 其谏诤皆此类也 苗人逆命 皆非天子之女 后改为平山县 "宪宗嗟叹良久 母又改嫁 甚礼遇之 前后赏赐 归伊阳之山第 永言志行 其后安禄山反 及葬 大破之 胤宗每疗 至于悬解圆照 其所进者 其诸枝词蔓说 依期暴卒 容貌毁悴
史那思摩奉见请和 仲文不能制 谓万年令元行冲曰 齐王元吉隶焉 未敢取也 以谓回两曜之鉴 "东京日即自磨灭 至武德六年 北路讨逐 无不嗟叹 丹成而上之 又幸城西 滑州人也 二十年 临阵战死 将渡河立为可汗 "理身无为 我今乘胜 无子 僧一行 咥利失复得旧地 特下制曰 李元恺 以琴酒自乐 仍
高二数学教案：导数的几何意义
高二数学教案：导数的几何意义
高二数学教案：导数的几何意义
2.2.2 导数的几何意义
(一)复习引入
1、函数的平均变化率：
已知函数，是其定义域内不同的两点，
记
则函数在区间的平均变化率
为
2、曲线的割线AB的斜率：
由此可知：曲线割线的斜率就是函数的平均变化率。
3、函数在一点处的导数定义：
函数在点处的导数就是函数在点的瞬时变化率：记作：
(二)讲授新课
1、创设情境：
问题：平面几何中我们怎样判断直线是否是圆的切线?
学生回答：与圆只有一个公共点的直线就叫做圆的切线
教师提问：能否将它推广为一般的曲线的切线定义?
教师引导学生举出反例如下：
教师举反例如下：
因此，对于一般曲线，必须重新寻求曲线的切线定义。
引例：(看大屏幕)
2、曲线在一点处的切线定义：
又因为此切线过点( ，6)和点( ， )
所以
因此过切点(2，4)，(3，9 )切线方程分别为：即
(四)小结:
利用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤：(可让学生归纳)
①求出函数在点处的导数
②得切线方程
注：点是曲线上的点
(五)板书：。
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3.1.3导数的几何意义枣庄一中 苏增传一、教学目标重点：理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义，体会数形结合、以直代曲的思想方法. 难点：发现、理解及应用导数的几何意义．知识点：导数的几何意义以及对曲线切线方程的求解.能力点：通过探究导数的几何意义和曲线的切线方程的求法，体会“以直代曲”的数学思想方法和培养学生运用数形结合思想解决问题的能力．教育点：通过设计环环相扣的问题，引导学生主动地参与探究活动，体验学习的乐趣，养学生良好的思维品质，激发他们的学习热情.自主探究点：导数的几何意义和“以直代曲”的数学思想方法. 考试点：求曲线的切线方程.易错易混点： “以直代曲”的思想容易误解的是用直线去代替某一段曲线. 拓展点：当切点不在曲线上求曲线的切线方程.二、复习引人前面我们学习了函数在0x x =处的导数0()f x '就是函数在该点处的瞬时变化率. 问题1： 求导数0()f x '的步骤有哪几步？学生回答：第一步：求平均变化率()00()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； 第二步：求瞬时变化率()0000()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆.（即0x ∆→，平均变化率趋近于的确定常数就是该点的导数）问题2：观察函数()y f x =的图象，平均变化率()00()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆ 在图形中表示什么？学生回答：平均变化率表示割线n PP 的斜率. 这就是平均变化率（y x ∆∆）的几何意义，那么瞬时变化率(0lim x yx∆→∆∆)在图中又表示什么呢？今天我们就来探究导数的几何意义.x【设计意图】突破平均变化率的几何意义，后面在表示割线斜率时能直接联系此知识.同时引出本节课的研究问题——导数几何意义是什么？三、探究新知1.切线的新定义：要研究导数的几何意义，结合导数的概念，即要探究0x ∆→，割线的变化趋势. 问题1：初中平面几何中圆的切线的定义是什么？学生回答：直线和圆有唯一公共点时，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点． 问题2：曲线在点P 处的切线能用直线与切线的公共点个数来定义吗？你能否用你已经学过的函数曲线的切线举出反例？ 回答：正弦函数的曲线与直线可能相切时有两个公共点． 圆是一种特殊的曲线，这种定义并不适用于一般曲线的切线．如图曲线C ，直线3l 虽然与曲线C 有惟一公共点，但它与曲线C 不相切；而另一条直线2l ，虽然与曲线C 有两个公共点B 和C ，但与曲线C 相切于点B ．因此，直线与曲线的公共点的个数不能用来定义一般曲线的切线，我们必须用新的方法来定义曲线的切线．【设计意图】概念的辨析有助于学生准确理解概念，避免了学习的负向迁移.通过普通曲线的切线与圆的切线对比，使学生认识到曲线的切线不能以直线与曲线的交点个数决定.由此提出：如何定义曲线上某点的切线呢？激发学生的求知欲望，进入本节课重点内容的探索过程.用多媒体演示动画（几何画板） （1）圆中割线逼近切线：圆上点A 处的切线AT 和割线AB ，演示点B 从右边沿着圆逼近点A ,然后再从左边沿着圆逼近点A ，即0x ∆→，割线AB 的变化趋势.结论：（先感知后发现）当0x ∆→，随着点B 沿着圆逼近点A ，割线AB 无限趋近于点A 处的切线AT.【设计意图】带着问题观察动画，借助熟悉的圆中的某点处的割线和切线，学生更易感知当0x ∆→，割线的变化趋势，同时用逼近的方法体会割线逼近切线，消除学生对极限的神秘感.（2）把割线逼近切线的结论从圆推广到一般曲线：多媒体动态演示教材77页，当点))(,(n n n x f x P )4,3,2,1(=n 沿着曲线)(x f 趋近点))(,(00x f x P 时，割线n PP 的变化趋势图.引导学生类比（1），分析当点00(,())nP x x f x x +∆+∆沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，即0x ∆→，研究割线n PP 的变化趋势.【设计说明】教师用多媒体动画演示，学生观察并讨论.【设计意图】通过多媒体动画的演示，探索一般曲线中的切线定义，让学生借助直观的图象感知和发现，得出：0x ∆→，割线趋于确定位置的直线定义为切线.结论：点n P 趋近于点P 时，割线n PP 趋近于确定的位置PT ，PT 为曲线的切线. 一般曲线的切线定义：当点00(,())n P x x f x x +∆+∆沿着曲线()f x 逼近点00(,())P x f x 时，即0x ∆→，割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线PT 称为点P 处的切线.了解“以直代曲”的思想引导学生观察：在点P 的附近，2PP 比1PP 更接近曲线)(x f ，3PP 比2PP更接近曲线)(x f ，……．过点P 的切线PT 最贴近P 附近的曲线)(x f ．因此，在点P 的附近，曲线)(x f 可以用过点P 的切线PT 近似代替．“以直代曲”的数学思想方法，是微积分学中的重要思想方法．【设计意图】通过动画演示，让学生形象而逼真的直观感知 “以直代曲”思想.2. 导数的几何意义：1.已知曲线上两点0000(,()),(,())n x x P x f x P x f x +∆+∆： 思考1：根据切线定义可知：0x ∆→，割线n PP 趋近于切线PT .那么割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 又有何关系？学生回答：00,,lim n n x x k k k k ∆→∆→→=当则 即思考2：对比“0x ∆→时，平均变化率趋近的确定常数就是瞬时变化率”，又割线的斜率对应平均变化率，那么切线的斜率对应什么？学生回答：切线的斜率对应该点处的瞬时变化率，即该点处的导数. 【设计意图】通过两个思考：（1）先解决割线斜率与切线斜率的关系，（2）再对照平均变化 率与瞬时变化率的关系，自然得出切线的斜率对应该点处的瞬时变化率即导数，增加了铺垫 问题为学生引导思路，便于学生较好地完成探索活动，主动获得知识. 2.结合上面的研究过程，你能指出导数0()f x '的几何意义吗？函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线在该点处的切线斜率k ，即：()0000()lim()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆【设计意图】让学生自主探究得出结论，有水到渠成的感觉，避免硬性抛出抽象概念,同时 培养学生的归纳概括能力.四、理解新知1.一般曲线切线的定义：（1）当点00(,())n P x x f x x +∆+∆沿着曲线()f x 逼近点00(,())P x f x 时，即0x ∆→，割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线PT 称为点P 处的切线.（2）了解“以直代曲”的思想： 某点附近一个很小的研究区域内，曲线与切线的变化趋势基本一致，故可由曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线. 2.导数的几何意义：（1）割线n PP 的斜率是： 00)()(x x x f x f k n n PP n --=．（2）导数的几何意义:函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线在该点处的切线斜率k ，即：()0000()lim()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆【设计意图】梳理本节课重点知识，强化记忆，为准确地运用新知，作必要的铺垫. 五、运用新知例1．如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数105.69.4)(2++-=t t t h 的图象. （1）用图形体现(1) 3.3h '=-，(0.5) 1.6h '=的几何意义. （2）导数值的正负，反应该点附近的曲线有何变化趋势？（3）请描述、比较曲线)(t h 在210,,t t t 附近增（减）以及增（减）快慢的情况.在43,t t 附近呢？(2)分析：函数在该点处的瞬时变化率，也就是导数，由导数的几何意义可知，作出过该点的切线，可借助切线的变化趋势得到导数的情况，从而得到曲线的变化情况.解：（1）(1) 3.3h '=-表示1t =时，曲线在该点切线的斜率，即： 3.3k =-；(0.5) 1.6h '=表示0.5t =时，曲线在该点切线的斜率，即： 1.6k =（学生完成画线）【设计意图】由具体的导数入手，熟悉导数的几何意义，帮助学生感知导数与函数单调性之间的联系.（2）导数值为正，则曲线在该点处得切线的斜率为正，曲线在该点附近单调递增，导数值为负，则曲线在该点处得切线的斜率为负，曲线在该点附近单调递减.hO 5.0.13t h4t 0t1t 2t0l2l 1l【设计意图】引导学生感知导数反映变化率的本质.(3) 作出曲线在这些点处的切线，在0t 处切线平行于x 轴，即0()0h t '=，说明在0t 时刻附近变化率为0，函数几乎没有增减；在12,t t 作出切线，切线呈下降趋势，即12()0,()0h t h t ''<<，函数在点附近单调递减；直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度，这说明曲线曲线()h t 在1t 附近比在2t 附近下降得缓慢．【设计意图】将本例设计多问，降低了台阶分解了难度，使学生更好的理解掌握. 问题：如何用导数研究函数的增减？结论：根据导数的几何意义，当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线是上升的，即函数在这点附近是单调递增；当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线是下降的，即函数在这点附近是单调递减；当某点处导数等于零时，说明在该点的附近变化率为0，函数几乎没有增减. 【设计意图】引领学生对问题进行定性分析，在某点处由切线的“走向”分析曲线的“走向”，渗透“以直代曲”的数学思想．变式练习：函数23+=x y 上有一点),(00y x ，求该点处的导数()0'x f ，并由此解释函数的增减情况.0000000()()()lim3()2(32)lim 3x x f x f x x f x x x x x x∆→∆→'=+∆-∆+∆+-+==∆ 解： 函数在定义域上任意点处的瞬时变化率都是3，函数在定义域内单调递增.(此时任意点处的切线就是直线本身，斜率就是变化率)【设计意图】复习导数的求法，加深学生对导数研究函数增减情况应用的认识，也是例题结论的进一步验证.例2.求2x y =在点)1,1(A 处的切线方程. 解：2)2(lim 2)(lim 1)1(lim )1()1(limlim)1(02022000/=+∆=∆∆+∆=∆-∆+=∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆→∆→∆x x x x x x xf x f x y f x x x x x 即切线的斜率2k =，所以，2y x =在点(1,1)A 处的切线方程为12(1)y x -=- 即210x y --=.【师生活动】总结在曲线上某点切线方程的求解步骤（学生归纳总结，教师演示） （1）求出曲线在点P 处的导数即切线的斜率； （2）利用点斜式求切线方程.练习：已知曲线12-=x y 上一点横坐标为-1，求曲线在这点的切线方程. 学生板演，师生共同点评.【设计意图】通过学生独立应用导数意义求在某点的曲线的切线方程，培养学生主动探索，解决问题的能力，并且加深学生对导数几何意义的理解，熟练掌握几何意义的应用.六、课堂小结这节课我们学习了哪些知识和方法？学生进行开放式小结：（回顾学习的两个知识和数学思想方法）1.切线的定义：当点())(,00x x f x x P n ∆+∆+沿着曲线)(x f 逼近点())(,00x f x P 时，即0→∆x ，割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线PT 称为点P 处的切线.2.函数)(x f 在0x x =处的导数0()f x '的几何意义就是函数)(x f 的图象在0x x =处的切线的斜率. 即：()0000()lim()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆导数反映了函数的变化率，从图形上来看，表现为切线的斜率，如果导数为正，则切线的斜率为正，切线呈上升趋势，曲线在该点附近也是上升趋势，函数单调增；如果导数为负，则切线的斜率为负，切线呈现为下降趋势，曲线在该点附近也是下降趋势，函数单调减. 数学思想方法：体会“数形结合”的思想方法、逼近的思想方法、“以直代曲”的思想方法. 【设计意图】通过师生共同反思，优化学生的认知结构.七、布置作业必做题：课本79页A 组1,2,5 选做题：B 组1,2,3八、教后反思：本节课的亮点：1.多媒体课件动画演示较好，使抽象的概念变得在图形的直观演示下，容易理解；2.知识得来让学生探究得出，在教学的过程中加强了对学生观察能力，独立思考能力，理解归纳能力，及数形结合能力的训练；3.及时对学生所取得的成绩进行肯定，从而使学生获得成就感，增强其自信心，激发学生的求知欲望. 整堂课下来充实流畅，课堂气氛教好． 弱项：1.学生探究、思维的时间不够充分，学生展示的不够；2.例2是考试的重点处理的有点匆忙，没有体现当点不在曲线上如何求切线方程，下节课要设及，这是学生易错点; 3.本课件制造要花费较多的时间，利用本案课下要精心准备.九、板书设计。