点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系教案

点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系
一、教学目标
(一)知识教学点
使学生掌握点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系；过圆上一点的圆的切线方程，判断直线与圆相交、相切、相离的代数方法与几何方法；两圆位置关系的几何特征和代数特征．
(二)能力训练点
通过点与圆、直线与圆以及圆与圆位置关系的教学，培养学生综合运用圆有关方面知识的能力．
(三)学科渗透点
点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系在初中平面几何已进行了分析，现在是用代数方法来分析几何问题，是平面几何问题的深化．
二、教材分析
1．重点：(1)直线和圆的相切(圆的切线方程)、相交(弦长问题)；(2)圆系方程应用．
(解决办法：(1)使学生掌握相切的几何特征和代数特征，过圆上一点的圆的代线方程，弦长计算问题；(2)给学生介绍圆与圆相交的圆系方程以及直线与圆相交的圆系方程．)
2．难点：圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点(x0，y0)的切线方程的证明．
(解决办法：仿照课本上圆x2+y2=r2上一点(x0，y0)切线方程的证明．)
三、活动设计
归纳讲授、学生演板、重点讲解、巩固练习．
四、教学过程
(一)知识准备
我们今天研究的课题是“点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系”，为了更好地讲解这个课题，我们先复习归纳一下点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系中的一些知识．
1．点与圆的位置关系
设圆C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0，y0)到圆心的距离为d，则有：
(1)d＞r 点M在圆外；
(2)d=r 点M在圆上；
(3)d＜r 点M在圆内．
2．直线与圆的位置关系
设圆 C∶(x-a)2+(y-b)=r2，直线l的方程为Ax+By+C=0，圆心(a，
判别式为△，则有：
(1)d＜r 直线与圆相交；
(2)d=r 直线与圆相切；
(3)d＜r 直线与圆相离，即几何特征；
或(1)△＞0 直线与圆相交；
(2)△=0 直线与圆相切；
(3)△＜0 直线与圆相离，即代数特征，
3．圆与圆的位置关系
设圆C1：(x-a)2+(y-b)2=r2和圆C2：(x-m)2+(y-n)2=k2(k≥r)，且设两圆圆心距为d，则有：
(1)d=k+r 两圆外切；
(2)d=k-r 两圆内切；
(3)d＞k+r 两圆外离；
(4)d＜k+r 两圆内含；
(5)k-r＜d＜k+r 两圆相交．
4．其他
(1)过圆上一点的切线方程：
①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则此点的切线方程为x0x+y0y=r2(课本命题)．
②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广)．
(2)相交两圆的公共弦所在直线方程：
设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0．
(3)圆系方程：
①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ为参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程)．
②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数)．
(二)应用举例
和切点坐标．
分析：求已知圆的切线问题，基本思路一般有两个方面：(1)从代数特征分析；(2)从几何特征分析．一般来说，从几何特征分析计算量要小些．该例题由学生演板完成．
∵圆心O(0，0)到切线的距离为4，
把这两个切线方程写成
注意到过圆x2+y2=r2上的一点P(x0，y0)的切线的方程为x0x+y0y=r2，
例2已知实数A、B、C满足A2+B2=2C2≠0，求证直线Ax+By+C=0与圆x2+y2=1交于不同的两点P、Q，并求弦PQ的长．
分析：证明直线与圆相交既可以用代数方法列方程组、消元、证明△＞0，又可以用几何方法证明圆心到直线的距离小于圆半径，由教师完成．
证：设圆心O(0，0)到直线Ax+By+C=0的距离为d，则d=
∴直线Ax+By+C=0与圆x2+y1=1相交于两个不同点P、Q．
例3求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆的方程．
解法一：
相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0．
∵所求圆以AB为直径，
于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25．
解法二：
设所求圆的方程为：
x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0(λ为参数)
∵圆心C应在公共弦AB所在直线上，
∴所求圆的方程为x2+y2-4x+4y-17=0．
小结：
解法一体现了求圆的相交弦所在直线方程的方法；解法二采取了圆系方程求待定系数，解法比较简练．
(三)巩固练习
1．已知圆的方程是x2+y2=1，求：
(1)斜率为1的切线方程；
2．(1)圆(x-1)2+(y+2)2=4上的点到直线2x-y+1=0的最短距离是
(2)两圆C1∶x2+y2-4x+2y+4=0与C2∶x2+y2+2x-6y-26=0的位置关系是
______．(内切)
由学生口答．
3．未经过原点，且过圆x2+y2+8x-6y+21=0和直线x-y+5=0的两个交点的圆的方程．
分析：若要先求出直线和圆的交点，根据圆的一般方程，由三点可求得圆的方程；若没过交点的圆系方程，由此圆系过原点可确定参数λ，从而求得圆的方程．由两个同学演板给出两种解法：
解法一：
设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．
∵(0，0)，(-2，3)，(-4，1)三点在圆上，
解法二：
设过交点的圆系方程为：
x2+y2+8x-6y+21+λ(x-y+5)=0．
五、布置作业
2．求证：两圆x2+y2-4x-6y+9=0和x2+y2+12x+6y-19=0相外切．
3．求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．
4．由圆外一点Q(a，b)向圆x2+y2=r2作割线交圆于A、 B两点，向圆x2+y2=r2作切线QC、QD，求：
(1)切线长；
(2)AB中点P的轨迹方程．
作业答案：
2．证明两圆连心线的长等于两圆半径之和
3．x2+y2-x+7y-32=0
六、板书设计。