类比归纳专题：圆中利用转化思想求角度
专题14 类比归纳专题：圆中利用转化思想求角度压轴题四种模型全攻略(解析版)
专题14类比归纳专题：圆中利用转化思想求角度压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【类型一利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角】 (1)【类型二构造圆内接四边形转化角】 (5)【类型三利用直径构造直角三角形转化角】 (9)【类型四利用特殊数量关系构造特殊角转化角】 (15)【典型例题】【类型一利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角】例题：（2023·北京·九年级专题练习）如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的点， BC D C =．若35CBD ∠=︒，则ABD ∠的度数为（）A ．20︒B ．35︒C ．40︒D ．70︒【答案】A 【分析】根据等弧所对的圆周角相等可得35CAB CBD ︒∠=∠=，根据直径所对的圆周角为90度可得90ADB ∠=︒，进而可得9055CBA CAB ∠=︒-∠=︒，20ABD CBA CBD ∠=∠-∠=︒．【详解】解：如图，连接AD ，AC ，BC D C =，35CBD ∠=︒，∴35CAB CBD ︒∠=∠=，AB 为O 的直径，∴90ADB ∠=︒，∴9055CBA CAB ∠=︒-∠=︒，∴553520ABD CBA CBD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选A ．【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，半圆（或直径）所对的圆周角是直角．【变式训练】A ．12︒【答案】D 【分析】直接利用圆周角定理求解．【详解】解： 点A ∴ AC AB =，【答案】80︒/80度【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出答案．∠【详解】解：∵OBC【答案】30︒/30度【分析】根据垂径定理得到【详解】解：∵OA⊥∴»»=，AB AC【答案】65︒/65度【分析】连接AC ．利用等弧所对圆周角相等，得出利用直径所对圆周角是直角，最后由直角【详解】解：如图所示，连接∵ BCCD =，∴DAC BAC ∠=∠．∵50DAB ∠=︒，∴12BAC DAB ∠=∠=【类型二构造圆内接四边形转化角】A ．150︒【答案】B 【分析】在优弧AB 圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得50OBA ∠=︒ ，OA =80AOB ∴∠=︒，1122AEB AOB ∴∠=∠=∵四边形ACBE 是圆内接四边形，∴180AEB C ∠+∠=【变式训练】1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点A ，B ，C ，D ，E 均在O 上，且BD 经过圆心O ，连接AB AE CE ，，，若150B E ∠+∠=︒，则弧CD 所对的圆心角的度数为（）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒【答案】D 【分析】连接DE OC ，，根据圆内接四边形的性质可得180B AED ∠+∠=︒，从而得到30CED ∠=︒，进而得到250COD CED ∠=∠=︒，即可求解．【详解】解：如图，连接DE OC ，，∵四边形ABDE 是O 的内接四边形，∴180B AED ∠+∠=︒，∵150B AEC ∠+∠=︒，∴30CED ∠=︒，∴260COD CED ∠=∠=︒，∴弧CD 所对的圆心角的度数为60︒．故选：D ．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键．2．（2023·江苏盐城·统考一模）如图，点A 、B 、C 都在O 上，如果AOC ABC ∠=∠，那么ABC ∠的度数为︒．【答案】120【分析】如图：在优弧ADC ABC∠+∠=180【点睛】本题主要考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质，掌握圆的内接四边形对角互补是解答本题的关键．3．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在⊙∠=OBC∵ 2BC AC =，∴2BOC AOC ∠=∠∴80BOC ∠=︒，∵OC OB =，【答案】116【分析】连接AC 、CE ACE ∠，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．【详解】解：连接AC∵点A 、C 、D 、E 都是∴180CAE D ∠+∠=︒，∴180128CAE ∠=︒-︒=∵ AC AE =，∴(1180ACE AEC ∠=∠=【类型三利用直径构造直角三角形转化角】【答案】130【分析】连接BC ，如图，利用圆周角定理得到求ADC ∠的度数．【详解】解：如图，连接BC，的直径，AB为OACB∴∠=︒，90∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，B CAB90904050，∠+∠180B ADC=︒∴∠=︒-︒=︒．18050130ADC故答案为：130．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．【变式训练】【答案】145︒/145度【分析】连接BE，根据直径所对的圆周角为四边形对角互补即可求解．AE是直径，点B在半圆上，∴90∠=︒，ABE∴CBE ABC ABE∠=∠-∠【答案】61︒/61度【分析】如图，连接BC 【详解】解：如图，连接∵AB 是直径，∴90ACB ∠=︒，∴90ABC CAB ∠=︒-∠∴61D ABC ∠=∠=︒，∠的度数为（1）BAD【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，关键是熟练掌握圆的是等腰三角形．(1)求证：ABC的直径，∵BC是O中，在Rt BCE【类型四利用特殊数量关系构造特殊角转化角】A．30︒【答案】B【分析】根据圆周角定理求解即可．【详解】12 APB∠=【变式训练】A．30︒B 【答案】A【分析】连接OC，证明即可．∵四边形OBCD是平行四边形，=，∴BC OD==，∴BC OB OC△为等边三角形，∴OBCA．15︒【答案】D⊥【分析】由OA BC【详解】解：OA∴=，AC AB，∠=︒ADC30∴∠=∠=⨯22AOB ADC故选：D．【点睛】此题考查了圆周角定理以及垂径定理，解题的关键是掌握数形结合思想的应用．3．（2023·广东佛山·校考三模）如图，四边形ABCD 内接于,O AB BC = ，连接OA ，OB ，若70BAO ∠=︒，则D ∠=（）A ．40︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒【答案】A 【分析】连接OC ，证明()SSS OAB OCB △≌△，得出70OBA OBC OCB BAO ∠=∠=∠=∠=︒，则140ABC ∠=︒，再根据圆内接四边形对角互补，即可求解．【详解】解：连接OC ，在OAB 和OBC △中，AB BC OB OB OA OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()SSS OAB OCB △≌△，∵70BAO ∠=︒，OA OB OC ==，∴70OBA OBC OCB BAO ∠=∠=∠=∠=︒，∴140ABC ∠=︒，∵四边形ABCD 内接于O ，∴18040D ABC ∠=︒-∠=︒，故选：A ．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补．4．（2023春·陕西西安·九年级高新一中校考期中）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，BE 是O 的直径，连接AE ，若2BCD BAD ∠=∠，若连接OD ，则DOE ∠的度数是（）A ．30︒B ．35︒C ．45︒D ．60︒【答案】D 【分析】根据内接四边形的性质，得到180BCD BAD ∠+∠=︒，进而得到60BAD ∠=︒，再根据圆周角定理得到120BOD ∠=︒，即可求出DOE ∠的度数．【详解】解： 四边形ABCD 是O 的内接四边形，180BCD BAD ∴∠+∠=︒，2BCD BAD ∠=∠ ，60BAD =∴∠︒，120BOD ∴∠=︒，18060DOE BOD ∴∠=︒-∠=︒，故选D ．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握内接四边形的对角互补，以及一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题关键．。
第24章 类比归纳专题：圆中利用转化思想求角度(含答案)
类比归纳专题：圆中利用转化思想求角度——全面突破，形成解题思维模式◆类型一 利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角1．如图，⊙O 中，弦AB 与CD 交于点M ，∠A ＝45°，∠AMD ＝75°，则∠B 的度数是（ ）A ．15°B ．25°C ．30°D ．75°第1题图 第2题图 第3题图 第4题图2．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝40°，则∠ADC 的度数是（ ）A ．40°B ．30°C ．20°D ．15°3．(毕节中考)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A ＝36°，∠C ＝28°，则∠B 的度数为（ ）A ．100°B ．72°C ．64°D ．36°4．)如图，在⊙O 中，AB 为直径，CD 为弦，已知∠CAB ＝50°，则∠ADC ＝________. ◆类型二 构造圆内接四边形转化角5．如图，A ，B ，C 三点都在⊙O 上，点D 是AB 延长线上一点，∠CBD ＝70°，则∠AOC 的度数为（ ）A ．55°B ．70°C ．110°D ．140°第5题图 第6题图 第7题图6．如图，已知AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝2∠BDC ，∠BAC ＝44°，则∠CAD 的度数为（ ）A ．68°B ．88°C ．90°D ．112°7．如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD ＝35°，则∠B ＋∠E ＝______.◆类型三 利用直径构造直角三角形转化角8．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC＝33°，则∠A等于【方法15】（）A．33° B．57° C．67° D．66°第8题图第9题图第10题图9．如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB的度数是_______. 10．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，AD为圆O的直径，AE⊥BC于E.求证：∠BAD＝∠EAC.【方法15】◆类型四利用特殊数量关系构造特殊角转化角11．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧AMB上一点，则∠APB 的度数为（）A．45° B．30° C．75° D．60°第11题图第12题图12．(莒县模拟)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r＝5，AC＝53，则∠B的度数是（）A．30° B．45° C．50° D．60°答案：。
229.九年级新人教版数学上册12.类比归纳专题：圆中利用转化思想求角度-精品专题
类比归纳专题：圆中利用转化思想求角度——全面突破，形成解题思维模式◆类型一 利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角1．(2016·自贡中考)如图，⊙O 中，弦AB 与CD 交于点M ，∠A ＝45°，∠AMD ＝75°，则∠B 的度数是（ ）A ．15°B ．25°C ．30°D ．75°第1题图 第2题图2．(2016·济宁中考)如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝40°，则∠ADC 的度数是（ ）A ．40°B ．30°C ．20°D ．15° 3．(2016·毕节中考)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A ＝36°，∠C ＝28°，则∠B 的度数为（ ）A ．100°B ．72°C ．64°D ．36°第3题图 第4题图4．(2016·青海中考)如图，在⊙O 中，AB 为直径，CD 为弦，已知∠CAB ＝50°，则∠ADC ＝________.◆类型二 构造圆内接四边形转化角 5．如图，A ，B ，C 三点都在⊙O 上，点D 是AB 延长线上一点，∠CBD ＝70°，则∠AOC 的度数为（ ）A ．55°B ．70°C ．110°D ．140°第5题图 第6题图6．如图，已知AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝2∠BDC ，∠BAC ＝44°，则∠CAD 的度数为（ ）A ．68°B ．88°C ．90°D ．112°7．如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD ＝35°，则∠B ＋∠E ＝______.◆类型三 利用直径构造直角三角形转化角8．如图，△ABC 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径．若∠DBC ＝33°，则∠A 等于【方法15】（ ）A ．33°B ．57°C ．67°D ．66°第8题图 第9题图9．如图，AB 是半圆的直径，点D 是弧AC 的中点，∠ABC ＝50°，则∠DAB 的度数是_______.10．如图，△ABC 的顶点均在⊙O 上，AD 为圆O 的直径，AE ⊥BC 于E .求证：∠BAD ＝∠EAC .【方法15】◆类型四利用特殊数量关系构造特殊角转化角11．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧AMB上一点，则∠APB的度数为（）A．45°B．30°C．75°D．60°第11题图第12题图12．(2017·莒县模拟)如图，⊙O是△ABC 的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r＝5，AC＝53，则∠B的度数是（）A．30°B．45°C．50°D．60°答案：初中数学公式大全1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12 两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 °18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形21 平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形22 平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形23 平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形24 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角25 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等26 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形27 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形28 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等29 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角30 菱形面积= 对角线乘积的一半，即S= （a×b ）÷231 菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形32 菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形33 正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等34 正方形性质定理2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角35 定理1 关于中心对称的两个图形是全等的36 定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分37 逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称38 等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。
类比归纳专题：利用转化思想求角度
类比归纳专题：利用转化思想求角度——快速找到圆中求角度的解题渠道◆类型一 利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角1．(2017·兰州中考)如图，在⊙O 中，AB ︵＝BC ︵，点D 在⊙O 上，∠CDB ＝25°，则∠AOB 的度数为( ) A ．45° B ．50° C ．55° D ．60°第1题图 第2题图2．(2017·绍兴中考)如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A 在⊙O 上，边AB ，AC 分别与⊙O 交于点D ，E ，则∠DOE 的度数为________．3．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A ＝36°，∠C ＝28°，求∠B 的度数．◆类型二 利用圆内接四边形转化角 4．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD ＝138°，则它的一个外角∠DCE 等于( ) A ．69° B ．42° C ．48° D ．38°第 4题图 第5题图 第6题图 5．(2017·凉山中考)如图，已知四边形ABCD 内接于半径为4的⊙O 中，且∠C ＝2∠A ，则BD ＝________．6．如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD ＝35°，则∠B ＋∠E ＝________． ◆类型三 利用直径构造直角三角形转化角 7．(2017·毕节中考)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ACD ＝30°，则∠BAD 为( )A ．30°B ．50°C ．60°D ．70°第7题图第8题图8．如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB的度数是________．9．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，AD为⊙O的直径，AE⊥BC于E.求证：∠BAD ＝∠EAC.◆类型四利用特殊数量关系构造特殊角转化角10．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧AB恰好经过圆心O，点P是优弧AMB上一点，则∠APB的度数为()A．45°B．30°C．75°D．60°第10题图第11题图11．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝2，⊙O的半径为2，则∠C＝________．参考答案与解析1．B 2.90°3．解：∵∠A ＝36°，∴∠BOC ＝2∠A ＝72°.∵∠BOC ＋∠C ＝∠A ＋∠B ，∴∠B ＝72°＋28°－36°＝64°. 4．A 5.4 36．215° 解析：连接CE .∵五边形ABCDE 是圆内接五边形，∴四边形ABCE 是圆内接四边形，∴∠B ＋∠AEC ＝180°.∵∠CED ＝∠CAD ＝35°，∴∠B ＋∠AED ＝∠B ＋∠AEC ＋∠CED ＝180°＋35°＝215°.7．C8．65° 解析：连接BD .∵点D 是AC ︵的中点，∴CD ︵＝AD ︵，∴∠ABD ＝∠CBD .∵∠ABC ＝50°，∴∠ABD ＝12×50°＝25°.∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠DAB ＝90°－∠ABD＝90°－25°＝65°.9．证明：连接BD .∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝90°，∴∠BAD ＋∠D ＝90°.∵AE ⊥BC ，∴∠AEC ＝90°，∴∠EAC ＋∠C ＝90°.又∵∠D ＝∠C ，∴∠BAD ＝∠EAC .10．D 解析：作半径OC ⊥AB 于D ，连接OA ，OB .∵将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧AB 恰好经过圆心O ，∴OD ＝CD ，∴OD ＝12OC ＝12OA ，∴∠OAD ＝30°.∵OA ＝OB ，∴∠OBA＝30°，∴∠AOB ＝120°，∴∠APB ＝12∠AOB ＝60°.11．45° 解析：连接OA ，OB .∵OA ＝OB ＝2，AB ＝2，∴OA 2＋OB 2＝AB 2，∴∠AOB ＝90°，∴∠C ＝12∠AOB ＝45°.综合滚动练习：解直角三角形及其应用时间：45分钟 分数：100分 得分：________一、选择题(每小题4分，共32分) 1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝2，b ＝3，则cos A 等于( ) A.23 B.32 C.132 D.313132．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tan A ＝512，则BC 等于( )A.35B.53C.365D ．5 3．如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，若AB ＝5，AC ＝3，则tan ∠BCD ＝( ) A.43 B.34 C.45 D.35第3题图 第4题图4．(2016·道里区二模)如图，沿AC 方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC 上的一点B 取∠ABD ＝145°，BD ＝500米，∠D ＝55°，使A ，C ，E 在一条直线上，那么开挖点E 与D 的距离是( )A ．500sin55°米B ．500cos35°米C ．500cos55°米D ．500tan55°米 5．(2016·龙湖区一模)如图，钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线BC 长32m ，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转动到AC ′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′为33m ，则鱼竿转过的角度是( )A ．60°B ．45°C ．15°D ．90°第5题图 第6题图 6．(2016·金华中考)一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽度为1米，则所需地毯的面积至少为( )A.4sin θ米2B.4cos θ米2 C ．(4＋4tan θ)米2 D ．(4＋4tan θ)米27．如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔60海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处，这时，海轮所在的B 处与灯塔P 的距离为( )A ．302海里B ．303海里C ．60海里D ．306海里第7题图 第8题图8．(2016·聊城模拟)聊城流传着一首家喻户晓的民谣：“东昌府，有三宝，铁塔、古楼、玉皇皋．”被人们誉为三宝之一的铁塔，初建年代在北宋早期，是本市现存最古老的建筑．如图，测绘师在离铁塔10米处的点C 测得塔顶A 的仰角为α，他又在离铁塔25米处的点D 测得塔顶A 的仰角为β，若tan αtan β＝1，点D ，C ，B 在同一条直线上，那么测绘师测得铁塔的高度约为(参考数据：10≈3.162)( )A ．15.81米B ．16.81米C ．30.62米D ．31.62米 二、填空题(每小题4分，共24分) 9．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，BC ＝6，则AB 的长为________．第9题图 第11题图 第12题图 10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，BC ＝23，则sin A2＝________．11．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB 的长是________．12．(2016·宁波中考)如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m 的A 处测得旗杆顶端B 的仰角为60°，测角仪高AD 为1m ，则旗杆高BC 为________m(结果保留根号)．13．B 在A 的北偏东30°方向(距A )2千米处，C 在B 的正东方向(距B )2千米处，则C 和A 之间的距离为________千米．14．★(齐齐哈尔中考)BD 为等腰△ABC 的腰AC 上的高，BD ＝1，tan ∠ABD ＝3，则CD 的长为________________．三、解答题(共44分)15．(10分)如图，在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，sin B ＝45，AC ＝8，D 为线段BC 上一点，CD ＝2.(1)求BD 的值；(2)求cos ∠DAC 的值．16．(10分)(2016·临沂中考)一艘轮船位于灯塔P 南偏西60°方向，距离灯塔20海里的A 处，它向东航行多少海里到达灯塔P 南偏西45°方向上的B 处(参考数据：3≈1.732，结果精确到0.1海里)？【方法5】17．(12分)(2016·淮安中考)小宇想测量位于池塘两端的A ，B 两点的距离．他沿着与直线AB 平行的道路EF 行走，当行走到点C 处，测得∠ACF ＝45°，再向前行走100米到点D 处，测得∠BDF ＝60°.若直线AB 与EF 之间的距离为60米，求A ，B 两点的距离．18．(12分)(2016·泸州中考)如图，为了测量出楼房AC 的高度，从距离楼底C 处603米的点D (点D 与楼底C 在同一水平面上)出发，沿斜面坡度为i ＝1∶3的斜坡DB 前进30米到达点B ，在点B 处测得楼顶A 的仰角为53°，求楼房AC 的高度(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈43，计算结果用根号表示，不取近似值)．参考答案与解析1．D 2.B 3.A 4.C 5.C 6.D 7.A8．A 解析：∵BC ＝10米，BD ＝25米，∴在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan α＝10tan α①.在Rt △ABD 中，AB ＝BD ·tan β＝25tan β②.∵tan αtan β＝1，∴AB 2＝10tan α·25tan β＝250，∴AB ＝250＝510≈5×3.162＝15.81(米)．故选A.9．43 10.1211.65米 12.(103＋1)13．23 解析：根据题意，可画如图所示的示意图，过点B 作BD ⊥AC 于点D .∵B 在A 北偏东30°方向，∴∠BAE ＝60°，∴∠ABC ＝180°－60°＝120°.∵AB ＝BC ＝2千米，∴∠BAD ＝∠BCD ＝30°，AD ＝CD ，∴AD ＝AB ·cos30°＝2×32＝3(千米)，∴AC ＝2AD ＝23千米．14．2＋3或2－3 解析：分两种情况：如图①，∠A 为钝角，AB ＝AC ，在Rt △ABD 中，∵BD ＝1，tan ∠ABD ＝3，∴AD ＝3，AB ＝2，∴AC ＝2，∴CD ＝2＋3；如图②，∠A 为锐角，AB ＝AC ，在Rt △ABD 中，∵BD ＝1，tan ∠ABD ＝3，∴AD ＝3，AB ＝2，∴AC ＝2，∴CD ＝2－ 3.综上所述，CD 的长为2＋3或2－ 3.15．解：(1)在Rt △ABC 中，sin B ＝AC AB ＝45.又∵AC ＝8，∴AB ＝10，∴BC ＝AB 2－AC 2＝102－82＝6，∴BD ＝BC －CD ＝6－2＝4；(5分)(2)在Rt △ACD 中，∵AD ＝AC 2＋DC 2＝82＋22＝217，∴cos ∠DAC ＝AC AD ＝8217＝41717.(10分) 16．解：过点P 作PC ⊥AB 于点C .(1分)由题意，得∠APC ＝60°，∠BPC ＝45°，AP ＝20海里．在Rt △APC 中，∵cos ∠APC ＝PC AP ，sin ∠APC ＝ACAP ，∴PC ＝20·cos60°＝10(海里)，AC ＝20·sin60°＝103(海里)．(4分)在△PBC 中，∵∠BPC ＝45°，∴△PBC 为等腰直角三角形，∴BC ＝PC ＝10海里，(7分)∴AB ＝AC －BC ＝103－10≈7.3(海里)．(9分)答：它向东航行约7.3海里到达灯塔P 南偏西45°方向上的B 处．(10分)17．解：过点A 作AM ⊥EF 于点M ，过点B 作BN ⊥EF 于点N .(2分)由题意，得AM ＝BN ＝60米，AB ＝MN ，CD ＝100米．(5分)在Rt △ACM 中，∠ACM ＝45°，∴CM ＝AMtan45°＝601＝60(米)．(8分)在Rt △BDN 中，∠BDN ＝60°，∴DN ＝BN tan60°＝603＝203(米)，∴AB ＝MN ＝CD ＋DN －CM ＝100＋203－60＝(40＋203)(米)．(11分)答：A ，B 两点的距离是(40＋203)米．(12分) 18．解：过点B 作BN ⊥CD 于N ，BM ⊥AC 于M .(2分)在Rt △BDN 中，BD ＝30米，BN ∶ND ＝1∶3，∴BN ＝15米，DN ＝153米，∴CN ＝CD －DN ＝603－153＝453(米)．(5分)∵∠C ＝∠CMB ＝∠CNB ＝90°，∴四边形CMBN 是矩形，∴CM ＝BN ＝15米，BM ＝CN ＝453米．(8分)在Rt △ABM 中，tan ∠ABM ＝AM BM ≈43，∴AM ≈43BM ＝603米，∴AC ＝AM＋CM ＝(603＋15)米．(11分)答：楼房AC 的高度约为(603＋15)米．(12分)。
最新北师版初中数学九年级下册类比归纳专题利用转化思想求角度及解析答案
类比归纳专题：利用转化思想求角度——快速找到圆中求角度的解题渠道◆类型一 利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角1．(2017·兰州中考)如图，在⊙O 中，AB ︵＝BC ︵，点D 在⊙O 上，∠CDB＝25°，则∠AOB 的度数为( )A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°第1题图 第2题图 2．(2017·绍兴中考)如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A 在⊙O 上，边AB ，AC 分别与⊙O 交于点D ，E ，则∠DOE 的度数为________．3．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A ＝36°，∠C ＝28°，求∠B 的度数．◆类型二 利用圆内接四边形转化角4．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD ＝138°，则它的一个外角∠DCE 等于( )A．69°B．42°C．48°D．38°第4题图第5题图第6题图5．(2017·凉山中考)如图，已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O中，且∠C＝2∠A，则BD＝________．6．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E ＝________．◆类型三利用直径构造直角三角形转化角7．(2017·毕节中考)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，则∠BAD为( )A．30°B．50°C．60°D．70°第7题图第8题图8．如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB 的度数是________．9．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，AD为⊙O的直径，AE⊥BC于E.求证：∠BAD＝∠EAC.◆类型四利用特殊数量关系构造特殊角转化角10．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧AB恰好经过圆心O，点P是优弧AMB上一点，则∠APB的度数为( )A．45°B．30°C．75°D．60°第10题图第11题图11．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝2，⊙O的半径为2，则∠C＝________．参考答案与解析1．B 2.90°3．解：∵∠A ＝36°，∴∠BOC ＝2∠A ＝72°.∵∠BOC ＋∠C ＝∠A ＋∠B ，∴∠B ＝72°＋28°－36°＝64°.4．A 5.4 36．215° 解析：连接CE .∵五边形ABCDE 是圆内接五边形，∴四边形ABCE 是圆内接四边形，∴∠B ＋∠AEC ＝180°.∵∠CED ＝∠CAD ＝35°，∴∠B ＋∠AED ＝∠B ＋∠AEC ＋∠CED ＝180°＋35°＝215°.7．C8．65° 解析：连接BD .∵点D 是AC ︵的中点，∴CD ︵＝AD ︵，∴∠ABD ＝∠CBD .∵∠ABC ＝50°，∴∠ABD ＝12×50°＝25°.∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠DAB ＝90°－∠ABD ＝90°－25°＝65°.9．证明：连接BD .∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝90°，∴∠BAD ＋∠D ＝90°.∵AE ⊥BC ，∴∠AEC ＝90°，∴∠EAC ＋∠C ＝90°.又∵∠D ＝∠C ，∴∠BAD ＝∠EAC .10．D 解析：作半径OC ⊥AB 于D ，连接OA ，OB .∵将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧AB 恰好经过圆心O ，∴OD ＝CD ，∴OD ＝12OC ＝12OA ，∴∠OAD ＝30°.∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝30°，∴∠AOB ＝120°，∴∠APB ＝12∠AOB ＝60°.11．45° 解析：连接OA ，OB .∵OA ＝OB ＝2，AB ＝2，∴OA 2＋OB 2＝AB 2，∴∠AOB ＝90°，∴∠C ＝12∠AOB ＝45°.。
北师版数学九下9B专题复习 类比归纳专题：利用转化思想求角度(含答案)
类比归纳专题：利用转化思想求角度——快速找到圆中求角度的解题渠道 ◆类型一 利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角︵︵1．(2017·兰州中考)如图，在⊙O 中，AB＝BC，点D 在⊙O 上，∠CDB＝25°，则∠AOB的度数为( )A．45° B．50° C．55° D．60°第1 题图第2 题图2．(2017·绍兴中考)如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A 在⊙O 上，边AB，AC 分别与⊙O 交于点D，E，则∠DOE 的度数为________．3．如图，点A，B，C 在⊙O 上，∠A＝36°，∠C＝28°，求∠B 的度数．◆类型二 利用圆内接四边形转化角4．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，若∠BOD＝138°，则它的一个外角∠DCE 等于( ) A．69° B．42° C．48° D．38°第4 题图第5 题图第6 题图5．(2017·凉山中考)如图，已知四边形ABCD 内接于半径为4 的⊙O 中，且∠C＝2∠A，则BD＝________．6．如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝________．◆类型三 利用直径构造直角三角形转化角7．(2017·毕节中考)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ACD＝30°，则∠BAD为( )A．30° B．50° C．60° D．70°1第7 题图第8 题图8．如图，AB 是半圆的直径，点D 是弧AC 的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB 的度数是________．9．如图，△ABC 的顶点均在⊙O 上，AD 为⊙O 的直径，AE⊥BC 于E.求证：∠BAD ＝∠EAC.◆类型四 利用特殊数量关系构造特殊角转化角10．如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧AB 恰好经过圆心O，点P 是优弧AMB 上一点，则∠APB 的度数为( )A．45° B．30° C．75° D．60°第10 题图第11 题图11．如图，△ABC 内接于⊙O，AB＝2，⊙O 的半径为2，则∠C＝________．参考答案与解析1．B 2.90°23．解：∵∠A＝36°，∴∠BOC＝2∠A＝72°.∵∠BOC＋∠C＝∠A＋∠B，∴∠B＝72°＋28° －36°＝64°.4．A 5.4 36．215° 解析：连接CE.∵五边形ABCDE是圆内接五边形，∴四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠B＋∠AEC＝180°.∵∠CED＝∠CAD＝35°，∴∠B＋∠AED＝∠B＋∠AEC＋∠CED＝180°＋35°＝215°.7．C︵︵︵8．65° 解析：连接BD.∵点D是AC的中点，∴CD＝AD，∴∠ABD＝∠CBD.∵∠ABC1＝50°，∴∠ABD＝×50°＝25°.∵AB是半圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＝90°－∠ABD 2＝90°－25°＝65°.9 ．证明：连接BD.∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90° ，∴∠BAD＋∠D＝90°.∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴∠EAC＋∠C＝90°.又∵∠D＝∠C，∴∠BAD＝∠EAC.10．D 解析：作半径OC⊥AB于D，连接OA，OB.∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧AB1 1恰好经过圆心O，∴OD＝CD，∴OD＝OC＝OA，∴∠OAD＝30°.∵OA＝OB，∴∠OBA＝2 2130°，∴∠AOB＝120°，∴∠APB＝∠AOB＝60°.211．45° 解析：连接OA，OB.∵OA＝OB＝2，AB＝2，∴OA2＋OB2＝AB2，∴∠AOB 1＝90°，∴∠C＝∠AOB＝45°.23。
BS北师大版 九年级数学 下册第二学期春 类比归纳专题：利用转化思想求角度
类比归纳专题：利用转化思想求角度——快速找到圆中求角度的解题渠道◆类型一 利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角1．(2017·兰州中考)如图，在⊙O 中，AB ︵＝BC ︵，点D 在⊙O 上，∠CDB ＝25°，则∠AOB的度数为( )A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°第1题图 第2题图 2．(2017·绍兴中考)如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A 在⊙O 上，边AB ，AC 分别与⊙O 交于点D ，E ，则∠DOE 的度数为________．3．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A ＝36°，∠C ＝28°，求∠B 的度数．◆类型二 利用圆内接四边形转化角4．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD ＝138°，则它的一个外角∠DCE 等于( )A ．69°B ．42°C ．48°D ．38°第 4题图 第5题图 第6题图5．(2017·凉山中考)如图，已知四边形ABCD 内接于半径为4的⊙O 中，且∠C ＝2∠A ，则BD ＝________．6．如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD ＝35°，则∠B ＋∠E ＝________． ◆类型三 利用直径构造直角三角形转化角7．(2017·毕节中考)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ACD ＝30°，则∠BAD为( )A ．30°B ．50°C ．60°D ．70°第7题图 第8题图 8．如图，AB 是半圆的直径，点D 是弧AC 的中点，∠ABC ＝50°，则∠DAB 的度数是________．9．如图，△ABC 的顶点均在⊙O 上，AD 为⊙O 的直径，AE ⊥BC 于E.求证：∠BAD ＝∠EAC.◆类型四 利用特殊数量关系构造特殊角转化角10．如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧AB 恰好经过圆心O ，点P 是优弧AMB 上一点，则∠APB 的度数为( )A ．45°B ．30°C ．75°D ．60°第10题图 第11题图 11．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝2，⊙O 的半径为2，则∠C ＝________．参考答案与解析1．B 2.90°3．解：∵∠A ＝36°，∴∠BOC ＝2∠A ＝72°.∵∠BOC ＋∠C ＝∠A ＋∠B ，∴∠B ＝72°＋28°－36°＝64°.4．A 5.4 36．215° 解析：连接CE .∵五边形ABCDE 是圆内接五边形，∴四边形ABCE 是圆内接四边形，∴∠B ＋∠AEC ＝180°.∵∠CED ＝∠CAD ＝35°，∴∠B ＋∠AED ＝∠B ＋∠AEC ＋∠CED ＝180°＋35°＝215°.7．C8．65° 解析：连接BD .∵点D 是AC ︵的中点，∴CD ︵＝AD ︵，∴∠ABD ＝∠CBD .∵∠ABC＝50°，∴∠ABD ＝12×50°＝25°.∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠DAB ＝90°－∠ABD ＝90°－25°＝65°.9．证明：连接BD .∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝90°，∴∠BAD ＋∠D ＝90°.∵AE ⊥BC ，∴∠AEC ＝90°，∴∠EAC ＋∠C ＝90°.又∵∠D ＝∠C ，∴∠BAD ＝∠EAC .10．D 解析：作半径OC ⊥AB 于D ，连接OA ，OB .∵将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧AB恰好经过圆心O ，∴OD ＝CD ，∴OD ＝12OC ＝12OA ，∴∠OAD ＝30°.∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝30°，∴∠AOB ＝120°，∴∠APB ＝12∠AOB ＝60°. 11．45° 解析：连接OA ，OB .∵OA ＝OB ＝2，AB ＝2，∴OA 2＋OB 2＝AB 2，∴∠AOB＝90°，∴∠C ＝12∠AOB ＝45°.。