2010年自考《高等数学》(一)第一章同步辅导训练3

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2010高等数学1

2010年成人专升本招生全国统一考试高等数学（一）试卷一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

120lim(1)x x →+=（ C ）。

A 3 B 2 C 1 D 0 知识点：求极限)(x f 无分母或分母不为0，其极限=函数值2设sin y x x =+，则y '=（ D ） A sin x B x C cos x x + D 1cos x +知识点：导数公式，求导规则v u v u '±'='±)(3设2x y e =，则dy =（ B ） A 2x e dx B 22x e dx C 212x e dx D 2x e dx知识点：导数公式，复合函数求导规则 ,微分公式解：x x e x e y 222)2.(='=', dx e dx y dy x 22='=41(1)dx x -=⎰（ C ）。

A 21x c x -+ B 21x c x++ C ln ||x x c -+ D ln ||x x c ++ 知识点：积分公式，积分性质⎰⎰⎰+=+gdx fdx dx g f )(5设5x y =，则y '=（ C ）。

A 15x - B 5x C 5ln 5x D 15x + 知识点：导数公式 6limxt x e dt x→=⎰（ D ） A x e B 2e C e D 1知识点：洛比达法则求型极限,变上限定积分求导解：limxt x e dt x→=⎰11lim 0=→xx e 7设22zx y xy =+，则z x∂=∂（ A ）。

A 22xy y + B 22x xy + C 4xy D 22x y + 知识点：计算一阶偏导数8过点（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）的平面方程为（ A ） A1x y z ++= B 21x y z ++= C 21x y z ++= D 21x y z ++=知识点：平面方程，三点决定一个平面。

2010“专升本”《高数》试题及答案

《高等数学》试卷一、单项选择题（每题2分，共计60分，在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题无分）1.已知函数)12(-x f 的定义域为]1,0[ ，则)(x f 的定义域为（）A. ]1,21[ B. ]1,1[- C. ]1,0[ D. ]2,1[-解：B x x ⇒≤-≤-⇒≤≤112110.2.)1lg()(2x x x f -+=在),(+∞-∞是（） A ．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数解：01lg )1lg()1lg()()(22==+++-+=-+x x x x x f x f A ⇒. 3. 当0→x 时，x x s i n 2-是x的（） A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 同阶非等价无穷小 D. 等价无穷小解： 1sin lim20-=-→x x x x ， C ⇒. 4.=+∞→nn n n sin 32lim （）A. ∞B. 2C. 3D. 5 解：B n n n n n n n ⇒=+=+∞→∞→2]sin 32[lim sin 32lim . 5.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠-=0,10,1)(2x a x x e x f ax 在0=x 处连续，则 =a （） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解：B a a a ae x e x f ax x ax x x ⇒=⇒+===-=→→→1122lim 1lim)(lim 20200. 6. 设函数)(x f 在1=x 可导，则=--+→xx f x f x )1()21(lim0 （） A. )1(f ' B. )1(2f ' C. )1(3f ' D. -)1(f '解：x x f f f x f x x f x f x x )1()1()1()21(lim )1()21(lim 00--+-+=--+→→ C f x f x f x f x f x x ⇒'=---+-+=→→)1(3)1()1(lim 2)1()21(lim200 7. 若曲线12+=x y 上点M 处的切线与直线14+=x y 平行，则M 的坐标（）A. （2，5）B. （-2，5）C. （1，2）D.（-1，2）解： A y x x x y ⇒==⇒=⇒='5,5422000.8.设⎪⎩⎪⎨⎧==⎰202cos sin ty du u x t ，则=dx dy （） A. 2t B. t 2 C.-2t D. t 2-解： D t tt t dx dy ⇒-=-=2sin sin 222. 9.已知x x x f n ln )()2(=-，则=)()(x f n （）A.211x+ B. x 1C. x lnD. x x ln 解：B x x f x x f x x x f n n n ⇒=⇒+=⇒=--1)(ln 1)(ln )()()1()2(.10.233222++--=x x x x y 有（）A. 一条垂直渐近线，一条水平渐近线B. 两条垂直渐近线，一条水平渐近线C. 一条垂直渐近线，两条水平渐近线D. 两条垂直渐近线，两条水平渐近线解：A y y y x x x x x x x x y x x x ⇒∞=-==⇒++-+=++--=-→-→∞→2122lim ,4lim ,2lim )2)(1()3)(1(2332 . 11.在下列给定的区间满足罗尔中值定理的是（）A. ]2,0[|,1|-=x yB. ]2,0[,)1(132-=x yC.]2,1[,232+-=x x y D ． ]1,0[,arcsin x x y = 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等C ⇒12. 函数x e y -=在区间),(+∞-∞为（）A. 单增且凹B. 单增且凸C. 单减且凹D. 单减且凸解： C e y e y x x ⇒>=''<-='--0,0.13.⎰+=C x F dx x f )()(曲线，则⎰=--dx e f e xx )( （） A.C e F e x x ++--)( B. C e F e x x +---)(C. C e F x +-)(D. C e F x +--)(解：D C e F e d e f dx e f e xx x x x ⇒+-=-=⎰⎰-----)()()()(.14. 设函数x e x f =-')12( ，则 =)(x f （）A. C e x +-1221 B. C e x +-)1(212 C. C e x ++1221 D. C e x ++)1(212解：D C e x f e x f e x f x x x ⇒+=⇒='⇒=-'++)1(21)1(212)()()12(. 15. =⎰b axdx dx darctan （）A.x arctanB. 0C. a b arctan arctan -D. a b arctan arctan + 解：⎰b a xdx arctan 是常数，所以 B xdx dx d ba ⇒=⎰0arctan .16.下列广义积分收敛的为（） A. ⎰+∞1dx e x B. ⎰+∞11dx x C. ⎰+∞+1241dx x D. ⎰+∞1cos xdx 解：C x dx x ⇒-==++∞∞+⎰)21arctan 4(412arctan 4141112π. 17.设区域D 由)(),(,),(,x g y x f y a b b x a x ==>==所围成，则区域D 的面积为（） A. ⎰-b a dx x g x f )]()([ B. ⎰-b a dx x g x f )]()([ C. ⎰-b adx x f x g )]()([ D. ⎰-b adx x g x f |)()(|解：由定积分的几何意义可得D 的面积为 ⎰-badx x g x f |)()(|D ⇒.18. 若直线32311-=+=-z n y x 与平面01343=++-z y x 平行，则常数=n （）A. 2B. 3C. 4D. 5 解： B n n n ⇒=⇒=+-⇒-⊥30943}3,43{}3,,1{.19.设y xy x y x f arcsin)1(),(-+=，则偏导数)1,(x f x '为（） A.2 B.1 C.-1 D.-2 解： B x f x x f x ⇒='⇒=1)1,()1,(. 20. 方程02=-xyz e z 确定函数),(y x f z = ，则x z ∂∂ = （）A. )12(-z x zB. )12(+z x zC. )12(-z x yD. )12(+z x y解：令⇒-='-='⇒-=xy e F yz F xyz e z y x F z z x z 222,),,( A z x zxy xyz yz xy e yz x z z ⇒-=-=-=∂∂⇒)12(222 21.设函数xy y x z +=2，则===11y x dz （）A. dy dx 2+B. dy dx 2-C. dy dx +2D. dy dx -2 解：222x ydx xdy dy x xydx dz -++= A dy dx dx dy dy dx dz y x ⇒+=-++=⇒==2211.22.函数2033222+--=y x xy z 在定义域上（）A.有极大值，无极小值B. 无极大值，有极小值C.有极大值，有极小值D. 无极大值，无极小值解：,6)0,0(),(062,06222-=∂∂⇒=⇒=-=∂∂=-=∂∂x z y x y x y z x y x z⇒=∂∂∂-=∂∂2,6222y x zy z 是极大值A ⇒. 23由012222=+--+y x y x 围成的闭区域D ，则=⎰⎰Ddxdy （）A. πB. 2πC.4πD. 16π解：有二重积分的几何意义知：=⎰⎰Ddxdy 区域D 的面积为π.24累次积分⎰⎰>axa dy y x f dx 0)0(),(交换后为（）A. ⎰⎰a x dx y x f dy 0),( B. ⎰⎰a aydx y x f dy 0),(C. ⎰⎰a a dx y x f dy 0),( D. ⎰⎰a yadx y x f dy 0),(解：积分区域},0|),{(}0,0|),{(a x y a y y x x y a x y x D ≤≤≤≤=≤≤≤≤=B ⇒.25.二重积分⎰⎰20sin 20)sin ,cos (πθθθθrdr r r f d 在直角坐标系下积分区域可表示为（）A. ,222y y x ≤+B. ,222≤+y xC. ,222x y x ≤+D. 220y y x -≤≤ 解：在极坐标下积分区域可表示为：}sin 20,20|),{(θπθθ≤≤≤≤=r r D ，在直角坐标系下边界方程为y y x 222=+，积分区域为右半圆域D ⇒26.设L 为直线1=+y x 坐标从点)0,1(A 到)1,0(B 的有向线段，则⎰-+L dy dx y x )( （） A. 2 B.1 C. -1 D. -2解：L ：,1⎩⎨⎧-==x y xx x 从1变到0 ，⎰⎰⇒-=+=-+012)(D dx dx dy dx y x L . 27.下列级数绝对收敛的是（）A ．∑∞=1sin n n πB ．∑∞=-1sin )1(n n n π C ． ∑∞=-12sin )1(n n n π D ． ∑∞=0cos n n π解： ⇒<22sin n n ππC n n ⇒∑∞=12sin π. 28. 设幂级数n n n n a x a (0∑∞=为常数 ,2,1,0=n ），在 2-=x 处收敛，则∑∞=-0)1(n n na （）A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性不确定解：∑∞=0n nn x a 在2-=x 收敛，则在1-=x 绝对收敛，即级数∑∞=-0)1(n n n a 绝对收敛A ⇒.29. 微分方程0sin cos cos sin =+ydx x ydy x 的通解为（） A.C y x =sin cos B. C y x =cos sin C. C y x =sin sin D. C y x =cos cos 解：dx x x dy y y ydx x ydy x sin cos sin cos 0sin cos cos sin -=⇒=+ C C x y x x d y y d ⇒=+⇒-=⇒ln sin ln sin ln sin sin sin sin . 30.微分方程x xe y y y -=-'+''2，特解用特定系数法可设为（） A.x e b ax x y -+=*)( B. x e b ax x y -+=*)(2 C. x e b ax y -+=*)( D. x axe y -=* 解：-1不是微分方程的特征根，x 为一次多项式，可设x e b ax y -+=*)( C ⇒.二、填空题（每题2分，共30分） 31.设 ,1||,01||,1)(⎩⎨⎧>≤=x x x f ，则=)(sin x f _________ 解：1)(sin 1}sin |=⇒≤x f x .32.若=--+→x x x x 231lim 22=_____________ 解：=++=++--=--+→→→)31(1lim )31)(2()2(lim 231lim 2222x x x x x x x x x x x x 123341==. 33.已知x y 2arctan =，则=dy __________ 解：dx xdy 2412+= . 34.函数 bx x a x x f ++=23)(，在1-=x 处取得极值-2，则_______,==b a . 解：b a b a b ax x x f -+-=-=+-⇒++='12,02323)(2.5,4==⇒b a .35.曲线12323-+-=x x x y 的拐点为 __________解：)1,1(),(0662632-=⇒=-=''⇒+-='y x x y x x y .36.设)(),(x g x f 是可微函数，且为某函数的原函数，有1)1(,3)1(==g f 则=-)()(x g x f _________解：2)1()1()()(=-=⇒=-g f C C x g x f 2)()(=-⇒x g x f .37.⎰-=+ππ)sin (32x x _________解：3202sin )sin (023232ππππππππ=+=+=+⎰⎰⎰⎰---x xdx dx x x x . 38.设⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,0,)(2x x x e x f x ，则 ⎰=-20)1(dx x f __________解：⎰⎰⎰⎰--=--=+==-201110012132)()1(e dx e dx x dt t f dx x f x t x .39. 已知 }1,1,2{},2,1,1{-==b a，则向量a 与b 的夹角为=__________解：3,21663||||,cos π>=⇒<==⋅>=<b a b a b a b a.40.空间曲线⎩⎨⎧==022z xy 绕x 轴旋转所得到的曲面方程为 _________.解：把x y 22=中的2y 换成22y z +即得所求曲面方程x y z 222=+.41. 函数y x x z sin 22+=，则 =∂∂∂yx z2_________解： ⇒+=∂∂y x x x z sin 22y x yx z cos 22==∂∂∂ . 42.设区域}11,10|),{(≤≤-≤≤=y x y x D ，则___)(2⎰⎰=-Ddxdy xy . 解：⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-=--Ddx x dy x y dx dxdy x y 102101122322)()( .43. 函数2)(x e x f -=在0=x 处的展开成幂级数为________________解： ∑∞=⇒=0!n n xn x e ∑∑∞=∞=-+∞-∞∈-=-==0022),(,!1)1(!)()(2n n n n n x x x n n x e x f .44.幂级数∑∞=+++-0112)1()1(n n n nn x 的和函数为 _________ 解：∑∑∑∞=∞=-+∞=+++=-=+-=+-0111011)21ln()2()1(1)2()1(2)1()1(n n nn n n n n n nx n x n x n x .45.通解为x x e C e C y 321+=-的二阶线性齐次常系数微分方程为_________解：x x e C e C y 321+=-0323,1221=--⇒=-=⇒λλλλ032=-'-''⇒y y y .三、计算题（每小题5分，共40分）46． x x e x xx 2sin 1lim 3202-→-- 解：20300420320161lim 3222lim 81lim 2sin 1lim2222x e x xe x x ex xx e x x x x x x x x x -=+-=--=---→-→-→-→ 161lim 161322lim220000-=-=-=-→-→x x x x e x xe . 47.设x x x y 2sin 2)3(+=，求dxdy解：取对数得：)3ln(2sin ln 2x x x y +=，两边对x 求导得：xx x x x x x y y 3322sin )3ln(2cos 2122++++='所以]3322sin )3ln(2cos 2[)3(222sin 2xx x x x x x x x y x +++++=' xx x x x x x x x x x 2sin )32()3()3ln(2cos )3(212sin 222sin 2+++++=-.48.求 ⎰-dx x x 224解：⎰⎰⎰⎰-===-=dt t tdt tdt t tdx x x tx )2cos 1(2sin 4cos 2cos 2sin 4422sin 222C x x x C t t x C t t +--=+-=+-=242arcsin 2cos sin 22arcsin 22sin 2249.求⎰--+102)2()1ln(dx x x解：⎰⎰⎰+---+=-+=-+101010102)1)(2(12)1ln(21)1ln()2()1ln(dx x x x x x d x dx x x⎰=-=+-+=++--=10102ln 312ln 322ln 12ln 312ln )1121(312ln x x dx x x ..50.设),()2(xy x g y x f z ++= ，其中),(),(v u g t f 是可微函数，求 yzx z ∂∂∂∂,解：xv v g x u u g x y x y x f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂+∂+'=∂∂)2()2( ),(),()2(2xy x g y xy x g y x f v u'+'++'==∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂+∂+'=∂∂y vv g y u u g y y x y x f y z )2()2(),()2(xy x g x y x f v '++'. 51．计算积分⎰⎰=Dydxdy x I 2 ，其中:D 由直线1,2,===x x y x y 所围成的闭区域.解：积分区域如图所示，可表示为：x y x x 2,10≤≤≤≤.所以 ⎰⎰⎰⎰==1222xx Dydy x dx ydxdy x I10310323)2(10510421022====⎰⎰x dx x y dx x xx52．求幂级数nn nx ∑∞=--+0)1()3(11的收敛区间（不考虑端点）. 解：令t x =-1，级数化为 n n nt ∑∞=-+0)3(11，这是不缺项的标准的幂级数. 因为 313)3(11)3(1lim )3(1)3(1lim lim 11=--+-=-+-+==∞→+∞→+∞→nnn n n n n n n a a ρ，故级数nn nt ∑∞=-+0)3(11的收敛半径31==ρR ，即级数收敛区间为（-3，3）. 对级数nn nx ∑∞=--+0)1()3(11有313<-<-x ，即42<<-x . 故所求级数的收敛区间为），（42-.53．求微分方程 0)12(2=+-+dy x xy dy x 通解.解：微分方程0)12(2=+-+dx x xy dy x 可化为 212xxy x y -=+'，这是一阶线性微分方程，它对应的齐次线性微分方程02=+'y x y 通解为2xCy =.设非齐次线性微分方程的通解为2)(x x C y =，则3)(2)(xx C x C x y -'='，代入方程得C x x x C x x C +-=⇒-='2)(1)(2.故所求方程的通解为2211xCx y +-=.四、应用题（每题7分，共计14分）54.某公司甲乙两厂生产一种产品，甲乙两厂月产量分别为y x ,千件；甲厂月产量成本为5221+-=x x C ，乙厂月产量成本为3222++=y y C ；要使月产量为8千件，且总成本最小，求甲乙两厂最优产量和最低成本？解：由题意可知：总成本8222221++-+=+=y x y x C C C ，约束条件为8=+y x .问题转化为在8=+y x 条件下求总成本C 的最小值 . 由8=+y x 得x y -=8，代入得目标函数为0(882022>+-=x x x C 的整数）.则204-='x C ，令0='C 得唯一驻点为5=x ，此时有04>=''C . 故5=x 使C 得到极小唯一极值点，即最小值点.此时有38,3==C y . 所以甲乙两厂最优产量分别为5千件和3千件，最低成本为38成本单位. 55.求曲线)2)(1(--=x x y 和x 轴所围成图形绕y 轴旋转一周所得的体积. 解：平面图形如下图所示：此立体可看作x 区域绕y利用体积公式⎰=ba y dx x f x V |)(|2π.显然，抛物线与x 两交点分别为（1，0）；（2平面图形在x 轴的下方.故⎰⎰---==21)2)(1(2|)(|2x x x dx x f x V ba y ππ2)4(2)23(2212342123πππ=+--=+--=⎰x x x dx x x x .xx五、证明题（6分）56设)(x f 在],[a a -上连续，且>a ，求证⎰⎰--+=aaadx x f x f dx x f 0)]()([)(.并计算⎰--+441cos ππdx e xx .证明：因为⎰⎰⎰--+=aaaadx x f dx x f dx x f 0)()()(，而⎰⎰⎰⎰-=-=--=-=-0)()()()()(aaa tx a dx x f dt t f t d t f dx x f ，故⎰⎰⎰⎰⎰-+=+=--aaa aa adx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 0)()()()()( 即有⎰⎰--+=aaadx x f x f dx x f 0)]()([)(.利用上述公式有dx e e e x dx e x e x dx e x x x x x x x ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=+-++=+---404044111cos ]1)cos(1cos [1cos ππππ 22sin cos 4040===⎰ππx dx x .说明：由于时间紧，个别题目语言叙述与试卷有点不近相同，没有进行认真检查，考生仅作参考.河南省“专升本”考试《高等数学》辅导专家葛云飞提供.。

专升本高数第一章练习题(带答案)

第一部分：1．下面函数与为同一函数的是（）y x =2.A y =.B y =ln .x C y e =.ln xD y e =解：，且定义域，∴选Dln ln xy e x e x === (),-∞+∞2．已知是的反函数，则的反函数是（）ϕf ()2f x()1.2A y x ϕ=().2B y x ϕ=()1.22C y x ϕ=().22D y x ϕ=解:令反解出：互换，位置得反函数，选A ()2,y f x =x ()1,2x y =ϕx y ()12y x =ϕ3．设在有定义，则下列函数为奇函数的是（）()f x (),-∞+∞()().A y f x f x =+-()().B y x f x f x =--⎡⎤⎣⎦()32.C y x f x =()().D y f x f x =-⋅解：的定义域且∴()32y x f x = (),-∞+∞()()()()()3232y x x f xx f x y x -=-=-=-选C4．下列函数在内无界的是（）(),-∞+∞21.1A y x=+.arctan B y x =.sin cos C y x x =+.sin D y x x=解: 排除法：A 有界，B 有界，C ，21122x x x x ≤=+arctan 2x π<sin cos x x +≤故选D5．数列有界是存在的（）{}n x lim n n x →∞A 必要条件B 充分条件C 充分必要条件D 无关条件解：收敛时，数列有界（即），反之不成立，（如有界，但不{}n x n x n x M ≤(){}11n --收敛，选A.6．当时，与为等价无穷小，则= （）n →∞21sinn 1k nk AB 1C 2D -212解：，选C 2211sin limlim 111n n k kn n n n →∞→∞==2k =i n二、填空题（每小题4分，共24分）7．设，则的定义域为 ()11f x x=+()f f x ⎡⎤⎣⎦解： ∵()f f x ⎡⎤⎣⎦()111111f x x==+++112x x x≠-+=+∴定义域为.()f f x ⎡⎤⎣⎦(,2)(2,1)(1,)-∞-⋃--⋃-+∞8．设则2(2)1,f x x +=+(1)f x -=解：（1）令 ()22,45x t f t t t +==-+()245f x x x =-+（2）.()221(1)4(1)5610f x x x x x -=---+=-+9．函数的反函数是44log log 2y =解：（1），反解出：；（2）互换位置，得反函数4log y =x 214y x -=,x y .214x y -=10．n =解：原式.3lim2n =有理化11．若则.105lim 1,knn e n --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭k =解：左式= 故.5lim ()510n kn k ne e e →∞---==2k =12．=2352lim sin 53n n n n→∞++解：当时，～ ∴原式== . n →∞2sin n 2n 2532lim 53nn n n →∞+⋅+65三、计算题（每小题8分，共64分）13．设求sin1cos 2x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x解：.故.22sin 2cos 21sin 222x x x f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()221f⎡⎤∴=-⎣⎦()()221f x x =-14．设，的反函数，求()f x ln x =()g x ()()1211x g x x -+=-()()f g x 解: （1）求 ∴反解出：22():1x g x y x +=- x 22xy y x -=+22x y y =+-互换位置得(2).,x y ()22g x x x =+-()()ln ln 22f g x g x x x ==⎡⎤⎣⎦+-15．设，求的值。

高等数学第一章练习题

第一章函数、极限、连续一、单项选择题1.区间[a,+∞)，表示不等式（）2.若3.函数是（）。

（A）偶函数（B）奇函数（C）非奇非偶函数（D）既是奇函数又是偶函数4.函数y=f(x)与其反函数 y=f-1（x）的图形对称于直线（）。

5.函数6.函数7.若数列{x n}有极限a,则在a的ε邻域之外，数列中的点（）（A）必不存在（B）至多只有有限多个（C）必定有无穷多个（D）可以有有限个，也可以有无限多个8.若数列{ x n }在（a-ε, a+ε）邻域内有无穷多个数列的点，则（），（其中为某一取定的正数）（A）数列{ x n }必有极限，但不一定等于a（B）数列{ x n }极限存在且一定等于a（C）数列{ x n }的极限不一定存在（D）数列{ x n }一定不存在极限9.数列（A）以0为极限（B）以1为极限（C）以（n-2）/n为极限（D）不存在极限10.极限定义中ε与δ的关系是（）（A）先给定ε后唯一确定δ（B）先确定ε后确定δ，但δ的值不唯一（C）先确定δ后给定ε（D）ε与δ无关11.任意给定12.若函数f（x）在某点x0极限存在，则（）（A） f（x）在 x0的函数值必存在且等于极限值（B） f（x）在x0的函数值必存在，但不一定等于极限值（C） f（x）在x0的函数值可以不存在（D）如果f（x0）存在则必等于极限值13.如果14.无穷小量是（）（A）比0稍大一点的一个数（B）一个很小很小的数（C）以0为极限的一个变量（D）0数15.无穷大量与有界量的关系是（）（A）无穷大量可能是有界量（B）无穷大量一定不是有界量（C）有界量可能是无穷大量（D）不是有界量就一定是无穷大量16.指出下列函数中当X→0+ 时，（）为无穷大量。

17.若18.设19.求20.求21.求22.求23.求24.无穷多个无穷小量之和（）（A）必是无穷小量（B）必是无穷大量（C）必是有界量（D）是无穷小，或是无穷大，或有可能是有界量25.两个无穷小量α与β之积αβ仍是无穷小量，且与α或β相比（）。

高等数学课后习题及参考答案(第一章)

高等数学课后习题及参考答案（第一章）习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241x y -=; 解由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y ,所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0ln )()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211x x y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解不是周期函数.(5)y =sin 2x .解是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y ;解由31+=x y 得x =y 3-1, 所以31+=x y 的反函数为y =x 3-1.(2)xx y +-=11; 解由x x y +-=11得y y x +-=11, 所以x x y +-=11的反函数为xx y +-=11. (3)dcx b ax y ++=(ad -bc ≠0); 解由d cx b ax y ++=得a cy b dy x -+-=, 所以d cx b ax y ++=的反函数为acx b dx y -+-=. (4) y =2sin3x ;解由y =2sin 3x 得2arcsin 31y x =, 所以y =2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =. (5) y =1+ln(x +2);解由y =1+ln(x +2)得x =e y -1-2, 所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x -1-2.(6)122+=x x y . 解由122+=x x y 得y y x -=1log 2, 所以122+=x x y 的反函数为x x y -=1log 2. 15. 设函数f (x )在数集X 上有定义, 试证: 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证明先证必要性. 设函数f (x )在X 上有界, 则存在正数M , 使|f (x )|≤M , 即-M ≤f (x )≤M . 这就证明了f (x )在X 上有下界-M 和上界M .再证充分性. 设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2, 即K 1≤f (x )≤ K 2 . 取M =max{|K 1|, |K 2|}, 则 -M ≤ K 1≤f (x )≤ K 2≤M ,即 |f (x )|≤M .这就证明了f (x )在X 上有界.16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1) y =u 2, u =sin x , 61π=x , 32π=x ; 解 y =sin 2x , 41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy . (2) y =sin u , u =2x , 81π=x ,42π=x ; 解 y =sin2x , 224sin )82sin(1==⋅=ππy ,12sin )42sin(2==⋅=ππy .(3)u y =, u =1+x 2, x 1=1, x 2= 2;解 21x y +=, 21121=+=y , 52122=+=y .(4) y =e u , u =x 2, x 1 =0, x 2=1;解 2x e y =, 1201==e y , e e y ==212.(5) y =u 2 , u =e x , x 1=1, x 2=-1.解 y =e 2x , y 1=e 2⋅1=e 2, y 2=e 2⋅(-1)=e -2.17. 设f (x )的定义域D =[0, 1], 求下列各函数的定义域:(1) f (x 2);解由0≤x 2≤1得|x |≤1, 所以函数f (x 2)的定义域为[-1, 1].(2) f (sin x );解由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅), 所以函数f (sin x )的定义域为[2n π, (2n +1)π] (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅) .(3) f (x +a )(a >0);解由0≤x +a ≤1得-a ≤x ≤1-a , 所以函数f (x +a )的定义域为[-a , 1-a ].(4) f (x +a )+f (x -a )(a >0).解由0≤x +a ≤1且0≤x -a ≤1得: 当210≤<a 时, a ≤x ≤1-a ; 当21>a 时, 无解. 因此当210≤<a 时函数的定义域为[a , 1-a ], 当21>a 时函数无意义. 18. 设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11||01|| 1)(x x x x f , g (x )=e x , 求f [g (x )]和g [f (x )], 并作出这两个函数的图形.解 ⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11||01|| 1)]([x x x e e e x g f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10 00 1)]([x x x x g f . ⎪⎩⎪⎨⎧>=<==-1|| 1||e 1|| )]([101)(x e x x e e xfg x f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1|| 1|| 11|| )]([1x e x x e x f g .19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角ϕ=40︒(图1-37). 当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时, 求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式, 并指明其定义域.图1-37解 40sin h DC AB ==, 又从0)]40cot 2([21S h BC BC h =⋅++ 得h hS BC ⋅-= 40cot 0, 所以 h h S L40sin 40cos 20-+=. 自变量h 的取值范围应由不等式组h >0, 040cot 0>⋅-h hS 确定, 定义域为40cot 00S h <<.20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数;(2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数;(3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？解 (1)当0≤x ≤100时, p =90.令0.01(x 0-100)=90-75, 得x 0=1600. 因此当x ≥1600时, p =75.当100<x <1600时,p =90-(x -100)⨯0.01=91-0. 01x .综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=1600 75160010001.0911000 90x x x x p . (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600 151600100 01.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P .(3) P =31⨯1000-0.01⨯10002=21000(元).习题1-21. 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势, 写出它们的极限:(1)nn x 21=; 解当n →∞时, nn x 21=→0, 021lim =∞→n n . (2)nx n n 1)1(-=; 解当n →∞时, n x n n 1)1(-=→0, 01)1(lim =-∞→nn n . (3)212nx n +=; 解当n →∞时, 212n x n +=→2, 2)12(lim 2=+∞→nn . (4)11+-=n n x n ; 解当n →∞时, 12111+-=+-=n n n x n →0, 111lim =+-∞→n n n . (5) x n =n (-1)n .解当n →∞时, x n =n (-1)n 没有极限.2. 设数列{x n }的一般项nn x n 2cos π=. 问n n x ∞→lim =? 求出N , 使当n >N 时, x n 与其极限之差的绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数N .解 0lim =∞→n n x . n n n x n 1|2cos ||0|≤=-π. ∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<n 1, 也就是ε1>n . 取]1[ε=N , 则∀n >N , 有|x n -0|<ε .当ε =0.001时, ]1[ε=N =1000. 3. 根据数列极限的定义证明:(1)01lim 2=∞→n n ;分析要使ε<=-221|01|n n , 只须ε12>n , 即ε1>n . 证明因为∀ε>0, ∃]1[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-|01|2n , 所以01lim 2=∞→n n . (2)231213lim =++∞→n n n ; 分析要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|, 只须ε<n41, 即ε41>n . 证明因为∀ε>0, ∃]41[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-++|231213|n n , 所以231213lim =++∞→n n n . (3)1lim 22=+∞→na n n ; 分析要使ε<<++=-+=-+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|, 只须ε2a n >. 证明因为∀ε>0, ∃][2εa N =, 当∀n >N 时, 有ε<-+|1|22n a n , 所以1lim 22=+∞→na n n . (4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 分析要使|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|ε<=-1101n , 只须1101-n <ε , 即ε1lg 1+>n . 证明因为∀ε>0, ∃]1lg 1[ε+=N , 当∀n >N 时, 有|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|<ε , 所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 4. a u n n =∞→lim , 证明||||lim a u n n =∞→. 并举例说明: 如果数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限.证明因为a u n n =∞→lim , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有ε<-||a u n , 从而 ||u n |-|a ||≤|u n -a |<ε .这就证明了||||lim a u n n =∞→.数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限. 例如1|)1(|lim =-∞→n n , 但n n )1(lim -∞→不存在.5. 设数列{x n }有界, 又0lim =∞→n n y , 证明: 0lim =∞→n n n y x .证明因为数列{x n }有界, 所以存在M , 使∀n ∈Z , 有|x n |≤M .又0lim =∞→n n y , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有M y n ε<||. 从而当n >N 时, 有εε=⋅<≤=-M M y M y x y x n n n n n |||||0|,所以0lim =∞→n n n y x .6. 对于数列{x n }, 若x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 证明: x n →a (n →∞).证明因为x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 所以∀ε>0, ∃K 1, 当2k -1>2K 1-1时, 有| x 2k -1-a |<ε ; ∃K 2, 当2k >2K 2时, 有|x 2k -a |<ε .取N =max{2K 1-1, 2K 2}, 只要n >N , 就有|x n -a |<ε . 因此x n →a (n →∞).习题1-31. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3=-→x x ;分析因为|(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|, 所以要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε31|3|<-x .证明因为∀ε>0, ∃εδ31=, 当0<|x -3|<δ时, 有|(3x -1)-8|<ε , 所以8)13(lim 3=-→x x .(2)12)25(lim 2=+→x x ;分析因为|(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|, 所以要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε51|2|<-x .证明因为∀ε >0, ∃εδ51=, 当0<|x -2|<δ时, 有 |(5x +2)-12|<ε , 所以12)25(lim 2=+→x x .(3)424lim 22-=+--→x x x ;分析因为|)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x , 所以要使ε<--+-)4(242x x , 只须ε<--|)2(|x . 证明因为∀ε >0, ∃εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有ε<--+-)4(242x x , 所以424lim22-=+--→x x x .(4)21241lim 321=+--→x x x . 分析因为|)21(|2|221|212413--=--=-+-x x x x , 所以要使ε<-+-212413x x , 只须ε21|)21(|<--x .证明因为∀ε >0, ∃εδ21=, 当δ<--<|)21(|0x 时, 有ε<-+-212413x x , 所以21241lim 321=+--→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明:(1)2121lim 33=+∞→x x x ; 分析因为333333||21212121x x x x x x =-+=-+, 所以要使ε<-+212133x x , 只须ε<3||21x , 即321||ε>x . 证明因为∀ε >0, ∃321ε=X , 当|x |>X 时, 有ε<-+212133x x , 所以2121lim 33=+∞→x x x . (2)0sin lim =+∞→xx x .分析因为xx x x x 1|sin |0sin ≤=-. 所以要使ε<-0sin x x , 只须ε<x1, 即21ε>x .证明因为∀ε>0, ∃21ε=X , 当x >X 时, 有ε<-0sin xx ,所以0sin lim =+∞→xx x .3. 当x →2时, y =x 2→4. 问δ等于多少, 使当|x -2|<δ时, |y -4|<0.001？解由于当x →2时, |x -2|→0, 故可设|x -2|<1, 即1<x <3. 要使|x 2-4|=|x +2||x -2|<5|x -2|<0.001, 只要0002.05001.0|2|=<-x .取δ=0.0002, 则当0<|x -2|<δ时, 就有|x 2-4|<0. 001.4. 当x →∞时, 13122→+-=x x y , 问X 等于多少, 使当|x |>X 时, |y -1|<0.01?解要使01.034131222<+=-+-x x x , 只要397301.04||=->x , 故397=X .5. 证明函数f (x )=|x |当x →0时极限为零.证明因为|f (x )-0|=||x |-0|=|x |=|x -0|, 所以要使|f (x )-0|<ε, 只须|x |<ε.因为对∀ε>0, ∃δ=ε, 使当0<|x -0|<δ, 时有 |f (x )-0|=||x |-0|<ε, 所以0||lim 0=→x x .6. 求,)(xx x f = x x x ||)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极限是否存在. 证明因为11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x x f ,11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f ,)(lim )(lim 0x f x f x x +→→=-,所以极限)(lim 0x f x →存在.因为1lim ||lim )(lim 000-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ,1lim ||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ,)(lim )(lim 0x x x x ϕϕ+→→≠-,所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在.7. 证明: 若x →+∞及x →-∞时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则A x f x =∞→)(lim .证明因为A x f x =-∞→)(lim , A x f x =+∞→)(lim , 所以∀ε>0, ∃X 1>0, 使当x <-X 1时, 有|f (x )-A |<ε ;∃X 2>0, 使当x >X 2时, 有|f (x )-A |<ε .取X =max{X 1, X 2}, 则当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε , 即A x f x =∞→)(lim .8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x →x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性. 设f (x )→A (x →x 0), 则∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ 时, 有|f (x )-A |<ε .因此当x 0-δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ 时都有 |f (x )-A |<ε .这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性. 设f (x 0-0)=f (x 0+0)=A , 则∀ε>0, ∃δ1>0, 使当x 0-δ1<x <x 0时, 有| f (x )-A <ε ; ∃δ2>0, 使当x 0<x <x 0+δ2时, 有| f (x )-A |<ε .取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ 时, 有x 0-δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2 , 从而有 | f (x )-A |<ε ,即f (x )→A (x →x 0).9. 试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M .证明设f (x )→A (x →∞), 则对于ε =1, ∃X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε =1. 所以 |f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |.这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M , 其中M =1+|A |. 习题1-41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解不一定.例如, 当x →0时, α(x )=2x , β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim0=→x x x βα, )()(x x βα不是无穷小.2. 根据定义证明:(1)392+-=x x y 当x →3时为无穷小; (2)xx y 1sin =当x →0时为无穷小.证明 (1)当x ≠3时|3|39||2-=+-=x x x y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -3|<δ时, 有εδ=<-=+-=|3|39||2x x x y ,所以当x →3时392+-=x x y 为无穷小. (2)当x ≠0时|0||1sin |||||-≤=x xx y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -0|<δ时, 有εδ=<-≤=|0||1sin |||||x xx y ,所以当x →0时xx y 1sin =为无穷小.3. 根据定义证明: 函数xx y 21+=为当x →0时的无穷大. 问x 应满足什么条件,能使|y |>104？证明分析2||11221||-≥+=+=x x x x y , 要使|y |>M , 只须M x >-2||1, 即21||+<M x .证明因为∀M >0, ∃21+=M δ, 使当0<|x -0|<δ时, 有M x x >+21,所以当x →0时, 函数xx y 21+=是无穷大.取M =104, 则21014+=δ. 当2101|0|04+<-<x 时, |y |>104. 4. 求下列极限并说明理由: (1)xx x 12lim +∞→;(2)xx x --→11lim 20.解 (1)因为xx x 1212+=+, 而当x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim =+∞→x x x .(2)因为x xx +=--1112(x ≠1), 而当x →0时x 为无穷小, 所以111lim 20=--→x x x .6. 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞ 时的无穷大？为什么？解函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内无界.这是因为∀M >0, 在(-∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得|y (x )|>M . 例如y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, 就有| y (2k π)|>M .当x →+∞ 时, 函数y =x cos x 不是无穷大.这是因为∀M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x , 都有|y (x )|>M . 例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),对任何大的N , 当k 充分大时, 总有N k x >+=22ππ, 但|y (x )|=0<M .7. 证明: 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xx y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M .习题1-51. 计算下列极限:(1)35lim 22-+→x x x ; 解 9325235lim 222-=-+=-+→x x x .(2)13lim 223+-→x x x ; 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ;解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)xx x x x x 2324lim2230++-→; 解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x . (5)hx h x h 220)(lim -+→;解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2xx x +-∞→; 解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim 22---∞→x x x x ; 解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x xx x . (8)13lim 242--+∞→x x x x x ; 解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零). 或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→x x x x x x x x x x . (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2x x x -+∞→;解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→;解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n . (12)2)1( 321limnn n -+⋅⋅⋅+++∞→; 解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n . (13)35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→;解 515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→nn n n n (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (14))1311(lim 31x x x ---→;解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112lim21-=+++-=→x x x x . 2. 计算下列极限: (1)2232)2(2lim -+→x x x x ; 解因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x , 所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x . (2)12lim 2+∞→x x x ;解 ∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数).(3))12(lim 3+-∞→x x x .解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3. 计算下列极限: (1)xx x 1sin lim 20→;解 01sin lim 20=→xx x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x xx x x (当x →∞时, x 1是无穷小,而arctan x 是有界变量).4. 证明本节定理3中的(2).习题1-61. 计算下列极限: (1)xx x ωsin lim 0→;解 ωωωωω==→→x x xx x x sin lim sin lim 00.(2)xx x 3tan lim 0→;解 33cos 133sin lim 33tan lim 00=⋅=→→xx x x x x x .(3)xx x 5sin 2sin lim 0→;解 52525sin 522sin lim 5sin 2sin lim 00=⋅⋅=→→x x x x x x x x .(4)x x x cot lim 0→;解 1cos lim sin lim cos sin lim cot lim 0000=⋅=⋅=→→→→x x x x x x x x x x x x .(5)xx x x sin 2cos 1lim 0-→;解 2)sin (lim 2sin 2lim 2cos 1lim sin 2cos 1lim 20220200===-=-→→→→x x x x x x x x x x x x x . 或 2sin lim 2sin sin 2lim sin 2cos 1lim 0200===-→→→xx x x x x x x x x x . (6)n n n x 2sin 2lim ∞→(x 为不等于零的常数). 解 x x xx x nn n n nn =⋅=∞→∞→22sin lim2sin 2lim . 2. 计算下列极限:(1)x x x 1)1(lim -→; 解 11)(1)1()(101})](1[lim {)](1[lim )1(lim ---→--→→=-+=-+=-e x x x x x x x x x .(2)x x x 1)21(lim +→;解 2221221010])21(lim [)21(lim )21(lim e x x x x x x x x x =+=+=+→⋅→→.(3)x x xx 2)1(lim +∞→; 解 222])11(lim [)1(lim e xx x x x x x =+=+∞→∞→.(4)kx x x)11(lim -∞→(k 为正整数).解 k k x x kx x e xx ---∞→∞→=-+=-))(()11(lim )11(lim .3. 根据函数极限的定义, 证明极限存在的准则I '. 证明仅对x →x 0的情形加以证明.设ε为任一给定的正数, 由于A x g x x =→)(lim 0, 故由定义知, 对ε>0, 存在δ1>0, 使得当0<|x -x 0|<δ1时, 恒有|g (x )-A |<ε, 即A -ε<g (x )<A +ε.由于A x h x x =→)(lim 0, 故由定义知, 对ε>0, 存在δ2>0, 使得当0<|x -x 0|<δ2时, 恒有|h (x )-A |<ε, 即A -ε<h (x )<A +ε.取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ时, A -ε<g (x )<A +ε与A -ε<h (x )<A +ε 同时成立, 又因为g (x )≤f (x )≤h (x ), 所以 A -ε<f (x )<A +ε, 即 |f (x )-A |<ε, 因此A x f x x =→)(lim 0.证明仅对x →x 0的情形加以证明. 因为A x g x x =→)(lim 0, A x h x x =→)(lim 0,所以对任一给定的ε>0, 存在δ>0, 使得当0<|x -x 0|<δ时, 恒有 |g (x )-A |<ε及|h (x )-A |<ε,即 A -ε<g (x )<A +ε及A -ε<h (x )<A +ε.又因为 g (x )≤f (x )≤h (x ), 所以 A -ε<f (x )<A +ε, 即 |f (x )-A |<ε, 因此A x f x x =→)(lim 0.4. 利用极限存在准则证明: (1)111lim =+∞→nn ;证明因为n n 11111+<+<,而 11lim =∞→n 且1)11(lim =+∞→n n ,由极限存在准则I , 111lim =+∞→nn .(2)1)1 211(lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n ;证明因为πππππ+<++⋅⋅⋅++++<+2222222)1 211(n n n n n n n n n n , 而 1lim 22=+∞→πn n n n , 1lim 22=+∞→πn n n , 所以 1)1 211(lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n .(3)数列2,22+, 222++, ⋅ ⋅ ⋅ 的极限存在;证明 21=x , n n x x +=+21(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅). 先证明数列{x n }有界.当n =1时221<=x , 假定n =k 时x k <2, 则当n =k +1时, 22221=+<+=+k k x x , 所以x n <2(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), 即数列{x n }有界.再证明数列单调增. 因为nn n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x +++--=++-+=-+=-+2)1)(2(22221, 而x n -2<0, x n +1>0, 所以x n +1-x n >0, 即数列{x n }单调增.因为数列{x n }单调增加有上界, 所以此数列是有极限的. (4)11lim 0=+→n x x ;证明当|x |≤1时, 则有 1+x ≤1+|x |≤(1+|x |)n , 1+x ≥1-|x |≥(1-|x |)n , 从而有 ||11||1x x x n +≤+≤-. 因为 1|)|1(lim |)|1(lim 0=+=-→→x x x x ,根据夹逼准则, 有 11lim 0=+→n x x .(5)1]1[lim 0=+→xx x .证明因为x x x 1]1[11≤<-, 所以1]1[1≤<-xx x .又因为11lim )1(lim 00==-++→→x x x , 根据夹逼准则, 有1]1[lim 0=+→xx x .习题 1-71. 当x →0时, 2x -x 2 与x 2-x 3相比, 哪一个是高阶无穷小？解因为02lim 2lim 202320=--=--→→xx x x x x x x x ,所以当x →0时, x 2-x 3是高阶无穷小, 即x 2-x 3=o (2x -x 2).2. 当x →1时, 无穷小1-x 和(1)1-x 3, (2))1(212x -是否同阶？是否等价？解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→x x xx x x x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和1-x 3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和)1(212x -是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小.3. 证明: 当x →0时, 有: (1) arctan x ~x ;(2)2~1sec 2x x -. 证明 (1)因为1tan limarctan lim 00==→→y yxx y x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0),所以当x →0时, arctan x ~x .(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x xx x x x x xx x x x x , 所以当x →0时, 2~1sec 2x x -. 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限: (1)xx x 23tan lim 0→;(2)mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n , m 为正整数);(3)x x x x 30sin sin tan lim -→; (4))1sin 1)(11(tan sin lim320-+-+-→x x x x x .解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x . (4)因为32221)2(2~2sin tan 2)1(cos tan tan sin x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x →0),23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x →0), x x x x x ~sin ~1sin 1sin 1sin 1++=-+(x →0), 所以 33121lim )1sin 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→x x x x x x x x x .5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) α ~α (自反性);(2) 若α ~β, 则β~α(对称性); (3)若α ~β, β~γ, 则α~γ(传递性). 证明 (1)1lim =αα, 所以α ~α ;(2) 若α ~β, 则1lim =βα, 从而1lim=αβ. 因此β~α ;(3) 若α ~β, β~γ, 1lim limlim =⋅=βαγβγα. 因此α~γ. 习题1-81. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:(1)⎩⎨⎧≤<-≤≤=21 210 )(2x x x x x f ;解已知多项式函数是连续函数, 所以函数f (x )在[0, 1)和(1, 2]内是连续的. 在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1lim )(lim 211==--→→x x f x x , 1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x .所以1)(lim 1=→x f x , 从而函数f (x )在x =1处是连续的.综上所述，函数f (x )在[0, 2]上是连续函数.(2)⎩⎨⎧>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f .解只需考察函数在x =-1和x =1处的连续性. 在x =-1处, 因为f (-1)=-1, 并且)1(11lim )(lim 11-≠==---→-→f x f x x ,)1(1lim )(lim 11-=-==++-→-→f x x f x x ,所以函数在x =-1处间断, 但右连续. 在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1lim )(lim 11==--→→x x f x x =f (1), 11lim )(lim 11==++→→x x x f =f (1),所以函数在x =1处连续.综合上述讨论, 函数在(-∞, -1)和(-1, +∞)内连续, 在x =-1处间断, 但右连续. 2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+--=x x x y , x =1, x =2;解 )1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x x y x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的. (2)x x y tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);解函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点.因∞=→x x k x tan lim π(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim0=→xx x , 0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的;令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的.(3)xy 1cos 2=, x =0;解因为函数x y 1cos 2=在x =0处无定义, 所以x =0是函数xy 1cos 2=的间断点.又因为xx 1cos lim 20→不存在, 所以x =0是函数的第二类间断点.(4)⎩⎨⎧>-≤-=1 311x x x x y , x =1.解因为0)1(lim )(lim 11=-=--→→x x f x x 2)3(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x , 所以x =1是函数的第一类不可去间断点.3. 讨论函数x x x x f nnn 2211lim )(+-=∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1||1|| 01|| 11lim)(22x x x x x x x x x f nn n .在分段点x =-1处, 因为1)(lim )(lim 11=-=---→-→x x f x x , 1lim )(lim 11-==++-→-→x x f x x , 所以x =-1为函数的第一类不可去间断点.在分段点x =1处, 因为1lim )(lim 11==--→→x x f x x , 1)(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x , 所以x =1为函数的第一类不可去间断点.4. 证明: 若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)≠0, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.证明不妨设f (x 0)>0. 因为f (x )在x 0连续, 所以0)()(lim 00>=→x f x f x x , 由极限的局部保号性定理, 存在x 0的某一去心邻域)(0x U , 使当x ∈)(0x U时f (x )>0, 从而当x ∈U (x 0)时, f (x )>0. 这就是说, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0. 5. 试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子:(1)x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅是f (x )的所有间断点, 且它们都是无穷间断点;解函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅处是间断的且这些点是函数的无穷间断点.(2)f (x )在R 上处处不连续, 但|f (x )|在R 上处处连续;解函数⎩⎨⎧∉∈-=QQx x x f 1 1)(在R 上处处不连续, 但|f (x )|=1在R 上处处连续.(3)f (x )在R 上处处有定义, 但仅在一点连续.解函数⎩⎨⎧∉-∈=Q Qx x x x x f )(在R 上处处有定义, 它只在x =0处连续.习题1-91. 求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0x f x →, )(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →.解 )2)(3()1)(1)(3(633)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f , 函数在(-∞, +∞)内除点x =2和x =-3外是连续的, 所以函数f (x )的连续区间为(-∞, -3)、(-3, 2)、(2, +∞). 在函数的连续点x =0处, 21)0()(lim 0==→f x f x .在函数的间断点x =2和x =-3处, ∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim)(lim 22x x x x x x f x x , 582)1)(1(lim )(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x .2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数ϕ(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )} 在点x 0也连续.证明已知)()(lim 00x f x f x x =→, )()(lim 00x g x g x x =→.可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x --+=ψ.因此 ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x --+=ψ.因为] |)()(|)()([21lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x -++=→→ϕ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++=] |)()(|)()([210000x g x f x g x f -++==ϕ(x 0),所以ϕ(x )在点x 0也连续.同理可证明ψ(x )在点x 0也连续.3. 求下列极限: (1)52lim 20+-→x x x ;(2)34)2(sin lim x x π→;(3))2cos 2ln(lim 6x x π→;(4)xx x 11lim 0-+→;(5)145lim 1---→x x x x ;(6)a x a x a x --→sin sin lim ;(7))(lim 22x x x x x --++∞→.解 (1)因为函数52)(2+-=x x x f 是初等函数, f (x )在点x =0有定义, 所以 55020)0(52lim 220=+⋅-==+-→f x x x .(2)因为函数f (x )=(sin 2x )3是初等函数, f (x )在点4π=x 有定义, 所以1)42(sin )4()2(sin lim 334=⋅==→πππf x x .(3)因为函数f (x )=ln(2cos2x )是初等函数, f (x )在点6π=x 有定义, 所以0)62cos 2ln()6()2cos 2ln(lim 6=⋅==→πππf x x .(4))11(lim)11()11)(11(lim 11lim 000++=++++-+=-+→→→x x x x x x x x x x x x 211101111lim=++=++=→x x .(5))45)(1()45)(45(lim 145lim 11x x x x x x x x x x x x +--+---=---→→)45)(1(44lim 1x x x x x +---=→214154454lim 1=+-⋅=+-=→x x x .。

高等数学第1章课后习题答案(科学出版社).

第一章函数、极限、连续习题1-11．求下列函数的自然定义域：x3+ (1)y=21-xx-1arccos (3) y=解：(1)解不等式组⎨(2) y=arctan1x⎧3x≠1⎪(4) y=⎨. ⎪3 , x=1⎩⎧x+3≥0得函数定义域为[-3,-1) (-1,1) (1,+∞); 2⎩1-x≠0⎧3-x2≥0(2)解不等式组⎨得函数定义域为[ ; ⎩x≠0x-1⎧-1≤≤1⎪(3)解不等式组⎨得函数定义域为[-4,-2) (3,6]; 52⎪⎩x-x-6>0(4)函数定义域为(-∞,1].2．已知函数f(x)定义域为[0,1]，求ff(cosx),f(x+c)+f(x-c) (c>0)义域．解：函数f要有意义，必须0≤1，因此f的定义域为[0,1]；同理得函数f(cosx)定义域为[2kπ-,2kπ+]； 22⎧0≤x+c≤11函数f(x+c)+f(x-c)要有意义，必须⎨，因此，（1）若c<，定义域为：2⎩0≤x-c≤1（2）若c=[c,1-c]；的定ππ111，定义域为：{；（3）若c>，定义域为：∅． 222 1⎛x-a⎫3．设f(x)=2 1-⎪,a>0,求函数值f(2a),f(1)． x⎝|x-a|⎭解：因为f(x)=f(2a)=1⎛x-a⎫1- ⎪，所以 2x⎝|x-a|⎭1⎛a⎫1⎛1-a1-=0，f(1)=1- ⎪2 4a⎝a⎭12 ⎝-a⎫⎧2 ,a>1,． =⎪⎪⎨0 ,0<a<1⎭⎩4. 证明下列不等式:(1) 对任何x∈R有 |x-1|+|x-2|≥1;(2) 对任何n∈Z+有 (1+1)n+1>(1+1)n; n+1n(3) 对任何n∈Z+及实数a>1有 a-1≤a-1. n1n证明：（1）由三角不等式得|x-1|+|x-2|≥|x-1-(x-2)|=1（2）要证(1+1)n+1>(1+1)n，即要证1+1>n+1nn+1=111(1+)+(1+)+ +(1+)+11 < =1+n+1n+1得证。

自考高等数学(工专)全章节考试试题及答案解析

第一章（函数）之内容方法函数是数学中最重要的基本概念之一。

它是现实世界中量与量之间的依赖关系在数学中的反映，也是高等数学的主要研究对象。

本章主要阐明函数的概念，函数的几个简单性态，反函数，复合函数，初等函数及函数关系的建立等。

重点是函数的概念与初等函数，难点是复合函数。

1－2 函数的概念函数的定义：y=f(x)(x∈D),其中x是自变量，f为对应法则，y为因变量，D是定义域。

∀（对任意）x∈D,∃!(有唯一)y与x对应。

y所对应的取值范围称为函数的值域。

当自变量x取平面的点时，即x=(x1,x2)时，f(x)是二元函数；当x取空间中的点x=(x1,x2,x3)时，f(x)是三元函数。

函数的表示法主要有两种。

其一是解析法，即用代数式表达函数的方法。

例如y=f(x)=e x,符号函数，其中后者是分段函数。

其二是图示法。

如一元函数可表示为平面上的一条曲线，二元函数可表示为空间中的一张曲面等。

给定一个函数y=f(x)，则会求函数的定义域，值域，特殊点的函数值等是最基本的要求。

应综合考虑分母不能为0，偶次根式中的表达式应大于等于0，对数函数的真数应大于0等情形。

1－3 函数的简单性态1．单调性：称函数f(x)在区间I（含于定义域内）单调增，若∀x1,x2∈I,当x1<x2时f(x1)≤f(x2);称函数在区间I（含于定义域内）单调减，若∀x1,x2∈I,当x1<x2时f(x1)≥f(x2).单调增函数和单调减函数统称为单调函数，I称为单调区间。

判断一个函数f(x)在区间I是否为单调函数，可用单调性的定义或者用第四章中函数在I中的导数的符号。

2．奇偶性：设函数f(x)的定义域D关于原点对称。

如果∀x∈D,有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数；如果∀x∈D,有f(-x) = -f(x),则称f(x)为奇函数。

判断一个函数的奇偶性时一般用定义。

在几何上，偶函数的图像关于y轴对称，而奇函数的图像关于原点对称。

高等数学第一章习题集(函数与极限)

6
高等数学习题集
(5) lim 1 x 1 x ；
x0
x
(6)
lim
x1

x
1 1

3 x3 1

．
3.
设
lim
x

x2 1 x 1

ax

b

0,
求 a 和 b 的值．
7
高等数学习题集
§1.6 极限存在准则两个重要极限
1. 选择题.
(1)
lim
x x0
f
(x )存在是
f (x) 在 x0 的某一去心领域内有界的______ 条件.
(2)
设函数
ax2 f (x)
2x 1
x 1, 且 lim f (x) 存在，则 a _____. x 1 x1
3* 根据函数极限的定义证明：
(1)
lim
x
1 x3 2x3
x x0
x x0
A) lim f x lim f x
x x0
x x0
C) lim f x 不一定存在 x x0
(2) lim x2 9 (
).
x3 x 3
).
B) lim f x lim f x
x x0
x x0
1 x sin x 1
(题集
§1.8 函数的连续性与间断点
1. 选择题.
(1) 设 f x 在 x x0 处连续 , 且存在 0 , 使当 0 x x0 时有 f x 0, 则
(
)．
A) f x0 0

2010年自学考试高数一复习指导

2010年自学考试高数一复习指导第一篇：2010年自学考试高数一复习指导2010年自学考试《高等数学(一)》复习指导(1)2010-9-16 10:9 新浪教育【大中小】【我要纠错】本大纲适用于工学理学（生物科学类、地理科学类、环境科学类、心理学类等四个一级学科除外）专业的考生。

总要求考生应按本大纲的要求，了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。

应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。

本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”和“熟练掌握”三个层次。

复习考试内容一、函数、极限和连续（一）函数1、知识范围（1）函数的概念函数的定义函数的表示法分段函数隐函数（2）函数的性质单调性奇偶性有界性周期性（3）反函数反函数的定义反函数的图像（4）基本初等函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数（5）函数的四则运算与复合运算（6）初等函数2、要求（1）理解函数的概念。

会求函数的表达式、定义域及函数值。

会求分段函数的定义域、函数值，会作出简单的分段函数的图像。

（2）理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。

（3）了解函数与其反函数之间的关系（定义域、值域、图像），会求单调函数的反函数。

（4）熟练掌握函数的四则运算与复合运算。

（5）掌握基本初等函数的性质及其图像。

（6）了解初等函数的概念。

（7）会建立简单实际问题的函数关系式。

（二）极限1、知识范围（1）数列极限的概念数列数列极限的定义（2）数列极限的性质唯一性有界性四则运算法则夹逼定理单调有界数列极限存在定理（3）函数极限的概念函数在一点处极限的定义左、右极限及其与极限的关系趋于无穷时函数的极限函数极限的几何意义（4）函数极限的性质唯一性四则运算法则夹通定理（5）无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量的定义无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的性质无穷小量的阶（6）两个重要极限2、要求（1）理解极限的概念（对极限定义中“ ”、“ ”、“ ”等形式的描述不作要求）。

高数一自考试题及答案

高数一自考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列函数中，哪一个不是周期函数？A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)答案：C2. 二阶微分方程 y'' - 2y' + y = 0 的通解形式是：A. y = e^(-t)B. y = e^tC. y = e^(2t)D. y = e^t * cos(t)答案：B3. 曲线 y = x^2 在点 (1,1) 处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C4. 定积分∫[0,1] x^2 dx 的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 2/3答案：B5. 函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 在区间 [2,5] 上的最大值是：A. 3B. 9C. 14D. 19答案：D二、填空题（每题3分，共15分）6. 极限 l im (x→0) [x - sin(x)] / [x^3] 的值是 _______。

答案：17. 函数 f(x) = ln(x+1) 的导数 f'(x) 是 _______。

答案：1 / (x + 1)8. 微分方程 dy/dx = x^2 - y^2 的解的形式是 _______。

答案：C(e^(x^2/2) + C)9. 定积分∫[1, e] e^x dx 的值是 _______。

答案：e^e - e10. 利用分部积分法计算∫ x e^x d x 的结果是 _______。

答案：x e^x - e^x + C三、解答题（共75分）11. （15分）计算定积分∫[0, 2] (2x + 1) dx。

解：首先确定积分的上下限，然后应用基本积分公式进行积分。

∫[0, 2] (2x + 1) dx = [x^2 + x] | [0, 2]= (2^2 + 2) - (0^2 + 0)= 4 + 2= 612. （15分）求函数 f(x) = x^2 - 4x + 3 在区间 [-1, 5] 上的最大值和最小值。

自考高等数学(一)精讲第一章

第一章函数及其图形1.1 预备知识一、基本概念1.集合具有某种特定性质的事物的总体。

组成这个集合的事物称为该集合的元素。

2.包含关系集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，称为A包含于B，或B包含A。

若X A，则必x B，就说A是B的子集，记作A B数集分类：N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系：N Z,Z Q,Q R.3.相等关系若A B，且B A，就称集合A与B相等。

记作（A＝B）例1 则A＝C.【答疑编号11010101】4.空集不含任何元素的集合称为空集（记作）。

规定空集为任何集合的子集。

例2【答疑编号11010102】5.集合之间的运算1)并：由中所有元素组成的集合称为A和B的并集，记为A B例3【答疑编号11010103】例4【答疑编号11010104】2）交：由既属于A又属于B的元素组成的集合称为A和B的交集，记为A B例5【答疑编号11010105】例6【答疑编号11010106】3）差：由A中不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集，记为A-B例7【答疑编号11010107】二、绝对值1.绝对值的定义：2.绝对值的性质：（1），当且仅当a＝0时，（2）（3）（4）3.绝对值的几何意义：（1）表示数轴上的点x与原点之间的距离为a。

（2）表示数轴上的两点x与y之间的距离为a。

4.绝对值不等式：k>0时，则有k>0时，则有例8 ，求x的值。

【答疑编号11010108】答案：x=±55.绝对值的运算性质：例9 化去下列各式绝对值的符号：（1）【答疑编号11010109】（2）【答疑编号11010110】（3）【答疑编号11010111】（4）【答疑编号11010112】例10 解下列含有绝对值符号的不等式：（1）【答疑编号11010113】（2）【答疑编号11010114】（3）【答疑编号11010115】三、区间是指介于某两个实数之间的全体实数，这两个实数叫做区间的端点。

高等数学第一章习题

第一章函数第一节函数的概念1．求下列函数的定义域：（1）y = （2）121y x =-（3）y =（4）sin y =（5）y =arcsin(x -3)（6）1ln(1)y x =-（7）y =（81arctan y x =）2．设f (x )的定义域是[0, 1], 求下列函数的定义域:(1) f (e x );(2) f (ln x );(3) f (arctan x );(4) f (cos x ).3．设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2)。

.4．设32(3)2251,()f x x x x f x +=-+-求；5．设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11|| 01|| 1)(x x x x f , g (x )=e x , 求f [g (x )]和g [f (x )]。

..第二节函数的几种特性1．试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).2．设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.3．证明21()f x x=在()0,1内无界4．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数,指出其周期:(1)y=cos(x-2);(2)y=cos 4x;(3)y=1+sin πx;(4)y=x cos x;(5)y=sin2x.第三节初等函数1．在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1) y =u 2, u =sin x , 61π=x , 32π=x ; (2) y =sin u , u =2x , ,81π=x ,42π=x ; (3)u y =, u =1+x 2, x 1=1, x 2= 2;(4) y =e u , u =x 2, x 1 =0, x 2=1;(5) y =u 2 , u =e x , x 1=1, x 2=-1.2．下列初等函数由哪些基本初等函数复合而成？（1）()2arccos 1y x =-（2）2sec 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（3）(sin cos y ⎡⎤=⎣⎦（4）y =3．将下列三角函数积化和差：（1）sin 2sin8αα （2）sin5cos3αα（3）cos6sin 2αβ （4）cos3cos 4αβ4．证明：（1）arcsin arccos 2x x π+=（2）arctan cot 2x arc x π+=5．证明：（1）()sh x y shxchy chxshy ±=±（2）()ch x y chxchy shxshy ±=±6．证明：（1）反双曲正弦函数(ln y arshx x ==（2）反双曲余弦函数(ln y archx x ==7．下列函数是否为初等函数？（1）y x = （2）(sin y = （3）xy x x =+ （4）311112x x x y e x ⎧--≤≤=⎨<≤⎩第四节两个常用不等式1．设12,,...,n a a a 是n 个正数，称12111(...)n na a a +++为12,,...,n a a a 的调和平均值，利用算术平均值与几何平均值的关系证明几何平均值与调和平均值的关系：对任意n 个正数12,,...,n a a a有12111(...)nn a a a ≤+++2.证明下列不等式：（1）1212......n n x x x x x x +++≤+++（2）1212...(...)n n x x x x x x x x ++++≥-+++总复习题一1．填空题．（1）设()f x =，则()f x 的定义域为（2）设101(),212x f x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩则(2)f x +的定义域为（3）设()1f x x =+，则1f f x ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=（4）设21()1424x x x f x xx x -∞<<⎧⎪=≤≤⎨⎪<<+∞⎩，则其反函数是2．选择题：（1）已知()f x 在[]2,2-上为偶函数，且()[]()222,0f x x x x =+∈-，那么当[]0,2x ∈时，()f x 的表达式为（） ()()()()22222,2,2,2.A x x B x x C x x D x x +--+--（2）设()g x 在[],a b 上单调，()f x 在()(),g a g b ⎡⎤⎣⎦上单调，则()()f g x -（） ()[]()[]()[]()[]A .在a,b 上单增，B 在a,b 上单减，C 在-b,-a 上单增，D 在-b,-a 上单减（3）下列函数中是偶函数的应为（）()()(()()[]()()()((()()()2ln ,22,sgn cos x x A f x x B f x x C f x D f x x x ===+=⋅（4）下列函数中不是周期函数的应为（）()()()()()()()()[]2sin ,sincos 23sin 2cos ,x x A f x x B f x C f x x x D f x x x π==+=+=-3.计算题。

高等数学第一章测试题(10判断)

高等数学第一章测试题一、判断。

（A 为正确，B 为错误）1、凡是分段函数都不是初等函数。

（）答案：B解析：分段函数有多个解析式，因此它们一般都不是初等函数。

但不是绝对的。

,0,,0x x y x x x >⎧==⎨-<⎩如是分段函数，但也是初等函数。

[()]2()y f g x g x =、复合函数的定义域即是的定义域.() 答案：B[()]()y f g x g x =解析：复合函数的定义域包含着的值域。

()(,)()(,3)y f x a b f x a b =、若在内有定义，则在内一定有界。

() 答案：B()[,]()[,]y f x a b f x a b =解析：若在内有定义，则在内一定有界。

()().(),lim 4x x f x A f x A →==则、若答案：B解析：函数在某点的极限不一定等于函数在该点的函数值。

如：01,0,()()1,(0)0.0,0lim x x x f x f x f x →-≠⎧==-=⎨=⎩而5.()()(.())lim lim lim x x x x x x f x f x f x -+→→→若极限与都存在，则必存在答案：B()()().lim lim lim x x x x x x f x f x f x -+→→→解析：当与都存在但不相等时，不存在00()()0()0.()()6limlim lim x x x x x x f x g x f x g x →→→==、若极限存在，且，则答案：A()()0()0().lim lim limx x x x x x f x f x g x g x →→→≠=解析：若，当时，不存在sin sin sin s 7in lim lim lim lim lim x x x x x x x x xx x x x→∞→∞→∞→∞→∞--=++、极限式不存在.()答案：Bsin sin 2sin sin sin lim lim x x x x x x x x x x x →∞→∞-+-=++解析：2sin (1)101sin lim x x x x →∞=+=+=+ 8、1(1)lim xx e x →∞-= （）答案：B1(1)lim xx e x →∞+=解析：333000sin 00sin ~,90.()lim lim lim x x x x x x x x x x x x x →→→--→===、因时，故答案：B33322000sin sin 1sin 1()()limlim lim x x x x x x x x x x x x x x →→→-=-=⋅-解析：2200110lim lim x x x x→→=-=()[,][,]0()1y f x a b f x a b =、设在上连续，且无零点，则在上恒为正或恒为负.（）答案：A 解析：略.。

学历类《自考》自考公共课《高等数学(一)》考试试题及答案解析

学历类《自考》自考公共课《高等数学（一）》考试试题及答案解析姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分得分评卷人得分1、若y=f（x）为连续函数，则必定可导1、正确2、错误正确答案：正确答案解析：暂无解析2、（y）²=-2-xe²是二阶微分方程1、正确2、错误正确答案：错误答案解析：暂无解析3、若z=f（x，y）在点M0（x0，y0）可微，则z=f（x,y）在点M0（x0,y0）连续1、正确2、错误正确答案：正确答案解析：暂无解析4、方程x²+y²=1表示一个圆1、正确2、错误正确答案：错误答案解析：暂无解析5、初等函数在其定义域区间内必定存在原函数1、正确2、错误正确答案：正确答案解析：暂无解析6、若x0点为y=f（x）的极值点，则必有f（x0）.1、正确2、错误正确答案：错误7、y=fx在点x0连续，则y=fx在点x0必定可导1、正确2、错误正确答案：错误答案解析：暂无解析8、初等函数在其定义域内必定为连续函数1、正确2、错误正确答案：错误答案解析：暂无解析9、两个无穷大量之和必定是无穷大量1、正确2、错误正确答案：错误答案解析：暂无解析10、设y*是一阶线性非齐次微分方程的一个特解，y是其所对应的齐次方程的通解，则y=y+y²为一阶线性微分方程的通解1、正确2、错误正确答案：正确答案解析：暂无解析11、方程xyz=0和x²+y²+z²=0在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点1、正确2、错误正确答案：错误答案解析：暂无解析12、若f(x)在[a,b]上可积，g(x)在[a,b]上不可积，则f(x)+g(x)在[a,b]上必不可积1、正确2、错误正确答案：正确答案解析：暂无解析13、若y=f(x)在点x0不可导，则曲线y=f(x)在处一定没有切线.1、正确2、错误正确答案：错误答案解析：暂无解析14、f(x)在点x0处有定义是f(x)在点x0处连续的必要条件1、正确2、错误正确答案：正确15、设偶函数f(x)在区间(-1,1)内具有二阶导数，且,则f(0)为f(x)的一个极小值.1、正确2、错误正确答案：正确答案解析：暂无解析16、微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解1、正确2、错误正确答案：正确答案解析：暂无解析17、若z=f(x,y)在（x0,y0）处的两个一阶偏导数存在，则函数z=f(x,y)在（x0,y0）处可微1、正确2、错误正确答案：错误答案解析：暂无解析18、若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上连续1、正确2、错误正确答案：错误答案解析：暂无解析19、若连续函数y=f(x)在x0点不可导，则曲线y=f(x)在(x0,f(x0))点没有切线.1、正确2、错误正确答案：错误答案解析：暂无解析20、若f(x)在x0点可导，则f(x)也在x0点可导1、正确2、错误正确答案：错误答案解析：暂无解析21、下列等式成立的是【】A、B、C、D、正确答案：B答案解析：暂无解析22、下列函数为偶函数的是【】A、y=xsinxB、y=xcosxC、y=sinx+cosxD、y=x(sinx+cosx)正确答案：A答案解析：暂无解析23、极限=【】A、0B、2/3C、3/2D、9/2正确答案：C答案解析：暂无解析24、函数f(x)=的所有间断点是【】A、x=0B、x=1C、X=0，x=-1D、x=0，x=1正确答案：D答案解析：暂无解析25、由曲线r=2cos所围成的图形的面积是正确答案：π答案解析：暂无解析26、设由方程xy²=2所确定的隐函数为y=y(x)，则dy=正确答案：答案解析：暂无解析27、函数y=sin²x的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为正确答案：答案解析：暂无解析28、求y=(x+1)(x+2)²(x+3)³....（x+10）10在（0，+∞）内的导数正确答案：答案解析：暂无解析29、求不定积分正确答案：答案解析：暂无解析30、求函数f（x，y）=x³-4x²+2xy-y²的极值正确答案：答案解析：暂无解析31、设平面区域D是由围成，计算正确答案：答案解析：暂无解析32、计算由曲线围成的平面图形在第一象限的面积正确答案：答案解析：暂无解析。

《高等数学》（一）第一章同步辅导训练

27 将函数f （x ）=2-|x-2|表示为分段函数时，f （x ）= 「」 A 4-x ， x≥0 x ， x<0B 4-x ， x≥2 x ， x<2 C 4-x ， x≥0 1-x x <0D 4-x ， x≥2 4+x x <2 「答案」选B 「解析」由条件f （x ）=2- （x-2 ），x ≥2 2-（2-x ），x <2 ，即 f （x ）=4-x，x ≥2 x ，x <2 28 下列函数中，表达式为基本初等函数的是「」 A y=2x2 ， x>0 2x+1， x<0B y=2x+cosx C y=xD y=sinx 「答案」选C 「解析」对照基本初等函数的定义可知y=x 是基本初等函数，而A 中函数为分段函数，B 中函数为初等函数，D 中函数为复合函数它们都不是基本初等函数 29 函数y=sinx-sin|x| 的值域是「」 A （0 ）B ［-1，1 ］ C ［0 ，1 ］D ［-2，2 ］「答案」选D 「解析」因为当x ≥0 时，y=sinx-sinx=0 ，当x <0 时，y=sinx-sin（-x）=sinx+sinx=2sinx，这时-2≤2sinx ≤2 ，故函数y=sinx-sin|x|的值域为［-2，2 ］ 30 函数y=x2 -2 ≤x ≤0 x2-4 0 A y=x 0 ≤x ≤4 x+4 0 B y=－x 0 ≤x ≤4 x+4 -4 C y=－x 〖〗0 ≤x ≤4 －x+4 -4≤x <0 D y=x 0 ≤x ≤4 - 4+x -4 ≤x <0 「答案」选B 「解析」因为当-2≤x ≤0 时，y=x2， x=-y ，0≤y ≤4 ；
本章重点：函数概念和基本初等函数。

《高等数学》教材的配套练习题

《高等数学》教材的配套练习题第一章函数、极限与连续一、选择题：1．函数21arccos1++-=x x y 的定义域是（）． (A)1<x (B)}13{}1{≤≤-<x x x x (C) (-3，1) (D){}13≤≤-x x 2．当0→x 时，x x sin 2+是x 的（）．(A) 同阶无穷小 (B) 等价无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 低阶无穷小 3．当+→0x 时，下列函数中（）是无穷小量． (A)x x 1sin(B) x1 (C) x ln (D) x x sin 14．下列极限中，正确的是（）． (A) 1sin lim=∞→x x x (B) 12sin lim 0=→x x x (C) 11sin lim =⋅∞→xx x (D) 111sinlim0=→xx x5．下列各等式中，正确的是（）．(A) e x x x =-∞→)11(lim (B) e xxx =+∞→1)11(lim (C) e x x x =+-→10)1(lim (D) e x x x =+→10)1(lim6．若函数)(x f 在点0x 处的极限存在，则（）．(A))(0x f 必存在，且等于极限值 (B))(0x f 可以存在，可以不存在 (C) )(0x f 存在，但不一定等于极限值 (D) 若)(0x f 存在，则必等于极限值7．设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-=<-=时当时当时当25,6325,325,24)(x x x x x x f ；则函数)(x f 在点25=x 处（）． (A) 左右极限均不存在 (B) 极限存在(C) 左右极限存在，但不相等 (D) 左右极限中有一个存在，一个不存在 8．一元函数在某点极限存在，是函数在该点连续的（）．(A) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D) 无关条件9．设函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+=0,210,84x x x x f 在0=x 处（）．(A))(x f 在0=x 处无定义 (B) )(lim 0x f x →不存在(C) )(x f 在0=x 处连续 (D) )(lim 0x f x →存在但不连续10．⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<=21,21,210,)(x x x x x x f 的连续区间为（）． (A) ]2,0[ (B) )2,0( (C) [)(]2,11,0U (D)()(]2,11,0U 二、填空题： 1．2100)2ln(1)(x x x f -+-=的定义域是___________．2．设53)1(2++=+x x x f ，则=)(x f ___________． 3. =+∞→1cos lim x xx ____________4．设()⎩⎨⎧>≤+=0cos 012x x x x x f ，则=→)(lim 0x f x ___________． 5.设11)(22-+=x x x f ，则（1）=→)(lim 0x f x ,(2)=∞→)(lim x f x .6．函数)2)(1(1)(+-+=x x x x f 的连续区间是___________．7．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤<-=21,210,0,1)(2x x x x x x x f 的间断点=x ___________．8．⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1124)(24x ax x x x f ，当a =___________时，)(x f 在1=x 处连续．9．若e xk x x =+∞→2)1(lim ，则=k ___________．10．=+→xx x 20)tan 1(lim ___________．三、计算题：1.设(,5)(5,)A =-∞-+∞，[)10,3B =-，写出B A ⋃，B A ⋂的表达式.2.用区间表示下列不等式解的集合：（1） 2230x x +-≥；（2） 230.5x ->.. 3..求下列各函数的定义域：（1）11y x =-；（2）2ln(24)34x y x x -=-- ；(3) y =.4.设函数2()23f x x x =-+，求(0)f ，(2)f ，()f x -，1()f x，(1)f x +.5..若2 -1<0()2 01 1 1 3. x x g x x x x ⎧<⎪=≤≤⎨⎪-<≤⎩，，，，，求(3)g ，(2)g ，(0)g ，1()2g -.6.下列各组函数能否构成以中间变量u 或v 的复合函数？如果能构成复合函数，写成[()]y f x ϕ=的形式.（1）sin 2y u x ==-；（2）2,41uy u x ==-；（3）sin ,ln ,32y u u v v x ===-；（4）21y u x ==-.7. 数列{}n x 的一般项如下，观察数列的变化趋势，判断哪些数列收敛？哪些数列发散？若数列收敛，则写出其极限: （1）2121n n x n -=+；（2）31n x n=；（3）()41nn x =+-；（4）；1115n n x +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.8. 观察下列函数变化趋势，并求其极限: （1）1lim3x x→∞；（2）lim 5xx →-∞；（3）239lim 3x x x →-- .9. 设函数()221 03 0.x x f x x x ⎧+<=⎨-≥⎩，，，，作出()f x 的图形，并求()0lim x f x -→，()0lim x f x +→，试问()0lim x f x →是否存在？10. 对于给定自变量x 的变化趋势，判断下列函数哪些是无穷大？哪些是无穷小？（1）ln ,0x x +→；（2）21,3x x →∞+；（3）22,24x x x +→-. 11. 下列函数在什么变化过程中为无穷大？什么变化过程中为无穷小？（1）21x y x-=；（2）53x y x -=+；（3）2log y x =；（4）3x y e =. 12. 求下列函数的极限：（1）2cos 2lim31x x x →∞+；（2）31lim 3x x →-；（3）arccot lim x xx→∞ .13. 当1→x 时，无穷小x -1和（1）31x -，（2）)1(212x -是否同阶？是否等价？14. 求下列函数的极限：（1）234lim 2x x x →+-；（2）322142lim 34x x x xx x→+-+；（3）235lim 3x x x →+-；（4） 2268lim 2x x x x →-+++ ；（5）22132lim 45x x x x x →-++-；（6）1x →（7）)23(lim 2x x x x -+++∞→；（8）221lim 21x x x x →∞---；（9）()247332lim 21x x x x →∞+++；（10）32421lim 231x x x x x →∞++++；（11）x x x x sin 431lim 22-+∞→ ；（12）2112lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭ ；（13）0sin 2limsin 5x x x →；（14）0tan 7lim sin8x xx→；（15）22lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭； 16）34lim 1xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭；（17）()()01cos lim1ln 1x x xe x →--+；（18）0ln(14)lim 8x x x →+；（19）()lim 2ln 3x ex x x →+；（20）0limln cos x x →；（21）x → （22）1(2)limarctan x ln x x→-.15．求函数2124y x x =-+，当02x =，0.5x ∆=时的改变量y ∆. 16．设函数()3sin 0 3 0.x x f x x -≠⎧=⎨=⎩，，，，试问函数()f x 在0x =处是否连续？17．（1）设函数()()12cos 1 01 0.x x x f x ax x +≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩，，，，且()f x 在0x =处连续，求常数a 的值.⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0,0,1sin )()2(2x x a x xx x f ，要使)(x f 在区间),(+∞-∞内连续，应当怎样选择a ？ 18．求下列函数的间断点，并判断其类型：（1）2256x y x x -=-+；（2）sin xy x =；（3）1 13 1.x x y x x -≤⎧=⎨->⎩，，，.19. 求633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间，并求极限：)(lim 0x f x → 、)(lim 2x f x →、 )(lim 3x f x →．四、应用题：1.有一个窗框，其形状是长方形上加一个半圆形，如果窗子的采光面积S 为定值，试建立窗子的周长L 与底宽x 的函数关系式，并指明其定义域．2.某市的出租汽车的收费标准为：乘车不超过3 km ，收费a 元，若超出3 km 不超过15 km ，加收 b 元/km ，若超出15 km ，超出里程在原收费标准（ b 元/km ）上增加30%，试写出乘车费用y 与乘车里程(km)x 的函数关系.*3.某工厂生产某种产品，年产量为x ，每台售价250元，当年产量为600台以内时，可以全部售出，当年产量超过600台时，经广告宣传又可再多售出200台，每台平均广告费20元，生产再多，本年就售不出去了，建立本年的销售总收入R 与年产量x 的函数关系. *4.某厂生产的手掌游戏机每台可卖110元，固定成本为7500元，可变成本为每台60元.(1)要卖多少台手掌机，厂家才可保本（收回投资）； (2)卖掉100台的话，厂家赢利或亏损了多少？ (3)要获得1250元利润，需要卖多少台？ *5.设某商品的需求函数与供给函数分别为()5600D P P=和()10S P P =-. (1)找出均衡价格，并求此时的供给量与需求量； (2)在同一坐标中画出供给与需求曲线；(3)何时供给曲线过P 轴，这一点的经济意义是什么？五、证明题：25. 证明：方程531x x -=至少有一个根介于1和2之间． 26. 证明：方程01sin =++x x )2,2(ππ-内至少有一个根．第二章导数与微分一、选择题：1．若下列极限均存在，其中不成立的是（） (A))0()0()(lim'0f x f x f x =-→ (B))()()(lim 0'000x f x x x f x f x x =--→(C))()()2(lim'0a f h a f h a f h =-+→ (D))()()(lim 0'000x f x x x f x f x =∆∆--→∆2．若函数)(x f 在点0x 处不连续，则)(x f 在点0x 处（）． (A)必不可导 (B)一定可导 (C)可能可导 (D)极限不存在3．设函数)(x f 可微，则当x dy y x ∆-∆→∆与时，0相比是（）． (A)高阶无穷小 (B)等价无穷小 (C)同阶无穷小 (D)低阶无穷小4．若函数)(x f 在点1=x 处可导，则=∆-∆-→∆xf x f x )1()21(lim（）．(A))1('f (B))1(2'f (C))1('f -(D))1(2'f -5．曲线x x y ln +=在点)1,1(处的切线方程是（）． (A)012=+-x y (B)012=+-x y (C)012=++x y (D)02=-x y6．函数)(x f 在0x 点可导,是函数)(x f 在0x 点可微的（）．(A)必要条件 (B)充分条件 (C)充要条件 (D)无关条件 7．下列各式中（k 为常数）正确的是（）．(A)x x x x xx x dx d ==-1)( (B)k k k k dx d=)( (C)1)(-=x x xk k dx d (D)1)(-=k k kx x dxd8．设()=''=0,cos y e y x则（）．(A)1cos 1sin + (B)1cos 1sin +- (C)1cos 1sin - (D)1cos 1sin --9.设()=''=x y x x y 则,ln 2（）.(A) x ln 2 (B) x ln 2+1 (C) x ln 2+2 (D) x ln 2+310.==dy x y 则设函数,ln ( ).(A)x dx (B)xxd (C)x dx 2 (D) x dx二、填空题：1．设函数)(x f 满足1)2()0(lim 0=-→xx f f x ，则=)0(‘f ．2．曲线232-+=x x y 在点)2,0(-处的切线斜率为．3．设函数)1ln(ax y +=，其中a 为常数，则='y ，="y ． 4．设exee x e x y +++=ln ，则='y ． 5．设x exx f =)(，则=)0(‘f ． 6．设函数)(cos 2x y -=，则=dy ． 7．设函数x x x f ln )(2=，则=)1(''f ．8．设函数)(x f 可导，)(sin xe f y =，则='y ．三、计算题：1.若()f x 在0x 处可导，试求：（1）000()()lim x f x x f x x∆→-∆-∆；（2）000()()limh f x h f x h h→+--．2.求曲线ln y x =在点(),1e 处的切线方程和法线方程.3.曲线ln y x =上哪一点的切线与直线31y x =-平行？4. (1)确定a 、b 使21()1ax b x f x x x +>⎧=⎨≤⎩在1=x 处可导．(2)确定a 、b 使b ax x y ++=21与x y 22=相切于)4,2(．*5.证明函数0()00x f x x >=≤⎩在点0x =处连续，但不可导． 6.已知函数2()cos 3f x x x x =+，求''(),[()]f f ππ-.7.求下列函数的导数：（1）3247log y x x x =+-+；（2）5tan arcsin cos32x y x x =+-+；（3）2log 1sin a xx y ++=；（4）5512x x x y ++=；（5）)1)(1(+-=x x y ；（6）25cos y x x =；（7）2(cos y x x =；（8）aa x x y sin sin +=；（9）ln x y x=；（10）csc xy xe x =; （11）5(23)y x =+；（12）ln(1)y x =-；（13）ln(y x =；（14）cos3x y e x =; （15）)cos(2sin 2x x y +=；（16）y e =（17）)ln(tan x y =；（18）sin xy x =；（19）)32)(1()3)(1(-+--=x x x x y .8.求由下列方程确定的隐函数)(x y y =的导数：（1）1ln =+y ye x；（2）022=+-b xy y ；（3）y xe y +=1；（4）520y y x +-=，求0x dydx=．9.已知曲线的方程是ln(1)0x x y ++-=，求曲线在点（1,2）处的切线方程. 10.求由下列参数方程所确定的函数的导数dy dx. (1)231t x y t t ⎧=-⎨=-⎩； (2)2sin 1cos x t t y t=-⎧⎨=-⎩.11．设函数)(ln x f y =，求"',y y ．12.求下列函数的二阶导数：(1)23cos y x x =+； (2)2xy x e =(3)2ln(1)y x =-；（4）ln xy x=，求(1)y ''. 13.求下列函数的高阶导数： (1))0(",)(12f ex f x 求-=； (2)"2,arctan )1(y x x y 求+=；(3))0(),1ln("2y x y 求+=； (4))(,n x y xe y 求=. 14.求函数3y x =当2,0.02x x =∆=时的改变量y ∆和微分dy . 15.求下列函数的微分：(1)cos log 4a y x x x =++； (2)arcsin x y e x =-；(3)xx y 22sin 2++=； (4))53sin(-=x y ；(5)y = (6)xx y -+=11ln； (7)sin xy e= ； (8)2ln(1)y x x =++；(9)2tan y x =； (10)ln y x y =；(11)2xxe y =； (12)x e y x 2cos -=.16.将适当的函数填入下列括号内，使等式成立.(1)dx = (32)d x +； (2)sin xdx d = ； (3)d 1=dx x. 三、应用题： 1.计算下列近似值.(2)0sin 31 .2.设水管壁的正截面是一个圆环，其外直径为cm 20，壁厚为cm 4.0，试求此圆环面积的近似值.第三章微分中值定理与导数的应用一、选择题：1．函数x x x f -=3)(在[0，3]上满足罗尔定理的=ξ（）． (A) 0 (B) 3 (C) 3/2 (D) 22．函数()ln f x x x =在区间[]1,e 上使得拉格朗日中值定理成立的ξ=（）． (A) 1e e - (B)2e (C) 11e e - (D) 12e+ 3．设函数)(x f y =在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，12a x x b <<<，则下式中不一定成立的是（）．(A) ()()()()f b f a f b a ξ'-=- ()a b ξ<<(B) ()()()()f a f b f a b ξ'-=-()a b ξ<<(C) ()()()()f b f a f b a ξ'-=- (12x x ξ<<)(D) 2121()()()()f x f x f x x ξ'-=- (12x x ξ<<) 4．下面求极限问题中，能使用罗必塔法则的有（）． (A) x x x x sin lim+∞→ (B) xx x cos lim 0→(C) x x e x+∞→lim (D)xx x 21lim ++∞→5．函数)(x f y =在点0x x =处取得极大值，则必有（）． (A) 0)(0='x f (B)0)(0='x f 且0)(0<''x f (C) 0)(0<''x f (D)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 6．下列函数中，（）在指定区间内是单调减少的函数． (A) x y -=2 ),(∞+-∞ (B) x y e = )0,(-∞ (C) x y ln = ),0(∞+ (D) x y sin = ),0(π 7．下面结论正确的有（）．(A) 若0x 为)(x f 的极值点，且)('x f 存在,则必有0)(0'=x f ．(B) 若0x 为)(x f 的极值点，则必有0)(0'=x f ． (C) 若0)(0'=x f ，则点0x 必为)(x f 的极值点．(D) )(x f 在),(b a 内的极大值一定大于极小值． 8．函数212)(x xx f +=在（）．(A) ),(+∞-∞单增 (B)),(+∞-∞单减(C) )1,1(+-单减，其余区间单增 (D) )1,1(+-单增，其余区间单减 9．当x=4π时，函数x x a x f 2cos 21cos )(-=取得极值，则a=（）．(A) -2(B) (D) 210．若在区间I 上，()0f x '>，()0f x ''<，则曲线)(x f y =在I 是（）． (A) 单调减少且为凹弧；(B) 单调减少且为凸弧； (C) 单调增加且为凹弧；(D) 单调增加且为凸弧．二、填空题：1．函数)1ln(+-=x x y 在区间内单调减少，在区间内单调增加． 2．函数14123223+-+=x x x y 在区间]4,3[-上的最大值为，最小值为．3．当4=x 时，q px x x f ++=2)(达到极值，则=p ,=q ． 4．当=x 时，函数x x y 2⋅=取的极小值．5．函数)(x f 在点0x 处具有二阶导数，且0)(,0)(0"0'>=x f x f ，则)(0x f 是极值．6．曲线3352x x y -+=的拐点是．7．若点)3,1(是曲线23bx ax y +=的拐点，则=a ；=b ． 8．曲线35)2(-=x y 的凸区间是．三、计算题：1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ:(1)2()32 [12]f x x x ,,=-+； (2)() [04]f x ,=.2.验证拉格朗日中值定理对函数x x y 33-=在区间]20[,上的正确性.3.已知函数2)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ.4. 不用求出函数)4)(3)(1()(---=x x x x x f 的导数，说明方程()0f x '=有几个实根，并指出它们所在的区间.5. 用洛必塔法则求下列极限：(1)()x x x +→1ln lim 0； (2) 3lim xx x e →+∞； (3)xe e x x x sin lim 0-→-；(4)a x a x a x --→sin sin lim ； (5))0(lim ≠--→a a x a x nn mm a x ； (6)ee x x x x -+-→ln 1lim 31 ； (7) x x x x x x sin cos sin lim20-→； (8) ⎪⎭⎫ ⎝⎛--→121lim 20x x e x ； (9)]1)1ln(1[lim 0x x x -+→；(10)211lim()sin x x x x →-； (11) )1(lim 1-∞→x x e x ； (12） x x x sin 0lim +→；(13) x x xx x sin sin tan lim20-→； (14) sin limx x x x→∞+；； (15) .6.求下列函数的单调区间与极值:(1) 32()37f x x x =-+； (2) ()1xf x e x =-- ；(3) x x y -+=1； (4) 32()11f x x =-(5))1ln(arctan 2x x y +-=； (6)xe x y -=32.7. 利用单调性证明下列不等式: (1) 当0>x 时，x e x +>1； (2)当0>x 时，x x +>+1211 ； (3)当1>x 时，ex e x>； (4)当0>x 时，()x x <+1ln .8. 求下列函数在指定区间上的最值:(1)32()37,[2,3]f x x x =-+-； (2)2()ln(1),[1,2]f x x =+- ； (3)()1f x x x =- [3,1]-； (4)()sin cos f x x x x =+，[],ππ-．9.当a 为何值时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3πx =处取得极值，并求出极值. 10. 要用薄铁皮造一圆柱体汽油筒，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？*11.某工厂生产一批产品，固定成本为200元，每生产一吨该产品的成本为60元，市场的需求规律为p q 101000-=(q 为需求量，p 为单价)，求产量多少时，利润最大? *12.设生产某商品的总成本为2()1000050=++C x x x (x 为产量)，问产量为多少时，每件产品的平均成本最低？*13.某工厂生产某种商品，其年销售量为100万件，分为x 批生产，每批生产需要增加生产准备费1000元，而每件商品的一年库存费为0.05元，如果年销售率是均匀的，且上批售完后立即生产出下批(此时商品的库存量的平均值为商品批量的一半).问x 为何值时，才能使生产准备费与库存费两项之和最小？*14、在由抛物线212x y -=和x 轴所围成的图形内，作一个底边在x 轴上的内接矩形，使其面积最大．15、生产Q 台彩色电视机的成本210012505000Q Q C -+=，收入是21002400Q Q R -=，假设生产的所有电视机都能售出，应该生产多少台电视机，才能获利最大？16、有一炮艇停泊在距海岸(设之为直线) 9公里处，派人给设在海岸线上距该艇343公里处的司令部送信，若送信人步行速度为5公里/时，划船速度为4公里/时；问他在何处上岸，到达司令部的时间最短?第四章不定积分一、选择题：1.下列各式中成立的是（）．(A)⎰=)()('x f dx x f (B) dx x f dx x f d ⎰=)()((C)c x dx x +=⎰112 (D)2323c x dx x +=⎰ 2．设()f x '存在,则下列各式正确的有( )．3．(A)()()f x dx f x '=⎰, (B)()()()d f x dx f x dx=⎰(C) (2)(2)f x dx f x c '=+⎰ (D)()(2)(2)df x dx f x dx=⎰3．设C e x dx x f x+=⎰22)(，则=)(x f （）．(A) x xe 22 (B) C x xe x ++)1(22(C) )1(22+x xe x (D) x e x 2224．设)(x f 的一个原函数是)(x F ，则⎰+dx b ax f )( ＝（）． (A) C b ax F ++)( (B) C b ax aF ++)((C)C b ax b ax F +++)( (D) C b ax F a++)(15．设2tan 1)2tan ('xx x x f +=，则=)(x f （）．(A) C x x ++221 (B) x x +-221(C) ⎰+dx x x )12tan ( (D) x x +3316．在),(b a 内，若)()(''x g x f =，则一定有（）． (A) )()(x g x f = (B) C x g x f +=)()((C) ''])([])([dx x g dx x f ⎰⎰= (D) ⎰⎰=)()(x dg x df7．设函数)(x f 在区间I 上连续，)(),(21x F x F 为)(x f 的两个原函数,则在区间I 上（）．(A) )()(21x F x F = (B) ))(()(21为常数C x CF x F = (C) C x F x F =+)()(21 (D) C x F x F =-)()(21 8．)(cos x d x ⎰=（）．(A) C x x x +-sin cos (B) C x x x ++sin cos (C) C x x x +-sin sin (D) C x x x ++cos cos 9．设x e -是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x xf )(（）． (A) C x e x +--)1( (B) C x e x ++-)1( (C) C x e x +--)1( (D) C x e x ++--)1( 10．设x k x f 2 tan )( = 的一个原函数是) 2 cos ( ln32 x ，则常数 =k （）． (A)3 2- (B) 3 2 (C) 34 - (D) 3 4二、填空题：1．若⎰+=c x F dx x f )()(，而)(x u ϕ=，且)('x ϕ连续,则⎰=du u f )( ．2．在计算积分⎰-dx x x 321时，为把被积函数中的根式化去，可作的变换是．3．若C x dx x f +=⎰2)(，则=-⎰dx x xf )1(2 ． 4．⎰='])([dx x f ． 5．⎰=dx x F )(' ．6．设)(x f 的一个原函数为x ln ，则=)('x f ． 7．已知)(x f 的一个原函数为2e x ，则⎰'x x f d )(=_____________． 8. 一曲线)(x f y =过点(),20，且其上任意点的斜率为x x e 321+，则)(x f =__________．三、求下列函数的不定积分： 1．dx x xx x )sin 325(3⎰++-； 2．⎰x e x x d 3 ； 3．⎰+x x x d 122； 4．⎰x x x x d cos sin 2cos 22 ； 5．x xd 2cos 2⎰； 6．x x x-x d )tan sec (sec ⎰； 7．2x edx -⎰； 8． 221(1)x x dx x x +++⎰； 9．⎰-dx x 9)23(； 10．⎰-29xdx； 11．⎰xxdx4sin cos ； 12．dx x x ⎰+32)1(； 13．dx e x x 121⎰； 14．1(12ln )dx x x +⎰； 15．⎰+4.2x x e dx e ； 16．⎰x xdxsin cos 2；17．dx x x ⎰+tan 1.sec 2； 18．dx xx⎰sin ； 19．⎰xdx 3cos ； 20．dx x⎰-2491；21．x x dxe e -+⎰； 22．⎰-dx xx 2arcsin 110；23． 329x dx x+⎰； 24． ln tan cos sin xdx x x ⎰；25．⎰++dx x x 3212；26．⎰--21636x x dx ；27．dx xx ⎰+++111 28．dx x x ⎰+31； 29．dx x x ⎰-224； 30．dx xx ⎰-92 ； 31．； 32．dx xx ⎰+211；33．⎰x xd x sin ； 34．⎰-dx e x x2；35．⎰dx xx 2ln ； 36．dx x ⎰2ln ； 37．⎰xdx x arctan ； 38．⎰xdx arcsin ； 39．dx xe x 2sin ⎰； 40． ⎰dx e x ；41．22cos 2xx dx ⎰； 42．ln(1)x x dx -⎰； 43．dx x x ⎰⋅2sec ； 44．⎰+dx x x e x )ln 1(．第五章定积分及其应用一、选择题：1．函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，是定积分存在（）． (A)必要条件 (B)充分条件 (C)充要条件 (D)无关条件 2．下列等式不正确的是（）．(A))(])([x f dx x f dx d ba=⎰ (B))()]([])([')(x b x b f dt t f dx d x b a =⎰(C))(])([x f dx x f dx d x a=⎰ (D))(])([""x F dt t F dx d x a =⎰3．设函数)(x f 的一个原函数为x sin ，则=⎰dx x xf 2)(π（）． (A)12+π(B)2π(C)12-π(D)04．由直线1,+-==x y x y ，及x 轴所围成的平面图形的面积=（）．(A)⎰--10])1[(dy y y (B)⎰-+-21])1[(dx x x(C)⎰--210])1[(dy y y (D)⎰+--10)]1([dx x x5．由曲线x y x y e1log ,ln ==，直线e x =围成的曲边梯形，用微元法求解时，若选择x 为积分变量，则面积微元为（）．(A)dx x x e)log (ln 1+ (B)dy x x e)log (ln 1+(C)dx x x e)log (ln 1- (D)dy x x e)log (ln 1-6．由曲线2x y =，直线0,1,1==-=y x x 所围成的平面图形的面积（）． (A)⎰-112dx x (B)⎰102dx x (C)⎰1dy y (D)⎰12dy y7．由曲线2x y =，直线1=y 所围成的平面图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积=（）．(A)⎰102ydy π (B)⎰10221dx x π (C)⎰10ydy π (D)⎰10xdx π 8．由曲线2x y =，直线x y =所围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积=（）．(A)⎰-12)(dx x x π (B)⎰-142)(dx x x π(C)⎰-102)(dx x x π (D)⎰-14)(dx x x π二、填空题：1．设)(x f 在],[b a 上连续，则=-⎰⎰babadt t f dx x f )()( ．2．已知dt t x x⎰-+=121)(ϕ，()x ϕ'=____________.3．02cos lim xx t tdt x→=⎰_____________.4．设)(x f 在],[b a 上可导，且A a f B b f ==)(,)(，则 =⎰dx x f x f ba)()('_____．5．=⎰-1dx xe x+⎰-1dx e x ．6．=+⎰-dx x x1121sin ．三、求下列函数的定积分：1．θθπd ⎰-60)12cos 2(； 2．dx x x x ⎰-20)sin (π；3．dx x x ⎰-210231)(arcsin ； 4．θθθπd ⎰-202sin )cos 1(；5．dx xx ⎰-+1691； 6．⎰-++112521dx x x ；7．⎰-+122)511(x dx； 8．dx x x ⎰-22211； 9．dx x x ⎰-+21211； 10．dx x x ⎰-π3sin sin ； 11．dx x ⎰-302； 12．dx x ⎰+π2cos 1；13．⎰+32024x dx； 14．221(1)e dx x x +⎰； 15．dx x x ⎰ππ2121sin ； 16．⎰+4011dx x； 17．1202dx x x --⎰； 18．1e ⎰ 19．⎰2cos πxdx x ； 20．dx xe x⎰-10 ；21．⎰exdx 1ln ； 22．dx x ⎰210arcsin ；23．⎰exdx x 12ln ； 24．dx x ⎰42cos π；25． 1arctan x xdx ⎰； 26．220cos x e xdx π⎰；27． 20(cos )x x dx π⎰； 28．1sin(ln )ex dx ⎰；29．dx x ⎰+∞+0211； 30．⎰∞-+021dx x x； 31．dx x x ⎰+∞∞-++2212； 32．⎰-1021dx xx ；33．⎰1ln xdx ；34.求dx x f ⎰π)(，其中 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤=时当时当πππx x x x x f 2,sin 20,)(．四、证明：112211111xx dx dx x x =++⎰⎰. 五、证明20sin 2sin nn xdx xdx ππ=⎰⎰.六、求下列平面图形的面积：1．由抛物线2x y =及直线32+=x y 所围成的平面图形． 2．由曲线xy 1=，直线x y =及直线2=y 所围成的平面图形． 3．设曲线2x x y -=与直线ax y =，求参数a ；使这直线与曲线所围成的平面图形的面积为29． 4．由曲线x y sin =，与曲线x y 2sin =在区间],0[π上所围成的平面图形 5．由曲线x y =，与曲线22-=x y 所围成的平面图形． 6．由三次抛物线3x y =，与直线x y 2=所围成的平面图形． 7. 曲线θcos 2=r 及射线3,0πθθ==；8. 求由曲线)0)(cos 1(>-=a a r θ所围图形的面积. 七、求由下列图形旋转而成的旋转体的体积：1．由抛物线2x y =，与直线0=y ，及1=x 所围成的平面图形绕x 轴，及y 轴． 2．由曲线)0(,sin π≤≤=x x y ，及0=y 所围成的平面图形绕x 轴． 3．由抛物线24x y =，与直线2=x 所围成的平面图形绕x 轴．4．由抛物线)0(,412>=x x y ，与直线1=y ，及0=x 所围成的平面图形绕x 轴，及y 轴．八、求解下列经济数学中的应用题： *1．已知生产某产品的边际成本2()31830'=-+C x x x ，问当产量x 由12单位减少到3单位时，总成本减少多少？*2．已知某商场销售电视机的边际利润为()250(20)10'=-≥xL x x ,试求:(1)售出40台电视机的总利润；(2)售出60台时，前30台与后30台的平均利润各为多少？*3．若边际成本x x C 430)(+='，边际收益x x R 260)(-='，求最大利润(设固定成本为0).第六章微分方程一、选择题：1．微分方程0)'()''(3)'''(5423=++-x y y y 阶数是（） (A)4阶 (B)3阶 (C)2阶 (D)1阶 2．下列方程中是可分离变量的微分方程的是（） (A)x x y x y cos )(tan '2-+= (B)0ln '=--y y y xe y x (C)dxdyxy dx dy x y =+22 (D)0)cos 1(cos sin ln '=-+y x y y x xy 3．微分方程y y x 2='的通解为（）(A)2x y = (B)c x y +=2 (C)2cx y = (D)0=y 4．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为（）(A)x y = (B)c x y += (C)cx y = (D)0=y 5．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是（） (A)x x x y +=ln (B)Cx x x y +=ln(C)x x x y +=ln 2 (D)Cx x x y +=ln 26．设21,y y 是二阶常系数微分方程0=+'+''qy y p y 的两个解，则下列说法不正确的是( )(A)21y y +是此方程的一个解 (B)21y y -是此方程的一个解 (C)2211y c y c +是此方程的通解 (21,c c 为任意常数)(D)若21,y y 线性无关，则2211y c y c +是此方程的通解(21,c c 为任意常数) 7．微分方程02=+'-''y y y 的一个特解是（）(A)x e x y 2= (B)x e y = (C)x e x y 3= (D)x e y -=8．微分方程052=+'+''y y y 的通解y 等于（） (A)x c x c 2sin 2cos 21+ (B))2sin 2cos (21x c x c e x + (C))2sin 2cos (21x c x c e x +- (D))2sin 2cos (21x c x c x + 二、填空题：1．设某微分方程的通解为()x e x c c y 221+=，且00==x y，10='=x y 则___________1=c ，_____________2=c ；2．微分方程02=+'xy y 的通解是______________； 3．1+=y dxdy的满足初始条件()10=y 的特解为________； 4．微分方程0e y y x =+'+的通解是__________；5．已知x y sin 1=和x y cos 2=是0=+'+''qy y p y （q p ,均为常数）的两个解，则该方程的通解为________；6．微分方程x y sin ''=的通解是____________； 7.方程023=+'-''y y y 的通解是； 8.022=+'-''y y y 的通解为．三、求解下列常微分方程：1．()01=+-xdy dx y ； 2．1)1(,12=-=y x dxdyxy； 3．)1)(cos (sin 2'y x x y +-=； 4．0ln =-'y y y x ； 5．y x e dx dy+=； 6． 2sin ln ,x y x y y y e π='==； 7．x e y y -=+'； 8．0,cos 0sin ==+'=-x x y e x y y ； 9．x xy dx dy 42=+； 10．221x y xdx dy =-； 11．x y y x cos =+'； 12.．x e y -=''； 13．x e y x sin 3+=''； 14．022=+'+''y y y ； 15．02'''=--y y y ； 16．0y 'y 4''y 4=++；17．09'6"=++y y y ，1',000====x x y y ； 18．10;6,03400='==+'-''==x x y yy y y ；19．5,2,0250'0"===+==x x y y y y .四、已知特征方程的两个根为：i r +-=21，i r --=22，求相应的二阶常系数的齐次线性微分方程及其通解．五、验证函数C x x y ++=2（C 为任意常数）是方程12+='x y 的通解，求满足初始条件11==x y 的特解.六、验证函数x e x C C y -+=)(21（21,C C 为任意常数）是方程02=+'+''y y y 的通解，求满足初始条件2,400-='===x x y y 的特解.七、求方程0=-''y y 的积分曲线，使其在点)0,0(处与直线x y =相切. 八、已知某曲线经过点)1,1(，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程.第七章多元函数微分学一、选择题：1.设函数f x y x yy x x y x y (,)s i n s i n =+≠=⎧⎨⎪⎩⎪11000，则极限lim (,)x y f x y →→00=（）(A)不存在 (B)等于1 (C)等于0 (D)等于22.函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（）(A)必要条件 (B)充分条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件3.设u y x =a r c t a n ，则∂∂ux =（）(A)x x y 22+ (B)-+y x y 22 (C)y x y 22+ (D)-+xx y224.设yxz arctan=，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （） (A)22v u v u -- (B)22v u u v -- (C)22v u v u +- (D)22vu uv +-．5.设z y x=，则()=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂1,2y z x z （） (A)2 (B)1+ln2 (C)0 (D) 16.设(21)arcsinx u x y y =+-，则xu∂∂在(1,2)的值是（）(A)1-(B)1+(C)1-(D) 31+7.设z =()1,1dz =（）(A)()12dx dy + (B) dx dy + (C) ()13dx dy + (D))dx dy + 8.设()322,42f x y x x xy y =-+-，则下面结论正确的是（）(A) 点()0,0是极大值点 (B)点()2,2是极小值点(C) 点()2,2是(),f x y 的驻点，且为极大值点 (D) 点()0,0是(),f x y 的驻点，且为极小值二、填空题：1.极限lim sin()x y xy x →→0π= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ ．2.极限limln()x y x y e x y →→++01222=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ ．3.函数z x y =+l n ()的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ ．4.设z xy y =-+s i n ()3，则∂∂zxx y ===21_________ ．5.22yx x z +=在点)1,0(处的._______________=dz 6.,sin ,cos ,22y x v y x u uv v u z ==-=则_________;_________,=∂∂=∂∂yzx z 7.设u x x y =l n ，则∂∂∂2ux y= ___________．8.()y x f ,在点()y x ,处可微分是()y x f ,在该点连续的的条件，()y x f ,在点()y x ,处连续是()y x f ,在该点可微分的的条件.三、计算题：1. 求下列函数的定义域并作出其图形：(1) ln()z x y =+； (2) 22221arcsin arccos 4x y z x y +=++；(3) z 。

高等数学一自考题-1

高等数学一自考题-1(总分：100.02，做题时间：90分钟)一、{{B}}第一部分选择题{{/B}}(总题数：0，分数：0.00)二、{{B}}单项选择题{{/B}}(总题数：10，分数：30.00)1.函数y=sinx-sin|x|的值域是______∙ A.{0}∙ B.[-1，1]∙ C.[0，1]∙ D.[-2，2]（分数：3.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 当x≥0时，y=sinx-sinx=0；当x＜0时，y=sinx-sin(-x)=sinx+sinx=2sinx，这时-2≤2sinx≤2，故y=sinx-sin|x|的值域为[-2，2]．答案为D．2.设函数，则f(x)=______A．x2 B．x2-2C．x2+2 D（分数：3.00）A.B. √C.D.解析：[解析] [*]，∴f(x)=x2-2．答案为B．3.∙ A.0∙ B.∞∙ C.1∙ D.不存在（分数：3.00）A.B.C. √D.解析：[解析] [*]．答案为C．4.要使函数在x=0处连续，应给f(0)补充定义的数值是______ A．2 C．1 D．0（分数：3.00）A.B.C. √D.解析：[解析] [*]，补充定义f(0)=1，则f(x)连续．答案为C．5.设函数f(x)=(x-a)φ(x)，φ(x)在x=a处可导，则______∙ A.f'(x)=φ(x)∙ B.f'(a)=φ'(a)∙ C.f'(a)=φ(a)∙ D.f'(x)=φ(x)+(x-a)（分数：3.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 由导数定义 [*]，由于φ(x)在x=a处可导，∴φ(x)在x=a处连续，∴[*]．答案为C．6.设(x≥0)，则f'(x)=______ A． B． C． D（分数：3.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 由[*]，得[*]，f'(x)=[*]．答案为C．7.在区间(a，b)内任意一点，函数f(x)的曲线弧总位于其切线的上方，则该曲线在(a，b)内是______∙ A.凹的∙ B.凸的∙ C.单调上升∙ D.单调下降（分数：3.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 根据几何意义可选出正确答案．答案为A．8.设∫f(x)dx=F(x)+C，则不定积分∫2x f(2x)dx=______A B．F(2x)+CC．F(2x)ln2+C D．2x F(2x)+C（分数：3.00）A. √B.C.D.解析：[解析] F(2x)+C'=∫f(2x)d(2x)=∫2x(ln2)f(2x)dx=ln2∫2x f(2x)dx，所以[*]．答案为A．9.设，则y'(0)=______∙ A.24∙ B.0∙ C.120∙ D.6（分数：3.00）A. √B.C.D.解析：[解析] [*]，∴y'(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)， y'(0)=(-1)·(-2)·(-3)·(-4)=24．答案为A．10.设z=(2x+y)y∙ A.1∙ B.2∙ C.3∙ D.0（分数：3.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由z=(2x+y)y，则[*]，[*]|(0，1)=2(0+1)0=2．答案为B．三、{{B}}第二部分非选择题{{/B}}(总题数：0，分数：0.00)四、{{B}}简单计算题{{/B}}(总题数：5，分数：20.00)11.（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(要使函数f(x)有意义，必须使[*]解之，得[*]故f(x)的定义域为[-1，3]．)解析：12.x=1点的连续性．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(所给函数是个分段函数，x=1点是f(x)的分段点，f(x)在x=1点处及其附近有定义，但是[*]，[*][*]，[*]，故f(x)在x=1点处无极限，从而f(x)在x=1点处不连续．)解析：13.已知y=a·cos y'．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(y=a·[*]可以看成由y=au2，u=cosv，v=[*]三个函数复合而成的函数，由复合函数求导法则，得到[*])解析：14.（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]，令y'=0，得驻点x=1．[*] ∴x=1为极大值点，极大值为[*]，令y"=0，得x=0，x=2．当x∈(-∞，0)时，y"＞0；当x∈(0，2)时，y"＜0；当x∈(2，+∞)时，y"＞0，∴拐点为[*]和[*]．) 解析：15.计算定积分3x)dx．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：五、{{B}}计算题{{/B}}(总题数：5，分数：25.00)16.设求及（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(在点x=0处，因为f(0+0)=[*](2x2+4)=4，所以[*]=4．在点x=2处，f(2+0)=[*]f(2-0)=[*]，因为f(2+0)≠f(2-0)，所以[*]不存在．)解析：17.求曲线y=e x上的一点(x，y)，使过该点的切线与直线y=2x平行．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(直线y=2x的斜率为2，曲线y=e x在x处切线的斜率为y'=e x，两直线平行要求它们的斜率相等，即有e x=2，解得x=ln2，代入方程得y=e ln2=2．)解析：18.f(n)(0)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(f(x)=-ln(1+x)，[*]f"(x)=-(-1)(1+x)-2，f"'(x)=-(-1)(-2)(1+x)-3，……f(n)(x)=-(-1)(-2)…(-n+1)(1+x)-n=[*]，故f(n)(0)=(-1)n(n-1)!)解析：19.某商品的需求函数为Q=100-5P，其中Q为需求量，P为价格，求需求的价格弹性函数，并求P=10时的价格弹性．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(需求函数表示商品的需求量与价格之间的关系，需求的价格弹性反映需求量的变动对价格变动的敏感程度，设[*]为需求的价格弹性，则需求的价格弹性函数为：[*]．当P=10时，[*] 结果说明，当商品的价格在P=10的基础上上升1%时，人们对它的购买量就会下降1%．)解析：20.（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：六、{{B}}综合题{{/B}}(总题数：2，分数：25.00)某商品的需求函数为Q=180-10P，企业生产该商品的成本函数为C=3Q+0.1Q2．试求：（分数：19.02）(1).该商品的总收益函数、平均收益函数（分数：3.17）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(总收益函数为R=QP(Q)．因为Q=180-10P，∴P=[*]，从而总收益为R=Q·P=Q(18-[*])=18Q-[*]，平均收益函数为[*]．)解析：(2).该商品的平均成本函数（分数：3.17）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(已知成本函数为C=3Q+0.1Q2，所以平均函数为[*]=3+0.1Q．)解析：(3).该商品的总利润函数（分数：3.17）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(总利润=总收益-总成本，所以总利润函数为L=R-C=[*]Q2-3Q-0.1Q2=[*]．)解析：(4).当产量为30时的利润（分数：3.17）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(产量为30时，利润为L(30)=15×30-[*]=270．)解析：(5).某工厂生产某种产品，每批至少生产5(百台)，最多生产20(百台)，如生产x(百台)的成本可得收入R(x)=20x-x2(万元)，问每批生产多少时，可使工厂获得最大利润?（分数：3.17）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(总利润函数为L(x)=R(x)-C(x)=(20x-x2)-([*]-6x2+29x+15)[*]．令L'(x)=-x2+10x-9=-(x-1)(x-9)=0，得驻点x=9，x=1(舍去)．由L"(x)=-2x+10，L"(9)=-8＜0，故知当每批生产9百台时利润最大．)解析：(6).求曲线y=x3-3x+2与它的右极值点处的切线所围成的图形的面积．（分数：3.17）__________________________________________________________________________________________正确答案：(y'=3x2-3，y"=6x．令y'=0，得x=1，x=-1；y"(1)=6＞0，y"(-1)=-6＜0，所以x=-1，x=1是它的极值点，且x=1为右极值点．这时y'(1)=0，y(1)=1-3+2=0，故y=0为该曲线在右极值点x=1处的切线方程．又当y=0时，x=1，x=-2．因此[*]．)解析：若边际消费倾向是收入y的函数且收入为零时的总消费支出C=70．求：（分数：6.00）(1).消费函数C(y)（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：([*]．又∵C(0)=70．∴C(y)=[*]．)解析：(2).收入由100增到196时消费支出的增量（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(由[*]，故收入由100增加到196时，消费支出增加21264．)解析：。

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2010年自考《高等数学》(一)第一章同步辅导/训练
3
27 将函数f （x ）=2-|x-2|表示为分段函数时，f （x ）= 「」
A 4-x ，x≥0
x ，x<0B 4-x ，x≥2
x ，x<2
C 4-x ，x≥0
1-x x <0D 4-x ，x≥2
4+x x <2
「答案」选B
「解析」由条件f （x ）=2- （x-2 ），x ≥2
2-（2-x ），x <2 ，即
f （x ）=4-x，x ≥2
x ，x <2
28 下列函数中，表达式为基本初等函数的是「」
A y=2x2 ，x>0
2x+1，x<0B y=2x+cosx
C y=x
D y=sinx
「答案」选C 「解析」对照基本初等函数的定义可知y=x 是基本初等函数，而A 中函数为分段函数，B 中函数为初等函数，D 中函数为复合函数它们都不是基本初等函数
29 函数y=sinx-sin|x| 的值域是「」
A （0 ）
B ［-1，1 ］
C ［0 ，1 ］
D ［-2，2 ］
「答案」选D
「解析」因为当x ≥0 时，y=sinx-sinx=0 ，
当x <0 时，y=sinx-sin（-x）=sinx+sinx=2sinx，这时-2≤2sinx ≤2 ，故函数y=sinx-sin|x|的值域为［-2，2 ］ 30 函数y=x2 -2 ≤x ≤0
x2-4 0
A y=x 0 ≤x ≤4
x+4 0
B y=－x 0 ≤x ≤4
x+4 -4
C y=－x 〖〗0 ≤x ≤4
－x+4 -4≤x <0
D y=x 0 ≤x ≤4
- 4+x -4 ≤x <0
「答案」选B
「解析」因为当-2≤x ≤0 时，y=x2，x=-y ，0≤y ≤4 ；
当0
故所求反函数为y=－x ，0≤x ≤4 ，
x+4 ，-4
31 设f （x ）在（- ∞，+ ∞）内有定义，下列函数中为偶函数的是「」
A y=|f（x ）|
B y=-|f （x ）|
C y=-f（-x）
D y=f （x2）
「答案」选D
「解析」由偶函数定义，D 中函数定义域（- ∞，+ ∞）关于原点对称，且y （-x）=f［（-x）
2 ］=f（x2）=y（x ），故y=f （x2）是偶函数
32 函数f （x ）=loga （x+1+x2）（a >0 ，a ≠1 ）是「」
A 奇函数
B 偶函数
C 非奇非偶函数
D 既是奇函数又是偶函数
「答案」选A
「解析」因该函数定义域为（- ∞，+ ∞），它关于原点对称，且
f （-x）=loga-x+1+（-x）2=loga1+x2-x
=log31+x2-x2 1+x2+x=log31 x+1+x2
=-log3x+1+x2=-f （x ）
故f （x ）=logax+1+x2 为奇函数
33 设函数f （x ）=x（ex-1）ex+1 ，则该函数是「」
A 奇函数
B 偶函数
C 非奇非偶函数
D 单调函数
「答案」选B
「解析」因为f （x ）的定义域是（- ∞，＋∞），且
f （-x）=-x （e-x-1 ）e-x+1=-x1-ex ex 1+ex ex=x（ex-1）ex+1=f （x ）。

所以f （x ）为偶函数。

34 设函数f （x ）在（- ∞，+ ∞）内有定义且为奇函数，若当x ∈（－∞，0）时，f（x ）=x（x-1 ），则当x ∈（0，＋∞）时，f （x ）= 「」
A -x（x+1 ）
B x （x-1 ）
C x （-x+1）
D x （x+1 ）
「答案」选A
「解析」因为f （x ）为奇函数，故当x >0 时，
f （x ）=-f （-x）=-［-x（-x-1）］=-x （x+1 ）。

35 设函数f （x ）、g （x ）在（－∞，＋∞）上有定义，若f （x ）为奇函数，
g （x ）
为偶函数，则g ［f （x ）］为「」
A 奇函数
B 偶函数
C 非奇非偶函数
D 有界函数
「答案」选B
「解析」因为g ［f （-x）］=g［-f（x ）］=g［f （x ）］，故g ［f （x ）］为偶函数。

39 设f （x ）是以3 为周期的奇函数，且f （-1）=-1 ，则f （7 ）= 「」
A 1
B -1
C 2
D -2
「答案」选A
「解析」因为f （7 ）=f（1+2.3 ）=f（1 ）=-f （-1）=1.
40 已知偶函数f （x ）在［0，4］上是单调增函数，那么f （- π）和f （log 128）
的大小关系是「」
A f （- π）
C f （- π）>f （log 128）
D 不能确定
「答案」选C
「解析」因为f （x ）为偶函数且在［0，4］上是单调增函数，故f （x ）在［－4，0］上是单调减函数又log 128=log12（12）－3=-3 >－π，所以f （- π）>f （log 128）。

41 在R 上，下列函数中为有界函数的是y=「」
A ex
B 1+sinx
C lnx
D tanx
「答案」选B
「解析」由函数的图像可以看出y=ex，y=lnx 、y=tanx在其定义区间内是无界的，只有B 中函数y=1+sinx其定义域为R ，且对任意x ∈R ，有|1+sinx|≤1+|sinx|≤2 成立，故y=1+sinx在R 上是有界函数
基础训练题
单项选择题
1 设A={x|-3 ≤x ≤3}，B={x|0≤x ≤5}，则
A A B
B A B
C （A ∩B ） B
D （A ∩B ） B 「」
2 下列集合为空集的是
A {x|x+5=5}
B {x|x∈R 且x2+10=0}
C {x|x≥3 且x ≤3}
D {x||x+5|≤0}「」
3 若集合M={0，1 ，2}，则下列写法中正确的是
A {1} ∈M
B 1 M
C 1 M
D {1} M 「」
4 函数y=1-x+arccosx+1 2 的定义域是
A -3≤x ≤1
B x <1
C （-3，1 ）
D {x|x<1}∩{x|-3 ≤x ≤1}「」
5 函数f （x ）= （x+1 ）2x+1 2x2-x-1的定义域是
A x ≠-1 2
B x >-1 2
C x ≠-1 2且x ≠1
D x >-1 2且x ≠1 「」
6 若0 ≤a ≤1 2 及函数y=f （x ）的定义域是［0 ，1 ］，则f （x+a ）+f（x-a ）的定义域是
A ［-a，1-a ］
B ［-a，1+a ］
C ［a ，1-a ］
D ［a ，1+a ］。