2018-2019学年青海省西宁市高一上学期期末数学试题(解析版).pdf
2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题PDF版含答案
中小学教育教学资料22 ) ( 11 ）3,0 ] [0,1] A. B. C. D. 0圆心角为 ，半径为 的扇形面积是 2. 60 2 ( ) 24A ．B ．C ．D ． 2 33 3 a 3 b c3.△ABC 内角 A ， B ， C的对边分别为 a ，b ，c ，且 ，则△ ABC是（ ）sin A cos B 3c os CA.等边三角形B.有一个角是3 0°的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一个角是3 0°的等腰三角形 sin θ ＋2cos θ4.若 ＝ 2，则sin θ ·cos θ ＝( )sin θ － cos θ 4 4 4 4A．－B ．C ．±D．17517175. 函数 的图象的相邻两支截直线 所得的线段长为 ，则的值是（f ( ) f ( x ) tan x ( 0) y1 4 123 3 1 A. B. C. D. 0 30 BC6.等腰直角三角形A B C ， C 90 ， AB=2，则在方向上的投影为( )AB A. B.-C. D.2 2 2 2 2 27. 为了得到 的图象，可以将函数的图象( )y 2cos 2 x y 2sin( 2 x )6Ａ．向右平移 个单位长度 Ｂ．向左平移个单位长度 36Ｃ．向左平移 个单位长度Ｄ．向右平移 个单位长度631 f (x ) sin( x ) ( 0,0) x x , f f ( x ) 1, f ( x ) 0, 8.已知函数 ， 若 且 12 1 2 min 22 f (x ) 则 的单调递增区间为（ ）1 5 5 1k Z k Z A. 2 k,2 k ， B. 2 k,2 k ， 6 6 6 6[ 1] , ( 3] , ( 1. B A ）（，则1} | 2 x { B ，0} 3 x 2 x | x { A 已知集合x2 求的） 36312分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分，共小题，每小题 一、选择题（本大题共 高一数学备课组审核人： 命题人：高一数学备课组) 分钟120分，考试时间：100本卷满分( 5，4 ， 1 数学必修 高一学年度上学期期末考试试卷 2018-2019莆田一中,2 k ， D. 2 k ,2 k ，6 6 6 61 1e e kee , e , e e , e9.设为单位向量，且，，若以向量为两边的三角形的面积为，则（k 0）k3 1 21 2 3 1 22 2值为( )2 3 5 7A．B．C．D．2 2 2 210.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征。
2019-2020学年青海省西宁市高一上学期期末考试数学试题(解析版)
2019-2020学年青海省西宁市高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合M={x|1≤x ＜3}，N={1，2}，则M∩N=（ ） A ．{}1 B ．{}1,2C ．φD ．[]1,2【答案】B【解析】根据集合交集的定义可得所求结果． 【详解】∵{}{}13,1,2M x x N =≤<=， ∴{}1,2M N =I ． 故选B ． 【点睛】本题考查集合的交集运算，解题的关键是弄清两集合交集中元素的特征，进而得到所求集合，属于基础题．2．()sin 1020o-等于（ ）A ．12B ．12-C ．2D ． 【答案】C【解析】由正弦函数的周期性化简可得． 【详解】由题sin(1020)sin 60-︒=︒=，故选C ． 【点睛】本题考查正弦函数的周期，此类大角度问题根据周期化为小角度再求值．3．已知向量(a =v，(b =v ，则a v 与b v 的夹角为（ ）A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C【解析】利用夹角公式进行计算． 【详解】由条件可知，a ==vb ==v所以•1cos ,2a b a b a b===v v v v ，故a v 与b v 的夹角为60︒．故选C ． 【点睛】本题考查了运用平面向量数量积运算求解向量夹角问题，熟记公式准确计算是关键，属于基础题．4．函数y ＝()2lg 43x x +-的单调增区间为（ ）． A ．（-∞，32） B ．（32，+∞） C ．(－1，32] D ．[32，4） 【答案】C【解析】令lg y t = ，2430t x x =+-> ，（14x -<<）lg y t =在(0,)+∞为增函数，243t x x =+-在3(1,)2-上是增函数，在3(,4)2上是减函数；根据复合函数单调性判断方法“同增异减”可知，函数y ＝()2lg 43x x +-的单调增区间为3(1,)2-选C.【点睛】有关复合函数的单调性要求根据“同增异减”的法则去判断，但在研究函数的单调性时，务必要注意函数的定义域，特别是含参数的函数单调性问题，注意对参数进行讨论，指、对数问题针对底数a 讨论两种情况，分0<a<1和a>1两种情况，既要保证函数的单调性，又要保证真数大于零.5．下列函数中，表示同一个函数的是（ ） A ．2y x=与4y =B．y =与yC ．xy x =与()()1010x y x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩ D ．2y x =与2S a = 【答案】D【解析】对于A ，B ，C 三个选项中函数定义域不同，只有D 中定义域和对应法则完全相同的函数，才是同一函数，即可得到所求结论． 【详解】对于A ，2y x =的定义域为R ，4y =的定义域为{}0x x ≥，定义域不同，故不为同一函数；对于B ，y =的定义域为{}1x x ≥，y ={}11x x x ≥≤-或，定义域不同，故不为同一函数；对于C ，x y x=定义域为{}0x x ≠，()()1010x y x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩的定义域为R ，定义域不同，故不为同一函数；对于D ，2y x =与2S a =定义域和对应法则完全相同，故选D. 【点睛】本题考查同一函数的判断，注意运用只有定义域和对应法则完全相同的函数，才是同一函数，考查判断和运算能力，属于基础题． 6．要得到函数()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向左平移2π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变） B ．向左平移2π个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的12倍（横坐标不变）C ．向左平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的12倍（横坐标不变）D ．向左平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变） 【答案】D【解析】先将函数()y f x =的解析式化为()52sin 26x x f π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，再利用三角函数图象的变换规律得出正确选项. 【详解】()2cos 22sin 22sin 233243f x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦Q ，因此，将函数()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），可得到函数()2cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，故选D.【点睛】本题考查三角函数的图象变换，处理这类问题的要注意以下两个问题：（1）左右平移指的是在自变量x 上变化了多少；（2）变换时两个函数的名称要保持一致.7．若向量(1,1)a =r ，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r 满足(3)10a b c +⋅=r r r，则x =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】根据向量的坐标运算，求得(3)(2,6)a b +=rr ，再根据向量的数量积的坐标运算，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，向量(1,1)a =r，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r ，则向量(3)3(1,1)(1,3)(2,6)a b +=+-=rr ，所以(3)(2,6)(2,)22610a b c x x +⋅=⋅=⨯+=r r r，解得1x =，故选A.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，及向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.8．函数3()23log xf x x =-+的零点所在区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（3，+∞）【答案】B【解析】计算出(1),(2)f f ,并判断符号,由零点存在性定理可得答案. 【详解】因为3(1)23log 110f =-+=-<,233(2)23log 21log 20f =-+=+>,所以根据零点存在性定理可知函数3()23log xf x x =-+的零点所在区间是(1,2), 故选:B 【点睛】本题考查了利用零点存在性定理判断函数的零点所在区间,解题方法是计算区间端点的函数值并判断符号,如果异号,说明区间内由零点,属于基础题.9．已知2sin 3a =-,3,2a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,3cos 4β=,3,22πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则()cos βα-=()A ．25+ B ．25- C ．2735-D ．2735+【答案】C【解析】分别求出cos ,a sin β的值再带入()cos cos cos +sin sin βαβαβα-=即可． 【详解】因为2sin 3a =-,3,2a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以5cos =3a -因为3cos 4β=,3,22πβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭所以7sin β=-所以()cos cos cos +sin sin =βαβαβα-=2735-【点睛】本题考查两角差的余弦公式．属于基础题．10．己知函数()sin()f x A x ωϕ=+（x ∈R ，0A >，0>ω，2πϕ<）的图象（部分）如图所示，则()f x 的解析式是（）A ．()2si 3n ()f x x x R ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭B ．()2sin 2()6f x x R ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭C ．()2sin ()6f x x x R ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭D ．()2sin 2()3f x x x R ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据图象可知514263T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，利用正弦型函数2T πω=可求得ω；根据最大值和最小值可确定A ，利用123f ⎛⎫= ⎪⎝⎭及2πϕ<可求得ϕ，从而得到函数解析式.【详解】由图象可知，()f x 的最小正周期：514263T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭又2T πω=ωπ∴=又()max 2f x =，()min 2f x =-且0A > 2A ∴=12sin 233f πϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 232k ππϕπ∴+=+，k Z ∈，即26k πϕπ=+，k Z ∈2πϕ<Q 6πϕ∴=()()2sin 6f x x x R ππ⎛⎫∴=+∈ ⎪⎝⎭本题正确选项：C 【点睛】本题考查根据图象求解三角函数解析式的问题，关键是能够明确A 由最大值和最小值确定；ω由周期确定；ϕ通常通过最值点来进行求解，属于常考题型.11．已知函数()()()25,1,1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩在(),-∞+∞上是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞- B ．[)2,0-C ．[)3,0-D ．[]3,2--【答案】D【解析】由题意：函数f （x ）=()()251{1x ax x ax x ---≤，，＞在（﹣∞，+∞）上是增函数， ∴二次函数﹣x 2﹣ax ﹣5，开口向下，∴2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，是增函函，故得对称轴x=﹣2a≥1，解得：a≤﹣2．反比例函数ax在（1，+∞）必然是增函数，则：a ＜0； 又∵函数f （x ）是增函数， 则有：2(1)151aa ≥--⨯-，解得：a≥﹣3． 所以：a 的取值范围[﹣3，﹣2]．故选D ．12．已知函数()2f x +的图像关于直线2x =-对称，且对任意1x ，2[0,)x ∈+∞，12x x ≠有()()12120f x f x x x ->-，则使得()()211f x f -<成立的x 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()(),01,-∞⋃+∞C ．()1,1-D ．()(),11,-∞-+∞U【答案】A【解析】解有关抽象函数的不等式考虑函数的单调性，根据已知可得()f x 在[0,)+∞单调递增，再由(2)f x +与()f x 的图象关系结合已知，可得()f x 为偶函数，()()211f x f -<化为自变量关系，求解即可.【详解】设1212121212()()0,()()()0f x f x x x f x f x x x x x ->≥-=-⋅>-，()f x ∴在[0,)+∞为增函数，函数()f x 的图象是由(2)f x +的图象向右平移2个单位得到， 且函数()2f x +的图像关于直线2x =-对称， 所以()f x 的图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数，()()211f x f -<等价于|21|1,1211x x -<-<-<，01,x x ∴<<∴的取值范围是(0,1).故选：A. 【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性、解不等式问题，注意函数图象间的平移变换，考查逻辑推理能力，属于中档题.二、填空题13．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x >时,4()f x x x =-,则当0x <时()f x =____【答案】4+x x【解析】设0x <则0x ->得到4()f x x x -=--，再利用奇函数的性质得到答案.【详解】设0x <则0x ->, 4()f x x x -=--函数()f x 是定义在R 上的奇函数4()()f x f x x x =--=+故答案为4+x x 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性计算函数表达式，属于常考题型. 14．已知函数8log (3)(0,1)9a y x a a =+->≠的图像恒过定点A ，若点A 也在函数()3x f x b =+的图像上，则3(log 2)f =__________．【答案】1【解析】首先确定点A 的坐标，然后求解函数的解析式，最后求解()32f log 的值即可. 【详解】令31+=x 可得2x =-，此时88log 199a y =-=-， 据此可知点A 的坐标为82,9A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 点A 在函数()3xf x b =+的图像上，故2839b --=+，解得：1b =-， 函数的解析式为()31xf x =-，则()3log 23log 231211f =-=-=.【点睛】本题主要考查函数恒过定点问题，指数运算法则，对数运算法则等知识，意在考学生的转化能力和计算求解能力.15．已知向量a v 、b v 满足：3a =v ，4b =v ，a b +=vv a b -=v v _________.【答案】3.【解析】将等式a b +=r r 两边平方得出a b ⋅r r 的值，再利用a b -=r r 平面向量的数量积运算律可得出结果. 【详解】()222222222232441a b a b a a b b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅+=+⋅+=r r r r r r r r r r r r r r Q ，8a b ∴⋅=r r，3a b ∴-=====r r ，因此，3a b -=r r，故答案为3.【点睛】本题考查利用平面向量数量积来计算平面向量的模，在计算时，一般将平面向量的模平方，利用平面向量数量积的运算律来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题. 16．下列四个命题： ①函数()3sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭与()3cos 24g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象相同； ②函数44()sin cos f x x x =-的最小正周期是π； ③函数()2cos f x x x =的图象关于直线x π=对称； ④函数()sin 23f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数． 其中正确的命题是__________（填写所有正确命题的序号） 【答案】①②④【解析】首先需要对命题逐个分析，利用三角函数的相关性质求得结果. 【详解】对于①，3sin(2)3cos(2)442x x πππ+=+-，所以两个函数的图象相同，所以①对； 对于②，442222()sin cos (sin cos )(sin cos )f x x x x x x x =-=+-22sin cos cos 2x x x =-=-，所以()f x 的最小正周期是T π=，所以②对；对于③，因为()2cos f x x x =，所以()00f =，()2fππ=-，()24f ππ=，因为()()02f f π≠，所以函数()f x 的图象不关于直线x π=对称，所以③错，对于④，()sin(2)sin(2)33f x x x ππ=-+=--， 当5[,]1212x ππ∈-时，2[,]322x πππ-∈-，所以函数()sin(2)3f x x π=--在区间,]1212π5π[-上是减函数，所以④对，故答案为①②④ 【点睛】该题考查的是有关三角函数的性质，涉及到的知识点有利用诱导公式化简函数解析式，余弦函数的周期，正弦型函数的单调性，属于简单题目.三、解答题 17．计算： （1）220.7531(0.25)8()lg 252lg 216--+---；（2）7log 23log lg 25lg 473+++. 【答案】（1）10 （2）154【解析】（1）根据分数指数幂，对数的运算法则计算即可；（2）根据对数的运算法则计算即可； 【详解】 （1）220.7531(0.25)8()lg 252lg 21648lg 2541016--+---=+--⨯=（2）7log 23115log lg 25lg 47lg 254244+++=-+⨯+= 【点睛】本题主要考查运用指数运算公式和对数运算公式对表达式进行化简.常见的化简技巧是将小数化为分数，根式化为指数，合理作出化简与运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.18．在平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=v v v．（1）求满足a mb nc =+vvv的实数m,n 的值；（2）若向量d u v 满足()//()d c a b -+v vv v ，且d c -=v v d u v 的坐标．【答案】（1）598.9m ⎧=⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，；（2）(3,1)-或(5,3)．【解析】(1)根据向量的坐标运算求解即可.(2) 设向量(,)d x y =u r再根据平行与模长的公式列式求解即可.【详解】（1）由已知条件以及a mb nc =+r r r,可得(3,2)(1,2)(4,1)(4,2)m n m n m n =-+=-++,即4322m n m n -+=⎧⎨+=⎩，，解得598.9m ⎧=⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，（2）设向量(,)d x y =u r ,则(4,1)d c x y -=--u r r,(2,4)a b +=r r .∵()//(),||d c a b d c -+-=u r r r r u r r∴224(4)2(1)0(4)(1)5x y x y ---=⎧⎨-+-=⎩，，解得3,1x y =⎧⎨=-⎩或53x y =⎧⎨=⎩，， ∴向量d u r的坐标为(3,1)-或(5,3).【点睛】本题主要考查了向量坐标的运算以及平行的与模长的公式,属于中等题型. 19．已知函数()4cos cos 23f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在区间,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域． 【答案】(1) ()5,1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；(2) ⎡⎣ 【解析】（1）利用两角差的余弦和诱导公式化简f(x),再求单调区间即可；（2）由2633x πππ≤-≤结合三角函数性质求值域即可【详解】（1）()4sin cos cossin sin33f x x x x ππ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭14sin cos 2x x x ⎛⎫=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭22sin cos x x x =+()sin 21cos 2x x =-sin 22x x =2sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭令222232k x k πππππ-≤-≤+，得1212k x k π5ππ-≤≤π+， ()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）由43x ππ≤≤得2633x πππ≤-≤，故而2sin 23x π⎛⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝⎭． 【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数单调性及值域问题，熟记公式准确计算是关键，是基础题20．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为()G x （万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入()R x （万元）满足20.4 4.2(05)()11(5)x x x R x x ⎧-+≤≤=⎨>⎩，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入-总成本）； （2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【答案】（1）()f x 20.4 3.2 2.8(05)8.2(5)x x x xx ⎧-+-≤≤=⎨->⎩（2）当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．【解析】(1)先求出()()G x R x ，，再根据()()()f x R x G x =-求解；（2）先求出分段函数每一段的最大值，再比较即得解. 【详解】解：（1）由题意得() 2.8G x x =+．()()20.4 4.20511(5)x x x R x x ⎧-+≤≤=⎨>⎩Q ，()()()f x R x G x ∴=- ()20.4 3.2 2.8058.2(5)x x x x x ⎧-+-≤≤=⎨->⎩（2）当5x >时，Q 函数()f x 递减，()()5 3.2f x f ∴<= （万元）．当05x ≤≤时，函数()()20.44 3.6f x x =--+， 当4x =时，()f x 有最大值为3.6（万元）． 所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元． 【点睛】本题主要考查函数的解析式的求法，考查分段函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 21．已知函数21()log 1axf x x +=-（a 为常数）是奇函数． （1）求a 的值；（2）判断函数()f x 在(1,3)上的单调性，并予以证明．【答案】（1）1；（2）函数()f x 在()1,3上是减函数，证明见详解. 【解析】（1）利用()()f x f x -=-，化简后可求得a 的值. （2）利用单调性的定义，令()11x g x x +=-，计算()()12g x g x -判断出在()1,3上函数为减函数.再根据复合函数同增异减，可判断得()f x 在()1,3上的单调性. 【详解】（1）∵()21log 1axf x x +=-是奇函数， ∴()()f x f x -=-，即2211log log 11ax axx x -+=----， 即2211log log 11ax x x ax--=++， 解得1a =或1a =-（舍去）， 故a 的值为1．（2）函数()f x 在()1,3上是减函数． 证明：由（1）知()21log 1x f x x +=-，设()11x g x x +=-，任取1213x x <<<，∴()()()()()21121212122111111x x x x g x g x x x x x -++-=-=----， ∵210x x ->，110x ->，210x ->，∴()()120g x g x ->， ∴()g x 在()1,3上为减函数，又∵函数2log y x =在()1,+∞上为增函数， ∴函数()f x 在()1,3上为减函数． 【点睛】本题考查由对数型函数的奇偶性求参数值，以及利用单调性定义证明函数单调性，属综合中档题.22．已知向量(sin sin )a ααα=-v，(cos ,cos )b βββ=-v ，且2a b ⋅=vv .（1）cos()αβ+的值； （2）若02πα<<，02πβ<<，且sin α=2a β+的值 【答案】（1）cos()5αβ+=；（2）24παβ+=【解析】（1）首先应用向量数量积坐标公式求得)a b αβ⋅=+r r ，结合2a b ⋅=v v ，求得()cos 5αβ+=，得到结果； （2）结合题的条件，利用同角三角函数关系式求得cos 10α=，结合角的范围以及（1）的结论，求得()sin 5αβ+=，再应用余弦和角公式求得cos(2)αβ+的值，结合角的范围求得24παβ+=，得到结果.【详解】（1）因为()sin sin a ααα=-v，()cos ,cos b βββ=v ，所以()sin cos a b αββ⋅=vv )sin cos ααβ+-cos sin αβαβ=()αβ+因为2a b ⋅=vv ()2αβ+=，即()cos αβ+=（2）因为02πα<<，sin α=cos α=. 因为02πα<<，02πβ<<，所以0αβ<+<π.因为()cos αβ+=()sin αβ+=所以()()()()cos 2cos cos cos sin sin 2αβααβααβααβ⎡⎤+=++=+-+=⎣⎦因为02πα<<，02πβ<<，所以3022παβ<+<，所以24παβ+=. 【点睛】该题考查的是有关三角恒等变换的问题，涉及到的知识点有向量数量积坐标公式，同角三角函数关系式，余弦的和角公式，利用角的三角函数值的大小，结合角的范围求角的大小，属于简单题目.。
2019-2020学年青海省西宁市高一上学期末数学试题(解析版)
2019-2020学年青海省西宁市高一上学期末数学试题一、单选题 1．已知353πα=-，则下列4个角中与角α终边相同的是（ ） A ．43π B ．23π C ．3πD ．3π-【答案】C【解析】先写出与角α终边相同的角的集合，再给k 取值得解. 【详解】由题得与角α终边相同的集合为35{|2,}3k k Z ββππ=-+∈, 当k=6时，=3πβ.所以与角α终边相同的角为3π. 故选C 【点睛】本题主要考查终边相同的角的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.2．函数11(0x y a a -=+>且1)a ≠的图象必经过定点( ) A ．()0,1 B ．()1,1C ．()2,1D ．()1,2【答案】D【解析】函数图象过定点(),a b ，即无论参数取何值，当x a =时，y 总等于b ，由此可利用代入验证的方法找到正确答案 【详解】Q 当1x =时，无论a 取何值，012y a =+=∴函数11(0x y a a -=+>且1)a ≠的图象必经过定点()1,2故选D ． 【点睛】本题考查了指数函数的图象性质，含参数的函数图象过定点问题的解决方法，代入验证的方法解选择题3．下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y x x =B ．3y x =-C ．1y x =+D ．1y x=【答案】A【解析】根据基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可. 【详解】A.显然该函数22x xy x xx x⎧==⎨-<⎩…为奇函数；0x…时，2y x=为增函数，0x<时，2y x=-为增函数，且22x x>-该函数在R上为增函数，即该选项A正确；B.3y x=-，为幂函数，既是奇函数又是减函数，不符合题意；C.1y x=+为一次函数，不是奇函数，不符合题意；D.1yx=为反比例函数，为奇函数，在区间(),0-∞以及()0,∞+上都是减函数，不符合题意；故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，定义是解决该类题目的基本方法熟记基本函数的相关性质是解题基础，是基础题.4．已知向量()2,a m=v,()3,1b=v，若//a bv v，则实数m的值为（）A．14B．13C．23D．12【答案】C【解析】根据向量平行的坐标运算解得.【详解】由//a bv v，得32m=．即23m=.故选C．【点睛】本题考查向量的平行条件，属于基础题.5．下列四个图象中,是函数图象的是( )A ．①B ．①③④C ．①③D ．③④【答案】B【解析】根据函数值的定义，在y 是x 的函数中，x 确定一个值，y 就随之确定唯一一个值，体现在函数的图象上的特征是，图象与平行于y 轴的直线最多只能有一个交点，从而对照选项即可得出答案． 【详解】解：根据函数的定义知：在y 是x 的函数中，x 确定一个值，y 就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y 轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有（2）不符合此条件． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了函数的图象及函数的概念，因变量（函数），随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应，是基础题． 6．角a 的终边经过点(),4P b -且3cos 5a =-，则b 的值为() A ．-3 B ．3C ．±3D ．5【答案】B【解析】根据三角函数的定义建立方程关系即可． 【详解】因为角a 的终边经过点(),4P b -且3cos 5a =-， 所以23cos ,516a b ==-+ 则0b >解得=3b 【点睛】本题主要考查三角函数的定义的应用，应注意求出的b 为正值．7．已知0.80.820.7,log 0.8, 1.1a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】B【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出a b c 、、的取值范围，从而可得结果. 【详解】0.8000.70.71a <=<=Q ，22log 0.8log 10b =<=， 0.801.1 1.11c =>=，b ac ∴<<，故选B.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.8．若[)0,2θ∈π，则()sin πθ=-成立的θ的取值范围是（ ） A ．[)0,pB ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,πD ．0,,22πππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】C【解析】()sin πθ=-，由此判断出θ的取值范围. 【详解】()sin πθ=-，所以sin sin θθ=，所以sin 0θ≥，由于[)0,2θ∈π，故[]0,πθ∈. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式，考查三角函数在各个象限的符号，属于基础题.9．为了得到函数()π2sin 23y x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R 的图象,只需将()π2sin 23y x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R的图象上所有的点( )A ．向右平移π6个单位 B ．向左平移π6个单位 C ．向右平移π3个单位D ．向左平移π3个单位【答案】D【解析】由题意利用正弦函数的图像变换归律，即可得出. 【详解】πππ2sin 22sin 2333y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦Q ，∴只需将π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上所有的点向左平移π3个单位.故选：D . 【点睛】本题主要考查的是正弦函数()sin y A ωx φ=+的图像变换归律，熟练掌握变换归律是解题的关键，是基础题.10．已知偶函数()y f x =在区间[0,)+∞上单调递增，且图象经过点(1,0)-和(3,5)，则当[3,1]x ∈--时，函数()y f x =的值域是( ) A ．[0,5] B ．[1,5]- C ．[1,3] D ．[3,5]【答案】A【解析】由题意结合函数的单调性和函数的奇偶性确定函数的值域即可. 【详解】偶函数()y f x =在区间[)0,+∞上单调递增，则函数在[](]3,1,0--⊆-∞上单调递减， 且()()()335,10f f f -==-=， 故函数的值域为[]0,5. 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性，函数值域的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．已知函数()()()()00,110x a x f x a a x x ⎧≥⎪=>≠⎨+<⎪⎩,若x ∈R 时恒有()()0f x f ≤,则a的取值范围为( ) A ．()0,1 B ．()1,+∞C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()2,+∞【答案】A【解析】由题意知()max 1f x =，0x <时恒成立，只要0x ≥时，()f x 递减，从而求出a 的取值范围. 【详解】x ∈R Q 时恒有()()0f x f ≤， ()()max 01f x f ∴==，又当(),0x ∈-∞时，()1f x <，[)0,x ∴∈+∞时，()f x 递减， ()0,1a ∴∈.故选：A . 【点睛】本题考查了分段函数问题，指数函数的图象和性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题.12．在平面直角坐标系中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于x 轴对称.若1sin 3α=,则cos()αβ-=（ ） A ．-1 B ．79-C ．79D ．1【答案】C【解析】由角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于x 轴对称，可以求出2π()k k Z βα=-+∈，这样利用二倍角的余弦公式可以求出cos()cos 2αβα-=的值. 【详解】因为角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于x 轴对称，所以2π()k k Z βα=-+∈，所以27cos()cos 212sin 9αβαα-==-=，故本题选C.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，由已知得到角α与角β的关系是解题的关键.二、填空题13．已知全集{}0,1,2U =，{}|0A x x m =-=，如果{}0,1U C A =，则m =______. 【答案】2【解析】先计算{}|A x x m ==，根据补集的定义计算得到答案. 【详解】{}{}|0|A x x m x x m =-===，{}0,1,2U =，{}{}0,12U A C A =∴=则2m = 故答案为：2 【点睛】本题考查了补集的运算，属于简单题型.14．已知01(,)2a y =-v是单位向量，则0y =__________．【答案】2±【解析】由题意得到0y 的方程，解方程确定其值即可. 【详解】由题意结合单位向量的定义可得：220112y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解方程可得02y =±. 【点睛】本题主要考查单位向量的定义与应用，属于基础题.15．若函数2()25f x ax x =++在(4,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是___________．【答案】[)0+∞，. 【解析】根据函数的解析式，分0a =和0a ≠两种情况讨论，利用一次、二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，函数2()25f x ax x =++在(4,)+∞上单调递增，当0a =时，函数()25f x x =+在(4,)+∞上单调递增恒成立，满足题意；当0a ≠时，则满足014a a>⎧⎪⎨-≤⎪⎩，解得0a >，综上所述，实数a 的取值范围是[)0+∞，. 【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，其中解答中熟记一次函数、二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与计算能力，属于基础题. 16．若函数()cos f x x =,[]2π,2πx ∈-,则不等式()0xf x >的解集为______. 【答案】3πππ3π,0,,2π2222⎛⎫⎛⎫⎛⎤--⋃⋃ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎦【解析】对x 分类讨论，再根据余弦函数的图像和性质即可得到不等式()0xf x >的解集. 【详解】当0x >时，cos 0x >，且[]2π,2πx ∈-，解得02x π<<或322x ππ<≤； 当0x <时，cos 0x <，且[]2π,2πx ∈-，解得322x ππ-<<-， 不等式()0xf x >的解集为3πππ3π,0,,2π2222⎛⎫⎛⎫⎛⎤--⋃⋃ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎦. 故答案为：3πππ3π,0,,2π2222⎛⎫⎛⎫⎛⎤--⋃⋃ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎦. 【点睛】本题主要考查的是余弦函数的图像和性质，熟练掌握余弦函数的图像和性质是解决本题的关键，是基础题.三、解答题17．已知一个扇形的周长为89π＋4，圆心角为80°，求这个扇形的面积. 【答案】89π 【解析】试题分析：设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积． 试题解析：设扇形的半径为r ，面积为S ，由已知，扇形的圆心角为80°×180π︒＝49π， ∴扇形的弧长为49πr ，由已知得，49πr ＋2r ＝89π＋4，∴r ＝2， ∴S ＝12·49πr 2＝89π.故扇形的面积是89π.18．已知函数()12sin .26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭()1求()f x 的最小正周期及其单调递增区间； ()2若[],x ππ∈-，求()f x 的值域．【答案】（1）4T π=，424,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）2⎡⎤⎣⎦ 【解析】()1由三角函数的周期公式求周期，再利用正弦型函数的单调性，即可求得函数的单调区间；()2由x 的范围求得相位的范围，进而得到1πsin x 126⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，即可求解函数的值域． 【详解】（1）由题意，知()1πf x 2sin x 26⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2πT 4π12==．又由π1ππ2k πx 2k π2262-≤+≤+，得4π2π4k πx 4k π33-≤≤+，k Z ∈．所以()f x 的单调递增区间为4π2π4k π,4k π33⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈； （2）因为πx π-≤≤，所以π1πx 222-≤≤，则π1π2πx 3263-≤+≤，所以1πsin x 1226⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以1π2sin x 226⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，即()f x 2≤≤．所以()f x的值域为.⎡⎤⎣⎦【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记()y Asin ωx φ=+型函数的图象和性质，准确计算是解答的此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．已知函数()()21322mf x m m x-=-+是幂函数.(1)求函数()f x 的解析式;(2)判断函数()f x 的奇偶性,并证明你的结论;(3)判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性,并证明你的结论.【答案】(1)()2f x x -=;(2)函数()f x 为偶函数;(3)()f x 在()0,∞+上单调递减,证明见解析.【解析】（1）根据幂函数定义即可得m 的值，可得函数()f x 的解析式； （2）利用奇偶性定义即可知函数()f x 的奇偶性；（3）利用函数单调性定义即可证明函数()f x 在()0,∞+上的单调性. 【详解】（1）因为函数()()21322mf x m m x-=-+是幂函数，则2221m m -+=， 解得1m =， 故()2f x x -=．（2）函数()2f x x -=为偶函数．证明如下：由（1）知()2f x x -=，其定义域为{}0x x ≠关于原点对称，因为对于定义域内的任意x ，都有()()()()222211f x x x f x xx ---=-====-， 故函数()2f x x -=为偶函数． （3）()f x 在()0,∞+上单调递减．证明如下：在()0,∞+上任取1x ，2x ，不妨设120x x <<， 则()()221212221211f x f x x x x x ---=-=- ()()2221212122221212x x x x x x x x x x -+-===，()12,0,x x ∈+∞Q 且12x x <，222121120,0,0x x x x x x ∴-<+>>，()()12f x f x >()f x ∴在()0,∞+上单调递减.【点睛】本题主要考查的是幂函数，函数的奇偶性、单调性，主要是它们定义的应用，考查学生的计算能力，是基础题.20．已知集合A 为函数lg(3)y x =+的定义域，1|282x B x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭…，{}|215C x a x a =-<+….（1）求A B I ；（2）若B C B =I ，求a 的取值范围.【答案】（1）{}|12A B x x =-<I …；（2）[2,0)-.【解析】（1）求函数定义域得集合A ，解指数不等式得集合B ，利用交集运算即可得解；（2）由B C B =I ，得B C ⊆.，列不等式求解即可.【详解】（1）由题意得3020x x +>⎧⎨->⎩ ，解得{}|32A x x =-<<， 1282x B x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭…{}|13x x =-<…， 所以{}|12A B x x =-<I …. （2）因为B C B =I ，所以B C ⊆.因为{}|13B x x =-<…，{}|215C x a x a =-<+…，所以21153a a -<-⎧⎨+⎩…， 解得20a -<….故a 的取值范围为[2,0)-.【点睛】本题主要考查了集合的表示及由集合运算得集合的包含关系，进而求参数，属于基础题.21．已知二次函数()f x 满足条件()01f =,及()()12f x f x x +-=.(1)求函数()f x 的解析式;(2)在区间[]1,1-上,()y f x m =-有两个零点,求实数m 的取值范围.【答案】（1）2()1f x x x =-+；（2）3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】（1）由题意设()2f x ax bx c =++，由()01f =，再利用两方程相等. （2）根据题意21x x m y -+=-在区间[]1,1-上有两个零点得到不等关系，解不等式即可的实数m 的取值范围.【详解】（1）设2()f x ax bx c =++，由(0)1f =得，1c =，故2()1f x ax bx =++，因为(1)()2f x f x x +-=，所以()22(1)(1)112a x b x ax bx x ++++-++=，即22ax a b x ++=， 所以220a a b =⎧⎨+=⎩， 11a b =⎧∴⎨=-⎩， 所以2()1f x x x =-+.（2）由（1）知2()1f x x x =-+， ()21x f x m y m x =--+=-Q 在区间[]1,1-上有两个零点.()14101110m m ⎧-->∴⎨-+->⎩, 解得314m <<， 在区间[]1,1-上,()y f x m =-有两个零点,实数m 的取值范围是3,14⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法.二次函数解析式的确定，应视具体问题,灵活的选用其形式，再根据题设条件列方程组,即运用待定系数法来求解，以及二次函数在给定区间上有解的问题，是中档题.22．已知函数()22sin cos 2cos f x x x b x b ωωω=+-(其中0b >,0>ω)的最大值为2,直线1x x =,2x x =是()y f x =的图象的任意两条对称轴,且12x x -的最小值为π2. (1)求b ,ω的值;(2)若()23f a =,求πcos 26a ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）1,b ω==（2）π1cos 263a ⎛⎫-=⎪⎝⎭ 【解析】（1）先化简()f x ，根据已知求出b ,ω的值；（2）若()23f a =，可求得sin 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，从而得出πcos 26a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【详解】（1）()22sin cos 2cos f x x x b x b ωωω=+-Qsin 2cos2x b x ωω=+()2x ωϕ=+由题意知，函数()f x 的周期为2222T πππω=⨯==， 得1ω=，又函数()f x 的最大值为2，2=，得b =0b >，b ∴=1,b ω∴==.（2）由()sin 222sin 23f x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭以及()23f a =得， 1sin 233πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， π1cos 2cos 2sin 262333a πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【点睛】本题给出三角函数表达式，再已知函数的周期情况下求函数的表达式，并依此求特殊的三角函数值，着重考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换和诱导公式等知识，属于中档题.。
青海省高一上学期期末考试数学试题(解析版)
注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（共60分，每小题5分）1. 已知集合，则{}220A x x x =-->RA =ðA. B.{}12x x -<<{}12x x -≤≤C. D.}{}{|12x x x x <-⋃}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥【答案】B 【解析】【详解】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，从而求得集合A ，之后根据220x x -->集合补集中元素的特征，求得结果.详解：解不等式得， 220x x -->12x x <->或所以，{}|12A x x x =<->或所以可以求得，故选B.{}R |12C A x x =-≤≤点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确. 2. （ ） sin10cos50cos 40cos10︒︒+︒︒=A.B.C.12【答案】C 【解析】【分析】结合诱导公式、两角和的正弦公式求得正确答案.【详解】()sin10cos50cos 40cos10sin10cos50cos 9050cos10︒︒+︒︒=︒︒+︒-︒︒()cos50sin10sin 50cos10sin 5010sin 60=︒︒+︒︒=︒+︒=︒=故选：C3. 设，则（ ） ()()()22,13M a a N a a =-=+-A.B.C. D.M N >M N ≥M N <M N ≤【解析】【分析】利用作差法即得.【详解】因为()()()2213M N a a a a -=--+-()222423a a a a =----恒成立，223a a =-+()2120a =-+>所以． M N >故选：A .4. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的函数是（ ） (0,)+∞A. B. C. D.3y x =1lny x=2x y =2y x =【答案】D 【解析】【分析】根据常见函数的单调性和奇偶性可直接判断出答案. 【详解】是奇函数，不满足题意；3y x =的定义域为，是非奇非偶函数，不满足题意； 1lny x=()0,+∞是非奇非偶函数，不满足题意；2x y =是偶函数，且在区间上单调递增，满足题意；2y x =(0,)+∞故选：D5. 设，，则“”是“”的（ ） 0x >R y ∈x y >x y >A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的含义，结合特殊值说明即可. 【详解】设，，显然有，但是不成立； 3x =4y =-x y >x y >若，因为，所以有成立.x y >y y ≥x y >所以，“”是“”的必要而不充分条件.x y >x y >6. 已知扇形面积为，半径是1，则扇形的圆心角是（ ） 38πA.B.C.D.316π38π34π32π【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形面积公式即可求出. 【详解】设扇形的圆心角为， α则，即，解得. 212S r α=231182πα=⨯34πα=故选：C.7. 下列函数中最小正周期为的是（ ） πA. B.C. D.sin y x =sin y x =tan2xy =cos 4y x =【答案】A 【解析】【分析】依次计算4.【详解】对于A ，为把轴下方的图像翻折上去，最小正周期变为，正确； sin y x =sin y x =x π对于B ，的最小正周期为，错误；sin y x =2π对于C ，的最小正周期为，错误；tan 2x y =212ππ=对于D ，最小正周期为，错误. cos 4y x =242ππ=故选：A.8. 函数的零点所在的区间是（ ） ()()2ln 1f x x x=+-A. B.C.D.(0,1)(1,2)(2,)e (3,4)【答案】B 【解析】【分析】函数的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反. ()()2ln 1f x x x=+-【详解】解：∵，()2ln 22ln 201f e =-<-=，()2ln 31ln 10f e =->-=则， (1)(2)0f f <∴函数的零点所在区间是 ， ()()2ln 1f x x x=+-(1,2)当，且时， 0x >0x →()()2ln 10f x x x=+-<， ()()22ln 1ln 0e e e e f e =+->->， ()()3322ln 3103ln f e =+->->， ()()1442ln 41ln 20f e =+->->ACD 中函数在区间端点的函数值均同号， 根据零点存在性定理，B 为正确答案. 故选：B.【点睛】本题考查函数的零点存在性定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号.9. 已知，则0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===A. B.C.D.a b c <<a c b <<c<a<b b<c<a 【答案】B 【解析】【分析】运用中间量比较，运用中间量比较0,a c 1,b c 【详解】则．故选B ． 22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=01,c a c b <<<<【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 10. 函数的图象大致为（ ） ()221xf x x =+A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】先求出函数的定义域和奇偶性排除选项和，再利用特殊值即可排除选项，进而求解. A B C 【详解】由题意可知：函数的定义域为， 22()1xf x x =+R 又因为， 2222()()11x xf x f x x x --==-=-++所以函数为上的奇函数，故排除选项和； ()f x R A B 又因为当时，函数，故排除选项， 0x >22()01xf x x =>+C 故选：.D 11. 已知曲线的图像，，则下面结论正确的是（ ） 1:sin C y x =2cos 23:C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到1C 6π曲线2C B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到1C 12π曲线2C C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到1C 126π曲线2C D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到1C 1212π曲线2C【答案】D 【解析】【分析】先将转化为，再根据三角函数图像变换的知识得出正确选项. 1C cos 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【详解】对于曲线，，要得到，则把上各点的横坐标1C sin cos 2y x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭2cos 23:C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭1C 缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得12cos 22y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭12π到，即得到曲线. cos 2cos 21223x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2C 故选：D.12. 若定义在的奇函数f (x )在单调递减，且f (2)=0，则满足的x 的取值范围是R (,0)-∞(10)xf x -≥（）A. B. [)1,1][3,-+∞ 3,1][,[01]-- C. D.[1,0][1,)-⋃+∞[1,0][1,3]-⋃【答案】D 【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等()f x 于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， R ()f x (,0)-∞(2)0f =所以在上也是单调递减，且，，()f x (0,)+∞(2)0f -=(0)0f =所以当时，，当时，， (,2)(0,2)x ∈-∞-⋃()0f x >(2,0)(2,)x ∈-+∞ ()0f x <所以由可得：(10)xf x -≥或或 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩0012x x >⎧⎨≤-≤⎩0x =解得或，10x -≤≤13x ≤≤所以满足的的取值范围是， (10)xf x -≥x [1,0][1,3]-⋃故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.二、填空题（共20分，每小题5分）13. 函数的定义域为______． ()lg(1)f x x =++【答案】 (1,1)-【解析】【分析】根据函数解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【详解】函数有意义，则有，解得，()lg(1)f x x =++1010x x ->⎧⎨+>⎩11x -<<所以函数的定义域为. ()f x (1,1)-故答案为：(1,1)-14. 函数（且）恒过定点为 _________. ()log 23a y x =-+0a >1a ≠【答案】 ()3,3【解析】【分析】根据，直接求定点.log 10a =【详解】由函数，可知当时，. ()log 23a y x =-+3x =log 133a y =+=所以函数恒过点. ()3,3故答案为：()3,315. 已知，则______． 3sin()5απ+=-tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】或##或 7-17-17-7-【解析】【分析】首先根据诱导公式求出，再利用同角三角函数关系式求出的值，从而可求3sin 5α=cos ,tan αα出的值. tan 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭【详解】因为，所以，所以或， 3sin()5απ+=-3sin 5α=4cos 5α=-4cos 5α=当时，，； 4cos 5α=-3tan 4α=-tan 1tan 74tan 1πααα-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭当时，，. 4cos 5α=3tan 4α=tan 11tan 4tan 17πααα-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭故答案为：或. 7-17-16. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是__________ .()2743kx f x kx kx +=++R k 【答案】 30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】分析可知，对任意的，恒成立，分、两种情况讨论，结合已x R ∈2430kx kx ++≠0k =0k ≠知条件可求得实数的取值范围. k 【详解】因为函数的定义域为，()2743kx f x kx kx +=++R 所以，对任意的，恒成立. x R ∈2430kx kx ++≠①当时，则有，合乎题意；0k =30≠②当时，由题意可得，解得. 0k ≠216120k k ∆=-<304k <<综上所述，实数的取值范围是. k 30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭故答案为：. 30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题（共70分，17题10分，18-22题各12分）17. 已知.sin cos 1sin cos 2αααα-=+（1）若为第三象限角，求的值 αcos α（2）求的值 cos 2α【答案】（1）（2） 45-【解析】【分析】（1）根据题意可得，再结合且为第三象限角即可求解； sin 3cos αα=22sin cos 1αα+=α(2)结合（1）的结论和二倍角的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，sin cos 1sin cos 2αααα-=+2sin 2cos sin cos αααα-=+则，因为且为第三象限角， sin 3cos αα=22sin cos 1αα+=α所以sin α=cos α=【小问2详解】由（1）可知：， cos α=所以. 214cos 22cos121105αα=-=⨯-=-18. 在①；②这两个条件中任选一个，补充在横线上，并解答． A B A = A B ⋂=∅已知集合． {}{}221,1A x a x a B x x =-<<=≤（1）若，求；1a =-()R A B ð（2）若________，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）或{3x x ≤-}1x ≥-（2）答案见解析 【解析】【分析】（1）化简集合，根据集合的运算直接计算即可得到结果.B （2）根据条件分集合为空集与集合不为空集分别讨论计算，即可得到结果. A A 【小问1详解】，{}{}2111B x x x x =≤=-≤≤当时，，所以或 1a =-{}31A x x =-<<-{R 3A x x =≤-ð}1x ≥-所以或 ()R A B ð={3x x ≤-}1x ≥-【小问2详解】由(1)知， {}11B x x =-≤≤若选①：由，得A B A = A B ⊆当，即时，，符合题意；21a a -≥1a ≥A =∅当时，，解得.A ≠∅212111a a a a -<⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩01a ≤<综上所述，实数的取值范围是 a [)0,∞+若选②：当时，，即；A =∅21a a -≥1a ≥当时，或 A ≠∅211a a a -<⎧⎨≤-⎩21211a aa -<⎧⎨-≥⎩解得或不存在.1a ≤-a 综上所述，实数的取值范围是a (][),11,-∞-⋃+∞19. 为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 【答案】（1）最大值为16米；（2）最小值为平方米. (824+【解析】【分析】（1）设草坪的宽为x 米，长为y 米，依题意列出不等关系，求解即可； （2）表示，利用均值不等式，即得最小值. 400(26)(4)(26)(4)S x y x x=++=++【详解】（1）设草坪的宽为x 米，长为y 米，由面积均为400平方米，得. 400y x=因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以，所以，解得. 4009x x+…294000x x +-…2516x -……又，所以.0x >016x <…所以宽的最大值为16米. （2）记整个的绿化面积为S 平方米，由题意可得（平方米）400300(26)(4)(26)(4)8248()(824S x y x x x x=++=++=+++…当且仅当.x =所以整个绿化面积的最小值为平方米.(824+20. 已知函数且点在函数的图像上. 2,0,()log ,0,a x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩(2,1)()f x（1）求，并在如图直角坐标系中画出函数的图像；a ()f x （2）求不等式的解集；()1f x <（3）若方程有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围．()0f x m -=【答案】（1），图像见解析2a =（2）(,1)(0,2)-∞- （3）(],2-∞【解析】【分析】（1）由得出，进而画出图像；(2)1f =a （2）由对数函数的单调性解不等式得出解集；（3）由函数的图像与函数的图像有两个不同的交点，结合图像得出实数m 的取值范围． y m =()y f x =【小问1详解】点在函数的图像上，，(2,1)()f x (2)log 21a f ∴==2a ∴=， 22,0()log ,0x x f x x x +≤⎧∴=⎨>⎩函数的图像如图所示：()f x 【小问2详解】不等式等价于或， ()1f x <20log 1x x >⎧⎨<⎩021x x ≤⎧⎨+<⎩解得或，02x <<1x <-不等式的解集为∴()1f x <(,1)(0,2).-∞-⋃【小问3详解】方程有两个不相等的实数根，()0f x m -=函数的图像与函数的图像有两个不同的交点．∴y m =()y f x =结合图像可得，故实数m 的取值范围为 .2m …(],2-∞21. 函数的部分图象如图：()()sin (0,0,2f x A x A πωϕωϕ=+>><（1）求解析式；()f x （2）写出函数在上的单调递减区间. ()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】（1） 2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2） ,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据图象求得，从而求得解析式.,,A ωϕ()f x （2）利用整体代入法求得在区间上的单调递减区间. ()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【小问1详解】由图象知，所以，又过点， 72,88A T πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭2ω=,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭令，由于，故所以. 22,284k k πϕπϕππ-⨯+==+2πϕ<,4πϕ=2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【小问2详解】 由， ()3222242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈可得， ()588k x k k Z ππππ+≤≤+∈当时， 0k =588x ππ≤≤故函数在上的单调递减区间为. ()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦22. 已知定义域为 的函数是奇函数. R 2()2xx b f x a-=+（1）求 的值;,a b （2）用定义证明 在上为减函数;()f x (,)-∞+∞（3）若对于任意 ，不等式 恒成立，求的范围.R t ∈()()22220f t t f t k -+-<k 【答案】（1），. 1a =1b =（2）证明见解析. （3） 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据函数为奇函数，利用奇函数性质即可求得答案.（2）根据函数单调性的定义即可证明结论.（3）利用函数的奇偶性和单调性将恒成立，转化为对任意的()()22220f t t f t k -+-<232k t t <-都成立，结合求解二次函数的最值，即可求得答案.R t ∈【小问1详解】为上的奇函数，，可得 ()f x R 002(0)02b f a-∴==+1b =又 , ,解之得, (1)(1)f f -=-11121222a a----∴=-++1a =经检验当 且时， ， 1a =1b =12()21xx f x -=+满足是奇函数, 1221()()2112x x x x f x f x -----===-++故，.1a =1b =【小问2详解】由（1）得 ， 122()12121x x x f x -==-+++任取实数 ，且，12,x x 12x x <则 ， ()()()()()211212122222221212121x x x x x x f x f x --=-=++++，可得，且，故， 12x x < 1222x x <()()1221210x x ++>()()()211222202121x x x x ->++，即，()()120f x f x ∴->()()12f x f x >所以函数在上为减函数;()f x (,)-∞+∞【小问3详解】根据 （1）（2）知，函数是奇函数且在上为减函数. ()f x (,)-∞+∞不等式 恒成立，∴()()22220f t t f t k -+-<即恒成立， ()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+也就是:对任意的都成立， 2222t t t k ->-+R t ∈即对任意的都成立， 232k t t <-R t ∈ ，当时取得最小值为， 221132333t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭ 13t =232t t -13-，即的范围是. 13k ∴<-k 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭。
2018-2019学年青海省西宁市高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年青海省西宁市高一上学期期末数学试题一、单选题1．设全集U N *=，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{2}B ．[]4,6C ．{1,3,5}D ．{2,4,6}【答案】B【解析】由图象知，阴影部分可表示为{}4,6U B A ⋂=ð，故选B.点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错． 2．若sin cos 0αα⋅>，则角α的终边在（ ） A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限 D ．第二、四象限【答案】B【解析】结合三角函数在四象限对应的正负号判断即可 【详解】sin cos 0αα⋅>Q ，sin ,cos αα∴同号，所以角α的终边在第一、三象限故选：B 【点睛】本题考查根据三角函数正负判断角所在的象限，属于基础题3．下列函数既是奇函数，又在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ） A ．y ＝x 3 B ．y ＝lnxC ．y ＝|x |D ．y ＝sinx【答案】A【解析】根据函数奇偶性及单调性的定义对选项进行检验即可判断．解：y ＝lnx 定义域（0，+∞）不关于原点对称，故为非奇非偶函数， y ＝|x |为偶函数，不符合题意，y ＝sin x 在（0，+∞）上不单调，不符合题意， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的判断，属于基础试题． 4．在（0，2π）内，使tanx ＞1成立的x 的取值范围是（ ）A ．（4π，2π）∪（π，54π）B ．（4π，π） C ．（4π，54π）D ．（4π，2π）∪（54π，32π）【答案】D【解析】由条件根据正切函数的图象特征可得 k π4π+<x <k 2π+，k ∈z ，再结合x ∈（0，2π），求得x 的范围． 【详解】解：由tan x ＞1，可得 k π4π+<x <k 2π+，k ∈z ． 再根据x ∈（0，2π），求得x ∈（4π，2π）∪（54π，32π），故选：D ． 【点睛】本题主要考查正切函数的图象特征，考查数形结合思想，属于基础题．5．已知函数f （x ）＝2x 2+kx ﹣1在区间[1，2]上是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣8]∪[﹣4，+∞）B ．[﹣8，﹣4]C ．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D ．[﹣4，﹣2]【答案】A【解析】由在区间上单调，可知对称轴不在区间内可得． 【详解】 解：对称轴x 4k=-， 函数f （x ）＝2x 2+kx ﹣1在区间[1，2]上是单调函数，则对称轴不在区间内，则14k -≤或者24k-≥； 即k ≤﹣8或k ≥﹣4，【点睛】本题考查二次函数单调性问题，考查分类讨论思想，属于基础题．6．实数a，b，c是图象连续不断的函数y=f（x）定义域中的三个数，且满足a＜b＜c，f（a）f（b）＜0，f（c）f（b）＜0，则y=f（x）在区间（a，c）上的零点个数为（）. A．2 B．奇数C．偶数D．至少是2【答案】D【解析】由零点的存在性定理：f（a）f（b）＜0，则y=f（x）在区间（a，b）上至少有一个零点，同理在（b，c）上至少有一个零点，结果可得．【详解】由根的存在性定理，f（a）f（b）＜0，f（c）f（b）＜0，则y=f（x）在区间（a，b）上至少有一个零点，在（b，c）上至少有一个零点，而f（b）≠0，所以y=f（x）在区间（a，c）上的零点个数为至少2个．故选：D．【点睛】本题考查零点的存在性定理，正确理解零点的存在性定理的条件和结论是解决本题的关键．7．已知集合A＝{1，2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{12}，则A∪B＝（）A．{12，1，0} B．{﹣1，12} C．{12，1} D．{﹣1，12，1}【答案】D【解析】根据A∩B＝{12}，求出a，b的值，进而可得答案．【详解】解：∵集合A＝{1，2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{12}，则2a12=，即a＝﹣1，且b12 =，故A＝{1，12}，B＝{12，﹣1}，故A∪B＝{﹣1，12，1}，故选：D．8．如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，BD ＝2DC ，如果AD x AB y AC =+，那么（ ）A ．x 13=，y 23= B ．x 23=，y 13=C ．x 23=-，y 13=D ．x 13=，y 23=- 【答案】A【解析】利用AB ，AC 将CB 表示出来，再运用平面向量的线性运算即可求解 【详解】解：∵BD ＝2DC ， ∴()1133CD CB CA AB ==+； ∵AD AC CD =+，∴11213333AD AC CA AB AC AB =++=+；∴13x =，23y =．故选：A ． 【点睛】本题考查了平面向量的数乘与线性运算，考查学生的分析能力，计算能力；属于基础题． 9．已知函数y =f （x ）在定义域（-1，1）上是减函数，且f （2a -1）＜f （1-a ），则实数a 的取值范围是（ ）A ．，+∞）B ．（0，+∞）C ．（0，2）D ．，1） 【答案】D 【解析】根据，利用单调性，结合定义域列不等式求解即可.【详解】 函数在定义域上是减函数，且，所以， 解得，故选D ．根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成 后再利用单调性和定义域列不等式组.10．已知函数f （x ）＝163x a -+（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点P ，若定点P 在幂函数g （x ）的图象上，则幂函数g （x ）的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据指数函数的性质求出点P 坐标，得出g （x ）的解析式，从而得出g （x ）的图象． 【详解】解：f （x ）＝163x a -+恒过点P （16，4）， 设幂函数g （x ）＝x α，则16α＝4， ∴α12=，∴g （x ）=故选：A ． 【点睛】本题考查了指数函数的性质，幂函数的性质，属于基础题． 11．已知函数()sin 2f x x =向左平移6π个单位后，得到函数()y g x =，下列关于()y g x =的说法正确的是（ ）.A ．图象关于点-,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 B ．图象关于6x π=-轴对称C ．在,ππ⎡⎤-单调递减 D ．在区间5,ππ⎡⎤--单调递增【答案】D【解析】函数()sin2f x x =的图象向左平移6π个单位，得到的图象对应的函数为sin 2sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．对于A ，当3x π=-时，sin 03y π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭．图象不关于点-,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，∴A 不正确；对于B ，当6x π=-时，sin 00y ==，图象不关于6x π=-轴对称，∴B 不正确；对于C ，sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期是π．当12x π=时，函数取得最大值，∴在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减不正确，∴C 不正确；sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期是π．当12x π=时，函数取得最大值，1112x π=-时，函数取得最小值，∵511,,1261212ππππ⎡⎤⎡⎤--⊂-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴在区间5,126ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递增，∴D 正确 点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.12．已知偶函数f （x ）在（﹣∞，0]上是增函数．若a ＝f （log 215），b ＝f （12log 3），c＝f （2﹣0.8），则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b【答案】A【解析】根据函数奇偶性和单调性的性质，以及对数和指数幂的性质进行转化求解即可． 【详解】解：∵偶函数f （x ）在（﹣∞，0]上是增函数，a ＝f （log 215）＝f （﹣log 25）＝f （log 25）， b ＝f （12log 3）＝f （﹣log 23）＝f （log 23）， ∵0＜2﹣0.8＜1＜log 23＜2＜log 25， ∴f （2﹣0.8）＞f （log 23）＞f （log 25）， 即c ＞b ＞a ， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键．二、填空题13．函数2()lg(31)f x x =++的定义域是__________． 【答案】1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 【详解】要使函数()f x ()2lg 31x +有意义,则10310x x ->⎧⎨+>⎩,解得113x -<<,即函数()f x ()2lg 31x +的定义域为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题目．14．某扇形的圆心角为2弧度，周长为4cm ，则该扇形面积为_____cm 2． 【答案】1【解析】设该扇形的半径为r ，根据题意，因为扇形的圆心角为2弧度，周长为4，则有422,1r r r =+=，2211=21122S r α=⨯⨯=，故答案为1. 15．已知tan （π+α）＝1，则sin 2α﹣2cos 2α＝_____．【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和三角函数的恒等式的应用求出结果． 【详解】 解：已知tan （4π+α）＝1，则111tan tan αα+=-，解得tanα＝0， 所以sin 2α﹣2cos 2α2222222221sin cos tan sin cos tan αααααα--===-++．故答案为：﹣2 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角恒等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．16．设函数f （x ）在定义域[﹣5，5]上满足f （x ）﹣f （﹣x ）＝0，且f （3）＝0，当x ∈[0，5]时，f （x ）的图象如图所示，则不等式xf （x ）＜0的解集是_____．【答案】（﹣5，﹣3）∪（0，3）【解析】根据题意，结合函数的图象分析可得在（0，3）上，f （x ）＜0，在（3，5）上，f （x ）＞0，结合函数的奇偶性可得在（﹣5，﹣3）上，f （x ）＞0，在（﹣3，0）上，f （x ）＜0，又由xf （x ）＜0⇔()00x f x ⎧⎨⎩＞＜或()0x f x ⎧⎨⎩＜＞，分析可得答案．【详解】根据题意，f （x ）为偶函数，且图象可得在（0，3）上，f （x ）＜0， 在（3，5）上，f （x ）＞0，则在（﹣5，﹣3）上，f （x ）＞0，在（﹣3，0）上，f （x ）＜0，xf （x ）＜0⇔00x f x ⎧⎨⎩＞（）＜或00x f x ⎧⎨⎩＜（）＞，分析可得：﹣5＜x ＜﹣3或0＜x ＜3， 即不等式的解集为（﹣5，﹣3）∪（0，3）； 故答案为：（﹣5，﹣3）∪（0，3）． 【点睛】三、解答题17．已知角α的终边上一点（x ，35），且tanα34=-． （1）求x 的值；（2）求cos42α-sin 42α的值． 【答案】（1）x 45=-（2）45-【解析】（1）由三角函数的定义即可算出结果；（2）利用定义可得cosα，化简所求表达式，代入可求出结果． 【详解】（1）由题意可知：335tan 4x α==-，∴x 45=-； （2）又（1）可知角α的终边上一点（45-，35），∴cosα45=-，cos 42α-sin 42α=（cos 22α+sin 22α）（cos 22α-sin 22α）＝cos 22α-sin 22α=cosα45=-． 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义和同角基本关系式及二倍角余弦公式，是基础题． 18．已知函数f （x ）＝x mx+，且此函数图象过点（1，2）． （1）求实数m 的值；（2）判断函数f （x ）的奇偶性并证明；（3）讨论函数f （x ）在（0，1）上的单调性，并证明你的结论．【答案】（1）m ＝1（2）函数是奇函数,证明见解析（3）函数是单调递减函数,证明见解析【解析】（1）利用函数f （x ）＝x mx+，且此函数图象过点（1，2），代入计算求实数m 的值；（2）利用函数f （x ）的奇偶性的定义，判断与证明； （3）利用定义证明函数f （x ）在（0，1）上的单调性． 【详解】（1）∵函数f （x ）＝x mx+，且此函数图象过点（1，2），（2）f （x ）＝x 1x +，定义域为：()()00-∞⋃+∞，，， 又f （﹣x ）＝﹣x 1x+=--f （x ）， ∴函数f （x ）是奇函数；（3）函数f （x ）在（0，1）上单调递减， 设0＜x 1＜x 2＜1， 则()()()()211212121212121212111x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x ---=+--=-+=-⋅⋅⋅， ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴x 1﹣x 2＜0，0＜x 1x 2＜1，x 1x 2﹣1＜0， ∴()()()1212121210x x f x f x x x x x --=-⋅＞， 即f （x 1）＞f （x 2），∴f （x ）在（0，1）上的单调递减． 【点睛】本题考查求函数的解析式，考查函数的单调性、奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．设函数13,0()20xx f x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨≥（1）若()1f x <，求满足条件实数x 的集合A ；（2）若集合{21}B x a x a =≤≤+，且A B A ⋃=，求a 的取值范围.【答案】（1）{21}A x x =-<<；（2）(1,0)(1,)a ∈-⋃+∞. 【解析】试题分析：（1）由01312xx <⎧⎪⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩或01x ≥⎧⎪<解不等式即可；（2）由A B A ⋃=,可知B A ⊆，讨论B =∅和B ≠∅求解即可. 试题解析：（1）由01312xx <⎧⎪⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩或01x ≥⎧⎪<{21}A x x ∴=-<<.（2）A B A ⋃=,所以可知B A ⊆（i ）当B =∅时，21a a >+，∴ 1a >满足题意（ii ）当B ≠∅时，212211a a a a ≤+⎧⎪>-⎨⎪+<⎩解得：10a -<<综上得：()()1,01,a ∈-⋃+∞.20．已知函数2222x x x f x sin cosπ=-（）（）． （1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在区间[﹣π，0]上的最大值和最小值．【答案】（1）最小正周期为T ＝2π（2和1-【解析】（1）化函数f （x ）为正弦型函数，求出它的最小正周期；（2）根据x 的取值范围，利用正弦函数的图象与性质求出函数f （x ）的最大、最小值．【详解】 （1）因为2222x x x f x sin cos π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（）2222x x x sin cos =1222sinx cosx =++3sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 所以f （x ）的最小正周期为T ＝2π；（2）因为x ∈[﹣π，0]，所以2333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，； 所以当33x ππ+=，即x ＝0时，函数f （x）取得最大值3sin π+= 当32x ππ+=-，即56x π=-时，函数f （x）取得最小值1-+； 所以f （x ）在区间[﹣π，0]和12-+．【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，考查三角恒等变换，是基础题． 21．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ． （1）求f （0）及f （f （1））的值；（2）求函数f （x ）的解析式；（3）若关于x 的方程f （x ）﹣m ＝0有四个不同的实数解，求实数m 的取值范围，【答案】（1）f （0）＝0，f （1）＝﹣1（2）()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩（3）（﹣1，0）【解析】（1）根据题意，由函数的解析式，将x ＝0代入函数解析式即可得f （0）的值，同理可得f （1）的值，利用函数的奇偶性分析可得f （f （1））的值；（2）设x ＜0，则﹣x ＞0，由函数的解析式分析f （﹣x ）的解析式，进而由函数的奇偶性分析可得答案；（3）若方程f （x ）﹣m ＝0有四个不同的实数解，则函数y ＝f （x ）与直线y ＝m 有4个交点，作出函数f （x ）的图象，由数形结合法分析即可得答案．【详解】（1）根据题意，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ；则f （0）＝0，f （1）＝1﹣2＝﹣1，又由函数f （x ）为偶函数，则f （1）＝f （﹣1）＝﹣1，则f （f （1））＝f （﹣1）＝﹣1；（2）设x ＜0，则﹣x ＞0，则有f （﹣x ）＝（﹣x ）2﹣2（﹣x ）＝x 2+2x ，又由函数f （x ）为偶函数，则f （x ）＝f （﹣x ）＝x 2+2x ，则当x ＜0时，f （x ）＝x 2+2x ，∴()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩（3）若方程f （x ）﹣m ＝0有四个不同的实数解，则函数y ＝f （x ）与直线y ＝m 有4个交点，而y ＝f （x ）的图象如图：分析可得﹣1＜m ＜0；故m 的取值范围是（﹣1，0）．【点睛】本题考查偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，注意利用数形结合法分析与应用，是中档题．22．设函数()()sin (,,f x A x A ωφωφ=+为常数，且0,0,0)A ωφπ>><<的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的表达式；（2）求函数()f x 的单调减区间；（3）若()4f α=，求cos(2)6πα-的值.【答案】（1）())3f x x π=+（2）7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（3）14【解析】试题分析：（1）由图可以得到A =T π=，故2ω=，而()f x 的图像过(,0)6π-03πφ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，结合()0,φπ∈得到3πφ=.（2）利用复合函数的单调性来求所给函数的单调减区间，可令3222232k x k πππππ+≤+≤+，解得函数的减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（3）由()4f α=得1sin(2)34πα+=，而cos(2)sin(2)63ππαα-=+，所以1cos(2)64πα-=.解析：（1）根据图象得A =又37()4126T ππ=--T π⇒=，所以2ω=. 又()f x过点(,0)6π-03πφ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又()0,φπ∈，所以2()06πφ⋅-+=得：3πφ=.（2）由3222232k x k πππππ+≤+≤+得：7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈.即函数()f x 的单调减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（3）由()f α=)3πα+=，所以1sin(2)34πα+=. 1cos(2)sin (2)sin(2)62634ππππααα⎡⎤-=+-=+=⎢⎥⎣⎦.。
青海省西宁市2018-2019学年高一数学上学期期末教学质量检测试题
青海省西宁市2018-2019学年高一数学上学期期末教学质量检测试题一、选择题1．执行如图所示的程序框图，如图输出的S 的值为2，则判断框中的条件可能是（ ）A.3n <？B.3n ≤？C.2n ≥？D.2n >？2．命题2:,10p x R x ∀∈+≥，则p ⌝为（ ）A ．20,10x R x ∃∈+> B ．20,10x R x ∃∈+≤C ．20,10x R x ∃∈+<D ．2,10x R x ∀∈+<3．已知i 为虚数单位，若复数11tiz i-=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（ ） A ．[1,1]- B ．(1,1)- C ．(,1)-∞- D ．(1,)+∞4．若命题p ：∀x ∈，tanx>sinx ，则命题非p 为( )A.∃x 0∈，tanx 0≥sinx 0B.∃x 0∈，tanx 0>sinx 0C.∃x 0∈，tanx 0≤sinx 0D.∃x 0∈，tanx 0>sinx 05．已知{}n a 为等差数列，且7421a a -=-，30a =，则公差d =（ ） A.-2B.12-C.12D.26．已知图中的网格是由边长为1的小正方形组成的，一个几何体的三视图如图中的粗实线和粗虚线所示，则这个几何体的体积为A.64B.643C.1283D.1287．已知x 与y 之间的一组数据：则y 与的线性回归方程y bx a =+必过点（ ） A ．()2,2B ．()1.5,0C ．()1,2D ．()1.5,48．若关于x 的不等式0x xe ax a -+<的解集为(,)(0)m n n <，且(,)m n 中只有一个整数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．221[,)3e eB ．221,)3e e（ C ．221[,)32e eD ．221,32e e ⎛⎫⎪⎝⎭9．若圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：x ﹣y+m ＝0的距离为，则m 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．[﹣2，2]D ．（﹣2，2）10．已知函数()22,?52,x x a f x x x x a+>⎧=⎨++≤⎩，若函数()()2g x f x x =-恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 A.[)1,1- B.[)1,2- C.[)2,2- D.[]0,211．已知2sin23α=，则2cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.16B.13 C.12D.2312．下列函数中与函数y x =相同的是（ ）A ．2y x = B ．y =C ．y =D ．2x y x=二、填空题 13．函数211()2f x x x=+的极小值是______. 14．某学校为了制定治理学校门口上学、放学期间家长接送孩子乱停车现象的措施，对全校学生家长进行了问卷调查.根据从中随机抽取的50份调查问卷，得到了如下的列联表：附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()ln 2342ln3++=， ()ln 345672ln5++++=， ()ln 456789102ln7++++++=，……则根据以上四个等式，猜想第n 个等式是__________．()*n N ∈16．已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m ⎧≤=⎨-+>⎩其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b有三个不同的根，则m 的取值范围是________________. 三、解答题17．如图，在各棱长均为4的直四棱柱中，底面为菱形，，为棱上一点，且.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.18．设(1)求的单调递增区间、对称轴方程和对称中心(2)求f(x)在x ∈(0,]的值域19．设函数在及处取极值.（1）求的值；（2）若对于任意的，都有成立，求的取值范围． 20．已知二阶矩阵对应的变换将点变换成，将点变换成.（1）求矩阵的逆矩阵；（2）若向量，计算.21．一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸如图所示单位：，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3m ，车与箱共高，此车是否能通过隧道？并说明理由．22．某种产品的广告费用支出（万元）与销售额（万元）之间有如下的对应数据：（2）据此估计广告费用为12万元时的销售额约为多少？参考公式：【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、选择题13．3214．5%.15．()()()()ln 12...322ln 21n n n n n ⎡⎤++++++-=-⎣⎦.16．()3+∞，三、解答题17．（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由底面为菱形，可得，根据直棱柱的性质可得，由线面垂直的判定定理可得平面，从而根据面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）设与交于点，与交于点，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，分别根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得二面角的余弦值.试题解析：（1）证明：∵底面为菱形，∴. 在直四棱柱中，∴底面， ∴.∵，∴平面，又平面，∴平面平面. （2）解：设与交于点，与交于点，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，则，，，设为平面的法向量，则，取，则.取的中点，连接，则，易证平面，从而平面的一个法向量为.∴，∴由图可知，二面角为锐角，二面角的余弦值为.【方法点晴】本题主要考查面面垂直的证明以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.18．(1)见解析.(2) .【解析】【分析】（1）由题意将函数解析式进行变换可得，然后将作为整体，并结合正弦函数的相关性质求解可得所求．（2）根据的取值范围得到的取值范围，结合图象可得的范围，利用不等式的性质可得值域．【详解】(1)由．由得所以函数的单调递增区间是．由，，解得，，所以函数图象的对称轴方程为．由，，解得，，所以函数图象的对称中心为（），．（2）∵,∴,∴，∴，∴函数的值域为.【点睛】研究形如的函数的性质时，可把看作一个整体，然后结合正弦函数的相应性质得到后可得所求，在解决单调性的问题时还要注意的符号对结果的影响．19．(1) ;(2) 或【解析】【分析】⑴由题意在及处取极值代入求出的值⑵由题意成立，求出，得到关于的不等式，求出的取值范围【详解】解：(1)由题意函数在及处取极值，故有和两个根，由根与系数之间的关系得,所以(2)由题意对于任意的，都有恒成立，即，由⑴知，当时，单调递减，当时，单调递增，，，则故即有解得或【点睛】本题考查了由导数极值求参量及解答关于恒成立的不等式问题，在求解恒成立问题时将其转化为最值问题，然后求出不等式的结果即可，需要掌握解题方法20．（1）；（2）．【解析】分析：（1）利用阶矩阵对应的变换的算法解出，再求（2）先计算矩阵的特征向量，再计算详解：（1），则，，解得，，，，所以，所以；（2）矩阵的特征多项式为，令，解得，，从而求得对应的一个特征向量分别为，.令，求得，，所以.点睛：理解矩阵的计算规则和相互之间的转换。
2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(答案+解析)(4)
2018-2019学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，则A∩（∁U B）=（）A．{5} B．{2，4} C．{2，4，5，6} D．{1，2，3，4，5，7}2．（5分）下列函数中，既是奇函数又是周期函数的是（）A．y=sin x B．y=cos x C．y=ln x D．y=x33．（5分）已知平面向量=（1，﹣2），=（2，m），且∥，则m=（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣44．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A． B． C． D．5．（5分）下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．， B．，C．，D．，6．（5分）已知a=sin80°，，，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a7．（5分）已知cosα+cosβ=，则cos（α﹣β）=（）A．B．﹣C．D．18．（5分）已知非零向量，满足||=4||，且⊥（2+），则与的夹角为（）A．B．C．D．9．（5分）函数y=log0.4（﹣x2+3x+4）的值域是（）A．（0，﹣2] B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，﹣2] D．[2，+∞）10．（5分）把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）和g（x）均为奇函数，h（x）=af（x）+bg（x）+2在区间（0，+∞）上有最大值5，那么h（x）在（﹣∞，0）上的最小值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．﹣3 D．512．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2017）B．（1，2018）C．[2，2018] D．（2，2018）二、填空题13．（5分）已知tanα=3，则的值．14．（5分）已知，则的值为．15．（5分）已知将函数的图象向左平移个单位长度后得到y=g（x）的图象，则g（x）在上的值域为．16．（5分）下列命题中，正确的是．①已知，，是平面内三个非零向量，则（）=（）；②已知=（sin），=（1，），其中，则；③若，则（1﹣tanα）（1﹣tanβ）的值为2；④O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：，λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的内心．三、解答题17．（10分）已知=（4，3），=（5，﹣12）．（Ⅰ）求||的值；（Ⅱ）求与的夹角的余弦值．18．（12分）已知α，β都是锐角，，．（Ⅰ）求sinβ的值；（Ⅱ）求的值．19．（12分）已知函数f（x）=cos4x﹣2sin x cos x﹣sin4x．（1）求f（x）的最小正周期；（2）当时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的集合．20．（12分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）=0．当x＞0时，f（x）=﹣4x+8×2x+1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[﹣3，﹣1]时，求f（x）的最大值和最小值．21．（12分）已知向量=（），=（cos），记f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若，求的值；（Ⅲ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位得到y=g（x）的图象，若函数y=g（x）﹣k在上有零点，求实数k的取值范围．22．（12分）已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0时，f（x）＞0（1）求证：f（x）是奇函数；（2）若，试求f（x）在区间[﹣2，6]上的最值；（3）是否存在m，使f（2（）2﹣4）+f（4m﹣2（））＞0对任意x∈[1，2]恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．【参考答案】一、选择题1．B【解析】∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，B={1，3，5，7}，∴C U B={2，4，6}，又A={2，4，5}，则A∩（C U B）={2，4}．故选B.2．A【解析】y=sin x为奇函数，且以2π为最小正周期的函数；y=cos x为偶函数，且以2π为最小正周期的函数；y=ln x的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，没有奇偶性；y=x3为奇函数，不为周期函数．故选A．3．D【解析】∵∥，∴m+4=0，解得m=﹣4．故选：D．4．A【解析】∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，∴函数的周期T满足=﹣=，由此可得T==π，解得ω=2，得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ），又∵当x=时取得最大值2，∴2sin（2•+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z），∵，∴取k=0，得φ=﹣，故选：A．5．B【解析】对于A，，，是两个共线向量，故不可作为基底．对于B，，是两个不共线向量，故可作为基底．对于C，，，是两个共线向量，故不可作为基底．．对于D，，，是两个共线向量，故不可作为基底．故选：B．6．B【解析】a=sin80°∈（0，1），=2，＜0，则b＞a＞c．故选：B．7．B【解析】已知两等式平方得：（cosα+cosβ）2=cos2α+cos2β+2cosαcosβ=，（sinα+sinβ）2=sin2α+sin2β+2sinαsinβ=，∴2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=，即cosαcosβ+sinαsinβ=﹣，则cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣．故选B.8．C【解析】由已知非零向量，满足||=4||，且⊥（2+），可得•（2+）=2+=0，设与的夹角为θ，则有2+||•4||•cosθ=0，即cosθ=﹣，又因为θ∈[0，π]，所以θ=，故选：C．9．B【解析】；∴有；所以根据对数函数log0.4x的图象即可得到：=﹣2；∴原函数的值域为[﹣2，+∞）．故选B．10．A【解析】图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．故选A．11．B【解析】令F（x）=h（x）﹣2=af（x）+bg（x），则F（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，h（x）≤5，∴x∈（0，+∞）时，F（x）=h（x）﹣2≤3．又x∈（﹣∞，0）时，﹣x∈（0，+∞），∴F（﹣x）≤3⇔﹣F（x）≤3⇔F（x）≥﹣3．∴h（x）≥﹣3+2=﹣1，故选B．12．D【解析】作出函数的图象，直线y=m交函数图象于如图，不妨设a＜b＜c，由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）关于直线x=对称，因此a+b=1，当直线y=m=1时，由log2017x=1，解得x=2017，即x=2017，∴若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），由a＜b＜c可得1＜c＜2017，因此可得2＜a+b+c＜2018，即a+b+c∈（2，2018）．故选：D．二、填空题13．【解析】===，故答案为：.14．﹣1【解析】∵，∴f（）==，f（）=f（）﹣1=cos﹣1=﹣=﹣，∴==﹣1．故答案为：﹣1．15．[﹣1，]【解析】将函数=sin2x+﹣=sin（2x+）的图象，向左平移个单位长度后得到y=g（x）=sin（2x++）=﹣sin2x的图象，在上，2x∈[﹣]，sin2x∈[﹣，1]，∴﹣sin（2x）∈[﹣1，]，故g（x）在上的值域为[﹣1，]，故答案为：[﹣1，]．16．②③④【解析】①已知，，是平面内三个非零向量，则（）•=•（）不正确，由于（）•与共线，•（）与共线，而，不一定共线，故①不正确；②已知=（sin），=（1，），其中，则•=sinθ+=sinθ+|sinθ|=sinθ﹣sinθ=0，则，故②正确；③若，则（1﹣tanα）（1﹣tanβ）=1﹣tanα﹣tanβ+tanαtanβ=1﹣tan（α+β）（1﹣tanαtanβ）+tanαtanβ=1﹣（﹣1）（1﹣tanαtanβ）+tanαtanβ=2，故③正确；④∵，λ∈（0，+∞），设=，=，=+λ（+），﹣=λ（+），∴=λ（+），由向量加法的平行四边形法则可知，以，为邻边的平行四边形为菱形，而菱形的对角线平分对角∴直线AP即为A的平分线所在的直线，即一定通过△ABC的内心，故④正确．故答案为：②③④.三、解答题17．解：（Ⅰ）根据题意，=（4，3），=（5，﹣12）．则+=（9，﹣9），则|+|==9，（Ⅱ）=（4，3），=（5，﹣12）．则•=4×5+3×（﹣12）=﹣16，||=5，||=13，则cosθ==﹣．18．解：（Ⅰ）∵α，β都是锐角，且，．∴cos，sin（α+β）=，∴sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=；（Ⅱ）=cos2β=1﹣2sin2β=1﹣2×．19．解：f（x）=cos2x﹣2sin x cos x﹣sin2x=cos2x﹣sin2x=cos（2x+）（1）T=π（2）∵∴20．解：由f（x）+f（﹣x）=0．当，则函数f（x）是奇函数，且f（0）=0，当x＞0时，f（x）=﹣4x+8×2x+1．当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）=﹣4﹣x+8×2﹣x+1．由f（x）=﹣f（﹣x）所以：f（x）=4﹣x﹣8×2﹣x﹣1．故得f（x）的解析式；f（x）=（Ⅱ）x∈[﹣3，﹣1]时，令，t∈[2，8]，则y=t2﹣8t﹣1，其对称轴t=4∈[2，8]，当t=4，即x=﹣2时，f（x）min=﹣17．当t=8，即x=﹣3时，f（x）max=﹣1．21．解：（Ⅰ）f（x）==sin cos+=sin+=sin（+）+，由2kπ+≤+≤2kπ+，求得4kπ+≤x≤4kπ+，所以f（x）的单调递减区间是[4kπ+，4kπ+]．（Ⅱ）由已知f（a）=得sin（+）=，则a=4kπ+，k∈Z．∴cos（﹣a）=cos（﹣4kπ﹣）=1．（Ⅲ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位得到g（x）=sin（﹣）+的图象，则函数y=g（x）﹣k=sin（﹣）+﹣k．∵﹣≤﹣≤π，所以﹣sin（﹣）≤1，∴0≤﹣sin（﹣）+≤．若函数y=g（x）﹣k在上有零点，则函数y=g（x）的图象与直线y=k在[0，]上有交点，所以实数k的取值范围为[0，]．22．（1）证明：令x=0，y=0，则f（0）=2f（0），∴f（0）=0．令y=﹣x，则f（0）=f（x）+f（﹣x），∴﹣f（x）=f（﹣x），即f（x）为奇函数；（2）解：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，∵f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1），∵当x＞0时，f（x）＞0，且x1＜x2，∴f（x2﹣x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），∴f（x）为增函数，∴当x=﹣2时，函数有最小值，f（x）min=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2f（1）=﹣1．当x=6时，函数有最大值，f（x）max=f（6）=6f（1）=3；（3）解：∵函数f（x）为奇函数，∴不等式可化为，又∵f（x）为增函数，∴，令t=log2x，则0≤t≤1，问题就转化为2t2﹣4＞2t﹣4m在t∈[0，1]上恒成立，即4m＞﹣2t2+2t+4对任意t∈[0，1]恒成立，令y=﹣2t2+2t+4，只需4m＞y max，而（0≤t≤1），∴当时，，则．∴m的取值范围就为．。
青海省西宁市2019年数学高一上学期期末检测试题
青海省西宁市2019年数学高一上学期期末检测试题一、选择题1．已知函数1(0)()1(0)x x f x x x +<⎧=⎨--≥⎩，则不等式(1)(1)3x f x x +⋅-≤-的解集是（ ） A.[3,)-+∞ B.[1,)+∞ C.[]3,1- D.(,3][1,)-∞-+∞2．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，2AB =，1AD =，60DAB ∠=，PD BD =，且PD ⊥平面ABCD ，Q 为PC 的中点，则下列结论错误．．的是（ ）A ．AD PB ⊥B ．PQ DB ⊥C ．平面PBC ⊥平面PBDD ．三棱锥D PBQ -的体积为14 3．若点（m ，n ）在反比例函数y ＝1x 的图象上，其中m ＜0，则m+3n 的最大值等于（ ） A ．23 B ．2 C ．﹣23 D ．﹣24．已知平面向量,a b 的夹角为23π，且1,2a b ==，则a b +=( ) A.3B.3C.7D.7 5．函数12log (43)y x =-的定义域为 （ ）A.3(,)4-∞ B.3(,1]4 C.(,1]-∞ D.3(,1)46．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 在边长为2的正方形ABCD 内部及其边界上运动，已知点()2,0M -，()1,1B -，()1,1C ，则MO MP ⋅的最大值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．107．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1312π+B ．134π+C ．14π+D ．112π+8．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈.刍，草也；甍，屋盖也.”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形.则它的体积为( )A ．1603B ．160C ．2563D ．6410．已知函数()()3sin 22f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭,下列说法错误的是( ) A.函数()f x 最小正周期是πB.函数()f x 是偶函数C.函数()f x 图像关于04π⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 D.函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数 11．已知函数，若，则实数m 的取值范围是 A ．B ．C ．D ． 12．一位学生在计算20个数据的平均数时，错把68输成86，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为A ．B ．C ．D ．二、填空题13．在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 .14．已知(,)x y 在映射f 下的对应元素是(2,2)x y x y +-，则(12)，在映射f 下的对应元素是________. 15．在正四棱锥P-ABCD 中，PA=2，直线PA 与平面ABCD 所成角为60°，E 为PC 的中点，则异面直线PA与BE 所成角的大小为___________．16．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值为________．三、解答题17．如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，AB EF ，矩形ABCD 和圆O 所在的平面互相垂直，已知2AB =，1EF =.（1）求证：平面DAF ⊥平面CBF ；（2）当2AD =时，求多面体EFABCD 的体积.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，231n n S a =-，*n N ∈.（1）证明：数列{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（2）令2(1)3n n n n S b λ=+-，若0n b >对*n N ∈恒成立，求λ的取值范围. 19．在ABC ∆中，,,A B C 成等差数列，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，并且2sin ?sin cos A C B =，43ABC S =，求,,a b c .20．如图，某公园中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要30min ，其中心O 距离地面83.5m ，半径为76.5m ，小明从最低处登上摩天轮，那么他与地面的距离将随时间的变化而变化，以他登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：（1）试确定小明在时刻t （min ）时距离地面的高度；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间小明距离地面的高度超过121.75m ？21．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1238650a a a +=>， 66332S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2log n n b a =-， n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .22．在平面立角坐标系xOy 中，过点的圆的圆心C 在x 轴上，且与过原点倾斜角为30的直线l 相切.(1)求圆C 的标准方程；(2)点P 在直线上，过点P 作圆C 的切线、，切点分别为M 、N ，求经过P 、M 、N 、C 四点的圆所过的定点的坐标.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题13．60°14．(53)-，15．45°16．12三、解答题17．(1)证明略； 18．（1）证明略，()1*3n n a n N -=∈（2）82,93λ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ 19．a c b ===a c b ===20．（1）π83.576.5cos15y t =-（0t ≥）；（2）有10 min 小波距离地面的高度超过121.75 m 21．（1）112n n a -=；（2）1122n n n T -+=-. 22．（1）（2）经过P 、M 、N 、C 四点的圆所过定点的坐标为()2,0、。
青海省西宁市高一上学期数学期末考试试卷
青海省西宁市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·郑州期中) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知，则角是（）A . 第一象限角B . 第二象限角C . 第三象限角D . 第四象限角3. （2分）已知，则（）A .B .C .D . 与的夹角为4. （2分） (2016高一上·清远期末) 函数f（x）= +lg（3x+1）的定义域是（）A . （﹣∞，）B . （﹣，）C . （，1]D . （，+∞）5. （2分） (2019高一下·南充月考) 已知向量满足，且，则（）A . 8B .C .D .6. （2分）函数的单调增区间为（）A .B . （kπ，（k+1）π），k∈ZC .D .7. （2分） (2020高一下·郧县月考) 若 , 是第三象限的角,则（）A .B .C . 2D . -28. （2分）已知函数．的最大值为（）A . 1+B . 2C . 1D .9. （2分） (2017高二下·成都期中) 已知函数f（x）=x﹣sinx，若x1、且f（x1）+f（x2）＞0，则下列不等式中正确的是（）A . x1＞x2B . x1＜x2C . x1+x2＞0D . x1+x2＜010. （2分） (2020·漯河模拟) 已知向量，满足，且，，则向量与的夹角为（）A .B .C .D .11. （2分）(2019·海南月考) 已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高一上·南通月考) 下图为函数的图象，则不等式的解集为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·无锡月考) 已知幂函数的图像过点( ， )，则＝________．14. （1分） (2016高三上·桓台期中) 已知函数f（x）=2sin（x﹣）sin（x+ ），x∈R，则函数f（x）的最小正周期________．15. （1分） (2016高二上·开鲁期中) 若非零向量，满足| |=| |，（2 + ）• =0，则与的夹角为________．16. （1分） (2019高二上·上海月考) 如图，矩形中，点P在矩形边上运动，若，，则的值为________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2019高三上·浙江月考) 已知函数，．（1）求的值；（2）求的最小正周期及单调递减区间．18. （10分） (2018高一下·中山期末) 已知，， .（1）求向量与向量的夹角；（2）求 .19. （10分） (2019高三上·安康月考) 已知 .（1）当时，求不等式的解集；（2）证明：当，时，恒成立.20. （5分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=（0＜x≤120）．已知甲、乙两地相距100千米．（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？21. （10分） (2016高三上·枣阳期中) 已知函数f（x）=sin2x+2 sin2x+1﹣．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）当x∈[ ， ]时，若f（x）≥log2t恒成立，求t的取值范围．22. （10分）已知向量 =（，﹣2）， =（sin（ +2x），cos2x）（x∈R）．设函数f（x）= ．（1）求的值；（2）求f（x）的最大值及对应的x值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
青海省西宁市高一上学期期末数学试卷
青海省西宁市高一上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一上·深圳月考) 函数的定义域是（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高一下·湖北期中) 设θ是第四象限角，则点P（sin（sinθ），cos（sinθ））在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2018高一上·湖南月考) 若函数是定义在上的奇函数，且当时，（为常数），则（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高一下·双流期中) 已知向量 =（1，m）， =（2，﹣1），且∥ ，则m=（）A .B .C . 2D . ﹣25. （2分） (2017高一下·乌兰察布期末) 的值为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一下·湖北期中) 已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，若不等式f（a）≥f（x）对任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是（）A . （﹣∞，1]B . [﹣1，1]C . （﹣∞，2]D . [﹣2，2]7. （2分）实数x满足，则|x-1|+|x-9|的值为（）A . 8B . -8C . 0D . 108. （2分）(2020·长春模拟) 已知函数的图象为C，为了得到关于原点对称的图象，只要把C上所有的点（）A . 向左平移个单位B . 向左平移个单位C . 向右平移个单位D . 向右平移个单位9. （2分） (2017高一下·沈阳期末) 已知，则（）A .B .C .D .10. （2分） (2020高二下·北京期中) 若总成立，则函数的图象（）A . 关于点对称B . 关于对称C . 以4为周期D . 关于原点对称11. （2分） (2016高二上·岳阳期中) 若四边形ABCD满足，，，＜0，则该四边形为（）A . 空间四边形B . 任意的四边形C . 梯形D . 平行四边形12. （2分）用min{a，b}表示a，b两数中的最小值，若f（x）=min{|x|，|x+t|}的图象关于直线x=﹣对称，则t的值为（）A . ﹣3B . 3C . ﹣6D . 6二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·金华月考) 若在上是减函数，则的取值范围是________.14. （1分） (2019高三上·海淀月考) 已知函数的导函数有且仅有两个零点,其图像如图所示,则函数在 ________处取得极值.15. （1分） (2018高三上·衡阳月考) 已知向量与的夹角为，且，，则________．16. （1分）已知非零向量的夹角为60°，且，若向量与互相垂直，则实数λ=________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2016高一上·大名期中) 计算（1）（0.064）﹣（﹣）0+[（﹣2）3] +（16）﹣0.75（2） log3 +lg25+lg4+7 +（﹣9.8）0 ．18. （10分） (2017高一下·禅城期中) 平面内给定三个向量 =（3，﹣2）， =（﹣1，y）， =（x，5），（1）若⊥ ，求实数y；（2）若∥ ，求实数x．19. （5分）已知sinα+sinβ=1，cosα+cosβ=0，求cos（α+β）的值．20. （10分） (2020高三上·吉林月考) 已知函数的部分图像如图.（1）求函数的解析式.（2）求函数在区间上的最值，并求出相应的值.21. （15分）已知函数（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期（2）若f（x）有最大值3，求实数a的值；（3）求函数f（x）单调递增区间．22. （5分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；（2）解不等式f（x）＜；（3）求f（x）的值域．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、。